WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Министерство образования и наук

и Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Факультет управления и прикладной математики

Кафедра вычислительной математики

На правах рукописи

УДК 519.633 Чикиткин Александр Викторович Эффект объёмной вязкости в задачах сверхзвукового обтекания затупленных тел Магистерская диссертация Направление подготовки 010900 «Прикладные математика и физика»

Магистерская программа 10991 «Прикладные вычислительные модели и программные комплексы»

Заведующий кафедрой Холодов А.С. / _ /

Научный руководитель Тирский Г.А. / / Студент Чикиткин А.В. / / г. Москва Содержание Содержание

Введение

1 Обзор литературы

1.1 Объёмная вязкость

1.2 Структура ударной волны

1.3 Обтекание затупленных тел

2 Цель работы

3 Объёмная вязкость

3.1 Результаты кинетической теории

3.2 Двухтемпературная модель

3.3 Используемые формулы и модели

4 Структура ударной волны

4.1 Постановка задачи

4.2 Метод решения

4.3 Результаты расчётов

4.3.1 Профили плотности

4.3.2 Толщина УВ

4.4 Анализ результатов

5 Обтекание затупленных тел

5.1 Постановка задачи. Модель параболизованных уравнений Навье-Стокса (ПУНС)

5.2 Метод глобальных итераций (ГИ)

5.2.1 Расщепление продольного градиента давления

5.2.2 Параболо-гиперболическое приближение ПУНС

5.2.3 Оценочное значение параметра.

5.3 Результаты расчётов

5.3.1 Сходимость глобальных итераций

5.3.2 Влияние объёмной вязкости

Выводы

Заключение

Список использованных источников

Введение Интенсивное освоение космоса ведущими странами ставит задачу проектирования новых космических аппаратов (КА), возвращаемых планетных зондов, высокоманёвренных гиперзвуковых летательных аппаратов, совершающих рикошеты в верхних слоях атмосферы в разреженном газе.





В гиперзвуковом течении разреженного газа около КА проявляется ряд атомно-молекулярных высокотемпературных физических явлений: многокомпонентная диффузия, диссоциация и рекомбинация, а также релаксация внутренних степеней свободы. Учёт всех этих эффектов необходим для адекватного моделирования обтекания проектируемых КА, правильного предсказания трения, тепловых потоков к телу и других важных характеристик течения. В частности, необходима проверка применимости широко используемых математических моделей сплошной среды (уравнений Навье-Стокса) и др. для течений с сильной разреженностью и неравновесным возбуждением внутренних мод. Кинетическая теория этих эффектов активно развивается в последние десятилетия, однако не все её результаты используются при решении задач аэродинамики.

1 Обзор литературы 1.1 Объёмная вязкость При феноменологическом выводе уравнений гидродинамики [1] в модельных уравнениях появляются коэффициенты переноса: коэффициенты вязкости и теплопроводности. В записи обобщённого закона Ньютона для тензора вязких напряжений 2 (b )( ) I 2 e 2 e0 b ( ) I фигурируют два коэффициента и b - коэффициенты сдвиговой и объёмной вязкости (далее - к.о.в.) соответственно.

Стокс [2] предположил, что вторым членом в последнем выражении, связанным со сжатием, можно пренебречь в большинстве задач. Это предположение позже стали называть «гипотезой Стокса». Кинетическая теория также предсказывает b 0 для одноатомных газов [3]. Вслед за Стоксом, на протяжении века эта гипотеза применялась в подавляющем большинстве гидродинамических задач, независимо от внутреннего строения среды (газа или жидкости). Однако, сам Стокс не считал, что это предположение следует распространять на все задачи, о чем свидетельствуют его собственные слова [2]:

«Конечно, мы можем положить b 0, если мы полагаем, что напряжение в любой момент времени зависит от плотности и температуры в этот момент, и не зависит от скорости их изменения (от их производных). В большинстве случаев, когда мы исследуем трение жидкостей, плотность либо константа, либо почти не отличается от константы, либо меняется медленно со временем. В первых двух случаях результат будет таким же, в третьем – почти таким же, равно ли b нулю или нет. Поэтому, если эксперимент и теория в этих случаях дают одинаковые результаты, мы не должны рассматривать эксперимент как подтверждение гипотезы b 0.»

Из приведённых слов Стокса видно, что сам он рассматривал случаи, когда среда или несжимаема или слабо сжимаема - в этих случаях объёмная вязкость действительно не играет роли, так как 0, поэтому он и предполагал b = 0, но не рассматривал это предположение, как гипотезу, применимую для любых течений.

По-видимому, Tisza [4] был первым, кто попытался учесть эффект объёмной вязкости в середине прошлого века. В задачах распространения ультразвуковых волн в газах и жидкостях теория предсказывала коэффициент поглощения в разы меньше экспериментальных значений. Tisza предположил, что дополнительная диссипация энергии связана с релаксацией внутренних степеней свободы, и попытался учесть этот эффект с помощью введения коэффициента объёмной вязкости. Значение коэффициента поглощения, предсказанное теорией с учётом объёмной вязкости, определялось формулой, в которой появлялось дополнительное слагаемое.





Учёт объёмной вязкости позволил устранить расхождения с экспериментом. Так Tisza указал на важность эффекта, к тому же, предложил первый способ экспериментального измерения коэффициента: измеряя в эксперименте коэффициент поглощения и используя известные значения для коэффициентов сдвиговой вязкости и теплопроводности, из приведённой выше формулы можно найти коэффициент объёмной вязкости. Однако этот метод сопряжён с определёнными трудностями: во-первых, он может давать большие ошибки при неправильном задании и, во-вторых, для больших частот проявляется зависимость b от частоты f.

Стоит отметить, что Tisza в своей работе так же указал, что учёт объёмной вязкости может быть важен для задач с большой сжимаемостью и отметил, что введение b возможно только при выполнении условия локального термодинамического равновесия. Многие современные авторы до сих пор ссылаются на эту работу и используют предложенные в ней полуэмпирические формулы для к.о.в. [8].

Несколько позже, кинетическая теория прояснила физическую основу коэффициента объёмной вязкости. В монографии [5] для газов с внутренними степенями свободы был дан строгий вывод коэффициента объёмной вязкости методом Чепмена-Энскога. Было показано, что этот коэффициент появляется при выводе уравнений сплошной среды для газа с внутренней степенью (степенями) свободы. К.о.в. позволяет учесть релаксацию внутренних степеней свободы, т.е. переход энергии между внутренними и поступательной модами, в случае, когда отклонения от равновесного состояния (в котором все моды имеют одинаковую температуру) незначительны. Полученные в этой работе формулы выражают к.о.в. через время релаксации и в модельных случаях совпадают с полуэмпирической формулой из работы Tisza.

Уже в недалёком прошлом, для газов с несколькими модами, в которых происходят сложные процессы обмена, также были разработаны модифицированные методы ЧепменаЭнскога [6,7]. В рамках этих подходов можно строить одно и много температурные гидродинамические модели, основываясь на априорных оценках скоростей протекания разных релаксационных процессов, и получать формулы для коэффициентов переноса, в том числе и для объёмной вязкости. Однако, полученные выражения зачастую оказываются достаточно сложными и зависят от интегральных величин, которым сложно придать ясное физическое истолкование.

На сегодняшний день интерес к коэффициенту объёмной вязкости не утихает, и постоянно появляются публикации, посвящённые этому вопросу ([8],[9],[10]), связанные как со строгим выводом из кинетической теории новых моделей ([9]), так и с практическими оценками времён релаксации и к.о.в. для разных газов, а также с использованием более простых, приближённых формул ([8]).

Но во многих прикладных, инженерных задачах, например в задачах внешней аэродинамики, при расчёте обтекания тел различной формы, к.о.в. по-прежнему полагается равным нулю. Поэтому к сегодняшнему дню в литературе имеется мало работ, оценивающих влияние этого коэффициента в прикладных задачах; и хотя кинетическая теория этого вопроса была разработана более 20 лет назад, специалистов этой области чаще интересуют другие вопросы, например точность вычисления коэффициентов переноса с помощью того или иного приближения, различие в поведении этих коэффициентов при использовании той или иной модели столкновения молекул. Малое количество работ по оценке влияния к.о.в. в задачах внешней аэродинамики послужило мотивацией для данного исследования.

Несмотря на то, что задача о прямом скачке уплотнения в вязком газе исследуются с 20х годов прошлого века [11], и сегодня продолжаются исследования на эту тему. Одна из причин в том, что эта задача один из примеров, когда описание в рамках сплошной среды даёт неправильные результаты, так как масштаб УВ – несколько длин свободного пробега, т.е.

число Кнудсена – отношение длины свободного пробега к характерному размеру задачи не является малой величиной, и, строго говоря, модель сплошной среды не применима.

В работе Беккера было показано, что уравнения Н.-С. неправильно предсказывают толщину УВ – для воздуха рассчитанная ударная волна тоньше, чем в действительности. С тех пор считается, что структуру УВ можно корректно описать только с помощью кинетических уравнений, либо с помощью использования высших приближений метода Чепмена-Энскога, например, с помощью уравнений Барнетта [11].

Однако в ряде работ [10,12,14] показано, что учёт объёмной вязкости, а также использование двухтемпературной модели, также учитывающей релаксацию внутренних мод, могут заметно изменить структуру решения. Учёт к.о.в. позволяют получить профили, близкие к экспериментальным, а также сильно уменьшить расхождение с экспериментом по толщине УВ. Иногда удаётся передать некоторые чисто кинетические особенности: немонотонность профиля поступательной температуры и др.

Также важно отметить, что, несмотря на то, что толщина УВ очень мала по сравнению, например, с толщиной ударного слоя у обтекаемого тела, её аккуратное разрешение важно в задачах гиперзвуковой аэродинамики, где УВ – сильный источник неравновесного излучения, на долю которого приходится большая часть теплового потока к телу.

Таким образом, точное разрешение структуры УВ в задачах обтекания – важная задача, и в данной работе задача о прямом скачке была выбрана в качестве тестовой. На этой задаче можно продемонстрировать перспективности учёта к.о.в. для применения приближения сплошной среды к задачам переходного режима ( Kn 1 ).

Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа – важный класс прикладных аэродинамических задач. Для практики важно определить трение и тепловой поток, который максимален вблизи критической линии. Также важным элементом картины обтекания является отошедшая ударная волна, в которой активно протекают химические реакции, и которая является источником излучения.

Численное решение подобных задач сопряжено с рядом трудностей. В частности, при решении стационарной плоской задачи, в расчётной области присутствуют как сверхзвуковые так и дозвуковые области. Соответственно, определяющие уравнения (Навье-Стокса или их асимптотически упрощённые варианты) меняют тип внутри расчётной области, и в отличие от уравнений пограничного слоя, которые имеют всюду параболический тип, уравнения Навье-Стокса, ПУНС (параболизованные уравнения Н.-С.), ВУС (уравнения вязкого ударного слоя) имеют эллиптический и параболический тип в дозвуковых областях расчётной области и гиперболический тип – в сверхзвуковых областях.

В настоящее время наиболее популярным и эффективным подходом решения подобных задач является использование метода установления: задачу искусственно делают нестационарной и решают до установления стационарного режима. Число шагов по времени (итераций) в таких расчётах порядка 1000.

Г.А. Тирским и его группой были разработаны методы глобальных итераций (ГИ), позволяющие значительно быстрее (10 итераций) получать решение стационарных плоских (осесимметричных) задач обтекания затупленных тел. Методы ГИ были применены к уравнениям Эйлера, вязкого ударного слоя (ВУС). Использование модели ВУС позволило получать трение и тепловые потоки с инженерной точностью всего за две итерации. Для модели ПУНС метод ГИ оказался не таким эффективным – число итераций достигало 20 и применялись процедуры сглаживания поля давления [20].

С появлением высокопроизводительных вычислительных систем и параллельных программ методы ГИ несколько утратили свою актуальность, однако их применение попрежнему оправдано для предварительных оценочных расчётов, когда требуется получить решение в небольшой области у тела (например, на критической линии), и оценить степень влияния какого-либо нового эффекта (учёт к.о.в.).

Поэтому одна из поставленных в данной работе задач – разработка эффективного метода ГИ для ПУНС, и применение этого метода для оценки влияния к.о.в. на решение задачи обтекания затупленных тел: на структуру УВ, на коэффициенты трения и теплопередачи.

Цель данной работы – выяснить, нужно ли учитывать эффект объёмной вязкости в задачах сверхзвукового обтекания затупленных тел. Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

Изучить литературу по данному вопросу Выяснить границы применимости различных моделей, учитывающих релаксацию внутренних степеней свободы.

Найти в литературе надёжные инженерные формулы для вычисления объёмной Провести серию расчётов структуры ударной волны с учётом к.о.в., сравнить результаты с экспериментом, проверить качество используемых формул Разработать эффективный численный метод ГИ для решения ПУНС Провести серию расчётов обтекания затупленных тел с помощью разработанного метода, проанализировать полученные результаты, оценить степень влияния учёта к.о.в. на структуру возмущенной области течения газа.

При феноменологическом выводе уравнений Навье-Стокса из более общих уравнений движения сплошной среды предполагается линейная связь между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деj Жидкость (среда), для которой выполняются эти свойства, называется ньютоновской.

В результате получается линейное соотношение для тензора вязких напряжений:

Таким образом, в случае изотропной среды, независимо от молекулярного строения вещества (газа), независимо от количества и сложности процессов релаксации, нужно задать помимо коэффициента сдвиговой вязкости ещё один коэффициент. Это следуют из тензорного вывода соотношения (3.2).

В ранних работах, касающихся вопроса о влиянии к.о.в. [4,12], для модельных задач авторы либо считали коэффициент b постоянным, либо оценивали его по полуэмпирическим формулам. Для CO2, например, в литературе часто приводится значение b 2000.

Естественно, что для таких значений решение рассматриваемых задач менялось сильно. Но, как известно, каждый коэффициент переноса соответствует некоторому, в общем случае, неравновесному процессу. Для каждого такого процесса можно определить характерное время его протекания или время релаксации. Коэффициенты сдвиговой вязкости и теплопроводности связаны с переносом импульса и энергии, время релаксации этих процессов примерно равно среднему времени свободного пробега (среднему времени между столкновениями молекул). Для того чтобы описывать неравновесный процесс с помощью уравнений переноса (линейных соотношений), необходимо выполнение условия малых отклонений от равновесия, или иначе, чтобы характерное время задачи (чаще всего это характерное время изменения макропараметров macro ) было велико, по сравнению со временем релаксации неравноrel весного процесса rel : 1. Если rel это c - среднее время свободного пробега, то поmacro следнее соотношение эквивалентно выполнению условия малости числа Кнудсена:

Kn 1. Это условие является условием применимости приближения сплошной среды.

Объёмная вязкость, в отличие от сдвиговой, соответствует процессу релаксации внутренних степеней свободы, обмену энергией между поступательной модой и внутренними модами. Известно, что для возбуждения вращательных (rotational) мод требуется порядка столкновений, а для возбуждения колебательных (vibrational) мод 104-105 столкновений [7].

Это означает, что времена вращательной и колебательной релаксации rot, vibr велики по сравнению со средним временем свободного пробега, и условие локального равновесия для проl цессов релаксации внутренних мод будут отличаться от условия Kn 1.

Для того, чтобы правильно учитывать эти процессы и строго определить границы применимости модели сплошной среды, в частности границы применимости линейных соотношений для тензора напряжения в газе с внутренними степенями свободы, в данной работе были использованы некоторые результаты из кинетической теории газов.

Кинетическая теория одноатомных газов была хорошо разработана к середине прошлого века [5,3]. Из уравнения Больцмана для функции распределения f (v, r, t ), описывающую долю частиц, находящихся в момент времени t точке r и имеющих скорость v, в предполоl жении малых отклонений от равновесия (малости параметра Kn ) с помощью метода Чепмпена-Энскога были получены уравнения Эйлера (0-е приближение) и Навье-Стокса (1-е приближение) и найдены строгие выражения для коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности) через интегралы столкновений, а в простых и приближённых случаях и через макропараметры и их производные. Для одноатомных газов теория предсказывает b 0 [3].

Кинетическая теория молекулярных газов с внутренними степенями свободы была разработана не так давно [6,7]. Наряду с точными моделями, строго выведенными из кинетических уравнений, для описания процессов релаксации, для моделирования течения молекулярных газов в настоящее время по-прежнему используются феноменологические и полуэмпирические уравнения [13].

В данной работе рассмотрен простейший, модельный, теория, приведённая для этого случая, применима для двухатомных и линейных молекул (N2, O2, CO2). Методику обобщения на случай многих степеней свободы с учётом обмена энергии между внутренними модами и квантования уровней можно найти в монографии [7].

Предполагается, что функция распределения fi f (v, Ei, r, t ) зависит лишь от одной внутренней переменной – энергии i-го квантового состояния Ei. Рассматриваемый в данной работе случай более нагляден и позволяет качественно проследить, как релаксация внутренних степеней свободы сказывается на значениях коэффициентов переноса, в частности к.о.в.

При сделанных предположениях из кинетического уравнения (уравнения Больцмана) с помощью обобщения метода Чепмена-Энского в первом приближения могут быть получены уравнения Навье-Стокса для газа с внутренней степенью свободы [6]:

где:

e - тензор скоростей деформации, e0 e div(u ) I, I - единичный тензор, u - вектор скорости, P ( p b divu ) I 2e0 - тензор напряжений, q T (п вн )T - тепловой поток, E cvT (cп свн )T - внутренняя энергия, ( cп k, cвн 2 k k для вращательных мод).

Выражения для коэффициентов переноса можно получить приближённо, используя разложения (с использованием различных приближений) интегральных коэффициентов по полиномам Сонина, так же, как и в классическом методе Чепмена-Энскога [5].

Так как для коэффициентов вязкости и теплопроводности молекулярных газов есть много экспериментальных данных и надёжных аппроксимационных формул, далее не будем рассматривать поправки к ним, связанные с неупругим взаимодействием (с релаксацией внутренних степеней свободы), считая, что эти поправки уже учтены.

Обратимся к выражению для объёмной вязкости [6]:

где E - время релаксации внутренней степени свободы, k - постоянная Больцмана.

Эта формула совпадает с эмпирическими формулами, которые до текущего времени используются в литературе [8] без всяких оговорок и проверки верности предположений, для которых они получены.

Для оценки времён релаксации используются различные классические, полуклассические теории, для колебательной релаксации наиболее популярна теория Ландау-Теллера [8].

В работе [8] приведены расчёты объёмной вязкости различных газов по формуле (3.4), т.е. фактически оценки времен релаксации. На рисунке (Рисунок 3.1) приведены два графика из этой работы. Видно, что объёмная вязкость и времена релаксации внутренних степеней свободы разных газов могут совершенно по-разному зависеть от температуры.

Рисунок 3.1 Отношение сдвиговой и объёмной вязкости в зависимости от температуры для разных газов [8]. Азот – пунктирная линия на левом графике, углекислый газ – правый график.

Полезно заметить, что сдвиговая вязкость также выражается через время релаксации поступательных степеней свободы, через среднее время свободного пробега:

Величины, E выражаются через интегральные скобки, т.е. в конечном счёте, через сечения рассеяния, потенциалы взаимодействия. В общем случае нельзя получить для них выражения через макропараметры (зависимость от температуры). Тем не менее, из приведённых выше формул можно сделать важный физический вывод: коэффициенты переноса (сдвиговой, объёмной вязкости и теплопроводности) связаны с неравновесным (в общем случае) процессом и пропорциональны времени релаксации этого процесса.

Введём величину Z - характерное отношение времён неупругих и упругих столкновений. По сути, это среднее число столкновений, необходимое для релаксации поступательных и внутренних энергий к их равновесным значениям благодаря обмену энергией между поступательными и внутренними модами. Как видно из выражений для коэффициентов лу для вычисления к.о.в., необходимо каким-либо способом получить зависимость от макропараметров для величины Z. Это можно сделать, или вычисляя кинетические коэффициенты аналитически, используя простые модели молекул, которые учитывают неупругое взаимодействие (модель шероховатых сфер, модель нагруженных сфер, сфероцилиндров и др.), или подставляя классических и полуклассических расчётов этой величины [6].

Как известно [7], для возбуждения вращательных степеней свободы необходимо 101, а для возбуждения колебательных мод 104 столкновений. Это говорит о том, что коэффициент объёмной вязкости, вычисленный по формуле (3.4) может значительно превышать значение коэффициента обычной, сдвиговой вязкости.

рых модельных гидродинамических задачах b 1000 для углекислого газа при комнатной температуре. Однако, следует помнить, что линейные соотношения для тензора напряжений (также как и для теплового потока) верны для малых отклонений от равновесия (так как сам метод Чемпена-Энскога верен в предположении слабой неравновесности). Но переход к большим значениям Z соответствует неограниченном увеличению b. Т.е. при конечных значениях u малая добавка b u перестаёт быть малой. Приведём некоторые оценки, чтобы выяснить, можно ли пользоваться линейными соотношениями для больших Z.

Диагональная часть P тензора напряжений P связана со средней поступательной энерп гией газа соотношением: P nE. Следовательно, можно представить тензор напряжений в виде:

где p nkT - обычное гидростатическое давление, E п E п E0 E п kT, - недиагоп нальная часть тензора напряжений.

В соответствии с полученными ранее линейными соотношениями:

можно получить следующие оценки отношений этих добавок к давлению:

Линейные соотношения получены в первом приближении разложения функции распределения по малому параметру Kn. Т.е., как показывают оценки (3.8), тензор вязких ному давлению также была мала, необходимо выполнение условия малости величины Z Kn.

Ясно, что в случае больших значений Z это условие более сильное, чем условие малости числа Кнудсена, и нужно следить за его выполнением. Отметим, что данный критерий может быть строго обоснован в рамках более общих подходов [6].

Таким образом, использовать линейное соотношение для тензора напряжений, содержащее к.о.в., можно лишь при небольших значениях к.о.в., обеспечивающих выполнение условия Z Kn 1. Это справедливо для азота, т.к. для этого газа Z 10, поэтому все расчёты в данной работе выполнены для этого газа. При больших значениях времён релаксации и к.о.в. необходимо использовать другие модели, одна из которых описана ниже.

С помощью альтернативного подхода, в основе которого лежит использование локального двухтемпературного распределение Максвелла-Больцмана, можно выйти за пределы линейных соотношений метода Чепмена-Энскога и получить более общие уравнения релаксации поступательной (внутренней) энергии молекулярного газа [6,7,9]. Ниже выписана система уравнений Н.-С., учитывающая релаксацию внутренней степеней свободы. В дальнейших расчётах она не используется, и приведена в работе для качественного анализа.

Система уравнений двухтемпературной релаксации имеет вид:

Где P pI 2e0, p nkTп, T п - поступательная температура, T вн - температура внутренней моды, q (п п,вн )Tп (вн вн,п )Tвн, при больших Z 1коэффициенты и п совпадают с коэффициентами, полученными в однотемпературной модели.

Важно отметить, что при использовании двухтемпературной модели, коэффициент объёмной вязкости не входит в выражение для тензора напряжений. Неравновесная добавка к давлению учитывается более детально: давление определяется не по равновесной температуре, (которая совпадает с поступательной в случае однотемпературной модели), а по поступательной температуре, которая не совпадает с равновесной и внутренней температурой; и эта температура вычисляется из уравнения релаксации, в которое входит время релаксации E по сути, тот же коэффициент объёмной вязкости, с точностью до множителя.

Второй важный вывод, который можно сделать – при использовании релаксационных моделей, выражения для коэффициентов переноса, например, для коэффициентов теплопроводности п, вн, п,вн, вн,п, могут не совпадать с выражениями, полученными для однотемпературных моделей, могут появляться новые коэффициенты. Для этих коэффициентов уже нет надёжных экспериментальных данных, и нужно вычислять их, одним из указанных выше способом.

Таким образом, представляется разумным, там, где это возможно, пользоваться однотемпературной моделью (классическими уравнениями Н.-С.), добавляя в тензор напряжений один скалярный коэффициент к.о.в., который служит «чёрным ящиком» - не усложняя, не изменяя модели, он позволяет учесть релаксацию внутренних степеней свободы, нужно лишь использовать для каждого газа подготовленные и проверенные заранее выражения.

Мы будем далее рассматривать только двухатомный газ с вращательными степенями свободы. Используя приведённые в предыдущей главе соотношения, можно получить, что в этом случае: свн k, cV k, cP k, и, соответственно:

Для определения параметра Z в общем случае необходимо вычисление интегралов столкновений. В работе используются несколько вариантов приближённых аналитических выражений для Z : популярная в литературе формула, полученная Паркером:

а также более корректное выражение:

(рекомендуемые значения для азота Z 4.3, T * 91.5K ). Z рассматривается как эмпирический параметр, его значение рекомендуется определять из сравнения с экспериментом [6].

Таким образом, из 3.10 получаем формулу для вычисления объёмной вязкости:

куда можно подставлять разные выражения для Z.

При сверхзвуковом обтекании тел вязким газом в области ударной волны очень велики градиенты всех искомых функций, поэтому для демонстрации необходимости учёта объёмной вязкости, а также для определения надёжных расчётных формул для этого коэффициента представляет интерес рассмотреть задачу о структуре прямой (одномерной) ударной волны.

Рассмаривается одномерная задача: сверхзвуковой одномерный поток набегает из и переходит в дозвуковой за ударной волной.

Решаются стационарные одномерные уравнения Навье-Стокса (- Фурье) в безразмерном виде:

Система замыкается уравнением состояния идеального газа:

где - плотность, u - скорость, p - давление, - безразмерная координата, - показатель адиабаты, T - температура, H - полная энтальпия,, b - сдвигая и объёмная вязкости. Все величины нормированы на значения размерных параметров на (левой границе), величины с индексом 1:, b b, Pr p - число Прандтля. Безразмерная координата нормирована на длину свободного пробега в набегающем потоке.

Для системы уравнений ставятся асимптотические граничные условия РенкинаГюгонио:

Система уравнений (4.1) может быть один раз проинтегрирована и сведена к системе из двух уравнений для двух функций. Аналогично работе [10], в данном исследовании решалась система из двух уравнений относительно функций ( ), p( ) :

с граничными условиями:

Несмотря на то, что система (4.3) – система ОДУ, при её численном решении возникает несколько трудностей 1) Если, p( ) - решение системы (4.3), то для любого 0 0, p( 0 ) - также 2) Граничные условия (4.4) заданы на бесконечности, что усложняет их реализацию при численном решении В данной работе использовался следующий алгоритм решения:

1) Задаём значение давления в точке 0 : p(0) 2) Задаём в качестве параметра (0) 0 и решаем задачи Коши в прямом и обратном направлениях начиная с 0. Методом дихотомии находим значение 0, для которого решение задач Коши удовлетворяет граничным условиям в некоторых точках min, max (достаточно удалённых) с заданной точностью.

Для решения задач Коши использовался метод Рунге-Кутты 4 порядка. Неопределённость порядка 103 в граничных условиях соответствует неопределённости порядка 107 в определении плотности (0) 0. Таким образом, полученное решение достаточно точно в области самой УВ.

4.3.1 Профили плотности Расчёты структуры ударной волны были проведены для азота. Для этого газа есть достаточное количество экспериментальных данных по структуре УВ; кроме того, азот и кислород, основные составляющие воздуха - двухатомные газы, к ним применима хорошо разработанная теория вращательной релаксации и есть готовые формулы для к.о.в. [6] На графике (Рисунок 4.1) изображены нормированные профили плотности в ударной волне для азота N2, число Маха в набегающем потоке M1 6.1. Безразмерная координата нормирована на длину свободного пробега в набегающем потоке M1. Аналогичные данные для Маха 10 приведены на втором графике (Рисунок 4.2).

(ro-ro1)/(ro1-ro2) Рисунок 4.2 Распределение плотности в ударной волне для Z (3.11) из [10], 4 - выражение для Z (3.12) из [6], 5 – эксперимент, данные работы [15] Из приведённых сравнений видно, что в ударной волне, где велики градиенты всех исu комых величин (т.е. div(u ) принимает большие значения) даже небольшая объёмная вязкость (порядка сдвиговой) заметно изменяет решение. Профиль, рассчитанный без учёта объёмного коэффициента вязкости, во-первых даёт заниженное значение толщины скачка, во-вторых сильно качественно и количественно отличается от экспериментального профиля.

Учёт объёмной вязкости, даже примитивным образом профиль в нужную сторону. Более детальный учёт эффекта объёмной вязкости, с использованием различных формул для частоты столкновений Z, даёт профили, почти совпадающие с экспериментальными (профили 4 на обоих графиках), относительное максимальное отклонение (в норме ) от эксперимента для этих профилей составляет около 5% вместо 25% для профилей, полученных без учёта к.о.в.. Результаты расчёта для меньших чисел Маха ещё лучше согласуются с экспериментом.

4.3.2 Толщина УВ В работе Беккера [11], было показано, что уравнения Навье-Стокса неправильно предсказывают толщину прямого скачка уплотнения, что впоследствии было подтверждено многочисленными расчётами. В данной работе было установлено, что учёт к.о.в. в азоте позволяет значительно улучшить точность определения этой важной характеристики многих сверхзвуковых течений.

Зависимость обратной толщины скачка от числа Маха приведена на рисунке (Рисунок 4.3). Опять же, видно: чем более детально мы учитываем к.о.в., тем ближе расчёт к эксперименту. Как и в предыдущем случае, наилучший результат даёт формула (3.12) для параметра Z из [6]. Ошибка в 200% снижается до приемлемого расхождения с экспериментом в 10%.

0.5, 3 – выражение для Z (3.11) из [10], 4 - выражение для Z (3.12) из [6], 5 – эксперимент, данные Рассмотренная в данной главе задача о структуре ударной волны наглядно демонстрирует необходимость и перспективность учёта к.о.в. вязкости в задачах сверхзвуковой аэродинамики. Учёт к.о.в. приближает рассчитанный профиль плотности к экспериментальному, и позволяет правильно предсказать толщину УВ.

Тестовые расчёты наилучшим образом согласуются с экспериментальными данными при использовании формул (3.11) и (3.12) для параметра Z, что является мотивацией для их использования и в дальнейших расчётах.

5.1 Постановка задачи. Модель параболизованных уравнений Навье-Стокса Рассмотрим течение однородного совершенного газа около гладкого осесимметричного ( = 1) или плоского ( = 0) затупленного тела, обтекаемого под нулевым углом атаки. Запишем уравнения Навье—Стокса в криволинейной ортогональной системе координат: х — длина дуги контура тела, отсчитываемая от критической точки; у - расстояние по нормали от поверхности тела (см. Рисунок 5.1). Оставив члены порядка O(1) и O(1/Re1/2) и опустив члены порядка O(1/Re), получим систему ПУНС [16]:

– уравнение неразрывности – уравнение импульса в продольном направлении – уравнение импульса в поперечном направлении – уравнение энергии в форме уравнения притока тепла или в форме уравнения для полной энтальпии H – уравнение состояния Здесь Vu и Vv — физические компоненты вектора среднемассовой скорости по направлениям х и у; V2p,, T0T (T0 = V2/cp) – давление, плотность и температура;,, cpcp, – коэффициент вязкости, коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость при постоянном давлении и отношение теплоёмкостей (показатель адиабаты); Pr — число Прандтля; V – модуль вектора скорости набегающего потока; r = rw+ycos – расстояние от точки с координатами (x, y) до оси (плоскости) симметрии тела; угол между касательной к поверхности и осью (плоскостью) симметрии тела; H1=1+y – коэффициент Ламе;

rw(x), (x), R(x)=1/(x) контур поверхности обтекаемого тела, его кривизна и радиус кривизны; - угол наклона контура тела к оси (плоскости) симметрии течения; = 0 и 1 для плоского и осесимметричного течения соответственно. Все линейные размеры отнесены к радиусу кривизны R0=R(0) в критической точке. Индексы, w относятся к параметрам в набегающем потоке и на поверхности тела.

Рисунок 5.1 Картина обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа При отсутствии вдува, скольжения и скачка температуры граничные условия для газодинамических переменных u, v, T, p, pw следующие:

в невозмущённом потоке (y ) на поверхности тела (y = 0) Первое граничное условие (5.9) соответствует случаю заданной температуры обтекаемой поверхности, второе условие – теплоизолированной поверхности.

5.2.1 Расщепление продольного градиента давления Из характеристического анализа системы уравнений ПУНС следует, что продольный градиент давления может быть расщеплен следующим образом:

где pw(x) - распределение давления на поверхности обтекаемого тела (=0); весовая функция определяется формулой и изменяется от нуля при Mx 1 до единицы при Mx 1, где Mx = u/a – число Маха, построенное по продольной компоненте вектора скорости, a – локальная скорость звука. В формулах (5.10), (5.11) гиперболическая составляющая (с индексом “h”) градиента давления отвечает за распространение акустических возмущений вниз по потоку, эллиптическая (с индексом “e”) - вверх по потоку. Из формулы (5.11) следует, что второй член в правой части формулы Vigneron et.al.

в свою очередь, может быть расщеплён на гиперболическую и эллиптическую составляющие. В отличие от (5.13) в расщеплении (5.11) гиперболическая часть градиента давления является его основной составляющей для течений с низкими числами Маха (M2 1). В то же время, для этих течений гиперболическая часть градиента давления в расщеплении (5.13) пренебрежимо мала. В свете сказанного, трёхчленное расщепление (5.11) можно рассматривать как более детальное по сравнению с (5.13) разложение градиента давления на гиперболическую и эллиптическую составляющие.

При формальном предельном переходе в формуле (5.11) от двумерного течения к одномерному ( p 1, p pw) получается очевидный результат:

т.е. одномерные уравнения газовой динамики можно интегрировать маршевым методом по продольной координате x при любых положительных скоростях потока. Такой результат не получается при аналогичном предельном переходе в формуле (5.13).

Если p x 0, то поле давление описывается функцией с разделёнными независимыми переменными (x, y):

Таким образом, производная p в (5.11), ответственная за эллиптическую передачу информации против потока через дозвуковые зоны течения, характеризует степень отклонения поля давления от функциональной зависимости с разделением переменных x и y (5.14).

5.2.2 Параболо-гиперболическое приближение ПУНС Если в выражении (5.11) отбросить эллиптическую составляющую продольного градиента давления, т.е. взять следующее приближение для продольного градиента давления в уравнении (5.2):

то система уравнений (5.1), (5.3), (5.5), (5.6) вместе с преобразованным уравнением продольного импульса будет иметь параболо-гиперболический тип. Это можно получить, выполнив характеристический анализ системы в пределе невязкого ( Re ) и вязкого ( Re 0 ) течений. Соответственно назовём эту систему уравнений параболо-гиперболическим приближением (ПГП) ПУНС.

Неизвестная функция pw(x) определяется из тривиального уравнения с граничным условием Система уравнений ПУНС имеет особенность на оси симметрии x = 0. Чтобы разрешить эту особенность, вводятся растянутая в окрестности оси симметрии продольная координата и нормированная продольная скорость Уравнения (5.1), (5.3), (5.5) и (5.16) в новых переменных, u примут вид Здесь черта над символом u опущена. Координата совпадает с цилиндрической координатой z в осесимметричном случае (=1).

На линии (плоскости) симметрии течения = 0 ( = /2) весовая функция = 0 и коэффициент уравнений g = 0, а система дифференциальных уравнений парабологиперболического приближения с частными производными (5.21) –(5.24) вырождается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) по поперечной переменной y с единственным неизвестным свободным параметром При этом неизвестная функция pw в уравнении (5.26) определяется из уравнения (5.17).

Плотность исключается из уравнений (5.25)-(5.28) с помощью уравнения состояния (5.6).

Значение параметра определяется из картины ветвления (бифуркации) интегральных кривых, соответствующих его различным значениям, в трансзвуковой области течения вниз по потоку от линии (плоскости) симметрии течения. Бифуркация численных решений проявляется как плохая обусловленность решений от параметра в трансзвуковой области течения. Искомому значению будет соответствовать единственное решение, которое описывает течение, переходящее от дозвукового вблизи передней затупленной части тела к существенно сверхзвуковому течению вниз по потоку. Это бифуркационное значение параметра * можно определить по методике работы [17], например, используя принцип минимальной длины [18].

5.2.3 Оценочное значение параметра.

Приближенное решение задачи обтекания на линии (плоскости) симметрии течения можно получить, используя оценочное значение параметра (5.29). Оценку для параметра можно получить, например, из формулы давления Ньютона для гиперзвукового обтекания [19] Дифференцируя выражение (5.27) и полагая (0)=1, получим Рассмотрим результаты применения метода ГИ для расчёта сверхзвукового обтекания в простейшем случае расщепления (5.11), когда константа = 0. В этом случае расщепление имеет следующий вид:

5.3.1 Сходимость глобальных итераций На рис. 5.2-5.4 показана сходимость метода ГИ с расщеплением (5.31) на примере расчёта сверхзвукового обтекания охлаждённой сферы потоком воздуха, при этом объёмная вязкость не учитывается. Параметры потока взяты следующие: M=8, Re=90, =1.4, Pr=0.71, =0.75, Tw=0.3. На графиках этих рисунков ординатой является угол - сферическая координата, отсчитываемая от линии симметрии течения. В случае обтекания сферы = x. Цифры около кривых указывают номер ГИ, нулевому номеру соответствует парабологиперболическое приближение.

Рисунок 5.2 Сходимость глобальных итераций. Распределения продольного градиента давления вдоль обтекаемой сферы. M=8, Re=90, =1.4, Pr=0.71, =0.75, Tw=0.3.

Рисунок 5.3 Сходимость глобальных итераций. Профили давления в двух сечениях x = const около поверхности сферы: (a) = 0, (b) = 45. M=8, Re=90, =1.4, Pr=0.71, =0.75, Рисунок 5.4 Сходимость глобальных итераций. Профили плотности в двух сечениях x = const около поверхности сферы: (a) = 0, (b) = 45. M=8, Re=90, =1.4, Pr=0.71, =0.75, На графике (Рисунок 5.2) показана сходимость продольного градиента давления на поверхности сферы в процессе ГИ, пятая ГИ графически совпадает с четвертой ГИ. Таким образом, метод ГИ с расщеплением (5.31) требует для сходимости, по крайней мере, в три раза меньше ГИ, чем метод ГИ, предложенный в работе [41]. При этом продольный градиент давление сходится медленнее остальных параметров, и остальные величины сходятся быстрее.

На рис. 5.3, 5.4 показаны профили давления и плотности в сечениях = 0 и = ударного слоя около охлаждаемой сферы. Видно, для расчёта распределений газодинамических величин на оси симметрии течения ( = 0) требуется 1-2 ГИ, а для расчёта этих распределений в сечении = 45- 3-4 ГИ.

5.3.2 Влияние объёмной вязкости Влияние к.о.в. будет тем больше, чем меньше число Рейнольдса (в частности в разреженном газе). В работе приведены расчёты для параметров набегающего потока M=8, Re=90, =1.4, Pr=0.71, =0.75, Tw=0.3.

Влияние объёмной вязкости на распределения давления и плотности в ударном слое около охлаждаемой сферы показано на рис. 5.5 и 5.6. Из рис. 5.5. видно, что объёмная вязкость приводит к увеличению толщины ударной волны.

Рисунок 5.5 Влияние объёмной вязкости. Профили давления в двух сечениях кривые показывают профили, рассчитанные без учёта объёмной вязкости, штриховые кривые – с учётом. M=8, Re=90, =1.4, Pr=0.71, =0.75, Tw=0.3.

Рисунок 5.6 Влияние объёмной вязкости. Профили плотности в двух сечениях кривые показывают профили, рассчитанные без учёта объёмной вязкости, штриховые кривые – с учётом. M=8, Re=90, =1.4, Pr=0.71, =0.75, Tw=0.3.

На графике (Рисунок 5.7) показано влияние объёмной вязкости на коэффициент теплопередачи. Видно, что учёт в расчётах объёмной вязкости приводит к увеличению коэффициент теплопередачи. Например, в области максимальной теплопередачи вблизи точки торможения потока это увеличение равно 4 % для Re 90, и 11% для Re 18. Расчёты также показали, что влияние объёмной вязкости на коэффициент вязкого трения пренебрежимо мало.

Рисунок 5.7 Влияние объёмной вязкости. Распределения коэффициента теплопередачи вдоль обтекаемой сферы. Сплошная кривая показывает профиль, рассчитанный без учёта объёмной вязкости, штриховая кривая – с учётом. M=8,, =1.4, Pr=0.71, =0.75, На рисунке (Рисунок 5.8) приведена толщина УВ при обтекании сферы (маркеры) и толщина одномерной волны, рассчитанная с использованием формулы (3.12), которая хорошо совпадает с экспериментом.

Расчёты выполнены для случая теплоизолированной сферы. Толщина УВ определялась по распределению температуры на оси симметрии сферы по формуле (4.5) с заменой плотности на температуру, т.е. как разность между абсциссами красных точек на графике (Рисунок 5.9).

Видно, что при малых числах Кнудсена (больших Рейнольдсах Re 450 ) (кружки) толщина УВ вокруг сферы приближается к толщине одномерной УВ. При этом толщина, полученная без учёта к.о.в., дальше от одномерной экспериментальной кривой.

Для бльшего значения числа Кнудсена ( Re 90 ) толщина УВ для сферы, рассчитанная с учетом к.о.в., немного отличается от «одномерной толщины», но также видно, что расчёт без учёта к.о.в. даёт для сферы сильно заниженное значение толщины. Относительное различие составляет 20%.

Таким образом, одномерные результаты переносятся и на обтекание затупленных тел:

при малых числах Кундсена, учёт к.о.в. увеличивает толщину скачка и позволяет лучше описать область ударной волны.

Рисунок 5.8 Зависимость обратной толщины ударной волны от числа Маха. Пунктирная кривая - одномерный расчёт с использованием формулы (3.12) (совпадает с экспериментом), символы – расчёт обтекания сферы.

Рисунок 5.9 Определение толщины УВ по распределению температуры на линии симметрии теплоизолированной сферы.

Сформулируем основные выводы из данной работы:

Учёт объёмной вязкости позволяет учитывать неравновесное возбуждение внутренних степеней свободы без усложнения уравнений модели, т.к. необходимо добавить один скалярный коэффициент в выражение для тензора напряжений.

К.о.в. многоатомных газов может значительно превышать коэффициент сдвиговой вязкости, и может по-разному зависеть от температуры.

Учёт к.о.в. в задаче об одномерном скачке позволяет получить хорошее согласие с экспериментальными данными по профилям скорости и толщине УВ в широком диапазоне чисел Маха для азота.

Построенный метод ГИ позволяет быстро получать решение плоской задачи в рамках модели ПУНС с хорошей точностью, и превосходит предложенные ранее В задачах сверхзвукового обтекания затупленных тел влияние к.о.в. сказывается при сильной разреженности. Учёт к.о.в. приводит к более точному описанию области УВ вокруг обтекаемого тела, а также к увеличению тепловых потоков, особенно в области оси симметрии.

Основные результаты данной работы:

Изучена литература, касающаяся к.о.в. и различных моделей, учитывающих релаксацию внутренних степеней свободы.

Получены строгие формулы для к.о.в для двухатомных газов с вращательными степенями свободы.

Проведена серия расчётов задачи об одномерной ударной волне; при использовании предложенных формул для к.о.в. получено хорошее согласие с экспериментом для азота в широком диапазоне чисел Маха.

Разработан эффективный метод ГИ для решения двумерных задач обтекания затупленных тел, расчёты показали быструю сходимость метода.

Выполнены расчёты обтекания сферы с учётом к.о.в., выяснена область влияния к.о.в.. Продемонстрирована необходимость учёта к.о.в. в задачах гиперзвукового обтекания затупленных тел для более точного описания области УВ и правильного предсказания тепловых потоков.

Результаты работы опубликованы в тезисах доклада на конференциях [21,22] Список использованных источников 1. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Гидродинамика. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц // М.: Наука, 1986. - 736 с. (т. VI) 2. Stokes, G. G. On the Theories of the Internal Friction of Fluids in Motion, and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids / G.G. Stokes // Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 8, No. 22, 1845, pp. 287–342.

3. Chapman, S. Mathematical Theory of Non-Uniform Gases / S. Chapman, T. G. Cowling // Cambridge U.P., London, 1960.

4. Tisza, L. Supersonic Absorption and Stokes' Viscosity Relation / L.Tisza // Phys. Rev.

61, 531–536, 5. Гиршфельдер, Дж. Молекулярная теория газов и жидкостей / Дж. Гиршфельдер Ч. Кертисс, Р. Берд // М.: Изд-во Ин. лит., 1961. – 929 с.

6. Жданов, В.М. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах / В.М.

Жданов, М.Я. Алиевский // М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989, 335 с 7. Нагнибеда, Е.А. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов / Е.А. Нагнибеда, Е.В. Кустова // СПб.:

Издательство С.-Петербургского университета, 2003.-272 с.

8. Cramer, M. S. Numerical estimates for the bulk viscosity of ideal gases / M. S. Cramer // Phys. Fluids 24, 066102, 9. Bruno, D. Relaxation of internal temperature and volume viscosity / D. Bruno and V.

Giovangigli // Phys. Fluids 23, 093104, 10. Elizarova, T.G. Numerical simulation of shock wave structure in nitrogen / T. G. Elizarova, A. A. Khokhlov, and S. Montero // Phys. Fluids 19, 068102 (2007) 11. Thomas, L. H. Note on Becker's Theory of the Shock Front / L. H. Thomas // J. Chem.

Phys. 12, 449 (1944) 12. Emanuel, G. Linear dependence of the bulk viscosity on shock wave thickness / G.

Emanuel, B. M. Argrow 13. Галкин, В.С., К теории объёмной вязкости и релаксационного давления / Галкин В.С., Русаков С.В. // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 6. С. 1051- 14. Rykov, V. A., Shock wave structure in a diatomic gas based on a kinetic model / V. A.

Rykov, V. A. Titarev, E. M. Shakhov // Fluid Dynamics, April 2008, Volume 43, Issue 2, pp 316- 15. Alsmeyer, H. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam / H. Alsmeyer // J. Fluid. Mech. (1976), vol. 74, part 3, pp. 497- 16. В.А. Алексин, А.А. Марков, Б.В. Рогов, Г.А. Тирский. Упрощенные газодинамические модели вязких внутренних и внешних задач аэродинамики. // Энциклопедия низкотемпературной плазмы, ред. В.Е. Фортов; том VII-1, ред. Ю.П. Попов;

Часть 2, раздел VII, глава 10, C.333-370. Москва: Янус-К, 2008.

17. Б.В. Рогов. Численный метод решения уравнений вязкого ударного слоя в широком диапазоне чисел Рейнольдса. // В кн.: Гиперзвуковая динамика и тепломассообмен спускаемых космических аппаратов и планетных зондов. Под ред. Г.А.

Тирского. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. -548 С.

18. Б.В. Рогов. Метод минимальной длины для течений с трансзвуковой бифуркацией // Доклады РАН. 2001. Т.381. № 1. С.23-26.

19. Чёрный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.

20. Ю.В. Глазков, Г.А. Тирский, В.Г. Щербак. Метод решения параболизованных уравнений Навье–Стокса с использованием глобальных итераций // Математическое моделирование. 1990. Т.2. № 8. C. 31–41.

21. Чикиткин А.В., Эффект объемной вязкости в задаче о структуре фронта ударной волны / А.В. Чикиткин, Г.А. Тирский // Научная конференция «Ломоносовские чтения» МГУ, М. – 22. Рогов Б.В., Эффект объёмной вязкости в иерархии асимптотически упрощённых уравнений Навье-Стокса / Б.В. Рогов, Г.А. Тирский, А.В. Чикиткин // Международная конференция «Разностные схемы и их приложения», ИПМ РАН, М. -

 
Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) Институт Физических Проблем РАН им П.Л.Капицы Факультет общей и прикладной физики Кафедра физики и техники низких температур Шалашугина Елена Андреевна Исследование квазидвумерного графита методом сканирующей туннельной микроскопии Магистерская диссертация Направление...»

«СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЭЛЕКТРОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИКИ ЖИДКОСТЕЙ Члены оргкомитета Modern Problems of Electrophysics and Electrohydrodynamics of Liquids (MPEEL) 5 Апфельбаум М.С. – в.н.с., к.ф.-м.н., ИТЭC РАН, Москва, Россия. 6. Болога М.К. – акад. АН Молдовы, д.ф-м.н., ИПФ АН М., IX Международная научная конференция Кишинев, Молдова. Санкт-Петербург, Россия 7. Ватажин А.Б. – проф., д.ф.-м.н., ЦИАМ, Москва, Россия. 22 июня - 26 июня 2009 года 8. Жакин А.И. – проф., д.ф.-м.н., КГТУ, Курск,...»

«РАБОЧАЯ ПРОГРАММА курса Окружающий мир Начальная школа 1 - 4 классы Составлена программа на основе базовых программ 1-2 классы: Окружающий мир авторы: В.И. Сивоглазов, Е.В.Саплина, А.И.Саплин. 3-4 классы: Окружающий мир автор А.А.Плешаков. Составители: Новоселова С.Н. Леонтьева А.А. Москва, 2013 СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ 1. Пояснительная записка. 2. Требования к уровню подготовки учащихся, оканчивающих начальную школу. 3. Содержание курса 1 класса. 4. Календарно-тематическое планирование 1 класс. 5....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕРСПЕКТИВНЫХ МАТЕРИАЛОВ И ТЕХНОЛОГИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ТРУДЫ XXI МЕЖДУНАРОДНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ РАДИАЦИОННАЯ ФИЗИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА (Севастополь, 22-27 августа 2011 г.) под редакцией заслуженного деятеля наук и РФ, д.ф.-м.н., проф. Бондаренко Г.Г. Том Москва - УДК 669. ББК 22. Р ISBN...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра физико-химической технологии защиты биосферы Одобрена: Утверждаю кафедрой ФХТЗБ декан ИЭФ протокол № от _ 2012 г. Зав. кафедрой _Липунов И.Н. Вураско А.В. ''''2012 г. Методической комиссией факультета протокол от 2012 г. № Председатель Первова И.Г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС СД.02 Экологический мониторинг Специальность 280201 Охрана окружающей среды и рациональное использование...»

«ФИЗИКА ПЛАЗМЫ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ Восьмая Ежегодная Конференция Физика Плазмы в Солнечной Системе 4 - 8 февраля 2013 г., ИКИ РАН ПРОГРАММА ПОНЕДЕЛЬНИК, 4 ФЕВРАЛЯ 2013 г. 09.00-20.00 09.00- Регистрация. Фойе конференц-зала ИКИ РАН. 09.20-09.30 Открытие конференции. Конференц-зал ИКИ РАН. СЕКЦИЯ СОЛНЦЕ. Конференц-зал ИКИ РАН Председатель: Наговицын Ю.А. 09.30 – 09.45 Ишков В.Н. Текущий момент развития солнечной активности. 09.45 – 10.00 Стожков Ю.И., Базилевская Г.А., Махмутов В.С., Свиржевская...»

«ПРОГРАММА развития федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический университет на 2011 - 2020 годы I. Основные предпосылки и обоснование создания программы развития, характеристика приоритетных направлений развития университета Ивановский государственный химико–технологический университет (далее университет, ИГХТУ) – многопрофильное высшее учебное заведение с высоким кадровым потенциалом...»

«Учреждение образования Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка УТВЕРЖДАЮ Ректор учреждения образования Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка П.Д. Кухарчик _2013 г. Регистрационный № УД – /уч. ФИЗИКА, ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ФИЗИКЕ Программа государственного экзамена для специальностей: 1 – 02 05 04 – 01 Физика. Математика 1 – 02 05 04 – 02 Физика. Информатика 1 – 02 05 04 – 04 Физика. Техническое творчество 2013 г....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет УТВЕРЖДАЮ: Ректор _ В. А. Волчек _ 2014 г. Основная образовательная программа высшего образования Направление подготовки 03.03.02/011200 Физика Направленность (профиль) подготовки Преподавание физики Квалификация (степень) бакалавр Форма обучения очная Кемерово СОДЕРЖАНИЕ 1. Общая характеристика...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В. СКОБЕЛЬЦЫНА ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ ХХXIX международной конференции ПО ФИЗИКЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С КРИСТАЛЛАМИ (Москва 26 мая – 28 мая 2009 г.) Москва 2009 УДК 539.1.01.08 ББК 22.37. Т29 Под общей редакцией проф.А.Ф. Тулинова Редколлегия: В.С. Куликаускас, Г.П. Похил., Е.С. Машкова, В.С. Черныш, Ю.А. Ермаков Т29 Тезисы докладов ХХXIX международной конференции по физике...»

«1 Программа научно-практической конференции Уральская школа российской элиты 10.00 – 11.00 Регистрация участников (Муравейник, Пушкина, 76) 11.00 – 13.00 Пленарное заседание Одинцова Галина Анатольевна, учитель математики ФМШ № 9 им. А.С. Пушкина, Заслуженный учитель Российской Федерации. Работа с одарнными школьниками: проблемы и традиции Ежова Татьяна Фдоровна, и.о. начальника департамента образования администрации г. Перми. Пермская отрасль Образование в 2008-2009 учебном году Голубицкая...»

«Министерство образования Российской Федерации Московский физико - технический институт ( государственный университет) ПРОГРАММА ОСНОВ ХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (ОХФ) (полное название дисциплины в соответствии с учебным планом) по направлению 511600 Прикладные математика и физика факультет _Молекулярной и биологической физики _ (полное наименование факультета) кафедра _Молекулярной физики _ (полное наименование кафедры) экзамен, _ _ курс _2 – 3 _ (семестр) семестр_,, зачет (с оценкой)_, (семестр)...»

«Программа дисциплины Новейшие отложения Севера Автор: доц. И.Д. Стрелецкая Цель освоения дисциплины: дать общие и специальные знания о закономерностях формирования четвертичных мерзлых пород и подземных льдов Севера в пространстве и времени, особенностях накопления отложений при глобальных и региональных изменениях климата, колебаниях уровня океана в конце кайнозоя. Задачи - формирование у студентов современных представлений и приобретение новых знаний: - о распространении новейших отложений в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УТВЕРЖДАЮ Заместитель Министра образования Российской Федерации _В.Д.Шадриков “17”032000г. Номер государственной регистрации 177ен/маг ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Направление 510400 Физика Степень - магистр физики Вводится с момента утверждения МОСКВА 1.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НАПРАВЛЕНИЯ 510400 ФИЗИКА 1.1 Направление 510400 Физика утверждено приказом Министерства образования Российской Федерации от...»

«Национальный реестр правовых актов Республики Беларусь (электронная версия), 2012 г., № 20, 7/1679 ПРИКАЗ ВЫСШ ЕЙ АТТ ЕСТ АЦИОНН ОЙ КОМИСС ИИ РЕСП УБЛИКИ БЕ ЛАРУС Ь 13 декабря 2011 г. № 241 7/1679 О программах-минимум кандидатских экзаменов 7/1679 (04.01.2012) На основании решений коллегии Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 16 ноября 2011 г. № 19/11 и от 30 ноября 2011 г. № 20/11 п р и к а з ы в а ю: 1. Утвердить программы-минимум кандидатских экзаменов по специальностям:...»

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Рабочая программа по химии составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта общего образования, за основу рабочей программы взята программа курса химии для 8-11 классов общеобразовательных учреждений, рекомендованная Департаментом образовательных программ и стандартов общего образования Министерства образования РФ(О.С.Габриелян Программа курса химии для 8-11 классов общеобразовательных учреждений – 6-е издание, стереотипное – М.: Дрофа,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный педагогический университет Институт физики и технологии Кафедра общей физики и естествознания РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по дисциплине Элементарная физика для направления 050200.62 – Физико-математическое образование Профиль Физика по циклу ЕН.В.01 (2) –Общие математические и естественнонаучные дисциплины (Дисциплины и курсы по выбору...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан физического факультета А. С. Чирцов _ 20 г. (подпись) Принята на заседании кафедры Квантовых магнитных явлений Протокол № 42 от 25 июня Заведующий кафедрой, профессор В. И. Чижик РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ СПЕКТРОВ ЯМР Программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования для магистратуры по...»

«АНО ВПО ЦС РФ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ ФАКУЛЬТЕТ ТОРГОВЛИ И РЕСТОРАННОГО БИЗНЕСА КАФЕДРА ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН И СЕРВИСА УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _ проф. Капица Г.П. 16 июня 2008 г. УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ФИЗИКА специальность 230201.65 Информационные системы и технологии Москва 2008 Лебедева А.Л. Физика: Учебная программа. - М.: Российский университет кооперации, 2008. - 20 с. Учебная программа по дисциплине Физика (цикл общих математических и естественнонаучных...»

«Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Факультет государственного управления совместно с Фондом Русский мир Х Международная конференция Государственное управление в 21 веке: повестка дня российской власти 29 – 31 мая 2012 г. Программа Москва – 2012 0 Организационный комитет: Садовничий В.А., академик РАН, доктор физико-математических наук, ректор МГУ имени М.В. Ломоносова (председатель) Никонов В.А., профессор, доктор исторических наук, декан факультета государственного...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.