WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 


Pages:   || 2 |

«ИОНЦ Бизнес - информатика Математико-механический факультет Кафедра вычислительной математики ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Учебно-методическое пособие ...»

-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный университет им. А.М. Горького»

ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Математико-механический факультет

Кафедра вычислительной математики

ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Учебно-методическое пособие Екатеринбург 2008 Методическое пособие подготовлено кафедрой вычислительной математики Данное пособие предназначено для студентов специальности «Бизнес – информатика» дневной формы обучения. В нем рассматриваются некоторые экономические модели, их реализация с помощью популярных математических пакетов. Описаны основные возможности математических пакетов MS EXCEL, MAPLE, MATHCAD. Приведен необходимый минимум теоретического материала по математическому моделированию экономических процессов и рассмотрено достаточное количество примеров, что поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных работ.

© Коврижных А.Ю., Конончук Е.А., Лузина Г.Е., Меленцова Ю.А.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL....

1.ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ДАННЫХ.

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОЦЕДУРЫ «ПОДБОР ПАРАМЕТРА».......... 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

4. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ

5. AППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА

7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О МАКСИМАЛЬНОМ ПОТОКЕ И МИНИМАЛЬНОМ РАЗРЕЗЕ....... 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПОИСКЕ КРАТЧАЙШЕГО ПУТИ

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ MAPLE........ 1. ВОЗМОЖНОСТИ ПАКЕТА.

1. Пользовательский интерфейс

2. Графика на плоскости

3. Решение задач линейной алгебры

4. Решение уравнений и неравенств

5. Нахождение эстремумов функции

6. Интегрирование

7. Решение дифференциальных уравнений

2. ПРИЛОЖЕНИЕ ПАКЕТА MAPLE К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ............ 1. Использование алгебры матриц

2. Использование систем линейных уравнений

4. Графики функций и их приложения

4. Использование понятия производной

5. Задачи на экстремум.

6. Определенный интеграл и его приложения

7. Дифференциальные уравнения.

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ ПАКЕТА

MATHCAD

1. ВОЗМОЖНОСТИ ПАКЕТА.

1. Элементы пользовательского интерфейса

2. Простые вычисления в MathCAD

3. Построение графиков функций

4. Матричные вычисления

5. Решение алгебраических уравнений

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений

7. Дифференцирование в MathCAD

8. Интегрирование в MathCAD

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ MATHCAD

1. Статические балансовые модели

2. Некоторые модели экономической динамики

3. Паутинообразная модель рынка

4. Модель экономического роста

5. Финансовые расчеты в среде MathCAD.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Она является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Математический аппарат широко используется в современных экономических приложениях. В настоящее время для решения прикладных задач используется различное программное обеспечение, в частности, электронные таблицы, которые позволяют представлять таблицы в электронной форме и обрабатывать данные без проведения расчетов вручную (наиболее распространенным средством работы с таблицами является программа Microsoft Excel), и программные системы символьной компьютерной математики (наиболее известны MathСad, Derive, Maple).

экономических задач:

упрощает процесс вычисления;

позволяет использовать предложенный набор операторов для решения многих однотипных задач;

позволяет решать задачи с параметрами и проводить анализ и подбор Но, несмотря на удобства, предоставляемые пакетами прикладных программ, все рассмотренные примеры демонстрируют, что, не овладев предметной областью и фундаментальными математическими понятиями, решить их невозможно.

Моделирование является одним из методов научного познания.

Математическая модель позволяет экономить материальные ресурсы и предоставляет возможность изучать поведение системы в заданных экспериментатором условиях. Использование математических методов в экономике восходит к работам Ф. Кенэ («Экономическая таблица»), А. Смита международной торговли). Моделированию рыночной экономики посвящены работы Л. Вальраса, О. Курно, В. Парето.

В.В. Леонтьева, Р. Солоу, П. Самуэльсона, Д. Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых.

Примерами экономических моделей являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках. Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для математической модели и анализ полученного решения. При этом могут применяться средства пакетов прикладных программ.

задач, возникающих в экономическом моделировании, с использованием специализированных пакетов.

Далее мы рассмотрим, как используется математический аппарат в экономике, и какие возможности для решения этих задач предоставляют MS Excel, MathCAD и Maple.

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ MS

EXCEL Существует значительное количество специализированных математических пакетов. Все они позволяют проводить подавляющее большинство необходимых математических расчетов. Однако самостоятельное освоение этих пакетов достаточно трудоемкая задача. В то же время в курс информатики в большинстве вузов включено изучение электронной таблицы Excel. Поэтому представляется актуальным рассмотрение материала учебного пособия по применению математических методов в экономике именно с помощью пакета Excel. Конечно, это программное средство значительно уступает специализированным математическим пакетам. Тем не менее, большое количество экономико-математических задач может быть решено с его помощью.

Для выполнения рассмотренных примеров желательно предварительное знакомство с пакетом MS Excel, хотя их описание дается достаточно подробно.

Все приведенные примеры даны с решениями в русифицированной версии MS Excel 2003.

1.Визуализация данных.

MS Excel предоставляет широкие возможности визуализации различных зависимостей. В нем удобно осуществлять построение кривых на плоскости и поверхностей в пространстве.

В MS Excel для построения кривых и поверхностей используется специальный инструмент — Мастер диаграмм. Для построения с его помощью графика функции необходимо ввести точки соответствующие аргументам и значениям функции в рабочую таблицу, вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей по оси х, ввести названия осей. Более подробно с применением Мастера диаграмм познакомимся в ходе решения конкретных примеров.

Пример 1.1.

Рассмотрим построение графика функции на примере кривой Лоренца, которая по данным исследований о распределении доходов в одной из стран может быть описана уравнением: y = 1 1 x, где x – доля населения, y – доля доходов населения.

для значений x из диапазона [0, 1], если аргумент изменяется с шагом h = 0,1.

Решение. Задача построения любой диаграммы в Ехсеl обычно разбивается на несколько этапов. Пусть после запуска пакета открыт чистый рабочий лист.

1. Ввод данных. Необходимо составить таблицу данных (х и у) в рабочем окне таблицы Excel. Пусть в рассматриваемом примере в первом столбце будут значения х, а во втором — соответствующие значения у. Для этого в ячейку А1 вводим текст: Значение аргумента, а в ячейку B1 — текст:

Значение функции.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (0). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, с помощью автозаполнения, получаем все значения аргумента (за маркер автозаполнения указатель мыши с нажатой левой клавишей протягиваем до ячейки А12).

Далее вводим значения функции. В ячейку В2 вводим ее формулу:

=1- СТЕПЕНЬ(1-A2*A2;0,5).

Затем с помощью автозаполнения копируем эту формулу в диапазон В2:В12.

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.1).

2. Выбор типа диаграммы. На панели инструмента Стандартная необходимо нажать кнопку Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне «Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы» указать тип и вид диаграммы. В диалоговом окне слева приведен список типов диаграмм, справа дается вид вариантов. Для указания типа диаграммы необходимо вначале выбрать тип в левом списке (с помощью указателя мыши и щелчка левой кнопкой), а затем выбрать подтип диаграммы в правом окне (щелчком левой кнопки мыши на выбранном подтипе). В рассматриваемом примере выберем тип – Точечная, вид – График с маркерами.

После чего нажимаем кнопку Далее в диалоговом окне (рис. 1.2).

3. Указание диапазона. В появившемся диалоговом окне «Мастер диаграмм (шаг 2 из 4): источник данных» диаграммы необходимо выбрать вкладку Диапазон данных и в поле Диапазон указать интервал данных, то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие данные, которые необходимо представить на диаграмме. Это можно сделать, выделив столбцы таблицы, содержащие координаты точек. Можно сделать это и до вызова Мастера диаграмм.

Определение диапазона (интервала) данных является самым ответственным моментом построения диаграммы. Здесь необходимо указать только те данные, которые должны быть изображены на диаграмме. Кроме того, для введения поясняющих надписей (легенды), они также должны быть включены в диапазон. Значения из самого левого столбца автоматически становятся значениями аргумента.

4. Введение заголовков. В третьем окне «Мастер диаграмм (шаг 3 из 4): параметры диаграммы» требуется ввести заголовок диаграммы и названия осей. Для этого необходимо выбрать вкладку Заголовки, щелкнув на ней указателем мыши. Далее, в том же окне необходимо выбрать вкладку Легенда и указать необходима ли легенда (смысловая расшифровка значений на графике). Щелчком мыши устанавливаем флажок в поле Добавить легенду.

После чего нажать кнопку Далее.

5. Выбор места размещения. В четвертом окне «Мастер диаграмм (шаг 4 из 4): размещение диаграммы» необходимо указать место размещения диаграммы. Для этого переключатель Поместить диаграмму на листе установить в нужное положение (на отдельном или текущем листе).

6. Завершение. Если диаграмма в демонстрационном поле имеет желаемый вид, необходимо нажать кнопку Готово. В противном случае следует нажать кнопку Назад и изменить установки.

В нашем примере нажимаем кнопку Готово и на текущем листе должна появиться следующая диаграмма (рис 1.7).

Таким же способом можно построить графики нескольких функций в одной координатной сетке.

Пример 1.2.Рассмотрим построение графика двух функций на примере:

Пусть необходимо построить графики для значений x из диапазона [-2, 3], если аргумент изменяется с шагом h = 0,25.

Решение. Пусть в рассматриваемом примере первый столбец будет значениями х, второй и третий соответствующими значениями у1 и у2. Для этого в ячейку А1 вводим текст: Значение аргумента, в ячейку B1 — текст: Значение функции1, в ячейку C1 — текст: Значение функции2.

Начнем с введения значений аргумента. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента — левая граница диапазона (-2). В ячейку A3 вводится второе значение аргумента — левая граница диапазона плюс шаг построения (0,25). Затем, выделив блок ячеек А2:АЗ, с помощью автозаполнения, получаем все значения аргумента.

Далее вводим значения функции1. В ячейку В2 вводим ее формулу:

=А2^2 – 2*А2 + 1. Затем с помощью автозаполнения копируем эту формулу в диапазон В2:В22. Вводим значения функции2: в ячейку С2 вводим ее формулу: =2*sin(А2) + 1. Затем с помощью автозаполнения копируем эту формулу в диапазон C2:C22.

В результате должна быть получена следующая таблица (рис. 1.8).

Выполним последовательно все перечисленные примере 1.1. этапы.

При отдельном размещении мы получим новый лист рабочей книги, который по умолчанию называется «Диаграмма1». На нем представлены графики двух заданных функций, различающиеся по цвету (рис.1.9).

Графическое решение систем уравнений Системы уравнений с двумя неизвестными могут быть приближенно решены графически. Их решением являются координаты точки пересечения линий, соответствующих уравнениям системы. При этом точность решения будет определяться величиной шага дискретизации (чем шаг меньше, тем точность выше). Рассмотрим примеры графического решения системы двух уравнений.

Пример 1.3. Пусть необходимо найти решение системы Для 0 х 3, изменяющимся с шагом h = 0,2.

Решение. Для построения графиков функций правых частей первого и второго уравнений воспользуемся приемом из примера 1.2. Получим следующую картинку (рис.1.10).

Если подвести указатель мыши к точке пересечения графиков, всплывет координата этой точки – значение x решения системы. Для уточнения решения можно изменить параметры сетки, с помощью диалогового окна (рис.1.11).

Оно вызывается из контекстного меню, возникающего при щелчке правой кнопкой по линии сетки.

Подобным образом можно изменить другие характеристики графика.

Пример 1.4. Зависимость спроса (у) на некоторый товар от его цены (х) выражается уравнением а зависимость предложения от цены товара — уравнением Необходимо найти точку равновесия в диапазоне x [0.2; 3] с шагом h = 0.2.

Решение. Точка равновесия — это точка пересечения кривых спроса и предложения. Для построения этих кривых, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Цена. Затем в ячейку А2 — первое значение аргумента — 0.2. Далее будем вводить значения аргумента с шагом 0.2.

Далее требуется ввести значения функции (спроса). В ячейку В1 заносим слово Спрос и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение спроса соответствующее значению цены в ячейке А2. Для получения значения спроса вводим формулу, которая выглядит следующим образом:

= 2/А2 + 2 Нажимаем клавишу Enter. В ячейке В2 появляется 12. Теперь необходимо скопировать формулу из ячейки В2 в ячейки ВЗ:В1.

Осуществляем это автозаполнением.

Аналогично получаем значения предложения. В ячейку С1 вводим имя функции — Предложение. Устанавливаем табличный курсор в ячейку С2. Для получения значения предложения вводим формулу, которая выглядит следующим образом: =А2^2 + 1. Нажимаем клавишу Enter. В ячейке С появляется 1,04. Теперь необходимо скопировать формулу из ячейки С2 в ячейки С3:С16. Осуществляем это автозаполнением.

Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму.

Делаем это подобно предыдущему примеру.

В результате получено изображение кривых спроса и предложения (рис.1.12).

Как видно из диаграммы, система имеет точку равновесия (это есть точка пересечения), и она единственная (в заданном диапазоне имеется только одна точка пересечения). Таким образом, решением системы в заданном диапазоне являются координаты точки пересечения кривых. Для их нахождения необходимо навести указатель мыши на точку пересечения и щелкнуть левой кнопкой. Появляется надпись с указанием искомых координат. Итак, приближенное решение — точка равновесия имеет координаты : x = 1.6;у = 3.25.

Построение плоскости.

MS Excel позволяет выполнять построение и пространственных объектов.

Рассмотрим эту возможность на примере построения плоскости Уравнение вида:

называется общим уравнением плоскости.

Мастер диаграмм может быть также использован и для построения плоскостей. Для этого необходимо ввести точки плоскости в рабочую таблицу, вызвать Мастер диаграмм, задать тип диаграммы, диапазоны данных и подписей оси.

Пример 1.5. Рассмотрим построение плоскости в Excel, если она задана уравнением вида (1.1):

Пусть необходимо построить часть плоскости, лежащей в первой четверти х [0; 6] с шагом h1 = 0.5,.у [0; 6] с шагом h2 = 1).

Решение. Вначале необходимо разрешить уравнение относительно переменной z. В нашем примере z =х – 2у + 1.

1. Введем значения переменной х в столбец А (начиная с ячейки А2).

2. Значения переменной у вводим в строку 1 (начиная с ячейки В1).

3. Далее вводим значения переменной z. В ячейку В2 вводим ее уравнение = $A2 + 2*В$1 + 1. Обращаем внимание, что символы $ предназначены для фиксации адреса столбца А — переменной х и строки 1 — переменной у.

Затем автозаполненнем копируем эту формулу вначале в диапазон В2:Н2.

после чего — в диапазон ВЗ:Н14 (протягиванием вниз) 4. В результате должна быть получена следующая таблица (рис.1.13).

5. Выделяем мышью диапазон А1:Н14. Обращаемся к Мастеру диаграмм.

В появившемся диалоговом окне Мастер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы указываем тип диаграммы – Поверхность, и вид — Проволочная (прозрачная) поверхность (правую верхнюю диаграмму в правом окне). После чего нажимаем кнопку Далее.

6. В этом примере переключатель Ряды установим в положение «в столбцах». Затем указываем название диаграммы и осей. Полученная диаграмма имеет вид (рис.1.15) 2. Решение уравнений с помощью процедуры «подбор параметра».

В MS Excel для решения уравнений вида f(x) = 0 используется удобный и простой для понимания инструмент Подбор параметра.

Процесс решения с помощью процедуры Подбор параметра распадается на два этапа:

1. Задание на рабочем листе ячейки, содержащей значение независимой переменной решаемого уравнения (так называемой влияющей ячейки), и ячейки содержащей формулу уравнения (зависящей или целевой 2. Ввод адресов влияющей и целевой ячеек в диалоговом окне Подбор параметра и получение ответа (или сообщения о его отсутствии или невозможности нахождения, поскольку уравнение может не иметь решений или алгоритм решения (оптимизации) может оказаться расходящимся в конкретных условиях).

Рассмотрим этот процесс на конкретном примере.

Пример 2.1. Найти решение уравнения ln(x)=0.

Решение:

Первый этап 1. Открываем новый рабочий лист (команда Вставка Лист).

2. Заносим в ячейку А1 ориентировочное значение корня, например, 3.

3. Заносим в ячейку В1 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку Al. Для этого нажимаем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции; в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выбираем Математические, а в рабочем поле Функция имя функции LN. После чего щелкаем на кнопке ОК; в рабочее поле Число щелчком мыши на ячейке А1 вводим ее адрес. Затем, нажимаем на В ячейке В1 появляется число 1,098612(рис.2.1).

Второй этап 1. Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис Подбор параметра).

2. В поле Установить в ячейке мышью указываем В1, в поле Значение задаем 0 (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки мышью указываем на А1 (рис.2.2).

3. Щелкаем на кнопке ОК и получаем результат подбора, отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на кнопке ОК. чтобы сохранить порученные значения ячеек, участвовавших в операции. В ячейке Al получаем приближенное значение х = 0, (рис.2.3). При этом обратим внимание на погрешность решения (значение правой части уравнения) — вместо 0 в ячейке В1 получаем Рис.2. Таким образом, при значении х = 0,999872 правая часть уравнения lп(х) = приближается к нулю (-0,00013). Принимая во внимание, что полученный корень это приближенное решение, его можно округлить до 1, то есть х = 1, что и является известным аналитическим решением этого уравнения.

При решении уравнений, имеющих несколько действительных корней, имеет смысл предварительно построить график левой части (функции f(x) ). Это позволит правильно подобрать начальные значения параметра.

Пример 2.2. Найти решение уравнения х2 - 4х +2 = 0.

Решение.

1. Строим график функции y = х - 4х +2 (рис.2.4).

Из него следует, что уравнение имеет два действительных корня Решение начинаем с нахождения первого корня.

2. Открываем новый рабочий лист (команда: Вставка Лист).

3. Заносим в ячейку А1 ориентировочное значение первого корня, например, 3.

4. Заносим в ячейку В1 левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку А1. Соответствующая формула будет иметь вид: =А1^2-4*А1+2.

5. Вызываем процедуру Подбор параметра (команда Сервис Подбор параметра).

6. В поле Установить в ячейке указываем В1, в поле Значение задаем (правая часть уравнения), в поле Изменяя значение ячейки указываем ячейку А1.

7. Щелкаем на кнопке 0К и получаем результат подбора, отображаемый в диалоговом окне Результат подбора параметра. Щелкаем на кнопке 0К, чтобы сохранить полученные значения ячеек, участвовавших в операции. Таким образом, в ячейке А1 получаем приближенное значение х1 = 3,414212 (рис.2.5).

При этом обратим внимание на точность решения (значение правой части уравнения): вместо 0 в ячейке В1 получаем:

-5,7Е-06 (-0,0000057).

8. Повторяем расчет для второго корня х2, задавая в ячейке А1 другое начальное значение, например -3. Получаем значение второго корня уравнения х2 = 0,5857730 ; значение функции правой части для него равно 3,78705E-05 (рис.2.6) 3. Решение задач линейной алгебры.

Средства MS Excel оказываются полезны и для решения задач линейной алгебры, прежде всего для операций с матрицами и для решения систем линейных уравнений.

МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме. В частности, при решении линейных уравнений мы имеем дело с матрицами и арифметическими действиями с ними.

Матрицей размера т X п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией: аi,j где i — номер строки, j — номер столбца. Например, матрица А размера т п может быть представлена в виде:

Где i = 1,..., n; j = 1,..., m.

Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, го есть аi, j = bi, j для любых i = 1,..., n; j = 1,..., m.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой :

а из одного столбца — матрицей (вектором) – столбцом :

Если число строк матрицы равно числу столбцов и равно n, то такую матрицу называют квадратной n - го порядка. Например, квадратная матрица 2-го порядка:

Если у элемента матрицы номер столбца (j) равен номеру строки (i), то такой элемент называется диагональным. Диагональные элементы образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица с равными нулю элементами вне главной диагонали называется диагональной.

Квадратная матрица называется единичной, если она диагональная, и нее диагональные элементы равны единице. Единичная матрица имеет следующий вид:

Матрица любого размера называется нулевой или нуль – матрицей, если все ее элементы равны нулю.

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причем в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

Транспонирование Транспонированной называется матрица (Ат), в которой столбцы исходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами. В сокращенной записи, если А = (ai,j), то Aт= (aj,i).

Например, пусть Тогда имеем:

Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы (А) к транспонированной (АТ).

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица А имеет размер n х m, то транспонированная матрица АТ имеет размер m x n.

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Функция имеет вид: ТРАНСП(массив). Здесь массив — это транспонируемый массив или диапазон ячеек из рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере Пример 3.1. Предположим, что в диапазон ячеек А1:Е2 введена матрица размера 2x Необходимо получить транспонированную матрицу.

Решение.

Выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (5 х 2). Например, А4:В8.

1. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

2. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Выберите функцию — имя функции ТРАНСП (рис.3.1). После чего щелкните по 3. Введите диапазон исходной матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица.

(рис.3.3).

Вычисление определителя матрицы Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель.

Определитель матрицы —это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы А обозначается | А | или (А), В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

Функция имеет вид МОПРЕД(массив).

Здесь массив — это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив должен быть задан как интервал ячеек, например, А1:С3; или как массив констант, например, {1;2;3;4;5;6;7;8;9;}.

Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы.

Пример 3.2. Предположим, что в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица:

Необходимо вычислить определитель этой матрицы.

Решение 1. Табличный курсор поставьте а ячейку, в которой требуется получитьзначение определителя, например: А4;

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК.

4. Введите диапазон значений элементов исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив. Нажмите кнопку ОК (рис.3.5).

В ячейке.А4 появится значение определителя матрицы — 6.

Нахождение обратной матрицы Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:

А А-1 = А-1 А = Е.

Как следует из определения, обратная матрица является квадратной того же порядка, что и исходная матрица.

Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность исходной матрицы. Матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля (|А| 0); в противном случае (при |А | = 0) матрица называется вырожденной или особенной.

В MS Excel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.

Функция имеет вид МОБР (массив).

Здесь массив — это числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Массив может быть задан как диапазон ячеек, например А1:СЗ; как массив констант, например {1;2;4;5;6;7;8;9} или как имя диапазона или массива.

Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы.

Пример 3.3. Пусть в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица Необходимо получить обратную матрицу.

Решение 1. Выделите блок ячеек под обратную матрицу, например, блок ячеек А5:С7 (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

2. Нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции. В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МОБР. Щелкните на кнопке ОК.

3. Введите диапазон исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке).

4. Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В результате в диапазоне А5:С7 появится обратная матрица:

Сложение и вычитание матриц Складывать (вычитать) можно матрицы одного размера. Суммой матриц А = (ai,j) и B = (bi,j) размера n х n называется матрица С = А+В, элементы которой ci,j = ai,j + bi,j В MS Excel для выполнения операций суммирования и вычитания матриц могут быть использованы формулы, вводимые в соответствующие ячейки.

Пример 3.4. Пусть даны матрицы:

9 1 13, введена в диапазон А1:С2, и матрица B = 5 19 31 — в диапазон А4:С5. Необходимо найти матрицу С, являющуюся их суммой.

Решение 1. Табличный курсор установите в левый верхний угол результирующей матрицы, например в А7. Введите формулу для вычисления первого элемента результирующей матрицы =А1 + А4.

2. Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: установите табличный курсор в ячейку А7; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид тонкого крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки С7; затем так же протяните указатель мыши до ячейки С8.

3. В результате в ячейках А7:С8 появится матрица, равная сумме исходных Подобным же образом вычисляется разность матриц (2.1), только в формуле для вычисления первого элемента вместо знака + ставится знак –.

Умножение матриц.

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ (матрицы хранятся в массивах).

Функция имеет вид МУМНОЖ (массив1;массив2). Здесь массив1 и массив — это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом: ci,j= a ik bkj где i — номер строки, а j — номер столбца.

Рассмотрим примеры умножения матриц.

Пример 3.5. Пусть матрица А введена в диапазон A1:D3, а матрица В — в диапазон А4:В7. Необходимо найти произведение этих матриц С.

Решение.

1) Выделим блок ячеек под результирующую матрицу. Для этого требуется найти размер матрицы-произведения. Ее размерность будет, в данном примере, 3х2. Например, выделим блок ячеек F1:G3.

2) Нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка 3) В появившемся диалоговом окне Мастер функций в поле Категория выберите Математические, а в поле Функция — имя функции МУМНОЖ. После этого щелкните на кнопке ОК.

Введем диапазон исходной матрицы А — A1:.D3 в рабочее поле Массив1, а диапазон матрицы В — А4:В7 в рабочее поле Массив2 (рис.3.10). После этого нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне F1:G3 появится произведение матриц:

Пример 3. Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р1, Р2, РЗ и использует сырье двух типов S1 и S2. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья каждого типа расходуется на производство единицы продукции. Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей-столбцом Определить стоимость затрат сырья на единицу продукции.

Решение. Каждая строка матрицы соответствует определенному виду продукции, а столбец – виду сырья. Таким образом, чтобы решить задачу необходимо перемножить А и С, результат – ветор-столбец из трех элементов, каждый из которых и определяет стоимость затрат сырья на единицу каждого вида продукции.

1. Зададим элементы А в диапазоне А2:В4, А элементы С в диапазоне 2. Для результата выделим диапазон А12:А14.

3. Вставим функцию МУМНОЖ, указав диапазоны исходных данных.

В результате имеем (рис.3.12):

стоимость затрат сырья на единицу продукции Р1 равна 170;

стоимость затрат сырья на единицу продукции Р2 равна 190;

стоимость затрат сырья на единицу продукции Р3 равна 230.

Решение систем линейных уравнений Многие прикладные задачи в технике, экономике и других областям сводятся к решению систем линейных уравнений, поэтому особенно важно уметь их решать.

Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где aij(„(i = 1,2....,n ;j = 1.2.....п) – коэффициенты при переменных и bi - свободные члены уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность п чисел (x1, x2,...,xn ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Две системы уравнений являются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Система, равносильная данной может быть получена с помощью элементарных преобразований системы (1). Систему (1) можно также записать в виде матричного уравнения:

где А - матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы;

x — вектор – столбец неизвестных:

b — вектор – столбец свободных членов:

Предполагая использование MS Excel для проведения вычислений, рассмотрим решение системы (1) в общем виде (метод обратной матрицы), Будем считать, что квадратная матрица системы (А) является невырожденной, то есть ее определитель отличен от 0. В этом случае существует обратная матрица А-1. Умножая слева обе части матричного равенства (3.2) на обратную матрицу А-1, получим:

А-1Ах = А-1 b, Ех = А-1 b т.к. Ех = х, решением системы (3.2) методом обратной матрицы будет столбец:

Таким образом, для нахождения вектора х необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить се справа на вектор свободных членов.

Выполнение этих операций в пакете Excel рассмотрено ранее.

Пример 3.7. Пусть необходимо решить систему Решение:

1) Введем матрицу А (в данном случае размера 2 2) в диапазон А1:В 2) Вектор b введем в диапазон С1:С2.

3) Найдем обратную матрицу А-1. Для этого:

Выделим блок ячеек под обратную матрицу. Например, блок АЗ:В4.

нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберем Математические. а и рабочем поле Функция — имя функции МОБР.

введем диапазон исходной матрицы А1:В2 в рабочее поле Массив.

Нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если обратная матрица не появилась в диапазоне А3:84, то следует щелкнуть указателем мыши в Строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А3:В4 появится обратная матрица (рис3.13):

4) Умножением обратной матрицы А-1 на вектор b найдем вектор x.

Для этого:

выделим блок ячеек под результат (вектор x).. Например, СЗ:С4 ;

нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические,.а в рабочем поле Функция имя функции — МУМНОЖ. Щелкните на кнопке 0К;

в появившемся диалоговое окно МУМНОЖ введем диапазон обратной матрицы А-1 в рабочее поле Массив1,.а диапазон столбца b (С1:С2) — в рабочее поле Массив2. После этого нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

если вектор x не появился в диапазоне СЗ:С4, то следует щелкнуть CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне С3:С4 появится вектор x (рис.3.14). Причем х = будет находиться в ячейке СЗ, а y = 4. в ячейке С4. Можно осуществить проверку найденного решения. Для этого найденный вектор x необходимо подставить в матричное уравнение Ах=b.

Проверка производится следующим образом:• 1) Выделим блок ячеек под вектор b. Например, блок ячеек D1:D2;

2) Нажмем на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции.

3) В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберем Математические, а в рабочем поле Функция — имя функции МУМНОЖ.;ОК.

4) В появившееся диалоговое окно МУМНОЖ введем диапазон исходной матрицы А в рабочее поле Macсив1, а диапазон вектора x в рабочее поле Массив2. После этого нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор b, и, если система решена правильно, появившийся вектор будет равен исходному (7, 40).

Пример 3.8. Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд: В1, В2, ВЗ. При этом используются ингредиенты грех типов S1, S2, S3.

Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода ингредиентов на 1 день заданы таблицей:

Нужно найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида.

Решение.

Пусть ежедневно ресторан выпускает x1 блюд вида B1, x2 блюд вида В2 и x блюд вида ВЗ. Тогда в соответствии с расходом ингредиентов каждого типа имеем систему:

5 x1 + 3x 2 + 4 x3 = Решаем систему аналогично решению предыдущего примера.

1) Введем матрицу системы в А1:С3;

2) Находим матрицу, обратную матрице системы в диапазоне A4:C6;

3) Умножим ее на столбец свободных членов;.

Процесс решения отображен на рисунке 3. Получен ответ : (0, 500, 300) Система m линейных уравнений с n неизвестными.

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

Как и система (3.1), система (3.5) может быть представлена в матричном виде Ах=b Возможны следующие три случая: mn, m = n и mn. Случай, когда m = n.

рассмотрен ранее. В случае если m n обычно применяют метод наименьших квадратов. Для этого обе части матричного уравнения системы (3.5) умножаем слева на транспонированную матрицу системы AT.

АTАх = АT b ;

Затем обе части уравнения умножаем слева на матрицу (АTА)-1. Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что (АTА) (АTА)-1 = E, получаем Матричное уравнение (3.6) определяет приближенное решение системы m линейных уравнений с n неизвестными при m n.

Пример 3.9. Пусть необходимо решить систему Решение.

1) Введем матрицу А в диапазон А1:ВЗ 2) Вектор b = (7, 40, 3) введем в диапазон C1:C 3) Найдем транспонированную матрицу АT с помощью функции ТРАНСП.

в диапазоне А4:С5 (рис.3.18) 4) Найдем произведение АТ b в диапазоне Е4:Е5 (рис.3.19), оно равно (190,T;

5) Аналогично находим произведение АТА в диапазоне А7:В 6) Находим обратную матрицу ( АТА)-1. в диапазоне A10:B 7) Теперь умножением обратной матрицы (АTА)-1 на вектор АTb находим вектор x.

В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор решения системы по методу наименьших квадратов. (рис.3.22). Причем х= 5 будет находиться в ячейке D1, а у = -4 — в ячейке D2.

4. Задачи оптимизации.

Очень широкий класс задач составляют задачи оптимизации или, как их еще называют, экстремальные задачи. Обычно их решение сопряжено с большим количеством вычислений, что затруднительно выполнять вручную.

Задачи линейного программирования.

заключается в нахождении n переменных, x1, x2,...,xn, минимизирующих данную линейную функцию (целевую функцию):

При m линейных ограничениях – равенствах:

и n линейных ограничениях – неравенствах;

является упорядоченное множество чисел ( x1, x2,...,xn.). удовлетворяющих ограничениям (4.2) и (4.3).

единственным. Однако возможны случаи, когда оптимальных решений программирования обычно состоит из следующих этапов:

1) Осмысление задачи, выделение наиболее важных качеств, свойств, величин, параметров.

2) Введение обозначений неизвестных.

3) Создание целевой функции.

4) Составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины.

5) Решение задачи на компьютере.

Инструментом для поиска решений задач оптимизации в Excel служит процедура Поиск решения.

Алгоритм использования процедуры поиска решения.

1) Сформулируйте задачу.

2) В меню Сервис выберите команду Поиск решения.

3) Если команда Поиск решения отсутствует в меню Сервис, установите надстройку Поиск решения.

4) В поле Установить целевую ячейку введите ссылку на ячейку или имя конечной ячейки. Конечная ячейка должна содержать формулу.

5) Выполните одно из следующих действий:

чтобы максимизировать значение конечной ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение максимальному значению;

изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение минимальному значению;

чтобы установить значение в конечной ячейке равным некоторому числу, установите переключатель в положение значению и введите в соответствующее поле требуемое число.

6) В поле Изменяя ячейки введите имена или ссылки на изменяемые ячейки, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с конечной ячейкой. Допускается задание до изменяемых ячеек.

7) Чтобы автоматически найти все ячейки, влияющие на формулу модели, нажмите кнопку Предположить.

8) В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения.

Добавление ограничения 1) В разделе Ограничения диалогового окна Поиск решения нажмите кнопку Параметры.

2) В поле Ссылка на ячейку введите адрес или имя ячейки, на значение которой накладываются ограничения.

3) Выберите из раскрывающегося списка условный оператор ( =, =, =, цел или двоич ), который должен располагаться между ссылкой и ограничением. Если выбрано цел, в поле Ограничение появится «целое». Если выбрано двоич, в поле Ограничение появится «двоичное».

4) В поле Ограничение введите число, ссылку на ячейку или ее имя либо формулу.

5) Выполните одно из следующих действий:

a. Чтобы принять ограничение и приступить к вводу нового, нажмите b. Чтобы принять ограничение и вернуться в диалоговое окно Поиск решения, нажмите кнопку OK.

Примечания Условные операторы типа цел и двоич можно применять только при наложении ограничений на изменяемые ячейки.

Флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры поиска решения позволяет задать любое количество ограничений. При решении нелинейных задач на значения изменяемых ячеек можно наложить более 100 ограничений, в дополнение к целочисленным ограничениям на переменные.

Изменение и удаление ограничений 1) В списке Ограничения диалогового окна Поиск решения укажите ограничение, которое требуется изменить или удалить.

2) Выберите команду Изменить и внесите изменения либо нажмите кнопку Удалить.

3) Нажмите кнопку Выполнить и выполните одно из следующих действий:

a. чтобы сохранить найденное решение на листе, выберите в Сохранить найденное решение;

Восстановить исходные значения.

4) Чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC. Лист Excel будет пересчитан с учетом найденных значений влияющих ячеек.

Если решение будет найдено, выберите тип отчета в списке Отчеты и нажмите кнопку ОК. Отчет будет помещен на новый лист книги Рассмотрим примеры решения некоторых задач оптимизации Пример 4.1. В ресторане готовятся фирменные блюда трех видов (блюдо А.

блюдо В и блюдо С), с использованием при приготовлении ингредиентов трех видов (ингредиент 1, ингредиент 2 и ингредиент 3). Расход ингредиентов в граммах на блюдо задается следующей таблицей.

Стоимость приготовления блюд одинакова (например, 100 руб.).

Ежедневно в ресторан поступает 5 кг ингредиента 1 и по 4 кг ингредиентов видов 1 и 3. Каково оптимальное соотношение дневного производства блюд различного вида, если производственные мощности ресторана позволят использовать весь запас поступивших продуктов Решение.

Для решения задачи введем обозначения: х1 - дневной выпуск блюда А: х2, дневной выпуск блюда В; х3 - дневной выпуск блюда С. Составим целевую функцию — она заключается в стоимости выпушенных рестораном блюд:

Z = 100 x1 + 100 x2 + 100 x Определим имеющиеся ограничения (руководствуясь таблицей):

1) 20x1 + 50x2 + 10x3 5000;

2) 20x1 + 0x2 + 40x3 4000;

3) 20x1 + 10x2 + 10x3 4000.

Кроме того, поскольку нельзя реализовать часть блюда и количество блюд не может быть отрицательным, добавим еще ряд ограничений:

4. x1 – целое;

5. x2– целое ;

6. x3 – целое;

Теперь можно приступить к решению задачи с помощью Excel.

1. Откроем новый рабочий лист.

2. В ячейки А2, А3 и А4 занесем дневной запас продуктов (5000, 4000 и соответственно).

3. В ячейки С1, D1 и E1 занесем начальные значения неизвестных x1, x2, x (нули) – в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.

4. В ячейках диапазона С2:E4 разместим таблицу расхода ингредиентов.

5. В ячейках В2:В4 укажем формулы для расчета расхода ингредиентов по видам.

В ячейке В2 формула будет иметь вид = $С$1*С2 + $D$1*D2+$E$l*E2, а остальные формулы можно получить методом автозаполнения.

6. В ячейку F1 занесем формулу целевой функции =100*(С1 + Dl + El) Результат ввода данных в рабочую таблицу представлен на рисунке ниже.

Выполним команду Сервис Поиск решения – откроется диалоговое окно Поиск решения. В поле Установить целевую ячейку укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение (F1). Установим переключатель Равной в положение максимальному значению (требуется максимальный объем производства).

7. В поле Изменяя ячейки зададим диапазон подбираемых параметров:

С1:Е1.

8. Чтобы определить набор ограничений, щелкнем на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку укажем диапазон В2:В4. В качестве условия зададим =. В поле Ограничение зададим диапазон А2:А4. Это условие указывает, что дневной расход ингредиентов не должен превосходить запасов. Щелкнем на кнопке ОК.

9. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон С1:Е1. В качестве условия зададим =. В поле Ограничение зададим число 0. Это условие указывает, что число приготавливаемых блюд неотрицательно. Щелкнем на кнопке ОК.

10. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон С1:Е1. В качестве условия выберем цел. Это условие не позволяет производить доли блюд. Вид окна на рис.4.2. Щелкнем на кнопке ОК.

11. Щелкнем на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.

12. Установим переключатель в положение Сохранить найденное решение, после чего щелкнем на кнопке ОК.

В результате получится набор оптимальных значений переменных (оптимальное количество приготавливаемых фирменных блюд) при данных ограничениях (при данном количестве ингредиентов): блюда А — 184 порции (x1), блюда В — 24 порции (х2) и блюда С — 8 порций (x3). При этом общая стоимость блюд (Z) будет максимальной и равной 21600 руб. Кроме того останутся неизрасходованными 40г первого ингредиента (рис.4.4).

Проанализируем полученное решение. Проверить его оптимальность можно, экспериментируя со значениями ячеек С1:Е1. Например, допустим, что решили приготовить количества блюд, соответственно 184, 23, 9. Тогда при той же общей стоимости блюд будет перерасход второго ингредиента на 40г, что, естественно, недопустимо. Можно рассмотреть и другие варианты. Чтобы восстановить оптимальные значения, можно в любой момент повторить операцию поиска решения.

Пример 4.2. Туристская фирма заключила контракты с турбазами в г. Сухуми и другом городе. Они могут принять, соответственно, 200 и 150 человек.

ботанический сад и поход в горы. Составьте маршрут движения туристов так, чтобы это обошлось турфирме возможно дешевле, если:

обезьяний питомник принимает в день 70 человек;

ботанический сад — 180 человек,;

в горы в один день могут пойти 110 человек.

О стоимость одного посещения выражается таблицей:

Решение. Для решения задачи введем обозначения: пусть х1 — число туристов из турбазы в Сухуми, посещающих обезьяний питомник; х2 — число туристов из турбазы в Сухуми, посещающих ботанический сад; х3 — число туристов из турбазы в Сухуми, отправляющихся в поход; х4 — число туристов из другой турбазы, посещающих обезьяний питомник; х5 — число туристов из другой турбазы, посещающих ботанический сад; х6 — число туристов из другой турбазы, отправляющихся в поход. Составим целевую функцию — она заключается в минимизации стоимости дневных мероприятий турфирмы:

Определим имеющиеся ограничения (руководствуясь условиями задачи):

1. х1 + х4 70;

2. х2 + х5 180;

3. х3 + х6 110;

4. х1 + х2 + x3 = 200;

5. х4 + х5 + х6 = 150.

Кроме того, поскольку турист неделим и количество туристов, участвующих в каждом мероприятии, не может быть отрицательным, добавим еще ряд ограничений:

Теперь можно приступить к решению задачи.

1. Откроем новый рабочий лист 2. В ячейки А2, A3 и А4 занесем дневное количество посетителей различных мероприятий — числа 70,180 и 110, соответственно.

3. В ячейки А5 и А6 занесем количество туристов в обеих турбазах — числа 200, и 150, соответственно.

4. В ячейки С1:Н1 занесем начальные значения неизвестных х1, х2,...,x:6(нули) — в дальнейшем значения этих ячеек будут подобраны автоматически.

5. В ячейках диапазона С2:Н6 разместим таблицу коэффициентов основных ограничений:

• 1,0,0,1,0,0;

• 0,1,0,0,1,0;

• 0,0,1,0,0,1;

• 1,1,1,0,0,0;

• 0,0,0,1,1,1.

6. В ячейках В2;Вб укажем формулы для расчета ограничений. В ячейке В формула будет иметь вид=$С$1*С2 + $D$1*D2 + $Е$1*Е2 + $F$1*F2 + $G$1*G2 + + $Н$1*Н2, а остальные формулы можно получить методом автозаполнения.

7. В ячейку I1 занесем формулу целевой функции =5*С1 + 6*D1 + 20*Е1 + 10*F1 + 12*G1+5*H1.

8. Выполним Сервис Поиск решения — откроется диалоговое окно Поиск решения.

9. В поле Установить целевую ячейку укажем ячейку, содержащую оптимизируемое значение (I1). Установим переключатель Равной в положение минимальному значению (требуется минимальный объем затрат).

10. В поле Изменяя ячейки зададим диапазон подбираемых параметров — С1:Н1.

11. Чтобы начать определять набор ограничений, щелкнем на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку укажем диапазон В2:В4. В качестве условия задайте =. В поле Ограничение зададим диапазон А2:А4. Это условие указывает, что дневное количество посетителей мероприятий не должно превосходить их возможностей. Щелкнем на кнопке ОК.

12. Для продолжения определения набора ограничений щелкнем на кнопке Добавить. В диалоговом окне Добавление ограничения в поле Ссылка на ячейку укажем диапазон В5:В6. В качестве условия зададим =. В поле Ограничение зададим диапазон А5:А6. Это условие указывает, что дневное количество посетителей мероприятий должно быть равно количеству туристов. Щелкните на кнопке ОК 13. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажем диапазон С1:Н1. В качестве условия зададим =. В поле Ограничение зададим число 0. Это условие указывает, что число участников мероприятий неотрицательно. Щелкнем на кнопке ОК.

14. Снова щелкнем на кнопке Добавить. В поле Ссылка на ячейку укажите диапазон С1:Н1. В качестве условия выберем цел. Это условие указывает, что турист неделим. Щелкните на кнопке ОК.

15. Щелкнем на кнопке Выполнить. По завершении оптимизации откроется диалоговое окно Результаты поиска решения.

16. Установим переключатель Сохранить найденное решение, после чего щелкнем на кнопке ОК.

В результате получится набор оптимальных значений переменных (оптимальное количество туристов для участия в каждом мероприятии из каждой турбазы) при данных ограничениях (при заданных возможностях мероприятий): число туристов из турбазы в Сухуми, посещающих обезьяний питомник (х1 = 30), ботанический сад (х2 = 170) и отправляющихся в поход (x = 0); число туристов из окрестной турбазы, посещающих обезьяний питомник (x4 = 40), посещающих ботанический сад (х5 = 0) и отправляющихся в поход (х6= 110). При этом суммарные расходы турфирмы (Z) составят 2120 руб. и будут минимальными.

Другими типовыми примерами задач линейного программирования являются задачи:

О рационе питания.

Об оптимальных перевозках.

Об оптимальном плане пошивочной мастерской.

О рациональном использовании сырья.

Их можно выполнить в качестве лабораторных работ.

5. Aппроксимация экспериментальных данных На практике часто приходится сталкиваться с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей или задачей аппроксимации.

Аппроксимацией называется процесс подбора эмпирической формулы (х) для установленной из опыта функциональной зависимости y = f(x). Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных.

Функция одной переменной.

Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают примерный вид зависимости y = f(x) и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции.

После выбора вида формулы определяют ее параметры. Для наилучшего выбора параметров задают меру близости аппроксимации экспериментальных данных. Существуют различные меры близости и, соответственно, способы решения этой задачи. Обычно определение параметров при известном виде зависимости осуществляют по методу наименьших квадратов. При этом функция (х) считается наилучшим приближением к f(x), если для нее сумма квадратов невязок имеет наименьшее значение.

Используя методы дифференциального исчисления, метод наименьших квадратов формулирует аналитические условия достижения суммой квадратов отклонений своего наименьшего значения.

В простейшем случае задача аппроксимации экспериментальных данных выглядит следующим образом. Пусть есть какие-то данные, полученные практическим путем (в ходе эксперимента или наблюдения), которые можно представить парами чисел (x,у). Зависимость между ними отражает таблица:

На основе этих данных требуется подобрать функцию у = (х), которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и, по возможности, точно отражала общую тенденцию зависимости между x и у, исключая погрешности измерений и случайные отклонения.

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x – отвлеченные величины) или точечного графика (x имеет конкретные лечения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии Тренда). Возможны следующие варианты функции:

1. Линейная : у = ах+ b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

2. Полиномиальная : у = a0 + a1x + a2x2 +… + anxn, где n 6, ai, — константы.

Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени может описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени — не более трех экстремумов и т. д.

3. Логарифмическая : у = alnx + b, где а и b — константы.

Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

4. Степенная: у = bxa, где а и b — константы.

Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста.

Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

5. Экспоненциальная:

натурального логарифма.

Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.

Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R2). Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (его значение наиболее близко к 1).

Для осуществления аппроксимации на диаграмме экспериментальных данных необходимо щелчком правой кнопки мыши вызвать выплывающее контекстное меню и выбрать пункт Добавить линию тренда. В появившемся диалоговом окне Линия тренда на вкладке Тип выбирается вид аппроксимирующей функции, а на вкладке Параметры задаются дополнительные параметры, влияющие на отображение аппроксимирующей кривой.

Пример 5.1.

Исследовать характер изменения уровня производства некоторой продукции с течением времени и подобрать аппроксимирующую функцию, располагая следующими данными:

Решение 1) Для построения диаграммы, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Год. Затем в ячейки А2:А последовательно вводим годы, начиная с 1997. Далее в ячейку В1 заносим слово Продукция и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение 17,1 соответствующее значению года в ячейке А2.

Аналогично заполняем ячейки В3:В6.

2) Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить диаграмму. Выделим исходные данные – диапазон B1:B6. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы и ее вид. Выберем диаграмму График, т.к. необходимо отобразить динамику изменений производства, не привязываясь к конкретному году. Выберем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей по оси x. Далее, вводим название диаграммы — Производство продукции, названия осей. Нажимаем кнопку Готово.

Получен график экспериментальных данных.

3) Осуществим аппроксимацию полученной кривой полиномиальной функцией второго порядка, поскольку кривая довольно гладкая. Для этого указатель мыши устанавливаем на одну из точек графика и щелкаем правой кнопкой. В появившемся контекстном меню выбираем пункт Добавить линию тренда.

Появляется диалоговое окно Линия тренда (Рис.5.2).

В этом окне на вкладке Тип выбираем тип линии тренда — Полиномиальная и устанавливаем степень — 2, Затем открываем вкладку Параметры (рис. 5.3) и устанавливаем флажки в поля Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2).

После чего нужно щелкнуть на кнопке ОК.

В результате получим на диаграмме аппроксимирующую кривую (рис.5.4).

Как видно, уравнение наилучшей полиномиальной аппроксимирующей функции для некоторых отвлеченных значений х (1, 2, 3,...) выглядит как При этом точность аппроксимации достаточно высока — R2 = 0,986.

4) Попробуем улучшить качество аппроксимации выбором другого типа функции. Здесь возможным вариантом представляется логарифмическая функция. Для этого в окне Линия тренда на вкладке выбираем тип линии тренда — Логарифмическая.

В результате получим другой вариант аппроксимации — логарифмической кривой (рис. 5.5) Как можно видеть на рисунке, уравнение наилучшей логарифмической аппроксимирующей функции несколько уступает по точности аппроксимации полиномиальной кривой — R2 = 0,9716 0,986. Поэтому если нет каких-либо теоретических соображений, то можно считать, что наилучшей аппроксимацией является аппроксимация полиномиальной функцией второй степени (из двух рассмотренных вариантов).

Пример 5.2. После выброса ядовитого вещества его концентрация (мг/л) в водоеме изменялась в соответствии со следующей таблицей:

Время после выброса (час) Концентрация вещества Определить вид функциональной зависимости изменения концентрации вещества от времени и оценить его концентрацию в водоеме в момент выброса.

Решение.

1) Для построения диаграммы, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово Время. Затем в ячейки А2:А5 последовательно вводим время: 1, 3, 5, 8. Далее в ячейку В соответствующие концентрации вещества.

2) Далее по введенным в рабочую таблицу данным необходимо построить Выделяем диапазон исходных данных – A1:B5. Поскольку здесь необходимо строить динамику изменений концентрации вещества в соответствии с изменениями времени — будем строить диаграмму Точечная.

Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы Точечная, вид — левый верхний. Нажав кнопку Далее, вводим название диаграммы — Концентрация вещества, название осей X и У:

Время и Концентрация, соответственно. Нажимаем кнопку Готово.

Получен график экспериментальных данных.

3) Осуществим аппроксимацию полученной кривой. Поскольку кривая напоминает экспоненту и из теоретических соображений наиболее вероятный закон изменения — экспоненциальный, целесообразно аппроксимировать кривую изменения концентрации экспоненциальной функцией. Для этого указатель мыши устанавливаем на одну из точек графика и щелкаем правой кнопкой. В появившемся контекстном меню выбираем пункт Добавить линию тренда. Появляется диалоговое окно Линия тренда.

Экспоненциальная. Затем открываем вкладку Параметры и устанавливаем флажки в поля показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Кроме этого, для того, чтобы оценить концентрацию вещества в водоеме в момент выброса в поле Прогноз назад на устанавливаем 1 период. После чего щелкаем на кнопке ОК. В результате получим на диаграмме аппроксимирующую кривую (рис. 5.6).

Как видно из рисунка, уравнение наилучшей экспоненциальной аппроксимирующей функции для зависимости концентрации от времени выглядит как При этом точность аппроксимации очень высокая — R2 = 0,9951, что позволяет считать описание процесса изменения концентрации вещества в водоеме экспоненциальной функцией адекватным. Расчетная оценка концентрации вещества в момент выброса, как видно из графика, составляет около 12 мг/л. Более точные цифры могут быть получены из уравнения при х = 0 (у0 = 11,84 мг/л).

Несколько независимых переменных В тех случаях, когда аппроксимируемая переменная у зависит от нескольких независимых переменных х1 х2,…, xn, подход с построением линии тренда не дает решения. Здесь могут быть использованы следующие специальные функции MS Excel:

ЛИНЕЙН и ТЕНДЕНЦИЯ для аппроксимации линейных функций вида:

ЛГРФПРИБЛ и РОСТ для аппроксимации показательных функций вида:

Функции ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ служат для вычисления неизвестных коэффициентов а0, а1..., ап в выражениях (5.2) и (5.3) соответственно, а также коэффициентов детерминации (R2), и ряда других показателей.

Обе функции имеют одинаковые параметры:

ЛИНЕЙН (известные _значения_у;известные_значениях;конст;статистика)

ЛГРФПРИБЛ

(известные_значения_у;известные_значения_х;конст;статистика) Здесь:

Известные_значения_y — множество наблюдаемых значений у;

Известные_значения_x: — множество наблюдаемых значений х1 х2..., хп. Причем, если массив известные_значения_у имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_х интерпретируется как отдельная переменная, а если массив известные_значения_у имеет одну строку, то тогда каждая строка массива известные_значения_х интерпретируется как отдельная переменная;

конст — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа а0 была равна 0 (для функции ЛИНЕЙН) или 1 (для функции ЛГРФПРИБЛ). При этом, если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то а0 вычисляется обычным образом, а если конст имеет значение ЛОЖЬ, то а0 полагается равным 0 или 1;

статистика — логическое значение, которое указывает, требуется ли вычислять дополнительную статистику по регрессии, если введено значение ИСТИНА, то дополнительные параметры вычисляются, если Функции ТЕНДЕНЦИЯ и РОСТ позволяют находить точки, лежащие на аппроксимирующих кривых (5.2) и (5.3), соответственно, для значений коэффициентов а0, а1..., ап, найденных функциями ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ.

Обе функции имеют одинаковые аргументы:

ТЕНДЕНЦИЯ(известные_значения_у;известные_значения_х;новые_зиачения _х; конст);

РОСТ(известные_значения_у;известныезначения_х;новые_значения_х;конс т).

Здесь:

Известные_значения_у — множество значений у;

известны _значения_х — множество значений х;

новые_значения_х — те значения, для которых необходимо определить соответствующие аппроксимирующие или предсказанные значения у.

Новые_зна-чения_х должны содержать столбец (или строку) для каждой независимой переменной, как и известные_значения_х. Если аргумент новые_значения_x опущен, то предполагается, что он совпадает с аргументом известные_значения_х;

конст — логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа m была равна 0 (для функции ТЕНДЕНЦИЯ) или 1 (для функции РОСТ). При этом, если конст имеет значение ИСТИНА или опущено, то а0 вычисляется обычным образом, а если конст имеет значение ЛОЖЬ, то а0 полагается равным 0 или 1 (рис. 8).

Пример 5.3. Источник радиоактивного излучения помещен в жидкость.

Датчики расположены на расстоянии (х{) 20, 50 и 100 см от источника.

Измерения интенсивности излучения (у, мРн) проводились через 1,5 и суток (х2) после установки источника. Результаты измерений (у) приведены в таблице:

Необходимо аппроксимировать данные функцией вида (5.3) и найти неизвестные параметры.

Решение 1. Введем данные в рабочую таблицу: в ячейку А1 — символ х1 в ячейку В1 — х2, в ячейку С1 — y. В диапазон ячеек А2:А10 внесем значения х1, в диапазон В2:В10 — значения х2и в диапазон С2:С10 — значения y 2. Выделяем блок ячеек D1:F5 под массив результатов.

3. Поскольку функция для вычисления интенсивности излучения имеет степенной характер (5.3), вызываем функцию ЛГРФПРИБЛ (панель инструментов Стандартная, кнопка Вставка функции, рабочее поле 4. Заполняем рабочие поля: Изв_знач_у — С2:С10, Изв_знач_х — А2:В10, Нажимаем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

5. В результате в диапазоне D1:F5 получим следующие данные:

Здесь первая строка — значения коэффициентов а2, а1, а0, соответственно, вторая строка — стандартные ошибки этих коэффициентов, третья строка — коэффициент детерминации R2 и стандартная ошибка y, четвертая строка — значение критерия Фишера и число степеней свободы и нижняя строка — сумма квадратов регрессии и остаточная сумма квадратов.

Таким образом, искомое аппроксимирующее уравнение имеет вид:

y = 99,70,98x10,92x2.

Причем точность аппроксимации очень высокая — R2 = 0,99998.

Пример 5.4. В бассейне проводится ежедневная частичная смена воды.

Имеются данные семидневных наблюдений зависимости уровня воды в бассейне (у) от продолжительности заполнения водой (x1)и времени выпуска воды (х2).

Необходимо найти значения уровня воды в бассейне в зависимости от длительностей заполнения х1 [100; 130] и выпуска воды х2 [15; 25] с шагом = 5 минут. Построить поверхность.

Решение 1) Введем данные в рабочую таблицу: в ячейку А1 — символ х1 в ячейку Bl — х2,в ячейку С1 — у. В диапазон ячеек А2:А8 внесем значения х1 в диапазон В2:В8 — значения х2 и в диапазон С2:С8 — значения у.

2) Введем значения х1 и х2 для получения расчетных значений у в соответствии с заданием: х1 [100; 130] в диапазон А10:А30, а х2 [15;

25] в диапазон В10:В 3) Выделим блок ячеек С10:С30 под массив расчетных (предсказанных) 4) Поскольку уравнение для вычисления уровня воды близко к линейному Стандартная, кнопка Вставка функции, рабочее поле Категория тип Статистические, рабочее поле Функция вид ТЕНДЕНЦИЯ).

5) Заполняем рабочие поля: Изв_знач_у — С2:С8, Изв_знач_х – А2:В8, Нов_знач_х — А10:В30.

Нажимаем сочетание клавиш CTRL + SHIFT + ENTER.

6) В результате в диапазоне С10:С30 получим предсказанные значения у Для построения поверхности построим таблицу в диапазоне E4:H11, где в столбце E поместим значения x1, а значения x2 – в первой строке. Значения у поместим в ячейки на пересечении соответствующих строк и столбцов (рис.5.12). Получилась таблица:

Применим прием построения поверхности, рассмотренный в разделе 1.

Получим следующую диаграмму:

6. Решение задачи коммивояжера.

Приведем математическую модель задачи. Пусть переменная хij означает наличие дуги вида (i, j) в гамильтоновом контуре, а аij интерпретируется как длина указанной дуги. Тогда математическая модель задачи имеет вид (Рис.1):

i =1 j = xij == 1 (j {,2,3..., n});

ni = x == 1 (i {,2,3..., n});

xij {0,1} (i, j {,2,3..., n});

ui R1 (i {2,3..., n}).

Ограничения (2) – (3) означают, что из каждой вершины можно выйти только один раз и, аналогично, войти в нее можно только один раз. Так как решением задачи должен быть гамильтонов контур, то ограничения (4) обеспечивают Ограничения (5) указывают, что переменные хij являются булевыми, то есть принимают значения только 0 или 1. Ограничения (6) указывает на принадлежность переменных ui множеству вещественных чисел.

Задание. Найти решение задачи коммивояжера для графа с заданной (Рис.2) матрицей расстояний с использованием надстройки «Поиск решения».

Выполнение. Воспользуемся приведенной выше моделью для представления исходных данных, целевой функции и ограничений на рабочем листе MS EXCEL (рис. 3).

На рис. 4 приведены формулы, находящиеся в ячейках G8:G13, A14:F14, B17:F21 соответственно.

На рис.5 – 7 приведены состояние окна диалога надстройки «Поиск решения»

и его параметров, а также рабочего листа MS EXCEL.

На рис.8 показано полученное значение целевой функции. Оно полностью совпадает с расчетным значением.

Полученный контур можно увидеть на рис.7 в ячейках, соответствующих изменяемым ячейкам: 1 в изменяемых ячейках на рис.7 означает включение соответствующей дуги в контур. При расчетах с помощью MS EXCEL получен контур, приведенный на рис.9 справа.

7. Решение задачи о максимальном потоке и минимальном разрезе.

Для получения математической модели задачи введем неотрицательные целочисленные переменные xij, которые интерпретируются как величина потока по дуге (i, j). Тогда математическая модель может иметь, например, такой вид, как на рис.1.

Ограничение (2) требует, чтобы величина потока, выходящего из источника s, была равна величине потока, пришедшего в вершину t.

Ограничение (4) требует, чтобы искомый путь был связным, то есть проходил через вершины графа G. Ограничение (5) требует, чтобы все переменные модели были неотрицательными целочисленными переменными.

Задание. Используя приведенную на рис.2 сеть, найти максимальный поток с использованием надстройки «Поиск решения».

Выполнение. Расположим исходные данные на рабочем листе так, как на рис.3. В столбец Е введены ограничения в соответствии с моделью для данной индивидуальной задачи. На рис.4 приведено окно диалога надстройки «Поиск решения», а на рис. 5 – полученное решение. Величина максимального потока в точности равна полученному значению при использовании алгоритма ФордаФалкерсона.

Рис. Рис. 8. Решение задачи о поиске кратчайшего пути Для получения математической модели задачи введем булевы переменные xij, которые интерпретируются следующим образом: xij=1, если дуга (i, j) входит в маршрут; xij=0, если дуга (i, j) не входит в маршрут. Тогда математическая модель может иметь, например, такой вид, как на рис.1.

Ограничение (2) требует, чтобы искомый путь начинался в вершине s.

Ограничение (3) требует, чтобы искомый путь заканчивался в вершине t.

Ограничение (4) требует, чтобы искомый путь был связным, то есть проходил через вершины графа G. Ограничение (5) требует, чтобы все переменные модели были булевыми.

Задание. Используя приведенный на рис.2 граф, найти кратчайший путь между вершинами 1 и 10 с использованием надстройки «Поиск решения».

Выполнение. В заданном графе 10 вершин и 16 дуг. Следовательно, переменными математической модели этой индивидуальной задачи о построении кратчайшего пути являются 16 переменных:

следующий вид:

где множество ограничений выглядит так, как на рис.3.

Воспользуемся надстройкой «Поиск решения», входящей в состав MS EXCEL. Расположим исходные данные на рабочем листе, например, так, как на рис.4. В ячейках показаны формулы, связывающие переменные модели.

Целевая функция находится в ячейке Е19. На рис.5 приведено окно диалога надстройки перед запуском на выполнение. На рис.6 показан результат работы надстройки, а на рис.7 – путь из вершины 1 в вершину 10 минимальной длины.

Это значение совпадает с решением, полученным в соответствии с алгоритмом Дейкстры.

x12 + x15 = 1;

x12 x23 x24 = 0;

x23 x34 x35 = 0;

x35 + x15 x54 x57 = 0;

x57 + x67 x78 x7,19 = 0;

x78 x8,10 = 0;

x12, x15, x23, x24, x34, x35, x46, x54, x57, x69, x6,10, x67, x78, x7,10, x8,10, x9,10. {0, 1}.

Рис. Рис. Рис.

ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ

MAPLE 1. Возможности пакета.

1. Пользовательский интерфейс Пакет Maple – интерактивная программа, позволяющая проводить аналитические выкладки и вычисления, снабженная средствами двумерной и трехмерной графики, имеющая мощный язык программирования и богатую библиотеку математических формул и сведений. Работа с Maple заключается в том, что пользователь вводит математическое выражение и инструкции (команды), а система пытается их выполнить и представить ответ. Получив (или не получив) ответ, пользователь вводит новые инструкции и так далее – взаимодействие с пакетом происходит в диалоговом режиме. Благодаря собственному языку программирования высокого уровня, введенные выражения и инструкции, а также результаты выполнения команд – формулы, графики, таблицы и числа – запоминаются в едином документе (worksheet).

Это обеспечивает уникальную технологию работы, когда чуть ли не все этапы математического исследования можно отразить в одном документе.

Запуск системы Запуск Maple производится, как обычно, из меню Пуск. Найдя строчку Maple, необходимо открыть подменю и щелкнуть на команде Maple Интерфейс системы Maple.

Обзор интерфейса Maple Как у всех приложений под Windows интерфейс Maple имеет ряд характерных элементов, перечисленных ниже:

строка заголовка (сверху);

главная панель инструментов;

контекстная панель инструментов, вид которой зависит от режима работы с Maple;

окно ввода и редактирования документов;

строка состояния (в самом низу окна).

Пользовательский интерфейс Maple позволяет готовить документы, содержащие одновременно текстовые комментарии, команды входного языка (с возможным преобразованием их в естественную математическую форму), результаты вычислений в виде обычных математических формул и графические данные. Это обеспечивает понятное представление исходных данных и результатов вычислений, а также удобство их повторного использования.

В основе пользовательского интерфейса Maple лежит графический многооконный интерфейс операционной системы Windows. Управление системой Maple возможно с помощью главного меню, панелей инструментов и палитр, а также «горячих» клавиш. Поддерживаются также многие возможности мыши, присущие приложениям под Windows.

Пользователь Maple работает с документами, которые являются одновременно описаниями алгоритмов решения задач, программами и результатами их исполнения. Все данные команды и результаты размещаются в соответствующих ячейках. Графические построения выполняются как в ячейках документа, так и в отдельных окнах, и имеют свои меню для оперативного управления параметрами.



Pages:   || 2 |
 


Похожие работы:

«Министерство образования Российской Федерации Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ им. В.В. Куйбышева) Курбатова О.А., Харин А.З. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГОРНОЙ МЕХАНИКИ Учебное пособие Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром в качестве учебного пособия для студентов специальности 170100 Горные машины и оборудование вузов региона Владивосток 2004 УДК 622.2(091) К 93 Курбатова О.А., Харин А.З. История развития горной механики: Учеб. пособие.-...»

«Школа информационной культуры: интеграция проектного менеджмента и информационно-коммуникационных технологий Учебно-методическое пособие УДК 371.1.07:004.773+004.91+004.633 ББК 74 р26я75+65.23+32.973.26-018.2 Рецензент Авторский коллектив: Вострикова Е.А., Суханова Т.А., Григорьева Л.Г., Морозова М.В., Шагина Л.А., Боташова Н.А., Анпилова М.В., Толстая Н.Ю. Вострикова Е.А. Школа информационной культуры: интеграция проектного менеджмента и информационно-коммуникационных технологий :...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Государственное научное учреждение ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ ВЗРОСЛЫХ РАО КНИГА 1. СОВРЕМЕННЫЕ АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕХНОЛОГИИ ОБРАЗОВАНИЯ ВЗРОСЛЫХ ПОД РЕДАКЦИЕЙ В.И.ПОДОБЕДА, А.Е.МАРОНА С А Н К Т-ПЕ Т Е РБУРГ 2004 1 УДК 370.1 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ГНУ ИОВ РАО Практическая андрагогика. Методическое пособие. Книга 1. Современные адаптивные системы и технологии образования взрослых / Под ред. д.п.н., проф. В.И.Подобеда, д.п.н., проф....»

«Ю.А. Стекольников, Н.М. Стекольникова ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ Учебное пособие Издательство Елецкого университета 2008 УДК 620.197 Стекольников Ю.А., Стекольникова Н.М. Физико-химические процессы в технологии машиностроения: Учеб. пособие.— Елец: Издательство Елецкого государственного университета имени И.А. Бунина, 2008 ISBN 5-7455-0886-8 В пособии излагаются общие сведения о коррозии металлов и сплавов: механизм и кинетика химической и электрохимической коррозии...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В КАТОВИЦАХ МЕЖДУНАРОДНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ: ТЕОРИЯ И ПОЛИТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией доктора экономических наук, профессора, академика АЭН Украины Ю. Г. Козака Рекомендовано Министерством образования и науки Украины как учебное пособие для студентов высших учебных заведений Киев – Катовице Центр учебной...»

«Министерство образования Российской Федерации _ Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) А.В. Благин ФИЗИКА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ Учебное пособие к изучению курса Новочеркасск 2003 2 ББК 22.3 УДК 530.1 (075.8) Благин А.В. Физика. Дополнительные главы. Учебное пособие к изучению курса/Южно-Российский гос. техн. ун-т: Изд-во ЮРГТУ, Новочеркасск, 2003. 160 с. Пособие составлено с учетом требований государственных образовательных стандартов...»

«МЕХАНИЗАЦИЯ И АВТОМАТИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА Учебное пособие Табаков С.В. Раздел I. Введение. Общие сведения о механизации и автоматизации строительства Современное строительство является одной из наиболее механизированных сфер человеческой деятельности. Строительные машины используются на всех этапах строительного производства, а именно: 1- в карьерной добыче строительных материалов (песка, гравия, глины, мела и т.д.); 2- в изготовлении железобетонных, металлических, деревянных и других...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Е.А. Коншина Основы физики жидкокристаллических систем Санкт-Петербург 2013 Коншина Е.А. Оптика жидкокристаллических сред. Учебное пособие – СПб: СПб НИУ ИТМО, 2013.– 128 с. Содержание учебного пособия охватывает круг вопросов, касающихся структурных особенностей и вязкоупругих свойств, теории упругости и процессов деформации жидких...»

«ГБОУ ВПО БАШКИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ И УПРАВЛЕНИЯ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН Факультет экономики и управления Кафедра инновационной экономики АНТИКРИЗИСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕГИОНАЛЬНЫМИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ Учебное пособие для подготовки магистров по направлению 080100.68 Экономика программы Региональная экономика и управление территориальным развитием Уфа 2013 УДК 332.1:338.24(075.8) ББК 65.04-21я73 А72 Рекомендовано к изданию редакционно-издательским...»

«Министерство аграрной политики и продовольствия Украины Государственное агентство рыбного хозяйства Украины Керченский государственный морской технологический университет Кафедра Электрооборудование судов и автоматизация производства ТЕХНОЛОГИЯ ЭЛЕКТРОМОНТАЖНЫХ РАБОТ Конспект лекций для студентов направления 6.070104 Морской и речной транспорт специальности Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики, направления 6.050702 Электромеханика специальности Электромеханические...»

«Министерство образования Российской Федерации Иркутский государственный технический университет ФИЗИКА Учебное пособие для студентов заочной формы обучения технических вузов Издательство Иркутского государственного технического университета 2001 УДК 53 (075.8) Рецензенты: Кафедра теоретической физики, Иркутский государственный университет, зав. кафедрой, доктор физ.-мат. наук, профессор Валл А.Н., Иркутский институт инженеров транспорта, доктор физ.-мат. наук, профессор Саломатов В.Н. Ведущий...»

«В.А. БРИТАРЕВ, В.Ф.З АМЫШЛЯЕВ ГОРНЫЕ МАШИНЫ И КОМПЛЕКСЫ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для учащихся горных техникумов МОСКВА НЕДРА 1984 Бритарев В. А., Замышляев В. Ф. Горные машины и комплексы. Учебное пособие для техникумом.—М.: Недра, 1984, 288 с. Описаны конструкции и принцип работы основных пиши горних машин, получивших наибольшее распространение па открытых горных разработках. Рассмотрены перспективные направления...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.А. Санников Н.В. Куцубина А.М. Витвинин НАДЕЖНОСТЬ МАШИН ТРИБОЛОГИЯ И ТРИБОТЕХНИКА В ОБОРУДОВАНИИ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА Допущено УМО по образованию в области лесного дела в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности и 1504.05 (170400) Машины оборудование лесного комплекса Екатеринбург УДК 620.179. Рецензенты: кафедра Мехатронные системы Ижевского...»

«Методические рекомендации по использованию набора ЦОР Химия для 11 класса Авторы: Черникова С. В., Федорова В. Н. Тема 1. Строение атома Урок 1. Атом – сложная частица Цель урока: на основе межпредметных связей с физикой рассмотреть доказательства сложности строения атома, модели строения атома, развить представления о строении атома. На данном уроке учитель актуализирует знания учащихся об атоме, для чего организует изучение и обсуждение ЦОР Развитие классической теории строения атома...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ КАФЕДРА ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению и защите выпускных квалификационных работ для студентов направлений 140200 и 140600: бакалавр 140200.62 Электроэнергетика и 140600.62 Электротехника, электромеханика и электротехнологии специалист 140211.65...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Кафедра производственной и экологической безопасности И.С. Асаенок, Т.Ф. Михнюк ОСНОВЫ ЭКОЛОГИИ И ЭКОНОМИКА ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ Учебное пособие к практическим занятиям для студентов экономических специальностей БГУИР всех форм обучения Минск 2004 УДК 574 (075.8) ББК 20.18 я 7 А 69 Рецензент зав. кафедрой экономики А. В. Сак Асаенок И.С. А 69 Основы экологии и...»

«Под ред. Джоанны Роджерс Под ред. Роджерс, Д. Гейткипинг. Механизмы контроля на вход в систему социальной защиты детей: теоретическое обоснование и первый опыт. Том 1. — Санкт-Петербург, КиНт-принт, 2010. — 168 с. ISBN 978-5-904778-02-6 Данная книга знакомит читателя с системой гейткипинга и опытом ее практического применения. Авторы глав убеждены в том, что гейткипинг является средством контроля на входе в систему социальной защиты детей и обеспечения выхода из нее. Гейткипинг — это...»

«Министерство Образования Азербайджанской Республики Западный Университет Банковский маркетинг и банковский менеджмент Учебное пособие Утверждено в качестве учебного пособия Ученым Советом Западного Университета от 28 ноября 2009 года (протокол №4) Баку 2010 1 Составители: к.э.н., доцент Курбанов П.А. к.э.н., преподаватель Абасов Э.А. Научный редактор: д.э.н., профессор Гусейнова Э.Н. Технический редактор: Касимова Т.Ю. Учебное пособие рекомендуется для студентов финансовых специальностей и...»

«Ю.А. Курганова МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ОМД: краткий исторический экскурс, основы и тенденции развития По курсу История развития машиностроения Ульяновск 2005 1 Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный технический университет Ю. А. Курганова ОМД: краткий исторический экскурс, основы и тенденции развития Методические указания для студентов специальности 1204 Машины и технология обработки металлов давлением Ульяновск 2005 2 УДК 621(09)(076) ББК 34я К Одобрено секцией...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.К.Серов, Э.А.Перфильева, А.В.Тарсин, Г.П.Филиппов ФИЗИКА Часть 2 Учебное пособие 2-е издание Ухта 2002 УДК 53 (075) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 2. Учебное пособие / И.К. Серов, Э.А.Перфильева, А.В.Тарсин, Г.П.Филиппов. – 2-е изд. - Ухта: УГТУ, 2002. – 67 с. ISBN 5 - 88179 - 218 - 1 Учебное пособие содержит программу, основные формулы, примеры решения задач и контрольные задания по разделам общего...»







 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.