WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«А.А. Чакак ФИЗИКА Выпуск 1 Кинематика механического движения Рекомендовано к изданию Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Оренбургский государственный университет

Факультет дистанционных образовательных технологий

Университетская физическая школа

А.А. Чакак

ФИЗИКА

Выпуск 1 Кинематика механического движения Рекомендовано к изданию Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет в качестве учебного пособия для учащихся Университетской физической школы, занимающихся по дистанционной форме обучения Оренбург ОГУ УДК 53 (075.8) ББК 22.3я Ч Рецензенты доцент, кандидат педагогических наук М.А. Кучеренко ст. преподаватель ОГУ А.В. Михайличенко Чакак, А.А.

Ч 16 Физика. Выпуск 1. Кинематика механического движения: учебное пособие для учащихся Университетской физической школы, занимающихся по дистанционной форме обучения / А.А. Чакак; Оренбургский государственный университет – Оренбург: ОГУ, 2011. – 104 с.

ISBN Учебное пособие содержит краткое изложение основных вопросов школьной программы по кинематике механического движения, примеры решения задач для пояснения теоретического материала, методические указания и задания для учащихся, обучающихся дистанционно и готовящихся к ЕГЭ по физике. В приложении к пособию имеются справочные материалы по математике, которые могут понадобиться при выполнении практических заданий. Пособие может оказаться полезным для старшеклассников при самостоятельном изучении отдельных разделов курса физики. Может быть использовано на занятиях в школе и в физических кружках.

УДК 53 (075.8) ББК 22.3я Чакак А.А., ОГУ, ISBN Содержание Предисловие…………………………………………………………………. Рекомендации по выполнению заданий…………………………………… Основные определения, законы и соотношения………………………….. 1 Механическое движение. Материальная точка. Система отсчёта. Траектория. Путь и перемещение……………………………………………….. 2 Равномерное прямолинейное движение. Скорость. Графическое представление движения (графики зависимости скорости и пути от времени) 3 Относительность механического движения.

Сложение скоростей…… 4 Переменное движение. Средняя скорость. Мгновенная скорость……. 5 Равнопеременное движение. Ускорение. Уравнение движения. Графики зависимости скорости и пути от времени……………………………… 6 Свободное падение тел. Ускорение свободно падающего тела. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз)………………………... 7 Принцип независимости движений. Движение тела, брошенного горизонтально: дальность полета, время полета, Движение тела, брошенного под углом к горизонту: дальность полета, высота подъема, время полета……………………………………………………………………………… 8 Поступательное и вращательное движения. Равномерное движение по окружности. Линейная и угловая скорости, связь между ними. Касательное и центростремительное ускорения……………………………………... 9 Примеры решения задач…………………………………………………. 10 Контрольные вопросы………………………………………………….. 11 Тесты для самоконтроля усвоения материала учащимися…………… 12 Контрольные задания…………………………………………………… 13 Задачи для самостоятельного решения………………………………... Список использованных источников……………………………………… Приложение В Некоторые сведения из математики……………………. Приложение Г Основные формулы по физике…………………………… Предисловие Уважаемые учащиеся УФШ ОГУ!

Вам предстоит выполнить задания по теме «Кинематика механического движения», и мы надеемся, что Вы успешно справитесь с этой нелёгкой задачей. Перед началом работы Вам следует внимательно изучить изложенные ниже правила и руководствоваться ими при выполнении заданий.

Данный выпуск состоит из задания, посвященного теме выпуска «Кинематика механического движения». Задание состоит из 25 задач, имеющих различный уровень сложности, который указан в скобках после номера задачи.

Пример. Номер 2(3) задания имеет 2-я задача 3-го уровня сложности.

Первый уровень сложности имеют наиболее простые задачи. С усложнением номер уровня повышается, но даже для задач максимального 3-го уровня сложности решение не требует знаний, выходящих за рамки школьного курса физики.

При выполнении задания Вы должны самостоятельно выбрать ровно 10 задач, решения которых Вы должны выслать в УФШ.

При выборе задач для решения мы советуем руководствоваться Вашим уровнем подготовки и целями, которые Вы ставите перед собой: научиться решать задачи, подготовиться к выпускным экзаменам в школе и к ЕГЭ, к вступительным экзаменам в ВУЗ и т.п. Одним из условий успешного образования является непрерывное, но постепенное овладение новыми знаниями и методами решения задач. Поэтому не стоит выбирать для решения задачи, которые кажутся Вам либо очень лёгкими, либо очень сложными. По мере углубления Вашего понимания физики старайтесь увеличивать уровень сложности задач.

Внимание! 1. Оценка Вашей работы не зависит от уровня сложности задач.

2. При знакомстве с теоретическим введением к пособию вывод основных соотношений можно опустить в случаях, когда использованный математический аппарат не знаком (например, операции с векторами, производные и интегралы). В таких случаях Вам рекомендуется сначала изучить материал из Приложений к пособию.

Обязательные требования:

1. Число высылаемых на проверку задач в задании не должно быть меньше 10.

В противном случае нам будет трудно оценить Вашу работу, и в любом случае оценка будет снижена. Не бойтесь высылать решения, в которых Вы не уверены.

Один из наилучших методов обучения – анализ собственных ошибок.

2. Число высылаемых на проверку задач в задании не должно быть больше 10.

В Вашей работе будут проверены и оценены только 10 задач, которые в этом случае преподаватель выберет сам.

3. При оформлении решений не забывайте:

- нумеровать задачи и страницы листов с решениями;

- записывать полный ответ;

- условия задач приводить в краткой общепринятой форме;

- подробно пояснять введённые Вами обозначения физических величин в тексте решения и на рисунках.

Будем благодарны читателям за любые отзывы и замечания.

Рекомендации по выполнению заданий Методы и приемы решения задач весьма разнообразны, однако при решении задач целесообразно руководствоваться следующими основными правилами:

разобраться в условии задачи;

если позволяет характер задачи, обязательно сделать схематический рисунок и/или график(и), поясняющие сущность задачи;

представить физическое явление или процесс, о котором говорится в условии. Выяснить, какие теоретические положения связаны с рассматриваемой задачей в целом и с ее отдельными элементами; какие физические законы и их следствия можно применять для решения; какие физические модели и идеализации использованы в условии, а какие могут быть применены при решении;

отобрать законы, их следствия, соотношения, с помощью которых можно описать физическую ситуацию задачи. Выявить причинно-следственные связи между заданными и неизвестными величинами, установить математическую связь между ними;

на основании отобранных законов и их следствий записать уравнение (систему уравнений), выражающее условие задачи. Векторные уравнения записать в проекциях на оси координат;

преобразовать (решить) составленные уравнения так, чтобы искомая величина была выражена через заданные и табличные данные в аналитическом виде, т.е.

получить расчётную формулу в общем виде (в буквенных обозначениях). Проводить промежуточные численные расчёты нецелесообразно. Эти расчёты, как правило, являются излишними, так как часто окончательное выражение для искомой физической величины имеет простой вид. Следует также иметь ввиду, что при промежуточных расчётах увеличивается вероятность допустить ошибку;

получив ответ в аналитическом виде, проверить полученное решение с помощью анализа размерностей. Неверная размерность однозначно указывает на допущенную при решении ошибку;

подставить числовые значения в определённой системе единиц (предпочтительнее использовать Международную систему единиц СИ) и провести вычисления. Получив численное значение искомой величины, обязательно указывайте ее размерность;

оценить правдоподобность ответа, продумать, разумным ли получилось численное значение искомой величины (так, скорость тела не может быть больше скорости света в вакууме, дальность полёта камня, брошенного человеком, не может быть порядка 1 км и т.д.).

В любом деле самое трудное – начало. Многие неудачи объясняются тем, что начинают решать наугад, на авось. Следует потратить несколько минут на тщательный анализ особенностей условия задачи и ее цели. Это поможет выбрать правильное направление поиска решения. Приняв же бездумно шаблонный путь, можно рисковать увеличить объём ненужной работы и вероятность появления ошибок.

Хороший рисунок часто помогает в формировании идеи решения. Рисунок должен быть достаточно крупным, чтобы не было риска запутаться в наслоении линий. Нужно избегать частных случаев, например, прямоугольный или равнобедренный треугольник и т.п., так как они могут направить мысль по ошибочному пути.

Изучив условие, не следует заострять внимание на искомой величине и пытаться сразу ее найти. Только план решения позволяет записать условие с помощью уравнений и свести, таким образом, задачу от физической к математической.

Основные определения, законы и соотношения 1 Механическое движение. Материальная точка. Система отсчёта. Траектория. Путь и перемещение Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве. Для описания движения тел в механике используются различные физические модели. Простейшей физической моделью является материальная точка тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с пройденным им расстоянием, или расстоянием от него до других взаимодействующих с ним тел, причём массу тела считают сосредоточенной в этой точке. Введение понятия материальной точки облегчает решение практических задач. Например, изучая движение поезда из Оренбурга в Москву, можно принять его за материальную точку; если же мы рассматриваем перемещение пассажира относительно поезда, то размеры поезда необходимо учитывать. Таким образом, когда мы принимаем тело за материальную точку, то пренебрегаем размерами тела по сравнению с характерными расстояниями, на которых рассматривается его движение. Абсолютных материальных точек в природе не существует.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась в разные моменты времени. Положение материальной точки в пространстве определяется с помощью системы коордиz Рисунок 1 материальной точки; на рисунке 1 точка отсчёта 0). Система отсчёта – это совокупность системы координат, жёстко связанной с телом отсчёта и служащей для определения положения материальной точки в пространстве, и часов, необходимых для регистрации положения материальной точки в различные моменты времени. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат, в которой положение точки А в данный момент времени t определяется заданием трёх функций x(t), y(t) и z(t), представляющих собой значения координат точки, отложенных в определённом масштабе, в момент времени t (рисунок 1). Так как координата точки указывает расстояние до начала отсчёта, то ее размерность – размерность длины. Эти функции являются проекциями или компонентами вектора r(t) = r(x(t), y(t), z(t)), проведённого из начала системы координат в точку А, где находится материальная точка. По этой причине вектор r называют радиус-вектором. Общепринятой является «правовинтовая» система координат, определяемая по правилу правого винта. Если правый винт поворачивать в плоскости х0у кратчайшим путем от положительного направления оси 0х к положительному направлению направлению оси 0у, то поступательное движение винта будет происходить в положительном направлении оси 0z.

При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае движение материальной точки определяется системой скалярных уравнений:

или эквивалентным векторным уравнением где r радиус-вектор, проведённый из начала координат в точку с координатами (x, y, z);

i, j, k орты координатных осей, т.е. единичные векторы, направленные вдоль координатных осей x, y, z.

Уравнения (1.1) и (1.2) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки. Уравнения (1.1) представляют координатный способ описания движения, при котором задаётся зависимость выбранных координат движущейся точки от времени. А уравнение (1.2) представляет векторный способ описания движения, при котором положение точки задаётся с помощью радиус-вектора r, проведённого в эту точку из начала отсчёта 0 (рисунок 1). Если r = const, то точка относительно системы отсчёта покоится. В общем случае при движении точки ее радиусвектор меняется и по величине, и по направлению. При этом точка А (конец радиусвектора r(t)) описывает траекторию движения точки.

Преимущество векторного способа задания движения точки в виде (1.2) состоит в том, что он позволяет в наглядной и компактной форме ввести такие векторные характеристики движения как перемещение, скорость, ускорение. Однако при решении конкретных задач, связанных с вычислениями, переходят к координатному способу описания движения. При этом рассматривают проекции радиус-вектора r на координатные оси.

Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Следовательно, если материальная точка движется в пространстве, то она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z); если – в некоторой плоскости, то двумя степенями свободы;

если – вдоль заданной прямой, то – одной степенью свободы. При определении положения абсолютно твёрдого тела1, кроме его поступательного перемещения, возможного в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, нужно учитывать также повороты тела относительно самого себя (вращательное перемещение). Для этого необходимо вводить степени свободы, учитывающие вращательное движение, также возможное относительно трёх взаимно перпендикулярных осей.

Для описания движения вводятся следующие понятия и величины: траектория, путь, перемещение, скорость и ускорение. Дадим определения этих понятий, понимая в дальнейшем под термином тело материальную точку.

Исключая время t из уравнений (1.1), получаем уравнение траектории движения материальной точки.

Абсолютно твёрдое тело – это идеальная модель тела, изменением размеров и формы которого в данных условиях можно пренебречь.

Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве. Так как покой и движение точки относительны, то и вид траектории точки зависит от той системы отсчёта, к которой отнесено движение. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рисунок 2). Отсчёт времени начнём с момента, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчёта времени, называется длиной пути S (или путь) и является скалярной функцией времени: S = S(t). Вектор, S мент времени (приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени r = r r0), называется перемещением. В лен по секущей к траектории.

Необходимо отличать перемещение от пути – расстояния S, отсчитываемого вдоль траектории. Путь – скалярная величина, представляющая собой неубывающую функцию S. В частном случае, при прямолинейном движении материальной точки в одном направлении (и только в этом случае), например, вдоль положительной полуоси 0х, вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории, и модуль перемещения r равен пройденному пути S. В остальных случаях значения модуля перемещения r = r и пройденного пути S могут отличаться. Так, например, если материальная точка, начиная движение из точки А, снова вернется в исходное положение (в точку А), то в этом случае перемещение r будет равно нулю (модуль нулевого вектора), а путь S отличен от нуля.

Траектория движения тела, пройденный путь и перемещение зависят от выбора системы отсчёта. Например, с точки зрения наблюдателя, находящегося на Земле, т.е. в системе отсчёта, связанной с Землёй, траектория бомбы, сброшенной с летящего самолёта, является частью параболы. С точки зрения, лётчика, находящегося в самолёте, т.е. в системе отсчёта, связанной с самолётом, траекторией бомбы является прямая, вертикально уходящая вниз. С точки зрения наблюдателя, «сидящего» на бомбе, в системе отсчёта, связанной с бомбой, бомба неподвижна.

Вектор перемещения служит для определения местоположения тела в соответствующие моменты времени после начала движения. Определить конечное положение тела, зная длину пройденного им пути и начальное его положение, невозможно, если неизвестно расположение в пространстве его траектории движения. Тело может попасть из одной точки пространства в другую, используя различные траектории и проходя, соответственно, различные по величине пути, но при этом его перемещение каждый раз будет одинаково.

Знание величины проходимого телом пути необходимо для определения таких важных динамических величин, как, например, работа, затраченная при этом энергия и т.д.

2 Равномерное прямолинейное движение. Скорость. Графическое представление движения (графики зависимости скорости и пути от времени) Самое простое движение материальной точки – движение по прямой линии. С течением времени точка смещается вдоль прямой линии, удаляясь или приближаясь к заданной точке на данной линии. Вдоль прямой линии в этом случае направляется ось координат, относительно которой и рассматривается движение точки.

Если известна координата х (расстояние движущейся точки от некоторой произвольно выбранной точки 0 – начала координат на прямой) как функция времени t, то известен закон движения материальной точки по прямой – х(t). Для анализа удобно изобразить зависимость координаты х от времени t графически (рисунок 3а), отложив по оси ординат координату х в определённом масштабе, а по оси абсцисс – время t, приняв определённый отрезок равным единице времени. По графику можно полностью определить характер движения данной точки. Если с увеличением t кривая х(t) поднимается вверх, точка удаляется от начала координат 0, и чем круче кривая поднимается, тем быстрее точка удаляется от 0; участки кривой, параллельные оси абсцисс, соответствуют остановке точки, падение кривой вниз – приближению точки к 0, и т.д.

Для получения экспериментальным путём графика движения тела, перемещающегося по прямой и рассматриваемого как материальная точка, необходимо произвести измерения расстояния х от начала координат 0 в известные моменты времени t. Нужно отметить, что таким образом мы можем определить координату х, которую имеет точка в данный момент времени t, а не путь, пройденный точкой.

Путь, пройденный точкой, можно определить по ее координате только в том случае, х0 мер, при движении, соответствующем графику рисунка 3а, точка не может иметь координату, большую координаты х0 и начинает движение в сторону отрицательной полуоси 0х. В момент t0 скорость движеt Скорость точки есть физическая величина, определяющая быстроту изменения координаты с течением времени. Пусть в момент времени t материальная точка находилась в точке с координатами х1 = х(t), а в момент t + t – в точке с координатами х2 = х(t + t). За время t материальная точка совершит перемещение х = х2 х1 = х(t + t) х(t). Перемещение считается положительным, если оно совершается в сторону положительной полуоси 0х, и отрицательным, если перемещение совершается в сторону отрицательной полуоси 0х. Отношение перемещения х к промежутку времени t, за которое это перемещение произошло, называется средней скоростью перемещения материальной точки за время t, или точнее за время между t и t + t. Таким образом, по определению средняя скорость перемещения равна:

Из приведённой формулы следует, что размерность скорости равна отношению двух величин – длины и времени. Скорость измеряется в м/с, см/с, км/ч.

Очевидно, что средняя скорость зависит от промежутка времени, за который мы ее определяем. Если средняя скорость для любого промежутка времени при данном движении одинакова, то это движение происходит с постоянной скоростью и называется равномерным движением. На графике зависимости координаты от времени х(t) равномерное движение представляется прямой S =х х линией (рисунок 4). При равномерном движении от начах х перемещением.

Для равномерного прямолинейного движения уравнение движения в проекции на ось 0х имеет следующий вид:

где х0 координата тела на оси 0х в момент времени t = 0;

vх проекция скорости на координатную ось 0х.

x(t+t) пройденный телом за время t, равен S = х х0. График зависимости х(t) отрезок прямой, угол наклона которой к оси абсцисс тем больше, чем больше скорость vх равномерного движения. Тангенс этого угла tg называют угловым коэффициентом, и он равен скорости движения, т.е. tg = vx (рисунок 5):

Так как угловой коэффициент tg одинаков для любых пар точек, то, следовательно, vx не зависит от времени, vx = v = const = tg. Угловой коэффициент tg определяют не по углу наклона, а как отношение катетов треугольника, т.е. как х/t.

На рисунке 6 представлены несколько примеров равномерного прямолинейного движения вдоль оси 0х.

При равномерном движении скорость v тела равна отношению пути S ко времени t, за которое этот путь пройден: v = S/t. При равномерном движении график зависимости скорости от времени v(t) представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс, а пройденный путь S равен площади прямоугольника под этой прямой (рисунок 7).

График зависимости S(t) при равномерном коэффициент определяет скорость движения, Рисунок т.е. v = tg = (рисунок 8).

3 Относительность механического движения. Сложение скоростей В нашем курсе будем рассматривать перемещение тел, движущихся с малыми скоростями, т.е. при v c (случай классической механики), где с – скорость света в вакууме. При переходе от одной системы отсчёта К (с координатами х, у, z) к другой К' (с координатами х', у', z'), которая движется относительно первой поступательно с некоторой постоянной скоростью v0, в классической механике справедливы преобразования координат и времени (преобразования Галилея). Преобразования Галилея основываются на представлении о независимости времени и расстояния между двумя произвольными точками от выбора системы отсчёта. Для простоты вычислений предположим, что оси координат систем К и К ориентированы как показано на рисунке 9 и начала координат в момент времени t = 0 совпадают. Скорость v0 направлена вдоль линии 00, а радиус-вектор, проведённый из 0 в 0, r0 = v0t.

Уравнения (3.1) и (3.2) носят название преобразований координат Галилея.

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчёта, т.е. к преобразованиям Галилея можно добавить ещё одно уравнение:

Запишем уравнения (3.2) для моментов времени t1 и t2:

Затем, вычитая подобные уравнения (3.4) одно из другого, имеем для приращений координат следующие выражения:

Поделив каждое из уравнений (3.5) на промежуток времени t, имеем В (3.6) использованы обозначения vx = x/t, vx = x/t, где vx и vx проекции скорости тела на оси 0х и 0х, соответственно, и т.п. В (3.6) все слагаемые представляют собой алгебраические выражения, т.е. соответствующие проекции скоростей на оси координат положительны, если они направлены в направлении положительной полуоси, и отрицательны в противном случае.

Скалярные уравнения (3.6) эквивалентны векторному уравнению где v скорость тела относительно системы отсчёта К;

v скорость тела относительно системы отсчёта К;

v0 скорость системы отсчёта К относительно системы отсчёта К.

Уравнения (3.6) и (3.7) представляют собой закон сложения скоростей в классической механике.

При переходе от одной системы отсчёта к другой все кинематические характеристики движения тела – координаты, скорость, ускорение2 и закон движения тела, как правило, изменяются. Относительность механического движения заключается в относительности скорости перемещения тела, так как скорости тела оказываются разными в различных системах отсчёта. В разных системах отсчёта будут различными как траектории движения, так и пути, проходимые телом за одинаковые промежутки времени.

Замечание. Модуль вектора будем обозначать той же буквой, но без знака вектора, например, для скорости: v = v. В случае одномерного движения модуль проекции будем обозначать буквой без знака проекции: v = vх.

4 Переменное движение. Средняя скорость. Мгновенная скорость Скорость v(t) движения тела может изменяться как по направлению, так и по модулю. Для характеристики такого (переменного) движения вводят понятия средней и мгновенной скоростей.

Вектором средней скорости vср называют отношение перемещения r к промежутку времени t, за который это перемещение произошло:

Средней (путевой) скоростью движения называют отношение всего пути S, пройденного телом, к полному времени t, затраченному на прохождение пути:

В случае, когда система отсчёта К движется относительно системы К поступательно с некоторой постоянной скоростью v0, ускорения в обеих системах отсчёта одинаковы.

где Si – пути, проходимые телом за интервалы времени ti.

Мгновенная скорость перемещения v или скорость тела в момент времени t равна первой производной радиус-вектора по времени:

Вектор средней скорости vср направлен вдоль соответствующего вектора перемещения r, а вектор мгновенной скорости v в какой-либо точке траектории направлен вдоль касательной к траектории, проведённой в этой точке.

Так как по мере уменьшения t путь S всё более приближается к r модулю вектора перемещения, то модули мгновенной скорости перемещения v и мгновенной скорости движения v при t0 совпадают:

Из v = следует dS = vdt. Поэтому путь S, пройденный телом за промежуток времени от t1 до t2 даётся интегралом:

5 Равнопеременное движение. Ускорение. Уравнение движения. Графики зависимости скорости и пути от времени Скорость v(t) движения тела может изменяться как по направлению, так и по модулю. Для характеристики такого (переменного) движения вводят понятия среднего и мгновенного ускорений.

Рассмотрим криволинейное движение материальной точки на плоскости. Обозначим v1(t) скорость в точке 1 и v2(t+t) скорость в точке 2, причём v1 и v2 направлены по касательной к траектории в точках 1 и 2, соответственно (см. рисунок 10). Средним ускорением называют отношение изменения скорости v = v2 v1 к промежутку времени t, за который это изменение произошло:

Мгновенное ускорение (ускорением) равно первой производной мгновенной скорости по времени (второй производной радиус-вектора по времени):

Итак, ускорение а – векторная величина, равная первой производной скорости по времени или второй производной радиус-вектора по времени.

Принято вектор ускорения а раскладывать на две взаимно перпендикулярные составляющие по касательной а и по нормали аn: а = аn + а (см. рисунок 11). Тангенциальная (касательная) составляющая ускорения характеризует быстроту изменения модуля скорости:

т.е. она равна первой производной по времени от модуля скорости. Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению и равна:

визны, поэтому аn ещё называют центростаn ремительным ускорением. Радиус кривизны ментом участка траектории в окрестности данной точки. Как видно из рисунка 11, При равнопеременном движении ускорение тела постоянно: а = а(t) = const.

Найдём зависимость скорости и положения тела, т.е. радиус-вектора, от времени.

Предположим, что в начальный момент времени (t = 0) скорость тела равна v0, а радиус-вектор равен r0.

Значение С1 найдём из начального условия:

т.е. C1 = v0.

Следовательно, зависимость скорости от времени при равнопеременном движении имеет вид:

Значение С2 найдём из начального условия:

т.е. C2 = r0.

Следовательно, зависимость радиус-вектора от времени при равнопеременном движении имеет вид:

Уравнение (5.11) согласно (1.1) можно расписать в проекциях по осям координат 0x, 0y, 0z в виде скалярных уравнений x(t), y(t), z(t). Например, проекция радиусвектора r(t) на ось 0х запишется в виде:

При движении тела по прямой линии, если вдоль неё направить координатную ось 0х, уравнение движения также имеет вид (5.12).

А проекция скорости v(t) (см. 5.8) на ось 0х запишется в виде:

В уравнениях (5.12) и (5.13) v0x и aх – проекции начальной скорости v0 и ускорения а на ось 0х, причём aх = const, так как движение равнопеременное. Значения v0x и aх записываются со знаком + или в зависимости от знака проекций векторов v0 и a на ось 0х. Равнопеременное движение (когда полагают ускорение а = а(t) = const) при aх 0, называют равноускоренным, а при aх 0, равнозамедленным.

Графики зависимости ускорения, скорости и координаты х от времени при равноускоренном движении вдоль оси 0х имеют вид, изображённый на рисунке 12.

Тангенсы соответствующих углов на рисунке 12 являются угловыми коэффициентами и определяют указанные параметры.

По графику зависимости мгновенной скорости от времени v(t) можно определить путь и модуль перемещения тела при движении вдоль прямой, например, вдоль оси 0х. Допустим, что зависимость v(t) имеет вид, изображённый на рисунке 13. В момент времени t0 (когда v(t0) = 0) направление движения вдоль оси 0х меняется на противоположное. Так как путь S, пройденный телом, равен площади криволинейной трапеции под графиком скорости, то путь, v(t) х х0, то при равнопеременном движении (см. уравнение (5.12)):

Исключая из системы уравнений (5.14) время t, получаем кинематическую зависимость пути от скорости при равнопеременном движении.

Графики зависимости ускорения, скорости и пути от времени при равнопеременном движении (ускорение a = const) приведены на рисунке 14а. При равноускоренном движении ускорение а 0, при равнозамедленном а 0. При равномерном движении ускорение тела а = 0, скорость v = v0 = const, путь S = vt.

Теперь рассмотрим такой пример: Тело начинает движение из некоторого пункта А с начальной скоростью v0 равнозамедленно с ускорением a = const до тех -v t0 = 2t0 – t0 тело проходит через пункт А с той же скоростью v0, но направленной противоположно первоначальному направлению. Расстояния, проходимые телом в прямом и обратном направлениях одинаковы, т.е. S1 = S2 = S. Путь, пройденный телом, равен S1 + S2 = 2S. Перемещение равно нулю (тело вернулось в исходное положение, в точку А).

6 Свободное падение тел. Ускорение свободно падающего тела. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) Свободным падением называется движение тела, обусловленное практически только силой притяжения Земли в данном месте земного шара, из состояния покоя, т.е. без начальной скорости. Если сопротивлением среды (воздуха) можно пренебречь, например, в случае ее малости, то оказывается, что в данном месте земного шара все тела падают с одним и тем же постоянным ускорением g. Сила земного притяжения, действующего на тело, зависит от высоты тела над поверхностью Земли. При падении тел с высоты, малой в сравнении с радиусом Земли, силу земного притяжения можно считать постоянной. В таких случаях можно считать, что ускорение свободно падающего тела g остаётся постоянным, и что свободно падающее тело движется поступательно, прямолинейно и равноускоренно.

Опыты показывают, что в различных точках вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения изменяется с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли и различием экваториального и полярного радиусов Земли (6 378 км и 6 357 км, соответственно). Различие в значениях ускорения силы тяжести на экваторе и на полюсах очень мало (оно не превышает 0,5 %), поэтому в первом приближении Землю можно считать однородным шаром радиуса R, а силу тяжести можно считать равной силе, с которой тело притягивается к Земле, а ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимают равным 9,81 м/с2. Для совсем грубых расчётов полагают g = 10 м/с2.

Свободное падение тела (без начальной скорости). Пусть тело начинает свободно падать из состояния покоя с высоты h. Для описаg h ния одномерного движения ось 0у направим вертикально вверх, поместив начало координат на поверхности Земли (см. рисунок 15). ТоРисунок гда при следующих начальных условиях: у0 = h, v0у = 0, aу = - g можно воспользоваться уравнениями (5.12) и (5.13), которые при данных начальных условиях принимают вид:

Знак в (6.2) указывает на то, что в любой момент времени скорость vу направлена в сторону отрицательной полуоси 0у. При достижении телом поверхности Земли координата у становится равной нулю: у = 0, а скорость в момент удара о Землю принимает максимальное значение v = gt, где t – время полёта. В момент удара о Землю у = 0 и из (6.1) находим:

откуда выражаем А скорость тела в момент удара максимальна и равна Из (6.5) можно получить ещё одно полезное соотношение:

В зависимости от поставленной задачи можно пользоваться любым из полученных соотношений.

Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз). Пусть, телу, находящемуся на высоте h от поверхности Земли, сообщена начальная скорость v0, направленная вертикально вверх. Как и в предыдущем примере, ось координат (0у) направим вертикально вверх. Так как ускорение свободного падения g направлено в сторону отрицательной полуоси 0у, то в момент времени t уравнения движения тела (5.12) и (5.13) принимают вид:

При достижении телом максимальной высоты Н проекция скорости на ось 0у становится равной нулю, т.е.

откуда находим момент времени t1, когда это произошло Подставляя выражение (6.10) для t1 в (6.7) найдём максимальную высоту подъма Н:

При броске вертикально вниз в (6.7) и (6.8) значения v0 подставляем со знаком “минус».

При броске с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью v0 в (6.7) полагаем, что h = 0. В этом случае согласно (6.11) максимальная высота подъёма равна и при достижении телом поверхности Земли в момент времени t2 координата у = 0:

откуда находим время t2 нахождения тела в полёте Из сравнения (6.10) и (6.14) следует, что при отсутствии сопротивления воздуха время на прохождение пути вверх до максимальной высоты подъёма Н равно времени на прохождение пути вниз от высоты Н до поверхности Земли.

7 Принцип независимости движений. Движение тела, брошенного горизонтально: дальность полёта, время полёта. Движение тела, брошенного под углом к горизонту: дальность полёта, высота подъёма, время полёта Движение тела, брошенного горизонтально со скоростью v0 с высоты h. Для описания движения ось 0у направим вертикально вверх, ось 0х горизонтально, Принцип независимости движений в данном примере проявляется в том, что движение тела вдоль одной из осей координат происходит независимо от характера движения тела вдоль другой оси (см. уравнения (7.1) и (7.3)).

Для нахождения уравнения траектории выразим время t из уравнения (7.1) и подставим в (7.3). В результате получаем График этой функции представляет собой параболу и на рисунке 16 изображён кривой линией между точками с координатами (х = 0, у = h) и (х =, у = 0). Из уравнений (7.1) и (7.3) в момент достижения телом уровня у = 0 (поверхности Земли) находим время полёта t и дальность полёта х = по горизонтали Скорость v тела в любой момент времени полёта направлена по касательной к траектории и равна Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Для описания движения ось 0у направим вертикально вверх, ось 0х горизонтально, поместив начало координат на поверхности Земли (см. рисунок 17). Обозначим угол между начальной скоростью v0 и горизонталью. Тогда составляющие начальной скорости вдоль осей координат имеют значения:

К этим начальным условиям для скоростей добавляем следующие соотношения для координат и ускорений в начальный момент времени t = 0.

Так как составляющая ускорения вдоль оси 0х равна нулю, то движение вдоль нее равномерное со скоростью vx, равной начальному значению, т.е.

А движение вдоль оси 0у происходит с постоянным ускорением g, направленным в сторону отрицательной полуоси.

С учётом начальных условий можем записать уравнения движений по осям координат 0х и 0у:

Систему уравнений (7.12) (7.15) можно применить для решения конкретной задачи при указании к ней начальных условий.

подставим в (7.14). Имеем:

Из вида функции заключаем, что траекторией движения является парабола.

В момент, когда тело в верхней точке В траектории (рисунок 17) достигает максимальной высоты подъёма h, проекция скорости тела на ось 0у меняется с положительной на отрицательную. Следовательно, в этот момент времени t1 проекция скорости на ось 0у обращается в нуль:

Из (7.17) определяем В момент времени t1 тело достигает максимальной высоты h:

Максимальная высота подъёма h растёт с увеличением угла броска и достигает наибольшего значения hmax = 0 при = 900, т.е. при броске вертикально вверх.

Когда тело упадёт, его координата у станет равной нулю:

Решениями квадратного уравнения (7.20) являются два числа:

Очевидно, что первый корень t2 является временем полёта, а корень t2 = 0 соответствует моменту броска. Сравнивая время t1 подъёма до верхней точки В траектории (7.18) и время полёта t2 (7.21), замечаем, что t1 = t2. К этому же выводу можно прийти, если обратить внимание, что траектория движения – симметричная парабола. Итак, время подъёма равно времени падения тела с верхней точки траектории В до поверхности Земли. Дальность полёта равна координате х в момент времени t2:

За время подъёма t1 тело по горизонтали проходит половину дальности полёта, т.е.

координата точки В этот момент времени равна х(t1) = /2. Максимальная дальность полёта достигается при sin2 = 1, т.е. при угле броска = 450 и равна max = v02/g.

Если, например, проводить стрельбу миномётом по цели, находящейся на расстоянии, меньшем max, то цель можно поразить как при стрельбе при угле наклона меньшем 450, так и при угле большем 450, как это следует из выражения (7.22). Графическая зависимость vy(t) согласно (7.15) показана на -v0у А проекции скоростей на оси координат равны: vх = v0х ; vy = v0у gt0. Значение скоv x v y. Как видно из рости v в этой точке находим по теореме Пифагора: v = рисунка 17:

В этой же точке А траектории проведём взаимно перпендикулярные оси А и Аn, направленные соответственно по касательной к траектории и нормали к ней (рисунок 17). Проекции вектора ускорения свободного падения g на оси А и Аn в точке А обозначим g и gn. Ускорение gn направлено по нормали к центру кривизны траектории, поэтому оно является центростремительным ускорением, и его значение определяется выражением (5.4). Как видно из рисунка 17: gn = gcos. Итак, с учётом (5.4) и (7.23) имеем:

Из выражения (7.24) можем определить радиус кривизны траектории r (r – радиус окружности, элемент дуги которой совпадает с элементом участка траектории в окрестности данной точки А).

Во всех наших рассуждениях мы не учитывали сопротивление воздуха. Сопротивление воздуха сильно изменяет результаты проведённых выше расчётов.

8 Поступательное и вращательное движения. Равномерное движение по окружности. Линейная и угловая скорости, связь между ними. Касательное и центростремительное ускорения Любое движение абсолютно твёрдого тела можно представить как сумму одновременно происходящих поступательного движения и вращательного движения вокруг некоторой мгновенной оси. Поступательным называют такое движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела, остаётся параллельной себе.

Все точки поступательно движущегося тела в любой момент времени имеют одинаковые перемещения, скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются. Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Выше мы рассматривали вопросы, связанные с поступательным движением. В этом пункте будем обсуждать вопросы, относящиеся к криволинейному и вращательному движению.

Рассмотрим твёрдое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. v Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R R (рисунок 19). Ее поворот за промежуток времени t зададим углом. Элементарному (бесконечно малому) уг- Рисунок лу поворота можно сопоставить вектор. Модуль этого вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения головки правого винта, если винт вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рисунок 19). Другими словами – если смотреть с конца вектора, то мы видим круговое движение точки, совершаемое против часовой стрелки. Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами (значит, псевдовектор). Эти векторы не имеют определённых точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Средняя угловая скорость ср величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота радиус-вектора R вращающейся точки за промежуток времени t, в течение которого этот поворот происходил:

Размерность угловой скорости – радиан в секунду (рад/с). Длина дуги S = R.

Мгновенной угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота точки по времени:

Из (8.2) следует, что вектор направлен вдоль оси вращения так же, как и вектор (рисунок 19). Если с конца вектора смотреть на плоскость, в которой вращается рассматриваемая точка твёрдого тела, то наблюдаем вращение против часовой стрелки.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v.

Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости v определяется угловой скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рисунок 19). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси вращения при этом проходит путь S = R. Линейная скорость точки равна Формула (8.3) связывает модули линейной и угловой скоростей. Вектор скорости v связан с через векторное произведение (см. Приложение):

Вращение с постоянной угловой скоростью называют равномерным. Если вращение является равномерным, то = / t, где угол поворота за время t (сравните с выражением для скорости при равномерном движении v = S / t). Таким образом, при равномерном вращении угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка за единицу времени. При равномерном вращении ( = const, v = const) можно ввести понятия периода Т и частоты вращения. Пусть, точка совершает N оборотов за время t. По определению период вращения – время совершения одного оборота:

а частота вращения равна числу оборотов, совершаемых в единицу времени:

Из уравнений (8.5) и (8.6) следует, что За период вращения t = Т точка относительно оси вращения поворачивается на угол = 2, поэтому Очевидно, если точка совершит N оборотов, угол поворота = 2N.

Вектор может изменяться как за счёт изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по величине), так и за счёт поворота оси вращения в пространстве (в этом случае изменяется по направлению). Пусть за время t вектор получает приращение. Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуют величиной :

называемой угловым ускорением. Угловое ускорение, как и угловая скорость, является псевдовектором. Размерность углового ускорения – рад/с2.

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в стоd щения угловой скорости. При ускоренном движении вектор совпадает по направлению с вектором, при положно ему (рисунок 20).

Предположим, что ориентация оси вращения тела не изменяется в пространстве. Согласно (5.3) модуль тангенциального ускорения равен dv/dt.

Воспользовавшись соотношением (8.3) и учитывая, что расстояние рассматриваемой точки тела от оси вращения R = const, можно написать:

где а тангенциальное ускорение, модуль углового ускорения.

Комбинируя выражения (8.3) и (5.4), получим следующие уравнения для нормального (центростремительного) ускорения при движении точки по окружности:

Уравнения (8.11) справедливы и при равнопеременном движении по окружности радиуса R, т.е. для любого произвольного момента времени, характеризуемого значением линейной скорости v(t) (или угловой скорости (t)).

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами определяется следующими формулами:

где v и значения линейной и угловой скоростей в момент времени t;

S длина пути (дуги), пройденного точкой по дуге окружности радиуса R.

Из (8.12) видно, что нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния от точки до оси вращения.

Очевидно, что полное ускорение а = аn + а. Условие аn = 0 соответствует прямолинейному движению, т.к. при прямолинейном движении радиус кривизны траv ектории R и, соответственно, аn = = 0. При прямолинейном движении ускорение тела будет иметь лишь тангенциальную составляющую, направленную вдоль вектора скорости, если тело разгоняется, и противоположно вектору скорости, если у тела замедляется движение. При равномерном движении (с постоянной путеdv вой скоростью) а = = 0. Итак, тангенциальная составляющая ускорения харакdt теризует быстроту изменения скорости по модулю, а нормальная составляющая ускорения – быстроту изменения скорости по направлению.

В случае равнопеременного движения точки по окружности ( = const):

где 0 начальная угловая скорость;

0 начальное угловое положение материальной точки на окружности.

Сравнивая уравнения (5.14) и (8.13) убеждаемся, что поступательное и вращательное движения описываются похожими уравнениями.

9 Примеры решения задач 1. Первую треть пути поезд прошёл со скоростью 60 км/час. С какой скоростью поезд прошёл оставшуюся часть пути, если средняя скорость на всём пути оказалась равной 40 км/час?

Дано: S1 = S/3; S2 = 2S/3; v1 = 60 км/час; vср = 40 км/час.

Решение. По определению средняя скорость движения равна отношению всего ловию задачи первую и вторую часть пути поезд ехал равномерно, но с разной скоростью. Поэтому можно написать:

Подставив выражения для t1 и t2 в уравнение для средней скорости vср, имеем:

откуда находим 2. Координата материальной точки, движущейся вдоль оси 0х, меняется со временем по закону x(t) = 11 + 0,5t + t2. Получите зависимость скорости от времени.

Определите характер движения.

Дано: x(t) = 11 + 0,5t + t2.

Решение. Скорость движения равна первой производной координаты по времени:

Сравнивая зависимости x(t) и v(t) для данной материальной точки с общими уравнениями x(t) = x0 + v0t + at2/2 и v = v0 + at, получаем, что для данной материальной точки т.е. точка начинает движение (в момент t = 0) с точки с координатой x0 = 11 с начальной скоростью v0 = 0,5, направленной в сторону положительной полуоси (v0 0), равноускоренно (а 0) с ускорением а = 2.

3. Тело движется прямолинейно вдоль координатной оси 0х так, что его скорость изменяется по закону v(t) = (5 + 2t) м/с. Найдите его начальную скорость и ускорение. Напишите уравнение для координаты тела, если оно в начальный момент находилось в точке с координатой -3 м. Найдите скорость и путь, пройденный телом, к началу 9 секунды. Найдите путь и среднюю скорость движения тела с конца 2-й до начала 7-й секунды.

Дано: v(t) = (5 + 2t) м/с; х0 = -3 м.

Решение. Исходя из уравнения для скорости при равнопеременном движении v = v0 + at, имеем v0 = 5 м/с, а = 2 м/с2. Тогда уравнение одномерного движения тела вдоль оси 0х в общем виде x(t) = x0 + v0t + at2/2 с учётом х0 = -3 м примет вид:

Подставляя в уравнения для скорости и координаты указанные в условии моменты времени, рассчитаем значения соответствующих величин в эти моменты времени:

Путь, пройденный телом к началу 9-й секунды, равен:

Путь, пройденный телом с конца 2-й до начала 7-й секунды, равен:

Средняя скорость за этот интервал времени равна: v2 = = = 13 м/с.

Решение. В промежутке времени 0-1 с движение равномерное, скорость остатся постоянной, поэтому в этом интервале ускорение а1 = 0.

В промежутке времени 1-3 с движение равноускоренное, скорость линейно возрастает со временем, поэтому ускорение в этом интервале равно:

В промежутке времени 3-5 с движение равнозамедленное, скорость линейно убывает со временем, поэтому ускорение в этом интервале равно:

В итоге получаем график a(t), приведённый на рисунке.

Для построения графика S(t) сначала подсчитаем пути S0-1; S1-3; S3-5, пройденные телом за соответствующие промежутки времени (0-1 с, 1-3 с, 3-5 с). Эти пути равны площадям фигур под графиком v(t) за соответствующие интервалы времени:

Путь, пройденный за промежуток времени 0-1 с равен S1 = S0-1 = 2 м. Путь, пройденный за промежуток времени 0-3 с равен S2 = S0-1 + S1-3 = 2 + 6 = 8 м. Путь, пройденный за промежуток времени 0-5 с равен S3 = S0-1 + S1-3 + S3-5 = 14 м. Полученные значения отметим на графике S(t) в виде точек А(1 с, 2 м); В(3 с, 8 м);

С(5 с, 14 м), соответственно, и 0 – начало координат (S(0) = 0, т.к. в начальный момент времени движение только начинается).

На участке 0А графика зависимость S(t) – линейная, т.к. в интервале 0-1 с движение равномерное. На участке АВ график S(t) имеет вид параболы, и если бы равноускоренное движение продолжалось после момента времени t = 3 с, то зависимость S(t) выражалась линией АВМ (ветка параболы смотрит вверх, т.к. а2 0 – движение равноускоренное). На участке ВС – зависимость S(t) имеет вид параболы, и если бы равнозамедленное движение продолжалось после момента времени t = 5 с, то зависимость S(t) выражалась линией BCN (ветка параболы смотрит вниз, т.к.

а3 0 – движение равнозамедленное).

5. Тело брошено со скоростью v0 = 20 м/с под углом = 300 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите скорость тела, а также его нормальное (центростремительное) и тангенциальное (касательное) ускорения через 1,5 с после начала движения. На какое расстояние переместится за это время тело по горизонтали, и на какой высоте оно окажется? Чему равны радиус кривизны траектории и максимальная высота подъёма тела по вертикали? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Дано: v0 = 20 м/с; = 300; t = 1,5 с; g = 10 м/с2.

Решение. Движение происходит в плоскости, поэтому берём прямоугольную систему координат с осями 0х и 0у с началом отсчёта в точке бросания, как изображено на рисунке 17 (далее все обозначения и ссылки относятся к этому рисунку).

Согласно принципу независимости движений криволинейное движение тела можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: 1) равнопеременного движения в вертикальном направлении с ускорением g (gу = g) и начальной скоростью v0y = v0sin и 2) равномерного движения (gх = 0) в горизонтальном направлении с начальной скоростью v0x = v0cos.

Время t1 подъёма до верхней точки В траектории (7.18) и время полёта t (7.21), равны:

Так как заданное в условии время t = 1,5 с удовлетворяет условию t2 t t1, то это означает, что тело ещё не достигло поверхности Земли и находится на стадии падения, т.е. оно прошло верхнюю точку В траектории и находится в какой-то точке А.

В точке А траектории зависимости координаты и скорости от времени в вертикальном направлении описываются уравнениями (7.14) и (7.15). Подставляя в эти уравнения значение t = 1,5 с, получаем:

Знак минус в значении vy = 5 м/с опять же указывает на то, что вертикальная составляющая скорости тела через 1,5 с после начала движения направлена в сторону отрицательной полуоси 0у, т.е. вертикально вниз. Значит, спустя t = 1,5 с после броска тело находится в точке А на нисходящем участке траектории на высоте уА = 3,8 м.

Зависимости координаты и скорости от времени в горизонтальном направлении описываются уравнениями (7.12) и (7.13). Подставляя в эти уравнения значение t = 1,5 с, получаем:

26,3 м.

При движении тела скорость меняется и по величине и по направлению. Следовательно, тело обладает тангенциальным ускорением а, которое направлено по касательной к траектории движения и влияет только на величину скорости, и нормальным ускорением аn, которое перпендикулярно тангенциальному ускорению и влияет только на направление скорости. Тангенциальное и нормальное ускорения являются составляющими полного ускорения аn + а = g (аn = gn; а = g).

Чтобы найти значения аn и а воспользуемся подобием треугольников, сторонами которых являются вектора ускорений и вектора скоростей. Эти треугольники подобны, так как три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника. Из пропорциональности сторон треугольников найдём значения аn и а:

Радиус кривизны траектории определяем из выражения (7.24):

Радиус кривизны траектории r – это радиус окружности, элемент дуги которой совпадает с участком траектории на бесконечно ее малом участке в данной точке (в нашем случае – в точке А). Центр этой окружности лежит в направлении an (gn).

6. За 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло 20 м, увеличив свою скорость в 3 раза. Определите конечную скорость тела.

Решив систему из написанных 3 уравнений, имеем:

7. Свободно падающее тело спустя некоторый промежуток времени после начала падения находилось на высоте 1 100 м, а еще через 10 с на высоте 120 м над поверхностью Земли. С какой высоты падало тело? Сколько времени оно было в движении? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Дано: y(t1) = 1 100 м; y(t1 + 10) = 120 м; g = 10 м/с2; v0 = 0.

Решение. Так как движение тела происходит по вертикали, то для описания высоте будем сопоставлять моменты времени:

- в начальный момент времени t = 0 тело находится на высоте Н;

- спустя некоторый промежуток времени t1 – на высоте 1 100 м;

- еще через 10 с, т.е. через t1 + 10 после начала движения – на высоте 120 м;

- через время t после начала движения у =0 (тело достигает поверхности Земли).

В уравнение движения тела по оси 0у в общем виде y(t) = y0 + v0t + at подставляем значения y0 = Н (тело начинает движение в момент t = 0 с этой координаты), v0 = 0 (тело свободно падает), а = -g (т.к. проекция gy = -g). Итак, уравнение движения имеет вид:

Применяя последнее уравнение для моментов времени t1, t1 + 10 и t, получим уравнения:

Решая систему из трех уравнений, найдем искомые величины Н и t.

Вычтем почленно из первого уравнения второе, затем найдем t1:

Подставляя полученное значение t1 в первое уравнение, найдем Н:

8. Точка движется по окружности со скоростью, которая меняется по закону v = bt, где b = 0,5 м/с2. Найдите модуль полного ускорения, когда точка совершит первый оборот после начала движения.

Решение. Из уравнения v = bt следует, что в начальный момент времени t = начальная скорость v0 = b0 = 0, и в этот момент угловая скорость равна 0 = v0/R = 0/R = 0, где R – радиус окружности.

Один оборот соответствует повороту на угол 2 рад. Уравнение вращательного движения точки откуда выражаем где угловое ускорение.

Поскольку тангенциальное ускорение по определению а = из выражения а = R, находим, = а/R = b/R.

Нормальное ускорение равно:

Полное ускорение равно:

9. Два диска, расположенные на одной оси на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращаются с одинаковой угловой скоростью, соответствующей частоте 1600 об/мин.

Пуля, летящая параллельно оси, пробивает оба диска, при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол 120. Найдите скорость пули.

Дано: = 0,5 м; = 120 = /15 рад; = 1600 об/мин = 80/3 об/с.

Решение. Угловая скорость вращения дисков равна = 2. Так как диски вращаются равномерно, а пуля летит с постоянной скоростью v, то отсюда следует, что время полёта пули между дисками t1 = /v равно времени поворота второго диска на угол относительно первого диска t2 = /, т.е. t1 = t2:

откуда находим искомую скорость пули 10. Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением 2 см/с2. Определите угR ловую скорость шкива в момент, когда груз пройдёт путь 100 см.

Решение. Считая, что нить не проскальзывает вдоль шкива, будем считать, что ускорение поступательного движения груза а равно касательному ускорению а шкива: а = а.

Так как движение начинается из состояния покоя, то начальные угловая и линейная скорости равны нулю: 0 = 0 и v0 = 0. Тогда, путь, пройденный грузом равен угловое ускорение. Итак, 11. Из Бузулука в Оренбург с интервалом 10 мин вышли два грузовых поезда со скоростью 30 км/час. С какой скоростью двигался пассажирский поезд, идущий из Оренбурга в Бузулук, если он повстречал эти грузовые поезда через промежуток времени 4 мин один после другого?

Дано: v1 = 30 км/час; t1 = 10 мин = 1/6 час; t2 = 4 мин = 1/15 час.

Решение. В какой-то произвольный момент времени рассмотрим движение грузовых поездов в системе отсчёта, связанной с наблюдателем, находящимся в вагоне пассажирского поезда. В этой системе отсчёта пассажирский поезд будет неподвижен, а движение встречных грузовых поездов будет сложным: со скоростью v относительно Земли и со скоростью v = v1 + v2 относительно пассажирского поезда.

В скалярной форме v = v1 + v2. С другой стороны где S – расстояние между грузовыми поездами.

Но S = v1t1. Таким образом, откуда находим: v2 = v1 t 1 1 = 30 15 1 = 45 км/час.

12. Тонкостенный цилиндр радиусом R = 0,5 м вращается вокруг своей оси с угловой скоростью = 4 рад/с. В цилиндр попадает пуля, летящая по линии, проходящей через ось перпендикулярно к ней. Отверстия от пули оказались лежащими на прямой, отстоящей от оси вращения на расстоянии = 0,5 см. Найдите скорость v пули.

Решение. Представим тонкостенный цилиндр ростью. Если бы цилиндр не вращался, пуля внутри цилиндра двигалась по линии А0В. Из-за вращеR D ния цилиндра пуля внутри цилиндра будет двигаться вдоль отрезка прямой ADC. Радиус цилиндра 0А = R.

Расстояние от оси вращения до линии движения пули A равно 0D =. За время t движения пули внутри цилиндра цилиндр повернётся на угол. Тогда для интервала времени t можно записать выражения:

Приравнивая правые части выражений, находим:

Из рисунка видно, что угол внешний угол треугольника 0СА, следовательно, = 2. Из треугольника 0DA следует:

При малых углах sin можно заменить самим углом, выраженным в радианах, т.е. = 0,01. Подставляя найденное значение угла = 2 в выражение для скорости v полёта пули, полученное выше, имеем:

13. С башни высоты Н бросили вертикально вниз камень с начальной скоростью v0 = 0. Найти среднюю скорость на нижней половине пути. Ускорение свободного падения равно g.

Решение. По определению средняя скорость равна где S – перемещение тела, а t – время, за которое это перемещение совершено.

По условию задачи S = H/2. Найдем время движения тела на нижней половине пути t = t2 – t1. Время падения тела до уровня Земли t2 и время падения до середины башни t1 находим из уравнений:

откуда 14. Половину пути из одного пункта в другой велосипедист ехал по шоссе со скоростью v1 = 30 км/ч, а вторую половину по грунтовой дороге со скоростью v2 = 15 км/ч. Найти среднюю скорость велосипедиста.

Дано: v1 = 30 км/ч; v2 = 15 км/ч; S1 = S2 = S/2.

Решение. По определению средняя скорость равна отношению суммарного пути к затраченному времени:

где t1 = S1/v1 = S/2v1 и t2 = S2/v2 = S/2v2 промежутки времени, затраченные велосипедистом для прохождения первой и второй половинок пути.

Подстановка этих формул в уравнение для средней скорости приводит к окончательному выражению для средней скорости Средняя путевая скорость является скалярной величиной. В окончательное выражение для vср входят только значения скорости тела на отдельных участках движения. Средняя скорость равна полусумме скорости тела в начале и в конце движения vср = (v1 + v2)/2 в случае равнопеременного движения, а также в случае, когда тело половину времени движется со скоростью v1, а другую половину времени со скоростью v2. Можно сказать, что средняя скорость – это скорость такого равномерного движения, при котором за то же самое время тело пройдет такой же путь, как и при рассматриваемом движении.

15. Часовая стрелка карманных часов имеет длину 10 мм, а минутная 20 мм.

Найдите их угловые скорости, периоды обращения стрелок, линейные скорости их концов. Найдите угол поворота минутной стрелки и путь, пройденный концом минутной стрелки и перемещение конца минутной стрелки за 15 минут.

Дано: RЧ = 0,01 м; RМ = 0,02 м; t = 900 с.

Решение. Период обращения часовой стрелки и минутной стрелки Угловая скорость часовой стрелки и минутной стрелки Линейная скорость конца часовой стрелки и конца минутной стрелки vЧ = ЧRЧ = 1,4510-40,01 = 1,4510-6 м/с.

vМ = МRМ = 1,7410-30,02 = 3,4810-5 м/с.

Угол поворота минутной стрелки за 15 минут Путь, пройденный концом минутной стрелки за 15 минут Минутная стрелка за 15 минут повернётся на 900, т.е. совершит четверть оборота. Поэтому ее перемещение за это время равно 16. В дождливую погоду велосипед равномерно катится по горизонтальной дороге со скоростью v0. На какую максимальную высоту поднимаются капли воды, срывающиеся с обода колеса? Радиус колеса R. Ускорение свободного падения g.

Решение. Предположим, что колесо велосиvA педа катится без проскальзывания. В этом случае скорость движения велосипеда v0 и скорость v нок). Обозначения: А точка на ободе колеса, откуда срываются капли воды, 0А = R, угол между вертикалью и направлением на точку А от оси вращения колеса, h высота точки А над поверхностью Земли. Скорость капли воды в точке А равна vА = v0 + v0. Как видно из рисунка проекции скоростей vА и v на вертикальную ось 0у равны, т.е. (vА)у = (v0)у = v0sin = v0sin.

Тогда капля воды, срываясь с обода колеса в точке А, поднимется от точки А на высоту hA, определяемую соотношением:

От поверхности Земли капля поднимется на высоту H, равную:

Высота Н подъёма капель воды зависит от cos, т.е. Н(cos). Для нахождения максимальной высоты подъёма капель воды возьмём производную от функции Н(cos) по cos и приравняв ее нулю найдём значение cos = (cos)max, при котором Н окажется максимальной:

10 Контрольные вопросы 1 Что называется материальной точкой? Какое тело называют абсолютно твёрдым? Почему в механике вводят такие модели?

2 Что такое система отсчёта?

3 Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути, пройденному точкой?

4 Какое движение называется поступательным? вращательным?

5 Запишите кинематические уравнения движения материальной точки.

6 Что понимают под числом степеней свободы?

7 Дать определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

8 Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляющая ускорения? Каковы их модули?

9 Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направления?

10 Какова связь между линейными и угловыми величинами?

11 Тесты для самоконтроля усвоения материала учащимися 1. С какой скоростью движется полоса бумаги при печатании газет, если машина отпечатывает 18 000 листов в час? Длина каждого газетного листа 50 см.

2. Колесо, имеющее угловую скорость вращения, сделает 50 оборотов за время … 3. Когда мы говорим, что смена дня и ночи на Земле объясняется вращением Земли вокруг своей оси, то мы имеем в виду систему отсчета, связанную с:

4. Чему равно центростремительное ускорение тела на экваторе, обусловленное вращением Земли? Радиус Земли равен 6 370 км.

А) 2,71 см/с2 В) 2,92 см/с2 С) 3,37 см/с2 Д) 3,95 см/с2 Е) 4,16 см/с 5. С высокой башни вертикально вниз со скоростью 8 м/с бросили камень. На сколько увеличивается скорость камня за вторую секунду полета? Ускорение свободного падения 10 м/с2.

6. Сколько времени потребуется, чтобы увеличить скорость движения тела в раза при его движении с ускорением 5 м/с2 на пути 20 м?

7. За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом в равноускоренном движении, втрое больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если движение происходит без начальной скорости?

А) за вторую В) за третью С) за четвертую Д) за пятую Е) за шестую 8. Со станции вышел товарный поезд, идущий со скоростью 72 км/час. Через 10 мин по тому же направлению вышел экспресс, скорость которого 30 м/с. На каком расстоянии от станции экспресс догонит товарный поезд?

9. Определите расстояние, которое пройдет тело до остановки, если оно движется равнозамедленно. Начальная скорость тела v0 = 0,64 м/с, а ускорение а = -0,16 м/с2.

10. Реактивный самолет летит со скоростью v0 = 720 км/час. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t = 10 с и в последнюю секунду проходит путь S = 295 м. Определите конечную скорость v самолета.

11. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется в земляной вал и, двигаясь равнозамедленно, проникает в него на глубину 36 см. Чему будет равна скорость пули к моменту, когда пуля пройдет 99 % своего пути?

12. Автомобиль, движущийся с начальной скоростью 30 м/с, проехал 175 м с ускорением 2 м/с2. Сколько времени потребовалось на это?

13. Первую четверть пути автомобиль двигался со скоростью 60 км/час, а оставшуюся часть пути – со скоростью 20 км/час. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

А) 40 км/час В) 36 км/час С) 32 км/час Д) 28 км/час Е) 24 км/час 14. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через t1 = 1 с и через t2 = 2 с после начала движения. Определите начальную скорость v0, считая ускорение движения шарика постоянным.

15. По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела: одно равномерно со скоростью v = 9,8 м/с, а другое – равноускоренно без начальной скорости с ускорением а = 9,8 см/с2. Через какое время второе тело догонит первое?

16. Две стрелки начинают двигаться по окружности в одну сторону. Период вращения 1-й составляет Т1 = 50 с, а 2-й – Т2 = 30 с. Положения стрелок при этом совпадают через минимальный интервал времени, равный 17. С крыши с интервалом времени в 1 с падают одна за другой две капли. Через 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями станет равным (полагайте g=10 м/с2):

18. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяется в земляной вал и, двигаясь равнозамедленно, проникает в него на глубину 36 см. Сколько времени двигалась она внутри вала?

19. Движущийся со скоростью 30 м/с автомобиль подвергается постоянному ускорению 2 м/с2 на пути 175 м. Сколько времени потребовалось на это?

20. По какой траектории движется частица в горизонтальной плоскости в случае, если V =const и a =const. При этом скорость V и ускорение a отличны от нуля.

А) синусоида В) окружность С) прямая Д) парабола Е) гипербола 21.Определите начальную скорость тела, брошенного с высоты Н=135 м вертикально вниз и достигшего земли через время t=5 c. Ускорение свободного падения g=10 м/с2.

22. С некоторой высоты свободно падает тело. Через 3 секунды с той же высоты свободно падает второе тело. Определите через сколько времени утроится расстояние, разделявшее тела до начала падения второго из них.

23. Со стола высотой 1,25 м слетает шарик со скоростью 2 м/с, направленной горизонтально (ускорение свободного падения 10 м/с2). Дальность полета в горизонтальном направлении равна … 24. Первую четверть пути автомобиль двигался со скоростью 60 км/час, а оставшуюся часть пути – со скоростью 20 км/час. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

А) 40 км/час В) 36 км/час С) 32 км/час Д) 28 км/час Е) 24 км/час 25. Лыжник спускается с горы за время t. За какое время он спустится с горы такой же формы, но в 4 раза большей высоты?

26. Санки скользят вниз по склону с постоянным ускорением, равным 3 м/с2.

Определите скорость санок после того, как они проскользили 10 м вниз, если их начальная скорость была 2 м/с.

27.Лодка идет по реке от пункта А до пункта В по течению со скоростью 12 км/час относительно берега, а обратно со скоростью 8 км/час. Какова скорость течения воды в реке?

А) 1,5 км/час В) 2 км/час С) 1,8 км/час Д) 1,2 км/час Е) 2,4 км/час 28. Автомобиль приближается к пункту А со скоростью 80 км/час. В тот момент, когда ему оставалось проехать 10 км, из пункта А в перпендикулярном направлении выезжает грузовик со скоростью 60 км/час. Чему равно наименьшее расстояние между автомобилем и грузовиком?

29. Поезд первую половину пути шел со скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Какова скорость поезда на первой половине пути, если средняя скорость прохождения всего пути равна 12 м/с?

30. Человек за секунду произносит 4 слога. Определите, на каком расстоянии надо поставить преграду перед ним, чтобы он успел произнести слово из 5 слогов прежде, чем услышит эхо. Скорость звука 340 м/с.

31. По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела: одно равномерно со скоростью v = 9,8 м/с, а другое – равноускоренно без начальной скорости с ускорением а = 9,8 см/с2. Через какое время второе тело догонит первое?

32. За время, равное 2 с, тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определите ускорение тела.

33. При свободном падении тела из состояния покоя его скорость за вторую секунду увеличивается на (g=10 м/с2):

34. Определите центростремительное ускорение точек земной поверхности на широте 450, вызванное суточным вращением Земли. Радиус Земли 6370 км.

А) 2,7 см/с2 В) 2,1 см/с2 С) 2,4 см/с2 Д) 1,8 см/с2 Е) 3 см/с 35. Уклон длиной 50 м лыжник прошел за 10 с, двигаясь с ускорением 0, м/с2. Какова скорость лыжника в начале уклона?

36. С высоты Н1=10 м над землей начинает падать без начальной скорости камень. Одновременно с высоты Н2=5 м вертикально вверх бросают другой камень. С какой начальной скоростью V0 брошен второй камень, если известно, что камни встретились на высоте h=1 м над землей? Ускорение свободного падения g=9,8 м/с2.

37. С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью V0 = 15 м/с. Найдите, с какой скоростью V он упадет на землю. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2. Сопротивление воздуха не учитывайте.

38. С крыши с интервалом времени в 1 с падают одна за другой две капли. Через 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями станет равным (полагайте g = 10 м/с2):

39. Если поезд, двигаясь от остановки с постоянным ускорением, прошел 180 м за 15 с, то за первые 5 с от начала движения он прошел 40. Скорость тела, брошенного вертикально вниз с некоторой высоты, через t1 = 1 с увеличилась по сравнению с начальной в n1 = 6 раз. Во сколько раз увеличилась скорость тела через t2 = 2 с после броска? Сопротивление воздуха не учитывайте.

41. Начальные значения скорости материальной точки vx1 = 1 м/с, vy1 = 3 м/с, vz = 0. Конечные значения скорости vx2 = 4 м/с, vy2 = 6 м/с, vz2 = 0. Определите приращение модуля скорости.

42. Какова скорость капель v2 отвесно падающего дождя, если шофер легкового автомобиля заметил, что капли дождя не оставляют следа на заднем стекле, наклоненном вперед под углом = 600 к горизонту, когда скорость автомобиля v1 больше 30 км/час?

43. Пуля вылетает из ствола в горизонтальном направлении со скоростью 800 м/с. На сколько снизится пуля во время полета, если щит с мишенью находится на расстоянии, равном 400 м? Ускорение свободного падения равно 10 м/с2.

44. В реку, скорость течения которой v1 = 0,7 м/с, из некоторой точки А на берегу у самой воды бросают камень перпендикулярно берегу. Скорость поверхностных волн в воде v2 = 2,5 м/с. Через какое время после падения камня волна от него придет в точку А, если камень упал в воду на расстоянии L = 9,6 м от берега?

45. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью v0 = 10 м/с и ускорением а = -5 м/с2. Каков путь, пройденный точкой до остановки?

46. Пуля, летящая со скоростью 140 м/с, попадает в доску и проникает на глубину 6 см. Если пуля в доске двигалась равнозамедленно, то на глубине 3 см ее скорость была равна … 47. При скорости ветра, равной 10 м/с, капли дождя падают под углом 300 к вертикали. При какой скорости ветра капли будут падать под углом 600 к вертикали?

48. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0. Когда оно достигло высшей точки пути, из того же начального пункта с той же скоростью V брошено второе тело. На какой высоте h от начального пункта они встретятся?

49. Зависимость координаты от времени для некоторого тела описывается уравнением x = 8t t2. В какой момент времени проекция скорости тела на ось Ох равна нулю?

50. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх, упала на землю через 6 с. На какую максимальную высоту поднималась стрела? Ускорение свободного падения равно 10 м/с2.

51. Если за последнюю секунду свободно падающее без начальной скорости тело пролетело всего пути, то полное время падения тела равно 52. Движение тела вдоль оси х описывается уравнением x = 2 + 3t + t2, м. Средняя скорость его движения за третью секунду равна 53. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик с некоторой начальной скоростью. На расстоянии L = 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через t1 = 1 с и через t2 = 2 с после начала движения. Определите ускорение а движения шарика, считая его постоянным.

54. Тело, имея начальную скорость v0 = 1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость v = 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?

55. Во сколько раз период обращения вокруг Земли искусственного спутника, движущегося по круговой орбите радиуса 2R, больше периода обращения спутника, движущегося по орбите радиуса R?

56. С самолета, летящего горизонтально, падают один за другим через промежуток времени t = 6 с два груза. Через сколько времени, считая от начала падения первого груза, расстояние между ними по вертикали будет h = 294 м? Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2. Сопротивление воздуха не учитывайте.

57. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, ударяет в земляной вал и проникает в него на глубину 36 см. Какова была ее скорость на глубине 18 см?

58. За 40 с поезд уменьшил свою скорость от 30 до 10 м/с. Какой путь он прошел за это время?

59. Автомобиль проехал половину пути со скоростью v1 = 60 км/час, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью v2 = 15 км/час, а последний участок – со скоростью v3 = 45 км/час. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

А) 25 км/час В) 30 км/час С) 35 км/час Д) 40 км/час Е) 45 км/час 60. Скорость поезда 72 км/час. При этом колеса локомотива, диаметр которых 1 м, вращаются с угловой скоростью, равной 61. При обработке детали на токарном станке скорость продольной подачи резца равна 12 см/мин, а скорость поперечной подачи 5 см/мин. Какова скорость резца относительно корпуса станка при этом режиме работы?

62. Поезд первую половину пути шел со скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Какова скорость поезда на второй половине пути, если средняя скорость прохождения всего пути равна 12 м/с?

63. Камень брошен под таким углом к горизонту, что синус угла равен 0,8. Найдите отношение дальности полета к максимальной высоте подъема.

64. Теплоход проходит по течению реки путь 40 км за 2 часа, а против течения 45 км за 3 часа. Определите скорость теплохода.

65. Точка движется по окружности радиуса 20 см с постоянным касательным ускорением 5 см/с2. через сколько времени после начала такого движения нормальное ускорение будет равно касательному?

66. Тело, двигаясь равноускоренно с ускорением а, увеличило свою скорость v в n раз. Определите, за какое время это произошло.

67. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за t1 = 1 с, а второй – за t2 = 1,5 с. Длина вагона L = 12 м. Найдите ускорение а поезда, считая движение равнопеременным.

68. Как изменится центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, если вдвое возрастет радиус окружности, а скорость тела останется неизменной?

69. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом R=3 м задается уравнением S = Аt2 + Вt (А = 0,4 м/с2, В = 0,1 м/с). Определите нормальное ускорение для момента времени t = 1 c после начала движения.

70. Спортсмены бегут колонной длины l со скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью u (uv). Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?

71. Парашютист покидает гондолу свободно летящего аэростата на высоте H0 = 250 м. Первые H1 = 50 м он падает свободно, а затем, раскрыв парашют, опускается с постоянной скоростью v0 = 4 м/с. На каком расстоянии S от места прыжка (по горизонтали) приземлится парашютист? Скорость ветра v1 = 2 м/с и не зависит от высоты. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.

72. Тело бросают вертикально вверх со скоростью 9,8 м/с. Одновременно с предельной высоты, которой оно может достичь, бросают вертикально вниз другое тело с той же начальной скоростью. Определите время, по истечении которого тела встретятся после броска. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с2.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ ИНСТИТУТ ХОЛОДА И БИОТЕХНОЛОГИЙ Т.Е. Бурова ХИМИЯ ВКУСА, ЦВЕТА И АРОМАТА Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2014 УДК 664.8.037 Бурова Т.Е. Химия вкуса, цвета и аромата: Учеб.-метод. пособие / Под ред. А.Л. Ишевского. СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2014. 28 с. Изложены цели, основные задачи и содержание дисциплины Химия вкуса, цвета и...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Часть I Методические указания и контрольные задания Пенза 2002 УДК 531.3 (075) И85 Методические указания предназначены для студентов специальности 180200 Электрические и электронные аппараты и других специальностей очного и заочного обучения и содержат контрольные задания для самостоятельной работы студентов по темам Растяжение и сжатие, Статически неопределимые системы, Геометрические...»

«Экономические и гуманитарные наук и ББК Т 3(2) 718 ОПУБЛИКОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ ПО ИСТОРИИ КОМСОМОЛА ЦЕНТРАЛЬНОГО ЧЕРНОЗЕМЬЯ 1920-Х ГОДОВ А.А. Слезин Кафедра истории и философии, ТГТУ Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым Ключевые слова и фразы: Истмол; мемуары; периодика; статистика; стенограммы; субъективизм. Аннотация: Статья характеризует источниковую базу исследований по истории молодежного движения 1920-х годов, содержит методические рекомендации аспирантам и студентам...»

«Министерство образования Российской Федерации Пензенский государственный университет ИСТОРИЯ РОССИИ Методические указания к контрольным работам для студентов заочного факультета Пенза 2001 ББК 63.3(2) И 90 Даются темы контрольных работ и литература для их подготовки. Работа подготовлена на кафедре истории для студентов заочного факультета в соответствии с учебными планами Пензенского государственного университета. А в т о р ы: старший преподаватель А. А. Беркутов (темы 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26,...»

«Герасин, О. Н. Учетное обеспечение объектов интеллектуальной собственности Оглавление диссертации кандидат экономических наук Герасин, Олег Николаевич ВВЕДЕНИЕ. 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ БУХГАЛТЕРСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ. 1.1 Анализ терминологического аппарата и экономической сущности объектов интеллектуальной собственности. 1.2 Классификационные критерии объектов интеллектуальной собственности. 1.3 Экономические механизмы использования объектов интеллектуальной...»

«РОССИЙСКОЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ИНФОРМАЦИОННОЕ АГЕНТСТВО Е.Д. Самотесов, Г.П. Тощева, Н.Г. Рыбальский, Ю.Ю. Галкин МЕТОДОЛОГИЯ И ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ОБЩЕСТВЕННОГО УЧАСТИЯ В ПРОЦЕССЕ ПРИНЯТИЯ ЭКОЛОГИЧЕСКИ ЗНАЧИМЫХ РЕШЕНИЙ (Учебное пособие) Под редакцией д.б.н., проф. Н.Г. Рыбальского и д.ф.н., проф. Ю.Ю. Галкина РЭФИА Москва – 2001 Самотесов Е.Д., Тощева Г.П., Рыбальский Н.Г., Галкин Ю.Ю. Методология и основы организации общественного участия в процессе принятия экологически значимых решений...»

«Федеральное агентство морского и речного транспорта Морской государственный университет имени адмирала Г. И. Невельского Кафедра психофизиологии и психологии труда в особых условиях НЕЙРОФАРМАКОЛОГИЯ: СИСТЕМАТИКА ПСИХОТРОПНЫХ СРЕДСТВ, ОСНОВНЫЕ КЛИНИЧЕСКИЕ И ПОБОЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ Учебное пособие Рекомендовано методическим советом Морского государственного университета В качестве учебного пособия для студентов Специальности 0204, 0313 направление 5210 Составила М. В. Чеховская Владивосток 2007 УДК...»

«Учебное пособие Компьютерный инжиниринг-2012 предоставлено авторским коллективом для размещения на сайте www.FEA.ru в разделе: Высшее образование / Каф. Механика и процессы управления НИУ СПбГПУ / Учебные пособия государственный ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ Промышленный и технологический форсайт Российской Федерации Компьютерный инжиниринг Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,...»

«О.Ю.Шевченко Основы физики твердого тела Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.Ю. Шевченко ОСНОВЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 1 О.Ю.Шевченко Основы физики твердого тела. Учебное пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. – 76с. В рамках курса общей физики рассмотрены основы физики твердого...»

«Самосудов М.В. Теория корпоративного взаимодействия: Учебное пособие по курсу Корпоративное управление Москва, 2006 Самосудов М.В. Теория корпоративного взаимодействия: Учебное пособие по курсу Корпоративное управление. – М., 2007. – 26,5 у.п.л. Отличительной особенностью настоящего пособия является сочетание развитого теоретического аппарата и сведений, имеющих прикладное значение. Это делает пособие полезным не только для использования в процессе обучения студентов и слушателей ВУЗов, но и...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей и теоретической физики ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ Механика Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Под редакцией А.А. Бирюкова Самара Издательство Самарский университет 2009 1 УДК 631.01 ББК 22.2 И 32 Авторы: А.А. Бирюков, Э.Н. Воробьева, А.В. Горохов, Б.В. Данилюк, Г.П. Мартынова...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольной работы Гидравлический расчет простого трубопровода по курсу Механика жидкости и газов для студентов заочной формы обучения по специальности 70 04 03 Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов, 70 04 02 Теплоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна Новополоцк, 2013 1 ВВЕДЕНИЕ Контрольная работа по дисциплине Механика жидкости...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В. К. МАНЖОСОВ, О. Д. НОВИКОВА, А. А. НОВИКОВ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть II Динамика. Аналитическая механика Комплексное учебное пособие Ульяновск УлГТУ 2011 1 УДК 531(075) ББК 22.21 я7 М 23 Рецензенты: профессор кафедры технологии Ульяновского государственного педагогического...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ ФИЗИКА Практикум Владивосток Издательство ВГУЭС 2009 ББК 22.3 Ф 48 Рецензенты: В.А. Игнатюк, д-р физ.-мат наук, профессор; В.Н. Савченко, д-з физ.-мат. наук, профессор ФИЗИКА: практикум / сост. В.А. Доценко, Б.П. ОстаФ 48 нин, Л.Р. Родкина, А.И. Шавлюгин, Е.Э. Шмакова. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2009. – 116 с. В практикуме содержится...»

«Доев, В.С., Доронин Ф. А. Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad: Учебное пособие - СПб.: Издательство Лань, 2010. – 592 с.: ил. Учебное пособие содержит 10 заданий по статистике, 17 заданий по кинематике и 15 заданий по динамике, аналитической механике и теории колебаний. Каждое задание имеет по 30 вариантов и пример, выполненный при помощи пакета Mathcad. При решении заданий широко используются матричные методы. Книга ориентирована на студентов, магистров, аспирантов,...»

«Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет В.Г. Букреев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ Учебное пособие Томск 2002 УДК 62-83 : 621. 313.2 : 681. 513. 68 Б 90 Букреев В.Г. Математическое обеспечение адаптивных систем управления электромеханическими объектами. Учебное пособие. - Томск: Изд - во ТПУ, 2002. - 132 с. В учебном пособии рассматриваются теоретические вопросы проектирования адаптивных систем...»

«Юрий Анатольевич Александровский. Пограничные психические расстройства Учебное пособие. Оглавление Об авторе Предисловие Раздел I. Теоретические основы пограничной психиатрии. Общее понятие о пограничных формах психических расстройств (пограничных состояниях). 6 Краткий исторический очерк Системный анализ механизмов психической дезадаптации, сопровождающей пограничные психические расстройства. Основные подсистемы единой системы психической адаптации Барьер психической адаптации и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики Муромцев Дмитрий Ильич ВВЕДЕНИЕ В ТЕХНОЛОГИЮ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Санкт-Петербург 2005 УДК [004.891 + 002.53:004.89] (075.8) Д.И. Муромцев. Введение в технологию экспертных систем. – СПб: СПб ГУ ИТМО, 2005. – 93 с. В учебном пособии рассматриваются основные подходы и методы технологии проектирования...»

«Г. И. Тихомиров Технологии обработки воды на морских судах Федеральное агентство морского и речного транспорта РФ Федеральное бюджетное образовательное учреждение Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского (ФБОУ МГУ) Тихомиров Г. И. ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ ВОДЫ НА МОРСКИХ СУДАХ Курс лекций Рекомендовано методическим советом ФБОУ МГУ в качестве учебного пособия для обучающихся по специальности 180405.65 – Эксплуатация судовых энергетических установок Владивосток 2013 УДК...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗ ИКО -М АТЕМ АТИЧ ЕСКИЙ Ф АКУЛ ЬТЕТ А.Р. БУЕВ, И.Л. ЧАРСКАЯ ФИЗИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Часть I Йошкар-Ола, 2010 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ МЕХАНИКА 1. КИНЕМАТИКА 1.1. Кинематика поступательного движения 1.2. Кинематика вращательного движения 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 2.1. Первый закон Ньютона 2.2. Второй закон Ньютона 2.3. Принцип независимости действия сил 2.4. Третий закон Ньютона 2.5. Закон...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.