WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Часть II Учебное пособие q(z) z y (z) r(z) z 11 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В.Н. ...»

-- [ Страница 1 ] --

В.Н. Завьялов, В.М. Романовский,

Е.Я. Гайнулин

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Часть II

Учебное пособие

q(z)

z

y (z)

r(z)

z

11

Федеральное агентство по образованию

Сибирская государственная

автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В.Н. Завьялов, В.М. Романовский, Е.Я. Гайнулин

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Часть II Учебное пособие Омск Издательство СибАДИ 2008 12 УДК 624.01 ББК 30.121 С Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. О.В. Матвиенко (ТГАСУ);

канд. техн. наук О.Н. Попов (ТГАСУ) Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей.

С 64 Сопротивление материалов. Ч. II: Учебное пособие / В.Н. Завьялов, В.М. Романовский, Е.Я. Гайнулин. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2008. – 80 с.

ISBN В настоящем учебном пособии изложены темы, изучаемые студентами очной формы обучения в четвёртом семестре, соответствующие в основном рабочим программам для строительных специальностей. Отдельные темы учебного пособия могут быть использованы студентами, обучающимися на других специальностях.

Ил. 59. Табл. 2. Библиогр.: 10 назв.

ISBN 9785932043448 В.Н. Завьялов, В.М. Романовский, Е.Я. Гайнулин, В.Н. Завьялов, В.М. Романовский, Е.Я. Гайнулин

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Часть II

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие является продолжением ранее написанного курса лекций «Механика деформируемого твёрдого тела» (Ч. I. Сопротивление материалов), изданного издательством СибАДИ в 2001 году.

Представленное вниманию читателей учебное пособие включает в себя темы, соответствующие действующим в настоящее время рабочим программам по сопротивлению материалов для строительных специальностей.

Некоторые темы, такие, например, как устойчивость однопролётных сжатых стержней, расчеты на удар и другие, могут быть использованы и студентами, обучающимися на механических специальностях.

Открывает настоящее учебное пособие раздел, в котором рассматриваются основные положения классических теорий прочности, освоение которых позволяет выполнять расчеты элементов конструкций с пониманием физической сути работы таких элементов.

Во втором разделе представлены основные теоретические обоснования расчета балок, лежащих на сплошном упругом основании. Освоение этого материала студентами строительных специальностей особенно важно, так как в практике как транспортного строительства, так и строительства других сооружений очень часто встречаются конструкции, в основании которых находится упругая среда.

Сложное сопротивление, являющееся в инженерной практике самым распространенным видом деформирования элементов конструкций, представлено в третьей главе.

Устойчивость однопролетных сжатых стержней, имеющих различные типы краевых закреплений, рассмотрена в четвертом разделе настоящего учебного пособия.

В пятом разделе рассмотрены принципиальные положения расчета балок на действие такого вида динамической нагрузки, каким является удар.

Весьма важным в глубоком осмыслении прочностных расчетов элементов конструкций является знание и понимание основных уравнений теории упругости, представленных в шестом разделе пособия.

В заключительном разделе учебного пособия даны начальные сведения о расчете тонкостенных элементов конструкций, испытывающих как свободное, так и стеснённое кручение.

1. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ 1.1. Основные положения Важнейшей задачей сопротивления материалов является расчёт конструкций на прочность и жесткость. Чтобы оценить опасное состояние элемента конструкции, необходимо уметь определять предельное по прочности (жесткости) напряжение (перемещение) в любом сложном напряженном состоянии элемента конструкции. Наиболее просто можно оценить напряженное состояние элемента конструкции при одноосном действии на него внешней нагрузки, что соответствует наиболее простому виду деформирования элемента – растяжению-сжатию. В этом случае напряжённо-деформированное состояние элемента конструкции определится всего одним главным напряжением, вектор которого направлен вдоль оси элемента перпендикулярно его поперечному сечению.

При плоском напряженном состоянии предельное напряженное состояние будет уже определяться величинами и соотношениями двух главных напряжений, а при объемном – тремя.

При этом для пластичного материала за предельное принимается такое состояние, при котором появляются значительные остаточные пластические деформации, т.е. = y, а для хрупких – начало разрушения ( = u).

Если известна расчетная величина напряжения R, то коэффициент запаса определяют как n = R/.

Для того чтобы эффективно оценить напряженное состояние конструкции, необходимо опытным путем определить значения всех главных напряжений и их соотношения. Однако в настоящее время, несмотря на достаточно высокий уровень эксперимента, такое не представляется возможным. Вместе с тем инженерная практика и экспериментальные исследования в лабораториях позволили накопить прекрасную базу статистических данных напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, испытывающих вид деформирования, называемый растяжениесжатие. Поэтому именно этот вид деформирования элемента конструкции принимают как бы за эталон прочности и ставят условия равнопрочности (т.е. соответствия) для эталона любого сложного напряженного состояния.

Установлением такого соответствия и занимаются теории прочности, которых уже насчитывается несколько десятков.

Построение теорий прочности основывается на предпосылке, состоящей в том, что два каких-либо напряженных состояния считаются равнопрочными и равноопасными, если они при пропорциональном увеличении главных напряжений одновременно становятся предельными.

Общий ход решения задачи построения той или иной теории прочности на основе сказанного будет следующим:

1. Вводят определенную меру прочности в виде прочности при одноосном напряженном состоянии.

2. Выдвигают по данной теории прочности решающий фактор или критерий прочности (напряжение, либо деформация, либо энергия деформации и др.).

3. Устанавливают характеристики прочности для элемента тела в сложном напряженном состоянии и отдельно для эталона.

4. Составляя условия равнопрочности (т.е. соответствия) сложного напряженного состояния эталону, получают расчетное уравнение прочности.

5. Проверяют полученное расчетное условие на опытном материале.

1.2. Классические теории прочности Теория наибольших нормальных напряжений, когда принимают, что причиной наступления предельного состояния является наибольшее нормальное напряжение. При этом главные напряжения находятся в зависимости В соответствии с принятой гипотезой, действительно, где 1 – величина наибольшего из главных напряжений для исследуемого напряженного состояния; 0 – предельное напряжение, полученное из опыта для одноосного действия нагрузки.

По методу предельных состояний это условие запишется как где R – расчетное сопротивление.

Недостатком этой теории прочности является то, что не учитывается влияние двух других главных напряжений.

Теория наибольших продольных деформаций, когда принимают, что предельное состояние наступает тогда, когда наибольшее относительное удлинение max в сложном напряженном состоянии достигает величины, опасной для материала, т.е.

где 1 – наибольшее расчетное удлинение для исследуемого напряженного состояния; 0 – для эталона.

Для объемного напряженного состояния в соответствии с законом Гука Для эталона Тогда на основании (1.4) По методу предельных состояний, (1.7) принимает вид Недостатком этой теории прочности является то, что, как показывает опыт, эта теория подтверждается только для хрупких материалов.

Теория наибольших касательных напряжений предполагает, что предельное состояние по прочности наступает тогда, когда наибольшее напряжение для элемента тела в сложном напряженном состоянии достигает величины касательного напряжения для эталона, т.е.

Для объемного напряженного состояния Для одноосного действия нагрузки В соответствии с изложенным, действительно, Для предельного состояния (1.12) принимает вид Недостатком этой теории прочности является то, что в случае объемного напряженного состояния не учитывается главное напряжение 2.

Теория предельного значения энергии формообразования (теория Губера-Мизеса) предполагает, что в предельном состоянии следует вводить энергию, идущую на изменение формы элемента, что соответствует выражению Энергия, идущая на изменение формы элемента конструкции, описывается через главные напряжения:

Для эталона эта энергия описывается выражением Тогда справедливо записать По методу предельных состояний, (1.17) имеет вид Изложенная теория прочности достаточно хорошо соответствует упругопластическим материалам.

Теория Мора. Теория прочности Мора пренебрегает влиянием на общее напряженное состояние главного напряжения 2, которое составляет 1015% от всего напряжённого состояния элемента конструкции. Если для каждого материала имеются данные об его опасных состояниях при различных соотношениях между главными напряжениями, то можно построить (рис.

1.1) семейство кругов Мора.

Круг Мора превращается в точку, когда 1 = 2 = 3.

Рис. 1. Огибающая этих кругов будет характеризовать безопасную область работы материала. Точка C характеризует случай всестороннего равномерного растяжения. Левее этой точки всё большим становится равномерное сжатие, а незамкнутость огибающей говорит о том, что при всестороннем сжатии материал практически не разрушается.

Однако такое семейство кругов Мора из опыта пока получить невозможно. Поэтому построим только два круга Мора, легко получаемых из опыта на растяжение-сжатие. При этом кривую, огибающей круги Мора (рис. 1.2), заменяют прямыми линиями. Эти прямые являются границами области предельных напряжений и устанавливают одновременно прямо пропорциональную зависимость между главными напряжениями 1 и всякого напряженного состояния, главный круг которого касается этих прямых, т.е. 1 a b 3.

Рис. 1. Внесем круг в такую диаграмму.

На рис. 1.3 ос – предельное напряжение при сжатии; ор – предельное напряжение при растяжении.

Рассмотрим подобие треугольников О1В1В2 и О3В3В2:

Подставим (1.20) в (1.19) и, проводя арифметические преобразования, получим Соответствующая предельному состоянию формула (1.21) принимает вид где R – расчетное сопротивление при растяжении.

Отношение OР учитывает различные свойства сопротивляющегося материала растяжению и сжатию.

1.3. Понятие о неклассических теориях прочности Рассмотренные классические теории прочности в настоящее время широко применяются для таких материалов, как сталь и бетон, используемых практически повсеместно во всех видах строительства. Однако в последние десятилетия появилось много новых материалов, для которых эти теории не подходят. К таким материалам относятся пластмассы, пластики, композиты и другие.

При построении классических теорий составлялись условия соответствия напряженного состояния на основе трех главных напряжений 1, 2, 3. В общем виде названные условия описываются следующей функцией:

В соответствии с энергетической теорией (1.23) можно записать:

Построение неклассических теорий прочности осуществляется путем отыскания и подбора таких функций, которые позволили бы как можно более полно учитывать различные механические свойства материалов. Так, в одной из теорий предлагается (Ю.И. Ягн) полином второй степени Коэффициенты m, n и l находят из опыта при испытании материала соответственно на растяжение, сжатие и кручение. В первом случае (на растяжение), когда 2 = 3 = 0, а 1 = R, а для сжатия 1 = 3 = 0; 2 = = Rсж, и, наконец, для кручения 1 = 2 = Rкр, а 3 = 0, находят Из решения этой системы получают Подставив (1.27) в (1.25), получают искомое условие прочности Представленная теория прочности является более общей и ее частным случаем является энергетическая теория прочности. Недостатком этой теории прочности является то, что она пока недостаточно подтверждена экспериментом.

2. ОСНОВЫ РАСЧЁТА БАЛОК, ЛЕЖАЩИХ

НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

2.1. Общие положения расчета В строительстве как транспортных, так и других сооружений имеется много конструкций, которые работают, находясь непосредственно на грунте. Например, ленточные фундаменты, шпалы, бордюры проезжей части и другие. Грунт в зависимости от его составляющих и состояния может быть как упругой, так и вязкопластичной средой.

Вопросы, связанные с рассмотрением грунта как вязкопластичной среды, являются предметом отдельного направления в науке о механике деформируемого твёрдого тела.

В сопротивлении материалов в соответствии с одной из его гипотез рассматривается только упругая среда, когда возникшие в результате действия на нее нагрузки деформации после снятия этой нагрузки полностью восстанавливаются. Расчет балки, лежащей на сплошном упругом основании, не может быть выполнен с помощью только трех уравнений статики, так как система «балка+основание» (рис. 2.1, а) является бесконечно большое число раз статически неопределимой системой. Уравнения статики в этой задаче позволяют найти только суммарную реакцию со стороны основания, но не дают возможность найти закон распределения реакции основания по длине балки. Величина реакции в каждой точке контакта балки с основанием функционально связана с прогибом, т.е. r f.

Для упрощения решения этой бесконечно большое число раз статически неопределимой системы, как это принято в сопромате, вводят упрощения (гипотезы).

Упругое основание Гипотеза о пропорциональной зависимости между реакцией и осадкой основания. Среди большого количества моделей упругого основания наиболее простой и соответствующей инженерным расчетам является модель, предложенная Винклером. Он предложил представлять упругое основание (рис. 2.1, б) в виде бесконечно большого числа абсолютно упругих пружин. Тогда работу такого основания можно проиллюстрировать.

Гипотеза – упругое основание одинаково работает на восприятие сжатия и растяжения.

Гипотеза (косвенно связана с винклеровым основанием) – деформация основания за пределами балки не учитывается.

Работа винклерова основания иллюстрируется на рис. 2.2, когда рассматриваются нагружение и разгружение этого основания с использованием круглого штампа. При приложении к штампу силы F будут деформироваться только те пружины, которые находятся непосредственно под штампом.

2.2. Вывод дифференциального уравнения изогнутой оси балки, лежащей на сплошном упругом основании Покажем балку (рис. 2.3), лежащую на сплошном упругом основании и загруженную по произвольному q(z) закону распределённой нагрузкой. В результате такого действия основание просядет и в произвольном сечении z просадка будет равна z.

Согласно первой гипотезе реакция r(z) основания, возникающая по всей длине балки, будет прямо пропорциональна просадке z основания, что аналитически соответствует выражению В выражении (2.1) коэффициент пропорциональности k представляет собой силу, приложенную к единице длины балки со стороны основания при просадке (z) = 1.

Коэффициент пропорциональности k связан с шириной балки b зависимостью k k b, в которой k является коэффициентом податливости основания (коэффициент постели), имеющим размерность кН/м. При b = справедливо равенство k k, что и используется в дальнейших теоретических выводах.

Рассмотрим равновесие системы «нагрузка + балка + упругое основание», спроецируем на вертикальную ось все силы, действующие на эту систему и найдём выражение (2.2) для определения полной q z нагрузки:

Далее воспользуемся известной из теории изгиба зависимостью Однако воспользоваться зависимостью (2.2) напрямую трудно, так как функция изгибающего момента М z выражается через функцию z просадки с помощью интеграла. Поэтому в данном случае удобно воспользоваться другими дифференциальными зависимостями, известными из теории изгиба:

Тогда, полагая qп(z) равномерно распределенной нагрузкой и жёсткость EJ постоянной по длине балки, на основе приведённых дифференциальных зависимостей составим равенство Преобразуем выражение (2.4), перенося все слагаемые, связанные с прогибом, в левую часть:

Приводя полученное неоднородное дифференциальное уравнение (2.5), описывающее изгиб системы «балка + упругое основание», к виду, удобk ному для интегрирования, обозначим отношение Отсюда 4. После такого преобразования уравнение (2.5) приEJ мет вид Для случая, когда q(z) = 0, уравнение (2.6) становится однородным и им удобно пользоваться. Если же q линейно зависит от z, то уравнение (2.6) целесообразно преобразовать. Для этого продифференцируем уравнение (2.6) дважды:

Перенесём в уравнении (2.7) изгибную жёсткость EJ в левую часть, сделав при этом арифметические преобразования, связанные с обозначениями производных:

В уравнении (2.8) нетрудно заметить, что слагаемые в левой части, взятые в скобки, представляют собой согласно приведённой дифференциальной зависимости изгибающий момент M z EJ z. Подставляя это в уравнение (2.8), получим Дифференциальные уравнения (2.6) и (2.9) являются равносильными и ими пользуются при решении различных задач расчёта балок, лежащих на сплошном упругом основании.

2.3. Понятие о расчете коротких балок, лежащих на сплошном упругом основании Воспользуемся уравнением (2.9), в котором примем, что q линейно зависит от z. В этом случае правая часть этого уравнения окажется равной нулю. Тогда Для решения подобных дифференциальных уравнений используется известный метод, разработанный академиком А.Н. Крыловым. В соответствии с этим методом решение однородного дифференциального уравнения (2.10) записывают следующим образом:

В решении (2.11) Y1(z), Y2(z), Y3(z), Y4(z) представляют собой так называемые специальные функции Крылова:

Характерным свойством функций Крылова является их дифференциальная зависимость между собой. В качестве примера рассмотрим функцию Y1(z). Распишем в ней гиперболические функции через соответствующие им показательные функции:

Возьмём первую производную от функции Y1(z):

Аналогичные преобразования можно провести и с другими функциями Крылова. В табл. 2.1 приведены зависимости, которые используются в дальнейших теоретических обоснованиях работы коротких балок, лежащих на сплошном упругом основании.

Вернемся к уравнению (2.11) и возьмем первую производную от этого уравнения по параметру z:

Проводя с использованием данных в приведённой таблице дальнейшее дифференцирование, получим Дифференциальные зависимости между функциями Крылова п/п

I II III IV

1 Y1(z) = ch z cos z Для определения постоянных интегрирования A, B, C и D используем граничные условия, обозначив внутренние силовые факторы, перемещения и внешние нагрузки, имеющиеся в начале координат, куда помещён левый край рассчитываемой балки, следующим образом: при z = 0 M = M0; Q = Q Подставим в функции Крылова (2.12) z = 0. Тогда Y1(0) = 1; Y2 =Y3 = = Y4 = 0. Подставляя полученные значения Y1(0), Y2(0), Y3(0) и Y4(0) соответственно в (2.14), (2.15) и (2.16), а также в (2.11), найдем значения постоянных интегрирования: А М 0 ; B Q0 ; C 2 q0 k 0 и D 3 q0 k 0. Подставим значения постоянных интегрирования A, B, C и D в исходные уравнения, запишем щие нас величины внутренних уси- M лий, перемещений и распределённых нагрузок выражены через их начальные значения (начальные параметры). Но выражения (2.17) распределенных нагрузок, действующих по всей длине балки или для первого участка загружения, описываемого одним дифференциальным уравнением. Если на балке имеется несколько участков загружения, то для каждого из них необходимо записывать соответствующее дифференциальное уравнение, учитывающее как внешние сосредоточенные факторы (рис.

2.4) F и M, так и распределённые нагрузки. Опуская доказательства, запишим итоговые выражения, с помощью которых можно определять количественные значения внутренних усилий в сечениях балки и их перемещения, а также строить эпюры этих усилий и перемещений.

В формулах, ограниченных фигурной скобкой, знаки «+» перед последними тремя слагаемыми поставлены из следующей схемы (рис.

2.5) действия M, F и q.

3. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

3.1. Сочетания видов деформирования стержня Ранее мы рассматривали простейшие виды деформаций: осевое растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, изгиб в главной плоскости. В общем случае, как известно, в поперечном сечении стержня от воздействия на него внешних нагрузок может возникнуть шесть компонент внутренних силовых факторов: Qx, Q y, M x, M y, Т и N.

Исходя из принципа суперпозиции, совместное действие указанных усилий приводит к появлению в сечении стержня напряженного состояния, которое можно получить суммированием напряженных состояний, вызванных действием каждого силового фактора отдельно. Сказанное иллюстрируется следующим аналитическим выражением:

Такой вид деформирования стержня, при котором в поперечном сечении стержня возникает комбинация внутренних силовых факторов, называется сложным сопротивлением. Однако на практике одновременное возникновение всех шести внутренних силовых факторов встречается достаточно редко.

В настоящем учебном пособии рассмотрим такие виды сложного сопротивления, как косой изгиб и изгиб с растяжением или сжатием.

3.2. Косой изгиб Косой изгиб возникает тогда, когда плоскость действия внешних нагрузок не совпадает хотя бы с одной из главных плоскостей поперечного сечения стержня. Например, случай, показанный на рис. 3.1, когда плоскость действия силы F находится под некоторым углом к главным плоскостям равнополочного уголка, жёсткозаделанного в стену.

При действии косого изгиба в поперечном сечении стержня возникают два изгибающего момента Mх и Mу, действующих в двух взаимно-перпен-дикулярных плоскостях.

Пусть на консольную балку (рис. 3.2), имеющую прямоугольное поперечное сечение, к ее свободному от закрепления краю в центре тяжести сечения под углом к оси 0y приложена сила F.

Проецируя эту силу на оси х и у соответственно, получим Тогда в сечении на расстоянии z от незакреплённого края стержня возникнут моменты Выражениями (3.3) доказывается, что в каждом сечении стержня возникают одновременно два изгибающих момента, которые создают изгиб в двух главных плоскостях.

Снова воспользуемся принципом суперпозиции и найдем напряжения отдельно от каждого из изгибающих моментов. Найдем напряжения в точке, расположенной в положительной четверти.

Для угловых крайних точек симметричного поперечного сечения стержня, для которых модули координат x и y достигают максимальных значений, выражение (3.4) можно переписать вая при определении знаков физический смысл задачи, можно записать Вычислив напряжения, можно построить (см. рис. 3.3) эпюры и найти положение нулевой линии n – n, в которой напряжения во всех точках равны нулю.

Замечание: формула (3.5) действительна только для тех точек, которые принадлежат одновременно наиболее удаленным от главных где R расчётное сопротивление материала стержня на изгиб.

3.3. Определение положения нулевой линии при косом изгибе В отличие от плоского (прямого) изгиба, при котором нулевая линия обязательно совпадает с одной из главных осей (осей симметрии), при косом изгибе, как это видно из рис. 3.3, нулевая линия не совпадает ни с одной из осей симметрии.

Положение нулевой линии согласно её определению при косом изгибе можно установить, приравняв к нулю выражение (3.4):

В формуле (3.8) х n и y n координаты, которые нулевая линия отсекает на соответствующих осях. Находя из (3.8) отношение этих координат, получим Для случая, когда оси координат выбраны так, что My и Mx имеют одинаковые знаки, правая часть выражения (3.9) будет положительна, тогда выражение (3.9) удовлетворится в том случае, если х n и y n по знакам будут различны. Тогда справедливой будет запись На рис. 3.5 показано положение нулевой линии при косом изгибе.

Подставляя в выражение (3.10) соответствующие аналитические выражения (3.3), после арифметических преобразований получим Выражение (3.11) указывает на то, что угол между линией действия внешней нагрузки и нейтральной линией не всегда прямой. Это зависит от отношения J x / J y. В случае равенства осевых моментов инерции (при круглой или квадратной формах поперечного сечения стержня) нейтральная линия будет перпендикулярна линии действия внешней нагрузки.

3.4. Прогибы при косом изгибе Вначале определим прогибы при плоском изгибе, рассматривая ту же консольную балку (рис. 3.6), что была использована в подразд. 3.2.

Для определения прогибов используем известную из теории изгиба зависимость Для получения аналитического выражения для определения прогиба z дважды проинтегрируем дифференциальное уравнение (3.13), описывающее изгиб рассматриваемого стержня.

Постоянные интегрирования С1 и С2 находят исходя из условий закрепления стержня. В данной задаче в защемлении при z = 0 прогиб 0 0 и угол поворота 0 0. Подставляя z = 0 в (3.14) и (3.15), найдём, что С1 = 0 и С2 = 0. Тогда из (3.15) аналитическое выражение для прогиба рассматриваемой консольной балки примет вид Подставляя в (3.16) z = L, получим формулу для определения прогиба незакреплённого края консольной балки при действии в этой точке сосредоточенной силы F.

При косом изгибе, как известно, сосредоточенную силу F раскладывают на две составляющие: Fx и F y. От действия этих сил формулы для определения прогибов получатся Тогда полный прогиб можно найти как геометрическую сумму:

Теперь найдем направление полного прогиба, записав отношение прогибов х и у :

Из сопоставления формул (3.11) и (3.20) ясно, что = и что направление прогибов тем необходимо сделать еще один важный вывод направление полного прогиба не совпадает с направлением действующей сиx лы.

Из анализа рис. 3.7 очевидно, что нулеполн вая линия n – n не перпендикулярна линии действия силы F. Отличие от прямого угла тем больше, чем больше разница между двуРис. 3. мя главными моментами инерции. И лишь в частном случае для симметричного сечения, когда линия действия силы F совпадает с одной из диагоналей, этот угол становится прямым.

3.5. Одновременное действие изгиба и продольной силы Расчеты на совместное действие изгиба и продольной силы можно ные напряжения согласно при-нятым ранее гипотезам будут являться функциями только М и N.

Согласно изложенному нормальные напряжения в любой точке любого поперечного сечения можно найти из выражения Пользуясь этой формулой, можно определить напряжение не только в любой точке стержня, но и найти наибольшее напряжение Рис. 3. напряжений в стержнях с простым поперечным сечением (круг, двутавр и другие) достаточно вычислить напряжения для характерных точек. При сложном поперечном сечении сначала находят положение нулевой линии nn и отыскивают наиболее удаленную от этой линии точку сечения.

3.6. Определение напряжений при внецентренном сжатии В строительстве часто встречаются задачи расчета опор, на которые передается воздействие от несущих конструкций (рис. 3.10).

Покажем рассматриваемую опору (рис. 3.11) в аксонометрии. В произвольном поперечном сечении тела опоры возникают нормальные напряжения, которые определяются нормальной сжимающей силой N = F и двумя изгибающими моментами, которые соответственно равны М х F y F и М y F x F.

Тогда нормальное напряжение к в любой точке К, лежащей в положительной четверти произвольного поперечного сечения, может быть определено по выражению Рассмотрим теперь жесткий стержень, имеющий прямоугольное поперечное сечение, сила F при этом действует в точке, расположенной на одной из осей. Пусть yF = 0, а xF = e, тогда (3.22) для крайних точек B е, т.е. как бы перемещая силу F по оси Ox.

Так, при e = 0 напряжение. Обозначим запишем т.е. эпюра напряжений будет иметь один знак.

Таким образом, от положения силы F зависит знак напряжения.

При этом эпюра может быть как однозначной, так и двухзначной.

3.7. Определение положения нулевой линии при внецентренном сжатии Подставим в (3.22) выражение для М х и М у, вынося отношение F/A за скобку:

Учтя, что знаменатели слагаемых в скобке представляют собой квадраты радиусов инерции i x x и i 2, выражение (3.25) примет следующий вид:

Поскольку требуется найти положение нулевой линии, представляющей собой совокупность точек, в которых нормальные напряжения равны нулю, приравняем выражение (3.26), поставив индекс n у координат, которые нулевая линия отсекает на соответствующих осях.

Но отношение не может быть равно 0, значит, в выражении (3.27) должна быть равна 0 сумма слагаемых в скобке:

Используя выражение (3.28), можно определить отрезки xn = ax и yn = ay, отсекаемые нулевой линией на соответствующих осях координат.

Пусть xn = 0. Тогда Пусть yn = 0. Тогда Из выражений (3.29) и (3.30) найдем Уравнение нулевой линии принимает вид прямой в отрезках ах и ау по осям координат:

Формулы (3.31) можно использовать для решения обратной задачи, когда по положению нулевой линии при известных ах и ау находят координаты положения силы F, соответствующие положению заданной нулевой линии.

3.8. Ядро сечения Рассмотрим теперь характерные особенности, связанные с положением нулевой линии n n. На рис. 3.13 показано произвольное сечение массивной колонны.

II III IV

I II III IV

Будем перемещать сжимающую силу F по лучам, исходящим из центра тяжести сечения. Так, если сила F будет располагаться на оси Oх, т.е. уF = 0, тогда координата нулевой линии n n a у х.

Это означает, что нулевая линия при любом положении силы F будет обязательно параллельной оси Оу. Будем перемещать силу F вдоль оси Ох от центра тяжести сечения к его краю. Если сила F будет располагаться в (·) 0, то нулевая линия будет находиться в бесконечности. Если же сила F будет располагаться в (·) 1, то такому её положению будет соответствовать положение нулевой линии I–I. В (·) 2 нулевая линия займёт положение II–II и т.д. В соответствии с этим, если перемещать силу F по радиусу OE, то будет иметь место такое же перемещение нулевой линии.

Выполним анализ, отражённый на рис. 3.14, где показано произвольное сечение стержня.

Расположим силу F в точке А, такому положению силы F соответствует нулевая линия nA – nA. При положении силы F в точке В нулевая линия займёт положение nB – nB. Эти линии пересекаются в точке D. Теперь поместим силу F в точку С и разложим ее по методу рычага на две силы FA и FB, от одновременного приложения которых нормальное напряжение в точке D D = 0. При этом нулевая линия займет положение nC – nC. Изложенное позволяет говорить о том, что при движении силы F по линии АВ нулевые линии будут вращаться вокруг точки D.

Рассмотрим теперь более общий случай соответствия положений сил и соответствующих этим положениям нулевых линий.

Найдем на луче ОА точку 1, когда нулевая линия I–I будет касаться контура сечения. Теперь на луче ОВ найдём точку 2 и соответствующую ей нулевую линию II–II. Аналогичную процедуру можно выполнить бесконечное число раз, определяя каждому положению нулевой линии точку приложения силы F. На рис. 3.15 показана пунктирная линия, построенная вокруг центра тяжести сечения. Она ограничивает некоторую область, характерную тем, что при расположении сжимающей или растягивающей силы внутри этой области абсолютно во всех точках поперечного сечения стержня будут возникать напряжения одного знака. Такая область, очерченная вокруг центра тяжести сечения, носит название ядро сечения. Если сжимающая или растягивающая сила F будет находиться за пределами ядра сечения, то нулевая линия будет располагаться в пределах поперечного сечения, деля его на сжатую и растянутые зоны.

Рассмотрим случаи построения ядра сечения для наиболее характерных форм поперечных сечений стержня. На рис. 3.16 показано прямоугольное поперечное сечение. Проведем нулевую линию I–I так, чтобы она касалась верхнего контура и была параллельна оси х. Тогда координаты, которая эта линия отсекает на соответствующих осях, окажутся равными ах = ; аy = h/2. По формулам (3.32) найдём значения координаты приложения силы F, соответствующие заданному поi диуса инерции для прямоугольника, как известно, равен следующему квадрата радиуса инерции ix в предыдущее выражение найдём, что координата приложения силы F на оси у окажется равной дем значение координаты приложения силы F, соответствующей нуhb 3 b Рассмотрим круглое сечение, изображённое на рис. 3.17. Здесь достаточно рассмотреть положение одной нулевой линии, для которой

4. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

4.1. Основные понятия При расчете сжатых элементов конструкций (рис. 4.1) не всегда оказывается достаточным ограничиваться расчетами на прочность.

Это связано, например, с тем, что при использовании высокопрочных материалов из расчета только на прочность достаточной оказывается относительно небольшая площадь поперечного сечения стержня при достаточно больших внешних нагрузках, действующих на этот стержень. В этом случае безопасная работа стержня будет определяться не только площадью поперечного сечения стержня, но и его длиной. При одной и той же сжимающей силе F чем меньше длина стержня, тем он считается более жестким, и соответственно наоборот.

В связи с этим при конструировании сжатых элементов строительных конструкций, кроме расчета на прочность, необходимо осуществлять расчет на устойчивость.

Из курса теоретической механики известно, что механическая система может находиться в одном из трех равновесных состояний: устойчивом, неустойчивом и безразличном. Рис. 4. Устойчивым равновесным состоянием системы (см. рис. 4.1) является такое состояние, в котором при любом возможно малом отклонении от указанного положения система, будучи предоставлена сама себе, возвращается в исходное положение.

Неустойчивым равновесным состоянием системы называется такое, при котором она, будучи отклонённой от равновесного состояния, не возвращается в исходное положение и продолжает от него отклоняться.

Положение равновесия системы считается безразличным, если при любом возможно малом отклонении ее от исходного система, будучи предоставлена сама себе, остается сколь угодно долго в отклоненном положении.

На рис. 4.2 показаны приведённые определения трёх равновесных состояний. Левый шарик иллюстрирует безразличное равновесное состояние, средний – устойчивое, правый – неустойчивое. Аналогично этому применительно к сопротивлению материалов можно сказать, что если при бесконечно малом увеличении сжимающей силы F (см. рис. 4.1) стержень не получает значительных изменений равновесного состояния, а после снятия нагрузки возвращается в исходное положение, то это значит, что имеет место устойчивое равновесие, и соответственно наоборот.

Одной из задач расчёта сжатых стержней является определение величины той силы, при которой происходит смена равновесных состояний стержня. В соответствии с этим можно дать следующее определение: критической Fкр называется такая сила, при бесконечно малом увеличении которой происходит переход от устойчивого к неустойчивому равновесному состоянию.

На рис. 4.3 представлены некоторые виды потери устойчивости равновесия упругих систем.

4.2. Вывод формул для определения критической силы для сжатого стержня при различных видах его закрепления В зависимости (4.2) знак минус поставлен потому, что при выбранных направлениях осей координат кривизна является отрицательной, а момент – положительный. Приравняем выражения (4.1) и (4.2). Обозначив в этом равенстве k 2 и перенося все слагаемые в левую часть, запишем Уравнение (4.3) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка, описывающим продольный изгиб сжатого стержня, шарнирно опёртого с обеих сторон. Общее решение дифференциального уравнения (4.3), являющегося в математике стандартным, имеет вид Постоянные интегрирования A и B найдем из условия закрепления стержня: (0) z 0 0 и (l ) z l 0. Подставив эти данные в (4.4), получим два уравнения Получилась система (4.5) линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных A и B, ненулевые значения которых возможны в том случае (известно из математики), когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю:

Раскрыв определитель, получим тригонометрическое уравнение нее принятому обозn 2 2 Fкр Из выражения (4.8) получим формулу для определения критической силы:

На основании формулы (4.9), меняя параметр n, можно определить величины критических сил, каждой из которых (рис. 4.5) соответствует своя форма потери устойчивости.

В инженерных расчетах, как правило, определяют наименьшую величину Fкр. Поэтому для рассмотренного закрепления стержня формула для определения критической силы Fкр принимает вид Анализ формулы (4.10) говорит о том, что критическая сила Fкр прямо пропорциональна жесткости и обратно пропорциональна его длине. Кроме того, из (4.10) видно, что критическая сила Fкр не зависит от прочностных характеристик материала стержня и поэтому Fкр сжатия абсолютно отлична от Fкр растяжения.

Следует отметить, что при определении осевого момента инерции J min необходимо учитывать то важное обстоятельство, что потеря устойчивости стержня происходит из плоскости, момент инерции относительно которой минимальный.

Рассмотрим стержень (рис. 4.6), свободный от закрепления с одной стороны и защемлённый с другой, подверженный действию сжимающей силы F.

Изгибающий момент в произвольном сечении z Снова используя известную из теории изгиба зависимость, выражение (4.10) запишем следующим образом:

Введя в дифференциальное уравнение (4.12) обозначение k2 и перенося в его левую часть слагаемые с координатой z, получим В математике известно, что решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общ частн.

Общее решение общ представляет собой решение (4.4) дифференциального уравнения (4.13) как однородного. Частное решение частн равно перемещению, стоящему в правой части уравнения (4.13) и умноженному на величину k 2. Таким образом, решение дифференциального уравнения (4.13) принимает вид В решении (4.14) имеются три постоянные A, B и, которые найдем, исходя из граничных условий закрепления рассматриваемого стержня: при z = 0 линейное перемещение 0 = 0 и угловое перемещение 0 = 0, а при z = l будет справедливо равенство l 0. Для определения этих постоянных возьмём от выражеEJ z Ak sin kz Bk cos kz и z Ak 2 cos kz Bk 2 sin kz. Подставив в (4.14) и в эти производные z = 0, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных А, В Ненулевое решение системы (4.15) возможно лишь при условии, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю.

Раскрывая определитель (4.16), получаем равенство cos kl 0.

Соблю-дение этого равенства может быть, только если kl. Отn сюда k. Следовательно, наименьшая критическая сила, коl ) торая будет при n = 1, определится из формулы Рассматривая стержень (рис. 4.7), шарнирно закреплённый с одной стороны и защемлённый с другой и подверженный действию сжимающей силы F, изгибающий момент в произвольном сечении z может быть описан выражением однородного дифференциального уравнения (4.20) можно записать так:

В решении (4.21) неизвестными являются параметры A, B и Q/F, которые, как и в предыдущем случае, найдем из граничных условий, в соответствии с которыми при z = 0 линейное перемещение (0) = 0 и угловое перемещение (0)= 0, а при z = l линейное перемещение (l) Возьмём соответствующие производные от выражения (4.21) Подставим в (4.20) и производные z = 0, соответственно z = l. Тогда Ненулевое решение этой системы уравнений будет при условии После раскрытия этого определителя получается тригонометрическое уравнение tg kl kl, которое удовлетворяется при kl = 4,443. Отсюда находим k 4,443 / l. Из этого следует k. Тогда критическая сила для рассматl ) риваемого стержня может быть определена из формулы При рассмотрении сжатого стержня (рис. 4.8), защем- Рис. 4. лённого с обеих сторон, для вывода формулы по определению критической силы был использован приведенный метод для трёх предыдущих видов закрепления стержня. В результате была получена формула Сопоставляя формулы для определения критической силы Fкр для различных видов закрепления стержня, нетрудно заметить, что отличаются они друг от друга только знаменателем. Обозначая в формулах (4.10), (4.17), (4.23) и (4.24) коэффициент в знаменателе, стоящий перед длиной стержня l, символом, получим формулу Это формула в сопротивлении материалов носит название формулы Эйлера и рис. 4.9 показаны различные схемы стержней со значениями их свободных длин.

4.3. Пределы применимости формулы Эйлера Инженерная практика применения формулы Эйлера показала, что она действительна только тогда, когда в поперечном сечении стержня нормальные напряжения не превышают предела pr пропорциональности.

Для установления предела применимости формулы Эйлера выполним следующие преобразования. Критическое напряжение кр в поперечном сечении сжатого стержня можно определить из формулы Подставив в (4.26) формулу Эйлера, получим нимального радиуса инерции, который перенесём в знаменатель формулы (4.27):

Отношение в скобках знаменателя формулы (4.28) в сопротивлении материалов носит название гибкости стержня:

Тогда формула (4.26) примет вид Приравнивая (4.30) пределу пропорциональности pr, получим формулу для определения предельного 0 значения гибкости:

Если в результате расчёта оказывается, что 0, можно применять формулу Эйлера. В случае, если 0, – нельзя. Так, для некоторых видов стали при модуле упругости E=2,1·107 Н/см2 и при преН/см Таким образом, с помощью предельной гибкости 0 могут быть определены границы применимости формулы Эйлера.

Ф.С. Ясинский обработал большое число опытных данных по оценке устойчивости сжатых стержней и предложил простую эмпирическую зависимость, с помощью которой определяют критическое нормальное напряжение:

В формуле (4.32), носящей имя Ф.С. Ясинского, параметры a и b представляют собой постоянные, полученные для каждого материала экспериментальным путём. Например, для мягких сталей a = МПа;

50 100, стержень работает в упругопластичной стадии, когда для определения критического напряжения кр используется формула Ясинского. При гибкости 100 при расчёте на устойчивость используется формула Эйлера.

4.4. Практические расчеты на устойчивость однопролетных стержней При расчете сжатых стержней должны выполняться два расчета – на прочность и устойчивость. При этом должно быть соблюдено следующее условие:

где F – действующая сжимающая сила; Fкр – сила, определённая по формуле Эйлера.

Для надежной работы сжатого стержня необходимо предусмотреть определенный запас устойчивости В формуле (4.34) Аbr представляет собой площадь поперечного сечения сжатого стержня, а ny – коэффициент запаса устойчивости.

Запишем формулу для расчета на прочность стержня при его растяжении:

В (4.35) Ant представляет собой только ту площадь поперечного сечения растянутого стержня, которая испытывает растяжение.

Обозначим отношение правых частей этих формул (4.34) и (4.35) за некий коэффициент. Из этого отношения следует Коэффициент называется коэффициентом продольного изгиба или коэффициентом понижения напряжений. Коэффициент зависит от критического напряжения и поэтому зависит от гибкости сжатого стержня, что очевидно из формулы (4.31).

В СНиПе на создание любой строительной конструкции коэффициент нормируется в зависимости от материала. В табл. 4.1 даны значения коэффициента, взятые из СНиП II-23-81*.

Условие устойчивости центрально сжатого элемента имеет вид Одной из задач любого расчёта является определение размеров поперечного сечения рассматриваемого элемента конструкции.

Определение размеров поперечного сечения сжатых стержней является более сложным, чем растянутых, так как коэффициент сам зависит от геометрических характеристик поперечных сечений стержня и поэтому заранее не может быть назначен. В связи с этим подбор сечения в данном случае является итерационным процессом. В сопротивлении материалов сформировалось несколько алгоритмов определения размеров поперечного сечения стержня исходя из условия его устойчивости. Один из алгоритмов предполагает такие шаги: 1) задаются первоначальным значением коэфF фициента 1 (как правило, принимают 1 = 0,5); 2) из выражения находят значение размера площади сечения рассчитываемого сжатого стержня; 3) по найденному значению A, зная форму поперечного сечения стержня, находят минимальный радиус инерции imin; 4) по найденному значению радиуса инерции imin поперечного сечения стержня находят по формуле (4.29) гибкость рассчитываемого стержня; 5) по найденному значению гибкости, используя таблицу коэффициентов понижения напряжений, находят новое значение 6) используя найденное жение с расчётным сопротивлением материала R, если оказывается, что R, то уменьшают размеры поперечного сечения стержня, а если R, – увеличивают. В обоих случаях изложенный процесс повторяется до тех пор, пока R с заданной точностью.

Другой алгоритм аналогичен предыдущему вплоть до пятого действия. Шестым действием ведётся сравнение найденного значения 1 с предыдущим значением 1. Если они отличаются друг от друга на величину больше, чем заданная точность (например, 1%), то делается следующий шаг итерации с новым 2 1, и так до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

5. РАСЧЁТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

НА УДАРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

В предыдущих разделах настоящего учебного пособия при расчёте элементов конструкций рассматривалось статическое приложение к стержням внешней нагрузки, когда внешняя нагрузка прикладывалась к стержню достаточно медленно, меняясь от 0 до какого-то конечного значения, и после этого оставалась неизменной в процессе создания и эксплуатации этого элемента конструкции.

В инженерной практике достаточно часто встречаются нагрузки, которые не остаются неизменными на всех стадиях создания и эксплуатации элемента конструкции.

Нагрузки, которые изменяют во времени свою величину и направление, называются динамическими нагрузками.

Всё многообразие динамических нагрузок условно классифицируют следующим образом: 1) вибрационные (гармонические); 2) ударные; 3) импульсные; 4) подвижные; 5) сейсмические.

В целом динамическая нагрузка представляет собой достаточно сложную систему, влияние которой как на отдельный элемент конструкции, так и на всё сооружение учесть в полном объёме не всегда представляется возможным. В сопротивлении материалов обычно рассматривается только ударная нагрузка (удар).

Под ударом понимается взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скорости точек этих тел за весьма малый промежуток времени.

На рис. 5.1 показан график изменения силы удара падающего груза в зависимости от времени. В наивысшей точке графика сила удара достигает максимального значения. Вертикаль, проведённая через эту точку, разделяет график на две части, именуемые первой и второй фазами удара.

В первой фазе центры тяжести соударяемых тел сближаются, и сила взаимодействия между ними возрастает до максимального Fmax значения в момент наибольшего сближения тел, когда скорость относительного движения становится равной нулю.

Во второй фазе центры тяжести тел удаляются друг от друга (отскок), и силы взаимодействия, уменьшаясь, становятся равными нолю или становятся постоянными, равными весу падающего груза, если имеет место неупругий удар.

Импульс силы удара равен изменению количества движения, и может быть найден с достаточно высокой точностью:

Максимальную силу Fmax удара и время точно определять пока не научились, что связано с несовершенством техники измерения, поэтому проводят условный расчет на удар.

на невесомой упругой пружине (рис. 5.2). Удар считается абсолютно неупругим. Обозначим жесткость пружины через С (жесткость – сила, вызывающая перемещение пружины на единицу).

После соприкосновения оба тела перемещаются вместе с одинаковой скоростью 1. Предполагая, что время удара очень мало, считается, что груз G0, получив скорость 1, начал вместе с грузом G сжимать пружину после того, как кончился удар.

Тогда по теореме изменения количества движения можно записать При дальнейшем совместном движении двух тел пружина сжимается, а скорость постепенно падает. В момент, когда происходит максимальное сжатие пружины, сила сжатия достигает своего максимума и оказывается равной Fmax = Fд + G0.

Из теоремы об изменении кинетической энергии, согласно которой приращение кинетической энергии материальной системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ, приложенных к системе сил на совершенном ими пути, где V2 – кинетическая энергия в момент наибольшего сжатия пружины (так как при этом скорость равна нолю, то и кинетическая энергия V2 = 0); V1 – кинетическая энергия после удара в начальный момент движения. С учётом выражения (5.2) она может быть определена из формулы Работа всех сил А, приложенных к двум движущимся телам на пути дин, определится из следующей формулы:

Со стороны пружины на тело действует переменная сила. В начальный момент времени удара эта сила равна весу G0 ударяемого тела. В конце времени удара эта сила будет равна G0 + Fд. График изменения силы во время удара показан на рис. 5.3.

Численно работа равна площади этой эпюры. Работа этой силы будет отрицательна, так как она действует в сторону, противоположную движению. Учитывая, что дин = Fд/C, найдём площадь заштрихованной части графика (см. рис. 5.3) и с учётом (5.5) запишем Исходя из равенства V1 A подставим найденные значения в равенство (5.3) и после арифметических преобразований получим дующее квадратное уравнение относительно искомого динамического перемещения дин :

Решая уравнение (5.8), найдём Вынесем в (5.9) стат за скобки:

В (5.10) выражение в скобках называется динамическим коэффициентом, который обозначается символом. С учётом этого выражение (5.10) принимает вид В соответствии с изложенным динамический коэффициент можно определить по формуле Полученная формула (5.12) является приближённой из-за принятых при её выводе предпосылок. Об одной из них, о неупругом ударе, говорилось в начале этого раздела. На практике таких ударов практически не встречается. Кроме того, не учтено то, что происходит деформирование тела в месте удара по нему падающего груза. Учёт этого приводит к значительной корректировке значения динамического коэффициента в сторону его уменьшения. Но процесс учёта местных деформаций весьма трудоёмкий. Поэтому в инженерной практике для определения динамического коэффициента используют формулу (5.12), полагая, что его завышенное по сравнению с точным значение идёт в запас прочности рассчитываемого элемента конструкции.

В случаях, когда нужно определить лишь порядок значения динамического коэффициента, можно отказаться от учёта весов соударяемых тел. Тогда формула (5.12) принимает вид Обобщая приведённые теоретические обоснования расчёта элементов конструкции на ударное воздействие, можно отметить то обстоятельство, что, по сути, динамический расчёт, основываясь на формуле (5.11), сводится к статическому расчёту, в общем виде описываемому формулой В выражении (5.14) S дин представляет собой искомое (изгибающий момент, напряжение, перемещение и т.д.) динамическое усилие, а S стат статическое усилие, определяемое от статического приложения силы, равной весу падающего груза.

В сопротивлении материалов различают два вида удара – продольный (рис. 5.4, а) и поперечный (рис. 5.4, б).

При продольном ударе направление движения падающего груза совпадает с продольной осью тела, на которое падает груз.

При поперечном ударе направление движения падающего груза перпендикулярно продольной оси тела, на которое падает груз.

6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

6.1. Общие замечания Известно, что наука о механике деформируемого твёрдого тела содержит ряд направлений, основополагающим из которых является сопротивление материалов. Все остальные направления (строительная механика, теория упругости, теория разрушений и т.д.) базируются именно на сопротивлении материалов.

Так, теория упругости, как и сопротивление материалов, занимается расчётом на прочность, жёсткость и устойчивость элементов конструкций. Но отличительной особенностью теории упругости является то, что она для решения задач при определении напряжённого и деформированного состояния тела, которое по своей природе всегда внутренне статически неопределимо, использует более строгие методы, чем это имеет место в сопротивлении материалов. Так, в теории упругости отсутствуют такие гипотезы, как гипотеза плоских сечений (изгиб), гипотеза прямых радиусов (кручение круглых стержней) и др.

Поэтому для решения задач в теории упругости используется математический аппарат, значительно более сложный, что позволяет получать точные решения, и те решения задач, которые выполнены методами сопротивления, являются частными случаями более общих методов расчёта теории упругости.

Кроме того, теория упругости часто решает задачи, которые невозможно решить методами сопротивления материалов. К таким задачам относятся расчёты пластин, оболочек, балки-стенки, массивных тел и другие.

Сопротивление материалов часто не может решить задачи, связанные с выявлением местных напряжений, с решением вопросов, связанных с концентрацией напряжений в местах отверстий.

Назначение теории упругости заключается в том, чтобы давать решение задач, которые невозможно получить методами сопротивления материалов и оценивать точность и пределы применимости решения задач по уравнениям сопротивления материалов. Как и в сопротивлении материалов, в теории упругости рассматриваются три группы уравнений – статические, геометрические и физические.

6.2. Статические уравнения Выделим из тела, нагруженного внешними силовыми воздействиями, элементарный параллелепипед с длинами сторон соответственно dx, dy и dz. При этом предполагается, что рассматриваемый параллелепипед (рис. 6.1), помещённый в пространственную прямоугольную систему координат, обладает свойствами большого тела.

На гранях параллелепипеда показаны векторы напряжений, описывающие влияние на рассматриваемый параллелепипед отброшенной части тела. Составляющие напряжений, например x, y, z, являются функциями трёх координат. В точке, отстоящей от начала отсчёта на бесконечно малую величину с точностью до бесконечно малой величины первого порядка, напряжение, например х, может быть разложено в ряд Тэйлора:

На площадках, параллельных площадке y0z, с координатами dy = и dz = 0 напряжение х после подстановки в (6.1) этих значений координат определится из формулы Аналогичные рассуждения можно выполнить для всех других векторов напряжений, действующих на гранях элементарного параллелепипеда.

Из анализа рис. 6.1 видно, что на гранях элементарного параллелепипеда имеется 18 составляющих напряжений, из которых неизвестными являются девять: х, у, z, yx, xy, yz, zy, xz и zx. Однако с учётом закона о парности касательных напряжений всего неизвестных остаётся шесть составляющих напряжений х, у, z, yx, xz, yz.

Кроме указанных составляющих напряжений в теле элементарного параллелепипеда присутствуют так называемые объёмные силы, к которым относятся: сила тяжести, силы инерции, электромагнитные силы и др.

Для определения искомых составляющих напряжений рассмотрим равновесие элементарного параллелепипеда, составив уравнения статики, представляющих три суммы проекций всех сил, включая объёмные, на соответствующие оси и три суммы моментов относительно этих осей. Покажем, например, уравнение, описывающее сумму проекций всех сил, действующих на гранях параллелепипеда, на ось х.

Выполнив в (6.3) арифметические преобразования, получим слеx xy xz дующее уравнение можно составить ещё два, выполнив предыдущую процедуру, спроецировав все силы, действующие на элементарный параллелепипед, на оси у и z. В итоге получим три уравнения, которые в теории упругости называются статическими уравнениями равновесия, носящие имя её автора Навье.

Из уравнений статики М 0 относительно соответствующих осей, например оси у, можно записать На основании (6.5) будут справедливы следующие равенства:

Рассмотрим теперь равновесие тетраэдра (рис. 6.2), полученного из элементарного параллелепипеда путём мысленного проведения наклонной плоскости.

Нормальные напряжения, действующие на этой плоскости, го на соответствующие оси обо- x значены символами Рх, Ру и Составляя уравнения равноz весия, представляющие собой щих на гранях элементарного тетраэдра, на соответствующие оси, после арифметических преобразований получим В уравнениях (6.7) коэффициенты l, m и n представляют собой так называемые направляющие косинусы углов, которые составляет нормаль к наклонной площадке, которой параллелен вектор полного В случае совпадения наклонной площадки с поверхностью тела уравнения (6.7) можно использовать для определения характера и величины действия на эту поверхность внешней нагрузки. Поэтому выражения (6.7) являются условиями на поверхности и могут рассматриваться как одни из граничных условий при решении задач теории упругости.

Уравнения Навье (6.4), представляющие собой дифференциальные урав-нения равновесия, и условия на поверхности (6.7), представляющие собой формулы для определения напряжений на наклонных площадках, являются основополагающими в группе статических уравнений теории упругости.

6.3. Геометрические уравнения Геометрические уравнения устанавливают зависимость между перемещениями и деформациями. Деформацией называется изменение формы тела или его размеров. Изменение положения точки при его деформировании называется перемещением.

Точка тела А в процессе его деформирования (рис. 6.3) заняла положение точки А.

ось z. Деформации тела в каждой точке характеризуются величинами относительных линейных х, у, z и угловых ху, уz, zx деформаций. Относительные линейные деформации растяжения считаются положительными.

Сумма (6.8) линейных относительных деформаций называется объёмной деформацией:

Покажем проекцию на плоскость (рис. 6.4) бесконечно малого элемента, стороны которого до его деформирования имели размеры dx Тогда относительные линейные деформации сторон бесконечно малого элемента окажутся равными Относительные линейные деформации считаются положительными, если они являются деформациями удлинения; угловые относительные деформации (деформации сдвига) считаются положительными, если стороны элемента составляют между собой острый угол.

Обобщая выполненные аналитические рассуждения, можно сформировать следующую систему (6.9) дифференциальных соотношений, именуемых в теории упругости уравнениями Коши:

Если из соотношений (6.9) исключить перемещения u, и w, то между компонентами деформаций можно получить шесть (6.10) дифференциальных соотношений, именуемых в теории упругости условиями совместности (неразрывности) деформаций Сен-Венана.

Неразрывность деформаций определяется условием, по которому бесконечно малые элементы, выделенные из деформируемого тела, должны так деформироваться, чтобы между ними не было абсолютно никаких разрывов, т.е. тело должно оставаться сплошным по всему его объёму.

Уравнения (6.10) неразрывности необходимы и достаточны только для тел с так называемой односвязной областью, в пределах которой любая замкнутая линия непрерывной деформации может быть стянута в точку таким образом, чтобы она не пересекала поверхности тела.

Примером односвязной области может служить сплошной шар, а многосвязной – замкнутое сплошное кольцо.

6.4. Физические уравнения Физические соотношения устанавливают связь между напряжениями и деформациями. В общем случае пространственной задачи для упругого материала такими соотношениями являются, что известно из курса сопротивления материалов, уравнения закона Гука:

где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга); G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига); – коэффициент Пуассона.

Соотношения (6.11) в теории упругости называются законом Гука в прямой форме. Закон Гука, выраженный через объёмную деформацию, носит название закона Гука (6.12) в обратной форме:

6.5. Способы решения задач теории упругости С учётом статических, геометрических и физических соотношений в теории упругости получены системы, содержащие пятнадцать уравнений с пятнадцатью неизвестными, которыми являются шесть компонент напряжений, шесть компонент деформаций и три компоненты перемещений. Для определения этих пятнадцати неизвестных в теории упругости разработано три способа:

1 – решение задачи в перемещениях, когда за основные неизвестные принимают перемещения u, и w, после чего определяют геометрические соотношения, а через них, используя физические соотношения, находят напряжения;

2 – решение задачи в напряжениях, когда за основные неизвестные принимают шесть функционально зависимых от координат x, y и z компонент напряжений, затем, используя физические соотношения, находят деформации, а затем, используя геометрические соотношения, – перемещения;

3 – смешанный, когда в качестве основных неизвестных принимают часть компонент напряжений и часть перемещений.

Рассмотрим способ решения задач теории упругости в перемещениях. В качестве основных неизвестных принимают перемещения u, и w, функционально зависимые от координат х, у и z.

Перемещения u x, y, z, x, y, z и wx, y, z можно определить из дифференциальных уравнений равновесия Навье. Запишем, например, первое из них напряжений по соответствующим координатам используем соотношения закона Гука в обратной форме с подстановкой в них геометu рических соотношений Коши:

y x G и xz xz G z x G. Возьмём от этих трёх выра-жений первые производные по координатам х, у и z соответстu G 2. Подставив полученные выражения производных в уравнение Навье и выполнив группировки слагаемых, получим Из анализа выражения (6.13) очевидно, что скобка первого слагаемого представляет собой дифференциальный оператор Лапласа второго порядка, который в математике обозначен символом 2 u.

Из скобки третьего слагаемого вынесем. Тогда получим, что Подставив преобразование (6.14) в (6.13) с учётом оператора Лапласа, после группировки слагаемых получим Аналогично можно получить два других уравнения:

После решения уравнений (6.15)(6.17) относительно перемещений u, и w по соотношениям Коши определяют деформации х, у и z, а затем через уравнения закона Гука находят напряжения.

Второй способ решения задач теории упругости в напряжениях предполагает, что за основные неизвестные принимаются шесть функционально зависимых от координат напряжений. Если записать, вторые производные от уравнений закона Гука (6.11) в прямой форме и подставить их в это выражение, то после математических преобразований можно получить уравнение, в качестве неизвестных в котором выступают напряжения. Таких уравнений можно составить шесть:

Выражения (6.18) в теории упругости называются уравнениями Бельтрами-Митчела, выраженными через напряжения. В этих уравнениях символом J 1 обозначен первый инвариант напряжений, определяемый выражением 6.6. Плоская задача теории упругости Плоская задача теории упругости рассматривает случай, когда одно из главных напряжений (например, z ) и два касательных (например, zx и zy ) с учётом парности касательных напряжений равны нулю. В плоской задаче неизвестными являются три напряжения – два нормальных x, y и одно касательное xy yx.

Различают два вида плоской задачи теории упругости – плоская деформация и обобщённое плоское напряжённое состояние.

Плоской деформацией называется деформация, при которой перемещения всех точек параллельны одной плоскости. Примером плоской деформации в транспортном строительстве может служить работа протяжённой подпорной стенки (рис. 6.5).

Примером обобщённого плоского напряжённого состояния может служить работа пластины (рис. 6.6), торцовые грани которой нагружены внешней нагрузкой по её торцам, а её поверхности свободны от нагружения. Поэтому нормальные напряжения, вектор которых параллелен оси z, будут равны нулю ( z 0). Также равными нулю оказываются и касательные напряжения, в индексе которых имеется символ z yz xz 0.

Равенство нулю указанных напряжений справедливо только для тех точек, которые располагаются непосредственно на поверхности пластины. В пределах толщины пластины эти напряжения отличны от нуля.

Учитывая то, что толщина пластины несопоставимо мала по сравнению со всеми другими размерами пластины, делается предположение, что все напряжения внутри пластины по её толщине распределяются равномерно и, следовательно, считают, что по толщине пластины и z 0, и yz xz 0.

Таким образом, в плоской задаче об обобщённом плоском напряжённом состоянии имеются следующие уравнения:

1) уравнения Навье (без учёта объёмных сил) Итак, для решения плоской задачи об обобщённом напряжённом состоянии существует девять уравнений.

6.7. Решение задачи об обобщённом плоском напряжённом состоянии в напряжениях Для решения этой задачи возьмём два уравнения Навье от них соответствующие уравнению совместности производные и подставим их в это уравнение, перенося все слагаемые в левую часть:

Исключим из выражения (6.20) касательное напряжение ху. Для этого возьмём первую производную от первого уравнения Навье по координате х, от второго – по координате у и сложим их:

ставим последнее выражение в (6.20) и после его арифметических преобразований получим уравнение Из анализа выражения (6.21) очевидно, что его первая пара представляет собой дифференциальный оператор Лапласа второго порядка от нормального напряжения х, вторая пара – от у. С учётом этого выражение (6.21) принимает вид Выражение (6.22) в теории упругости носит название соотношения Мориса-Леви.

Задача решения определения напряжений значительно упрощается, если находить не скалярные значения напряжений, а закон распределения этих напряжений. Для этого используют специальную функцию (функция Эри) х, у, зависящую от координат х и у и удовлеу. Подставив в соотношение Мориса-Леви х и у, выраху женные через функции Эри, получим В математике выражение (6.23) называется бигармоническим уравнением, которое в развёрнутом виде имеет вид Бигармоническое дифференциальное уравнение (6.24) решают численными методами. Наиболее эффективными среди них являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

7. ОСНОВЫ РАСЧЁТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Тонкостенными называют стержни, у которых размеры поперечного сечения несопоставимо малы по сравнению с их длиной, а толщина стенок несопоставимо мала по сравнению с размерами поперечного сечения. Так, любой профиль прокатной стали в принципе является тонкостенным стержнем.

Различают два типа тонкостенных стержней – открытого и закрытого профиля, изображённых на рис. 7.1 и 7.2 соответственно.

Существенной особенностью работы тонкостенных стержней является отсутствие при их расчетах гипотезы плоских сечений. Это связано с тем, что в процессе нагружения тонкостенных стержней появляется их закручивание и поперечные сечения при таком деформировании стержня не остаются плоскими.

Перемещение точек из плоскости поперечного сечения вдоль оси стержня называется депланацией сечения. Наибольшая депланация сечения происходит у стержней открытого профиля, значительно меньшая у стержней закрытого профиля.

7.1. Элементы расчёта тонкостенных стержней Рассмотрим виды деформирования тонкостенных стержней при их скручивании. Различают два вида – свободное и стеснённое кручения тонкостенных стержней.

относительные изменения продольных волокон z = 0, поэтому в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения.

жня, имеющего прямоугольное (рис. 7.4) поперечное сечение, установлено, что поток касательных напряжений направлен по пряжения возникают в точках, лежащих в середине длинной стороны у грани сечения, и определяются формулой (7.1), по структуре похожей на ту, которая была поРис. 7. лучена при рассмотрении кручения круглого стержня:

В выражении (7.1) крутящий момент M0 является моментом чистого кручения, а Jd – геометрическая характеристика сечения, выполняющая ту же роль, что и полярный момент инерции. Для узкой полоh сы J d. Если же сечение состоит из набора таких тонких прямоугольников (швеллер, двутавр и др.), то для определения max используется та же формула, только момент инерции Jd в ней определяется как сумма моментов инерции для каждого прямоугольника, умноженная на соответствующий коэффициент :

Значения коэффициента для некоторых форм поперечного сечения тонкостенных стержней следующие: двутавр – 1,2; швеллер – 1,12; уго-лок – 1,0.

Угол закручивания полосы определяют по формуле, структура которой похожа на формулу для определения угла закручивания круглого стержня:

где G – модуль сдвига.

Рассмотрим теперь особенности стеснённого кручения.

Стесненным называется такой вид деформирования тонкостенного стержня, при котором депланация различных по длине стержня поперечных сечений становится неодинаковой.

Рассмотрим деформирование тонкостенного стержня (рис. 7.5) двутаврового поперечного сечения, жесткозаделанного одним концом в стену. Из рис. 7.5 видно, что депланация сечения, непосредственно примыкающего к заделке, будет равна нулю, т.е. положение этого сечения никак не изменится. Наибольшая депланация будет у сечения, свободного от закрепления. Так как перемещения точек разных сечений по длине стержня будут различными (z 0), то появятся относительные удлинения волокон, что приведет к появлению в поперечных сечениях и касательных, и нормальных напряжений.

Представим скручивающий момент Mz = T в виде пары сил F, под действием которых одновременно с закручиванием двутавра происходит и изгиб его полок в противоположных направлениях.

Рассечём мысленно двутавр плоскостью и, отбросив часть его, получим, что в оставшейся части под действием пар сил F произойдёт его закручивание и изгиб полок.

Эпюры нормальных напряжений в сечении оставшейся части имеют такой вид, который показан на рис. 7.6.

Обозначим эти напряжения через w и будем считать, что они одинаковы (рис. 7.7) по толщине полки ввиду ее малых размеров.

По напряжениям определяют четыре равные друг другу силы N, образующие самоуравновешенную систему внутdA ренних сил, возникновение которой является одной из главных особенностей стесненного кручения. Эти усилия находят из т.е. изгибающие моменты относительно главных осей инерции сечения и нормальная сила должны равняться нулю.

В связи с тем, что в поперечном сечении стержня при его стесненном кручении возникают одновременно деформации кручения и изгиба, поэтому возникают две (рис. 7.8) системы касательных напряжений.

На рис. 7.8 0 – касательные напряжения от свободного (чистого) кручения и соответствующий им момент М0 – момент чистого кручения, а – касательные напряжения, возникающие в связи с тем, что нормальные напряжения в поперечном сечении стержня неодинаковы.

Напряжения в полках двутавра направлены в разные стороны и им соответствует так называемый изгибно-крутящий момент M, который вместе с моментом чистого кручения М0 создает момент Мкр, уравновешивающий внешний крутящий момент Тп= Мкр = М0+ М.

В связи с тем, что при стесненном кручении имеет место изгиб отдельных элементов стержня, этот вид кручения называют изгибным кручением. При этом принято следующее правило знаков: крутящий момент Мкр в рассматриваемом сечении стержня считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали его вектор направлен по ходу часовой стрелки, и соответственно наоборот.

Рассмотрим теперь зависимости между деформациями стержня и перемещениями его точек. При этом введем две гипотезы: деформации сдвига срединной поверхности стержня равны нулю и профиль поперечного сечения стержня считается недеформируемым.

В соответствии с первой гипотезой предполагается, что угол между двумя отрезками, один из которых совпадает с образующей срединной поверхности, а другой – нормален к ней, не изменяется при закручивании стержня.

В соответствии со второй гипотезой предполагается, что проекция формы поперечного сечения и его размеры на ось стержня остаются неизменными в процессе деформирования стержня. Кроме того, по этой гипотезе деформацию стержня можно представить как совокупность поворотов поперечных сечений на определенный угол вокруг некоторого полюса, при которых каждое поперечное сечение одновременно будет испытывать депланацию.

Рассматривая стесненное кручение стержня (рис. 7.9), имеющего произвольное поперечное сечение, возьмем на срединной поверхности точку М, имеющую координаты zm и sm. Перемещения этой точки вдоль образующей (ось z) и перпендикулярно ей (по дуге) являются функциями этих координат и обозначаются соответственно u=f1(z, s) и =f2(z, s). Обе эти функции непрерывны, так как должна сохраняться цельность стержня.

время будет приращением функции u. Поскольку при переходе от точки М к точке а изменяется только координата z, а координата s остается без изменения, то Тогда относительное изменение длины ребра составит Ребро площадки ds не получит приращения, так как оно совпадает с профилем поперечного сечения, который, согласно второй гипотезе, считается недеформируемым. Поэтому относительная деформация Исследуем теперь поворот рассматриваемой площадки вокруг точки М. В соответствии с гипотезой об отсутствии сдвигов в срединной поверхности поворот площадки произойдет без искривления ее сторон и без изменения прямых углов. Поэтому оказывается справедливым равенство углов 1 = 2. На основе этого равенства доказывают, что. В этом равенстве неизвестными являются перемещения u и, которые подлежат определению.

Пусть поперечное сечение при закручивании повернулось вокруг некоторого полюса А (рис. 7.11) на угол, который принято считать положительным, если сечение поворачивается против хода часовой стрелки, если смотреть на него из начала координат в положительном направлении оси z.

В соответствии с принятыми гипотезами, что при кручении стержня форма его поперечного сечения не изменится, точка М переместится в точку М2, которая проецируется на касательную в точку С, и отрезок МС =. Из геометрических построений, показанных на рис.

7.11, будет справедливо следующее равенство: = r. Тогда можно во в предыдущее, найдем записать, что Так как в (7.6) интегрировалась частная производная от u, то в правую часть выражения введена функция u0(z), не зависящая от s, физический смысл которой выражает некоторую часть перемещения u, которая одинакова для всех точек сечения.

Произведение r ds является удвоенной площадью элементарного сектора АМm. Обозначая эту площадь через d, получим На основании выражения (7.6) можно записать Величину называют секториальной площадью, которая является геометрической характеристикой сечения тонкостенного стержня.

Значение для различных точек профиля зависит от расположения полюса А и начальной точки М.

Секториальную площадь считают положительной, если при движении точки по профилю сечения от начала отсчета М соответствующий радиус-вектор вращается против хода часовой стрелки.

В связи с тем, что для каждой точки профиля секториальная площадь имеет свое значение и знак, она называется секториальной координатой точки. Беря частную производную от u по координате z, получим Эту формулу мы используем при изучении распределения нормальных и касательных напряжений в сечении тонкостенного стержня.

допускается отсутствие какого-либо взаимодействия между продольными волокнами, т.е. s = В соответствии с законом Гука можно записать, что = Ez. Подставив в это равенство предыдущее значение z, получим Найдем выражение для u 0 ( z ) из уравнения статики В (7.11) параметры и u 0 (z ) не зависят друг от друга. Исходя из этого, найдем В числителе выражения (7.12) интеграл dA S называется секA ториальным статическим моментом площади сечения и имеет размерность ед. длины. Он, как и обычный статический момент площади сечения, может быть как положительным (рис. 7.13), так и отрицательным, и знак его зависит от выбора начальной точки отсчета.

Стараются выбирать положение начальной точки М0 таким, чтобы соблюдалось условие S dA 0. Тогда секториальное нормальное напряжение может быть описано выражением Выражение (7.13), называемое законом распределения нормальных секториальных напряжений, описывает закон распределения по контуру сечения тонкостенного стержня секториальных площадей.

Так как и модуль упругости Е, и для каждого сечения являются положительными, то эпюра имеет форму эпюры секториальных площадей, а точку М0 называют главной секториальной нулевой точкой. Кроме того, из последнего выражения следует, что если является const, то 0, и, следовательно, секториальные нормальные напряжения не возникнут.

Формулу для определения секториальных касательных напряжений выводят так же, как и формулу Журавского, т.е. вырезают в тонкостенном стержне (рис. 7.14) элемент со сторонами dz и ds.

Секториальные касательные напряжения, действующие в продольном сечении рассматриваемой отсеченной части, будем считать положительными, если их вектор направлен в сторону, противоположную направлению оси z. Рассматривая равновесие этого элемента, составим уравнение, описывающее сумму проекций всех сил, действующих на этот элемент, на ось z. В результате получим формулу В числителе формулы (7.14) секториальный статический момент отсечённой части S dA.

В связи с тем, что множитель Е для каждого сечения есть величина постоянная, секториальные касательные напряжения изменяотс ются по закону отношения S /.

Для определения зависимостей внутренних усилий при стесненном кручении и напряжений рассматривают сечение произвольного очертания (рис. 7.15).



Pages:   || 2 |
 


Похожие работы:

«Министерство образования Российской Федерации Томский государственный архитектурно-строительный университет ПРОЕКТНЫЙ И ПРЕДПРОЕКТНЫЙ АНАЛИЗ Программа лекционного курса и методические указанию к выполнению аналитической части курсового проекта Томск 2010 Проектный и предпроектный анализ: программа лекционного курса и методические указания к выполнению аналитической части курсового проекта. / Сост. И.И. Левченко. – Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2010. – 22 с. Рецензент к.арх.н....»

«Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра истории РЕФЕРАТ по учебным курсам ОТЕЧЕСТВЕННАЯ ИСТОРИЯ и КУЛЬТУРОЛОГИЯ Методические указания для студентов всех специальностей Санкт-Петербург 2006 Реферат по учебным курсам Отечественная история и Культурология: Метод. указ. для студ. всех специальностей / Сост.: В. Ю. Жуков, И. А. Кольцов, И. Ю. Лапина; СПб. гос. архит.-строит. ун-т. – СПб., 2006. – 35 с. Содержатся...»

«СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ З.А. ХРУСТАЛЁВА МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ПРАКТИКуМ Рекомендовано ФГУ Федеральный институт развития образования в качестве учебного пособия для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы среднего профессионального образования УДК 006(075.8) ББК 30.10я73 Х95 Рецензенты: В. А. Гурьев, заместитель начальника отдела НПО им. С. А. Лавочкина; И. А. Карандина, председатель ПЦК спец. 210306, преподаватель...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра дорожного, промышленного и гражданского строительства ИНЖЕНЕРНЫЕ СООРУЖЕНИЯ В ТРАНСПОРТНОМ СТРОИТЕЛЬСТВЕ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов специальности 270205 Автомобильные дороги и...»

«Продолжается обсуждение проектов документов в Состав заместителей министра строительства рамках совершенствования системы и ЖКХ России сформирован ценообразования и финансирования проектной деятельности Национальное объединение Распоряжением проектировщиков в целях председателя ознакомления и обсуждения Правительства РФ на выложило на свой сайт должность заместителя проекты пяти документов по министра строительства и некоторым Сборникам ЖКХ РФ назначен Андрей базовых цен в рамках Чибис. Это...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе профессор В.Л. ТРУШКО ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ГЕОТЕХНОЛОГИЯ (ПОДЗЕМНАЯ, ОТКРЫТАЯ, СТРОИТЕЛЬНАЯ), соответствующей направленности (профилю) направления подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре НАПРАВЛЕНИЕ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В MATHCAD Методические указания и контрольные задания к выполнению лабораторной работы по курсу Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики для студентов, обучающихся в магистратуре Хабаровск Издательство ТОГУ 2011 УДК...»

«Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) О.А. Мусиенко ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖЕЙ В AUTOCAD Учебное пособие ТЕТРАДЬ № 2. ПРИМИТИВЫ Омск Издательство СибАДИ 2005 2 УДК 744 ББК 30.11 М 91 Рецензенты: канд. техн. наук, доц. М.В. Исаенко, начальник отдела проектирования мостов ООО НПО Мостовик С.В. Козырев Работа одобрена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве учебного пособия для специальностей 291100, 291000 и 330200. Мусиенко...»

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал ГОУ ВПО Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова КАФЕДРА ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по направлению 653500 Строительство специальности 270102 Промышленное и гражданское строительство СЫКТЫВКАР 2007 УДК 514. ББК...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Факультет городского строительства и жилищно-коммунального хозяйства Кафедра городского строительства и хозяйства ОРГАНИЗАЦИЯ РЕЛЬЕФА ТЕРРИТОРИИ ЗАСТРОЙКИ Методические указания к курсовой работе по дисциплине Инженерное благоустройство и транспорт для студентов специальностей 270300 – архитектура и 120303 – городской кадастр Санкт-Петербург 2010 1 УДК 711.96 Рецензент...»

«Ю.Н. Тахциди Ю.В. Никитин АВТОМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМ ТГВ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ TE TE M КАЗАНЬ 2008 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Казанский государственный архитектурно-строительный университет Ю.Н. Тахциди Ю.В. Никитин АВТОМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМ ТГВ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ КАЗАНЬ УДК 681.5:696/ ББК 38.76-5-05 я Т Тахциди Ю.Н., Никитин Ю.В. Т 24 Автоматизация систем ТГВ: Учебное пособие /Казань: КГАСУ, 2008 г. - 76с. Печатается по решению...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Ростовский государственный строительный университет” УТВЕРЖДЕНО на заседании кафедры водоснабжения и водоотведения 29 января 2008 г. Методические указания к дипломному проекту Водоснабжение города и промышленных предприятий Ростов-на-Дону 2008 Методические указания к дипломному проекту Водоснабжение города и промышленных...»

«1 Министерство сельского хозяйства РФ ФГОУ ВПО Кубанский государственный аграрный университет ФАКУЛЬТЕТ ВОДОХОЗЯЙСТВЕННОГО СТРОИТЕЛЬСТВА И МЕЛИОРАЦИИ ФАКУЛЬТЕТ ВОДОСНАБЖЕНИЯ И ВОДООТВЕДЕНИЯ Кафедра гидравлики и сельскохозяйственного водоснабжения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для практических занятий по гидравлике для студентов специальности 311300 - Механизация сельского хозяйства; 110302 – Электрификация и автоматизации сельского хозяйства; 2701.02 Промышленное и гражданское строительство Краснодар...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА ЛЕСОВОДСТВО САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 656200 Лесное хозяйство и ландшафтное строительство специальности 250201 Лесное хозяйство СЫКТЫВКАР УДК 630....»

«Наименование учебно-методических, методических и иных материалов (автор, место издания, № Наименование дисциплины по год издания, тираж.) учебному плану Отечественная история. Методическое обеспечение семинарских занятий/под.ред. Е.М. Харитонова/сост. С.В. Хоружая. Краснодар: КГАУ, 2008 Отечественная история. Методическое обеспечение семинарских занятий/под.ред. Е.М. Харитонова/сост. С.В. Хоружая. Краснодар: КГАУ, 2008 История Данилова М.И., Скляр В.В., Ембулаева Л.С. (и др.) Сборник вопросов и...»

«Нишанбаев Н., Чжан.В. Прогнозирование землетрясения геодезическими методами Учебное пособие 1 Министерство высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан ТАШКЕНТСКИЙ АРХИТЕКТУРНО – СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ГЕОДЕЗИЯ И КАДАСТР Нишанбаев Н., Чжан.В. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ Учебное пособие ТАШКЕНТ 2013 2 Удк 528,48 Нишанбаев Н.М, Чжан.В. Прогнозирование землетрясения геодезическими методами. Учебное пособие для выполнения расчетно-графических...»

«Т. П. Троян ГИДРАВЛИКА ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ ПО ГИДРОСТАТИКЕ И ГИДРОДИНАМИКЕ Омск Издательство СибАДИ 2006 3 Учебное издание ТРОЯН ТАМАРА ПЕТРОВНА ГИДРАВЛИКА. ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ ПО ГИДРОСТАТИКЕ И ГИДРОДИНАМИКЕ Учебное пособие Главный редактор М. А. Тихонова Подписано к печати 23.10.2006 Формат 60х90 1/16. Бумага писчая Оперативный способ печати Гарнитура Таймс Усл. п. л. 5,75, уч.-изд. л. 5, Тираж 200 экз. Заказ Цена договорная Издательство СибАДИ 644099, Омск, ул. П. Некрасова,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА ЛЕСНАЯ ПИРОЛОГИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 656200 Лесное хозяйство и ландшафтное строительство специальности 250201 Лесное хозяйство СЫКТЫВКАР УДК...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет СКВОЗНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА Программа и методические указания для студентов специальности 270102.65 Промышленное и гражданское строительство Хабаровск Издательство ТОГУ 2009 УДК: 725 (02) Сквозная практическая подготовка : программа и методические указания для студентов специальности 270102.65 Промышленное и гражданское...»

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова КАФЕДРА ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по направлениям 653600: Транспортное строительство, специальность 270205: Автомобильные дороги и...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.