WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая,

А. Н. Карапетянц

Методические указания

по теме Двойной интеграл

Ростов-на-Дону 2006 Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания по теме Двойной интеграл. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ. 2005.

Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений от 2006 г. (протокол № ).

СОДЕРЖАНИЕ

§ 1. Определение двойного интеграла.................................. § 2. Свойства двойного интеграла....................................... § 3. Вычисление двойного интеграла.................................... § 4. Замена переменных в двойном интеграле.......................... § 5. Геометрические применения двойных интегралов................. § 6. Механические применения двойных интегралов................... § 7. Понятие о тройном интеграле..................................... Литература........................................................ § 1. Определение двойного интеграла В работе [1] были рассмотрены геометрическая и физическая задачи, приводящие к понятию определенный интеграл. Легко указать аналогичные двумерные задачи, приводящие к понятию двойной интеграл. Рассмотрим одну из них.

Задача об объеме криволинейного цилиндра.

Пусть функция f = f (x, y) определена и неотрицательна в некоторой замкнутой1, ограниченной области D.

z Криволинейным цилиндром назовем тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x, y), снизу областью D и боковой цилиндрической поверхy ностью, образующие которой параллельны оси z (рис. 1). Требуется найDk D ти объем V цилиндра.

x Рис. Для решения этой задачи используем обычный в интегральном исчислении прием: разобьем область D на части D1, D2,..., Dn произвольным образом, при этом цилиндр разобьется на цилиндрические столбики, имеющие основаниями Dk (k = 1, 2,..., n). Вычислим приближенно объем каждого столбика, для чего выберем произвольно точку Mk Dk, вычислим f (Mk ) и рассмотрим настоящий цилиндр с высотой f (Mk ) и основанием Dk, объем которого равен произведению f (Mk ) · Sk, где Sk площадь Dk.





Будем считать объем столбика приближенно равным f (Mk )Sk, тогда для Напомним: 1) Область D называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки, т. е. точки, любая окрестность которых содержит как точки, принад- y лежащие D, так и точки, не принадлежащие ей. 2) Область D называется ограниченной, если все ее точки лежат внутри некоторого D круга.

x объема V имеем n n V f (Mk ) · Sk = f (k, k ) · Sk, k=1 k= где (k, k ) координаты точки Mk. Точное значение объема естественно определить как предел полученной суммы при неограниченном уменьшении каждой области Dk.

Общая постановка задачи.

Пусть z = f (x, y) определена в замкнутой, ограниченной области D.

Разобьем область D сетью кривых на части Dk, k = 1, 2,..., n, выберем произвольно точку Mk Dk с координатами (k, k ) и составим сумму:

n n = f (Mk )Sk = f (k, k )Sk, k=1 k= где Sk площадь области Dk. Эту сумму назовем интегральной суммой для функции f (x, y) в области D. Диаметром области D назовем точную верхнюю границу расстояний между двумя произвольными точками области. Обозначим его через d, тогда Заметим, что sup{(A, B)} существует, ибо множество {(A, B)} ограничено сверху (почему?).

Через обозначим наибольший из диаметров dk частей Dk = max dk, назовем его шагом разбиения и дадим следующие определения.

Определение 1. Число J называется пределом интегральных сумм при 0, если для любого положительного числа найдется такое положительное число, что как только независимо от способа разбиения области D на Dk и выбора точек Mk в областях Dk будет иметь место неравенство Определение 2. Если существует конечный предел J интегральных сумм при 0, то функция f (x, y) называется интегрируемой в области D, при этом предел J называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается символом Возвращаясь к задаче, рассмотренной выше, можем записать Заметим также, что двойной интеграл играет важную роль при определении других геометрических и физических величин (подробнее об этом мы поговорим ниже).

Таким образом, из определения двойного интеграла следует, что он является прямым обобщением понятия определенного интеграла; и потому многие теоремы и свойства, сформулированные и доказанные для определенного интеграла будут приведены здесь без доказательства.

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f (x, y) интегрируема в области D, то она и ограничена в этой области.

Как и в случае определенного интеграла это условие не является достаточным.

Теорема 2 (необходимое и достаточное условие интегрируемости).

Для того чтобы функция f (x, y) была интегрируема в области D необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовало такое разбиение области D, при котором имело место неравенство Замечание. В теореме 2 неравенство (1) можно заменить равенством Теорема 2 вместе с теоремой Кантора о равномерной непрерывности2 функции позволяет выделить важнейший класс интегрируемых функций.





Теорема 3. Всякая функция непрерывная в замкнутой ограниченной области D интегрируема в этой области.

Попробуйте доказать самостоятельно эту теорему!

1. Линейное свойство. Если функции f (x, y) и (x, y) интегрируемы в области D, а и некоторые вещественные числа, то функция f (x, y)+ (x, y) также интегрируема в области D, причем имеет место равенство 2. Аддитивность. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек, то из интегрируемости функции f (x, y) в области D следует ее интегрируемость в областях D1 и D2, и обратно из интегрируемости f (x, y) в обеих областях D1, D2 следует ее интегрируемость в области D, причем 3. Если функции f (x, y) и (x, y) интегрируемы в области D, то их произведение f (x, y) · (x, y) также интегрируемо в этой области.

Напомним: Функция называется равномерно непрерывной в области D, если () такое, что для любых точек M (x, y ), M (x, y ) D и таких, что (M, M ) выполняется неравенство |f (M ) f (M )|.

Теорема Кантора. Если функция f (M ) = f (x, y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она и равномерно непрерывна в D.

4. Монотонность. Если f (x, y) и (x, y) интегрируемы в области D и всюду в области f (x, y) (x, y), то 5. Если функция f (x, y) интегрируема в области D, то функция |f (x, y)| также интегрируема в этой области и имеет место неравенство Заметим, что из интегрируемости функции |f (x, y)| в D не следует интегрируемость f (x, y) в D.

6. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) интегрируема в области D и удовлетворяет неравенствам то справедливо равенство где S площадь области D, µ некоторое число, заключенное между Следствие. Если f (x, y) непрерывна в области D, то найдется такая точка (x0, y0 ) D, что будет выполняться а) Пусть область D, лежащая в плоскости xy, такова, что любая прямая, параллельная оси Oy и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках.

В этом случае для вычисления двойного интеграла используется следующая Теорема 4. Пусть функция f (x, y) непрерывна в области D. Тогда имеет место равенство формула (2) имеет простое геометрическое толкование. Рассмотрим тело, С другой стороны вычислим объем V, пользуясь результатами о вычислении объема тела по площадям параллельных сечений. Для этого проведем плоскость x = const (a x b) и вычислим площадь S(x) фигуры, полученной в сечении тела этой плоскостью. Очевидно, что эта фигура есть криволинейная трапеция, ограниченная линиями z = f (x, y), (x = const), z = 0, y = y1 (x), y = y2 (x). Следовательно, ее площадь находится по формуле и, следовательно, для объема тела V получим В формулах (3) и (4) левые части равны, потому равны и правые или б) Если область D ограничена линиями x = x1 (y), x = x2 (y), y = c, y = d, причем x1 (y) x2 (y), c d (при этом прямая параллельная оси Ox и проходящая через внутреннюю точку области пересекает ее границу в двух точках), то имеет место равенство Замечание 1. Если выполняются оба условия, сформулированные в пунктах а), б), то справедливы обе формулы (2), (5) и, следовательно, имеет место равенство Замечание 2. В случае, когда область D не удовлетворяет условиям из а) и б), то ее обычно разбивают на конечное число областей рассмотренного типа. Тогда интеграл по области D в силу свойства аддитивности равен сумме интегралов по соответствующим областям.

Пример 1. Вычислить интеграл ваться теоремой 4 (формулой (2)); при этом сначала лучше расставить пределы во внутреннем интеграле, а затем во внешнем, вычисляя внутренний Обратите внимание, что пределы интегрирования во внутреннем интеграле зависят только от x, а во внешнем есть постоянные величины.

Как видно из решения данного примера, при вычислении двойного интеграла существенным является выбранный порядок интегрирования (так, например, в данном примере более простым является первый способ решения).

Пример 2. Изменить порядок интегрирования Сначала нарисуем область интегрирования D (рис. 7) Метод замены переменной является одним из основных методов вычисления определенных интегралов. Не менее важным является этот метод и при вычислении двойных интегралов. Сначала рассмотрим несколько вспомогательных вопросов.

п. 1. Отображение областей. Предположим, что нам даны две плоскости с декартовыми координатами x, y и,. Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые ограниченные области: D с кусочно-гладкой3 границей L и G с кусочно-гладкой границей (рис. 8). Предположим, что в области G определены функции Напомним: Кривая L называется гладкой, если она задана уравнением x = (t), y = (t), x [, ], где функции (t) и (t) имеют непрерывные на [, ] производные (t), (t), не обращающиеся одновременно в ноль. Кривую, состоящую из конечного числа гладких кривых, называют кусочно-гладкой.

такие, что, когда точка (, ) пробегает всю область G соответствующая ей точка (x, y) пробегает всю область D. Таким образом, функции (7) осуществляют отображение области G на область D.

Предположим, что уравнения (7) разрешимы относительно и, т. е.

существуют решения однозначные во всей области D.

Всюду в дальнейшем будем считать, что отображение (7) удовлетворяет следующим трем условиям:

1) отображение взаимно-однозначно, т. е. каждой точке (, ) G соответствует единственная точка (x, y) D и наоборот.

2) Функции (7), (8) непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в соответствующих областях.

3) Функциональный определитель (якобиан) во всех точках области G отличен от нуля, а так как все производные, входящие в этот определитель непрерывны в области G, то он сохраняет знак в этой области.

Заметим, что якобиан отображения (8) якобиан (10) также не обращается в ноль в области D.

Покажем, что отображение (7) любую кусочно-гладкую кривую = (t), = (t), t переводит также в кусочно-гладкую кривую. В самом деле образом данной кривой (ограничимся гладким куском кривой) будет кривая x = x((t), (t)), y = y((t), (t)), t, причем производные dx/dt, dy/dt существуют и непрерывны (все производные, фигурирующие в правых частях последних равенств, не обращаются в ноль одновременно.

В частности, кривая переводится в кривую L, что вытекает из теоремы о неявных функциях (почему?).

п. 2. Криволинейные координаты. Рассмотрим в области G прямую = 0 (рис. 8). В области D ей соответствует гладкая кривая, определяемая параметрическими уравнениями Аналогично прямой = 0 соответствует в области D кривая, заданная параметрическими уравнениями Линии (11), (12) называются координатными линиями в области D. Из взаимной однозначности отображения (7) следует, что через каждую точку (x, y) области D проходит единственная линия вида (11) и единственная линия вида (12). Следовательно, пару чисел (, ), являющуюся декартовыми координатами точки области G, можно рассматривать как координаты (отличные от декартовых) точки области D. Так как координатные линии (11), (12) будет, вообще говоря, кривыми, то эти координаты (, ) называют криволинейными координатами точки области D.

Простейшим и наиболее используемым примером криволинейных координат являются Полярные координаты. Как известно, связь между декартовыми и полярными координатами задается соотношениями Если значения r и откладывать по двум взаимно перпендикулярным осям (например, r абсцисса, ордината), то отображение (13) переводит всюду кроме точки x = 0, y = 0, которой на плоскости r отвечает отрезок оси (0 2). Исключив точку x = 0, y = 0, можно рассмотреть отображение, обратное (13), непрерывное всюду, кроме положительной полуоси x (почему?). Определим теперь координатные линии для полярных координат (рис. 9).

а) r = r0. Этой прямой отвечает кривая x = r0 cos, y = r0 sin или б) = 0. Этой прямой отвечает кривая x = r cos 0, y = r sin 0 или y = tg 0 x луч, исходящий из начала под углом 0 к оси x. Итак, координатные линии это концентрические окружности с центром в начале координат и лучи, выходящие из него. Вычислим якобиан перехода от декартовых координат к полярным Он отличен от нуля, если x = 0, y = 0.

п. 3. Площадь в криволинейных координатах. Пусть, как и прежде, на плоскости xy имеем область D, ограниченную кусочно-гладким контуром L. Пусть формулы (7) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между этой областью и областью G на плоскости, и пусть при этом выполняются все условия 1)–3).

Поставим задачу выразить площадь S области D в виде двойного интеграла, распространенного на область G. Докажем, что имеет место формула Доказательство. Выделим на плоскости бесконечно малый прямоугольник с вершинами A1 (, ), A2 ( + d, ), A3 ( + d, + d) (рис. 10).

Образом этого прямоугольника в плоскости xy будет криволинейный четырехугольник B1 B2 B3 B4. Вычислим его площадь. Очевидно, что вершины четырехугольника будут иметь координаты Так как (ограничиваясь членами первого порядка относительно d и d) приближенно имеем (все производные вычислены в точке (, )) и четырехугольник B1 B2 B3 B можно считать параллелограммом (его стороны попарно равны), то его площадь равна удвоенной площади треугольника B1 B2 B4. А как известно из аналитической геометрии Разбивая теперь область G прямыми, параллельными осям, мы одновременно получим разбиение области D на четырехугольники рассмотренного вида. Суммируя выражения для площадей этих четырехугольников, получаем равенство (14).

Следствие. Используя формулу (14), можно записать формулу для площади в полярных координатах Замечание 1. Основная идея, используемая нами при получении формулы (14) состоит в том, что для вычисления площади области D эта область разлагалась не на прямоугольные, а на криволинейные элементы. Используем ее для получения формулы (16) другим способом.

Элементарному прямоугольнику со стороj=j0+dj и r0 d (рис. 11). Поэтому элемент площаdr ди в полярных координатах равен r dr d, Замечание 2. Перепишем формулу (15) в следующем виде где J(, ) = D(x, y)/D(, ), dS = площ.B1 B2 B3 B4.

Из равенства (17) легко установить геометрический смысл |J(, )|. Так как отображение (7) переводит бесконечно малый прямоугольник области G, имеющий площадь d d, в параллелограмм, площадь которого |J(, )| d d, то |J(, )|, очевидно, представляет собой коэффициент растяжения площади в точке (, ) при отображении области G на область D.

Замечание 3. В частности, используя формулу (16), мы легко получим формулу для вычисления площади криволинейного сектора (см. [2]). Пусть область D ограничена двумя лучами = 1, = 2 и кривой r = r(), где r() непрерывна на [1, 2 ] (рис. 13).

Итак, мы получили знакомую формулу.

Проведя предварительную подготовку, мы, наконец, переходим к замене переменных в двойном интеграле.

п. 4. Замена переменных в двойном интеграле.

Теорема 5. Пусть D замкнутая ограниченная область с кусочно-гладкой границей L, f (x, y) непрерывная функция в этой области и пусть формулы x = x(, ), y = y(, ) устанавливают соответствие между точками D и точками некоторой области G, удовлетворяющие условиям 1)–3). Тогда имеет место следующая формула замены переменных Доказательство. Разобьем область G кусочно-гладкими кривыми на части Gk с площадями Sk. Кусочно-гладкие кривые, полученные при отображении (7) разобьют область D на части Dk с площадями Sk. Выберем произвольно точку (xk, yk ) Dk и составим интегральную сумму, отвечающую интегралу f (x, y) dx dy:

К каждой из областей Dk применим формулу (14) Так как J(, ) есть функция непрерывная в области G, то в силу следствия из теоремы о среднем найдется точка (k, k ) Gk такая, что будет выполняться равенство Подставляя это равенство в формулу (19), будем иметь Кроме того, так как точка (xk, yk ) выбрана произвольно, мы можем положить xk = x(k, k ), yk = y(k, k ).

Таким образом интегральная сумма примет вид (здесь мы воспользовались еще равенством (20)) В таком виде есть интегральная сумма, составленная для интеграла который существует поскольку под знаком интеграла стоит непрерывная на G функция. Поэтому, если теперь шаг разбиения области G устремить к нулю, то в силу непрерывности отображения, шаг разбиения области D также будет стремиться к нулю, и, следовательно, интегральная сумма с одной стороны будет стремиться к интегралу f (x, y) dx dy, а с другой к интегралу (21). Откуда вытекает, что эти интегралы равны, т. е. имеет место равенство (18), которое называется формулой замены переменных в двойном интеграле.

Замечание. Отметим, что если в определенном интеграле замены переменной делается лишь с целью упрощения подинтегрального выражения, то в двойном интеграле при замене переменных стремятся упростить и подинтегральную функцию и область, по которой берется интеграл; последнее очень важно и иногда можно пойти даже на усложнение подинтегральной функции лишь бы получить более простую область интегрирования.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл где D область плоскости xy, ограниченная прямыми y = x + 1, y = x 3, Упростим полученную задачу, сделав замену переменных = y x, = y + 1 x. Тогда прямые y = 1 x + 7, y = 1 x + 5 перейдут в прямые = 7, = 5, при этом область D перейдет в область G (рис. 14).

б) Выразим x, y через, :

Окончательно получим Пример 4. Вычислить двойной интеграл где D область плоскости xy, ограниченная кривыми xy = 2, xy = 3, y = x, y = 2x (x 0, y 0). (Решите самостоятельно.) § 5. Геометрические применения двойных интегралов п. 1. Вычисление объемов.

Как было показано в начале настоящей работы, объем V тела, ограниченного поверхностью z = f (x, y), где f (x, y) неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и боковой цилиндрической поверхностью, направляющей z = f (x, y)) находится по формуле Пример 1. Определить объем тела, ограниченного поверхностями y = 0, Решение:

Тогда интеграл по D1 будет равен объему тела, лежащего выше плоскости xy, интеграл по D2 будет отрицательным и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости xy. Следовательно, имеем (сравните (см. [2]) с соответствующим замечанием при вычислении площади криволинейной трапеции.) а снизу z = f1 (x, y) 0, причем проекцией обеих поверхностей на плоскость xy является область D, то объем его, очевидно, будет равен Последняя формула остается справедливой и тогда, когда f1 (x, y), f2 (x, y) Отметим, наконец, что для существования всех интегралов мы будем предполагать непрерывность подинтегральных функций в замкнутой области D.

п. 2. Вычисление площадей плоских фигур.

Составим интегральную сумму для функции f (x, y) 1 в области D при любом способе разбиения. Переходя к пределу в последнем равенстве при 0, получим Если x = x(, ), y = y(, ) взаимно-однозначное, непрерывное и непрерывно-дифференцируемое отображение области G на область D, якобиан которого отличен от нуля, то, как было показано ранее, имеем Пример 2. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми xy = a2, xy = 2a2, y = 2x, y = x (x 0, y 0) (см. рис. 16).

Решение. Введем новые переменные:

Тогда будем иметь: = a2, = 2a2, = 2, = 1 и область G будет выглядеть так, как показано на рис. 17.

чала посчитаем Тогда Окончательно получим Заметим, что площадь в полярных координатах выражается формулой которая является частным случаем формулы (22), при этом x = r cos, п. 3. Вычисление площадей поверхности.

Рассмотрим поверхность z = f (x, y), ограниченную линией. Пусть f (x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области D (рис. 18).

Через точку Mi проведем касательную плоскость к поверхности, уравнение которой, как известно, имеет вид (см. [3]) На этой плоскости выделим площадку Gi, которая проектируется на площадь Gi.

Площадью поверхности z = f (x, y) назовем предел этой суммы при 0 ( шаг разбиения, т. е. наибольший из диаметров Gi ), т. е. положим Перейдем к вычислению площади поверхности. Через i обозначим угол между плоскостью xy и касательной плоскостью. Тогда, в силу известной формулы аналитической геометрии, имеем Si = i cos i. Отсюда Так как угол i является также углом между вектором нормали к плоскости (24) (ni = {fx (i, i ), fy (i, i ), 1}) и осью Oz {0, 0, 1}, Так как в правой части равенства (27) стоит непрерывная (по предположению) функция, то предел ее равен двойному интегралу и потому окончательно будем иметь следующую формулу для вычисления площади поверхности z = f (x, y) Замечание. Если уравнение поверхности имеет вид x = (y, z) или y = (x, z), то формулы для вычисления площадей этих поверхностей будут выглядеть так где D1, D2 области, на которые проектируются соответствующие поверхности.

Пример 3. Вычислить поверхность верхней полусферы с центром в начале координат и радиуса R.

Решение. Запишем уравнение полусферы Отсюда Следовательно, в силу формулы (28) будем иметь Переходим к полярным координатам x = r cos, y = r sin, при этом § 6. Механические применения двойных интегралов п. 1. Масса пластинки.

Рассмотрим некоторую область D, по которой распределена масса с плотностью (M ) = (x, y). Предполагая, что (x, y) есть функция непрерывная в D, требуется вычислить массу пластинки (области D). Как обычно, разобьем произвольным образом D на части Di и в каждой части выберем произвольно точку Pi (i, i ). Вычислим (Pi ), тогда произведение f (Pi ) · Si (Si площадь Di ) дает приближенно массу элемента Di ; масса же всей пластинки приближенной равна сумме Для получения точного значения массы M нужно перейти к пределу в этой сумме при 0; при этом, учитывая, что сумма (29) есть интегральная сумма для непрерывной функции (x, y) в области D, получим Пример 1. Определить массу круглой пластинки радиуса R, если плотность (M ) в каждой точке M (x, y) пропорциональна расстоянию точки (x, y) от центра круга, т. е.

Решение. Воспользуемся формулой (30) п. 2. Координаты центра масс пластинки.

Пусть, как и в предыдущем случае, пластинка занимает в плоскости xy область D и пусть (x, y) плотность пластинки. Разобьем D на части Di и будем считать, что масса Di, равная приближенно произведению (i, i )Si, сосредоточена именно в точке (i, i ) ((i, i ) произвольно выбранная точка, принадлежащая Di ). Тогда для координат xc, yc центра масс полученной системы материальных точек имеют место следующие равенства которые представляют собой приближенные значения координат центра масс x0, y0 пластинки. Для получения точного значения x0, y0 необходимо в равенстве (31) перейти к пределу при 0 (напоминаем, что есть шаг разбиения области D, т. е. наибольший из диаметров Di, i = 1, 2,..., n).

Окончательно получим Заметим, что если = const (пластинка однородна), то формулы (31) примут более простой вид где S площадь области D.

п. 3. Моменты инерции пластинки.

Для определения моментов инерции пластинки, имеющей плотность (x, y) относительно некоторой оси, воспользуемся идеей пункта 2, а именно: разбив область D на части Di и выбрав в каждой из этих частей произвольно точку (i, i ), заменим пластинку системой масс (i, i )Si, лежащих в точках (i, i ). Момент инерции такой системы точечных масс относительно оси Oy, как известно, равен Эта сумма является приближенным значением момента инерции пластинки относительно оси Oy; переходя здесь к пределу, получим точное значение момента инерции Jy Аналогично момент инерции пластинки относительно оси Ox Jx равен Так как момент инерции материальной точки с массой m относительно начала координат равен m(x2 + y 2 ), то момент инерции J0 пластинки относительно начала координат будет находиться по формулам т. е. J0 = Jx + Jy.

Пример 2. Вычислить момент инерции плоской фигуры D, ограниченной линиями y 2 = 1 x, x = 0, y = 0 относительно оси y, если (x, y) = y.

Решение. Для нахождения Jy воспользуемся формулой (33):

К понятию тройного интеграла нас вновь приводит п. 1. Задача о вычислении массы тела.

Пусть T некоторое тело с объемной плотностью (x, y, z), где (x, y, z) непрерывная функция. Требуется найти массу m этого тела. Как всегда (в определенном, двойном интегралах) разбиваем произвольно T на части Ti, выбираем произвольно точку (i, i, i ) Ti и вычисляем приближенно массу T Точное значение массы получим, переходя к пределу в (35) при 0 ( наибольший из диаметров Ti ).

В общем случае, если на теле T задана ограниченная функция f (x, y, z), то таким способом составляется интегральная сумма Определение 3. Предел сумм (36) при 0 (если он существует) называют тройным интегралом от функции f (x, y, z) по T и обозначают (Определение предела сумм дайте самостоятельно.) Возвращаясь к рассмотренной вначале задаче, можем записать Заметим, что если f (x, y, z) 1 в T, то, очевидно, что Как видно, тройной интеграл является естественным обобщением понятия двойного интеграла на случай функций трех переменных, поэтому мы не будем останавливаться здесь на свойствах, условиях существования и пр.

тройного интеграла. Остановимся коротко на вычислении интеграла и замене переменных в тройном интеграле.

п. 2. Вычисление тройного интеграла.

Рассмотрим область T, ограниченную снизу поверхностью z = z1 (x, y), сверху z = z2 (x, y) и сбоку некоторой цилиндрической поверхностью;

пусть D есть проекция T на плоскость xy. Предположим, что в области T имеет место следующая Теорема 6. Если для функции f (x, y, z) существует тройной интеграл f (x, y, z) dv, а для каждой фиксированной точки (x, y), принадлежаT щей области D, существует интеграл то интеграл также существует и имеет место равенство Замечание. Если J(x, y) dx dy можно представить в виде повторного, то имеет место, например, равенство Здесь мы предположили, что область D ограничена линиями y = y1 (x), y = y2 (x), x = a, x = b.

п. 3. Замена переменных в тройном интеграле.

Мы уже встречались ранее с заменой переменных в двойной интеграле.

Замена переменных в тройном интеграле во многом аналогична рассмотренному в § 4.

Пусть функции x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) задают взаимно однозначное и непрерывное отображение области T в декартовых x, y, z на область T в криволинейных координатах u, v, w. Пусть кроме того якобиан отличен от нуля в области T.

Тогда имеет место равенство Рассмотрим некоторые частные случаи формулы (39).

а) Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Определим положение точки M в пространстве ее декартовой координатой z и Числа r,, z назовем цилиндрическими координатами точки M. Из рис. легко устанавливается связь между декартовыми и цилиндрическими координатами z пространства переменных (r,, z) на все пространство (x, y, z), причем каждой точке (0, 0, z0 ) этого пространства отвечает полусегмент r = 0, 0 2, z = z0. Таким образом, отображение (40) будет взаимно однозначным во всех точках пространства (x, y, z), кроме точек, лежащих на оси z.

Цилиндрическим координатам отвечают следующие семейства координатных поверхностей 3) горизонтальные плоскости z = const ( z ).

(Сравните с координатными линиями, отвечающими полярным координатам в двойном интеграле.) Формула (39) для случая цилиндрических координат примет вид б) Тройной интеграл в сферических координатах. Определим положение точки M в пространстве следующими числами: расстояние от начала координат O до точки M ; угол между отрезками OM и положительным направлением оси Oz; угол между проекцией OP отрезка OM и положительным направлением оси Ox (рис. 20).

Якобиан, отвечающий переходу от декартовых к сферическим координатам, равен 0 2 пространства (,, ) на все пространство (x, y, z). Это отображение взаимно однозначно во всех точках пространства (x, y, z) кроме точек, лежащих на оси Oz. Сферическим координатам отвечают следующие семейства координатных поверхностей Формула (39) для случая сферических координат примет вид [1] Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания для студентов 1 курса физического факультета по теме Определенный интеграл. Часть 1. Ростов н/Д: УПЛ РГУ.

[2] Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания для студентов 1 курса физического факультета по теме Определенный интеграл. Приложения. Часть 2. Ростов н/Д: УПЛ РГУ.

[3] Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания по теме Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Часть 1. Ростов н/Д: УПЛ РГУ.



 
Похожие работы:

«Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.А. Константинов, В.В. Лалин, И.И. Лалина СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Применение программы SCAD для решения задач теории упругости Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2005 УДК 624.04 (075.8) ББК 38.112я73 К65 К о н с т а н т и н о в И. А., Л а л и н В. В., Л а л и н а И. И. Строительная механика. Применение программы SCAD для решения задач теории упругости.:...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Информационная безопасность математико-механический факультет кафедра алгебры и дискретной математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Теоретические основы компьютерной безопасности Учебное пособие Автор: профессор кафедры алгебры и дискретной математики Н.А. Гайдамакин Екатеринбург 2008 Гайдамакин Н.А. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ Е.А. Вицко МЕНЕДЖМЕНТ И МАРКЕТИНГ Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2014 УДК 658.13+339.13 Вицко Е.А. Менеджмент и маркетинг: Учеб.-метод. пособие. СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2014. 46 с. Приведены темы дисциплины, методические указания к практическим занятиям, варианты контрольных работ, тесты...»

«Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики Бобцов А.А., Рукуйжа Е.В., Пирская А.С. Эффективная работа с пакетом программ Microsoft Office 2007 Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2010 УДК 681.3 Бобцов А.А., Рукуйжа Е.В., Пирская А.С. Эффективная работа с пакетом программ Microsoft Office 2007. Учебно-методическое пособие. – СПбГУ ИТМО, 2010. – 142 с. Рецензенты: Л.С. Лисицына, д.т.н., профессор, зав. каф. КОТ СПбГУ ИТМО А.В. Белозубов,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.В. Васюхин А.В. Быстрова Основы ценообразования Задачник Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2010 Васюхин О.В., Быстрова А.В.,Основы ценообразования. Задачник. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. –48 с. В настоящем учебно-методическом пособии представлены вопросы для самоповторения, задачи, ориентированные на развитие логики и расчетные задачи,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский энергетический институт (технический университет) в г. Волжском В.Г. Кульков, С.О. Зубович КУРС ФИЗИКИ ДЛЯ ЭНЕРГЕТИКОВ Оптика, квантовая и ядерная физика Учебное пособие ВОЛЖСКИЙ 2011 УДК 539.2 ББК 22.3 Р е ц е н з е н т ы : Коротков Л.Н. доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры физики твердого тела Воронежского государственного технического университета,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина Физика Квантовая оптика. Элементы квантовой механики. Физика атома и атомного ядра Методические указания и задания к контрольной работе № 4 по трех- и четырехсеместровому курсам физики для студентов заочной формы обучения технических специальностей Екатеринбург УрФУ 2010 1 УДК 530(075.8) Составитель Г. В. Сакун Научный редактор проф., д-р физ.-мат. наук А. В....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова КАФЕДРА ДОРОЖНОГО, ПРОМЫШЛЕННОГО И ГРАЖДАНСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Методическое пособие для студентов специальностей 270205 Автомобильные дороги и аэродромы, 270102 Промышленное и гражданское строительство и направления...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Сочинский государственный университет Филиал ФГБОУ ВПО Сочинский государственный университет в г.Нижний Новгород Нижегородской области Факультет Туризма и Физической Культуры Кафедра адаптивной физической культуры Ю. П. ЗВЕРЕВ ВВЕДЕНИЕ В БИОМЕХАНИКУ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА Учебное пособие Нижний Новгород 2012 1 ББК 75.0 З- 43 Зверев Ю. П. Введение в биомеханику опорно-двигательного аппарата: учебное пособие для студентов...»

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра численных методов и программирования ОСНОВЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА ЯЗЫКЕ JAVA МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО КУРСУ “МЕТОДЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ” Для студентов механико-математического факультета МИНСК БГУ 2002 Авторы–составители И. Н. Блинов, В. С. Романчик Р е ц е н з е н т ы: кандидат физико-математических наук, доцент И. М. Галкин кандидат физико-математических наук В.И. Адамович Рекомендовано Ученым советом...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2006 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики Гуманитарный факультет Кафедра всемирной истории ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2006 История науки и техники. Учебно-методическое...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра химии КОРРОЗИЯ И ЗАЩИТА МЕТАЛЛОВ Методические указания для студентов 1 курса дневной и заочной форм обучения Казань 2005 УДК 546(076) Коррозия и защита металлов: Методические указания для студентов первого курса дневной и заочной форм обучения / В.А. Бойчук, Н.С. Громаков: Казанский гос.архитектурно-строительный университет. Казань, 2005. 28с. В...»

«Государственное казенное учреждение Московской области “Управление автомобильных дорог Московской области “Мосавтодор”“ УТВЕРЖДЕНЫ Начальником Управления “Мосавтодор” 12 ноября 2012 г. Вводятся в действие с 01 января 2013 г. ДНД МО-005/2013 Методические указания по расчету стоимости содержания автомобильных дорог регионального или межмуниципального значения Московской области ГУП МО Лабораторно-исследовательский центр, 2012г. СОДЕРЖАНИЕ Общие положения.. 1 Расчет единичных расценок.. 2 Расчет...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Методические рекомендации Согласовано Утверждаю Заместитель начальника по науке Министр здравоохранения Главного управления кадровой политики, учебных заведений и науки В.А. Остапенко Н.И. Доста 5 января 2002 г. 25 октября 2001 г. Регистрационный No 184-0012 ПРИЧИННАЯ СВЯЗЬ ЗАБОЛЕВАНИЯ ВИРУСНЫМИ ГЕПАТИТАМИ B, C, D, G С ПРОФЕССИОНАЛЬНЫМ ФАКТОРОМ У МЕДИЦИНСКИХ РАБОТНИКОВ Витебск-Минск-Гомель Перейти к оглавлению Учреждения-разработчики: Витебский...»

«Коллектив Авторов Сергей Юрьевич Наумов Система государственного управления Система государственного управления: Форум; Москва; 2008 ISBN ISBN 978-5-91134 Аннотация Предлагаемое учебное пособие дает всестороннее и комплексное освещение теории и организации государственного управления в Российской Федерации. Учебное пособие подготовлено с учетом новейшего законодательства и раскрывает правовые и организационные основы государственного управления. Содержит уникальные материалы, характеризующие...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Виноградова Г.Н., Воронин Ю.М., Ермолаева Г.М., Каманина Н.В., Смирнов В.Н., Шилов В.Б. ЛАЗЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Учебное пособие к лабораторным работам Санкт-Петербург 2007 2 УДК 621.373 Виноградова Г.Н., Воронин Ю.М., Ермолаева Г.М., Каманина Н.В., Смирнов В.Н., Шилов В.Б. Лазерные технологии. Учебное пособие к...»

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ К.В. Холшевников В.Б. Титов ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 ББК 22.6 Х74 Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, проф. Л.К.Бабаджанянц (С.-Петербургский гос. ун-т), канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Г.Лукьянов, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.И.Ширмин (Московский гос. ун-т) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета С.-Петербургского государственного университета Холшевников К.В., Титов В.Б. Х74 Задача двух тел: Учеб....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Петербургский государственный университет путей сообщения Кафедра Основания и фундаменты МЕХАНИКА ГРУНТОВ, ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ Методические указания по выполнению курсовой работы РАСЧЁТ ПОДПОРНОЙ СТЕНЫ с использованием программного обеспечения для студентов специальности СЖД, МТ САНКТ – ПЕТЕРБУРГ 2012 2 В настоящих методических указаниях даны рекомендации по...»

«В.А. БРИТАРЕВ, В.Ф.З АМЫШЛЯЕВ ГОРНЫЕ МАШИНЫ И КОМПЛЕКСЫ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для учащихся горных техникумов МОСКВА НЕДРА 1984 Бритарев В. А., Замышляев В. Ф. Горные машины и комплексы. Учебное пособие для техникумом.—М.: Недра, 1984, 288 с. Описаны конструкции и принцип работы основных пиши горних машин, получивших наибольшее распространение па открытых горных разработках. Рассмотрены перспективные направления...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГАОУ ВПО КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю.С. Церцеил ФОНДОВЫЙ РЫНОК СТРАН С ИСЛАМСКОЙ ЭКОНОМИКОЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ КАЗАНЬ 2012 УДК336.76 (5-11) ББК 65.262.2 Х 76 Учебное пособие Фондовый рынок стран с исламской экономикой предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки Мировая экономика. Данная работа содержит систематизированные сведения научного и прикладного характера об...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.