WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 | 3 |

«Факультет механической технологии древесины СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ И ПРОИЗВОДСТВА В ОБЛАСТИ АВТОМАТИЗАЦИИ по направлению 220700 Автоматизация технологических процессов Учебное пособие ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени С.М. Кирова» (СПбГЛТУ)

Факультет механической технологии древесины

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ И ПРОИЗВОДСТВА

В ОБЛАСТИ АВТОМАТИЗАЦИИ

по направлению 220700 « Автоматизация технологических процессов»

Учебное пособие Санкт-Петербург 2011 1 Рассмотрены и рекомендованы к изданию учебно-методической комиссией факультета механической технологии древесины от 29 июня 2011 г.

…………………………………….

Составитель:

кандидат технических наук, профессор, В.А. Втюрин Ответственный редактор кандидат технических наук, профессор, В.А. Втюрин Рецензент кафедра электротехники и электрооборудования СПбГЛТА В учебном пособии рассмотрены следующие вопросы:

фундаментальные проблемы и математические методы современной теории управления и теории систем; новые объекты и задачи управления в технике, экономике, социальных и биологических системах; универсальная природа основных принципов управления и междисциплинарный характер науки об управлении; математические модели и способы описания сложных систем; декомпозиция и агрегирование при исследовании систем управления; системы со сложной, структурой, распределенные и иерархические системы; современные методы идентификации объектов управления; методы анализа и синтеза алгоритмов управления; синтез систем управления в условиях неполной определенности; сложные классы математических моделей систем автоматизации и управления – нелинейные, нестационарные, стохастические, с распределенными параметрами – методы их анализа и синтеза; компьютерные технологии проектирования систем управления; программные средства имитации динамических систем;

методы искусственного интеллекта; развитие технических средств автоматизации и управления: роль технологий управления в современном обществе и требования к специалистам в области управления.

Оглавление 1. Фундаментальные проблемы и математические методы современной теории управления и теории систем………………………………………..… 2. Универсальная природа основных принципов управления……………… 2.1. Принцип разомкнутого управления…………………………………..... 2.2. Принцип управления по отклонению………………………………….. 2.3. Принцип управления по возмущению………………………………….. 2.4. Принцип оптимального управления…………………………………..... 3. Математические модели…………………………………………………... 3.1. Основные понятия моделирования…………………………………….. 3.1.1. Значение математического моделирования………………………….. 3.1.2. Основные виды моделей………………………………………………. 3.1.3. Основные свойства моделей………………………………………….. 3.1.4. Цели моделирования………………………………………………... 3.2. Источники воздействий и сигналы……………………………………... 3.2.1. Понятие о сигналах…………………………………………………..... 3.2.2. Синусоидальный сигнал………………………………………...….. 3.2.3.Дельта-функция Дирака и функция Хэвисайда………………………. 3.3. Технология моделирования……………………………………………... 3.3.1. Комплексное моделирование…………………………………………. 3.3.2. Основные методы решения задач моделирования………………….. 3.3.3. Погрешности моделирования………………………………………… 3.




3.4. Оценка обусловленности вычислительной задачи………………….. 3.3.5. Вычислительные методы в моделировании…………………………. 3.3.6. Контроль правильности модели……………………………………… 3.4. Моделирование линейных динамических объектов и систем……….. 3.4.1. Основные понятия и определения……………………………………. 3.4.2. Идентификация динамических объектов…………………………….. 3.4.3. Виды моделей объектов……………………………………………….. 3.5. Моделирование нелинейных объектов и систем………………………. 3.5.1. Дифференциальное уравнение………………………………………... 3.5.2. Модель для переменных состояния…………………………………... 3.6. Моделирование дискретных систем……………………………………. 3.6.1. Дискретные модели и Z-преобразования…………………………….. 3.6.2. Дискретные модели переменных состояния…………………………. 3..6.3. Некоторые понятия статистического моделирования……………… 3.6.4. Дискретные модели, учитывающие шум наблюдения……………… 4.Способы описания сложных систем……………………………………… 4.I. Логика и методология сложности……………………………………..... 4.2. Междисциплинарность как основа образования 21-го века………….. 4.3. Краткая характеристика некоторых из перспективных направлений развития теории сложных систем………………………………………….... 4.3.1. Самоорганизованная критичность……………………………………. 4.3.2. Теория риска и безопасности…………………………………………. 4.3.3. Историческая механика и стратегическое планирование…………... 4.4.4. Нейронауки…………………………………………………………… 4.5. Системы со сложной структурой……………………………………….. 5.Декомпозиция и агрегирование при исследовании систем управления... 5.1. Модели систем как основания декомпозиции…………………………. 5.2. Агрегирование и эмерджентность систем……………………………... 6. Распределенные и иерархические системы……………………………… 6.1.Иерархическая модель………………….. …………...………………..… 6.2. Сетевая модель………………………………………………………...… 6..3. Реляционная модель…………………………………………………….. 7. Методы анализа и синтеза алгоритмов управления……………………... 7.1. Решение задач анализа……………………………………...…………… 7.1.1. Понятие устойчивости и критерии устойчивости систем автоматического управления……………………………………………………………... 7.1.2. Критерий устойчивости по корням характеристического уравнения 7.1.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста……………………… 7.1.4. Определение запасов устойчивости систем автоматического управления…….………..…………………………………………………………… 7.1.5.Показатели качества переходных процессов………………………… 7.2. Решение задач синтеза…………………………………………………... 7.2.1. Назначение и виды коррекции динамических свойств САУ……….. 7.2.2. Методика синтеза САУ………………………………………………... 8. Синтез систем управления в условиях неполной определенности…….. 9. Роль технологий управления в современном обществе………………… 9.1. Роль информации в современном обществе…………………………… 9.2. Роль информационных технологий в управлении предприятием……. 9.3. Требования к специалистам в области управления………………….. Современные проблемы автоматизации и управления 1. Фундаментальные проблемы и математические методы современной теории управления и теории систем В настоящее время, когда формируется постиндустриальное информационное общество, кардинальной проблемой становится существенное увеличение удельного веса искусственных регуляторов в единой целостной системе общество – техносфера – природа. Основное внимание ученых, политиков и общественности все в большей мере концентрируется на фундаментальных проблемах управления, связанных с ресурсосберегающими технологиями, новой организацией социально-экономических систем, экологической и ядерной безопасностью открытого общества. Существенное отличие стратегий технологической деятельности в начале XXI века состоит в освоении принципиально новых типов объектов и процессов, представляющих собой весьма сложные саморазвивающиеся макросистемы. В таких открытых макросистемах возникают, как известно, кооперативные явления, базирующиеся в первую очередь не на силовых, а на информационных взаимодействиях. В результате проявления кооперативных эффектов, развивающиеся системы порождают новые структуры без каких-либо внешних силовых воздействий. Иначе говоря, в сложных макросистемах возникают процессы самоорганизации, изучаемые современной нелинейной динамикой и синергетикой. Такого рода принципиально новые кооперативные явления в сложных макросистемах следует непременно учитывать при разработке эффективных стратегий технологической деятельности человека. Эти явления и стратегии естественным образом должны быть включены в познавательные процессы новой мировоззренческой ориентации.





Современные сложные системы разнообразной природы представляют собой комплекс различных подсистем, выполняющих определенные технологические функции и связанных между собой процессами интенсивного динамического взаимодействия и обмена энергией, веществом и информацией. Указанные суперсистемы являются нелинейными, многомерными и многосвязными, в них протекают сложные переходные процессы и возникают критические и хаотические режимы. Проблемы автоматического управления такого рода динамическими суперсистемами являются весьма актуальными, чрезвычайно сложными и практически недоступными для существующей теории и методов управления. В качестве инструмента для решения этих проблем предлагается использовать принципы и методы новой синергетической теории управления (СТУ), базирующейся на идее направленной самоорганизации и управляемой динамической декомпозиции нелинейных многомерных систем. Рассматривается новая синергетическая концепция в теории системного синтеза, опирающаяся на фундаментальное свойство направленной самоорганизации синтезируемых нелинейных систем.

Существующая теория управления весьма успешно освоила методы централизованного внешнего воздействия на различные объекты, однако, наступило время пересмотра силовых подходов в задачах управления и перехода на идеи самоорганизации синергетики. Отсюда вытекает насущная потребность поиска путей целевого воздействия на процессы самоорганизации в нелинейных динамических системах. Другими словами, возникла необходимость создания способов формирования и возбуждения внутренних сил взаимодействия, которые могли бы породить в фазовом пространстве синтезируемых систем диссипативные структуры, адекватные физической (химической, биологической) сущности соответствующей системы.

В этой связи возникает фундаментальная проблема поиска общих объективных законов процессов управления, которая сводится к максимальному учету естественных свойств объекта соответствующей физической природы. Эта принципиально новая проблема системного синтеза порождает крупные самостоятельные задачи в тех предметных областях, к которым принадлежит объект управления.

Подчеркнем два фундаментальных свойства синергетических систем: это, во-первых, обязательный обмен с внешней средой энергией, веществом и информацией и, во-вторых, непременное взаимосодействие, т.е.

когерентность поведения компонентов системы. Представляется весьма перспективным для развития теории системного синтеза осуществить перенос свойств синергетических систем на конструируемые системы управления нелинейными объектами. Разумеется, при этом возникает непростая проблема перехода от естественных синергетических принципов к количественным соотношениям. Такой подход позволил построить новую СТУ, имеющую глубокое естественнонаучное обоснование как приложение принципов самоорганизации в проблемах управления. Основные особенности СТУ применительно к проблеме системного синтеза состоят, вопервых, в кардинальном изменении целей поведения синтезируемых систем; во-вторых, в непосредственном учете в процедурах синтеза естественных свойств нелинейных объектов и, в-третьих, в формировании нового механизма генерации нелинейных обратных связей. Конкретно суть этих нововведений состоит в следующем:

цель функционирования синтезируемых систем заключается в достижении целевых аттракторов — асимптотических пределов в их пространстве состояний, отражающих желаемые технологические режимы систем;

целевые аттракторы и инвариантные многообразия отражают физическую сущность процессов, протекающих в соответствующем динамическом объекте; указанные многообразия формируются на основе желаемых технологических (механических, энергетических и др.) инвариантов;

введение в процедуру синтеза инвариантных многообразий позволяет построить регулярный механизм аналитической генерации естественной совокупности отрицательных и положительных нелинейных обратных связей, которые формируют процессы направленной самоорганизации в синтезируемых системах.

Таким образом, при синергетическом подходе к синтезу систем целью их функционирования, в отличие от классической теории автоматического регулирования и теории оптимального управления, является не только выполнение требований к характеру переходного процесса, но и, в первую очередь, обеспечение желаемого асимптотического поведения системы на аттракторе или в его близкой окрестности. Это связано с тем обстоятельством, что поведение любой нелинейной диссипативной системы может быть разделено на этап переходного движения, когда ее траектории устремляются к аттрактору, и этап асимптотического движения на желаемом аттракторе — цели системы. Такой подход позволяет принципиально разрешить проблему аналитического синтеза объективных законов управления нелинейными многомерными объектами — законов обратных связей, синтезируемых на основе наиболее полных нелинейных моделей динамических объектов с непосредственным учетом их естественных закономерностей, физических (химических и др.) критериев и ограничений.

Итак, целью синтезируемой системы является достижение соответствующего желаемого аттрактора, т. е. асимптотически устойчивого конечного состояния. Размерность аттрактора — цели исходной системы — обычно существенно меньше размерности ее исходного фазового пространства.

Отсюда вытекает идеология процессов обработки информации и управления в сложных нелинейных динамических системах: для этого необходимо, чтобы указанные процессы включали, по меньшей мере, две фазы — фазу расширения и фазу сжатия фазового пространства. Эти фазы реализуются с помощью соответствующей совокупности нелинейных положительных и отрицательных обратных связей. При этом в фазе расширения в системе формируется подмножество различных альтернатив поведения для ее взаимодействия с внешней средой или другими системами. В фазе сжатия система сжимает область притяжения аттракторов, ранее построенных, в один из желаемых аттракторов — цель системы.

Существенное отличие развиваемой СТУ от классической кибернетики состоит в том, что эта теория базируется на информационнофизических взаимосодействиях в управляемых системах различной природы. При этом физическое (химическое, биологическое, экономическое и др.) начало выступает как одна из определяющих сущностей процессов управления, а сами эти процессы базируются на явлениях самоорганизации, возникающих в системах конкретной природы. Именно та или иная природа системы и вводимые законы синергетического управления и определяют в конечном итоге процессы самоорганизации, т.е. самоуправления в системах. Другими словами, в СТУ, в отличие от известной бинарной оппозиции физики и кибернетики, вещественно-энергетические и информационные взаимодействия естественным образом согласуются друг с другом, что выражается в форме соответствующих физических инвариантов и аттракторов – целей функционирования систем. При этом информационные взаимодействия отражаются в виде нового механизма генерации естественной совокупности нелинейных обратных связей и именно в этом проявляется кибернетическая сторона СТУ. Кстати, изложенные здесь положения в полной мере относятся и к социально-экономическим системам.

2. Универсальная природа основных принципов управления В технике, совокупность действий, направленных на поддержание или улучшение функционирования управляемого объекта без непосредственного участия человека в соответствии с заданной целью управления называется автоматическое управление (АУ).

А. у. широко применяется во многих технических и биотехнических системах для выполнения операций, не осуществимых человеком в связи с необходимостью переработки большого количества информации в ограниченное время, для повышения производительности труда, качества и точности регулирования, освобождения человека от управления системами, функционирующими в условиях относительной недоступности или опасных для здоровья. Цель управления тем или иным образом связывается с изменением во времени регулируемой (управляемой) величины – выходной величины управляемого объекта. Для осуществления цели управления, с учтом особенностей управляемых объектов различной природы и специфики отдельных классов систем, организуется воздействие на управляющие органы объекта – управляющее воздействие. Оно предназначено также для компенсации эффекта внешних возмущающих воздействий, стремящихся нарушить требуемое поведение регулируемой величины.

Управляющее воздействие вырабатывается устройством управления (УУ).

Совокупность взаимодействующих управляющего устройства и управляемого объекта образует систему автоматического управления.

Система автоматического управления (САУ) поддерживает или улучшает функционирование управляемого объекта. В ряде случаев вспомогательные для САУ операции (пуск, останов, контроль, наладка и т. д.) также могут быть автоматизированы. САУ функционирует в основном в составе производств, или какого-либо другого комплекса.

В любом процессе управления существует объект, которым управляют (станок, предприятие, область), и орган, который осуществляет управление (техническое средство, человек). В процессе управления этот орган получает некоторую информацию о состоянии внешней среды, где находится объект и с которым он связан. Вся эта информация воспринимается управляющим органом, который вырабатывает на ее основе руководящую информацию (принимает решения). На основе принятого решения некоторый исполнительный орган (аппарат управления, руки работающего и др.) совершают управляющее влияние на объект, которым руководят.

Вот эти три элемента (вместе с информационными связями) образуют структурную систему управления (рис. 2.1).

о внешней среде Рис. 2.1. Структурная схема системы управления Субъект управления Часто управляющий и исполнительный органы объекта управления объединяют в одно понятие — субъект управления. В таком случае систему управления можно представить как совокупность двух подсистем:

управляемой и управляющей. Самым сложным на изображенной схеме есть управляющий орган, поскольку он может своевременно перерабатывать большие объемы информации, которая поступает в него.

Цель управления Управление всегда осуществляется с определенной целью, которая всегда конкретная для заданного объекта управления и связанная с состоянием объекта и среды, в котором он находится. Очень важно определить цель управления, которая для каждого управляемого объекта может быть одна и одна и та же. Степень достижения поставленной цели управления определяется при помощи целевой функции управления. Анализ структурной схемы ИАСУ показывает, что для реализации оптимального управления не достаточно иметь целевую функцию управления и заданные для нее ограничения. Нужна также информация о состоянии объекта управления и внешней среды и о великом множестве возможных состояний элементов системы управления. Без информации не существует управления. Больше того, управление именно и являются беспрерывным процессом переработки информации: на основании одной информации вырабатывается другая, которое, в свою очередь, становится материалом для получения новой, и т.д.

Управляющие действия, которые поступают из управляющей части в управ ляемую, могут быть разные по характеру: энергетические, материальные, информационные – в зависимости от природы управляемого объекта. Среди всех систем в особенности выделяются системы, управляемым объект которых являются люди или коллективы людей. Такие системы называются системами организационного управления, или организационными. Поскольку управляющие действия в них направленные на организацию (согласования) поведения коллективов людей и есть информационными. Для этих систем исполняется кибернетическое определение управления как процесса целенаправленной переработки информации.

Исследуя сложные системы, в частности организационные, важно установить общие связи между отдельными элементами, то есть представить общую «картину», а не распылять внимание на детали.

Сущность принципа состоит в том, что алгоритм управления строится только на основе заданного алгоритма функционирования и не контролируется по фактическому значению управляемой величины. Схема управления имеет вид разомкнутой цепи (рис.2.2) Рис. 2.2. Схема управления по принципу разомкнутой цепи Близость х к хо обеспечивается жесткостью характеристик схемы.

При наличии значительных возмущающих воздействий f величина х может заметно отклониться от заданной, при этом управление станет непригодным и следует использовать другие принципы управления.

Такая схема получила распространение, в основном, в вычислительной технике.

Принцип управления по отклонению (принцип обратной связи). Этот принцип является одним из наиболее ранних и широко распространенных принципов управления. В соответствии с этим принципом система управления наблюдает за объектом, на который воздействуют возмущающие факторы. В результате, в поведении объекта возникают отклонения. Система управления отслеживает наблюдаемые параметры (переменные) и на основе наблюдений создает алгоритм управления. Особенность этого принципа заключается в том, что система управления начинает действовать на объект только после того, как факт отклонения уже свершился. Это и есть "обратная связь". Схема управления изображена на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Схема управления по отклонению (обратная связь) n(t) – воздействие на объект после суммирования сигналов При такой схеме полная компенсация влияния возмущающих воздействий невозможна. Тем не менее, схема управления с обратной связью получила наибольшее распространение на практике. Это объясняется простотой ее реализации.

Обратная связь – одно из основных понятий теории управления. Вообще обратной связью называется любая передача влияния из выхода той или другой системы на его вход. В системах управления обратную связь можно определить как информационную связь, с помощью которой в управляющую часть поступает информация о следствиях управления объектом, то есть информация о новом состоянии объекта, который возник под влиянием управляющих действий.

Благодаря наличию обратной связи сложные системы в принципе могут выходить за пределы действий, которые предусмотрены и определены их разработчиками. Ведь обратная связь создает в системе новое качество: способность накоплять опыт, определять свое будущее обращение в зависимости от обращения к минувшему, то есть самообучаться.

Обратную связь можно обнаружить во многих процессах в природе.

Примером могут служить вестибулярный аппарат, обнаруживающий отклонение тела от вертикали и обеспечивающий поддержание равновесия, системы регуляции температуры тела, ритма дыхания и т.д. В организациях обратная связь при управлении устанавливается посредством осуществления контроля исполнения. Принцип обратной связи является весьма универсальным фундаментальным принципом управления, действующим в технике, природе и обществе.

2.3. Принцип управления по возмущению Принцип управления по возмущению – принцип компенсации. Отклонение регулируемой величины зависит не только от возмущающего воздействия, но и от управления. Принцип управления по возмущению основывается на том, что система управления наблюдает за возмущающими факторами и, учитывая их, строит алгоритм управления так, чтобы действие этих факторов на систему компенсировалось. Функциональная схема управления по возмущению показана на рис. 2.4.

Рис.2.4. Функциональная схема управления по возмущению:

n(t) – воздействие на объект после суммирования сигналов Данная схема применяется в случае, когда влияние возмущающих воздействий существенно, и в случае отсутствия их учета система может сильно отклоняться от желаемого состояния.

При такой схеме теоретически возможна полная компенсация влияния возмущений, но только по тем воздействиям, по которым ведется учет.

Однако в реальной системе невозможно вести учет всех возмущений, поэтому невозможна и полная компенсация их влияния.

Системы управления по возмущению в сравнении с системами, действующими по отклонению, отличается обычно большими устойчивостью и быстродействием. К их недостаткам относятся трудность измерения нагрузки в большинстве схем, неполный учет возмущений (компенсируются только те возмущения, которые измеряются). Во многих случаях весьма эффективно применение комбинированного управления по возмущению и отклонению. Комбинированное управление объединяет достоинства двух принципов, но, естественно, схема управления усложняется, а затраты увеличиваются.

2.4. Принцип оптимального управления В соответствии с этим принципом управление должно быть наилучшим. Можно выделить два типа задач оптимального управления:

оптимизация конечного состояния объекта управления. Исследуется и оптимизируется конечное состояние объекта, каким "путем" объект пришел в это состояние не учитывается. Задачи этого типа получили распространение в системах организационного и социально – экономического управления. Например, задача планирования выпуска продукции.

Решаются такие задачи с использованием методов математического программирования (метода исследования операций).

оптимизация динамики (переходного процесса) состояния объекта управления. Рассматривается траектория переходного процесса, а конечный результат не представляет интереса. Эти задачи наиболее применимы в технике и при управлении технологическими процессами. Решаются они на основе вариационного исчисления, таких методов, как принцип максимума Понтрягина, Беллмана и др.

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Математическое моделирование основано на достижениях математики – как классической, так и новейшей компьютерной, ориентированной на выполнение вычислений с помощью современных компьютеров. Чтобы работать с такой мощной системой математического моделирования, как Simulink, нужен определенный минимум теоретических знаний по математике, численным методам и математическому моделированию. Он и содержится в данном разделе.

3.1. Основные понятия моделирования 3.1.1. Значение математического моделирования Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим адекватное с оригиналом поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей.

Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала, путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае, когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать. Вопросам моделирования посвящена обширная литература.

Исключительно велика роль моделирования в ядерной физике и энергетике. Достаточно сказать, что замена натурных ядерных испытаний моделированием не только экономит огромные средства, но и благоприятно сказывается на экологии планеты Земля. А такое явление, как «ядерная зима», вообще может исследоваться только на моделях, поскольку произойди оно на самом деле, это означало бы уничтожение жизни на Земле.

Запрет на испытания ядерного оружия стал возможен также благодаря самым изысканным средствам моделирования ядерных и термоядерных процессов. Трудно переоценить роль моделирования в космонавтике и авиации, в предсказании погоды, в разведке природных ресурсов и т. д.

Однако не только такие показательные примеры демонстрируют роль математического (и компьютерного) моделирования. На самом деле моделирование даже самых простых и широко распространенных устройств, например работы сливного бачка в туалете или электрического утюга, ведет к огромной экономии средств и улучшению качества массовых изделий. Чем сложнее проектируемый объект, тем, как правило, важнее роль моделирования в его изучении и создании. Самое широкое применение моделирование находит в механике и физике, электротехнике, радиотехнике и электронике, в технике обработки сигналов и коммуникаций.

В свою очередь, успехи в этом направлении способствуют созданию аппаратных и программных средств математического моделирования.

Трудно переоценить роль моделирования в образовании, где нередко реальные дорогие лабораторные работы приходится заменять компьютерным моделированием. Но, пожалуй, главное заключается в том, что математическое моделирование позволяет понять физическую и математическую сущности моделируемых явлений и обосновать оптимальные подходы к проектированию самых различных изделий.

Реальная польза от моделирования может быть получена при выполнении двух главных условий:

• модель должна быть адекватной оригиналу в том смысле, что должна с достаточной точностью отображать интересующие исследователя характеристики оригинала;

• модель должна устранять проблемы, связанные с физическим измерением каких-то сигналов или характеристик оригинала.

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на два обширных класса.

Физические модели. Они предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые интересуют исследователя. Упрощенные физические модели, нередко уменьшенных габаритов, называются макетами. Поэтому физическое моделирование часто именуют макетированием.

Математические модели. Они представляют собой формализованные описания объекта или системы с помощью некоторого абстрактного языка, например в виде совокупности математических соотношений, или схемы алгоритма. Различают следующие виды математического моделирования: вербальные (словесные), графические, табличные, аналитические и алгоритмические. Нередко математические модели оказываются пригодными для описания множества систем и явлений в самых различных областях науки, техники и экономики.

Иногда математическая модель описывается уравнениями, которые явно вытекают из рассмотрения физической сущности моделируемого явления или системы. Примером может служить экспоненциальное выражение для вольтамперной характеристики полупроводникового диода (теория предсказывает именно такой ее вид). Однако чаще описание моделируемых объектов и систем носит чисто формальный характер и базируется на том, что многие явления порой самой различной природы описываются уравнениями (алгебраическими, дифференциальными и иными) одного и того же вида. В этом случае говорят о формальных моделях. Например, формальной моделью того же диода служит модель в виде отрезков двух прямых: один задает сопротивление диода в открытом, а другой – в закрытом состоянии.

Если математическая модель служит для имитации поведения какого-либо реального объекта во времени, то она называется имитационной моделью. В англоязычной литературе это соответствует термину Simulation Modeling (в смысле симуляции поведения). К уточнению понятия имитационной модели мы еще вернемся. Пока лишь отметим, что именно имитационное моделирование является основным для пакета расширения Simulink системы MATLAB, что прямо видно из названия этого пакета.

Кроме того, явления, системы и их модели могут быть н естационарными и стационарными. Нестационарные модели характеризуются зависимостью их параметров от времени. У стационарных моделей такой зависимости нет. Естественно, что моделир ование нестационарных явлений гораздо сложнее, чем стациона рных.

Модели обладают рядом свойств, от которых зависит успех их применения в практике моделирования. Отметим лишь некоторые из них, наиболее важные.

• Адекватность – это степень соответствия модели иссл едуемому реальному объекту. Она никогда не может быть полной.

На практике модель считают адекватной, если она с удовлетв орительной точностью позволяет достичь целей исследования.

• Простота (сложность) также является одной из характер истик модели. Чем большее количество свойств объекта описыв ает модель, тем более сложной она оказывается. Не всегда чем сложнее модель, тем выше ее адек ватность. Надо стремиться найти наиболее простую модель, позволяющую достичь требу емых результатов изучения.

• Потенциальность (предсказателъностъ) – способность модели дать новые знания об исследуемом объекте, спрогнозир овать его поведение или свойства. На основе изучения математически х моделей, описывающих движение планет Солнечной системы с учетом закона всемирного тяготения, тео ретически были предсказаны существование и орбиты планет Нептун и Плутон.

Есть и другие свойства моделей, но они не столь важны, как отмеченные.

Существует множество конкретных целей моделир ования.

Отметим две цели обобщающего значения:

• изучение механизма явлений (познавательная цель);

• управление объектами и системами с целью выр аботки по модели оптимальных управляемых воздействий и характеристик системы.

В обоих случаях модель создается для определения и пр огноза интересующих нас характеристик или сигналов объекта.

Чаще всего целью моделирования является изучение ре акции системы или устройства на некоторые воздействия, в кач естве которых нередко используются сигналы. Иногда их называют стандартными, или тестовыми, сигналами.

Слово «сигнал» происходит от латинского слова «сигнум» – знак.

Итак, сигналы – это знаки (символы), о назначении которых мы заранее условились. Такова информационная трактовка сигнала. В физикоматематическом представлении под сигналом можно подразумевать функциональную зависимость некоторого параметра (например, напряжения, тока, усилия, расстояния и т. д.) от другого параметра (например, времени, интенсивности света и т. д.). Однако отождествлять сигнал просто с функцией не совсем верно. Сигналы правильно рассматривать как носители информации той или иной физической природы. Это могут быть напряжения и токи (электрические сигналы), колебания воздуха при звуках (звуковые сигналы), электромагнитные волны и свет (оптические сигналы) и т. д.

Сигналы можно рассматривать также как форму, в которую облечена передаваемая, хранимая или перерабатываемая информация. Сигналы могут быть преобразованы из одного вида в другой вид (например, электрические сигналы можно преобразовать в оптические, и, наоборот) при сохранении имеющейся в сигнале информации. Сигналы могут быть стационарными, если их параметры неизменны в ходе моделирования, или нестационарными, если они меняются – чаще всего во времени.

В Simulink принято говорить о воздействиях любой физической природы. В пакете есть обширный набор источников воздействий (сигналов) и средств для простого и быстрого изменения их параметров.

С помощью источников воздействия можно оценивать поведение различных устройств и систем. К примеру, важнейшие характеристики линейных усилителей рассматриваются как его реакция на гармонический (синусоидальный) сигнал:

где U m – амплитуда сигнала, w = 2 f – круговая частота (в рад/с), f – частота (в герцах), – фаза (в долях периода Т = 1 / f или градусах). Синусоидальный сигнал является периодической функцией времени t, что соответствует равенству u(t) = u(t ± k T), где k – целое число. Синусоидальный сигнал стационарен – это означает, что его параметры (амплитуда, частота и фаза) не меняются во времени. Такой сигнал определен в интервале времени от – до +, то есть по существу он является теоретической абстракцией (достаточно отметить, что энергия подобного сигнала равна бесконечности). Естественно, что на практике сигнал такого вида рассматривается в конечном интервале времени.

3.2.3. Дельта-функция Дирака и функция Хэвисайда Целью моделирования импульсных систем и устройств часто является оценка их влияния на импульсные сигналы. В теоретическом аспекте особый интерес представляют два импульсных сигнала – единичный импульс и единичный перепад.

Единичный импульс, или -функция (дельта-функция Дирака), определяется соотношениями:

Физически этот сигнал не реализуем, но теоретически реакция на него линейной системы определяет ее импульсную характеристику.

Единичный скачок (функция Хэвисайда) определяется выражением:

Единичный перепад легко реализуется физически, а реакция системы на него есть ее переходная характеристика. Иногда применяются несколько отличные выражения для единичного перепада, например, считают его значение равным 1 при t 0.

Существует множество импульсных сигналов самой различной формы. Например, прямоугольный импульс единичной амплитуды и заданной длительности tu нетрудно получить, сложив с единичным перепадом другой перепад (с 0 на -1) с задержкой tu. Импульсные сигналы различной формы (прямоугольной, треугольной, пилообразной и прочей) создаются источниками сигналов, блоки которых есть в программах математического моделирования, например Simulink.

Реакция системы или устройства на входные сигналы, в свою очередь, может быть представлена выходными сигналами. Таким образом, вполне правомерно считать, что системы моделирования относятся к информационным системам, задача которых заключается в обработке некоторого множества входных сигналов с целью получения множества выходных сигналов. Последние могут использоваться для управления объектами и их контроля, либо просто для получения информации о закономерностях работы тех или иных систем и устройств.

Степень реализации перечисленных принципов каждой конкретной модели может быть различной. Это зависит не только от желания исследователя, но и от соблюдения им технологий моделирования. А любая технология подразумевает определенную последовательность действий.

В настоящее время самой распространенной технологией моделирования является комплексное моделирование, под которым понимается математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответствующие технологии комплексного моделирования представляют выполнение следующих действий:

• определение цели моделирования;

• разработка концептуальной модели;

• формализация модели;

• программная реализация модели;

• планирование модельных экспериментов;

• реализация плана эксперимента;

• анализ и интерпретация результатов моделирования.

Результаты комплексного моделирования используются как основа для дальнейших исследований и разработок, в том числе дорогостоящих натурных испытаний.

Основные методы решения задач моделирования На этапе программной реализации модели и реализации плана экспериментов необходим выбор методов решения задач моделирования. При этом используются три основные группы методов:

• графические – оценочные приближенные методы, основанные на построении и анализе графиков;

• аналитические – решения, строго полученные в виде аналитических выражений (пригодны для узкого круга задач);

• численные – основной инструмент для решения сложных математических задач, основанный на применении различных численных методов.

Simulink – система моделирования, основанная на применении численных методов, которые реализованы матричной системой MATLAB.

Аналитическое решение удается получить редко и чаще всего лишь при упрощенной формулировке задачи моделирования в линейном приближении. Основным средством моделирования является алгоритмический подход, реализующий вычислительный эксперимент на ЭВМ или в наши дни на персональном компьютере (ПК). Получаемое на ЭВМ решение почти всегда содержит некоторую погрешность. Абсолютная погрешность есть разность между приближенным х и точным, или идеальным, х и значениями результата, а относительная погрешность определяется как Наличие погрешности решения обусловлено рядом причин. Перечислим основные источники погрешности.

1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса (погрешность модели).

2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку являются результатами приближенных экспериментов (измерений), или решениями вспомогательных задач (погрешность данных).

3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными (погрешность метода).

4. При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении операций производятся округления (вычислительная погрешность).

Погрешности 1 и 2 – не устранимые на данном этапе решения, для их уменьшения приходится возвращаться вновь к построению математической, а и иногда и концептуальной модели, проводить дополнительное экспериментальное уточнение условий задачи.

3.3.4. Оценка обусловленности вычислительной задачи Оценка обусловленности вычислительной задачи – еще одно обязательное требование при выборе метода решения и построении математической модели.

Пусть вычислительная задача корректна. Теоретически устойчивость задачи означает, что ее решение может быть найдено со сколь угодно малой погрешностью, если только гарантировать достаточно малую погрешность входных данных. Однако на практике их точность ограничена (и величиной гораздо большей, чем м = 2 – р + 1 – машинная точность, р – порядок, округление производится усечением).

Как влияют малые, но конечные погрешности входных данных на решение? Насколько сильно они искажают результат? Ответ на это дает понятие обусловленности задачи, то есть чувствительности решения вычислительной задачи к малым погрешностям входных данных.

Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Часто возможно ввести количественную оценку степени обусловленности – число обусловленности: его можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешности в решении по отношению к вызвавшей их погрешности входных данных. Если установлено неравенство между этими погрешностями, то можно пользоваться следующими выражениями:

где – абсолютное число обусловленности, – относительное число обусловленности. Для плохо обусловленных задач 1, неустойчивость соответствует =.

При каких значениях можно считать задачу плохо обусловленной? Это зависит от требований к точности решения и от уровня обеспечиваемой точности исходных данных.

Если требуется найти решение с точностью 0,1%, а входная информация задается с точностью в 0,02%, то при = 10 уже будет плохая обусловленность.

Однако если исходные данные задаются с (x*) 0,0001%, то при = 10 3 – задача хорошо обусловлена (y*) = 0,1%.

Моделирование реализуется различными вычислительными методами. Вычислительные методы преобразуются к виду, удобному для программной реализации. Можно выделить следующие классы численных методов:

• метод эквивалентных преобразований – исходную задачу заменяют другой, имеющей то же решение: нахождение корня нелинейн ого уравнения f(x) = 0 сводят к поиску точек глобального минимума Ф(х) = (f(x))2;

• методы аппроксимации – заменяют исходную задачу другой, решение которой близко к решению исходной задачи;

• методы конечно-разностные, основанные на замене производных конечными разностями, например • прямые (точные) методы – решение может быть получено за конечное число элементарных операций (арифметические и извлечение корня). Многие прямые методы не годятся к применению в ЭВМ из-за чувствительности к ошибкам округления;

• итерационные методы – методы последовательных приближений к решению задачи. Задается начальное приближение решения, строится итерационная последовательность приближений к решению.

Если эта последовательность сходится к решению, то говорят, что итерационный процесс сходится. Множество начальных приближений, для которых метод сходится, называются областью сходимости метода;

• методы статистических испытаний (Монте-Карло) — основаны на моделировании случайных величин и построении статистических оценок решений задач (для моделирования больших систем). Для реализации этих методов используются генераторы случайных чисел.

Численные методы группируются вокруг типичных математических задач: задач анализа, алгебры, оптимизации, решения дифференциальных и интегральных уравнений, обратных задач (синтез).

Этот этап решения заканчивается выбором и обоснованием конкре тных численных методов решения, разработкой алгоритма, которые могут быть программно реализованы средствами компьютерной техники.

Для контроля правильности полученной модели может использоваться ряд приемов:

• анализ размерности – величины в левой и правой частях выражения, отдельные слагаемые в каждой из частей должны иметь одинаковую размерность;

• проверка порядков и характеров зависимостей – параметры и переменные, которые в данной задаче выражены величинами большего порядка малости, могут быть исключены из рассмотрения как несущественные, что часто позволяет значительно упростить модель и ее анализ. Характер изменения значений моделируемых величин должен соответствовать их реальному смыслу, не противоречить наблюдаемым данным;

• исследование предельных случаев – результаты моделирования при крайних значениях параметров модели, равных, как правило, нулю или бесконечности, не должны противоречить смыслу (например, энергия реальной физической системы не может оказаться бесконечно большой, время протекания процесса – отрицательным и т. п.). Модель в этом случае существенно упрощается и легче для понимания;

• проверка замкнутости и корректности математической задачи – система математических соотношений должна иметь единственное решение.

Задача называется корректной, если она удовлетворяет трем требованиям:

• ее решение существует при любых допустимых входных данных;

• это решение единственно (однозначно определено);

• решение непрерывно зависит от данных задачи – устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных.

Решение вычислительной задачи называется устойчивым по входным данным X, если оно зависит от входных данных непрерывным образом; то есть для любого 0 существует = () 0 такое, что всяким исходным данным х*, удовлетворяющим условию (x*), отвечает приближенное решение у*, для которого (y*).

Далеко не все встречающиеся на практике задачи являются корректными. К ним, например, нельзя отнести обратные задачи геофизики, астрофизики, спектрографии, распознавания образов, синтез и многие другие важные прикладные проблемы. Свойство корректности задачи имеет большое значение для выбора метода решения. К некорректным задачам неприменимы обычные численные методы вычислительной математики.

Строгий анализ корректности во многих случаях математически сложен, и ограничиваются проверкой соответствия количества неизвестных и связывающих их уравнений в модели.

3.4. Моделирование линейных динамических объектов и систем Человек в своей повседневной практической деятельности широко использует различные модели, которые применяются либо для изучения механизма явлений, происходящих в системах и объектах, либо для прогнозирования их функционирования. Так, в области теории управления широкое распространение получили математические модели объектов управления, используемые как для анализа, так и для синтеза систем регулирования.

Рассмотрим понятие «объект управления». Обычно под объектом управления понимается часть окружающего нас мира, поведение которой нас интересует и на которую мы, можем целенаправленно воздействовать, то есть управлять ею.

Для облегчения работы с разнообразными объектами управления их разбивают на группы:

• статические объекты;

• динамические объекты;

• линейные объекты;

• нелинейные объекты;

• непрерывные объекты;

• дискретные объекты;

• стационарные объекты;

• нестационарные объекты;

• объекты с сосредоточенными параметрами;

• объекты с распределенными параметрами и т. д.

Под моделью обычно понимается выраженная в той или иной форме информация о наиболее существенных характеристиках объекта. По способу представления данной информации выделяют следующие типы моделей:

• словесные, или вербальные модели;

• физические модели (уменьшенные копии реальных объектов, иногда другой физической природы, позволяющие имитировать процессы в исследуемом объекте);

• математические модели (информация об исследуемом объекте или системе представляется в виде математических терминов).

В свою очередь, математические модели делятся на:

• графические;

• алгоритмические;

• аналитические.

В частности, аналитические модели представляют собой отражение взаимосвязей между переменными объекта в виде математической формулы или группы таких формул.

Моделирование основано на двух основополагающих признаках:

• на принципе практической ограниченности количества фундаментальных законов природы;

• на принципе подобия, означающем, что явления различной физической природы могут описываться одинаковыми математическими зависимостями.

Процедуру построения модели принято называть идентификацией, при этом данный термин обычно относится к построению аналитических математических моделей динамических объектов.

3.4.2. Идентификация динамических объектов Динамический объект — это объект, выход которого зависит не только от текущего значения входных сигналов, но и от их значений в предыдущие моменты времени. Идентифицируемый объект принято представлять в виде, показанном на рис. 3.1, где t — время; u(t) — контролируемый (иногда управляемый) входной сигнал; y (t) — теоретический выход объекта; y(t) — наблюдаемый выход объекта; е(t) — аддитивная случайная помеха, отражающая действие неучитываемых факторов (шум наблюдения).

Рис. 3. 1. Общее представление идентифицируемого объекта О Обычно предполагают, что связь между входным и «теоретическим»

выходным сигналами задается в виде некоторого оператора (оператор — правило преобразования какой-либо функции в другую функцию):

при этом наблюдаемый выход объекта может быть описан соотношением Цель идентификации: на основании наблюдений за входным u(t) и выходным y(t) сигналами на каком-то интервале времени определить вид оператора, связывающего входной и теоретический выходной сигналы.

Иногда задачу определения математической зависимости можно решить чисто аналитическим путем.

Пример. Рассмотрим простейший сглаживающий фильтр (RС-цепь), показанный на рис. 3.2.

Исходя из известных законов электротехники, для него можно записать:

где Uвх(t) = u(t), Uвых(t) = y(t), Воспользоваться полученным соотношением (дифференциальным уравнением первого порядка) для определения выхода объекта при известном входном сигнале, однако, нельзя до тех пор, пока не установлены численные значения параметров R и С, входящих в модель. Более того, рассматривая другие примеры, можно прийти к выводу, что теоретический анализ с использованием известных физических законов, процессов и явлений, происходящих в объектах, дает возможность установить только структуру модели с точностью до ряда неизвестных параметров. Если такая структура (с точностью до вектора коэффициентов ) известна, то при известном входном сигнале u(t) описание объекта можно представить в виде где F — функция известного вида, зависящая от и времени t.

Последнее уравнение позволяет после проведения эксперимента, заключающегося в фиксации входного и выходного сигналов на каком-то интервале времени, провести обработку экспериментальных данных и каким-либо методом (например, методом наименьших квадратов) найти оценку вектора параметров.

Отметим, что при экспериментальном определении параметров модели необходимо обеспечить:

• подбор адекватной структуры модели;

• выбор такого входного сигнала, чтобы по результатам эксперимента можно было найти оценки всех параметров модели.

Наиболее просто задача определения параметров решается для линейных объектов, для которых выполняется принцип суперпозиции. Здесь можно выделить два случая:

1. Объект линеен по входному воздействию:

2. Объект линеен по параметрам:

В задачах идентификации под линейными объектами чаще понимают объекты, линейные по входному воздействию.

С учетом изложенного можно уточнить понятие идентификации.

Под идентификацией динамических объектов понимают процедуру определения структуры и параметров их математических моделей, которые при одинаковых входном сигнале объекта и модели обеспечивают близость выхода модели к выходу объекта при наличии какого-то критерия качества.

Обычно идентификация — многоэтапная процедура. Основные ее этапы следующие:

1. Структурная идентификация заключается в определении структуры математической модели на основании теоретических соображений.

2. Параметрическая идентификация включает в себя проведение идентифицирующего эксперимента и определение оценок параметров модели по экспериментальным данным.

3. Проверка адекватности — проверка качества модели в смысле выбранного критерия близости выходов модели и объекта.

Отметим, что в связи с многообразием объектов и различных подходов к их моделированию существует множество вариантов задачи параметрической идентификации, классификация которых показана на рис. 3.

Рис. 3. 3. Классификация задач идентификации Дальнейшее изложение будет относиться к линейным стационарным динамическим объектам.

Рассмотрим основные виды моделей линейных непрерывных стационарных динамических объектов и их взаимосвязь (действием шума e(t) пока пренебрегаем).

1. Дифференциальное уравнение. Наиболее универсальная модель, имеющая форму где na — порядок модели (na nb), ai и bj — постоянные коэффициенты (параметры модели), u(j)(t) и y(i)(t) — производные, соответственно, входного и выходного сигналов.

2. Передаточная функция При моделировании линейных систем часто используется операторный метод. Особенно широко он применяется в эле ктрои радиотехнике. Например, в ли нейных цепях замена применения операторного метода позволяет свести диф ференциальные уравнения к алгебраическим уравнениям и резко упростить ан ализ цепей.

Одним из главных понятий линейных систем, анализиру емых операторным методом, является передаточная характеристика – отношение преобразований Лапласа выходного и входного си гналов. Она записывается следующим образом:

где L{•} — символ преобразования Лапласа, р (или s) — комплексная переменная, именуемая оператором Лапласа. В общем случае эта характеристика записывается как отношение двух полиномов – числителя и знаменателя. Выражение W(p) дано, как принято в нашей литературе. В западных СКМ используется оператор Лапласа s, коэффициенты полинома числителя обозначены буквой а, а знаменателя – буквой b.

Корни полинома числителя создают нули передаточной характеристики, а корни полинома знаменателя полюсы. Многие СКМ и программы моделирования позволяют строить графики передаточных характеристик и вычислять их нули и полюсы.

Изучая положение нулей и полюсов на комплексной плоскости, можно судить о свойствах системы.

3. Импульсная характеристика (ИХ) w(t) Под импульсной характеристикой (ИХ) понимается реакция предварительно невозмущенного объекта (то есть объекта с н улевыми начальными условиями) на входной сигнал в виде функции (дельта-функции Дирака, или единичной функции).

Импульсная функция является производной от переходной функции, описанной ниже. Как уже отмечалось, дельта -функция Дирака практически не реализуема, тем не менее, импульсная характеристика линейных систем и устройств являе тся вполне реальной характеристикой, широко используемой на практике.

Многие системы моделирования имеют средства для ее постро ения.

4. Переходная характеристика, или функция h(t) Переходная характеристика (ПХ) – это реакция предварительно невозмущенного объекта на входной сигнал в виде единичного скачка. Эта характеристика определяется как В практике математического моделирования испол ьзуются следующие соотношения:

В частности, они позволяют переходить от определения импульсных характеристик к определению переходных характ еристик, и наоборот. Построение пере ходных характеристик входит в набор средств большинства систем математиче ского моделирования, включая Simulink.

5. Свертка и интеграл свертки Любой сигнал может быть представлен в виде так называемой свертки самого себя с -функцией:

При нулевых начальных условиях связь между выходным и входным сигналами описывается интегралом свертки:

y(t ) 0 (ak cos(2kf1t ) bk sin(2kf1t )).

a 2 y(t )cos(2kf t )dt; b 2 y(t )sin(2kf t )dt.

y(t ) или, в операторной форме:

Здесь уместно отметить, что иногда импульсную характеристику обозначают как h(t), а переходную – как g(t). Соответственно, входной сигнал u(t) часто обозначают как x(t). К сожалению, это служит причиной путаницы. Поэтому важно понимать разницу между ними и использовать соответствующие выражения по контексту.

6. Основы спектрального анализа и синтеза Одним из эффективных методов моделирования сигналов и линейных систем является спектральный метод, основанный на применении преобразований и рядов Фурье. Напомним, что рядом Фурье для интегрируемой на отрезке [–, ] периодической функции у(х), удовлетворяющей известным условиям Дирихле, называют следующий ряд:

Коэффициенты Фурье этого ряда находятся по формулам ЭйлераФурье:

Важными сферами применения рядов Фурье являются радиотехнические расчеты. В них периодические сигналы обычно представляют как функции времени y(t) на отрезке [0, Т] с периодом Т = 1/f1, где f 1 – частота первой гармоники периодического сигнала. В этом случае ряд Фурье после несложных преобразований записывается в тригонометрическом виде:

Здесь коэффициенты выглядят следующим образом В этом случае коэффициенты а к и b к описывают косинусную и синусную составляющие к-ой гармоники сигнала с периодом Т и частотой повторения f1 = 1/Т. Часто используется иная форма ряда Фурье, упрощающая его синтез:

Здесь Ak – амплитуда k-й гармоники периодического сигнала, k – фаза k-й гармоники. Они вычисляются по формулам:

Разложение функции на гармонические составляющие, то есть вычисление коэффициентов Фурье, принято называть спектральным анализом. А воссоздание приближения функции рядом Фурье, то есть получение ее тригонометрического представления/называют спектральным синтезом.

Гармонику с k = 1 называют основной, или первой, гармоникой сигнала. Она задает его частоту повторения f1. Остальные гармоники называют высшими, их частоты равны f k = kf 1, где k = 2, 3,.... Таким образом, спектр периодических сигналов дискретный – он содержит набор фиксированных частот f k, где k = 1, 2, 3,.... У непериодических сигналов спектр будет сплошным, и вместо амплитуды гармоник он характеризуется спектральной плотностью сигнала.

Далее будем рассматривать сигналы как функции времени. Переход от некоторой функции f(t) к параметрам ее ряда Фурье (амплитудам и фазам гармоник) называется прямым преобразованием Фурье, а обратный переход – обратным преобразованием Фурье. К сожалению, эти переходы связаны с вычислением интегралов, подынтегральные функции в которых быстро осциллируют, что существенно затрудняет вычисление таких интегралов численными методами с заданной точностью и ведет к значительным затратам времени.

Если сигнал представлен в виде вектора дискретных значений, применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), для которого, в свою очередь, существует алгоритм эффективной реализации вычислений, называемый быстрым преобразованием Фурье (БПФ, или FFT – Fast Fourier Transform). Функции, реализующие прямое и обратное БПФ, есть в системе MATLAB. Они предоставляют возможность проводить указанные преобразования для данных в виде векторов, как с действительными, так и с комплексными элементами.

Выполнение БПФ производится для данных, представленных действительными числами – значениями исходного вектора v. Он должен иметь 2m составляющих, где m – целое число. Элементы вектора, возвращаемого функцией прямого БПФ, соответствует формуле:

Здесь n – число элементов вектора, i – мнимая единица, k – индекс суммирования (от 0 до n – 1) и j – номер гармоники (от 0 до n/2).

Эти элементы вектора соответствуют следующим частотам:

З д е с ь fs – частота квантования сигнала, который подвергается БПФ.

Элементы вектора, возвращаемого этой функцией, – в общем случае комплексные числа, даже если сигнал представлен вещественными отсчетами.

Функция обратного БПФ реализует обратное (инверсное) преобразование Фурье для вектора v с комплексными элементами. Это преобразование реализуется по формуле Рассмотренные выше функции основаны на обычных формулах преобразований Фурье. Однако существуют и альтернативные формы такого преобразования, две из которых показаны ниже:

Вместо множителя 1/n перед обоими выражениями перед первым выражением стоит множитель 1/n, а перед вторым – 1. Знак «минус» перед показателем степени имеется только в первой формуле (его нет во второй).

В общем случае, когда сигнал может быть и непериодическим, прямое преобразование Фурье позволяет получить в аналитическом виде функцию частоты F() от временной функции f(t). Оно реализуется формулой Соответственно, обратное преобразование Фурье задается следующим образом:

Эта формула позволяет по функции F() найти в аналитическом виде функцию f(t). Интересно, что если подвергнуть преобразованию Фурье свертку для линейной системы, то можно получить подтверждение вполне очевидного вывода – спектр свертки равен произведению спектров. Это еще один вывод из линейности Фурье-преобразований.

7. Частотные характеристики Ч а с то тн ы е х а р а к те р и с ти к и объекта определяются его комплексным коэффициентом передачи W( j ) = W( p ) p = j, который является Фурье-преобразованием ИХ. В радиотехнике и электронике вместо коэффициента передачи пользуются комплексного коэффициента усиления.

Модуль комплексного коэффициента передачи W(jw) = А() представляет собой, как известно, амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) объекта с передаточной функцией W(p), а аргумент erg( W(jw)) = (() – фазочастотную характеристику (ФЧХ). В электронике ЛЧХ и ФЧХ являются важнейшими па раметрами линейных усилителей, выполненных на электронных лампах, транзисторах или интегральных микросхемах.

Графическое представление W(jw) на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до, то есть график амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) в полярных координ атах, в отечественной литературе называется годографом, а в англоязычной – диаграммой Найквиста. Существуют и более информативные диаграммы, например диаграмма Николса.

В теории управления, да и в радиоэлектронике, часто используется логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ), определяемая выражением 20 lg |W(j)|. При этом ось частот также строится в логарифмическом мас штабе.

3.5. Моделирование нелинейных объектов и систем 3.5.1. Дифференциальное уравнение Дифференциальным уравнениям принадлежит особая роль в математическом моделировании. Прежде всего, это связано с тем, что они позволяют моделировать не только линейные, но и нелинейные устройства (объекты) и системы. Для пос ледних получение аналитических решений в общем случае нево зможно.

Наиболее универсальная модель объекта имеет вид дифф еренциального уравнения где na — порядок модели (na nb), ai и bj — постоянные коэффициенты (параметры модели), u(j)(t) и y(i)(t) — производные, соответственно, входного и выходного сигналов.

Дифференциальные уравнения, описывающие простые л инейные (очень редко и нелинейные) системы, имеют аналитич еские решения. Иногда их можно найти в аналитическом виде, например, используя функции символьных вычислений, прис ущие многим системам компьютерной математики. Но, увы, чаще всего полученные решения оказываются настолько громоздкими, что практическая польза от них становится весьма сомнительной или попросту отсутствует. В таких условиях решение даже систем линейных уравнений вполне оправдано числен ными методами, что и реализовано в пакете расширения Simulink.

В случае нелинейных объектов и систем параметры дифф еренциальных уравнений перестают быть постоянн ыми и зависят от уравнений переменных. При чис ленных методах решения дифференциальных уравнений задание таких зависимостей не представляет трудностей, а потому дифференциальные уравнения (или алгебраическидифференциальные уравнения) и составляют основу математического моделирования нелинейных устройств и систем. В Simulink имеется обширный набор решателей дифференциальных уравнений.

В данной книге под имитационной моделью подразумевается логико-математическое описание системы, которое может быть исследовано с помощью цифровой ЭВМ в ее современном виде – в виде персонального компьютера (ПК). Ключевым моментом в этом случае являются выделение и описание состояний системы. Каждое состояние характеризуется набором значений некоторых переменных, называемых переменными состояния.

При выборе n координат системы (объекта) в качестве переменных ее состояния (такими координатами, например, могут быть выходной сигнал y(t) и n – 1 его производных) хi(t), i = 1, 2,…n, данную систему можно описать уравнениями для переменных состояния:

где Х(t) = [x1(t), x2(t),..., xn(t)]T — вектор-столбец переменных состояния; А, В, С и D при скалярных u(t) и y(t) — соответственно матрица размера n х n, векторы размера n х 1 и l x n и скаляр (при векторных u(t) и y(t) — матрицы соответствующих размеров).

Применение, при нулевых начальных условиях, к последним уравнениям преобразования Лапласа позволяет получить следующее выражение для передаточной функции:

где I — единичная матрица.

Отметим, что все приведенные модели являются эквивалентными, то есть, зная любую из них, можно получить все остальные.

Отметим, что все приведенные модели являются эквивалентными, то есть, зная любую из них, можно получить все остальные. Модель переменных состояния широко используется в системах блочного имитационного моделирования, таких как Simulink.

3.6. Моделирование дискретных систем 3.6.1. Дискретные модели и Z-преобразования Для объектов, функционирование которых по тем или иным причинам представляется для дискретного времени tk = кТ(в данном случае Тинтервал дискретизации), то есть для дискретных объектов, наиболее общим видом описания является разностное уравнение yk + a1 yk-1 + ana yk-na = b1uk + b2uk-1 + b3uk-2 … + bnbuk-nb+1, где yk-1 = y[(k – 1)T], uk-j = u[(k – j)T] Это уравнение выполняет ту же роль, что дифференциальное уравнение при описании непрерывных объектов. Связь между сигн алами может быть отражена также через дискретную свертку где i, — ординаты весовой решетчатой функции объекта, или, с использованием аппарата Z-преобразования через дискретную передаточную функцию которая определяется на основании разностного уравнения после применения к обеим частям этого уравнения Z-преобразования:

Заметим, что Z-изображением решетчатой импульсной переходной характеристики является W(z), то есть Z{wi} = W(z).

Отметим далее, что на практике в большинстве случаев измерение непрерывных сигналов производится в дискретные моменты времени, что представляет определенное удобство при последующей обработке данных на ПК.

При этом существуют различные способы перехода от непрерывных моделей к дискретным моделям:

С применением Z-преобразования со следующей цепочкой переходов:

W(p) L–1{W(p)} = w(t) w(kT) = wk W(z) = Z{wk).

2. С заменой разностями производных в дифференциальном уравнении, описывающем непрерывный объект:

(данный подход дает приемлемую точность только при малых Т).

С заменой р =2/T(z – l)/(z+ 1) (приближенный способ, предложенный А. Тастиным и называемый билинейным преобразованием), то есть 3.6.2. Дискретные модели переменных состояния Для дискретных объектов также может быть использовано описание через переменные состояния переходную функцию и частотные характеристики — так же, как и для непрерывных систем.

Отметим, что множитель z-1 = e-pT представляет собой оператор задержки, то есть z-luk = uk-1, z-2uk = uk-2 и т. д.

3.6.3. Некоторые понятия статистического моделирования Большинство систем математического моделирования реализуют в той или иной мере возможности статистического моделирования. Познакомимся кратко с основными понятиями, относящимися к этому (более подробные сведения можно найти в многочисленной специальной литературе по статистике и статистическим методам вычислений).

Создание некоторой системы условий называют испытанием, или экспериментом. Если до осуществления эксперимента его результаты нельзя точно предсказать, то эксперимент называют вероятностным, случайным или стохастическим. В ходе эксперимента происходят факты или события А, наступление которых можно наблюдать. Изучением законов, которым подчиняются случайные события, занимается теория вероятности.

События могут быть достоверными, невозможными и случайными. В последнем случае события могут наступать или не наступать. Пара событий может быть несовместной, если наступление одного события исключает другое (например, падение монеты на ту или иную сторону).

События могут быть взаимно противоположными, если они несовместны и одно из них наступает. Возможны объединения (суммы) и пересечения событий.

Случайные события характеризуются вероятностью события Р(А), которую оценивают числом от 0 (событие не наступает) до 1 (при событие непременно наступит). Если число равновозможных элементарных исходов некоторого эксперимента равно n, а событию А благоприятствует m исходов, то классическая вероятность события А будет Р(А) = m/n. Пусть на тарелке лежат 10 белых и m = 5 красных черешен. Значит, n = 10 + 5 = 15. Какова вероятность, что мы возьмем наугад красную черешню? Она равна Р(А) = m/n = 5/15 = 1/3.

Классическое определение вероятности неприемлемо, если события не являются равновозможными. Например, игральный кубик со скошенными некоторыми гранями не имеет равновозможных вариантов выпадения. В таких случаях пользуются статистической вероятностью событий. Пусть при n экспериментов событие А наступило m раз. Это число называют абсолютной частотой события A, a P(A) = m/n – относительной частотой события. Вероятностью события A называют число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты события A при большом числе экспериментов (испытаний).

Она решает множество полезных задач. Из них мы ограничимся только теми, которые изначально заложены в пакет расширения Simulink.

В основном это задачи, которые могут решаться с помощью генераторов случайных чисел. При этом мы будем рассматривать некоторую совокупность данных, называемую генеральной совокупностью, а также выборки данных из нее, именуемые выборочными совокупностями. Как правило, данные мы будем представлять в виде вариационного ряда, при котором они используются в порядке их возрастания.

3.6.4. Дискретные модели, учитывающие шум наблюдения Часто данные наблюдения содержат случайную компоненту – шум.

Обозначив моменты дискретного времени тем же символом t, что и непрерывное время (в данном случае t = 0, 1, 2,...), приведем несколько распространенных моделей дискретных объектов для временной области, учитывающих действие шума наблюдения.

• Модель авторегрессии AR (AutoRegressive) – считается самым простым описанием:

где A(z) = l + a1z-1 + a2z-2 +...+anaz-na.

• ARX-модель (AutoRegressive with eXternal input) – более сложная:

или, в развернутом виде, y(t)+a1y(t – 1) +...+ anay(t – n) = = b1u(t) + b2u(t –1)+...+bnbu(t – m) + e(t).

Здесь и ниже e(t) – дискретный белый шум, B(z) = b2 + b2z –1 +...+ bbnz –nb+1.

y(t)+a, y(t -1)+...+am y(t - n) = b, u(t)+b2u(t ~ 1)+-+K bu(t -m)+e(t).

Здесь и ниже e(t) – дискретный белый шум, B(z) = b2 + b2z –1 +...+ bbnz –nb+1.

• ARMAX-модель (AutoRegressive-Moving Average with external input – модель авторегрессии скользящего среднего):

A(z) y(t) = B(z) u(t – nk) + C(z) e(t), где nk — величина задержки (запаздывания), C(z) = l + c1z-1 +c2z-2 +...+ cnсz-nc.

• модель «вход-выход» (в англоязычных источниках такая модель называется «Output-Error*, то есть «выход-ошибка», сокращенно ОЕ):

где F(z) = 1 + f1z-1+ f2z-2 +...+ fnf z–nf.

Так называемая модель Бокса – Дженкинса (BJ):

полиномы B(z), F(z), C(z) определены ранее, D(z) =1 + d1z-1 +d2z-2 +...+ dndz-nd.

Данные модели можно рассматривать как частные случаи обобщенной параметрической линейной структуры при этом все они допускают расширение для многомерных объектов (имеющих несколько входов и выходов).

Модель для переменных состояния (State space):

где A, B, C, D — матрицы соответствующих размеров, v(t) — коррелированный шум наблюдений.

Возможна и другая (так называемая обновленная, или каноническая) форма представления данной модели:

где К — некоторая матрица (вектор-столбец), e(t) — дискретный белый шум (скаляр).

4.СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Основная задача теории сложных систем – построение новой научной картины мира или выработка «нового диалога человека с Природой».

В чем же состоит новизна диалога и почему он с необходимостью должен носить междисциплинарный характер? Тому есть несколько причин, и главная из них состоит в том, что многие современные фундаментальные научные проблемы и высокие технологии связаны с явлениями, лежащими на границах разных уровней иерархии теорий. Иными словами, большинство естественных наук (физика в первую очередь) и некоторые из гуманитарных (экономика, социология, психология) разработали концепции и методы для каждого из иерархических уровней, но не обладают универсальными подходами для описания, происходящего между этими уровнями иерархии. Нестыковка иерархических уровней различных наук — одно из главных препятствий для развития истинно междисциплинарных исследований (синтеза различных наук) и достижения цели построения целостной картины мира. Переброска мостов между иерархическими уровнями требует, очевидно, нового мировоззрения и нового языка.

Теория сложных систем – это одна из удачных попыток (да, по сути, и единственная попытка) построения такого синтеза на основе универсальных подходов и новой методологии. Следует здесь же отметить, что по меткому выражению П. Бака «теория сложности не может объяснить все обо всем, но что-то обо всем может».

Теория сложности, не имеющая до сих пор четкого математического определения, может быть охарактеризована характерными чертами тех систем и типов динамики, которые являются предметом ее изучения. Эти черты (повторяющиеся у различных авторов в различных сочетаниях) таковы:

Нестабильность: сложные системы стремятся иметь много возможных мод поведения, между которыми они блуждают в результате малых изменений параметров, управляющих динамикой.

Неприводимость: сложные системы должны рассматриваться, как целое и не могут быть изучены разбиением их на части, которые рассматриваются изолированно. То есть, поведение системы определяется взаимодействием частей, но редукция системы к ее частям разрушает большинство аспектов, привносящих в систему индивидуальность.

Адаптивность: Сложные системы часто состоят из множества агентов, которые принимают решения и действуют исходя из частичной информации о системе в целом и ее окружении. Более того, эти агенты в состоянии изменять правила своего поведения на основе такой частичной информации. Если коротко, то сложные системы обладают способностью извлекать скрытые закономерности из неполной информации, обучаться на этих закономерностях и изменять свое поведение на основе новой поступающей информации.

Эмерджентность: (от существующего к возникающему) сложные системы продуцируют неожиданное поведение; фактически они продуцируют паттерны (для нашего случая можно сказазать – шаблоны проектирования) и свойства, которые невозможно предсказать на основе знания свойств их частей и взаимодействий между ними, рассматриваемых изолированно.

Эти характерные черты позволяют отделить простое от сложного, присущего наиболее фундаментальным процессам, происходящим, как в естественных, так и в гуманитарных науках, составляя тем самым истинный базис междисциплинарных исследований. Что еще более существенно, это то, что за последние 30-40 лет в теории сложности были разработаны новые научные (т.е. контролируемые и воспроизводимые) методы, позволяющие универсально описывать сложную динамику, будь то в явлениях турбулентности, или в поведении электората накануне выборов.

Многие сложные явления и процессы в таких областях как экология, социология, экономика, политология и др. «не воспроизводимы»

в реальном мире, в том же смысле, как воспроизводимы эксперименты в физике. Поэтому лишь появление мощных вычислительных средств и создание компьютерных (виртуальных) моделей этих явлений позволило, впервые в истории науки производить эксперименты в этих областях так же, как это всегда делалось в естественных науках. Однако компьютерное моделирование потребовало развитие и новых теоретических подходов: фрактальной геометрии, теории хаоса, саморганизованной критичности, нейроинформатики, квантовых алгоритмов. Все вместе, и компьютерное моделирование, и новые теоретические подходы, позволяют говорить о рождении новой междисциплинарной науки — теории сложных систем.

Уместно также отметить, что даже при очень скептическом отношении к теории сложности невозможно отрицать тот факт, что правительства разных стран тратят значительные средства на поддержку и развитие этого направления исследований. Это можно объяснять различными причинами («ерунда, за которую платят деньги, уже не ерунда»), но коль скоро эта тенденция существует и набирает силу, то национальным высшим школам, и российской в том числе, следует, по-видимому, активно приступать к решению проблемы подготовки специалистов в этой области.



Pages:   || 2 | 3 |
 
Похожие работы:

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю. Б. Гольдштейн ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА Учебное пособие Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2005 ББК 30.04 Г635 УДК 620.04 Р е ц е н з е н т ы: кафедра строительной механики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (зав. кафедрой – проф., докт. техн. наук В. И. Плетнев); проф.,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ Н.В. ИВАНЕНКО ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ТОКСИКОЛОГИЯ Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2006 ББК 20 И 17 Иваненко Н.В. И 17 ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ТОКСИКОЛОГИЯ: Учебное пособие. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2006. – 108 с. В основу учебного пособия положены современные представления о накоплении различных токсикантов в экологических системах. Разобраны механизмы их концентрации по...»

«Электронная библиотека ФИЛОСОФИЯ НАУКИ Программа курса, семинарские занятия, задачи, вопросы, литература (Методическое пособие для преподавателей, аспирантов, магистров философских и нефилософских специальностей) Доктор философских наук Л.Н.Терентьева Что студент должен знать по курсу Философия науки. • предмет, специфика философии науки • основной вопрос философии науки • механизм взаимосвязи философии и науки • наука: общая характеристика • проблемы науки: онтологические,...»

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра теоретической и прикладной механики НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Биолого-технологического института и факультета общественного питания Новосибирск 2010 Составитель: Т.В. Семенова Начертательная геометрия. Инженерная графика. Методические указания и контрольные задания: / Новосиб. гос. аграр. ун-т;...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru ВСЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ НАЗЕМНОЙ СТЕРЕОФОТОГРАММЕТРИЧЕСКОЙ СЪЕМКИ НА ИЗЫСКАНИЯХ ДОРОГ Под редакцией канд. техн. наук С.А. Бутлера Москва 1972 ПРЕДИСЛОВИЕ При выполнении топографо-геодезических работ в процессе производства изысканий железных и автомобильных дорог стереофотограмметрические методы используются как средство высокопроизводительного получения...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Виноградова Г.Н., Воронин Ю.М., Ермолаева Г.М., Каманина Н.В., Смирнов В.Н., Шилов В.Б. ЛАЗЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Учебное пособие к лабораторным работам Санкт-Петербург 2007 2 УДК 621.373 Виноградова Г.Н., Воронин Ю.М., Ермолаева Г.М., Каманина Н.В., Смирнов В.Н., Шилов В.Б. Лазерные технологии. Учебное пособие к...»

«МИНИСТЕРСТВО ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСНАЯ СЛУЖБА В.К. ТУЗОВ, Э.М. КАЛИНИЧЕНКО, В.А. РЯБИНКОВ МЕТОДЫ БОРЬБЫ С БОЛЕЗНЯМИ И ВРЕДИТЕЛЯМИ ЛЕСА Учебное пособие Допущено Государственной лесной службой Министерства природных ресурсов Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов средних специальных учебных заведений по специальности 2604 Лесное и лесопарковое хозяйство Москва 2003 2 УДК 630(07):630*41 Рецензенты: Г.С. Додонова – преподаватель...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра сопротивления материалов и теоретической механики М.А. Карапетян И.И. Шомин ТЕПЛОТЕХНИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ ЗДАНИЙ Методические указания по дисциплине Основы архитектуры и строительные конструкции для студентов очной и заочной форм обучения по направлению 270200 Транспортное строительство специальности 270205 Автомобильные дороги и аэродромы Екатеринбург 2010...»

«Московский автомобильно-дорожный институт (государственный технический университет) Т.М. Раковщик, В.Ф. Казанцев, Р.И. Нигметзянов ВЫБОР ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СРЕДСТВ И КОНТРОЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДЕТАЛЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ ПО КУРСУ “ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ДЕТАЛЕЙ АВТОТРАНСПОРТНОЙ ТЕХНИКИ” Москва 2009 2 УДК 34.42 ББК 621 © Московский автомобильно-дорожный институт (государственный технический университет), 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ К...»

«Доев, В.С., Доронин Ф. А. Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad: Учебное пособие - СПб.: Издательство Лань, 2010. – 592 с.: ил. Учебное пособие содержит 10 заданий по статистике, 17 заданий по кинематике и 15 заданий по динамике, аналитической механике и теории колебаний. Каждое задание имеет по 30 вариантов и пример, выполненный при помощи пакета Mathcad. При решении заданий широко используются матричные методы. Книга ориентирована на студентов, магистров, аспирантов,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Иркутский государственный университет А. В. Болотов БИОЛОГИЯ РАЗМНОЖЕНИЯ И РАЗВИТИЯ Раздел. БИОЛОГИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ Учебное пособие УДК 591.3(075.8) ББК 28.63я73 Б79 Печатается по решению ученого совета биолого-почвенного факультета ИГУ Рецензенты: канд. мед. наук А. А. Бочкарёв (Иркут. филиал ФГОУ ВПО РГУФКСМиТ) канд. биол. наук...»

«УДК 004.451(075) ББК 973-018.3я73 Б391 Рецензенты: Кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель председателя УМС, начальник кафедры программирования и компьютерной безопасности ИКСИ А.В. Черемушкин Кандидат технических наук, доцент кафедры программирования и компьютерной безопасности ИКСИ В.Г. Проскурин Безбогов, А.А. Б391 Безопасность операционных систем : учебное пособие / А.А. Безбогов, А.В. Яковлев, Ю.Ф. Мартемьянов. – М. : Издательство Машиностроение-1, 2007. – 220 с. – 400...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРИВОДА С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ОДНОСТУПЕНЧАТЫМ РЕДУКТОРОМ Учебное пособие к выполнению курсовой работы Хабаровск Издательство ТОГУ 2008 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет Институт транспорта и энергетики...»

«С.И. КОРЯГИН И.В. ПИМЕНОВ, В.К. ХУДЯКОВ СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ МАТЕРИАЛОВ Калининград 2000 3 С.И. КОРЯГИН И.В. ПИМЕНОВ, В.К. ХУДЯКОВ СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ МАТЕРИАЛОВ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений технических специальностей Калининград 2000 4 УДК 678.5.046.364 Корягин С.И., Пименов И.В., Худяков В.К. Способы обработки материалов: Учебное пособие / Калинингр. ун-т – Калининград, 2000. – 448 с. – ISBN...»

«Федеральное агентство по образованию ПСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра физики А.А. Салангин, А.Е. Лукин МЕХАНИКА. ТЕРМОДИНАМИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. Методические указания и контрольные задания для студентов 1,2 курсов заочной формы обучения Псков Издательство ППИ 2008 УДК 53 ББК 22.3 Ф50 Рекомендовано к изданию научно- методическим советом Псковского государственного политехнического института Рецензент: к.т.н., доцент В.В. Шевельков. Аннотация: Салангин А.А., Лукин...»

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Иркутский государственный университет В. П. Саловарова, А. А. Приставка, О. А. Берсенева ВВЕДЕНИЕ В БИОХИМИЧЕСКУЮ ЭКОЛОГИЮ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 1 УДК 577.1 : 574 ББК 28.072 : 28.081 С16 Печатается по решению ученого совета биолого почвенного факультета Иркутского государственного университета Рецензенты: д р биол. наук, проф. ИГУ Б. Н. Огарков, д р хим. наук, проф. ИГПУ Л. И. Копылова Саловарова В. П. Введение в биохимическую экологию : учеб. посо С16 бие...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.Г. Гарганеев СИСТЕМЫ АВАРИЙНОГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ ОТВЕТСТВЕННЫХ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Учебное пособие Издательство Томского политехнического университета 2009 УДК 621.316 ББК 31.29 Гарганеев А.Г. Системы аварийного электроснабжения ответственных потребителей переменного тока. – Томск: Изд-во Томского политехнического ун-та, 2009. – 228 с. В учебном...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Строительный факультет Кафедра геотехники МЕХАНИКА ГРУНТОВ Методические указания Санкт-Петербург 2012 1 УДК 624.131 Рецензент канд. техн. наук, доцент А. А. Ананьев (СПбГАСУ). Введение Механика грунтов: метод. указания / сост.: В. Н. Бронин, С. В. Татаринов; СПбГАСУ. – СПб., 2012. – 64 с. В настоящей работе даны численные примеры решения наиболее актуальных задач...»

«И.С. Загузов, В.Н. Головинский, А.Ф. Федечев ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ (МЕХАНИКА) ЧАСТЬ II. МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА Самара 2002 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического моделирования в механике И.С. Загузов, В.Н. Головинский, А.Ф. Федечев ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ (МЕХАНИКА) ЧАСТЬ II. МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА Учебное пособие для студентов механико-математического факультета специальностей механика,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра электромеханики и ТОЭ Методические указания и домашние задания для выполнения расчетнографических работ (РГР) по теоретической электротехнике Утверждено на заседании кафедры Электромеханика и ТОЭ 7 декабря 2000 г., протокол № 4 Утверждено на учебно-издательском совете ДонГТУ, протокол № от Донецк - 2000 УДК 621.3.01. (071) М54 Методические указания и домашние задания для выполнения...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.