WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

А. П. Иванов

Методические указания

Тема 4: Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем уравнений

факультет ПМ–ПУ СПбГУ 2007 г.

Оглавление

1. Решение скалярных уравнений........................... 2

1.1. Описание метода Ньютона.......................... 2 1.2. О локализации корней............................ 3 1.3. Задания..................................... 5 2. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений............. 5 2.1. Изложение метода............................... 2.2. Пример решения системы методом Ньютона............... 2.3. Задания..................................... 1. Решение скалярных уравнений Для скалярного уравнения f (·) C 2 (a, b) f (x) = 0, (1) далее рассматривается задача уточнения корня x, локализованного на отрезке [a, b].

1.1. Описание метода Ньютона При наличии хорошего приближения xk к корню x функции f (·) можно использовать метод Ньютона, называемый также методом линеаризации или методом касательных. Расчётные формулы метода могут быть получены путём замены исходного уравнения (1) линейным уравнением в окрестности корня f (xk ) + f (xk )(x xk ) = 0, (2) Решение этого уравнения принимается за очередное приближение xk+1 :

f (xk ) xk+1 = xk. (3) f (xk ) Метод Ньютона имеет простую геометрическую интерпретацию: график функции заменяется касательной к нему в точке (xk, f (xk )) и за очередное приближение xk+1 принимается абсцисса точки пересечения её с осью OX. Используя эту интерпретацию легко получить расчётные формулы (3) метода Ньютона и вследствие этой интерпретации он именуется также методом касательных.

Рис. 1.

Здесь x0, x1, x3 поледовательные приближения к корню x, полученные в результате применения метода Ньютона.

Ясно, что сходимость последовательности {xk } к корню зависит от свойств функции f (·) и не всегда имеет место. Так, легко представить, что уже приближение x1 не попадает на исходный интервал и процесс итераций останавливается.

Приведём полезную теорему, гарантирующую сходимость метода.

Теорема 1. Если f (a) · f (b) 0, причём f (x) и f (x) отличны от нуля (и, следовательно, сохраняют определённые знаки при x [a, b]), то, исходя из начального приближения x [a, b], удовлетворяющего условию f (x0 ) · f (x0 ) 0, можно вычислить методом Ньютона по формуле (3) единственный корень x уравнения (1) с любой степенью точности.





Замечание. Практическим критерием окончания вычислений является выполнение условия |xn+1 xn |, где – требуемая точность вычисления корня.

Метод Ньютона – удобный способ вычисления корня целой степени. Поскольку задача извлечения корня n c равносильна задаче решения уравнения (1) с функцией f (x) = xn c, то расчётная формула метода Ньютона приобретает вид n1 c xk+1 = xk +.

nxn n k Пусть n = 2, c = 2, и тогда f (x) = x2 2. Можно принять [a, b] = [1, 2]. Проверим выполнение условий теоремы 1: f (1) = 1, f (2) = 2, f (x) = 2x 0, f (x) = 2 0 при x [1, 2]. Положим x0 = 2. Поскольку f (2) · f (2) = 2 · 2 4 0, то обеспечена сходимость = последовательности {xk }, получаемой по формуле (3) к 2:

x0 = 2; x1 = (2 + 1) = 1, 5; x2 = 1, 41667; x3 = 1, 414216, x4 = 1, 414214.

Все цифры последнего приближения являются верными.

Если же условия теоремы 1 не выполняются или проверка их затруднительна, то очередное "приближение" xk+1 может оказаться вне интервала, на котором расположен корень x. В этом случае xk+1 строится либо методом половинного деления либо методом хорд. В первом случае полагают во втором – Здесь ak, bk – левый и правый конец интервала, которому принадлежит корень x на предыдущем шаге.

На начальном этапе полагаем a0 = a, b0 = b. Пусть для определённости f (a) 0, f (b) 0. Если x1 [a, b], то вычислив c = f (x1 ), полагаем a1 = c, b1 = b0 при c 0, и a1 = a0, b1 = c при c 0 и повторяем вычисления.

Если же приближение x1 [a, b], то применяем формулы (4) либо (5) и поступаем как и выше: вычисляя c = f (x1 ), полагаем a1 = c, b1 = b0 при c 0, и a1 = a0, b1 = c при c и применяем метод Ньютона.

1.2. О локализации корней Если в уравнении f (x) = 0 функция f (·) непрерывна, то основой для локализации корня обычно служит следствие из теоремы Коши: если f (a)f (b) 0, то на интервале [a, b] имеется по крайней мере один корень указанного уравнения (точнее нечётное число корней). Для локализации корня на интервале [a, b] можно применять такие подходы:

• Графический метод. Исходное уравнение (1) приводится к виду g(x) = h(x), строятся графики функций y = g(x) и y = h(x) и определяется интервал оси OX, которому принадлежит абсцисса точки пересечения графиков. Он и используется для уточнения • Последовательный перебор. Интервал [a, b] разбивается на N равных отрезков и вычисляются значения функции f (·) в точках xk = a + kh, k = 0, 1,..., N, где h = (b a)/N. Если при этом найдётся интервал [xk, xk+1 ], для которого f (xk )f (xk+1 ) 0, то тем самым корень функции будет локализован с точностью h/2. Может оказаться, что функция f (·) не меняет знака на последовательности {xk }. Если корень на [a, b] существует, то последнее означает, что шаг h слишком велик и его следует заменить на меньший, полагая, например, N = 2N.





• Перебор с переменным шагом. Если функция f (x) является Липшицевой, т.е.

то можно строить последовательность {xk } вида:

Основанием к этому может служить то, что при f (x) = cx+d, можно принять L = |c| и в этом случае значение x1, полученное указанным способом, удовлетворяет уравнению Если L неизвестна, то можно её заменить через • Использование мажорант. Если известны оценки функции f (·) на [a, b], т.е.

и корни x и x+ этих функций, то x [min{x, x+ }, max{x, x+ }].

Пример. Пусть f (x) = sin x + x3 2, x [0, ]. Поскольку на указанном интервале 0 sin x 1, то в данном случае можно принять: f (x) = x3 2, f + (x) = 1+x3 2 = x3 1.

Следовательно, x 1; 3 2 [1; 1, 28].

Итеративная последовательность метода Ньютона по формуле (3) имеет вид:

1.3. Задания.

Локализовать и получить методом Ньютона минимальный по модулю ненулевой корень уравнения с точностью 0.0001:

2. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений 2.1. Изложение метода Рассмотрим систему нелинейных уравнений и предположим, что существует вектор x D Rn, являющийся решением системы (6).

Будем считать, что F (x) = (f1 (x), f2 (x),..., fn (x))T, причём fi (·) C 1 (D) i.

Разложим F (x) в окрестности точки x: F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x x0 ) + o( x x0 ). Здесь называется матрицей Якоби, а её определитель – якобианом системы (6). Исходное уравнение заменим следующим: F (x0 ) + F (x0 )(x x0 ) = 0. Считая матрицу Якоби F (x0 ) неособой, разрешим это уравнение относительно x: x = x0 [F (x)]1 F (x0 ). И вообще положим При сделанных относительно F (·) предположениях имеет место сходимость последовательности {xk } к решению системы со скоростью геометрической прогрессии при условии, что начальное приближение x0 выбрано из достаточно малой окрестности решения x.

При дополнительном предположении F (·) C метода, т.е.

Сформулируем теорему.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения x системы (6) функции fi (·) C 2 и якобиан системы отличен от нуля в этой окрестности. Тогда существует -окрестность точки x такая, что при любом выборе начального приближения x0 из этой окрестности последовательность {xk } не выходит из неё и имеет место квадратичная сходимость этой последовательности.

Замечание 1. В качестве критерия окончания процесса итераций обычно берут условие:

Замечание 2. Сложность метода Ньютона – в обращении матрицы Якоби. Вводя обозначение xk = xk+1 xk получаем для вычисления xk СЛАУ откуда и находим искомую поправку xk, а затем и следующее приближение xk+1 = xk + x к решению x. Очевидно, что это значительно сокращает количество арифметических операций для построения очередного приближения.

Замечание 3. Начиная с некоторого шага k0 решают стационарную СЛАУ Данное видоизменение носит название модифицированный метод Ньютона.

Замечание 4. (О выборе начального приближения). Пусть вектор-функция (, x) такова, что (1, x) = F (x), а система (0, x) = 0 может быть решена. Тогда разбивая [0, 1] на N частей решают методом Ньютона набор из N систем принимая для каждой следующей системы в качестве начального приближения решение предыдущей системы.

2.2. Пример решения системы методом Ньютона Рассмотрим задачу решения системы уравнений с точностью 0.001:

Отделение корней произведём графически (см. рисунок 2).

Второе уравнение системы геометрически суть эллипс с полуосями (, ). Кривую, соответствующую первому уравнению, строим по точкам в диапазоне x [1.1; +1.1].

Система имеет два решения. уточним одно из них, расположенное в четвёртой четверти, приняв в качестве начального приближения значения x0 = 0.4; y0 = 0.75.

Имеем далее:

Уточнение корней будем вести методом Ньютона с учётом замечания 2:

где gn и hn – решение СЛАУ (8):

Отсюда последовательно получаем:

Поскольку три первые знака после запятой установились, процесс вычислений заканчиваем (см. замечание 1.) 2.3. Задания.

Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью 0.0001:

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков. Численные методы.

Физматлит, М.– СПб – 2000.

2. В. М Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения.

М., Высшая школа 2000.

3. Г. Н. Воробьёва, А. Н. Данилова. Практикум по вычислительной математике. М., Высшая школа 1990.



 
Похожие работы:

«Дальневосточный федеральный университет Школа естественных наук ОБРАБОТКА И ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА ВОДНЫМ РЕЖИМОМ Учебно-методическое пособие Составитель И.А. Лисина Учебное электронное издание Владивосток Дальневосточный федеральный университет 2013 1 УДК 26.23 ББК 551.5 О-23 Обработка и обобщение наблюдений за водным режимом О-23 [Электронный ресурс] : учебно-методич. пособие / сост. И.А. Лисина. – Владивосток : Дальневост. федерал. ун-т, 2013. – Режим доступа: http://www.dvfu.ru/meteo/book....»

«СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ БУХГАЛТЕРСКИЙ УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 080109.65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Новосибирск 2008 Кафедра бухгалтерского учета Бухгалтерский управленческий учет : методические указания к выполнению курсовой работы / [cост.: канд. экон. наук, доц. Ж.Г. Мамаева, канд. экон. наук, доц. В.И. Нитяго]. – Новосибирск : СибУПК, 2008. – 52 с. Рецензенты: канд. экон. наук, доцент...»

«С.Е. Левин БУХГАЛТЕРСКИЙ БАЛАНС Методические указания Северск 2011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ Северский технологический институт - филиал НИЯУ МИФИ (СТИ Н И Я У М И Ф И ) Утверждаю • Зав. кафедрой СМиБУ доцент Cr i\.^.-i С.Е. Левин JJ 2011г. С.Е. Левин БУХГАЛТЕРСКИЙ БАЛАНС Методические указания Северск УДК...»

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУВПО АмГУ Утверждаю Зав. каф. ГиП Т.В.Кезина _2009 г. Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для специальности 130301 очной формы обучения Геологическая съемка, поиски и разведка месторождений полезных ископаемых Составитель: Носырев М. Ю., доцент каф. ГиП, к.г.-м.н. Благовещенск 2009 г. Печатается по решению редакционноиздательского совета Амурского...»

«СУБКОНТРАКТАЦИЯ В.С. Егоров, Н.В. Бобылева МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ КАК МАЛОМУ ПРЕДПРИЯТИЮ СТАТЬ ПОСТАВЩИКОМ ВЕДУЩИХ КОРПОРАЦИЙ Москва 2009 1 Настоящее методическое пособие создано при содействии и СУБКОНТРАКТАЦИЯ под контролем со стороны Департамента поддержки и развития малого и среднего предпринимательства города Москвы, в рамках Комплексной целевой программы поддержки и развития малого предпринимательства в г. Москве 2007-2009 гг. Рекомендации предназначены для использования руководителями и...»

«Федеральное агентство по образованию ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра электронных приборов А.И. Аксенов, А.Ф. Злобина,Н.Г. Панковец, Д.А. Носков Вакуумные и плазменные приборы и устройства Учебное пособие Томск 2007 А.И. Аксенов, А.Ф. Злобина, Панковец Н.Г., Носков Д.А. Вакуумные и плазменные приборы и устройства: Учебное пособие — 139 с. А.И.Аксенов, А.Ф.Злобина, Панковец Н.Г., Носков Д.А., 2007 Оглавление 1. ВЕДЕНИЕ 2. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ...»

«Закрытое акционерное общество Вектор-Бест И. М. Скударнова, Н. В. Соболева, Н. В. Мычка ГОРМОНЫ ЩИТОВИДНОЙ ЖЕЛЕЗЫ Информационно-методическое пособие Кольцово 2006 Гормоны щитовидной железы: пособие для врачей / И. М. Скударнова, Н. В. Соболева, Н. В. Мычка; ЗАО Вектор-Бест. – Кольцово : ЗАО Вектор-Бест, 2006. – 32 с. В настоящем пособии представлена краткая информация о функционировании щитовидной железы в норме и патологии. Рассмотрены основные тиреоидные гормоны, анализ содержания которых в...»

«Министерство образования Российской Федерации _ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАФЕДРА АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Е.Н. БРАГО, О.В. ЕРМОЛКИН Новые информационные технологии и измерительное оборудование контроля дебита скважин. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине ИЗМЕРЕНИЕ И КОНТРОЛЬ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НЕФТЕГАЗОВЫХ ПРОИЗВОДСТВ Москва 2004 УДК 681.518+681.2:622.276. Браго Е.Н., Ермолкин О.В. Новые информационные...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА Кафедра трикотажного производства ОБЪЕМ И СОДЕРЖАНИЕ ДИПЛОМНОЙ РАБОТЫ Методические указания для студентов специальности 260704.65 Технология текстильных изделий всех форм обучения Составители: Л. П. Ровинская С. В. Макаренко Санкт-Петербург 2010 РЕКОМЕНДОВАНО на заседании кафедры трикотажного производства 16.02.2010 г., протокол № Рецензент Ю. Н....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЕ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ КАФЕДРА БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЁТА, АНАЛИЗА И АУДИТА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по подготовке курсовых работ для студентов специальности 1-25 01 08 Бухгалтерский учет, анализ и аудит МИНСК 2012 СОДЕРЖАНИЕ Общие положения.. 4 1 Цели и задачи курсовой работы.. 5 2 Выбор темы курсовой работы.. 8 3 Планирование подготовки к выполнению курсовой работы. 10 4 Подбор литературы.. 5 Рекомендации по сбору и обработке практического...»

«Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина Кафедра информационно-измерительных систем. Ю.А. Дадаян ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СХЕМ. Методические указания для студентов специальности 200106 Информационно-измерительная техника и технологии. Москва, 2005 г. 1 УДК 621.317.39 (075.8) Ю.А. Дадаян Физические основы получения информации. Методические указания для студентов специальности...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского В.И. Швецов, А.Н. Визгунов, И.Б. Мееров БАЗЫ ДАННЫХ Учебное пособие Издательство Нижегородского госуниверситета Нижний Новгород 2004 УДК 681.3 ББК 32.97 Ш 93 Ш 93 Швецов В.И., Визгунов А.Н., Мееров И.Б. Базы данных. Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. 217 с. Учебное пособие посвящено важнейшей составляющей широко разрабатываемых и используемых информационных...»

«Public Disclosure Authorized 30405 Public Disclosure Authorized Методические указания по анализу бедности и социальных последствий Public Disclosure Authorized Public Disclosure Authorized Всемирный Банк Группа стратегии сокращения бедности (PRMPR) и Департамент социального развития (SDV) (с) 2003 Международный банк реконструкции и развития / Всемирный банк 1818 H Street, N.W., Washington, D.C. 20433, USA Изложенные в настоящем материале факты, их трактовка и выводы выражают только точки зрения...»

«М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р АЗ О В АН И Я И Н АУ К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р АЦ И И Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е Г О С У Д АР С Т В Е Н Н О Е Б Ю Д ЖЕ Т Н О Е О Б Р АЗ О В АТ Е Л Ь Н О Е У Ч Р Е ЖД Е Н И Е В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н АЛ Ь Н О Г О О Б Р АЗ О В АН И Я С АН К Т - П Е Т Е Р Б У Р Г С К И Й Г О С У Д АР С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т Э К О Н О М И К И И Ф И Н АН С О В К АФ Е Д Р А Ф Р АН Ц У З С К О Г О И В О С Т О Ч Н Ы Х Я З Ы К О В МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВВОДНОМУ...»

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУВПО АмГУ УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой ВИ и МО Н.А. Журавель _2008 г. РЕЛИГИЯ СТРАН ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЫ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ для специальности 032301 – Регионоведение Составитель: к.и.н., доцент кафедры ВИ и МО Капранова Е.А. Благовещенск 2008 г. Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета международных отношений Амурского государственного университета Е.А. Капранова Учебно-методический...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра автоматизации обработки информации Утверждаю: Зав. каф. АОИ профессор _Ю.П. Ехлаков _2011 г. Методические указания по выполнению самостоятельной работы по дисциплине КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА для студентов специальности 230102 - Автоматизированные системы обработки информации и...»

«The customer is our coach Training Учебное пособие Легковые автомобили Новый S-класс. Тип 220. Электрооборудование Выпуск: апрель 2003 г. ЗАО ДаймлерКрайслер Автомобили РУС Учебный центр Учебное пособие подготовлено в Учебном Центре ЗАО ДаймлерКрайслер Автомобили РУС в 2000 году по материалам фирмы DaimlerChrysler AG. Информация, находящаяся в учебных материалах, соответствует состоянию техники на момент издания брошюры и с течением времени может устаревать. Таким образом, данная брошюра не...»

«Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Трифонов Н.П., Пильщиков В.Н. Задания практикума на ЭВМ (1 курс) Москва 2001 УДК 681.325.5 ББК 22.18 Т67 Трифонов Н.П., Пильщиков В.Н. Задания практикума на ЭВМ (1 курс). Учебное пособие, 2-е исправленное издание. — М.: МГУ, 2001. — 32 с. Издательский отдел факультета ВМК (лицензия ЛР №040777 от 23.07.96), Приводятся описания заданий практикума на ЭВМ для студентов 1 курса факультета...»

«Литографии в микроэлектронике Методическое пособие для студентов МФТИ и описания лабораторных работ в ИФТТ РАН Черноголовка 2012 Содержание.. стр. 1. Основы литографии. 1.1 Вводные замечания...3 1.2 Типичные технологические шаги процесса литографии..3 1.3 Подложки. Способы очистки..4 1.4 Чистые помещения..4 1.5 Резисты- определение и свойства. Приготовление резистивной маски.5 2. Фотолитография. 2.1 Введение..9 2.2 Основы оптики..10 2.3 Контактная и проекционная печать.. 2.4 Фотошаблоны.....»

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУВПО АмГУ УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой ВИ и МО Н.А. Журавель _2008 г. ТЕОРИЯ МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ для специальности 032301 – Регионоведение Составитель: д.и.н., профессор Буянов Е.В. Благовещенск 2008 г. Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета международных отношений Амурского государственного университета Е.В. Буянов Учебно-методический комплекс по...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.