WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 


Pages:   || 2 |

«В. П. Пятибрат, В. А. Соколов ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕФТЯНЫХ И ГАЗОВЫХ ПЛАСТОВ В РАМКАХ ЗАКОНА ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ Учебное пособие ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ухтинский государственный технический университет

(УГТУ)

В. П. Пятибрат, В. А. Соколов

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕФТЯНЫХ И ГАЗОВЫХ ПЛАСТОВ

В РАМКАХ ЗАКОНА ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ

Учебное пособие Рекомендовано Государственным образовательным учреждением высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова (технического университета)» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Нефтегазовое дело»

Ухта УДК 622.276.031:532.546 (075.8) П Пятибрат, В. П. Точные решения некоторых задач упругого режима фильтрации для линейных нефтяных и газовых пластов в рамках закона фильтрации Дарси [Текст]: учебное пособие / В. П. Пятибрат, В. А. Соколов. — Ухта: УГТУ, 2010. – 173 с.

ISBN 978-5-88179-611- Учебное пособие предназначено для студентов нефтегазовых специальностей, изучающих дисциплины «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений» и «Подземная гидромеханика». В нем приведены точные решения задач прямолинейно-параллельной фильтрации нефти и газа в полубесконечной, ограниченной и изолированной галереях.

Полученные решения рассмотрены при произвольном изменении условий на забое ограниченной галереи. Даны также сведения из высшей математики по обыкновенным дифференциальным уравнениям, уравнениям в частных производных, из теории преобразования Лапласа, сведения о законе фильтрации Дарси, стационарном распределении давления в галерее, показаны выводы уравнений неразрывности и пьезопроводности для нефтяного и газового пластов.

Учебное пособие рекомендуется использовать в учебном процессе для нефтегазовых специальностей технических университетов. Оно также будет полезным для аспирантов и работников научно-исследовательских организаций.

Рекомендовано Государственным образовательным учреждением высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г. В. Плеханова (технического университета)» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Нефтегазовое дело».

Регистрационный номер рецензии 579 от 20.11.2009 (МГУП).

Рецензенты: кафедра разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений Санкт-Петербургского государственного горного института (технического университета) им. Г. В. Плеханова;

Назаров А. В., начальник отдела разработки газоконденсатных и нефтяных месторождений филиала ООО «ВНИИГАЗ» СеверНИПИгаз», доцент, к.т.н.

© Ухтинский государственный технический университет, © Пятибрат В. П., Соколов В. А., ISBN 978-5-88179-611-

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Историческая справка

1 Закон фильтрации Дарси. Функция Лейбензона. Стационарное распределение давления в галерее

1.1 ЛИНЕЙНЫЙ ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ ДАРСИ

1.2 ФУНКЦИЯ ЛЕЙБЕНЗОНА

1.3 СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ В ГАЛЕРЕЕ

2 Вывод уравнений неразрывности и пьезопроводности

2.1 ВЫВОД УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ОДНОРОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В

ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

2.2 ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПЬЕЗОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ НЕФТЯНОГО ПЛАСТА

2.3 ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ПЬЕЗОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ГАЗОВОГО ПЛАСТА

3 Прямолинейно-параллельная фильтрация нефти и газа в полубесконечной галерее

3.1 ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ГАЛЕРЕЕ ПОСЛЕ ПУСКА

ЕЁ В РАБОТУ С ПОДДЕРЖАНИЕМ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ НА ЗАБОЕ

3.1.1 Случай нефтяного пласта

3.1.2 Случай газового пласта

3.2 ПРЯМОЛИНЕЙНО-ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ГАЛЕРЕЕ ПОСЛЕ ЕЁ

ПУСКА В РАБОТУ С ПОДДЕРЖАНИЕМ ПОСТОЯННОГО ДЕБИТА

3.2.1 Случай газового пласта

3.2.2 Случай нефтяного пласта

3.3 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КРИВЫХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ, ПОЛУЧЕННЫХ В ЛИНЕЙНОМ

ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ

4 Прямолинейно-параллельная фильтрация нефти и газа в ограниченной галерее

4.1 РЕЖИМ ПОДДЕРЖАНИЯ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ НА «ЗАБОЕ» ГАЛЕРЕИ

4.1.1 Случай нефтяного пласта

4.1.2 Случай газового пласта

4.2 РЕЖИМ ПОДДЕРЖАНИЯ ПОСТОЯННОГО ДЕБИТА ГАЛЕРЕИ

4.2.1 Случай нефтяного пласта

4.2.2 Случай газового пласта

4.3 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВД, ПОЛУЧЕННЫХ В ОГРАНИЧЕННОМ ЛИНЕЙНОМ ПЛАСТЕ

4.4 ПРИМЕР ОБРАБОТКИ КВД, ПОЛУЧЕННОЙ В ОГРАНИЧЕННОМ ГАЗОВОМ ПЛАСТЕ

5 Прямолинейно-параллельная фильтрация нефти и газа в ограниченной изолированной галерее

5.1 РЕЖИМ ПОДДЕРЖАНИЯ ПОСТОЯННОГО ДАВЛЕНИЯ НА «ЗАБОЕ» ГАЛЕРЕИ

5.1.1 Случай нефтяного пласта

5.1.2 Случай газового пласта

5.2 РЕЖИМ ПОДДЕРЖАНИЯ ПОСТОЯННОГО ДЕБИТА ГАЛЕРЕИ

5.2.1 Случай нефтяного пласта

5.2.2 Случай газового пласта

5.3 ОБРАБОТКА КРИВЫХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ЗАКРЫТОЙ СО ВСЕХ СТОРОН, КРОМЕ

«ЗАБОЯ», ГАЛЕРЕЕ

5.3.1 Обработка КВД полученных в закрытой со всех сторон, кроме «забоя», нефтяной галерее при малых временах

5.3.2 Обработка кривых восстановления давления, полученных в нефтяном ограниченном изолированном линейном пласте при больших значениях времени, прошедших с момента пуска его в работу с постоянным расходом

6 Вид полученных решений при произвольном изменении условий на забое ограниченной галереи

6.1 ПУСК ОГРАНИЧЕННОЙ ГАЛЕРЕИ С ПОСТЕПЕННЫМ УМЕНЬШЕНИЕМ ДАВЛЕНИЯ НА ЗАБОЕ

ГАЛЕРЕИ

6.2 ПУСК ОГРАНИЧЕННОЙ ГАЛЕРЕИ С ПОСТЕПЕННЫМ УВЕЛИЧЕНИЕМ ДАВЛЕНИЯ НА ЗАБОЕ ГАЛЕРЕИ

6.3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПУСКЕ ГАЛЕРЕИ В РАБОТУ С ПЛАВНО УВЕЛИЧИВАЮЩИМСЯ ДЕБИТОМ....

6.4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПУСКЕ ГАЛЕРЕИ В РАБОТУ ПЛАВНЫМ УВЕЛИЧЕНИЕМ ЗАКАЧКИ ФЛЮИДА В

ПЛАСТ

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

ПРИЛОЖЕНИЕ 12

ПРИЛОЖЕНИЕ 13

ПРИЛОЖЕНИЕ 14

ПРИЛОЖЕНИЕ 15

ПРИЛОЖЕНИЕ 16

ПРИЛОЖЕНИЕ 17

ПРИЛОЖЕНИЕ 18

Библиографический список

ВВЕДЕНИЕ

Задачи интерпретации данных неустановившейся фильтрации нефти или газа в линейных пластах требуются, в основном, в двух случаях. В первом случае – при обработке КВД, полученных на линейных моделях пластов в лабораториях. Во втором случае – в качестве линейного может рассматриваться участок пласта между двумя батареями скважин, когда каждый ряд забоев эксплуатационной и нагнетательной батарей скважин рассматривается как единый забой галереи.

Основной особенностью гидродинамических исследований нестационарных фильтрационных течений является необходимость учёта упругих свойств жидкости и породы пласта. Несмотря на, казалось бы, малую сжимаемость жидкостей и скелета пористой среды, влияние упругих эффектов при исследовании переходных процессов в пластах оказывается всегда значимым.

Приведенные в настоящем учебном пособии точные решения уравнения пьезопроводности параболического типа являются наиболее простыми, поскольку рассмотрены случаи нестационарной фильтрации нефти и газа только в линейных пластах. Тем не менее, авторы сочли необходимым расписать выводы этих простейших решений достаточно подробно.

Для обеспечения работы студентов с данным пособием в приложениях даны некоторые простейшие сведения из высшей математики по простейшим обыкновенным дифференциальным уравнениям (приложение 1), уравнениям в частных производных (приложение 2), некоторые сведения из теории преобразования Лапласа (приложение 3) и прочие необходимые при выводах сведения.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

АНРИ ФИЛИБЕР ГАСПАР ДАРСИ

города были чрезвычайно загрязнены. Необходимо было как-то обустроить очистные сооружения, фильтры. И муниципалитет Дижона выделил 55 тысяч франков для строительства очистных сооружений, – сумма по тем временам весьма и весьма солидная.

Анри Дарси с неистовством принялся за порученную работу, проводя и лабораторные фильтрационные эксперименты с различными почвеннопесчаными смесями для очистки вод, и создавая проект, и непосредственно в нем участвуя. Его энергия, воля, научная страсть привели к созданию первой в Европе системы городских очистных сооружений с различными фильтрационными засыпками, расчет которых он производил на основе открытой им зависимости фильтрационного потока от градиента гидравлического напора. Впоследствии именно г. Дижон стал эталоном для всей Европы (и не только!) создания очистных сооружений, красивых фонтанных ансамблей, чистых источников.

В 1856 г. Дарси опубликовал свои научные результаты по фильтрации различных природных сред, используемых для очистки городских вод. Эти достижения обессмертили его имя, и благодарные дижонцы назвали этим именем центральную площадь и городские скверы, а также кинотеатр, остановку автобуса, аптеку, автостраду. На его могиле они выгравировали слова: «Он задумал этот проект, сделал необходимые исследования, произвел все работы, благодаря которым в Дижоне появилась в достатке чистая городская вода. Бесконечная благодарность его таланту и самоотверженности от его родного города». Может ли истинный исследователь желать большего?!

Equation Section 1 Закон фильтрации Дарси. Функция Лейбензона. Стационарное Честь открытия линейного закона фильтрации принадлежит Анри Дарси.

Скоростью фильтрации называется отношение объёмного расхода жидкости к площади поперечного сечения пласта (к так называемой площади фильтрации ), т. е.

Таким образом, чтобы получить скорость фильтрации (скорость Дарси) надо объёмный расход флюида, полученный через заданное сечение пористой среды, отнести ко всей поперечной площади пласта (её называют площадью фильтрации), которая включает в себя как суммарные площади пор, так и суммарные площади зёрен породы, которые мысленно получаются в поперечном сечении пласта.

Таким образом, это фиктивная скорость, которую имел бы флюид, если бы мы заменили пласт полым объёмом (т. е. положили бы пористость m 1 ), но при этом назначили бы через эту полость и через реальную пористую среду (с реальной пористостью m ) один и тот же объёмный расход жидкости Q.

Естественно, скорость фильтрации ( ) меньше чем реальная средняя скорость движения флюида в порах пласта ( u ), поскольку для обеспечения одного и того же расхода Q жидкость при движении в порах должна двигаться быстрее, чем при их отсутствии в том же геометрическом объёме.

Переход от скорости фильтрации к средней скорости движения флюида в порах u проводится через пористость m Для чего Дарси ввёл эту фиктивную скорость? Для сравнения. Объём жидкости, текущей через пористую среду, замерить легко, а значит, и объёмный расход тоже. Через узкие поры жидкость движется быстрее, через большие – медленнее. Структура расположения этих больших и малых пор неизвестна. Таким образом, реальная скорость движения жидкости через пористую среду может измениться сильно. Можно выйти из положения, введя средний коэффициент просветности, равный пористости. Но пористость станет известна только в лаборатории физики пласта, поэтому для простоты Дарси взял и разделил объёмный расход просто на хорошо известную величину – площадь поперечного сечения пласта, которая включает и площадь зёрен породы, и площадь пор. Чем выше получившаяся величина при прочих равных условиях, тем более проницаем пласт.

1) Линейный случай. Рассмотрим сначала фильтрацию жидкости в линейном пласте. При стационарной фильтрации жидкости вдоль одной оси (оси 0x ) распределение давления носит линейный характер (рисунок 1).

Рисунок 1 – Линейное распределение давления при одномерной (плоскопараллельной) фильтрации жидкости (а) и нелинейное - в случае фильтрации газа (б) при одинаковых Давление есть функция одной переменной p p x. Дарси установил линейную зависимость между скоростью фильтрации жидкости и перепадом давления на единицу длины, поэтому можно записать Важно именно отношение перепада давления на длину, так как просто p брать нельзя: один и тот же перепад, например, в одну атмосферу, может быть как большим (для близких сечений), так и малым, например, для расстояния в несколько километров.

Коэффициентом пропорциональности в формуле (1.3) является отношение, поэтому из (1.3) получим фильтрации жидкости поэтому с учётом (1.5) в случае фильтрации жидкости можно записать закон Дарси также и в следующем виде При линейной фильтрации газа распределение давления носит уже нелинейный характер. Это будет кривая, обращённая выпуклостью вверх (кривая б на рисунке 1). Ясно, что в этом случае мы можем записать линейный закон фильтрации Дарси только в виде (1.6), поскольку производная по ходу движения газа все время меняется (она отрицательна и увеличивается по абсолютной величине по ходу движения газа).

Заметим также, что, если мы выходное давление p2 (т. е. меньшее давление в пласте) расположим в точке x 0, а контурное давление p (большее) в точке x L, то в формуле (1.6) знак минус всё равно сохранится, т. к. теперь движение флюида (нефти или газа) будет происходить в сторону, противоположную положительному направлению оси 0x (именно поэтому, хотя теперь знак у производной будет положительный, в формуле знак сохранится). Проиллюстрируем этот момент.

Вариант 1. Пусть в точке x 0 находится контур питания, а выходное сечение нефтяной галереи (её «забой») располагается в точке с координатой x L (рисунок 2).

Рисунок 2 – Случай совпадения положительного направления оси 0х Тогда, в соответствии с формулой (1.1) для получения выражения для объёмного расхода Q в стационаре необходимо проинтегрировать выражение (при условии выполнения закона Дарси (1.6), а именно этому случаю и посвящено всё настоящее пособие) по пространственной переменной x в положительном направлении оси 0x от до L, а по переменной p по ходу движения нефти, т. е. от pк до pзаб.

Тогда получим или или Вариант 2. Расположим теперь в точке x 0 «забой» нефтяной галереи, а в точке x L – контур питания (рисунок 3).

Рисунок 3 – Случай, когда направление фильтрации нефти противоположно до L (т. е. в сторону положительного направления оси 0x ), а по переменной p по ходу движения нефти, т. е. от pк до pзаб.

Тогда получим или или Таким образом, без знака минус нам не обойтись.

Иногда для простых случаев одномерного движения (когда изменение давления определяется значением координаты только одной оси, как, например, прямолинейно-параллельная фильтрация вдоль оси плоскорадиальная фильтрация, при которой всё определяет значение на оси 0r ) в законе Дарси (1.6) знак минус «забывают», поскольку в выведенных на его основе формулах ясно, что флюид течёт лишь в одну сторону – от большего давления к меньшему.

Итак, поскольку интегрирование по пространственной координате ведётся всегда в сторону положительного направления оси 0x, т. е. от 0 до L, а интегрирование по давлению p ведётся по ходу движения жидкости (а жидкость движется в пласте всегда в сторону уменьшения давления), то в законе Дарси всегда будет присутствовать знак минус.

2) Пространственная фильтрация. В общем случае скорость фильтрации – это векторная величина. Проекции этого вектора на прямоугольные оси координат равны переменными, т. е. p p x, y, z.

Три величины, три проекции (1.7) определяют изменение величины в трёх взаимно перпендикулярных направлениях. Они естественным образом объединяются в вектор при помощи единичных векторов i, j, k следующим образом изменяющегося поля давлений p x, y, z, а по величине - отражающий скорость изменения этой функции в данном направлении; – символ оператора «набла»

(оператор Гамильтона) i j k, иногда этот символ пишут без значка вектора – просто, поскольку хорошо известно, что он превращает любое скалярное поле в векторное.

Сделаем объяснение на примере прямолинейно-параллельной фильтрации в галерее, поскольку данный параграф очень важен в дальнейшем для перевода, например, жидкостных формул в газовые и, наоборот, при фильтрации по закону Дарси.

Запишем в рамках линейного закона фильтрации Дарси выражение для объёмного дебита в случае стационарного движения капельной жидкости в линейном пласте где плотность const для жидкости, – площадь фильтрации (т. е. полная площадь поперечного сечения пласта, включающая в себя и площади поперечного сечения зёрен породы и площади сечений пустот, т. е. пор);

Q – объёмный расход жидкости (м3/с), а M – массовый (кг/с). При этом расход Q в каждом сечении есть величина постоянная.

В случае стационарной фильтрации газа по закону Дарси в линейном пласте можно записать, принимая закон состояния реальных газов в виде, следующее очевидное выражение для массового расхода газа Массовый расход M для газа в каждом сечении также есть величина постоянная. В формуле (1.10) и объёмный расход Q, и плотность газа берутся при одних и тех же условиях. Если взять эти условия стандартными физическими (т. е. 20С и 0,1 МПа), то M Qст ст.

Выражение под знаком дифференцирования в уравнении (1.10), т. е.

комплекс, это и есть так называемая функция Лейбензона.

Сравнивая выражения (1.9) и (1.10), приходим к общему правилу перехода от «жидкостных» формул к «газовым» (это годится и для формул нестационарных режимов) в рамках линейного закона фильтрации Дарси:

для перехода от «жидкостных» формул к «газовым» необходимо в «жидкостных» формулах вместо объёмного расхода Q записать массовый M, а давление p заменить на функцию Лейбензона, т. е.

В этом смысле в рамках линейного закона фильтрации Дарси все формулы для фильтрации жидкости сохраняют свой принципиальный вид и для фильтрации газа (и наоборот) - с точностью до некоторого постоянного комплекса величин (см. пример в следующем подразделе).

1.3 Стационарное распределение давления в галерее 1. Стационарное распределение давления при прямолинейнопараллельной фильтрации капельной жидкости носит линейный характер (рисунок 4).

Поэтому имеем тогда, очевидно, что, разделив пласт точкой x на две части, можно записать, пользуясь законом постоянства расхода жидкости, следующее или откуда Рисунок 4 – Стационарное распределение давления в нефтяной галерее (выходное сечение галереи в точке x 0, контур питания Таким образом, возможны различные записи стационара. Например, из (1.11) имеем pк p0, тогда с учётом последнего выражения получим то есть формулах типа (1.15) удобно этот комплекс умножать на безразмерную зависимость, задающую вид изменения давления типа 1 в той же формуле (1.15).

2. Получим формулу для распределения давления при стационарной фильтрации газа по линейному закону Дарси. Для этого запишем в виде системы три уравнения – закон фильтрации, уравнение постоянства массового расхода (т. е. уравнение неразрывности) и уравнение состояния для реального газа Если проинтегрировать первое уравнение этой системы с учётом второго и третьего уравнений, то получим хорошо известную формулу где Qст – это объёмный дебит газа при стандартных физических условиях, Это так называемая одночленная формула притока вида p 2 aQст.

Эту же формулу можно получить сразу, без вывода из жидкостной формулы (1.11), если согласно введённому в подразделе 1.1 правилу перехода в Сделаем это.

В функции Лейбензона уберём R. Для этого сначала запишем уравнение состояния газа для стандартных физических условий (т. е. для 20С и 0,1 МПа) откуда Тогда функция Лейбензона будет равна Наконец, произведя замены по вышеуказанному правилу, из (1.11) получим или т. е. получим газовую формулу (1.16).

Так в случае линейного закона фильтрации Дарси можно формировать стационарные условия в любом желаемом виде как для жидкости, так и для газа.

Equation Section (Next) 2 Вывод уравнений неразрывности и пьезопроводности 2.1 Вывод уравнения неразрывности при фильтрации однородных 1. Сначала сделаем вывод уравнения неразрывности упрощённым методом. По сути, это уравнение баланса массы в элементарном объёме пористой среды. Флюид, который фильтруется, может быть как капельная сжимаемая жидкость, так и газ. Мысленно выделим в пористой среде элементарный объём в виде прямоугольного параллелепипеда (маленького «спичечного коробка») с ребрами dx, dy, dz, параллельными соответствующим осям координат x, y, z (рисунок 5).

Рисунок 5 – Элементарный объём пористой среды в декартовых координатах Скорость фильтрации x, y, z, t является функцией x, y, z, t ; её проекции Рассмотрим поток в направлении 0x. За промежуток время dt через грань ab в элементарный параллелепипед втекает масса флюида (жидкости или газа) а через грань ab за это же время dt из параллелепипеда вытекает, согласно разложению в ряд Тейлора величины x, масса так что масса, накопленная в параллелепипеде за время dt (от движения в направлении оси 0x ), будет равна При этом dy dz dt было вынесено за скобки, т. е. из-под знака дифференцирования, т. к. элементарный параллелепипед имеет неизменные размеры dx, dy, dz и процесс рассматривается за один и тот же (постоянный) элементарный момент времени dt.

Точно также массы, накопленные за это время от движения параллельно двум другим осям, будут равны а, следовательно, полное накопление массы в параллелепипеде за элемент времени dt будет С другой стороны, это накопление вызывает в параллелепипеде изменение плотности с течением времени. За время dt это изменение составит Перейдем к массе. Объём пор в параллелепипеде равен m dx dy dz, а масса M m dx dy dz, где m – пористость выделенного элементарного объёма dx dy dz.

Тогда накопленная масса в объёме пор параллелепипеда будет равна Приравнивая (2.1) и (2.2) и сокращая на dx dy dz dt, получим так называемое уравнение непрерывности (неразрывности, сплошности) Выражение в квадратных скобках слева в (2.3) представляет собой дивергенцию вектора массовой скорости и кратко записывается как div, поэтому уравнение (2.3) можно записать в виде 2. Это же уравнение может быть получено более общим способом.

Увеличение массы жидкости, находящейся внутри пор произвольно выделенного объёма пористой среды V, означает изменение плотности жидкости и в единицу времени составляет mdV.

Сохранение массы требует, чтобы такая же масса жидкости поступала в единицу времени внутрь объёма V через его поверхность F, т. е. уравнение баланса массы для объёма V имеет вид где – вектор скорости фильтрации; d F – вектор элементарной площадки;

точка между векторами означает их скалярное произведение.

Интеграл по замкнутой поверхности преобразуется в интеграл по объёму при помощи теоремы Гаусса-Остроградского, так что последнее уравнение примет вид непрерывности 2.2 Вывод уравнения пьезопроводности для нефтяного пласта 1. Сначала сделаем вывод уравнения пьезопроводности на примере линейного пласта. Запишем уравнение неразрывности в виде где плотность и пористость зависят от давления следующим образом [2, 3] В формулах (2.5) и (2.6) н – это коэффициент сжимаемости нефти, а с – коэффициент объёмной упругости пористой среды, слагающей пласт.

Тогда для m имеем Последнее слагаемое в квадратной скобке правой части уравнения (2.7) мало, его можно не учитывать. Второе и третье слагаемые в этой же скобке тоже малы, но их нельзя убрать, поскольку тогда будем иметь тривиальный случай для нас неинтересен.

Теперь из (2.7) имеем где * m0н с – это коэффициент упругоёмкости нефтяного пласта [2].

Продифференцировав (2.8) по времени, получим Рассмотрим теперь произведение. Оно будет равно но, поскольку н p p0 1, то из (2.10) получим или для модулей векторов Подставим (2.9) и (2.11) в уравнение (2.4). Тогда для линейного случая получим или или где – коэффициент пьезопроводности нефтяного пласта (обозначается греческой буквой – «каппа»).

Уравнение (2.12) и называется уравнением пьезопроводности для нефтяного линейного пласта.

При пространственной фильтрации вектор скорости фильтрации можно разложить на три составляющие по координатным осям. Тогда уравнение пьезопроводности примет вид 2. Уравнения пьезопроводности можно вывести более общим методом на основе применения методов векторного анализа. Всякая разность давлений в жидкости со временем выравнивается, если привести её к стационару. При этом происходит перераспределение массы жидкости. Естественно предположить – и это подтверждается опытом – что плотность потока массы жидкости, т. е.

массовое количество жидкости, проходящее за секунду через площадку в 1 м перпендикулярно к направлению потока жидкости и пропорциональна отрицательному градиенту давления. Выделим некоторый объём пористой среды V. Уменьшение массы жидкости M в его порах за секунду составит где m – пористость выделенного объёма пористой среды V, – плотность жидкости.

С другой стороны, это уменьшение должно быть обусловлено уходом жидкости через поверхность рассматриваемого объёма в результате фильтрации. Тогда имеем где – вектор скорости фильтрации, равный grad p.

Уравнение состояния для нефти имеет вид (2.5), т. е.

Тогда в произведении, равном в квадратных скобках н p p0 - много меньше единицы, а значения меняются достаточно сильно. Поэтому произведение можно заменить на 0 из-за малой сжимаемости нефти.

Тогда полный поток массы жидкости через эту поверхность при этом будет равен где точкой обозначается скалярное произведение вектора grad p и вектора элементарной площадки d f.

Приравнивая (2.13) и (2.14), получим баланс массы. Тогда с учётом теоремы Гаусса-Остроградского получим получим Последнее уравнение должно выполняться для каждого элементарного объёма. Отсюда получим уравнение пьезопроводности или где – пьезопроводность нефтяного пласта.

3. Наконец, уравнение пьезопроводности можно вывести эвристически.

Рассмотрим сначала простой пример. Возьмём функцию y y x, t от двух переменных x и t, например, в виде y Ax 2 C1 t x C2 t, где A – постоянная. Чтобы найти функции времени C1 t и C2 t, надо знать две фиксированные пары значений x и y, т. е. надо два граничных условия y1 y x1, t и y2 y x2, t. Тогда из системы уравнений, зная A, можно будет найти функции C1 t и C2 t.

Что значит – «зная А»? Возьмём две производных по x от y x, t :

Получается, что «знать А» – это означает знать вторую производную.

Таким образом, зная вторую производную для восстановления процесса, надо знать два граничных условия.

Рассуждая от обратного, получается, что если имеем физическую систему, у которой есть два граничных условия, то в модели процесса будет участвовать вторая производная по x (или другая пространственная переменная).

Теперь рассмотрим пласт после пуска его в работу в качестве «чёрного ящика» (в кибернетике это такой объект, в котором неизвестна внутренняя структура). На рисунке 6 он показан условно прямоугольником, на вход которого жидкость поступает, на выходе - вытекает.

Рисунок 6 – К выводу уравнения пьезопроводности с эвристических (кибернетических) Имеем два граничных условия и одно начальное Тогда эвристически предполагаем, что уравнение пласта («чёрного ящика») содержит производную второго порядка по x и первого порядка - по t.

Тогда для линейной системы можно записать Мы предполагаем, что жидкость слабосжимаемая, разность между тем количеством жидкости, которое втекло в выделенный элемент пласта («чёрный ящик») и вытекло, идёт на повышение давления. Тогда остаются два слагаемых:

a1 2 - учитывает изменение количества жидкости в объёме, а a4 – изменение давления. Пренебречь второй производной мы не можем, т. к. у нас два граничных условия.

В итоге получаем модель в виде уравнения пьезопроводности или или где – коэффициент пьезопроводности пласта, характеризующий его способность проводить упругие колебания.

2.3 Вывод уравнения пьезопроводности для газового пласта Запишем уравнение неразрывности Учитывая, что пористость m для газовых пластов постоянна, из (2.15) получим Из (2.16) получим или, после сокращений, можно записать Далее из (2.18) получим или Далее нелинейное уравнение пьезопроводности (2.19) линеаризуется по Лейбензону пл или Чарному ср. В итоге получим линейное уравнение пьезопроводности для линейного газового пласта в виде где – коэффициент пьезопроводности для газового пласта.

Наконец, уравнение (2.20) легко обобщить для случая пространственной фильтрации Equation Section (Next) 3 Прямолинейно-параллельная фильтрация нефти и газа в С данной главы, собственно, и начинаются выводы точных решений, которые обозначены в заглавии настоящего пособия. До этого были приведены общеизвестные вещи просто для справки.

3.1 Прямолинейно-параллельная фильтрация в полубесконечной галерее после пуска её в работу с поддержанием постоянного 3.1.1 Случай нефтяного пласта Пусть имеется полубесконечный линейный нефтяной пласт (условно будем называть его галереей) с постоянным давлением pк в нём. Кровля и подошва пласта, а также его боковые вертикальные стенки непроницаемы. В момент времени t 0 галерея пускается в работу с поддержанием постоянного давления pг на её забое. При этом на бесконечно удалённом контуре пласта, естественно, сохраняется давление pк. Обозначение pк идёт от слова «контур».

В этой задаче никакого контура, естественно, нет, но всё равно будем называть постоянное давление на бесконечности (здесь и далее по тексту) условно pк для краткости и единообразия. После пуска в пласте начинается перераспределение пластового давления (рисунок 7).

Рисунок 7 – Перераспределение давления в нефтяной галерее после её пуска в работу с постоянным давлением pг Задача стационарного решения не имеет, поскольку волна возмущения будет распространяться на бесконечность бесконечно долго.

Процесс перераспределения давления будет описываться линейным уравнением пьезопроводности с одним начальным условием (т. к. уравнение (3.1) первого порядка по времени) и двумя граничными условиями (т. к. уравнение (3.1) является уравнением второго порядка по пространственной координате x ) Давление p в решении этой задачи будет зависеть от pк, pг,, x, t, поэтому можно записать Введём безразмерную функцию x, t следующим образом тогда Подставив (3.6) в уравнения (3.1)-(3.4), получим исходное уравнение в виде начальное условие первое граничное условие второе граничное условие Сразу заметим, что начальное условие (3.8) численно совпадает с граничным условием (3.10).

Теперь x, t,, поскольку зависимость решения от pг и pк мы убрали выбранным введением безразмерной функции.

Дальше используем теорию размерности.

можно сконструировать большое множество безразмерных комплексов, используя x, t,. Возьмём простейший из них, вводя константу 2 (далее будет ясно, зачем это сделано) и обозначим его через Теперь безразмерная функция будет зависеть только от одной безразмерной переменной а значит, у задачи появляется, как в таких случаях говорят, автомодельное (самоподобное) решение.

Начальное и граничное условия задачи записываются теперь в следующем виде:

Заметим, что теперь условия (3.14) и (3.16) стали идентичны.

Найдём необходимые для дальнейшего производные, пользуясь правилом дифференцирования сложных функций Подставим полученное выше в уравнение (3.7) или или Полученное ОДУ второго порядка (3.17) легко решается методом разделения переменных.

Проведём разделение переменных Проинтегрировав (3.18), получим где ln C1 – константа интегрирования.

Избавившись от логарифма в (3.19), тогда получим Проинтегрируем уравнение (3.20). Тогда получим где С2 – постоянная интегрирования.

задачи запишется в виде где erf верх – известный интеграл вероятностей [2]. Отметим здесь только, что при верх 0 erf(0) 0, а при верх erf 1 (рисунок 8).

Решение задачи в размерном виде будет иметь вид Автомодельность решения задачи заключается в том, что давление, как функция двух переменных x и t, определяется величиной только одной можно не всегда. В данной задаче, как видим, можно.

Объёмный расход будет определяться по формуле (чтобы не иметь дело с отрицательным дебитом в законе Дарси, возьмём правую часть без знака минус, т. е. используем численное значение для скорости фильтрации) где Формула (3.25) означает, что при x 0 (т. е. на «забое» линейного пласта или «забое» галереи) при t 0, т. е. в самый начальный нулевой момент времени Q 0,0 Qг 0, т. е. дебит подпрыгивает скачком до Покажем, как примерно происходит изменение pг t и Qг t в этой задаче (рисунок 9).

Рисунок 9 – Примерное (качественное) поведение давления pг t и дебита Qг t во времени в точке x 0, т. е. на «забое» галереи, после пуска её в работу 3.1.2 Случай газового пласта В соответствии с правилом перевода в рамках линейного закона фильтрации жидкостных формул в газовые из выведенной выше формулы (3.23) получим Для перевода жидкостной формулы (3.24) в газовую положим в ней вместо Q массовый расход газа M, а вместо p функцию Лейбензона 2 RTz 2Tпл zпл pст или, сократив последнее на ст, можно записать где Qст – объёмный дебит газа, приведённый к стандартным физическим условиям; – коэффициент пьезопроводности для газового пласта.

3.2 Прямолинейно-параллельная фильтрация В данной главе для разнообразия поступим так: сначала выведем формулы для газового пласта, а потом переведём результат в формулы для нефтяного пласта.

3.2.1 Случай газового пласта Пусть в полубесконечном горизонтальном газовом пласте постоянной толщины и ширины с непроницаемыми кровлей, подошвой и боковыми стенками начальное пластовое давление всюду постоянно и равно pк. В момент времени t 0 галерея пускается в эксплуатацию с постоянным объёмным дебитом Qст, приведённым к стандартным физическим условиям (т. е. к условиям 20С и 0,1 МПа). Галерея расположена в точке x 0 (рисунок 10).

Требуется найти давление, в любой момент времени t на галерее (при Рисунок 10 – Перераспределение квадрата давления во времени в полубесконечной галерее после её пуска в работу с постоянным объёмным дебитом (чёрточки в точке x 0 обозначают касательные, наклон которых, т. е. значение пьезопроводности при следующих условиях Последнее граничное условие перепишем так или тогда наконец или где Вспомним, что преобразование Лапласа (см. приложение 3) имеет дело с функциями, определенными на промежутке 0,, а значит, его особенно удобно проводить по переменной t. Для решения поставленной задачи мы применим преобразование Лапласа. Мы, конечно, могли бы применить преобразование Лапласа и по переменной x, поскольку она изменяется от 0 до функции будет После применения преобразования Лапласа к поставленной задаче получим (ДУ) или (используя начальное условие) (ГУ) Мы преобразовали только граничные условия, но не начальное.

Поскольку полученное преобразованное дифференциальное уравнение является только дифференциальным уравнением по переменной x, то для упрощения записи можно везде параметр s опустить, писать U x вместо дифференциальное уравнение (ОДУ) по x (ГУ) Общее решение линейного неоднородного ОДУ складывается из общего решения соответствующего однородного и какоголибо частного решения неоднородного уравнения.

Известно, что для линейного однородного уравнения y py qy характеристическим уравнением будет r 2 pr q 0.

Если r1,2 различные корни, то два линейно-независимых решения будут y1 e r1x, y2 e r2 x. Общее решение линейного однородного уравнения будет Общее решение линейного однородного уравнения ищем в виде Общее решение неоднородного линейного ОДУ ищем в виде Используем граничное условие U или откуда или В итоге общее решение будет Для условий на галерее (при x 0 ) имеем Сделаем обратное преобразование Лапласа Решение для любых x и t имеет вид Из [3, С. 813, формула 29.3.85] найдем Если F s равно тогда f t равно Таким образом, можно записать решение задачи где интегралы вероятностей имеют вид который уже встречался нам в разделе 3.1.1, известен как интеграл ЭйлераПуассона.

Перепишем (3.36) с учетом выражения для постоянной A (см. (3.33)) или 3.2.2 Случай нефтяного пласта В этом разделе (поскольку принципиально задача уже решена в предыдущем) поступим следующим образом. Перепишем решение (3.40) в виде, удобном для выделения функции Лейбензона Теперь, согласно введённому в подразделе 1.1 правилу перехода от жидкостных формул к газовым и обратно, можно рассуждать так. Если мы в давления p, а массовый расход M - просто на объёмный расход Q, то из формулы (3.43) для газа мы получим исходное решение задачи для нефти, а именно Из (3.44) для давления на галерее получим Объёмный расход будет определяться по формуле (опустим знак минус, поскольку при данных одномерных течениях заранее ясно, как должно себя вести решение задачи) где, согласно (3.44), будет равно Для газового пласта в формуле (3.47) надо просто взять вместо объёмных расходов массовые.

3.3 Интерпретация кривых восстановления давления, полученных в В предыдущих разделах был выведен закон изменения давления в пласте при скачкообразном изменении дебита от нулевого значения до некоторой постоянной величины. В подземной гидрогазодинамике метод суперпозиции (наложения) позволяет на основе приведенного элементарного закона решать более сложные задачи, например, исследовать фильтрационные течения при произвольном изменении дебита галереи.

Рассмотрим сначала нефтяную галерею (т. е. полубесконечный линейный нефтяной пласт). После мгновенного пуска галереи с постоянным дебитом Q давление на галерее будет изменяться по следующему закону (рисунок 12) Рисунок 12 – Качественная зависимость изменяющегося давления на галерее после её Пусть теперь дебит галереи будет изменяться скачкообразно, как показано на рисунке 13.

Рисунок 13 – Скачкообразное изменение дебита галереи Зная элементарное решение (закон изменения давления после элементарного скачка дебита), т. е. формулу (3.48), на основе метода суперпозиции можно определить забойное давление на галерее и при более сложном изменении дебита, например, таком, как показано на рисунке 13.

Согласно методу (принципу) суперпозиции можно записать Смысл формулы (3.49) следующий: изменения давления на забое галереи в момент времени t равно изменению давления, которое вызвано отбором нефти Q1 в течение времени t, плюс изменение давления, вызванное закачкой Суммирование производится в алгебраическом смысле.

В принципе, любую зависимость Q t можно аппроксимировать ступенчатой линией и применить принцип наложения потоков.

При интерпретации КВД в линейном нефтяном полубесконечном пласте рассуждения проводятся следующим образом. В момент времени t 0 галерея (до этого закрытая) пускается в работу с постоянным дебитом нефти Q. Далее галерея работает на этом режиме время T. Считается, что при этом имеет место линейный закон фильтрации Дарси. После этого галерея мгновенно закрывается (на забое) и производится запись кривой восстановления давления (КВД).

Совместим кривые изменения дебита и давления на галерее (рисунок 14).

Рисунок 14 –Совмещения кривых изменения дебита и давления Согласно принципу суперпозиции для давления на галерее в момент времени T t изменение давления будет или, учитывая то, что момент времени T является началом отсчёта времени для КВД, имеем Обозначим уменьшаются при увеличении времени t.

Тогда формулу (3.51) можно записать так Таким образом КВД перестраивают в координатах pг t, отрезок на оси ординат даёт значение pк, а угловой коэффициент даёт значение комплекса, который с учётом того, что *, можно записать и так проницаемость k.

Примерный (качественный) вид перестроенной КВД дан на рисунке 15.

Рисунок 15 –Перестроенная КВД (качественно), полученная Для случая газового пласта элементарное решение выглядит так Рассуждая совершенно аналогично описанному выше случаю для нефтяного пласта, получим, что КВД в этом случае следует обрабатывать в координатах pг2 t. При этом отрезок, отсекаемый на оси ординат, будет Tпл zпл pст 4Qст численному значению углового коэффициента найти проницаемость пласта k.

Equation Section (Next) 4 Прямолинейно-параллельная фильтрация нефти и газа в 4.1 Режим поддержания постоянного давления на «забое» галереи 4.1.1 Случай нефтяного пласта Рисунок 16 – Ситуация перед пуском жидкостной галереи в работу – во всех постоянным давлением на забое и точках пласта одинаковое давление pк при поддержании постоянного давления на контуре имеем ситуацию, представленную на рисунке 17.

Рисунок 17 – Стремление ситуации к стационару после пуска галереи с постоянным Итак, перед остановкой во всех точках пласта было давление, равное контурному, то есть pк. В момент времени t 0 галерея пускается в работу с поддержанием на её «забое» постоянного давления pг. При этом в пласте начнётся перераспределение давления и расхода. При больших временах t в пласте начнёт наблюдаться стационарная фильтрация с неизменным (стационарным) распределением давления в пласте и дебитом.

После пуска галереи в работу давление в любой точке пласта будет определяться дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации (уравнением пьезопроводности) с одним начальным условием (НУ) и двумя граничными условиями (ГУ) При больших временах данная задача имеет стационарное решение, которое можно получить из исходного дифференциального уравнения (3.1), положив в нём производную по времени, равной нулю 0. Тогда получим Назовём это решение стационарным и обозначим pст x Найдём постоянные интегрирования C1 и C2 из ГУ Решение задачи будем искать в виде суммы стационарного решения и суммы частных решений i, умноженной на pк pг уравнению (3.1) и граничным условиям Частные решения будем искать методом разделения переменных Фурье, то есть будем считать, что частное решение является произведением двух функций, одна из которых A зависит только от координаты x, а вторая B только от времени t Подставим это выражение для i в уравнение (4.7) Теперь разделим последнее на i, разделяя переменные И левая, и правая часть выражения (4.11) имеют размерность в системе СИ. Причём, правая часть зависит только от x, а левая – только от t. Это значит, что и левая, и правая часть (поскольку они приравнены) не зависят ни от координаты x, ни от времени t и равны, поэтому, какому-либо постоянному числу, имеющему размерность в системе СИ. Примем это число равным 2. Размерные величины введены в эту постоянную для того, чтобы величина 2i оказалась положительной и безразмерной, а в целом постоянная 2 имела размерность c в системе СИ (размерность пьезопроводности равна в системе СИ).

Тогда можно записать В последнем выражении i – положительные числа.

Таким образом, задача свелась к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Решим первое из них, то есть уравнение (4.13) где C – константа интегрирования, которая в дальнейшем войдёт в константу общего решения задачи, поэтому далее её опустим.

Тогда имеем Теперь решим второе уравнение (4.14). Это линейное однородное ОДУ второго порядка.

Из курса высшей математики (см., например, [4, С. 90-92]) известно, что если в линейное однородное ОДУ второго порядка с постоянными erx r 2 pr q 0. Тогда, если r есть корень квадратного уравнения r 2 pr q 0 (называемого характеристическим), то исходное ОДУ будет удовлетворено.

В нашем случае для уравнения характеристическим будет являться квадратное уравнение и корни r 2 i i, где i в данном случае мнимая единица, то есть То есть характеристическое уравнение имеет мнимые комплексносопряжённые корни. В этом случае, как известно, общий интеграл уравнения будет равен где C1i и C2i – постоянные интегрирования.

Функции i должны удовлетворять граничным условиям (4.8) и (4.9) для любых моментов времени. Это возможно только если Ai удовлетворяет этим Оказывается, что это возможно не для всех значений i, а только для некоторых значений, которые называются собственными. Найдём их из условий (4.17) и (4.18). С учётом этих условий имеем Из этих двух выражений получаем, что а значит, При этом коэффициенты C1i не определены.

На данном этапе решение задачи запишется так Сразу заметим, что в выражении (4.22) i не может равняться 0, т. к. в этом случае уходит зависимость данного частного решения от времени t и мы получим Но стационарное решение в формуле (4.22) уже учли, а значит, в бесконечной сумме частных решений все эти частные решения должны быть отличны от этого уже учтённого тривиального стационарного случая. Поэтому мы формулу (4.22) записываем с суммой, нижний предел у которой равен i Для нахождения коэффициентов C1i используем НУ (3.2). Положим в уравнении (4.23) t 0 и p x,0 pк, получим Умножим обе части последнего уравнения (4.24) на sin j и проинтегрируем по длине пласта. При этом воспользуемся соотношением (см.

Ошибка! Источник ссылки не найден.).

Тогда, после интегрирования, в правой части проинтегрированного выражения (4.24) из всех слагаемых останется только слагаемое, в котором i j, то есть будем иметь Из последнего выражения (4.26) найдём C1i (см. Ошибка! Источник ссылки не найден.).

Тогда решение задачи запишется Дебит в любом поперечном сечении галереи в любой момент времени находится по закону Дарси (опять опустим в нём знак минус, т. к. имеем простейший случай плоско-параллельного фильтрационного потока) Из (4.29) ясно, что после достижения стационарного режима (при t ) расход будет равен т. е. это, практически, формула (1.11).

Проверка работоспособности формулы (4.28) приведена в приложении 6.

4.1.2 Случай газового пласта Для газового пласта на основе функции Лейбензона решение задачи о пуске галереи с постоянным давлением на забое (4.28) перепишется так Закон изменения дебита (4.29) при этом получим для газового пласта в виде или, заменив 4.2 Режим поддержания постоянного дебита галереи 4.2.1 Случай нефтяного пласта Исходная ситуация в случае капельной жидкости представлена на рисунке 18. Контур пласта, на котором всегда поддерживается постоянное контурное давление pк, находится в точке x L, а добывающая или нагнетательная галерея – в точке x 0. Кровля, подошва и боковые стенки линейного пласта, естественно, непроницаемы.

Рисунок 18 – Галерея закрыта, во всем пласте постоянное давление pк Ситуация после пуска галереи с постоянным расходом жидкости представлена на рисунке 19.

Рисунок 19 – Схема перераспределения давления после пуска галереи с постоянным дебитом жидкости: 1 – отбор из галереи; 2 – закачка в галерею (чёрточками показано, что наклон касательных к кривой распределения давления в точках x 0 сохраняется После пуска галереи в работу с постоянным дебитом капельной жидкости Q0 давление в любой точке пласта определяется дифференциальным уравнением упругого режима (уравнением пьезопроводности).

Таким образом, имеем исходное уравнение в частных производных (УЧП) с одним начальным условием (НУ) и двумя граничными условиями (ГУ) При больших значениях времени данная задача имеет стационарное решение, которое можно получить из исходного УЧП (3.1), положив в нём производную по времени, равной нулю. Получим p x, C1 C2 x, причём C1 и C2 – это постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий (так как от времени в данном случае уже ничего не зависит). Тогда получим данное решение стационарным и обозначим pст x Сначала найдём частное решение задачи как безразмерное превышение давления p x, t над стационарным решением pст x Ясно, что это частное решение должно удовлетворять исходному уравнению (можно проверить прямой подстановкой) и следующим граничным условиям что также можно проверить прямой подстановкой.

Начальное условие здесь несущественно, что станет ясно далее.

Частных решений i может быть бесконечно много, поэтому общим а из (4.38) это значит, что общее решение задачи будет выглядеть так где каждое из i x, t должно удовлетворять уравнениям (4.39)-(4.9).

Частные решения будем искать методом разделения переменных Фурье.

Будем считать, что частное решение является произведением двух функций, одна из которых A зависит только от координаты x, а вторая B - только от времени t Подставив этот вид функции в уравнение (4.39), разделив полученное на i и приравняв всё это константе i (поскольку приравниваются два выражения размерности, одно из которых зависит только от t, а другое только от x ), получим где вместе с 2i введены и L2 для того, чтобы сохранить размерность всего выражения справа в (4.11).

Задача свелась к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

Решение уравнения (4.13) имеет вид а уравнения (4.14) где C1i и C2i – постоянные интегрирования (см. приложение 7).

Функции i должны удовлетворять граничным условиям (4.8) и (4.9) для любых моментов времени, что возможно только, если Ai x удовлетворяет этим ГУ Это возможно не для всех значений i, а только для некоторых, которые называются собственными. Найдём их из граничных условий (4.17) и (4.18).

а значит, при этом коэффициенты C2i не определены.

Тогда решение задачи запишется так Для нахождения коэффициентов C2i используем НУ (3.2), положив в уравнении (4.22) t 0 и p x,0 pк. Тогда получим Умножим обе части уравнения (4.24) на cos j и проинтегрируем по длине пласта. При этом воспользуемся соотношением (см. приложение 8) Тогда в умноженном на cos j и проинтегрированном по длине пласта выражении (4.24), а именно, в правой его части из всех слагаемых бесконечной суммы останется только слагаемое, в котором i j. В результате получим Из последнего выражения (4.26) найдём C2i (см. приложение 9).

Тогда решение поставленной задачи запишется Работоспособность решения (4.62) проверяется в приложении 10.

Дебит в любом поперечном сечении галереи находится по закону Дарси (опустим знак минус) Уравнение (4.62) для понижения давления до его стационарного распределения pст x после пуска галереи с постоянным расходом жидкости Q0 можно переписать так или что соответствует формуле (4.37).

Тогда, очевидно, процесс восстановления давления, когда галерея долго работала с постоянным расходом жидкости Q0 и стационарным распределением давления pст x, а потом её закрыли и давление в галерее начало восстанавливаться, описывается следующим уравнением или По уравнению (4.65) обрабатывают КВД, полученную в галерее, причём формулу (4.65) можно представить и в другом виде. Очевидно, что для стационара в точке x 0 будем иметь Тогда, с учётом (4.66), уравнение (4.65) можно записать и так 4.2.2 Случай газового пласта Получим из «жидкостного» решения предыдущей задачи (4.64) формулу для перераспределения давления в газовом ограниченном линейном пласте после пуска его в работу с постоянным дебитом Qст. Функция Лейбензона равна (см. (1.17)) Тогда из формулы (4.64) с помощью функции Лейбензона получим и заменив Для получения формулы, описывающей процесс восстановления давления после остановки газовой ограниченной галереи из (4.67) с помощью функции Лейбензона получим а из формулы (4.65), которая является основной при обработке КВД с целью получения значения проницаемости k пласта, на основе использования всё той же функции Лейбензона получим или, заменив 4.3 Интерпретация КВД, полученных в ограниченном линейном пласте Сначала галерея работала в стационаре с постоянным дебитом Q, постоянным давлением на контуре давления Это отображено на рисунке 20.

Рисунок 20 – Стационарное распределение давления в стационарно работающей с постоянным дебитом Q нефтяной галерее с поддержанием постоянного давления на В некоторый момент времени t 0 стационарно работающую галерею мгновенно закрывают на забое при условии поддержания на её контуре всё того же постоянного контурного давления. При этом в пласте начинает восстанавливаться давление до значения pк. Это отображено на рисунке 21.

Рисунок 21 – Процесс восстановления давления в остановленной галерее, которая до этого работала с постоянным дебитом Q (горизонтальные чёрточки в точке x означают, что дебит после закрытия, а значит скорость фильтрации и производная Естественно, дебит в этом процессе мгновенной остановки галереи для записи КВД изменяется скачком от Q до нуля. Это изображено на рисунке 22.

Рисунок 22 – Примерная динамика изменений Q и pг во времени После остановки галереи давление в любой точке пласта будет определяться дифференциальным уравнением пьезопроводности с одним начальным условием (НУ) где pг – это давление на забое галереи до остановки, т. е. когда галерея стационарно работала с постоянным дебитом Q и двумя граничными условиями (ГУ) При больших значениях времени задача имеет очевидное стационарное решение – давление в пласте полностью восстановится до pк и далее будет оставаться неизменным. Формально это стационарное решение можно получить из исходного дифференциального уравнения (4.73), положив в нём производную по времени равной нулю 0, т. к. стационарное решение от p x, C1 C2 x. Назовём это решение p x, стационарным и обозначим дифференциальному уравнению условиям, найдём постоянные интегрирования C1 и C2 из этих ГУ Тогда C1 pк, C2 0 и стационарное решение будет иметь вид что физически очевидно было сразу.

Решение задачи будем искать в виде бесконечной суммы стационарного решения и суммы частных решений i, умноженной на pк pг Частные решения i должны удовлетворять УЧП (4.73) Частные решения будем искать методом разделения переменных Фурье, т. е. будем считать, что частное решение является произведением двух функций, одна из которых A зависит только от координаты x, а вторая B только от времени t, т. е.

Подставим это выражение для i в уравнение (4.79) И левая и правая часть выражения (4.83) имеют в системе СИ размерность. Причём, правая часть зависит только от x, а левая – только от t. Это значит, что и левая и правая часть (поскольку они приравнены друг другу) не зависят ни от координаты x, ни от времени t и поэтому равны какому-то постоянному числу, имеющему размерность в системе СИ.

Примем это число равным 2. Размерные величины введены в эту постоянную для того, чтобы величина 2i оказалась в итоге положительной и безразмерной, а в целом постоянная 2 имела размерность в системе СИ (размерность пьезопроводности равна в системе СИ 2 ).

Тогда можно записать Итак, в последнем выражении i – положительные числа. Таким образом, задача свелась к решению двух ОДУ Решим первое из них, т. е. уравнение (4.85) где C – константа интегрирования, которая в дальнейшем войдёт в константы общего решения задачи, поэтому далее её опустим.

Тогда имеем Теперь решим второе уравнение (4.86). Это линейное однородное ОДУ второго порядка. Перепишем его в следующем виде Его общее решение (см. приложение 7) имеет вид где C1i и C2i – постоянные интегрирования.

Функции i должны удовлетворять ГУ (4.80) и (4.81) для любых моментов времени. Это возможно только, если Ai удовлетворяет этим ГУ Оказывается, что это возможно не для всех значений i, а только для некоторых значений, которые называются собственными. Найдём их из условий (4.89) и (4.90). С учётом этих условий имеем В уравнении (4.92) sin 0 0, а cos 0 1, значит, чтобы уравнение (4.92) следующий вид или т. е. необходимо положить i i 0,5, где i 0,1, 2,, чтобы удовлетворить уравнению (4.93).

Итак, во всех дальнейших выкладках, связанных с решаемой в этом подразделе задачей, значения i можно получать только согласно следующему уравнению где i 0,1, 2,.

При этом коэффициенты C2i остались неопределёнными.

Тогда искомое решение задачи (4.78) с учётом (4.87) и (4.88) запишется в следующем виде Для нахождения коэффициентов C2i используем НУ (4.74), положив в последнем уравнении (4.95) t 0 и p x,0 pг или или Умножим обе части последнего уравнения (4.97) на cos j и проинтегрируем по длине пласта. При этом воспользуемся соотношением (см.

приложение 8) Тогда в умноженном на cos j и проинтегрированном по длине пласта выражении (4.97), а именно в правой его части, с учётом (4.98) из всех слагаемых бесконечной суммы останется только слагаемое, в котором i j. В результате получим Из последнего выражения найдём C2i (см. приложение 9) Тогда решение задачи запишется в виде или галереи до закрытия на, т. е. положить то формулу (4.102) можно переписать и так Последняя формула применяется для интерпретации КВД, полученных на линейных нефтяных пластах для определения их проницаемостей.

Заметим, что эти же формулы для описания процесса восстановления давления в нефтяном линейном пласте мы уже получали выше в конце подраздела 4.2.1, но из несколько иных рассуждений. Соответствующие формулы для газового пласта приведены в подразделе 4.2.2.

4.4 Пример обработки КВД, полученной в ограниченном газовом пласте Эксперимент проводился на физической модели однородного пласта, показанной на рисунке 23. Блок регистрации «забойного» давления на «галерее» представлен на рисунке 24. В опытах регистрировалась динамика восстановления давления в ограниченных линейных однородных пластах после прекращения в них стационарной фильтрации газа. Опыты проводились при комнатной температуре, поэтому будем считать, что Т пл 273 20 K 293 K, т. е. пластовая температура равна стандартной Tпл Tст. Создаваемые в ходе исследований эффективные давления (эффективное давление – это разница между давлением обжима и внутрипоровым давлением) были в пределах от до 23 МПа. Установленные в колонках моделей пласта образцы породы имели равные или близкие по своим значениям фильтрационно-ёмкостные свойства (ФЕС). Образцы цилиндрической формы вытачивались из кернов карбонатных пород, реально извлечённых из пробуренных скважин. Диаметр их составлял от 2,81 до 2,82 см. Образцы экстрагировались, осушались, определялась проницаемость каждого из них. В настоящем подразделе будет приведена КВД, снятая в модели с проницаемостью порядка 17 мД, т. е. 0,017 мкм2. Она была составлена из 11 образцов (выточенных из реальных кернов), длина которых колебалась в пределах от 4,1 см до 10,7 см, а открытая пористость - от 14,81% до 17,92% (среднее значение 16,61%). Параметры модели приведены в таблице 4.1. При этом «вредного» (полого) объёма на входе колонки не было. При заданной величине внутрипорового давления модель пласта выдерживалась для завершения процессов адсорбции и распределения давления в порах пласта, после чего путём отбора газа со стороны его выхода из пористой среды создавался заданный перепад давления. На контуре питания колонки и на выходе из неё поддерживалось постоянное давление pк и pг.

Рисунок 23 – Схема экспериментальной установки:

1 – модель пласта; 2 – электронный манометр; 3 – баллон с газом;

4 – измерительный пресс для закачки газа; 5 – пресс для гидравлического обжима пород;

6 – компьютер; 7 – датчик давления; 8 – индикаторный газомер; 9 – газовые часы;

Рисунок 24 – Регистрация (запись) давления на выходе моделей (на «забое галереи») Таблица 4.1 – Характеристика модели пласта 1. Количество цилиндрических образцов в колонке 2. Общая длина колонки пористой среды, составленной из 11 цилиндрических образцов, см 3. Диаметр цилиндрических образцов пород, см 2,81–2, 4. Площадь поперечного сечения цилиндрических образцов породы (т. е. площадь фильтрации d 2 4 ), см 6. Объём полого пространства на выходе модели (так называемый «мёртвый» или «вредный» объём), см 7. Пористость колонки с учётом «мёртвого» объёма, % 17, На каждом установившемся режиме осуществлялся процесс фильтрации до завершения всех переходных процессов в пористой среде и полной стабилизации параметров фильтрации (обоих давлений и расхода газа).

Затем отбор газа прекращался. При поддержании постоянного давления на контуре питания колонки регистрировалась кривая восстановления давления. Поскольку при такой длине модели, которую удалось реализовать в лаборатории (т. е. порядка 1 м), восстановление давления происходило весьма быстро, то для регистрации изменения давления на выходе модели использовался аппаратно-программный комплекс, позволяющий получать качественную и достаточно точную запись КВД и экспорт цифровых данных в формат MS Excel для их последующей обработки. Кроме того, контролировалось начало и конец процесса, а также вёлся и грубый контроль визуально – с помощью видеокамеры и обычных манометров.

После полного восстановления давления рассматривался другой установившийся режим работы колонки (с другим перепадом давления) и снималась следующая КВД. Всего было снято 20 КВД (таблица 4.2).

Таблица 4.2 – Характеристика режимов работы модели перед снятием КВД Состав газа в экспериментах был следующим (в молярных %):

CH4 – 97,95; C2H6 – 0,8; C3H8 – 0,23; i-C4H10 – 0,05; n-C4H10 – 0,07;

i-C5H12 – 0,02; n-C5H12 – 0,01; C6H14 – 0,01; N2 – 0,75; CO2 – 0,11 (всего 100%).

Расчёт плотности газа при стандартных физических условиях (т. е. при 20С и 0,1 МПа) даёт величину 0,6837 кг/м3, т. е. относительная плотность газа Расчётная зависимость вязкости газа и коэффициента сверхсжимаемости z представлена в таблице таблица 4.3.

Таблица 4.3 – Зависимость Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. и Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования. газа от давления при Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.

Давление, ат Вязкость, мПас Коэффициент сверхсжимаемости z Данные для построения индикаторной диаграммы (ИД) представлены в таблице 4.4, а сама индикаторная диаграмма в виде зависимости p 2 от Qст представлена на рисунке 25.

Таблица 4.4 – Данные для построения индикаторной диаграммы Рисунок 25 –Индикаторная диаграмма в виде зависимости p от Qст Вид индикаторной диаграммы (т. е. её линейность) говорит о том, что в пласте наблюдается линейный закон фильтрации Дарси.

Оценим проницаемость модели пласта по угловому коэффициенту ИД.

Согласно формуле (1.16), стационарная фильтрация газа в линейном пласте описывается следующим уравнением Значение углового коэффициента на индикаторной диаграмме Тогда из (4.105) имеем откуда (расчёты здесь и ниже будут оценочные, т. е., например, будем считать, что 1 ат 105 Па 0,1 МПа и т. п.) Для обработки КВД на основании выведенных выше формул, положив x 0 (т. е. задав координату, на которой находится забой галереи), получим две формулы Первая формула (4.107) удобная для обезразмеривания, а следовательно, для программирования. Перепишем её, обозначив p 0, t pг t, в виде Ясно, что величины i имеют размерность времени – это так называемые характерные времена экспонент (характерное время для процесса, изменяющегося по экспоненте, – это время, за которое начальная интенсивность процесса изменится в «е» раз, где е – основание натурального логарифма; грубо можно сказать, что это то время, за которое начальная интенсивность процесса изменится приблизительно в 3 раза).

Предэкспоненциальные коэффициенты Ai безразмерны.

Из последней формулы ясно, что при t 0 p превратится в единицу и A станет равной единице. Покажем это Известен ряд [2, С. 80, формула 416.10] Положим в последнем ряду x 0, тогда из него получим откуда доказывается, что формулу (4.107) в полностью безразмерном виде где по-прежнему i i 0,5, i 0,1, 2,.

Напомним, последняя формула удобна для программирования процесса восстановления давления и для сравнивания двух различных КВД (т. е. при каком-либо эталонировании КВД).

При размерном анализе КВД положим в формуле в качестве предэкспоненциальных коэффициентов Ai размерные комплексы Тогда имеем формулу для обработки КВД в следующем размерном виде В данном подразделе мы используем именно эту формулу, т. к. хотим в учебных целях получить значение проницаемости пласта из размерных предэкспоненциальных коэффициентов Ai и из характерных времён i.

Перепишем последнее выражение (4.109) в следующем виде Ясно, что в представленной справа сумме характерные времена уменьшаются по сравнению с предыдущим. Уменьшаются также и предэкспоненциальные коэффициенты. Это означает, что почти все последние точки КВД (как часто говорят – «хвост» КВД) можно описать всего одной самой медленной (т. е. с самым большим характерным временем ) экспонентой, т. е.

Разложение в ряд по экспонентам реальной КВД производится методом последовательного логарифмирования её с «хвоста», т. е. начиная с её последних точек. Так, прологорифмировав выражение для «хвоста» КВД, получим Тогда КВД, перестроенная в координатах ln p 2 t t, предстанет прямой с отрицательным наклоном. По ней определяют отрезок, отсекаемый на вертикальной оси, т. е. ln A1, а затем и значение A1. Угловой коэффициент прямой даст величину, откуда легко получить значение 1.

Идея логарифмирования с конца для разложения КВД в ряд по экспонентам состоит в следующем. Поскольку для последних точек КВД значима лишь самая медленная экспонента и параметры её мы уже нашли (это A1 и 1 ), значит для более ранних моментов времени, где действует наравне с самой медленной экспонентой ещё и предыдущая, мы можем записать Но A1 и 1 (параметры самой медленной экспоненты с самым большим характерным временем) мы уже по «хвосту» КВД определили. Значит, можно записать все известные значения КВД и первую экспоненту слева, а всё, что неизвестно, – справа Прологарифмируем последнее Таким образом, перестроив более ранний, чем «хвост», участок КВД в прямолинейный участок, по которому находят A2 и 2.

Аналогично процесс продолжают дальше, пока это практически возможно. Авторы данного учебного пособия, обработав большое число КВД в линейных, и в круговых, в однородных, и в неоднородных пластах, встречали КВД, которые можно описать суммой всего двух, трёх, четырёх, редко пяти экспонент. Число экспонент в реальном расчёте всегда конечно, т. к.

чувствительность записывающих приборов ограничена. Пусть мы смогли выделить только три экспоненты. Тогда можно записать для нашей фактической КВД Именно из-за того, что i для различных экспонент сильно различны, и применим метод последовательного логарифмирования с конца кривой. При обработке КВД с конца произошла и смена нумерации экспонент: первой (а не нулевой, как ранее) мы теперь маркируем самую медленную экспоненту с самым большим характерным временем. Поэтому присвоим для предэкспонент и характерных времён индекс j, чтобы не путаться с предыдущим изложением.

Тогда (4.110) можно переписать так предэкспоненциальных коэффициентов Aj, и из характерных времён j, поскольку выражения для них через параметры пласта и газа нам известны.

Полезно также знать и соотношения между Aj и j. Из предыдущего ясно, что т. е.

Наконец, ясно, что при t 0 из (4.111) следует, что Теперь обработаем одну из КВД, полученных на описанной выше физической модели пласта. На рисунке 26 дан общий вид цифровой записи процесса с помощью датчика. Зная момент начала и окончания записи процесса, на основании специальной программы получают по номерам замеров моменты абсолютного времени этих замеров. На рисунке 26 мы видим, как выводилась модель на режим, как выдерживалась на этом режиме и как проходил процесс восстановления давления в колонке при поддержании на контуре постоянного абсолютного давления 3,25 МПа. Запись непосредственно самой КВД – это участок от начала восстановления давления (этот момент времени принимается за нулевой) до полного восстановления давления.

Рисунок 26 – Общий вид цифровой записи процесса восстановления давления Сама фактически замеренная КВД дана в приложении 11. На ней можно потренироваться в обработке и проверить приведенные здесь результаты.

Стационарный режим работы колонки перед остановкой её для записи КВД был следующим: абсолютное давление на контуре питания поддерживалось равным 3,25 МПа (±0,01 МПа); абсолютное давление на галерее поддерживалось равным 2,76 МПа (±0,01 МПа); расход газа, приведённый к стандартным физическим условиям при этом составил 15,547 см3/с.

Итак, теперь у нас есть вся информация для определения той проницаемости, которую мы уже знаем из обработки индикаторной диаграммы (т. е. из обработки данных двадцати различных установившихся режимов работы колонки) и которая составила величину порядка 17 мД (1710-15 м2), но уже по КВД.

Как уже было выше объяснено, начинаем обрабатывать «хвост» КВД по формуле прологорифмировав которую, получим КВД, перестроенная в координатах ln p 2 t t представлена на рисунке 27. При этом, как видим, ln A1 0,9504, т. е. A1 2,5867 МПа2, а 0,070544, т. е. 1 14,1755 с.

Определив значения A1 и 1, можно, как видели выше, записать Рисунок 27 – Кривая первой разности для «хвоста» КВД КВД, перестроенная в этих координатах, но уже в совершенно другом диапазоне времени t, представлена на рисунке 28, из которого явствует, что ln A2 1,0267, т. е. A2 0,3582 МПа2, а 1,19126, т. е. 2 0,8394 с.

Рисунок 28 – Кривая второй разности для начальных точек КВД Больше прямолинейных участков выделить не удаётся. Следовательно, в данном случае в разложении КВД в ряд по экспонентам участвует реально только две экспоненты.

Следовательно, у нас получилась следующая аддитивноэкспоненциальная модель изучаемой КВД куда t следует подставлять в секундах, а p 2 будет получаться в МПа2. При этом соотношения между Aj и j составили случае Aj ниже нормы, а в случае j - выше (при норме 9).

Совмещение фактических данных по КВД с модельной формулой дано на рисунке 29.

Теперь определим проницаемость пласта k по параметрам этих двух экспонент.

3. Также мы знаем выражение для A откуда 4. Теперь запишем выражение для A откуда Сведём результаты расчётов в таблицу 4.5.

Таблица 4.5 – Результаты определения проницаемости диаграмме, всё-таки следует признать более адекватным, т. к. получено по результатам двадцати стационарных режимов.

2. Значение, полученное по 2, явно выбивается из всего ряда полученных проницаемостей. Это и понятно, т. к. параметры второй экспоненты находились всего по двум точкам, т. е. неточно.

3. Заниженные проницаемости, полученные по 1, A1, A2, могут быть следствием наличия на забое «мёртвого» пространства, которое занижает ход КВД, т. е. уменьшает кажущуюся проницаемость.

Использованное в данном разделе теоретическое решение для интерпретации КВД можно запрограммировать. Программа позволит получить прямое точное решение задачи при найденном по индикаторной диаграмме значении Q0 ст. Коэффициент пьезопроводности при k 0,017 мкм 2 17 мД и прочих условиях рассмотренного режима восстановления давления составит величину порядка 0,0265 м2/с. Текст программы дан в приложении 12.

Заданные значения параметров представлены на рисунке 30, а результаты расчётов теоретической КВД на рисунке 31. Наконец, на рисунке 32 дано совмещение теоретической и фактической КВД. Как видим, ход фактической КВД почти совпадает с точным решением задачи при найденных параметрах.

Реальная (фактическая) КВД идёт несколько ниже, что может иметь место из-за наличия вредного (полого) объёма на выходе модели, что несколько замедляет процесс восстановления давления.

Рисунок 30 – Заданные параметры для расчёта точного решения Рисунок 32 – Совмещение фактической КВД с теоретической Equation Section (Next) 5 Прямолинейно-параллельная фильтрация нефти и газа в 5.1 Режим поддержания постоянного давления на «забое» галереи 5.1.1 Случай нефтяного пласта Рисунок 33 – Галерея не работает, галерея может сообщаться только во всём пласте постоянное давление pк нет). Галерея закрыта, во всём пласте одинаковое давление pк.

Ситуация после пуска галереи с постоянным давлением на «забое»

представлена на рисунке 34.

Рисунок 34 – Схема перераспределения давления после пуска галереи с постоянным давлением на «забое»: 1 – отбор нефти из галереи; 2 – закачка дифференциальным уравнением упругого режима с начальным условием и граничными условиями При больших временах данная задача имеет стационарное решение, которое можно получить из дифференциального уравнения, положив в нем производную по времени равной нулю. Откуда получим где C1 и C2 – постоянные интегрирования, которые находим из граничных условий.

Тогда стационарное решение запишется Решение задачи будем искать в виде суммы стационарного решения и частных решений Частные решения должны удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (5.1) и граничным условиям Частные решения будем искать методом разделения переменных.

Считаем, что частное решение является произведением двух функций, одна из которых зависит только от координаты x, а вторая - только от времени t Подставив данный вид функции в уравнение (5.7) и разделив полученное соотношение на ji, получим Так как правая часть этого выражения может зависеть только от координаты, а левая - только от времени, то это означает, что эти выражения не зависят ни от координаты, ни от времени и равны какому-либо постоянному числу, которое обозначим. Размерные величины и L введены в эту постоянную для того, чтобы 2i оказалась безразмерной. Поэтому задача свелась к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

Решение первого уравнения имеет вид а второго (см. приложение 7) где C1i и C2i - постоянные величины.

Функции i будут удовлетворять граничным условиям (5.8) и (5.9) для любых моментов времени, если Ai удовлетворяет этим граничным условиям:

Оказывается, что это возможно не для всех значений i, а для некоторых значений, которые называются собственными значениями. Найдём их из граничных условий (5.16) и (5.17) Откуда получим а коэффициенты C1i не определены.

Тогда решение задачи запишется:

Для нахождения коэффициентов C1i используем начальное условие (5.2).

Положив в (5.22) t 0 и p x,0 pк, получим Умножим обе части уравнения на sin j и проинтегрируем по длине пласта. При этом воспользуемся соотношением (см. приложение 13) Тогда, после интегрирования, в правой части получившегося выражения из всех слагаемых останется только слагаемое, в котором i j, то есть можно записать откуда найдем C1i (см. приложение 14) Тогда решение поставленной задачи запишется в следующем виде приложении 15.

Дебит в любом поперечном сечении галереи находится по закону Дарси:

5.1.2 Случай газового пласта Получим уравнение для газового пласта из формул предыдущего подраздела на основе использования функции Лейбензона.

Решение предыдущей задачи (5.27) можно переписать для газового пласта так а закон изменения дебита (5.28) следующим образом или, заменив где Bh – это площадь фильтрации, i i 0,5, i 0,1, 2,.

5.2 Режим поддержания постоянного дебита галереи 5.2.1 Случай нефтяного пласта Пусть в ограниченной изолированной неработающей нефтяной галерее (т. е. в галерее с непроницаемой кровлей и подошвой пласта и непроницаемой вертикальной торцевой плоскостью на контуре пласта, как показано на рисунке 35) имеется везде одинаковое давление pк. Затем, в момент времени t 0, эта галерея пускается в работу с постоянным расходом через единственную проницаемую вертикальную плоскость на забое галереи.

Рисунок 35 – Работающая с постоянным дебитом ограниченная изолированная В этом случае давление в любой точке пласта будет определяться дифференциальным уравнением упругого режима (уравнением пьезопроводности) с начальным условием и граничными условиями где Q – постоянный объёмный расход, с которым пущена галерея в работу; – площадь поперечного сечения галереи (площадь фильтрации).

При больших временах данная задача не имеет стационарного решения, поэтому необходимо найти одно из таких нестационарных решений, чтобы для него выполнялись граничные условия (5.34) и (5.35). Поскольку в обоих граничных условиях задаётся производная по координате, то любая функция, зависящая только от времени t, будет удовлетворять этим граничным условиям. Тогда можно искать частное решение при больших временах в виде Подставив (5.36) в (5.32), получим Поскольку правая часть выражения (5.37) зависит только от координаты, а левая - только от времени, то эти части могут быть равны только тогда, когда они не будут зависеть ни от координаты, ни от времени, а будут равны какомуто постоянному значению. Возьмём это постоянное значение, равное C0.

Тогда получим Тогда имеем для этих двух частей уравнения (5.37) два уравнения интегрируя которые, получим где C1, C2, C3 – постоянные интегрирования.

Тогда искомое частное решение при больших временах будет иметь вид Из граничного условия (5.34) при этом получим а из граничного условия (5.35) получим Тогда, заменив сумму C1 C3 одной новой постоянной C, с учётом (5.42) и (5.43), частное решение получим в виде Решение задачи будем искать в виде суммы в которой частные решения i x, t должны удовлетворять исходному уравнению (5.32) и граничным условиям Частные решения будем искать методом разделения переменных. Это значит, что каждое частное решение является произведением двух функций, одна из которых зависит только от координаты x, а вторая - только от времени Подставив данный вид функции i в уравнение (5.46) и разделив полученное соотношение на i, получим Так как правая часть выражения (5.50) зависит только от времени, а левая только - от координаты, то равны они могут быть только в том случае, если обе части уравнения равны одному и тому же какому-либо постоянному числу.

В качестве такого числа примем 2. Размерные величины и L введены в эту постоянную для того, чтобы величина 2i оказалась безразмерной.

В итоге задача свелась к решению двух ОДУ Решение уравнения (5.51) имеет вид а решение уравнения (5.52) будет равно где C1i и C2i – постоянные интегрирования.

Так как функции i должны удовлетворять граничным условиям (5.47) и (5.48) для любых моментов времени, то это возможно, если Ai удовлетворяет этим граничным условиям Это возможно не для всех значений i, а для некоторых значений, которые называются собственными. Найдём их из граничных условий (5.55), (5.56) Из последнего найдём где i 0,1, 2,.

Коэффициенты C2i остались не определены.

Тогда решение задачи запишется в виде Для нахождения коэффициентов C2i, используем начальное условие (5.33). Положив в (5.57) t 0 и p x,0 pк, получим Для упрощения последующих выводов положим C pк, тогда (5.58) примет вид Умножим обе части уравнения (5.59) на cos i и проинтегрируем по длине пласта. При этом нам понадобится соотношение Выше была произведена замена переменных u i.

При i 0 из формулы (5.60) имеем неопределенность вида, раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим При i 0 из (5.60) имеем значение интеграла, равное 0. Тогда имеем Кроме этого нам понадобится соотношение (см. приложение 16) В итоге после интегрирования получим В правой части выражения (5.63) из всех слагаемых в итоге останется только слагаемое, в котором i j, т. е.

Из последних выражений (5.64), (5.65) найдём C2i (см. приложение 17) Тогда решение поставленной задачи запишется Проверка работоспособности полученного решения (5.68) приведена в приложении 18.

Объёмный дебит в любом поперечном сечении галереи находится по закону Дарси (снова опустим знак минус) где в формулах (5.68) и (5.69) i i, i 1, 2, 3,.



Pages:   || 2 |
 


Похожие работы:

«1 Философия написана в той величественной книге, которая постоянно лежит открытой у нас перед глазами (я имею в виду Вселенную), но которую невозможно понять, если не научиться предварительно ее языку и не узнать те письмена, которыми она написана. Ее язык — это язык математики, и эти письмена суть треугольники и другие геометрические фигуры, без помощи которых невозможно понять в ней по-человечески хотя бы одно слово; без них мы можем только кружиться впустую по темному лабиринту. Галилей Г.А....»

«Психологический градусник (САН) -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 С А Н Литература по курсу Психология и педагогика М.Д.Горячев, А.В.Долгополова, О.И.Ферапонтова, О.В.Черкасова, Л.Я.Хисматуллина. Психология и педагогика. – Самара: Изд-во Самарский университет, 2004. Петровский, Артур Владимирович. Психология: [Учебник для высш. пед. учеб. заведений] / А.В. Петровский, М.Г. Ярошевский.— 4-е изд., стер. — М.: Академия, 2005.— 512с. Реан, Артур Александрович. Психология и педагогика : учеб. пособие для вузов /...»

«М.Я. Марусина В.Л. Ткалич Е.А. Воронцов Н.Д. Скалецкая ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИИ СТАНДАРТИЗАЦИИ И СЕРТИФИКАЦИИ Санкт-Петербург 2009 DF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ М.Я. Марусина, В.Л. Ткалич, Е.А. Воронцов, Н.Д. Скалецкая ОСНОВЫ МЕТРОЛОГИИ, СТАНДАРТИЗАЦИИ И СЕРТИФИКАЦИИ Учебное пособие...»

«Министерство аграрной политики и продовольствия Украины Государственное агентство рыбного хозяйства Украины Керченский государственный морской технологический университет Кафедра Электрооборудование судов и автоматизация производства ТЕХНОЛОГИЯ ЭЛЕКТРОМОНТАЖНЫХ РАБОТ Конспект лекций для студентов направления 6.070104 Морской и речной транспорт специальности Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики, направления 6.050702 Электромеханика специальности Электромеханические...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Иркутский государственный университет А. В. Болотов БИОЛОГИЯ РАЗМНОЖЕНИЯ И РАЗВИТИЯ Раздел. БИОЛОГИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ Учебное пособие УДК 591.3(075.8) ББК 28.63я73 Б79 Печатается по решению ученого совета биолого-почвенного факультета ИГУ Рецензенты: канд. мед. наук А. А. Бочкарёв (Иркут. филиал ФГОУ ВПО РГУФКСМиТ) канд. биол. наук...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ В.А. Самолетов ФИЗИКА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № С2 Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2012 УДК 530 Самолетов В.А. Физика. Контрольная работа № С2: Учеб.-метод. пособие. СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2012. 32 с. Приведены 30 вариантов контрольной работы по разделам Физика колебаний и волн, Термодинамика,...»

«ПРЕДИСЛОВИЕ Комплексная автоматизация производства является одним из основных направлений технической политики на многих промышленных производствах в нашей стране. Целью комплексной автоматизации управления и проектирования является ускорение темпов повышения производительности труда, улучшение качества продукции и повышение ее конкурентоспособности, сокращение сроков проектирования новых изделий. Общая идея состоит в том, чтобы разработать, сформировать и внедрить современные механизмы...»

«СМОЛЕНСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУ ЛЬТЕТМЕЖДУНАРОДНОГО ТУРИЗМА И ИНОСТР АННЫХ ЯЗЫКОВ КАФЕДР А ТЕХНОЛОГИЯ ПРОДУКТОВ ОБЩЕСТВЕННОГО ПИТАНИЯ ПУЧКОВА ВАЛЕНТИНА ФЕДОРОВНА Учебно-методическое пособие по дисциплине: Технология продукции общественного питания для студентов, обучающихся по специальности 260501 Технология продуктов общественного питания (заочная форма обучения) Смоленск – 2008 1. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУ ДАРСТВЕННОГО ОБР АЗОВАТЕЛЬНОГОСТАНДАРТА СД.01. Технология продукции общественного...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Сочинский государственный университет Филиал ФГБОУ ВПО Сочинский государственный университет в г.Нижний Новгород Нижегородской области Факультет Туризма и Физической Культуры Кафедра адаптивной физической культуры Ю. П. ЗВЕРЕВ ВВЕДЕНИЕ В БИОМЕХАНИКУ ОПОРНО-ДВИГАТЕЛЬНОГО АППАРАТА Учебное пособие Нижний Новгород 2012 1 ББК 75.0 З- 43 Зверев Ю. П. Введение в биомеханику опорно-двигательного аппарата: учебное пособие для студентов...»

«Л.Н. Боброва СБОРНИК ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ Учебное пособие 7 класс Содержание Предисловие Введение 4 История олимпиад по физике. Рекомендации по решению олимпиадных физических задач Измерение физических величин Механическое движение Масса. Объем. Плотность Взаимодействие тел. Силы в природе Давление твердых тел, жидкостей и газов Работа. Мощность. Энергия Простые механизмы. КПД Ответы Литература Приложения. Таблицы физических величин ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие предназначено для...»

«Министерство образования Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра автоматизации механосборочного производства 681.5(07) O – 363 Огарков С.Ю., Виноградова Н.В. ОФОРМЛЕНИЕ КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТОВ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 210200 АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПРОИЗВОДСТВ Учебное пособие Челябинск Издательство ЮУрГУ 2003 УДК 681.51.001.2(076.5) Огарков С.Ю., Виноградова Н.В. Оформление курсовых и дипломных проектов по специальности 210200 “Автоматизация...»

«• ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ • Министерство образования Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет Ю. А. БРУ С Е НЦ О В, А. М. МИНА ЕВ ОСНОВЫ ФИЗИКИ И ТЕХНОЛОГИИ ОКСИДНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ Одобрено Учебно-методическим объединением по образованию в области автоматики, электроники, микроэлектроники и радиотехники в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 551100 и специальностям 220500, 200800 Тамбов • Издательство ТГТУ • УДК 537.622.6(075) ББК 232я Б...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. И. Трусова, В. В. Богданов, В. А. Щепочкин Экономика машиностроительного предприятия Учебное пособие Ульяновск УлГТУ 2011 1 УДК 33:378 (075) ББК 30.606 я7 Т 78 Рецензенты: генеральный директор ООО УНИТЕК, д-р техн. наук, профессор В. В. Епифанов; начальник Бюро УЗП ОАО Ульяновский...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.Ю. Давыдова ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЖИВЫХ СИСТЕМ Учебное пособие Барнаул 2010 УДК 57:574(072) Рецензенты: к.с.-х.н., доцент, заведующая кафедрой экологии и природопользования Института природообустройства АГАУ Т.В. Лобанова; старший преподаватель кафедры механики машин и сооружений Института техники и...»

«Кафедра теории механизмов, деталей машин и подъёмно-транспортных устройств В. В. Сергеевичев, доктор технических наук, профессор Т. Г. Бочарова, старший преподаватель А. Н. Травкина, инженер ЗАЩИТА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ Учебное пособие для студентов всех форм обучения Санкт-Петербург 2011 Рассмотрено и рекомендовано к изданию учебно-методической комиссией факультета механической технологии древесины Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии 20 апреля 2011 г. Отв....»

«Учебное пособие Физика и химия полимеров Санкт-Петербург 2010 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ В.В. Зуев, М.В. Успенская, А.О. Олехнович Физика и химия полимеров Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 2 Зуев В.В., Успенская М.В., Олехнович А.О. Физика и химия полимеров. Учеб. пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2010. 45 с. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ Н.В. ИВАНЕНКО ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ТОКСИКОЛОГИЯ Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2006 ББК 20 И 17 Иваненко Н.В. И 17 ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ТОКСИКОЛОГИЯ: Учебное пособие. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2006. – 108 с. В основу учебного пособия положены современные представления о накоплении различных токсикантов в экологических системах. Разобраны механизмы их концентрации по...»

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ К.В. Холшевников В.Б. Титов ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 ББК 22.6 Х74 Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, проф. Л.К.Бабаджанянц (С.-Петербургский гос. ун-т), канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Г.Лукьянов, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.И.Ширмин (Московский гос. ун-т) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета С.-Петербургского государственного университета Холшевников К.В., Титов В.Б. Х74 Задача двух тел: Учеб....»

«Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.А. Константинов, В.В. Лалин, И.И. Лалина СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Применение программы SCAD для решения задач теории упругости Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2005 УДК 624.04 (075.8) ББК 38.112я73 К65 К о н с т а н т и н о в И. А., Л а л и н В. В., Л а л и н а И. И. Строительная механика. Применение программы SCAD для решения задач теории упругости.:...»

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. Мартынова, В. В. Орлов, А. В. Рубинов, Л. Л. Соколов, И. И. Никифоров ДИНАМИКА ТРОЙНЫХ СИСТЕМ Учебное пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2010 ББК 22.62 Д46 Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Антонов [Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН], к-т физ.-мат. наук, доц. Л. П. Осипков (С.-Петерб. гос. ун-т) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета математико-механического...»







 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.