WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 | 3 |

«Ю. Б. Гольдштейн ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА Учебное пособие Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2005 ББК 30.04 Г635 УДК 620.04 Р е ц е н з е н т ы: кафедра строительной ...»

-- [ Страница 1 ] --

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю. Б. Гольдштейн

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Учебное пособие

Петрозаводск

Издательство ПетрГУ 2005 ББК 30.04 Г635 УДК 620.04 Р е ц е н з е н т ы:

кафедра строительной механики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (зав. кафедрой – проф., докт. техн. наук В. И. Плетнев);

проф., докт. техн. наук Н. Д. Сергеев Гольдштейн Ю. Б.

Г635 Основы механики твердого деформируемого тела: Учеб. пособие/ Ю. Б. Гольдштейн; ПетрГУ. – Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. – 872 с.

ISBN 5-8021-0332- Излагаются разделы механики твердого деформируемого тела, изучение которых предусматривается программами подготовки дипломированных специалистов в области строительства и машиностроения. С единой позиции рассматриваются курсы сопротивления материалов, строительной механики, теории упругости и пластичности.

Пособие предназначено, прежде всего, для студентов-строителей. Однако оно может оказаться полезным и студентам мащиностроительных специальностей, а также аспирантам, которые посвятили себя изучению проблем прочности и надежности инженерных конструкций.

Табл. 40. Ил. 563. Библиогр.: 47 назв.

ББК 30. c Ю. Б. Гольдштейн, ISBN 5-8021-0332- c Петрозаводский государственный университет,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ................................................................ ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА.

.................... ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ....................... 1.1. Тела и прикладываемые к ним нагрузки............................... 1.2. Несиловое воздействие................................................ 1.3. Модель материала..................................................... 1.4. Внутренние силы взаимодействия..................................... 1.5. Тензор напряжений и его компоненты................................. 1.6. Усилия................................................................ 1.7. Эпюры усилий......................................................... 1.8. Связь между усилиями и интенсивностями распределенных погонных нагрузок.......................................................... 1.9. Задача механики твердого деформируемого тела...................... ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА.................. 2.1. Уравнения равновесия в точке тела................................... 2.2. Напряжения на наклонных площадках................................ 2.3. Экстремальность нормальных напряжений............................ 2.4. Ортогональность главных площадок.................................. 2.5. Инварианты тензора напряжений..................................... 2.6. Экстремальность касательных напряжений........................... 2.7. Октаэдрические напряжения.......................................... ГЛАВА 3. ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ........................................... 3.1. Классификация силовых конструкций................................. 3.2. Дополнительные сведения о модели стержня......................... 3.3. О принципе независимости действия сил............................. 3.4. Типы деформаций..................................................... 3.5. Поведение призматического стержня при осевой нагрузке............ 3.6. Напряжения при осевой деформации................................. 3.7. Концентрация напряжений............................................ 3.8. Принцип Сен-Венана.................................................. ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА............................................ 4.1. Испытания на растяжение-сжатие..................................... 4.2. Диаграммы растяжения металлов..................................... 4.3. Испытания материалов на сжатие..................................... 4 Оглавление 4.4. Основные механические характеристики материала................... 4.7. Предельное и допустимое состояния при осевой нагрузке............. ГЛАВА 5. ДЕФОРМАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА................ 5.2. Условия совместности перемещений и деформаций в точке тела...... 5.3. Условия совместности деформаций в точке тела......................

ГЛАВА 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ





6.2. Закон Гука при сдвиге для изотропного материала................... 6.5. Обобщенный закон Гука для анизотропного тела..................... ГЛАВА 7. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ........... 7.1. Полная система уравнений для изотропной среды.................... 7.2. Решение краевой задачи теории упругости в напряжениях............ 7.3. Решение задачи теории упругости в перемещениях................... 7.4. Единственность решения задачи теории упругости.................. 8.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория 8.3. Теория наибольших растягивающих деформаций (вторая теория 8.4. Теория максимальных касательных напряжений (третья теория 8.5. Энергетическая теория (четвертая теория прочности)................ КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ.....................

ЧАСТЬ II. ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ, ИЗГИБА

1.4. Равновесные формы некоторых нерастяжимых нитей................. 1.7. Полная система уравнений для плоской пологой нити................ 1.8. Дисково-стержневые и шарнирно-стержневые конструкции.......... 1.16. Подбор сечений при действии постоянной нагрузки................. 2.2. Техническая теория чистого изгиба призматических брусьев......... 2.6. Случай несимметричного поперечного сечения....................... 2.7. Сочетание чистого изгиба с осевой деформацией.................... 3.3. Распределение касательных напряжений по некоторым поперечным сечениям........................................................ 3.6. Влияние сдвигов на перемещения и нормальные напряжения........

ГЛАВА 4. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПЛОСКОМ

ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА...................... 5.2. Определение положения нейтральной оси............................ 5.5. Криволинейные стержни как элементы конструкций................. 6.4. Секториальные характеристики сечения............................. ГЛАВА 7. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ.... 7.2. Кручение стержня эллиптического поперечного сечения............. 7.4. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения............. 7.7. Оценка прочности и жесткости при кручении.......................

ГЛАВА 8. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

8.1. Нормальные напряжения стесненного кручения...................... 8.2. Касательные напряжения стесненного кручения..................... 9.1. Об использовании энергетических свойств упругих тел.............. 9.3. Теоремы Лагранжа, Кастильяно и Клапейрона....................... 9.6. Потенциальная энергия деформации стержневой системы........... 9.8. Формулы для температурных перемещений.......................... 9.9. Перемещения при кинематическом воздействии..................... КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ.....................

ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК.............. 2.5. Полная система уравнений оболочки и способы ее решения......... ГЛАВА 3. ЧАСТНЫЕ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК...................... 3.2. Уравнения состояния безмоментных оболочек....................... 3.3. Уравнения состояния оболочек вращения............................ 3.6. Расчет сферического купола на действие собственного веса......... 3.7. Уравнения состояния цилиндрической оболочки..................... 3.8. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки.................................................. ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ...................... 4.1. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния....... 4.2. Полная система уравнений плоской задачи.......................... 4.5. Изгиб консоли прямоугольного профиля.............................

ГЛАВА 5. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ

5.3. Полярная симметрия. Чистый изгиб кривого бруса.................. 5.4. Задача о полом цилиндре, находящемся под действием внешнего 5.6. Растяжение пластины, ослабленной круглым отверстием............ КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ IV. СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ..................... ГЛАВА 1. ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ................... 1.2. Полная система уравнений произвольной шарнирно-стержневой 1.3. Статическая определимость. Неизменяемость........................ ГЛАВА 2. ИЗГИБАЕМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ................ 2.1. Полная система уравнений изгибаемой конструкции................. 2.2. О двух подходах при расчете стержневых конструкций.............. 2.3. Диски и связи. Правила соединения дисков......................... 2.5. Необходимое условие неизменяемости............................... 2.6. Необходимые и лишние связи и утверждения о них.................

ГЛАВА 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ

3.2. Аналитический признак неизменяемости............................ 3.5. Конструкция с избыточным числом связей...........................

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ

4.5. Кинематический способ построения линий влияния................. 5.2. Конструкции с произвольным конечным числом лишних связей..... 5.3. Степень статической неопределимости конструкции................. 5.5. Расчет на кинематическое воздействие.............................. ГЛАВА 6. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ............................ 6.1. Кинематические параметры состояния стержневой конструкции..... 6.3. Формирование системы разрешающих уравнений задачи............ 7.1. О выборе метода расчета статически неопределимой конструкции....
7.2. Вычислительная процедура смешанного метода...................... 7.3. Кинематический способ вычисления смешанных коэффициентов..... ГЛАВА 8. МНОГОКРАТНО СТАТИЧЕСКИ И КИНЕМАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ...................................... 8.1. Задачи с большим числом основных неизвестных.................... 8.2. Матричная форма методов сил и перемещений...................... 8.3. Неустойчивые решения в строительной механике.................... 8.4. Линейные преобразования единичных и грузовых эпюр............. 8.6. Пространственные конструкции с преобладающим изгибом......... 9.2. Треугольный конечный элемент плоской задачи теории упругости... 9.6. Пространственная задача теории упругости......................... КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ V. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СООРУЖЕНИЙ..................... ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ................... 1.1. Собственные колебания системы без учета сил сопротивления....... 1.2. Вынужденные колебания системы без учета сил сопротивления..... 1.4. Собственные колебания при учете сил внутреннего трения.......... 1.5. Вынужденные колебания при учете сил внутреннего трения.........

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ

2.1. Незатухающие собственные колебания систем с двумя степенями 2.2. Ортогональность собственных форм колебаний...................... 2.3. О выборе параметров состояния динамических систем.............. 2.4. Динамические усилия при незатухающих колебаниях............... 2.5. Собственные незатухающие колебания систем с произвольным 2.6. Собственные колебания с учетом сил сопротивления................ 2.7. Динамические усилия при наличии сил внутреннего трения......... 2.8. Вынужденные колебания при гармонической возмущающей силе.... 2.9. Вынужденные колебания при кинематическом возмущении.......... 2.10. Разложение возмущающего воздействия по собственным формам 2.11. Расчет конструкций на сейсмическое воздействие...................

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ

3.2. Первые собственное число и собственный вектор симметрической ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ................ 4.2. Собственные изгибные колебания призматического стержня......... 4.3. Собственные колебания многостержневых конструкций............. 4.4. Вынужденные изгибные колебания стержней........................ 4.5. Замена распределенных масс точечными............................. КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ VI. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ..................................................

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

1.2. Пример анализа устойчивости системы с одной степенью свободы 1.3. Пример анализа устойчивости системы с одной степенью свободы ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ... 2.1. Пример решения задачи статическим способом...................... 2.2. Статический критерий в случае произвольного конечного числа степеней свободы........................................................ 2.3. Пример решения задачи энергетическим способом................... 2.4. Энергетический критерий в случае произвольного конечного числа ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ.......................... 3.1. Отклоненное состояние равновесия стержня, испытывающего осевую и изгибную деформации......................................... 3.2. Критическое состояние гибкого стержня............................. 3.3. К оценке надежности конструкции, которая может потерять

ГЛАВА 4. ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО

4.1. Касательно-модульная и приведенно-модульная концепции критического состояния стержня из пластического материала............. 4.2. Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными. Оценка устойчивости сжатых стержней................... 4.3. Концепция продолжающегося нагружения........................... ГЛАВА 5. МНОГОСТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ............................... 5.4. Особые случаи при решении задач устойчивости.................... 5.5. Учет осевой пролетной нагрузки. Конструкции из непризматических стержней........................................................ 6.1. Пространственная форма потери устойчивости гибких стержней..... КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ VII. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТЕЛ.................. ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА............................................. 1.1. Предельное состояние силовой конструкции.......................... 1.2. Приспособляемость. Простое нагружение............................ 1.3. Дополнительные сведения о напряженном состоянии в точке тела.. ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ........ 2.1. Модели упругопластического материала при одноосном напряженном состоянии....................................................... 2.3. Активное и пассивное нагружения. Постулат Друкера............... 2.6. Теория малых упругопластических деформаций..................... 3.1. Теория пластичности и предельное состояние тела................... 3.2. Статическая и кинематическая теоремы о предельной нагрузке...... 4.2. Экспериментальная проверка условий начала текучести............. 4.3. Экспериментальная проверка законов упрочнения................... 4.4. Экспериментальная проверка деформационной теории............... 4.5. Экспериментальная проверка теории течения........................ КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... Приложение 1. Геометрические характеристики поперечных сечений Приложение 2. Сортамент прокатной стали.............................. Приложение 3. Размерности некоторых механических величин.......... Приложение 5. Механические характеристики конструкционных материалов............................................................... Приложение 6. Коэффициенты продольного изгиба......................

ПРЕДИСЛОВИЕ

Одна из главных задач в инженерном деле – обеспечение надежности создаваемых объектов. Слово "надежность" многогранно, но инженер, проектирующий мосты, опоры линий электропередач, каркасы зданий, корпуса судов и летательных аппаратов, другие силовые конструкции, связывает с термином надежность прежде всего прочность и жесткость задуманных им объектов. Говоря иначе, конструкция не должна разрушаться при эксплуатации или изменять форму и размеры так, что дальнейшее ее использование стало бы невозможным. Чтобы выполнить указанные требования, необходимо должным образом выбрать материал для изготовления конструкции, назначить размеры всех ее элементов, предложить способы присоединения элементов друг к другу. А для этого нужно уметь определять силы взаимодействия между конструкцией и окружающей ее средой, между различными элементами конструкции и даже между отдельными частями каждого элемента. Надо научиться учитывать изменение размеров и формы реальных тел при приложении внешних сил, смене температурного режима, монтаже конструкции, да и многое другое. Сказанное в самых общих чертах характеризует тот круг проблем, с которыми сталкиваются специалисты, обеспечивающие прочность инженерных конструкций. Изучение этих проблем, разработка и обоснование методов их решения – прерогатива отрасли знаний, именуемой механикой твердого деформируемого тела.

Механика твердого деформируемого тела преподается на всех технических факультетах в виде набора таких дисциплин, как техническая механика, сопротивление материалов, теория упругости и пластичности, строительная механика, возможно, и некоторых других. Представителям ряда специальностей достаточно знать только одну из дисциплин названного перечня, например, техническую механику или сопротивление материалов. Будущие строители зданий и сооружений, мостов и тоннелей, самолетов и кораблей изучают предмет в полном объеме. В этом случае разбиение механики деформируемого твердого тела на отдельные дисциплины теряет смысл и рубрикация курса может быть подчинена только внутренней логике.

При том варианте построения курса, который предлагается в настоящем пособии, в частях I (главы 1, 2, 5–7) и III сосредоточен материал, относящийся к компетенции теории упругости. В главах 3, 4, 8 части I и в части II изучаются вопросы, находящиеся в в дении сопротивления материалов.

Проблемы, с которыми имеет дело строительная механика, рассматриваются в частях IV, V и VI. Наконец, часть VII посвящена теории пластичности.

Излагаемый материал основан на цикле лекций, читаемых автором в течение многих лет студентам строительного факультета ПетрГУ. Однако дается он более детально, нежели это можно сделать в аудитории за отводимое учебным планом время. Сказанное относится как к набору рассматриваемых в пособии тем, так и к глубине их проработки. Такой образ действий продиктован желанием дать будущим инженерам представление о том минимуме знаний механики, которыми должен обладать специалист в области прочности и надежности строительных и машиностроительных конструкций. И не так уж и важно, что при первом знакомстве с механикой твердого деформируемого тела это представление частично будет получено только по наименованиям тех глав или разделов, которые в читаемый курс лекций не попадают.

На материал, содержащийся в начальных частях курса, приходится опираться при изложении его последующих частей. По этой причине неизбежны ссылки как на различные главы и параграфы (пункты) предыдущих разделов, так и на имеющиеся в них формулы и рисунки. Такие ссылки в качестве первого символа содержат римскую цифру, соответствующую номеру той части курса, к которой идет обращение. Так, словосочетание "см. главу II.3" означает, что речь идет о главе 3 из части II данной книги, а ссылка на формулу (2.7) из части V оформляется в виде записи (V.2.7).

ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ

МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

На материале этого раздела, как на фундаменте, покоится все здание механики твердого деформируемого тела. Прежде всего, здесь выводится и анализируется так называемая полная система уравнений задачи о напряженнодеформированном состоянии в точке тела. Без такой системы нельзя решить вопрос о прочности какой бы то ни было конструкции, будь то корпус океанского лайнера или крышка сосуда, находящегося под давлением. Хотя бы по этой причине данный раздел механики деформируемого твердого тела можно рассматривать как ключевой. Правда, для многих частных задач и полная система уравнений, и получаемые на ее основе разрешающие уравнения записываются намного проще, чем в общем случае. И тут нет ничего неожиданного: ведь и в других областях знаний дело обстоит подобным образом. Например, система уравнений, описывающих движение абсолютно твердого тела, сложнее уравнений равновесия этого тела, в свою очередь, условия равновесия для плоской системы сил составляются и решаются проще, чем в случае пространственной нагрузки. Безусловно, частные задачи заслуживают самостоятельного анализа и некоторые примеры такого анализа в данную часть пособия включены. Однако б льшая часть специальных задач изучается в других разделах курса.

При оценке прочности сооружений важна также информация о том, как сопротивляются разрушению конструкционные материалы. Чтобы получить такую информацию, проводят всевозможные испытания материалов при различных воздействиях. Поэтому изучение механики твердого деформируемого тела требует обращения к ее экспериментальной базе. Не обойтись и без обсуждения так называемых критериев прочности, т. е. признаков, по которым судят о возможном разрушении материала. Вот в самых общих чертах тот круг проблем, который предполагается рассмотреть в предлагаемой части курса.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Тела и прикладываемые к ним нагрузки. Под телом понимается как конструкция в целом, так и любой ее элемент. Собственно говоря, таким же образом вводилось понятие тела и в механике абсолютно жестких сред, но разница заключается в том, что теперь допускается возможность его (тела) деформирования. Другими словами, в изучаемом здесь разделе механики исследуются не только силы взаимодействия между различными телами и относительное движение таких тел, но и внутренние силы взаимодействия между частицами тела и относительное движение самих частиц.

Силы взаимодействия, возникающие при контакте тел, могут быть активными и реактивными. Последние представляют собой реакции связей, ограничивающих движение рассматриваемого тела по отношению к другим телам. Здесь связи считаются идеальными и стационарными.

Нагрузки, обусловленные контактом тел, т. е. прикосновением к данному телу других тел, называются поверхностными. Поверхностная нагрузка характеризуется главным вектором и главным моментом всех сил, возникающих при контакте. Эти интегральные характеристики нагрузки, имеющие размерность силы и момента силы, говорят о воздействии в целом, но не о его мере в той или иной точке зоны контакта. Локальную информацию о воздействии содержит так называемая интенсивность нагрузки, т. е. ее величина, отнесенная к единице площади загружаемой части поверхности тела:

В этой формуле q – интенсивность нагрузки, P – величина силы, приходящейся на бесконечно малый участок площади, включающий в себя рассматриваемую точку. При нагрузке, распределенной по площади равномерно, Если ширина площадки, к которой приложено воздействие, намного меньше ее длины, то величину нагрузки характеризует отношение которое называют интенсивностью погонной нагрузки. Через P обозначена величина нагрузки, приходящейся на участок бесконечно малой длины s. Точка, в которой вычисляется интенсивность q, находится внутри этого участка.

Если все размеры площадки, к которой приложена нагрузка, малы по сравнению с размерами тела, то нагрузку условно считают приложенной в точке, принадлежащей указанной площадке (например, в ее центре). Такую нагрузку называют сосредоточенной.

Помимо поверхностных нагрузок существуют и такие, которые прикладываются к каждой частичке тела: это так называемые объемные силы.

Примерами здесь могут служить силы веса, инерционные силы, силы магнитного взаимодействия. Интенсивность объемной нагрузки имеет размерность: ед. силы/ед. объема.

Нагрузки различают также по продолжительности и их характеру. Так, воздействие, связанное с конструкцией на весь срок ее службы, называют постоянным, а любое иное – временным. Такое разграничение полезно хотя бы потому, что положение временной нагрузки может меняться и приходится учитывать разные варианты загружения. Различают также статические и динамические нагрузки. Последние прикладываются настолько быстро, что возникающими при этом силами инерции нельзя пренебрегать.

1.2. Несиловое воздействие. Тела могут деформироваться не только при приложении внешних сил, но, например, и при изменении температуры окружающей среды. Изменение температуры приводит иногда к значительным силам взаимодействия между частицами тела, что заканчивается его разрушением. К несиловым относится и так называемое кинематическое воздействие, в частности, неравномерная осадка фундаментов сооружения.

Заметные силы взаимодействия между частицами тела могут возникнуть при радиационном облучении, при структурных изменениях в материале с течением времени (усадка бетона, загнивание древесины), при некоторых других видах несилового воздействия. Те эффекты, к которым подобные воздействия приводят, изучаются в специальных разделах курса.

1.3. Модель материала. Конструкции находятся в сложном взаимодействии с окружающей средой, обладают многими специфическими особенностями, и полный учет всех обстоятельств, сопровождающих процесс деформирования тел, невозможен. Да в таком учете и нет необходимости. Так, при выборе материала и диаметра троса лифта важно учесть вес лифта с находящимся в нем грузом, силы инерции, которые возникают при внезапном изменении скорости движения, но нет нужды принимать во внимание сопротивление воздуха. Сказанное объясняет, почему в механике деформируемого твердого тела оперируют не с реальными объектами, а с их моделями, которые учитывают лишь наиболее важные факторы, влияющие на прочность и жесткость исследуемой конструкции. Такие модели называют расчетными схемами конструкций. Более детальный разговор о назначении расчетной схемы возможен лишь после того, как будут изучены не только механика деформируемого твердого тела, но и специальные дисциплины, связанные с проектированием силовых конструкций. Однако об одном из самых важных звеньев любой расчетной схемы – модели материала конструкции можно и нужно вести речь уже сейчас.

Реальный материал обладает определенной структурой. Так, металл состоит из хаотически расположенных кристаллов, древесина – из более или менее упорядоченных волокон, бетон – из частиц заполнителей и цементного камня. Каждые кристалл, волокно, частица обладают индивидуальными свойствами, но поскольку в любом, даже малом, объеме, выделенном из тела, число элементов огромно, то наблюдается лишь среднестатистическое проявление индивидуальных свойств частиц. Именно этими усредненными свойствами и наделяют каждую точку объема тела, даже если рассматриваемая точка приходится, например, на межкристаллическое пространство.

Такая модель материала получила название сплошной бесструктурной среды, или просто сплошной среды.

Если свойства материала не зависят от размеров выделяемого в теле объема, то сплошную среду именуют однородной. Стало быть, однородное тело – это тело, свойства которого во всех его точках одинаковы. Сплошная среда называется изотропной, если свойства любого выделяемого из нее элемента не зависят от ориентации последнего. Изотропным материалом является металл. Древесина – яркий пример анизотропного материала.

1.4. Внутренние силы взаимодействия. Силы взаимодействия между отдельными элементами конструкции или отдельными частями самого элемента называют внутренними силами взаимодействия, или просто внутренними силами. Для того, чтобы эти силы обнаружить, используется метод сечений. Пусть тело, которое находится в состоянии равновесия под действием сил P1,..., P n (рис. 1.1a), мысленно рассекается на две части в некотором месте A. Говорят, что тело разделено на части сечением A, или разрезом A. Так как связи в месте рассечения тела устранены, необходимо для сохранения равновесия двух получившихся тел заменить влияние левой части на правую и правой части на левую системами сил PA, которые прикладываются к образовавшимся в результате разреза поверхностям тела (рис. 1.1b). Именно равные по величине и противоположные по направлению силы PA определяют взаимодействие между частями тела, расположенными по разные стороны от разреза.

Условия равновесия левой и правой отсеченных частей тела можно записать следующим образом:

Здесь через Лев(Pi ) и Пр(Pi ) обозначены суммы внешних сил или суммы моментов этих сил для частей тела, расположенных слева и справа от разреза. Аналогично запись (PA ) означает сумму внутренних сил или их моментов. Но и тело в целом находится в состоянии покоя, так что а потому равенства (1.1) зависимы. Таким образом, главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении A могут быть выражены через силы Pi как из условий равновесия левой части тела, так и из условий равновесия его правой части.

О детальном распределении сил PA по сечению пока говорить преждевременно. Ясно лишь, что эти силы должны так деформировать поверхности A обеих частей тела, чтобы при последующем совмещении разделенных частей никаких зазоров в зоне контакта не было. Такое требование, предъявляемое к характеру деформирования тела, получило название условия совместности деформаций.

1.5. Тензор напряжений и его компоненты. Пусть точка K, принадлежащая сечению A тела (см. рис. 1.1b) окружена малой окрестностью с площадью F . Пусть далее PA – сила, приходящаяся на названную малую площадку в сечении A. Предел называют вектором напряжений в точке K сечения A. Вектор s можно разложить на три составляющие. Его проекция на нормаль к сечению именуется нормальным напряжением и обозначается. Две другие составляющие, относящиеся к плоскости самого сечения, называют касательными напряжениями и обозначают. Символы и снабжаются индексами, о которых будет рассказано ниже.

Если через точку K провести другое сечение, то и вектор напряжений в этой точке будет другим. Совокупность напряжений для всего множества сечений, проходящих через данную точку тела, называют напряженным состоянием в этой точке. Ориентацию любого сечения можно определить вектором нормали к нему. Следовательно, напряженное состояние в точке тела характеризуется двумя векторами: и или 3 · 3 = 9 скалярными величинами. Такие объекты называются двухвалентными тензорами. Тензор, описывающий напряженное состояние в точке тела, именуют тензором напряжений и обозначают Tн. Остается выяснить, что представляют собой его компоненты.

На рис. 1.2 изображен параллелепипед бесконечно малых размеров – так называемый элементарный параллелепипед, содержащий точку, в которой исследуется напряженное состояние. Если при помощи шести разрезов указанный объем отделить от тела, то к каждой грани надо будет приложить силы, заменяющие отброшенные части этого тела. Так как параллелепипед мал, то силы взаимодействия можно считать равномерно распределенными по его граням. Такие силы сводятся к равнодействующим, приложенным к центрам граней. Каждая из равнодействующих может быть разложена на составляющие так, как это показано на рис. 1.2. На этом же рисунке указана используемая далее ортогональная система декартовых координат.

Нормальные составляющие Sx, Sy, Sz сил взаимодействия снабжены лишь одним индексом, указывающим как на направление самой силы, так и на направление нормали к площадке, на которую данная сила действует. Положительными считаются нормальные силы, которые стремятся растянуть выделенный элемент. Силы, действующие в плоскостях граней параллелепипеда, называют касательными. Обозначающие их символы снабжены двумя индексами, первый из которых указывает на направление нормали к положительна, если на площадке с положительной внешней нормалью она направлена в ту же сторону, что и параллельная ей изображены положительными. Коллинеарные силы, прикладываемые к взаимно параллельным граням, обозначаются одинаково, что и учтено при выполнении рис. 1.2:

чтобы не загромождать чертеж, наименования сил на видимых гранях параллелепипеда не выписывались.

По указанной схеме расставляются индексы и назначаются знаки не только для внутренних сил взаимодействия, но и для напряжений. Из сделанного выше предположения о равномерности распределения сил Sx, Sxy,..., Sz по граням параллелепипеда следует:

Таким образом, напряженное состояние в точке тела характеризуется девятью числами, образующими матрицу фигура f, центр тяжести C которой находится на линии s. Фигура f перемещается вдоль кривой s так, чтобы ее (фигуры) плоскость все время была ортогональна к вектору t касательной к линии s в текущей точке (рис. 1.3a). Поверхность, которую образует при таком движении контур фигуры f, называется поверхностью бруса, а сам брус – это тело, ограниченное поверхностью и двумя торцевыми поверхностями 0 и, имеющими форму фигуры f (см. рис. 1.3b).

Линия s именуется осью бруса, а разрез A, совпадающий с фигурой f, – поперечным сечением бруса. Если ось s прямолинейна и поперечное сечение вдоль нее не меняется, брус называется призматическим.

Теперь можно перейти к описанию усилий. На рис. 1.4a показана одна из частей бруса, полученная при помощи поперечного разреза. Действие отброшенной части на оставшуюся сведено к векторам S и M силы и момента, связанным с центром тяжести поперечного сечения. Вектор момента изображен на рисунке при помощи двойной стрелки, что позволяет легко отличить его от вектора силы. Момент считается положительным, если при взгляде на острие вектора M наблюдается вращение против хода часовой стрелки. В центре тяжести сечения размещено и начало ортогональной системы координат, ось ox которой совмещается с осью бруса, а оси 0y и 0z принадлежат поперечному сечению. Составляющие векторов S и M в данной системе координат называют усилиями в поперечном сечении стержня.

Проекцию N вектора S на ось ox именуют продольной силой, иногда – нормальной силой, ибо она направлена вдоль волокон бруса и, стало быть, нормальна к его поперечному сечению. Составляющие Qy и Qz, отнесенные к плоскости самого сечения, называют поперечными силами. Момент Mx получил название крутящего момента, поскольку он стремится закрутить стержень относительно его оси, а составляющие My и Mz вектора M – суть изгибающие моменты. Если силы, приложенные к стержню, известны, то все шесть усилий могут быть найдены из условий равновесия любой отсеченной части бруса.

Усилия можно связать с нормальными и касательными напряжениями, отнесенными к тому же самому поперечному сечению бруса (F – площадь такого сечения). Как видно из рис. 1.5b (см. также рис. 1.4b), Понятие усилий, достаточно важное при исследовании многих частных задач механики, может быть распространено и на тела, не имеющие форму бруса.

1.7. Эпюры усилий. Усилия в брусе однозначно выражаются через поверхностную нагрузку и объемные силы. Если в процессе нагружения тело меняет свои форму и размеры незначительно (см. далее п. 3.2, 3.3), то установить аналитическую связь между усилиями (1.4) и внешними силами можно при помощи одних лишь уравнений равновесия. Довести же решение задачи об усилиях в брусе до числа удается лишь в случае, когда все внешние воздействия, включая и реакции связей, известны.

По определению, усилия в брусе – суть функции только одного переменного – параметра, определяющего положение центра тяжести поперечного сечения на оси бруса. В качестве такого параметра обычно выбирается дуговая координата произвольной точки C, отсчитываемая вдоль линии s от начала 0 стержня (см. рис. 1.3). Чтобы установить зависимости необходимо рассечь брус поперечным разрезом на две части, одну из частей отбросить, заменив ее влияние на оставшуюся часть усилиями (1.5), и составить шесть независимых условий равновесия рассматриваемой части тела. Наглядное представление о распределении усилий вдоль оси бруса, а, значит, и о том, где они экстремальны, дают графики функций (1.5), именуемые эпюрами усилий. Далее рассказ о построении эпюр усилий ведется на примере призматического бруса.

0y и 0z принадлежат начальному поперечному сечению. Векторы положительных усилий в начальном торце стержня антипараллельны соответствующим координатным осям, тогда как в конце стержня направления положительных усилий и соответствующих координатных осей совпадают. Так как направления искомых усилий заранее неизвестны, их на рассматриваемой части стержня обычно изображают положительными.

Сказанного достаточно для того, чтобы можно было обратиться к конкретной задаче. На рис. 1.7a показан брус прямоугольного поперечного сечения, начальный торец которого свободен, а конечный – защемлен. На левую кромку консоли оперта плита, оказывающая на брус равномерно распределенное давление заданной интенсивности q. Кроме того, к правому нижнему углу начального торца прикреплен натянутый силою 2 2P трос. Его наклон к оси 0y составляет 30o, а к осям 0z и 0x – 45o и 135o соответственно. На брус действуют также реакции в заделке, сводящиеся к векторам R1 и R2, компоненты которых могут быть найдены из условий равновесия конструкции в целом. Однако в рассматриваемой задаче определять опорные реакции не обязательно, ибо при вычислении усилий всегда можно рассматривать равновесие той отсеченной части бруса, которая опору не содержит. Такая часть изображена на рис. 1.7b. Сила 2 2P заменена ее составляющими, через y и z обозначены оси, проходящие через центр тяжести текущего поперечного сечения параллельно осям 0y и 0z соответственно. Тогда (пометка лев под знаком суммы означает, что рассматривается равновесие не всей конструкции, а только ее левой отсеченной части):

лев лев На рис. 1.8 приведены графики только что вычисленных функций – эпюры всех шести усилий. Они изображены в аксонометрии и заштрихованы ординатами. Усилия вдоль оси 0x не меняются. Их эпюры на интервале [0, L] являются прямыми линиями, параллельными оси стержня. В начале и в конце указанного интервала на эпюрах ”N ” и ”Qz ” имеются разрывы, называемые скачками.

Величины скачков в точности равны значениям сил (активных либо реактивных), которые приложены по торцам стержня в направлениях осей 0x и 0y соответственно. Эпюру продольных сил можно изображать с любой стороны от оси 0x и в любой плоскости, содержащей эту ось. В рассматриваемом примере ее (эпюры) ординаты отложены вверх от оси 0x в плоскости 0xy.

Эпюра поперечных сил Qz обязательно изображается в плоскости 0xz, т. е.

в плоскости действия усилий Qz. Ординаты откладываются в таком направлении от оси 0x, чтобы при взгляде на эпюру ”Qz ” со стороны острия оси 0z направления скачков на графике совпадали с направлениями приложенных сил.

Усилия являются линейными функциями абсциссы x. Графики прямых линий строятся по двум точкам, ординаты которых равны значениям соответствующих усилий в начале и в конце стержня. Правила построения эпюры ”Qy ” те же, что и эпюры ”Qz ”. Изображать эпюру крутящих моментов Mx так же, как и эпюру продольных сил N, можно произвольно. На эпюре ”Mx ” имеются скачки (в начале и в конце стержня), равные прикладываемым крутящим моментам. В данном примере значение Mx (0) отрицательно. Знак крутящего момента в конце стержня может быть любым. При qhL 2P h( 6 2) этот знак положителен.

Эпюра ”My ” изображается в плоскости 0xz, ортогональной вектору момента My. И на этой эпюре имеются скачки, равные приложенным по торцам сосредоточенным моментам. В начале стержня момент M = P h/2 относительно оси 0y вызывает составляющая Px = P силы, приложенной в точке A. Если этот момент заменить парой сил так, как это показано на рис. 1.9a, то можно увидеть, что волокно AA бруса окажется растянутым, а волокно BB – сжатым. Эпюры изгибающих моментов изображают таким образом, чтобы их ординаты были отложены со стороны растянутых волокон стержня.

Такое правило освобождает от необходимости указывать на эпюрах изгибающих моментов знак, тогда как постановка знака на всех четырех эпюрах остальных усилий обязательна. Следует обратить внимание на то, что знак "+" на эпюре ”N ” означает растяжение бруса. Если смотреть на векторы торцевых крутящих моментов как на векторы сил, то брус зрительно будет восприниматься как растягиваемый этими силами. Знак "+" на эпюре ”Mx ” отвечает "растяжению".

Изгибающий момент меняется вдоль оси консоли по закону квадратной параболы. График кривой линии строят по нескольким точкам. Особый интерес представляют экстремальные значения функции Mz (x). По производным функции Mz (x) видно, что последняя в пределах интервала [0, L] стационарных точек не имеет и что ее график обращен выпуклостью вниз (при изображении эпюры ”Mz ” в плоскости 0xy со стороны растянутых волокон бруса; см. рис. 1.9b и 1.8).

В плоской задаче эпюры усилий строятся проще. На рис. 1.10a показана двутавровая балка, имеющая в начале подвижную цилиндрическую опору и неподвижную цилиндрическую опору в конце. Плоскость 0xy является плоскостью симметрии как для конструкции, так и для нагрузки на нее, поэтому только усилия N, Qy (x) и Mz (x) могут быть отличными от нуля. Расчетная схема балки представлена на рис. 1.10b. Все силы приведены к оси бруса, так что в том месте, где действует заданная сила P, появляется сосредоточенный момент жительная поперечная сила вращает рассматриваемую отсеченную часть бруса по часовой стрелке, а положительный изгибающий момент Mz растягивает волокна, расположенные ниже плоскости 0xz.

Используя рис. 1.11, можно составить выражения для усилий в поперечных сечениях, расположенных на участке балки между точками с координатами x = L и x = 2L, т. е. при L x 2L. Если же мысленно представить себе, что разрез сделан в сечении m, левее которого к отсеченной части бруса приложена только одна внешняя сила – реакция R2, то при помощи этого же рисунка можно будет получить формулы для усилий и при 0 x L. Из рис. 1.11 видно также, что для определения величин N, Qy и Mz достаточно знать только реакцию R2, тогда как реакции R1 и R3 останутся в ходе последующих вычислений невостребованными. Тем не менее их тоже следует найти хотя бы для того, чтобы убедиться в правильности вычислений. Кроме того, при отыскании усилий на участке Условия равновесия Px = 0, MB = 0 и MA = 0, составленные для всей конструкции в целом (см. рис. 1.10b), позволяют найти реакции а при помощи уравнения Py = 0 можно убедиться в том, что реакции R2 и R3 найдены правильно. После этого останется последовательно определить усилия на всех трех участках балки.

a) 0 x L (рис. 1.11, точка m):

С учетом значения R2 = 35qL/8 (см. формулы (1.6)) отсюда следует:

b) L x 2L (рис. 1.11, точка k):

Стало быть, c) 2L x 3L (рис. 1.12, точка k):

Подстановка сюда реакций R1 и R3 по формулам (1.6) дает:

Эпюры усилий (1.7a)–(1.7c) изображены на рис. 1.13. Следует обратить внимание на то, что в точке a прямолинейный участок эпюры ”Mz ” плавно переходит в квадратную параболу, обращенную выпуклостью вниз.

1.8. Связь между усилиями и интенсивностями распределенных погонных нагрузок. На рис. 1.14a показан элемент стержня, выделенный из последнего двумя поперечными сечениями, расположенными бесконечно близко друг к другу. К центрам тяжестей торцевых сечений элемента приложены усилия, замещающие влияние на него отброшенных частей бруса. Кроме того, вдоль оси ab элемента действуют распределенные погонные нагрузки (как силовые, так и моментные), к которым сведены все внешние силы. Чтобы не затемнять чертеж, силовые и моментные воздействия на рис. 1.14a разделены. Интенсивности mx, my, mz погонных распределенных моментов имеют размерность единицы момента, деленной на единицу длины (т. е. размерность силы). Усилия в различных сечениях бруса отличаются друг от друга, но если сечения b и a расположены бесконечно близко друг к другу, то бесконечно мала и разность Sb Sa между усилиями в указанных сечениях. С точностью до величин высшего порядка малости ее можно принять равной линейной части dS изменения усилия Sa. При выполнении рис. 1.14 это обстоятельство было учтено.

На рис. 1.14b воздействия на элемент еще более дифференцированы. На каждой из 6 схем этого рисунка показаны только те нагрузки, которые входят в соответствующие условия равновесия рассматриваемого элемента, а именно в уравнения Первое и последнее из них в подробной записи имеют вид:

Подчеркнутое слагаемое имеет высший порядок малости по сравнению с остальными слагаемыми и потому отбрасывается. Аналогично составляются и все остальные условия равновесия элемента. В итоге получаются 6 соотношений, связывающие усилия в брусе с интенсивностями погонных нагрузок:

В частном случае, когда распределенные нагрузки отсутствуют, отсюда следует:

Это означает, что на тех участках бруса, где нет нагрузки, продольная сила, поперечные силы и крутящий момент постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону. Если же q = const и m = const (равномерно распределенные воздействия), то первые из четырех названных выше усилий линейны, а изгибающие моменты описываются квадратичными функциями.

Все только что сказанное имеет прямое отношение и к рассмотренным в предыдущем пункте примерам.

В плоской задаче из 6 соотношений (1.8) остаются 3 зависимости:

В балках воздействия qx и mz, как правило, отсутствуют. В этом случае Таким образом, поперечная сила в балке является производной от изгибающего момента, а интенсивность погонной распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы с обратным знаком.

Зависимости (1.8)–(1.9) используются как для контроля вычислений, так и при построении эпюр усилий. На рис. 1.15a изображена балка, несущая распределенную треугольную нагрузку, интенсивность которой максимальна в точке x = L. Равнодействующая S такой нагрузки, равная площади S = qL/2 треугольника, действует по вертикали, проходящей через его центр тяжести. Поэтому 2/3 силы S воспринимается правой опорой балки и 1/3 – ее левой опорой. Так как R1 = 0, то продольных сил в балке нет. Тогда (см. рис. 1.15b) откуда с учетом формулы (1.9)2 следует Впрочем, зависимость Qy (x) не многим сложнее найти из уравнения равновесия Py = 0, составленного для левой отсеченной части балки.

рис. 1.15c). Затем внимание обращается на то, что в точке x = 0 интенсивность q(x) распределенной нагрузки равна нулю (т. е. q(0) = 0), а потому, согласно первой из формул (1.9), и Qy = 0. Следовательно, касательная к графику функции Qy (x) в точке x = 0 должна быть горизонтальной и дело сводится к изображению b и имеет горизонтальную касательную в точке a. Именно такая кривая и приведена на рис. 1.15c.

Из условия Qy = 0 можно найти координату x сечения, в котором поперечная сила равна нулю (см. формулу (1.10)2 ):

Согласно зависимости (1.9)2, в этом сечении изгибающий момент максимален. Кроме того, Mz (0) = Mz (L) = 0. Значит, при построении эпюры ”Mz ” достаточно вычислить значение усилия Mz в точке с абсциссой (1.11):

Что же касается выпуклости эпюры изгибающих моментов, то в общем случае ее проще всего установить при помощи следующего запоминающегося образа: линия ординат эпюры ”M ” при действии распределенной нагрузки принимает ту же форму, что и наполняемый ветром парус.

1.9. Задача механики твердого деформируемого тела. Конструкции выполняются из самых разных материалов, которые, однако, можно с определенными оговорками разбить на две группы, а именно на хрупкие и пластические материалы. При разрушении хрупких материалов (природные и искусственные камни, стекло, чугун и др.) образуются трещины разрыва.

С возникновением таких трещин, т. е. с отрывом одних частиц материала от других в направлении, ортогональном поверхности контакта отделяемых частиц, естественно связать нормальные напряжения. Разрушение пластических материалов (мягкая сталь, многие другие металлы) происходит по иной схеме: материал выходит из строя при скольжении одних частиц тела по другим, что можно объяснить действием касательных напряжений. Как станет ясным из дальнейшего, картина разрушения материала более сложна, она не укладывается в чистом виде ни в ту, ни в другую схему, но важно то, что разрушение начинается в тех точках тела, в которых напряжения достигают опасных для данного материала величин. Оценить же прочность тела можно лишь при соблюдении следующих условий:

1. Известны все точки тела, в которых нормальные или касательные напряжения достигли наибольших значений.

2. Известны предельные для материала тела значения нормальных и касательных напряжений.

3. Известны критерии разрушения материала, т. е. ясно, какие именно компоненты тензора напряжений или их комбинации должны сопоставляться с предельными значениями этих величин и как такое сопоставление должно выполняться.

Из этих трех пунктов и вытекают все те задачи, решать которые призвана механика твердого деформируемого тела. Определение механических свойств материала осуществляется чисто экспериментальными методами.

Для решения круга проблем, связанных с критериями разрушения, нужны и теоретические, и экспериментальные исследования. Обе указанные проблемы весьма важны, но все же не они являются в механике твердого деформируемого тела центральными. На первое место здесь выходит задача отыскания в любой точке тела напряжений и перемещений по заданным его размерам, материалу, условиям закрепления и нагрузке. Это есть задача о напряженно-деформируемом состоянии в точке тела. Ее центральное место объясняется многими причинами. Во-первых, она весьма обширна и сложна.

Во-вторых, никакая информация о свойствах материала не позволит запроектировать надежно работающую конструкцию, если нет возможности найти все ее опасные точки и вычислить в них напряжения. В-третьих, проводимые без достаточной теоретической подготовки эксперименты малоэффективны.

Это как раз тот случай, когда уместно вспомнить известное изречение о том, что нет ничего более практичного, чем хорошая теория.

Начинать решение основной задачи механики твердого деформируемого тела удобно с вывода и анализа тех зависимостей между компонентами тензора напряжений, которые вытекают из условий равновесия тела. Этому и посвящается следующая глава данного раздела курса.

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА

2.1. Уравнения равновесия в точке тела. Условия равновесия тела сводятся к шести скалярным равенствам. Сказанное относится и к элементарному параллелепипеду, изображенному на рис. 1.2. К тем силам, которые показаны на этом рисунке, следует добавить объемные силы. Последние ввиду малости выделенного элемента допустимо считать распределенными равномерно и заменить равнодействующей с составляющими Px, Py, Pz, приложенными в центре параллелепипеда. Пусть X, Y, Z – интенсивности указанных составляющих, т. е.

Условия равновесия параллелепипеда можно записать, приравнивая к нулю проекции всех приложенных к нему сил на оси координат, а также полагая равными нулю моменты этих сил относительно осей, параллельных координатным и проходящих через центр параллелепипеда. Такая форма записи условий равновесия удобна тем, что в последние три соотношения не войдут как объемные силы, так и большинство сил, приложенных к граням.

Для дальнейших выкладок используются рис. 2.1a, b. На первом рисунке указаны только те силы, проекции которых на ось 0x отличны от нуля.

Соответственно, на рис. 2.1b изображены лишь воздействия, вызывающие ненулевые моменты относительно оси u u.

Поскольку параллельные грани параллелепипеда бесконечно близки друг к другу, то действующие по ним коллинеарные силы отличаются на дифференциально малые величины dSx, dSyx и т. д. При вычислении приращений усилий можно ограничиться удержанием лишь их линейных частей, т. е. пользоваться следующим представлением для полного дифференциала df функции трех переменных:

Условие т. е.

Координаты y и z точек приложения сил Sx и Sx + dSx одинаковы, и после подстановки в формулу (2.2) значений f = Sx, dy = dz = 0 получится Из сказанного ясно, что а потому равенство (2.3) принимает вид Остается подставить сюда силы Sx, Syx, Szx, Px по формулам (1.2) и (2.1) и сократить обе части на величину dV = dxdydz:

Аналогично можно представить и условия целесообразно проанализировать равенство Входящие в левую часть слагаемые dSzy dz/2 и dSyz dz/2 имеют высший порядок малости по сравнению с остальными членами, и их можно отбросить.

Таким образом, или (после подстановки сил Szy и Syz по формулам (1.2) и сокращения на ненулевой множитель dV ) Совершенно очевидно, что сюда можно добавить еще два таких же соотношения и получить равенства:

называемые законом парности касательных напряжений. Согласно этому закону, по двум любым взаимно перпендикулярным граням параллелепипеда действуют равные по величине касательные напряжения, которые направлены ортогонально к общему для этих граней ребру (или навстречу друг к другу, или в разные стороны от ребра).

Нетрудно увидеть, что формулы (2.4) получаются одна из другой при помощи так называемой круговой подстановки индексов, т. е. при изменении индексов у входящих в эти формулы символов по схеме Правило круговой подстановки индексов позволяет вывести сначала только какое-либо одно из трех скалярных соотношений задачи, а затем перейти к двум оставшимся уравнениям по стеку (2.5). Сказанное относится и к равенству (2.3a), которое в результате использования правила (2.5) дает Соотношения (2.6) называют уравнениями равновесия Навье – по имени французского инженера и ученого, члена Парижской академии наук, который получил их в 1821 г. Уравнения Навье связывают между собой шесть искомых функций (учитывается закон парности касательных напряжений) в каждой точке тела, а именно функции Из трех уравнений шесть неизвестных величин не найти, поэтому задачу отыскания напряжений в точке тела называют статически неопределимой.

Сказанное означает, что к исследованию напряженного состояния должна быть привлечена не только информация о равновесии тела. Кроме того, следует иметь в виду, что уравнения (2.6) являются дифференциальными и содержат частные производные. При интегрировании таких уравнений появляются новые неизвестные функции координат, которые должны удовлетворять граничным условиям задачи. Граничные условия (их называют также краевыми условиями) формулируются с учетом нагрузки, приложенной к поверхности тела. Этот вопрос настолько важен, что его освещению отводится весь следующий пункт.

2.2. Напряжения на наклонных площадках. Для тел простой формы связь между нагрузкой и напряжениями на поверхности тела устанавливается сравнительно просто. Сказанное можно проиллюстрировать на примере призматического стержня, изображенного на рис. 2.2a.

Как бы ни менялись напряжения внутри бруса, но на границах тела они должны в точности соответствовать заданной поверхностной нагрузке. Это требование математически формулируется следующим образом.

Грань 1-3-4-2: z = b, 0 x l, 0 y h. Здесь нет нагрузки, а потому не может быть и напряжений, т. е.

Остальные компоненты тензора напряжений относятся к площадкам, которые рассматриваемой части поверхности бруса не принадлежат, а потому непосредственная связь между напряжениями x, y, xy и нагрузкой на грань 1-3-4-2 отсутствует.

Грань 1-2-6-5: x = 0, 0 y h, 0 z b. Ситуация аналогична предыдущей, но к нулю приравниваются другие компоненты тензора напряЧасть I жений:

Грань 1-5-7-3: y = h, 0 x l, 0 z b. Здесь приложена распределенная нагрузка, сжимающая верхний слой бруса. Касательной нагрузки в плоскости грани нет, поэтому Грань 2-6-8-4: y = 0, 0 z b. Касательные напряжения на этой грани отсутствуют при любом значении аргумента x:

Для напряжений y граничные условия записываются так:

Краевые условия на двух оставшихся гранях очевидны.

Попытка столь же просто записать граничные условия для тела, изображенного на рис. 2.2b, обречена на неудачу. Сложность здесь в том, что направления нормальных и касательных напряжений на верхней и нижней поверхностях бруса не совпадают с направлениями напряжений, найденных для внутренних точек тела. Возникает необходимость установить связь между напряжениями, действующими по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям, с напряжениями или нагрузками, которые относятся к произвольно ориентированной площадке, проходящей через ту же точку тела. Это можно сделать, если рассмотреть равновесие элементарного тетраэдра, выделенного из тела вблизи его границы. Любая поверхность аппроксимируется набором бесконечно малых треугольников, следящих ориентацией своих плоскостей за формой поверхности в той или иной ее точке. Поэтому и выделяемый тетраэдр следует расположить так, чтобы три его взаимно ортогональные грани были параллельны координатным плоскостям и уходили внутрь тела, а четвертая, наклонная грань, принадлежала границе тела.

Описанный тетраэдр показан на рис. 2.3.

Наклонная грань характеризуется нормалью к ней, а именно – направляющими косинусами l, m, n орта этой нормали. Вектор Q нагрузки, приложенной к наклонной площадке, имеет составляющие Qx, Qy, Qz, которые ввиду малости площадки ABC связаны со своими интенсивностями qx, qy, qz следующим образом:

Здесь F – площадь наклонной площадки. Все остальные силы, приложенные к выделенному элементу, раньше уже встречались, и их можно не называть. На рис. 2.3 показаны только те силы, которые дают ненулевые проекции на ось абсцисс. Итак, Пусть Fx, Fy, Fz – площади граней тетраэдра, ортогональных к соответствующим координатным осям, а h – его высота при основании ABC. Тогда и (см. формулы (2.7)) рассматриваемое условие равновесия принимает вид Подчеркнутый член имеет высший порядок малости и может быть отброшен.

Кроме того, Следовательно (F = 0), Остается применить правило круговой подстановки индексов:

Эти равенства называют уравнениями Коши на поверхности. Именно с их помощью нагрузка в любой точке произвольной поверхности тела может быть связана с напряжениями по трем взаимно перпендикулярным площадкам, окружающим данную точку.

Если спроецировать нагрузки (2.7) на нормаль к наклонной площадке, получится сила Сумма, заключенная в скобки, имеет смысл нормальных напряжений по наклонной площадке:

Подстановка сюда интенсивностей нагрузки по формулам (2.8) и учет закона парности касательных напряжений дают:

Проецирование же нагрузок (2.7) на прямую (l1, m1, n1 ), принадлежащую самой наклонной площадке, позволяет получить следующее выражение для касательных напряжений по направлению указанной прямой:

1 = x ll1 +y mm1 +z nn1 +xy (lm1 +l1 m)+yz (mn1 +m1 n)+xz (nl1 +n1 l).

Для того, чтобы найти полное касательное напряжение по наклонной площадке, надо определить какие-либо две его составляющие. Однако модуль величины можно установить и без этого. Так как интенсивность q нагрузки связана с интенсивностями qx, qy, qz очевидной зависимостью q = qx +qy +qz, а, с другой стороны, q = +, то 2.3. Экстремальность нормальных напряжений. Полученные в предыдущем пункте результаты относятся и к тетраэдру, целиком погруженному внутрь тела, а потому на соотношения п. 2.2 допустимо опираться не только при формулировке граничных условий задачи. Например, с помощью этих соотношений можно найти проходящие через рассматриваемую точку тела площадки, на которых действуют максимальные нормальные напряжения.

Важность предложенной задачи ясна из сказанного в п. 1.9.

Пусть известны все компоненты тензора напряжений в окрестности рассматриваемой точки тела. Требуется найти ориентацию тех площадок (т. е.

значения l, m, n направляющих косинусов ортов нормалей к ним), которые проходят через данную точку и на которых нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Иначе говоря, требуется исследовать функцию (2.9) на экстремум по аргументам l, m, n. Поскольку эти величины связаны равенством то дело сводится к решению задачи на условный экстремум: найти стационарные точки функции (2.9) при условии (2.11). Здесь можно воспользоваться методом Лагранжа, согласно которому при помощи множителя и зависимостей (2.9) и (2.11) образуется новая вспомогательная функция после чего анализируются уравнения Вычисления здесь элементарны, так что приводимая ниже окончательная запись условий экстремума функции очевидна:

Сравнение равенств (2.12) и (2.8) показывает, что множитель Лагранжа имеет смысл интенсивности нагрузки, направленной строго перпендикулярно к наклонной площадке. При такой нагрузке касательных напряжений на этой площадке не будет вообще, а интенсивность q = указанного воздействия совпадает с нормальными напряжениями.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие по ним нормальные напряжения – главными напряжениями. Таким образом, наибольшие нормальные напряжения нужно отыскивать среди главных напряжений. Чтобы вычислить последние, надо, положив =, переписать равенства (2.12) в виде Эта система уравнений является однородной, и поскольку ее очевидное решение l = m = n = 0 смысла не имеет, необходимо приравнять к нулю определитель уравнений (2.12a):

После раскрытия определителя, ряда упрощений и обозначений уравнение (2.13) примет вид Определитель (2.13) симметричен, а потому все корни уравнения (2.13a) действительные числа. Их обозначают через 1, 2, 3 и располагают в убывающей последовательности Вообще говоря, возможны и кратные корни, но учет этого обстоятельства усложняет дело, не меняя его сути, а потому случай кратных главных напряжений здесь не рассматривается.

Значения главных напряжений найдены, и теперь можно определить ориентации главных площадок. Ввиду условия (2.13) уравнения (2.12a) линейно зависимы, поэтому одно из них надо отбросить (например, последнее), присоединить к двум оставшимся равенствам соотношение (2.11) и разрешить получившуюся систему относительно направляющих косинусов l, m, n. Ясно, что хотя бы одно из касательных напряжений должно отличаться от нуля, иначе главные площадки были бы параллельны координатным плоскостям и разыскивать их не было бы необходимости. Пусть, для определенности, zx = 0, т. е. n = 0.

Тогда при помощи обозначений записанные выше уравнения можно будет представить в виде:

Согласно правилу Крамера, = D1 /D, = D2 /D, где следовательно (см. обозначения для и ), Чтобы найти все главные площадки, надо в приведенные выше формулы последовательно подставить = 1, = 2, = 3 и вычислить соответствующие этим главным напряжениям тройки чисел В плоской задаче, т. е. при z = yz = zy = 0, можно привести готовые формулы для главных напряжений. В этом случае и уравнение (2.13a) становится квадратным:

Отсюда следует, что или (см. равенства (2.14a)) Нормали к главным площадкам характеризуются направляющими косинусами Эти формулы используются при m = 0. Случай m = 0, l = 1 тривиален и интереса не представляет.

2.4. Ортогональность главных площадок. Нетрудно убедиться в том, что главные площадки взаимно ортогональны. И в самом деле, из равенств (2.12) при = 1 и = 2 следует:

Далее проделываются следующие операции:

a) три левых равенства умножаются соответственно на числа l2, m2, n и складываются;

b) три правых равенства умножаются на числа l1, m1, n1 и тоже складываются;

c) из левого суммарного равенства вычитается правое суммарное равенство;

d) получившееся соотношение элементарными преобразованиями приводится к виду Поскольку 1 2, то что и говорит об ортогональности векторов 1 (l1, m1, n1 ) и 2 (l2, m2, n2 ), т. е.

первой и второй главных площадок. Равенства порождаются формулой (1, 2 ) = 0 при помощи правила круговой подстановки индексов.

2.5. Инварианты тензора напряжений. Наверное, не вызовет возражений утверждение, что значения главных напряжений не могут зависеть от того, в какой системе координат вычислялись компоненты тензора напряжений Tн. И в самом деле, наибольшие напряжения в теле определяются его формой, размерами, материалом, способом закрепления, нагрузкой, наконец, но никак не тем обстоятельством, каким базисом счел нужным воспользоваться специалист, проводивший вычисления. Однако значения главных напряжений будут получаться одинаковыми в разных системах координат лишь при условии, что коэффициенты I1, I2 и I3 уравнения (2.13a) являются константами в данной точке тела в том смысле, что сами не меняются при смене базиса. Константы такого рода называют инвариантами. В рассматриваемой задаче величины Ii представляют собой комбинации компонент тензора Tн, а потому их называют инвариантами тензора напряжений.


Величины I1, I2, I3 определяются формулами (2.14). Первый инвариант I1 равен следу тензора напряжений, т. е. сумме элементов, стоящих на главной диагонали матрицы (1.3). Инвариант -I2 представляет собой сумму главных миноров второго порядка этой же матрицы. Наконец, третий инвариант I3 равен определителю тензора Tн.

Наиболее просто инварианты Ii записываются в так называемых главных осях, т. е. в системе координат, орты которой совпадают с ортами нормалей к главным площадкам. Здесь Таким образом, при переходе от одной системы координат к другой отдельные компоненты тензора напряжений будут меняться, но их комбинации (2.14) останутся неизменными. В частности, при любом базисе сумма всех трех нормальных напряжений в данной точке тела будет одной и той же:

2.6. Экстремальность касательных напряжений. Прежде чем перейти к поиску площадок с экстремальными касательными напряжениями, полезно обратить внимание на следующее обстоятельство. При оценке прочности тел знак нормальных напряжений надо учитывать обязательно. Объяснение этому факту дано в 8-й главе, здесь же можно сослаться хотя бы на то, что многие материалы неодинаково сопротивляются растяжению и сжатию.

А вот смена знака у касательных напряжений не влияет ни на что: силы сопротивления при скольжении частиц тела друг по другу от направления движения не зависят. Это позволяет исследовать на экстремум не сами напряжения, а квадрат величины, что гораздо удобнее (см. формулу (2.10)). Кроме того, в формулах (2.8) и (2.9) целесообразно перейти к главным осям, т. е. к базису, в котором касательные компоненты тензора Tн обращаются в нуль:

Подстановка этих зависимостей в равенство (2.10) дает:

Поскольку на направляющие косинусы наложена связь (2.11), то для отыскания условного экстремума функции (2.15) по аргументам l, m, n формируется вспомогательная функция где – множитель Лагранжа. Условия экстремума после вычисления производных и очевидных упрощений примут вид:

Чтобы исключить множитель Лагранжа, можно, например, третье из уравнений (2.16) поочередно умножить на l и на m, а потом получившиеся соотношения вычесть соответственно из первого и второго равенств, умноженных на n:

Существует очевидное решение системы уравнений (2.16a) и (2.11):

Оно отвечает третьей главной площадке, на которой, как известно, = 0.

Это – абсолютный минимум функции (2.15). Таким образом, отыскивать решения, при которых два из трех направляющих косинусов обращаются в нуль, не имеет смысла. Если же l = 0 и m = 0, то из уравнений (2.16a) следует, что n = 0. В этом случае третье из равенств (2.16) удовлетворяется тождественно, а первые два можно будет сократить на множители l и m соответственно:

Исключение отсюда величины с учетом того, что 1 2, дает При n = 0 (см. формулы (2.9a) и (2.11)) Следовательно, l2 = m2 = 1/2, n2 = 0 и подстановка этих значений квадратов направляющих косинусов в формулу (2.15) приводит к результату Таким образом, одна из нетривиальных площадок с экстремальными касательными напряжениями найдена. Решения еще для двух таких площадок получаются при помощи правила круговой подстановки индексов. Результаты приводятся в таблице 2.1, из которой, в частности, видно, что площадки с экстремальными касательными напряжениями взаимно ортогональными не являются. Каждая из них наклонена под углом в 45o к каким-либо двум главным площадкам и перпендикулярна к третьей (см. рис. 2.4). Абсолютного максимума модуль касательных напряжений достигает на площадке, для которой m = 0.

2.7. Октаэдрические напряжения. Площадки, равнонаклоненные ко всем главным площадкам, называются октаэдрическими. Этот термин объясняется тем, что всего таких площадок 8 и с их помощью можно образовать правильный октаэдр, что и иллюстрирует рис. 2.5, выполненный в главных осях. Из равенств (2.11) при l2 = m2 = n2 следует, что направляющие косинусы октаэдрических площадок суть числа Далее вместо и для нормальных и касательных напряжений на октаэдрических площадках будут использоваться обозначения окт и окт. Тогда (см. формулу (2.9a)) т. е. нормальные напряжения на октаэдрических площадках равны среднему значению главных напряжений. Согласно формуле (2.15), или Напряжения окт и окт называют октаэдрическими. Безусловно, то обстоятельство, что около любой точки тела можно выделить элемент, на всех восьми гранях которого действуют совершенно одинаковые напряжения, интересно само по себе. И все же речь об октаэдрических напряжениях зашла по иной причине. Эта причина станет ясной по прочтению 6-й главы настоящего раздела.

ГЛАВА 3. ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

3.1. Классификация силовых конструкций. После того как в п. 1. была сформулирована основная задача механики твердого деформируемого тела, состоящая в определении по некоторой исходной информации напряжений и деформаций в окрестности любой его точки, был сделан и первый шаг на пути ее решения. А именно, были получены уравнения равновесия Навье (2.6), содержащие искомые компоненты тензора напряжений. При этом выяснилось, что рассматриваемая задача является статически неопределимой и для продолжения исследования необходимо опереться на некоторые дополнительные соображения. Однако сделать это тут же не удалось. Пришлось отвлечься на обсуждение вопроса о граничных условиях задачи и отыскание экстремальных значений нормальных и касательных напряжений. Теперь, когда указанные исследования остались позади, вывод полной системы уравнений, т. е. системы, достаточной для решения задачи о напряженнодеформированном состоянии в точке тела, можно было бы и продолжить.

Для этого снова понадобилось бы иметь дело с более или менее громоздкими выкладками, дифференциальными уравнениями в частных производных, т. е. с достаточно абстрактными математическими операциями. А между тем при помощи результатов, полученных в предыдущих главах, уже можно в некоторых частных случаях довести решение задачи о напряжениях в точках тела до числа. Вот почему целесообразно еще немного повременить с формальным анализом задачи, чтобы рассмотреть хотя бы один простейший случай деформирования и благодаря этому получить более четкое представление о том, чем собственно занимается механика твердого деформируемого тела.

Словосочетание "простейший случай" требует разъяснения. Для этого надо прежде всего установить некоторую иерархию в множестве силовых конструкций. К наиболее простым из них относятся так называемые стержневые конструкции, т. е. тела, состоящие из одного или большего числа стержней. Стержень отличается тем, что два его измерения – характерные размеры поперечного сечения – намного меньше третьего – длины. Здесь и далее под словами намного меньше или намного больше будет пониматься разница по крайней мере в 10 раз, что составляет один порядок в десятичной системе мер. В п. 1.6 речь о стержне (брусе) уже шла. К сказанному там можно добавить, что в строительной практике наиболее распространены конструкции из призматических брусьев: балки, фермы, рамы, пространственные каркасы зданий. Стержни с криволинейной осью – так называемые криволинейные стержни чаще используются в машиностроении, нежели в строительстве: остовы корпусов судов, фюзеляжи самолетов, крюки подъемных устройств и т. п. Но и среди строительных сооружений встречаются такие конструкции, как арки, винтовые косоуры, опорные кольца куполов, которые представляют собой не что иное, как криволинейные стержни.

Нечасто строители используют и брусья переменного сечения, у которых размеры сечений меняются вдоль оси.

Для стержня могут быть предложены самые простые расчетные модели.

Так, при отыскании усилий тело стержня заменяется его осью, на которую переносятся все нагрузки, прикладываемые к стержню (см. п. 1.7–1.8) Можно ожидать, что и напряжения в стержне отыскиваются более просто, чем в иных телах. Так оно и есть на самом деле.

Более сложен анализ напряженно-деформированного состояния конструкций, называемых плитами и оболочками. У этих конструкций одно из измерений – толщина – намного меньше двух других – характерных размеров в плане. Здесь при определении усилий и перемещений, обусловленных деформированием тела, расчетная модель выбирается в виде поверхности, на которую сводятся все нагрузки. Обычно моделирующая поверхность выбирается так, чтобы толщина плиты или оболочки делилась ею (поверхностью) пополам. Для оболочки такая срединная поверхность искривлена, для плит – это плоскость. Форму оболочек имеют такие конструкции, как купола, своды, резервуары, корпуса ракет и т. д. Плиты также весьма распространены в инженерном деле. Это – крышки резервуаров, перекрытия зданий, судовые переборки и многие другие конструкции. Расчетная модель плиты близка к модели стержня. Разница же заключается в том, что стержень – одномерный объект, а плита – двумерный, и потому состояние стержня описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, тогда как полная система уравнений плит включает дифференциальные уравнения в частных производных. Еще более сложной является задача о напряженнодеформированном состоянии оболочки. Хотя и эта задача является двумерной, но ее решение приходится строить в криволинейных координатах.

И последний класс конструкций – массивные тела. К ним относятся различные типы фундаментов, плотины, дамбы, цилиндрические и шаровые опоры. Задача отыскания напряжений и перемещений в точках таких тел является трехмерной.



Pages:   || 2 | 3 |
 


Похожие работы:

«М.Г. Томилин, Г.Е. Невская ДИСПЛЕИ НА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ М.Г. Томилин, Г.Е. Невская ДИСПЛЕИ НА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 2 Томилин М.Г., Невская Г.Е. Дисплеи на жидких кристаллах – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. – 108 с. Описаны современные дисплейные технологии, дан анализ систем отображения...»

«Методическое пособие по Ведению дебатов в Британском/Всемирном парламентском формате The Practical Guide to Debating Worlds Style/ British Parliamentary Style Методическое пособие по Ведению дебатов в Британском/Всемирном парламентском формате Нил Харви-Смит Перевод А.А.Беляева Международная образовательная ассоциация дебатов (IDEA) Нью-Йорк, Лондон, Амстердам Харви-Смит Н. Методическое пособие по ведению дебатов в Британском/Всемирном парламентском формате / Нил Харви-Смит; [перевод с англ. —...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени С.М. Кирова (СПбГЛТУ) Факультет механической технологии древесины ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ И ПРОИЗВОДСТВА В ОБЛАСТИ АВТОМАТИЗАЦИИ по направлению 220700 Автоматизация технологических процессов Учебное пособие Санкт-Петербург 2011 1 Рассмотрены и рекомендованы к изданию...»

«3 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева Н.П. Тарасова, Б.В. Ермоленко, В.А. Зайцев, С.В. Макаров Охрана окружающей среды в дипломных проектах и работах Утверждено Редакционным советом университета в качестве учебного пособия Москва 2006 4 УДК 504.06:66(075) ББК 26.23я73 Т 19 Рецензенты: Доктор технических наук, профессор Российского химикотехнологического университета им....»

«Школа информационной культуры: интеграция проектного менеджмента и информационно-коммуникационных технологий Учебно-методическое пособие УДК 371.1.07:004.773+004.91+004.633 ББК 74 р26я75+65.23+32.973.26-018.2 Рецензент Авторский коллектив: Вострикова Е.А., Суханова Т.А., Григорьева Л.Г., Морозова М.В., Шагина Л.А., Боташова Н.А., Анпилова М.В., Толстая Н.Ю. Вострикова Е.А. Школа информационной культуры: интеграция проектного менеджмента и информационно-коммуникационных технологий :...»

«А.Л. Кислицын ТРАНСФОРМАТОРЫ Учебное пособие Ульяновск 2001 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ульяновский государственный технический университет А.Л. Кислицын Трансформаторы Учебное пособие по курсу Электромеханика Ульяновск 2001 УДК 621.3 (075) ББК 31.261.8я7 К44 Рецензент канд. техн. наук Петров В.М. Утверждено редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия Кислицын А.Л. К44 Трансформаторы: Учебное пособие по курсу Электромеханика.Ульяновск: УлГТУ,...»

«Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики Ф.Д. Влацкий В.Г. Казачков Ф.А. Казачкова Т.М. Чмерева СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Часть 1 Учебное пособие для заочного отделения Оренбург 2000 ББК22.3я7 С 23 УДК 53 (076.5) Рекомендовано Редакционно - издательским Советом ОГУ протокол №_, от 2000 г. Рецензент кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков Влацкий Ф.Д., Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерева Т.М. С 23 Сборник задач по...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Бизнес - информатика Математико-механический факультет Кафедра вычислительной математики ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Учебно-методическое пособие Екатеринбург 2008 Методическое пособие подготовлено кафедрой вычислительной математики Данное пособие предназначено для студентов...»

«МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Ю.М. ЛУЖНОВ, В.Д. АЛЕКСАНДРОВ ОСНОВЫ ТРИБОТЕХНИКИ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Ю.М. ЛУЖНОВ, В.Д. АЛЕКСАНДРОВ ОСНОВЫ ТРИБОТЕХНИКИ Учебное пособие Под редакцией акад. МИА, проф. Ю.М. ЛУЖНОВА МОСКВА МАДИ 2013 УДК 620.179.112 ББК 34.41 Л 863 Лужнов, Ю.М. Л 863 Основы триботехники: учеб. пособие / Ю.М. Лужнов, В.Д. Александров; под ред. Ю.М. Лужнова. – М.: МАДИ, 2013. –...»

«Новосибирская государственная академия водного транспорта Кафедра технологии металлов и судостроения 621.7 Т51 А.О. Токарев, З.Б. Батаева МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ И ТЕХНОЛОГИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Программа, методические указания и задания на контрольную работу для студентов заочного отделения Новосибирск 2007 Программа, методические указания и контрольные задания рекомендованы для студентов-заочников специальностей: 140604 Электропривод и автоматика промышленных установок и технических...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Государственное научное учреждение ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ ВЗРОСЛЫХ РАО КНИГА 1. СОВРЕМЕННЫЕ АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ ОБРАЗОВАНИЯ ВЗРОСЛЫХ ПОД РЕДАКЦИЕЙ В.И.ПОДОБЕДА, А.Е.МАРОНА С А Н К Т-ПЕ Т Е РБУРГ 2004 1 УДК 370.1 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ГНУ ИОВ РАО Практическая андрагогика. Методическое пособие. Книга 1. Современные адаптивные системы и технологии образования взрослых / Под ред. д.п.н., проф. В.И.Подобеда, д.п.н., проф....»

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольных заданий по дисциплине Судовые турбоустановки и их эксплуатация для студентов специальности 7.100302 Эксплуатация судовых энергетических установок всех форм обучения Севастополь 2005 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 629.12. Методические указания к выполнению контрольных заданий по дисциплине...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОУВПО МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗ ИКО -М АТЕМ АТИЧ ЕСКИЙ Ф АКУЛ ЬТЕТ А.Р. БУЕВ, И.Л. ЧАРСКАЯ ФИЗИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Часть I Йошкар-Ола, 2010 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ МЕХАНИКА 1. КИНЕМАТИКА 1.1. Кинематика поступательного движения 1.2. Кинематика вращательного движения 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 2.1. Первый закон Ньютона 2.2. Второй закон Ньютона 2.3. Принцип независимости действия сил 2.4. Третий закон Ньютона 2.5. Закон...»

«СМОЛЕНСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУ ЛЬТЕТМЕЖДУНАРОДНОГО ТУРИЗМА И ИНОСТР АННЫХ ЯЗЫКОВ КАФЕДР А ТЕХНОЛОГИЯ ПРОДУКТОВ ОБЩЕСТВЕННОГО ПИТАНИЯ ПУЧКОВА ВАЛЕНТИНА ФЕДОРОВНА Учебно-методическое пособие по дисциплине: Оборудование предприятий общественного питания для студентов, обучающихся по специальности 260501 Технология продуктов общественного питания (заочная форма обучения) Смоленск – 2008 2 1. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБР АЗОВАТЕЛЬНОГОСТАНДАРТА СД.05 Оборудование предприятий...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики Муромцев Дмитрий Ильич ВВЕДЕНИЕ В ТЕХНОЛОГИЮ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Санкт-Петербург 2005 УДК [004.891 + 002.53:004.89] (075.8) Д.И. Муромцев. Введение в технологию экспертных систем. – СПб: СПб ГУ ИТМО, 2005. – 93 с. В учебном пособии рассматриваются основные подходы и методы технологии проектирования...»

«Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет В.Г. Букреев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ Учебное пособие Томск 2002 УДК 62-83 : 621. 313.2 : 681. 513. 68 Б 90 Букреев В.Г. Математическое обеспечение адаптивных систем управления электромеханическими объектами. Учебное пособие. - Томск: Изд - во ТПУ, 2002. - 132 с. В учебном пособии рассматриваются теоретические вопросы проектирования адаптивных систем...»

«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ГОУ ВПО КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Кафедра АПП и АСУ ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Методические указания по дисциплине Автоматизация пищевых производств для студентов, обучающихся по специальности 220301 Автоматизация пищевых процессов и производств, всех форм обучения Кемерово 2008 2 Составители: А.В. Чупин, доцент, канд. техн. наук; С.Г. Пачкин, доцент, канд. техн. наук, Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры АПП и АСУ...»

«И. И. Ташлыкова-Бушкевич ФИЗИКА Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей учреждений, обеспечивающих получение высшего образования В двух частях Часть 1 МЕХАНИКА. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ Минск Асар 2010 УДК 53 (075.8) ББК 22.3 я 73 Т25 Р е ц е н з е н т ы: кафедра теоретической физики и астрономии Брестского государственного университета им. А.С. Пушкина, декан физического...»

«И.С. Загузов, В.Н. Головинский, В.Н Калабухов ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ (МЕХАНИКА) ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И АЭРОГИДРОМЕХАНИКА Самара 2002 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического моделирования в механике И.С. Загузов, В.Н. Головинский, В.Н Калабухов ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ (МЕХАНИКА) ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И АЭРОГИДРОМЕХАНИКА Учебное пособие для студентов механико-математического факультета специальностей...»

«Новосибирский Государственный Аграрный Университет Кафедра теоретической и прикладной физики Элементы физики элементарных частиц Учебное пособие Новосибирск – 2010 УДК 53:(075) Составители: В.Я. Чечуев, С.В. Викулов Элементы физики элементарных час тиц. Учебное пособие. / Новосиб. Гос. Аграр. Ун-т. Новосибирск 2010. – 50с. Предназначены для студентов дневной и заочной формы обучения всех факультетов НГАУ. Рецензенты д.ф.-м.н., проф. кафедры Физика и химия НГАВТ М.П. Синюков, к.ф.-м.н., зав....»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.