WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«УДК 512.54 ББК 22.144 С31 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине Основы теории групп подготовлен в рамках инновационной образовательной программы Создание ...»

-- [ Страница 1 ] --

УДК 512.54

ББК 22.144

С31

Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Основы теории

групп» подготовлен в рамках инновационной образовательной программы «Создание

научно-образовательного комплекса для подготовки элитных специалистов в области

математики, механики и информатики в СФУ», реализованной в ФГОУ ВПО СФУ

в 2007 г.

Рецензенты:

Красноярский краевой фонд науки;

Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дисциплин Сенашов, В. И.

С31 Основы теории групп. Версия 1.0 [Электронный ресурс] : курс лекций / В. И. Сенашов, А. В. Тимофеенко, В. П. Шунков. – Электрон. дан. (1 Мб). – Красноярск : ИПК СФУ, 2008. – (Основы теории групп : УМКД № 21-2007 / рук. творч. коллектива В. И. Сенашов). – 1 электрон. опт. диск (DVD). – Систем. требования : Intel Pentium (или аналогичный процессор других производителей) 1 ГГц ; 512 Мб оперативной памяти ; 1 Мб свободного дискового пространства ; привод DVD ; операционная система Microsoft Windows 2000 SP 4 / XP SP 2 / Vista (32 бит) ; Adobe Reader 7.0 (или аналогичный продукт для чтения файлов формата pdf).

ISBN 978-5-7638-1473-6 (комплекса) ISBN 978-5-7638-1472-9 (курса лекций) Номер гос. регистрации в ФГУП НТЦ «Информрегистр» от 22.12.2008 г. (комплекса) Настоящее издание является частью электронного учебно-методического комплекса по дисциплине «Основы теории групп», включающего учебную программу, сборник задач, методические указания по самостоятельной работе, контрольно-измерительные материалы «Основы теории групп. Банк тестовых заданий» и наглядное пособие «Основы теории групп. Презентационные материалы».

Дисциплина «Основы теории групп» является продолжением дисциплины «Высшая алгебра». В данном курсе лекций приведены основы теории групп, изложены базовые теоремы и определения, подробно рассмотрены примеры групп.

Предназначен для студентов направления подготовки бакалавров 010100.62 «Математика», 010200.62 «Математика и компьютерные науки», 010500.62 «При-кладная математика и информатика»

укрупненной группы 010000 «Физико-математические науки и фундаментальная информатика».

© Сибирский федеральный университет, Рекомендовано к изданию Инновационно-методическим управлением СФУ Редактор О. Ф. Александрова Разработка и оформление электронного образовательного ресурса: Центр технологий электронного обучения информационно-аналитического департамента СФУ; лаборатория по разработке мультимедийных электронных образовательных ресурсов при КрЦНИТ Содержимое ресурса охраняется законом об авторском праве. Несанкционированное копирование и использование данного продукта запрещается. Встречающиеся названия программного обеспечения, изделий, устройств или систем могут являться зарегистрированными товарными знаками тех или иных фирм.





Подп. к использованию 14.10. Объем 1 Мб Красноярск: СФУ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, Оглавление РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Тема 1. ВВЕДЕНИЕ

Тема 2. Группы, подгруппы

РАЗДЕЛ 2. КЛАССЫ ГРУПП, ВИДЫ ЗАДАНИЯ

ГРУПП

Тема 3. Классы групп, примеры

Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, подгруппы циклической группы

РАЗДЕЛ 3. СТРУКТУРА ГРУППЫ

Тема 5. Смежные классы

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа

Тема 8. Полные группы

РАЗДЕЛ 4. ОТОБРАЖЕНИЯ ГРУПП

Тема 9. Группы подстановок

Тема 10. Гомоморфизмы

Тема 11. Изоморфизмы

Тема 12. Автоморфизмы

РАЗДЕЛ 5. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП

Тема 13. Прямые и декартовые произведения

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений

Тема 15. Ряды в группах

Тема 16. Теорема Силова

Тема 17. Алгебраические системы

РАЗДЕЛ 6. УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В ГРУППАХ... Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности. Тема 19. Условия конечности

РАЗДЕЛ 7. ПРИМЕРЫ ГРУПП

Тема 20. Группы диэдра

Тема 21. Группы подстановок и матриц

Тема 22. Группы движений

РАЗДЕЛ 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тема 23. Атласы групп

Основы теории групп. Курс лекций -3Тема 24. Заключение

ДОПОЛНЕНИЕ

Тема 25. Группы Фробениуса

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Основы теории групп. Курс лекций -4РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Тема 1. ВВЕДЕНИЕ Исторические сведения о появлении и развитии теории групп.

Понятие группы возникло в 18 в., оно исходит из нескольких дисциплин:

теории решения алгебраических уравнений в радикалах (в трудах Ж.

Лагранжа и А. Вандермонда в 1771 г. впервые для нужд этой теории были применены подстановки и было получено разложение группы подстановок на смежные классы, в 19 в. глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны Н.Абелем в 1824 г. и Э.

Галуа в 1830 г. Особенно нужно отметить достижения Э.Галуа в теории групп. Он открыл роль нормальных подгрупп в решении задачи о разрешимости уравнений в радикалах, установил простоту знакопеременных групп степени выше четырех. К. Жордан систематизировал и развил исследования в этом направлении в трактате о группе подстановок в 1870 г.). В проективной геометрии независимо от этого группы возникают, когда изучается поведение фигур при различных преобразованиях, что перешло на изучение самих преобразований и поиск их классификации (здесь можно назвать имена А. Мебиуса, исследовавшего элементарные виды родства геометрических фигур, А. Кэли, пришедшего к пониманию группы как системы, заданной порождающими элементами и соотношениями, Ф. Клейна – создателя в 1872 г. «Эрлангенской программы», положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований). Теоретико-групповые идеи прослеживаются и в теории чисел. Л. Эйлер в 1761 г. при изучении «вычетов, остающихся при делении степеней» пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, т. е.





на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в 1801 г. в «Арифметических исследованиях» определил подгруппы группы Галуа уравнения деления круга и при изучении «композиции двоичных квадратичных форм» доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.

В конце 19 в. выработалось современное абстрактное понятие группы.

В 1895 г. С. Ли уже определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, которая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы.

Изучение групп без предположения их конечности и без предположений о природе элементов оформилось в самостоятельную область математики в 1916 г. в книге «Абстрактная теория групп» нашего соотечественника О.Ю. Шмидта.

В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные приложения как в самой математике, так и за ее пределами — в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания.

В данном курсе лекций коротко напомним основные определения и теоремы теории групп, которые входят в курс алгебры университета. Затем введем слушателя в область современной теории групп через изложение результатов последних десятилетий. Особенно подробно остановимся на примерах групп и группах с условиями конечности.

Цели и задачи изучения. Дисциплина «Основы теории групп»

является продолжением курса «Высшая алгебра» и представляет собой одну из основных специальных дисциплин при подготовке студентов по специальности «Математика».

Целью преподавания дисциплины является ознакомление с основными определениями и базовыми теоремами теории групп, а также формирование умений и навыков применения изученных теорем в доказательствах новых теорем и для построения примеров групп.

В процессе изучения дисциплины необходимо приобрести знания, умения и навыки для профессиональной деятельности в качестве исследователя и преподавателя по специальности «Математика».

Специалист должен знать: основные классы групп, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп;

уметь: применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем, использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии, приобрести практические навыки самостоятельной работы при изучении групповых конструкций, иметь представление о современных тенденциях развития теории групп в России и в мире.

При написании курса лекций авторы ставили целью кратко познакомить читателя с понятиями и теоремами классического курса теории групп и по возможности подробно остановиться на понятиях, которые сформированы в Красноярской школе по теории групп и активно изучаются в настоящее время как у нас в стране, так и за рубежом.

Краткая характеристика современного состояния теории групп. В настоящее время теория групп представляет собой хорошо развитую область математики. Каждый год проходят международные конференции, посвященные теории конечных и бесконечных групп. Только в России в г. прошло несколько международных конференций по теории групп, одна из них – в Красноярске.

Хорошо развитые школы, занимающиеся теорией групп, имеются в Москве, Санкт-Петербурге, Екатеринбурге, Новосибирске, Омске, Томске, Иркутске, Челябинске, Красноярске и других городах России. Сотни специалистов высшей квалификации занимаются различными разделами теории групп. В России регулярно выходят журналы «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Дискретная математика», «Доклады академии наук», в которых большую долю занимают статьи по теории групп. Российскими учеными написаны десятки монографий по конечным и бесконечным группам. Достижения российских специалистов по теории групп давно и заслуженно признаны во всем мире.

Обзор литературы. При изучении дисциплины «Основы теории групп» рекомендуем пользоваться учебниками [1,13,16,32] и предлагаемым списком литературы.

Общие сведения. Одновременно с курсом лекций предполагается проведение спецсеминара, на котором будет предложено большое количество задач по всем разделам и темам данного курса лекций, а также темы курсовых и дипломных работ.

Определение группы, примеры.

Определение. Говорят, что на множестве задана бинарная операция, если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества.

Определение. Множество G с заданной на нём бинарной алгебраической операцией называется группой, если:

1) эта операция ассоциативна, т.е. (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G;

2) в G существует единичный элемент e: ae = ea = a для любого элемента a из G;

3) для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент a 1 :

Все четные числа по сложению образуют группу. Группой по сложению является также совокупность целых чисел, кратных данному числу n. Множество нечетных чисел уже не будет группой по операции сложения, т.к. данная операция выводит нас за пределы данного множества.

Образуют группу также все ненулевые положительные рациональные числа относительно операции умножения. Числа 1 и -1 при операции умножения составляют конечную группу.

Определение. Группа G называется абелевой или коммутативной, если все элементы группы перестановочны между собой, т. е. выполняется коммутативный закон ab = ba для любых элементов a, b из группы G.

Примерами абелевых групп могут служить множества рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции сложения. К неабелевым группам относятся группы подстановок больше чем на двух элементах, группы матриц относительно умножения.

натуральное число n такое, что a = e. Обозначается |a|.

Определение. Порядком группы G называется количество ее элементов.

Обозначается порядок группы G через |G|. В случае, если множество элементов бесконечно, говорят, что G имеет бесконечный порядок, и пишут |G| =.

Определение подгруппы, примеры подгрупп.

Определение. Подгруппа — подмножество группы G, которое само является группой относительно той же операции, что и G.

Для того чтобы подмножество M группы было подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто относительно операции в группе и для любого элемента из M обратный элемент тоже лежал бы в M.

Определение. Подгруппы, отличные от единичной и всей группы, называются собственными.

Примером подгруппы группы, отличных от нуля комплексных чисел по умножению, могут служить все комплексные числа, являющиеся корнями из единицы степени n. Еще одну подгруппу этой же группы образуют все комплексные числа, равные по абсолютной величине единице.

В группе всегда имеется единичная подгруппа, состоящая только из единичного элемента. Кроме нее может не быть других подгрупп, как это происходит в циклических группах простого порядка. В бесконечных группах всегда имеется бесконечно много подгрупп. Сами подгруппы могут быть как бесконечными, так и конечными. Так, в монстре Ольшанского [23] все собственные подгруппы имеют одинаковый порядок. Бесконечные группы, у которых все собственные подгруппы имеют конечные порядки, называются группами Шмидта. К группам Шмидта относятся квазициклические группы (см. тему 12) и монстры Ольшанского.

Конечные и бесконечные группы, периодические группы, группы без кручения, смешанные группы, примеры. По числу элементов группы подразделяются на два больших класса: конечные, в которых множество элементов конечно, и бесконечные с бесконечным множеством элементов.

Примерами конечных групп являются группы подстановок на конечном числе элементов, группы корней из единицы с операцией умножения, группа классов вычетов чисел по модулю данного числа по сложению.

Бесконечные группы подразделяются на периодические группы, в которых все элементы имеют конечные порядки, группы без кручения со всеми неединичными элементами бесконечного порядка и смешанные группы, в которых присутствуют как неединичные элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. Если множество элементов конечного порядка является подгруппой, то эта подгруппа называется периодической частью группы. Группы, обладающие периодической частью, также выделяются в особый класс групп. Группа может не обладать периодической частью (см., напр., в теме 20 группы диэдра).

Примерами периодических групп являются квазициклические группы, среди групп без кручения можно назвать группы рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции сложения. Смешанные группы можно конструировать, взяв прямое произведение любой конечной группы и группы без кручения. К ним относятся также группы рациональных, действительных и комплексных чисел, рассматриваемых относительно операции умножения. Кроме элементов бесконечного порядка, в них имеются элемент -1 второго порядка и в комплексных числах два элемента четвертого порядка i, -i, и бесконечно много элементов конечного порядка расположено на единичной окружности.

Заметим, что все конечные группы также относятся к периодическим группам.

При изучении теории групп особо выделяется класс абелевых групп, т.

е. групп, в которых все элементы перестановочны между собой. Теория этих групп уже достаточно хорошо разработана и, напр., в учебнике [16] на ее изложение выделено 90 страниц. К абелевым группам относятся упоминавшиеся ранее группы рациональных чисел, действительных чисел, комплексных чисел по любой операции, все группы одним порождающим элементом, квазициклические группы.

В свою очередь все названные классы групп можно разбить на подклассы в соответствии с системами подгрупп, которые в них имеются.

Подгруппы в свою очередь образуют ряды вложенных друг в друга подгрупп с определенными свойствами.

Условия конечности в группах также задают соответствующие им классы групп (периодичность тоже относится к условиям конечности). Среди условий конечности можно назвать условие локальной конечности: оно выполняется в группе, если всякое ее конечное подмножество порождает конечную подгруппу. Класс групп с таким условием называется классом локально конечных групп.

Класс локально нормальных групп является подклассом локально конечных групп и состоит из групп, в которых всякое конечное подмножество элементов лежит в конечном нормальном делителе.

Группы с конечными классами (группы, в которых все классы сопряженных элементов конечны) составляют класс, который включает все конечные и все абелевы группы.

Пересечение классов периодических групп и групп с конечными классами совпадает с классом локально нормальных групп.

Изучается также класс групп, в которых конечно число классов сопряженных элементов.

Группы, имеющие конечное число образующих, также представляют собой отдельный класс. В последнее время интенсивно изучается его подкласс, состоящий из 3-порожденных групп и его еще более узкий подкласс групп, порожденных тремя элементами второго порядка, два из которых перестановочны.

Условие слойной конечности задает класс слойно конечных групп, т.

е. групп, в которых множество элементов любого данного порядка конечно или пусто. Класс слойно конечных групп является подклассом класса локально нормальных групп.

Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, Задание групп порождающими множествами.

Определение. Пусть M — произвольное подмножество группы G.

Пересечение всех подгрупп из G, содержащих M, называется подгруппой, порожденной множеством M. Множество M в этом случае называется порождающим множеством, и подгруппа, им порожденная, обозначается Теорема 4.1. Если M – подмножество группы G, то Доказательство. Обозначим множество элементов, введенных в формулировку теоремы, через H.

Очевидно, HH H, H-1 H. Следовательно, H – группа и M H.

С другой стороны, M H, т. к. все элементы ai, обратные к ним элементы и их всевозможные произведения содержатся в любой из подгрупп из G, содержащих M. Теорема доказана.

Тема 4. Порождающие множества. Циклические группы, подгруппы циклической группы Группа, порожденная одним элементом a, называетcя циклической и обозначается a.

Теорема 4.2. Любая подгруппа циклической группы — циклическая.

Доказательство. Пусть a — циклическая группа порядка n, H — ее неединичная подгруппа (очевидно, единичная подгруппа является циклической). Пусть m— наименьшее натуральное число с условием Покажем, что am = H. Пусть h – произвольный элемент из H. Т.к. H a, то существует целое число k такое, что h= ak. Разделим k на m с остатком: k По выбору чисел m, r отсюда следует, что r = 0 и h= (am ) q, т.е. каждый элемент подгруппы H является целой степенью элемента am. Аналогично доказывается цикличность подгрупп бесконечной циклической группы.

Теорема доказана.

Примеры циклических, 2-порожденных и 3-порожденных групп. К циклическим группам относятся целые числа, рассматриваемые относительно операции сложения. К 2-порожденным группам относятся группы диэдра (см. тему 20). Очень впечатляющим является тот факт, что монстр Ольшанского [23] порождается любыми двумя своими неединичными элементами, не лежащими в одной циклической подгруппе. Класс трехпорожденных групп очень широк. Как показал в своей докторской диссертации Я.Н. Нужин, трех инволюций (инволюция — элемент порядка два), две из которых перестановочны, достаточно для порождения практически всех конечных простых неабелевых групп. Такие тройки инволюций названы мазуровскими в честь В.Д. Мазурова, который поставил задачу описать конечные простые группы, порожденные такими тройками.

Он же сделал последний шаг в ее решении (по модулю классификации конечных простых групп).

Свойства смежных классов. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа, следствия.

Левым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество xH={ xh | h H }. Элемент x называется представителем смежного класса. Правый смежный класс определяется аналогично.

Свойства смежных классов:

1) смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают;

3) элементы a,b содержатся в одном смежном классе по подгруппе H, если b-1aH.

Доказательство свойств предоставляется читателю.

Определение. Количество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом группы G по подгруппе H и обозначается |G : H|.

Лемма Неймана. Пусть G – группа, являющаяся объединением конечного числа смежных классов по конечному множеству подгрупп. Тогда хотя бы одна из этих подгрупп имеет конечный индекс в G.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и каждая из подгрупп H1,…, Hn имеет бесконечный индекс в G. Пусть имеется разложение на смежные классы, указанное в формулировке теоремы:

Рассмотрим разложение G на различные смежные классы по H1:

Сравнивая эти два разложения, заключаем, что Очевидно, множество g11 g является объединением конечного числа смежных классов по подгруппам H2, …, Hn и содержит g11H1, аналогично смежных классов по H2, …, Hn.

Продолжая рассуждения аналогичным образом, находим, что G является объединением конечного числа смежных классов по Hn. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 5.1 (Теорема Лагранжа). Для любой подгруппы H конечной группы G Доказательство. Каждый класс gH, Hg равномощен подгруппе H, как показывают взаимнооднозначные соответствия h gh, h hg, hH. В частности, если группа G конечна, то её порядок |G| можно подсчитать, умножив мощность |H| каждого класса на число |G : H| всех классов. Теорема доказана.

Следствие 5.1. Порядок подгруппы делит порядок группы.

Следствие 5.2. Порядок элемента делит порядок группы.

Подгруппа H нормальна в группе G (обозначается H G), если левые и правые смежные классы в G по H совпадают.

Другие свойства смежных классов см. в [5].

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и Определение и свойства классов сопряженных элементов, примеры. Элемент a сопряжен с элементом b в группе G, если найдется такой x из G, что x 1ax = b.

Кроме того, обозначение x 1ax = ax переносится на множества: AB = {ab | a A, b B}. В этих обозначениях определение нормальной подгруппы выглядит следующим образом: H G тогда и только тогда, когда HG H.

Теорема 6.1. Порядки сопряженных элементов равны.

Доказательство. Пусть x 1ax = b. Предположим, что |a| = n, |b| = m и n m. Тогда ( x 1ax )n = an = e, но bn e. Полученное противоречие доказывает теорему.

Сопряжение – отношение эквивалентности. (То есть для сопряжения выполняются три свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.) Вся группа разбивается на непересекающиеся классы сопряженных элементов aG. Во всех числовых системах и абелевых группах классы сопряженных элементов состоят из одного элемента. Вообще, различные классы могут иметь разные мощности. Инструментом измерения мощности класса служит нормализатор.

Примерами групп, в которых каждый класс сопряженных элементов состоит из одного элемента, являются все абелевы группы. В группе подстановок третьей степени три класса сопряженных элементов: класс, состоящий из единичного элемента, класс, состоящий из двух элементов третьего порядка, и класс, состоящий из трех сопряженных инволюций.

Определение централизатора, нормализатора, теорема о мощности классов сопряженных элементов.

Тема 6. Классы сопряженных элементов. Нормализатор и централизатор Определение. Пусть M — произвольное подмножество группы G, H — ее подгруппа. Нормализатором множества M в группе G называется множество NH(M) = { h | hM = Mh, h H }.

Определение. Централизатором множества M в группе G называется множество CG(M)={ g|gm=mg, m M }.

В абелевых группах централизатор любого элемента совпадает со всей группой. В группе подстановок третьей степени централизаторы всех элементов совпадают с циклическими группами, порожденными этими элементами.

Теорема 6.2. Если M — подмножество, а H — подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H равна индексу |H : NH(M)|. В частности, |aG| = |G : NG(a)|.

Доказательство. Отобразим Mx, xH, на правые смежные классы H по N = NH(M): (Mx) = Nx. Отображение однозначно: из Mx = Mн вытекает Nx = Ny. Оно взаимнооднозначно т. к. Nx = Ny влечет Mx = Mн. Это отображение «на», т. к. у любого класса Nx есть прообраз Mx. Теорема доказана.

Тема 7. Центр, коммутант. Фактор-группа Определения центра, коммутанта. Примеры. Строение группы во многом определяется перестановочностью ее элементов. Множество элементов группы, которые перестановочны со всеми ее элементами, является подгруппой.

Определение. Центром группы G называется множество Z(G)=CG(G).

Упражнение. Группа G абелева тогда и только тогда, когда Z(G)= G.

Определение. Элементы a, b группы G перестановочны (коммутируют), когда Абелевы группы совпадают со своим центром. В группе подстановок третьей степени центр является единичным.

Определение. Коммутатором [a, b] элементов a, b называется произведение Определение. Подгруппа, порожденная всеми коммутаторами, называется коммутантом группы.

Коммутант — инструмент, измеряющий отклонение группы от коммутативности.

Определение. Если L, M — подмножества группы, то их взаимным коммутантом называют подгруппу Упражнения.

1. Доказать [a, b]-1= [b, a].

2. Доказать [ab, c] = [a, c]ba[b, c].

4. Доказать, что [G, G] G.

Если H — нормальная подгруппа группы G, то правые и левые смежные классы по ней совпадают, поэтому просто говорим о множестве G/H смежных классов по подгруппе H. Легко видеть, что aHbH = abH, т. е.

множество G/H замкнуто относительно поэлементного умножения классов.

Легко проверить, что G/H — группа относительно этого умножения.

Определение. Если H G, то множество смежных классов группы G по подгруппе H образует группу, которая называется фактор-группой группы G по подгруппе H.

Единицей группы G/H является класс H, а обратным к классу aH — класс a-1H.

Класс aH является классом элементов в группе G, но в группе G/H он сам является элементом, а не классом. Непосредственно проверяется, что отображение : G G/H по правилу g = gH есть гомоморфизм. Такие гомоморфизмы называют естественными.

Упражнения 1. Доказать, что фактор-группа циклической группы циклическая.

2. Фактор-группа G/H тогда и только тогда абелева, когда H содержит Полные группы, примеры. Группа называется полной, если для всякого целого числа n 0 и любого элемента g из G уравнение nx = g имеет в группе G хоть одно решение.

Примеры 1. Аддитивная группа Q рациональных чисел полна.

2. Квазициклическая группа Cp изоморфна (в аддитивной записи) объединению возрастающей цепочки конечных циклических групп причем pa1 = 0, pan+1=an, n=1,2,… Приведем без доказательства две основных для теории полных абелевых групп теоремы:

Теорема 8.1. Полная подгруппа абелевой группы выделяется в ней прямым слагаемым.

Теорема 8.2. Ненулевая полная абелева группа разлагается в прямую сумму подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклической р-подгруппе, быть может, по различным р.

Доказательства этих теорем подробно изложены в [13].

Группа G обладает полной частью A, если A — абелева группа, порожденная всеми полными абелевыми подгруппами из G, и G/A не обладает полными абелевыми подгруппами.

Упражнения 1. Доказать полноту группы рациональных чисел.

2. Доказать полноту квазициклической группы.

Определения и свойства групп подстановок. Теорема Кэли.

Определение. Множество подстановок на n элементах является группой, которая называется симметрической группой Sn степени n.

Свойства группы подстановок.

Симметрическая группа Sn степени n является конечной. Её порядок | Sn|=n!

Симметрическая группа Sn-1 степени n-1 может быть вложена в симметрическую группу степени n (все подстановки из группы Sn, оставляющие символ i на месте, составляют подгруппу, изоморфную группе Sn-1).

Группа Sn некоммутативна при n 3. Группа S2, очевидно, абелева.

Множество четных подстановок на n элементах является группой, которая называется знакопеременной группой An степени n. Эта группа имеет порядок | An| =. Она является нормальной подгруппой группы Sn : An Sn.

Индекс подгруппы An в группе Sn равен 2: |Sn : An| = 2 (при n 2). Нечетные подстановки не составляют группы.

Существует гомоморфное отображение симметрической группы Sn степени n на группу порядка 2, состоящую из чисел 1 и –1, при этом четной подстановке ставится в соответствие число 1, а нечетной подстановке – число –1. Таким образом, фактор-группа Sn / An изоморфна группе, состоящей из чисел 1 и –1, относительно операции умножения.

Группа Sn порождается циклами Sn = (1 2), (1 2 … n).

Доказательство приведенных свойств предлагается провести самостоятельно.

Следующая теорема показывает, что подгруппами конечных симметрических групп, по существу, исчерпываются все конечные группы.

Теорема 9.1 (Теорема Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы степени n.

Доказательство. Пусть элементы группы G записаны в определенном порядке:

Если a – произвольный элемент группы G, то все произведения gia = g i – различные элементы группы G, т. е.

отличается от предыдущей записи элементов группы G лишь расположением элементов. Элементу a ставится в соответствие подстановка:

Двум различным элементам соответствуют различные подстановки, т. к. из g1a = g1 a следует a = a. Найдем подстановку, соответствующую произведению ab, где b – некоторый элемент группы G. Если элементу b соответствует подстановка т. е. g i b = g i, то из gi(ab) = g i b = g i следует, что элементу ab соответствует подстановка Таким образом, группа G изоморфно отображается в группу Sn. Теорема доказана.

Определение гомоморфизма, примеры гомоморфных отображений.

Определение. Отображение группы G в группу S называется гомоморфным, или гомоморфизмом, если (ab) = (a) (b) для любых a, b из G.

Множество всех элементов из G, которые при гомоморфизме отображаются в e – единицу группы G, называется ядром гомоморфизма и обозначается Ker.

Отображение группы целых чисел Z по сложению на аддитивную группу кольца Zn классов вычетов по модулю n – гомоморфизм.

Отображение симметрической группы Sn подстановок степени n на мультипликативную группу кольца Zn – гомоморфизм.

Теорема 10.1. Ядро любого гомоморфизма группы G является нормальной подгруппой группы G.

( a 1 ) = ( ( a )) 1 = (e) 1 = e. Все элементы, сопряженные с a, также Итак, ядро гомоморфизма является подгруппой группы G и вместе с любым своим элементом содержит элемент, сопряженный с ним. Отсюда следует, что Ker – нормальная подгруппа группы G. Теорема доказана.

Пусть H – нормальная подгруппа группы G. Поставим каждому элементу x группы G смежный класс xH и получим отображение группы G на фактор-группу G/H. Это отображение будет гомоморфизмом:

называ-ется естественным гомоморфизмом группы G на фактор-группу G/H. Таким образом, нормальные подгруппы, и только они, являются ядрами гомоморфизмов.

Теорема 10.2. Пусть дан гомоморфизм группы G на группу G и H – ядро этого гомоморфизма. Тогда группа G изоморфна фактор-группе G/H, естественного гомоморфизма : G G / H и изоморфизма : G / H G.

Доказательство. Зададим отображение фактор-группы G / H на группу G : ( xH ) = ( x ), x G. Покажем, что – изоморфизм. Во-первых, если xH = yH, то ( x) = ( y ) и ( xH ) = ( yH ). Во-вторых, образы различных элементов различны, т. к. если образы совпадают, ( x) = ( y ), то x 1 y H = Ker, то и прообразы совпадут xH = yH. В-третьих, отображение сохраняет операцию:

Итак, отображение является изоморфизмом.

Гомоморфизм =. Действительно, : x ( x). С другой стороны, x xH ( x). Теорема доказана.

Теорема 10.3. Пусть H и A – нормальные подгруппы группы G и H – подгруппа группы A. Тогда фактор-группа (G / H ) /( A / H ) изоморфна факторгруппе G / A.

Доказательство. Пусть отображение : G / H G / A задается:

Покажем, что – изоморфизм. Во-первых, если xH = yH, то xA = yA, т. к. x 1 y H A. Во-вторых, отображение сохраняет операцию:

Таким образом, – гомоморфизм группы G / H на группу G / A. Ядро этого гомоморфизма Ker = A / H, т. к. ( aH ) = aA = A – единица факторгруппы G / A. Следовательно, A / H – нормальная подгруппа группы G / H.

По теореме 3.2 фактор-группа (G / H ) /( A / H ) изоморфна фактор-группе G / A. Теорема доказана.

Определение изоморфизма, примеры изоморфных групп.

Определение. Говорят, что группы G и G* изоморфны, если между ними можно установить взаимно однозначное отображение, сохраняющее операцию, т. е. (a) (b)= (ab) для любых a, b из G.

1. Группа положительных действительных чисел R+ по умножению изоморфна группе действительных чисел R по сложению. Изоморфное отображение получается, если всякому положительному действительному числу поставим в соответствие его логарифм по основанию 10. Равенство lg(ab) = lg(a)+lg(b) показывает, что это отображение является изоморфным.

Как отмечено в [13], пользуясь логарифмической линейкой, мы просто пожинаем плоды этого изоморфизма.

2. Группа корней n-й степени из единицы по умножению изоморфна аддитивной группе кольца Zn классов вычетов по модулю n.

3. Множество четных чисел можно взаимнооднозначно отобразить на множество чисел, кратных числу 3, если всякому четному числу вида 2k поставить в соответствие число вида 3k, лежащее во втором множестве.

Всякое множество с операцией изоморфно, очевидно, самому себе: для этого достаточно взять тождественное отображение множества на себя.

Следовательно, отношение изоморфизма является рефлексивным. Легко видеть, что оно также является симметричным — из M1 M2 следует M M1 — и транзитивным — из M1 M2 и M2 M1 следует M1 M3. Выполнение трех этих свойств означает, что изоморфизм является отношением эквивалентности на множестве групп. Из определения изоморфизма следует, что изоморфные множества имеют одинаковую мощность, в частности, если они конечны, то состоят из одинакового числа элементов.

Изоморфные группы отличаются друг от друга природой своих элементов и, быть может, названием операций. Они неразличимы с точки зрения свойств операций. Все, что может быть доказано для некоторого множества с операцией на основании свойств этой операции, но без использования конкретной природы элементов множества, автоматически переносится на все множества с операцией, изоморфные данному.

Изоморфные группы, таким образом, считаются различными экземплярами группы с одной и той же операцией. Тем самым алгебраическая операция выделяется в качестве истинного объекта изучения.

Задача теории групп — изучение групповых операций или, иначе, изучение групп с точностью до изоморфизма. Снова приведем цитату из монографии [13], которая богата оригинальными выражениями и крылатыми фразами. Теория групп была бы закрыта, если бы удалось составить каталог всех возможных групп с точностью до изоморфизма. Однако составить такой каталог практически невозможно.

Упражнения 1. Доказать, что Cn Zn.

2. Мультипликативная группа кольца комплексных чисел (Когда рассматривают мультипликативную группу к.-л. кольца, то рассматривают только подмножество его обратимых элементов. Таким образом, в нашем множестве будет отсутствовать число 0) изоморфна группе всех невырожденных матриц вида с действительными коэффициентами, рассматриваемыми относительно обычного умножения матриц.

3. Показать, что множество обратимых диагональных матриц степени n над коммутативным кольцом K с единицей Dn(K) относительно умножения изоморфно прямому произведению n копий кольца K.

Определение автоморфизма. Автоморфизмы группы являются частным случаем её эндоморфизмов, т. е. гомоморфных отображений группы в себя. По выражению Ю.И. Мерзлякова, эндоморфный образ подобен удостоверению личности в кармане этой личности.

Определение. Изоморфизм группы на себя называется ее автоморфизмом.

Множество всех автоморфизмов группы G обозначается Aut G.

Виды автоморфизмов, голоморф. Тривиальным примером автоморфизма является тождественное отображение группы на себя, при котором каждый элемент группы остается на месте. Простейшим нетривиальным автоморфизмом может служить изоморфизм аддитивной группы кольца целых чисел на себя : n –n. При автоморфизме любая подгруппа группы испытывает изоморфное отображение.

Если на множестве автоморфизмов задать операцию умножение — последовательное выполнение автоморфизмов, то множество Aut G будет являться группой относительно введенной операции. При этом Aut G S(G), где S(G) – группа всех взаимнооднозначных отображений группы G на себя.

Рассмотрим сопряжение группы G элементом a из G: x xa. Такое отображение будет изоморфизмом, т. к. оно является взаимнооднозначным и Такой автоморфизм называется внутренним автоморфизмом, производимым элементом a. Множество таких автоморфизмов относительно умножения – их последовательного выполнения, является группой. Ее обозначают Int G.

Она является нормальной подгруппой группы автоморфизмов группы G: Int G Aut G.

Автоморфизмы, которые не являются внутренними, называются внешними. Группой внешних автоморфизмов называют фактор-группу:

Для абелевой группы Out G = Aut G, т. к. любой внутренний автоморфизм абелевой группы является тождественным отображением, т. е. Int G — единичная группа.

При внутреннем автоморфизме любой класс сопряженных элементов отображается на себя. Существуют группы (даже конечные), у которых имеются внешние автоморфизмы с таким же свойством.

Циклические подгруппы 1-го и 2-го порядков обладают только тождественным автоморфизмом. Эти группы являются единственными, не имеющими нетождественных автоморфизмов. Любая некоммутативная группа обладает нетождественным внутренним автоморфизмом. Если же группа абелева, причем не все её элементы, отличные от единичного, имеют порядок 2, то нетождественный автоморфизм можно задать следующим образом: x x-1. Это отображение, действительно, является автоморфизмом, т. к. это взаимно однозначное отображение, и справедливо равенство (xy)-1=xy ввиду коммутативности операции. Существование нетождественных автоморфизмов нециклических абелевых групп, все элементы которых имеют порядок 2, следует из их строения.

Отображение : G Int G, при котором каждому элементу ставят в соответствие внутренний автоморфизм, им производимый, является гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма состоит из элементов, которые производят тождественный автоморфизм:

т. е. Ker = Z(G) – центр группы G. Применим теорему о гомоморфизмах: Int G G/ Z(G).

В общем случае описание группы автоморфизмов заданной группы G представляет большие трудности. В большинстве случаев свойства самой группы не переносятся на её группу автоморфизмов. Например, группа автоморфизмов абелевой группы может быть некоммутативной: группа автоморфизмов нециклической группы порядка 4 изоморфна симметрической группе S3. Существуют некоммутативные группы с абелевыми группами автоморфизмов. Однако некоторую информацию о группе группа автоморфизмов сохраняет. Если группа G – группа без центра, то и её группа автоморфизмов не имеет центра. Группа автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической. Группа автоморфизмов конечной группы сама является конечной. Хотя группа автоморфизмов бесконечной группы может оказаться конечной: у бесконечной циклической группы группа автоморфизмов является конечной порядка 2, т. к. образующий элемент в бесконечной циклической группе можно выбрать лишь двумя способами. Группы автоморфизмов неизоморфных групп могут оказаться изоморфными.

Подгруппа H будет нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда H H для всех внутренних автоморфизмов Int G. Подгруппу H группы G называют допустимой относительно или -допустимой, если H H для всех отображений. Единичная подгруппа и вся группа допустима относительно любого. Если группа не содержит других -допустимых нормальных подгрупп, то она называется -простой.

Группа называется совершенной, если она без центра и все ее автоморфизмы внутренние. Если группа G совершенна, то Z(G) = 1, Теорема 12.1 (теорема Гёльдера). При n 2, 6 симметрическая группа Sn совершенна.

Доказательство можно найти в [13] или [16].

Группы S2 и S6 не являются совершенными, т. к. S2 абелева, а S обладает внешним автоморфизмом порядка 2.

Голоморф возникает в связи со следующим вопросом: нельзя ли произвольную группу G вложить изоморфно в такую группу G*, чтобы каждый автоморфизм группы G оказался сужением внутреннего автоморфизма группы G*? Пусть Ф = Aut G. Оказывается, в качестве G* можно взять множество пар g, 'g' Ф, умножаемых по правилу (мы пишем пары без скобок и запятых). Действительно, аксиомы группы проверяются непосредственно. Также непосредственно проверяется, что отображения по правилам 1, g 1g, являются изоморфными вложениями.

Группы Ф и G отождествим с подгруппами из G* в силу этих вложений.

Из правила умножения сразу вытекает, что Теперь ясно, что G*=ФG, G G*, Ф G=1, и каждый автоморфизм Ф является сужением некоторого внутреннего автоморфизма группы G*.

Построенная группа ФG называется голоморфом группы G и обозначается Hol G.

Упражнение. Найти все классы сопряженных элементов группы Hol Тема 13. Прямые и декартовые произведения Определения. Примеры групп, разложимых в прямые и декартовы произведения. В теории групп рассматривается много различных видов произведений групп. Дадим сначала определение обычного произведения групп.

Определение. Под произведением AB подгрупп A и B некоторой группы понимается множество всевозможных произведений элементов этих групп, т.е.

Данное множество не всегда будет группой.

Произведение AB подгрупп A, B группы G тогда и только тогда само будет группой, когда AB = BA.

Доказать этот факт рекомендуется самостоятельно.

Определение. Группа G разлагается в прямое произведение своих подгрупп G1, G2,..., Gn, если выполнимы следующие условия:

2) группа G порождается своими подгруппами Gi;

Определение. Пусть G1,..., Gm — группы. Легко проверить, что множество G = G1...Gm последовательностей g1,...,gm, где g G, с покомпонентным умножением является группой. Ее называют декартовым произведением групп G, а сами G — его множителями.

Это понятие легко распространить на случай произвольной совокупности множителей G, I. А именно: обозначим через множество функций с условием, что f G для любого I. Легко проверить, что множество G с умножением по правилу fg = f g является группой; она и называется декартовым произведением групп G. Значение функции f в точке называется проекцией или компонентой элемента f в множителе G. Множество называется носителем или суппортом функции f.

Ясно, что множество функций с конечными носителями из декартова произведения групп G является группой относительно умножения функций. Эта группа называется прямым произведением групп G и обозначается через (без черты). Очевидно, для конечного числа множителей прямое и декартово произведения совпадают.

При аддитивной записи групповой операции вместо произведений говорят о суммах, вместо множителей — о слагаемых и пишут:

Дадим внутреннее определение прямого произведения через подгруппы — в отличие от внешнего определения, когда самой группы еще нет, и перемножаются группы, имеющие самую разную природу. Например, группа подстановок может умножаться на группу обратимых матриц относительно операции умножения или на группу комплексных чисел относительно операции сложения.

Пусть группа G порождается своими нормальными подгруппами Gi, причем каждый элемент g из G допускает запись, где все индексы i1,..., im различны, а неединичные множители однозначно определяются элементом g. Тогда говорят, что группа G разлагается в прямое произведение подгрупп Gi.

Очевидно, группа G тогда и только тогда разлагается в прямое произведение своих подгрупп Gi, когда она изоморфна прямому произведению абстрактных групп Gi. Поэтому для группы G, разложимой в прямое произведение подгрупп Gi, используется та же запись, что и для прямого произведения абстрактных групп Gi.

Определение. Группа G называется прямым произведением своих подгрупп H1, H2,.., Hn, если выполнены следующие три требования:

1) подгруппы H1, H2,..., Hn являются нормальными делителями группы G.

2) группа G порождается подгруппами H1, H2,..., Hn.

3) пересечение всякой подгруппы Hi, i=1, 2,..., n, с подгруппой, порожденной всеми группами Hj, j i, равно E.

Это определение можно заменить следующим, ему эквивалентным:

1') элементы из любых двух подгрупп Hi и Hj, i j, перестановочны между собой.

2') всякий элемент g из G однозначно записывается в виде произведения где hi Hi, i=1, 2,..., n.

Примером разложимых в прямое произведение групп служит аддитивная группа комплексных чисел, разлагающаяся в прямое произведение действительных и чисто мнимых чисел. Также группа по умножению ненулевых действительных чисел является прямым произведением группы положительных действительных чисел и циклической группы второго порядка, порожденной числом -1.

Нециклическая абелева группа 4-го порядка — прямое произведение двух циклических групп порядка 2.

Упражнение. Доказать, что циклическая группа порядка mn, где m и n взаимно простые числа, разлагается в прямое произведение своих собственных подгрупп.

Подгруппа A прямого произведения называется подпрямым произведением групп Gi, если проекция A на каждый множитель Gi совпадает с Gi. Подчеркнем, что подпрямое произведение не определяется множителями однозначно. Очевидно, каждая подгруппа прямого произведения есть подпрямое произведение своих проекций. Это не всегда будет прямое произведение — контрпримером служит диагональ D прямого квадрата G G, состоящая из пар (g,g), g G.

Упражнение. Пусть G=G1 G2, A — подгруппа из G, Ai — ее проекция на множитель Gi, i=1, 2. Доказать, что A разлагается в прямое произведение A1 A2 тогда и только тогда, когда Ai = Gi A, i=1,2.

поддекартовы произведения: подгруппа A декартова произведения называется поддекартовым произведением групп Gi, если проекция A на каждый множитель Gi совпадает с Gi. Очевидно, любое подпрямое произведение групп Gi будет и поддекартовым произведением этих групп.

Примером может служить группа GLn(Z), изоморфная подгруппе декартова произведения конечных групп GLn(Zm), m=1, 2,...

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение Полупрямое произведение, свободное произведение, свободное произведение с объединенной подгруппой, равномерное произведение.

Отметим, что все обсуждавшиеся расширения расщепляемы в следующем смысле: расширение G группы A посредством группы B называется расщепляемым, если в G существуют такие подгруппы H, K, что Очевидно, что тогда K G/A. Говорят также, что G —полупрямое произведение групп A и B, и пишут G = A B.

Так же как и для прямого произведения, для данной конструкции можно рассматривать внутреннее определение:

подгрупп A и B, если выполнены следующие три требования:

1. Подгруппа A является нормальным делителем группы G.

2. Группа G порождается подгруппами A и B.

3. Пересечение A B равно E.

Из этого определения очевидно вытекает некоммутативность операции в классе групп и отличие полупрямого произведения от прямого.

Группы, обладающие дополняемым нормальным делителем, т. е.

разложимые в полупрямое произведение этого нормального делителя и некоторой подгруппы, встречаются весьма часто. Естественно возникает следующее обобщение этой конструкции:

Группа G называется полупрямым произведением своих подгрупп Ai, где i пробегает вполне упорядоченное по возрастанию множество индексов I, если:

2) для всех j I подгруппа Gj = { Ai, ij } инвариантна в G;

3) для всех j I пересечение подгруппы Gj с подгруппой G(j) = = { Ai, i j} равно E.

Этому определению равносильно утверждение, что группа G обладает возрастающим инвариантным рядом, все члены которого дополняемы в G; факторы этого ряда будут изоморфны группам Ai, i I.

Примером группы, разлагающейся в полупрямое произведение своих подгрупп, является группа подстановок третьей степени.

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений Свободное произведение. Свободное произведение дает, подобно прямому произведению, некоторую возможность из заданных групп построить новую группу. Оно отличается от прямого произведения тем, что в его определении отсутствует содержащееся в определении прямого произведения требование перестановочности элементов, входящих в различные прямые множители.

Группа G называется свободным произведением своих подгрупп A, отличных от E ( пробегает некоторое множество индексов), если подгруппы A в совокупности порождают всю группу G, т.е. если всякий элемент g из G является произведением конечного числа элементов, взятых и если всякий элемент g из G обладает единственной записью такого вида при условии, что все элементы ai отличны от единицы и что не могут стоять рядом два элемента из одной подгруппы A, хотя, вообще говоря, произведение может содержать несколько множителей, входящих в одну такую подгруппу. Такая запись элемента g является несократимой.

Для записи свободного произведения употребляется символ *. Если группа G есть свободное произведение своих подгрупп A1, A2,..., Ak, то Подгруппы A называются свободными множителями группы G, входящими в свободное разложение. Из единственности несократимой записи элемента свободного произведения следует, что пересечение любого свободного множителя с подгруппой, порожденной в G всеми остальными множителями этого разложения, равно E.

Пусть группа G разложима в свободное произведение своих истинных подгрупп. Пусть два элемента a1 и a2, отличны от единицы и принадлежат различным свободным множителям. Из определения свободного произведения следует, что произведения a1a2 и a2 a1 будут различными элементами группы G, т. е. группа G непременно некоммутативна, даже если все свободные множители A абелевы. Далее, все произведения также являются различными элементами группы G, т. е. группа G непременно обладает элементами бесконечного порядка, даже если все свободные множители A периодичны. Таким образом, как абелевы, так и периодические (в том числе и конечные) группы неразложимы в свободное произведение.

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений К числу групп, разложимых в свободное произведение, принадлежат свободные группы, а именно: свободная (нециклическая) группа является свободным произведением бесконечных циклических групп.

В некоторых случаях оказывается полезной более общая конструкция, чем свободное произведение. Пусть даны группы A, где пробегает некоторое множество индексов, и пусть в каждой из групп A выбрана истинная подгруппа B так, что все эти подгруппы изоморфны одной и той же группе B. Через обозначим определенное изоморфное отображение B на B; = будет поэтому изоморфным отображением B на B.

Определение. Свободным произведением групп A с объединенной подгруппой B называется фактор-группа G свободного произведения групп A по нормальному делителю, порожденному всеми элементами вида всевозможные пары индексов.

Приведем еще один вид произведений групп: равномерное произведение. В равномерном произведении любые две циклические подгруппы, взятые в различных множителях данного разложения, перестановочны между собой.

Пусть G — группа, I — непустое множество индексов, состоящее не менее чем из двух элементов, и Ai, i I, — некоторые (необязательно попарно различные) подгруппы группы G. Будем говорить, что группа G является равномерным произведением подгрупп Ai, iI, если она порождается ими и при любых различных индексах iI и j I произвольная циклическая подгруппа группы Ai перестановочна с произвольной циклической подгруппой группы Aj.

Описание групп, представимых в виде равномерного произведения своих примарных подгрупп, дает следующая теорема.

Теорема 14.1 (теорема Шункова). Группа G тогда и только тогда может быть представлена в виде равномерного произведения некоторых своих примарных подгрупп, когда она является полупрямым произведением G=A B двух таких подгрупп A и B, разложимых в прямое произведение своих силовских p-подгрупп по разным p, что первая из них абелева и порождается своими циклическими подгруппами, инвариантными в G.

С доказательством теоремы можно ознакомиться, например, в [34].

Обобщением понятия равномерного произведения является обобщенно равномерное произведение групп, введенное В.П. Шунковым. Группа G называется обобщенно равномерным произведением своих подгрупп Qi, i I, если: G= Qi | i I, где Qi – qi-подгруппы, и выполняются условия:

Тема 14. Полупрямое произведение, свободное произведение и другие виды произведений 2) если Qi обладает элементарной абелевой подгруппой Ri порядка qi, то Ri перестановочна с любой нециклической элементарной абелевой подгруппой из Qj, i j;

3) группа, порожденная всеми Qj, не содержащими элементарных абелевых подгрупп порядка qj2, является равномерным произведением подгрупп Qj.

Пример. Группа G – группа вида G=(PP) A, где P – группа простого порядка p, A – ненильпотентная подгруппа группы Aut(PP), причем (p,|A|)=1. Покажем, что такая группа действительно существует. Известно, что Aut(PP) изоморфна группе GL2(p). Таким образом, группу A, будем искать как подгруппу группы GL2(p) вида Q R, где Q и R соответственно qи r-подгруппы циклические или элементарные абелевы ранга 2. Рассмотрим случай, когда p=5. В GL2(5) найдется подгруппа A следующего вида A=Q R, где Q и R подгруппы порядков 3 и 2 соответственно. Запишем элементы подгрупп Q и R в виде конкретных матриц:

В этом случае элементы порядка 3 подгруппы Q являются строго вещественными относительно инволюции подгруппы R. Таким образом, A = Q,R = Q R. Группа G = (PP) Q R разлагается в обобщенно равномерное произведение подгрупп Q1 = PP, Q2 = Q и Q3 = R, т. к.:

1) QiQj = QjQi, i, j = 1,2,3;

2) подгруппой порядка qi2 обладает только Q1, а подгруппы Q2 и Q нециклических подгрупп не содержат;

3) Q2,Q3 есть равномерное произведение подгрупп Q2 и Q3.

Нормальный ряд, субнормальный ряд. Виды групп, обладающих рядами. Важнейшие обобщения коммутативности — разрешимость и нильпотентность. Разрешимые группы — это группы, которые можно собрать из абелевых групп при помощи нескольких последовательных расширений. Они связаны с задачей о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, которой обязаны и самим названием. Нильпотентные группы составляют класс, промежуточный между абелевыми и разрешимыми группами. Они определяются более сложно и допускают более глубокое изучение.

Пусть в группе G дан инвариантный ряд Назовем этот ряд центральным, если при i = 0, 1,..., n-1 факторгруппа Ai+1/Ai содержится в центре фактор-группы G/Ai.

Определение. Группа G, обладающая хотя бы одним центральным рядом, называется нильпотентной. Перечислим без доказательства ряд свойств нильпотентных групп (их доказательства можно найти в [13]).

В любой нильпотентной группе совокупность периодических элементов есть подгруппа (периодическая часть).

Любая подгруппа нильпотентной группы субнормальна.

Конечный нормальный или инвариантный ряд группы называется разрешимым рядом, если все его факторы абелевы.

Группа G называется разрешимой, если она удовлетворяет одному из требований:

1) группа G обладает конечным разрешимым нормальным рядом;

2) группа G обладает конечным разрешимым инвариантным рядом;

3) убывающая цепь коммутантов группы G через конечное число шагов обрывается на единичной подгруппе.

Теорема 15.1 (Теорема Ито). Пусть группа G является произведением двух абелевых подгрупп. Тогда G метабелева (разрешима ступени 2).

Доказательство. Рассмотрим произведение двух абелевых подгрупп G = AB. Из свойств коммутаторов вытекает [ab,c]=[a,c]b[b,c], [a,bc]=[a,c][a,b] c.

Покажем, что коммутант группы G порождается коммутаторами вида [a,b], где a A, b B.

[ab, a1b1 ] = [a, a1b1 ]b [b, a1b1 ] = [a, b1 ]b [b, a1 ]b1 = [bab, b1 ][b, b11a1b1 ] = = [b2 a2, b1 ][b, b3a3 ] = [b2, b1 ]a2 [a2, b1 ][b, a3 ][b, b3 ]a3 = [a2, b1 ][a3, b]1.

следует a31 = b31a.

Возьмем два произвольных коммутатора x = [a,b], y = [a1,b1], где a, a A, b, b1 B.

Из полученного равенства xy=x, вытекает xy=yx. Таким образом, показано, что все коммутаторы группы порождают абелев коммутант.

Теорема доказана.

Силовские подгруппы. Теорема Силова. В 1872 г. была доказана основная для теории конечных групп теорема, описывающая строение максимальных p-подгрупп конечной группы. Теорема доказана норвежским математиком Л. Силовым. Поэтому максимальные p-подгруппы названы в его честь силовскими p-подгруппами.

Напомним, что группа, порядки всех элементов которой являются степенями некоторого фиксированного простого числа p, называется pгруппой.

Определение. Максимальная p-подгруппа называется силовской pподгруппой.

Теорема 16.1. (Теорема Силова). Пусть G – конечная группа, p – простое число. Для каждой степени pk, делящей порядок G, в G существует подгруппа порядка pk. Если pk делит порядок G, то каждая подгруппа порядка pk из G вложена в некоторую подгруппу порядка pk+1 из G. В частности, силовские p-подгруппы из G – это в точности подгруппы порядка pr, где pr – максимальная степень p, делящая порядок G. Все силовские pподгруппы из G сопряжены в G. Количество силовских p-подгрупп из G сравнимо с единицей по модулю p и делит порядок G.

Доказательство теоремы Силова можно найти в учебнике [13].

Применения теоремы Силова. Теорему Силова можно применять для выяснения строения групп небольших порядков. С ее помощью можно выяснить простоту группы, иногда найти точное количество силовских подгрупп, решать другие вопросы о строении группы.

Примеры алгебраических систем. Если на множестве задана бинарная операция, то в зависимости от свойств этой операции множество является группоидом, полугруппой, квазигруппой, лупой или группой.

Группоид — множество, на котором задана бинарная операция.

Отмечают, что на множестве задана бинарная операция, если определен закон, ставящий в соответствие любым двум элементам множества единственный элемент этого же множества.

Полугруппа — множество с ассоциативной бинарной операцией.

Пример. Правило нахождения разности чисел задаёт бинарную операцию на множестве целых чисел. Полученный так группоид не является полугруппой.

Пример. Правила сложения и умножения чисел на множестве натуральных чисел задают полугрупповые операции.

Пример. Пусть ( M ) - множество всех преобразований непустого множества M. Бинарная операция последовательного выполнения преобразований на множестве ( M ) является полугрупповой операцией.

Множество с бинарной операцией, в котором для любых элементов a, b уравнения ax=b, xa=b имеют единственные решения в нем, называется квазигруппой.

Бинарную операцию * на множестве S из n элементов можно задать таблицей их умножения, в которой входной строкой и входным столбцом является список элементов множества S, а на пересечении строки с входом a и столбца с входом b располагается значение операции a*b.

Такая таблица называется таблицей Кэли для группоида S с операцией *. Обычно S = {1, 2,..., n}. Если таблицу Кэли задаёт квадратная матрица порядка n, каждая строка и каждый столбец которой являются перестановкой элементов множества S, то такая матрица называется латинским квадратом, построенным на множестве S. Латинский квадрат существует для любого aij = i + j 1(mod n); i, j = 1, 2,..., n, является латинским квадратом.

Каждый латинский квадрат можно рассматривать как таблицу умножения квазигруппы. Верно и обратное: таблица умножения конечной квазигруппы есть латинский квадрат. Для того чтобы латинский квадрат являлся таблицей Кэли группы, необходимо и достаточно A = aij выполнение условия: если aij = ai k, ail = ai l, a jk = a j k, то a jl = a j l.

Лупа — квазигруппа с единицей, т. е. с таким элементом e, что ae = ea = a для любого элемента x из квазигруппы.

Если группоид удовлетворяет аксиомам квазигруппы и полугруппы, то он является группой.

Напомним, что множество G с бинарной операцией называется группой: если выполняется ассоциативность (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G; существует единичный элемент e: ae = ea = a для любого элемента a из G; для каждого элемента a из G в G существует обратный элемент a-1: a-1a=aa-1=e.

Свойства ассоциативности и коммутативности операций независимы.

Примеры ассоциативных, но не коммутативных операций уже встречались.

Примером коммутативной, но не ассоциативной операции на множестве рациональных чисел служит операция нахождения среднего арифметического:

Если на множестве задано две операции, то в зависимости от свойств этих операций множество является либо кольцом, либо полем.

Ассоциативное кольцо — это множество с двумя бинарными операциями — сложением и умножением, причем по сложению это абелева группа, по умножению для ненулевых элементов выполняется ассоциативность, и операции связаны законом дистрибутивности a(b+c) = ab+ac и (b+c)a = ba+ca для любых элементов a,b,c множества.

Примерами колец являются числовые кольца целых, рациональных и действительных чисел. Операции умножения в этих кольцах коммутативны, и кольца обладают единицами. Примером кольца без единицы служит множество всех четных чисел относительно обычных операций сложения и умножения.

Кольцо называется полем, если множество всех его ненулевых элементов относительно операции умножения — абелева группа.

Относительно обычных операций сложения и умножения ненулевых элементов полями являются множества рациональных и действительных чисел. Для каждого простого числа p множество целых чисел по модулю p образует поле относительно сложения и умножения ненулевых остатков.

Тема 18. Группы с условиями минимальности и Группы с условиями минимальности и максимальности.

Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для подгрупп (короче, условию минимальности), если не существует ни одной бесконечной убывающей цепочки ее подгрупп.

Группы с условием минимальности, как правило, изучались при некоторых дополнительных ограничениях. Наиболее важным из таких ограничений является локальная разрешимость группы, которая позволила построить теорию локально разрешимых групп с условием минималь-ности.

В этом решающая роль принадлежит С.Н. Черникову и его школе.

Группы с условием минимальности изучались также при других ограничениях, более общих, чем локальная разрешимость. Однако методы, созданные для локально разрешимого случая, являлись опре-деляющими в такого рода обобщениях.

Дальнейшее продвижение в теории групп с условием минимальности было приостановлено трудностями, которые возникли при попытках обобщить известную теорему Черникова на произвольные группы с условием минимальности. В связи с этим в известном обзоре Куроша–Черникова в 1947 г. была поставлена проблема, получившая название проблемы минимальности, которая формулируется в следующей форме:

Будет ли бесконечная группа с условием минимальности (в частности, локально конечная группа с условием минимальности) конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп?

Как отмечалось, только сравнительно недавно эта проблема была решена отрицательно А.Ю. Ольшанским.

Первый результат принципиального характера был получен в 1963 г.

М.И. Каргаполовым [12]. Опираясь на теоремы Файта–Томпсона [41] и Брауэра о централизаторе инволюции в конечной группе четного порядка [18], М.И. Каргаполов решил отрицательно проблему Шмидта в классе локально конечных групп, являющуюся частным случаем проблемы минимальности (позднее этот результат передоказывался в работах [30, 39, 42]).

Если проблема минимальности решается отрицательно, то нетрудно доказать существование такой бесконечной группы G, что G не является конечным расширением прямого произведения конечного числа квазициклических групп, а любая ее собственная бесконечная подгруппа является таковой, причем, как легко показать, группу G можно считать простой.

Ввиду теоремы 6 из [39] группа G является бесконечным объединением Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности конечных простых групп и, следовательно, по теореме Файта–Томпсона [41] содержит инволюции.

Таким образом, решение проблемы минимальности обусловливается существованием бесконечной серии неизвестных конечных простых групп.

Разумеется, такая редукция не может быть удовлетворительной, т. к.

открывать новые бесконечные серии простых групп и проверять, будет ли их объединение удовлетворять условию минимальности, – занятие не из легких.

Родственными к условию минимальности являются условия примарной минимальности и минимальности для абелевых подгрупп.

Определение. Группа G удовлетворяет условию примарной минимальности, если для любого простого p каждая цепь подгрупп из G такая, что в любой разности Gn \ Gn+1 содержится элемент gn с условием, что его степень с показателем p k содержится в Gn+1 для некоторого kn, обрывается через конечное число шагов (определение принадлежит С.Н. Черникову).

Полное описание локально конечных групп с условием примарной минимальности получено в работах В.П. Шункова и Я.Д. Половицкого.

Группы Шункова с условием примарной минимальности изучены А.К.

Шлепкиным (определение группы Шункова см. в следующей теме).

Определение. Группа удовлетворяет условию минимальности для абелевых подгрупп, если не существует ни одной бесконечной убывающей цепочки ее абелевых подгрупп.

В классе групп Шункова решения проблем минимальности и минимальности для абелевых подгрупп были получены В.П. Шунковым с А.Н. Остыловским и Н.Г. Сучковой.

Определение. Группа удовлетворяет условию максимальности для подгрупп (короче, условию максимальности), если не существует ни одной бесконечной возрастающей цепочки ее подгрупп.

Простейшим примером бесконечной группы, удовлетворяющей условию максимальности, является бесконечная циклическая группа.

Группа с условием максимальности и ее подгруппы обладают конечным числом образующих. Действительно, пусть в группе G обрываются все возрастающие цепочки подгрупп и пусть A есть подгруппа из G. Выбираем в A элемент a1 и обозначаем его циклическую группу через A1. Пусть в A уже выбрана подгруппа An с конечным числом образующих.

Если она еще отлична от A, то выбираем в A, но вне An, элемент an+1 и полагаем An+1 = An, an+1. Возрастающая цепочка подгрупп Тема 18. Группы с условиями минимальности и максимальности должна оборваться, т. е. при некотором n будет An = An. Отсюда следует конечность числа образующих в подгруппе A. Обратно, если в группе G существует бесконечная возрастающая цепочка подгрупп то объединение этой цепочки не может обладать конечной системой образующих. Так как если бы она нашлась: G = b1, b2, …, bn, то каждый из элементов bi, i = 1, 2, …, n, как и вообще всякий элемент из G, принадлежит к некоторой подгруппе Bk и поэтому ко всем подгруппам Bn при k ki. Если l = max (k1, k2, …, kn), то в подгруппе Bl содержатся уже все элементы b1, b2, …, bn; порожденная ими подгруппа не может, следовательно, совпадать с G.

Изучение групп с условием максимальности оказалось менее результативным, чем изучение групп с условием минимальности. К группам с условием минимальности относятся и черниковские группы.

Черниковские группы и их свойства.

Определение. Конечные расширения прямых произведений конечного числа (в частности, и равного нулю) квазициклических групп называются черниковскими группами, или группами Черникова.

Основные свойства черниковских групп были получены С.Н. Черниковым, им же доказано, что бесконечная локально разрешимая группа тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности, когда она является черниковской (см., напр., [36]).

В.П.Шунков установил ряд критериев, когда группа является черниковской:

— Если в бипримитивно конечной p-группе централизатор некоторого элемента простого порядка — черниковская группа, то сама группа черниковская.

— Если в локально конечной группе силовские 2-подгруппы черниковские и подгруппы нечетного порядка конечны, то сама группа черниковская.

— Всякая сопряженно бипримитивно конечная группа с условием минимальности для подгрупп является черниковской группой.

Условия бипримитивной конечности, сопряжено биприми-тивной конечности, их ослабления и обобщения. Условия конечности в группах могут накладываться на системы подгрупп. Условия минимальности и максимальности, которые мы рассматривали в предыдущей теме, также относятся к условиям конечности. Одно из классических условий конечности – условие локальной конечности.

Локально конечной называется группа, в которой любое конечное множество элементов порождает конечную подгруппу.

Здесь конечными полагаются все конечнопорожденные группы. Если множество подгрупп, которые будут конечными, изменить на множество 2порожденных подгрупп, то появляются целые классы групп с условиями конечности, введенные В.П. Шунковым.

К таким условиям относятся условия бипримитивной конечности, сопряженно бипримитивной конечности, их ослабления и обобщения.

Определение. (Сопряженно) бипримитивно конечной называется такая группа G, в которой для любой ее конечной подгруппы K в фактор-группе NG(K)/K любые два (сопряженных) элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа G называется q-(сопряженно) бипримитивно конечной, если для любой конечной подгруппы H из G в фактор-группе NG(H)/H любые два (сопряженных) элемента простого порядка q порождают конечную подгруппу.

Определение. Группа называется слабо (сопряженно) бипримитивно конечной, если два любых ее элемента простого порядка (сопряженных между собой) порождают конечную подгруппу.

Перечисленные условия конечности введены В.П. Шунковым Сейчас сопряженно бипримитивно конечные группы называются группами Шункова.

История примеров периодических не локально конечных групп началась с выступления П.С. Новикова на Всесоюзном математическом съезде (1959). В период между анонсом П.С. Новикова [20] и появлением (1968) развернутой публикации [21] примеров бесконечных конечно порожденных групп нечетного периода 4381 Е.С. Голод [8, 9] для каждого простого числа p строит конечнопорожденную p-группу неограниченного периода. Как и в конструкции Е.С. Голода, построенные в 1971 г.

конечнопорожденные p-группы конструкции С.В. Алешина [3] (см. также [13,15]) оказались финитно аппроксимируемыми. В класс периодических не локально конечных групп попала и построенная А.Ю. Ольшанским [22,23] бесконечная группа, которая порождена двумя элементами порядка p, причем p – нечетное простое число, и любая собственная ee подгруппа имеет порядок p. В дальнейшем работа с перечисленными примерами привела к pазделению различных условий конечности, снижению до 665 периода у известных конечно порожденных бесконечных групп, появлению бесконечных конечно порожденных групп четного периода.

Однако, несмотря на усовершенствования, группы ограниченного периода остаются достаточно громоздкими для изложения. С другой стороны, Р.И. Григорчук [11] сумел на двух страницах описать бесконечную 3-порожденную 2-группу преобразований единичного отрезка, из которого удалены двоично рациональные точки. Практически одновременно c группой Григорчука в конце 1970-х – начале 1980-х гг. появляются конструкция В.И.

Сущанского [31] конечнопорожденных p-групп подстановок неограниченного периода и первая работа Ю.И. Мерзлякова [19], см.

также [13], посвященная систематическому изучению конструкций не локально конечных групп с конечными, но неограниченными в совокупности порядками элементов.

На базе конструкции Е.С. Голода построены примеры М.Ю. Ба-ховой, Л. Гамуди и А.И. Созутова периодических не локально конечных групп неограниченного периода. Они служат источником примеров групп, разделяющих условия конечности. С помощью прямого и полупрямого произведения циклических групп построена бипримитивно конечная, но не бинарно конечная группа А.А. Черепа.

А.В. Рожков создал теорию групп преобразований однородных деревьев – АТ-групп (от англ. automorphisms trees). АТ-группы называют также группами алешинского типа, отдавая должное автору первых примеров 2-порожденных бесконечных p-групп преобразований С.В.

Алешину.

Теоремы А.В. Рожкова [25] разграничивают условие слабой сопряженной бипримитивной конечности с условиями сильной (a,b)конечности, сопряженной бинарной конечности и слабой бипримитивной конечности. Он же разграничил классы групп с условиями r-конечности и сопряженной r-конечности, являющимися обобщениями соответственно условий бипримитивной конечности и сопряженно бипримитивной конечности.

Определение. Группа называется (сопряженно) r-конечной, если любые ее r (сопряженных) элементов порождают конечную подгруппу. При r = 2 получаем определение сопряженно бинарно конечной группы.

М.Ю. Бахова [4] построила бипримитивно конечную, но не бинарно конечную группу с произвольным конечным множеством простых делителей порядков ее элементов, и А.А. Череп [33] доказал, что в бипримитивно конечной группе множество элементов конечного порядка не обязано составлять подгруппу — периодическую часть. Описание этих примеров можно найти в [26].

Здесь были рассмотрены условия конечности, которые появились и изучались в Красноярской школе по теории групп, более подробно см. [26, 27]. Большое число условий конечности рассматривается в [16. С. 337-342, 501-506].

Определения и свойства групп диэдра.

Определение. Группой диэдра называется группа, порождённая двумя инволюциями, т. е. элементами порядка 2.

В этом пункте зафиксируем обозначения: i,k – инволюции, G=i.k — группа диэдра, a=ik.

Теорема 20.1. Группа G имеет вид G=(a) (i)=(a) (k), и справедливы соотношения i-1ai=a-1, k-1ak=a-1.

Доказательство. Рассмотрим следующие соотношения:

Так как произвольный элемент u группы G представляет собой запись вида где ts ( s = 1,…, n) либо i, либо k, то получим при сопряжении элементом u u 1au = a ( 1). А это означает нормальность циклической группы (a) в G.

Очевидно, Теорема доказана.

Свойства группы диэдра существенно отличаются в зависимости от порядка элемента a=ik. Причём выделяется три случая: a имеет чётный порядок, нечётный, бесконечный.

Пусть сначала |a|=2n-1, нечётное число n N.

Теорема 20.2. G — группа Фробениуса с ядром (a) и неинвариантным множителем (i).

Доказательство. Обозначим H = (i). Пусть x — некоторый элемент из G\H. По теореме 20.1 его можно представить в виде x = a i, где 0 a и = 0, 1. Предположим, H H x 1.

В силу того, что H – подгруппа второго порядка H=Hx или Это означает: a 2 = 1, а это невозможно. Следовательно, (G, H) – пара Фробениуса.

Теперь остаётся доказать, что любой элемент вида a mi (m 0) есть инволюция, сопряжённая с i в G.

Сначала докажем, что инволюции i, k сопряжены в группе G.

Так как a = ik и |a| = 2n-1, то ik=a2n. Отсюда Итак, Рассмотрим две возможности для m. Пусть m=2s – чётное число т. е. ami, i сопряжены. Пусть имеет место вторая возможность Как показано, k = a nia n. Отсюда, ввиду a mi = a s ka 1, получим Теорема доказана.

Упражнение. Доказать, что для группы G из теоремы 20. выполняются равенства:

Теперь рассмотрим случай |a| = 2n — чётное число (n N).

Теорема 20.3. Пусть |a| =2n, тогда имеет место одно из утверждений:

1) Z(G) = G — группа Клейна;

2) Z(G) = (an), где an — инволюция.

Доказательство. Обозначим инволюцию a n через j. По теореме 20. т. е.

Аналогично jk = kj. Ввиду того, что любой элемент группы G представим в виде произведения некоторого числа инволюций i, k, то j находится в центре группы G.

Предположим, что ( j ) Z (G ), и пусть x – некоторый элемент из x 1ax = a 1. С другой стороны, из x Z (G ) следует: x 1ax = a и, значит, a = a 1, т. е. a – инволюция, и поэтому j = a. Так как G = a,i = j,i и j Z (G ), то G = ( j ) (i ) – элементарная абелева группа порядка 4 (группа Клейна).

Пусть G не является группой Клейна. По доказанному = 0, т. е. x = равенств получаем x = x 1. Следовательно, x – инволюция из a, и из строения циклической группы видно, x = j вопреки предположению, что x Z (G )\( j ).

Полученное противоречие доказывает: если G – не группа Клейна, то Z (G ) = ( j ) = (a n ). Теорема доказана.

Упражнение. Доказать методом от противного: инволюции i, k не сопряжены в группе G.

Рассмотрим третий случай: порядок элемента a бесконечен. Здесь справедливы следующие свойства:

— инволюции i, k не сопряжены в G;

Упражнение. Найти G' в случае, когда порядок элемента a бесконечен.

Группы подстановок и матриц. Представление группы диэдра группой подстановок. Пусть 123 — правильный треугольник, (1, 2, 3) — поворот на 1200, совмещающий треугольник 123 с собой, причем вершина 1 переходит в вершину 2, которая переходит в вершину 3. Вершина 3 отображается в вершину 1. Если последовательно выполнить этот поворот 2 раза, то получим поворот (1, 3, 2) :

а если 3 раза, то где () — тождественный поворот, при котором все точки неподвижны.

Совокупность трех этих поворотов и операции последовательного выполнения любых двух из них называют циклической группой поворотов порядка 3 и обозначают C3. Операцию последовательного выполнения поворотов будем называть также композицией или умножением поворотов.

Понятно, что все элементы группы C3 можно получить умножением из нетождественного поворота.

Аналогично для каждого натурального числа n определяется группа Cn. Любой ее элемент можно получить из поворота (1, 2,..., n) на угол 360 /n градусов. К элементам группы Cn добавим (пространственный) поворот i вокруг оси, проходящей через центр правильного n -угольника 12…n и его вершину. Пусть 1 — номер этой вершины. Тогда поворот i задается следующей перестановкой i его вершин:

Пусть c = (1, 2,..., n). Как отмечалось, c, c 2,..., c n 1, () — все элементы циклической группы Cn. Элемент c называют порождающим элементом группы Cn и записывают Элементы c, i являются порождающими группы D2n, т.е.

Упражнение. Доказать, что c, c 2,..., c n 1, (), ic, ic 2,..., ic n 1, i — все элементы группы D2n.

Если не выходить в пространство, а оставаться в плоскости, то повороты можно рассматривать как симметрии с осями, проходящими через центр правильного n -угольника.

Итак, построены серии циклических групп C2, C3,... и групп диэдра D4, D6, D8,….



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики Ф.Д. Влацкий В.Г. Казачков Ф.А. Казачкова Т.М. Чмерева СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Часть 1 Учебное пособие для заочного отделения Оренбург 2000 ББК22.3я7 С 23 УДК 53 (076.5) Рекомендовано Редакционно - издательским Советом ОГУ протокол №_, от 2000 г. Рецензент кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков Влацкий Ф.Д., Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерева Т.М. С 23 Сборник задач по...»

«Федеральное агентство по здравоохранению и социальному развитию Российской Федерации Комитет по здравоохранению Администрации Волгоградской области Волгоградский государственный медицинский университет ГАСТРОЭЗОФАГЕАЛЬНАЯ РЕФЛЮКСНАЯ БОЛЕЗНЬ У ДЕТЕЙ Методические рекомендации для врачей-педиатров и гастроэнтерологов Волгоград 2007 УДК 616.329-002-053.2 ББК 54.13 Утверждаю Зам. главы Администрации Волгоградской области, Председатель Комитета по здравоохранению _ Е.А.Анищенко Рецензенты: Главный...»

«Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет _ В.М. Сутягин, Л.И. Бондалетова ХИМИЯ И ФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ Учебное пособие Издательство ТПУ Томск 2003 ББК 24.7 УДК 541.6:[54+53](075.8) C 90 Сутягин В.М., Бондалетова Л.И. С 90 Химия и физика полимеров: Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2003. – 208 с. В учебном пособии изложены научные основы синтеза высокомолекулярных соединений цепной и ступенчатой полимеризацией, реакциями полимераналогичных превращений....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. И. Трусова, В. В. Богданов, В. А. Щепочкин Экономика машиностроительного предприятия Учебное пособие Ульяновск УлГТУ 2011 1 УДК 33:378 (075) ББК 30.606 я7 Т 78 Рецензенты: генеральный директор ООО УНИТЕК, д-р техн. наук, профессор В. В. Епифанов; начальник Бюро УЗП ОАО Ульяновский...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ Л.В. Минченко ОРГАНИЗАЦИЯ, НОРМИРОВАНИЕ И ОПЛАТА ТРУДА НА ПРЕДПРИЯТИЯХ ОТРАСЛИ Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2013 1 УДК 658.53 Минченко Л.В. Организация, нормирование и оплата труда на пред-приятиях отрасли: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2013. 42 с. В соответствии с рабочей...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Бизнес - информатика Математико-механический факультет Кафедра вычислительной математики ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Учебно-методическое пособие Екатеринбург 2008 Методическое пособие подготовлено кафедрой вычислительной математики Данное пособие предназначено для студентов...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ Кемеровский технологический институт пищевой промышленности Н.А. Бахтин, А.М. Осинцев ФИЗИКА Курс лекций для студентов вузов Часть 3. Строение и свойства вещества Кемерово 2011 УДК 53 (075) ББК Б 30 Рецензенты: Профессор кафедры общей физики Кемеровского государственного университета, доктор физ.-мат. наук, профессор Полыгалов Ю.И. Заведующий кафедрой физики Кузбасского государственного технического университета, доктор техн. наук Дырдин В.В. Бахтин, Н.А. Физика....»

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ 9/24/1 Одобрено кафедрой Управление эксплуатационной работой МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗРАБОТКЕ И ОФОРМЛЕНИЮ ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТОВ для студентов - дипломников специальности 190701 Организация перевозок и управление на транспорте (железнодорожный транспорт) (Д) Москва – 2008 М е т о д и ч е с к и е у к а з а н и я с о с т а в и л и : Апатцев В. И., Биленко Г.М., Бухало Г.И., Голубев Б.Л., Голубкин Б.П., Гершвальд А. С.,...»

«Министерство Здравоохранения и Социального Развития Российской Федерации Всеросийский Центр экстренной и радиационной медицины МЧС России Санкт-Петербургская Государственная медицинская академия им. И.И. Мечникова СОГЛАСОВАНО УТВЕЖДАЮ Главный гастроэнтеролог Заместитель председателя Комитета по здравоохранению Комитета по здравоохранению правительства Санкт-Петербурга правительства Санкт-Петербурга профессор Е.И. Ткаченко В.Е. Жолобов __2006г. __2006г. ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕШСКИХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОД...»

«М.И. Фокина, И.Ю. Денисюк, Ю.Э. Бурункова Полимеры в интегральной оптике – физика, технология и применение Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 1 2 Министерство образования Российской федерации Санкт-Петербургский Государственный университет информационных технологий, механики и оптики Всероссийский научный центр Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова Полимеры в интегральной оптике – физика, технология и применение. Учебное пособие С-Петербург 2007 3 М.И. Фокина, И. Ю. Денисюк,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей и теоретической физики ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ Механика Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Под редакцией А.А. Бирюкова Самара Издательство Самарский университет 2009 1 УДК 631.01 ББК 22.2 И 32 Авторы: А.А. Бирюков, Э.Н. Воробьева, А.В. Горохов, Б.В. Данилюк, Г.П. Мартынова...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Петербургский государственный университет путей сообщения Кафедра Основания и фундаменты МЕХАНИКА ГРУНТОВ, ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ Методические указания по выполнению курсовой работы РАСЧЁТ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ с использованием программного обеспечения для студентов специальности СЖД, МТ САНКТ – ПЕТЕРБУРГ 2012 2 В настоящих методических указаниях даны рекомендации по...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ” ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ЭКОЛОГИИ (КУРЧАТОВСКИЙ РНЦ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) В. Г. Багров, В. В. Белов, А. Ю. Трифонов МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Асимптотические методы в релятивистской квантовой механике Допущено Учебно-методическим...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра древесиноведения и специальной обработки древесины А.В. Дружинин Г.Г. Говоров В.В. Савина ТЕХНОЛОГИЯ КЛЕЕНЫХ МАТЕРИАЛОВ Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу Технология клееных материалов для студентов факультета МТД Исследование физико-химических, технологических и механических показателей карбамидоформальдегидных, фенолформальдегидных смол и клеев на их основе...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет автоматики и вычислительной техники Кафедра автоматики и телемеханики МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Рабочая программа и методические указания по выполнению курсовой работы Для студентов специальности 210100 дневного и заочного отделений Киров 2010 Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государственного университета УДК 519.6(07) М545 Рецензент: кандидат технических наук, доцент кафедры ЭВМ Т.Р. Фадеева...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ Р.А. Фёдорова УЧЕБНАЯ ПРАКТИКА ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ОТЧЕТА Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2013 1 УДК 663.4 Фёдорова Р.А. Учебная практика. Правила оформления отчета: Учеб.-метод. пособие. СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2013. 27 с. Данное пособие составлено на основании Государственного...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Методические рекомендации Согласовано Утверждаю Заместитель начальника по науке Министр здравоохранения Главного управления кадровой политики, учебных заведений и науки В.А. Остапенко Н.И. Доста 5 января 2002 г. 25 октября 2001 г. Регистрационный No 184-0012 ПРИЧИННАЯ СВЯЗЬ ЗАБОЛЕВАНИЯ ВИРУСНЫМИ ГЕПАТИТАМИ B, C, D, G С ПРОФЕССИОНАЛЬНЫМ ФАКТОРОМ У МЕДИЦИНСКИХ РАБОТНИКОВ Витебск-Минск-Гомель Перейти к оглавлению Учреждения-разработчики: Витебский...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Ю. К. Прохоров УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Прохоров Ю.К. Управление качеством: Учебное пособие. СПб: – СПбГУИТМО, 2007. – 144 с. Данное учебное пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности...»

«И.С. Загузов, В.Н. Головинский, В.Н Калабухов ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ (МЕХАНИКА) ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И АЭРОГИДРОМЕХАНИКА Самара 2002 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического моделирования в механике И.С. Загузов, В.Н. Головинский, В.Н Калабухов ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ (МЕХАНИКА) ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И АЭРОГИДРОМЕХАНИКА Учебное пособие для студентов механико-математического факультета специальностей...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ А.В. Домбровская, А.Г. Серебрянская АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ МЕНЕДЖМЕНТ Учебное пособие Санкт-Петербург 2013 1 УДК 574 ББК 20.1 Д 66 Домбровская А.В., Серебрянская А.Г. Английский язык. Экологический менеджмент: Учеб. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2013. – 68 с. Цель пособия – расширение...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.