WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Министерство образования Российской Федерации

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА

им. И.М. ГУБКИНА

Кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования

Э.П. Чен-Син, Л.Н. Панюшева

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО КУРСУ

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

МОСКВА 2004 Министерство образования Российской Федерации

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА

им. И.М. ГУБКИНА Кафедра прикладной математики и компьютерного моделирования Э.П. Чен-Син, Л.Н. Панюшева

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО КУРСУ

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров и магистров по направлению 553600 “Нефтегазовое дело”, а также для подготовки дипломированных специалистов по специальностям 090600 “Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений”, “Проектирование, сооружение и эксплуатация газонефтепроводов и газонефтехранилищ” и 090800 “Бурение нефтяных и газовых скважин” направления 650700 “Нефтегазовое дело” МОСКВА УДК 681.3:622.691.4+681.3:622.692. Чен-Син Э.П., Панюшева Л.Н. Методические указания к лабораторным работам по курсу Компьютерное моделирование: Учебное пособие. – М.: РГУ нефти и газа, 2004. –92 с.

В данном пособии приводятся задания к лабораторным работам по вариантам в виде технологических задач, требующих решения на компьютере с применением известных численных методов. Для облегчения усвоения материала и лучшего понимания сути применяемых методов решения каждая тема предваряется описанием метода и примерами расчетов.

Авторы выражают благодарность профессору Лурье М.В. за помощь в подборе предлагаемых студентам технологических задач.

Пособие ориентировано на студентов, изучающих проблемы транспорта нефти и газа, но может с успехом быть использовано и студентами других специальностей, изучающих применение численных методов для решения проблем нефтегазового дела.

Утверждено Советом факультета А и ВТ в качестве учебного пособия.





Рецензенты – Е.В. Гливенко, д.т.н., проф. каф. ПМ и КМ РГУ нефти и газа им.

И.М. Губкина, Т.М. Александриди, проф. каф. АСУ МАДИ © Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина, 1. Погрешности вычислений 1.1. Основные определения и свойства Все вычисления, проводимые при решении какой-либо задачи, страдают приближенностью. Это происходит потому, что используемые в этих вычислениях величины несут в себе неточность измерения, определяемую единицей измерения прибора, а также потому, что в процессе вычисления могут производиться округления величин, приводящие также к накоплению погрешности вычисляемых величин. Это надо обязательно учитывать, чтобы всегда иметь представление о величине ошибки полученного результата.

Различают два вида погрешностей – абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторой величины равна разности между ее истинным значением и приближенным значением, полученным в результате измерения или вычисления. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения величины.

Таким образом, если а – приближенное значение величины х, то выражения для абсолютной и относительной погрешностей запишутся соответственно в виде Но так как истинное значение величины х обычно неизвестно, то за величину абсолютной погрешности значения а принимают предельную погрешность а, равную верхней оценке модуля абсолютной погрешности, т.е.

x a. В этом случае истинное значение х находится в интервале (а – а, а +а). Аналогично поступают с относительной погрешностью.

Исходя из полученных определений погрешностей, можно доказать несколько свойств их, полезных для оценок погрешностей величин, полученных в результате арифметических операций над приближенными значениями.

(В приводимых ниже формулах договоримся оценку абсолютной погрешности величины а обозначать а, а оценку относительной погрешности этой же величины как а.) Вот эти свойства:

1. Оценка абсолютной погрешности суммы или разности двух приближенных величин равна сумме оценок их абсолютных погрешностей 2. Если k – точное значение сомножителя некоторой приближенной величины а, то оценка абсолютной погрешности произведения ka равна умноженной на k оценке абсолютной погрешности данной величины 3. Оценка относительной погрешности произведения или частного двух приближенных величин равна сумме оценок их относительных 4. Оценка относительной погрешности приближенной величины, возведенной в степень, равна произведению оценки относительной погрешности этой величины на показатель степени 5. Если k – точное значение сомножителя некоторой приближенной величины, то оценка относительной погрешности произведения равна оценке относительной погрешности данной величины 6. Оценка относительной погрешности приближенной величины равна приближенного значения этой величины 7. Если известна оценка относительной погрешности величины, то оценку абсолютной погрешности ее можно найти, умножив оценку относительной погрешности на модуль приближенного значения 1.2. Пример Пусть необходимо вычислить значение величины y,а также оценить погрешность этого вычисления. При этом известны оценки абсолютных погрешностей используемых в вычислении величин Тогда проделаем следующие расчеты:





= 0.003386 + 0.4 + 0.2 = 0. y = y y = 0.301693 16.838052 = 5. 1.3. Лабораторная работа № Оценка погрешностей результата вычислений Оценить абсолютную и относительную погрешности результатов вычисления выражений ( V, S, Y ), если известны оценки абсолютных погрешностей измерения участвующих в выражениях величин:

2.1. Общие сведения Мы рассмотрим здесь лишь некоторые наиболее используемые методы решения нелинейных уравнений. Эти методы относятся к итерационным сходится к решению уравнения F ( x) = 0.

достигается заданная точность полученного результата. Говоря о точности, можно требовать получения такого приближения корня уравнения, что модуль значения функции F (x) отличается от нуля не больше, чем на заданную малую величину, т.е. F ( xn ).

А можно требовать локализации самого корня уравнения на отрезке так, чтобы ошибка определения корня была не больше, т.е. остановка будет производиться при нахождении такого отрезка [an, bn ], содержащего корень, что длина его будет не больше 2. Тогда, взяв в качестве корня середину этого отрезка, можно быть уверенным, что истинный корень уравнения 2.1.1. Метод хорд Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция F (x) непрерывна в некоторой окрестности корня уравнения.

Для начала ищется отрезок [a1,b1 ] в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ, являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.

Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ. Назовем эту точку х1. Затем определяется, на каком из отрезков [a, x ] или [x1,b1 ] лежит корень уравнения. Если F (a1 ) F ( x1 ) 0, то корень лежит на отрезке [a1, x1 ] и x1 становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а a1 – левым концом этого отрезка. При этом производят переименование a2 = a1 и b2 = x1.

левым концом нового отрезка локализации корня, а b1 – правым концом этого отрезка, т.е. a2 = x1 и b2 = b1.

Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки x2. Остановка производится при нахождении отрезка [an, bn ], длина которого не больше 2. Тогда в качестве корня берут середину этого отрезка.

Этот процесс можно увидеть на рис.1.

Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:

2.1.2. Метод касательных Ньютона Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции F (x) :

1) На найденном отрезке локализации корня [a, b] F (x) должна иметь единственный корень и значения функции на концах этого отрезка 2) F (x) должна иметь непрерывную вторую производную на этом 3) Кроме того, на отрезке [a, b] вторая производная функции F (x) должна сохранять свой знак.

Тогда в качестве начального приближения корня выбирается x 1 по следующему правилу:

Затем в точке с абсциссой x 1 строится касательная к графику функции F (x). Точка пересечения этой касательной с осью ОХ берется в качестве следующего приближения корня x2. И так процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность.

Если достаточно получить точку, в которой F (x) не превышает по модулю заданное число, то производят остановку при выполнении этого условия.

Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на, то процесс останавливают тогда, когда выполняется следующее условие:

Процесс можно увидеть на рис.2.

Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид:

2.1.3. Пример Вычислим с помощью метода хорд корень уравнения x 3 3 x 2 + 9 x 8 = с точностью функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка a1 = 0. При этом F (a1 ) = 8. В Найдем значение функции в этой точке Проверим, не надо ли прекратить вычисления:

1.668 0.1, значит, точность еще не достигнута.

Найдем второе приближение корня Найдем значение функции в этой точке 0.64 0.1, поэтому продолжаем вычисления.

Т.к. F (b2 ) F ( x2 ) 0, следующим отрезком будет a3 = x2 = 1.06, b3 = b2 = 3. И т.д. до достижения заданной точности.

Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка a = 1.06. Значение функции в этой точке равно F (a ) = 0.64. В качестве правой границы можно взять b = 3.

Значение функции в этой точке равно F (b ) = 19. А значит, выполняется необходимое условие применения метода F (a ) F (b) 0.

Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции: F ( x) = 6 x 6 – непрерывная функция.

А также на выбранном отрезке вторая производная функции F (x) не меняет знак. Действительно, F ( x) = 6 x 6 больше нуля на всем отрезке [1.06,3].

Выберем в качестве первого приближения x1 = b, т.к. F (b) F ( x) 0.

Найдем второе приближение корня Значение функции в этой точке равно 5.47 0.1 поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня Значение функции в этой точке равно F ( x 3 ) = 1. 1.59 0.1 поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня = 1.31 (1.313 3 1.312 + 9 1.31 8) /(3 1.312 6 1.31 + 9) = 1. Значение функции в этой точке равно F ( x4 ) = 0. 0.64 0.1.И так далее до достижения точности.

2.2. Лабораторная работа № Решение нелинейного уравнения методом хорд 2.2.1. Задача № Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить коэффициент гидравлического сопротивления при внутренней стенки для заданного числа Рейнольдса Re.

Универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения имеет вид:

Данные по вариантам:

Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, вычислить расход дизельного топлива Q( м 3 / ч ) плотностью перекачке по участку трубопровода длиной L= 125 км, диаметром d = 514 мм и с шероховатостью внутренней стенки = 0.0005, если насосная станция работает с двумя последовательно включенными насосными агрегатами.

Уравнение баланса напоров для участка трубопровода имеет вид:

где hn и hk – подпор перед станцией и напор в конце участка соответственно;

a и b – коэффициенты, определяемые типом и количеством насосов;

z1 и z 2 – высотные отметки сечений трубопровода в начале и в конце участка.

Данные по вариантам:

вар.

Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дерВаальса:

R – универсальная газовая постоянная, T – температура газа, Pc – критическое давление, Tc – критическая температура, V – молярный объем газа.

Воспользовавшись методом хорд для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления P и температуры T.

Величины критических параметров Pc и Tc отдельных газов приведены с следующей таблице:

Газ i-пентан n-гексан Задания по вариантам:

2.3. Лабораторная работа № Решение нелинейного уравнения методом Ньютона 2.3.1. Задача № Вычислить перепад давления p, который необходим для того, чтобы перекачивать с расходом Q по трубопроводу радиусом l = 1 км в ламинарном режиме высоковязкий застывающий мазут плотностью = 870 кг/м 3, если он при выбранной температуре бингамовский пластик с предельным напряжением сдвига 0 и кинематической вязкостью.

Известна формула Букингема, связывающая p и Q:

Вычисления провести, воспользовавшись методом Ньютона для решения нелинейного уравнения.

Задания по вариантам:

2.3.2. Задача № Резервуар для нефти имеет форму лежащего цилиндра радиусом 1м и длиной 3м. Для определения степени заполнения резервуара нефтью в него опускается вертикально в отверстие сверху измерительный стержень.

Необходимо рассчитать шкалу для этого стержня, на которой были бы нанесены отметки о заполнении резервуара в долях q от его полного объема (для q= 0.02; 0.04; 0.06;…; 0.50, т.е. для заполнения на 2%, 4%, 6%, …, 50%).

Для этого надо определить высоты всех указанных уровней заполнения.

Пусть l – длина резервуара, – угол при вершине треугольника, образованного при соединении центра окружности поперечного сечения резервуара и концов линии поверхности жидкости ( рис. 3).

При этом заполненный объем V есть функция угла :

Высота уровня жидкости вычисляется по формуле С другой стороны имеем Из формул (1) и (3) получаем уравнение решая которое методом Ньютона, найдем.

Подставив значение в формулу (2), найдем h.

Каждый студент должен выполнить расчет уровня жидкости h для заданного значения q. Затем вся группа строит искомую шкалу.

Задания по вариантам:

2.3.3. Задача № Состояние реального газа в простейшем случае может быть описано уравнением Редлиха-Квонга:

R – универсальная газовая постоянная, T – температура газа, Pc – критическое давление, Tc – критическая температура, V – молярный объем газа.

Воспользовавшись методом Ньютона для нахождения корня нелинейного уравнения, найти молярный объем данного газа при заданных значениях P и T.

Критические параметры отдельных газов даны в следующей таблице:

Tc, K Pс, МПа Задания по вариантам:

3.1. Основные понятия Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

В ней aij – коэффициенты при неизвестных xj. Решением этой системы называется такой набор значений неизвестных xj, который удовлетворяет системе.

Коэффициенты aij можно записать в виде матрицы (таблицы):

неизвестные в виде вектора x =. Тогда систему можно записать в виде матрично-векторного уравнения Ax = b.

Известно, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырожденная, т.е. det( A) 0 (дискриминант матрицы A не равен нулю).

Для решения таких систем используются как прямые методы, в которых получают точные значения неизвестных после применения заранее известного числа операций, так и итерационные методы, в которых число шагов (итераций) заранее неизвестно, и на каждом шаге получают некоторое приближенное решение системы до тех пор, пока не будет получено решение с нужной точностью.

3.1.1. Метод Гаусса Этот метод относится к прямым методам решения линейных систем. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) и последующем решении этой треугольной системы, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Сначала с помощью первого уравнения исключается x1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается x2 из третьего и всех последующих уравнений и т.д. При этом, если в уравнении с номером k отсутствует неизвестная производится перестановка этого уравнения с любым нижестоящим уравнением, содержащим эту переменную.

Этот процесс называется прямым ходом Гаусса и продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn.

Если на каком-то этапе этого процесса оказывается, что очередной исключаемой переменной уже нет ни в одном из последующих уравнений, то матрица системы является вырожденной, и метод Гаусса в этом случае неприменим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных. Решая последнее уравнение, находят единственное неизвестное xn. Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют xn1 и т.д. Последним находят x1 из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы из трех уравнений:

Для исключения x1 из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него x1.

Получим равносильную систему уравнений вида:

Теперь из третьего уравнения системы (2) нужно исключить x2. Для этого умножим второе уравнение на a32 / a22 и прибавим результат к третьему.

Матрица системы (3) имеет треугольный вид. На этом завершается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, о чем уже говорилось выше, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на a11, a22 и т.д.

Поэтому они должны быть отличны от нуля; в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3):

Используя это значение, можно найти x2 из второго уравнения, а затем x1 из первого:

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с другим числом неизвестных.

3.1.2. Итерационные методы Для применения итерационных методов необходимо предварительно исходную систему уравнений привести к виду:

Этот вид получается, если из первого уравнения выразить x1, из второго x2 и т.д.:

..............

начального приближения к решению системы. Тогда для нахождения x ( m ) = ( x1( m ), x2m ),..., xnm ) ) T, можно применить один из следующих известных методов: метод простой итерации, метод Гаусса-Зейделя, метод верхней релаксации.

1) Метод простой итерации В этом методе коэффициенты вектора x (m ) рассчитываются по формуле:

2) Метод Гаусса-Зейделя В этом методе коэффициенты вектора x (m ) рассчитываются по формуле:

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.

Эти условия являются достаточными, но не необходимыми, т.е. для некоторых систем итерационный процесс сходится и при нарушении этих условий.

Процесс итерационных вычислений прекращают, когда разница между двумя последовательными приближенными решениями становится достаточно Найдем решение следующей линейной системы методом Гаусса:

третьего уравнений. Это можно сделать так, как было описано выше.

Но мы для простоты понимания проделаем это в два этапа. Сначала сделаем коэффициенты перед переменной x1 во всех уравнениях равными единице, поделив каждое уравнение на коэффициент, стоящий перед этой переменной. Т.е. поделив первое на 2, второе на 2, а третье на 4.

Поместив слева схему производимых действий, запишем полученную систему, эквивалентную исходной:

Теперь избавимся от переменной x1 во втором и третьем уравнениях, вычтя из них первое:

Теперь нам нужно с помощью второго уравнения избавиться от переменной x2 в третьем уравнении. Сделаем это тоже в два этапа. Сначала поделим второе уравнение на 0.5, а третье уравнение на -1.75. Получим систему:

Далее преобразуем третье уравнение, вычтя из него второе:

На данном этапе система приведена к треугольному виду. Найдем значения неизвестных, начиная с третьего уравнения.

Сделаем проверку, подставив полученные значения неизвестных в левые части уравнений системы, чтобы убедиться в выполнении условий:

3.1.4. Пример предварительно преобразовав ее так, чтобы выполнялись достаточные условия сходимости.

Имеем систему:

Поставим в ней третье уравнение на первое место, второе уравнение – на третье место, а на втором месте запишем разность второго уравнения и удвоенного первого:

Для такой системы достаточные условия сходимости уже выполняются.

Выразим неизвестные из уравнений, как это предлагается в методе:

Пусть первым приближением решения будет вектор x ( 0 ) = (1,1,1) T. Тогда следующее приближение рассчитаем по полученным формулам:

Таким образом, имеем следующее приближение решения:

x (1) = (0.5, 0.5, 0.625) T. Следующее приближение:

Таким образом, x ( 2 ) = (0.78125, 1, 1.75) T. Далее x23) = (1 + 2 (0.78125)) = 1. x33) = (11 2 (0.78125) 4 1) = 0. Таким образом, x ( 3) = (0.6875, 1.28125, 0.9453125) T.

этом случае, если точность, например, = 0.1, то процесс вычислений останавливается. Если же требуется более точное приближение, то вычисления продолжают.

3.2. Лабораторная работа № Решить систему линейных уравнений Ax = b а) методом Гаусса, б) методом простой итерации.

Данные по вариантам:

4.1. Основные понятия В общем случае систему нелинейных уравнений можно представить в виде:

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (1) можно решить непосредственно. Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. К таким методам относятся метод простой итерации и метод Ньютона.

4.1.1. Метод простой итерации Система уравнений (1) приводится предварительно к следующему виду:

В качестве начального приближения выбирается произвольный вектор Для нахождения последующих приближенных решений используют формулы:

а). Метод Якоби:

где верхний индекс отмечает номер итерации.

В данном случае для расчета координат последующего приближения координаты предыдущего подставляются в формулы (2).

б). Метод Гаусса-Зейделя:

xk m+1) = f k ( x1( m+1), x2m+1),..., xk m1+1), xkm ),..., xnm ) )

xnm+1) = f n ( x1( m+1), x2m+1),..., xnm ) ) В этом методе для расчета каждой следующей координаты xk( m +1) используются уточненные значения предыдущих координат, уже неуточненные оставшиеся координаты: xk( m ), xk( m1),..., xnm ), полученные из предыдущего приближения.

в). Метод верхней релаксации:

где xi( m+1) уточненное значение переменной по Гауссу-Зейделю, w параметр релаксации, 1 w 2.

Достаточное условие сходимости методов простой итерации в области G для любого начального приближения X ( 0 ) G, имеет вид:

Применяется для систем вида (1). Пусть X ( 0 ) = ( x1( 0 ), x20 ),..., xn0 ) ) - начальное приближение корня. Для нахождения последующих приближений используют формулу:

Если det J ( X ) 0, то в достаточно малой окрестности корня X * итерационный процесс сходится. В качестве критерия окончания итераций Рассмотрим отдельно случай двух уравнений с двумя неизвестными и выведем формулы для вычисления.

рекурентную формулу для расчета приближенного решения можно записать в следующем матрично-векторном виде:

Или, после перемножения стоящих справа в этом уравнении матрицы и вектора, имеем:

(Обозначим этот определитель символом (1m ) ), Gx ( X (Обозначим этот определитель символом (2m ) ).

Запишем тогда в наших обозначениях формулы покоординатно:

Решим систему двух нелинейных уравнений методом простой итерации с применением формулы Якоби:

В качестве начального приближения возьмем вектор X ( 0 ) = x ( 0 ) = 0.1.

x ( 2 ) sin(0.197013 + 0.994987) / 1.5 0. x ( 3) sin(0.619407 + 0.980401) / 1.5 0. Посчитаем норму разности двух последних приближений:

X (3) X ( 2 ) = (0.666386 0.619407) 2 + (0.78507 0.980401) 2 = = 0. Если такая точность достаточна, то вычисления прекращают и за искомое x = 0.666386, y = 0.78507. В противном случае расчеты продолжают.

Решим ту же систему методом Ньютона, предварительно записав ее в вблизи искомого решения. Тогда x (1) = x ( 0 ) + (10 ) / ( 0 ) = 0.65 + 0.01923 / 2.30351 = 0. Для следующего приближения:

(1) = 2.24993, (11) = 0.000329, (2) = 0.010784.

Отсюда x ( 2 ) = x (1) + (11) / (1) = 0.658347 0.000329 / 2.24993 = 0. y ( 2 ) = y (1) + (2) / (1) = 0.760279 0.010784 / 2.24993 = 0.755486.

Для третьей итерации:

( 2 ) = 2.23601, (12 ) = 4.49 10 5, (22 ) = 0. y ( 3) = y ( 2 ) + (22 ) / ( 2 ) = 0.755486 0.003817 / 2.23601 = 0.753779.

Сравниваем два последних приближения:

X ( 3) X ( 2 ) = (0.65818 0.6582) 2 + (0.753779 0.755486) 2 = = 0.001707.

Как хорошо видно, метод Ньютона дает более быструю сходимость по сравнению с методом простой итерации.

4.2. Лабораторная работа № Решение системы нелинейных уравнений методом простой итерации Решить систему методом простой итерации, предварительно отделив корни графически:

4.3. Лабораторная работа № Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона Решить систему методом Ньютона, предварительно отделив корни графически:

5.1. Основные определения Пусть величина y является функцией аргумента x, но вид аналитической зависимости y = f (x) неизвестен, а имеется табличное задание этой функции в точках x 0, x1,..., x n, т.е. значения y 0 = f ( x 0 ), y1 = f ( x1 ),..., y n = f ( x n ). Требуется построить функцию (x), которая мало отличалась бы от f (x), и по которой можно было бы примерно оценить значения y при x x i, i = 0 n. Для решения такой проблемы используют два подхода:

1). Построение функции ( x) = Pn ( x), являющейся интерполяционным многочленом степени n и обладающей тем свойством, что значения ее в точках x 0, x1,..., x n совпадают со значениями f(x) в этих же точках.

2). Построение функции функцию f(x) и являющейся многочленом степени k вида Pk ( x) = p j x j, коэффициенты которого p j определяются из условия минимизации суммы квадратов отклонений (метод наименьших квадратов) в точках x 0, x1,..., x n значений многочлена Pk (x) от y 0, y1,..., y n соответственно, т.е. путем решения Рассмотрим оба подхода подробнее.

5.1.1. Интерполяция функции Имеются различные формулы для построения интерполяционного многочлена: формулы Лагранжа, Ньютона, Гаусса. Мы рассмотрим только интерполяционный многочлен Лагранжа. Он имеет вид:

При этом легко заметить, что каждый многочлен p j (x) обладает тем свойством, что он обращается в ноль при всех табличных значениях аргумента x кроме x = x j. А при x = x j его значение равно единице. При этом полученный интерполяционный многочлен Pn (x) обладает необходимым свойством: его значения в точках x 0, x1,..., x n совпадают со значениями y 0, y1,..., y n функции f(x) в этих же точках. Можно также заметить, что степень его на единицу меньше количества табличных значений функции.

5.1.2. Аппроксимация функции Для аппроксимации функции сначала необходимо выбрать степень аппроксимирующего многочлена, т.е. среди многочленов разной степени выбрать тот, который лучше отражает поведение заданной таблично функции.

А затем с помощью метода наименьших квадратов определить параметры p j Для их поиска дифференцируют функционал S частным образом по p j и приравнивают нулю эти частные производные S p j. Тем самым получают систему линейных уравнений, содержащую (k + 1) но линейное уравнение, зависящее от (k + 1) го неизвестного параметра p 0, p1,..., p k.

Продифференцируем S по параметрам:

………………………………………………… Теперь, приравнивая эти производные нулю и перенося свободные константы в уравнениях

Решая эту систему линейных уравнений, находим значения параметров.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для следующей заданной таблично функции y = f (x) :

интерполяционный многочлен мы получим четвертой степени, имеющим вид:

P4 ( x) = y j p j ( x), где p j (x) сами являются так же многочленами четвертой степени от x. Вот как они получаются:

(0.75 1.50)(0.75 2.25)(0.75 3.00)(0.75 3.75) (1.50 0.75)(1.50 2.25)(1.50 3.00)(1.50 3.75) (2.25 0.75)(2.25 1.50)(2.25 3.00)(2.25 3.75) (3.00 0.75)(3.00 1.50)(3.00 2.25)(3.00 3.75) (3.75 0.75)(3.75 1.50)(3.75 2.25)(3.75 3.00) Сам интерполяционный многочлен имеет вид:

P4 ( x) = 2.50 p 0 ( x) + 1.20 p1 ( x) + 1.12 p 2 ( x) + 2.25 p 3 ( x) + 4.28 p 4 ( x) Найти с помощью метода наименьших квадратов аппроксимирующий многочлен для следующей таблично заданной функции y = f (x), приняв предположение, что f (x) является линейной:

Т.к. исходная функция предполагается линейной, то в качестве аппроксимирующего многочлена выберем многочлен первой степени вида:

Тогда S = ( p 0 + p1 x i y i ) 2. Система линейных уравнений для поиска параметров p 0 и p1 будет иметь следующий вид:

где значения коэффициентов при неизвестных параметрах равны:

n +1= xi =(0.75 + 1.50 + 2.25 + 3.00 + 3.75) = 11. x i2 =(0.75 2 + 1.50 2 + 2.25 2 + 3.00 2 + 3.75 2 ) = 30. yi =(2.50 + 1.20 + 1.12 + 2.25 + 4.28) = 11. xi y i = (0.75 2.50 + 1.50 1.20 + 2.25 1.12 + 3.00 2.25 + 3.75 4.28) = 29. Гаусса получаем p 0 0.89, p1 0.62.

Следовательно, функция, аппроксимирующая заданную табличную f (x), имеет вид:

Найти с помощью метода наименьших квадратов аппроксимирующий многочлен для той же таблично заданной функции, что и в предыдущем примере, но, приняв предположение, что зависимость y = f (x) является квадратичной.

Т.к. исходная функция предполагается квадратичной, то в качестве аппроксимирующего многочлена выберем многочлен второй степени вида:

поиска параметров p 0, p1 и p 2 будет иметь следующий вид:

где значения коэффициентов при неизвестных параметрах равны:

n +1= Система уравнений запишется в виде:

5 p 0 + 11.25 p1 + 30.94 p 2 = 11. 11.25 p 0 + 30.94 p1 + 94.92 p 2 = 29. 30.94 p + 94.92 p + 309.76 p = 90. Решение этой системы методом Гаусса даст следующие значения параметров: p 0 5.54, p1 4.73, p 2 1.19.

y 5.54 4.73 x + 1.19 x 2.

5.2. Лабораторная работа № помощью метода наименьших квадратов напряжение сдвига ( y i ). Найти коэффициенты функциональной зависимости напряжения сдвига от температуры при двух различных предположениях о характере этой зависимости: предполагая в первый раз, что эта зависимость имеет линейный характер, т.е.

и второй раз, что она имеет квадратичный характер В таблице в каждой строке даны пять значений напряжения сдвига, отвечающих следующим значениям температуры:

xi = 60, 80, 100, 120, 140 (в градусах Цельсия).

Определить коэффициенты функциональной зависимости распределения температуры заглубленного трубопровода по поверхности грунта от глубины залегания трубопровода при стационарном тепловом режиме.

Известно общее соотношение:

Q – температура на поверхности грунта в С, где tH – температура окружающей среды в С, x– расстояние по линии, перпендикулярной оси трубопровода, от точки на поверхности грунта до оси трубопровода.

Необходимо определить коэффициенты l и a в данном соотношении по результатам произведенных замеров температуры поверхности грунта.

Для решения этой задачи, прологарифмировав обе части соотношения, получим:

котором необходимо определить коэффициенты C и a. После нахождения коэффициента C можно будет вычислить l следующим образом: l = e C.

Данные по вариантам:

5.3. Лабораторная работа № Построение интерполяционного многочлена Лагранжа 5.3.1. Задача № Построить многочлен Лагранжа, интерполирующий профиль высот zi на участке нефтепровода.

Данные по вариантам:

xi, км 184.1 184.2 184.3 184.4 184. 10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

xi, км 187.1 187.2 187.3 187.4 187. 18.

19.

5.3.2. Задача № кремнефтористоводородной коллекторов, углубляет и развивает сеть каналов. Но одновременно и фильтрационных каналов в водоносном пласте осадками кремнефторидов.

Проблемы поиска оптимального режима обработки призабойной зоны с целью снижения пластовых потерь нефти приводят к необходимости исследования зависимости количества выпадающего осадка от свойств пластовой воды.

В таблице приведены результаты эксперимента по смешиванию 25 мл пластовой воды при температуре T = 20 o C с кремнефтористоводородной кислотой H 2 SiF6 с последующей фильтрацией полученого раствора.

г/см (весовое) Необходимо построить зависимость процентного содержания осадка, получающегося при смешивании пластовой воды с кислотой H 2 SiF6, от плотности пластовой воды. Для построения зависимости воспользоваться многочленом Лагранжа.

5.3.3. Задача № Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для зависимости растворимости кварцевого песка в смеси двух кислот (20 % - ной кислоты H 2 SiF6 и кислоты HCl ) от процентного содержания кислоты HCl в смеси.

Данные измерений для отдельных смесей приведены в таблице. Они были получены при температуре T = 20 o C для 20 грамм песка и при объеме кислотного раствора V = 15 мл.

песка, г/л 6.1. Основные определения Методы численного интегрирования используются в тех случаях, когда аналитически посчитать его значение не представляется возможным из-за значения первообразной F (x) для подынтегральной функции f (x) в точках далеко не для всякой функции f (x) легко указать F (x), как это сделано в примере. Тогда прибегают к численному интегрированию.

предварительного представления подынтегральной функции в виде степенного ряда Тейлора и последующего интегрирования многочлена, представляющего несколько первых членов этого ряда. Но этот способ мы здесь рассматривать не будем. А рассмотрим находящие наибольшее применение методы численного интегрирования.

изложения.

Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f (x). С помощью точек x 0, x1,..., x n разобьем отрезок [a, b] на n отрезков [x i 1, x i ] ( i = 1,2..., n ), причем x 0 = a, x n = b. На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку i ( x i 1 i x i ) и найдем произведение значения функции в этой точке f ( i ) на длину отрезка x i = x i x i 1 :

Составим сумму таких произведений:

Сумма S n называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения и стремлении к нулю длины наибольшего отрезка разбиения:

интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] и выбора точек i.

проиллюстрирован на рисунке 1. Величины s i = f ( i )x i представляют из себя интегральная сумма – площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При стремлении же к нулю длин отрезков разбиения площадь этой ступенчатой фигуры стремится к площади фигуры, заключенной под кривой y = f (x). Это и есть значение интеграла.

Используют следующие методы численного интегрирования.

6.1.1. Метод прямоугольников.

В этом методе непосредственно заменяют значение определенного интеграла интегральной суммой, разбивая обычно отрезок интегрирования на n равных по длине отрезков. Тогда h =, являющуюся длиной отрезка разбиения, называют шагом разбиения. В качестве i могут выбираться левые ( i = x i 1 ) или правые ( i = xi ) границы отрезков разбиения или их середины ( i = x i + h 2 ). Получают следующие формулы метода прямоугольников, отвечающие этим трем способам выбора точек i :

а) Формула левых прямоугольников б) Формула правых прямоугольников в) Формула средних прямоугольников Главные члены погрешностей этих формул равны соответственно:

6.1.2. Метод трапеций В этом методе применяют линейную интерполяцию интегрируемой функции, т.е. график функции y = f (x) представляют в виде ломаной, соединяющей точки ( x i, f ( x i )). В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке разбиения заменяется площадью под прямой, которая равна площади где y i = f ( x i ), i = 0,1,..., n.

Главный член погрешности этой формулы равен:

6.1.3. Метод Симпсона В этом методе отрезок интегрирования [a, b] разбивается на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке [x 0, x 2 ], [x 2, x 4 ],..., [x n 2, x n ] подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом второй степени:

В качестве i (x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа [x 0, x 2 ], [x 2, x 4 ],..., [x n 2, x n ] заменяется площадью под параболой, а эту площадь легко посчитать, т.к. первообразная квадратичной функции известна:

Сумма же этих площадей дает нам приближенное значение интеграла.

Формула метода Симпсона имеет вид:

Главный член погрешности этой формулы равен:

Надо упомянуть об одном практическом аспекте в вычислении интегралов. Обычно требуется вычислить интеграл I с заданной точность 0, т.е. получить такое приближенное значение его S n, чтобы выполнялось разбиения отрезка интегрирования так, чтобы главный член погрешности по модулю был меньше, либо воспользовавшись следующим приемом.

Посчитать значение интеграла для некоторого n = k. Затем сделать такие же расчеты для n = 2k. Затем сравнить полученные результаты. Если окажется, что S 2 k S k, то считать точность достигнутой и принять I S 2 k. Если же условие не выполняется, то вновь удвоить число разбиений отрезка и сравнить два последних приближения так, как это было предложено выше. Закончить процесс при выполнении указанного условия и последнее S n принять за искомое значение интеграла.

Этим приемом часто пользуются на практике, если трудно бывает оценить главный член погрешности.

точностью = 0.1.

Разобьем отрезок Воспользуемся формулой:

И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:

0.859981497 0.822793997 0.1. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. I 0.822793997.

Вычислим по методу трапеций интеграл I = формулой:

Тогда Теперь проделаем аналогичные расчеты для n = 20. Получим И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:

0.784981 0.785294 0.1. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. I 0.785294.

= 0.1.

Разобьем отрезок [0,1] на 10 частей: n = 10, h = 0.1. Воспользуемся формулой:

Тогда Теперь проделаем аналогичные расчеты для n = 20. Получим И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность:

0802065 0.785398 0.1. Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. I 0.785398.

6.2. Лабораторная работа № Вычисление интеграла методом Симпсона 6.2.1. Задача № Рассчитать время t опускания зеркала жидкости в осесимметричном резервуаре от первоначального уровня H 0 до заданного H 1 при вытекании жидкости из небольшого отверстия в центре дна резервуара. Это время можно вычислить по следующей формуле:

где H0 – первоначальный уровень;

H1 – заданный уровень;

– площадь отверстия;

R(z) – кривая, образующая стенку резервуара XOYZ – система координат;

О – в центре малого отверстия;

z 0 – высота резервуара;

= 0,62 – коэффициент расхода.

Данные по вариантам:

вар.

вар.

T = 4 K l g, где g – ускорение силы тяжести, а K задается формулой :

половина периода его колебаний равна 1 секунде. Половина периода колебаний секундного маятника при размахе вычисляется по формуле Необходимо для секундного маятника при заданном значении размаха вычислить величину множителя K и определить на сколько секунд в день врут часы с таким секундным маятником, спешат они или отстают.

Задание выполнить по вариантам:

вар.

6.3. Лабораторная работа № Вычисление определенного интеграла методом трапеций Рассчитать потери напора при неизотермической перекачке нефти по участку трубопровода, равные где d – внутренний диаметр, L – протяженность трубопровода, T0,Tk начальная и конечная температуры соответственно, TH температура окружающей среды, 1, 2 кинематическая вязкость при температуре T1 и T Вычисления провести в следующем порядке:

1). = 3). Re = 4). Функция (x) зависит от величины числа Рейнольдса:

если Re 2320 ламинарное течение, то если 2320 Re 10 4 переходный режим течения, то = 64(1 ) Re+ 0.3164 / Re1 / 4, где = 1 e 0.002(Re 2320 ), если 10 4 Re 10 5 течение в зоне гидравлически гладких труб, то = 0.3164 / Re1 / 4 (Формула Блазиуса).

В качестве исходных данных взять Задание выполнить по вариантам:

6.3.2. Задача № Два прямолинейных участка дороги часто сопрягают по кривой, которая строится следующим образом: для первой половины кривой ее кривизна пропорциональна ее длине, вторая же половина кривой строится симметрично первой. Т.е. если величина S – длина участка кривой, отсчитываемая от ее начала, а K – кривизна кривой в конце этого участка, то K = CS, где C = const.

Такие кривые называются клотоидами или спиралями Карно.

Можно показать, что в прямоугольных координатах кривая задается следующим образом:

Эти интегралы носят название интегралов Френеля.

Положим C = ( тогда a = 1). Необходимо рассчитать координаты x, y точек сопрягающей кривой при различных S.

Вычисления интегралов предлагается провести по формуле трапеций.

Данные по вариантам:

вар.

7. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка 7.1. Основные понятия Решение задачи Коши для уравнения вида y = f ( x, y ) заключается в отыскании функции y (x), удовлетворяющей этому уравнению и начальному условию y ( x 0 ) = y 0.

Есть задачи, для которых решение можно найти аналитически. Но таких задач немного. А для остальных используют приближенные методы решения.

Эти методы не дают аналитического вида функции, а значит и нельзя получить значение искомой функции в любой точке. Но они позволяют оценить приближенно значения искомой функции на некотором отрезке [a, b], где a = x0, а правый конец отрезка задан, исходя из потребностей.

Для получения решения приближенными методами указанный отрезок [a, b] разбивается на n равных частей точками x0, x1, x2,..., xn, так что x0 = a, xn = b. При этом говорят, что задается сетка. Шагом сетки h называется расстояние между соседними точками разбиения (узлами) xi +1 xi = h. Оно равно h =. Значение функции y (x) в начальной точке сетки x0 известно:

оно задается начальным условием y ( x 0 ) = y 0. Значение функции в каждом следующем узле сетки рассчитывается по значению в предыдущем узле по формулам метода. Таким образом, приближенные методы позволяют найти решение уравнения в виде сеточной функции y (x) со значениями в узлах сетки x0, x1, x2,..., xn.

Познакомимся с некоторыми из этих методов.

7.1.1. Метод Эйлера Этот простейший численный метод заключается в разложении искомой функции y (x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов сетки x0, x1, x2,..., xn, в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в окрестности узла x i :

Т.к. x i +1 = x i + h и y = f ( x, y ), то, отбрасывая O(h 2 ), получаем:

Введя обозначение y i = y ( x i ), окончательно получаем формулу метода Эйлера, позволяющую по значению искомой функции y i в точке x i найти значение ее y i +1 в следующем узле x i +1 :

Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок h 2.

Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член O(h 2 ).

7.1.2. Модифицированный метод Эйлера Этот метод имеет лучший порядок точности, и формулу для него получают, оставляя в разложении функции y (x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов слагаемые, содержащие вторую производную:

Затем аппроксимируют вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

Подставляя выражение (2) вместо второй производной в (1), получают:

И после преобразования:

Заменяя производные выражениями получают формулу модифицированного метода Эйлера:

Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок h 3.

Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член O(h 3 ).

7.1.3. Метод Рунге-Кутта Этот метод является самым популярным, т.к. дает хороший порядок точности. Формулу для этого метода получают, сохраняя в представлении функции y (x) в виде ряда Тейлора в узлах x0, x1, x2,..., xn большее число членов.

Т.к. вывод ее достаточно громоздкий, то он здесь не приводится.

Формулы метода Рунге-Кутта имеют следующий вид:

Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок h 5.

Отметим некоторые существенные моменты применения указанных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка y = f ( x, y ) с начальным условием y ( x 0 ) = y 0.

Заметим, что погрешность вычислений с каждым следующим шагом может иметь тенденцию к накоплению. Отсюда сразу следует, что лучше применять для расчетов методы, дающие более точный результат на каждой итерации. Из рассмотренных выше методов лучшим является метод РунгеКутта, ошибка в котором пропорциональна шагу в пятой степени. А так как шаг выбирается обычно маленьким, то и ошибка мала.

Если метод решения выбран, то следующая задача – это выбор шага h. И тут возникает следующая проблема. Допустим, нужно получить значения искомой функции на отрезке [a, b], где x 0 = a, x n = b. С одной стороны, шаг нужно взять маленьким, чтобы ошибка каждого шага была небольшой. С другой стороны, при этом возрастет число шагов вычислений, что приводит в свою очередь к накоплению ошибки. Так что шаг в каждом случае следует выбирать некоторым оптимальным образом.

Решим предлагаемую ниже задачу Коши методом Эйлера с заданным шагом на отрезке [0, 1]:

Для данной задачи можно указать аналитическое выражение для функции решения. Легко проверить, что это будет функция y ( x) = 1.5e 2 x x 2 x 0.5.

Здесь специально выбрана такого рода задача, чтобы иметь возможность сравнить работу методов, зная точные значения функции решения в точках разбиения отрезка [0, 1].

Проведем расчеты по формуле Эйлера.

По условию x 0 = 0, y 0 = 1, h = 0.1. Формула Эйлера имеет вид:

Следовательно, Выпишем полученные по методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

Рассмотрим ту же задачу и решим ее теперь модифицированным методом Эйлера:

Формула метода имеет вид Проведем по ней расчеты

Выпишем полученные по модифицированному методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

Сравнивая картину погрешностей в этом методе и в методе Эйлера, можно видеть, что погрешности модифицированного метода Эйлера на порядок меньше соответствующих погрешностей метода Эйлера.

7.1.6. Пример Решить ту же задачу методом Рунге-Кутта:

Запишем формулы метода Рунге-Кутта:

Проведем по ним расчеты.

Для i = 1 имеем Для i = 2 имеем ………………………………………………………………..

Для i = 10 имеем = 1 + (1.5349 + 2 1.7069 + 2 1.7241 + 1.9177) = 8. Выпишем полученные по методу Рунге-Кутта значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

рассмотренных ранее методе Эйлера и модифицированном методе Эйлера, можно видеть, что погрешности этого метода на несколько порядков меньше соответствующих погрешностей двух других методов. Именно поэтому метод Рунге-Кутта находит наибольшее применение.

7.2. Лабораторная работа № Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера Определить давление в сечениях газопровода через каждые 10 км, если известно:

где z ( p, T ) = 1 0.4273 ( p / pкр )(T / Tкр ) – коэффициент сверхсжимаемости, Т – температура, Pкр = 4.64 МПа – критическое давление Tкр = 190.55o C – критическая температура, T0 – начальная температура, TH – температура окружающей среды, p0 – начальное давление, k – шероховатость поверхности, d – диаметр газопровода, M – массовый расход, Q – коммерческий расход, Cp =2500 Дж/кг·К –теплоемкость, коэффициент теплопередачи, R=470 Дж/кмоль·К, L – длина участка газопровода, Данные по вариантам:

Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося вещества. Можно написать дифференциальное уравнение, отображающее скорость изменения количества радиоактивного вещества: y = ky, где y – это количество вещества в момент времени t. Пусть k=0.01 и количество вещества, имеющегося на момент времени t0=0 равно y0=100 г. Требуется найти количество вещества, которое останется на момент времени t=100.

Эта задача проста с точки зрения математики, и для нее можно указать аналитическое решение. Оно имеет следующий вид:

y = 100e kt, так что при t=100 получаем y(100)=36.788 г Это точное решение поможет нам сравнить работу разных методов и проследить накопление ошибки при подсчете значения y(100).

Решите задачу по данным своего варианта (указанным методом и с заданным шагом) и сравните значение y(100) с точным значением.

Данные по вариантам:

вар.

7.3. Лабораторная работа № Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта Решить предлагаемую задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, где x [a, b], y (a) = y0 и шаг h = 0.1.

Полученное численное решение сравнить с точным решением y (x), приведенным в вариантах задания.

Данные по вариантам:

Дифференциальное уравнение движения некоторого тела массой m под действием силы f = at ( t ), испытывающего внешнее сопротивление среды, пропорциональное скорости v, имеет вид:

t момент времени от начала движения, v скорость тела в данный момент времени.

Определить скорость тела через время t после начала движения. Задание выполнить по данным своего варианта, применив для решения метод РунгеКутта с указанным шагом h.

7.3.3. Задача № Решить задачу №1 из лабораторной работы №11 методом Рунге-Кутта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 2. Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. – М.: Мир, 3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1, 2. – М.: Наука, 4. Арсеньев-Образцов С.С., Жукова Т.М., Кузьмин В.С. Сборник задач по алгоритмизации и программированию на ЭВМ, М.: МИНГ, 5. Лурье М.В. Вычислительный практикум по трубопроводному транспорту нефти, нефтепродуктов и газа. – М.: Изд-во Нефть и газ, 6. Проблемы снижения пластовых и поверхностных потерь нефти в пермском приуралье, сб. статей. – М.: ИГиРГИ, 7. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана,

СОДЕРЖАНИЕ

1.1. Основные определения и свойства…………………………………… 1.3. Лабораторная работа №1. Оценка погрешностей результата вычислений…………………………………………………………………... 2. Методы решения нелинейных уравнений……………………………… 2.1.2. Метод касательных Ньютона……………………………………….. 2.2 Лабораторная работа №2. Решение нелинейного уравнения методом хорд………………………………………………………………. 2.3. Лабораторная работа №3. Решение нелинейного уравнения методом Ньютона…………………………………………………………. 3. Методы решения системы линейных уравнений……………………... 3.2. Лабораторная работа №4. Решение систем линейных уравнений… 4. Решение систем нелинейных уравнений……………………………… 4.1.1. Метод простой итерации…………………………………………... 4.2. Лабораторная работа №5. Решение систем нелинейных уравнений 4.3. Лабораторная работа №6. Решение систем нелинейных уравнений 5. Интерполяция и аппроксимация функции…………………………….. 5.1. Основные определения……………………………………………….. 5.1.1. Интерполяция функции…………………………………………….. 5.1.2. Аппроксимация функции…………………………………………… 5.2. Лабораторная работа №7. Определения коэффициентов функциональной зависимости с помощью метода наименьших квадратов.. 5.3. Лабораторная работа №8. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа……………………………………………………….. 6. Численное интегрирование……………………………………………... 6.1. Основные определения………………………………………………... 6.1.1. Метод прямоугольников…………………………………………….. 6.2. Лабораторная работа №9. Вычисление определенного интеграла 6.3 Лабораторная работа №10. Вычисление определенного интеграла 7. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка…………………………………………… 7.1.2. Модифицированный метод Эйлера………………………………... 7.2. Лабораторная работа №11. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера.. 7.3. Лабораторная работа №12. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом РунгеКутта………………………………………………………………..….. 7.3.1. Задача №1……………………………………………………………. 7.3.2. Задача №2……………………………………………………………. 7.3.3. Задача №3……………………………………………………………. Список литературы…………………………………………………………

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО

КУРСУ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Издательство “Нефть и газ” РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина 117917, Москва, ГСП-1, Ленинский просп.,

 
Похожие работы:

«УВКБ ООН Учебное пособие УВКБ ООН по защите для должностных лиц европейских пограничных служб и систем въезда Киев, 2012 Введение 1. Назначение учебного пособия и цели обучения Это учебное пособие предназначено для обеспечения обучения должностных лиц европейских погра­ ничных служб и систем въезда в области прав беженцев в контексте смешанных миграционных пере­ мещений. Оно рассчитано на использование персоналом европейских органов пограничного контроля, а также сотрудниками и национальными...»

«Подписано в печать 28.04.2009 г. Тираж 50 экз. Заказ № 46 Объем 1.75 п.л. Издательство: МОУ Городской информационно-методический центр Департамента образования Администрации города Тюмени 625026, Тюмень, ул. Мельникайте, 97/2а Департамент образования Администрации города Тюмени Муниципальное образовательное учреждение Городской информационно - методический центр Методическое пособие для участников научно - практической конференции молодых исследователей Шаг в будущее Тюмень 2009 12 3....»

«Высшее профессиональное образование Б а к а л а В р и ат К.М.Тагиров Эксплуатация нефтяных и газовых скважин Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров Нефтегазовое дело УДК 622(075.8) ББК 33я73 Т134 Р е ц е н з е н т ы: проф. кафедры разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений РГУ нефти и газа им. И....»

«Учебная литература для студентов высших астрологических учебных заведений М.Левин Т. Митяева В. Тищенко СИМВОЛИЧЕСКИЕ ДИРЕКЦИИ АКАДЕМИЯ АСТРОЛОГИИ АКАДЕМИЯ АСТРОЛОГИИ СИМВОЛИЧЕСКИЕ ДИРЕКЦИИ Учебное пособие Рекомендовано Ученым Советом Академии Астрологии в качестве, учебника для студентов старших курсов высших астрологических учебных заведений Москва 1998 УДК 133 ББК 86.391 Л 36 Под редакцией доктора астрологии М. Левина М. Левин, Т. Митяева, В. Тищенко Символические дирекции – М.: ИЦА, 1998. –...»

«СОДЕРЖАНИЕ 1. ЦЕЛИ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВЫПУСКНИКА ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ 2.1. Область профессиональной деятельности выпускника. 2.2. Объекты профессиональной деятельности выпускника. 2.3. Виды профессиональной деятельности выпускника. 2.4. Задачи профессиональной деятельности выпускника. 3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ 3.1. Перечень требуемых компетенций выпускника вуза по данной...»

«Д.В. Велинский Технология процесса производства мультфильмов в техниках перекладки Методическое пособие Детская киностудия Поиск г. Новосибирск 2010 г. dkpoisk.ru Велинский Д. В. Технология процесса производства мультфильмов в техниках перекладки. Методическое пособие. Издание второе, исправленное и дополненное 2011 г., 41 стр. с илл. Цель этого пособия – обозначить виды и техники мультипликационного кино и осветить технологические аспекты процесса производства мультфильма в техниках...»

«Кирсанова Юлия Валерьевна ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по созданию, регистрации, бухгалтерскому учету и отчетности в обслуживающих кооперативах с кодом неприбыльности 0011 Учебное пособие разработано в рамках швейцарско-украинского проекта Поддержка децентрализации в Украине 2008 1 Кирсанова Ю.В. Практическое пособие по созданию, регистрации, бухгалтерскому учету и отчетности в обслуживающих кооперативах с кодом неприбыльности 0011. – Киев, 2008. – ХХХ стр. с илл. Данное учебное пособие разработано в...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Иркутский государственный университет Биолого-почвенный факультет О. Г. Лопатовская А. А. Сугаченко МЕЛИОРАЦИЯ ПОЧВ ЗАСОЛЕННЫЕ ПОЧВЫ Учебное пособие УДК 631.416:54-38+631.6](075.8) ББК 40.3я73+40.6я73 Л77 Печатается по решению учебно-методической комиссии биолого-почвенного факультета Иркутского государственного университета Рецензенты: д-р геогр. наук, проф. А. Т. Напрасников, доц. кафедры почвоведения Н. В. Вашукевич Лопатовская О....»

«Государственная универсальная научная библиотека Красноярского края Красноярская краевая молодежная библиотека Афганская война: как это было методические рекомендации для библиотек по организации работы к 25-й годовщине вывода советских войск из республики Афганистан Красноярск 2013 Составители: Ю. Н. Шубникова, О. Г. Сысуева, М. В. Резник, О. В. Корольчук Редактор: Т. И. Матвеева Верстка, дизайн: Ф. А. Пуштарекова Тех. редактор: С. А. Левентас 2 Содержание Краткая справка об Афганской войне 4...»

«ВНИМАНИЕ учащимсязаочникам! Данный экземпляр методических рекомендаций является предварительным, черновым вариантом и будет дорабатываться. Изменениям подвергнутся методические рекомендации по изучению учебной дисциплины и рекомендации по выполнению домашних контрольных работ. Задания для домашних контрольных работ и распределение их по вариантам изменены НЕ БУДУТ!!!!!! Приносим извинения за временные неудобства. Администрация МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) КАФЕДРА ВЫСШЕЙ ГЕОДЕЗИИ Шануров Геннадий Анатольевич Ходаков Павел Аркадьевич МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению лабораторных работ по курсам: Высшая геодезия и Геотроника ТЕХНОЛОГИЯ СОЗДАНИЯ ОПОРНОЙ СПУТНИКОВОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ. ИЗУЧЕНИЕ СПУТНИКОВОГО НАВИГАЦИОННОГО ПРИЁМНИКА, РАБОТА С ПРИЁМНИКОМ Для студентов III и IV курсов геодезического факультета и факультета дистанционных форм обучения Москва СОДЕРЖАНИЕ Введение 1....»

«Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования Центр повышения квалификации специалистов Санкт-Петербурга Региональный центр оценки качества образования и информационных технологий И.П.Невзорова, М.И.Скалецкая ИНФОРМАЦИОННАЯ СТРУКТУРА КОМПЛЕКСА ПАРАГРАФ-3 И ОСНОВНЫЕ ПРИЁМЫ РАБОТЫ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2011 Невзорова И.П., Скалецкая М.И. Информационная структура комплекса Параграф-3 и основные приемы работы...»

«Департамент образования города Москвы Организация питания в дошкольных образовательных учреждениях Методические указания города Москвы Издание официальное Москва 2007 г. 2 ПРЕДИСЛОВИЕ 1. Методические указания г. Москвы разработаны коллективом авторов: Конь И.Я. (ГУ НИИ питания РАМН); Мосов А.В. (Управление Роспотребнадзора по городу Москве, НИИ гигиены и охраны здоровья детей и подростков ГУ НЦЗД РАМН); Тобис В.И. (Московский фонд содействия санитарно-эпидемиологическому благополучию...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Методические указания Дипломная работа для квалификации дипломированный специалист по специальности 030501 – Юриспруденция Уфа РИЦ БашГУ 2012 Согласовано и рекомендовано учебно-методической комиссией Института права БашГУ, протокол № 1 от 09 января 2012 г. Составители: к.ю.н., доцент кафедры...»

«3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Хабаровск 2005 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования 4 Тихоокеанский государственный университет ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Методические указания по организации самостоятельной работы студентов всех специальностей Хабаровск Издательство ТОГУ 2005 УДК 515 (075) Пересечение поверхности плоскостью: методические указания по организации самостоятельной работы студентов всех...»

«ДИПЛОМНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Учебно-методическое пособие Тамбов 2012 1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДИПЛОМНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ _ Учебно-методическое пособие для студентов всех форм обучения специальностей 080504.65 Государственное и муниципальное управление и 080507.65 Менеджмент организации Тамбов 2012 2 УДК 371. 12 Печатается...»

«Проект 4 Методические рекомендации по формированию показателей мониторинга деятельности сети диссертационных советов и интерактивному заполнению форм мониторинга в Единой информационной системе обеспечения деятельности Министерства образования и науки Российской Федерации Введение Для мониторинга деятельности сети диссертационных советов организации предоставляют информацию по двум формам: Сведения об организации (Приложение А); Анкета члена диссертационного совета (Приложение Б). Показатели...»

«МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СВЯЗИ И ИНОРМАТИЗАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНАЦИЙ им. проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА А.Б. Гольдштейн, В.В. Саморезов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по проведению лабораторных работ и практических занятий по курсу IP-телефония для студентов, обучающихся специальности 2009 – Сети связи и системы коммутации Санкт-Петербург 2002 УДК 621.391.18:658.512. План УМД кафедры СКиРИ на 2002/2003 учебный год МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по проведению...»

«А. Н. Леонтьев, Ю. Д. Божескул В. П. Расщупкин, М. С. Корытов ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И РЕМОНТА СПЕЦИЗДЕЛИЙ Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) А. Н. Леонтьев, Ю. Д. Божескул В. П. Расщупкин, М. С. Корытов ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И РЕМОНТА СПЕЦИЗДЕЛИЙ Учебное пособие Омск Издательство СибАДИ 2008 УДК 629.33 ББК 39.3 Л 47 Рецензенты: д-р. техн. наук, проф. В.С. Кушнер (ОмГТУ); д-р. техн. наук, проф. А.С. Ненишев (СибАДИ) Работа...»

«ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТИХООКЕАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ТЕХНОЛОГИЙ Е. А. Стародумова Синтаксис современного русского языка © Издательство Дальневосточного университета 2005 ВЛАДИВОСТОК 2005 г. Содержание Аннотация Введение Методические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольных заданий. 8 Модуль 1. Введение в синтаксис. Аспекты синтаксиса Глава 1.1. Введение в синтаксис § 1.1.1. Значения термина синтаксис § 1.1.2. Предмет синтаксиса как...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.