WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 26 |

«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы ...»

-- [ Страница 5 ] --

При последовательном вычислении нескольких начальных производных f (1) (x), f (2) (x) f (3) (x),... некоторых элементарных функций легко усматривается закономерность, позволяющая записать формулу для вычисления производной любого порядка. Доказательство таких формул может быть проведено методом математической индукции.

Назад Производные произвольного порядка некоторых элементарных функций Если функции u = u(x), v = v(x) имеют производные порядка n, то Назад Формула Лейбница. Последовательное вычисление производной порядка n произведения функций при больших n становится достаточно трудоемким. В ряде случаев удобно использовать для вычисления такой производной следующую теорему.

Теорема 2.36 (Формула Лейбница). Если функции u = u(x), v = v(x) имеют производные порядка n, Пример 2.27. Вычислим ((x2 3x)ex )(10), воспользовавшись формулой Лейбница 2.36, взяв там u = ex, v = x2 3x. Заметим, что v (k) = 0 при k 3. Поэтому Дифференцирование функций, задаваемых параметрически Теорема 2.37. Пусть формулы x = (t), y = (t), t T задают параметрически функцию y = y(x). Если функции (t) и (t) дифференцируемы и (t) = 0, то функция y = y(x) дифференцируема и ее производная y (x) задается параметрически формулами Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем теорему о дифференцировании композиции ?? при дифференцировании сложной функции y = y(t) = y(x(t)).

Откуда Назад Пусть нужно вычислить вторую производную функции y(x), заданной параметрически. Обозначив = (t), получаем формулы, задающие параметрически первую производную y (x) :

Поэтому для вычисления y (x) = (y (x)) можно применить правило дифференцирования функции, заданной параметрически (см.теорему 2.37).

Аналогично вычисляют и производные более высоких порядков.

Пример 2.28. Функция y(x) задана параметрически формулами Тогда Итак, Дифференциалы Дифференцируемость функции означает, что ее приращение представимо в виде Назад Главную часть приращения функции f (x)·x называют дифференциалом и обозначают dy или df (x). Таким образом, Рассмотрим тождественную функцию y = f (x) = x. Для нее dy = dx. С другой стороны dy = x x = x.

Таким образом, x = dx. Поэтому для дифференциала функции получаем формулу:

При вычислении дифференциалов руководствуются правилами дифференцирования ??

водные старших порядков.

Вторым дифференциаломфункции называют дифференциал от дифференциала. Обозначают d2 f (x) или d2 y. Таким образом, d2 y = d(dy). Второй дифференциал называют также дифференциалом второго порядка.

Дифференциалом порядка n функции называют дифференциал от дифференциала порядка n 1. Обозначают dn f (x) или dn y. Таким образом, dn y = d(dn1 y). Дифференциалом нулевого порядка считают d0 y = y.





Теорема 2.38 (Инвариантность формы первого дифференциала). Дифференциал равен произведению производной функции по ее переменной на дифференциал этой переменной и в случае, когда переменная независимая, и в случае, когда переменная является функцией от другой переменной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y = f (x), причем переменная x сама является функцией, x = x(t). Тогда y можно считать функцией от x, y = y(x) или функцией от t, y = y(t) = y(x(t)). Поэтому dy = yt dt = yx · xt dt.

Поскольку xt dt = dx, то получаем:

Если переменная x независимая, то dx = x не зависит от x и поэтому d2 x = d(dx) = 0 и, тем более 2. Поэтому d2 f (x) = d(f (x)dx)) = (f (x)dx)) dx = (f (x)dx)dx = f (x)(dx)2. Аналогично d x = 0 при k получаем d f (x) = f (k) (x)(dx)k Принято записывать (dx)k = dxk. Таким образом, или Если переменная x сама является функцией, то d2 f (x) = d(f (x)dx)) = d(f (x))dx + f (x)d(dx) = f (x)(dx)2 + f (x)d2 x. Получили:

Формулы для дифференциалов более высоких порядков еще более усложняются.

Формула Тейлора Многочлен Тейлора. Пусть функция f (x) имеет в точке a все производные до порядка n включительно.

Многочлен называют многочленом Тейлора порядка n для функции f (x) в точке a.

Назад Коэффициенты многочлена Tn (x) называют коэффициентами Тейлора функции f (x) в точке a.

Теорема 2.39. Если Tn (x) многочлен Тейлора порядка n в точке a, построенный для функции f (x), Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверяется непосредственным вычислением производных Tn (a), k = 0,..., n.

Если обозначить f (x) Tn (x) = Rn (x), то функцию f (x) можно записать Формула Тейлора Пусть функция f (x) имеет в точке a все производные до порядка n включительно.

Представление функции f (x) в виде называют формулой Тейлора порядка n в точке a.

Остаточным членом формулы Тейлора называют разность где Tn (x) - многочлен Тейлора.

Назад Формулу Тейлора функции f (x) в точке a = 0 называют формулой Маклорена.

Следует отметить, что и эту формулу часто называют формулой Тейлора.

Пример 2.29. Запишем формулу Тейлора порядка 3 в точке x0 = 1 для функции f (x) = e2x.

Формула имеет вид Для функции f (x) = e2x имеем и, соответственно, f (1) = e2 ; f (1) = 4e2 ; f (1) = 20e2 ; f (1) = 112e2.

Получаем:

Остаточный член формулы Тейлора Остаточный член формулы Тейлора где Tn (x) - многочлен Тейлора. Он представляет собой погрешность приближенной формулы полученной заменой функции f (x) на многочлен Тейлора Tn (x) порядка n. Остаточный член можно выразить с помощью произвольной дифференцируемой в окрестности точки a функции (x).

Теорема 2.40 (Теорема о представлении остаточного члена). Пусть функция f (x) имеет производную порядка n + 1 и функция (x) дифференцируема в окрестности U точки a. Тогда для любого x U Назад между x и a существует точка c такая, что остаточный член формулы Тейлора порядка n в точке a может быть представлен в виде Остаточный член в форме Лагранжа Теорема 2.41. Пусть функция f (x) имеет в окрестности U точки a производную порядка n + 1. Тогда для любого x U между x и a существует точка c такая, что остаточный член формулы Тейлора порядка n в точке a может быть представлен в виде Д о к а з а т е л ь с т в о. В теореме о представлении остаточного члена возьмем Используя формулу из упомянутой теоремы, получаем Отметим, что можно взять c = a + (x a), где 0 1.





Остаточный член в форме Коши Теорема 2.42. Пусть функция f (x) имеет в окрестности U точки a производную порядка n + 1. Тогда для любого x U существует число (0, 1) такое, что остаточный член формулы Тейлора порядка Назад n в точке a может быть представлен в виде Д о к а з а т е л ь с т в о. В теореме о представлении остаточного члена возьмем Используя формулу из упомянутой теоремы, получаем При этом 0 1. Окончательно получаем Остаточный член в форме Пеано Теорема 2.43. Пусть функция f (x) имеет непрерывную производную порядка n в окрестности точки a. Тогда Назад Основные разложения по формуле Тейлора Разложение экспоненты. Функция f (x) = ex в точке a = 0 имеет производные f (k) (0) = 1 при любом k.

Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение экспоненты:

Используем остаточный член в форме Лагранжа.

Для |x| h получаем Разложение синуса. Функция f (x) = sin x в точке a = 0 имеет производную f (k) (0) = sin(0 + k ). При этом f (2m) (0) = 0, f (2m+1) (0) = (1)m. Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение синуса:

Используем остаточный член в форме Лагранжа.

Для |x| h получаем Назад Разложение косинуса.

При этом f (2m+1) (0) = 0, f (2m) (0) = (1)m. Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение косинуса:

Используем остаточный член в форме Лагранжа.

Для |x| h получаем Разложение логарифма. Функция f (x) = ln(1 + x) имеет производную f (k) (x) = (1)k1 (k 1)!(1 + x)k При этом f (k) (0) = (1)k1 (k 1)!. Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение логарифма натурального:

Для x [0, 1] справедлива оценка остаточного члена Для 1 x 1 справедлива оценка остаточного члена Назад Разложение степени бинома. Функция f (x) = (1 + x)µ имеет производную f (k) (x) = µ(µ 1) · · · (µ k + 1)(1 + x)µk. При этом f (k) (0) = µ(µ 1) · · · (µ k + 1). Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение бинома:

Пример 2.30. Вычислим lim x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад 2.2.8 Исследование функций одной переменной Монотонность Функцию f (x) называют возрастающей на (a, b), если Функцию f (x) называют строго возрастающей на (a, b), если Функцию f (x) называют убывающей на (a, b), если Функцию f (x) называют строго убывающей на (a, b), если Возрастающую, строго возрастающую функцию, убывающую и строго убывающую функции называют монотонными.

Строго возрастающую функцию, и строго убывающую функции называют строго монотонными.

Назад Замечание 2.3. Постоянная функция является одновременно возрастающей и убывающей.

Критерии монотонности. Пусть f (x) дифференцируемая функция.

Теорема 2.44 (Критерий постоянства). Функция f (x) является постоянной на (a, b) тогда и только тогда, когда f (x) = 0, x (a, b).

Достаточность. Пусть f (x) = 0, x (a, b). Зафиксируем x0 (a, b). Для x (a, b) на основании теоремы Лагранжа?? существует такое c на (a, b), что f (x) f (x0 ) = f (c)(x x0 ) = 0. Следовательно, f (x) = f (x0 ) для любого x (a, b).

Теорема 2.45 (Критерий монотонности). Функция f (x) является возрастающей на (a, b) тогда и только тогда, когда f (x) 0, x (a, b).

Функция f (x) является убывающей на (a, b) тогда и только тогда, когда f (x) 0, x (a, b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для возрастающей функции.

Достаточность. На основании теоремы Лагранжа?? при любых x1, x2 (a, b) Следовательно, функция возрастает.

Для убывающей функции доказательство проводится аналогично.

Пример 2.31. Рассмотрим функцию f (x) = x3 12x. Для этой функции имеем: f (x) = 3x2 12 = 3(x 2)(x + 2).

Следовательно, f (x) 0 для x (2, 2), функция убывает на (2, 2);

Назад f (x) 0 для x (, 2) (2, +), функция возрастает на каждом из промежутков (, 2) и (2, +).

Теорема 2.46 (Критерий строгой монотонности). Функция f (x) является строго возрастающей на (a, b) тогда и только тогда, когда 2. f (x) не обращается тождественно в ноль ни на одном интервале из (a, b).

Функция f (x) является строго убывающей на (a, b) тогда и только тогда, когда 2. f (x) не обращается тождественно в ноль ни на одном интервале из (a, b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Строго монотонная функция отличается от монотонной отсутствием интервалов, на которых она принимает постоянные значения. Первые условия теоремы необходимы и достаточны для монотонности функции (См. критерий монотонности 2.45). Вторые условия необходимы и достаточны для отсутствия интервалов постоянства (См. критерий постоянства ??).

Пример 2.32. Функция f (x) = x3 строго возрастает на (, +), хотя f (x) = 3x2 обращается в ноль в точке x0 = 0. Это не противоречит критерию строгой монотонности 2.46, так как f (x) обращается в ноль в одной точке, а не тождественно на каком либо интервале.

Локальный экстремум Необходимое условие локального экстремума. Для изучения локального экстремума функции можно использовать аппарат дифференциального исчисления, предполагая, что исследуемая функция имеет производные требуемого порядка.

Теорема 2.47. Если функция f (x), имеет в точке c (a, b) локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f (c) = 0, т.е. c должна быть стационарной точкой функции f (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из теоремы Ферма. ??

Достаточные условия локального экстремума. Не всякая стационарная точка является точкой локального экстремума. Для исследования наличия и типа локального экстремума в стационарной точке можно использовать следующие теоремы.

Теорема 2.48 (Первое правило исследования стационарных точек).

Назад Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и имеет единственную стационарную точку c (a, b).

Если f (x) не меняет знак на (a, b), то f (x) не имеет локального экстремума в точке x0.

Если f (x) 0 для a x c и f (x) 0 для c x b, то f (x) имеет в точке c локальный минимум.

Если f (x) 0 для a x c и f (x) 0 для c x b, то f (x) имеет в точке c локальный максимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f (x) не меняет знак на (a, b), то f (x) строго монотонна на (a, b) и, следовательно, экстремумов на (a, b) нет.

Если f (x) 0 для a x c и f (x) 0 для c x b, то f (x) строго убывает на (a, c) и строго возрастает на (c, b). Следовательно, c - точка локального минимума.

Третий случай рассматривается аналогично.

Пример 2.33. Функция f (x) = x3 (x 1)2 имеет производную Из уравнения 3x2 (x 1)2 + 2x3 (x 1) = x2 (x 1)(5x 3) = 0 находим стационарные точки c1 = 0, c2 =, c3 = 1.

На интервале (1, ) производная f (x) 0, т.е. сохраняет знак в окрестности точки c1 = 0, поэтому экстремума в точке c1 нет.

Так как f (x) 0 на (0, ) и f (x) 0 на (, 1), то в точке c2 = функция имеет локальный максимум.

f (x) 0 на (, 1) и f (x) 0 на (1, 2), поэтому в точке c3 = 1 функция имеет локальный минимум.

Теорема 2.49 (Второе правило исследования стационарных точек).

Пусть функция f (x) имеет на (a, b) вторую производную f (x), непрерывную в стационарной точке c (a, b).

Если f (c) 0, то f (x) имеет в точке c локальный минимум.

Если f (c) 0, то f (x) имеет в точке c локальный максимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (c) 0. Так как f (x) непрерывна в точке c, то по теореме о локальном сохранении знака 2.4 существует окрестность (, ) точки c, в которой f (x) 0. Следовательно, на основании критерия строгой монотонности 2.46 производная f (x) строго возрастает на (, ), т.е. f (x) 0 для x c и f (x) 0 для c x. Поэтому f (x) имеет в точке c локальный минимум (см. первое правило исследования стационарных точек. 2.48).

Назад Пример 2.34. Функция f (x) = + sin 2x = 0. Это точки ck = + k, ck = + k, k Z. Вторая производная f (x) = 2 cos 2x имеет значения f (ck ) 0, каждая из точек ck = + 2k - точкой локального максимума, k Z.

Теорема 2.50 (Третье правило исследования стационарных точек).

Пусть функция f (x) имеет на (a, b) производную f (n) (x), непрерывную в точке c (a, b), и Если число n нечетное, то в точке c экстремума нет.

Если число n четное, то в точке c экстремума есть, причем, если f (n) (c) 0, то в точке c локальный минимум, а если f (n) (c) 0, то локальный максимум.

Пример 2.35. Функция f (x) = (x 1)4 + 3 имеет производные f (x) = 4(x 1)3, f (2) (x) = 12(x 1)2, f (3) (x) = 24(x 1), которые равны 0 в точке c = 1, а f (4) (1) = 24 = 0. Следовательно в точке c = 1 функция имеет локальный минимум.

Острый экстремум. Непрерывная функция может иметь локальный экстремум в точках недифференцируемости, т.е. в точках, где производная не существует.

Экстремум функции в точках недифференцируемости, т.е. в точках, где производная не существует, называют острым экстремумом.

Исследование точек недифференцируемости можно проводить так же, как исследование стационарных точек по первому правилу исследования стационарных точек 2.48.

f (0 + x) f (0) Производная f (x) = x 3 отрицательна на (1, 0) и положительна на (0, 1). Значит функция имеет локальный минимум в точке x = 0.

Назад Глобальный экстремум. Пусть функция f (x) определена на множестве X.

Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве называют глобальными экстремумами функции (соответственно, глобальным максимумом и глобальным минимумом).

Если функция задана на отрезке и непрерывна на нем, то ее глобальные экстремумы достигаются на этом отрезке (см.теорему Вейерштрасса 2.7). В этом случае для нахождения глобальных экстремумов функции на заданном отрезке [a, b] нужно:

1. Найти стационарные точки c1,..., ck, принадлежащие отрезку.

2. Найти точки недифференцируемости t1,..., tm, принадлежащие отрезку.

3. Вычислить значения f (c1 ),..., f (ck ), f (t1 ),..., f (tm ), f (a), f (b).

Наименьшее и наибольшее из этих чисел и являются глобальными экстремальными значениями функции.

Пример 2.37. Вычислим экстремальные значения функции f (x) = x(x 2) на отрезке X = [1,].

Функция имеет производную f (x) = при x = 0. Функция имеет одну стационарную точку c = 1, она принадлежит отрезку X. Точка t = 0 является точкой недифференцируемости функции, так как отношение не имеет конечного предела при x 0. Эта точка также принадлежит отрезку X.

Вычисляем значения функции в точках 1, 0, 1,.

Получаем числа 1, 0, 3 3, 3. Следовательно, ymax = 3 3, ymin = 1.

Если функция не является непрерывной на рассматриваемом множестве X или множество X не является отрезком, то она может и не иметь глобальных экстремумов на X.

Выпуклые функции Лемма 2.1. Функция взаимно однозначно отображает отрезок [0, 1] на отрезок [a, b].

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта функция строго убывает, так как x (t) = a b 0 (см. критерий строгой монотонности 2.46. Поэтому ее значения на концах отрезка являются, соответственно, максимальным и минимальным. Функция непрерывна и, следовательно, принимает и все промежуточные значения (см. теорему о промежуточном значении 2.6), причем каждое значение принимает только один раз, так как строго убывает.

Определение выпуклости функции. Рассмотрим функцию, определенную на множестве X.

Функцию f (x) называют выпуклой на промежутке X, если x1, x2 X и t [0, 1] выполняется неравенство Выпуклую Функцию называют также выпуклой вниз.

Функцию f (x) называют выпуклой вверх, если функция f (x) выпукла вниз.

Теорема 2.51 (Геометрический смысл выпуклости). Любая дуга AB графика выпуклой (вниз) функции расположена не выше хорды AB.

Любая дуга AB графика выпуклой вверх функции расположена не ниже хорды AB.

A(x1, f (x1 )), B(x2, f (x2 )). Запишем уравнение Y = g(x) хорды AB как уравнение прямой по двум точкам или Пусть Назад Когда t пробегает отрезок [0, 1] точка x пробегает отрезок [x1, x2 ] (см. лемму 2.1). При этом Если функция выпукла, то Дифференцируемые выпуклые функции Теорема 2.52 (Критерий выпуклости).

Для того, чтобы дифференцируемая функция была выпуклой на X, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была возрастающей.

Теорема 2.53 (Критерий выпуклости).

Пусть функция f (x) имеет на X вторую производную f (x).

Для того, чтобы функция была выпуклой(вниз) на X, необходимо и достаточно, чтобы f (x) 0.

Для того, чтобы функция была выпуклой вверх на X, необходимо и достаточно, чтобы f (x) 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение. Условие f (x) 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы первая производная f (x) была возрастающей и, следовательно, чтобы функция была выпуклой (вниз) (см. критерий выпуклости 2.52).

Пример 2.38. Функция f (x) = x + arctg x имеет вторую производную f (x) =. Функция выпукла вниз на (, 0), так как на этом промежутке f (x) 0, и выпукла вверх на (0, +) (см.критерий выпуклости 2.53).

Теорема 2.54.

Касательная к графику выпуклой (вниз) дифференцируемой функции расположена не выше графика.

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад Касательная к графику выпуклой вверх дифференцируемой функции расположена не ниже графика.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение.

Уравнение касательной к графику функции f (x) в точке (x0, f (x0 ) имеет вид Тогда На основании теоремы Лагранжа?? получаем:

где c расположена между x и x0. Если f (x) выпукла, то по критерию выпуклости 2.52 производная f (x) возрастает и поэтому разность f (c) f (x0 ) положительна при x x0 и отрицательна при x x0. Таким образом, Точки перегиба. Пусть f (x) дифференцируемая функция.

Точку (c, f (c)) называют точкой перегиба графика функции f (x), если существует такая окрестность (a, b) этой точки, что на (a, c) и на (c, b) функция имеет противоположные направления выпуклости.

Лемма 2.2. Если точка (c, f (c)) является точкой перегиба графика дифференцируемой функции f (x), то c - точка локального экстремума производной f (x).

Пусть, для определенности, на (a, c) функция выпукла вниз а на (c, b) выпукла вверх. На основании критерия выпуклости 2.52 производная f (x) возрастает на (a, c) и убывает на (c, b). Следовательно, c - точка локального максимума для производной f (x).

Назад Теорема 2.55 (Необходимое условия перегиба).

Пусть функция f (x) имеет на X вторую производную f (x). Если точка (c, f (c)) является точкой перегиба графика дифференцируемой функции f (x), то f (c) = 0.

На основании леммы 2 ?? точка c является точкой локального экстремума для f (x) и по теореме Ферма ??

c является стационарной точкой для f (x), т.е. f (c) = 0.

Пусть f (x) дважды дифференцируемая функция. Точку (c, f (c)) называют точкой возможного перегиба, если f (c) = 0.

Пример 2.39. Функция f (x) = x4 имеет вторую производную f (x) = 12x2. Точка (0, 0) является точкой возможного перегиба, но перегиба в этой точке нет, так как функция выпукла вниз на (, +) (см. критерий выпуклости 2.53).

Достаточные условия перегиба.

теоремы.

Теорема 2.56 (Первое правило исследования точек возможного перегиба). Пусть f (x) имеет на X непрерывную вторую производную f (x). Если f (x) меняет знак при переходе через точку c, то точка (c, f (c)) является точкой перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f (x) меняет знак при переходе через точку c, то f (x) меняет направление выпуклости ( см.критерий выпуклости 2.53) и, следовательно, точка (c, f (c)) является точкой перегиба.

возможного перегиба. Поскольку f (x) 0 на (1, 0) и f (x) 0 на (0, 1), то (0, 0) - точка перегиба (см. первое правило исследования точек возможного перегиба 2.56).

Теорема 2.57 (Второе правило исследования точек возможного перегиба). Пусть f (x) имеет на X непрерывную третью производную f (x). Если f (c) = 0 и f (c) = 0, то точка (c, f (c)) является точкой перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности, f (c) 0. На основании теоремы о локальном сохранении знака 2.4 f (x) 0 и в некоторой окрестности (a, b) точки c. Поэтому f (x) возрастает на (a, b) и, поскольку f (c) = 0, то f (x) меняет знак при переходе через точку c, т.е. выполнены условия первого правила исследования точек возможного перегиба 2.56.

Назад Пример 2.41. Функция f (x) = x3 3x2 x2 имеет вторую производную f (x) = 6x6. Точка (1, 5) является точкой возможного перегиба. Поскольку f (0) = 6 = 0, то (1, 5) - точка перегиба (см. второе правило исследования точек возможного перегиба 2.58).

Теорема 2.58 (Третье правило исследования точек возможного перегиба). Пусть f (x) имеет на X непрерывную производную f (n) (x) и Если n нечетное число, то точка (c, f (c)) является точкой перегиба. Если n четное, то перегиба нет.

Пример 2.42. Функция f (x) = x6 3x + 2 имеет производные Следовательно, перегиба нет (см. третье правило исследования точек возможного перегиба ??).

Асимптоты Наклонные асимптоты. В ряде случаев при x ± график функции может стать как угодно близким к графику некоторой прямой.

Прямую y = kx + b называют правосторонней наклонной асимптотой функции f (x), если f (x) = kx + b + o(1) при x +.

Прямую y = kx + b называют левосторонней наклонной асимптотой функции f (x), если f (x) = kx + b + o(1) Теорема 2.59. Прямая y = kx + b является правосторонней наклонной асимптотой функции f (x), тогда и только тогда, когда Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если f (x) = kx + b + o(1) при x +, то Назад Достаточность. Пусть существует конечный предел lim (f (x) kx) = b + o(1), т.е. f (x) = kx + b + o(1).

Имеют место аналогичная теорема для левосторонней наклонной асимптоты.

Пример 2.43. Найдем наклонные асимптоты функции f (x) = 2x + arctg x. Воспользуемся теоремой 2.59 При x + получаем:

Таким образом, прямая y = 2x + является правосторонней наклонной асимптотой.

Следовательно,прямая y = 2x является левосторонней наклонной асимптотой.

Вертикальные асимптоты. В ряде случаев в окрестности некоторой точки c (например, если это точка бесконечного скачка) функция стремится к + или к и ее график приближается к вертикальной прямой.

Пусть функция f (x) непрерывна на (a, c) и существует левосторонний предел f (c 0), равный + или.

Тогда прямую x = c называют левосторонней вертикальной асимптотой. Аналогично, если f (x) непрерывна на (c, b) и существует левосторонний предел f (c + 0), равный + или, то прямую x = c называют правосторонней вертикальной асимптотой.

График функции f (x) = имеет вертикальные асимптоты x = 0 и x = 2, поскольку f (0) =, f (+0) = +, f (2 + 0) = +, причем прямая x = 0 - двухсторонняя асимптота.

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад Комплексное исследование функции Графиком функции f (x) с областью определения X называют множество точек Чтобы построить график функции, проводят ее комплексное исследование, при котором выясняют характерные точки графика и промежутки однообразного ее поведения.

Приведем возможный план исследование функции.

1. Для функции f (x), заданной аналитическими выражениями, выясняют область определения X. Если функция периодическая, то находят ее период T (обычно рассматривают наименьший положительный период).

Дальнейшее изучение функции проводят на каком-либо отрезке длины T, например, на [0, T ], а затем используют периодическое продолжение.

Для четной или нечетной функции исследование проводят на промежутке [0, +), а затем продолжают график на X, используя симметричное отражение относительно оси Ox для четной функции и относительно точки O для нечетной функции.

2. Находят точки разрыва и промежутки непрерывности. Выясняют тип точек разрыва и поведение функции в концевых точках интервалов, составляющих область определения.

3. Находят наклонные асимптоты, вертикальные асимптоты.

4. Вычисляют производную f (x). Находят критические точки (стационарные точки и точки, где производная не существует). Выделяют промежутки монотонного поведения функции, используя критерий монотонности2.45. Выясняют наличие и тип локальных экстремумов в критических точках, используя первое правило исследования стационарных точек 2.48.

5. Вычисляют вторую производную f (x). Находят промежутки выпуклости вверх, выпуклости вниз, используя критерий выпуклости ??. Находят точки перегиба, используя необходимое условие перегиба ?? и правило ??.

6. Если нужно, вычисляют производные более высоких порядков для исследования на локальный экстремум и перегиб.

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад лученными в 1. - 6. сведениями. При необходимости строят несколько дополнительных точек графика.

Назад 2.2.9 Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на множестве X, если F (x) = f (x) для любого x X. Поскольку при этом dF (x) = f (x)dx, то F (x) называют также первообразной для выражения f (x)dx.

Для функций f (x), g(x), h(x),... первообразные обозначаются соответственно F (x), G(x), Y (x),...

Если F (x) - первообразная для f (x), то F (x) + 2, F (x) 5 b и т.п. также являются первообразными для f (x).

Теорема 2.60. Множество всех первообразных для функции f (x) задается формулой где F (x) - какая-либо первообразная для f (x), C - произвольная постоянная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из критерия постоянства ?? следует, что любые две первообразные F1 (x) и F2 (x) функции f (x) отличаются на постоянную, т.к. F1 (x) F2 (x) = 0.

Неопределенный интеграл. Пусть функция f (x) задана на промежутке X.

Неопределенным интегралом называют совокупность всех первообразных функции f (x). Обозначают f (x)dx. Таким образом, f (x)dx = F (x) + C, где F (x) - одна из первообразных, C - произвольная постоянная.

Свойство 1. Из определения несобственного интеграла следует, что Свойство 2. (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx. Точнее, если F (x) и G(x) - какие-либо первообразные для f (x) и g(x) соответственно, то Назад при любых постоянных и.

Линейностью интеграла называют свойство, выраженное формулой Таблица первообразных dx = ln|x| + C на каждом из интервалов (, 0), (0, +);

Назад грал к нескольким табличным интегралам.

на каждом из интервалов, не содержащем точек k, k Z.

Неберущиеся интегралы Неберущимися интегралами называют неопределенные интегралы от функций, первообразные для которых не являются элементарными функциями. (Более точное название: интегралы, не берущиеся в классе элементарных функций). Неберущимися являются, например, Замена переменной Введение множителя под знак дифференциала. Пусть v = v(x) дифференцируемая на X функция, такая, что f (x) представима в виде Тогда Говорят, что в неопределенном интеграле f (x)dx выполнена замена переменной или подстановка v = v(x).

Назад Линейная подстановка. Частным случаем введения множителя под знак дифференциала является линейная подстановка.

Теорема 2.61 (Теорема о линейной подстановке.). Если a = 0, то межутке T, x (t) = 0, и значения x заполняют X. Тогда Это дает параметрическое задание неопределенного интеграла Если перейти к функции t = t(x), обратной для функции x = x(t), то получаем явное задание интеграла Интегрирование по частям неопределенного интеграла Теорема 2.62. Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые функции, определенные на X. Если v(x)u (x) имеет первообразную на X, то и u(x)v (x) также имеет первообразную на X, причем и, следовательно, Назад Формулу называют формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла. Коротко эту формулу записывают в виде Формулу интегрирования по частям следует использовать при вычислении интегралов от функций P (x)ax, P (x) sin bx, P (x) cos bx, где P (x) - многочлен, причем в качестве u(x) нужно брать функцию P (x).

(x + 5) sin 3x + cos 3x + C.

Замечание 2.4. При использовании формулы интегрирования по частям приходится находить функцию v = v(x) по выбранному dv = dv(x). При этом v = v(x) + C. Обычно берут произвольную постоянную C = 0.

Пример 2.54. (x2 + 2x)ex dx = [x2 + 2x = u, ex dx = dv, du = (2x + 2)dx, v = ex ] = (x2 + 2x)ex (2x + 2)ex dx = [2x + 2 = x arctg x + Вычисление Теорема 2.63. Для интеграла Kn (x) справедлива рекуррентная формула Замечание 2.5. Использование рекуррентной формулы n 1 раз позволяет свести вычисление Kn (x) к вычислению K1 (x) = Назад Пример 2.56.

arctg + C.

Интегрирование рациональных функций Теорема 2.64. Любая рациональная функция имеет первообразную в классе элементарных функций.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как известно (4.2.12) любую рациональную функцию, т.е. функцию вида f (x) = P (x), где P (x) и Q(x) многочлены, можно представить в виде суммы простейших рациональных функций вида Q(x) где p2 4q 0, m, k, l N. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что интеграл от любой из перечисленных функций является берущимся.

Назад уже рассмотрен в 2., т.е. является берущимся.

Таким образом, интеграл от любой простейшей рациональной функции является берущимся, а, следовательно, берется интеграл от любой рациональной функции.

При практическом вычислении интеграла от рациональной функции раскладывают рациональную функцию на сумму простейших и вычисляют интеграл от каждого слагаемого так же, как это выполнялось при доказательстве теоремы об интегрировании рациональных функций 2.64.

Разложение подынтегральной функции на сумму простейших имеет вид Следовательно, При x = 2 получаем Таким образом, Назад Поскольку интеграл от любой рациональной функции является берущимся, то в ряде случаев полезно рассмотреть возможность сведения заданного интеграла к интегралу от рациональной функции.

Если после замены переменной x = x(t) или t = t(x) в интеграле f (x)dx с использованием элементарных функций x(t), t(x) получается интеграл g(t)dt от элементарной функции g(t), то интеграл f (x)dx является берущимся в классе элементарных функций. В таких случаях говорят, что использование замены переменной позволяет рационализировать подынтегральное выражение (рационализировать интеграл), а замену переменной называют рационализирующей подстановкой.

Интегрирование иррациональностей Рациональная функция двух переменных. Пусть u и v две переменные.

Если применить к переменным u и v арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) конечное число раз, то получим выражение R(u, v), посредством которого каждой паре переменных (u, v) ставится в соответствие число R(u, v). Таким образом, формула R(u, v) задает рациональную функцию двух переменных u и v.

Выражение R m называют дробно-линейной иррациональностью.

ПустьR(u, v) -рациональная функция переменных u и v.

функции, т.е. является берущимся.

(см. свойство ??).

Назад Теорема 2.66. Неопределенный интеграл R(x, ax2 + bx + c)dx выражается через элементарные функции, т.е. является берущимся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно убедиться, что во всех случаях, когда подынтегральная функция определена, есть рационализирующие подстановки (см. свойство ??), в которых t новая переменная:

а) Если b2 4ac = 0, то ax2 + bx + c = a(x x0 )2 и ax2 + bx + c не является иррациональностью, подынтегральная функция является рациональной функцией переменной x. б) Если b2 4ac 0 и ax2 +bx+c = a(xx1 )(xx2 ), то можно использовать подстановку ax2 + bx + c = t(x x1 ).

в) Если b2 4ac 0, то ac 0, т.е. коэффициенты a, c оба положительны или оба отрицательны. Если a 0 и c 0 то можно использовать подстановки ax2 + bx + c = ± ax ± t или ± c ± tx соответственно (комбинация знаков произвольная).

Если a 0 и c 0, то в этом случае ax2 + bx + c 0 при всех x и подынтегральная функция не определена.

Подстановки, перечисленные в теореме 1 2.66, называют подстановками Эйлера.

Замечание 2.6. Хотя замена переменных и позволяет в ряде случаев рационализировать интеграл, но может оказаться, что проинтегрировать практически полученную рациональную функцию достаточно трудно или даже невозможно, т. к. не удается разложить ее знаменатель на неприводимые множители.

Получили интеграл от рациональной функции.

Назад Вычисление Выражение xm (a + bxn )p dx называют биномиальным дифференциалом.

Теорема 2.67. Если выполнено хотя бы одно из условий xm (a + bxn )p dx выражается через элементарные функции.

зирующей является подстановка x = z, где t наименьшее общее кратное чисел s1 и s2.

Если p не целое, то положим x = v n. Получим интеграл Если целое, то в этом интеграле подынтегральная функция является дробно-линейной иррациональn ностью и нужно положить рационализирует интеграл.

Теорема 2.68 (Чебышева). Неопределенный интеграл xm (a + bxn )p dx выражается через элементарные функции только в случаях, когда выполнено хотя бы одно из условий Назад (w3 1) Получили интеграл от рациональной функции.

интеграл не берется.

Интегрирование рационально-тригонометрических функций Предполагается, что R(u, v) рациональная функция двух переменных.

Если R(u, v) рациональная функция двух переменных, то функцию R(cos x, sin x) называют рациональнотригонометрической функцией.

Теорема 2.69. Неопределенный интеграл выражается через элементарные функции, т.е. является берущимся.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно убедиться, что подстановка tg = t всегда рационализирует интеграл. При этом Использование специальных подстановок. Кроме указанной универсальной подстановки рацинализирующими являются также специальные подстановки, а именно:

1. Если R( cos x, sin x) = R(cos x, sin x), то sin x = t.

2. Если R(cos x, sin x) = R(cos x, sin x), то cos x = t.

3. Если R( cos x, sin x) = R(cos x, sin x), то tg x = t.

Пример 2.66.

Пример 2.67.

Пример 2.68.

Вычисление Если n и m целые числа, то функция sinn x cosm x является рационально-тригонометрической функцией и можно использовать подстановки, указанные в теореме 2.69.

Назад В общем случае при произвольных m, n Q, использование подстановки sin x = t приводит к интегралу в котором подынтегральное выражение является биномиальным дифференциалом. На основании теоремы Чебышева 2.68 утверждается, что интеграл выражается через элементарные функции в следующих случаях:

(cos x) 3 + C.

Назад 2.3.1. Интегральные суммы и интеграл 2.3.2. Условия интегрируемости функции 2.3.3. Геометрический и механический смысл интеграла.

2.3.4. Классы интегрируемых функций.

2.3.5. Свойства интеграла Римана.

2.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом.

2.3.7. Вычисление определенного интеграла 2.3.8. Замена переменой в определенном интеграле.

2.3.9. Интегрирование по частям.

Назад 2.3.1 Интегральные суммы и интеграл Разбиением отрезка [a, b ] будем называть всякое конечное, упорядоченное по возрастанию множество точек X = {x0, x1,..., xn } отрезка [a, b ] таких, что x0 = a, xn = b, т.е.

Диаметром разбиения X называют число (X) = max{xk xk1 }, (X) 0.

Разбиение делит отрезок [a, b ] на части [xk1, xk ], k = 1, 2,..., n, причем Длину отрезка [xk1, xk ] будем обозначать xk :

Пусть X = {x0, x1,..., xn } — разбиение отрезка [a, b ]. На каждой части [xk1, xk ] произвольным образом возьмем промежуточную точку k [xk1, xk ] и построим множество = {1,..., n }. Совокупность (X, ) называют интегральным разбиением отрезка [a, b].

Пусть y = y(x) — заданная на отрезке [a, b ] функция, (X, ) — интегральное разбиение [a, b ] с диаметром.

Интегральной суммой на интегральном разбиении (X, ) называется число Назад Говорят, что интегральная сумма имеет конечный предел I при 0 и записывают lim = I, если Функция y = y(x) называется интегрируемой по Риману (кратко—интегрируемой) на [a, b], если существует конечный предел I интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к 0. При этом сам предел I называют определенным интегралом Римана (кратко — интегралом) от y по [a, b] и обозначают биения (т.е. для любого интегрального разбиения с диаметром ). Отрезок [a, b] называют промежутком интегрирования, a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, y(x)dx— подынтегральным выражением.

(Xm, m ), интегральных разбиений [a, b ] с диаметрами разбиения m 0 должно выполняться равенство Поэтому для интегрируемой функции y при вычислении интеграла можно использовать специально выбранные последовательности интегральных разбиений (Xm, m ), m 0, так, чтобы легко вычислялся предел lim m.

Вместе с тем, если существует какая-либо последовательность интегральных разбиений (Xm, m ), m 0, Назад для которой (m ) не имеет конечного предела при m (например, m ), то функция y неинтегрируема на [a, b ].

Пример 3.1. Функция Дирихле D(x) неинтегрируема ни на каком отрезке [a, b ], т.к. на любом интегральном разбиении этого отрезка с набором рациональных промежуточных точек k интегральная сумма а с набором иррациональных промежуточных точек что доказывает несуществование lim.

Замечание 3.1. Существуют и другие способы построения определенного интеграла Римана, использующие, например, верхние и нижние суммы Дарбу или ступенчатые функции.

Назад 2.3.2 Условия интегрируемости функции Теорема 3.1 (Необходимое условие интегрируемости). Если функция y интегрируема на [a, b ], то она ограничена на этом отрезке.

Пример функции Дирихле показывает (см. пример 3.1), что одной лишь ограниченности функции недостаточно для ее интегрируемости.

Рассмотрим два интегральных разбиения (X, ) и (X, ) отрезка [a, b ] соответственно с диаметрами и На каждом интегральном разбиении строим интегральные суммы и :

Теорема 3.2 (Критерий Коши). Для интегрируемости функции y на отрезке [a, b ] необходимо и достаточно, чтобы Теорема 3.3 (Об интегрируемости непрерывной функции). Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Замечание 3.2. Обозначим R([a, b ]) множество всех интегрируемых на [a, b ] функций y = y(x). Из теоремы об интегрируемости непрерывной функции вытекает следующее включение C([a, b ]) R([a, b ]), где C([a, b ]) — множество всех непрерывных на [a, b ] функций. Ниже будет показано, что класс R([a, b ]) интегрируемых функций не исчерпывается лишь непрерывными функциями, т.е. существуют интегрируемые функции, которые не являются непрерывными.

Пример 3.2. Функция y = ex непрерывна, а, следовательно, и интегрируема на [a, b ]. Для вычисления интеграла ex dx выбираем Назад специальную последовательность интегральных разбиений (Xm, m ) следующим образом:

Тогда Пример 3.3. Вычисление пределов вида сумма функции y на специальном интегральном разбиении. Например, поскольку функция x непрерывна на отрезке [0, 1 ] и, поэтому, интегрируема.

x x 2.3.3. Геометрический и механический смысл интеграла.

Назад 2.3.3 Геометрический и механический смысл интеграла.

Пусть y = y(x) — определенная на [a, b ] непрерывная неотрицательная функция. Фигуру на плоскости Oxy, ограниченную сверху графиком y = y(x), снизу осьюOx, сбоку прямыми x = a и x = b, называют криволинейной трапецией.

Пусть X — разбиение отрезка [a, b ]. На основании теоремы Вейерштрасса на каждой части разбиения [xk1, xk ] выбираем точку максимума k и точку минимума k функции y. Интегральные суммы на интегральных разбиениях (X, ) и (X, ) дают площади многоугольников, состоящих из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Первый из этих многоугольников описан около криволинейной трапеции, второй — вписан в трапецию. По теореме об интегрируемости непрерывной функции интегральные суммы и при 0 имеют общий предел который называют площадью рассматриваемой криволинейной трапеции.

Аналогично, если v = (t) — непрерывная скорость прямолинейного движения точки, то путь, пройденный точкой за промежуток времени t0 t t1 вычисляется по формуле Назад 2.3.4 Классы интегрируемых функций.

Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = y(x). Интегральным колебанием функции y на разбиении X = {x1,..., xn } отрезка [a, b ] называется число где k — колебание y на части [xk1, xk ]:

Из определения интегрального колебания следует, что 0 +. Если на одном из промежутков разбиения колебание k = +, то = +. Причем + тогда и только тогда, когда функция y ограничена на [a, b ].

Пусть 1 и 2 две интегральные суммы функции y, построенные на интегральных разбиениях (X, ) и (X, ) соответственно:

Тогда Теорема 3.4 (Критерий Дарбу). Для интегрируемости функции y на отрезке [a, b ] необходимо, чтобы 0 0 такое, что для любого разбиения X с диаметром, и достаточно, чтобы 0существовало такое разбиение X, на котором Назад где число M не зависит ни от, ни от разбиения X.

Замечание 3.3. Кажущееся противоречие в критерии Дарбу объясняется тем, что существование хотя бы одного разбиения со сколь угодно малым интегральным колебанием обеспечивает малость интегральных колебаний на всех разбиениях с достаточно малым диаметром.

Теорема 3.5 (Свойство аддитивности интеграла). Имеет место равенство причем из существования интеграла в левой части этого равенства следует существование обоих интегралов в правой части и, наоборот, если оба интеграла справа существуют, то существует и интеграл слева.

Следствие 3.5.1. Если функция y интегрируема на отрезке [a, b ], то она интегрируема и на любом отрезке [, ] [a, b ].

Укажем теперь все виды функций для которых существует интеграл Римана.

I. Всякая непрерывная на отрезке функция является интегрируемой на этом отрезке.

II. Всякая монотонная на отрезке функция является интегрируемой на этом отрезке.

III. Функция, ограниченная на [a, b ] и интегрируемая на любом отрезке [, ] (a, b ), интегрируема на отрезке [a, b ]. Если функция y интегрируема на [a, b ], то функция y1, определенная на [a, b ] и совпадающая с y на ]a, b [, также интегрируема на [a, b ], причем Ограниченную функцию, заданную на отрезке [a, b ], называют кусочно-монотонной, если существует такое разбиение X отрезка [a, b ], что на каждом интервале ]xk1, xk [ этого разбиения функция монотонна.

Назад Всякая кусочно-монотонная на [a, b ] функция интегрируема на этом отрезке.

V. Всякая функция, определенная и ограниченная на отрезке и имеющая конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке. В частности, кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема.

VI. Если функция y интегрируема на [a, b ], то функция | y| также интегрируема на [a, b ], т.е. y R([a, b ]) = | y| R([a, b ]).

Пример 3.4. Пример функции показывает, что интегрируемость функции | y| не влечет, вообще говоря, интегрируемости функции y.

VII. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией, т.е.

VIII. Пусть функция y : [a, b ] [c, d ] интегрируема на [a, b ], а функция z : [c, d ] R непрерывна. Тогда композиция z y : [a, b ] R интегрируема на [a, b ].

Назад 2.3.5 Свойства интеграла Римана.

Определенный интеграл y(x)dx был построен при условии, что a b. Расширим понятие интеграла, поa лагая В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматриваем интеграл с любым взаимным расположением пределов интегрирования.

Определенный интеграл Римана получен из интегральной суммы с помощью предельного перехода и унаследовал ряд свойств суммы (те, которые сохраняются при предельном переходе). Основными свойствами интеграла являются линейность, монотонность и аддитивность.

Линейность интеграла.

Теорема 3.6. Пусть функции y1 и y2 интегрируемы на отрезке I с концами a и b. Тогда их линейная комбинация c1 y1 + c2 y2 с постоянными коэффициентами c1 и c2 также интегрируема на I, причем Свойство, выражаемое формулой (3.1), называют линейностью интеграла. Частные случаи формулы (3.1):

Назад По индукции формула (??) распространяется на любое число слагаемых:

Монотонность интеграла.

Теорема 3.7. Если функции y1 и y2 интегрируемы на отрезке [a, b], a b, и Теорема означает, что нестрогие неравенства можно интегрировать. Для непрерывных функций справедливо более сильное утверждение.

Теорема 3.8. Пусть функции y1 и y2 интегрируемы на отрезке [a, b ], y1 (x) точке x0 [a, b ] функции y1 и y2 непрерывны. Тогда, если y1 (x0 ) y2 (x0 ), то Назад Следствие 3.8.1. Если функция y непрерывна на отрезке I с концами a и b, a = b, то Аддитивность интеграла.

Теорема 3.9. Если a, b, c R и функция y интегрируема на отрезке то справедливо следующее равенство Если функция y интегрируема на I и точки a, b, x1,..., xn I, то легко показать, что Оценки интеграла и интегральные неравенства.

Пусть функция y интегрируема на [a, b ]. Если для y известны какие-то оценки, то, используя свойство монотонb Назад M. Тогда справедлива оценка которую называют основной оценкой для интеграла. Подчеркнем, что оценка (3.2) справедлива при a b.

В частности, если y(x) 0, x, то:

Отметим, что для непрерывной на [a, b ] функции y в формуле (??) можно положить причем m и M являются значениями функции y.

Как показано ранее, из интегрируемости функции y на [a, b ] следует интегрируемость функции |y|. Интегрируя двойное неравенство В общем случае, при любом взаимном расположении пределов интегрирования a и b, справедлива оценка Назад В частности, если | y(x)| M и a b, то и при любых a и b Теоремы о среднем.

Теорема 3.10 (Первая теорема о среднем). Пусть функция y1 непрерывна на отрезке I с концами a и b, а функция y2 интегрируема и знакопостоянна на I. Тогда существует такая точка I, что Величину M (y) = y(x)dx называют средним значением функции y на отрезке [a, b ].

Теорема 3.11 (Теорема о среднем для определенного интеграла). Если функция y непрерывна на отрезке I с концами a и b, то существует такая точка I, что Назад Для доказательства достаточно в предыдущей теореме положить y1 (x) = y(x), а y2 (x) = 1, x I.

Геометрический смысл теоремы о среднем: если функция y непрерывна на отрезке [a, b ], y(x) 0, то существует по крайней мере одна точка [a, b ] такая, что криволинейная трапеция с верхней стороной y = y(x), a x b, и основанием [a, b ] равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой y().

2.3.6 Интеграл с переменным верхним пределом.

Рассмотрим функцию y, интегрируемую на отрезке I и для фиксированного I положим Интегрируемость y на I обеспечивает существование интеграла на отрезке I определена функция которую называют интегралом с переменным верхним пределом. Исследуем свойства функции Y.

Теорема 3.12 (О непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Интеграл с переменным верхним пределом от интегрируемой функции есть функция непрерывная, то есть Замечание 3.4. Из теоремы о непрерывности функции Y следует в частности, что если y R([a, b ]), то верны следующие равенства:

Это свойство позволяет расширить класс интегрируемых функций и определить интегралы от неограниченных функций и интегралы по неограниченным промежуткам — несобственные интегралы. Например, если функция y : [a, [ R, a +, интегрируема на Назад любом отрезке [a, A ] [a, [, то полагают в частности Теорема 3.13 (Теорема Барроу о дифференцируемости интеграла с переменным пределом). Если функция y R(I) и, кроме того, y непрерывна в точке x0 I, то функция Y дифференцируема в точке x0, причем Y (x0 ) = y(x0 ), то есть Замечание 3.5. Если x0 совпадает с одним из концов отрезка I, то под производной функции Y следует понимать ее одностороннюю производную.

y1 y2 и y2 (x) = 0 при x = 0. Тогда, используя правило Лопиталя и теорему Барроу, получаем Это означает, что x x 2.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом.

Назад Из теоремы Барроу получаем следующую теорему.

Теорема 3.14 (Теорема о существовании первообразной). Для любой непрерывной на отрезке I функции y существует первообразная Y, определенная по формуле Если множество значений функции принадлежит отрезку I, то и если функция y непрерывна на I, а дифференцируема, то, на основании теоремы о дифференцируемости композиции, получаем Интеграл с переменным нижним пределом Y (x) = верхним пределом, поэтому 2.3.7 Вычисление определенного интеграла называют двойной подстановкой. Если функции Y1 и Y2 отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е.

подстановка не зависит от выбора первообразной!).

Теорема 3.15 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция y непрерывна на отрезке I с концами a и b, то Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами от непрерывных функций.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет перенести на определенный интеграл от непрерывных функций ряд свойств неопределенных интегралов и, в частности, методы вычисления интегралов.

x x 2.3.8. Замена переменой в определенном интеграле.

Назад 2.3.8 Замена переменой в определенном интеграле.

Теорема 3.16 (О замене переменной ). Пусть функция x = x(z) определена на отрезке Z с концами и, непрерывна вместе со своей производной x и пусть X = x(Z). Если функция y = y(x) непрерывна на X, то справедлива формула замены переменных Замечание 3.6. Если функция x = x(z) является строго монотонной на отрезке Z с концами и, то существует обратная функция z = x1 (x), определенная на отрезке X с концами a = x() и b = x(). Формула (3.3) равносильна формуле В частности, формула (3.4) справедлива, если x (z) = 0 для любого z Z. Если Z = [, ], а X = [A, B ], то Теорема 3.17. Пусть функция y : [a, b ] R интегрируема на отрезке [a, b]. Если функция x :

[, ] R строго монотонна, непрерывно дифференцируема и x([, ]) = [a, b ], то справедлива формула замены переменных Назад 2.3.9 Интегрирование по частям.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла и выведем одноименную формулу для определенного интеграла.

Теорема 3.18 (Об интегрировании по частям). Пусть функции u = u(x) и v = (x) непрерывны вместе с производными u и на отрезке X с концами a и b. Тогда Условная запись формулы (3.5) интегрирования по частям x x 2.4. Арифметическое n-мерное пространство Назад 2.4.1. Векторное пространство Rn.

2.4.2. Расстояние в Rn.

2.4.3. Топологические понятия в Rn.

2.4.4. Последовательности в Rn.

Назад 2.4. Пусть Rn — множество всевозможных упорядоченных последовательностей n действительных чисел. Элементы x = (x1, x2,..., xn ) множества Rn будем называть точками, а числа x1,..., xn – координатами (компонентами) точки x.

Точки x = (x1, x2,..., xn ) и y = (y1, y2,..., yn ) считаются равными, если xi = yi, i = 1,..., n.

Заметим, что упорядоченная пара (x1, x2 ) действительных чисел может рассматриваться как точка плоскости с заданной декартовой системой координат. Тогда множество R2 можно отождествить с декартовой плоскостью. Аналогичные рассуждения позволяют отождествить множество R3 с декартовым пространством.

Определим операции сложения элементов множества Rn и умножения этих элементов на действительные числа.

Суммой точек x = (x1, x2,..., xn ) и y = (y1, y2,..., yn ) называется точка Произведением точки x = (x1, x2,..., xn ) на число называется точка Множество Rn относительно операций сложения и умножения на число является действительным векторным пространством и называется n-мерным арифметическим пространством Точки x = (x1, x2,..., xn ) являются векторами n-мерного арифметического пространства. Если в качестве Назад базиса векторного пространства Rn использовать канонический базис то точка x = (x1, x2,..., xn ) представима в виде x = x1 e1 + x2 e2 +... + xn en, и компоненты точки x являются координатами этой точки в указанном базисе.

Назад 2.4. Расстоянием в Rn называют функцию удовлетворяющую условиям:

Легко видеть, что обычное расстояние в R2 или в R3, определяемое формулами соответственно, удовлетворяет условиям 10 –30.

Расстояние в Rn может быть определено аналогично.

Лемма 4.1. Формула определяет расстояние в Rn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение условий 10 и 20 очевидно. Покажем, что выполнено 30.

Назад Пусть x, y, z – произвольные точки из Rn.

Применяя к последнему слагаемому неравенство Коши-Буняковского получаем откуда следует неравенство треугольника 30.

Расстояние в Rn может быть определено и другими формулами, например, или Множество B(a, r) = {x Rn |d(x, a) r} называют открытым шаром радиуса r с центром в точке a.

Назад Если в R3 расстояние определено формулой (4.1), то множество B(a, r) при r 0 является обычным шаром радиуса r с центром в a. Если расстояние определено формулой (4.2), то B(a, r) – куб с центром в точке a и ребром 2r. Если расстояние определено формулой (4.3), то B(a, r) – октаэдр с центром a.

Расстояние в Rn, определяемое формулой называется сферической метрикой.

Расстояние в Rn, определяемое формулой называется кубической метрикой.

Расстояние в Rn, определяемое формулой называется октаэдрической метрикой.

В дальнейшем как правило мы будем использовать сферическую метрику. Однако сферическая, кубическая и октаэдрическая метрики равносильны в том смысле, что точки x и y, близкие в одной метрике, будут близкими и в другой.

Если расстояние d(x, 0) между точками (x1, x2,..., xn ) и (0, 0,..., 0) обозначить через |x|, то для указанных выше метрик Назад 2.4. Множество Va Rn называют окрестностью точки a Rn, если существует открытый шар B(a, r), содержащийся в Va. Множество Va = Va {a} называют проколотой окрестностью точки a.

Множество U Rn называют открытым, если для любой точки x U найдется окрестность Vx U.

Точка x Rn называется граничной точкой множества E Rn, если в любой окрестности точки x есть точки из E и точки из Rn E. Совокупность всех граничных точек множества E называют границей E.

Точку a Rn называют предельной точкой множества M, если в любой проколотой окрестности Va есть точки из M.

Множество F называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Диаметром множества A называется число = sup {d(x, y)}.

Множество A называют ограниченным, если его диаметр конечен. Замкнутое ограниченное множество в Rn называют компактным (коротко – компакт).

Назад Пусть на [, ] R определены непрерывные функции i, i (t) R, i = 1,..., n. Отображение называется путем в пространстве Rn. Множество называют непрерывной кривой в Rn с концами Множество M Rn называют связным, если для любых точек x, y M существует такая непрерывная кривая l с концами x и y, что l M.

Открытое связное множество D Rn называют областью.

Назад 2.4. Множество N натуральных чисел считаем упорядоченным по возрастанию естественным образом.

Отображение называют последовательностью точек из Rn.

Последовательность обозначают (ak ).

Задать (ak ) можно, перечисляя все её элементы (точки) a1, a2,..., либо указав закон, по которому для каждого k N можно вычислить ak Rn. Задание последовательности (ak ) равносильно заданию n числовых последовательностей (ak ), i = 1,..., n, – компонент последовательности (ak ).

Пример 4.1. В Rn последовательность (ak ), заданная формулой ak = (k, k2 ), имеет две компоненты (ak ) = (k), (ak ) = (k2 ).

На плоскости получаем последовательность точек: (1,1), (2,4), (3,9), (4,16),...

Говорят, что последовательность (ak ) сходится к пределу a Rn, если Если последовательность (ak ) сходится к пределу a Rn, то пишут lim ak = a или ak a при k +.

Сходимость (ak ) a означает:

где M не зависит от и от k.

Теорема 4.1 (Основной критерий сходимости).

Назад Значит ak a.

Основной критерий сходимости означает, что в последовательности из Rn переходят к пределу покомпонентно. n Критерий позволяет перенести на последовательности из Rn свойства числовых последовательностей.

A0. Сходящаяся последовательность имеет один предел.

B0. Сходящаяся последовательность ограничена.

C0. Справедлив принцип выбора: из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Последовательность (ak ) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

D0. Справедлив критерий Коши сходимости последовательности: последовательность (ak ) сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Назад 2.5.1. Понятие функции.

2.5.2. Предел.

2.5.3. Непрерывность.

2.5.4. Дифференцируемость.

2.5.5. Экстремум функции Назад 2.5.1 Понятие функции.

Отображение называют функцией переменных x1,..., xn и записывают u = f (x1,..., xn ) или u = f (x). Множество X называют областью определения функции f. Если f задана формулами и X не указано, то под областью определения понимают множество всех x Rn, для которых эти формулы имеют смысл (естественная область определения).

Замечание 5.1. В случае n = 2 или n = 3 для обозначения переменных используют, как правило, символы x, y или x, y, z соответственно.

Множество точек x X R, в которых функция n переменных u = f (x) принимает заданное фиксированное значение c R, называют множеством уровня. При n = 2 множества уровня называют линиями уровня, при n = 3 – поверхностями уровня.

Пример 5.2. Для функции u = Функция двух переменных z = f (x, y) может быть изображена графически.

Графиком функции двух переменных z = f (x, y) с областью определения X называется множество точек пространства R Обычно графиком функции двух переменных является некоторая поверхность.

Пример 5.3. Графиком функции z = При n 3 геометрическая иллюстрация функции n переменных недоступна.

Назад 2.5.2 Предел.

Пусть f : X Rn R, a – предельная точка множества X. Число A R называется пределом функции При этом говорят, что функция u = f (x) стремится к пределу A при x a и обозначают lim f (x) = A или Как и для функции одной переменной, введенное понятие предела функции тесно связано с понятием предела последовательности.

Теорема 5.1 (Критерий Гейне). Для того, чтобы lim f (x) = A, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности (xk ), xk X, xk = a, xk a выполнялось: f (xk ) A.

Пусть L X Rn, a – предельная точка множества L. Число A называют пределом функции f вдоль L при x a, если и обозначают xa f (x) = A.

Ясно, что lim f (x) = A тогда и только тогда, когда xa f (x) = A вдоль любого L, для которого a является предельной точкой.

Если L — луч {(x, y)|y = ax}, то при любом a R Назад Если L – вертикальный луч {(0, y)}, то Таким образом, f (x, y) стремится к 0 при (x, y) (0, 0) вдоль любого луча. Однако, взяв L = {(x, y)|x = y 2 }, получаем Следовательно, функция f не имеет предела в точке (0, 0).

Предел функции n переменных имеет свойства, аналогичные свойствам предела функции одной переменной.

В частности, предел любой арифметической комбинации функций равен такой же комбинации пределов этих функций (если такие комбинации имеют смысл).

Назад 2.5.3 Непрерывность.

Основные определения.

Пусть функция f (x1,..., xn ) определена в области D Rn и x0 D. Функцию f называют непрерывной в точке x0, если lim0 f (x) = f (x0 ). Это означает, что Пример 5.5. Рассмотрим функцию f (x1,..., xn ) = xk – проектор на ось xk. Тогда для x0 Rn имеем:

Следовательно функция-проектор непрерывна в любой точке из Rn.

Если в определении непрерывности вместо предела использовать предел вдоль множества L, то получим определение непрерывности в x0 вдоль L.

Пусть функция f (x1,..., xn ) определена в области D Rn и x0 D. Функцию f называют непрерывной в точке x0 вдоль множества L D если xx f (x) = f (x0 ).

Пусть функция f (x1,..., xn ) определена в области D Rn и x0 D. Функцию f называют непрерывной в точке x0 по переменной xk, если Назад Функция может быть непрерывной по каждой из своих переменных, однако не быть непрерывной.

Но функция не является непрерывной в (0, 0), так как lim f (x, y) не существует.

Функция называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке из D вдоль D.

Используя это определение, можно говорить о непрерывности в граничных точках множества D (если такие точки принадлежат D и являются предельными точками D), о непрерывности на компакте и т.д.

Непосредственно из определений непрерывности следует, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна в любой точке, где такая комбинация определена.

Пусть u = f (x1,..., xn ), x = (x1,..., xn ) X Rn и на [, ] определены n функций xi = i (t), i = 1,..., n, такие, что t [, ], (1 (t),..., n (t)) X. Тогда на [, ] можно определить функцию являющуюся композицией f и функций 1,..., n.

Теорема 5.2. Если i непрерывны в точке t0 и f непрерывна в точке x0 = (1 (t0 ),..., n (t0 )), то F непрерывна в точке t0.

Так как i непрерывны в t0, то Назад Обозначим x = (1 (t),..., n (t)). Тогда Пример 5.7. Функция f (x, y) = sin(x2 y) непрерывна в R2 как композиция непрерывной функции sin и арифметической комбинации функций-проекторов на ось x и на ось y.

Основные теоремы.

Для непрерывных функций нескольких переменных справедливы основные теоремы, доказанные для функций одной переменной.

Теорема 5.3 (о сохранении знака). Если f непрерывна в точке x0 и f (x0 ) = 0, то существует окрестность точки x0, в которой значения функции имеют то же знак, что f (x0 ).

Теорема 5.4 (о локальной ограниченности). Если f непрерывна в точке x0, то существует окрестность точки x0, в которой f ограничена.

Доказательства этих теорем можно провести так же, как доказательства аналогичных теорем для функции одной переменной.

Теорема 5.5 (о промежуточном значении)). Если f непрерывна на связном множестве M и принимает значения A и B (A B) в некоторых точках из M, то она принимает на M и любое значение C, A существует непрерывная кривая Назад с концами в точках x и x, l M. Функция F (t) = f (1 (t),..., n (t)) непрерывна на [, ] как композиция непрерывных функций и F () = a, F () = B и поэтому принимает любое промежуточное значение C, A C B, т.е. t0 [, ], F (t0 ) = C. Обозначим x0 = (1 (t0 ),..., n (t0 )). Тогда f (x0 ) = f (1 (t0 ),..., n (t0 )) = F (t0 ) = C.

Теорема 5.6 (Вейерштрасса). Непрерывная на компакте M функция принимает на M свои наибольшее max f и наименьшее min f значения и, следовательно, ограничена на M.

Функцию f называют равномерно непрерывной на множестве M, если Равномерно непрерывная на M функция непрерывна в каждой точке из M. Обратное верно не всегда.

Теорема 5.7 (Кантора). Непрерывная на компактном множестве M функция равномерно непрерывна на M.

Доказательство проводят так же, как для функции одной переменной.

Назад 2.5.4 Дифференцируемость.

Производное отображение и дифференциал.

Рассмотрим функцию u = f (x1,..., xn ), определенную в области X Rn. Пусть x0 X.

Функцию u = f (x1,..., xn ) называют дифференцируемой в точке x0, если существуют постоянные A1,..., An такие, что полное приращение функции u = f (x0 + h) f (x0 ) в точке x0, вызванное приращением аргумента h = ( x1,..., xn ) представимо в виде Для функции f (x1,..., xn ), дифференцируемой в точке x0, имеет смысл следующее определение.

Производным отображением или просто производной функции f (x1,..., xn ) в точке x0 называют линейное отображение такое, что Значение (h) = A1 x1 +... + An xn называют дифференциалом функции f в точке x0 и обозначают df (x0 ).

Если переменные x1,..., xn являются независимыми (а не функциями от других переменных), то, как и в случае функций одной переменной, dxi = xi, i = 1,..., n. Тогда Геометрический смысл дифференцируемости выясним на примере n = 2. Пусть z = f (x, y). Дифференцируемость функции f в точке (x0, y0 ) означает, что существуют постоянные A1, A2 такие, что Назад Линейное уравнение задает в пространстве 0xyz плоскость. Равенство (5.1) (что равносильно дифференцируемости f ) означает, что плоскость (5.2) близка к графику z = f (x, y) так, что расстояние между точками графика и плоскости, соответствующими заданным (x, y), равно o().

Плоскость называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x, y), построенной в точке (x0, y0, f (x0, y0 )).

Если функция f дифференцируема в точке x0, то из определения дифференцируемости следует, что u при h 0. Это означает, что f (x0 + h) f (x0 ) при h 0, т.е. f непрерывна в точке x0. Таким образом, дифференцируемая в x0 функция непрерывна в этой точке.

Частные производные.

Рассмотрим функцию u = f (x) = f (x1,..., xn ).

Приращение h = ( x1,..., xn ) переменной x = (x1,..., xn ) такое, что приращением переменной и обозначают xk. Приращение функции вызванное частным приращением переменной h = xk называют частным приращением функции и обозначают k f.

Если функция u = f (x) дифференцируема в точке x0, то для любого приращения h справедливо равенство Назад Величину где k f — частное приращение функции f (x1,..., xn ), соответствующее частному приращению переменной xk, называют частной производной функции f по переменной xk в точке x0 и обозначают Теорема 5.8 (Необходимое условие дифференцируемости.). Если функция n переменных u = f (x1,..., xn ) дифференцируема в точке x, то она имеет в этой точке частные производные по всем При практическом вычислении частной производной руководствуются правилами и приемами диффеxk ренцирования, сформулированными для функций одной переменной. При этом все другие переменные xi, i = k, воспринимают как постоянные.

Теорема 5.9 (Достаточное условие дифференцируемости). Если функция u = f (x1,..., xn ) имеет в окрестности точки x частные производные, k = 1,..., n, непрерывные в x, то f дифференцируема в точке x.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Для простоты проведём для случая n = 2. Для u = f (x, y) имеем Применяя к каждой из скобок теорему Лагранжа о конечных приращениях, получаем:

где 1 и 2 некоторые числа из [0, 1];

при 0, т.е. = o(). Поэтому выполнение (5.4) означает дифференцируемость f в точке (x, y).

Дифференцируемость сложной функции.

Пусть u = f (x1,..., xn ) определена на X Rn и xi = i (t), t (, ) R, i = 1,..., n. Тогда на (, ) можно определить функцию Назад Теорема 5.10. Пусть функции i дифференцируемы в точке t, а функция f дифференцируема в точке (1 (t),..., n (t)). Тогда F дифференцируема в точке t и Функция f дифференцируема, поэтому где C – ограниченная величина, то o() = o( t). Таким образом, на основании соотношения (5.6), если рассматривать u как функцию от t, u = F (t), то Это означает дифференцируемость функции F (t) и выполнение соотношения (5.5).

Назад Вычисление частной производной производят по правилу, аналогичному (5.5):

Производная по направлению.

Пусть u = f (x, y, z), (x, y, z) X R3, l = (, µ, ) — некоторый вектор, — приращение функции вдоль направления l. Производной функции u = f (x, y, z) по направлению l называют предел lim и обозначают.

Рассмотрим функцию F : t F (t) = f (x + t, y + µt, z + t). Для нее Тогда, по теореме 5.10, получаем grad u.

Назад Используя понятие градиента функции f (x, y, z) производную можно выразить через скалярное произl ведение Производная выражает скорость изменения функции u = f (x, y, z) в направлении, определяемом вектором l. Вектор grad u выражает направление и величину наибольшей скорости изменения функции.

Аналогично, для функции n переменных u = f (x1,..., xn ) можно выразить дифференциалы функции u = f (x) в виде скалярного произведения числяют формальным умножением вектора на скалярную функцию u = f (x) :

В дальнейшем увидим, что вектор удобно использовать и в других задачах.

Вычисление градиента производят по правилам дифференцирования. Если f и g – дифференцируемые функции, f, g : D Rn R, и, µ R – постоянные, то 1. grad(f + µg) = grad f + µ grad g.

3. Если h : R R – дифференцируемая функция, то grad h(f ) = h (f ) · grad f.

Назад 2.5.5 Экстремум функции Локальный экстремум Пусть функция f задана на некоторой области D, D Rn.

Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой локального максимума функции f, если существует такая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой локального минимума функции f, если существует такая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Общее название точек локального минимума и максимума – точки локального экстремума.

Пусть функция f задана на некоторой области D, D Rn.

Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой строгого локального максимума функции f, если суn ществует такая проколотая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Точка x0 = (x0,.., x0 ) D называется точкой строгого локального минимума функции f, если существуn ет такая проколотая окрестность U (x0 ) точки x0, что для всех x = (x1,..., xn ) U (x0 ) выполнено неравенство Общее название точек строгого локального минимума и максимума – точки строгого локального экстремума.

Назад Необходимое условие локального экстремума. Укажем необходимое условие локального экстремума.

Теорема 5.11 (Необходимое условие локального экстремума). Если функция имеет точку локального экстремума x0 = (x0,.., x0 ) D и f дифференцируема в точке x0, то все частные производные первого порядка функции f в точке x0 равны нулю:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что в точке x0 = (x0,.., x0 ) функция f имеет локальный экстремум.

Зафиксируем у функции f переменные x2 = x0,..., xn = x0. Получим функцию одной переменной (x1 ) = f (x1, x0.., x0 ). Из условий теоремы следует, что функция имеет в точке x0 локальный экстремум. Поэтому на основании необходимого условия экстремума функции одной переменной будет выполнено равенство Но тогда Аналогично доказывается равенство нулю первых производных функции f по остальным переменным.

Следствие 5.11.1. Если функция f дифференцируема в точке x0 = (x1, x0.., x0 ) ее локального эксn тремума, то дифференциал функции f в этой точке равен нулю Назад Точка, в которой все частные производные первого порядка функции обращаются в нуль, называется стационарной точкой этой функции.

Пример 5.9. Рассмотрим функцию f (x, y) = x2 + y 2 + 2x + 4y. Система (5.8) для этой функции имеет вид Решением системы является точка (x0, y 0 ) = (1, 2).

Выясним, является ли точка (1, 2) точкой локального экстремума. Для этого оценим приращение функции в этой точке:

Очевидно, что приращение положительно для всех x, y за исключением случая x = y = 0. Следовательно, в точке (x0, y 0 ) = (1, 2) функция f имеет локальный минимум, равный f (1, 2) = 5.

Пример 5.10. Рассмотрим функцию f (x, y) = xy. Система (5.8) для этой функции имеет вид Решением системы является точка (x0, y 0 ) = (0, 0). Выясним, является ли точка (0, 0) точкой локального экстремума. Для этого оценим приращение функции в этой точке:

Очевидно, что при x = y = 0 это приращение положительно, а при x = y = 0 – отрицательно.

Так как в любой окрестности точки (0, 0) приращение функции может менять знак в зависимости от величины приращений ее аргументов, то это означает, что исследуемая функция в точке (0, 0) не имеет ни максимума, ни минимума.

Последний пример показывает, что не все стационарные точки являются точками локального экстремума.

ного экстремума.

Теорема 5.12. Пусть функция f : D R, D Rn, дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки x0 = (x0,..., x0 ) D, и дважды дифференцируема в самой точке x0.

Назад Если d2 f (x0,..., x0 ) является положительно определенной квадратичной формой переменных dx1, ляется отрицательно определенной квадратичной формой, то точка x0 = (x0,..., x0 ) – точка ло- n кального максимума функции f ; если d2 f (x0,..., x0 ) – неопределенная квадратичная форма, то точка x0 = (x0,..., x0 ) не является точкой локального экстремума функции f.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим функцию f формулой Тейлора в окрестности U (x0 ) точки x0 = (x0,..., x0 ):

Так как x0 – стационарная точка, то df (x0,..., x0 ) = 0, поэтому достаточно малых dx1,..., dxn. Действительно, Так как то квадратичная форма Назад рассматривается на единичной сфере S, и, будучи непрерывной функцией, принимает на ней свои экстремальные значения (теорема Вейерштрасса), откуда Поэтому для любого достаточно малого.

Следовательно, если d2 f (x0,..., x0 ) является положительно определенной квадратичной формой переменn ных dx1,..., dxn, т.е. d2 f (x0,..., x0 ) 0 при всех dx1,..., dxn, = 0, то для всех достаточно малых dx1,..., dxn, = 0. Последнее и означает, что x0 – точка локального минимума функции f.

Аналогично рассматривается случай, когда d2 f (x0,..., x0 ) является отрицательно определенной квадратичn ной формой.

Если d2 f (x0,..., x0 ) неопределенная квадратичная форма, то это означает, что существуют такие два приn ращения аргумента dx1 = (dx1,..., dx1 ) и dx2 = (dx2,..., dx2 ) при которых Рассмотрим отрезок x = x0 + tdx, 0 t 1. Тогда dxk = tdx1, k = 1,..., n. Обозначим Назад Тогда = t2 1. Поэтому при всех t (0, 1]. Поэтому при всех x = x0 + tdx1, 0 t 1, имеем при всех достаточно малых.

Аналогично на промежутке x = x0 + tdx2, 0 t 1, имеем при всех достаточно малых.

Это означает, что разность f (x1,..., xn )f (x0,..., x0 ) меняет свой знак в любой сколь угодно малой окрестn ности точки x0, это и означает, что x0 не является точкой локального экстремума.

Таким образом, вопрос о наличии локального экстремума в стационарной точке сводится к исследованию знакоопределенности квадратичной формы, что может быть сделано с помощью критерия Сильвестра.

Назад Локальный экстремум функции двух переменных. Введем следующие обозначения Теорема 5.13. Пусть f определена и непрерывна вместе со своими частными производными вплоть до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки (x0, y0 ), являющейся стационарной точкой для функции f.

Тогда, если в этой точке AC B 2 0, то при A 0 точка (x0, y0 ) является точкой локального максимума, а при A 0 – точкой локального минимума.

Если же AC B 2 0, то точка (x0, y0 ) не является точкой локального экстремума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая часть теорема следует из теоремы 5.12. Действительно, поэтому матрица этой квадратичной формы имеет вид Если выполнено условие AC B 2 0, то A = 0, и при A 0 из критерия Сильвестра следует положительная определенность формы d2 f (x0, y0 ), а из A 0 следует ее отрицательная определенность.

Пусть теперь AC B 2 0. Если A = 0, то на наборе (dx, dy) = (dt, 0) имеем На наборе (dx, dy) = (Bdt, Adt), dt = 0, имеем Следовательно, квадратичная форма меняет свой знак, т.е. является неопределенной, и, согласно теореме 5.12, точка (x0, y0 ) не является точкой экстремума.

Назад Аналогично рассматривается случай A = 0, C = 0.

и эта форма, очевидно, не является знакоопределенной, т.е. точка (x0, y0 ) не является точкой экстремума.

Отметим, что при AC B 2 = 0 требуются дополнительные исследования.

Пример 5.11. 1. Пусть f (x, y) = x2 + 2xy + y 2. Имеем Поэтому стационарными точками функции f являются все точки прямой y = x. Далее Поэтому стационарными точками функции f являются все точки вида (x0, 0), x0 R, т.е. все точки оси абсцисс. Далее Поэтому теорема 5.13 неприменима.

В этом случае рассмотрим разность f (x0 + x, y) f (x0, 0) = xy 3. Легко видеть, что при x 0, y 0 эта разность положительна, а при x 0, y 0 – отрицательна. Значит, ни одна из точек оси абсцисс не является точкой локального экстремума.

Назад Условный экстремум Пусть G – область в пространстве Rn+m, G = {x1,..., xn, y1,..., ym }, (x1,..., xn ) Rn, (y1,..., ym ) Rm.

Пусть заданы функция f : G R и еще m функций k : G R, k = 1,..., m. Пусть система равенств, называемых уравнениями связей, задает некоторую подобласть D G.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 26 |
 
Похожие работы:

«Указания к выполнению задания “Проекционное черчение. Работа 1 (продолжение)” по курсу инженерной графики с применением компьютерных технологий Представленные учебно-методические материалы являются частью учебного пособия (монографии): А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский, И.В. Буторина, Е.П. Дубовикова. 3D-технология построения чертежа. AutoCAD. Учебное пособие. Под редакцией А.Л. Хейфеца. 3-е издание, переработанное и дополненное. Санкт-Петербург. БХВ-Петербург. 2005. Глава 3. Виды, простые разрезы,...»

«Государственное санитарно-эпидемиологическое нормирование Российской Федерации _ 2.1.10 СОСТОЯНИЕ ЗДОРОВЬЯ НАСЕЛЕНИЯ В СВЯЗИ С СОСТОЯНИЕМ ОКРУЖАЮЩЕЙ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ И УСЛОВИЯМИ ПРОЖИВАНИЯ НАСЕЛЕНИЯ ОЦЕНКА РИСКА ДЛЯ ЗДОРОВЬЯ НАСЕЛЕНИЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЕРЕМЕННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ (ДО 300 ГГЦ) В УСЛОВИЯХ НАСЕЛЕННЫХ МЕСТ Методические рекомендации МР 2.1.10.0061-12 Москва 2012 2 Оценка риска для здоровья населения при воздействии переменных электромагнитных полей (до 300 ГГЦ) в условиях...»

«Сведения об учебно-методической и иной документации, разработанной образовательной организацией для обеспечения образовательного процесса по 280100.62 Природообустройство и водопользование № Наименование дисциплины по Наименование учебно-методических, методических п/п учебному плану и иных материалов (автор, место издания, год издания, тираж) Природопользование 1) Учебно-методический комплекс по дисциплине 1. Природопользование, 2013 г. 2) В. Михайлов, А. Добровольский, С. Добролюбов....»

«Е.М. Карчевский, И.Е. Филиппов, И.А. Филиппова Access 2010 в примерах Учебное пособие Казанский университет 2012 Содержание Урок 1. Создание таблиц базы данных Урок 2. Ввод данных в таблицы Урок 3. Логическая структура базы данных Урок 4. Однотабличные формы Урок 5. Формы для загрузки двух таблиц Урок 6. Многотабличные формы Урок 7. Запросы Урок 8. Отчет по одной таблице Урок 9. Отчеты по двум таблицам Урок 10. Многотабличные отчеты Урок 11. Разработка отчета на основе запроса. Урок 12....»

«В. С. Березовский, И. В. Стеценко Создание электронных учебных ресурсов и онлайновое обучение Киев Издательская группа BHV 2013 УДК 37.091.64:004 ББК 74.202.4 Б48 Березовский В. С., Стеценко И. В. Б48 Создание электронных учебных ресурсов и онлайновое обучение: [Учебн. пособ.] / В. С. Березовский, И. В. Стеценко. — К.: Изд. группа BHV, 2013. — 176 с.: ил. ISBN 978-966-552-266-9 Изложены основные принципы разработки и создания учебного контента с помощью Adobe Captivate 6, а также организации и...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ по дисциплине Грузоведение для студентов специальности Организация перевозок и управление на транспорте дневной и заочной ф о р м обучения Омск 2008 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра организации перевозок и управления на транспорте МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ по дисциплине Грузоведение для студентов специальности Организация перевозок и управление на...»

«М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р АЗ О В АН И Я И Н АУ К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р АЦ И И Ф Е Д Е Р АЛ Ь Н О Е Г О С У Д АР С Т В Е Н Н О Е Б Ю Д ЖЕ Т Н О Е О Б Р АЗ О В АТ Е Л Ь Н О Е У Ч Р Е ЖД Е Н И Е В Ы С Ш Е Г О П Р О Ф Е С С И О Н АЛ Ь Н О Г О О Б Р АЗ О В АН И Я С АН К Т - П Е Т Е Р Б У Р Г С К И Й Г О С У Д АР С Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е Р С И Т Е Т Э К О Н О М И К И И Ф И Н АН С О В К АФ Е Д Р А Ф Р АН Ц У З С К О Г О И В О С Т О Ч Н Ы Х Я З Ы К О В МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВВОДНОМУ...»

«1 2 Содержание 1 Цели и задачи освоения дисциплины. 2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО. 3 Требования к результатам освоения содержания дисциплины 4 Содержание и структура дисциплины (модуля). 4.1 Содержание разделов дисциплины 4.2 Структура дисциплины 4.3 Практические занятия (семинары)..12 4.4 Лабораторные работы.. 4.5 Самостоятельное изучение разделов дисциплины.13 5 Образовательные технологии 5.1 Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях 6 Оценочные...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ 11/1/1 Одобрено кафедрой Электрификация и электроснабжение ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕХНИКА И ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ В ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИИ Задание на контрольную работу № 2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности 190401.65 ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ (ЭЛ) РОАТ Москва – 2011 Задание на контрольную работу содержит две типовые задачи и методические указания по их решению. Постановка задач заимствована из ранее выполнявшихся работ по...»

«Министерство образования Российской Федерации _ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАФЕДРА АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Е.Н. БРАГО, О.В. ЕРМОЛКИН Новые информационные технологии и измерительное оборудование контроля дебита скважин. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине ИЗМЕРЕНИЕ И КОНТРОЛЬ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НЕФТЕГАЗОВЫХ ПРОИЗВОДСТВ Москва 2004 УДК 681.518+681.2:622.276. Браго Е.Н., Ермолкин О.В. Новые информационные...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет ОФОРМЛЕНИЕ БИБЛИОГРАФИЧЕСКОГО АППАРАТА ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ Методические указания 2008 УДК 378 Составители: ст. преп. Н.Ю. Поникарова ст. преп. Т.В. Толок доц. Ю.И. Толок ст. преп. В.И. Яшина Оформление библиографического аппарата выпускной квалификационной работы: методические указания / Н.Ю. Поникарова [и др.]....»

«2 3 Оглавление АННОТАЦИЯ ТРЕБОВАНИЯ К ДИСЦИПЛИНЕ 1. 1.1. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ ТРЕБОВАНИЯ 1.2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ. КОМПЕТЕНЦИИ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ 2. ОСВОЕНИЯ. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ 3. 4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 4.1. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ 4.2. ТРУДОЁМКОСТЬ МОДУЛЕЙ И МОДУЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ДИСЦИПЛИНЫ СОДЕРЖАНИЕ МОДУЛЕЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4.3. 4.4. ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 4.5. САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ Перечень...»

«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики С. А. Ложкин Лекции по основам кибернетики Учебное пособие по курсам Основы кибернетики и Структурная реализация дискретных функций Москва 2004 УДК 519.17, 519.71 ББК 22.18 Л 30 Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики (учебное пособие для студентов) М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ (лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001), 2004 г. 253 с. Пособие включает в себя основную часть...»

«Литографии в микроэлектронике Методическое пособие для студентов МФТИ и описания лабораторных работ в ИФТТ РАН Черноголовка 2012 Содержание.. стр. 1. Основы литографии. 1.1 Вводные замечания...3 1.2 Типичные технологические шаги процесса литографии..3 1.3 Подложки. Способы очистки..4 1.4 Чистые помещения..4 1.5 Резисты- определение и свойства. Приготовление резистивной маски.5 2. Фотолитография. 2.1 Введение..9 2.2 Основы оптики..10 2.3 Контактная и проекционная печать.. 2.4 Фотошаблоны.....»

«ПРИБЫЛИ ДЛЯ ФАСОНЫХ ОТЛИВОК Хабаровск Издательство ТОГУ 2012 УДК 621.74 Прибыли для фасонных отливок: Учебное пособие к практическим работам, курсовому и дипломному проектированию. / Сост. А.Ф. Мащенко, А.В.Щекин. – Хабаровск: Изд-во Тихоок. гос. ун-та, 2012. – 30 с. Учебное пособие разработано на кафедре Литейное производство и технология металлов в соответствии с учебным планом на основании рабочих программ дисциплин Производство отливок из стали, Теория литейных процессов, Производство...»

«Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Организации перевозок и управления на транспорте МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ, ПРОЕКТОВ И ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ Составитель М.А. Миргородский Омск СибАДИ 2010 УДК 658.516 ББК 30.86 Рецензент канд. наук, доц. Д.И. Заруднев. Работа одобрена научным методическим советом специальности Организация перевозок и управление на транспорте факультета...»

«В. Д. Г а л д и н ВЕНТИЛЯТОРЫ И КОМПРЕССОРЫ Учебное пособие Омск - 2007 0 Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В. Д. Г а л д и н ВЕНТИЛЯТОРЫ И КОМПРЕССОРЫ Учебное пособие Омск Издательство СибАДИ 2007 1 УДК 621.51 ББК 31.39 Г 15 Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В.И. Гриценко (ОмГТУ), канд. техн. наук, доц. П.А. Лисин (ОмГАУ) Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для специальности...»

«Шатилова пл 9, тир 300 4 курса факультета Медико-профилактическое дело. Н.А. Бурова, Ю.А. Шатилова пл 5, тир 300 Методические рекомендации для преподавателей по акушерству и 2016 гинекологии для студентов 4 курса педиатрического факультета. А.Е. Мирошников, М.С. Селихова пл 1,2, тир 300 Курс лекций по акушерству и гинекологии для студентов 3 курса стоматологического факультета О.А.Ярыгин, М.В. Андреева пл 9, тир Осложненная перименопауза в вопросах Учебно-методическое пособие для...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУВПО АмГУ УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой _ Т.В. Кезина _ _ 200г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине Основы учения о полезных ископаемых для специальности 130301 (Геологическая съемка, поиски и разведка месторождений полезных ископаемых) Составитель: Авраменко С.М., ст.преподаватель кафедры ГиП Благовещенск 2009 г. Печатается по...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) _ Шануров Геннадий Анатольевич Голубев Анатолий Николаевич ГЕОТРОНИКА. Часть 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧЕЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ПРИ ИЗМЕРЕНИИ РАССТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОННЫМ ДАЛЬНОМЕРОМ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО КЛАССА. РАБОТА С МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИМИ ПРИБОРАМИ Текст лекций и методические указания для студентов III и IV курсов геодезического факультета и факультета дистанционных форм обучения Москва 2012 Содержание Введение.. 1....»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.