WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 26 |

«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы ...»

-- [ Страница 4 ] --

В R можно выполнять арифметические операции - сложение, вычитание, умножение и деление (за исключением деления на число 0 ) по известным правилам. Действительные числа изображают точками на числовой прямой, хотя записывать символически эти числа можно разными способами. Если числам a и b (записанным каким-либо способом) соответствует одна и та же точка числовой прямой, то эти числа называют равными и пишут a = b. Действительные числа можно сравнивать между собой. Говорят, что число a больше числа b, если точка числовой прямой,соответствующая числу a, расположено правее точки, соответствующей числу b. В этом случае записывают: a b или b a. Если a b или a = b, то пишут a b или b a. Числа из R позволяют проводить точные измерения и расчеты. Длина диагонали квадрата со стороной 1 выражается действительным числом 2, которое можно записать также в виде бесконечной непериодической десятичной дроби 2 = 1, 4142135...

Назад Множество A, содержащее все элементы x, удовлетворяющие условию P, обозначаем Промежутки.

Отрезок с концами a, b R, a b это множество Интервал с концами a, b R, a b это множество Полуинтервалы Числовая прямая (, +) = R.

Границы числовых множеств Ограниченность множеств. Пусть X числовое множество. Наибольший элемент множества X обозначают maxX, наименьший элемент обозначают minX.

Число a называют верхней границей множества X, если x Множество X называют ограниченным сверху, если у него есть верхняя граница.

Пример 1.1. Для множества X = (3, 5] верхними границами являются числа 6, 113, 5. Это множество ограничено сверху. Множество = (3, +) не имеет верхней границы, оно не ограничено сверху.

Число a называют нижней границей множества X, если x Назад Множество X называют ограниченным снизу, если у него есть нижняя граница.

Пример 1.2. Для множества X = (3, 5] нижними границами являются числа 6, 103, 3. Это множество ограничено снизу.

Множество = (, 5] не имеет нижней границы, оно не ограничено снизу.

Множество X называют ограниченным, если у него есть нижняя граница и верхняя граница.

Точные границы числовых множеств. Ограниченное сверху множество имеет бесконечное множество верхних границ, ограниченное снизу - бесконечное множество нижних границ.

Наименьшую верхнюю границу множества X называют верхней гранью или точной верхней границей и обозначают supX.





b = supX означает, что выполнены условия:

Наибольшую нижнюю границу множества X называют нижней гранью или точной нижней границей и обозначают inf X.

a = inf X означает, что выполнены условия:

Теорема 1.1 (Теорема о гранях). Непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, ограниченное снизу - нижнюю грань.

Пример 1.3. Для множества X = (3, 5] нижняя грань inf X = 3, верхняя грань supX = 5.

Если множество X не ограничено сверху, то полагают supX = +, если X не ограничено снизу, то полагают inf X =.

Назад Биномиальная формула Ньютона В ряде случаев при построении доказательств, рассуждений и выводов удобно использовать следующее положение, которое называют принципом математической индукции.

Пусть M - множество тех натуральных чисел, для которых истинно высказывание P = P (n). Если Пример 1.4. Докажем формулу Используем принцип математической индукции.

1) Проверим справедливость формулы при n = 1.

1 · 4 = 1(1 + 1)2 - равенство верное.

2) Предположим, что формула верна при n = k, т.е.

3) Докажем, что формула верна при n = k + 1, т.е.

При проведении доказательства используем предположение о верности формулы при n = k.

k(k + 1)2 + (k + 1) · (3k + 4) = (k + 1)(k(k + 1) + (3k + 4)) = (k + 1)(k + 2)2, т.е. формула верна и при n = k + 1.

4) На основании принципа математической индукции делаем вывод, что формула верна при любом n N.

Пусть множество A состоит из n элементов.

Всякое подмножество множества A, содержащее k элементов, k n, называют сочетанием k элементов из n.

Число всех сочетаний из n элементов по k обозначают Cn.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Все n! перестановок n элементов множества A(см.3.622) можно получить следуюk щим образом. Выберем какие-либо k элементов из n. Для этого имеется Cn вариантов. Выбранные элементы допускают k! перестановок, поэтому используя возможности выбора k элементов и все их перестановки, можно получить уже Cn k! различных перестановок элементов множества A. Оставшиеся n k элементов множества A допускают (n k)! перестановок. Поэтому число всех перестановок элементов из A равно Cn k!(n k)!. Таким образом, Отсюда легко получается утверждение теоремы.

Полученная формула позволяет утверждать, что Cn = Cn. После сокращения можно получить следующую формулу для вычисления числа перестановок:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя теорему, получаем Бином Ньютона. Из школьного курса математики известны формулы Назад Используя принцип математической индукции, докажем более общее утверждение.

Теорема 1.3. При любом натуральном n справедлива формула Ньютона 1) При n = 1 формула Ньютона имеет вид (a + b)1 = C1 a + C1 b = 1 · a + 1 · b = a + b, что, конечно же, верно.

3) Докажем, что формула верна при n = k + 1, т.е.

При проведении доказательства используем предположение о верности формулы при n = k.

Назад Тогда т.е. формула Ньютона верна и при n = k + 1.





4) На основании принципа математической индукции делаем вывод, что формула Ньютона верна при любом Назад Назад Пусть X, Y – два непустых множества.

Произвольное подмножество декартова произведения X Y называется соответствием между множествами X и Y.

Если x X и y Y и пара (x, y), то пишут xy. Соответствие можно определить заданием какоголибо свойства, которым обладают все пары, составляющие множество и только они. Если пустое множество, то соответствие называется пустым, а если же = X Y, то соответствие называется полным.

Замечание 2.1. Для соответствия между множествами X и Y наряду с записью xy или (x, y) или (x, y) употребляется также обозначение (, X, Y ).

Областью определения соответствия (обозначается Dom или D ) называется множество элементов x X, для каждого из которых найдется хотя бы один элемент y Y такой, что xy.

Областью значений соответствия (обозначается Im или R ) называется множество элементов y Y, для каждого из которых найдется хотя бы один элемент x X такой, что xy.

Соответствие называется всюду определенным, если Dom = X.

Пусть x X. Тогда множество элементов y Y таких, что xy называется образом элемента x относительно соответствия и обозначается im x.

Прообразом элемента y Y относительно соответствия называется множество элементов x X таких, что xy и обозначается coim y.

Соответствие называется сюръективным, если Im = Y.

Соответствие называется инъективным, если для любых элементов x1, x2 Dom и таких, что x1 = x их образы y1, y2 (x1 y1, x2 y2 ) таковы, что y1 = y2.

Назад Соответствие называется биективным, если оно сюръективно и инъективно.

Для конечных множеств X и Y используются матричное и графовое представление соответствия.

Пусть, например, множество X состоит из m элементов, т.е. имеет вид X = {x1, x2,..., xm }, а множество Y состоит из n элементов, т.е. имеет вид Y = {y1, y2,..., yn }. Тогда соответствию сопоставляется матрица размера m n, строки которой помечены элементами из X, столбцы – элементами из Y, а на пересечении строки xi и столбца yj стоит 1, если xi yj, и 0 в противном случае.

Например, если X = {x1, x2, x3 }, Y = {y1, y2 } и = {(x1, y1 ), (x1, y2 ), (x2, y2 ), (x3, y1 )}, то матрица соответствия имеет вид Верно и обратное утверждение. А именно, каждая матрица подобного вида однозначно определяет соответствие между множествами X и Y.

При графовом представлении соответствия между множествами X и Y элементы этих множеств изображаются точками на плоскости. Обычно эти точки обозначаются теми же символами, что и соответствующие элементы. Точки x и y соединяются направленной дугой от x к y, если xy.

Например, если X = {x1, x2, x3 }, Y = {y1, y2 }, а = {(x1, y1 ), (x1, y2 ), (x2, y2 ), (x3, y1 )}, то это соответствие изобразится следующим ориентированным графом.

Назад 1.3.1. Высказывания.

1.3.2. Пропозициональные формулы.

Назад 1.3.1 Высказывания.

Основу математической логики представляет собой алгебра высказываний (булева алгебра), ключевым понятием которой является высказывание. Это понятие является основным в математической логике и не определяется через другие понятия.

Под высказыванием понимается повествовательное предложение (множество таких предложений), про которое можно однозначно утверждать, что оно истинно или ложно.

Как правило, высказывания обозначаются буквами латинского алфавита. Если высказывание a истинно, то говорят, что оно имеет логическое значение 1 (истина) и пишут (a) = 1; если высказывание a ложно, то говорят, что оно имеет логическое значение 0 (ложь) и пишут (a) = 0.

Операции, выполняемые над высказываниями и порождающие новые высказывания, называются логическими операциями. К таким логическим операциям относятся операции отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Отрицанием некоторого высказывания p называется такое высказывание, которое истинно, когда p ложно, и ложно, когда p истинно.

Отрицание высказывание p обозначается p (читается "не p").

Таким образом, логическое значение высказывания p связано с логически значением высказывания p так, как это показано в следующей таблице (таблица истинности):

В литературе для высказывания p используется также и обозначение p.

Конъюнкцией высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания p и q.

Обозначается конъюнкция через p q (возможны также обозначения p & q, p · q) и читается "p и q".

Таблица истинности для конъюнкции имеет вид Назад Дизъюнкцией высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний.

Обозначается дизъюнкция через p q и читается "p или q".

Таблица истинности для дизъюнкции имеет вид Импликацией высказываний p и q называется такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда p истинно и q ложно.

Обозначается дизъюнкция через p = q и читается "из p следует q".

Таблица истинности для импликации имеет вид Назад Эквиваленцией высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания истины или оба ложны.

Обозначается эквиваленция через p q и читается "p эквивалентно q".

Таблица истинности для эквиваленции имеет вид Назад 1.3.2 Пропозициональные формулы.

Латинские буквы и латинские буквы с индексами, т.е. символы p, q,..., p1, q1,...,p2, q2,..., служащие для обозначения произвольных высказываний, называются пропозициональными переменными, а символы,,, =,, служащие для обозначения логических операций, называются пропозициональными связками.

Пропозициональной формулой называется выражение, построенное из пропозициональных переменных с помощью пропозициональных связок по следующим правилам:

1) каждая пропозициональная переменная является пропозициональной формулой;

2) если P и Q — пропозициональные формулы, то ( P ), (P Q), (P Q), (P = Q), (P Q) также являются пропозициональными формулами;

3) других пропозициональных формул нет.

Замечание 3.1. Пропозиционная переменная называется также переменной логики высказываний, а пропозиционная формула – формулой логики высказываний.

Например, если p, q и r — пропозициональные переменные, то выражение является пропозициональной формулой, а выражение таковой не является.

Количество скобок при записи пропозициональной формулы можно значительно сократить, если воспользоваться следующими договоренностями. Во-первых, опускать внешнюю пару скобок, в которую заключены все символы, входящие в данную формулу. Во-вторых, считать пропозициональные связки упорядоченными следующим образом:,,, =, и опускать те пары скобок, без которых можно восстановить пропозициональную формулу в соответствии со следующим правилом. Каждое вхождение знака относится к наименьшей формуле, следующей за ним; после того как все скобки, относящиеся к знаку расставлены, каждое вхождение знака связывает наименьшие формулы, которые его окружают и т.д., при этом, если применяют указанное правило к одной пропозициональной связке, то формула просматривается слева направо. В соответствие с этой Назад договоренностью, формула () может быть переписана в виде Каждому набору логических значений пропозициональных переменных, входящих в данную пропозициональную формулу, соответствует определенное логическое значение этой формулы, которое может быть определено, например, с помощью соответствующей таблицы истинности. Если в формулу входит n переменных, то количество строк в такой таблице будет равно 2n, поскольку именно столько существует различных наборов логических значений для входящих в формулу переменных.

Пропозициональную формулу, в которую входит n пропозициональных переменных p1, p2,..., pn, обозначают F (p1, p2,..., pn ).

Пропозициональная формула называется тавтологией (тождественно истинной формулой), если она принимает логическое значение 1 (истина) при всех наборах логических значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Утверждение, что формула F (p1, p2,..., pn ) является тавтологией обозначается |= F (p1, p2,..., pn ).

Пример 3.1. Примером тавтологии может служить пропозициональная формула p p (закон исключенного третьего), чья таблица истинности имеет вид Пропозициональная формула называется противоречием (тождественно ложной формулой), если она принимает логическое значение 0 (ложь) при всех наборах логических значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример 3.2. Примером противоречия может служить пропозициональная формула p p (закон противоречия), чья таблица истинности имеет вид Назад Очевидно, что формула F (p1, p2,..., pn ) — противоречие тогда и только тогда, когда формула F (p1, p2,..., pn ) — тавтология.

Пропозициональные формулы F и G называются логически эквивалентными (равносильными), если пропозициональная формула F G является тавтологией.

Равносильность формул F и G обозначается F G.

Например, формулы (p = q) и ( q = p) являются равносильными. Действительно, это следует из таблицы истинности для формулы (p = q) ( q = p):

Логическая эквивалентность приведенных формул обосновывает способ доказательства утверждений от противного.

Очевидно, что отношение эквивалентности пропозициональных формул удовлетворяет следующим свойствам.

1. F F для любой формулы F (рефлексивность).

2. Если F G, то G F, для любых формул F и G (симметричность).

3. Если F G и G H, то F H для любых формул F, G и H (транзитивность).

Эти свойства позволяют преобразовывать пропозициональные формулы (если нас интересует не структура самой формулы, а лишь то логическое значение, которая она принимает на том или ином наборе логических значений входящих в нее переменных) с помощью замены любой формулы на эквивалентную ей формулу с целью их упрощения или приведения к некоторому стандартному виду.

Назад нальных формул.

Во многих математических рассуждениях представляет интерес следует ли из некоторых утверждений (посылок) то или иное новое утверждение (заключение). На языке математической логики это означает следует ли Назад логически из пропозициональных формул F1,..., Fn формула G и как это проверить средствами математической логики.

Пропозициональная формула G называется логическим следствием пропозициональных формул F1,..., Fn, n 1, если для всех наборов логических значений входящих в формулы G, F1,..., Fn, пропозициональных переменных логическое значение формулы G равно 1 по крайней мере тогда, когда логические значения всех формул F1,..., Fn равны 1.

Если G — логическое следствие формул F1,..., Fn, то пишут F1,..., Fn |= G. Проверку этого факта можно проводить с использованием следующего утверждения.

Теорема 3.1. Пропозициональная формула G является логическим следствием пропозициональных формул F1,..., Fn, n 1, тогда и только тогда, когда пропозициональная формула F1... Fn = G является тавтологией. В частности F |= G тогда и только тогда, когда |= (F = G).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Докажем, что из F1,..., Fn |= G следует (F1... Fn = G).

Предположим противное, то есть предположим, что импликация F1... Fn = G не является тавтологией.

Логическое значение импликации равно 0 лишь в одном случае, когда логическое значение формулы G равно 0, а логическое значение формулы F1... Fn равно 1. Но для того чтобы логическое значение конъюнкции было равно 1 необходимо, чтобы логические значения всех формул F1,..., Fn были равны 1. Но это противоречит тому, что F1,..., Fn |= G, так как по определению логическое значение G должно быть равным 1 всякий раз, когда логические значения всех формул F1,..., Fn равны 1. Полученное противоречие и доказывает необходимость условий теоремы.

Достаточность. Нам надо доказать, что из (F1... Fn = G) следует F1,..., Fn |= G. Если мы предположим противное, то есть G не является логическим следствием F1, Fn, то это означает, что существует хотя бы один набор логических значений пропозициональных переменных, при котором логические значения всех пропозициональных формул F1,..., Fn равны 1, а следовательно логическое значение их конъюнкций также равно 1, а логическое значение пропозициональной формулы G равно 0. Но тогда логическое значение импликации F1... Fn = G равно 0 и, следовательно, формула F1... Fn = G не является тавтологией.

Полученное противоречие и доказывает достаточность условий теоремы.

Пример 3.3. Проверим, является ли логически правильным следующее рассуждение. Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5. Если число делится на 2, то последняя цифра в его десятичной записи является четной. Если число делится на 5, то последняя цифра в его десятичной записи или 0, или 5. Если последняя цифра числа равна 5, то последняя цифра этого числа не является четной. Значит, если Назад число делится на 10, то последняя в десятичной записи этого числа равна 0.

Обозначим через p высказывание "число делится на 10 через q — "число делится на 2 через r — "число делится на 5 через a — "последняя цифра в десятичной записи числа является четной через b — "последняя цифра в десятичной записи числа равна 5 через c — "последняя цифра в десятичной записи числа равна 0". В этих обозначениях нам надо проверить является ли пропозициональная формула p = c логическим следствием пропозициональных формул p = q r, q = a, r = b c, b = a. В силу доказанной выше теоремы для этого нам следует выяснить является ли тавтологией пропозициональная формула Для доказательства тавтологичности этой формулы воспользуемся выше эквивалентностями (a b) (b a), то и вся получившаяся дизъюнкция будет тавтологией, а вместе с тем будет Поскольку тавтологией и исходная импликация. Следовательно наше рассуждение логически верное.

Назад Пусть X и Z — два произвольных непустых множества.

Соответствие, сопоставляющее каждому элементу из множества X единственный элемент из множества Y, называется отображением множества X в множество Y.

Обозначим отображением множества X в множество Y буквой f и, чтобы подчеркнуть, что f это отображение X в Y, будем записывать Отображение f называют также функцией, заданной на множестве X со значениями во множестве Y. Термин функция чаще всего употребляют для отображений числовых множеств в числовые множества.

Элемент y Y, соответствующий элементу x X при отображении f, называется образом элемента x и обозначается f (x), а элемент x – в этом случае называется прообразом элемента y.

В связи с этим для обозначения отображения употребляют также записи Возможно также употребления записи, при которой в явном виде указывается соответствие между элементами множеств X и Y :

Например, запись означает, что на отрезке [0, 1] задано отображение, которое каждому числу из этого отрезка ставит в соответствие его квадрат.

Два отображения f : X Y и : X Y называется равными, если результаты их действия одинаковы, т.е.

для любого элемента x X выполняется равенство f (x) = (x).

Равенство отображений f и обозначается f =.

Назад Пусть f : X Y и y — некоторый фиксированный элемент из Y.

Множество (возможно пустое) {x X | y = f (x)} всех элементов их X, для которых y является образом при отображении f называется полным прообразом элемента y при отображении f и обозначается f 1 (y).

Множество X называют множеством определения отображения f и обычно обозначают D(f ) или Domf ; подмножество Y множества Y называют множеством значений отображения f, если Y = {y Y | y = f (x), x X}, множество значений отображения f обычно обозначают E(f ) f.

Прообразом подмножества Y Y называется множество всех x X, для которых f (x) Y.

Прообраз подмножества Y обозначается f 1 (Y ), т.е. f 1 (Y ) = {x X | f (x) Y }.

Образом подмножества X X называется множество всех значений отображения f на всех элементах множества X.

Образ подмножества X обозначается f (X ), т.е. f (X ) = {f (x) | x X }.

Композицией двух отображений f : X Y, g : Y Z называют отображение h : X Z, определяемое соотношением h(x) = f (g(x)), x X.

Композиция отображений обычно обозначается f g. Очевидно, что композиция (как операция над отображениями) ассоциативна, т.е. h (f g) = (h f ) g, поэтому при записи композиции нескольких подряд идущих отображений можно опускать скобки. В тех случаях, когда вместо термина отображение используют термин функция, композицию функций называют также сложной функцией.

Отображение f : X Y называется инъективным (инъекцией, вложением, отображением в) если оно переводит разные элементы в разные, т.е. если x1 = x2, то f (x1 ) = f (x2 ).

Отображение f : X Y называется сюръективным (сюръекцией, наложением, отображением на) если множество ее значений совпадает со множеством Y, т.е. если f (X) = Y.

Назад Отображение f : X Y называется биективным (биекцией, взаимно однозначным) если оно одновременно и инъективно и сюръективно.

Замечание 4.1. Если f — биекция, то существует обратное отображение f 1, для которого f 1 (y) = x f (x) = y. Заметим, что для биективного отображения f равенства f 1 (f (x)) = x и f (f 1 (y)) = y выполнены для любых x X и y Y.

Пример 4.1. Рассмотрим четыре отображения:

Отображение f1 не является ни инъективным, ни сюръективным, f2 — иньективно, но не сюръективно, f3 — сюръективно, но не инъективно, а отображение f4 — биективно. Только для последнего отображения существует обратное отображение Назад 1.5.1. Декартово произведение множеств.

1.5.2. Бинарное отношение.

1.5.3. Отношения эквивалентности и порядка.

1.5.4. Алгебраическая операция.

Назад 1.5.1 Декартово произведение множеств.

Пусть X, Y – два непустых множества.

Декартовым (прямым) произведением множеств X, Y называется множество всех упорядоченных пар Декартово произведение обозначается X Y, т.е.

Декартово произведение X X называется декартовым квадратом множества X и обозначается X 2, т.е.

Пример 5.1. Пусть множество M представляет собой единичный отрезок, т.е. M = {x | 0 x 1}. Тогда декартово произведение M M представляет собой единичный квадрат: M M = {(x, y) | 0 x 1 0 y 1}.

Назад 1.5.2 Бинарное отношение.

Пусть X – произвольное непустое множество.

Всякое подмножество X 2 декартово квадрата множества X называется отношением (бинарным отношением), заданным на множестве X.

Говорят, что элемент x X находится в отношении к элементу y X и пишут xy, если пара (x, y).

Отношение можно определить заданием какого-либо свойства, которым должны обладать все пары, составляющие множество и только они.

x x 1.5.3. Отношения эквивалентности и порядка.

Назад 1.5.3 Отношения эквивалентности и порядка.

Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1. xx, для любого x X (рефлексивность);

2. если xy, то yx (симметричность);

3. если xy и yz, то xz (транзитивность).

Отношение эквивалентности обозначается символом. С отношением эквивалентности связано разбиение множества X на классы эквивалентных между собой элементов. Равенство чисел, параллельность прямых являются примерами эквивалентности.

Бинарное отношение на множестве X называется отношение порядка, если оно обладает следующими свойствами:

1. xx для x X (рефлективность);

2. если xy и yx, то x = y (антисимметричность);

3. если xy и yz, то xz (транзитивность).

Отношение порядка обозначается символом.

На множестве N натуральных чисел естественное отношение порядка n m определяется как множество всех пар (n, m), где число n, не больше числа m.

Назад 1.5.4 Алгебраическая операция.

Отображение f : X 2 X называется алгебраической (бинарной) операцией на множестве X.

Другими словами, на множестве X задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре (x1, x2 ) элементов множества X поставлен в соответствие определенный элемент x3 X.

В этом случае элемент x3 называется композицией элементов x1 и x2.

Алгебраическая операция обозначается символом или.

Тогда то, что элемент x3 является композицией элементов x1 и x2 при алгебраической операции записываются как x3 = x1 x2.

Алгебраическая операция, заданная на X называется коммутативной, если для любых двух элементов x1, x2 X выполняется равенство Алгебраическая операция, заданная на X называется ассоциативной, если для любых трех элементов x1, x2, x3 множества X выполняется равенство (x1 x2 ) x3 = x1 (x2 x3 ).

Пример некоммутативной операции.

Пусть X = Z, то вычитание не является коммутативной операцией т.к. a b = b a.

Пусть на множестве X задана алгебраическая операция.

Элемент n X называется нейтральным относительно операции, если для любого элемента x X верны равенства x n = n x = x.

Теорема 5.1. Пусть на множестве X задана алгебраическая операция. Тогда, если в множестве X относительно этой операции существует нейтральный элемент, то он единственный.

Д о к а з а т е л ь с т в о. От противного. Пусть существует два нейтральных элемента n и m. Рассмотрим n m. Из определения нейтрального элемента, с одной стороны, имеем n m = n; с другой стороны n m = m, но тогда n = m.

Назад Пусть на множестве X определена алгебраическая операция, относительно которой в X имеется нейтральный элемент n.

Элемент x X называется симметричным элементу x X относительно заданной на множестве X алгебраической операции, если x x = x x = n.

Теорема 5.2. Пусть на множестве X задана ассоциативная операция, относительно которой в множестве X существует нейтральный элемент n. Тогда если для некоторого элемента множества X существует симметричный элемент, то он единственный.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x X и x1 и x2 – два симметричных элемента элементу x. Рассмотрим композицию x1 x x2. С одной стороны,x1 x x2 = (x1 x) x2 = n x2 = x2. С другой стороны x1 x x2 = Назад 1.6.1. Алгебраическая форма записи комплексного числа.Действия над комплексными числами 1.6.2. Геометрическое изображение комплексных чисел 1.6.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел 1.6.4. Извлечение корней из комплексных чисел Назад 1.6.1 Алгебраическая форма записи комплексного числа.

Действия над комплексными числами Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi, где a и b – действительные числа, а i – число, которое называется мнимой единицей и является решением уравнения x2 + 1 = 0, т.е. i2 = 1.

Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez, а число b – мнимой частью числа z и обозначается Imz.

Представление комплексного числа в виде z = a + ib называется алгебраической формой записи этого числа.

Ясно, что множество действительных чисел R является подмножеством всех комплексных чисел, которое обозначается. Множество R получается из множества, если рассматривать комплексные числа вида z = a+o·i.

Два комплексных числа z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. z1 = z2, тогда и только тогда, когда a1 = a2 и b1 = b2.

Комплексное число вида z = a ib называется сопряженным комплексному числу z = a + ib.

Действительное неотрицательное число обозначается |z|, т.е. |z| = a2 + b2.

Отметим, что || = |z|. Кроме того, zz = (a + bi) (a bi) = a2 + b2, т.е. произведение двух комплексно сопряженных чисел есть действительное неотрицательное число, равное сумме квадратов их действительных и мнимых частей, т. е. равно квадрату их модуля: zz = |z|2.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, производятся по правилам сложения, вычитания и умножения многочленов с учетом того, что i2 = 1, а именно:

Назад Пример 6.1. Рассмотрим два комплексных числа z1 = 1 + i, z2 = 2 + 6i.

Найти: а) |z1 |, |z2 |; б) z1 + z 2 ; в) z1 z2 ; г).

x x 1.6.2. Геометрическое изображение комплексных чисел Назад 1.6.2 Геометрическое изображение комплексных чисел Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки плоскости.

Действительно, каждому комплексному числу z = a + bi можно поставить в соответствие точку с координатами (a, b) и, наоборот, каждой точке с координатами (a, b) соответствует единственное комплексное число z = a + bi.

Плоскость, точки которой отождествляют с комплексными числами, называют комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной осью (на ней изображаются действительные числа), ось ординат – мнимой осью (на ней изображаются мнимые числа, т.е. комплексные числа, у которых действительная часть равна нулю) комплексной плоскости.

Исходя из этого, каждому комплексному числу z = a+bi соответствует радиус-вектор точки с координатами (a, b), исходящий из начала координат, т. е. из точки (0, 0), и с концом в точке (a, b) (рис. 1). Тогда арифметическим операциям над комплексными числами можно дать геометрическую интерпретацию. Например, сложение и вычитание комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i сводится к сложению и вычитанию соответствующих им радиус-векторов (рис. 2).

x x 1.6.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Назад 1.6.3 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Запись комплексного числа в алгебраической форме z = a+bi соответствует на плоскости в прямоугольной системе координат Оху точка с абсциссой a и ординатой b. Вместе с тем, с каждой такой точкой, как сказано выше, связан радиус – вектор этой точки, длина которого равна r и равна модулю комплексного числа z (рис.

1), т.е.

а также угол, образованный этим радиус-вектором с осью Ox, называемый аргументом комплексного числа z и обозначаемый Arg z. Из значений = Arg z выделяется главное значение arg z, удовлетворяющее условию arg z. Исходя из рис. 1, имеем Но тогда комплексное число z = a + bi может быть записано в виде Представление комплексного числа в виде (6.3) называется тригонометрической формой записи комплексных чисел.

Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме Найдем произведение этих чисел. Согласно правилам умножения комплексных чисел (п.1.6.1), получаем Отсюда следует, что:

1) |z1 z 2 | = |z1 |·|z2 | ; 2)Arg (z1 z2 ) = Argz1 +Argz2, т.е. модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Из этого утверждения следует формула Муавра, которая доказывается методом математической индукции x x 1.6.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Назад В случае деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеем модулей; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример 6.2. Комплексные числа z1 = 1 + i, z2 = 1 3i представить в тригонометрической форме и найти z1 z2 и.

Решение. По формуле (6.2) находим модули комплексных чисел z1 и z2 : r1 = |z1 | = (1)2 + ( 3)2 = 2. Из соотношений (6.3) имеем: cos 1 =, sin 1 =, а cos 2 =, sin 2 =. Но тогда главные значения аргументов чисел z1 и z2 имеют вид: 1 =, 2 =. Следовательно, исходя из формул (6.4), (6.6), получаем Пример 6.3. Вычислить (1 + i).

Решение. Из предыдущего примера имеем 1 + i = 2(cos + i sin ).

Тогда по формуле Муавра (6.5) получаем Назад 1.6.4 Извлечение корней из комплексных чисел Комплексное число z называется корнем n-й степени из комплексного числа z, если () Если z = 0, имеем единственный корень z = 0.

Запишем комплексное число z = a + bi в тригонометрической форме z = r (cos + i sin ).

Теорема 6.1. Для каждого ненулевого комплексного числа z = r (cos + i sin ) существует в точности n значений корня n-й степени из z, которые могут быть определены по формуле Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть корень n z существует и равен (cos + i sin ), т.е.

Возведем обе части равенства (6.8) в n-ю степень. Используя формулу Муавра, имеем r(cos + i sin ) = n (cos n + i sin ). Отсюда, в силу равенства комплексных чисел, получаем Здесь n r – арифметическое значение корня n-ой степени из положительного числа r.

Докажем, что существует в точности n различных значений корня n-ой степени из z, т.е. достаточно рассматривать k от 0 до n 1. Действительно, при k = 0, n 1 мы получим n значений корня, которые все будут различными, так как увеличение k на единицу влечет за собой увеличение аргумента на. Пусть теперь kn произвольно. Тогда это число k можно представить в виде k = nq + m, q Z, m N, причем 0 m n 1.

Отсюда, имеем Назад т.е. значение аргумента при k = nq + m отличается от значений аргумента при k = m на число кратное 2, и следовательно, мы получим такое же значение корня, как и при k = 0, n 1.

Из формулы (6.7) видно, что все n значений корня n-й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса n |z| с центром в начале координат и делят эту окружность на n равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из любого действительного числа а также имеет n различных значений.

Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от а, (0 0 или 0 0) и Пример 6.4. Найти 3 1.

Решение. Представим сначала число z = 1 в тригонометрической форме:

1 = 1 · (cos + i sin ). В соответствии с формулой (6.7) имеем Назад 2.1. Предел последовательности 2.2. Функции одной переменной 2.3. Определенный интеграл Римана 2.4. Арифметическое n-мерное пространство 2.5. Функции нескольких переменных.

2.6. Неявные функции 2.7. Векторные функции нескольких переменных 2.8. Площадь и объем.

2.9. Двойной интеграл 2.10. Тройной интеграл 2.11. n-кратный интеграл 2.12. Кривые и поверхности.

2.13. Криволинейный интеграл первого рода 2.14. Криволинейные интегралы второго рода 2.15. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 2.16. Поверхностный интеграл первого рода 2.17. Поверхностный интеграл второго рода 2.18. Связь поверхностных интегралов с криволинейными и тройными 2.19. Векторный анализ 2.20. Ряды 2.21. Функциональные ряды 2.22. Функции комплексного переменного Назад 2.1.1. Числовая последовательность 2.1.2. Бесконечно малые последовательности 2.1.3. Сходящиеся последовательности 2.1.4. Монотонные последовательности Назад 2.1.1 Числовая последовательность Последовательностью действительных чисел называют отображение упорядоченного естественным образом (по возрастанию) множества N в множество R, при котором каждому n N ставится в соответствие число an. Числа an называют членами (элементами) последовательности.

Пример 1.1. Последовательность ( ) можно записать в виде 1,,, 1,...,,,... Последовательность 1, 1, 1, 1, 1, 1,...

можно задать иначе, указав (в круглых скобках) формулу ее n-го члена: это последовательность((1)n1 ). Говорят также: "задана последовательность an = (1)n1 ".

Подпоследовательности Удалим из последовательности (an ) какие-либо элементы так, что останется бесконечное множество элементов. Оставшиеся элементы не переставляем местами. Они образуют последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности (an ).

Если из последовательности (an ) удалить несколько (конечное множество) первых элементов, то получим подпоследовательность, называемую остатком последовательности (an ).

Ограниченная последовательность Последовательность (an ) называют ограниченной, если ограничено множество {an } всех элементов этой последовательности, т.е. если m, M R, n N, m M. При этом используют обозначение an = O(1), которое читают: "an есть о большое от 1".

Пример 1.2. Последовательность an = n(1) т.е. последовательность 1, 2,, 4,, 6,,... имеет ограниченную подпоследовательность 1,,,,..., но не является ограниченной.

Теорема 1.1. Если последовательность ограничена, то ограничен и любой ее остаток. Если какойлибо остаток последовательности ограничен, то и сама последовательность ограничена.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение очевидно. Если же последовательность (an ) имеет ограниченный остаток ak+1, ak+2, ak+3,..., т.е. m, M, m M, n k + 1, то, взяв m0 = min{a1,...ak, m}, M0 = max{a1,...ak, M }, получим: n N, m0 an M0, т.е. последовательность (an ) ограничена.

Арифметические комбинации последовательностей Пусть заданы последовательности (an ) и (bn ).

Суммой последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (an + bn ).

Разностью последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (an bn ).

Произведением последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (an bn ).

Частным последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность. Частное может быть определено, если bn = 0, n.

Линейной комбинацией последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (Aan + Bbn ), где A и B - постоянные.

Если последовательности (an ) и (bn ) ограничены, то их сумма, разность, линейная комбинация и произведение также являются ограниченными последовательностями. Частное может оказаться неограниченной последовательностью.

x x 2.1.2. Бесконечно малые последовательности Назад 2.1.2 Бесконечно малые последовательности Последовательность (n ) называют бесконечно малой последовательностью, если При этом используют обозначение n = o(1), которое читают: "n есть о малое от 1".

Пример 1.3. Рассмотрим последовательность n = ( ). Если n, то ее элементы n удовлетворяют неравенству n =.

Выполнено определение бесконечно малой последовательности, в котором достаточно взять =. Значит, последовательность является бесконечно малой.

Пример 1.4. Пользуясь определением, покажем, что формула n = задает бесконечно малую последовательность. Так как Лемма 1.1. Если где величина M не зависит ни от n, ни от, то последовательность бесконечно малая.

произвольного 0 построим число 1 = Свойства бесконечно малых последовательностей Свойство 1. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (n ),бесконечно малая последовательность. Возьмем фиксированное 0.

Существует такое, что для всех n выполняется неравенство n. Значит последовательность (n ) имеет ограниченный остаток, а поэтому и сама последовательность ограничена.

Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, x x 2.1.2. Бесконечно малые последовательности Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (n ) и (n ) - две бесконечно малые последовательности. Для любого |n + n | + = 2. На основании М-леммы последовательность (n + n ) является бесконечно малой последовательностью.

Свойство 3. Сумма любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказывается по индукции.

Свойство 4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью, Д о к а з а т е л ь с т в о. Если последовательность (n ) бесконечно малая, а (n ) - ограниченная, то для основании М-леммы последовательность (n · n ) является бесконечно малой.

Свойство 5. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (n ) и (n ) - две бесконечно малые последовательности.Поскольку бесконечно малая последовательность является ограниченной, то можно считать (n ) ограниченной и рассматривать произведение (n · n ) как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, что дает бесконечно малую последовательность.

Свойство 6. Произведение любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказывается по индукции.

Свойство 7. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны, то они равны нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если (n ) - бесконечно малая последовательность и n = h, h = 0 для всех n, то взяв = получим:

что является противоречием.

Назад 2.1.3 Сходящиеся последовательности Предел последовательности Последовательность (an ) называют сходящейся, если существует такое число a, что Последнее неравенство равносильно тому, что При этом используют обозначение an a или (Читают: an сходится к a или предел an равен a.).

где величина M не зависит ни от n, ни от, то последовательность an сходится к a.

Доказательство проводится так же, как доказательство М-леммы1.1. Сходимость последовательности an к a означает, что Свойства сходящихся последовательностей Свойство 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

равенства второе, получаем : a b = o(1). На основании свойства 7 бесконечно малых последовательностей получаем: a = b.

Свойство 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть an a. Возьмем фиксированное 0. Существует такое, что для всех n выполняется неравенство a a +. Значит последовательность (an ) имеет ограниченный остаток, а поэтому и сама последовательность ограничена.

Свойство 3. Если an a и bn b, то Aan + Bbn Aa + Bb.

(Aa + Bb) + o(1). Это означает, что Aan + Bbn Aa + Bb.

ao(1) + bo(1) + o(1)o(1) = ab + o(1). Следовательно an · bn a · b.

Свойство 6. Если an a, bn b и an bn, при любом n, то a b.

an a и n 2 bn b +. Если n = max(1, 2 ), то an bn, что противоречит условию.

бесконечно малой последовательности n = 2 3 и поэтому имеет предел 2. Аналогично, знаменатель имеет предел 3.

Теорема 1.2 (о сжатой последовательности). Если последовательности (an ) и (bn ) имеют общий предел h и an cn bn при любом n, то и последовательность (cn ) сходится к h.

сходится к h.

Бесконечно большие последовательности Последовательность (an ) называют бесконечно большой, если Назад Если все элементы бесконечно большой последовательности с достаточно большими номерами положительны, то пределом этой последовательности считают +. Если все элементы бесконечно большой последовательности с достаточно большими номерами отрицательны, то пределом этой последовательности считают В следующих примерах сравниваются бесконечно большие последовательности.

Фундаментальные последовательности Последовательность (an ) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

Теорема 1.3 (Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Пример 1.9. Рассмотрим последовательность Назад 1.3 сходится.

Назад 2.1.4 Монотонные последовательности Последовательность (an ) называют возрастающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 an при любом n.

Последовательность (an ) называют строго возрастающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 an при любом n.

Последовательность (an ) называют убывающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 an при любом n.

Последовательность (an ) называют строго убывающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 an при любом n.

Убывающую и возрастающую последовательности называют монотонными.

Строго убывающую и строго возрастающую последовательности называют строго монотонными.

Последовательность называют монотонной в широком смысле, если она имеет монотонный остаток.

Теорема 1.4 (Критерий сходимости монотонной последовательности). Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.

Число e.

Последовательность an = (1 + ) возрастает и ограничена сверху числом 3. Поэтому она сходится. Ее предел обозначают e. Это иррациональное число, e = 2, 71828... Таким образом Назад Число e играет в математике исключительно важную роль.

Показательную функцию ex называют экспонентой. Часто обозначают ex = exp x.

loge x называют логарифмом натуральным числа x и обозначают lnx.

Принцип вложенных отрезков Теорема 1.5. Пусть последовательность an возрастает, последовательность bn убывает и an bn, n.

Если bn an 0, то обе последовательности имеют общий предел.

тельности ограничены и, поэтому сходятся.Так как bn an 0, то lim an lim bn = 0, т.е. lim an = lim bn.

Теорема имеет ясный геометрический смысл. Если дана последовательность вложенных отрезков и последовательность длин этих отрезков стремится к нулю, то существует, причем единственная, точка, которая принадлежит всем отрезкам.

Принцип выбора Теорема 1.6 (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Назад Верхний и нижний пределы последовательности Пусть L - множество пределов подпоследовательностей последовательности (an ). Верхним пределом последовательности (an ) называют sup L, его обозначают Пусть L - множество пределов подпоследовательностей последовательности (an ). Нижним пределом последовательности (an ) называют inf L, его обозначают Последовательность (an ) сходится тогда и только тогда, когда и тогда Назад 2.2.1. Предел Функции одной переменной 2.2.2. Предел функции 2.2.3. Неопределенности 2.2.4. Замечательные пределы 2.2.5. Непрерывность функции 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной 2.2.7. Производные высших порядков 2.2.8. Исследование функций одной переменной 2.2.9. Неопределенный интеграл Назад 2.2.1 Предел Функции одной переменной Функция Функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве Y называют закон f, по которому каждому элементу x X ставится в соответствие элемент y Y. Элемент y называют образом элемента x и обозначают y = f (x). При этом записывают f : X Y или, более подробно, Множество X называют областью определения функции.

В этом разделе мы будем рассматривать числовые функции y = f (x) с числовыми значениями, т.е. считать, что X и Y - множества из R. При этом x называют независимой переменной или аргументом функции, а y зависимой переменной Если закон f, определяющий функцию y = f (x), задан посредством формул и область определения функции не указана, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на множестве точек, для которых эти формулы имеют смысл.

Композиция функций Пусть функция y = f (x) определена на множестве X и функция x = g(t) определена на множестве T, причем при любом t T значение x = g(t) X. Тогда на множестве T можно определить функцию y = h(t) = f (g(t)).

Эту функцию называют композицией функций f и g и обозначают:

Пример 2.1. Пусть f (x) = ln x и g(t) = sin t, t (0, ). Тогда на интервале (0, ) можно определить функцию ln(sin x), которая является композицией функций ln и sin.

Назад Элементарные функции В школьном курсе математики изучались элементарные функции. Это,прежде всего, основные элементарные функции. К ним относятся:

постоянная функция степенная функция многочлены;

рациональные функции (отношение двух многочленов) показательная функция логарифмическая функция тригонометрические функции обратные тригонометрические функции С помощью композиций и арифметических операций, применяемых конечное число раз к основным элементарным функциям, получают элементарные функции.

Назад Обратная функция Пусть функция y = f (x) определена на X и заполняет своими значениями множество Y, причем каждое значение y Y функция принимает только один раз. Тогда на Y можно определить функцию g(y) которая в точке y принимает значение x = g(y) такое, что f (x) = y. Эту функцию называют обратной функцией для функции y = f (x) и обозначают f 1. Таким образом, Периодическая функция Функцию f (x) называют периодической, если существует такое число T, что Периодом периодическойфункции f (x) называют такое число T, что f (x+T ) = f (xT ) = f (x), x. Обычно периодом считают наименьший положительный период.

Пример 2.2. Функции sin x, cos x периодические с периодом 2. Функции tg x, ctg x периодические с периодом.

Назад Неявное задание функции Пусть задано уравнение и пусть для любого x из множества X существует такое y = y(x), что F (x, y(x)) = 0. В ряде случаев найти явное выражение y = y(x) невозможно. Поэтому говорят, что уравнение F (x, y) = 0 определяет неявную функцию y = y(x).

Параметрическое задание функции Пусть на промежутке T заданы функции x = (t), y = (t), причем функция (t) принимает каждое свое значение x только один раз. Тогда на множестве X значений функции (t) существует обратная функция t = 1 (x) и можно определить функцию y = y(x) = (1 (x)). Говорят, что это функция, заданная параметрически уравнениями Пример 2.3. Пусть x = cos t, y = sin t, t [0, ]). Эти уравнения задают множество точек верхней полуокружности окружности x2 + y 2 = 1.

Назад 2.2.2 Предел функции Окрестности точки Окрестностью точки a называют всякий интервал Ua = (,, ) содержащий точку a.

Если из окрестности Ua точки a удалить саму точку a, то получим множество Ua, называемое проколотой окрестностью точки a.

Точку a R называют предельной точкой множества X, если X Ua = для любой проколотой окрестноa точки a..

сти U Предел функции в точке Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Число A называют пределом функции в точке a, если При этом используют обозначения При определении предела функции в точке a значение функции в этой точке не рассматриваются. Более того, точка a может не принадлежать области определения функции.

Критерий Гейне. Понятие предела функции тесно связано с понятием предела последовательности.

Теорема 2.1. Пусть функция y = f (x) определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Предел функции в точке a существует и равен A тогда и только тогда, когда для любой Назад последовательности (xn ) со свойствами: xn a, xn X при любом n, xn = a соответствующая последовательность значений функции (yn ) = (f (xn )) имеет предел A.

Критерий Гейне позволяет перенести основные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Свойства пределов Свойство 1. Функция в точке может иметь только один предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если допустить, что функция y = f (x) имеет в точке a два различных предела lim f (x) = A и lim f (x) = B, то любая последовательность со свойствами: xn a, xn X, xn = a при любом n, должна на основании критерия Гейне 2.1 иметь два предела A и B, что невозможно.

Пусть существуют пределы lim f (x) и lim g(x).

Свойство 2. lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x).

вательность со свойствами xn a, xn X xn = a на основании критерия Гейне 2.1(необходимость) имеем:

h(xn ) = f (xn ) + g(xn ) A + B. На основании критерия Гейне (достаточность) h(x) = f (x) + g(x) A + B.

Аналогично доказываются другие свойства пределов функций.

Свойство 3. Если lim f (x) = A, lim g(x) = B, то lim (f (x) + g(x) = A + B.

Свойство 4. Если lim f (x) = A, lim g(x) = B, то lim (f (x) · g(x)) = A · B.

Свойство 6. Если f (x) g(x) при любом x и lim f (x) = A, lim g(x) = B, то A B.

Назад Односторонние пределы Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Число A называют пределом функции в точке a справа если При этом используют обозначения или f (x) A при x a + 0. Это означает, что при вычислении предела в точке a рассматривают только Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Число A называют пределом функции в точке a слева если При этом используют обозначения или f (x) A при x a 0. Это означает, что при вычислении предела в точке a рассматривают только Если предельная точка a = 0, то предел справа обозначают lim f (x) = f (+0) = A или f (x) A при Назад x +0, а предел слева lim f (x) = f (0) = A или f (x) A при x 0.

Функцией Хевисайда 1(x) называют функцию, определяемую по правилу:

Пример 2.4. Рассмотрим функцию Хевисайда f (x) = 1(x). Для этой функции имеем: f (0) = 0, f (+0) = 1. Следовательно, функция Хевисайда не имеет предела в точке 0.

Пределы на бесконечности Если область определения функции содержит какой-либо интервал (a, +), то можно рассматривать предел при x +.

Говорят, что lim f (x) = A, если Аналогично определяют предел при x функции, область определения которой содержит какой-либо интервал (, a).

Говорят, что lim f (x) = A, если Назад Бесконечные пределы Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Говорят, что предел функции в точке a равен +, если При этом используют обозначения lim f (x) = + или f (x) + при x a..

Аналогично определяют предел, равный.

Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Говорят, что предел функции в точке a равен, если При этом используют обозначения lim f (x) = или f (x) при x a..

Замечание 2.2. При вычислении предела функции f (x) в точке a прежде всего подставляют значение x = a в формулу f (x). Если функция f (x) элементарная и точка a принадлежит области определения функции, то полученное при подстановке число и является пределом функции в этой точке.

Назад 2.2.3 Неопределенности При вычислении пределов трудность представляют случаи, когда исследуемая функция в предельной точке представляет собой так называемую неопределенность. Рассмотрим подробнее такие случаи.

Если u(x) 0 и v(x) 0 при x a, то выражение при x a представляет собой неопределенность Если u(x) и v(x) при x a, то выражение при x a представляет собой неопределенv(x) ность [ ].

Если u(x) 0, а v(x) при x a, то выражение u(x) · v(x) при x a представляет собой неопределенность [0 · ].

Если u(x) 0, а v(x) при x a, то выражение v(x)u(x) при x a представляет собой неопределенность [0 ].

Если u(x) 0 и v(x) 0 при x a, то выражение v(x)u(x) при x a представляет собой неопределенность [00 ].

Если u(x), а v(x) 1 при x a, то выражение v(x)u(x) при x a представляет собой неопределенность [1 ].

Если u(x) и v(x) при x a, то выражение u(x) v(x) при x a представляет собой неопределенность [ ].

Назад 2.2.4 Замечательные пределы Замечательный тригонометрический предел Предел называют замечательным тригонометрическим пределом. Обобщением этого замечательного предела является где (x) 0 при x a. Заметим, что числитель и знаменатель функции стремятся к 0 при x 0, т.е. функция при x a представляет собой неопределенность [ ]..

Пример 2.6. lim = 1. Здесь использован замечательный тригонометрический предел, в котором (x) = x 1 0 при предел, в котором (x) = x 1 0 при x 1.

Назад Замечательный показательно-степенной предел Предел называют замечательным показательно-степенным пределом. Обобщением этого замечательного предела является где (x) 0 при x a. В этом случае (1 + (x)) в котором (x) = x + 1 0 при x 1.

Замечательный показательный предел Предел называют замечательным показательным пределом. Обобщением этого замечательного предела является Назад Пример 2.9. lim = lim =. Здесь использован замечательный показательный предел, в котором (x) = Замечательный логарифмический предел Предел называют замечательным логарифмическим пределом. Обобщением этого замечательного предела является логарифмический предел, в котором (x) = x 1 0 при x 1.

Назад Замечательный степенной предел Предел называют замечательным степенным пределом. Обобщением этого замечательного предела является котором (x) = x2 0 при x 0.

Назад 2.2.5 Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Пусть функция f (x) определена на интервале X и x0 X.

Говорят, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если Это означает В силу замечания 2.2, помещенного в параграфе о пределе функции, всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке из области определения.

Односторонняя непрерывность Говорят, что функция f (x) непрерывна справа в точке x0, если f (x0 + 0) = f (x0 ), т.е. если предел функции справа в точке x0 совпадает со значением функции в этой точке. Это означает, что Назад Аналогично определяют непрерывность слева.

Говорят, что функция f (x) непрерывна слева в точке x0, если т.е. если предел функции слева в точке x0 совпадает со значением функции в этой точке. Это означает, что Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна и слева, и справа в этой точке.

Пример 2.12. Рассмотрим функцию Хевисайда Для этой функции имеем: f (0) = 0, f (+0) = 1, f (0) = 1. Следовательно, функция Хевисайда в точке 0 непрерывна справа и не является непрерывной слева, и, следовательно, не является непрерывной в точке 0.

Непрерывность композиции функций Теорема 2.2. Пусть задана композиция функций y = h(t) = f (g(t)). Если функция g непрерывна в точке t0 и функция f непрерывна в точке x0 = g(t0 ), то функция h = f g непрерывна в точке t0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое 0. Так как f непрерывна в точке x0, то 0, такое, что для всех x, |x x0 |, выполняется неравенство |f (x) f (x0 |. Поскольку g непрерывна в точке t0, то 0, такое, что для t, а поэтому |f (g(t)) f (x0 )|, т.е. |h(t) h(t0 )|. Таким образом, что означает непрерывность функции h в точке t0.

Назад Локальные свойства непрерывных функций Свойства функции, имеющие место в окрестности (может быть очень маленькой) рассматриваемой точки, называют локальными свойствами функции.

Приведем основные теоремы о локальных свойствах непрерывных функций.

Теорема о локальной ограниченности. Пусть f (x) определена на множестве, содержащем точку x0.

Теорема 2.3. Если функция f (x) непрерывна в точке x0, то существует окрестность этой точки, в которой функция ограничена, т.е. Ux0, и m, M R такие, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения непрерывности функции в точке x0, следует, что для всех x из окрестности Ux0 = (x0, x0 + ) точки x0 значения функции удовлетворяют условиям Теорема о локальном сохранении знака. Пусть f (x) определена на множестве, содержащем точку x0.

Теорема 2.4. Если функция непрерывна в точке x0, и f (x0 ) = 0, то существует окрестность этой точки, в которой функция принимает значения, знак которых совпадает со знаком f (x0 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (x0 ) 0. B определении непрерывности функции в точке x0, положим. Тогда следует, что для всех x из окрестности Ux0 = (x0, x0 + ) точки x0 значения функции удовлетворяют условиям Для случая f (x0 ) 0 доказательство проводится аналогично.

Назад Непрерывность функции на множестве Говорят, что функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Говорят, что функция непрерывна на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), непрерывна слева в точке b и непрерывна справа в точке a.

Говорят, что функция непрерывна на полуинтервале [a, b), если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), и непрерывна справа в точке a.

Аналогично определяют непрерывность на полуинтервале (a, b].

Множество всех непрерывных на X функций обозначают CX. Например, C[a,b] - множество всех функций, непрерывных на отрезке [a, b].

Теорема о промежуточном значении Теорема 2.5. Если непрерывная на отрезке функция принимает значения разных знаков на концах отрезка, то она принимает на отрезке и значение 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b] и, для определенности, f (a) 0, f (b) 0.

же f (c0 ) = 0, то функция принимает на концах одного из отрезков [a, c0 ] или [c0, b] значения разных знаков.

Обозначим этот отрезок [a1, b1 ]. Его длина d1 =. Обозначим c1 = Если же f (c1 ) = 0, то функция принимает на концах одного из отрезков [a, c1 ] или [c1, b] значения разных знаba ков. Обозначим этот отрезок [a2, b2 ]. Его длина d1 = и продолжим построения. В результате либо будет построена точка cn = следовательности (an ) и (bn ) имеют общий предел. Обозначим этот предел c. Так как f (an ) 0 и f (bn ) 0 и Назад т.е. c = c.

Теорема 2.6. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке все промежуточные значения. (Это значит, что если функция принимает на отрезке значения y1 и y2, то она принимает на этом отрезке и любое значение y, расположенное между y1 и y2.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть непрерывная функция f (x) принимает на отрезке значения y1 и y2, в точках x1 b x2 соответственно и y - произвольное число, расположенное между y1 и y2. Рассмотрим функцию g(x) = f (x) y. Эта функция непрерывна на отрезке [y1, y2 ] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. На основании теоремы о прохождении через нуль 2.5 существует такая точка c [y1, y2 ], что g(c) = 0, т.е. f (c) = y.

Экстремальные значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции на множестве X обозначают соответственно Эти значения называют экстремальными значениями функции.

Теоремы Вейерштрасса. Для функции, непрерывной на отрезке, справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.7. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свои экстремальные значения.

Пример 2.13. Функция f (x) = x2, x [1, 3) имеет который достигается в точке x = 1, и не имеет Назад Функция непрерывна, но задана на полуинтервале, а не на отрезке.

Пример 2.14. Функция f (x) = x2, x [1, 3) и f (3) = 5, определенная на отрезке[1, 3], имеет который достигается в точке x = 1, и не имеет Функция задана на отрезке, но не является непрерывной на отрезке, так как f (3) = 5, а f (3 0) = 9..

Теорема 2.8. Множеством значений непрерывной функции, заданной на отрезке, является отрезок.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b]. На основании теоремы Вейерштрасса 2. функция принимает на этом отрезке свое минимальное значение m и свое максимальное значение M и, на основании теоремы о промежуточном значении 2.6 принимает на этом отрезке и любое значение из отрезка [m, M ].

Равномерная непрерывность В определении непрерывности функции в точке x0 из множества X величина зависит не только от, но и от x0.

Однако в ряде случаев существует одно и то же число для всех x X. В таких случаях говорят, что функция равномерно непрерывна на множестве X.

Функцию f (x) называют равномерно непрерывной на множестве X, если Равномерно непрерывная на множестве X функция непрерывна в каждой точке этого множества. Обратное не верно.

Пример 2.15. Функция f (x) = cos элементарная и следовательно, непрерывна на интервале (0, 1). Однако Назад Тогда Значит функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).

Вместе с тем справедлива следующая теорема.

Теорема 2.9 (Кантора). Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке.

Точки разрыва Непрерывность функции f (x) в точке x0 означает, что Это предполагает выполнение следующих четырех условий (каждое из них сильнее предыдущего).

1. Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) существуют.

2.Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) конечны.

Говорят, что точка x0 является точкой разрыва функции f (x), если нарушены условия или, что то же самое, нарушены какие либо из условий 1. Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) существуют.

2.Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) конечны.

3. f (x0 0) = f (x0 + 0).

Говорят, что точка x0 является точкой неопределенности функции f (x), если хотя бы один из пределов f (x0 0), f (x0 + 0) не существует.

Назад Пример 2.16. Функция f (x) = cos определена в проколотой окрестности точки 0. Последовательность точек xn = сходится к точке 0, а последовательность значений функции yn = cos xn = cos n = (1) существует правосторонний предел f (+0). Следовательно, точка 0 является точкой неопределенности для функции cos.

Говорят, что точка x0 является точкой бесконечного скачка функции f (x), если оба предела f (x 0), f (x0 + 0) существуют, но хотя бы один из них бесконечен.

Пример 2.17. Функция f (x) = e x определена в проколотой окрестности точки 0. Эта функция имеет односторонние пределы f (0) = 0, f (+0) = +. Следовательно, точка 0 является точкой бесконечного скачка для этой функции.

Говорят, что точка x0 является точкой конечного скачка функции f (x), если оба предела f (x0 0), f (x0 +0) существуют и конечны, но f (x0 0) = f (x0 + 0).

Пример 2.18. Функция Хевисайда имеет односторонние пределы f (0) = 0, f (+0) = 1. Следовательно, точка 0 является точкой конечного скачка для этой функции.

Говорят, что точка x0 является точкой устранимого разрыва функции f (x), если оба предела f (x 0), f (x0 + 0) существуют, конечны, равны но f (x0 0) = f (x0 + 0) = f (x0 ).

Точку конечного скачка и точку устранимого разрыва называют точками разрыва первого рода.

Точку бесконечного скачка и точку неопределенности называют точками разрыва второго рода.

Пример 2.19. Рассмотрим функцию f (x) = 1(x) + 1(x), где 1(x) - функция Хевисайда. Эта функция имеет односторонние пределы f (x0 0) = f (x0 + 0) = 1, но f (0) = 2. Следовательно, точка 0 является для этой функции точкой устранимого разрыва.

В случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки x0 и не определена в самой этой точке, также принято считать x0 точкой разрыва. Классификация таких точек проводится по такой же схеме.

Функцию называют кусочно-непрерывной на промежутке X, если она имеет на этом промежутке конечное число точек разрыва и все они являются точками разрыва первого рода.

Назад Сравнение функций Функцию f (x) называют локально ограниченной если существует такое число M, что |f (x)| M для любого x из проколотой окрестности точки a. При этом используют обозначение f (x) = O(1) при x a.

Если lim f (x) = 0, то функцию f (x) называют бесконечно малой функцией при x a.

Если lim Если lim = 0, то говорят, что f (x) является функцией большего порядка, чем g(x). При этом испольg(x) зуют обозначение: f (x) = o(g(x)) при x a.

Локально эквивалентные функции. Пусть функции f (x) и g(x) определены в окрестности точки a.

= 1, то говорят, что f (x) и g(x) - эквивалентные функции при x a. При этом используют Если lim обозначение f (x) g(x) при x a. Отметим, что, если f (x) A при x a, то f (x) A.

Теорема 2.10 (Критерий эквивалентности функций). Функции f (x) и g(x) эквивалентныпри x a тогда и только тогда, когда f (x) = g(x) + o(g(x)).

(x) 0 при x a. Следовательно, f (x) = g(x) + g(x) · (x) причем h(x) = g(x) · (x) = o(g(x)), так как h(x) g(x) Это означает, что f (x) g(x).

Назад При x a наиболее простыми бесконечно малыми функциями являются степенные функции, т.е. функции вида C(x a). В частности при x 0 справедливы следующие формулы:

Доказать эти формулы можно, используя замечательные пределы.

При вычислении пределов можно заменять множители эквивалентнымиим функциями. Точнее, справедлива следующая теорема.

ется аналогично.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад 2.2.6 Дифференцируемость функции одной переменной Дифференцируемость функции в точке Рассмотрим функцию y = f (x), определенную на интервале X. В точке x0 X дадим переменной x приращение x так, чтобы точка x0 + x X.

Величину y = f (x0 + x) f (x0 ) называют приращением функции y = f (x), которое вызвано приращением ее аргумента x.

Если y 0 при x 0, то функция непрерывна в точке x0.

Говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0, если существует число A (зависящее, вообще говоря, от x0 ), такое, что Теорема 2.12 (Непрерывность дифференцируемой функции).

Дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0, то y = A · x + o(x) 0 при Число A (см. дифференцируемость функции) называют производной функции в точке x0 и обозначают символами Из определения дифференцируемости следует, что x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад сторонние производные.

Правосторонний предел называют правосторонней производной функции f (x) в точке x0 и обозначают f+ (x0 ).

Левосторонний предел называют левосторонней производной функции f (x) в точке x0 и обозначают f (x0 ).

Функция дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда В этом случае Функцию y = f (x) называют дифференцируемой на интервале X = (a, b), если в каждой точке x X существует производная f (x).

Правила дифференцирования Теорема 2.13 (Правила дифференцирования). Пусть u = u(x), v = v(x) дифференцируемые функции и C постоянная.Тогда x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Если h(x) = u(x) · v(x), то h = (u + u)(v + v) uv = vu + uv и при x 0 получаем Производная произведения нескольких дифференцируемых функций получается повторным применением формулы дифференцирования произведения двух функций:

и т.д.

Производная композиции.

Теорема 2.14 (Дифференцирование композиции). Пусть задана композиция функций y = h(t) = (f g)(t) = f (g(t)). Если функция x = g(t) дифференцируема в точке t и функция y = f (x) дифференцируема точке x = g(t), то функция y = h(t) = (f g)(t) = f (g(t)) дифференцируема точке t и x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция y = f (x) дифференцируема в точке x. Поэтому y = f (x)x + (x)x, где (x) 0 при x 0.

Функция x = g(t)дифференцируема в точке t. Поэтому x = g (t)t + (t)t, где (t) 0 при t 0.

Поэтому где (t) = f (g(t))(t) + (x)(g (t) + (x)(t).

Функция x = g(t) дифференцируема, и значит непрерывна (см.??.)Поэтому x 0 при t 0 и, следовательно, (x) 0 при t 0. Отсюда следует, что (t) 0 при t 0.

Таким образом, y = f (g(t))g (t)t + (t)t = f (g(t))g (t)t + o(t). Значит функция y = f (g(t)) дифференцируема и (f (g(t)) = f (g(t))g (t).

Производная обратной функции.

Теорема 2.15. Пусть функция y = f (x) имеет обратную функцию x = g(y) = f 1 (y). Если f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) = 0, то обратная функция дифференцируема в точке y0 = f (x0 ) и Производные основных элементарных функций Теорема 2.16 (Производная x). x = 1.

Теорема 2.17 (Производная степени). (xm ) = mxm1.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад при x 0. Здесь использован замечательный степенной предел.

Теорема 2.18 (Производная экспоненты). (ex ) = ex.

при x 0. Здесь использован замечательный показательный предел.

Теорема 2.19 (Производная показательной функции). (ax ) = ax · ln a.

при x 0. Здесь использован замечательный логарифмический предел.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Теорема 2.22 (Производная синуса). (sin x) = cos x.

при x 0. Здесь использован замечательный тригонометрический предел.

Теорема 2.23 (Производная косинуса). (cos x) = sin x.

при x 0. Здесь использован замечательный тригонометрический предел.

Здесь использованы ?? правила дифференцирования дроби.

Теорема 2.25 (Производная котангенса). (ctg x) = 2.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Здесь использованы ?? правила дифференцирования дроби.

Теорема 2.26 (Производная арктангенса). (arctg x) =.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция y = arctg x имеет обратную функцию x = tg y, производная которой x = = 1 + tg2 y = 1 + x2. На основании теоремы о производной обратной функции 2.15 получаем:

(tg y) = Теорема 2.28 (Производная арксинуса). (arcsin x) =.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция y = arcsin x имеет обратную функцию x = sin y, производная которой x = (sin y) = cos y = 1 sin2 y = 1 x2. На основании теоремы о производной обратной функции 2. cos(35x +2x2 )· ln 3 · (35x +2x2 ) · (15x2 + 2).

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Таблица производных C = 0.

(sin x) = cos x.

Приращения функции Приращение x аргумента x вызывает приращение y = f (x + x) f (x) функции y = f (x).

Величины и называют относительными приращениями аргумента x и функции y = f (x) соответx y ственно.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Относительное приращение часто выражают в процентах, например, показывает, сколько процентов составляет среднее (на промежутке от x до x + x) относительное приращение функции, если относительное приращение аргумента равно 1 проценту.

Предел называют эластичностью функции y = f (x) по ее аргументу в точке x.

Эластичность функции по ее аргументу в точке x показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении аргумента в точке x на 1 процент.

Если функция f (x) дифференцируема, то эластичность функции можно вычислять по формуле которая следует непосредственно из определения эластичности Основные теоремы о дифференцируемых функциях Точки локального экстремума. Пусть c - точка из области определения функции.

Точку x0 называют точкой локального максимума функции f (x), если существует такая окрестность Ux0, что f (x) f (x0 для любого x Ux0.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Точку x0 называют точкой локального минимума функции f (x), если существует такая окрестность Ux0, что f (x) f (x0 для любого x Ux0.

Точки локального максимума и локального минимума функции называют точками локального экстремума.

Стационарные точки функции. Пусть функция дифференцируема в точке c.

Точка c называется стационарной точкой функции f (x), если f (c) = 0.

Теорема 2.30 (Теорема Ферма). Пусть функция f (x) определена на (a, b) и x0 (a, b) - точка локального экстремума. Если функция дифференцируема в точке x0, то x0 является стационарной точкой функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 точка локального максимума функции f (x). Тогда приращение функции Так как f (x) дифференцируема в точке x0, то Следовательно f (x0 ) = 0.

Теорема 2.31 (Теорема Ролля). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).

Если f (a) = f (b), то на интервале (a, b) существует по крайней мере одна стационарная точка.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании теоремы Вейерштрасса ?? на отрезке [a, b] существуют такие точки x и x, что f (x) = max f (x), f (x) = min f (x). Если f (x) = f (x), то f (x) постоянна на [a, b] и любая точка из (a, b) является стационарной. Если же f (x) = f (x), то хотя бы одна из точек x, x расположена внутри [a, b] и на основании теоремы Ферма 2.30 является стационарной точкой.

Конечные приращения. Пусть функция определена по меньшей мере на отрезке [a, b].

Теорема 2.32 (Теорема Лагранжа). Если функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то на (a, b), существует такая точка c, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим вспомогательную функцию Функция (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f (a) = f (b) = 0, т.е. она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля2.31. Поэтому существует на (a, b) такая точка c, что (c) = 0, т.е.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке с концами a и b и дифференцируема внутри его, то существует такое число (0, 1), что Эту формулу называют формулой конечных приращений. Она является обобщением теоремы Лагранжа2.32. Ее записывают также в виде где - некоторое число из интервала (0, 1).

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Теорема 2.33 (Теорема Коши). Если функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b) и g (x) = 0 на (a, b), то на (a, b), существует такая точка c, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим вспомогательную функцию Функция (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f (a) = f (b) = 0, т.е. она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля2.31. Поэтому существует на (a, b) такая точка c, что (c) = 0, т.е.

Разность g(b)g(a) = 0, иначе, на основании теоремы Ролля, нашлась бы на (a, b) такая точка c1, что g (c1 ) = 0.

Поэтому получаем Правила Лопиталя Пусть X - некоторый промежуток и a предельная точка множества X. Допускаем, что a может быть и + или. Рассмотрим функцию f (x), определенную на множестве X0 = {x|x X, x = a}. Если a - граничная точка промежутка X, то при рассмотрении lim f (x) рассматриваем соответствующий односторонний предел.

Теорема 2.34 (Первое правило Лопиталя). Пусть 2) функции f (x) и g(x) дифференцируемы на X0 ;

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Если существует предел (конечный или бесконечный) Теорема 2.35 (Второе правило Лопиталя). Пусть 2) функции f (x) и g(x) дифференцируемы на X0 ;

Если существует предел (конечный или бесконечный) Пример 2.26. Вычислим lim xsin x = [00 ] = lim esin x·ln x.

Назад x+0 x2 x+ Поэтому lim xsin x = e0 = 1.

Назад 2.2.7 Производные высших порядков Последовательное дифференцирование Для функции y = f (x) производной второго порядка называют производную функции f (x), т.е. (f (x)).

Обозначают f (2) (x), f (x), y (2), y,. Таким образом, Для функции y = f (x) производной порядка n называют производную производной порядка n 1. Обознаdn f dn y Производной нулевого порядка считают саму функцию: f (0) (x) = f (x).

Множество всех функций, имеющих на множестве X непрерывные производные до порядка n включительn) (1) но, обозначают CX. Например,C[a,b] - множество всех функций, производные которых являются непрерывными на [a, b] функциями. При этом считают f (a) = f+ (a), f (b) = f (b).



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 26 |
 
Похожие работы:

«1 2 Содержание Цели и задачи освоения дисциплины. 4 1 Место дисциплины в структуре ООП ВПО. 4 2 Требования к результатам освоения содержания дисциплины. 5 3 Содержание и структура дисциплины (модуля). 7 4 Содержание разделов дисциплины 4.1 Структура дисциплины 4.2 Практические занятия (семинары).. 10 4.3 Лабораторные работы..11 4.4 Курсовой проект (курсовая работа) 4.5 Самостоятельное изучение разделов дисциплины. 12 4.6 Образовательные технологии 5 Интерактивные образовательные технологии,...»

«ЦКП Материаловедение и диагностика в передовых технологиях при ФТИ им. А.Ф. Иоффе МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ГЛУБОКИХ УРОВНЕЙ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ Определение концентрации, энергии ионизации и сечения захвата дефектов с глубокими уровнями методом нестационарной спектроскопии глубоких уровней. Методические указания к лабораторным работам по диагностике материалов Санкт-Петербург 2010 Оглавление: Метод измерения 3 Установка для проведения измерений 10 Подготовка образцов к проведению...»

«Министерство образования Российской Федерации Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра физического воспитания РАЦИОНАЛЬНОЕ ПИТАНИЕ СПОРТСМЕНОВ Методические указания для преподавателей и студентов, занимающихся спортом Составители Ю.Е. Горбунов, П.М. Гатилов Омск Издательство СибАДИ 2003 1 УДК 613.2: 796 ББК 75.081 Рецензент канд. пед. наук, доцент кафедры физвоспитания ОГИС В.И. Карпенко Работа одобрена методической комиссией кафедры. Рациональное питание...»

«Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра Управление эксплуатационной работой Г.В. Санькова, Т.А. Одуденко ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПЕРЕВОЗОЧНОМ ПРОЦЕССЕ Рекомендовано Методическим советом ДВГУПС в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ДВГУПС 2012 УДК...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Анализ данных, обучение по прецедентам, логические игры, системы WEKA, RapidMiner и MatLab (ПРАКТИКУМ НА ЭВМ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Дьяконов А.Г. Москва, 2010 г. Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова Рецензенты: Ю.И. Журавлёв, д.ф.-м.н., профессор,...»

«МАТЕРИАЛЫ КОНФЕРЕНЦИИ 73 УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ Приложение Интернет-ресурсы содержит ссылки на ведущие электронные ресурсы Панов Б.В., Шабалов В.А., Юрлов Ю.Н. наук и управления персоналом. Филиал СПбГИЭУ, Череповец, Дистрибутивы электронного учебника и деe-mail: chereng@rambler.ru мо-версия доступны на официальном сайте: www.chereng.ru. Особенности: Весь материал разбит на отдельные блоки – разделы, которые охватывают целостный круг во- БИЗНЕС-ПЛАН просов, объединенных по критерию направление...»

«Диабетическая автономная нейропатия: распространенность, патогенез, диагностика, лечение, прогноз Методические рекомендации Составители: проф. Верткин А.Л., проф.Ткачева О.Н., доц. Торшхоева Х.М., врач Подпругина Н.Г., врач Работинская Е.Г., врач Новикова И.М, врач Тамкаева М.Х.. 1. Распространенность диабетической нейропатии Данные о распространенности диабетической нейропатии (ДН) вариабельны, что зависит от методологического подхода. Установлено, что частота поражения нервной системы при...»

«УВКБ ООН Учебное пособие УВКБ ООН по защите для должностных лиц европейских пограничных служб и систем въезда Киев, 2012 Введение 1. Назначение учебного пособия и цели обучения Это учебное пособие предназначено для обеспечения обучения должностных лиц европейских погра­ ничных служб и систем въезда в области прав беженцев в контексте смешанных миграционных пере­ мещений. Оно рассчитано на использование персоналом европейских органов пограничного контроля, а также сотрудниками и национальными...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГЕОЛОГИИ для студентов специальностей 270205 и 270201 Омск • 2011 30 Министерство образования и науки РФ ГОУ ВПО Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра инженерной геологии, оснований и фундаментов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ УЧЕБНОЙ ПРАКТИКИ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГЕОЛОГИИ для студентов специальностей 270205 и 270201 Составитель О.В.Тюменцева Омск СибАДИ УДК 624. ББК 26. Рецензент канд. техн....»

«ГРАФИК учебного процесса студентов 4 у курса 210404 (МТС) по состоянию на 02.04. 2009 г. N Наименование учебников, Число Выставлено учебных пособий экземпляров в на сайте вуза, пп и УМР по дисциплине, НТБ и кафедры (да/нет) год издания на кафедре Автоматические междугородные телефонные станции 1 195 Автоматическая коммутация: Учебник./ О.Н. Иванова, М.Ф. Копп, З.С. Коханова и др. Под ред. О.Н. Ивановой.-М.: Радио и связь,1988.-624 с. 2 Бавина Н.М. Автоматическая коммутация: Учебное пособие.-М.,...»

«Указания к выполнению задания “Проекционное черчение. Работа 1 (продолжение)” по курсу инженерной графики с применением компьютерных технологий Представленные учебно-методические материалы являются частью учебного пособия (монографии): А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский, И.В. Буторина, Е.П. Дубовикова. 3D-технология построения чертежа. AutoCAD. Учебное пособие. Под редакцией А.Л. Хейфеца. 3-е издание, переработанное и дополненное. Санкт-Петербург. БХВ-Петербург. 2005. Глава 3. Виды, простые разрезы,...»

«СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ БУХГАЛТЕРСКИЙ УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 080109.65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Новосибирск 2008 Кафедра бухгалтерского учета Бухгалтерский управленческий учет : методические указания к выполнению курсовой работы / [cост.: канд. экон. наук, доц. Ж.Г. Мамаева, канд. экон. наук, доц. В.И. Нитяго]. – Новосибирск : СибУПК, 2008. – 52 с. Рецензенты: канд. экон. наук, доцент...»

«УДК 51(075.8) ББК 22.1я73 МИНОБРНАУКИ РОССИИ У 91 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА (ФГБОУ ВПО ПВГУС) Кафедра Высшая математика Рецензент к.п.н., доц. Киричек Г. А. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине Математика. Элементы высшей математики для студентов всех специальностей СПО. Раздел Элементы теории рядов и дифференциальных уравнений Учебно-методическое пособие по...»

«ЗАОЧНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ШКОЛА ПРИ СИБИРСКОМ ФЕДЕРАЛЬНОМ УНИВЕРСИТЕТЕ МАТЕМАТИКА АДАПТАЦИОННЫЙ КУРС Учебное пособие Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия по дисциплине вузовского компонента Математика. Адаптационный курс для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности ВПО 010101 Математика, направлениям 010100 Математика, 010300 Математика. Компьютерные науки Красноярск ИПК СФУ 2009 УДК 51(075) ББК 22.1я73 K97...»

«Областное государственное бюджетное образовательное учреждение Среднего профессионального образования Томский индустриальный техникум Согласованно: Утверждаю: Председатель ЦК Зам. директора по УМР Е.А. Терентьева _ 2013г. 2013г. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников ОГБОУ СПО ТомИнТех по дисциплине: Документационное обеспечение управления Заочное отделение Разработчик: Лобазникова Елена Капитоновна Томск – 2013г. Документационное обеспечение управления - программа...»

«1 2 Содержание 1 Цели и задачи освоения дисциплины. 2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО. 3 Требования к результатам освоения содержания дисциплины 4 Содержание и структура дисциплины (модуля). 4.1 Содержание разделов дисциплины 4.2 Структура дисциплины 4.3 Лабораторные работы.. 4.4 Практические занятия (семинары)..10 4.5 Расчетно-графическая работа 4.6 Самостоятельное изучение разделов дисциплины.11 5 Образовательные технологии 5.1 Интерактивные образовательные технологии, используемые в...»

«Управление образования и науки Тамбовской области Тамбовское областное государственное образовательное автономное учреждение дополнительного профессионального образования Институт повышения квалификации работников образования Тамбовское областное государственное бюджетное учреждение Межрегиональный центр возрождения духовно-нравственного наследия Преображение Формирование системы духовно-нравственного развития и воспитания детей и молодежи в образовательных учреждения всех видов и типов...»

«ФГОС ДЕТЯМ РАЗНЫХ ВОЗРАСТНЫХ ГРУПП СЕРИЯ МОЗАИКА РАЗВИТИЯ ДОШКОЛЬНОГО Комплект книг-пазлов, являющихся книгами-играми, и методических посоОБРАЗОВАНИЯ бий по организации развивающей деятельности с дошкольниками в игровой, занимательной форме с элементами конструирования. В комплект входят: для младшей группы — 9 книг-пазлов и 1 методическое пособие; для средней группы — 9 книг-пазлов и 1 методическое пособие; для старшей группы — 9 книг-пазлов и 1 методическое пособие; для подготовительной к...»

«ДЕЛОВЫЕ КОММУНИКАЦИИ Методические указания и задания по выполнению контрольной работы по дисциплине Деловые коммуникации для студентов заочной формы обучения направление подготовки 080200.62 Менеджмент, профиль Производственный менеджмент, профиль Логистика Омск СибАДИ 2012 Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное Учреждение высшего профессионального образования Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Менеджмента...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет ТЕХНОЛОГИЯ ОКРАШИВАНИЯ И ПЕЧАТИ Методические указания к лабораторным работам 2010 Составители: проф. Р.М. Гарипов доц. А.А.Ефремова Технология окрашивания и печати: метод. указания к лабораторным работам / Гарипов Р.М., Ефремова А.А.; Федеральное агентство по образованию. Казанский государственный технологический...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.