WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

А. П. Иванов

Методические указания

Тема 5: Интерполирование функций

факультет ПМ–ПУ СПбГУ 2007 г.

Оглавление

1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2

1.1. Погрешность метода. Остаточный член формулы Лагранжа...... 2

1.2. Выбор узлов интерполирования....................... 2

1.3. О сходимости интерполяционного процесса................ 3 2. Задание для работы на компьютере. ........................ 5 2.1. Конкретные функции для выполнения задания.............. 6 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа Пусть на отрезке [a, b] R рассматривается функция f (·) и пусть известны её значения в (n + 1) различных узлах x0, x1,..., xn, принадлежащих [a, b]. Возьмём многочлен степени n Pn (x) = a0 xn + a1 xn1 +... + an. (1) Коэффициенты ai выбираем так, чтобы совпадали значения f (·) и Pn (·) в узлах интерполирования {xi }:

Pn (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, 2,..., n. (2) Эти равенства дают квадратную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных {ai }, причём определитель её суть определитель Вандермонда, что гарантирует существование и единственность решения СЛАУ (2).

Искомый интерполяционный полином может быть представлен в виде n n n+1 (x) Pn (x) = Ln (x) = li (x)f (xi ) = f (xi ). (3) (x xi )n+1 (xi ) i=0 i= Многочлены {lk (x)} называют множителями Лагранжа (x x0 )... (x xk1 )(x xk+1 )... (x xn ) n+1 (x) lk (x) = =, (xk x0 )... (xk xk1 )(xk xk+1 )... (xk xn ) (x xk )n+1 (xk ) где n+1 (x) = (x x0 )(x x1 )... (x xn ), а формулу (3) формулой Лагранжа для интерполирующего многочлена Ln (x). Часто интерполяционный полином Ln (·) называют просто полиномом Лагранжа.

1.1. Погрешность метода. Остаточный член формулы Лагранжа Оценку для rn (x) = f (x) Ln (x) на классе функций f (·) C n+1 [a, b] в точке x = x [a, b] можно получить в виде f (n+1) () rn (x ) = · n+1 (x ), (a, b). (4) (n + 1)!

Будем называть равенство (4) формулой Лагранжа для остатка интерполирования или методической погрешностью интерполирования.

1.2. Выбор узлов интерполирования Рассмотрим множество n всевозможных функций f (·), которые (n + 1) раз непрерывно дифференцируемы на [a, b] и производная которых порядка (n + 1) ограничена по модулю числом Mn+1 : |f (n+1)(x) | Mn+1 (x [a, b]). В этом классе функций остаток интерполирования (методическая погрешность интерполирования) имеет оценку:

Mn+ |rn (x)| |x x0 ||x x1 |... |x xn |. (5) (n + 1)!

Она является точной и достигается в том случае, когда f (·) есть многочлен степени n + вида Mn+1 n+ + a1 xn + a2 xn1 +....

f (x) = x (n + 1)!

Задача 1. Функция f (·) задана таблично, x - не табличное значение аргумента, в котором необходимо приблизить функцию f (·) при помощи интерполяционного многочлена степени n, взяв за узлы любые табличные значения аргумента xi0, xi1,..., xin.

M Множитель не зависит от выбора узлов. Поэтому при фиксированном значении (n + 1)!

x необходимо выбрать {xik } так, чтобы произведение | xi0 || xi1 |... | xin | x x x имело наименьшее значение.

Очевидно, что для этого набор {xik }n следует выбирать из условий:

k= xi0 = min | xi |; xi1 = min | xi |;..., | xi |.

x x xin = min x i i=i0 i=i0,i1,...,in Задача 2. Выбрать узлы x0, x1,..., xn на [a, b] так, чтобы правая часть оценки (5) принимала минимальное значение.

Если считать [a, b] = [1, 1], то учитывая свойства полиномов Чебышева можно утверждать,что n+1 (x) = Tn+1 (x) = n Tn+1 (x). В общем же случае [a, b] = [1, 1] достаточно сделать преобразование [a, b] [1, 1] и получим искомые узлы {xi } в виде:

При таком выборе узлов оценка (5) для методической погрешности принимает вид:

Очевидно, что использование указанной оценки весьма затруднительно, поэтому важен вопрос: как ведёт себя последовательность интерполяционных полиномов для заданной функции при увеличении числа узлов интерполирования.

1.3. О сходимости интерполяционного процесса Решив задачу интерполирования по заданному числу узлов на интервале [a, b], мы должны ответить на вопрос: как ведёт себя последовательность интерполяционных полиномов при неограниченном возрастании числа узлов на [a, b]? Будет ли (и если будет, то при каких условиях) иметь место свойство:

Поскольку ответ на поставленный вопрос зависит в том числе и от свойств функции f (·), обозначаем здесь полином Лагранжа через Ln (x, f ), чтобы подчеркнуть указанное обстоятельство.

Уточним задачу. Рассмотрим бесконечную треугольную таблицу узлов, расположенных на [a, b]:

Определение 1. Построение интерполяционных полиномов Ln (x, f ) по таблице (7) для функции f (·) будем называть интерполяционным процессом (для экономии места – ИП).

Определение 2. Если для x [a, b] имеет место: rn (, f ) 0 при n, то говорят, что ИП для f (·) по таблице (7) сходится в точке x.

Определение 3. Если сходимость ИП имеет место для всех x [a, b], то говорят, что ИП сходится для f (·) на [a, b].

Определение 4. Если rn (x, f ) 0 при n равномерно на [a, b], то говорят о равномерной сходимости ИП к f (·) на [a, b].

Некоторые факты.

• Для любой непрерывной функции f (·) можно выбрать узлы (7) так, что ИП будет равномерно на [a, b] сходиться к этой функции. В основе утверждения – теорема Вейерштрасса о приближении функций полиномами.

• (т. Фабера) Для любой таблицы (7) существует непрерывная функция, для которой ИП не является равномерно сходящимся.

• Для целой функции ИП по любой таблице (7) равномерно на [a, b] сходится к ней.

Пример Бернштейна. Для f (x) = |x|, x [1, 1] ИП по равноотстоящим узлам не сходится ни в одной точке, кроме точек 1, 0, 1 (при этом 1 и +1 считаются узлами интерполирования).

Рассмотрим несколько примеров построения интерполяционного полинома и оценки методической погрешности.

Пример 1. С какой методической погрешностью можно найти sin, имея таблицу:

Установим связь между параметрами задачи и параметрами, использованными при рассмотрении вопроса о построении интерполяционного полинома Лагранжа:

т.е. относительная погрешность вычисления указанного значения с помощью полинома Лагранжа составляет 3%.

Пример 2. Построить полином Лагранжа по таблице:

Пример 3. Построить полином Лагранжа по таблице:

Примеры 2 и 3 показывают, что при добавлении узла в таблицу приходится заново проделывать всю работу. Этот недостаток может быть устранен при записи интерполяционного полинома в иной форме, известной как полином Ньютона.

2. Задание для работы на компьютере Для заданной функции y = f (x) студент должен выполнить следующее:

1. Выбрать из области её определения интервал непрерывности.

2. Назначить некоторое число равноотстоящих узлов и построить интерполяционный полином. Проделать то же самое, взяв в качестве узлов то же количество узлов, но определяемых по формуле (6). Сравнить полученные результаты.

3. Повторить п.2, увеличивая число узлов.

4. Для функции h = |x| · f (x) проделать ту же работу, что и для y = f (x) на том же самом интервале. Сравнить поведение интерполяционных полиномов в первом и 2.1. Конкретные функции для выполнения задания 6. f (x) = tg(0.5x + 0.2) x2 ;

9. f (x) = x2 arcsin(x 0.2);

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков. Численные методы.

Физматлит, М.– СПб – 2000.

2. В. М Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения.

М., Высшая школа 2000.

3. Г. Н. Воробьёва, А. Н. Данилова. Практикум по вычислительной математике. М., Высшая школа 1990.



 
Похожие работы:

«М.А. Вахрушина, С.А. Рассказова-Николаева, М.И. Сидорова УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ-1 Учебное пособие по Программе подготовки и аттестации профессиональных бухгалтеров БАЗОВЫЙ КУРС Москва Издательский дом БИНФА 2011 М.А. Вахрушина, С.А. Рассказова-Николаева, М.И. Сидорова УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ-1 Учебное пособие по программе подготовки и аттестации профессиональных бухгалтеров Базовый курс Москва Издательский дом БИНФА, 2011 Учебное пособие соответствует базовому курсу Управленческий учет Программы...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра геологии и природопользования УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Петрография магматических и метаморфических пород, петрология Основной образовательной программы по специальности 130301.65 - Геологическая съемка, поиски и разведка месторождений полезных ископаемых Благовещенск 2012 2...»

«Public Disclosure Authorized 30405 Public Disclosure Authorized Методические указания по анализу бедности и социальных последствий Public Disclosure Authorized Public Disclosure Authorized Всемирный Банк Группа стратегии сокращения бедности (PRMPR) и Департамент социального развития (SDV) (с) 2003 Международный банк реконструкции и развития / Всемирный банк 1818 H Street, N.W., Washington, D.C. 20433, USA Изложенные в настоящем материале факты, их трактовка и выводы выражают только точки зрения...»

«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра эксплуатации и ремонта автомобилей ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗНОСА БЛОКА ЦИЛИНДРОВ АВТОТРАКТОРНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ Методические указания к лабораторной работе Составители: В.И. Гурдин, И.П. Залознов, А.Н. Чебоксаров Омск СибАДИ 2012 УДК 621.43 ББК 39.35–041 Рецензент канд. техн. наук, доц. И.М. Князев...»

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУ ВПО АмГУ Факультет социальных наук УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой МСР _ М.Т. Луценко _ _ 2007 г. Учебно-методический комплекс дисциплины АНТРОПОЛОГИЯ Для специальности 040101 Социальная работа Составители: Колосов В.П., Самсонов В.П. Благовещенск 2007 Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета социальных наук Амурского государственного университета Колосов В.П., Самсонов В.П. Учебно-методический...»

«Литографии в микроэлектронике Методическое пособие для студентов МФТИ и описания лабораторных работ в ИФТТ РАН Черноголовка 2012 Содержание.. стр. 1. Основы литографии. 1.1 Вводные замечания...3 1.2 Типичные технологические шаги процесса литографии..3 1.3 Подложки. Способы очистки..4 1.4 Чистые помещения..4 1.5 Резисты- определение и свойства. Приготовление резистивной маски.5 2. Фотолитография. 2.1 Введение..9 2.2 Основы оптики..10 2.3 Контактная и проекционная печать.. 2.4 Фотошаблоны.....»

«2 3 Оглавление АННОТАЦИЯ 1. ТРЕБОВАНИЯ К ДИСЦИПЛИНЕ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 3. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ 4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 4.1. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ 4.2. ТРУДОЁМКОСТЬ МОДУЛЕЙ И МОДУЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ДИСЦИПЛИНЫ СОДЕРЖАНИЕ МОДУЛЕЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4.3. 4.4. ЛАБОРАТОРНЫЕ/ПРАКТИЧЕСКИЕ/СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ 4.5. САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ Перечень вопросов для самостоятельного изучения 4.5.1. 5.ВЗАИМОСВЯЗЬ ВИДОВ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ 6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И...»

«Пояснительная записка Рабочая программа по географии составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта общего образования, одобренный совместным решением коллегии Минобразования России и Президиума РАО от 23.12.2003 г. № 21/12 и утвержденный приказом Минобрнауки РФ от 05.03.2004 г. № 1089, инструктивно-методического письма О преподавании предмета География в общеобразовательных учреждениях Белгородской области в 2013-2014 учебном году. Примерная структура рабочей...»

«А.Л. Иванов, В.А. Каня СОДЕРЖАНИЕ И ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ДИПЛОМНОГО ПРОЕКТА Методические указания Омск 2010 1 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра теплотехника и тепловые двигатели СОДЕРЖАНИЕ И ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ДИПЛОМНОГО ПРОЕКТА Методические указания для студентов специальности 140501 Двигатели внутреннего сгорания Составители: А.Л. Иванов, В.А. Каня Омск Издательство СибАДИ УДК 621.43: 681.31 (075.8) ББК 39.33 (32.97) К...»

«x x Вперёд Назад Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] [Теоретический материал] [Задачи и упражнения] [Тесты] Настоящий электронный учебно-методический комплекс (ЭУМК) разработан по заданию Министерства образования Республики Беларусь коллективом авторов в составе Воротницкий Ю.И., Кастрица О.А., Ляликов А.С., Мазаник...»

«ЕВРОАЗИАТСКАЯ РЕГИОНАЛЬНАЯ АССОЦИАЦИЯ ЗООПАРКОВ И АКВАРИУМОВ МОСКОВСКИЙ ЗООЛОГИЧЕСКИЙ ПАРК Руководство по научным исследованиям в зоопарках. Ред. С.В.Попов Москва 2008г. 2 В Руководство включено второе, расширенное и переработанное, издание Методических рекомендаций по наблюдениям за поведением млекопитающих в зоопарке, впервые опубликованных Московским зоопарком в 1990 году, и подготовленные специально для данного выпуска Методические рекомендации по изучению звукового поведения животных. Мы...»

«М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р АЗ О В АН И Я И Н АУ К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р АЦ И И Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е Г О С У Д АР С Т В Е Н Н О Е Б Ю Д ЖЕ Т Н О Е О Б Р АЗ О В АТ Е Л Ь Н О Е У Ч Р Е ЖД Е Н И Е В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н АЛ Ь Н О Г О О Б Р АЗ О В АН И Я С АН К Т - П Е Т Е Р Б У Р Г С К И Й Г О С У Д АР С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т Э К О Н О М И К И И Ф И Н АН С О В К АФ Е Д Р А Ф Р АН Ц У З С К О Г О И В О С Т О Ч Н Ы Х Я З Ы К О В МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВВОДНОМУ...»

«ОКРУЖАЮЩИЙ МИР К УЧЕБНИКУ А.А. Плешакова (М.: Просвещение) 2 -е издан ие, пер ер а б о тан н о е 1 класс МОСКВА • ВАКО УДК 373.167.1:502 ББК 74.262 К64 Контрольно измерительные материалы. Окружающий К64 мир: 1 класс / Сост. И.Ф. Яценко. – 2-е изд., перераб. – М.: ВАКО, 2011. – 96 с. – (Контрольно-измерительные материалы). ISBN 978-5-408-00380-8 В пособии представлены контрольно-измерительные материалы по курсу Окружающий мир для 1 класса в тестовой форме. Все задания соответствуют программе...»

«Государственное казенное учреждение Московской области “Управление автомобильных дорог Московской области “Мосавтодор”“ УТВЕРЖДЕНЫ Начальником Управления “Мосавтодор” 12 ноября 2012 г. Вводятся в действие с 01 января 2013 г. ДНД МО-013/2013 Методические указания по расчету стоимости содержания линий освещения на автомобильных дорогах регионального или межмуниципального значения Московской области ГУП МО Лабораторно-исследовательский центр, 2012г. СОДЕРЖАНИЕ 1 Общие положения.. 2 Требования к...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА Кафедра трикотажного производства ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ДИПЛОМНОЙ РАБОТЫ Методические указания для студентов специальности 260704.65 Технология текстильных изделий всех форм обучения Составители: Л. П. Ровинская С. В. Макаренко Санкт-Петербург 2010 РЕКОМЕНДОВАНО на заседании кафедры трикотажного производства 16.02.2010 г., протокол № Рецензент Ю. Н....»

«С. С. Зарубин, М. А. Калинин Формирование практических умений и навыков в клинической интернатуре по оториноларингологии Учебное пособие Архангельск, 2010 г. СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 5 2. ОБЩАЯ СЕМИОТИКА ПАТОЛОГИИ ЛОР-ОРГАНОВ 8 3. ИСТОЧНИКИ ОСВЕЩЕНИЯ И ОСНОВНОЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ 11 3.1. ПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОБНЫМ РЕФЛЕКТОРОМ 12 4. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ ЛОР ОРГАНОВ 13 4.1. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ НОСА И ОКОЛОНОСОВЫХ ПАЗУХ 13 4.2. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ ГЛОТКИ 16 4.3. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ ГОРТАНИ 4.5. МЕТОДИКА...»

«УДК 658.6;.001.66(075.8) ББК -80*65.2/4–65.9; 30.182я73 МИНОБРНАУКИ РОССИИ У 91 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА (ФГБОУ ВПО ПВГУС) Кафедра Управление качеством и технологии в сервисе Рецензент к.т.н., доц. Радюхина Г. В. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по подготовке и проведению государственных аттестационных испытаний по направлению подготовки 260800. Технология, конструирование...»

«Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра физического воспитания РАЦИОНАЛЬНОЕ ПИТАНИЕ СПОРТСМЕНОВ Методические указания для преподавателей и студентов, занимающихся спортом Составители Ю.Е. Горбунов, П.М. Гатилов Омск Издательство СибАДИ 2003 1 УДК 613.2: 796 ББК 75.081 Рецензент канд. пед. наук, доцент кафедры физвоспитания ОГИС В.И. Карпенко Работа одобрена методической комиссией кафедры. Рациональное питание...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра геологии и природопользования Кафедра физического материаловедения и лазерных технологий УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Кристаллография, минералогия Основной образовательной программы по специальности 130301.65 - Геологическая съемка, поиски и разведка месторождений полезных ископаемых...»

«Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Факультет Автомобильный транспорт ДИПЛОМНЫЙ ПРОЕКТ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 150200 АВТОМОБИЛИ И АВТОМОБИЛЬНОЕ ХОЗЯЙСТВО СОСТАВ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ Методические указания для студентов дневной и заочной форм обучения Составители А.П. Ёлгин, А.В. Трофимов Омск Издательство СибАДИ 2005 1 УДК 629.114.6 ББК 39. Рецензент канд. техн. наук, доц. И.М. Князев Работа одобрена методической комиссией факультета...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.