WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«Ю. Н. С А Н К И Н ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Часть 1 Статика, кинематика Учебное пособие 2-е издание, исправленное Ульяновск 2010 УДК 531(076) ББК 22.21. я7 С18 Рецензенты: кафедра ...»

-- [ Страница 1 ] --

М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю. Н. С А Н К И Н

ЛЕКЦИИ

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Часть 1

Статика, кинематика Учебное пособие 2-е издание, исправленное Ульяновск 2010 УДК 531(076) ББК 22.21. я7 С18 Рецензенты: кафедра «Общетехнические дисциплины» УлГПУ;

А.С. Андреев, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Механика и теория управления» УлГУ.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Санкин, Ю. Н.

С18 Лекции по теоретической механике. Ч. 1. Статика, кинематика / Ю. Н. Санкин. - 2-е изд., испр. - Ульяновск : УлГТУ, 2010. - 121 с.

ISBN 978-5-9795-0748- Книга написана как расширенный и переработанный конспект лекций по теоретической механике, прочитанных автором студентам машиностроительного факультета Ульяновского государственного технического университета и студентам механико-математического факультета Ульяновского государственного университета.

Работа подготовлена на кафедре «Теоретическая и прикладная механика».

УДК 531(075) ББК 22.21. я © Ю. Н. Санкин, © Ю. Н. Санкин, с изм., ISBN 978-5-9795-0748-4 © Оформление. УлГТУ,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ Предмет теоретической механики Краткий исторический очерк СТАТИКА 1. Основные понятия и аксиомы статики 1.1. Некоторые основные определения 1.2. Аксиомы статики 1.3. Связи и их реакции 1.4. Методические указания по решению задач статики 2. Система сходящихся сил 2.1. Теорема о переносе силы по линии ее действия 2.2. Теорема о трех силах 2.3. Система сходящихся сил. Нахождение ее равнодействующей.

Условия равновесия 3. Момент силы 3.1. Момент силы относительно точки 3.2. Теорема о моменте равнодействующей системы сходящихся сил... 3.3. Момент силы относительно оси 3.4. Главный вектор и главный момент системы сил 4. Теория пар сил 4.1. Пара сил 4.2. Теоремы об эквивалентности пар сил 5.

Уравнения равновесия произвольной системы сил 5.1. Теорема о параллельном переносе силы 5.2. Основная теорема статики 5.3. Следствие основной теоремы статики. Условия равновесия различ­ ных систем сил, приложенных к твердому телу 6.1. Соотношение между главными моментами относительно двух раз­ 6.3. Приведение пространственной системы сил к равнодействующей.. 8.3. Скорость и ускорение точки при векторном и координатном спо­ 8.5. Скорость и ускорение при естественном способе задания Связь естественного и координатного способов задания движения.. Кинематические уравнения плоско-параллельного движения Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки... Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.. 9.6. Основные теоремы о конечных перемещениях твердого тела Движение тела с неподвижной точкой как ортогональное преобра­ Теорема Эйлера о конечном повороте вокруг неподвижной точки.. 11.2. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей 11.3. Кинематическое исследование планетарных передач 11.6. Пространственные механизмы для передачи вращательного дви­

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, все физические тела (твердые тела, жидкости и газы, моле­ кулы и элементарные частицы) состоят из вещества. Элементарные частицы, а также микроскопические тела, которые состоят из элементарных частиц, взаи­ модействуют посредством физических полей. Вещество и поле являются объ­ ективной реальностью и образуют материальный мир, который нас окружает.

Механикой называется наука о простейших формах движения веще­ ства и поля, которые сводятся в конечном итоге к пространственным пе­ ремещениям физических тел из одного положения в другое.

Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механического движения.

При этом следует помнить, что существуют другие формы движения мате­ рии, которые не могут быть сведены к изменениям места в пространстве, а яв­ ляются ее качественными изменениями, например, переход вещества в поле и рождение элементарных частиц из поля.

Движение вещества подчиняется законам квантовой механики, а при больших скоростях следует учитывать изменения, связанные с теорией относи­ тельности. Таким образом, законы классической механики вообще не имеют области применения, поэтому спрашивается, зачем же изучать классическую механику?

Однако, хотя и нет ни одного явления, точно описываемого классической механикой, есть обширные области, описываемые ею в очень хорошем при­ ближении.

Кроме того, в классической механике были развиты общие математические методы, составляющие предмет аналитической механики, которые оказались настолько совершенными, что по их образцу строятся сейчас многие физиче­ ские теории.

Со времен Ньютона и до конца прошлого столетия механика рассматрива­ лась как единственная основа физики. Понять и объяснить физическое явление означало построить его механическую модель, понимаемую в буквальном смысле, как некоторую механическую конструкцию из предметов, подчиняю­ щихся законам классической механики. Например, для объяснения распростра­ нения световых волн была придумана упругая среда - «эфир», в котором свето­ вые колебания распространились бы как звук в твердых телах.

Создатель электродинамики Максвелл потратил много сил на попытки на­ делить эту среду такими свойствами, чтобы они описывались его уравнениями.

В конце концов, физикам пришлось примириться с фактом существования яв­ лений, которые принципиально не сводились к явлениям механическим.

Однако вместо реальных механических моделей стали использоваться ма­ тематические, от которых требовалось не конструкционное подобие, а аналогия в математическом описании. При этом для построения таких моделей попрежнему используются механистические уравнения.

Основные понятия теоретической механики возникли в результате обоб­ щения многочисленных наблюдений над явлениями природы с последующим абстрагированием от конкретных особенностей того или иного явления. К чис­ лу таких абстракций относятся понятия материальной точки и абсолютно твердого тела.

Понятие о материальной точке возникло при рассмотрении движений фи­ зических тел конечных размеров.

Если движения отдельных точек тела одинаковы или различиями этих движений можно пренебречь, то движение такого тела сводится к движению материальной точки.

Таким образом, за материальную точку в теоретической механике прини­ мают не только мельчайшие частицы тела, но и тела весьма больших размеров, если размеры тела не играют существенной роли в данном исследовании.

Например, изучая движение планет вокруг Солнца, можно пренебречь раз­ личием движения из отдельных точек по отношению к Солнцу и считать их ма­ териальными точками. Однако, изучая движение искусственного спутника Зем­ ли, следует принимать во внимание ее размеры, а иногда и особенности релье­ фа поверхности.

Итак, материальной точкой называется тело, размерами которого в усло­ виях данной задачи механики можно пренебречь.

Другим важным понятием механики является понятие о системе матери­ альных точек.

Системой материальных точек называется совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны между собой.

Каждое материальное тело можно рассматривать как систему материаль­ ных точек, если мысленно разделить его на достаточно малые частицы.

Все реальные физические тела под влиянием внешних воздействий дефор­ мируются.

Однако для обеспечения прочности и надежности машин и сооружений подбирают материал и размеры их частей так, чтобы их деформации при дан­ ных нагрузках были достаточно малыми. Поэтому в ряде случаев этими малы­ ми деформациями можно пренебречь и считать расстояние между частицами тела неизменными.

Таким образом, мы приходим к понятию абсолютно твердого тела.

Абсолютно твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным.

И хотя в природе не существует ни материальных точек, ни абсолютно твердых тел, законы, установленные в теоретической механике, как и другие законы естествознания, объективно отражают реальную действительность, причем факты, найденные в теоретической механике, отражают наиболее об­ щие закономерности механических движений.

На основе законов, установленных в теоретической механике, изучается механика деформируемых тел: теория упругости и пластичности, гидроаэродинам ика.

На теоретической механике основаны такие прикладные дисциплины, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, строительная механика.

Теоретическая механика является научной базой многих разделов совре­ менной техники. На ее основе решаются закономерности динамических явле­ ний в системах автоматического регулирования, вопросы устойчивости движе­ ния механических систем.

В основе теоретической механики лежат законы Ньютона и система аксиом.

Законы и аксиомы механики были пересмотрены в связи с развитием тео­ рии относительности. Тогда были уточнены и углублены такие понятия меха­ ники, как масса и энергия, пространство и время. Оказалось, что классическая механика, основанная на законах Ньютона, является первым приближением к релятивистской механике и что ее следует рассматривать как механику малых скоростей.

Для классической механики характерно представление об абсолютном пространстве и времени. Это означает, что расстояние между телами и проме­ жутки времени не зависят от движения системы отсчета, в которой они рассматриваются.

Непосредственный опыт показывает, что наше пространство трехмерно.

Дальнейшее обобщение опытных фактов, связанных с пространственными изменениями, приводит нас к выводу, что оно евклидово и, следовательно, од­ нородно и изотропно.

Именно поэтому Исаак Ньютон определил геометрические свойства про­ странства системой аксиом и теорем евклидовой геометрии, введя понятие об абсолютном пространстве и времени.

Такое определение пространства, как неподвижного, тождественно пред­ положению существования абсолютно неподвижной системы координат.

В качестве такой системы Ньютон принимал гелиоцентрическую систему, начало координат, которой находится в центре Солнца, а оси направлены к трем «неподвижным» звездам.

Введенная Ньютоном система координат называется инерциальной.

Однако можно принять как опытный факт, что существует сколько угодно инерциальных систем, в которых пространство и время однородно и изотропно.

То есть все инерциальные системы, движущиеся прямолинейно и равномерно относительно абсолютно неподвижной, совершенно эквивалентны по своим механическим свойствам.

Это утверждение составляет суть принципа относительности Галилея. При этом переход от одной системы к другой осуществляется согласно формулам:

где г и г ' радиусы - векторы точек; v = const - скорость относительного дви­ жения системы со штриховыми обозначениями относительно системы, в обо­ значениях которой штрихи отсутствуют. Время в обеих системах течет одина­ ково, а координаты точек связаны линейными соотношениями. При этом ока­ зывается, что преимущественную систему отсчета нельзя выявить при помощи чисто механических опытов, то есть абсолютное пространство Ньютона в ме­ ханическом смысле не наблюдаемо.

Очевидно, временные и пространственные сдвиги, а также повороты про­ странственных осей ведут к новой инерциальной системе. Поэтому подобные преобразования можно причислить к числу галилеевых преобразований.

К числу основных понятий механики относится понятие механической силы.

Сила есть мера взаимодействия между телами. Сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Следовательно, это векторная величина.

Теоретическую механику принято делить на статику, кинематику и ди­ намику.

В статике изучаются методы эквивалентного преобразования сил, при­ ложенных к материальной точке или абсолютно твердому телу, а также условия равновесия.

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изу­ чается механическое движение без учета действующих сил.

Изучением движения материальной точки, системы материальных точек твердого тела и системы твердых тел с учетом действующих сил занимается динамика.

Термин «механика» был введен великим философом древности Аристоте­ лем (384-322 гг. до н. э.). Происходит он от греческого слова «механе», что оз­ начает «ухищрение», «машина».

Вообще механика наряду с математикой и астрономией является одной из самых древних наук.

Египетские пирамиды, сооруженные более трех тысяч лет до новой эры, остатки еще более древних сооружений Индии и Китая свидетельствуют о том, что в глубокой древности применялись катки, рычаги, блоки, облегчающие поднятие тяжестей.

Однако моментом возникновения механики следует считать появление первые сочинений, теоретически обобщивших накопленный опыт. Поэтому ос­ новоположником механики следует считать величайшего ученого Древней Греции Архимеда (287-212 гг. до н. э.).

Архимед дал решение задачи о рычаге, открыл закон о давлении жидкости на погруженное в нее тело, носящий его имя, дал определение центра тяжести.

Им были разработаны методы определения площадей и объемов.

Метательные машины, изобретенные Архимедом, позволяют предпола­ гать, что он имел четкие понятия о динамике материальных тел.

Научные труды Аристотеля содержат законченный взгляд на мир и пред­ ставляли собой энциклопедию античной мысли.

Именно этим, несмотря на ошибочность многих его взглядов, повидимому, объясняется столь сильное воздействие его трудов на научную мысль Европы вплоть до эпохи Возрождения.

Приведем лишь некоторые взгляды Аристотеля, из-за которых было бы ошибочно считать его основателем механики как науки.

Например, он писал:

«Падение куска золота или свинца или любого другого тела, наделенного ве­ сом, происходит тем быстрее, чем больше его вес...».

Аристотель приводит такие примеры: лошадь непрерывно напрягается, чтобы тянуть повозку, камень опускается на дно озера. Поэтому он делает вы­ вод, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие. Чтобы повозка двига­ лась, необходимо прикладывать усилия. То есть Аристотель никогда не рас­ сматривал то, что мы называем силами трения или сопротивления, как силы, отдельные от движения.

Это отделение было осуществлено Галилео Галилеем (1564-1642), благо­ даря которому возникло понятие инерции и начали складываться современные взгляды на движение тел.

Интенсивное развитие механики относится к X V - X V I I столетиям, когда общественная практика (торговое мореплавание, военное дело и промышлен­ ность) поставила перед учеными ряд проблем, связанных с движением небес­ ных тел, полетом артиллерийских снарядов, прочностью корабля, машин и строительных сооружений.

Усовершенствование техники определения географических координат с помощью астрономических наблюдений потребовало пересмотра теории дви­ жения небесных тел и привело к открытию гелиоцентрической системы мира И. Коперником (1473-1543).

Система Коперника была чисто кинематической. Законы динамики при­ сутствовали в ней в скрытом виде.

До Коперника общепризнанной была геоцентрическая система мира Птолемея (II в.), несмотря на то, что еще древние греки располагали фактами в пользу гелиоцентрической системы мира. Однако греческие астрономы отвер­ гали гелиоцентрическую систему, так как для большинства греческих филосо­ фов, в том числе и Аристотеля, Земля - обитель человечества - была наиболее важным объектом во Вселенной и было немыслимо, чтобы этот центр Вселен­ ной имел какое-то движение.

Следующим шагом было открытие Иоганном Кеплером (1571—1630) за­ конов движения планет. Он установил, что орбиты планет представляют собой не окружности, а эллипсы с небольшим эксцентриситетом.

Законы, открытые Кеплером, позволили Ньютону обосновать закон все­ мирного тяготения.

Галилей впервые исследовал динамическое действие сил на движущееся тело и поэтому по праву является основоположником динамики.

Галилеем были проделаны наиболее точные для своего времени опыты по изучению свободного падения тел. В результате этих экспериментов он устано­ вил пропорциональность пройденного пути при падении квадрату времени, что означало независимость ускорения в пустоте от веса тела. Галилей доказал, что траекторией движения тела, брошенного в пустоте под углом к горизонту, яв­ ляется парабола. Галилей заложил также основы современной кинематики. Од­ нако наиболее важным открытием Галилея является открытие закона инерции, после чего началось формирование современных взглядов на механическое движение.

Среди выдающихся ученых X V I I в. следует отметить французского фило­ софа Рене Декарта (1596-1650), который сформулировал идею сохранения ме­ ханического движения.

Замечательный исследователь Христиан Гюйгенс (1629-1695) обобщил понятие ускорения, введенного Галилеем, на случай криволинейного движения и впервые осуществил разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие. Гюйгенс создал теорию математического и физического маят­ ников. Гюйгенс использовал понятие об осевых моментах инерции, а также ки­ нетической энергии, но не пользовался этими терминами.

Исаак Ньютон (1643-1727) в своем труде «Математические начала нату­ ральной философии» (1687) подвел итог достижениям своих предшественников и сформулировал три основных закона механики, наметил пути дальнейшего развития механики. Ньютон ввел понятие массы и впервые обратил внимание на эквивалентность инертной и тяготеющих масс, проводя опыты над качаю­ щимися маятниками, выполненными из различных материалов.

Блестящие результаты дало применение закона всемирного тяготения, от­ крытого Ньютоном, к решению астрономических задач. Так, например, и были открыты Нептун в X I X в. и Плутон в X X в., которые ранее в телескоп не на­ блюдались ввиду малой светимости, и были обнаружены лишь тогда, когда бы­ ло предсказано их местоположение на небесной сфере.

Одним из выдающихся современников Ньютона был немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц (1646-1716). Лейбниц одновременно с Ньюто­ ном открыл исчисление бесконечно малых.

В области механики Лейбницу принадлежит установление понятия о «жи­ вой силе». В связи с этим возникла дискуссия между сторонниками Лейбница и Декарта о мерах движения. Декарт под мерой движения понимал «количество движения», равное по величине произведению массы точки на ее скорость.

Лейбниц противопоставлял ей «живую силу», пропорциональную массе и квад­ рату скорости движения. Эта дискуссия была прекращена Даламбером, пока­ завшим непротиворечивость обоих мер движения.

Леонарду Эйлеру (1707-1783) принадлежат выдающиеся заслуги в разви­ тии механики в посленьютоновский период, Л. Эйлер был членом Российской Академии наук с 1727 г. Эйлер является основоположником динамики твердого тела и гидромеханики, ему принадлежит общепризнанный метод кинематиче­ ского описания движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, с по­ мощью трех углов, носящих его имя. Эйлером также была получена формула для скоростей точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки. Им была сформулирована и доказана теорема об изменении момента количества движе­ ния. Он заложил основы теории корабля, турбин, теорию устойчивости упругих стержней.

Современник Эйлера Михаил Васильевич Ломоносов (1711-1765) от­ крыл закон сохранения вещества. Он создал кинетическую теорию газов и рас­ пространения тепла. Им был сформулирован закон сохранения количества движения.

Значительный вклад в динамику несвободных систем был сделан выдаю­ щимся французским ученым Жаном Лероном Даламбером (1717-1783), кото­ рому принадлежит формулировка принципа механики, носящего его имя. Од­ нако Даламбер не располагал общими аналитическими методами решения задач динамики несвободных систем.

Общие аналитические решения задач динамики несвободных систем были разработаны Ж.-Л. Лагранжем (1736-1813) в его основополагающей работе «Аналитическая механика» (1788). За основу был взят принцип ЛагранжаДаламбера, являющийся синтезом принципа виртуальных перемещений Лагранжа и принципа Даламбера.

Механика X I X века связана с именами Михаила Васильевича Остро­ градского (1801-1861), Уильяма Гамильтона (1805-1865), Карла Якоби (1804-1851), Карла Фридриха Гаусса (1777-1855).

В частности, важное значение в механике имеет вариационный принцип Гамильтона-Острогр адского.

Для построения общей теории интегрирования дифференциальных урав­ нений динамики предпочтительнее иметь дело с уравнениями первого порядка с их так называемой «канонической формой». В 1842 г. Якоби в «Лекциях по динамике» изложил метод интегрирования канонических уравнений.

Основополагающий вклад в кинематику механизмов был проделан вы­ дающимся математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821-1894).

Его ученик Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918) получил все­ мирную известность благодаря трудам по устойчивости и движения. Ляпунову принадлежит строгая постановка задачи об устойчивости движения и наиболее общих методов ее решения.

Выдающуюся роль в механике сыграл Николай Егорович Жуковский (1847-1921). Он является основоположником современной гидродинамики и аэродинамики. Жуковский теоретически обосновал возможность сложных дви­ жений самолета.

Ряд исследований Жуковского относится к вопросам теории устойчивости движений, динамике твердого тела, вопросам аэродинамического расчета само­ летов.

Ученик Жуковского Сергей Александрович Чаплыгин (1869-1942) стал основоположником газовой динамики больших скоростей. Его работы по теории крыла и газовой динамике значительно опередили время, получив широкое применение лишь в 50-х годах X X столетия.

Большой вклад в механику внес кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов (1863-1945), известный своими трудами в области теории качки корабля, прочности его корпуса, теории плавучести и непотопляемости.

Задачи динамики твердого тела всегда играли значительную роль в механике. Здесь следует упомянуть Софью Васильевну Ковалевскую (1850¬ 1891). Ее работа является наиболее значительной в цепи преемственности трудов, начиная с Эйлера и Лагранжа. Более того, оказалось, как это было доказано Ляпуновым, что случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской являются единственными, в которых уравнения вращений твердого тела допускают однозначные интегралы при всех значениях аргумента и начальных условиях.

Наиболее крупные результаты по теории устойчивости после А. М. Ляпунова получены Н. Г. Четаевым (1902-1959). Теория колебаний, линейных и нелинейных, получили существенное развитие в трудах А. Н.

Крылова (1863-1945), Н. М. Крылова (1879-1955), Н. Н. Боголюбова (1909¬ 1992), Л. Н. Мандельштама (1879-1944), А. А. Андронова (1901-1952), Б. В.

Булгакова (1900-1952), Ю. А. Митропольского (1917-2008).

Значительный вклад в теорию устойчивости движения и ряд достижений в области линейной и нелинейной теории упругости принадлежит А. И. Лурье (1901-1979). Л. Г. Лойцанский (1900-1995) внес значительный вклад в гидро­ аэродинамику.

На рубеже X I X и X X веков возник и начал интенсивно развиваться новый раздел теоретической механики - динамика неголономных систем. Основопо­ ложниками этого раздела являются С. А. Чаплыгин, В. Вольтерра (1860¬ 1940), П. Аппель (1855-1930), П, В. Воронец (1871-1923), Л. Больцман (1844-1906) и Г. Граммель (1827-1954).

Основоположником механики тел переменной массы является И. В. Ме­ щерский (1859-1935).

К. Э. Циолковский (1857-1935) создал основы теории реактивного движе­ ния и реактивной техники.

В X X веке появилась релятивистская механика А. Эйнштейна (1879¬ 1955).

В настоящее время интенсивное развитие получила механика космическо­ го полета.

СТАТИКА

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

Одним из основных понятий механики является понятие о силе. Сила яв­ ляется количественной мерой механического взаимодействия и характери­ зует интенсивность и направление этого взаимодействия.

Таким образом, сила является векторной величиной. В качестве примеров сил можно назвать силу притяжения к Земле, всевозможные контактные силы, например, давление на опоры сооружения, силы, возникающие из-за сопротив­ ления среды.

Статикой называют раздел механики, в котором изучают эквивалентные преобразования систем сил, приложенных к твердому телу, и условия их равно­ весия.

Статика основана на ряде законов и аксиом, которые считаются очевид­ ными истинами и принимаются без математических доказательств.

Эти законы и аксиомы являются результатом обобщения многочисленных опытных данных. И хотя их проверка не всегда может быть осуществлена не­ посредственно, следствия, которые из них вытекают, подтверждаются наблю­ дениями.

К числу общих законов механики, на которых основана статика, относится закон инерции, открытый Галилеем, - первый закон Ньютона.

Закон утверждает, что всякое тело должно находиться в состоянии по­ коя или равномерного прямолинейного движения, пока это состояние не будет изменено действующими на тело силами.

Ньютон, формулируя закон инерции, ничего не говорил о размерах тела, полагая, что под телом следует понимать материальную точку.

Другим основным законом механики, на котором основана статика, являет­ ся закон о равенстве действия и противодействия - третий закон Ньютона.

Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению и действуют по одной прямой.

Система сил, действующих на материальную точку, считается уравнове­ шенной, если материальная точка движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя.

Система материальных точек находится в равновесии, если каждая ее материальная точка находится в равновесии.

Система сил, приложенных к твердому телу, находится в равновесии, если она своим действием не изменяет состояние покоя или равномерного движения этого тела.

Две системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, называ­ ются эквивалентными, если каждая из них порознь уравновешивает одну и ту же третью систему сил.

Равнодействующей данной системы сил называется сила, эквивалент­ ная этой системе сил.

Уравновешивающей называется сила, добавление которой к исходной системе сил образует уравновешенную систему сил.

Следует заметить, что не всякая система сил имеет равнодействующую, то есть неуравновешенные системы сил не всегда эквивалентны одной силе.

При формулировке этой аксиомы считаем, что материальные точки или твердые тела, к которым приложены силы, являются свободными, то есть име­ ют возможность совершать любые перемещения в пространстве.

Суть аксиомы о двух силах в следующем.

Две силы, приложенные к твердому телу, находятся в равновесии только тогда, когда они равны по величине, направлены в противополож­ ные стороны и действуют по одной прямой.

Эта аксиома устанавливает простейшую систему сил, эквивалентную ну­ лю. Аксиома справедлива, если силы приложены к одной точке твердого тела или к отдельной материальной точке.

Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке под углом друг к другу, определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах (рис. 1.1).

Справедливо и обратное утверждение.

Силу можно разложить по правилу параллелограмма на две составляющие, по любым произвольно выбранным направлениям. Замену двух сил одной по правилу параллелограмма называют векторным сложением:

Вместо параллелограмма можно построить треугольник (рис. 1.2).

То есть из конца первой силы F, проводится вторая F. Замыкающая оказыва­ ется равнодействующей.

На основании аксиомы о параллелограмме можно определить равнодейст­ вующую пучка сил, приложенных в одной точке (рис. 1.3) или построить мно­ гоугольник сил (рис. 1.4).

Если на движение материальной точки, системы или твердого тела не наложены наперед заданные ограничения, то материальная точка, сис­ тема или твердое тело называются свободными.

В противном случае материальная точка, система или твердое тело называются несвободными.

Ограничения на свободу перемещений, указанных материальных объ­ ектов, называются связями.

Связи осуществляются различными твердыми или гибкими телами. Это может быть, например, гладкая или шероховатая поверхность. И, если точка принудительно удерживается на данной поверхности, то это накладывает огра­ ничения на ее перемещения. Следовательно, на точку наложена связь.

Сила, с которой связь действует на рассматриваемую точку, систему или твердое тело, называется реакцией связи.

По третьему закону Ньютона реакция связи равна по величине и противо­ положна по направлению силе, с которой тело действует на связь. Реакция свя­ зи исчезает, если прекращается действие тела на связь.

Поэтому реакции связей называют пассивными или внутренними силами в отличие от активных или внешних сил, приложенных к точке, системе или твердому телу.

В дальнейшем мы часто будем говорить «механическая система», подра­ зумевая под этим термином точку, систему материальных точек, твердое тело, а в некоторых случаях систему твердых тел в сочетании с отдельными матери­ альными точками.

Третья аксиома - аксиома об освобождаемости от связей заключается в следующем:

Не изменяя движения или равновесия механической системы, можно отбросить наложенные на нее связи, заменяя их действие силами, равными реакциям отброшенных связей.

Из этой аксиомы следует, что всякую несвободную механическую систему можно рассматривать как свободную, если освободить ее от связей, заменяя их действие реакциями. Таким образом, эта аксиома позволяет решать задачи о движении или равновесии несвободной механической системы, сводя ее к ре­ шению задач о движении или равновесии соответствующих свободных объек­ тов, составляющих механическую систему.

Суть этой аксиомы в том, что равновесие механической системы не на­ рушится при наложении на нее новых связей.

Эта аксиома по существу является частным случаем предыдущей. Ее суть в том, что если деформируемое тело находится в равновесии, то это равно­ весие не нарушится, если тело превратится в абсолютно твердое, то есть затвердеет.

Для установления характера реакций связей обратимся к конкретным фи­ зическим телам. Рассмотрим связь в виде идеально гладкой поверхности. Эта поверхность не препятствует скольжению по ней тела, а препятствует его дви­ жению по нормали к поверхности. Поэтому реакция идеально гладкой поверх­ ности направлена по нормали к ней (рис. 1.5, а, б).

На рис. 1.5,6 показан контакт двух тел, ограниченных гладкими поверхно­ стями. Реакция N направлена по общей нормали п к контактирующим по­ верхностям. Если поверхность тела или поверхность связи в месте их касания имеют заострение, то реакцию направляют по нормали к той поверхности, для которой направление нормали является определенным.

Например, если гладкий брус АВ опирается в точке М на гладкий столб, то реакция ;V в этой точке направлена перпендикулярно брусу АВ (рис. 1.6). На­ против, в точке В реакция направлена перпендикулярно опорной плоскости.

1 -о правлению и действовать по одной прямой, соединяющей шарниры. Итак, если связью являет­ В качестве опор различного рода сооружений часто используют шарнирноподвижные опоры (рис. 1.8) и шарнирно-неподвижные опоры (рис. 1.9).

Реакция идеальной шарнирно-подвижной опоры направлена перпендику­ лярно опорной плоскости (см. рис. 1.8). Если опора неподвижна (см. рис. 1.9), то заранее направление реакции указать нельзя. Поэтому показывают две со­ ставляющие R и R.

1.4. Методические указания по решению задач статики Как было отмечено, силы, действующие в данной механической системе, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы взаимодействия между телами, не вхо­ дящими в данную систему.

Внутренними называются силы взаимодействия между точками дан­ ной системы.

Это деление является условным, так как внутренние силы можно перевес­ ти в разряд внешних по отношению к новой системе, представляющей состав­ ную часть данной.

Таким образом, отбрасывая связи, наложенные на систему, мы переводим реакции в число внешних сил. Затем составляются условия равновесия свобод­ ной материальной точки, или свободного твердого тела, из которых находятся неизвестные реакции.

Вообще существует единая методика решения задач статики. Суть ее в следующем:

1. Выделяется тело, равновесие которого рассматривается.

2. Объект освобождается от связей.

3. Выписываются условия равновесия, где неизвестными являются реакции связей.

Если число неизвестных больше числа уравнений, то задача статически неопределима и требуется рассмотрение деформаций тела.

2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

2.1. Теорема о переносе силы по линии ее действия Прежде чем рассмотреть произвольную систему сходящихся сил, рассмот­ рим теорему, которая позволяет преобразовать эту систему к простейшему виду, а именно, к одной силе - равнодействующей.

Таковой теоремой является одна из простейших теорем статики — теорема о переносе силы вдоль линии ее действия.

Пусть на тело действует сила F в точке А (рис. 2.1, а).

Выберем на линии действия силы точку В и приложим в ней две равные, но противоположно направленные силы F и -F (рис. 2.1, б). С и л а /, прило­ женная в точке А, уравновешивается на основании аксиомы о двух силах силой - F, приложенной в точке В. Следовательно, получаем силу F, приложен­ ную в точке В (рис. 2.1, в), что и требовалось доказать.

Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, явля­ ется скользящим вектором.

Три непараллельные силы, действующие на абсолютно твердое тело, лежащие в одной плоскости и находящиеся в равновесии, пересекаются в одной точке.

Пусть к твердому телу в точках А, В и С приложены три силы F,F,F, лежащие в одной плоскости (рис. 2.2). На основании теоремы о переносе силы вдоль линии действия, перенесем силы F и в точку пересечения и сложим по правилу параллелограмма.

2.3. Система сходящихся сил. Нахождение ее равнодействующей.

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется Расположим в точке пересечения сил нат Oxyz. Затем перенесем все силы по ли­ нии действия в точку О. В результате по­ лучим пучок сходящихся сил. Применяя последовательно правило параллелограм­ ма или, построив многоугольник сил, по­ лучим равнодействующую системы схо­ дящихся сил:

Векторному равенству (2.3.1) соответствуют три скалярных.

Действительно, мы можем разложить силы по координатным осям:

Следовательно, Зная проекции равнодействующей (2.3.2) на оси координат, определим ее модуль и направление.

Модуль найдется по формуле Направление равнодействующей определим по направляющим косинусам:

Для нахождения проекций силы на координатные оси необходимо знать два угла, например, угол между силой и осью z и угол между проекцией силы на плос­ кость оху и осью х (рис. 2.4).

Согласно рис. 2.4:

где а - угол между силой и осью z, р - угол между проекцией силы на плоскость оху и осью х.

Очевидно, Условием равновесия системы сходящихся сил является условие равенства нулю ее равнодействующей:

Равенство (2.3.5) означает, что многоугольник сил является замкнутым, то есть начало первого вектора силы и конец последнего совпадают. Поэтому вме­ сто (2.3.5) можно написать Условия (2.3.6) называются условиями равновесия.

В общем случае их три. Если имеет место плоская система сходящихся сил, то уравнений будет два.

Для статической определимости задачи число неизвестных не должно пре­ вышать число уравнений.

Момент силы характеризует ее вращающее действие.

Моментом силы F относительно некоторого центра О называется векторное произведение радиусвектора точки приложения силы относительно цен­ тра О на силур (рис. 3.1).

Момент силы F относительно точки О (центра мо­ мента) обозначается M ( F ) : Следовательно, момент силы относительно точки — это вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, содержащей силу F и точку О, в ту часть пространства, из которой вращающее действие силы будет видно против часовой стрелки.

Опустим перпендикуляр из точки О на линию действия силы F. Отрезок перпендикуляра, соединяющего точку О и линию действия силы F, обозначим через h. Этот отрезок h в дальнейшем будем называть плечом. Модуль вектора момента (3.1.1) M (F) будет:

В формуле (3.1.2) а - угол между радиус-вектором г и силой F.

Очевидно, где плАОАВ - площадь треугольника ОАВ, образованного радиусом вектором г и силой/.

Если в точке О расположить начало декартовой системы координат Oxyz (рис. 3.2), то проекции момента M ( F ) найдутся из выражения: ции радиус а-вектор а г :

х,у и z получаем формулы:

M„(F) = l M, ( F - ) щихся сил относительно произвольной точки ра­ Пучок сходящихся сил расположен в точке А. В качестве моментной точ­ ки выбираем некоторую точку О. Согласно определению момента силы относи­ тельно точки имеем:

что и доказывает равенство (3.2.1), представляющее собой математическое вы­ ражение теоремы о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.

Применение теоремы о моменте системы сходящихся сил при решении за­ дач статики часто существенно облегчает составление уравнений равновесия.

Моментом силы относительно оси называется проекция момента си­ лы относительно произвольной точки, расположенной на оси, на эту ось.

Возьмем в качестве моментной точки начало декартовой системы коорди­ нат Oxyz — точку О.

По определению формула (3.3.1) представляет собой момент силы относи­ тельно оси z (рис. 3.4). Кроме того, как видно, выражение (3.3.1) не зависит от положения моментной точки О на оси z. Естественно, это относится к осталь­ ным осям Ох и Оу.

представляет собой момент проекции силы F на плоскость Оху относительно точки О.

Проекция силы F на плоскость Оху бу­ дет Радиус-вектор точки А, являющейся на­ { Тогда:

Очевидно, в выражении момента силы относительно координатной оси (3.3.2) можно опустить индекс, указывающий положение моментной точки на оси. Следовательно, моменты силы относительно координатных осей выража­ ются формулами:

При вычислении моментов силы относительно координатных осей не обя­ зательно пользоваться формулами (3.3.3). В некоторых случаях может быть полезен следующий прием.

Вначале проводим плоскость, перпендикулярную оси. Затем проектируем силу F на эту плоскость и вычисляем момент проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью. Момент считается положительным, если вращающее действие силы со стороны положительного направления соответст­ вующей оси направлено против часовой стрелки.

В противном случае момент относительно оси считается отрицательным.

Очевидно, момент силы относительно оси обращается в нуль, если сила пересекает ось или параллельна оси. Иными словами, если сила и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен нулю.

При аналитическом вычислении моментов силы относительно осей за центр моментов берем начало координат, так как точка одновременно принад­ лежит сразу всем трем осям. Поэтому проекции момента на оси совпадают с моментом силы относительно оси.

В заключение этого пункта рассмотрим понятие момента силы относи­ тельно оси, исходя из несколько других соображений. Рассмотрим силу F с на­ чалом в точке А, координаты которой x, v,z 0. Проекции силы на оси коорди­ нат тоже удовлетворяют условию F,F F^ 0 (рис. 3.5). x y В дальнейшем нам потребуются нижеприведенные определения, которые вводятся для удобства.

сумма этих сил:

Понятия главного вектора и равнодействующей не тождественны. Если же система сил и приводится к равнодействующей, то она имеет вполне опреде­ ленную линию действия, в то время как главный вектор, который равен по ве­ личине равнодействующей и имеет с ней одинаковое направление, является свободным вектором.

Главным моментом М системы сил F F...,F относительно како­ го-либо центра О называется векторная сумма моментов этих сил от­ носительно этого центра О:

Парой сил называется система двух параллельных сил, приложенных к твердому телу, равных по величине и направленных в противоположные стороны (рис. 4.1).

Главный вектор пары равен нулю. Определим ее главный момент относи­ тельно некоторой точки О:

Однако, как оказалось, главный момент пары не зависит от центра моментов. Следовательно, главный момент, или просто момент является свободным век­ тором, а это в свою очередь означает, что пару сил, действующую на твердое тело, можно переносить как мента. Момент пары перпендикулярен плоскости ее действия и направления в ту часть пространства, от­ стрелки.

Величина момента пары равна произведению си­ лы на ее плечо (рис. 4.2): М - hF, где h - плечо пары, представляющее собой отрезок перпендикуляра, со­ единяющий линии действия сил, образующих пару.

1. Пару сил, действующих на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенных в той же плоскости и имеющей одинаковый с первой па­ рой алгебраический момент (рис. 4.3).

Рассмотрим пару сил F и — F, рас­ -Р положенных в точках А и В. Перенесем эти силы по линиям их действия в точки А и В. Приложим взаимно уравнове­ также — F и — Q по правилу параллело­ грамма.

Вновь полученные силы Р и — Р об­ разуют пару с плечом h. x Однако момент этой пары сохраняет свою величину. Действительно, со­ гласно теореме о моменте равнодействующей системы сходящихся сил, имеем но М (Q) = 0, так как сила Q проходит через точку В.

2. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если пару перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, ей параллельную.

Пусть пара сил первоначально действует в плоскости 1. Выберем некото­ рую плоскость 2, параллельную 1. Точки A,A,B и являются вершинами прямоугольника. В точках А и В приложим взаимно уравновешенные силы, как показано на рис. 4.4. Затем складываем силы, приложенные в вершинах прямоугольника, а именно: силы F, приложенные в точках А и В, и силы—/, приложенные в точках B и А. В результате в центре прямоугольника получим две взаимно уравновешенные силы R и —R. На рис. 4.4 все эквивалентные и взаимно уравновешенные силы перечеркнуты.

Таким образом, неперечеркнутые силы образуют пару, которая лежит уже в плоскости 2, параллельной исходной.

3. Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях.

Перенесем обе пары на линию пересечения плоскостей. Силы выберем так, чтобы плечи у обоих пар были одинаковы (рис. 4.5).

Сложим силы в точках А и В по правилу параллелограмма. В результате получим новую пару, образованную силами F и — F. Момент этой пары M=M (F). Согласно теореме о моменте равнодействующей системы сходя­ щихся сил, будет:

Здесь M =M (F ) и M =M (F ) - векторы моментов соответствующих пар.

Таким образом, при сложении пар необходимо складывать векторы их моментов.

5. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Эта теорема играет фундаментальную роль, так как с ее помощью доказы­ вается основная теорема статики.

Действие силы на твердое тело не изменится, если ее перенести па­ раллельно самой себе в некоторую точку, называемую центром приведения, присоединив при этом пару сил, равную векторному произведению вектора переноса силы с обратным знаком на эту силу (рис. 5.1).

Пусть в точке А абсолютно твердого тела приложена сила F. Выберем центр приведения точку О (рис. 5.1, а). Приложим в точке О силы F и — F (рис. 5.1, б). Перечеркнутые силы образуют пару с моментом:

где г - вектор переноса силы. Эту пару можно перенести в любую точку плоскости, содержащую силы F и — F, например точку О.

Таким образом, оказывается, что сила F приложена в точке О и к этой же точке приложена пара с моментом M (F)=r xF (рис. 5.1, в).

Эта теорема доказывается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Рассмотрим твердое тело, на которое действует система сил F,,F,...,F (рис. 5.2, а).

Выберем в качестве центра приведения точку О, являющуюся началом де­ картовой системы координат Oxyz. Осуществим параллельный перенос всех сил в центр приведения, присоединяя при этом пары (рис. 5.2, б):

В центре приведения получим пучок сходящихся сил и пучок присоеди­ ненных пар. Сложив все силы, получим в точке приведения силу равную главному вектору. Сложив пары, получим главный момент:

Таким образом, доказана следующая теорема, которая носит название основ­ ной теоремы статики: главный вектор и главный момент, помещенные в цен­ тре приведения, статически эквивалентны исходной системе сил (рис. 5.2, в).

Иными словами, заданная система сил, приложенных к твердому телу, за­ меняется одной силой F, равной главному вектору этой системы и приложен­ ной в центре О, и одной парой с моментом М, равным главному моменту сил относительно центра приведения О (рис. 5.2, в).

5.3. Следствие основной теоремы статики. Условия равновесия различных систем сил, приложенных к твердому телу Поскольку главный вектор и главный момент, помещенные в центре при­ ведения, эквивалентны исходной системе сил, то они являются полными харак­ теристиками статического действия этой системы сил. Поэтому необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной системы сил, приложен­ ной к твердому телу, являются обращение в нуль ее главного вектора и главно­ го момента относительно какой-либо точки:

М = X М (F ) - главный момент системы сил относительно точки приведения О.

Условия (5.3.1) являются условиями равновесия твердого тела и представляют собой следствие основной теоремы статики.

Два векторных равенства (5.3.1) эквивалентны шести скалярным уравне­ ниям равновесия произвольной системы сил в пространстве:

Три последних уравнения M =t{x,F -y F ) собой моменты системы сил отно­ на оси координат.

Уравнения (5.3.2) означают, что произвольная пространственная система сил, приложенных к твердому телу, находится в равновесии. Тогда алгебраиче­ ские суммы проекций всех сил на координатные оси и алгебраические суммы моментов этих сил относительно координатных осей равны нулю.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть, например, система сил произвольно расположена в плоскости Оху (рис. 5.3). Тогда из шести уравнений статики (5.3.2) третье, четвертое и пятое уравнения обращаются в тождества.

Имеют смысл первое, второе и шестое уравнения:

Таким образом, произвольная система сил, расположенных в одной плос­ кости, уравновешивается лишь в том случае, когда алгебраические суммы про­ екций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов от­ носительно произвольной точки этой плоскости равны нулю.

То есть уравнения (5.3.3) являются уравнениями равновесия произвольной системы сил на плоскости. Чтобы задача была статически определима, число неизвестных не должно быть больше трех.

Форму уравнений можно изменить, но нельзя изменить их количество.

Можно составить два уравнения моментов относительно двух точек А к В, причем прямая АВ не должна быть перпендикулярна оси, на которую проекти­ руется силы. Пусть таковой будет ось Ох. Тогда:

Если выполнены два последних условия, то это означает, что у системы сил может быть равнодействующая, проходящая через точки А и В. Ее равенст­ во нулю будет гарантировано, если ось х не перпендикулярна прямой АВ.

Можно составить три уравнения моментов сил относительно точек, не лежащих на одной прямой:

В данном случае выполнение двух условий не гарантирует отсутствия рав­ нодействующей, которая может проходить через соответствующие точки. Если же выполнено условие равенства нулю момента всех сил относительно точки, не лежащей на этой прямой, то это уже гарантирует отсутствие равнодейст­ вующей и, следовательно, равновесие. Системы уравнений (5.3.3), (5.3.4) и (5.3.5) эквивалентны друг другу. Однако в конкретных случаях предпочтитель­ ней может быть какая-нибудь из них.

Представляет интерес другой частный случай система параллельных сил в пространстве (рис. 5.4).

Задача будет статически определимой, если число неизвестных в данном случае не будет превышать трех.

Если система параллельных сил расположена в плоскости, например, в плоскости Oyz, то третье уравнение системы (5.3.6) обращается в тождество.

Поэтому для равновесия необходимо и достаточно выполнение условий:

То есть необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил на параллельную им ось и алгебраическая сумма моментов этих сил относи­ тельно произвольной точки равнялись нулю.

Вместо условий равновесия (5.3.7) можно написать другие уравнения, то есть условиям равновесия можно придать другую форму, рассматривая момен­ ты относительно двух точек:

Прямая АВ, естественно, не должна быть параллельна этим силам.

5.4. Определение опорных реакций однопролетных балок Рассмотрим однопролетную шарнирно опертую балку, нагруженную некоторой У неизвестных реакций Y и Y.

Обозначим через а расстояние силы Р сивностью q действует на участке балки, ко­ торый начинается на расстоянии Ь от опоры А и заканчивается на расстоянии с. Как известно, действие пары сил М на твердое тело не зависит от ее поло­ жения. Поэтому все равно, в какой точке пролета находится сосредоточенный момент М. Расстояние между опорами А и В равно /.

Начало плоской системы координат расположим в опоре А. Ось Ах совпа­ дает с осью балки. Составим уравнение моментов относительно точки А :

Здесь момент от распределенной нагрузки находится из следующих сооб­ ражении.

Ее равнодействующая:

Плечо этой равнодействующей:

Откуда получаем выражение для ее момента относительно опоры А:

В качестве второго уравнения статики возьмем уравнение проекций сил на ось у:

Из первого уравнения статики получаем:

из второго:

В заключение этого пункта рассмотрим определение реакций консольной балки (рис. 5.8).

На рис. 5.8, а показано, что на самом деле представляет собой такая конст­ определенно. Нельзя точно определить и реакции У, и 7. Поэтому в опоре А указывается проекция главного вектора опорных реакций Y и У на ось у ] и главный момент (рис. 5.8, б):

5.5. Определение реакций опор составных конструкций Составными называются конструкции, представляющие совокупность твердых тел, связанных между собой шарнирами. Пример такой конструкции 5.9, состоит из двух тел АС и СБ, связанных между собой шарниром С. На конструкцию действует сила ная нагрузка интенсивностью q. В такой конструк- 4ции связи, соединяющие ее части, называются внут­ ренними. В данном случае это шарнир С.

Связи, присоединяющие ее к другим телам, на­ зываются внешними — это опоры А и В.

Конструкция имеет четыре неизвестных опор­ ных реакции X,Y X,Y. Все их невозможно опA Ai g B ределить из трех уравнении статики для плоской Яй системы сил. Чтобы определить реакции опор, мыс­ ленно разрежем конструкцию в шарнире С (рис.

Реакции внутренней связи шарнира С, приложенные к телам АС и ВС, попарно равны по модулям и противоположны по направлениям согласно третьему закону Ньютона: Х =Х', Y =Y^. Для тел АС и ВС можно соста­ вить по три уравнения равновесия. Всего получается шесть уравнений, содер­ жащих шесть неизвестных величин.

Однако при решении данной задачи целесообразно воспользоваться сле­ дующим приемом. Если применить принцип наложения новых связей и считать систему отвердевшей в шарнире, то можно составить уравнения моментов сил относительно опор А и В,в которые войдут только по одному неизвестному:

Зная Y и Y, можно рассмотреть равновесие какой-либо отсеченной час­ ти. Удобнее рассмотреть ту часть, где меньше нагрузок.

Поэтому рассмотрим часть ВС.

Наконец составим уравнение проекции сил на ось х для части АС:

В итоге можно сформулировать примерный план решения задач по опре­ делению реакций составных тел.

1. Согласно принципу освобождаемости от связей, отбрасываем внешние связи, заменяя их действие реакциями.

Применяя принцип наложения новых связей, то есть, считая конструкцию отвердевшей, проверяем возможность нахождения некоторых опорных ре­ акций из уравнений моментов, составленных для системы в целом.

2. Расчленим конструкцию в шарнирных соединениях. При этом учитываем, 3. Каждое из расчлененных тел, входящих в конструкцию, рассматриваем от­ дельно.

Составляем и решаем уравнения равновесия для отсеченных частей.

Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединенных идеальными точечными шарнирами и представляющая собой геометрически неизменяемую систему.

В действительности стержни фермы соединяются между собой не шарни­ рами, а скрепляются наглухо путем сварки либо с помощью заклепок. Поэтому фактически стержни фермы испытывают кроме растяжения и сжатия еще из­ гиб. Однако изгибающие моменты в стержнях невелики, поэтому ими пренеб­ регают.

Места соединений стержней фермы называют узлами. Мы ограничимся простейшими плоскими фермами с прямолинейными стержнями. Силы будем считать приложенными в узлах фермы. Таким образом, согласно вышеописан­ ной расчетной схеме стержни испытывают либо растяжение, либо сжатие.

По своему назначению различают фермы мостовые, крановые, стропильные.

Для того чтобы ферма была статически определимой, число ее стержней и узлов должно быть связано вполне определенной зависимостью. Пусть в ферме п узлов и к стержней (рис. 5.11).

В результате соединения трех стержней получается простейшая геометри­ чески неизменяемая система - треугольник. Для образования оставшейся части фермы остается п - 3 узла и к - 3 стержня. Для присоединения п - 3 узлов нужно 2(п - 3) стержня. Поэтому к - 3 = 2(п - 3). Откуда Условие (5.6.1) является условием статической определенности. Число не­ известных равно к + 3. В это число входят три неизвестные опорные реакции и к неизвестных усилий в стержнях. В каждом узле имеется система сходящихся сил, а условия ее равновесия - два уравнения.

Всего таких уравнений можно составить 2п. Следовательно, должно выполнят­ ся равенство к - 3 = 2п, но это как раз и есть условие (5.6.1).

Однако использование уравнений (5.6.2) не всегда оказывается рациональ­ ным. Например, для определения реакций опор можно воспользоваться уравне­ ниями для плоской системы сил:

Использовав уравнение (5.6.3), можно перейти к определению усилий в стержнях. Для этого вырезаем сначала опорные узлы и рассматриваем их рав­ новесие. Затем переходим к соседним узлам, где имеется минимальное число неизвестных.

В ряде случаев наиболее рациональным является метод сечения. Рассмот­ рим ферму, изображенную на рис. 5.12.

Рассмотрим определение усилий в стержнях 8-6, 6-7, 5-7. Для этого про­ ведем сечение через эти стержни и рассмотрим правую отсеченную часть, где меньше нагрузок (рис. 5.13).

Найдем реакции R, R и Х ;

Будем считать, что все стержни, попавшие в сечение, растянуты. Возьмем в качестве моментной точки узел 6:

Таким образом, нижний стержень 5-7 растянут.

Возьмем теперь в качестве моментной точки узел 7:

Таким образом, верхний стержень 8-6 сжат.

3. Для нахождения усилия в стержне 7-6 составим уравнение проекций на ось у:

Под гибкой нитью будем подразумевать систему материальных точек, не­ прерывно расположенных по кривой, причем каждая из точек соединена с со­ седними бесконечно коротким идеальным стержнем с шарнирами по концам, то есть расстояние между точками считается неизменным, а в самой нити момен­ ты сил относительно любой ее точки обращаются в нуль. Это означает, что на­ тяжение нити всегда направлено по касательной к ней.

Итак, пусть идеальная нить закреплена в точках А и В (рис. 5.14).

Условие равновесия элемента dS будет:

Откуда следует:

Равенство (5.7.1) представляет собой уравнение равновесия гибкой нити в векторной форме.

Векторное уравнение (5.7.1) эквивалентно трем скалярным:

где T,T,T, — проекции натяжения нити на оси x,y,z.

Косинусы углов, которые касательная образует с координатными осями, нахо­ дятся по формулам:

Поэтому:

Следовательно, вместо (5.7.2) можно написать:

или Рассмотрим равновесие нити под действием сил тяжести (рис. 5.15).

Найдем форму кривой. Пусть вес единицы длины нити равен у и нить однородна, то есть / = const.

Вследствие того, что нить находится под действием параллельных сил тяжести, фигура равновесия нити плоскости. Расположим в плоскости кривой систему координат Оху. Тогда F = 0; F = -у.

Уравнения равновесия нити (5.7.3) примут вид:

Из первого уравнения (5.7.5) следует, что то есть проекция натяжения на ось х есть величина постоянная.

Следовательно, натяжение нити Т найдется из соотношения:

Подставляя выражение (5.7.6) во второе уравнение (5.7.5), получим:

или Следовательно, Для интегрирования уравнения (5.7.8) полагаем ~ - Р Тогда уравнение (5.7.8) перепишется так:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Тогда, обозначая — = а, получаем:

Интеграл (5.7.10) берется с помощью подстановки Эйлера.

откуда Следовательно, Тогда вместо (5.7.10) получаем:

или Учитывая подстановку Эйлера, получаем:

Положим, что при р = -- = 0, х = 0, то есть проведем ось у через точку кривой, где касательная параллельна оси х. Тогда С = 0 и мы будем иметь:

Для определения р рассмотрим обратную величину:

Вычитая из первого выражения второе, получаем:

Откуда, интегрируя, найдем:

Пусть при х = 0 у —а.

тяжести по цепной линии.

Найдем длину нити на участке х - 0, х = Ъ:

Согласно равенству Т = Т, имеем:

Таким образом, натяжение нити в каждой точке равно весу отрезка той же нити, длина которого равна ординате точки этой нити.

Следовательно, если нить перекинута через два идеальных блока, то она будет в равновесии, если свободные концы касаются о с и х, но при этом а должно быть больше нуля. То есть вся нить должна располагаться над осью х (рис. 5.16).

Рассмотрим нить под действием непрерывной вертикальной нагрузки, рав­ номерно распределенной по длине проекции нити на горизонтальную ось и приложенной во всех точках нити. Подобная ситуация имеет место в висячих мостах (рис. 5.17).

///// Найдем форму кривой, по которой расположится нить при этой нагрузке На элемент нити длиной dS действует нагрузка где у - нагрузка, приходящаяся на единицу длины по оси х.

Но тогда Рассмотрим уравнения равновесия:

Из первого уравнения следует:

Из второго уравнения получаем:

Откуда следует:

или Полагая T 1 у = a, получим:

Интегрируя, найдем:

где Cj,C - постоянные интегрирования.

Таким образом, нить в данном случае располагается по параболе, ось кото рой вертикальна.

Выберем начало отсчета в точке минимума, где Тогда Согласно соотношению Т = Т о имеем:

Откуда Трением называют сопротивление, возникающее при перемещении одного тела по поверхности другого. В курсе теоретической механики обычно рас­ сматривают два вида трения - трение скольжения и трение качения.

Если перемещение представляет собой скольжение, то соответствующее трение называется трением скольжения или трением первого рода.

Когда перемещение является качением, то трение называется трением ка­ чения или трением второго рода.

Если реакция поверхности направлена по нормали к этой поверхности, то говорят, что это связь без тре­ ния или идеальная связь. Связь с трением, кроме нор­ мальной составляющей реакции N, имеет касательную составляющую F (рис. 5.18).

Нормальная реакция представляет собой давле­ ние поверхности на тело, в то время как тангенциальгИС. J. 1 о ная реакция возникает благодаря наличию сил трения в зоне контакта.

Трение между соприкасающимися телами происходит вследствие сцепле­ ния прижатых друг к другу тел, а также вследствие шероховатости поверхно­ сти.

Механизм трения до сих пор полностью не установлен из-за больших трудностей, связанных с количественной оценкой сил молекулярного сцепле­ ния, зависящих от состояния контактирующих поверхностей и их физикохимических свойств. Поэтому при учете трения пользуются законами, которые носят качественный, эмпирический характер и являются весьма приближенным отражением действительного явления. Силы трения существенно зависят от на­ личия смазки. При этом следует различать статическое трение, имеющее место при относительном покое соприкасающихся тел, и трение скольжения, которое возникает при относительном движении контактирующих тел. Законы трения в результате первых опытов были установлены Г. Амонтоном (1699) и уточ­ нены Ш. Кулоном (1781).

Законы трения скольжения формулируются следующим образом:

1. Наибольшая сила трения скольжения пропорциональна величине нормальной составляющей реакции поверхности связи, то есть:

где F - максимальное значение касательной составляющей реакции по­ верхности связи; / - коэффициент трения; N - нормальное давление на по­ верхность связи или нормальная составляющая реакции поверхности связи.

2. Сила трения не зависит от площади контакта соприкасающихся поверхно­ стей. На самом деле это не так, хотя и выполняется в довольно широком диапазоне параметров.

3. Сила трения скольжения при движении меньше силы трения при покое. Хотя и этот закон не всегда выполняется. В настоящее время созданы антифрик­ ционные материалы, у которых сила трения растет с увеличением скорости скольжения.

В дополнение к сказанному отметим, что коэффициент трения скольжения при покое, например, для пары чугун-чугун при трении дерева о дерево / =0,4*0,7.

Коэффициент трения зависит от степени обработки и состояния тру­ щихся поверхностей и от скорости скольжения. Обычно с увеличением вает, затем стабилизируется и снова растет (рис. 5.19).

Реакция поверхности с трением. Угол и конус трения Реакция при наличии силы трения состоит из двух составляющих: силы трения F, которая направлена по касательной к поверхности в точке касания, и нормальной составляющей реакции N. Таким образом, реакция шероховатой поверхности равна векторной сумме этих сил:

Рассмотрим предельный случай равновесия тела на плоскости с трением (рис. 5.20).

Составим уравнения равновесия. На тело действует сила Q, составляющая угол (р с вертикалью. Поскольку имеет место равновесие системы сходящихся сил, то имеем два уравнения:

Но F = fN, где f - коэффициент трения скольжения. Поэтому имеем:

Откуда / = tgp, где р - так называемый угол трения. Очевидно при а р, где а - угол между силой и вертикалью, имеет место равно­ весие при любой силе Q.

Следовательно, угол трения - это наи­ больший угол ф, на который отклоняется реак­ ция шероховатой поверхности от нормали к ней.

Линия действия реакции образует кониче­ скую поверхность с углом раствора 2ф, назы­ ваемую конусом трения (рис. 5.21).

Внутренняя часть конуса определяет область равновесия. Причем коэффи­ циент равен тангенсу угла трения.

Трение гибкой нити о цилиндрическую поверхность Рассматриваемое положение равновесия является предельным, поэтому dF = f dN. Подставляя в это равенство dF и dN, получим:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

или Откуда Q = Ре Согласно этой формуле, полученной Эйлером, оказывается, что уравновеши­ вающая сила не зависит от радиуса цилиндра и быстро убывает с увеличением а.

Опыт показывает, что для качения тяжелого цилиндра по горизонтальной плоскости к оси цилиндра необходимо приложить некоторую горизонтальную силу F, чтобы преодолеть сопротивление, возникающее при качении цилиндра.

Это сопротивление называется силой трения качения или силой трения второго рода.

Появление трения качения объясняется изменением формы поверхности, по которой катится тело. При качении цилиндр деформируется и несколько вдавливается в плоскость. При этом сила трения качения тем больше, чем силь­ нее деформации в зоне контакта.

Вследствие деформации тел под действием силы веса Р их касание проис­ ходит по некоторой площадке. На рис. 5.23 этой площадке соответствует дуга АВ с центральным углом а.

Нормальная реакция N приложена в точке В. Как видно, имеет место равновесие трех непараллельных сил, лежащих в одной О. При этом горизонтальная проекция реак­ ции T равна по величине движущейся силе F = Nsma. Очевидно, горизонтальная про­ екция N и есть сила трения качения.

Составим уравнение моментов сил, дей­ ствующих на каток относительно точки В, считая деформации малыми:

где 5 - проекция дуги АВ на горизонталь.

В формуле (5.8.3) S - называется коэффициентом трения качения. Оче­ видно, 8 имеет размерность длины.

Например, для шарикоподшипников — = 0,001см, а для вагонных колес — = 0,005см. Отношение — обычно меньше /. Поэтому в технике трение скольжения стремятся заменить на трение качения.

6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

6.1. Соотношение между главными моментами относительно двух Статическое действие любой системы сил полностью характеризуется главным вектором и главным моментом, приложенными в центре приведения.

При этом главный вектор по определению от центра приведения не зависит и, следовательно, является статическим инвариантом. Главный момент - это свободный вектор, который зависит от центра приведения.

Рассмотрим, как меняется главный момент, если поменять центр приведе­ ния. Пусть новым центром будет точка О (рис. 6.1). х в старом центре приведения - точке О, и главный вектор F и главный момент М, расположенные в новом центре - точке О, совершенно равноправны и порознь эквивалентны исходной системе сил. Поэтому исходную систему сил при дальнейших ^ преобразованиях можно не принимать во внимание. Найдем главный момент силовых факторов, расположенных в точке О, х где р - радиус-вектор, направленный от точки О к точке О. х Формула (6.1.1) дает соотношение главных моментов относительно двух различных центров приведения.

Главный момент относительно нового центра приведения равен гео­ метрической разности главного момента относительно старого центра и момента главного вектора, расположенного в новом центре приведения, относительно старого.

Первый статический инвариант - это главный вектор, который не за­ висит от центра приведения:

Второй статический инвариант - это проекция главного момента на направление главного вектора.

Иными словами, поскольку главный вектор сам по себе является статиче­ ским инвариантом, то скалярное произведение главного вектора и главного мо­ мента системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная.

Воспользуемся формулой (6.1.1) и рассмотрим скалярное произведение:

В формуле (6.2.2) смешанное произведение р х F * F = О и, следовательно, или Как известно, скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей, умноженных на косинус угла между ними. Поэтому вместо (6.2.3) имеем (см. рис. 6.1):

Откуда следует, что На рис. 6.1 отрезки OA и О А, являющиеся проекциями главных моментов на направление главного вектора, согласно формуле (6.2.4), равны между собой.

6.3. Приведение пространственной системы сил к равнодействующей Пространственная система сил сводится к равнодействующей, если равен нулю второй статический инвариант, то есть равна нулю проекция главного момента на направление главного вектора. Это означает, что главный вектор F и главный момент М системы сил взаимно перпенди­ кулярны (рис. 6.2).

Итак, пусть в точке О, являющейся центром при­ равен ж 12. Как было показано ранее, главный вектор F и главный момент М полностью характеризуют статическое действие исходной системы сил. Поэтому в результате дальнейших эквивалентных преобразований -^ мы будем получать новую систему сил, эквивалентную исходной системе. Заменим главный момент парой сил F и -F с плечом h - — -. Силы F и - F в точке О уравновешиваются. Сила, приложенная в точке Oj, таким образом, оказывается равнодействующей, что и требовалось доказать.

Вышеописанное построение по приведению системы сил к равнодействующеи одновременно является доказательством теоремы о моменте равнодей­ ствующей в общем случае.

Суть этой теоремы в том, что если пространственная система сил име­ ет равнодействующую, то ее момент относительно некоторой точки равен векторной сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Действительно, по определению главный момент:

а по построению:

где p — радиус-векторы точек на линии действия равнодействующей.

Следовательно, В любой точке приведения второй статический инвариант обращается в нуль и поэтому данное построение может быть осуществлено также для любой точки.

Следовательно, точку О можно считать произвольной, а значит, и выра­ жение (6.4.1), если у системы сил есть равнодействующая, справедливо для лю­ бой точки.

Из доказанного следует, что момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же оси.

не равен нулю, то система сил приводится к паре. Момент этой пары равен главному моменту рассматриваемой системы сил:

То есть главный момент уже не зависит от выбора точки приведения.

Таким образом, если система сил сводится к паре, то равен нулю первый статический инвариант.

6.6. Приведение пространственной системы сил к динаме F и момент М, который переносим из точки О.

Сила F и момент М, направленные по одной прямой, называемой цен­ тральной осью системы сил или линией действия динамы, образуют динаму или динамический винт.

Из построения следует, что элементами динамы являются главный вектор F и проекция главного момента М на направление главного вектора. Причем Уравнение оси динамы определяется условием cos# = l, то есть векторы М и F должны быть параллельны. Но где р = xi + yj + zk - радиус-векторы точек линии действия динамы.

Условие параллельности векторов записывается так:

ИЛИ Уравнение (6.6.1) является уравнением прямой, которая представляет со­ бой линию действия динамы.

Центром параллельных сил называется точка на линии действия ее равнодействующей, не меняющая своего положения при одновременном по­ вороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.

Рассмотрим систему параллельных, одинаково направленных сил F,F,...,F, приложенных к твердому телу в точках A,A,...,A. Эта система имеет равнодействующую, которая может быть найдена последовательным сложением сил (рис. 7.1).

чим точку С, где приложена равнодействующая всей системы и которая, оче­ видно, также не меняет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол. Равнодействующая этих сил F, приложенная в точке С, являющейся центром параллельных сил, находится согласно равенству:

Зная координаты точек приложения сил, определим положение центра па­ раллельных сил, применив теорему о моменте равнодействующей.

Для определения координаты х центра параллельных сил составим урав­ нение моментов сил относительно оси у:

или откуда Если составить уравнение моментов сил относительно оси х, то получим координату у центра параллельных сил:

или Откуда Для определения координаты z центра параллельных сил повернем сна­ чала все силы на один и тот же угол а = ж 12, как показано на рис. 7.2 и соста­ вим уравнение моментов относительно оси х:

или Откуда, учитывая, что F = F*, получим Формулы (7.1.2), (7.1.3), (7.1.4) можно объединить в одно векторное равенство:

где r ~ xj + у J + z k - радиус-вектор точки приложения / -й силы, r = xj + у J + z k - радиус-вектор центра параллельных сил.

Согласно закону всемирного тяготения на все частицы тела, которое нахо­ дится вблизи земной поверхности, действуют силы притяжения к Земле. Эти силы называются силами тяжести.

Силы тяжести, строго говоря, не являются параллельными, так как они сходятся в центре Земли. В связи с небольшими размерами тела по сравнению с радиусом Земли, силы тяжести отдельных частиц тела с достаточно большой точностью можно считать параллельными.

Равнодействующая параллельных сил тяжести отдельных частиц тела называется весом тела. Силу веса или силу тяжести тела будем обо­ значать буквой р.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести отдельных частиц тела.

Интегралы в формулах (7.2.1) берутся по объему V твердого тела.

Если тело однородно, то удельный вес его /постоянный. Тогда вес тела будет р = yV и, следовательно, dp = ydV.

Тогда вместо формул (7.2.1) получим:

Таким образом, центр тяжести однородного тела является центром тяжести его объема. Интегралы в числителях формул (7.2.2) называются статическими моментами объёма относительно координатных плоскостей. Интеграл jxdV V статический момент относительно плоскости Oyz, интеграл jydV - относиV тельно плоскости Oxz, интеграл jzdV - относительно плоскости Оху.

Пусть плоская фигура расположена в плоскости Оху (рис. 7.4). Поступая так же, как и в случае пространственно­ го тела, получаем формулы для нахождения координат цен­ тра тяжести.

Интегралы в формулах (7.2.3) берутся по площади S плоской фигуры. Если плоская фигура однородна, то сила тяжести пропорциональна ее площади:

где S - площадь фигуры;

у = const - вес единицы площади.

Тогда получим В формулах (7.2.4) интегралы jxdS и jydS называются статическими моментами площади плоской фигуры относительно оси у их соответственно.

зываются криволинейными.

добны. Следовательно, справедлива пропорция:

где г - радиус окружности.

Подынтегральное выражение в формуле (7.3.1), таким образом, удовлетво ряет равенству:

и, следовательно, интеграл где h - проекция дуги на ось у.

В итоге формула (7.3.1) с учетом (7.3.2) переписывается так:

Это общая формула для координат х центра тяжести несимметричной дуги.

В рассматриваемом случае Подставляя (7.3.4) в (7.3.3), получим:

Формула (7.3.6), естественно, может быть получена непосредственным ин­ тегрированием. Пусть ф - полярный угол элемента dl = rdp.

Координата х = г cos ср, тогда:

Разобьем площадь треугольника прямыми, параллельными основанию, на очень большое число узких полосок, которые можно рассматривать как матери­ альные отрезки прямых линий (рис. 7.8). Центр тяжести каждого отрезка лежит на его середине, а, следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на его медиане. Разбив площадь прямыми, параллельными каждой из сторон, можно утверждать, что центр тяжести тре­ угольника лежит на каждой из медиан. Следова­ тельно, он лежит на пересечении медиан. Из гео­ метрии известно, что медианы пересекаются на расстоянии одной трети от основания и двух третей Рассмотрим симметричный сектор с углом 2 а. Разобьем сектор на элемен­ тарные секторы с центральными углами dtp. Каждый такой сектор можно рас­ сматривать как треугольник с высотой г и основанием rdq. Центр тяжести ка­ ждого такого треугольника лежит на расстоянии —г от центра круга. Следовательно, необходимо найти центр тяжести материальной дуги круга радиуса —г.

Центр тяжести поверхности сферического сегмента Из формулы (7.3.7) следует, что площадь сферического сегмента равна произведению дуги окружности большого круга на его высоту. Очевидно, пло­ щадь сферического пояса оказывается также равной произведению дуги боль­ шого круга на его высоту.

Разделим высоту Н на большее число равных частей АЯ и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию сегмента. Тогда по­ верхность сегмента, согласно формуле (7.3.7), разделится на большое число равных по площади поясов, центр тяжести которых лежит на их геометриче­ ском центре, то есть на отрезке BD.

Таким образом, высота Н будет равномерно покрыта материальными точ­ ками и, следовательно, центр тяжести сегмента будет находиться в центре от­ резка BD.

Следовательно, В частном случае, когда Н = г, то есть для полусферы, имеем То есть центр полусферы находится на середине радиуса, перпендикулярного основанию.

Начало координат расположим в вершине пира­ миды (рис. 7.10). Ось z направим вертикально вниз.

и некоторого сечения F, находящегося на расстоянии z от вершины.

Очевидно, ^ Следовательно, F = F z i h.

Согласно общей формуле для центра тяжести имеем Вычисление интеграла в числителе можно упростить, если в качестве dV взять объем заштрихованного элемента толщиной dz :

Тогда интеграл в числителе формулы (7.3.9) будет Объем пирамиды V = -F h, тогда, согласно (7.3.9) и (7.3.10), формы основания пирамиды и расположена на расстоянии четверти высоты от основания. Следовательно, это относится и к любому конусу, независимо от уг­ ла его наклона.

Эти теоремы были открыты александрийским механиком Паппом, по одним сведениям в третьем, а по другим в четвертом веке новой эры, и затем в 1635 году они же были вновь открыты монахом Гульдиным.

Теорема 1. Поверхность тела, образованного вращением плоской кри­ вой вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равна произведению длины кривой на длину окружности, описываемой ее центром тяжести.

делим элемент dl этой кривой. Площадь пояска, образо­ Рис. 7. Но известно, что где / - длина дуги АВ ;х - координата центра тяжести дуги АВ.

Следовательно, согласно (7.4.1) и (7.4.2), что и доказывает первую теорему Паппа-Гульдина.

Формула (7.4.3) позволяет определять координаты центра тяжести плоских кривых:

Например, для полуокружности получим: S = Акт - так как в результате ее вращения получается сфера; / = ю\ следовательно, х с Теорема 2. Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

По определению центра тяжести:

где х - координата центра тяжести; S - площадь фигуры Тогда, согласно (7.4.5) и (7.4.6), что доказывает вторую теорему Паппа-Гульдина.

Из (7.4.7) получаем:

Для полукруга имеем:

V = тиг - так как при его вращении получается шар.

и, следовательно,

КИНЕМАТИКА

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изу­ чается механическое движение материальных тел независимо от действующих на них сил. В связи с этим в кинематике не встречаются такие понятия, как «сила» и «масса».

В кинематике изучается зависимость между пространственными характе­ ристиками движения, поэтому кинематику называют также геометрией движе­ ния. В основе кинематики лежит понятие об абсолютном пространстве и времени, введенное И. Ньютоном.



Pages:   || 2 |
 


Похожие работы:

«А. И. СЮРДО, Д. Ю. БИРЮКОВ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина А. И. СЮРДО, Д. Ю. БИРЮКОВ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки 221700 – Стандартизация и метрология Екатеринбург УрФУ 2013 УДК 53.08(042.4) ББК 22.3я73-2 С53 Рецензенты:...»

«ББК 45.45 УДК 636.087.72 П44 Подобед Л.И., Мальцев А.Б., Мальцева Н.А., Полубояров Д.В. Методические рекомендации по применению кремнийорганических препаратов (хелатов кремния) в кормлении сельскохозяйственной птицы, 2012.- 80с. ISBN ©Подобед Л.И., Мальцев А.Б., Мальцева Н.А., Полубояров Д.В. 1 Никакой организм не может существовать и развиваться без кремния академик В.И. Вернадский, 1944 г. Оглавление Введение Роль и значение кремния в неорганической и органической природе. 1. 2. Типы...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ А. В. Красильников СБОРКА И ИСПЫТАНИЯ АГРЕГАТОВ И СИСТЕМ РОБОТИЗИРОВАННЫХ МОРСКИХ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ Учебное пособие Санкт-Петербург 2013 УДК 629.58 А. В. Красильников – Сборка и испытания агрегатов и систем роботизированных морских технических средств. Учебное пособие. – СПб.: СПбНИУ ИТМО, 2013 г. – 152 с. В пособии освещаются...»

«Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Физический факультет В. Ч. Жуковский, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, А. И. Тернов КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ Ч. I. Квантовое туннелирование с диссипацией Учебное пособие для студентов физического факультета Москва Физический факультет МГУ 2002 УДК 539.2; 541.117 Рецензенты: проф. А. В. Борисов, проф. Б. И. Садовников Жуковский В. Ч., Кревчик В.., Семенов М. Б., Тернов А. И. Квантовые эффекты в мезоскопических...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю. Б. Гольдштейн ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА Учебное пособие Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2005 ББК 30.04 Г635 УДК 620.04 Р е ц е н з е н т ы: кафедра строительной механики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (зав. кафедрой – проф., докт. техн. наук В. И. Плетнев); проф.,...»

«Психологический градусник (САН) -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 С А Н Литература по курсу Психология и педагогика М.Д.Горячев, А.В.Долгополова, О.И.Ферапонтова, О.В.Черкасова, Л.Я.Хисматуллина. Психология и педагогика. – Самара: Изд-во Самарский университет, 2004. Петровский, Артур Владимирович. Психология: [Учебник для высш. пед. учеб. заведений] / А.В. Петровский, М.Г. Ярошевский.— 4-е изд., стер. — М.: Академия, 2005.— 512с. Реан, Артур Александрович. Психология и педагогика : учеб. пособие для вузов /...»

«А. А. В А Й С Ф Е Л Ь Д УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ АРХИТЕКТУРА И ДИЗАЙН АРХИТЕКТУРНОЙ СРЕДЫ ХАБАРОВСК 2003 А.А. Вайсфельд ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ (в двух частях) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ АРХИТЕКТУРА И ДИЗАЙН АРХИТЕКТУРНОЙ СРЕДЫ Часть 1. Основы статики и оценки напряженно-деформируемого состояния сооружений ХАБАРОВСК 2003 Предисловие Настоящее пособие написано в соответствии с программой курса Строительная механика для студентов, обучающихся по...»

«Министерство образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. А. Иванова А. М. Кривцов Н. Ф. Морозов А. Д. Фирсова ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Учебное пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГ Издательство СПбГПУ 2004 Министерство образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. А. Иванова А. М. Кривцов Н. Ф. Морозов А. Д. Фирсова ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В.А. Панин, Э.Г. Галкин АHАТОМИЯ ЧЕЛОВЕКА (БИОДИHАМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОПОРHО-ДВИГАТЕЛЬHОГО АППАРАТА ЧЕЛОВЕКА) Калинингpад 1995 ГОСУДАPСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕPАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБPАЗОВАНИЮ КАЛИНИНГPАДСКИЙ ГОСУДАPСТВЕННЫЙ УНИВЕPСИТЕТ В.А. Панин, Э.Г. Галкин АHАТОМИЯ ЧЕЛОВЕКА (БИОДИHАМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОПОРHО-ДВИГАТЕЛЬHОГО АППАРАТА ЧЕЛОВЕКА) УЧЕБНОЕ...»

«Северный (Арктический) Федеральный Университет имени М.В. Ломоносова ПОСПЕЛОВА О.В., ЯНКОВСКАЯ Е.А. ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ Учебное пособие для аспирантов Архангельск 2012 1 Авторы: Поспелова Ольга Вячеславовна, кандидат философских наук, доцент кафедры философии С(А)ФУ имени М.В. Ломоносова; Янковская Екатерина Алексеевна, кандидат философских наук, старший преподаватель кафедры философии С(А)ФУ имени М.В. Ломоносова Рецензенты: Баксанский О.Е., доктор философских наук, профессор,...»

«Г. И. Тихомиров Технологии обработки воды на морских судах Федеральное агентство морского и речного транспорта РФ Федеральное бюджетное образовательное учреждение Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского (ФБОУ МГУ) Тихомиров Г. И. ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ ВОДЫ НА МОРСКИХ СУДАХ Курс лекций Рекомендовано методическим советом ФБОУ МГУ в качестве учебного пособия для обучающихся по специальности 180405.65 – Эксплуатация судовых энергетических установок Владивосток 2013 УДК...»

«Генина Э.А. МЕТОДЫ БИОФОТОНИКИ: ФОТОТЕРАПИЯ Учебное пособие САРАТОВ НОВЫЙ ВЕТЕР 2012 УДК [577.345:615.831](075.8) ББК 28.707.1я73 Г34 Г34 Генина Э.А. Методы биофотоники: Фототерапия. – Саратов: Новый ветер, 2012. – 119 с.: ил. ISBN 978-5-98116-149-0 Настоящее учебное пособие предназначено для расширения и углубления знаний студентов по вопросам действия света на биологические системы; изучения фундаментальных основ фотобиологических процессов и механизма фотодинамических реакций в биологических...»

«ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА издательства ЛАНЬ ИНЖЕНЕРНЫЕ НАУКИ Агамиров Л.В., Алимов М.А., Бабичев Л.П., Бакиров М.Б. под общей редакцией Мамаевой Е.И. Физико-механические свойства. Испытания металлических материалов. Том II-1 Адамов Е.О., Драгунов Ю.Г., Орлов В.В., Абагян Л.П. под общей редакцией Адамова Е.О. Машиностроение ядерной техники. Том IV-25. В двух книгах. Книга 1 Адамов Э.В., Панин В.В Биотехнология металлов. Курс лекций Айзатулов Р.С. Теоретические основы сталеплавильного производства....»

«М.Г. Томилин, Г.Е. Невская ДИСПЛЕИ НА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ М.Г. Томилин, Г.Е. Невская ДИСПЛЕИ НА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 2 Томилин М.Г., Невская Г.Е. Дисплеи на жидких кристаллах – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. – 108 с. Описаны современные дисплейные технологии, дан анализ систем отображения...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет Отдел аспирантуры Методическое пособие по преподаванию курса История и философия науки для аспирантов и соискателей Ухта 2006 ББК 74.58 Методическое пособие по преподаванию курса История и философия науки для аспирантов и соискателей / Составитель И. А. Иванова. – Ухта: УГТУ, 2006. – 108 с. Настоящее пособие содержит...»

«Библиотека слушателей Европейского учебного института при МГИМО (У) МИД России ПРАВО ЕВРОПЕЙСКОГО СОЮЗА. НОВЫЙ ЭТАП ЭВОЛЮЦИИ: 2009–2017 ГОДЫ Серия Общие пространства России — ЕС: право, политика, экономика ВЫПУСК 5 Л. М. ЭНТИН ПРАВО ЕВРОПЕЙСКОГО СОЮЗА. НОВЫЙ ЭТАП ЭВОЛЮЦИИ: 2009–2017 ГОДЫ МОСКВА 2009 УДК 321, 327 ББК 67.5 Э 67 Редакционный совет: Энтин М. Л. — Европейский учебный институт при МГИМО (У) МИД России (главный редактор серии) Шашихина Т. В. — Институт европейского права МГИМО (У) МИД...»

«Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова (технический университет) В.С.СОЛОВЬЕВ, А.С.СМОРОДИН СТАЦИОНАРНЫЕ МАШИНЫ И УСТАНОВКИ Учебное пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2002 1 УДК 681.63 + 621.65:622.012.2(075.80) ББК 39,9 С602 Изложены теория, физические основы работы, эксплуатации, выбора и проектирования шахтных вентиляторных, водоотливных и пневматических установок. Приведены классификация, принципы действия, устройство и...»

«УДК 620.22; 616.71–001. 5–089.84; 678.07:617 Хлусов И.А. Х55 Основы биомеханики биосовместимых материалов и биологических тканей: учебное пособие/ Хлусов И.А., Пичугин В.Ф., Рябцева М.А. – Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2007. 149 с. Основной упор в учебном пособии сделан на биомеханические аспекты основных классов биоматериалов, широко применяемых в современной стоматологии, трансплантологии, травматологии и ортопедии, в приложении к опорным тканям организма. К...»

«Коллектив Авторов Сергей Юрьевич Наумов Система государственного управления Система государственного управления: Форум; Москва; 2008 ISBN ISBN 978-5-91134 Аннотация Предлагаемое учебное пособие дает всестороннее и комплексное освещение теории и организации государственного управления в Российской Федерации. Учебное пособие подготовлено с учетом новейшего законодательства и раскрывает правовые и организационные основы государственного управления. Содержит уникальные материалы, характеризующие...»

«Санкт-Петербургский государственный университет О.К.Первухин КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ Методическое пособие Издательство Санкт-Петербургского университета 1999 Утверждено на заседании кафедры химической термодинамики и кинетики Р е ц е н з е н т ы: докт. хим. наук Е.В.Комаров, канд. хим. наук М.А.Трофимов В пособии излагается материал по колебательным реакциям в гомогенных растворах. Тем самым ликвидируется пробел, уже давно возникший в учебной литературе по рассматриваемой теме. Особенность...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.