WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ для студентов заочного факультета по математике (IV семестр) Издание второе, переработанное и дополненное Уфа 2006 Дан теоретический материал (понятия, ...»

-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра МАТЕМАТИКИ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для студентов заочного факультета

по математике (IV семестр) Издание второе, переработанное и дополненное Уфа 2006 Дан теоретический материал (понятия, определения, формулы, теоремы), необходимый студенту для изучения курса математики и выполнения контрольных работ. Приведены решения типовых задач и примеров. Рекомендуется студентам II-го курса (IV семестр) заочного факультета.

Составители: Якупов В.М., доц.

Чернятьева Р.Р., доц., канд. физ.-мат. наук Рецензент Якубова Д.Ф., старший преподаватель © Уфимский государственный нефтяной технический университет, 1997,

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Великое множество событий и явлений совершается в окружающем нас мире. События взаимосвязаны – одни из них являются следствием (исходом) других и, в свою очередь, служат причиной третьих.

Вглядываясь в гигантский водоворот взаимосвязанных явлений, можно сделать два важных вывода. Во-первых, наряду с совершенно определенными, однозначными исходами встречаются неоднозначные исходы. Если первые можно предсказать точно, то вторые допускают только вероятностные предсказания. Другой не менее важный вывод состоит в том, что неоднозначные исходы встречаются значительно чаще, чем однозначные.

Со случайными событиями (и вообще случайностями разного рода) мы встречаемся очень часто, значительно чаще, чем это обычно принято считать.

Случаен набор выигравших номеров в тираже спортлото. Случаен результат встречи двух спортивных команд одного и того же класса. Количество солнечных дней в данной местности изменяется от года к году случайным образом.

Совокупность случайных факторов лежит в основе любого процесса массового обслуживания – телефонной связи, торговли, транспортных услуг, медицинской помощи и т.д.




Предметом теории вероятности является выявление закономерностей в массовых случайных явлениях.

Теория вероятностей является математическим фундаментом для большого числа прикладных наук. Среди них можно назвать статистику, разделы физики, изучающие микромир (атомную и ядерную физику, квантовую механику, физику элементарных частиц), генетику, теорию массового обслуживания и многие другие.

1.1. Случайные события Рассмотрим эксперимент (опыт), имеющий n взаимоисключающих исходов. Обозначим множество этих исходов E и будем называть его множеством элементарных событий. Элементарные события будем обозначать буквой e (или другими прописными буквами – по смыслу).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Событием (случайным событием) называется любое подмножество множества E.

События будем обозначать заглавными буквами. Из определения следует, что сами элементарные события являются событиями.

Говорят, что событие A произошло, если произошло какое-либо из составляющих его элементарных событий.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пустое множество называется невозможным событием, а множество E достоверным событием.

Очень часто бывает важно уметь выражать одни события через другие.

Для этого введем некоторые операции над случайными событиями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Суммой двух событий A и B называется событие C, состоящее из элементарных событий, принадлежащих или A, или B, и обозначается C = A + B, иначе C = A U B.

Для наглядности события будем изображать овальными фигурами на плоскости. Тогда сумму событий можно представить как заB A штрихованную область.

Таким образом, событие C = A + B происходит, если происходит только событие A или только событие B или происходят и то и другое.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Произведением двух событий A и B называется событие С, состоящее из элементарных событий, принадлежащих и A, и B (одновременно), и обозначается C = A B = A B, иначе C = A I B.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. События A и B называются несовместными, если A B =, то есть они не содержат общих элементарных событий.

ПРИМЕР 1. Появление одновременно туза и короля при извлечении одной карты из колоды – события несовместные.

Замечание. Элементарные события по своему определению являются несовместными событиями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Разностью событий A и B называется событие С, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначается С = A \ B.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Событие B называется противоположным по отношению к событию A, если B = E \ A, и обозначается B = A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Будем говорить, что событие A влечет за собой событие B (или B следует из A ), если элементарные события, принадлежащие A, принадлежат и B. Обозначается A B.

Перечислим некоторые свойства операций над случайными событиями:

1 0. A + B = B + A;

2 0. A B = B A;

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Совокупность событий A 1, A 2, K, A n образует схему случаев, если выполнены три условия.

1. События попарно несовместны, то есть 2. Совокупность событий образует полную группу – в результате опыта обязательно происходит хотя бы одно из них, то есть 3. События равновозможны, то есть нельзя предпочесть одно из них любому другому в смысле частоты появления в испытаниях.





Замечание 1. Очевидно, что для множества элементарных событий E выполнены первые два условия, то есть E полная группа несовместных (элементарных) событий.

Замечание 2. Последнее условие является отражением некоторых свойств симметрии. Так, очевидно, что при бросании монеты появление герба и цифры – равновозможные события (если монета не гнутая).

Равновозможным событиям естественно ставить в соответствие равные вероятности. Поэтому множество элементарных событий образует схему случаев, если p (e ) = для всякого e E.

ПРИМЕР 1. Пусть в урне 3 шара – красный, белый и черный. Урна – это сосуд, в котором находятся шары, которые тщательно перемешаны и одинаковы на ощупь. Это обеспечивает равновозможность случайного выбора любого из шаров. Рассмотрим события К, Б и Ч вытащить шар определенного цвета.

Эти события образуют схему случаев.

ПРИМЕР 2. Пусть в урне 4 белых и 2 черных шара. Событие Б и Ч в данном примере не образуют схемы случаев, так как эти события неравновозможны (белых шаров в два раза больше). Однако, если шары пронумерованы, то шестерка элементарных исходов Ш 1, Ш 2, K, Ш 6 образует схему случаев.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. (классическая формула подсчета вероятности). Если исход опыта образует схему случаев, то вероятность события А равна где n общее число исходов; m число исходов, благоприятствующих наступлению события A, то есть количество событий A i i = 1, n, при наступлении которых происходит A.

Перечислим некоторые свойства вероятностей.

3. P (U ) = 1, где U достоверное событие;

4. P (V ) = 0, где V невозможное событие;

В опыте с большим числом исходов, в подсчете общего числа исходов n и числа благоприятных исходов m является задачей практически невыполнимой, если действовать методом простого перебора. В таких ситуациях пользуются методами комбинаторики – раздела математики, занимающегося подсчетом числа комбинаций, какими можно выбирать и переставлять элементы из заданного их набора (множества).

Сформулируем и докажем некоторые положения комбинаторики, которые понадобятся нам в дальнейшем.

можно образовать ровно m n различных упорядоченных пар a i, b j, содержащих по одному элементу из каждой группы.

Доказательство. Перечислим все возможные пары, записав их в прямоугольную таблицу так, чтобы a i, b j стояла в i й строке и j м столбце Эта таблица содержит n строк и m столбцов и каждая пара встречается в таблице один и только один раз. Очевидно, что число пар равно m n.

Доказанное утверждение обобщается на случай нескольких групп признаков, а именно, верна следующая.

Теорема 2. Пусть имеется k группа элементов (признаков) Тогда можно образовать ровно n 1 n 2 K n k = n i комбинаций вида Доказательство этого утверждения несложно провести методом математической индукции, опираясь на теорему 1. Здесь мы не будем его приводить.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Рассмотрим исходное множество, состоящее из n элементов. Выборкой объема k из этой совокупности называется любое подмножество, состоящее из k элементов, причем:

1. Выборка называется упорядоченной, если мы фиксируем порядок извлечения элементов, то есть каждому элементу выборки можно поставить в соответствие натуральное число – его порядковый номер (очередность).

2. Выборка называется неупорядоченной, если нас интересует только окончательный набор элементов безотносительно к их очередности.

3. Выборка с возвращением – извлеченный элемент возвращается в исходное множество и снова участвует в «конкурсе случайности».

4. Выборка без возвращения – исходное множество обедняется – извлеченный элемент в «конкурсе» больше не участвует.

Замечание 1. Из определения следует, что выборки классифицируются по двум признакам, каждый из которых может принимать два значения. Из теоремы 1 следует, что всего бывает 2 2 = 4 класса (типа) выборки.

Рассмотрим сначала упорядоченные выборки.

Теорема 3. Число различных упорядоченных выборок с возвращением из исходного множества, содержащего n элементов, равно n k.

объема k Доказательство. Выборки в данном случае – это комбинации вида нижний указывает, какой именно элемент взят из исходного множества {a 1, a 2, a 3, K, a n }. Нижние индексы могут совпадать, так как выборка производится с h = h 1 = h 2 = h 3 = K = h k, поэтому число различных комбинаций равно Теорема 4. Число различных упорядоченных выборок без возвращения объема k из исходного множества, содержащего n элементов, равно Доказательство. В комбинации a i(1), a (j2 ), K, a (k ) теперь все нижние инe дексы различны – выборка состоит из различных элементов исходного множества. В условиях теоремы 2 получаем n 1 = n, n 2 = n 1, K, n k = n k + 1, поэтому число различных комбинаций равно n (n + 1)K (n k + 1).

размещений и обозначается A k (" A из n по k").

Замечание 2. Если использовать факториалы, то очевидно, что Напоминаем, что по определению 0 ! = 1.

перестановок и обозначается Pn.

В этом случае выборки содержат все элементы исходного множества и отличаются только порядком следования элементов. Поэтому их можно получить путем перестановки элементов исходного множества.

Рассмотрим теперь неупорядоченные выборки.

Теорема 5. Число различных неупорядоченных выборок с возвращением объема k из исходного множества, содержащего n элементов, равно A k k !.

Доказательство. Число упорядоченных выборок без возвращения по теореме 4 равно A k. Очевидно, что неупорядоченных выборок во столько раз меньше этого числа, сколько можно сделать перестановок в множестве, состоящем из k элементов, то есть Pk = k ! Поэтому интересующее нас число равно A k k !.

сочетаний и обозначается C k (" C из n по k").

Замечание. При подсчете C k проще всего пользоваться формулой Теорема 6. Число различных неупорядоченных выборок с возвращением объема k из исходного множества, содержащего n элементов, равно C k + k 1.

Доказательство этой теоремы здесь не приводим.

Доказанные теоремы 1-6 можно обобщить в виде табл. 1.

Число выборок объема k из исходного множества, содержащего n элементов При решении конкретных задач необходимо сначала внимательно изучить, к какому типу выборок относится интересующая нас выборка, и определить исходное множество. После этого можно воспользоваться приведенной табл. 1.

ПРИМЕР 1. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить ровно из 5 символов?

Решение. Всего у нас 2 символа (исходное множество). Очевидно, что выборка (С1, С 2, С 3, С 4, С 5 ) делается с возвращением и упорядочена. Поэтому число равно 2 5 = 32.

ПРИМЕР 2. Кости для игры в домино метятся двумя числами. Исходное множество {,2,3,4,5,6} состоит из 7 элементов. Кости симметричны, поэтому порядок следования чисел в выборке, состоящей из 2 чисел, несущественен (неупорядоченность). Выборка производится с возращением. Поэтому число 1.4. Применение комбинаторики к вычислению вероятностей Рассмотрим несколько задач, сводимых к схеме случаев, для решения которых эффективно используются формулы комбинаторики из предыдущего раздела.

Производится выборка объема k с возвращением из совокупности, содержащей n элементов. Какова вероятность того, что все элементы выборки различны?

Будем считать, что все выборки равновозможны (по условию опыта). Тогда опыт сводится к схеме случаев и для вычисления вероятности можно применить классическую формулу P = m n. Общее число исходов равно n k. Число благоприятных исходов m равно A k, так как нас интересует число выборок без возвращения. Поэтому искомая вероятность равна P = A k n k.

Рассмотренная задача обладает большой общностью. К ней сводится большое число конкретных примеров.

ПРИМЕР 1. Пусть имеется группа из k людей. Какова вероятность того, что у всех из них дни рождения различны?

Решение. Для простоты будем полагать, что число дней в году 365. Тогда есть среди 30 людей по крайней мере двое имеют общий день рождения с достаточно большой вероятностью 0,7.

ПРИМЕР 2. Какова вероятность того, что телефонный номер, состоящий из 6 цифр, не будет иметь одинаковых цифр?

Решение. Исходное множество {0,1, K,9}, (n = 10). Для упрощения предположим, что номер может начинаться с цифры 0, k = 6, поэтому P = A 10 10 6 0,005.

ПРИМЕР 3. Какова вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости ни разу не выпадает шестерка?

Решение. Общее число исходов равно 6 6 (упорядоченная выборка объема 6 с возвращением из множества, содержащего 6 элементов). Число благоприятных исходов равно 5 6 (одна грань, шестерка, исключается из исходного множества). Поэтому P = (5 6 ) 0,335.

Вероятность противоположного события – при шести бросаниях выпадет хотя бы одна шестерка (одна, две, …, шесть) – равна 1 (5 6 ) 0,665.

1.5. Условная вероятность. Независимые события ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть заданы два события A и B, причем P (B) 0.

Тогда условной вероятностью события A при условии, что событие B уже Следствие: P (A B ) = P (A B ) P (B ) = P (B A ) P (A ) называется теоремой умножения вероятностей.

ПРИМЕР 1. В урне 3 белых и 2 черных шара. Последовательно извлекаются из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба окажутся белыми?

Решение. Используя теорему умножения вероятностей, получаем Теорема умножения вероятностей случайных событий автоматически обобщается на случай нескольких событий A1, A 2, K, A n. Применяя последовательно теорему умножения вероятностей, получаем В такой записи нижний индекс соответствует хронологической последовательности появления событий.

ПРИМЕР 2. В урне имеется 5 пронумерованных шаров. Какова вероятность того, что при упорядоченной выборке номера будут следовать в порядке возрастания?

Решение. Пусть A i событие, заключающееся в том, что извлекаемый Правило умножения вероятностей становится особенно простым для особого вида событий, называемых независимыми событиями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Два события A и B называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло другое или нет.

Следствие 1. В этом случае P (A B) = P(A ) и P (B A ) = P(B), что следует из определения условной вероятности.

Следствие 2. Для других независимых событий A и B справедливо следующее правило умножения вероятностей: P (AB ) = P (A ) P (B ).

1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса Пусть H 1, H 2, K, H n полная группа попарно независимых событий и интересующее нас событие A может произойти совместно с каким-либо H i.

Тогда A = A H1 + A H 2 + K + A H n, все слагаемые в этой сумме несовместны, следовательно, Применяя теперь формулу умножения вероятностей к каждому из слагаемых, получаем Полученная формула называется формулой полной вероятности и служит для решения большого круга практических задач. События H i при этом часто называются гипотезами (предположениями).

ПРИМЕР 1. Предположим, что один и тот же вид продукции производится на двух заводах. При этом первый завод поставляет 70% продукции, а второй – 30%. Кроме того, известно, что вероятность брака на первом заводе равна 0,1%, а на втором – 0,2%. Вся продукция поступает на склад (перемешивание).

Какова вероятность того, что изделие со склада будет бракованное?

Решение. Обозначим H 1 изделие с первого завода; H 2 изделие со второго завода; A изделие бракованное.

Очевидно, что H 1, H 2, A удовлетворяют всем свойствам событий, входящих в формулу полной вероятности. Поэтому получаем ПРИМЕР 2. Пусть в урне находятся две одинаковые маленькие урны. В первой урне 1 белый и 3 черных шара, а во второй – 2 белых и 2 черных. Сначала мы выбираем, а затем извлекаем из нее шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

Решение. Обозначим H 1 извлекается первая урна, H 2 вторая. Тогда С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Она является в определенном отношении обратной (хронологически) к формуле полной вероятности. Пусть событие A совершилось. Какова вероятность того, что оно произошло совместно с гипотезой H j ?

Решение. Нам необходимо вычислить условную вероятность это и есть формула Байеса. Здесь мы использовали теорему умножения вероятностей и формулу полной вероятности. Несмотря на свою простоту и очевидность, эта формула имеет большой практический смысл.

На практике часто встречаются ситуации, в которых многократно повторяются испытания, связанные с появлением интересующего нас случайного события. Например, многократное подбрасывание монеты или игральной кости, физические измерения и т.д. Выявлению вероятностных закономерностей, проявляющихся в повторных испытаниях, посвящена данная глава. Простейшим видом повторных испытаний является схема Бернулли, которую мы и будем подробно исследовать.

Пусть производится n испытаний, причем выполняются следующие условия:

1) испытания независимы, то есть начальные условия перед каждым испытанием абсолютно одинаковы;

2) в каждом испытании интересующее нас событие A может произойти с вероятностью p. Это и называется схемой Бернулли.

Вероятность того, что событие A не произойдет в одном испытании, очевидно, равна P A = 1 P (A ) = 1 p и обозначается q.

Какова вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет ровно m раз, причем нас не интересует, в каких именно испытаниях событие произошло, а в каких – нет. Обозначим через B m интересующее нас случайное событие. Тогда, используя операции над событиями, получаем B m = A 24 A 24 + K {другие возможные расстановки m собыA 3 1 K тий A на n позициях и A на оставшихся n m позициях.} Порядок следования множителей в этой записи означает порядок наступления событий A или A при повторении испытаний. Сколько слагаемых в этой сумме? Первое A можно разместить n способами, второе – (n 1) способом и т.д., последнее – n (m + 1) способом. Перестановки A между собой несущественны, поэтому получаем количество слагаемых, равное Все слагаемые, входящие в B m, являются несовместными событиями.

Применяя правило сложения вероятностей, получаем, что вероятность P (B m ) равна сумме вероятностей всех слагаемых. Все эти вероятности равны между собой, так как для независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей, а от перестановки сомножителей произведение не меняется. Поэтому получаем следующую формулу:

Полученная формула называется формулой Бернулли, при этом вместо P (B m ) мы будем также писать Pn ( m ). Итак, ПРИМЕР 1. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет 4 раза?

Решение. По формуле Бернулли получаем Рассмотрим схему Бернулли с большим числом испытаний n. Пользоваться формулой Бернулли в этом случае практически невозможно из-за необходимости вычислять факториалы больших чисел. В этом случае, если произведение n p q 1 (большое), справедливы следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.

ЛОКАЛЬНАЯ теорема Лапласа. Пусть n p q 1, тогда Таблицы функции имеются во всех учебных пособиях по теории вероятностей. (См. приложение 1).

ПРИМЕР 1. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает 4 раза?

Решение. В примере 2 мы уже нашли эту вероятность P10 (4 ) = 0,205. По приближенной формуле Лапласа получаем Относительная ошибка составляет около 1%.

ИНТЕГРАЛЬНАЯ теорема Лапласа. Пусть n p q 1, тогда Функция Лапласа не выражается через элементарные функции, но для нее существуют таблицы во многих учебных пособиях (см. прил. 2).

Перечислим основные свойства функции Лапласа 1. (x ) монотонно возрастает, так как (x ) 0.

Для теории вероятностей характерно то, что результаты рассматриваемых экспериментов можно представить числом, причем случайный характер исхода влечет и случайность этого числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять какое-либо числовое значение, заранее нам неизвестное. Все это множество, называемое множеством возможных значений случайной величины, нам известно заранее.

По типу множества возможных значений случайные величины бывают двух видов – дискретные и непрерывные. Случайные величины, как и случайные события, мы будем обозначать заглавными буквами.

Для случайных величин возникает задача: вычислить вероятности того, что они будут принимать те или иные значения из множества своих возможных значений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Законом распределения случайной величины называется любое правило, позволяющее для произвольного набора возможных значений вычислять соответствующие вероятности.

Закон распределения может быть выражен в различных формах.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений – конечное или счетное числовое множество.

x 1, x 2, K, x n, K, а p1, p 2, K, p n, K соответствующие вероятности, то есть тогда можно составить таблицу вида Таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. Случайные события X = x i попарно несовместны и в совокупности образуют полную группу, поэтому ПРИМЕР 1. Монета бросается 3 раза. X число выпавших гербов. Тогда множество возможных значений {0,1,2,3}, а соответствующие вероятности подсчитываются по формуле Бернулли при n = 3 и p = q = :

Соответствующий ряд распределения ПРИМЕР 2. Пусть имеется схема Бернулли с n испытаниями и вероятностью успеха P в одном испытании. X общее число успехов в n испытаниях.

Ряд распределения будет выглядеть следующим образом где вероятность рассчитывается с помощью формулы Бернулли ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Закон распределения, заданный с помощью формулы Бернулли, называется биномиальным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Закон распределения, заданный с помощью формуe k лы Pn (k ) =, называется распределением Пуассона, возможные значеk!

ния случайной величины X из множества 0,1,2, K, k, K В этом случае число успехов X принимает значения из бесконечного счетного множества {0,1,2, K}.

1.9. 1. Функция распределения. Непрерывные случайные величины Рассмотрим сейчас универсальный способ задания закона распределения, который годится для случайных величин любого типа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x ), равная вероятности того, что X примет значение меньшее, чем число x, то есть Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Перечислим свойства функции распределения:

2 0. F (x ) неубывающая функция, то есть из x 2 x 1 следует Доказательство. Случайное событие (X x 2 ) можно представить в виде суммы двух несовместных событий (X x 1 ) и (x 1 X x 2 ). Применяя теорему сложения, получаем Доказательство. Используя предыдущее свойство, можно записать 4 0. F (x ) непрерывна слева, то есть для любой точки x Доказательство. Из свойства 3 0 можно записать для положительного числа :

Доказательство. Из 30 следует, что при 0 при 0 в пределе получим lim F (x ) = F (x 0 ) + P (x 0 X x 0 ).

Доказательство. Из определения непрерывности и свойства 5 0 получаем Доказательство. (X ) невозможное событие, а (X + ) достоверное, поэтому ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывная.

Из определения непрерывной случайной величины и свойства 6 0 следует, что вероятность того, что такая величина примет какое-либо отдельное значение, всегда равна нулю.

Поэтому для непрерывных случайных величин вероятности строгое или нестрогое неравенство. Для дискретных это очень существенно.

ПРИМЕР 1. Пусть случайная величина X задана своей функцией распрепри x 1, Построим ее график и найдем вероF(x ) ятность того, что X [1, 2] :

Из графика видно, что X непрерывная случайная величина.

1.10. Плотность распределения случайной величины Рассмотрим в этом параграфе только непрерывные случайные величины.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если функцию распределения F(x ) непрерывной случайной величины можно представить в виде то функция f (x ) называется плотностью распределения вероятности.

Замечание 1. Для существования интеграла необходимо, чтобы f (x ) была кусочно-непрерывная, тогда F(x ) непрерывна. Таким образом, плотность могут иметь только непрерывные случайные величины.

Замечание 2. Из определения следует, что F(x ) = f (x ), причем производную надо, строго говоря, в каждой точке рассматривать в односторонних смыслах, так как F(x ) неубывающая функция.

2. f (x ) dx = 1 (условие нормировки).

Действительно, Приведем далее в качестве примеров некоторые часто встречающиеся законы распределения непрерывных случайных величин, заданных с помощью плотностей распределения вероятности.

ПРИМЕР 1. Равномерное распределение. Говорят, что случайная величина X равномерно распределена на отрезке [a, b], если она имеет следующую плотность: f (x ) = c при a x b, Значение постоянной c определяем из условия нормировки График плотности распределения имеет следующий вид:

Если какой-либо отрезок [; ] целиком содержится в [a; b], то вероятность попадания в него случайной величины X равна Поэтому можно сказать, что вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на какой-либо отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его положения внутри области возможных значений.

Построим теперь функцию распределения. При x a функция распределения равна нулю, так как f (x ) = 0. При a x b получаем График функции имеет вид:

С равномерно распределенными случайными величинами мы сталкиваемся тогда, когда по условиям опыта случайная величина принимает значения на некотором конечном промежутке, причем все возможные значения из этого промежутка одинаково возможны. Например, X время ожидания на остановке автобуса – равномерно распределенная на отрезке [0; T ] случайная величина, T интервал движения автобусов по расписанию.

где m любое число, а положительное; m и называются параметрами распределения. Нормальный закон распределения зависит, таким образом, от двух параметров. График плотности распределения имеет следующий вид:

Если m = 0 и = 1, то нормальный закон распределения называется стандартным и имеет плотность Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. В силу особой важности этого закона распределения мы изучим подробно его несколько позже.

1.11. Математическое ожидание случайной величины и его свойства Любая случайная величина может быть задана с помощью, например, своей функции распределения.

Однако далее не во всякой задаче нам необходимо знать закон распределения случайной величины полностью. В ряде случаев можно обойтись несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения изучаемой случайной величины. Например, числом, характеризующим среднее значение случайной величины, и числом, характеризующим средний размах отклонения значений случайной величины от своего значения и т.п. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайных величин.

Наиболее важной характеристикой случайной величины является ее среднее значение.

Предположим, что случайная величина X связана с некоторым опытом и что проведено всего N опытов. При этом значение x 1 мы наблюдали n 1 раз, значение x 2 n 2 раз и т.д. Найдем среднее арифметическое всех значений:

относительная частота появления значения x i (i = 1,2, K). Мы уже где знаем, что при N эта величина стремится к вероятности p i случайного события (X = X i ), что в частности, отмечено во введении.

Поэтому естественно дать следующее.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины, заданной своим рядом распределения называется число где (i ) означает суммирование по всем всевозможным значениям случайной величины.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим распределение Пуассона ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью f (x ) называется число ПРИМЕР 2. Для равномерного на отрезке [a, b] распределения имеем Вероятностный смысл математического ожидания – это центр тяжести распределения, что хорошо видно из предыдущего примера.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1 0. M [C] = C, если С неслучайная величина.

Доказательство. Неслучайную величину С можно рассматривать как дискретную случайную величину с одним возможным значением; это вырожденное распределение со следующим рядом распределения Доказательство. Константу можно выносить за знак суммы или интеграла. Например, для дискретного случая получаем 3 0. M [X + Y ] = M [X] + M [Y ] (без доказательства).

1.12. Дисперсия случайной величины и ее свойства Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание, но степень разбросанности ее значений около математического ожидания может быть различны.

Поэтому необходимо ввести числовую характеристику для измерения степени разброса, рассеивания значений случайной величины около ее математического ожидания.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Дисперсией случайной величины называется число то есть дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от своего математического ожидания.

Поэтому дисперсию часто обозначают 2.

Свойства дисперсии следует из ее определения и свойств математического ожидания:

1 0. D[C] = 0, если C неслучайное число.

Доказательство. D[C] = M (C M(C )) Доказательство 3 0. D [D ± Y ] = D [X] + D [Y ], если случайные величины и независимы.

Доказательство будет приведено в п.

Доказательство.

Последнее свойство удобно при практических расчетах дисперсии. Приведем далее конкретные формулы для расчета дисперсии как дискретных, так и непрерывных случайных величин:

где m = M [X ] математическое ожидание, рассчитывается предварительно соответственно по формулам согласно определениям 1 и 2.

ПРИМЕР 1. Дисперсия распределения Пуассона.

умножая теперь обе части на, получаем e = k.

Отсюда, в частности, следует, что = e Дифференцируя предпоследнюю формулу еще раз и умножая ответ на ПРИМЕР 2. Для равномерного на [a; b] распределения получаем, испольb a )2.

Можно показать, что дисперсия случайной величины распределенного по нормальному закону равна 2.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины.

Чтобы ввести характеристику той же размерности, что и случайная величина X, извлекают корень квадратный из дисперсии, полученную числовую характеристику называют средним квадратическим отклонением и обозначают [X ], то есть Например, для случайной величины распределенной по нормальному закону, она равна.

В результате наблюдений и регистрации массовых случайных явлений получаются статистические данные или статистический материал. Если наблюдаемая величина есть случайная, то она изучается методом теории вероятностей. Для понимания характера этой случайной величиной нужно знать ее закон распределения. Определение законов распределения рассматриваемых величин и оценка значений параметров распределения на основании наблюдаемых значений – задача математической статистики. Другой задачей математической статистики является создание методов обработки и анализа статистического материала с целью получения определенных выводов, необходимых для организации оптимального процесса, где участвуют рассматриваемые величины.

Статистический материал, получающийся в результате наблюдений, помещается в таблице, состоящей из двух строк. В первой строке отмечается частота наблюдаемого значения, во второй – полученное значение x i измеряемой величины X.

Этот статистический материал называется выборкой, Эмпирической функцией распределения называется функция F* (x ), определяющая для каждого значения x относительную частоту события X x :

где n x число значений наблюдаемой величины, меньше x.

Эмпирическая функция обладает следующими свойствами:

1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1];

2) F * (x ) неубывающая функция;

3) если x 1 наименьшее значение, а x k наибольшее значение наблюдаемой случайной величины, то F * (x ) = 0 при x x 1 и F* (x ) = 1 при x x k.

Имеется выборка объема n. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1, n 1 ), (x 2, n 2 ), K, (x k, n k ), где x i значения случайной величины, n i соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки выборки.

При непрерывном распределении признака разбивают весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, на ряд частичных интервалов длиною h и находят n i сумму частот значений x i, попавших в i й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания которых являются частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n i h.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длиною h, а высоты равны p * h, p * относительная частота знаi i чений случайной величины, попавших в i й интервал.

При изучении некоторой случайной величины получили выборку x 1, x 2, K, x n. На основе этих данных определяют параметры распределения, которые называются статистическими оценками неизвестных параметров.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Для того чтобы эти оценки давали «хорошие приближения» оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Несмещенной называют статистическую оценку *, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, то есть Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Выборочной средней x B называют среднее арифметическое значение Выборочная средняя x B статистическая оценка для математического ожидания m x, можно показать, что M x B = m x.

Выборочной дисперсией D B называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений случайной величины от их среднего значения x B.

Выборочная дисперсия D B является статистической оценкой для дисперсии случайной величины x, причем Выборочную дисперсию «исправляют» так, чтобы ее математическое ожидание было равно дисперсии случайной величины. Достаточно для этого умножить D B на дробь. Умножая, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через S 2 :

Для оценки же среднего квадратического отклонения случайной величины используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии.

Статистическая оценка называется интервальной, если определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика * является оценкой неизвестного параметра. Ясно, что * тем точнее определяет параметр, чем меньше абсолютная величина разности *. Если 0 и *, то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки * по называют вероятность, с которой выполняется неравенство *. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал ; * + заключает в себе неизвестный параметр, равна.

Доверительным называется интервал * ; * +, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

1.17. Доверительный интервал для оценки математического Изучается случайная величина X, распределенная по нормальному закону, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно. Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания по выборочной средней x B с надежностью, то есть чтобы выполнялось соотношение Без вывода приводим формулу доверительного интервала для математического ожидания m :

= точность оценки, где n объем выборки, число t определяется из равенства 2 (t ) = ; по таблице функции Лапласа (см. приложение II) находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное.

ПРИМЕР 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением = 3.

Найдите доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания m по выборочной средней x B = 4,1, если объем выборки n = 36 и задана надежность оценки = 0,95.

Решение. Найдем t. Из соотношения 2 t = 0,95 получим (t ) = 0,475.

По таблице значений функции Лапласа находим t = 1,96.

Доверительный интервал таков: (4,1 0,98$ 4,1 + 0,98) или (3,12; 5,08).

Значения неизвестного математического ожидания удовлетворяют неравенству 3,12 m 9,08.

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то, используя распределение Стьюдента, можно получить доверительный интервал для неизts вестного математического ожидания в виде x B ; xB +, где s исn правленное среднее квадратическое отклонение. По таблице распределения Стьюдента по заданным n и можно найти t.

ПРИМЕР 2. Случайная величина имеет нормальное распределение. По выборке объема n = 16, x B = 20,2 и s = 0,8 найдите доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с надежностью = 0,95.

Решение. Найдем t. Пользуясь таблицей распределения Стьюдента, по = 0,95 и n = 16 находим t = 2,13.

Найдем границы доверительного интервала:

С надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание m заключено в доверительном интервале 19,777 m 20,626.

2. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производя четыре арифметических действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над действительными числами получаем всегда число действительное. Возведение в натуральную степень действительного числа получаем число действительное. Обратное действие – извлечение корня – даже в простейшем случае квадратного корня дает нам примеры чисел вида b 1, где b R. Если перейти к решению квадратного уравнения a z 2 + b z + c = 0, где a, b R. Такие числа называются комплексными, 1 мнимая единица.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Выражение вида z = a + i b, где a и b действительные числа, а i мнимая единица i 2 = 1, называется комплексным числом.

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются a = Re z, y = Jm z.

Комплексное число z = a i b называется комплексно-сопряженным числу z = a + i b.

Перейдем к определению алгебраических операций над комплексными числами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Суммой комплексных чисел z1 = a 1 + i b1 и z 2 = a 2 + i b 2 называется комплексное число z = a 1 + a 2 + i (b1 + b 2 ).

Из определения сложения вытекают законы сложения:

а) переместительный: z1 + z 2 = z 2 + z1 ;

Действие вычитания определяется как обратное сложению: для любых двух комплексных чисел z1 = a 1 + i b1 и z 2 = a 2 + i b 2 можно найти такое число z = a + i b, что и z 2 + z1 = z1. Число z называется разностью чисел z1 и z 2 и обозначается символом z1 z 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Произведением комплексных чисел z1 = a 1 + i b1 и z 2 = a 2 + i b 2 называется комплексное число z = a 1a 2 b1b 2 + i (a 1b 2 + a 2 b1 ).

Из этого определения следуют законы умножения:

в) распределительный (относительно сложения): (z 1 + z 2 ) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

есть произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей. Легко заметить, что формула произведения двух комплексных чисел z 1, z 2 получается при перемножении a 1 + i b 1 и a 2 + i b 2 по обычным правилам алгебры с заменой произведения i i ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Комплексные числа z1 = a 1 + i b1 и z 2 = a 2 + i b называются равными, то есть z 1 = z 2, если выполняется равенство a 1 = a 2, Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению. Комплексное число z = a + i b называется частным комплексных чисел z1 = a 1 + i b1 и z 2 = a 2 + i b 2 0, если z1 = z 2 z. Отсюда следует, что действительная a и мнимая b части частного z определяются из линейной системы алгебраических уравнений отличным от нуля. Решив эту систему, получим определенное комплексное число z = a + i b. Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости X0Y существует взаимно-однозначное соответствие. Действительные числа z = a будут изображаться на плоскости X0Y точками M(a ;0 ) оси 0X, мнимые числа z = ib будут изображаться точками (0; b ) оси 0Y.

Плоскость X0Y называется конечной комплексной плоскостью; если ее пополнить числом z =, то она называется расширенной комплексной плоскостью.

Введем в рассмотрение длину отрезка 0M и угол, образованный этим отрезком с положительным направлением оси 0X (рис. 1).

Величины 0M и называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа z и обозначаются символами 0M = z, = Arg z.

Полученное представление комплексного числа z называется тригонометрической формой комплексного числа. Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой z = a 2 + b 2, в то время как аргумент при z 0 бесконечнозначен и все его значения отличаются друг от друга на слагаемые, кратные 2. Все значения аргумента удовлетворяют соотношению Из множества значений Arg z выделяют одно, лежащее в области ( ; ], которое обозначается символом arg z и называется главным значением аргумента: arg z.

В силу формулы (1) находим, что ПРИМЕР 1. Представить в тригонометрической форме комплексное число z = 1 + i 3.

Используя формулу Эйлера e i = cos + i sin можно получить представление комплексного числа в виде которое называется показательной формой комплексного числа z, где Для выполнения операции умножения удобно пользоваться показательной формой комплексных чисел. Согласно правилам умножения получаем произведения равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. В случае деления комплексных чисел при z 2 0 имеет место плексного числа z, если z1 = z. Из этого определения следует, что z1 = n z, arg z1 = arg z. Но аргумент комплексного числа определен не одn нозначно, а с точностью числа до 2. Поэтому из выражения для аргумента комплексного числа z, arg z 1 =, где = arg z, получим, что сущестn вуют различные комплексные числа, которые при возведении в n ю степень равны одному и тому же комплексному числу z. Число различных значений корня n й степени из комплексного числа z равно n, таким образом Обобщая умножение комплексных чисел, можно получить формулу возведения в n ю степень комплексного числа z При z = 1 формула (5) дает формулу вида ПРИМЕР 2. Найти все значения корня i.

Решение. Определяя модуль и аргумент числа z = 0 + i, запишем его в показательной форме z = i = e2. Согласно формулы (4) получим для значений квадратного корня выражения Пусть D – множество точек плоскости z.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точка z называется внутренней точкой множества D, если все точки достаточно малого круга с центром в z принадлежат множеству D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Точка z принадлежащая или не принадлежащая множеству D называется граничной точкой множества D, если любой круг с центром в z содержит точки, принадлежащие D, так и точки, не принадлежащие D.

Множество всех граничных точек множества D называется границей множества D.

ПРИМЕР 1. Круг z 1 состоит только из внутренних точек. Любая точка окружности z = 1 является границей круга.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Областью называется множество D точек плоскости z, обладающих следующими свойствами:

а) D состоит из одних внутренних точек (свойство открытости);

б) любые две точки, принадлежащие D, можно соединить непрерывной линией, целиком состоящей из точек D (свойство связности).

Множество точек, состоящее из области D и ее границы, называется замкнутой областью и обозначается D.

Число не связанных друг с другом частей, из которых состоит вся граница области D, называется порядком связности этой области. Так, об- ласть, представленная на ренность замкнутой линии) – односвязна, ибо ее граница состоит из одной только линии.

Границу односвязной области можно, непрерывно деформируя, стянуть в точку, не выходя за пределы рассматриваемой области. Область на рис. 3 – двусвязна, так как ее граница состоит из двух не связанных друг с другом частей.

Положительным направлением обхода границы области условимся считать такое направление, при котором область остается все время слева. На рис.

2 и 3 это направление указано стрелками.

В дальнейшем придется рассматривать стандартные окрестности, называемые окрестностями. окрестностью точки z 0 называется круг z z 0 радиуса с центром в точке z 0.

Даны два множества комплексных чисел D и W.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Говорят, что на множестве D задана функция w = f (z ), если каждому значению z из D поставлено в соответствие одно или несколько значений w или W (в первом случае функция называется однозначной, а во втором – многозначной).

D называется областью определения функции f (z ), а множество W всех значений w, которые f (z ) принимает – множеством изменения функции. Выz = x +iy Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций действительных переменных.

2.4. Предел и непрерывность функции комплексного переменного Пусть функция w = f (z ) определена и однозначна в некоторой окрестности точки z 0, исключая, может быть саму точку z 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число w 0 = u 0 + i v 0 называется пределом функции f (z ) = u (x, y ) + i v (x, y ) при z z 0 = x 0 + i y 0, если действительные функции u (x, y ) и v (x, y ) двух переменных x и y стремятся соответственно к Аналогично определение предела функции f (z ) можно сформулировать и Так как существование конечного предела функции комплексного переменного эквивалентно существованию конечных пределов двух действительных функций, то все теоремы о пределах из действительного анализа остаются в силе для функций комплексного переменного.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f (z ) называется непрерывной в конечной точке z 0, если она определена в некоторой окрестности этой точки, включая и саму этой точку, предел f (z ) при z z 0 равен f (z 0 ) :

Из определений предела и непрерывности функции вытекает следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы функция f (z ) = u (x, y ) + i v (x, y ) была непрерывна в точке z 0 = x 0 + i y 0 необходимо и достаточно, чтобы функции u (x, y ), v (x, y ) были непрерывны в точке (x 0, y 0 ).

Отсюда сразу же следует, что известные из действительного анализа теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций будут справедливы и для функций комплексного переменного.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функция f (z ) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области D.

2.5. Производная функции комплексного переменного.

Однозначная функция w = f (z ) определена в некоторой окрестности точки z. Выберем в этой окрестности точку z + z, найдем w ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если существует конечный предел отношения при z 0, то 1) функция f (z ) называется дифференцируемой в точке z ;

2) этот предел называется производной функции f (z ) в точке z и обозначается символом где, как обычно, обозначено Формулу (1) можно переписать так:

условии, что и w 0, но это есть условие непрерывности функции f (z ) в точке z. Итак, из дифференцируемости функции в некоторой точке вытекает и непрерывность функции в этой точке.

Выясним, при каких условиях функция f (z ) будет дифференцируемой в данной точке z.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы функция f (z ) = u (x, y ) + i v(x, y ) была дифференцируема в точке z = x + i y, необходимо и достаточно, чтобы 1) действительные функции u (x, y ), v(x, y ) были дифференцируемы в точке z ;

2) в этой точке выполнялись равенства (условия Коши-Римана).

Доказательство необходимости. Пусть функция f (z ) дифференцируема в точке z. Тогда предел (8) существует и конечен при приближении точки z к точке z + z любым образом (то есть этот предел не зависит от закона стремления z = x + i y к нулю). Пусть сначала точка z + z приближается к z по прямой, параллельной действительной оси, то есть z = x 0. В этом случае формула (8) дает Если же точка z + z приближается к точке z по прямой, параллельной мнимой оси, то z = i y 0 и формула (8) дает Согласно равенству (8) правые части равенств (10) и (11) должны быть равны друг другу:

Доказательство достаточности. Пусть условия (9) выполняются. Так как функции u (x, y ), v(x, y ) дифференцируемы в точке z = x + i y, то полные приращения этих функций можно представить в форме Приращение функции w = f (z ), используя формулы (12), (13) представим в виде Поделив обе части последнего равенства на z, найдем требовалось доказать.

Для функции комплексного переменного сохраняются все известные из действительного анализа правила дифференцирования:

2.6. Аналитические функции и их связь с гармоническими Дана функция = f (z ), которая определена в области D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f (z ), однозначная и дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической в этой области.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f (z ) называется аналитической в конечной точке z, если она является аналитической в некоторой окрестности точки ПРИМЕР 1. Дана функция = e z. Проверить эту функцию на аналитичность.

Следовательно, условия Коши-Римана для функции выполняются во всех точках плоскости z, в силу чего она дифференцируема, а значит и аналитична во всей плоскости z.

Выясним, любая ли функция двух переменных x и y может служить действительной или мнимой частью некоторой аналитической функции.

Если функция f (z ) аналитическая в области D, тогда во всех точках D функции u (x, y ), v(x, y ) удовлетворяют условиям Коши-Римана Дифференцируя первые из этих тождеств (14) по y, а второе по x и выv 2 v читая почленно из первого второе, получим Дифференцируя первое из тождеств (14) по x, а второе по y и почленно складывая, получим Отсюда следует, что функции u, v должны удовлетворять одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка. Функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими функциями. Однако гармонические функции u и v должны еще удовлетворять условиям Коши-Римана (14); такие две гармонические функции называются взаимно-сопряженными. Итак, действительная и мнимая части аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

Основываясь на этом, всегда можно найти аналитическую функцию, для которой данная гармоническая функция является действительной или мнимой частью.

Например, гармоническая функция u (x, y ) является действительной частью некоторой аналитической функции f (z ) ; гармоническую функцию v(x, y ), сопряженную с функцией u (x, y ), найдем из условия (14), которое опv v разом, задача отыскания гармонической функции, сопряженной с данной гармонической функцией, есть задача интегрирования полного дифференциала функции двух переменных.

ПРИМЕР 2. Найти аналитическую функцию, для которой функция u = x 2 y 2 + 2x является действительной частью.

Решение. Функция u = x 2 y 2 + 2x является гармонической, что проверяется дифференцированием.

Для определения функции (y ) дифференцируем последнее равенство по y и подставляя во второе соотношение:

v = 2 xy + 2 y + c. Находим искомую аналитическую функцию где c произвольная постоянная.

2.7. Основные элементарные функции комплексного переменного w = sh z, w = th z, w = cth z, w = Ln z называются основными элементарными.

На комплексной плоскости функции sin z, cos z определяются формулами:

Непосредственной проверкой убеждаемся, то sin 2 z + cos 2 z = 1.

Функции sh z, ch z, th z, cht z определяются формулами веркой убеждаемся, что ch 2 z sh 2 z = 1.

Функция Ln z определяется как обратная для e z, то есть e w = z, где Из определения основных элементарных функций следует, что они являются аналитическими в своей области определения.

ПРИМЕР. Вычислить sin i.

Решение. По определению sin z на комплексной плоскости имеем 2.8. Интеграл от функции комплексного переменного В области D плоскости z = x + i y задана непрерывная функция ласти D. Задание начала и конца ложительное направление. Кривая L может быть как незамкнутой, образом разобьем кривую L на части в направлении от z 0 к z точками z 1, z 2, K, z n причем z n = z (рис. 4). Обозначим x k = x k x k 1, y k = y k y k. В произвольном месте каждой дуги z k 1 z k возьмем соответственно по точке k = k + k и составим сумму

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

max z k 0, n, не зависящий ни от выбора точек k, ни от способа разбиения кривой L на части, то этот предел называется контурным интегралом от функции f (z ) вдоль кривой L.

В правой части равенства (15) суммы являются интегральными для функций u (x, y ), v(x, y ), пределы этих сумм при max x k 0, max y k 0 явk k ляются соответственно криволинейными интегралами Интеграл от функции f (z ) вдоль кривой L обозначается символом Из формулы (16) следует, что контурные интегралы обладают следующими свойствами криволинейных интегралов:

мая в противоположном направлении;

вая, составленная из кривых L1, L 2 ;

Контурный интеграл можно вычислить, сводя их с помощью формулы (16) к двум действительным криволинейным интегралам. Пусть y = (t ) параметрические уравнения кривой L, причем t ; пользуясь уравнениями кривой L сводим криволинейные интегралы, входящие в (16), к определенным интегралам:

Если вместо двух действительных параметрических уравнений кривой L ввести одно эквивалентное им комплексно-параметрическое уравнение этой кривой то последнее равенство можно переписать так:

Эта формула удобна для вычисления контурных интегралов от f (z ).

Замечание. Если контурный интеграл от f (z ) по замкнутой кривой L, то обозначают символом ПРИМЕР. Вычислить контурный интеграл радиуса R с центром в точке z 0.

Решение. Уравнение этой окружности имеет вид z z 0 = R или Дана f (z ), аналитическая в области D ; L замкнутый контур, целиком лежащий в этой области.

Теорема. Если функция f (z ) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции по замкнутому L, целиком лежащему в области D, равен нулю.

Доказательство. Согласно формуле вычисления контурного интеграла, имеем Из курса теории криволинейных интегралов известна формула Грина Преобразовывая контурный интеграл от функции f (z ) по кривой L согласно формулы Грина, получаем но функция f (z ) аналитическая, для нее выполняются условия Коши-Римана, отсюда получаем Замечание. Теорема Коши справедлива для u многосвязной области D, если область аналитичности функции остается слева при обходе кривой L.

2.10. Независимость интеграла от функции комплексного Функция f (z ) аналитична в односвязной области D.

Теорема 1. Если функция f (z ) аналитична в некоторой односвязной области D, то для любой кривой L (незамкнутой), принадлежащей D, интеграл от f (z ) по L зависит только от начальной точки z 0 и конечной точки z кривой Доказательство. Выберем в этой области произвольную кривую L1, соединяющую начало и конец кривой L (рис. 5). В силу теоремы Коши и свойств интегралов, имеем откуда В силу произвольности выбора кривой L1 следует справедливость этой теоремы.

значением путаницы переменная интегрирования обозначена буквой (вместо z ).

Теорема 2. Если функция f (z ) аналитична в односвязной области D, то и функция тоже аналитична в области D, причем F(z ) = f (z ).

Доказательство. F(z ) однозначная функция; действительно, рассмотренный интеграл не зависит от формы кривой интегрирования и при фиксированном z 0 имеет всегда одно и то же значение при данном z. Остается показать, что F(z ) существует. По определению производной и свойствам контурных интегралов имеем Функция f (z ) непрерывна в точке z (что следует из ее аналитичности), в Так как f (z ) не зависит от, то получаем Ввиду независимости рассматриваемого интеграла от формы кривой интегрирования будем считать кривую интегрирования от точки z до точки z + z прямолинейной, тогда длина будет z. Применяя свойство оценки интеграла, имеем Отсюда следует, что первое слагаемое в правой части равенства равно f (z ), а второе – нулю. Итак, F(z ) = f (z ) и теорема доказана.

Задана f (z ), аналитическая в области D.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция F(z ) называется первообразной для функции f (z ) в области D, если F(z ) = f (z ) в этой области.

Очевидно, что если F1 (z ) будет первообразной для f (z ), то и F1 (z ) + c, где c постоянная, будет тоже первообразной для f (z ). Обратно, любые две различные первообразные F1 (z ), F2 (z ) для одной и той же функции f (z ) отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Обозначим согласно производной функции комплексной переменной имеем Отсюда следует, что v(x, y ) постоянны, но тогда и функция g(z ) = F1 (z ) F2 (z ) тоже постоянна.

Из сказанного следует, что если F(z ) есть некоторая первообразная для f (z ), то функция F(z ) + c, где c произвольная постоянная, является множеством всех первообразных для f (z ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Множество всех первообразных для f (z ) в области D называется неопределенным интегралом от функции f (z ).

Неопределенный интеграл обозначается символом где F(z ) = f (z ).

Техника вычисления неопределенных интегралов в комплексной плоскости в основном та же, что и в действительном анализе; таблица основных неопределенных интегралов в обоих случаях одинакова.

Задана F(z ) первообразная для аналитической функции f (z ) в одноz связной области D. Согласно теореме из 2.10. функция f ( ) d тоже является первообразной для f (z ). Но в силу предыдущего параграфа При z = z 0 контур, по которому вычисляется интеграл в левой части, замкнутая и этот интеграл в силу теоремы Коши равен нулю. Таким образом, при z = z 0 последнее равенство примет вид 0 = F(z 0 ) + c, откуда c = F(z 0 ).

Следовательно, Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл Решение. В силу аналитичности функции z 2 во всей плоскости, применяя последнюю формулу, находим Функция f (z ) аналитическая в замкнутой области D и L граница области D, тогда значения функции f (z ) в любой точке z области D можно вычислить по формуле эта формула называется интегральной формулой Коши.

Доказательство. Для этого исключим из области D круг, ограниченный окружностью С радиуса r с центром в точке z, выбирая r настолько малым, чтобы С не пересекала L. Полученную область обозначим через D1, которая двусвязна. Функция L и С обходится в положительном направлении. Используя пример Оценим разность Так как на окружности С имеем z = r, а r можно взять настолько малым, чтобы f ( ) f (z ), где любое положительное число, то, применяя свойство оценки интеграла, получаем Так как может быть выбрано сколь угодно малым, а левая часть последнего неравенства не зависит от, то она равна нулю и вытекает формула (18).

Объединяя теорему Коши и интегральную формулу Коши, получаем Замечание. Интегральная формула Коши справедлива для многосвязной области, если при обходе границы область аналитичности функции всегда остается слева.

с центром в точке z = i.

Решение. Функция f (z ) = аналитична в круге, ограниченном L, поz+i этому 2.14. Существование производных всех порядков аналитической Дана аналитическая функция f (z ) в замкнутой области D.

Теорема. Если функция f (z ) аналитична в замкнутой области D, то в каждой точке области D она дифференцируема сколько угодно раз, причем производная n го порядка представляется формулой где L граница области D.

Доказательство. Пусть z произвольная точка области D, а z приращение аргумента z, причем z 1, что точка z + z D. Согласно определению производной и применяя интегральную формулу Коши, имеем Покажем, что предел в правой части равенства (20) равен нулю. Для этого достаточно показать, что интеграл под знаком предела ограничен. В силу непрерывности f (z ) в D она ограничена, то есть можно указать такое число M 0, что f (z ) M в D. Пусть 2 будет кратчайшее расстояние от точки z до кривой L. Можно считать z, так как z 0, тогда будет z и z z z z 2 = и, согласно свойству оценки интеграла, найдем где l длина L ; ограниченность рассматриваемого интеграла доказана. Итак, формула (19) доказана для n = 1. Предполагая ее верной для какого-либо n 1, можно с помощью аналогичных рассуждений доказать ее справедливость для n, тем самым доказана формула (19) для любого n.

Итак, из аналитичности функции f (z ) в некоторой точке z следует, что f (z ) дифференцируема в точке z сколь угодно раз и, следовательно, все производные f (z ), f (z ), K, f (n ) (z ), K аналитичны в точке z.

Объединяя теорему Коши и формулу (19), получаем ПРИМЕР. Вычислить интеграл с центром в точке z = i.

Решение. Функция e z аналитична в области, ограниченной контуром L, в силу чего, пользуясь формулой (19), находим ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Выражение вида c1 + c 2 + K c n + K называется числовым рядом с комплексными числами. с n называется его общим членом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Число S n = c1 + c 2 + K c n называется n й частичной суммой этого ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числовой ряд существует конечный предел его частичных сумм S n при n, то есть если lim S n = S, где S конечное число.

S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или стремится к бесконечности при n, то ряд называется расходящимся.

Составим два ряда соответственно из действительных и мнимых членов ряда Отсюда следует, что заданию числового ряда с комплексными членами c n соответствует задание двух числовых рядов с действительными члевида нами вида Вопрос о сходимости рядов с комплексными членами сводится к изучению сходимости рядов с действительными членами на основе следующей теоремы.

димо и достаточно, чтобы сходились два ряда членами, где c n = a n + i b n.

Доказательство этой теоремы опускаем.

но применить известные признаки сходимости из действительного анализа.

Отсюда следует – необходимое условие сходимости выполняется.

Применим достаточный признак Коши:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Ряд называется функциональным, если каждый член ряда является функцией переменного z.

Согласно этому определению функциональный ряд имеет вид, где z D ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Сумма вида называется его частичной суммой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функциональный ряд (21) называется сходящимся в точке z 0 D, если сходится числовой ряд ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функциональный ряд (21) называется сходящимся в области D, если он сходится в каждой точке этой области. D Сумма S(z ) = lim S n (z ) ряда (21) определяется в области D как некотоn рая функция от z.

Если функциональный ряд (21) сходится в области D, то в каждой точке этой области разность S(z ) S n (z ) стремится к нулю при n.

Разность S(z ) S n (z ) = R n (z ) называется остатком степенного ряда (21), тогда lim R n (z ) = 0, это значит, что для каждого 0 можно указать таn кое натуральное N, что для всех n N будет справедливо В общем случае число N, начиная с которого выполняется неравенство (23), может зависеть от z D. Однако существует важный класс функциональных рядов, для которых неравенство (23) выполняется одновременно для всех ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функциональный ряд (21), сходящийся в области D, называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого 0 можно указать такое натуральное число N = N( ), зависящее только от, что для всех n N будет R n (z ) одновременно для всех z из области Условие равномерной сходимости ряда (21) в некоторой области гарантирует непрерывность суммы ряда, а также возможность интегрирования и дифференцирования суммы ряда путем почленного интегрирования и дифференцирования этого ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функциональный ряд вида где c n комплексные числа, называется степенным рядом.

Для степенных рядов справедлива теорема Абеля.

Теорема. Если степенной ряд (24) сходится в некоторой точке z 0 0, то она сходится в круге z z 0. Если ряд (24) расходится в некоторой точке z 0, то он расходится и во всех точках области z z 0.

Доказательство. Так как ряд она ограничена, то есть существует такое (рис. 6) имеем (24) не превосходят соответствующих членов сходящейся числовой геометрической прогрессии со знаменателем q 1.

Отсюда следует абсолютная сходимость степенного ряда (24).

Доказательство второй части теоремы. Если бы степенной ряд (24) сходился в какой-нибудь точке области z z 0, то согласно первой части теоремы он сходился бы и в точке z 0, что противоречит условию.

Согласно теореме Абеля существует r 0, что в круге z r степенной ряд (24) сходится, а в области z r расходится. Число r называется радиусом сходимости ряда (24), а круг z r – кругом сходимости.

Радиус сходимости степенного ряда (24) можно определить, пользуясь признаком Даламбера, тогда Радиус сходимости можно определить, пользуясь признаком Коши, тогда Кроме степенных рядов вида (24) рассматривают ряды где a любое комплексное число, можно также найти радиус сходимости и круг сходимости для этого ряда;

Таким образом, круг сходимости ряда (25) имеет центр в точке a.

ПРИМЕР. Найти радиус и круг сходимости степенного ряда Следовательно, кругом сходимости этого ряда будет круг радиуса r = 1 с центром в точке z = 1, то есть z 1 1.

Дана функция f (z ) аналитическая в круге z a r.

Возникает вопрос: можно ли всякую аналитическую функцию f (z ) разложить в степенной ряд? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Всякая функция f (z ), аналитическая в круге z a r, может геометрическая прогрессия Подставив последнее равенство в (26) и интегрируя почленно полученный ряд, получим Таким образом, получили разложение функции f (z ) в степенной ряд в круге z a r. Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции f (z ).

Единственность этого разложения следует из единственности представления производных функции f (z ).

этих функций в ряд Тейлора (a = 0 ) :

Рядами Тейлора представляются функции, аналитические в круговых областях. Однако часто приходится рассматривать функции, аналитичные всюду в некоторой окрестности точки a, исключая саму точку a, то есть аналитичные в кольце вида r z a R.Такие функции представляются двусторонними рядами, содержащими как целые положительные, так и целые отрицательные степени (z a ) вида Первый ряд справа – обычный степенной ряд, сходящийся в некотором ной ряд сходимости обоих рядов (27) будет кольцо r z a R.

Согласно свойствам степенных рядов, интегрируя по окружности найдем значения коэффициентов Ряд (27), коэффициенты которого определяются формулой (28), называется рядом Лорана функции f (z ) в окрестности точки a.

Спрашивается, всякую ли функцию f (z ), аналитическую в кольце, можно разложить в ряд Лорана. Ответ на этот вопрос дает теорема.

Теорема. Всякая функция f (z ), аналитическая в круговом кольце r z a R, может быть в этом кольце единственным образом разложена в ряд Лорана.

Доказательство, которое опускаем.

правильной частью ряда Лорана (1), а степенной ряд вида да Лорана (1).

сти точки z = 0.

Решение. Эту функцию разложим на сумму простейших дробей В кольце 0 z 1 вторую дробь можно рассматривать как сумму геометрической прогрессии; тогда 2.20. Особые точки аналитических функций и их исследование ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Точка z = a называется особой точкой аналитической функции, если в этой точке нарушается ее аналитичность.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Особая точка z = a называется изолированной особой точкой для функции f (z ), если в достаточно малой окрестности этой точки отсутствуют другие особые точки функции f (z ).

В дальнейшем будем изучать только изолированные особые точки функции f (z ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Особая точка z = a называется устранимой особой точкой для функции f (z ), если существует lim f (z ).

В этом случае функцию f (z ) доопределяют в точке z = a, полагая ее характер.

Решение. В точке z = 0 нарушается аналитичность этой функции, вычисz Отсюда следует, что точка z = 0 устранимая особая точка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Особая точка z = a называется полюсом для функции f (z ), если lim f (z ) =.

ее характер.

Решение. В точке z = 1 нарушается аналитичность этой функции, люс для этой функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Особая точка z = a называется существенно особой точкой для функции f (z ), если lim f (z ) не существует.

Основным аппаратом для изучения аналитической функции в окрестности изолированной особой точки a является ряд Лорана.

Для этого функцию f (z ) разложим в ряд Лорана в окрестности особой точки z = a.

Из этого представления функции вытекает несколько теорем.

Теорема 1. Для того, чтобы точка z = a была устранимой особой точкой функции f (z ) необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана для этой функции в окрестности z = a не содержал главной части, то есть слагаемых с отрицательными степенями (z a ).

Теорема 2. Для того, чтобы точка z = a была полюсом кратности k для функции f (z ), необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана для этой функции в окрестности z = a содержал лишь конечное число членов, с отрицательными степенями (z a ), то есть Теорема 3. Для того, чтобы точка z = a была существенно особой точкой для функции f (z ), необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана для этой функции в окрестности z = a содержал бесконечное число членов с отрицательными степенями z a, то есть Доказательство этих теорем не приводим.

особой точки.

Решение. Точка z = 0 является особой для этой функции, так как в этой точке нарушается ее аналитичность. Разложим эту функцию в ряд Лорана в окрестности этой точки. Для этого напишем ряд Тейлора для функции e t.

Согласно теореме 3 из вида этого ряда следует, что точка z = 0 является существенно особой для функции Дана функция f (z ), точка z = a является особой точкой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вычетом функции f (z ) в конечной особой точке z = a называется коэффициент c 1 при члене (z a )1 в разложении f (z ) в ряд Лорана в окрестности точки a.

Выразим вычет функции f (z ) в точке z = a через интеграл от этой функции по кривой L. Для этого напишем ряд Лорана для f (z ) в окрестности точки и проинтегрируем этот ряд почленно по любому замкнутому контуру L, принадлежащему кольцу, в котором справедливо равенство (29), обходя L против часовой стрелки. Используя равенство находим, что все интегралы в правильной части ряда будут равны нулю; все интегралы в главной части тоже будут равны нулю, кроме единственного интеграла от первого члена главной части (где n = 1 ). Таким образом, в результате указанного интегрирования получим Из определения вычета следует, что если z = a есть точка аналитичности или устранимая особая точка функции f (z ), то выч f (z ) = 0, ибо в этих случаях в ряде Лорана (29) отсутствует главная часть, так что все c n = 0.

Точка z = a является полюсом m го порядка функции f (z ). Требуется вычислить выч f (z ).

Для этого напишем ряд Лорана для функции f (z ) в окрестности точки z = a, умножая почленно на (z a )m имеем Дифференцируя последнее равенство (m 1) раз, получим перейдя к пределу при z a, найдем В частности, для вычета функции в простом полюсе (m = 1), отсюда повыч f (z ) = lim (z a ) f (z ).

лучаем ПРИМЕР 1. Вычислить вычет функции f (z ) в особых точках, если кроме точки z = i, которая является простым полюсом функции; пользуясь последней формулой, находим выч f (z ) = lim (z i ) = 2.

Если точка z = a существенно особая для функции f (z ), то вычет функции в этой точке вычисляется разложением ее в ряд Лорана в окрестности точки z = a.

Решение. Эта функция аналитична во всех точках плоскости z, кроме точки z = 0, которая является существенно особой. Разложение ее в ряд Лорана выч Дана f (z ) аналитическая в области D, за исключением конечного числа особых точек.

Теорема (основная теорема о вычетах). Если функция f (z ) аналитична в области D и на замкнутой кривой L, лежащей в этой области, за исключением конечного числа особых точек a 1, a 2, K, a n (лежащих внутри кривой L ), то интеграл от f (z ) вдоль L в положительном направлении равен произведению 2 i на сумму вычетов f (z ) во всех точках a k, то есть Доказательство. Окружим точки a k окружностями c k настолько малыми, чтобы они лежали внутри L и не пересекали друг друга. Функция f (z ) аналитична в многосвязной области ограниченной кривой L и c k, то согласно теоремы Коши для многосвязной области имеем где все кривые L и c k обходятся против движения часовой стрелки. Разделив и умножив правую часть последнего равенства на 2 i и принимая во внимание выражение вычета функции f (z ) в точке a k через интеграл, получим ПРИМЕР. Вычислить люсы будут простыми. Внутрь окружности z = 1 попадают только два первых полюса. Имеем В силу основной теоремы о вычетах, находим 2.24. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов 1. Рассмотрим интеграл где R (cos x, sin x ) рациональная функция от cos x, sin x. Положим e i x = z ;

при изменении x от 0 до 2 точка z опишет в положительном направлении окружность L : z = 1.

К вычислению последнего интеграла можно применить основную теорему о вычетах.

2. Рассмотрим интеграл где Q m (x ), Pn (x ) многочлены степени соответственно m и n, причем n m + 2, многочлен Pn (x ) не имеет действительных корней. Тогда где z k нули многочлена Pn (z ), лежащие в верхней плоскости.

Теорию вычетов можно применить к вычислению интегралов других типов.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл которые являются полюсами второго порядка, других особых точек эта функция не имеет. В верхней полуплоскости расположен единственный полюс z = i Вычислим вычет этой функции при z = i выч

3. ПОНЯТИЕ О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА. ОРИГИНАЛ

И ИЗОБРАЖЕНИЕ

Операционное исчисление является одной из глав современного математического анализа. Интегральное преобразование Лапласа и построенное на его базе операционное исчисление - эффективный аппарат решения дифференциальных уравнений (как обыкновенных, так и в частных производных), дифференциально-разностных и интегральных уравнений, к которым приводятся задачи электротехники, радиотехники, электроники, теории автоматического регулирования, теплотехники, механики и других областей науки и техники. Заметим, что операционное исчисление строится и на других преобразованиях, например, Фурье, Ханкеля, Меллина и т.д.

Идея применения операционного метода заключается в следующем.

Пусть требуется найти функцию f ( t) из некоторого уравнения, содержащего эту функцию под знаком производных и интегралов. От искомой функции f ( t) (ее называют оригиналом) переходят к другой функции F( p) (ее называют изображением), являющейся результатом преобразования f ( t). В соответствии с правилами операционного исчисления операции над оригиналом заменяют соответствующими операциями над изображением, которые являются более простыми; например, дифференцированию f ( t) соответствует умножение F( p) на p, интегрированию - деление на p и т.д. Это позволяет перейти от сложного уравнения относительно f ( t) к более простому уравнению относительно F( p), называемому операторным; например, от дифференциального уравнения - к алгебраическому. Решив операторное уравнение, от изображения F( p) переходят к оригиналу f ( t ) искомой функции. Решение задачи операционным методом, таким образом, связано с двумя этапами: нахождением изображения искомого решения и обратным переходом к оригиналу.

Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, которое позволяет сложные действия над числами заменить более простыми действиями над их логарифмами, после чего от найденного логарифма снова переходят к искомому числу. Здесь роль оригиналов играют числа, а роль изображений - их логарифмы.

Пусть f ( t ) действительная функция действительного аргумента t, определенная при любых t.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.

она удовлетворяет следующим условиям:

10. f ( t ) кусочно-непрерывная функция при t 0; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва первого рода, число которых конечно на любом конечном интервале.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ — УЧЕБНО-НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ Н.Н. ПОЛИКАРПОВА ФАКУЛЬТЕТ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Кафедра Вычислительная техника и информационные технологии МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ по дисциплине Периферийные устройства вычислительной техники для...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра лесного хозяйства ЛЕСОВОДСТВО Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов направления бакалавриата 250100.62 Лесное дело всех форм обучения Самостоятельное учебное электронное издание СЫКТЫВКАР...»

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет КУЛЬТУРОЛОГИЯ Методические указания к практическим и семинарским занятиям для студентов всех специальностей дневной формы обучения Севастополь 2006 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 2 УДК 130.2:168. Культурология: Методические указания к семинарским занятиям для студентов всех специальностей дневной формы обучения / Сост. Н.С.Ковалёва. –...»

«МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ФАКУЛЬТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ К.П. КИРДЯШЕВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНЫХ РАБОТ ПО КУРСУ “ЭЛЕКТРОНИКА” МОСКВА, 2006 2 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 3 Введение 5 Раздел первый. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПРИБОРЫ 6 Работа 1. Вольтамперные характеристики полупроводникового диода Работа 2. Барьерная емкость полупроводникового диода и электронная перестройка частоты колебательного контура Работа 3....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Филиал ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет в г. Чебоксары Отдел среднего профессионального образования УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС № 31/11 дисциплины ОРГАНИЗАЦИЯ ПИТАНИЯ ТУРИСТОВ Специальность 260502 Технологии продукции общественного питания Чебоксары 2011 Учебно-методический комплекс составлен на основе требований Государственного образовательного стандарта среднего профессионального...»

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет УПИ К. Б. Позднякова КОРРЕКТУРА Учебное электронное текстовое издание Методические указания для студентов дневной формы обучения специальности 030901 – Издательское дело и редактирование Включают в себя тематические разделы по курсу Корректура, каждый из которых сопровождается списком учебной и научной литературы, дефектные тексты для редакторской и корректорской правки, а также словарь основных...»

«Электронный архив УГЛТУ Т.Р.Лыкова Культурно-исторические центры Свердловской области Екатеринбург 2013 Электронный архив УГЛТУ Министерство образования и науки Российской федерации Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра социально-культурных технологий Т.Р. Лыкова Культурно-исторические центры Свердловской области Методические указания по изучению курса Культурноисторические центры Урала для студентов очной или заочной форм обучения. Направление 100400 — Туризм...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) В. Н. Бубличенко Советский Союз в Великой Отечественной войне (1941 – 1945 гг.) Часть 2 В тылу и на международной арене Учебное пособие Ухта, УГТУ, 2013 УДК 94(470) 1941/1945 (075.8) ББК 63.312/622 Я 7 Б 90 Бубличенко, В. Н. Б 90 Советский Союз в Великой Отечественной войне (1941 – 1945 гг.). В 2 ч. Ч. 2. В тылу и на...»

«Владимирский государственный университет СКВОЗНАЯ ПРОГРАММА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРАКТИК ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 250800 ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ТУГОПЛАВКИХ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ И СИЛИКАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ Владимир 2002 Министерство образования Российской Федерации Владимирский государственный университет Кафедра тугоплавких неметаллических и силикатных материалов СКВОЗНАЯ ПРОГРАММА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРАКТИК ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 250800 ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ТУГОПЛАВКИХ НЕМЕТАЛЛИЧЕСКИХ И СИЛИКАТНЫХ...»

«Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ им. С.М. Кирова Кафедра экономической теории МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГОСУДАРСТВЕННОМУ (МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОМУ) ЭКЗАМЕНУ Методические указания для бакалавров направления 080100 Экономика дневной формы обучения Санкт-Петербург Рассмотрены и рекомендованы к изданию учебно-методической комиссией факультета экономики и...»

«СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАШИНЫ И ОБОРУДОВАНИЕ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА ТЕОРИЯ И ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ ЛЕСНЫХ КОЛЕСНЫХ И ГУСЕНИЧНЫХ МАШИН САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 651600 Технологические машины и оборудование специальности 150405 Машины и оборудование лесного комплекса СЫКТЫВКАР 2007 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра: Информационные системы С.В. Терентьев, А.И. Фролов, Е.В. Олькина ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ Программа и методические указания по прохождению преддипломной практики Специальность – 230105 Программное...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра автоматизации технологических процессов и производств Микропроцессорные системы управления Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов направления бакалавриата 220200 Автоматизация и управление и...»

«В.С. ВОЛКОВ, И.Н. БАРИНОВ МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ИЗДЕЛИЙ НА ОСНОВЕ ТЕХНОЛОГИЙ МИКРОМЕХАНИКИ Методические указания к выполнению курсовых и лабораторных работ ПЕНЗА 2013 Лабораторная работа № 1 Исследование топологии полупроводникового чувствительного элемента датчика давления Основные сведения Чувствительный элемент (ЧЭ) входит в состав датчика давления (рис. 1), предназначенного для измерения давления. Датчик выполняется в виде моноблока,...»

«УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ СЕМЕЙСТВО: Настенные котлы ВИД: Газовые котлы с атмосферной горелкой и пластинчатым теплообменником контура ГВС CLAS МОДЕЛИ: ВЕРСИЯ: 2V0 16.04.2007 Техническая Академия Учебное пособие: CLAS СОДЕРЖАНИЕ 1 ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ 1.1 РАЗМЕРЫ И ПОДСОЕДИНЕНИЯ 1.2 ЗАКРЫТАЯ КАМЕРА СГОРАНИЯ (FF), ОБЩИЙ ВИД 1.3 ОТКРЫТАЯ КАМЕРА СГОРАНИЯ (CF), ОБЩИЙ ВИД 2 ЛОГИКА РАБОТЫ КОТЛА 2.1 РЕЖИМ ОТОПЛЕНИЯ 2.1.1 Гидравлическая схема работы котла в режиме отопления 2.2 РЕЖИМ РАБОТЫ ГОРЯЧЕЕ ВОДОСНАБЖЕНИЕ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра математического анализа и моделирования УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ (ПРЕДДИПЛОМНАЯ) ПРАКТИКА Основной образовательной программы по специальности 010101.65 - математика Благовещенск 2012 УМКД разработал канд.физ.-мат.наук, доцент Сельвинский Владимир Владимирович...»

«МИНЗДРАВСОЦРАЗВИТИЯ РОССИИ Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Иркутский государственный медицинский университет Министерства здравоохранения и социального развития России Кафедра акушерства и гинекологии педиатрического факультета УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ для студентов специальности: Медико-профилактическое дело, 4-5 курс по изучению темы ЭКСТРАГЕНИТАЛЬНАЯ ПАТОЛОГИЯ И БЕРЕМЕННОСТЬ Составитель: Акудович Н.В., ассистент кафедры, к.м.н. Пособие...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Восточно-Сибирский государственный технологический университет Институт устойчивого развития Кафедра культурологии и социокультурной антропологии ПСИХОЛОГИЯ И ПЕДАГОГИКА Методические указания и тематика рефератов для студентов очной и заочной форм обучения Авторы и составители: к.с.н. Гельман В.А. к. п. н. Аюшеев З.Р. Улан-Удэ Издательство ВСГТУ 2006 2 3 Печатается по решению Методического совета 1. Назначение курса. Института устойчивого развития ВСГТУ...»

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению преддипломной практики для студентов V курса специальности 7.03050401 Экономика предприятия дневной формы обучения Севастополь 2013 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) 2 УДК 658.8 Методические указания к проведению преддипломной практики для студентов V курса специальности 7.03050401 Экономика...»

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С. А. НЕСТЕРОВ АДМИНИСТРИРОВАНИЕ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ методические указания к лабораторным работам Санкт-Петербург 2010 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Лабораторная работа №1. Основы работы с Virtual PC 2007. Установка Windows Server 2008 на виртуальную машину Лабораторная работа № 2. Управление загрузкой Windows Server 2008. Добавление ролей. Установка первого контроллера домена Лабораторная работа № 3. Основы администрирования домена Windows:...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.