WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

В. А. Александров

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Учебное пособие

Новосибирск

2005

ББК В.162.12

УДК 517.5

А465

Александров В. А. Обобщённые функции: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005. 46 с.

В пособии изложены начальные сведения об обобщённых функциях в объёме, соответстующем программе базового курса Основы функционального анализа, читаемого студентам 2-го курса общефизического потока физического факультета НГУ. Приведены задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по указанному курсу.

Предназначено студентам и преподавателям физического факультета.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А. А. Егоров c Новосибирский государственный университет, Предисловие Вы держите в руках переработанный конспект лекций одной из девяти тем, читаемых на физическом факультете НГУ в рамках курса Основы функционального анализа в середине третьего семестра. Теме Обобщнные функции отводится приблизительно три лекции и е три семинара. Пособие содержит ту часть обширной теории обобщнных е функций, которую можно реально изложить и усвоить за отведнный е учебным планом промежуток времени и которая реально необходима студентам для усвоения физических курсов, читаемых в последующем.

Коротко прокомментируем книги, использованные при написании настоящего пособия и рекомендуемые для более глубокого ознакомления с предметом.

Наше изложение наиболее близко ко 2-й главе следующего широко распространённого учебника:

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

Ориентированное на физиков систематическое изложение теории -функции и е приложений в классической, т. е. неквантовой, теории е различных полей и элементарных частиц может быть найдено в книге:

• Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля. М.; Л.: ГИТТЛ, 1951.

Упомянем также книгу, написанную для физиков и инженеров крупным математиком одним из основателей теории обобщнных функе ций:

• Шварц Л. Математические методы для физических наук / Пер.

с франц. М.: Мир, 1965.

Из более современных книг, написанных физиками для физиков и содержащих как достаточно подробное введение в общую теорию обобщнных функций, так и профессиональное обсуждение задач теоретичее ской физики, при решении которых обобщнные функции играют важе ную роль, можно указать следующие книги:

• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики / Пер. с англ. М.: Мир, 1977. Т. 1.

• Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. Т. 1.

Более краткое, чем у нас, введение в теорию обобщнных функций, е написанное математиками для математиков, можно найти в следующих хорошо известных учебниках:

• Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

• Зорич В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1984. Ч. 2.

Тем же читателям, кто хочет познакомиться с теорией обобщнных е функций и е приложениями к дифференциальным уравнениям и матее матической физике глубже, чем это сделано в настоящем пособии, мы рекомендуем следующую книгу:

• Владимиров В. С. Обобщнные функции в математической физике.

е М.: Наука, 1979.

Наконец, стоит упомянуть чрезвычайно подробное систематическое изложение теории обобщённых функций и ряда примыкающих к ней вопросов анализа, предпринятое коллективом авторов, возглавляемым И. М. Гельфандом. Для краткости укажем только первую книгу этого шеститомного издания:

• Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними. М.: Физматлит, 1959. Вып. 1.

Значительная часть приводимых в настоящем пособии задач позаимствована из следующих сборников:

• Сборник задач по уравнениям математической физики / В. С. Владимиров, В. П. Михайлов, А. А. Вашарин и др. М.: Наука, 1974.

• Сборник задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных / Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин. СПб.: Кристалл, 1994.

В этих же сборниках можно найти дополнительные задачи к теме Обобщнные функции.

Большинство из перечисленных выше книг выдержало много изданий. Читатель может использовать любое из них.

§ 1. Пространства основных и обобщнных функций.

Понятие функции является исключительно важным в математике.

Оно проделало длительную и нетривиальную эволюцию и в настоящее время используется в нескольких смыслах. Например, в курсе математического анализа, говоря о функции : X Y, вы подразумевали, что каждому элементу множества X с помощью некоторого правила сопоставлен единственный элемент множества Y. Однако при изучении теории функций комплексного переменного вы познакомились с многозначными функциями, когда одному элементу из X может соответствовать несколько элементов из Y.

Мы приступаем к изучению совершенно новой для вас точки зрения на понятие функциональной зависимости теории обобщнныхе функций. С прагматической точки зрения можно считать, что нашей целью является освоение тех многочисленных симпатичных формул, в которых участвует -функция Дирака и которые играют столь важную роль, например в электродинамике, или нахождение наиболее общего класса функций, для которых справедливы свойства преобразования Фурье, установленные нами для быстро убывающих функций.

Начнм с определений.

Пусть G открытое множество в Rn и пусть : G C. Носителем функции называется замыкание в Rn множества тех точек x G, в которых (x) = 0. Другими словами, точка x G принадлежит носителю функции, если найдтся последовательность x1, x2,..., xn,...

точек из G, сходящаяся к x и такая, что (xn ) = 0 для всех n = 1, 2,....

Носитель функции обозначается через supp (от англ. support).

Функция : G C называется основной, или пробной, если бесконечно дифференцируема и supp является ограниченным подмножеством в G. Другими словами, основными мы называем те бесконечно дифференцируемые функции, которые зануляются в некоторой окрестности границы области определения.

Согласно теореме Лебега, известной вам из курса математического анализа, множество в Rn компактно, если и только если оно замкнуто и ограничено. Поэтому можно сказать, что носитель основной функции является компактным подмножеством её области определения G. Отметим также, что носитель основной функции не пересекается с границей области G.

Контрпример. Пусть G R является открытым интервалом (0, 1) и пусть : G C тождественно равна единице: (x) = 1 для всех 0 x 1. Конечно, так определнная функция бесконечно диффее ренцируема, но е носитель, очевидно, совпадает с замкнутым отрезе ком [0, 1] и, тем самым, не содержится в множестве G. Поэтому не является основной функцией.

Пример. Изучая тему Преобразование Фурье, мы построили бесконечно дифференцируемую функцию x0, : Rn R, которая строго положительна в открытом шаре |x x0 | и тождественно равна нулю вне этого шара. Здесь любое положительное число, а x0 любая точка пространства Rn.

Для данной области G Rn и произвольной е точки x0 найдм столь малое положительное число, чтобы замкнутый шар |x x0 | содержался в G. Тогда сужение функции x0, на G будет основной функцией для области G.

Легко понять, что сумма двух основных функций и произведение основной функции на число снова являются основными функциями.

Поэтому совокупность всех основных функций, определнных в данной области G, является векторным пространством, которое обозначают через D(G).

Говорят, что последовательность основных функций 1, 2,..., n,...

сходится к функции D(G), если (i) существует ограниченное в Rn замкнутое подмножество M множества G, содержащее носитель каждой функции n, и (ii) для каждого мультииндекса последовательность производных D 1, D 2,..., D n,... равномерно в G сходится к D. Другими словами, последовательность основных функций 1, 2,..., n,... сходится к функции D(G), если (i) существует ограниченное в Rn замкнутое подмножество M множества G такое, что supp n M для каждого n, и (ii) для каждого мультииндекса Всякое отображение F : D(G) C пространства основных функций во множество комплексных чисел называется функционалом. Функционал F называется линейным, если для любых a, b C и любых основных функций 1 и 2 выполняется равенство F (a1 +b2 ) = aF (1 )+bF (2 ), и называется непрерывным, если для любой последовательности основных функций 1, 2,..., n,..., сходящейся к какой-нибудь функции D(G), числовая последовательность F (1 ), F (2 ),..., F (n ),... сходится к числу F ().

Теперь мы готовы сформулировать центральное определение данной темы: обобщнной функцией называется линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций. Совокупность всех обобщнных функций на G образует линейное пространство и обозначае ется через D (G). Значение обобщнной функции F на основной функе ции мы будем обозначать либо через F (), либо через (F, ).

Приведм примеры обобщнных функций.

Пример 1 (регулярные обобщнные функции). Напомним, что f L1,loc (G), если у каждой точки x0 из G существует окрестность U такая, что интеграл U |f (x)| dx конечен. Каждая обычная функция f L1,loc (G) порождает обобщнную функцию по правилу Для этого прежде всего убедимся, что интеграл в формуле (1) сходится. Функция непрерывна и принимает ненулевые значения лишь на компактном множестве supp. По теореме Вейерштрасса о наибольшем значении, модуль этой функции достигает своего наибольшего значения в некоторой точке множества supp, а значит существует постоянная C + такая, что |(x)| C для всех x G.

С другой стороны, так как f L1,loc (G), то у каждой точки x0 из G существует открытая окрестность U такая, что интеграл U |f (x)| dx конечен. В частности, эти окрестности U образуют открытое покрытие компактного множества supp. Одно из важнейших свойств компактных множеств состоит как раз в том, что из всякого открытого покрытия компактного множества можно выделить конечное подпокрытие.

Пусть U1, U2,..., UN такое конечное подпокрытие для supp. Тогда мы можем написать Что доказывает сходимость интеграла в формуле (1).

Линейность функционала F, определнного формулой (1), очевидна ввиду линейности интергала. Непрерывность F может быть доказана без особого труда с использованием подходящей теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.

Однако для упрощения изложения мы будем систематически избегать рассуждений, связанных с проверкой непрерывности возникающих у нас обобщнных функций, оставляя их заинтересованному чие тателю. Некоторым оправданием такой позиции может служить тот факт, что все известные примеры разрывных линейных функционалов, определнных на всм пространстве, строятся с помощью так называее е мой аксиомы выбора и задаются довольно хитроумными неявными конструкциями. Вот почему в дальнейшем мы без комментариев будем считать, что если линейный функционал определн во всм пространстве D(G), то он непрерывен, каждый раз оставляя подробное доказательство вдумчивому читателю.

ся обычная функция f L1,loc, которая порождает F по формуле (1).

Обобщнная функция, не являющаяся регулярной, называется сингуе лярной.

В следующих трх примерах строятся наиболее важные сингулярное обобщнные функции.

Пример 2 (-функция Дирака). Зададим функционал : D(Rn ) C с помощью формулы () = (0).

Линейность и непрерывность функционала, заданного такой формулой, очевидны. Тем самым мы определили некоторую обобщнную е функцию, впервые построенную одним из основоположников квантовой механики английским физиком-теоретиком П. А. М. Дираком.

Пример 3. Допустим, что интеграл f (x) dx имеет особые точки, x1, x2,..., xN, + (т. е. плюс-минус бесконечность и все точки, в окрестности которых подынтегральная функция неограничена).

Напомним, что интеграл в смысле главного значения v. p. f (x) dx определяется как следующий предел собственных интегралов:

Другими словами, надо у каждой особой точки вырезать симметричную окрестность, по оставшемуся множеству подсчитать собственный интергал, а затем устремить размеры удалнных окрестностей к нулю.

Определим линейный непрерывный функционал P x : D(R) C формулой Тот факт, что последнее равенство в этой формуле действительно имеет место для всех основных функций, мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Пример 4. Определим ещ две сингулярные обобщнные функции, соответствующие выбору либо верхнего, либо нижнего знака, по формуле Следующая теорема дат нам пример одного из тех симпатичных соотношений с участием -функции, которые используются в квантовой механике, и показывает, как это соотношение может быть строго доказано в рамках изучаемого нами подхода к обобщнным функциям.

Теорема (формулы Сохоцкого). Справедливы соотношения Доказательство. Фиксируем основную функцию D(R). Пусть она зануляется для всех x R таких, что |x| R. Тогда по определению обобщнной функции 1/(x + i0) имеем В числителе прибавим и вычтем число (0), а затем избавимся от мнимых значений в знаменателе, для чего умножим и разделим подынтегральное выражение на x i. Получим Подсчитаем порознь интегралы, фигурирующие в формуле (2).

Поскольку интеграл от нечтной функции по промежутку, симмете ричному относительно нуля, равен нулю, то Следующий интеграл легко находится по формуле Ньютона Лейбница. Это дат Наконец, в последнем интеграле в формуле (2) перейдм к пределу под знаком интеграла:

Переход к пределу под знаком интеграла при 0 возможен, поскольку из неравенства |x| |x + i|, справедливого для всех вещественных x и, вытекает |[(x) (0)]/(x + i)| |[(x) (0)]/x|. Доопределив последнюю функцию в нуле как | (0)|, мы получим непрерывную (а значит интегрируемую на конечном промежутке [R, R]) функцию, мажорирующую подынтегральное выражение.

Учитывая проделанные вычисления, можем продолжить равенство (2) следующим образом:

Последнее равенство показывает, что обобщнные функции (т. е. линейе ные функционалы) 1/(x+i0) и i+P x одинаково действуют на любую основную функцию. Значит эти обобщнные функции равны между сое бой.

Формула Сохоцкого, отвечающая выбору знака минус, доказывается аналогично.

1. Пользуясь техникой интегралов, зависящих от параметра, строго обоснуйте тот факт, что линейные функционалы, построенные в примерах 1, 3 и 4, являются непрерывными.

2. Докажите, что -функция является непрерывным линейным функционалом на пространстве основных функций.

3. Докажите, что для всякой основной функции справедливо равенство § 2. Сходимость обобщнных функций.

Дельта-образные последовательности В этом и последующих параграфах нам предстоит дать определения тем или иным операциям над обобщнными функциями, которые вам известны для обычных функций. Речь идт об операциях предельного перехода, замены переменных, умножения, дифференцирования, нахождения свртки или преобразования Фурье и т. п. В такой ситуации мы будем каждый раз придерживаться одной и той же схемы прослеживать, как известная вам для обычных функций операция может быть переформулирована в виде действия регулярной обобщнной функции на произвольную основную, а затем (уже для всех обобщнных функе ций, в том числе сингулярных) принимать получившееся тождество за определение. Первую часть этой схемы мы будем называть наводящими соображениями.

Наводящие соображения относительно сходимости функций выглядят так. Если последовательность f1,..., fk,... функций класса L1,loc (G) сходится к некоторой функции f класса L1,loc (G), то несложно показать, что для любой основной функции D(G) справедливо соотношение С учтом сказанного естественно принять следующее определение.

Говорят, что последовательность F1,..., Fk,... обобщнных функций из D (G) сходится к обобщнной функции F D (G), если для любой основной функции D(G) числовая последовательность F1 (),..., Fk (),... сходится к числу F () при k. При этом используются обычные обозначения:

Аналогично определяется сходимость семейства обобщнных функе ций, зависящего от вещественного параметра.

Пример. Непосредственно из определения функции 1/(x ± i0), данного в предыдущем параграфе, вытекает, что Говорят, что последовательность h1,..., hk,... вещественно-значных функций, определнных во всм пространстве Rn, является -образной, если (i) для каждого k N функция hk : Rn R интегрируема в Rn ;

(ii) для любых x Rn и k N справедливо неравенство hk (x) 0;

(iii) для каждого k N существует положительное число k такое, что hk (x) = 0 для всех x Rn таких, что |x| k, причм k 0 при (iv) Rn hk (x) dx = 1 для всех k N.

Пример -образной последовательности легко может быть получен с помощью бесконечно дифференцируемой функции x0, : Rn R, которая строго положительна в открытом шаре |x x0 | и тождественно равна нулю вне этого шара. Достаточно положить Теорема. Пусть h1,..., hk,... -образная последовательность функций. Тогда limk hk (x) = (x), где предел, конечно, понимается в смысле теории обобщнных функций.

Доказательство получается прямым вычислением. В самом деле, пусть произвольная основная функция. Используя определение предела последовательности обобщнных функций и тот факт, что hk регулярная обобщнная функция, действующая на основную функцию с помощью интеграла, можем записать Теперь нам понадобится следующая разновидность теоремы о среднем, которую вы знаете из курса математического анализа: если G открытое связное множество в Rn, функция f : G R непрерывна, а функция g : G R неотрицательна, то найдтся такая точка x0 G, что Используя эту теорему о среднем и свойства iii и iv -образной последовательности, преобразуем последнее выражение в формуле (3) к виду lim (xk ) hk (x) dx = lim (xk ) hk (x) dx = lim (xk ) = (0) = (, ), где xk некоторая точка шара |x| k (а значит xk 0 при k ).

Таким образом мы убедились, что обобщнные функции limk hk и одинаково действуют на любую пробную функцию. Следовательно, эти обобщнные функции совпадают. Теорема доказана.

Замечание. Доказанная теорема позволяет интерпретировать -функцию как плотность такого распределения массы в пространстве, при котором вся масса, равная по величине единице, сосредоточена в одной точке 0. Такое распределение массы является, конечно, абстракцией, получаемой, например, на таком пути. Изучив тело единичной массы под микроскопом, мы заключаем, что с учтом разрее шающией способности микроскопа вся масса тела сосредоточена в шаре |x| 1. Заменяя объектив на более мощный, мы последовательно убеждаемся, что вся масса тела сосредоточена в пределах шаров вс уменьшающихся радиусов 2,..., k. Наконец, исчерпав техничее ские возможности нашего микроскопа, мы приходим к выводу, что вся масса нашего тела сосредоточена в одной точке x = 0. Аналогия с -образной последовательностью очевидна.

Подобная интерпретация обобщнных функций как плотностей расе пределения физических величин привела к тому, что на Западе обобщнные функции называют распределениями.

Докажите следующие предельные соотношения в D (R):

8. Докажите, что функция f : R R, заданная формулой стремится в D (R) к -функции при +0.

Докажите следующие предельные соотношения в D (R):

12. Найдите пределы в D (R) последовательностей функций 13. Докажите, что 14. Пусть n 1. Докажите, что функция f : Rn R, заданная формулой стремится в D (Rn ) к -функции при +0.

Трактуя несобственный интеграл как предел в D (R) соответствующих собственных интегралов, докажите равенства:

функция Бесселя с нулевым значком, играющая важную роль в математической физике, небесной механике и др.

18. Трактуя несобственный интеграл как предел в D (Rn ) соответствующих собственных интегралов, докажите равенство 19. Трактуя сумму ряда как предел последовательности его частичных сумм, докажите равенство в D (R):

§ 3. Замена переменных в обобщнных функциях Начнм с наводящих соображений, относящихся к линейной замене переменных. Пусть f L1,loc (Rn ), A : Rn Rn невырожденное линейное преобразование и b фиксированный вектор из Rn. Используя правило замены переменной в кратном интеграле, можем написать Как уже было сказано выше, для произвольной (не обязательно регулярной) обобщнной функции примем полученное равенство за опрее деление. Если A : Rn Rn невырожденное линейное преобразование фиксированный вектор из Rn, то для произвольной обобщнной функции F D (Rn ) определим новую обобщнную функцию F (Ax+b), которая действует на произвольную пробную функцию D(Rn ) по правилу При этом будем говорить, что F (Ax + b) получена из F линейной заменой переменных.

Пример 1: (x) = (x). Это непосредственно следует из вычисления ((x), (x)) = ((x), (x)) = (0) = ((x), (x)).

Пример 2 (сдвинутая -функция):

Словами эту формулу читают так:

-функция, сдвинутая на x0, сопоставляет всякой пробной функции е значение в точке x0.

Нелинейная замена переменных в обобщнных функциях есть поняе тие значительно более деликатное, чем линейная замена переменных.

Мы рассмотрим его только применительно к одномерной -функции.

Пусть a : R R обычная (т. е. не обобщённая) функция и h1, h2,..., hk,... произвольная -образная последовательность в R. Символом (a(x)) обозначают обобщнную функцию, действующую на прое извольную пробную функцию по правилу ((a(x)), (x)) = lim (hk (a(x)), (x)) = lim hk (a(x))(x) dx.

При этом говорят, что (a(x)) получена из (y) заменой переменной y = a(x).

Отметим, что корректность этого определения нуждается в обосновании: надо убедиться, что использованный в определении предел существует для любой -образной последовательности h1, h2,..., hk,... и не зависит от выбора этой последовательности. Мы, однако, не будем углубляться в вопросы обоснования, а посмотрим, к каким выводам приводит это определение.

Теорема. Пусть функция a : R R непрерывно дифференцируема и имеет только простые нули x1, x2,... (напомним, что число y называется простым нулм функции a, если a(y) = 0, но a (y) = 0). Тогда справедливо равенство Доказательство. Фиксируем основную функцию. Пусть R положительное число, такое что (x) = 0 для всех |x| R. Тогда ((a(x)), (x)) = lim (hk (a(x)), (x)) = Замкнутый отрезок [R, R] содержит лишь конечное число нулей функции a. В самом деле, в противном случае нашлась бы бесконечная ограниченная последовательность нулей функции a. Как известно, из такой последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Обозначив предел этой подпоследовательности через x0, мы видим, что x0 является нулм функции a и в любой окрестное сти точки x0 содержится бесконечно много нулей a. Однако по условию теоремы все нули функции a, в том числе x0, являются простыми, а значит у x0 есть окрестность, не содержащая других нулей функции a. Полученное противоречие доказывает, что в замкнутом отрезке [R, R] содержится лишь конечное число нулей функции a. Обозначим их через x1, x2,..., xN.

Для каждого j = 1, 2,..., N обозначим через Ij открытый интервал, содержащий точку xj и такой маленький, что функция a строго монотонна на Ij и никакие два интервала Ij не пересекаются.

Поскольку h1, h2,..., hk,... -образная последовательность, то для каждого k существует положительное число k такое, что hk (y) = 0 для всех |y| k. Более того, k 0 при k. Из последнего вытекает, что существует номер k0 такой, что для всех k k0 и любой концевой точки x интервала Ij (j = 1, 2,..., N ) справедливо неравенство |a(x)| k.

Заменим интервал Ij содержащимся в нм меньшим замкнутым оте резком Ij,k таким, что в любой концевой точке x отрезка Ij,k справедливо равенство a(x) = ±k.

Тогда вне N Ij,k имеет место неравенство |a(x)| k, а значит hk (a(x)) = 0. Вместе с тем сужение функции a на каждый из отрезков Ij,k является диффеоморфизмом. В частности, на каждом из отрезков Ij,k у функции a есть обратная функция, дифференцируемым образом отображающая отрезок [k, k ] на Ij,k. Обозначим эту обратную функцию через a1.

Учитывая сказанное, мы можем продолжить равенство (4) следующим образом:

На каждом из отрезков Ij,k делаем замену переменной x = a1 (y):

Поскольку hk (y) = 0 для |y| k, то распространим интегрирование на всю числовую прямую и воспользуемся теоремой о сходимости -образной последовательности:

Используем определение -функции и тот факт, что a1 (0) = xj :

Поскольку все нули функции a, кроме x1, x2,..., xN, лежат вне отрезка [R, R], то в каждом из них обращается в нуль; поэтому мы можем распространить суммирование на все нули функции a. Воспользовавшись ещ определением сдвинутой -функции, получим:

Тем самым мы видим, что функции (a(x)) и j |a (xj )| одинаково действуют на любую пробную функцию, а значит совпадают. Теорема доказана.

Считая a вещественным числом, отличным от нуля, докажите следующие равенства в D (R):

23. Докажите равенство 24. Докажите предельное соотношение в D (R) Обратите внимание, что это предельное соотношение соответствует тому факту, известному вам из темы Ряды Фурье, что интеграл Пуассона принимает заранее предписанные значения на границе единичного круга. Сумма ряда из обобщнных функций понимается, конечно, как предел последовательности частичных сумм этого ряда.

Наводящие соображения таковы: если f L1,loc (G) и a : G C бесконечно дифференцируемая функция, то результат действия регулярной обобщнной функции af на произвольную пробную функцию может быть представлен в виде т. е. как результат действия f на пробную функцию a. (То, что a является пробной, почти очевидно: она бесконечно дифференцируема и зануляется вне носителя функции, а значит вне некоторого замкнутого ограниченного подмножества в G.) Эти наводящие соображения делают естественным следующее определение. Пусть F D (G) и a : G C бесконечно дифференцируемая функция. Произведением обобщнной функции F на бесконечно дифференцируемую функцию a называется новая обобщнная функция aF, действующая на произвольную основную функцию по правилу (aF, ) = (F, a).

Пример 1: a(x)(x) = a(0)(x). В самом деле, для любой основной функции D(G) мы имеем (a(x)(x), (x)) = ((x), a(x)(x)) = = a(0)(0) = a(0)((x), (x)) = (a(0)(x), (x)).

Пример 2: xP x = 1. В самом деле, для любой основной функции D(G) имеем Замечание. Выше мы научились умножать любую обобщнную е функцию на бесконечно дифференцируемую. Может случиться, что результат действия данной конкретной обобщнной функции F на произе ведение a корректно определн для любой основной функции, хотя a и не является бесконечно дифференцируемой (это верно, например, в отношении -функции и произвольной непрерывной функции a).

Тогда говорят, что формула (aF, ) = (F, a) вс равно определяет уме ножение F на a. Однако значительно более важным является следующее наблюдение: во всм пространстве обобщнных функций нельзя определить операцию умножения двух функций так, чтобы она была коммутативна, ассоциативна и совпадала с ранее введнной операцией умножения для бесконечно дифференцируемых функций. Действительно, если бы такая операция существовала, то на основании примера мы бы получили (x(x))P 1 = 0 · P x = 0. С другой стороны, пользуясь последовательно коммутативностью и ассоциативностью умножения и примером 2, мы бы получили (x(x))P 1 = ((x)x)P x = (x)(xP 1 ) = = (x) · 1 = (x). Тем самым мы бы пришли к противоречию, поскольку (x) = 0.

25. Докажите равенства 26. Докажите, что для любого натурального m в D (R) справедливо равенство xm P x = xm1.

27. Докажите, что при любом выборе постоянных ck функция F (x) = k= ck (xk) является решением уравнения (sin x)F (x) = 0.

28. Докажите, что для того, чтобы обобщнная функция F D (R) удовлетворяла соотношению xF = 0, необходимо и достаточно, чтобы F была пропорциональна -функции, т. е. чтобы нашлась постоянная C такая, что F = C.

§ 5. Дифференцирование обобщнных функций.

Плотность заряда электрического диполя. Теорема о связи классической и обобщнной производных Вновь начнм с наводящих соображений: если функция f : R C непрерывно дифференцируема, а функция : R C пробная, то на основании формулы интегрирования по частям получаем Внеинтегральный член здесь равен нулю, поскольку функция тождественно зануляется вне некоторого конечного промежутка.

Указанные наводящие соображения придают смысл следующему определению. Пусть G область в Rn и некоторый мультииндекс.

Производной порядка обобщнной функции F D (G) называется ное вая обобщнная функция D F, которая действует на любую основную функцию D(G) по правилу (D F, ) = (1)|| (F, D ).

Пример 1: производная одномерной -функции сопоставляет пробной функции минус значение е производной в нуле. В самом деле, Аналогично ( (k), ) = (1)k (k) (0).

Функция Хевисайда, или единичная ступенька, определяется равенством Обратите внимание, что мы вообще никак не определяем эту функцию в нуле. Дело в том, что мы намерены трактовать функцию Хевисайда как регулярную обобщнную функцию, т. е. нас будет интересовать значение интеграла от произведения функции Хевисайда на основную функцию. Значение же интеграла не зависит от того, как именно мы определим подынтегральную функцию в одной точке (и даже на множестве меры нуль).

Пример 2: производная функции Хевисайда равна -функции, т. е.

H =. Действительно, Основная идея последнего примера может быть без особых проблем распространена на все кусочно-гладкие функции, с которыми вы знакомы по темам Ряды Фурье и Преобразование Фурье. Отсылая читателя к этим темам за формальным определением, напомним, что функция f : R C называется кусочно-гладкой, если найдтся конечное е или счтное множество точек x1, x2,..., xk,..., не имеющее конечных предельных точек в R и такое, что на каждом из открытых интервалов (xk, xk+1 ) функция f непрерывно дифференцируема, а в каждой концевой точке xk имеет не только конечные пределы как слева, так и справа, но и некоторые специальные пределы, похожие на производные слева и справа (что, впрочем, сейчас нам не потребуется).

Каждую кусочно-гладкую функцию f : R C можно, конечно, трактовать как регулярную обобщнную функцию. Производную этой водной функции f и обозначать через fоб. Помимо этого, свяжем с f и е классическую производную fкл, полагая во всех точках x = xk и считая, что функция fкл вообще никак не определена в точках x = xk.

Наконец, в каждой точке x = xk определим скачок функции f как разность пределов функции справа и слева в этой точке, т. е. положим Теорема (о связи классической и обобщнной производных кусочное гладкой функции). Для всякой кусочно-гладкой функции f : R C справедливо равенство Доказательство. Пусть D(R). Тогда Суммирование по k в формуле (6) достаточно вести лишь для интервалов (xk, xk+1 ), пересекающихся с отрезком [R, R], вне которого функция обращается в тождественный нуль. Но таких интервалов (xk, xk+1 ) может быть лишь конечное число (иначе последовательность x1, x2,..., xk,... имела бы конечную предельную точку, что невозможно). Поэтому вопроса сходимости в формуле (6) не возникает.

Вместе с тем ясно, что если мы расширим список x1, x2,..., xk,..., добавив к нему дополнительную точку xp (не являющуюся ни точкой разрыва f, ни точкой е излома), то формула (5) не изменится (поскольку [f ]xp = 0). Следовательно, мы можем заранее добавить две далкие дополнительные точки xp так, чтобы те замкнутые отрезки [xk, xk+1 ], по которым ведтся интегрирование в (6), покрывали отрезок [R, R].

Применив к каждому из интервалов (xk, xk+1 ) формулу интегрирования по частям и перегруппировав внеинтегральные слагаемые, можем продолжить равенство (6) следующим образом:

Таким образом, обобщнные функции fоб и fкл (x) + k [f ]xk (x xk ) одинаково действуют на любую пробную функцию, а значит совпадают.

Следующий пример устанавливает ещ один мостик между матемае тическим формализмом, позволяющим строго доказывать разнообразные соотношения для обобщнных функций, и физическими объектами.

Пример (плотность заряда точечного электрического диполя). Электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по величине, но разноимнных точечных зарядов ±, расположене ных на расстоянии l друг от друга. При этом вектор, направленный от к + и равный по величине p = l, называется дипольным моментом электрического диполя. Элементарным, или точечным, электрическим диполем называется предельная система c l 0 и + при конечном p.

Мы уже знаем, что плотность заряда, сосредоточенного в одной точке, задатся сдвинутой -функцией. Поэтому если заряд + сосредое точен в нуле, а заряд сосредоточен в точке l, то плотность электрического заряда такой системы, очевидно, задатся формулой (x) (xl). Чтобы найти плотность заряда точечного электрического диполя нужно перейти в последней формуле к пределу при l 0, считая, что p = l остатся постоянным:

= lim [(0) (l)] = lim [(0) (l)] = p[ (0)] = (p (x), (x)).

Таким образом, мы можем сказать, что p (x) является плотностью заряда точечного электрического диполя с дипольным моментом p, сосредоточенного в начале координат.

29. Докажите равенство (x) = (x).

30. Для любой обобщнной функции F D (R) докажите равенство Найдите следующие пределы в D (R):

33. Докажите, что в D (R) для любых натуральных k и m справедливы равенства В частности проверьте равенство x (x) = (x).

34. Докажите, что обобщнные функции,,,..., (k) линейно независимы над полем комплексных чисел.

35. Докажите, что если функция a бесконечно дифференцируема в R, то для любой обобщнной функции F D (R) справедлива форе мула Лейбница для дифференцирования произведения aF :

где Cn число сочетаний из n по m. В частности, докажите справедливость формулы (aF ) = a F + aF.

Вычислите f (k), k 1, для следующих функций:

36. f (x) = H(x).

37. f (x) = |x|.

38. f (x) = sign sin x.

39. f (x) = sign cos x.

Докажите равенства Найдите все производные следующих функций:

42. f (x) = xH(x).

43. f (x) = H(x) sin x.

44. f (x) = H(x) cos x.

Докажите равенства где 48. Докажите, что для любого натурального m в D (R) справедливо равенство Докажите, что стоящие справа обобщнные функции являются рее шениями в D (R) следующих уравнений при произвольном выборе параметров c1, c2, c3 :

любых постоянных ck.

§ 6. Вычисление фундаментального решения Как известно, оператор Лапласа в n-мерном евклидовом пространстве Rn сопоставляет каждой дважды непрерывно дифференцируемой функции u : Rn R число Изучая тему Замена переменных в дифференциальных выражениях в рамках курса математического анализа вы убедились, что в сферических координатах в R3 оператор Лапласа принимает вид Напомним также следующую формулу Грина, известную вам из курса математического анализа:

гается гладкой поверхностью, n единичный вектор внешней нормали в точках границы области V, u/n = u · n производная функции u в направлении вектора n.

Положим и вычислим f в смысле теории обобщнных функций.

Прежде всего, заметим, что для r = 0 формула (7) дат Фиксируем некоторую пробную функцию : R3 R и обозначим через R такое положительное число, что обращается в тождественный нуль вне шара x2 + y 2 + z 2 R2. Применяя определение производной обобщнной функции, можем написать Последний интеграл, конечно, понимается как несобственный: бесконечность является его особой точкой по определению, а начало координат поскольку функция f неограничена в нуле. Другими словами, последний интеграл понимается как предел собственных интегралов от той же функции, взятых по шаровому слою 2 x2 + y 2 + z 2 r2 при 0 и r +. Учтм, что, с одной стороны, и все е производные зануляются вне шара x2 + y 2 + z 2 R2, а с другой что f = 0 в области x2 + y 2 + z 2 0, и применим формулу Грина к (8) Второй интеграл в (9) равен нулю, поскольку функция и все е произе водные тождественно равны нулю на сфере x2 + y 2 + z 2 = R2. В первом же интеграле n представляет собой единичную внешнюю нормаль к той области, к которой применялась формула Грина, т. е. к шаровому слою 2 x2 + y 2 + z 2 R2. Поэтому n представляет собой внутреннюю нормаль к сфере x2 + y 2 + z 2 = 2, а значит дифференцирование в направлении n дат тот же результат, что и взятое с противоположным знаком дифференцирование по r:

В частности, Следовательно, мы можем продолжить (9) так:

Каждое из слагаемых, стоящих в правой части равенства (10), вычислим отдельно.

Подынтегральная функция в первом слагаемом допускает оценку Поэтому само первое слагаемое равно нулю:

Поскольку непрерывна, то из теоремы о среднем следует, что на сфере r = существует точка (x, y, z ) такая, что Учитывая, что (x, y, z ) 0 при 0, отсюда заключаем, что второе слагаемое в правой части формулы (10) равно 4(0, 0, 0) = (4, ).

Суммируя изложенное, получаем, что для любой основной функции : R3 R справедливо равенство Следовательно, Функция (x, y, z) 1/(4 x2 + y 2 + z 2 ) называется фундаментальным решением трхмерного оператора Лапласа. Важность последнего понятия будет выяснена ниже.

Докажите следующие равенства в D (R2 ):

Другими словами, докажите, что функция (2)1 ln r является фундаментальным решением двумерного оператора Лапласа.

где F (x, y) = H(x)H(y) является произведением функций Хевисайда.

Другими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением дифференциального оператора 2 /xy.

где a некоторая положительная постоянная, а Другими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением одномерного волнового оператора a2 2 /x2 2 /y 2.

где F (x, y) = 1, если |x| + |y| 1 и F (x, y) = 0 в противном случае.

Другими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением одномерного оператора теплопроводности /t 2/x2.

Наводящие соображения, относящеся к свртке обобщнных функе е ций, выглядят так. Пусть f и g и пробная функция. Тогда, последовательно используя известный вам факт коммутативности свртки быстро убывающих функций, опрее деление свртки быстро убывающих функций, законность перемены ине тегрирования в интеграле от быстро убывающих функций и линейную замену переменных x y = z, можем написать так:

То есть мы видим, что для вычисления действия свртки f g на пробе ную функцию, необходимо подействовать функцией f на результат действия функцией g на сдвинутую пробную функцию.

Как обычно, мы примем это установленое нами для хороших функций свойство в качестве определения, справедливого для всех обобщн- е причм для любой пробной функции D(Rn ) функция y (G(z), (y + z)) также является пробной. В этом случае сврткой е функций F и G называют новую обобщнную функцию F G, котое рая действует на любую основную функцию D(Rn ) по правилу (F G, ) = (F (y), (G(z), (y + z))).

Отметим, что если функция y (G(z), (y + z)) не является пробной, то свртка F G не может быть определена для любой обобщнной функции F. Вместе с тем для некоторых удачно подобранных F может оказаться, что свртка определена корректно даже в этом случае.

Свойства свртки обобщнных функций.

1) Для любой обобщнной функции F определена е свртка с -функцией. При этом F = F.

Доказательство вытекает непосредственно из определения:

(F, ) = (F (y), ((z), (y + z))) = (F (z), (z)).

2) Свртка линейна по первому аргументу, т. е. для любых чисел a1, a2 и обобщнных функций F1, F2 и G, таких, что определены свртки F1 G и F2 G, определена также свртка (a1 F1 + a2 F2 ) G, причм имеет место равенство (a1 F1 + a2 F2 ) G = a1 (F1 G) + a2 (F2 G).

Доказательство получается прямым вычислением:

((a1 F1 +a2 F2 )G, ) = ((a1 F1 +a2 F2 )(y), (G(z), (y+z))) = = a1 (F1 (y), (G(z), (y + z))) + a2 (F2 (y), (G(z), (y + z))) = 3) Свртка коммутативна, т. е. для любых обобщнных функций F и G таких, что определены свртки F G и G F, имеет место равенство Доказательство требует введения новых понятий таких, например, как носитель обобщнной функции. Для первого знакомства с теое рией обобщнных функций представляется более разумным не углубе ляться в этом месте в детали, а принять свойство 3 без доказательства, что мы и делаем.

4) Для того чтобы продифференцировать свртку, достаточно прое дифференцировать любой из сомножителей. Другими словами, если для обобщенных функций F и G определена свртка F G, то для люе бого мультииндекса определены также свртки (D F ) G и F (D G) и имеет место равенство D (F G) = (D F ) G = F (D G).

Доказательство вновь вытекает из прямого вычисления:

(D (F G), ) = (1)|| (F G, D ) = (1)|| (F (y), (G(z), D (y+z))) = Следовательно, D (F G) = F (D G) и мы доказали одно из равентств свойства 4. Другое равенство вытекает из уже доказанного с учтом е коммутативности свртки.е Замечание. Свртка обобщнных функций, вообще говоря, не асе е социативна, т. е. равенство (F1 F2 ) F3 = F1 (F2 F3 ) выполняется не всегда. В качестве примера можно взять F1 = 1 (функция, тождественно равная единице), F2 = (производная -функции) и F3 = H (функция Хевисайда).

Тогда, с одной стороны, (F1 F2, )=(1, ( (z), (y +z)))=(1, (y)) = = (1, ) = (0, ), а значит свртка F1 F2 определена и равна нулю.

Следовательно, (F1 F2 ) F3 = 0 H = 0.

= (H(y), ( (z), (y + z))) = (H(y), (y)) = (H, ) = (, ), значит свртка F2 F3 также определена и равна -функции. При этом Наконец, поскольку 0 = 1, то (F1 F2 ) F3 = F1 (F2 F3 ).

Вычислите следующие свртки в D (R):

62. Докажите, что свртка инвариантна относительно сдвига, т. е.

63. Пусть f и g локально интегрируемы в R, причм f (x) = g(x) = для всех x 0. Докажите, что свртка f g определена и задатся формулой Вычислите следующие свртки в D (R):

65. H(x) (xH(x)).

66. (x2 H(x)) (H(x) sin x).

67. (H(x) sin x) (H(x)sh x).

68. H(a |x|) H(a |x|).

§ 8. Решение дифференциальных уравнений в пространстве обобщнных функций. Теорема о фундаментальном решении линейного обыкновенного дифференциального оператора Линейным дифференциальным оператором порядка k с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в области G Rn называется выражение где суммирование ведтся по всем мультииндексам порядка k, a : G R бесконечно дифференцируемая функция, причм хотя бы для одного мультииндекса порядка k функция a не равняется нулю тождественно и D производная порядка.

Линейный дифференциальный оператор (11) действует на обобщн- е ли обобщнные функции F1 и F2 удовлетворяют равенству LF1 = F2, то говорят, что F1 является решением дифференциального уравнения LF = F2 в пространстве обобщнных функций D (G). Обобщнная функция E называется фундаментальным решением дифференциального оператора L, если LE =.

Пример. Из предыдущего параграфа мы знаем, что регулярная обобщнная функция является фундаментальным решеним трхмерного оператора Лапласа Теорема. Если E фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L с постоянными коэффициентами, то обобщнная функция F1 = E F2 является решением дифференциального уравнения LF = F2.

Доказательство немедленно следует из свойств свртки и опредее ления фундаментального решения:

Предыдущая теорема показывает, что знание фундаментального решения E оператора L с постоянными коэффициентами (например, оператора Лапласа) позволяет сводить вопрос о нахождении частного решения неоднородного уравнения LF = F2 к проблеме вычисления свёртки E F2. Но как искать само фундаментальное решение? Предыдущий параграф показывает нетривиальность этой задачи для оператора Лапласа. Общего алгоритма нахождения фундаментального решения нет, хотя для классических операторов, возникших из физических задач (т. е. оператора Лапласа, волнового оператора и оператора теплопроводности), фундаментальные решения известны уже более ста лет. Тем ценнее для нас следующая теорема, позволяющая находить фундаментальные решения обыкновенных дифференциальных операторов.

Теорема. Пусть обыкновенный линейный дифференциальный оператор в R, причм е a0 (0) = 1. Пусть функция f0 : R R C k (R) является классическим решением однородного уравнения Lf = 0, удовлетворяющим условиям f0 (0) = f0 (0) = · · · = f0 (0) = 0 и f0 (0) = 1. Тогда регулярная обобщнная функция E = H(x)f0 (x) является фундаменталье ным решением оператора L, т. е. удовлетворяет уравнению LE =.

Доказательство. Пользуясь теоремой о связи классической и обобщнной производной, последовательно получаем E (x) = H(x)f0 (x),..., E (k1) (x) = H(x)f0 (x), E (k) (x) = (x) + H(x)f0 (x). Поэтому LE = H(x)Lf0 (x) + (x) = (x), что и доказывает теорему.

Как известно, общее решение F любого линейного уравнения LF = F (не обязательно дифференциального) может быть записано в виде суммы F = Fчн + Fоо частного решения Fчн неоднородного уравнения LF = F1 и общего решения Fоо соответствующего однородного уравнения LF = 0. Действительно, каковы бы ни были F и Fчн решения уравнения LF = F1, функция Fоо = F Fчн удовлетворяет однородному уравнению LFоо = 0 в силу линейности оператора L:

LFоо = LF LFчн = F1 F1 = 0. И обратно, каковы бы ни были решение Fчн неоднородного уравнения LF = F1 и решение Fоо соответствующего однородного уравнения LF = 0, функция F = Fчн + Fоо удовлетворяет неоднородному уравнению LF = F1 : LF = LFчн + LFоо = F1 + 0 = F1.

Выше мы видели, что знание фундаментального решения оператора в некоторых случаях облегчает нахождение частного решения неоднородного уравнения. По поводу же нахождения общего решения однородного уравнения ограничимся следующими краткими замечаниями.

1) Если функция является классическим решением однородного дифференциального уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, то она, очевидно, удовлетворяет этому уравнению и в смысле теории обобщнных функций. Поэтому для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения можно применять любые методы нахождения классических решений, известные вам из курса дифференциальных уравнений.

2) При решении уравнений в обобщнных функциях неклассичее ские решения могут возникнуть, даже если все коэффициенты и правая часть бесконечно дифференцируемы. В самом деле, общим решением уравнения первого порядка xF (x) = 0 служит регулярная обобщнная е функция F (x) = c1 +c2 H(x), содержащая две произвольные постоянные c1, c2 и не являющаяся его классическим решением при c2 = 0.

3) Обобщённые решения дифференциальных уравнений не менее важны, чем классические. Стремление ограничиться только классическими решениями приблизительно так же неестественно, как и стремление найти решение обязательно среди элементарных функций. Тем не менее представляют интерес операторы (11) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, для которых при любой бесконечно дифференцируемой правой части g уравнение LF = g имеет только классические решения, т. е. всякая обобщнная функция F, удовлетворяющая уравнению LF = g, является регулярной обобщнной функцией, пое рожднной некоторой бесконечно дифференцируемой функцией. Такие операторы называются гипоэллиптическими. Им посвящена обширная математическая литература. Укажем лишь два свойства, каждое из которых гарантирует гипоэллиптичность оператора (11) с постоянными коэффициентами:

(i) у оператора есть фундаментальное решение, являющееся регулярной обобщнной функцией, порожднной обычной функцией, которая бесконечно дифференцируема всюду в Rn, кроме точки 0;

(ii) сумма ||=k a y отлична от нуля для любого ненулевого вектора y Rn.

Отметим, что каждое из свойств i и ii выполняется для оператора Лапласа, так что неоднородное уравнение F = g не имеет неклассических решений ни при какой бесконечно дифференцируемой правой части g.

В заключение вкратце обсудим еще одну проблему, связанную с решением дифференциальных уравнений в обобщнных функциях. Как вы знаете, обычно требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее определнным граничным или начальным услое виям. Однако обобщнные функции не имеют значения в точке. Как же следует понимать граничные или начальные условия?

Развитие математики предлагает такой выход из создавшейся ситуации: решение дифференциального уравнения надо искать не во всм е пространстве обобщнных функций, а в некотором подпространстве, специально подобранном для данного уравнения. Чаще всего в этой роли выступают пространства Соболева, обозначаемые через Wp (G) и определяемые следующим образом.

Пусть G Rn область с гладкой границей и 1 p вещественное число. Говорят, что обобщнная функция F D (G) принаде лежит пространству Lp (G), если F является регулярной обобщннойе функцией, порожднной обычной функцией f, модуль которой ине тегрируем по G в степени p, т. е. если для всех пробных функций справедливо равенство Говорят, что обобщнная функция F D (G) принадлежит простране ству Соболева Wp (G), если она является регулярной обобщённой функцией (т. е. принадлежит пространству L1,loc (G)) и при этом для любого мультииндекса, || = l, обобщнная функция D F принадлежит Lp (G).

Ключевую роль в понимании того, что же является граничными знаl чениями функций из пространства Wp (G) играют так называемые теоремы вложения, впервые доказанные С. Л. Соболевым и часто называемые его именем. Приведм формулировку простейшей из них.

Теорема (вложения). Пусть G и F Wp (G), причм lp n. Тогда в G существует непрерывная функция f, которая действует на любую пробную функцию так же, как F :

Другими словами, если обобщённые производные достаточно высокого порядка l у обобщнной функции являются обычными функциями, суммируемыми в достаточно высокой степени p так, что произведение lp больше размерности пространства n, то эта обобщнная функция пое рождается некоторой обычной непрерывной функцией f, т. е. обычную функцию f в формуле (12) можно подправить так, что она станет непрерывной функцией f, а функционал F при этом не изменится.

Основная идея состоит в том, чтобы требовать соблюдения граничных или начальных условий именно от соответствующей непрерывной функции f.

Пример. Линейный дифференциальный оператор называется опертором импульса и играет важную роль в квантовой механике. Теорема вложения показывает, что его целесообразно изучать в пространстве W2 (R), т. е. пространстве таких обобщнных функций, которые лежат в L2 (R) вместе со своей первой производной. Действительно, здесь l = 1, p = 2, n = 1 и lp = 2 1 = n.

Найдите фундаментальные решения следующих обыкновенных дифференциальных операторов:

74. Следуя данным ниже указаниям решите дифференциальное уравнение второго порядка где g : (0, +) R интегрируемая функция.

Предлагаемый метод решения называется методом функции Грина.

При этом функцией Грина называется непрерывное решение уравнения а) Покажите, что функция x G(x, y) имеет в точке x = y скачок и вычислите этот скачок. (Это свойство часто принимается за определение функции Грина.) б) Пусть f1 (x) и f2 (x) два линейно независимых решения однородного уравнения Покажите, что можно так выбрать постоянную c = 0, что функция будет функцией Грина. (Тем самым вы докажете существование функции Грина.) в) Покажите, что если f (x) и G(x, y) подчиняются одним и тем же граничным условиям, то (Тем самым вы выразите решение уравнения в терминах функции Грина.) г) Найдите f (x) и G(x, y), отвечающие краевому условию f (0) = 0.

Более подробно вы познакомитесь с методом функции Грина в курсах Дифференциальные уравнения и Методы математической физики.

§ 9. Преобразование Фурье обобщнных функций Как обычно, начнм с наводящих соображений: посмотрим как прее образование Фурье обычной функции действует на пробную функцию.

быстро убывающая функция в Rn, а пробная (а знаПусть f чит, тоже быстро убывающая) функция. Напомним, что прямое F+ и обратное F преобразования Фурье быстро убывающих функций в Rn в сво время были определены формулами где (x, y) обозначает скалярное произведение векторов x и y в Rn. Напомним также свойства преобразования Фурье быстро убывающих функций.

1) Равенство Парсеваля:

где черта означает комплексное сопряжение.

3) Преобразование Фурье отображает пространство быстро убывающих функций на себя, в частности для любой пробной функции найдтся быстро убывающая функция такая, что = F± []. (Чтобы убедиться в этом, достаточно положить = F [].) Но тогда Учитывая сказанное, можем написать То есть результат действия преобразования Фурье от быстро убывающей функции на пробную совпадает с результатом действия этой быстро убывающей функции на преобразование Фурье от пробной.

Как обычно, примем это свойство, установленное нами для обычных функций, в качестве определения, пригодного для всех обобщн-е ных функций: преобразованием Фурье (прямым или обратным) обобщнной функции F D (Rn ) называется новая обобщнная функция F± [F ], которая действует на произвольную пробную функцию D(Rn ) по правилу (F± [F ], ) = (F, F± []).

Пример. Вычислим преобразование Фурье -функции: (F± [], ) = Таким образом, обобщнные функции F± [] действуют на любую пробе ную функцию так же, как постоянная (2)n/2. Значит F± [] = (2)n/2.

Приведнное выше определение (F± [F ], ) = (F, F± []) имеет один существенный недостаток: мы не проверили, что функция F± [] является пробной. Однако если это не так, то данное определение будет работать не для всех обобщнных функций F, а только для тех, для которых имеет смысл величина (F, F± []).

Поэтому очень важно выяснить, каковы те пробные функции, преобразование Фурье которых также является пробной функцией. Ответ на этот вопрос шокирует: такая функция всего одна тождественный нуль! Не ставя перед собой задачи доказать этот факт строго, укажем, однако, идею доказательства для случая n = 1.

Пусть обе функции и F+ [] являются пробными, т. е. обе бесконечно дифференцируемы и зануляются вне некоторого конечного интервала, например вне |x| a. Тогда теорема Котельникова–Шеннона позволяет утверждать, что равенство имеет место для всех x R. Принимая во внимание, что (x) = 0, если |x| a, видим, что, во-первых, суммирование по k можно вести в (13) лишь в конечных пределах, и во-вторых, возникающая конечная сумма тождественно равна нулю для |x| a:

Отсюда уже можно непосредственно вывести, что все коэффициенты (k/a) в (14) равны нулю (тем не менее мы опускаем это рассуждение, как не относящееся непосредственно к теории обобщнных функций).е Однако тогда все коэффициенты (k/a) в (13) равны нулю и равна нулю тождественно.

Неужели нам придтся смириться с тем, что далеко не всякая обобе щнная функция имеет преобразование Фурье? Оказывается, в такой жертве нет необходимости: надо лишь сменить точку зрения, точнее сменить класс основных функций. А именно, работая с преобразованием Фурье, в качестве основных функций принимают быстро убывающие функции, знакомые вам по теме Преобразование Фурье, т. е. бесконечно дифференцируемые функции : Rn C, убывающие на бесконечности быстрее любого многочлена. В пространстве S(Rn ) быстро убывающих функций вводят следующее понятие сходимости: последовательность функций 1, 2,..., k,... из S(Rn ) сходится в S(Rn ), если для любых мультииндексов и последовательность функций x D 1, x D 2,..., x D k,... сходится к функции x D при k равномерно в Rn. Наконец, обобщённой функцией медленного роста называют линейный непрерывный функционал на пространстве S(Rn ) основных функций, принимающий значения во множестве комплексных чисел C. Пространство обобщнных функций медленного роста обозначае ют через S (Rn ).

Поскольку из темы Преобразование Фурье известно, что классическое преобразование Фурье переводит любую быстро убывающую функцию в быстро убывающую, то правило (F± [F ], ) = (F, F± []) действительно определяет новую обобщнную функцию F± [F ] S (Rn ) для любой обобщнной функции медленного роста F S (Rn ). Друе гими словами, теперь мы знаем наверняка, что преобразование Фурье можно применять к любой обобщнной функции медленного роста.

Отметим ещ, что идея менять класс основных функций в зависие мости от решаемой задачи стандарный прим теории обобщнных функций. Выше мы уже обсудили, что именно вынудило нас перейти от основных функций D(Rn ) к основным функциям S(Rn ). Однако если бы мы с самого начала стали развивать теорию обобщнных функций медленного роста, то все обобщнные функции у нас были бы всегда определены во всм пространстве Rn и мы не могли бы, например, рее шать дифференциальное уравнение в данной области, а не во всм е пространстве. Другой пример плодотворности смены класса основных функций доставляют гиперфункции, играющие важную роль в квантовой теории поля и представляющие собой непрерывные линейные функционалы на пространстве комплексно-аналитических функций.

Строго говоря, сейчас мы должны были бы начать изложение теории обобщнных функций медленного роста с самого начала и последовае тельно определить для них операции дифференцирования, умножения, свртки и т. д. Однако это было бы дословным повторением уже сказане ного в предыдущих параграфах. Поэтому мы сосредоточим внимание лишь на преобразовании Фурье.

Свойства преобразования Фурье обобщнных функций медленного роста:

1) преобразование Фурье линейно, т. е. для любых a, b C и любых F, G S (Rn ) справедливы равенства F± [aF + bG] = aF± [F ] + bF± [G];

2) для любого мультииндекса и любой F S (Rn ) справедливы равенства 3) для любого мультииндекса и любой F S (Rn ) справедливы равенства 4) как прямое, так и обратное преобразование Фурье являются непрерывными отображениями пространства обобщнных функций медлене ного роста в себя;

5) для любой F S (Rn ) справедливы равенства F+ [F [F ]] = F и F [F+ [F ]] = F, называемые формулами обращения.

Если обобщнные функции медленного роста F и G таковы, что имее ют смысл участвующие в соответствующих формулах операции свртки е и умножения для F, G, F± [F ] и F± [G], то справедливы ещ и такие сое отношения:

6) F± [F G] = (2)n/2 F± [F ] · F± [G];

7) F± [F · G] = (2)n/2 F± [F ] F± [G].

Другими словами, все свойства преобразования Фурье, которые мы ранее доказали для быстро убывающих функций, справедливы также и для обобщнных функций медленного роста. Более того, все перее численные свойства могут быть доказаны по одной схеме, суть которой состоит в том, чтобы, подействовав на пробную функцию одной частью формулы, перенести все выполняемые операции с обобщнной функции на пробную, воспользоваться известными свойствами преобразования Фурье быстро убывающих функций и опять перенести все операции теперь уже с пробной функции на обобщнную. Для примера приведм доказательство лишь одного из перечисленных выше свойств.

Доказательство свойства 2. Пусть быстро убывающая функция. Тогда, применяя свойство 3 к, справедливость которого в этом случае была установлена нами ранее, получаем (F± [x F (x)], ) = (x F (x), F± []) = (F, x F± []) = Значит, обобщнные функции F± [x F (x)] и (±i)|| D (F± [F ]) одинаково действуют на любую пробную функцию. Следовательно, они совпадают.

Свойство 2 доказано.

Заканчивая изучение теории обобщнных функций, вспомним, что одним из побудительных мотивов для нас было стремление найти наиболее общий класс функций, к которым можно применять свойства преобразования Фурье, ранее выведенные нами только для быстро убывающих функций. Теперь мы знаем ответ этот класс состоит из обобщн- е ных функций медленного роста. Мы заменили рутинное обоснование, скажем, законности дифференцирования интеграла по параметру принципиально новой точкой зрения и выиграли: теперь мы понимаем, что надо лишь интерпретировать изучаемую функцию как обобщнную, то-е гда пробразование Фурье от не наверняка есть и нам остатся лишь интерпретировать его как обычную функцию; если же в ответе мы получили сингулярную обобщнную функцию, то ничего не поделаешь:

каков вопрос, таков ответ.

Докажите следующие равенства в S (Rn ):

75. F± [(x)] = (2)n/2.

76. F± [1] = (2)n/2 (x).

79. F± [D (x)](y) = (2) 80. F± [x ](y) = (2)n/2 (±i)|| D (y).

81. F± [F (x)](y) = F [F (x)](y) = F± [F (x)](y).

Найдите прямое и обратное преобразования Фурье следующих функций из S (R):

82. (k) (x).

84. H(x)eax, где a 0.

85. H(x).

86. H(x).

87. sign x.

88. |x|.

89. sin x.

90. sin |x|.

7. Указ.: Обратите внимание, что для обоснования законности предельного перехода в возникающем условно сходящемся интеграле теоремы о мажорированной сходимости недостаточно. Найдите подходящую теорему у Г. М. Фихтенгольца. 10. Указ.: Используйте формулы Сохоцкого. 11. Указ.: Используйте формулы Сохоцкого. 12. -Функция и функция Хевисайда соответственно. 28. Указ.: Фиксируйте пробную функцию 0 такую, что 0 (0) = 1, и представьте произвольную пробную функцию в виде (x) = c0 (x)+1 (x), где c некоторая постоянная, а 1 некоторая пробная функция такая, что 1 (0) = 0. 31. (x).

32. (x). 36. (k1) (x). 37. sign (x) при k = 1 и 2 (k2) (x) при k 2.

38. 2 j= (1)j k1 (x j). 39. 2 j= (1)j+1 k1 (x /2 j).

42. f (x) = H(x) и f (k) (x) = (k2) (x) при k 2. 43. f (x) = H(x) cos x и f (k) (x)= j=1 (1)j1 (k2j) (x)+H(x)(sin x)(j) при k 2, где [k/2] целая часть числа k/2. 44. f (x) = (x) H(x) sin x и f (k) (x) = = j= = 2xH(1x )+(x1)(x+1), f (x) = 2H(1x2 )2(x+1)2(x1)+ + (x+1) (x1), f (k) (x) = j=1 (3j)! [(1)j1 (kj) (x+1) (kj) (x 1)] при k3. 58. F (xa). 59. (xab). 60. F (m). 61. 2(x). 64. xH(x).

65. x3 H(x)/3. 66. H(x)(x2 4 sin2 x/2). 67. H(x)(sh xsin x)/2). 68. (2a |x|)H(2a |x|). 69. H(x)ex. 70. H(x)(sin x)/. 71. H(x)ex xk1 /(k 1)!. 72. H(x)ex /2. 73. H(x) sin x. 74. (а) Скачок равен 1. (г) f (x) = = cos x 0 g(y) sin y dy + sin x x g(y) cos y dy, G(x, y) = sin x cos y, если 0 x y и G(x, y) = sin y cos x, если 0 y x. 82. ±(iy)k / 2.

83. ( i)k 2 (k) (y). 84. 1/[ 2(a±iy)]. 85. F+ [H(x)](y) = 2(yi0) = = (y) i P y и F [H(x)](y) = 2(y+i0) = (y)+ i P y. Указ.:

Воспользуйтесь непрерывностью преобразования Фурье, результатами предыдущей задачи и формулами Сохоцкого. 86. F+ [H(x)](y) = = 2(y+i0) = (y) + i P y и F [H(x)](y) = 2(yi0) = = (y) i P y. 87. F± [sign x](y) = P y. Указ.: Воспользуйтесь равенством sign (x) = 2H(x) 1 или sign (x) = H(x) H(x).

88. F± [|x|](y) = dy P y = P x2. Указ.: Воспользуйтесь равенством |x| = xsign x и результатами предыдущей задачи. 89. F± [sin x](y)= = ±i [(y ±1)(y 1)]. 90. P y±1 P y 1 1. Указ.: Воспользуйтесь равенством sin |x| = (sin x)(sign x).

сдвинутая Диполь электрический, точечный Замена переменной, нелинейная переменных, линейная Метод функции Грина Момент дипольный Носитель функции Оператор гипоэллиптический импульса Лапласа линейный дифференциальный Плотность заряда точечного электриФункционал ческого диполя Последовательность функций -образная Производная классическая обобщённая обобщённой функции Пространство Соболева Lp (G) Wp (G) Решение фундаментальное, дифференХевисайда циального оператора § 1. Пространства основных и обобщённых функций.

§ 2. Сходимость обобщённых функций.

§ 5. Дифференцирование обобщённых функций.

Плотность заряда электрического диполя. Теорема о связи § 6. Вычисление фундаментального решения § 8. Решение дифференциальных уравнений в пространстве обобщённых функций. Теорема о фундаментальном решении § 9. Преобразование Фурье обобщённых функций

 


Похожие работы:

«А. Н. Леонтьев, Ю. Д. Божескул В. П. Расщупкин, М. С. Корытов ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И РЕМОНТА СПЕЦИЗДЕЛИЙ Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) А. Н. Леонтьев, Ю. Д. Божескул В. П. Расщупкин, М. С. Корытов ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА И РЕМОНТА СПЕЦИЗДЕЛИЙ Учебное пособие Омск Издательство СибАДИ 2008 УДК 629.33 ББК 39.3 Л 47 Рецензенты: д-р. техн. наук, проф. В.С. Кушнер (ОмГТУ); д-р. техн. наук, проф. А.С. Ненишев (СибАДИ) Работа...»

«ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Ю. Б. ВИНОГРАДОВ, Т. А. ВИНОГРАДОВА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ГИДРОЛОГИИ Учебное пособие для студентов высших учебных заведений 1 УДК 556(075.8) ББК 26.22я73 В493 Р е ц е н з е н т ы: д р геогр. наук, проф. Н. И. Алексеевский (МГУ им. М. В. Ломоносова); д р геогр. наук, проф. А. М. Догановский (Российский государственный гидрометеорологический университет) Виноградов Ю. Б. В493 Математическое моделирование в гидрологии : учеб. пособие для студ....»

«Дальневосточный федеральный университет Школа естественных наук ОБРАБОТКА И ОБОБЩЕНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ ЗА ВОДНЫМ РЕЖИМОМ Учебно-методическое пособие Составитель И.А. Лисина Учебное электронное издание Владивосток Дальневосточный федеральный университет 2013 1 УДК 26.23 ББК 551.5 О-23 Обработка и обобщение наблюдений за водным режимом О-23 [Электронный ресурс] : учебно-методич. пособие / сост. И.А. Лисина. – Владивосток : Дальневост. федерал. ун-т, 2013. – Режим доступа: http://www.dvfu.ru/meteo/book....»

«Пояснительная записка Рабочая программа по географии составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта общего образования, одобренный совместным решением коллегии Минобразования России и Президиума РАО от 23.12.2003 г. № 21/12 и утвержденный приказом Минобрнауки РФ от 05.03.2004 г. № 1089, инструктивно-методического письма О преподавании предмета География в общеобразовательных учреждениях Белгородской области в 2013-2014 учебном году. Примерная структура рабочей...»

«Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета международных отношений Амурского государственного университета Тимофеев О.А. (составитель) Введение в регионоведение. Учебно-методический комплекс для студентов специальности 032301 Регионоведение (США и Канада; Китай). – Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2007. – 111 с. + Приложение. Учебно-методический комплекс по дисциплине Введение в регионоведение предназначен для студентов факультета международных отношений, обучающихся по...»

«Уважаемые выпускники! В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки (специальностям) 280400 — Природообустройство, 280300 — Водные ресурсы и водопользование] / И. Б. Рыжков.— Санкт-Петербург [и др.] : Лань,...»

«ФГОУ ВПО Ставропольский государственный аграрный университет Научная библиотека Информационно-библиографический центр В помощь студентам, выполняющим курсовые и дипломные работы (проекты) Библиографический указатель Ставрополь 2011 УДК 016:378.147 ББК 74.58 я1 В 11 Составитель: Г. П. Васильева В помощь студентам, выполняющим курсовые и дипломные работы (проекты) : библиографический указатель / сост. Г. П. Васильева. – Ставрополь : НБ СтГАУ, 2010. – 22 с. – (127 источников, 2004–2010 г г.) В...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ ПРАКТИЧЕСКОЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНАМ ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК НАУЧНОГО И ДЕЛОВОГО ОБЩЕНИЯ ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК ДЛЯ ВЕДЕНИЯ НАУЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ, ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК (АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК), ДЕЛОВОЙ ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК (АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК) (для студентов образовательно-квалификационного уровня магистр) Харьков – ХНАГХ – Методические...»

«Периферийные устройства вычислительной техники Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников 2013 Введение Предлагаемые программой разделы учебной дисциплины позволят студентам изучить: организацию системы ввода – вывода информации, классификацию периферийных устройств; аппаратную и программную поддержку работы периферийных устройств: контроллеры, адаптеры, мосты, прямой доступ к памяти, приостановки, прерывания, драйверы; современные и перспективные интерфейсы и шины...»

«СПЕЦИАЛЬНОЕ ИЗДАНИЕ ДЛЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ СИСТЕМЫ ГАРАНТ. Новости от 08 ноября 2010 г. Горячая линия поддержки пользователей: 634034, г. Томск, ул. Красноармейская, 20, тел. 25-32-69, 25-32-79 Сервисный центр: 634034, г. Томск, ул. Красноармейская, 20, тел. 52-74-45, 52-73-34, 52-72-91 Филиал в г. Стрежевой: ул. Строителей, 192, тел/факс (38259) 3-61-10, E-mail: strj@garant.tomsk.ru Филиал в г. Северск: ул. Транспортная, 32, офис 129, тел. (3823) 99-05-01, E-mail: garants@mail.tomsknet.ru Отдел...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа В.П. Лушпей ПЛАНИРОВАНИЕ ОТКРЫТЫХ ГОРНЫХ РАБОТ (ПРАКТИКУМ) Методические указания для студентов, обучающихся по направлению 130400 Горное дело по специализации 130403.65 Открытые горные работы очной и заочной форм обучения Учебное электронное издание Владивосток Издательский дом Дальневосточного федерального университета 2013 УДК 622.271.32 ББК 33 Л82 Автор: Лушпей Валерий Петрович,...»

«ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ОБРАЗОВАНИЕ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ О.И. ЗЕЛЕНОВА К.В. ЗИНЬКОВСКИЙ СТРАТЕГИЧЕСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ РЕСУРСОВ Учебное пособие Москва 2008 Глава 1. Стратегический менеджмент человеческих ресурсов: эволюция подходов и современная ситуация Управление людьми – критичный фактор для обеспечения устойчивых конкурентных преимуществ организации. Формирование научных подходов к управлению людьми в организациях началось вместе с...»

«ЦЕНТР МИГРАЦИОННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ при содействии Программы поддержки высшего образования Института Открытое Общество (HESP OSI) и Бюро ЮНЕСКО в Москве Методология и методы изучения миграционных процессов Междисциплинарное учебное пособие Под редакцией Жанны Зайончковской Ирины Молодиковой Владимира Мукомеля Москва 2007 УДК 314.7 ББК (С)60.7 Книга подготовлена при содействии Программы поддержки высшего образования Института Открытое Общество (HESP OSI) Издано при поддержке Бюро ЮНЕСКО в Москве...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Курганский государственный университет УЧЕБНАЯ, НАУЧНАЯ И МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ РУКОПИСЕЙ К ИЗДАНИЮ КУРГАН 2012 Составители: А.В. Зайцев, Я.А. Борщенко, О.Г. Арефьева, Н.М. Быкова. Рекомендованы методическим советом университета 21 декабря 2012 года. РАЗРАБОТАНЫ на основе издания: Учебная, научная и методическая литература [Текст] :...»

«•ржО ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО РОССИЙСКИЕ ЖЕЛЕЗНЫЕ ДОРОГИ СОАО РЖД) РАСПОРЯЖЕНИЕ б91р ^1 марта 2013 ^ ^f^ Москва ОбутверяеденииМетодического пособия поделовому этикету ваппаратеуправления открытого акционерного общества Российские железные дороги В целях развития положений Кодекса деловой этики ОАО РЖД, утвержденного решением совета директоров ОАО РЖД (протокол от 28 ноября 2012 г. № 19) и внедрения в практику единых норм и стандартов делового этикета: 1.Утвердить прилагаемое Методическое...»

«by УДК 677. 071. 188 (07) к.т.н., доц. Медвецкий С.С. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ tu. Учреждение образования Витебский государственный технологический университет РЕКОМЕНДОВАНО УТВЕРЖДАЮ vs редакционно-издательским Первый проректор УО ВГТУ советом УО ВГТУ _ В.В. Пятов С.И. Малашенков 2010 г. _2010 г. in. Автоматизация технологических процессов на чесальном и lsp ленточном оборудовании Методические указания к лабораторным работам по курсу Технологические процессы и аппараты...»

«Министерство образования Российской Федерации Челябинский государственный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по подготовке к защите докторской и кандидатской диссертаций Челябинск 2002 Цель настоящего пособия заключается в оказании помощи соискателям ученых степеней и руководителям диссертационных советов в правильной организации процедуры приема, предварительной экспертизы и защиты диссертации. В приложение вошли основные документы ВАК Министерства образования России о порядке присуждения...»

«Московская финансово-промышленная академия Тютюнник А.В. Бухгалтерский учет в банках Москва 2004 УДК 657.336 ББК 65.052 Т 986 Тютюнник А.В. Учебное пособие по дисциплине Бухгалтерский учет в банках / Московская финансово-промышленная академия. - М. 2004. – 101 с. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области антикризисного управления в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 351000 Антикризисное управление. ©...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.В. Вовкотруб,Л.Р.Фионова АРХИВОВЕДЕНИЕ Учебное пособие ПЕНЗА 2005 2 Содержание Введение 1 Государственные архивы 1.1 Архивы в Древнерусском государстве, в период феодальной раздробленности, в Русском централизованном государстве ( IX-XVIIвв.) 1.2Архивы в Российской империи (XVIII в.-1917г.) 1.3 Архивы в первые годы советской власти (октябрь 1917 -1921гг.) 1.4....»

«Подписано в печать 28.04.2009 г. Тираж 50 экз. Заказ № 46 Объем 1.75 п.л. Издательство: МОУ Городской информационно-методический центр Департамента образования Администрации города Тюмени 625026, Тюмень, ул. Мельникайте, 97/2а Департамент образования Администрации города Тюмени Муниципальное образовательное учреждение Городской информационно - методический центр Методическое пособие для участников научно - практической конференции молодых исследователей Шаг в будущее Тюмень 2009 12 3....»














 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.