WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

КИНЕМАТИКА

Методические указания по решению задач

по курсу: Теоретическая механика

Москва 2000

Составитель Н.М.Трухан

УДК 531

Кинематика. Методические указания по

решению задач по курсу: Теоретическая механика. / МФТИ М., 1991. 32 с.

© Московский физико-технический институт (государственный университет), 2000

I. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

ТОЧКИ 1. Координатный способ задания движения точки Любые три независимые величины q1, q 2, q3, однозначно определяющие положение точки в трехмерном пространстве, могут рассматриваться как координаты этой точки. При этом радиус-вектор точки является функцией этих координат, т.е. r = r ( q1, q 2, q3 ). При изменении одной из координат и фиксированных остальных конец радиуса-вектора r вычерчивает линию, которую называют координатной линией. Координатные линии, вообще говоря, кривые, и поэтому координаты называют криволинейными.

Единичные орты ei, направленные по касательным к координатным линиям в точке М пространства в сторону возрастания соответствующих координат, определяют в каждой точке пространства систему координат, причем 1 r ei =.

r qi qi Вектор скорости dr 3 r = qi = H i qi ei, V= (1.1) dt i =1 qi i = где 2 2 x y z r = q + q + q.

Hi = (1.2) qi i i i Равенство (1.1) представляет собой разложение (а не ортогональное проецирование !) вектора скорости по осям криволинейной системы координат. Ортогональные проекции Vqi вектора скорости на оси qi равны 1 V = V ei =.

Vq (1.3) H i qi i Коэффициенты Hi называются коэффициентами Ламе и находятся из соотношения dS i = H i dqi, где dSi – дифференциал дуги i-й координатной линии при изменении i-й координаты и фиксированных остальных.

В самом деле, в прямоугольной системе координат dS2 = dx2+ dy2+ dz2, (1.5) но x y z 3 3 dx = dqi, dy = dqi, dz = dqi..

i =1 qi i =1 qi i =1 qi Подставляя значения dx, dy, dz в (1.


5), получим 3 где Предполагая, что изменяется лишь одна координата, а две другие фиксированы, получим (1.4), т.е. коэффициенты Ламе получаются как множители дифференциалов координат в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Если система криволинейных координат ортогональна, т.е. если при i k то Hik = 0 и Поэтому в случае ортогональной системы координат для модуля вектора скорости получаем Ортогональные проекции вектора ускорения W точки на оси произвольной криволинейной системы координат имеют вид Как видно из формулы (1.9), проекции ускорения на координатные оси qi получаются дифференцированием выражения для квадрата скорости. При этом следует иметь в виду, что qi и qi независимы, что отражает факт независимости событий: находиться в какой-либо точке пространства и иметь в этой точке какую-либо скорость.

Кроме того, изучается не движение по некоторой заданной траектории, а способ описания любых движений. Иначе говоря, рассматривается вся совокупность допустимых движений и выбор точки пространства задает только ее положение, никак не ограничивая направление и величину вектора скорости.

Задача 1.1. Найти скорость движущейся точки и проекции ее ускорения на касательные к координатным линиям цилиндрической системы координат r,, z (рис. 1).

Решение. Так как система координат ортогональна, то Найдем коэффициенты Ламе, рассматривая элементы дуг вдоль соответствующих координатных линий.

dS = rd, откуда H = r, dS z = dz, откуда H z = 1.

Следовательно, Выполняя операции дифференцирования в соответствии с формулой (1.9), получаем Рис. W z = z.

При движении точки в плоскости z = const первые две компоненты ускорения задают радиальную Wr и системе координат.

2. Описание движения точки с помощью В каждой точке траектории можно построить три взаимно перпендикулярные оси, непосредственно связанные с траекторией. Если начало их помещено в движущуюся точку и направлено по касательной, нормали и бинормали траектории (, n, b - единичные орты этой системы), то эти оси называются естественными осями. Вектор скорости W всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории, и поэтому проекция его на бинормаль равна нулю Проекции вектора ускорения W на касательную и главную нормаль к траектории равны соответственно где - радиус кривизны траектории в данной точке.

Задача 1.2. Найти касательное W и нормальное Wn ускорения точки, а также радиус кривизны ее траектории, если движение точки выражается уравнениями Решение. Для определения касательного и нормального ускорения найдем сначала скорость V = xi + yj.

Так как Так как радиус кривизны траектории неизвестен, найдем нормальное ускорение Wn из равенства Для этого нужно сначала найти Теперь нетрудно определить

II. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

При произвольном движении твердого тела скорости и ускорения его точек могут быть найдены по формулам:

где V0 и W0 - скорость и ускорение выбранного полюса О, и - угловые скорость и ускорение тела, i - радиусвектор, проведенный из полюса О в рассматриваемую точку (рис. 2).

скоростей точек тела на прямую, их соединяющую, равны.

(Последнее утверждение несправедливо для ускорений).





Рассмотрим частные случаи движения тела.

1. Плоскопараллельное движение твердого тела Плоскопараллельным движением тела называется такое движение, при котором всякое сечение тела плоскостью П, параллельной некоторой неподвижной плоскости П0, остается в плоскости П. Поэтому такое движение сводится к движению плоской фигуры в ее плоскости. Из формулы (2.1) вытекает, что при (движение тела не является мгновенно поступательным) существует точка фигуры Р, скорость которой VP = 0. Эта точка называется мгновенным центром скоростей. Если в качестве полюса взять точку Р, то из (2.1) получаем VA =, т.е. вектор скорости перпендикулярен прямой, соединяющей точку А с мгновенным центром скоростей Р. Для определения положения мгновенного центра скоростей фигуры достаточно знать направления скоростей каких-либо двух точек этой фигуры. Мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных их этих точек к направлениям их векторов скоростей. Если скорости выбранных точек параллельны, то перпендикуляры к их скоростям либо параллельны, либо совпадают. В первом случае движение фигуры мгновенно поступательное, во втором – мгновенный центр находится в точке пересечения общего перпендикуляра к скоростям с прямой, проходящей через концы векторов скоростей этих точек.

Так как при плоском движении, то формула (2.2) для ускорения точек фигуры принимает вид В этом случае вращательная и осестремительная компоненты ускорения ортогональны.

Задача 2.1. Кривошип ОА в изображенном на (рис. 3) механизме вращается вокруг оси О неподвижной шестерни ось двойной шестерни 2-3, оканчиваясь в центре шестерни 4.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точек M и N шестерни 4 в момент, когда точки О, А и М лежат на одной прямой, а r1 = r3 = 2r, r2 = r4 = r.

Решение. Скорость точек тела может быть найдена по формуле (2.1). Возьмем за полюс точку А. Она принадлежит как шестерне 4, так и кривошипу, поэтому скорость ее легко может быть найдена: V A = 6r. Чтобы определить угловую скорость шестерни 4 4, найдем положение мгновенного центра скоростей этой шестерни. Для этого достаточно знать скорости двух точек шестерни 4. Скорость точки А найдена.

Определим, кроме того, скорость точки К касания шестерен 3 и 4. Точка В касания шестерен 1 и 2 является мгновенным центром скоростей для шестерни 2-3. Скорость центра С шестерни 2-3, с одной стороны, равна VC = 3r, так как точка С лежит на кривошипе, а с другой стороны, VC = 2 r, где 2 - абсолютная угловая скорость шестерни Откуда 2 = 3 (направление 2 совпадает с 2-3.

направлением угловой скорости кривошипа), следовательно, Vk = 2 BK = 9r. Так как проскальзывание в системе отсутствует, то скорости точек касания между шестернями 2-3 и 4 равны между собой. Таким образом, мы знаем скорости точек А и К шестерни 4. Находим положение мгновенного центра скоростей Р на пересечении общего перпендикуляра к скоростям точек А и К с прямой, проходящей через концы векторов V A и VK (рис. 4). При этом

KP KP KA

Откуда KP 4 : 4 = VK KP = 3 (направление противоположно направлению вектора угловой скорости кривошипа). Зная положение мгновенного центра скоростей, находим скорости точек M и N : VM = 4 PM = 3r (направление VM совпадает с V A ), При плоском движении фигуры угловая скорость единичный орт, задающий направление вектора.

0 Поэтому так как во все время движения соотношение между угловыми скоростями шестерни 4 и кривошипа сохраняется 4 t = 3 t, то такое же соотношение справедливо и для угловых ускорений:

Проецируя компоненты ускорения точек M и N на два ортогональных направления (см. рис. 5), получаем 2. Движение тела, имеющего одну неподвижную точку Если твердое тело имеет одну неподвижную точку, то для каждого момента времени существует мгновенная ось вращения, проходящая через неподвижную точку О.

Выбирая в качестве полюса эту точку, для скорости и ускорения произвольной точки тела в соответствии с (2.1) и (2.2) будем иметь Вращательное ускорение перпендикулярно к плоскости, содержащей и ОМ. Осестремительное ускорение направлено перпендикулярно к вектору вр от точки М к оси вращения. Обратим внимание, что вектора и WM в общем случае не ортогональны (ср. с плоским движением).

Задача 2.2. Диск радиуса r катится без скольжения по горизонтальной плоскости, сохраняя свою плоскость вертикальной. Центр С диска описывает окружность радиуса R, причем величина скорости точки С меняется со временем по закону: V = at. Найти абсолютную угловую скорость и абсолютное угловое ускорение диска. Найти ускорение точки М, положение которой на ободе диска определяется углом, показанным на (рис. 6).

Решение. Уравнение мгновенной оси r = 0, рассматриваемый момент скорость, равную нулю. Значит, мгновенная ось вращения все время проходит через точку О и в рассматриваемый момент совпадает с прямой ОА.

Скорость точки С может быть представлена в виде расстояние точки С от мгновенной оси. Так как скорость точки С задана, то величина угловой скорости равна Во время движения вектор совпадает с мгновенной осью и описывает коническую поверхность вокруг оси OZ, вращаясь с угловой скоростью Найдем вектор углового ускорения. Пусть = O, где O - единичный орт вектора. Тогда Первое слагаемое в этом выражении задает изменение вектора угловой скорости по величине, а второй – изменение по направлению. Если, например, = const, то =, и движение называется регулярной прецессией, а вектор направлен по касательной к окружности, которую описывает конец вектора.

перпендикулярно плоскости АОС.

Вращательное и осестремительное ускорения точки М найдем по формуле (2.6). В проекциях на три ортогональных направления (см. рис. 6) это дает + k (at 2 + r sin ), Если, например, точка М совпадает с точкой А, то (W A равно нулю, так как точка А лежит на мгновенной оси). Вектор лежит в плоскости АОС и ортогонален прямой ОА.

III. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Если точка М движется относительно некоторой среды, которая в свою очередь тоже движется относительно среды, называют относительным, движение подвижной среды относительно неподвижной – переносным, а движение точки М относительно неподвижной среды называется абсолютным.

По теореме о сложении скоростей Положение точки М относительно подвижной среды относительно этой среды скорость точки М определяется соотношением Переносная скорость точки М – это скорость той точки подвижной среды, с которой в данный момент совпадает точка М, т.е.

где e - угловая скорость подвижной среды. При этом следует иметь в виду, что определяя относительную скорость, мы мысленно останавливаем переносное движение и, наоборот, при отыскании переносной скорости фиксируем положение точки в подвижной среде.

Кориолиса:

где относительное ускорение точки М равно переносное ускорение – ускорение точки подвижной среды, с которой совпадает в рассматриваемый момент точка М – выражается соотношением что совпадает с выражением для ускорения точки в формуле (2.2), задающей ускорение точки твердой среды при произвольном движении.

Ускорение Wk называется ускорением Кориолиса и равно ускорение подвижной среды.

Задача 3.1. Точка М равномерно движется по меридиану шара радиуса R со скоростью V. Шар вращается вокруг вертикального диаметра с постоянным угловым ускорением. Найти абсолютные скорость и ускорение точки М в зависимости от угла широты, если в начальный момент шар покоился, а точка М находилась на экваторе.

Решение. Движение точки М по меридиану шара – относительное движение. Вращение шара – переносное движение. Тогда относительная скорость Vr = V. Если начало подвижной системы взять в точке О, тогда VO = 0, e = t и ОМ=R Ve = tR cos. Так как вектор Vr направлен в данный момент по касательной к меридиану (траектории относительного движения), а вектор Ve по касательной к параллели (траектории переносного движения), то они ортогональны и поэтому ускорение находим с помощью формулы (3.6). В силу выбора подвижной системы координат Кориолисово ускорение Wk = 2tv sin.

Компоненты ускорения представлены на рис.8. Проецируя компоненты ускорения на три ортогональные направления, находим величину абсолютного ускорения точки М:

IV. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО

Если твердое тело движется относительно некоторой подвижной среды и вместе с ней движется относительно другой, принятой за неподвижную, то иногда оказывается удобным при определении скоростей и ускорений точек тела пользоваться формулами сложного движения точки (3.3) и (3.4).

При этом угловые скорость и ускорение удовлетворяют соотношениям:

При решении задач для определения угловых скоростей в плоских механизмах часто применяют метод Виллиса.

Для этого вводят систему отсчета, неизменно связанную с кривошипом (рис. 9). В этой системе отсчета угловой скорости кривошипа (относительные угловые скорости ir = i ).

После этого, рассматривая каждую пару колес, находящихся в зацеплении, можно записать соотношения для скоростей точек соприкосновения, как если бы колеса вращались вокруг неподвижных осей:

ir ri = ± (i +1)r ri + или где знак “+” ставится в случае внутреннего, а знак “-“ в случае внешнего зацепления между колесами.

Задача 4.1. Решить задачу 2.1, используя формулы кинематики сложного движения точки.

Решение. Движение точек N и M шестерни 4 можно представить как сложное. Подвижную систему отсчета можно выбрать различными способами. Рассмотрим два из них:

1. Система координат вращается с угловой скоростью кривошипа, начало ее помещено в точку О.

2. Система координат движется поступательно, имея начало в точке А.

Исходя из формул (3.1) и (3.4) проследим, как изменяются при этих выборах подвижной системы отсчета составляющие скорости и ускорения точек M и N.

1. В переносном движении точка M (N) будет двигаться по неподвижной точке О, причем veM = 7r, veN = 37r, WeN = 37r, WeN = 37 2 r.

Относительное движение точки M (N) – движение ее вместе с шестерней 4, которая вращается относительно выбранной подвижной системы с угловым ускорением 4 r и имеет в данный момент угловую скорость Для определения 4r воспользуемся методом Виллиса. Обозначим 1 = 0, 2 = 3, 4. (Это их абсолютные значения).

Перейдем в систему координат, жестко связанную с кривошипом. По отношению к этой системе угловые скорости шестерен будут соответственно:

Так как проскальзывание в системе отсутствует, то можно приравнивать между собой относительные линейные скорости точек касания. Учтем теперь, что при внешнем зацеплении шестерни вращаются в противоположных направлениях. Получим 4 r = 4. Здесь знак “-“ показывает, что угловая откуда скорость 4 r противоположна угловой скорости кривошипа.

Так как в рассматриваемом случае система совершает относительных скоростей Относительные скорости VrM = VrN = 4r.

Рис. Wr, а нормальная Wrn - с осестремительной Wr :

Wr = WrM = WrN = 4r, Wrn = WrM = WrN = 16 2 r (это не всегда справедливо, так как направления определяются траекторией движения точки, а зависят от выбора полюса, с помощью которого записывается выражение ускорения точки тела (см. формулу (2.2)).

Кориолисово ускорение:

Направления составляющих скоростей и ускорений точек M и N представлены на рис. 10 и 11. Складывая соответствующие составляющие для модулей векторов скорости и ускорения, получаем VaM = VeM VrM = 3r, 2. Так как подвижная система координат движется теперь поступательно, то e = 0, e = 0. Поэтому Относительное движение – движение точки M (N) по окружности радиуса r с центром в точке А. При этом WKM = WKN = 0.

Так как система отсчета движется поступательно, то для величины скорости и ускорения точек M и N получаем (см. рис. 12) Задача 4.2. Решить задачу 2.2 с помощью формул сложного движения точки.

Решение. Если рассматривать движение диска как сложное, то можно, например, взять в качестве относительного движения вращение диска вокруг оси ОС, а переносным тогда будет вращение диска вместе с осью ОС вокруг оси OZ. Так как центр диска участвует только в (cм. рис.

как переносное и относительное движения – вращения вокруг неподвижных в соответствующих системах осей.

Абсолютное угловое ускорение получим по формуле (4.2):

Компоненты ускорения точки М найдем по формуле Кориолиса. В проекциях на три ортогональных направления они имеют вид (см.рис.6)

V. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СКОЛЬЗЯЩИХ

ВЕКТОРОВ В КИНЕМАТИКЕ

При рассмотрении сложного движения твердого тела требуется найти распределение скоростей точек тела. При этом возникает задача о сложении движений.

Когда говорят о сложении двух вращений или вращательного и поступательного движений тела, то подразумевают, что одно из этих движений тело совершает по отношению к подвижной системе отсчета, а другое – подвижная система отсчета по отношению к неподвижной.

Рассмотрим сначала сложение вращательных вектор, т.е. характеризуется величиной, того, в какой точке оси вращения мы построим вектор.

Момент скользящего вектора относительно полюса О проведенный из полюса О в любую точку А на линии действия вектора F. Рассмотрим момент вектора относительно полюса О:

Но AO - вектор линейной скорости точки О при вращении тела вокруг оси с угловой скоростью, т.е.

понятие вектора момента скользящего вектора относительно полюса имеет эквивалент в кинематике в виде вектора линейной скорости полюса О при вращении тела вокруг неподвижной оси. Таким образам, при изучении поля скоростей точек твердого тела вектор можно считать скользящим вектором.

Рассмотрим теперь распределение скоростей точек движение), а сама ось вращается с угловой скоростью вокруг оси АВ, пересекающейся с первой (переносное движение). Найти поле скоростей точек тела.

Решение. Воспользуемся формулой (3.1) сложения скоростей. При этом переносная скорость произвольной точки тела Vr = 1 Ri. Подставляя Ve и Vr в (3.1), получаем Обозначим = 1 + 2. Тогда Vai = Ri.

То есть мы получили, что распределение скоростей точек твердого тела таково, как если бы оно вращалось вокруг оси, направление которой в данный момент определяется вектором. Таким образом, мы получаем, что угловые скорости, как и любые скользящие векторы с пересекающимися линиями действия, складываются по правилу параллелограмма.

Задача 5.2. Тело вращается с угловой скоростью вокруг оси 1-1. Ось 1-1 в свою очередь вращается вокруг параллельной ей оси 2-2 с угловой скоростью 2. Найти относительное, а вращение самой оси 1-1 – за переносное.

Очевидно, при всех указанных условиях движение тела будет плоскопараллельным и скорости точек, расположенных на какой-либо прямой, параллельной угловым скоростям, будут в данный момент одинаковы.

Поэтому достаточно рассмотреть скорости точек, расположенных в любой плоскости П, перпендикулярной к плоскость произвольной точки N отрезка АВ в соответствии с теоремой сложения скоростей может быть получена из равенства Так как слагаемые в равенстве (5.2) представляют собой противоположно направленные векторы, то на отрезке АВ найдется такая точка С, для которой эти векторы равны по Таким образом, картина распределения скоростей точек в этом случае такая же, как если бы движение было чистым вращением вокруг оси, параллельной 1 и 2, лежащей между осями 1-1 и 2-2 на расстояниях, обратно пропорциональных модулям угловых скоростей. При этом Рис. К такому же результату мы придем, исходя из теории скользящих векторов. В самом деле, добавим векторный нуль, к системе векторов 1 и 2 (см. рис. 18) и сложим векторы 1 и, 2 и. Пользуясь свойством скользящих векторов скользить вдоль линии действия (см.

задачу 5.1), перенесем полученные векторы в точку их пересечения и сложим снова. Горизонтальные компоненты дадут векторный нуль, а вертикальные сложатся Случай б). Проводя аналогичные рассуждения, убеждаемся, что в случае, когда векторы 1 и направлены в противоположные стороны, результирующее движение представляет собой вращение с угловой скоростью ( ), параллелен векторам 1 и 2, направлен в сторону большей из них и проходит через точку, лежащую на продолжении отрезка АВ за вектором большей по модулю угловой скорости.

Случай в). Векторы 1 и 2 образуют пару.

Используя формулу (3.1) и учитывая, что AB = AM + MB, для скорости произвольной точки М тела имеем Мы получили, что скорости всех точек тела в данный момент совпадают между собой, т.е. движение тела мгновенно поступательное. Таким образом, пара вращений дает чисто поступательное движение.

Обратно, всякая поступательная скорость может быть представлена в виде пары мгновенных угловых скоростей, плоскость которой перпендикулярна к V.

Из теории скользящих векторов известно, что пара скользящих векторов характеризуется моментом пары, который является свободным вектором. То есть мы снова делаем совпадающие выводы из формул кинематики и из вращательное движение. Значит, вращение тела с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через точку А, эквивалентно сумме двух движений: мгновенному вращению с такой же по модулю угловой скоростью ' = вокруг параллельной оси, проходящей через точку В, и поступательному движению со скоростью перенести в любую точку В, прибавив при этом пару с моментом, равным моменту приложенного в точке А вектора относительно точки В.

Задача 5.3. Найти распределение скоростей точек тела, вращающегося с угловой скоростью 1 вокруг оси 1-1, укрепленной на платформе. Платформа вращается с угловой скоростью 2 вокруг оси 2-2. Оси 1-1 и 2-2 скрещиваются.

Решение. Скорость любой точки тела М в слагаемые представляют собой относительную и переносную скорости соответственно. Так как Мы убедились, что распределение скоростей при сложении двух вращений вокруг скрещивающихся осей эквивалентно распределению скоростей при сложении поступательного движения со скоростью выбранного полюса А и вращательного движения вокруг оси, проходящей через выбранный полюс, причем направление оси вращения и угловая скорость определяются вектором = 1 + 2.

Рассмотрим эту задачу, опираясь на теорию скользящих векторов.

Выберем на линии действия вектора произвольную точку А и построим в ней векторный нуль с точку А вектор действия векторов 1 и 2. Совокупность векторов 1 и 2 ' может быть заменена вектором = 1 + 2, так как они образуют систему пересекающихся векторов. А векторы и образуют пару, момент которой равен моменту вектора 2 относительно точки А. Таким образом, совокупность двух вращательных движений вокруг скрещивающихся осей эквивалентна сумме следующих двух движений: вращательного движения с угловой скоростью и поступательного движения со скоростью где В – произвольная точка на линии действия вектора Направление оси вращения определяется вектором, а поступательное движение реализуется в направлении, перпендикулярном плоскости пары 2, 2 ' т.е. мы снова получили тот же результат, что и исходя из формул кинематики.

Приведенные выше рассуждения (см. решения задач 5.1 - 5.3) показывают, что векторы угловых скоростей при сложении вращательных движений, в которых участвует твердое тело, можно рассматривать как систему скользящих векторов.

Опираясь теперь на теорию скользящих векторов, рассмотрим общий случай сложения движений тела.

Общий случай сложного движения тела можно представить следующим образом. Тело одновременно участвует в К вращениях с угловыми скоростями 1, 2,..., k и поступательных движениях со скоростями V1, V2,..., Vm.

Но каждое поступательное движение можно представить как пару мгновенных вращений. Следовательно, общий случай сводится к сложению одних только мгновенных вращательных движений.

Рассмотрим систему векторов угловых скоростей 1,..., n, расположенных как угодно в пространстве.

Перенесем эти векторы в произвольно выбранную точку О, добавляя при этом соответствующие пары. Мы получим в выбранные произвольно на линиях действия векторов i.

Складывая по правилу параллелограмма векторы i ', получаем называют главным вектором системы. Складывая Вектор векторы OAi i имеем Вектор VO называется главным моментом данной системы скользящих векторов относительно полюса О. Главный момент системы векторов относительно полюса О’ связан с моментом VO соотношением С другой стороны, эта формула задает связь между скоростями точек О и О’. Вспоминая соотношение между скоростями двух точек тела при произвольном движении скорость твердого тела, которая является инвариантом относительно выбора полюса.


Таким образом, совокупность произвольных вращений твердого тела эквивалентна сумме двух движений:

вращения вокруг оси, проходящей через точку О, с угловой линейной скоростью VO С целью упростить представление произвольного движения тела найдем такие точки Р, для которых линейная скорость коллинеарна, т.е.

где - скалярная постоянная. В этом случае результирующее движение представляет собой винтовое движение; тело вращается вокруг оси, проходящей через точку Р, с угловой скоростью и движется поступательно со скоростью VP вдоль оси.

Геометрическим местом таких точек Р является прямая, называемая осью кинематического винта. Для нахождения оси винта используем соотношение (5.6). Так как или, вводя декартову систему координат OXYZ, получаем уравнение винтовой оси в скалярной форме:

Скорость поступательного движения вдоль оси винта находится как проекция вектора скорости произвольной точки О тела на направление вектора :

так как из формулы (5.5) следует, что эта величина является инвариантом системы скользящих векторов. Таким образом, общий случай сложного движения твердого тела приводится к мгновенному винтовому движению около некоторой мгновенной оси, направление которой совпадает с направлением. Угловая скорость вращения вокруг оси равна а скорость поступательного движения вдоль оси винта VP = (VO ) /.

Рассмотрим частные случаи. Если в полюсе О мы вектора он будет равен нулю и в любом другом полюсе, и движение сводится к мгновенному поступательному движению (см. задачу 5.2 в).

Если проекция вектора VO на направление равна нулю, то мгновенная винтовая ось становится осью чистого вращения (см. задачу 5.1, 5.2 а), б)). Если и то в данный момент тело покоится.

Таким образом, имеем Теперь задача сложения движений в общем случае сводится к задаче сложения винтов.

Задача 5.4. Точка О1 стержня О1А скользит с постоянной скоростью VO вдоль стержня ОХ, вращающегося с постоянной угловой скоростью около центра О (ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка). Стержень О1А вращается вокруг стержня ОХ с является ось ОХ. Приведем систему векторов к полюсу О, введя для удобства декартову систему координат OXYZ (ось OZ перпендикулярна плоскости рисунка). Тогда в проекциях на оси этой системы Так как проекция вектора VO на направление отлична от нуля, то результирующее движение - винтовое с угловой винта, уравнение которой или поступательные скорости Vi = V i = 1,3. Ребро куба равно a.

Решение. Приводя систему к полюсу О, будем иметь Уравнение винтовой оси:

Результирующее движение – винтовое с угловой скоростью = 2 и поступательной скоростью Vв = 2V вдоль оси винта.

СОДЕРЖАНИЕ

I. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ………. 1. Координатный способ задания движения точки…… 2. Описание движения точки с помощью осей трехгранника…………………………………...

1. Плоскопараллельное движение твердого тела.…….. 2. Движение тела, имеющего одну неподвижную III. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ…………………….. IV. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА………

V. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СКОЛЬЗЯЩИХ

Методические указания по решению задач по курсу:

КИНЕМАТИКА

Составитель Трухан Надежда Михайловна _ Подписано в печать 10.10.91. Формат 60x901/16. Бумага писчая №1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0. Уч.-изд.л. 2,0.

Тираж 1500 экз. Заказ № 1/393 Бесплатно.

_ Московский физико-технический институт Лаборатория обработки учебной и научной информации 141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер.,

 


Похожие работы:

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА Кафедра теоретической и прикладной механики ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВЕДОМОГО ВАЛА РЕДУКТОРА Методические указания к выполнению самостоятельных работ по дисциплине Детали машин и основы конструирования для студентов всех форм обучения СОСТАВИТЕЛИ: М. Р. Рудая Б. П. Григорьев Санкт-Петербург Утверждено на заседании...»

«М.Я. Марусина В.Л. Ткалич Е.А. Воронцов Н.Д. Скалецкая ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИИ СТАНДАРТИЗАЦИИ И СЕРТИФИКАЦИИ Санкт-Петербург 2009 DF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ М.Я. Марусина, В.Л. Ткалич, Е.А. Воронцов, Н.Д. Скалецкая ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИИ, СТАНДАРТИЗАЦИИ И СЕРТИФИКАЦИИ Учебное пособие...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет МОНТАЖ СБОРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 270102 Промышленное и гражданское строительство и бакалавриата направления 270800.62 Строительство, (профиль Промышленное и гражданское строительство) дневной формы обучения Хабаровск...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Кафедра производственной и экологической безопасности И.С. Асаенок, Т.Ф. Михнюк ОСНОВЫ ЭКОЛОГИИ И ЭКОНОМИКА ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ Учебное пособие к практическим занятиям для студентов экономических специальностей БГУИР всех форм обучения Минск 2004 УДК 574 (075.8) ББК 20.18 я 7 А 69 Рецензент зав. кафедрой экономики А. В. Сак Асаенок И.С. А 69 Основы экологии и...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра механизации сельскохозяйственного производства МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ к выполнению лабораторных работ по разделу Сельскохозяйственные машины дисциплины Механизация технологических процессов в земледелии для студентов заочной формы обучения специальности 1-74 02 01 Агрономия Гродно 2012 УДК 631.3(072) ББК 40.72 М 54 Авторы: С.Н. Ладутько, Э.В. Заяц,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. И. Трусова, В. В. Богданов, В. А. Щепочкин Экономика машиностроительного предприятия Учебное пособие Ульяновск УлГТУ 2011 1 УДК 33:378 (075) ББК 30.606 я7 Т 78 Рецензенты: генеральный директор ООО УНИТЕК, д-р техн. наук, профессор В. В. Епифанов; начальник Бюро УЗП ОАО Ульяновский...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ Р.А. Фёдорова УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2013 1 УДК 663.4 Фёдорова Р.А. Учебная практика. Правила оформления отчета: Учеб.-метод. пособие. СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2013. 27 с. Данное пособие составлено на основании Государственного...»

«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ангарская государственная техническая академия Кафедра Промышленное и гражданское строительство РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ Методическое пособие для студентов специальностей 270102 Промышленное и гражданское строительство, 270105 Городское строительство и хозяйство и бакалавров, обучающихся по направлению 270800 Строительство Ангарск 2012 Расчет...»

«НЕЙРОПРОТЕКТИВНАЯ КОРРЕКЦИЯ ПАРОКСИЗМАЛЬНЫХ РАССТРОЙСТВ ПРИ ВЕГЕТО-СОСУДИСТОЙ ДИСТОНИИ Методическое пособие Москва -2005 2 РОССИЙСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ХИРУРГИИ РАМН КЛИНИКО-ДИАГНОСТИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РНЦХ РАМН Медведева Л.А., Загорулько О.И., Гнездилов А.В. В методическом пособии обобщаются многолетние исследования по разработке рациональной терапии пароксизмальных расстройств при вегетососудистой дистонии, учитываются современные знания о патогенетических механизмах и процессах их формирования....»

«Генина Э.А. МЕТОДЫ БИОФОТОНИКИ: ФОТОТЕРАПИЯ Учебное пособие САРАТОВ НОВЫЙ ВЕТЕР 2012 УДК [577.345:615.831](075.8) ББК 28.707.1я73 Г34 Г34 Генина Э.А. Методы биофотоники: Фототерапия. – Саратов: Новый ветер, 2012. – 119 с.: ил. ISBN 978-5-98116-149-0 Настоящее учебное пособие предназначено для расширения и углубления знаний студентов по вопросам действия света на биологические системы; изучения фундаментальных основ фотобиологических процессов и механизма фотодинамических реакций в биологических...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию _ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.Ф. Антонов, кандидат технических наук, доцент В.П. Третьяков, кандидат технических наук, доцент А.В. Сергеевичев, кандидат технических наук, доцент ТЕХНОЛОГИЯ ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩЕГО МАШИНОСТРОЕНИЯ Учебное пособие для студентов специальности 250403 Технология деревообработки курса Технология лесопильно-деревообрабатывающих производств САНКТ -...»

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольных заданий по дисциплине Судовые турбоустановки и их эксплуатация для студентов специальности 7.100302 Эксплуатация судовых энергетических установок всех форм обучения Севастополь 2005 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 629.12. Методические указания к выполнению контрольных заданий по дисциплине...»

«Пояснительная записка Рабочая программа по предмету Музыка для 5 класса составлена на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.12.2010 г. № 1897), примерной программы по музыке для основного общего образования (2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 176 с.) с учётом авторской программы Музыка В.В. Алеева, Т.И. Науменко, Т.Н. Кичак (8-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. 90, [6]...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Случайные события, случайные величины Методические указания по решению задач Санкт-Петербург 2009 1 Блинова И.В., Попов И.Ю. Случайные события, случайные величины / Методические указания по решению задач. СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. 52 c. Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по теме Случайные...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет Факультет дистанционных образовательных технологий Университетская физическая школа А.А. Чакак ФИЗИКА Выпуск 1 Кинематика механического движения Рекомендовано к изданию Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования...»

«МиниСтерСтво здравоохранения и Социального развития роССийСкой Федерации Санкт-ПетербургСкая МедицинСкая акадеМия ПоСледиПлоМного образования Г. С. Баласанянц, Д. С. Суханов, Д. Л. Айзиков ПОБОЧНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ПРОТИВОТУБЕРКУЛЕЗНЫХ ПРЕПАРАТОВ И МЕТОДЫ ИХ УСТРАНЕНИЯ Учебное пособие Издание второе, дополненное Санкт-Петербург 2011 УДК 616.24-002.5:615.2 ББК 52.81 Б 20 Баласанянц Г. С., Суханов Д. С., Айзиков Д. Л. Побочные действия противотуберкулезных препаратов и методы их устранения: Учебное...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА КОММЕРЦИИ И ЛОГИСТИКИ А.В. ПАРФНОВ Н.М. БЕЛОУСОВА ТАМОЖЕННОЕ ДЕЛО Учебное пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ 2010 ББК 65.428я П Рекомендовано научно-методическим советом университета Парфёнов А.В., Белоусова Н.М. Таможенное дело: Учебное...»

«Бюллетень новых поступлений (сентябрь 2013 г.) 001 Общие вопросы науки и культуры 1 Ермалавичюс, Юозас Юозович. Идеология будущего / Ю. Ю. Ермалавичюс. Е 72 Москва : ООО Корина-офсет, 2013. - 624 с Экземпляры: всего:1 - ЧЗ(1) 2 Харт-Дэвис Адам Наука. Иллюстрированная история науки : научное издание / 001 Х 22 Адам Харт-Дэвис. - Москва : ЗАО Издательский Дом Ридерз Дайджест, 2012. - 512 с Экземпляры: всего:1 - ЧЗ(1) 3 Чепурин Г.Е. Формулирование основных методологических характеристик научного...»

«1 Тепловой и динамический расчет автомобильных двигателей Методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине Автомобильные двигатели для специальности 190601.65 ААХ икурсовой работы по дисциплине Рабочие процессы, конструкция и основы расчета энергетичеких установок для специальности 190603 СЭМ Автор: доцент кафедры ДВС ТОГУ Скотта А. В. 2 3 ВВЕДЕНИЕ Курсовой проект по дисциплине Автомобильные двигатели является одним из видов промежуточной аттестации студента. Цель курсового...»

«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ф. Ф. Султанбеков ОТ РЕШЁТОК К БУЛЕВЫМ АЛГЕБРАМ Учебное пособие Казань - 2012 УДК 512 Представляется на сайте университета по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет“ ” учебно-методической комиссии института математики и механики им. Н. И. Лобачевского Протокол № 7 от 19 апреля 2012 г., заседания кафедры математического анализа Протокол № 6 от 11 апреля 2012 г. Рецензент доктор физ.-мат....»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.