WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«УТВЕРЖДАЮ Декан физико-технического факультета Б.Б. Педько 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине ОБЩАЯ ФИЗИКА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ для студентов 2 ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тверской государственный университет»

УТВЕРЖДАЮ

Декан физико-технического факультета

Б.Б. Педько

2012 г.

Учебно-методический комплекс по дисциплине

ОБЩАЯ ФИЗИКА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

для студентов 2 курса очной формы обучения направления 010700.62 Физика, специальностей 010801.65 Радиофизика и электроника, 010704.65 Физика конденсированного состояния вещества Обсуждено на заседании Составитель:

кафедры общей физики к.ф.-м.н., доцент «» 2012 г., А.Р. Новоселов протокол № _ Зав. кафедрой д.х.н., профессор _Ю.Д. Орлов Тверь

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1.

Требования ГОС ВПО 1.1.

Курс «Электричество и магнетизм» является составной частью курса общей физики - основного в общей системе современной подготовки физиков - профессионалов. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта Высшего профессионального образования к подготовке студентов. направления 010700.62 «Физика», специальностей 010801.65 «Радиофизика» и электроника,010704.65 «Физика конденсированного состояния вещества Главной задачей курса является создание фундаментальной базы знаний, на основе которой в дальнейшем можно развивать более углубленное и детализированное изучение всех разделов физики в рамках цикла курсов по теоретической физике и специальных курсов.

(ГОС ВПО 172 ен/сп, Пр.№ 686 от 02.08.2000).

Цели и задачи курса 1.2.

Курс является важной составной частью курса общей физики. Задача курса познакомить студентов с функциональными закономерностями в области электромагнитных явлений. Особое внимание уделено экспериментальному обоснованию основных законов, а также различным вариантам их математического описания. Студенты знакомятся с физическими основами электротехники и радиоэлектроники, на практических занятиях проводят расчеты линейных и нелинейных электрических цепей постоянного и переменного тока, движения частиц в электромагнитных полях различной конфигурации.





Исходя из поставленной цели вытекают следующие задачи курса электричества и магнетизма: 1) Научить применять теоретический материал к анализу конкретных физических ситуаций. 2) решать практические количественные и качественные задачи по основным разделам.

Место дисциплины в структуре подготовки специалиста 1.3.

Е.Н.Ф.01.3-электрическтво и магнетизм. В учебном плане: направление «Физика». Е.Н.Ф.1.3- электричество и магнетизм.

010700.62 Специальность 010801.65 – «Радиофизика и электроника», специальность 010704.65 – «Физика конденсированного состояния вещества» ( 2 курс, 3-ой семестр, 18 уч. недель, 3 часа в неделю -лекции, 3 часа в неделю практических занятия).

Знания, умения, и навыки, приобретаемые в результате 1.4.

изучения дисциплины Успешной реализации поставленной цели и вытекающих из нее задач способствует развитие у студентов целого комплекса общеучебных и специальных знаний, умений и навыков. А именно, студенты должны:

1. Приводить примеры опытов, обосновывающих научные представления и законы, или примеры опытов, позволяющих проверить законы и их следствия.

2. Объяснять физические явления.

3. Применять законы физики для анализа процессов на качественном уровне.

4. Применять законы физики для анализа процессов на количественном уровне.

5. Указывать границы (область, условий) применимости научных моделей, законов и теорий.

6. решать количественные и качественные задачи, используя сведения, полученные из графиков, таблиц, схем.

Контрольные работы.

Контрольные тестовые задания.

Итоговый контроль – экзамен.

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА КУРСА

Электростатика. Проводники в электростатическом поле. Диэлектрики в электростатическом поле. Постоянный электрический ток. Механизмы электропроводности. Контактные явления. Магнетики. Объяснение диамагнетизма. Объяснение парамагнетизма по Ланжевену. Ферромагнетики и их основные свойства. Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля. Электромагнитные колебания. Переменный ток. Технические применения переменного тока. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Излучение электромагнитных волн.

ФКСВ)

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

Распределение часов по темам и видам учебных занятий Наименование разделов и тем напряженности электрического поля.

Принцип суперпозиции электрических полей. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема поля. Потенциал. Нормировка потенциала. Связь потенциала с электростатического поля. Циркуляция электростатического поля. Теорема о циркуляции и е представление в дифференциальной форме. Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики. Роль граничных условий. Электрический диполь. Поле диполя. Силы действующие на диполь в электрическом поле.Энергия системы взаимодействия и собственная энергия.

Энергия электростатического поля и е объемная плотность. Энергия электрического диполя во внешнем поле.

Проводники в электростатическом поле.Напряженность поля у поверхности и внутри проводника.





Распределение заряда по поверхности 8 проводника. Электростатическая защита. Измерение потенциала проводника. Эквипотенциальные поверхности. Метод зеркальных изображений.

Связь между зарядом и потенциалом проводника. Электромкость.

Конденсаторы. Ёмкость плоского, сферического и цилиндричкского конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора. Силы действующие на проводники в электрическом поле.

Диэлектрики в электростатическом поляризации. Свободные и связанные заряды. Связь вектора поляризации со связанными зарядами. Вектор Диэлектрическая проницаемость и диэлектрическая восприимчивость вещества. Материальное уравнение для векторов электрического поля.

Понятие о тензоре диэлектрической проницаемости.Теорема Остроградского - Гаусса в присутствии диэлектриков. Е дифференциальная форма. Граничные условия для векторов поляризации напряженности и индукции электрического поля.

Преломление линий поляризации, напряженности и индукции на границе двух диэлектриков. Принципиальные методы измерения напряженности и индукции электрического поля в однородном диэлектрике.Энергия электрическом поле и методы их вычисления. Связь пондеромоторных сил с энергией электрических зарядов.

Электронная теория поляризации диэлектриков. Локальное поле.

Неполярные диэлектрики. Формула Клаузиуса - Мосотти. Полярные диэлектрики. Функция Ланжевена.

Поляризация ионных кристаллов.

Электрические свойства кристаллов.

Пироэлектрики. Пьезоэлектрики.

Прямой и обратный пьезоэффект и его применение. Сегнетоэлектрики.

сегнетоэлектриков. Гистерезис. Точка Кюри сегнетоэлектрика. Применение сегнетоэлектриков.

Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока.

Постоянный электрический ток.Сила и плотность тока. Линии тока. Электрическое поле в проводнике с током и его источники.

Уравнение непрерывности. Условие стационарности тока. Электрическое напряжение. Закон Ома для участка цепи. Электросопротивление.

Удельная электропроводность вещества. Дифференциальная форма закона Ома.

Работа и мощность тока. Закон Джоуля -Ленца и его дифференциальная форма. Сторонние силы. ЭДС. Закон Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Токи в сплошных средах.

Заземление.

Механизмы электропроводности.Проводники.

Основные положения классической электронной теории проводимости Друде-Ленца. Опыты Толмена и Стюарта. Законы Ома и Джоуля-Ленца в классической теории. Закон Видемана-Франца. Трудности классической теории.

Понятие о зонной теории твердых тел.

формирование энергетических зон.

Принцип Паули. Статистика ФермиДирака. Полупроводники.

Особенности зонной структуры диэлектриков, полупроводников и металлов.Собственная и примесная проводимость полупроводников.

Полупроводники p и n типа. P - n полупроводников: полупроводниковые диоды, транзисторы, фотодиоды, фоторезисторы.

Контактные явления.Контактная Термоэлектричество.

Термоэлектродвижущая сила.

Термопары. Эффект Пельтье. Явление Томсона. Сверхпроводимость.

Основные свойства сверхпроводников.

Эффект Мейснера, критическое магнитное поле. Применение сверхпроводников.Электролиты. Закон Фарадея.Токи в газах. Основные типы газового разряда. Плазменное Электропроводность плазмы.

Электрический ток в вакууме.

Электронная эмиссия Классификация магнетиков:

диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Магнетики.Понятие о молекулярных токах. Вектор намагниченности и его связь с молекулярными токами. Вектор напряженности магнитного поля.

Магнитная проницаемость и магнитная восприимчивость вещества.

Материальное уравнение для векторов магнитного поля. Понятие о тензоре магнитной проницаемости.

Граничные условия для векторов магнитного поля. Магнитное поле в полостях в однородном магнетике.

Принципиальные методы измерения магнитного поля в магнетиках.

Объяснение диамагнетизма.Диамагнетики в однородном магнитном поле. Вектор намагниченности вещества.

Объяснение парамагнетизма по Ланжевену.Парамагнитные вещества в однородном магнитном поле. Расчет парамагнитной восприимчивости парамагнитных газов. Закон Кюри.

Объяснение парамагнетизма по Ланжевену. Гиромагнитное отношение. Опыты Эйнштейна-деГааза. Опыт Барнетта.

Ферромагнетики и их основные свойства.Ферромагнетики. Доменная намагничивания. Кривая Столетова.

Остаточная индукция и коэрцитивная.

Температурная зависимость намагниченности. Точка Кюри. Силы действующие на магнетики в магнитном поле. Магнитные материалы и их применение.

Электромагнитная индукция.Закон электромагнитной индукции Фарадея и дифференциальной форме. Правило Ленца. Индукционные методы измерения магнитных полей. Токи Фуко.

Энергия магнитного поля.Магнитная энергия контура с током. Магнитная энергия совокупности контуров с током. Энергия магнитного поля. Е объемная плотность. Энергия магнитного поля в веществе Электромагнитные колебания.Квазистационарные поля.

Критерии квазистационарности.

Переходные процессы в RC и LC цепях.

Колебательный контур. Собственные колебания в контуре. Уравнение гармонических колебаний. Энергия запасенная в контуре. Затухающие колебания в контуре и их уравнение.

Показатель затухания. Время релаксации. Логарифмический декремент затухания. Добротность контура.

Вынужденные колебания в контуре.

Резонанс. Ширина резонансной кривой и е связь с добротностью контура.

Процесс установления вынужденных колебаний.

Колебания в связанных контурах.

Парциальные колебания и их частоты.

Нормальные колебания (моды) и их частоты.

Переменный ток.Работа и мощность переменного тока. Эффективные напряжения.Квазистационарные токи.

Методы комплексных амплитуд и векторных диаграмм. Активное, сопротивление. Закон Ома для цепей переменного тока.

Резонанс напряжений. Резонанс токов.

Правила Кирхгофа для цепей переменного тока.

переменного тока. Техническое использование переменных токов.

Генераторы и электродвигатели.

вращающегося магнитного поля.

Соединение обмоток генератора "звездой" и "треугольником". Фазное и линейное напряжение. Трансформатор.

Принцип действия, применение.

Коэффициент трансформации. Роль сердечника.Высокочастотные токи.

Скин-эффект. Толщина скин-слоя.

интегральной и дифференциальной форме. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Волновое уравнение.

Электромагнитные волны. Скорость их распространения. Поперечность электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга. Закон сохранения энергии электромагнитного поля.

Вибратор Герца.

Излучение электромагнитных волн.

Плоские электромагнитные волны в вакууме. Плотность потока энергии электромагнитной волны Векторы поля волны и соотношения между ними. Фазоваяскорость.

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПОДГОТОВКЕ К

ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

1. Изучить рекомендуемую литературу.

2. Прорешать задачи, разобранные в конспекте.

3. Разобрать задачи, рекомендованные преподавателем для самостоятельного решения.

4. Обсудить проблемы, возникшие при решении задач с преподавателем.

5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Виды предлагаемой самостоятельной работы 5.1.

1. Решение задач.

2. Самостоятельное изучение отдельных тем по курсу.

Методика решения задач по разделам 5.2.

Сила, с которой точечный заряд q действует на точечный заряд q’, отстоящий на расстоянии r, определяется выражением:

где e r - единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющий заряды; диэлектрическая проницаемость среды, показывающая, во сколько раз электростатическое взаимодействие в среде слабее, чем в вакууме; электрическая постоянная 0=8,85 10-12Ф/м.

Из опыта известно, что силы взаимодействия любой пары зарядов не зависят от наличия других зарядов, входящих в систему. Этот факт лежит в основе принципа суперпозиции, который заключается в том, что сила, действующая на заряд, расположенный в любой точке системы, представляет собой векторную сумму сил взаимодействия этого заряда с каждым зарядом системы в отдельности.

Принцип суперпозиции применяется для расчета сил, действующих между заряженными телами конечных размеров, которые можно представить в виде системы точечных зарядов. Если заряд распределен по объему тела, то заряд элементарного объема равен dq= dV; для поверхностного распределения заряда dq= dS; для линейного распределения заряда dq= dl, где,, - объемная, поверхностная и линейная плотность заряда (Кл/м3, Кл/м2, Кл/м), а dV, dS, dl – элемент объема, поверхности и длины соответственно.

Система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов +q и –q, находящихся на расстоянии l, называется электрическим диполем. Электрический (дипольный ) момент такой системы где l - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.

Задача 1. Два заряженных шарика подвешены на нитях одинаковой длины, образующих угол 2.

Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы при погружении их в керосин ( =2, к=800кг/м3) угол расхождения нитей не изменился?

Решение В случае равновесия шариков в воздухе (рис.1а) на каждый из них действует три силы:

сила тяжести, кулоновская сила и сила натяжения нити.

Угол расхождения нитей определяется из условия откуда При погружении шариков в керосин (рис.1б) кулоновская сила уменьшается в раз и на шарик действует дополнительная сила Архимеда:

Из условия равновесия для этого случая Получаем, что Задача 1. Найти силу и вращающий момент, действующие со стороны заряда Q=1,6 10-9Кл на диполь с дипольным моментом =5 10-12Кл м для двух случаев расположения диполя и заряда (рис. 2а,б). Расстояние между зарядом и центром масс диполя r=10 см, размер диполя l.

Решение результирующая сила определяется как В рассматриваемом случае вращающий момент отсутствует, т.к. сила F не имеет плеча относительно центра масс диполя.

На заряды +q и –q со стороны Q действуют силы F и F, которые следует Результирующая сила, действующая на диполь в данном случае, будет направлена вдоль оси диполя и равна удвоенной силе F :

Вращающий момент, действующий на диполь со стороны заряда, создается парой сил, перпендикулярных к оси диполя:

Задача 1. Найти силу, действующую на точечный заряд Q=10-7 Кл со стороны стержня, равномерно заряженного с линейной плотностью =10-6Кл/м, длиной l=0,2м. Заряд Q расположен на продолжении стержня на расстоянии а=0,1м от его конца.

Решение Разобьем стержень на бесконечно малые элементы dl, несущие заряд dq= dl, каждый из которых можно считать точечным и взаимодействующим с зарядом Q по закону Кулона выражения, учитывая, что все элементарные вектора направлены в одну сторону и dl=dr:

По жесткому кольцу могут свободно перемещаться три шарика, несущие заряды +q1 (на одном шарике) и +q2 (на каждом из двух других). Чему равно отношение зарядов q1 и q2, если при равновесии дуга между зарядами q2 составляет 600?

Решение Так как электрические силы, действующие на каждый из шариков со стороны остальных двух, направлен под углом друг к другу, то их равнодействующая не может быть равна нулю. В таком случае равновесие возможно, если равнодействующая этих сил направлена вдоль радиуса окружности и уравновешивается механической силой реакции кольца. Для этого необходимо, чтобы составляющие электрических сил, направленные вдоль касательной, уравновешивались. Так как заряды второго и третьего шариков одинаковы, то расстояния от них до первого шарика должны быть равны. Обозначим их а.

Рассмотрим силы, действующие на первый шарик. Так как силы F21 и F31 численно равны, то их результирующая направлена по радиусу, и вызвать перемещение не может (рис.1.4).

Рассмотрим силы, действующие на второй шарик (силы F12 и F32). Разложим каждую из них на составляющие по радиусу и по касательной. Условие равновесия F12’=F32’ по условию =600, значит b=R, где R – радиус окружности, а a=2Qsin750=2Rcos 150=2Rcos( /4) F12’=F12cos и F32’=F32cos.

Задачи для самостоятельного решения 1.4 Найти силу взаимодействия двух точечных диполей, если их дипольные моменты P и P 2 направлены вдоль соединяющей их прямой, а расстояние между диполями равно d.

1.5 Найти силу взаимодействия точечного заряда Q и равномерно заряженного с поверхностной плотностью диска радиуса R0. Заряд располагается на оси диска на расстоянии d от его центра.

1.6 В центре равномерно заряженного с линейной плотностью =10-6Кл/м полукольца радиуса R=0,1м находится точечный заряд Q=2 10-8Кл. Определить силу, действующую со стороны полукольца на заряд Q.

1.7 Точечный заряд Q отстоит от заряженной с линейной плотностью нити на расстоянии d. Концы нити и точки нахождения заряда видны под углами и.

Определить силу взаимодействия заряда с нитью и ее направление.

Занятие 2. Напряженность электрического поля в вакууме Одной из основных величин, характеризующих электростатическое поле, является его напряженность E. По определению напряженность поля отдельного точечного заряда есть где r - радиус вектор, проведенный из точечного заряда q в точку наблюдения.

В том случае, если поле создается системой точечных зарядов, то используют принцип суперпозиции, т.е напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, созданных отдельными зарядами. Если поле создается зарядами, распределенными в пространстве, то обобщая (2.1) и используя принцип суперпозиции можно рассчитать компоненты вектора E в точке наблюдения. Интегрирование производится по всему пространству, где имеются заряды. Часто в задачах имеется различная симметрия и интегрирование по (2.1) значительно упрощается.

Очень длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью =2МкКл/м.

Определить напряженность поля в точке, лежащей против конца нити на расстоянии а=20см от нее (рис.2.2).

Для решения этой задачи воспользуемся формулой (2.2). Координаты точки наблюдения известны (0,а,0). Координаты выделенного элементарного заряда – тоже (х,0,0).

Интегрирование производится только по оси Х, в остальном пространстве заряды отсутствуют, тогда:

Суммарное поле найдем по принципу суперпозиции:

Произведем вычисления:

Ey Ex В равномерно заряженной сфере вырезано малое отверстие. Какова напряженность поля в центре отверстия?

Выберем сферическую систему координат так, чтобы ось Z проходила через отверстие.

Разобьем всю сферу на пояски и выберем один из них, заключенный между углами и +d. Тогда его радиус будет Rsin, площадь 2 Rsin Rd и на нм находится заряд dQ=2 R2sin d, где - поверхностная плотность зарядов на сфере. Найдем напряженность поля, создаваемого зарядами пояска в отверстии.

Из симметрии в задаче ясно, что напряженность поля направлена перпендикулярно плоскости пояска или это можно доказать, если рассмотреть поля, создаваемые двумя симметричными элементами на пояске dl и dl’. Видно, что горизонтальные составляющие поля этих элементов взаимно учитываются. Если на элементе dl находится заряд dq, то зарядами пояска будет:

Из рис. 2.3 видно, что r=Rsin ; h=R-Rcos =2Rsin2 2. Таким образом, поле в отверстии, создаваемое зарядами одного пояска будет Суммируя теперь поля, создаваемые всеми поясками, составляющими сферу (все они направлены вдоль по оси Z), получим 1). В вершинах правильного n-угольника со стороной а помещены точечные заряды одинаковой величины q. Найти напряженность поля E в центре при условии, что:

а) знак всех зарядов одинаков б) знаки соседних зарядов противоположны. Исследовать предельные случаи.

2). По тонкому проволочному кольцу радиусом r=60,0мм равномерно распределен заряд q=20.0нКл.

а) Приняв ось кольца за ось X, найти напряженность поля E на оси кольца как функцию б) исследовать случай: х=0 и х r.

в) Определить максимальное значение модуля напряженности E m и координаты Хm точек, в которых оно наблюдается.

3). Очень тонкая пластина имеет форму кольца в внутренним радиусом b. По пластине равномерно распределен заряд q. Приняв ось пластины за ось Х, найти E х на оси пластины как функцию х. Исследовать случай х b.

4). Найти модуль E напряженности поля в центре полусферы радиуса R, заряженной однородно с поверхностной плотностью.

5). По телу объемом V распределен заряд q с плотностью = ( r ); по телу объема V’ распределен другой заряд q’ с плотностью ’= ( r ’). Написать общее выражение для силы F и ее проекций, с которой заряд q’ действует на заряд q.

Рассчитывать напряженность электрического поля, имея заданное распределение зарядов в пространстве, непосредственно по формуле (2.2) довольно утомительно. Однако в некоторых случаях задача существенно облегчается, если использовать основные свойства электростатического поля. К ним относится теорема Гаусса: поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри поверхности, умноженной на 4 :

dS – элементарная площадка на поверхности S (т.е. такая, в пределах которой напряженность электрического поля E остается постоянной по величине и направлению.

E n – проекция вектора E на нормаль n к площади dS. Применение формулы (3.1) основано на том, что в теореме Гаусса фигурирует произвольная поверхность. Значит, если ее выбрать специальным образом, так что En на ней остается постоянным или равняется нулю, то в левой части (3.1) En вынесется за знак интеграла и получится простое произведение En S, где S – площадь нашей выбранной поверхности, на которой En постоянно и отлично от нуля.

Формулу (3.1) можно записать в дифференциальной форме.

- плотность заряда.

Однако надо отметить, что (3.1) более общая запись, чем (3.2). Например. (3.2) не работает для точечных зарядов, если не применять специальные функции.

Определить напряженность поля E внутри и вне безграничного плоского слоя толщины d, в котором равномерно распределен положительный заряд с объемной плотностью.

Из симметрии задачи видно, что все направления в пространстве, кроме перпендикулярного к заряженному слою, должны быть равноправны. Поэтому вектор E направлен перпендикулярно к заряженному слою. Выберем поверхность в виде прямоугольного параллелепипеда, лежащего вне заряженного слоя. Проекция вектора E на боковые грани равна нулю. Поскольку заряженный слой безграничен, то все точки, расположенные на плоскости, параллельной слою, эквивалентны. Тогда потоки вектора E через левое и правое основания равны просто произведению соответствующей величины Е на площадь оснований. Поэтому, применяя (3.1), имеем:

E1 – значение Е на левом основании;

E2 – значение Е на правом основании.

Так минус возникает из-за того, что нормаль n на левом и правом основании направлены в разные стороны. Справа стоит нуль, т.к. мы выбираем поверхность таким образом, что внутри нее заряды отсутствуют.

Расположим теперь тот же прямоугольный параллелепипед так, чтобы он пересекал заряженный слой. Проводя все рассуждения, произведенные выше и, применяя формулу (2.1), получим:

Знак плюс берется из-за того, что направление E и n к основаниям совпадают.

Справа стоит полный заряд. Заключенный внутри прямоугольного параллелепипеда.

Наконец, выберем прямоугольный параллелепипед, расположенный внутри заряженного слоя, симметрично относительно оси симметрии слоя. Применяя и к нему теорему Гаусса, получим:

Найти E как функцию r. Исследовать характер поля при больших и малых r.

Поскольку распределение заряда сферически симметрично, то и поле должно обладать этой же симметрией. Если выбрать поверхность в виде сферы с центром в начале координат, то E направлен по радиусу. Применяя (2.1), имеем:

где Q – заряд внутри сферы, который определили следующим образом:

Интегрирование производится по объему сферы.

При малых r экспоненту можно разложить в ряд:

т.е. Е r. При больших r можно пренебречь экспонентой по сравнению с единицей:

Имеется длинный цилиндр радиуса а, заряженный с объемной плотностью.

Найти напряженность электрического поля во всем пространстве.

Из симметрии задачи видно, что поле направлено по радиусу цилиндра. Поэтому выберем поверхность в виде коаксиального цилиндра с радиусом r a, тогда поток вектора E через основания равен нулю, а через боковую поверхность E2 2h, где h – высота цилиндра. По теореме Гаусса (2.1):

Для вычисления поля внутри цилиндра, выберем поверхность в виде коаксиального цилиндра с ra, тогда где Q – заряд внутри цилиндра, т.е. Q= r2h Выражение для вектора E следует из того, что Е направлен вдоль радиуса цилиндра.

Решим теперь ту задачу, используя формулу (2.2). Для этого нам надо представить div E в цилиндрической системе координат. Это можно сделать следующим путем. Из условия задачи следует, что Таким образом, используя формулу (3.2), получим Поскольку из условия задачи ясно, что поле в начале координат конечно, то С2=0.

На границе цилиндра поля непрерывны, т.е.

В шаре, равномерно заряженном электричеством с объемной плотностью, сделана сферическая полость, центр которой О смещен относительно центра шара О на расстояние r. Определить электрическое поле внутри полости.

Поскольку в полости заряды отсутствуют, то можно считать, что там одновременно распределены положительный и отрицательный заряды с одинаковой плотностью.

Теперь задача свелась к следующей: имеется равномерно заряженный положительный шар и в нем с такой же плотностью равномерно заряженный шар меньшего радиуса. Тогда по принципу суперпозиции напряженность в точке М (см. рис.3.4) складывается и поля положительного шара и поля, создаваемого отрицательным шаром.

Для произвольной точки, находящейся внутри равномерно заряженного шара, поле легко найдется по теореме Гаусса, если поверхность выбрать в виде сферы, проходящей через эту точку.

Теперь легко найдем поле в полости:

Таким образом, поле в полости однородно. Т.е. имеем везде одинаковую величину и направление.

1. Начертить графики (примерно), показывающие, как меняется напряженность поля в зависимости от расстояния в следующих случаях:

а) поле двух полостей, заряженных противоположными зарядами (плоский конденсатор);

б) поле сферического конденсатора с радиусом R1 и R2. Внутренний шар заряжен положительно.

2. Плоскость равномерно заряжена с плотностью. В середине плоскости имеется круглое отверстие радиуса а, который мал по сравнению с размерами плоскости. Найти напряженность поля в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости, проходящем через центр отверстия на расстоянии b от плоскости.

3. Найти электрическое поле в полости, образованной пересечением двух шаров (рис. 3.5). Шары несут равномерно распределенные по объему заряды с плотностями и -. Расстояние между центрами шаров а.

4. Найти зависимость плотности зарядов от модуля r радиуса-вектора, при константы, а l r - единичный вектор в направлении радиус-вектора r.

5. Пространство заполнено зарядом, плотность которого изменяется по закону 0, где – константа, r – расстояние от начала координат. Найти напряженность поля E как функцию радиуса-вектора r. Исследовать характер линий напряженности.

Область вначале координат исключить.

Потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля.

Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Потенциал поля точечного заряда:

где r – расстояние от заряда до точки наблюдения.

Потенциал поля, созданного системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Потенциал связан с напряженностью электростатического поля соотношением:

где grad - градиент потенциала, представляющий собой вектор, направление которого совпадает с направлением нормали n к эквипотенциальной поверхности, при смещении по которому потенциал, вырастая по величине, изменяется и наибольшей скоростью; при этом Электростатическое поле является потенциальным силовым полем. В таком поле потенциалом не зависит от величины пути, а определяется лишь разностью потенциалов в этих точках:

Из (4.6) следует, что работа по замкнутому пути (при бесконечно медленном перемещении заряда) равна нулю. Математическое выражение этого факта может быть представлено следующим образом:

Для непрерывно распределенных зарядов потенциал определяется выражением, представляющим обобщение формулы (4.3):

где интегрирование проводится по всему пространству: и поверхностям, содержащим объемные и поверхностные заряды.

Если выражение (4.4) подставить в дифференциальную формулировку теоремы Гаусса, то получим одно из важнейших уравнений электростатики – уравнение div E Пуассона:

Полусфера радиуса R=0,2м равномерно заряжена с поверхностной плотностью =17,7 10-9Кл/м2. Определить потенциал в центре полусферы и работу по перемещению заряда Q=2 10-8Кл из центра полусферы в бесконечность.

Для определения потенциала в центре полусферы разобьем всю поверхность на элементарные участки в площадью dS. Каждая площадка содержит элементарный заряд dq= dS. Этот заряд, согласно (4.2), создает в центре полусферы потенциал Все заряды, расположенные по поверхности полусферы, создают в центре полусферы потенциал, равный сумме потенциалов от каждого участка:

Работу сил электростатического поля по перемещению заряда из центра полусферы в бесконечность определим по формуле(4.6):

Находящийся в вакууме тонкий диск радиуса R равномерно заряжен с поверхностной плотностью. Найти потенциал и напряженность поля на оси диска.

Пусть расстояние от центра диска до точки наблюдения на оси – Z. Рассмотрим поясок радиуса r и ширины dr.

Ввиду симметрии задачи, потенциал в точке М, создаваемый пояском, равен:

Проводя интегрирование по всей поверхности диска, получим:

По сути дела мы воспользовались для расчета потенциала (также, как и в предыдущей задаче) вторым слагаемым в выражении (4.8).

Поскольку на оси диска зависит только от координаты Z, то на оси имеется только компонента Ez напряженности поля, тогда как остальные компоненты равны нулю:

Для точек на оси, достаточно удаленных от диска (ZR), соответствующие выражения для потенциала и поля получим. Используя приближенную Последние выражения определяют потенциал и поле точечного заряда, т.е. на большом расстоянии заряженный диск играет роль точечного заряда.

Вблизи поверхности диска, где ZR, имеем:

Выражение для EZ совпадает с полем бесконечной заряженной плоскости.

Диполь обладает электрическим моментом Р=1,1 10-11Кл м. Найти потенциал и напряженность поля в точке, удаленной от центра диполя на расстояние r=0.1м и расположенной в направлении, определяемой углом =45 и оси диполя.

В соответствии с определением потенциала имеем:

Считая диполь малых размеров, т.е. lr, то С учетом этого получаем:

Для нахождения напряженности поля в точке А, воспользуемся зависимостями (4.4) и (4.5), определив предварительно проекции вектора E на два взаимно Численное значение E равно:

Направление вектора E определяется углом, который находится из отношения:

выражения для и Е на оси диполя и перпендикулярно ей:

Шар из парафина ( =2) радиусом R=6см равномерно заряжен с объемной плотностью заряда =17,7 10-8 Кл/м3. Найти потенциал в центре шара и построить графики зависимости (r ) и E(r ).

Воспользуемся связью между потенциалом и напряженностью поля.

Предварительно определим по теореме Гаусса поле E вне и внутри шара. Примем вне шара в качестве вспомогательной поверхности сферическую поверхность радиуса rR и, используя теорему Гаусса, получаем:

В случае сферической симметрии Значение константы С1=0 найдем из условия, что при r. Таким образом, потенциал вне шара изменяется по закону:

Выбираем теперь сферическую поверхность радиуса rR, находим:

Значение константы С2 найдем из условия непрерывности потенциала на границе раздела, т.е. при r=R:

Окончательно получаем:

Полагая r=0 и подставляя в полученной выражение исходные данные, находим потенциал в центре шара:

Зависимости (r ) и Е(r ) приведены на рис. 4.4.

Две бесконечно длинные прямые тонкие нити, заряженные с линейной плотностью 10-8Кл/м и 10-8Кл/м, находятся на расстоянии r1=6см друг от друга. Какую работу на единицу длины нити совершают силы электростатического поля при перемещении нитей с расстояния r1 на расстояние r2=12см?

Считая первую нить неподвижной, искомую работу найдем на основании зависимости (4.6), проследив за перемещением второй нити в поле, созданном первой нитью.

Учитывая, что поле нити обладает осевой симметрией, разность потенциалов в точках r1 и r2 получим, проинтегрировав в соответствующих пределах выражение (4.4), устанавливающее связь между напряженностью и потенциалом:

Напряженность поля, созданного бесконечной нитью, определим по теореме Гаусса, выбирая в качестве вспомогательной замкнутой поверхности цилиндр высотой h и радиусом r, получим:

Используя это выражение, получаем:

Умножая разность потенциала на величину перенесенного заряда q= 2L, определим работу:

При этом работа на единицу длины нити равна:

Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии d, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность потенциалов пластин равна. При каком значении объемной плотности заряда напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова при этом напряженность поля у другой пластины?

Для решения задачи воспользуемся уравнением Пуассона:

Так как размеры пластин предполагаются намного большими расстояния между ними, то поле между пластинами можно считать зависящим только от одной координаты, то есть задача становится одномерной и уравнение Пуассона приобретает вид:

Решая это уравнение, получим:

Полагая, что одна пластина имеет координату х=0, а другая – x=d, получаем следующую систему уравнений:

Если поле около первой пластины (х=0) равно нулю, то с1=0, тогда разность При этом плотность заряда а поле у другой пластины равно 1. Находящийся в вакууме тонкий диск радиусом R равномерно заряжен с поверхностной плотностью. Найти потенциал и напряженность поля на краю диска.

2. Три концентрические сферы радиусами r, 2r и 3r имеют заряды q, 2q, (-3q).

Определить потенциал каждой сферы.

3. Вывести формулу для потенциала поля заряженного проводящего шара, рассматривая потенциал, как сумму потенциалов зарядов на отдельный местах шара: а) для точки, лежащей на шаре; б) для точки внутри шара; в) для точки вне шара.

4. На шар радиуса R падает из бесконечности поток заряженных частиц. Скорость частиц на бесконечности V, заряд частицы е, масса m. До какого потенциала зарядится шар?

5. Металлический шар радиуса R, заряд которого есть Q и точечный заряд q, находящийся на расстоянии LR, от центра шара, окружены заземленным сферическим металлическим слоем, внутренний радиус которого 2L, а внешний – 3L. Определить потенциал шара.

В отдельных задачах электростатики для нахождения полей систем зарядов применяются искусственные методы. Один из них носит название метод электрических изображений. Пусть в пространстве имеется совокупность точечных зарядов, а S – какая-нибудь эквипотенциальная поверхность, делящая вс пространство на два полупространства J и J’. В каждом из этих полупространств находятся группы зарядов соответственно q1, q2,… и q1’, q2’,… Если сделать теперь поверхность S проводящей, то поле во всм пространстве не изменится. Однако поля в полупространствах J и J’ сделаются теперь совершенно независимыми (они разделяются проводящей поверхностью внутри которой поле равно нулю). Таким образом, задача об электрическом поле зарядов, расположенных по одну сторону от проводящей поверхности, сводится к отысканию системы точечных зарядов q1’, q2’,…называемых изображениями зарядов q1, q2,…, по другую сторону поводящей поверхности, причм таких, чтобы потенциал разделяющей поверхности, оставался постоянным. Из решения задачи 3.4 мы видели, что для двух разноимнных зарядов разной величины имеется эквипотенциальная поверхность в виде сферы, таким образом мы сразу можем сделать вывод, что знаем решение задачи когда заряд находится у заземлнной сферы (т.е. такой потенциал, который равен нулю).

Задача 5. Определить работу, которую надо затратить, чтобы точечный заряд q удалить в бесконечность, если вначале он находится на расстоянии а от металлического шара радиуса R.

Решение:

а) шар заземлн Из решения задачи 3.3 следует, что наша задача заменяется задачей взаимодействия заряда q’, помещнного в т.О. Причм Таким образом, сила притяжения между точечным зарядом q и заземлнным металлическим шаром будет Работа по удалению заряда из данной точки в бесконечность, по определению есть потенциал в данной точке умноженный на заряд. Потенциал в т. М создатся только зарядом q’. Поэтому б) шар изолирован, полный заряд его равен нулю.

Из решения задачи 3.2 следует, что потенциал изолированного шара Таким образом, чтобы сохранить потенциал шара мы должны в центр его поместить точечный заряд q’’, который бы создавал на поверхности шара именно такой потенциал, при этом видно, что Ну и решая задачу с тремя точечными зарядами q, q’ и q’’, получим Найти силу, действующую на точечный заряд q, помещнный на биссектрису прямого двугранного угла между двумя проводящими плоскостями. Расстояние между зарядом q и вершиной двугранного угла О равно d.

Из решения задачи 3.3 следовало: эквипотенциальная поверхность в виде плоскости создатся двумя одинаковыми противоположными симметрично расположенными зарядами. Поэтому, чтобы плоскость ОМ была эквипотенциальной располагаем заряд –q в т. В симметричной т. А относительно ОМ. Однако нам требуется, чтобы выполнялась эквипотенциальность на поверхности ОN. Это достигается помещением симметричных зарядов –q и q в т. Е и т. Д соответственно. Так как т. С и т. Д симметричны относительно ОN эта плоскость остатся эквипотенциальной. Таким образом, мы заменили исходную задачу задачей о четырх точечных зарядах известной величины и расположенных заданным образом. Из рисунка следует Результирующая сила, действующая на заряд q, будет Задача 5. Проводник имеет форму бесконечной поводящей плоскости с полусферическим выступом радиуса а. Над центром выступа на расстоянии р от плоскости расположен заряд q. Вычислить силу, действующую на заряд.

Решение.

Предположим, что внутри проводника имеются фиктивные заряды, величина и расположение которых выбраны так, чтобы поверхность проводника была эквипотенциальной. Чтобы сделать эквипотенциальной поверхность выступа, необходимо поместить заряд q ' соединяющей начало координат с зарядом q. Начало координат выбрано в центре полусферического выступа (см. рис. и решение задач 3.3, 5.1). Однако для того чтобы сохранить эквипотенциальность плоскости, необходимо поместить заряды -q’ и -q на расстояниях соответственно –a2/p и –р внутри проводника (см. решения задач 3.3, 5.1).

Тогда сила действующая на заряд q, определяется выражением 1. Найти силу притяжения точечного электрического диполя с дипольным моментом р = 4.10-10Клм к бесконечной металлической пластине, находящейся на расстоянии L = 1 см от диполя. Ось диполя перпендикулярна пластине.

2. Внутри сферической незаряженной проводящей оболочки в т. А, на расстоянии ОА = d от центра, помещн точечный заряд q (рис. 5.2). Радиус внутренней поверхности оболочки r, а внешней R. Найти: 1) поверхностную плотность индуцированных электрических зарядов на внешней поверхности оболочки; 2) потенциал оболочки, принимая за нуль потенциал бесконечно удалнной точки; 3) поверхностную плотность индуцированных зарядов в т. В и С внутренней поверхности оболочки.

3. Бесконечная нить, равномерно заряженная с линейной плотностью заряда, параллельна оси бесконечного изолированного металлического цилиндра радиуса R.

Расстояние между осью и нитью h. Полный заряд цилиндра равен нулю. Чему равно максимальное электрическое давление на поверхности цилиндра.

4. Центр металлического шара с зарядом Q находится на расстоянии h от бесконечной металлической плоскости. Радиус шара R. С какой силой притягивается шар к металлической плоскости?

5. Центры двух металлических шаров с одинаковым зарядом Q находится на расстоянии L. Радиусы шаров R. С какой силой отталкиваются эти шары друг от друга?

С какой силой будут притягиваться эти же шары, если только один шар имеет заряд Q?

При внесении диэлектрика в электростатическое поле, диэлектрик поляризуется, т.е.

приобретает электрический (дипольный) момент, равный векторной сумме электрических моментов его диполей. В общем случае, в объеме диэлектрика и на его поверхности появляются не скомпенсированные связанные объемные и поверхностные поляризационные заряды. Количественной мерой поляризации диэлектрика является P, называемый также поляризованностью диэлектрика.

вектор поляризации Вектор P связан с напряженностью поля внутри однородного где - диэлектрическая восприимчивость вещества. Существует простая связь между связанными поляризационными зарядами и вектором P. Так, для поверхностных связанных зарядов ’справедлива связь где Рn – проекция на внешнюю нормаль вектора P на границе Для удобства расчета параметров электростатического поля в диэлектрике вводится вспомогательная величина, получившая название вектора электрической индукции (или смещения) D обладает той особенностью, что его источниками являются только свободные заряды. Так, теорема Гаусса при наличии вещества имеет где qi и - характеристики только свободных зарядов. Таким образом, если напряженность электрического поля E определяется всеми зарядами (как свободными, так и связанными) и ее силовые линии начинаются и оканчиваются как на тех, так и других зарядах, то электрическая индукция D определяется только свободными зарядами. Поэтому силовые линии вектора D не испытывают разрыва на границе раздела двух диэлектриков, если на ней нет свободных зарядов. В то же время силовые линии вектора E на границе раздела испытывают разрыв. Общие граничные условия на границе раздела двух сред для нормальных и тангенциальных компонент Проводник произвольной формы, имеющей заряд q, окружен однородным диэлектриком с проницаемостью. Найти полные связанные заряды на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика.

Согласно (6.4.), из условия однородности диэлектрика получаем Используя эту связь в теореме Гаусса, получим где поверхность интегрирования Si выбрана проходящей в диэлектрике вдоль границы раздела его с проводником. Согласно (6.2.) где знак «-» возникает из-за того, что внутренней нормалью к поверхности раздела. Таким образом, полный связанный заряд на внутренней поверхности диэлектрика равен:

Выберем теперь поверхность интегрирования Se, проходящую вне диэлектрика вдоль границы его раздела с вакуумом. При этом:

Используя граничное условие для вектора E, легко получаемое с помощью Откуда, с учетом того, что нормалью к пластинке и Решение:

На границе раздела диэлектриков тангенциальная составляющая вектора E и нормальная составляющая вектора D не претерпевают разрыва, Используя полученные соотношения, найдем численное значение Внутри плоского конденсатора, обкладки которого соединены между собой, помещена диэлектрическая пластина толщины h с «замороженной»

поляризацией, т.е. P = const. Вектор поляризации перпендикулярен боковым граням пластины и обкладкам конденсатора. Определить напряженность E и индукцию D внутри пластины. Расстояние между обкладками конденсатора равно d.

Так как онденсатор плоский, то можно считать, что поле внутри него однородно. Вектор индукции перпендикулярен границам раздела сред, поэтому из граничных условий получаем Рассмотрим циркуляцию вектора E по замкнутому контуру L. Для электростатического поля где L’ – часть замкнутого контура L, совпадающая с проводником, соединяющим обкладки конденсатора. Так как вдоль проводника потенциал постоянен, то Поскольку E1 = E3, то E1l1 + E3l3 = E1 (l1 + l3) = E1 (d-h). Далее, вакуума радиуса R = 1 см с зарядом q = 10-9 Кл. Найти поверхностную плотность характер распределения плотности связанных зарядов, возникших на Решение:

При погружении заряженного шарика в жидкий диэлектрик последний поляризуется: молекулы – диполи жидкости ориентируются таким образом, что на поверхности жидкости, прилегающей к шарику, появляются не скомпенсированные связанные отрицательные заряды с поверхностной плотностью i, а на свободной поверхности жидкости – связанные где E2n – нормальная составляющая напряженности поля в точках жидкости, прилегающих к шарику. Из соображений симметрии E2n = E2.

Напряженность E2 вблизи шарика можно определить из граничного условия (6.8.), учитывая что внутри проводящего шарика поле равно нулю:

составляющей вектора D на границе раздела диэлектриков где E1n и E2n – нормальные составляющие вектора раздела выдуха ( = 1) и жидкости. Поле внутри диэлектрика создается как свободными, так и связанными зарядами, образовавшимися на поверхности поверхности в воздухе и в жидкости, напряженность поля будет зависеть от поверхности жидкости.

Необходимо при этом помнить, что в формулах для расчета напряженности полей перечисленных зарядов уже не следует учитывать фактически учтено введением связанных зарядов.

следующим образом:

уравнение, получаем Общая величина связанного заряда определяется следующим образом:

Задача 6.5.

Две параллельные металлические плоскости разноименно заряженные до одинаковой поверхностной плотности заряда, находятся на расстоянии l = 2 мм друг от друга. В пространство между ними вводится стеклянная пластинка ( = 6) после чего напряжение между плоскостями оказывается металлических плоскостях, а также поверхностную плотность связанных зарядов на стекле. Величиной зазора между плоскостями и поверхностью стекла пренебречь.

Задача 6.6.

У поверхности фарфора ( = 7) напряженность поля в вакууме E1 = В/см. Направление поля образует с нормалью к поверхности угол = 40.

Определить: а) угол между направлением поля и нормалью в фарфоре, б) напряженность поля в фарфоре, в) плотность связанных зарядов на границе фарфор – вакуум.

Задача 6.7.

Имеется тонкий длинный диэлектрический цилиндр длины 2l и радиуса r с «замороженной» или спонтанной поляризацией P = const (см. рис. 6.5.).

Найти поле в т. А. Во сколько раз поле сильнее, чем в т. В?

Задача 6.8.

Пластина пьезодиэлектрика толщины 2d вследствие неоднородной деформации поляризована так, что поляризация в ее середине равна Po и изменяется по закону d 2, где х отсчитывается от средней плоскости пластины. Вектор поляризации направлен вдоль оси х (рис. 6.6.).

Определить напряженность электрического поля внутри и вне пластины, а также разность потенциалов между ее боковыми гранями. Краевыми эффектами пренебречь.

однородное электрическое поле напряженностью E = 100 В/м. Найти максимальную поверхностную плотность связанных зарядов и среднее значение одного знака.

Занятие 7 Проводники в электрическом поле Проводниками являются тела (твердые, жидкие, газообразные), в которых имеются носители электрических зарядов, способные свободно перемещаться по всему объему проводника. Привносимые на проводник электрические заряды также имеют возможность свободно перемещаться по его объему.

При внесении заряженного проводника во внешнее электрическое поле носители заряда приходят в упорядоченное движение, в результате которого на поверхности проводника образуются нескомпенсированные индуцированные заряды противоположного знака. Поле индуцированных зарядов направлено противоположно внешнему полю. Перераспределение носителей зарядов идет до тех пор, пока напряженность суммарного поля в проводнике не станет равной нулю, т.е. Ei 0. Так как индуцированные заряды распределяются равновесно на поверхности проводника и поле связано с потенциалом соотношением Ei grad, то потенциал в любой точке внутри проводника и на его поверхности остается постоянным, т.е. =const. В заряженном проводнике нескомпенсированные заряды также равновесно располагаются на его поверхности с выполнением условий:

При этом напряженность электрического поля вблизи поверхности проводника, окруженного диэлектриком, связана с поверхностной плотностью зарядов соотношением:

Определить силу, действующую на единицу поверхности заряженного проводника произвольной формы со стороны остальных зарядов.

Выберем элементарную площадку на поверхности проводника, в любой точке которой вектор E остается постоянным по величине и направлению. Поскольку внутри проводника поле всегда равно нулю, т.е. Ei 0, то и тангенциальная составляющая внутреннего поля равна нулю: Ei 0. Согласно граничным условиям (6.8), тангенциальная составляющая вектора E при переходе через границу раздела двух сред остается непрерывной, поэтому Ei 0, а значит, что снаружи E направлено по нормали к поверхности проводника во всех его точках. По принципу суперпозиции поле вблизи направленного в противоположные стороны по внешней и внутренней нормали к площадке, и E 2 - поля всех остальных зарядов, находящихся на проводнике, направленного таким образом, чтобы компенсировать внутри проводника поле самой площадки.

Так как заряды самой площадки не действуют сами на себя, то сила, действующая на площадку, определяется только полем, создаваемым зарядами вне площадки, т.е.:

На единицу площадки действует сила равная давлению со стороны электростатического поля на поверхности проводника.

Металлический шар радиуса R1 заряжен до потенциала. К шару подносят две тонкие металлические полусферы радиусом R2R1, располагая их концентрично по отношению к шару. Определить потенциал шара относительно земли, если полусферы заземлены (а), полусферы изолированы (б), полусферы соединяются проволокой с шаром (в).

а). До заземления потенциал полусфер определялся только зарядом шара и был полусфер стекла в землю, и они приобрели заряд q’, причем их потенциал стал равен нулю (как и у земли). Следовательно:

Первое слагаемое есть потенциал на полусферах, создаваемый зарядом шара, а второе – потенциал, создаваемый на полусферах их же зарядом q’.

Теперь потенциал шара определится следующим образом (потенциал центральной точки):

б). Так как полусферы не заряжены, их суммарный заряд равен нулю;

в). Когда шар соединяют с полусферами, то по проволоке протекает заряд до тех пор, пока не сравняются потенциалы шара и полусфер.

Пусть при установившемся равновесии на сфере остался заряд q’, а на полусферы стек заряд q’’, при этом q’+q’’=q.

Теперь запишем условие равенства потенциалов шара и полусфер. Как и в случае а потенциалы каждого из них будут определяться всеми зарядами, а именно:

откуда q’=0, т.е. весь заряд с шара перетек на полусферы (т.к. R2R1) и потенциал шара стал равен Точечный положительный заряд q=5 10-10Кл находится на расстоянии r=5см от центра незаряженного сферического проводника, внешний и внутренний радиусы которого R1=7см, R2=10см. Найти потенциал в центре сферы.

В результате электростатической индукции на внутренней поверхности проводника появятся отрицательные индуцированные заряды, а на внешней - положительные. В соответствии с законом сохранения электростатического заряда общая величина указанных индуцированных зарядов равна где и - поверхностная плотность индуцированных зарядов.

Потенциал в центре сферического проводника определяется на основе принципа суперпозиции:

Так как расстояние от положительных и отрицательных зарядов до центра проводника не изменится, то Проводник заряжается электричеством при многократном соприкосновении с металлической пластинкой, которая после каждого соприкосновения дозаряжается до величины заряда Q. До какой величины зарядится проводник, если после первого соприкосновения оказался равен q?

После того, как проводник первый раз приведен в соприкосновение с пластиной и на него стечет заряд q1=q, на проводнике и пластине установится одинаковый потенциал.

В силу пропорциональности заряда и потенциала имеем:

Где – общий для пластины и проводника потенциал, а Спл и Спр – коэффициенты пропорциональности (электроемкости), не зависящие от заряда и потенциала на проводнике и пластине. Таким образом с учетом q1=q, имеем:

При достаточно большом числе соприкосновений проводника с пластиной его заряд практически перестает изменяться и равен qп, а заряд пластины также остается при этом неизменным и равным Q. Таким образом, Пластины плоскопараллельного конденсатора находятся на расстоянии а и соединены снаружи проволокой. Между пластинами помещен распределенный в плоскости заряд Q. Какой заряд пройдет по проволоке, если точечный заряд передвигают на расстояние x перпендикулярно пластинам?

Заряд Q индуцирует на пластинах заряды, причем на ближней к нему пластине заряд индуцируется больше, чем на дальней, следовательно, q1 q2, при этом суммарный индуцированный заряд q1+q2=-Q. Поскольку пластины конденсатора соединены проводником, то они находятся под одним потенциалом. Следовательно, перемещение заряда Q, приводящее к неперераспределению заряда между пластинами, происходит без затраты работы на перенос заряда.

Если заряд Q распределить равномерно на плоскости, проходящей через него параллельно пластинам, то величина индуцированных зарядов q1 и q2 от этого не координаты на поверхности пластин. При этом суммарное поле по обе стороны от плоскости с зарядом Q запишется следующим образом:

x0, то (q1-Q-q2)x0+(q1+Q-q2)(d-x0)=0, откуда с учетом q1+q2=-Q, получаем:

При перемещении Q соотношение между q1 и q2 меняется. Действительно, после перемещения заряда на x Следовательно, на вторую пластину перетек заряд с первой пластины Длинный проводящий цилиндр радиуса R составлен из двух половин.

Определить силу отталкивания, действующую на единицу длины каждого полуцилиндра, если на единицу длины цилиндра приходится заряд x.

Вычертить графики зависимости напряженности поля E и потенциала от расстояния r до центра шара для следующего случая: металлический шар с радиусом 10см имеет заряд 20нКл и окружен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью =2, причем диэлектрик простирается до сферы радиуса 20см.

Из трех концентрических бесконечно тонких металлических сфер с радиусом R1R2R3, находящихся в вакууме, крайние заземлены, а крайней сообщен заряд Q. Найти напряженность электрического поля во всем пространстве.

Две бесконечно тонкие плоскопараллельные металлические пластины помещены в вакууме параллельно друг другу (рис. 7.3). Полный заряд на единицу площади (т.е. сумма зарядов на обеих поверхностях пластины) равен q1 для первой пластины и q2 для второй. Определить поверхностные плотности электрических зарядов на пластинах, а также напряженность электрического поля во всем пространстве.

Электроемкость уединенного проводника есть физическая величина, численно равная заряду, который необходимо сообщить проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу потенциала:

Эта величина зависит только от формы и размеров проводника.

Емкость уединенной металлической сферы радиуса R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью :

Емкость плоского конденсатора, размеры пластин которого много больше расстояния между ними:

S – площадь пластин, d – расстояние между пластинами.

параллельно, можно найти по формуле:

и емкость батареи из n конденсаторов соединенных последовательно, определяется как Для нахождения емкости какой-нибудь системы требуется разность потенциалов между обкладками, когда на них находятся равные по величине и противоположные по знаку заряды.

постоянного напряжения 300В. Пластины сближаются со скоростью 1 мм/с.

Какой ток идет по проводящим проводам в тот момент, когда пластины находятся на расстоянии 2 мм друг от друга? Площадь пластин 400 см2.

По определению, ток Так как пластины присоединены все время к источнику питания, то разность потенциалов между пластинами постоянна, U = const. Заряд же на пластинах меняется, так как при сближении пластин изменяется емкость системы. В некоторый момент времени заряд на пластинах можно определить как где dq – изменение заряда на пластинах, dC – изменение емкости системы.

Емкость плоского конденсатора х – расстояние между пластинами в некоторый момент времени t Подставим выражения для dq и dC в определение тока Но - скорость сближения пластин, (знак минус берется из-за того, что с течением времени х уменьшается). Поэтому По условию задачи = 1.

Произведем расчеты заряженного так, что напряженность поля равна E, наполовину заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью (см. рис 8.1.). Найти величины E, индукции D после заполнения в верхней и нижней части зазора, а также емкость системы.

Решение:

Рассмотреть два случая:

а) остается постоянным напряжение между обкладками;

б) остается неизменным заряд на обкладках.

а) Поскольку напряжение между обкладками постоянно, а поле в плоском конденсаторе однородно, то не меняется и напряженность E во всем пространстве. Это же утверждение следует из рассмотрения граничных условий для вектора E на границе раздела двух сред 1 и 2.

l – расстояние между пластинами.

По определению индукции получаем Если на обкладке имеется заряд q, то после введения диэлектрика, он перераспределяется. В верхней части находится заряд q1, в нижней q2.

Суммарный заряд на пластинах запишется как Причем плотности заряда в верхней и нижней части зазора (и) определяют индукцию в разных областях конденсатора Таким образом Значит полный заряд на обкладке будет По определению емкость системы есть Эквивалентная схема представлена на рис. 8.2.

По формулам (8.3.) и (8.4.), получаем выражение, аналогичное полученному выше б) Как и в первом случае, емкость системы будет точно такая же (эквивалентная схема одинакова), однако изменятся выражения для напряженности поля E и индукции D.

Из выполнения граничных условий следует, что напряженность электрического поля будет одинакова во всем пространстве а значения индукции разные Из закона сохранения заряда получаем Зная напряженность однородного поля в конденсаторе можно найти новую разность потенциалов между пластинами и так как заряд q создается разностью потенциалов U, приложенной к незаполненному диэлектриком, конденсатору, то Таким образом, в случае а) напряженность поля не меняется, б) уменьшается разность потенциалов U’ и соответственно уменьшается напряженность E’ в 1 раз.

Решить задачу, аналогичную предыдущей, с тем отличием, что диэлектриком заполняется половина зазора, как показано на рис. 8.3.

После введения диэлектрика система может быть представлена как два последовательно соединенных конденсатора с емкостями (рис. 8.4.) а) Если U = const, то в этом случае изменился заряд и соответственно поверхностная плотность заряда пластин, которая определяет электрическую индукцию D. Поскольку Поэтому величины индукции, определяемые только свободными зарядами, определятся как и соответственно напряженности электрического поля б) во втором случае заряд, очевидно, равномерно распределен вдоль пластин и, следовательно, поверхностная плотность заряда остается Определить емкость конденсатора, состоящего из двух шариков диаметром d = 1 см, находящихся в воздухе, если расстояние между центрами l = 20 см и заряды на шарах располагаются равномерно (рис. 8.5.).

Запишем основное соотношение Задача сводится к определению разности потенциалов между шарами или Выберем произвольную точку, находящуюся на расстоянии х от первого шарика на линии соединяющей центры. Напряженность поля в этой точке определяется как первым, так и вторым шариком Тогда, если путь 1-2 совпадает с линией соединяющей центры, то Задачи для самостоятельного решения.

Плоский конденсатор состоит из двух пластин, находящихся друг от друга на расстоянии 0.5 мм. Как изменится емкость конденсатора, если его поместить в изолированную металлическую коробку, стенки которой будут находиться на расстоянии 0.25 мм от пластин (рис. 8.6.). Искажением поля у краев конденсатора 2. Внутри плоского воздушного конденсатора, обкладки которого соединены между собой, помещена поляризованная пластинка из перпендикулярна к ее боковым граням. Пренебрегая зависимостью поляризованности электрета P от электрического поля, определить напряженность и индукцию электрического поля внутри и вне пластинки, если расстояние между обкладками конденсатора равно d.

3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого линейно Расстояние между пластинами d, площадь каждой из них равна S.

Найти емкость конденсатора.

4. Два длинных провода радиуса a = 0.5 мм расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями b = 10 мм. Найти взаимную емкость проводов, приходящуюся на единицу их длины.

5. Газоразрядный счетчик элементарных частиц состоит из трубки радиуса r2 = 10 мм и натянутой по оси трубки нити радиуса r1 = 50 мкм.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов может быть определена из соотношений:

Здесь – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме qi, в точке, где помещается заряд qi.

Энергия заряженного проводника и конденсатора равна:

где - потенциал проводника или разность потенциалов на пластинах конденсатора, С – емкость.

Из выражения для энергии системы заряженных тел можно определить величину механических (пондеромоторных) сил, действующих между этими телами:

Плотность энергии электростатического поля напряженностью E, созданного в среде с диэлектрической проницаемостью, равно:

Энергия поля, заключенного в объеме V, определяется выражением:

Вычислить энергию электростатического взаимодействия линейной цепочки из 2N точечных зарядов (ионов) противоположного знака q, расположенных на одинаковом расстоянии d друг от друга.

Если обозначить энергию взаимодействия между зарядами i и j через Wij, то энергия взаимодействия i-го заряда со всеми остальными может быть представлена в виде:

Здесь мы провели замену индекса суммирования j на i+j’, где теперь для ближайших соседей заряда i j’=1, для следующих j’=2 и т.д. В характере суммирования и значении суммы это ничего не изменило. Произведение зарядов теперь выражается:

а расстояние ri i j ' Обычно подобные суммы встречаются при вычислении энергии кристаллической решетки, где значения N1. В этом случае просуммировать полученный числовой ряд можно, используя разложение:

Полагая х=1, получаем Учитывая, что при N1 (для реальных кристаллических решеток N 109 в цепочке длиной 1м) практически все заряды (ионы) находятся в идентичных условиях, полную энергию цепочки получим:

где мы умножаем Wi на N, а не на 2N – по числу зарядов (ионов), поскольку при расчете полной энергии мы должны считать каждую взаимодействующую пару зарядов только один раз (см. формулу (9.1)).

Пространство между пластинами плоского конденсатора объемом V=20см3 заполнено диэлектриком ( =5). Пластины конденсатора присоединены к источнику напряжения. При этом поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике ’ =8,85Кл/м2. Какую работу нужно совершить, чтобы вытащить диэлектрик из конденсатора? Задачу решить для двух случаев: удаление диэлектрика производится после отключения источника (а) и при включенном источнике напряжения (б).

Вследствие краевых эффектов у краев пластин заряженного конденсатора имеется неоднородное электростатическое поле (рис. 9.2а). Против электрических сил этого неоднородного поля, действующих на заряды диполя диэлектрика и стремящихся втянуть диполи в область более сильного поля, т.е. внутрь конденсатора, и совершается работа внешней силы по удалению диэлектрика из конденсатора.

При присоединении пластин конденсатора к источнику напряжения каждая из них получает заряд, численное значение которого равно q=C U, где C - емкость конденсатора при наличии диэлектрика. При этом энергия конденсатора, полученная им После отключения источника напряжение и удаление диэлектрика величина заряда на пластинах конденсатора остается неизменной, а его энергия W q, где C d емкость конденсатора в отсутствие диэлектрика. При этом WW, так как СC. В рассматриваемом случае увеличение энергии конденсатора произошло за счет работы внешней силы против сил электростатического полч конденсатора в процессе удаления диэлектрика из него, т.е.

конденсатора.

Поверхностная плотность связанных зарядов ’ может быть связана с поверхностной плотностью на обкладках конденсатора следующим образом: нормальная составляющая вектора поляризации Поле в диэлектрике E, где Е0 – поле в вакууме, а так как Еn=Е, то E n, откуда. Используя это выражение, получаем для Авнеш:

Случай Б.

В результате удаления диэлектрика из конденсатора, пластины которого все время остаются подключенными к источнику напряжения U, происходит уменьшение заряда на его обкладках на величину Уменьшение заряда обусловлено перетеканием части зарядов с одной обкладки на другую через источник напряжения вследствие уменьшения емкости конденсатора (СC ). В рассматриваемом случае изменение энергии конденсатора происходит по двум причинам:

За счет работы внешней силы Авнеш против сил электростатического поля конденсатора при удалении из него диэлектрика, энергия конденсатора увеличивается;

В результате передачи части энергии источнику напряжения в процессе перетекания зарядов через источник, энергия конденсатора уменьшается.

Энергия, которую конденсатор отдает источнику Wист, численно равна работе по перемещению заряда q на участке с напряжением U, т.е.

Wист= qU.

С учетом сказанного, уравнение энергетического баланса примет следующий вид:

Используя следующие зависимости, Представленные выше рассуждения и соотношения справедливы для случая бесконечно медленного удаления диэлектрика, когда перемещение зарядов в схеме происходит с бесконечно малой скоростью, т.е. сила тока стремится к нулю. При этом напряжение на обкладках конденсатора остается постоянным и отсутствуют потери на джоулево тепло и энергию магнитного поля.

Сплошной парафиновый шар ( =2) радиуса R=10см заряжен равномерно по объему с объемной плотностью =10-6Кл/м3. определить энергию поля, сосредоточенную в самом шаре – W1 и энергию поля вне его – W2, полную энергию электростатического поля.

Электростатическое поле, созданное объемно заряженным шаром, неоднородно, а характер изменения напряженности поля внутри и вне шара различны. Поэтому внутри и вне шара, V1 – объем шара, V2 – объем пространства, окружающего шар.

Производя интегрирование по объему в сферических координатах с учетом сферической симметрии задачи (элементарный объем сферического слоя – dV=4 R2dr):

Полная энергия поля Вычислить энергию электростатического взаимодействия двух диполей P и P2, которые лежат в одной плоскости на расстоянии d друг от друга, для следующей их ориентации:

Решение Энергия взаимодействия двух диполей представим как энергию второго диполя в электрическом поле первого диполя P :

Поле диполя P определяется выражением Таким образом, в общем случае получаем:

Рассмотрим теперь конкретные случаи.

1. Элементарная ячейка кристалла поваренной соли представляет собой куб со стороной а=2,82 10-8см, по вершинам которого, чередуясь, расположены ионы натрия и хлора. Заряд ионов считать равной по абсолютной величине заряду электрона. Определить энергию элементарной ячейки.

2. Батарею из двух последовательно соединенных конденсаторов емкостью 450См и 1200См заряжают до напряжения 1800В. Затем конденсаторы, не разряжая, отключают от источника питания и соединяют параллельно. Определить работу происходящего при этом разряда.

3. Вычислить потенциальную энергию заряда q, равномерно распределенного по поверхности (а) и по объему (б) сферы радиуса R.

4. Бесконечная плоская плита толщиной L равномерно заряжена по объему с плотностью заряда. Вычислить потенциальную энергию, приходящуюся на единицу поверхности плиты.

5. Мыльный пузырь из проводящей жидкости с коэффициентом поверхностного натяжения несет на себе заряд Q. Определить избыточное давление внутри пузыря, если его радиус равен R.

Вычислить энергию точечного заряда q, находящегося в поле диполя

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1. Напряженность электрического поля 4- 2. Теорема Гаусса в вакууме 8- 3. Потенциал электрического поля 15- 4. Метод изображений 25- 5. Электростатические поля в веществе 6. Поля системы зарядов 8. Пондероматорные силы. Энергия электрического поля

ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА

9. Сопротивление цепей постоянного тока 10. Применение законов Кирхгофа 11. Работа и мощность постоянного тока

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

12. Магнитное поле в вакууме I

13. Магнитное поле в вакууме II

14. Электромагнитная индукция I

15. Электромагнитная индукция II

17. Теорема о постоянстве магнитного потока 18. Переходные процессы 20. Импедансы I

21. Импедансы II

Две заряженные частицы имели первоначально одинаковые по величине и направлению скорости. После того как на некоторое время было включено однородное электрическое поле, вектор скорости одной частицы повернулся на 60, а численное значение скорости уменьшилось вдвое.

Вектор скорости другой частицы повернулся на 90. Во сколько раз изменилось численное значение скорости второй частицы? Определите отношение заряда к массе для второй, если для первой оно равно k1.

Первичная обмотка трансформатора имеет N1 = 200 витков, вторичная – N2 = 400 витков. На первичную подается переменное напряжение в U1 = 100В, а на зажимах вторичной обмотки имеем U2 = 199В. сердечник имеет проницаемость = 2000. Какое напряжение будет на зажимах вторичной магнитного поля нет.

Металлический прут EF (сопротивление единицы его длины равно r) движется с постоянной, замыкая два идеальных проводника AC и AD, образующих угол. AC = l. Вся система находится в однородной постоянной В перпендикулярной плоскости симметрии. Найти ионное Q, которое выделится в цепи за время движения прута от т. А к С.

Определить величину э.д.с. индуцированной в прямом проводнике, который перемещается в однородном магнитном поле со скоростью. Длина l, B, а направление скорости составляет угол = 30 c направлением поля.

Для того чтобы произошла ядерная реакция между двумя частицами, необходимо чтобы расстояние между ними не превышало r = 4 10-13см. какую минимальную энергию Emin нужно сообщить одной из частиц, чтобы она вступила в ядерную реакцию с другой - частицей, которая была неподвижной и находилась на большом расстоянии от первой?

Заряд В плоскопараллельном конденсаторе, пластины которого вертикальны и присоединены в батарее, создается поле равное E. Длинный однородный стержень висит вертикально, причем один его конец находится в конденсаторе, а другой – вне конденсатора. Покажите, что на стержень действует сила 2, где k – поляризуемость стержня на единицу длины.

Плоский конденсатор расположен горизонтально так, что одна его пластина находится над поверхностью жидкости, другая – под поверхностью жидкости. Диэлектрическая проницаемость жидкости, ее плотность. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе после сообщения его пластинам заряда с поверхностной плотностью ?

Подвижные пластины конденсатора переменной емкости стоят в некотором среднем положении. Какой момент сил действует на систему подвижных пластин конденсатора при разности потенциалов V, если числа рабочих промежутков между пластинами n (неподвижных пластин 2, подвижных - 2 ), каждая пластина имеет форму полукруга радиуса R, расстояние между пластинами d диэлектрическая пластина толщины l2 с диэлектрической проницаемостью 2.

проницаемостью и плотностью. Найти высоту поднятия жидкости в обкладками поддерживается разность потенциалов V. Суммарная толщина столбов жидкости в конденсаторе l1.

Магнитостатика Если существуют движущиеся заряды, то вокруг них всегда создается магнитное поле, которое в свою очередь действует на движущиеся заряды.

Поскольку электрический ток, представляет собой направленное движение отдельных зарядов, то вокруг проводников с током создается магнитное поле. В случае постоянных токов магнитные поля вокруг проводников рассчитываются с помощью закона Био и Савара:

здесь I dl – элемент тока, проводника длиной dl; r – радиус-вектор, проведенный из элемента dl в точку наблюдения; С – постоянная, равная скорости света.

Надо отметить, что магнитное поле создается любыми движущимися зарядами, в том числе зарядами образующими вещество. Поэтому, чтобы выделить магнитное поле создаваемое только токами проводимости, ввели вектор H – напряженность магнитного поля, хотя основным «силовым»

вектором является индукция магнитного поля B. Понятно, что в вакууме вектора B и H тождественны.

Существует теорема о циркуляции магнитного поля, согласно которой где под I подразумевается только токи проводимости.

Эту же теорему можно записать в дифференциальной форме j – плотность токов проводимости.

С помощью вышеприведенных формул можно рассчитать магнитные поля постоянных токов.

Отрезок прямолинейного проводника с током (рис. 9.1) занимает часть оси Z от Z = -l1 до Z = l2. Вычислить индукцию магнитного поля в т. М, лежащей в плоскости Z = 0.

Из закона Био – Савара (9.1.) имеем Напомним, что из рис. 9.1. видно для x – компоненты индукции, получим Аналогично для y – компоненты Тогда величина индукции будет Рассмотрим частные случаи если l1 = l2 = l = 2, где L – полная длина проводника, то По центральному проводнику длинного коаксиального кабеля (на рис.

9.2. показано поперечное сечение кабеля) и по наружному цилиндрическому проводнику текут одинаковые по величине, но противоположные по направлению токи I. Определить распределение магнитного поля во всем пространстве.

Из симметрии задачи видно, что силовые линии магнитного поля в сечении проводника являются окружностям.

Сила постоянного тока I – скалярная физическая величина, равная количеству зарядов, прошедшему через поперечное сечение проводника в единицу времени Плотность электрического тока i – векторная величина, которая совпадает по направлению с упорядоченным течением положительного электричества, а по величине равна силе тока, приходящейся на единицу поперечного сечения проводника Как показывает опыт, для многих тел в широких пределах выполняется закон - удельная проводимость или электропроводность. Соотношение (7.3) можно представить в интегральной форме R – сопротивление участка U – разность потенциалов или напряжение на концах участках - ЭДС сторонних сил.

В случае разветвленных цепей их расчет производится на основании правил Кирхгофа:

1. В каждой точке разветвления проводов алгебраическая сумма сил токов равна нулю. Токи, идущие к точке разветвления, и токи, исходящие из нее, следует считать величинами разных знаков.

2. Выделим в сети произвольный замкнутый контур, состоящий из проводов. Сумма электродвижущих сил, действующих в этом контуре, равна сумме произведений сил токов в отдельных участках этого контура на их сопротивление При применении правил Кирхгофа надо поступать следующим образом:

1. Направление токов во всех участках сети следует обозначать стрелками, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если вычисление покажет, что ток положителен, то его направление указано правильно. Если же ток отрицателен, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.

2. Выбрав произвольный замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении. Если это направление совпадает с направлением стрелки, то слагаемое IR берется с плюсом. Если же это направление противоположно, то оно берется со знаком минус. Если при обходе контура источник тока проходится от отрицательного полюса к положительному, то его ЭДС следует считать положительной, в противоположном случае ее надо считать отрицательной. На основании правил Кирхгофа просто получаются полное сопротивление цепи для n последовательно соединенных проводников сопротивлением ri каждый:

а также для m параллельно соединенных проводников:

В цепи, изображенной на рис.7.1 найти токи через каждое сопротивление, если ЭДС источников тока равны 1=1В, 2=3В, 3=5В, а сопротивления r1=2Ом, r2=4Ом, r3=r4=1Ом.

На основании применения правил Кирхгофа обозначим величину и направление токов, текущих через сопротивления, учитывая, что I3=I4, а также знаки полюсов ЭДС. Составим уравнения на основании правил Кирхгофа:

Подставим числовые данные:

Решаем систему методом определителей Крамера:

Какое необходимое и достаточное условие должно выполняться, чтобы замена одного участка, изображаемого на рис. 7.2а другим, изображенным на рис. 7.2б и наоборот, в любом случае не приводила к изменению напряжения и величин тока в цепи, находящейся за пределами индикаторной окружности?

зависимостью между одним напряжением и одной силой тока, а значит и одним эквивалентным сопротивлением. Система с тремя выводами характеризуется зависимостью между двумя напряжениями, например, UAB и UBC (UAC однозначно определяется по этим двум напряжениям и двумя точками IA и IC (IB=IA+IC) по первому правилу Кирхгоффа).

1. Для «звезды» (рис.7.2а) имеем:

2. Для «треугольника» (рис. 7.2б):

U AB U CB

IA U AB U CB

IC U AB U CB

Решая систему уравнений относительно токов для «звезды», получаем:

I A U AB U CB

IC U AB U CB

«звездой» равномерно требованию, чтобы две последние системы (а) и (б) были идентичны. Это означает, что соответствующие коэффициенты должны быть равны:

Эти связи устанавливают искомые необходимые и достаточные условия. Их можно записать в виде:

сопротивления сложных цепей. Мы всегда сможем заменить соединение «звездой» эквивалентным соединением «треугольника» и наоборот.

Найти полное сопротивление между A и B, если стороны квадратов имеют одинаковое сопротивлении?

Нарисуем эквивалентную схему:

Заменим соединение KMN эквивалентной «звездой» (рис. 7.5):

R1=2r; R2=R3=r. Из задачи 7.2 имеем:

Таким образом, эквивалентная схема имеет вид:

треугольником на рис. 7.7:

Опять на основании задачи 7. Теперь по формулам (7.7) и (7.8) рассчитываем последнюю цепь:

Если бы мы стали рассчитывать сопротивление по искомой цепи по правилам Кирхгофа, нам пришлось бы искать решение системы восьми уравнений по методу Крамера, что заняло бы гораздо больше времени.

Большие упрощения для нахождения сопротивления некоторого класса цепей дает использование симметрии задачи.

Задача 7.4 Найти сопротивление, эквивалентное проволочному кубу.

Каждое ребро имеет сопротивление r, между точками A и B рис 7.8.

Из соображений симметрии ясно, что токи. Идущие по ветвям А-1, А-2, А-3 – одинаковы. Поэтому благодаря равенству сопротивлений этих ветвей, падение напряжений на них тоже одинаковы, и одинаковы потенциалы узлов 1, 2, 3. Аналогично можно показать. Что узлы 4, 5, и тоже имеют равные потенциалы. Ясно, что сопротивление цепи не изменится, если потенциальные узлы соединить вместе. Сделав это, получим цепь, эквивалентную исходной и представленную на рис. 7.9 и Сопротивление такой цепи элементарно считается по формулам (7.7) и (7.8):

Эту же задачу можно решить по-другому.

Из соображений симметрии, токи, текущие по ветвям А-1, А-2, А- равны, то же самое можно сказать и о токах в ветвях 4-В, 5-В и 6-В. Их направления показаны на рис. 7.8. Ясно, что опять же из симметрии задачи, токи, текущие по ветвям 3-6 и 3-5 равны. Тогда падение напряжения между точками А и В с одной стороны равно I R AB, а с Задача 7.5 Найти сопротивление участка, показанного на рис. 7. между точками А и В. Сопротивление каждого кусочка цепи равно r.

Понятно, что эту задачу просто решить, используя ответ задачи 7.2, т.е. заменить участок А12 эквивалентной «звездой» и дальше считать по формулам (7.7) и (7.8).

Однако можно заметить, что точки 1 и 2 эквипотенциальны и, следовательно, по участку 1-2 ток не идет. Поэтому его можно удалить, и мы получим эквивалентную схему. После простых преобразований цепи на основании формул (7.7) и (7.8) легко подсчитать, что ее сопротивление При протекании электрического тока, в любой среде происходит ее нагревание.

Количество тепла, выделяемого в единице объема и в единице времени, можно определить по формуле:

Величины j и E связаны законом Ома. В случае протекания постоянного тока по проводнику формулу (1) можно заменить где W – количество тепла, выделяемое в проводнике в единицу времени или мощность тока;

I – ток, текущий по проводнику;

U – разность потенциалов на концах проводника.

Используя выше приведенные формулы, а также закон сохранения энергии, закон сохранения заряда можно рассчитать КПД источника тока, потери на джоулево тепло и т.д.

Двигатель постоянного тока мощностью P = 150 Вт, рассчитанный на работу при напряжении 15 В, питается от сухих элементов, каждый из которых имеет э.д.с. = 1.5 В и внутреннее сопротивление R = 0.45 Ом.

Какое наименьшее количество элементов потребуется, чтобы двигатель работал в соответствии со своими расчетными параметрами? Как следует соединить элементы в батарею?

Прежде всего установим, какая максимальная мощность выделяется на внешнем сопротивлении Rвнеш, подключенному к источнику с внутренним сопротивлением R и э.д.с.. Рассмотрим цепь на рис. 1.

По закону Ома имеем Напряжение на внешней нагрузке Uвнеш = IRвнеш тогда мощность Pвнеш, выделяемая на резисторе Rвнеш есть см. Pвнеш = UвнешI = I2Rвнеш Находя максимум этого выражения, получим Такая мощность потребляется в том случае, если сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.

Двигатель потребляет мощность P. Значит, батарея питания должна содержать не меньше удовлетворять условию Из условия задачи Определим теперь сопротивление двигателя Rдв. Его не следует путать с омическим сопротивлением обмоток двигателя. Величина эффективного сопротивления двигателя не является постоянной, но зависит от активной нагрузки P. В нашем случае это просто сопротивление резистора, эквивалентного сопротивлению двигателя, рабочие характеристики которого приведены в условии задачи.

и из данных задачи Интуиция подсказывает наиболее простое соединение источников «прямоугольником» - рис. 2.

Попробуем из соединений такого вида выбрать такое, при котором мощность, выделившаяся на сопротивление Rдв равна P, а падение напряжения на Rдв равно U.

Прежде всего, рассмотрим предельный случай, когда n = no = 120. Если бы нам не удалось найти соответствующего соединения, то следовало бы взять другое n и пробовать снова.

При n = no каждый элемент должен работать, вырабатывая максимальную мощность. Если вся батарея будет отдавать наибольшую возможную мощность, то внутреннее сопротивление батареи Rб должно равняться Rдв. Но из рис. 2 и результатов предыдущего параграфа Т.е. для определения k и l имеем систему уравнений Из условия задачи нетрудно получить, что Таким образом, в батарею следует соединить 120 элементов, причем батарея должна состоять из 6 столбцов по 20 элементов в каждом. Причем такое соединение является наиболее выгодным в том смысле, что каждый элемент отдает на внешнюю нагрузку максимальную мощность.

Сферический конденсатор с радиусами сфер R1 и R2 заполнен слабо проводящей средой. Емкость конденсатора оказалась равной С, а разность потенциалов на конденсаторе после отключения его от батареи уменьшается в два раза за время t. Определить диэлектрическую проницаемость среды и ее удельное сопротивление.

Решение:

Когда конденсатор подключаем к батареи на его обкладках появляются заряды равные по величине и противоположные по знаку. Пусть на шаре радиуса R, появился заряд Q. Тогда используя теорему Гаусса, найдем индукцию электрического поля в нашем конденсаторе. Для этого выберем поверхность в виде сферы концентрическую с обкладками конденсатора и находящуюся между ними и сосчитаем поток вектора D через нее r – радиус сферической поверхности R1r1R вектора D и E направлены по радиусу сфер.

Зная напряженность поля E в конденсаторе, определим разность потенциалов на его обкладках Зная Vo, найдем емкость сферического конденсатора Таким образом, диэлектрическая проницаемость его Найдем теперь ток, текущий через нашу воображаемую сферу за счет слабой проводимости вещества В этой цепочке равенств, мы последовательно использовали закон Ома, связь векторов E и D и теорему Гаусса.

q – заряд, находящийся в данный момент на сфере радиуса R1.

Используя закон сохранения заряда, получим Разрешая последнее дифференциальное уравнение, имеем Поскольку емкость системы остается постоянной, то поделив последнее соотношение на С, получим изменение разности потенциалов конденсатора во времени По условию задачи имеем: через время t Пространство между двумя концентрическими сферами заполнено диэлектриком, проводимость которого зависит только от расстояния до сфер.

Каков должен быть закон изменения проводимости, чтобы объемная плотность джоулевых потерь при прохождении тока была одинакова во всех его точках?

Решение:

Из соотношения (1) имеем плотность джоулевых потерь или используя закон Ома в дифференциальной форме:

Из предыдущей задачи видно, что напряженность поля E между сферами пропорциональна r, тогда для того, чтобы плотность джоулевых потерь оставалась постоянной во всех точках, ширина следующая Определить работу тока на участке, не содержащем источников э.д.с. и имеющем сопротивление R, если ток в течении времени равномерно увеличивался от I1 до I2.

Поскольку ток равномерно увеличивался, то можно записать Тогда за время t в проводнике выделится W тепла а за время количество тепла, выделяемое в проводнике, будет Принимая: 1) что охлаждение накапливаемой проволоки в воздухе прямо пропорционально разности температур проволоки и воздуха (закон охлаждения Ньютона); 2) что изменение сопротивления ее с температурой незначительно, показать, что удлинение проволоки, накапливаемой током, прямо пропорционально квадрату величин тока.

Решение:

При установившемся режиме количество теплоты, выделяемое токов в единицу времени, равно количеству теплоты рассеиваемой в воздух k – коэффициент теплоотдачи;



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине Б.2.В.ДВ.3 Агрометеорология Код и направление подготовки 111100.62 Зоотехния Профиль подготовки широкий профиль Квалификация бакалавр (степень) выпускника зоотехнологии и менеджмента Факультет Ведущий Николаенко Самвел Николаевич преподаватель Кафедра-разработчик...»

«Программа дисциплины Физическая география России Авторы: доцент, к.г.н. Иванов Андрей Николаевич, доцент, к.г.н. Петрушина Марина Николаевна Цель освоения дисциплины: Заложить основы знаний в области региональной комплексной физической географии России с характеристикой факторов и закономерностей дифференциации и формирования ландшафтов, их современного состояния и динамики. Задачи: Получение представлений об объекте и предмете региональной физической географии и ландшафтоведения. Знание...»

«Министерство образования Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса РАДИОАВТОМАТИКА Учебная программа Владивосток Издательство ВГУЭС 2003 ББК 32.84 РАДИОАВТОМАТИКА: Учебная программа по специальностям 201500 Бытовая радиоэлектронная аппаратура, 201700 Сре дства радиоэлектронной борьбы / Сост. В.Н. Гряник. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2003. – 16 с. © Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса, 2003 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина...»

«Премия Интеллект Харькова [Подготовила П. Николенко] #18-19 от 15.10.2008 1985. (, ). (,, 2008.). 15 сентября в стенах галереи АВЭК в третий раз состоялось ежегодное вручение премий харьковским ученым в рамках проекта Интеллект Харькова Международного благотворительного фонда Александра Фельдмана. Программа Фонда Интеллект Харькова действует уже три года и предусматривает поддержку молодых и состоявшихся ученых. Фонд, работа которого направлена на то, чтобы ученые не уезжали из Харькова,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УТВЕРЖДАЮ Заместитель Министра образования Российской Федерации _В.Д.Шадриков “17”032000г. Номер государственной регистрации 177ен/маг ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Направление 510400 Физика Степень - магистр физики Вводится с момента утверждения МОСКВА 1.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НАПРАВЛЕНИЯ 510400 ФИЗИКА 1.1 Направление 510400 Физика утверждено приказом Министерства образования Российской Федерации от...»

«Программа дисциплины ГИДРОХИМИЯ Автор: доц. М.Б.Заславская Цель освоения дисциплины: Формирование представлений о закономерностях изменения химического состава природных вод в пространстве и во времени, методах исследования этих закономерностей. Задачи: дать необходимые представления о строении и структурных особенностях воды, закономерностях протекающих в ней процессов, имеющих определенное экологическое значение; сформировать знания о природной воде как многокомпонентном растворе; изучить...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ: Проректор-директор ИПР _ А.Ю. Дмитриев Проректор-директор ИФВТ _ А.Н. Яковлев ПРОГРАММА вступительного испытания (междисциплинарного экзамена) для поступающих в магистратуру по направлению 240100 Химическая технология Институт природных ресурсов Институт физики...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный горный университет Кафедра физико-технического контроля процессов горного производства УТВЕРЖДАЮ Проректор по методической работе и качеству образования В. Л. Петров _2011 г. РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДС.Ф.01. НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА Направление подготовки 130400 Горное дело Специальность Физические процессы...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет Физико-технический факультет Кафедра прикладной физики УТВЕРЖДАЮ Декан факультета _ 2012 г. Рабочая программа дисциплины Материаловедение электронной техники. Часть 1 Для студентов 3 курса 011800 РАДИОФИЗИКА Профиль подготовки – Материалы для радиофизики и радиоэлектроники, Физика и технология радиоэлектронных приборов...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области Международный университет природы, общества и человека Дубна (университет Дубна) Факультет естественных и инженерных наук Кафедра биофизики УТВЕРЖДАЮ проректор по учебной работе _С.В. Моржухина __2011 г. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Биофизика (наименование дисциплины) по направлению 140800 – ядерные физика и технологии (№, наименование направления, специальности) Форма обучения: очная Уровень подготовки:...»

«1 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кубанский государственный аграрный университет РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине ЕН.Ф.9 Биологическая химия (индекс и наименование дисциплины) Специальность 110501.65 Ветеринарно-санитарная экспертиза Квалификация (степень) выпускника Ветеринарно-санитарный врач Факультет Ветеринарной медицины Кафедра-разработчик Кафедра биотехнологии, биохимии и...»

«МИНЗДРАВСОЦРАЗВИТИЯ РОССИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ГБОУ ВПО ИГМУ Минздравсоцразвития России) Фармацевтический факультет Кафедра общей химии УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _А. В. Щербатых _ 20_12 год РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ХИМИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ _ наименование дисциплины (модуля) для специальности: 060301 Фармация...»

«Белорусский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан* ФДО_ факультета В.М. Молофеев (подпись) (И.О.Фамилия) (дата утверждения) Регистрационный № УД-/р.** _Физика (название дисциплины) Учебная программа для специальности***: математический, физический _ (код специальности) (наименование специальности) _ _ (код специальности) (наименование специальности) Факультет _доуниверситетского образования_ (название факультета) Кафедра доуниверситетской подготовки (название кафедры) Курс (курсы) _...»

«Программа дисциплины Физическая география и охрана ландшафтов России Авторы: доцент, к.г.н. Авессаломова Ирина Анатольевна, доцент, к.г.н. Петрушина Марина Николаевна, доцент, доцент, к.г.н. Самойлова Галина Сергеевна, старший научный сотрудник, к.г.н. Щербакова Лидия Николаевна Цель освоения дисциплины: заложить основы знаний в области региональной комплексной физической географии России с характеристикой теоретических закономерностей структуры, функционирования и эволюции ландшафтов, основ...»

«Программа дисциплины Эволюция криолитозоны при различных климатических ситуациях Автор: д.г.н., с.н.с. Н.А.Шполянская Цель: ознакомить студентов – с теоретическими проблемами, касающимися криолитозоны Земли, ее возникновения и дальнейшего существования, как продукта устойчиво холодного климата; – с современными проблемами глобальных изменений климата (в естественном ходе и под влиянием антропогенных факторов) и его взаимосвязи с вечной мерзлотой; – с вопросами взаимосвязи между холодным...»

«ФГБОУ ВПО Волгоградский государственный университет Физико-технический институт Кафедра лазерной физики ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ по направлению подготовки 200500 ЛАЗЕРНАЯ ТЕХНИКА И ЛАЗЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Волгоград 2012 1. ОПТИКА 1. Световые волны в вакууме. Электромагнитная природа света. Система уравнений Максвелла. Волновое уравнение. Решение волнового уравнения в виде плоских и сферических волн. Волновое уравнение. Скорость распространения электромагнитных волн. Плоская...»

«Белорусский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Белорусского государственного университета А.Л. Толстик (дата утверждения) Регистрационный № УД-/баз. Программа дополнительного вступительного экзамена в магистратуру по специальности 1-31 80 06 ХИМИЯ 2013 г Составители: Паньков Владимир Васильевич, заведующий кафедрой электрохимии, доктор химических наук, профессор; Блохин Андрей Викторович, профессор кафедры физической химии, доктор химических наук, профессор;...»

«Сибирский федеральный университет Институт фундаментальной биологии и биотехнологии Кафедра биофизики ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ФИЗИКИ Тексты избранных лекций по дисциплине История и методология физики (ДНМ.В.2.) для магистрантов, обучающихся по программам 011200.68.01 – Биофизика; 011200.68.07 – Окружающая среда и человек: основы надзора и контроля. Разработал – Л.Н.Медведев. 2013 Лекция 1 ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ФИЗИКИ – ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ НАУЧНОГО ФИЗИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ Определение понятия физика...»

«Санкт-Петербургский государственный политехнический университет УТВЕРЖДАЮ Декан ФМФ В.К. Иванов _ _ _ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Биоорганическая химия Кафедра-разработчик Биофизика Направление (специальность) подготовки 011200 Физика Наименование ООП Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Образовательный стандарт Федеральный ГОС Форма обучения очная Соответствует ФГОС ВПО. Утверждена протоколом заседания кафедры Биофизика № 2 от 17.05. Программу в соответствии с ФГОС ВПО...»

«ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОГРАММА Государственного экзамена для бакалавров по направлению 510400 - Физика и для специалистов по специальности 010400 - Физика с вопросами экзаменационных билетов Казань 2004 Печатается по решению Редакционно-издательского совета физического факультета Деминов Р.Г., Малкин Б.З., Нигматуллин Р.Р., Таюрский Д.А., Царевский С.Л., Чистяков В.А. Программа Государственного экзамена для бакалавров по направлению 510400 – Физика и для...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.