Директор института,

академик

Н.С. Бортников

«_» _2013 г.

ОДОБРЕНО

Ученым советом института

Протокол № 5 от 27.03. 2013 г.

Председатель Ученого совета академик Н.С. Бортников

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ФД.А.03 – ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА Цикл ФД.А.00 «Факультативные дисциплины»

По отрасли 25.00.00 – Науки о Земле Специальность: 25.00.36 –« Геоэкология (по отраслям)»

Москва, 2013 Дисциплина «Вычислительная математика» входит в блок «Факультативные дисциплины» основной образовательной программы аспирантуры Федерального бюджетного учреждения науки Института геологии рудных месторождений, петрографии, минералогии и геохимии Российской Академии наук (далее ИГЕМ РАН) по специальности «Геоэкология». Составил д.ф.-м.н. В.И. Мальковский.

Освоение дисциплины «Вычислительная математика» на современном уровне необходимо для количественной оценки характеристик процессов, связанных с загрязнением геосферы, обработки данных экспериментальных исследований и результатов натурных геоэкологических наблюдений.

В курсе «Вычислительная математика» формируются знания и навыки, необходимые для использования математических моделей при исследовании процессов, приводящих к загрязнению геосферы, создания алгоритмов компьютерного моделирования и методов инженерных расчетов процессов и аппаратов, связанных с уменьшением риска загрязнения геосферы и реабилитацией загрязненных территорий.

1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Цели курса:

дать знания и навыки по методам решения наиболее типичных задач вычислительной математики;

ознакомить с типичными задачами геоэкологии, требующими применения вычислительных методов;

создать основу для углубленного изучения вычислительных методов для решения задач геоэкологии.

Задачи курса:

формирование базовых знаний для расчета оценок характеристик геоэкологических процессов и разработки алгоритмов обработки данных экспериментов и наблюдений;

формирование способности работать с литературными источниками в данной области;

развитие навыков практической работы по специальности

2. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Вид учебной работы Всего часов Общая трудоемкость дисциплины Лекции Практические занятия (семинары) Самостоятельная работа Курсовая работа Промежуточная аттестация зачет 3. РАЗДЕЛЫ (ТЕМЫ) ДИСЦИПЛИНЫ № Раздел (тема) дисциплины Лекции Семинары Самостоятельная (часы) (часы) работа (часы) 1. Операции с векторными величинами 2 2. Определители и матрицы 2 3. Методы интерполяции 2 4. Методы аппроксимации 2 5. Системы линейных алгебраических уравнений 5.1. Точные методы 2 5.2. Итерационные методы 4 6. Методы решения нелинейных алгеб- 2 раических уравнений 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения 7.1. Методы решения задачи Коши 4 7.2. Методы решения краевых задач 2 8. Методы параметрической оптимиза- 4 ции 9. Приближенное вычисление опреде- 2 ленных интегралов 10. Уравнения в частных производных 10.1. Уравнения гиперболического типа 2 10.2. Уравнения параболического типа 2 10.3. Уравнения эллиптического типа 2

4. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел 1. Операции с векторными величинами Понятив вектора. Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью использования векторных величин. Базис. Трехмерная интерпретация. Сложение, вычитание и умножение на константу. Скалярное произведение. Проекция вектора на вектор.

Раздел 2. Определители и матрицы Размерность матриц. Квадратные матрицы. Определители матриц. Инвариантные операции. Вычисление определителей.

Раздел 3. Методы интерполяции Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью использования метода. Интерполяционный полином для функции одной переменной. Кусочно-линейная интерполяция функции одной переменной. Полилинейная интерполяция функций нескольких переменных.

Раздел 4. Методы аппроксимации Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью использования метода. Аппроксимация системой базисных функций. Аппроксимация функциями заданного вида.

Раздел 5. Системы линейных алгебраических уравнений Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью использования метода 5.1. Точные методы 5.1.1. Метод Гаусса 5.1.2. Метод Крамера 5.1.3. Методы решения систем уравнений специального типа 5.2. Итерационные методы 5.2.1. Метод Гаусса-Зайделя 5.2.2. Метод бисопряженных градиентов Раздел 6. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью использования метода. Метод дихотомии для монотонных функций. Метод Ньютона. Контроль сходимости.

Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения 7.1. Методы решения задачи Коши.

7.1.1. Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью решения задачи Коши 7.1.2. Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутты с четырьмя членами 7.1.3. Метод Адамса.

7.1.4. Проекционные методы 7.2. Методы решения краевых задач.

7.2.1. Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью решения краевой задачи 7.2.2. Линейные уравнения.

7.2.3. Нелинейные уравнения. Метод пристрелки Раздел 8. Методы параметрической оптимизации Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью использования метода. Метод градиента. Контроль сходимости. Выбор начального приближения. Локальные и глобальные экстремумы.

Раздел 9. Приближенное вычисление определенных интегралов Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью вычисления определенных интегралов.

Определенные интегралы от функции одной переменной. Методы прямоугольников, трапеций и парабол. Определенные интегралы от функции двух переменных. Система конечных элементов.

Раздел 10. Уравнения в частных производных Задачи геоэкологии, связанные с необходимостью решения уравнений в частных производных.

10.1. Уравнения гиперболического типа. Метод Лакса-Вендроффа. Точность и устойчивость метода 10.2. Уравнения параболического типа. Явный метод. Точность и устойчивость метода.

10.3. Уравнение эллиптического типа. Метод последовательной верхней релаксации. Точность и сходимость метода.

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

АСПИРАНТОВ

Основная литература 1. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. В 2х тт. Т.1. М.: Фиматгиз, 1966.

2. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. 1994. 544 с.

Дополнительная литература 1. Поттер Д. Вычислительная физика. М.: Мир, 1975. 392 с.

2. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 618 с.

3. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. В 2-х тт. М.: Мир, 1991.

Рекомендуемые периодические издания 1. Журнал вычислительной математики и математической физики (Изд. МАИК «Наука») 2. Zeitschrift fr angewandte Mathematik und Mechanik (Wiley) 3. Applied Numerical Mathematics (Elsevier) Основной формой контроля являются зачет на втором курсе обучения.

7. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА КОНТРОЛЯ ТЕКУЩЕЙ УСПЕВАЕМОСТИ

Перечень вопросов к зачету 1. Операции с векторными величинами.

2. Определитель матрицы. Свойства и правила вычисления.

3. Дискретные представления распределений и задача интерполяции 4. Аппроксимация кривых по точкам. Система базисных функций и функции заданного типа.

5. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Точные методы.

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Приближенные методы.

7. Решение нелинейных алгебраических уравнений.

8. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

9. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

10. Методы параметрической оптимизации. Локальные и глобальные экстремумы.

11. Приближенное вычисление определенных интегралов 12. Интегрирование уравнений в частных производных гиперболического типа.

13. Интегрирование уравнений в частных производных параболического типа.

14. Решение краевой задачи для уравнений в частных производных эллиптического типа.