WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 | 3 |

«А.В. Благин ФИЗИКА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ Учебное пособие к изучению курса Новочеркасск 2003 2 ББК 22.3 УДК 530.1 (075.8) Благин А.В. Физика. Дополнительные главы. Учебное пособие к изучению ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования

Российской Федерации

_

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт)

А.В. Благин

ФИЗИКА

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ

Учебное пособие к изучению курса

Новочеркасск 2003

2 ББК 22.3 УДК 530.1 (075.8) Благин А.В.

Физика. Дополнительные главы.

Учебное пособие к изучению курса/Южно-Российский гос. техн. ун-т:

Изд-во ЮРГТУ, Новочеркасск, 2003. 160 с.

Пособие составлено с учетом требований государственных образовательных стандартов для технических специальностей высших учебных заведений, изучающих физику в течение 4-х семестров. Главное внимание в Пособии уделено теоретическим основам современной физики – элементам аналитической механики, квантовой и статистической теории.

Учебное пособие призвано помочь студенту освоить комплекс идей, лежащих в теоретическом фундаменте физики и технических дисциплин. Пособие состоит из 6 частей. Первые две следует рассматривать как теоретический аппарат механики макро- и микроявлений соответственно. 3 и 4 части содержат примеры конкретного описания квантовых систем – от простейших(частица в яме, осциллятор, ротатор) к сложным, многоэлектронным. 5-я посвящена равновесной статистической механике и термодинамике, 6-я – неравновесной термодинамике, включая биологические системы.

Ил. 15, табл. 6. Список лит.: 18 назв.

© Благин А.В.,

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем Пособии дано краткое изложение начал теоретической физики. Студенты физических специальностей также изучают курс теоретической физики после того, как ими прослушан курс общей физики. Разница – только в объеме обоих курсов. К сожалению, объем физики в технических вузах в настоящее время очень мал – 102 часа лекционных занятий – основная часть, и 68 часов отводится на лекционные часы по дополнительным главам.

Однако при известном старании студент инженерной специальности может освоить на достаточно хорошем уровне элементы теоретической физики – настолько хорошем, что теоретическая основа дальнейших специальных дисциплин – таких, как например, теоретическая механика и сопротивление материалов для специальностей строительного направления, основы физики твердого тела и оптоэлектроники – для будущих инженеров электронной техники, будет достаточно понятной и логически связной.





Предлагаемая вниманию книга, возможно, поспособствует решению данной задачи. Разумеется, усвоение любой теории может быть успешным (и вообще, возможным !) только в том случае, если студент освоил навыки решения типовых, а также (желательно) нестандартных задач. С этой целью автор отобрал небольшое количество вопросов и задач по каждой части курса. Они достаточно характерны и интересны, и для их решения, возможно, придется проработать много страниц различных учебников и пособий. В конце настоящего Пособия приведен (далеко не исчерпывающий !) список литературы. Стоит заметить, что базовым учебным пособием по теоретической физике в России и в ряде зарубежных стран является 10-томная “Теоретическая физика” Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица - № 1 в списке. Изучая тома 1,3,4 и 5, можно гораздо подробнее и глубже познакомиться с материалом, изложенным в пособии.

Пособие состоит из 6 частей. Первые две следует рассматривать как теоретический аппарат механики макро- и микроявлений соответственно. 3 и 4 части содержат примеры конкретного описания квантовых систем – от простейших (частица в потенциальном ящике, осциллятор, ротатор) к сложным, многоэлектронным. 5-я посвящена равновесной статистической механике и термодинамике, 6-я – элементам неравновесной термодинамики, включая биологические системы. Большая часть излагаемых вопросов 2-5 частей читалась автором в 1992-1998 гг студентам специальности 200100 – “Микроэлектроника и твердотельная электроника”.

С пожеланиями успеха в освоении курса автор.

1. МЕХАНИКА МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

1. 1. Формулировка уравнений движения Механическое движение заключается в изменении положения тела или в изменении взаимного расположения частей тела в пространстве с течением времени. Привычные понятия пространства и времени, которые формируются в нашем сознании с детства, оказываются достаточно сложными. В настоящем разделе излагаются идеи механического описания макроскопических явлений, которые окончательно оформились в трудах Ньютона, Галилея, Эйлера и Лагранжа. Укажем смысл, который им придавался ими понятиям пространства и времени. Под пространством мы будем подразумевать геометрическое пространство, то есть считать, что свойства его не изменяются от присутствия масс, электрических зарядов и других физических объектов. Это пространство подчиняется геометрии Евклида; так, кратчайшим расстоянием между двумя точками в нем является прямая, а квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками ds2 равен сумме квадратов проекций этого расстояния на прямоугольные оси координат:

ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (1.1. 1) Будем также считать, что время или, точнее, его изменения являются абсолютными, то есть не зависят от физических процессов, которые происходят в той области пространства, где мы его измеряем. В классической механике также считается абсолютным понятие массы, которая считается не зависящей от характера движения данной системы.





Необходимость такой абсолютизации понятий пространства, времени и массы станет ясной, если мы разберем простейший из видов движения — прямолинейное равномерное движение. Для того чтобы дать определение равномерного прямолинейного движения, мы должны, во-первых, определить, что такое прямая, а это, в свою очередь требует знания геометрических свойств реального пространства.

Необходимо также условиться о трактовке понятия ”время”, поскольку равномерное движение определяется как движение, при котором равные расстояния проходятся в равные промежутки времени. Равномерное прямолинейное движение материальной точки неявно предполагает постоянство массы, или заданный закон ее изменения. Масса должна характеризовать особенности движения тела, в частности, его способность ускоряться под действием силы.

Опыты Майкельсона показали, что выше обозначенное содержание понятий пространства, времени и массы не позволяет дать математическое описание наблюдаемым явлениям – так возникла необходимость пересмотра этих понятий. Первая четверть XX века ознаменовалась рождением новой механики, в которой понятия пространства, времени и массы утратили наглядный смысл, однако новое их содержание позволило установить закономерности излучения, поглощения и распространения электромагнитных волн. “Наглядная” же механика предстала в виде некоторых приближений.

Анализ понятий пространства, времени и массы показал всю их сложность и поставил перед физикой ряд новых, не разрешенных полностью еще и теперь, вопросов. Начнем с формулировки законов движения, данной Ньютоном в 1687 г. Назовем произведение массы движуds щейся материальной точки на ее скорость Заметим, что понятие импульса является более общим понятием, чем понятие скорости.

Действительно, если предположить, что масса зависит от скорости, то изменение количества движения (импульса) может быть вызвано как изменением массы или скорости в отдельности, так и их одновременным изменением:

Сохранение количества движения в системе, части которой не испытывают внешнего влияния (закон сохранения импульса), обусловило тот факт, что понятие импульса широко применяется и в других формах механики, развившихся уже в XX веке.

Скорость является вектором; для ее полного определения необходимо задать не только ее величину, но и направление, масса же определяется только величиной — она является скаляром.

Количество движения, являясь произведением скаляра на вектор, как и скорость, является вектором.

При установлении первого закона механики Ньютон вводит понятие силы как причины изменения движения. Первому закону Ньютона - закону инерции - можно придать следующую формулировку: в отсутствии действующих на данную материальную точку сил характер ее движения не изменяется, следовательно, ее количество движения p, а при постоянной массе и ее скорость v остаются постоянными по величине и направлению. Этот закон математически можно записать так:

Интегрируя уравнение (1.1.4), получим т. е. скорость постоянна по величине и направлению: точка движется прямолинейно (постоянство направления) и равномерно (постоянство величины скорости).

Подчеркнем еще раз, что первый закон механики дает качественное определение силы.

Из (1.5) следует, что при отсутствии действующих на материальную точку сил, она будет или покоиться неограниченно долгое время (в этом случае постоянной скоростью ( p и v отличны от нуля). Второй закон механики Ньютона дает уже коr личественное определение понятия силы, устанавливая связь между изменением импульса p в единицу времени и силой, которую мы обозначим через F.

Производная вектора импульса p по времени является вектором, следовательно, сила также должна быть вектором. При постоянстве массы второй закон можно написать таким образом:

Величина — изменение скорости в единицу времени — называется ускорением и является также вектором. Отметим, что математическое выражение первого закона можно получить из второго закона, положив F = 0. Тогда а это уравнение совпадает с уравнением (1.1.4), выражающим первый закон со всеми вытекающими из него следствиями.

Третий закон Ньютона отвечает на вопрос, естественно возникающий при дальнейшем анализе понятия силы. Пусть имеются две материальные точки, взаимодействующие друг с друr гом, и сила взаимодействия равна F. Третий закон Ньютона утверждает, что «действие равно противодействию». То есть, что сила, с которой первая материальная точка действует на вторую, равна и противоположна по направлению силе, с которой вторая материальная точка действует на первую. Это определение силы подчеркивает ее смысл как понятия, определяемого несколькими, в простейшем случае двумя объектами. Таким образом, силовое взаимодействие возможно при наличии, по крайней мере, двух объектов, причем оба они обусловливают его в равной степени. Причина, вызывающая взаимодействие объектов, едина (например, наличие у них заряда или массы), поэтому действие объектов друг на друга должно иметь одинаковый характер, например характер притяжения. Напомним из общей физики еще одно понятие, играющее большую роль в механике. Если мы имеем свободную точку, то для определения ее движения в пространстве необходимо знать законы изменения трех ее координат. Если на движение точки наложено дополнительное условие, состоящее в том, что она должна двигаться по некоторой плоскости, то ее движение в этой плоскости может быть определено уже только двумя координатами, а при движении по прямой линии — только одной координатой. Число независимых координат, необходимое для определения движения данного тела, носит название числа степеней свободы тела. Следовательно, можно сказать, что свободная точка имеет три степени свободы; точка, двигающаяся по плоскости, — две; а точка, двигающаяся по прямой, — одну степень свободы.

Поскольку число степеней свободы равно числу независимых координат, определяющих движение данного физического тела, оно равно числу координат, определяющих его положение, уменьшенному на число уравнений, ограничивающих возможные значения координат. Для свободной точки мы имеем три независимые координаты. Если потребовать, чтобы она двигалась по заданной поверхности, определяемой уравнением f(x, у, z) = 0, то независимыми будут лишь две координаты, поскольку третья может быть исключена из уравнений движения при помощи уравнения поверхности (это относится, конечно, не только к самой координате, но и к ее дифференциалу). Уравнения, ограничивающие свободу движения тела, называют уравнениями связей, поэтому можно сказать, что число степеней свободы равно числу координат, определяющих положение данной точки или системы точек, минус число уравнений связи.

Второй закон Ньютона устанавливает взаимосвязь между силой, являющейся причиной изменения движения, и величинами, характеризующими само движение (ускорением, скоростью и путем). Поэтому математическую формулировку второго закона можно назвать уравнением движения, а его смысловое содержание дает основания считать его основным законом механики.

При анализе конкретных ситуаций в механике уравнение движения удобно записывают не в векторной форме (1.1.6), а в скалярной, например, для свободного движения материальной точки мы будем иметь три уравнения движения (по числу степеней свободы). Для записи уравr нения движения в векторной форме мы имеем четыре следующих вектора: вектор силы F, ределяемый через вектор скорости v и массу т уравнением (1.1.2), а также вектор скорости v, определяемый как производная вектора пути s по времени t, и перемещение s, в зависимости от характера действующих сил, может изображаться от условно начальной до условно конечной точки на траектории - кривой любого вида.

Пользуясь этими четырьмя векторами, мы можем записать уравнение движения в следующих трех формах:

(эта форма записи является наиболее общей, поскольку здесь не делается никаких предположений о свойствах массы), (здесь мы считаем массу постоянной) и, получаемое заменой в уравнении (1.2.2) v на, уравнение которое предсталяет собой то, что обычно называют уравнением движения Ньютона или уравнением движения классической механики.

Для записи уравнения движения в скалярной форме переходят от векторов p, v, s и F к их компонентам по осям любых систем координат, упрощающих рассмотрение задачи. Вообще говоря, число способов разложения вектора на компоненты не ограничено (в частности, может быть использована косоугольная система координат), единственное условие, которое должно всегда соблюдаться, состоит в том, что сумма компонентов должна быть равна разлагаемому вектору. Выбор способа разложения зависит от нас, но значение вектора, определяющего реальную физическую величину, задано и поэтому должно оставаться неизменным при любом способе разложения, как говорят математики — быть инвариантным.

Если разложить основные векторы механики p, v, s и F на сумму трех взаимно перпендикулярных векторов, каждый из которых представляет проекцию разлагаемого вектора на оси прямоугольной системы координат, то мы получим следующие выражения:

где j x, j y, j z — компоненты единичного вектора j в выбранной системе координат.

Если начало вектора s совпадает с началом координат, то его компоненты численно равны значениям координат его конца х, у, z; в общем случае компоненты равны разности значений коорr динат начала и конца вектора s. Используя выражения (1.2.4) —(1.2.7), мы можем записать уравнения движения таким образом:

или для постоянной массы:

а также:

Отметим еще одно весьма важное как с физической, так и с математической точки зрения свойство уравнений движения. Предположим, что система координат, к которой мы относим движение, например железнодорожная платформа, сама движется прямолинейно и равномерно.

Такое движение мы можем назвать инерциальным, поскольку оно может происходить без воздействия каких-либо сил, по закону инерции (первому закону Ньютона). Пусть вектор скорости v0 этого движения направлен по оси х, тогда v x = v0, v y = 0, v z = 0. Преобразуем уравнения движения к новой системе координат, относительно которой наша первоначальная система движется с постоянной по величине и направлению скоростью v0 (для движущегося поезда такой системой координат может быть, например, карта района, по которому он проходит). Обозначим величины, относящиеся к неподвижной системе координат штрихом, тогда:

Подставляя эти новые значения компонентов скорости v в уравнения движения (1.2.9), мы увидим, что уравнения не изменяют своего вида:

Если уравнения движения не изменяют своего вида при переходе от системы координат, движущейся с постоянной по величине и направлению скоростью к покоящейся, и наоборот, то, очевидно, что и выражаемые ими законы движения также не изменяются. Если мы чистим одежду, или умываемся, в вагоне, движущемся прямолинейно и равномерно, мы легко заметим, что наши действия обычны, никаких изменений в них по сравнению с подобными процедурами в ванной комнате собственной квартиры делать не надо.

Системы координат, движущиеся с постоянной по величине и направлению скоростью, называются инерциальными системами координат. Уравнения движения не изменяют своей формы, как мы уже видели, при переходе от одной инерциальной системы к другой. Преобразования координат при переходе от покоящейся системы координат к системе, движущейся с постоянной скоростью (или вообще от одной инерциальной системы к другой), называют преобразованиями Галилея. Неизменяемость формы уравнений движения по отношению к преобразованиям Галилея обозначают как инвариантность уравнений движения в отношении преобразований Галилея. Факт инвариантности уравнений движения по отношению к преобразованиям Галилея называют также механическим принципом относительности.

Физический смысл принципа относительности Галилея состоит в том, что наличие движения с постоянной по величине и направлению скоростью не может быть обнаружено никакими механическими опытами, поскольку законы движения одинаковы как для покоящихся, так и для равномерно и прямолинейно движущихся систем. Такими механическими опытами являются, например, игра в теннис или в бильярд, падение тел, колебания маятника часов и др. Все механические явления на равномерно и прямолинейно движущемся теплоходе происходят так же, как и на суше (то есть в другой инерциальной системе).

Можно дать более общее определение инерциальным системам: это такие системы, в которых выполняется закон инерции Ньютона, то есть тело в отсутствии действующих на него сил движется прямолинейно и равномерно. Лев Ландау с соавторами в “Курсе общей физики” предложил называть инерциальными системы, связанные со свободными телами. Однако понятие “свободного тела” весьма условно; ни одно из тел, включая Землю, Солнце, абсолютно свободными не являются.

Уравнения движения (1.2.1) — (1.2.3) и (1.2.8) — (1.2.10) представляют собой дифференr r циальные уравнения первого порядка относительно p и v или p x, p y, p z ; v x, v y, v z и уравнеr ния второго порядка относительно s или координат движущейся материальной точки х, у, z.

Найдем интегралы этих уравнений для всех трех случаев. Начнем с уравнений (1.2.8), в которых переменными являются р и t. Из (1.2.8) имеем:

Интегрируя левую часть от некоторого начального значения импульса ро до конечного рt а правую — от 0 до t, получим:

Аналогично:

Интегралы, стоящие в правых частях уравнений (1.3.2) и (1.3.3), могут быть вычислены только в случаях, когда известна в явной форме зависимость компонентов силы Fx, Fy, Fz от времени. В простейшем случае, когда сила постоянна, то есть изменение импульса равно произведению силы на продолжительность ее действия.

лы. Полагая, что количество движения в момент времени t=0 равно нулю, мы видим, что в этом случае количество движения численно равно импульсу действующей силы.

Если мы имеем несколько масс, например, две массы m1 и m2, с импульсами m1v1 = p1 и m2v2 = p2,то при отсутствии внешних сил:

где pi — начальные, а p i — конечные значения импульса.

Уравнение (1.3.7) выражает закон сохранения импульса. Перейдем к интегрированию уравнений движения для случая переменной силы, но при постоянстве массы. Согласно (1.2.2) и (1.2.9), Умножая скалярно обе части уравнений (1.2.2) и (1.2.9) на скорость v или ее компоненты v x, v y, v z и отдельно складывая их правые и левые части, находим:

Величина, стоящая в скобках левой части уравнений (1.3.8), представляет собой производную по времени от половины произведения массы на квадрат скорости:

поскольку Правая часть уравнения (1.3.9) имеет сложный вид, однако ее можно привести в одном частном случае к более простой форме. Этот случай является настолько частым, что мы ограничимся только им. Мы будем рассматривать только те силы, которые связаны с некоторой функцией координат, которую мы обозначим через U и назовем потенциальной функцией. Причем, ориентированы векторы этих сил должны быть в том направлении, в котором функция U убывает быстрее прочих направлений.

Дифференциал этой функции равен:

Наложим на функцию U еще одно дополнительное условие: ее дифференциал должен быть полным дифференциалом, то есть должны тождественно выполняться равенства:

В этом случае интеграл от dU не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от пределов интегрирования:

В векторном анализе сумма трех частных производных по координатам называется градиентом.

Сама потенциальная функция является скаляром, но градиент ее является вектором. Градиент обозначается grad, поэтому мы можем написать:

Вернемся к интегрированию уравнений движения. Так как мы условились рассматривать только те силы, которые связаны с некой потенциальной функцией, можно написать правую часть уравнения (1.3.8), с учетом (1.3.10) так:

причем, Подставляя в уравнение (1.3.8) значение левой части из (1.3.9) и правой из (1.3.14), получим:

или Найденные нами уравнения (1.3.17) и (1.3.18) являются первыми интегралами уравнений движения (1.2.2) и (1.2.9), поскольку в них еще входят производные пути по времени (скорости).

Вопрос о нахождении вторых интегралов здесь рассматривать не будем.

Константу Е уравнения (1.3.18) называют полной энергией, — кинетической, a U — потенциальной энергиями. Результат, выражаемый уравнениями (1.3.17) и (1.3.18), можно сформулировать таким образом: для системы, в которой действующие силы являются потенциальными, энергия остается постоянной. Такие системы называют консервативными системами.

Важность этого результата заключается в том, что изолированные механические системы подчиняются наиболее общему и пока не имеющему исключений закону физики – закону сохранения энергии. Поскольку закон сохранения энергии является верным для всех физических явлений, происходящих в изолированных системах, появление энергии в уравнениях механики позволяет обобщить его на другие немеханические явления. Однако из этого нельзя сделать заключения о том, что эти явления подчиняются законам механики. Наоборот, сами законы механики являются частным случаем других, более общих законов физики.

Отметим, что полная, кинетическая и потенциальная энергии являются скалярами.

Мы уже говорили, что импульс p является более общим понятием, чем скорость v, поэтому представляется интересным получить левую часть уравнения (1.3.18) как функцию p. Умножая уравнения движения (1.2.8) на и складывая, получаем:

Существование интеграла энергии, как очевидно, непосредственно вытекает из уравнений движения.

Рассмотрим еще один первый интеграл уравнений движения. Соединим для этого каждые два соседних уравнения (1.2.10) попарно и, умножив обе части каждого из уравнений, входящих в данную пару, на координату, соответствующую другому уравнению, вычтем их одно из другого:

Покажем, что левые части уравнений (1.4.1) представляют собой производные вида y z (пока без учета массы m):

отсюда:

Величины, стоящие в обеих частях уравнений (1.4.2), можно рассматривать как компоненты двух векторов. Вектор, соответствующий левым частям уравнений (1.4.2), мы назовем вектором момента импульса L. Его компоненты определяются следующими уравнениями (если ввести или, вводя импульсы mx = p x, my = p y, mz = p z :

Момент импульса L представляет собой векторное произведение радиус-вектора r точки, в которой приложен вектор импульса p, на сам вектор импульса:

Напомним, что векторное произведение двух векторов, в данном случае p = j x p x + j y p y + j z p z и r = j x x + j y y + j z z, записывается в виде определителя:

Разложим его по элементам первой строки:

Компоненты векторного произведения [r, p ], т. е. вектора момента количества движения L, наrrr ходятся как коэффициенты при единичных векторах j x, j y, j z :

что находится в соответствии с (1.4.4).

Численное значение векторного произведения [r, p ] равно произведению абсолютных величин обоих сомножителей на синус угла между ними:

Вектор момента импульса L перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и p, и образует с ними правую систему.

В правых частях уравнений (1.4.2) стоят разности такого же типа, как и в левых, следовательно, их также можно рассматривать как компоненты некоторого векторного произведения.

Мы назовем это векторное произведение моментом силы относительно начала координат и обоr значим его символом M. Компоненты этого векторного произведения:

называют моментами силы, относительно осей х, у, z. В новых обозначениях можно записать уравнения (1.4.2) таким образом:

или, в векторной форме:

Интегрируя уравнение (1.4.7), получим:

то есть приращение момента импульса равно интегралу по времени от момента действующей силы. Поскольку нас интересуют в основном только силы, связанные с потенциальной энергией, выясним, какую форму принимает уравнение (1.4.8) для таких сил. Положим, что вектор силы F полностью лежит в плоскости х, у. Тогда имеем:

Перейдем к полярным координатам:

тогда Следовательно, вращающий момент зависит только от производной потенциальной функции, или потенциальной энергии, по угловой координате. Если мы имеем дело с так называемыми центральными силами, для которых потенциальная энергия U зависит только от расстояния r между взаимодействующими материальными точками, то производная, входящая в уравнение (1.4.10), будет равна нулю. Заметим, что силы тяготения и электростатические силы являются как раз центральными силами. В случае центральных сил уравнение (1.4.7) принимает следующий вид:

Это еще один закон сохранения — закон сохранения момента импульса, являющийся частным случаем уравнения (1.4.7).

Интересно сравнить свойства двух первых интегралов уравнений движения. Они во многих отношениях отличны друг от друга. В то время как интеграл энергии является частным случаем одного из наиболее общих законов физики, постоянство интеграла момента количества движения выполняется только в случае центральных сил. Энергия представляет собой скалярную величину, значение которой совершенно не зависит от направления. Момент количества движения является вектором, так же как и момент силы.

В выражение закона сохранения энергии входят как кинетическая, так и потенциальная энергии, однако для консервативной системы сохраняет постоянное значение только сумма этих величин. Каждая из них, взятая в отдельности, может изменяться (при условии постоянства их суммы) как угодно. Заметим, что значения кинетической и полной энергий изменяются при переходе от одной инерциальной (то есть движущейся с постоянной по величине и направлению скоростью) системы координат к другой. Покажем это. Пусть уравнение энергии движущейся материальной точки в неподвижной системе координат имеет вид:

Запишем это уравнение для системы, двигающейся относительно неподвижной системы в направлении x со скоростью с. Компоненты скорости точки в новой системе отсчета будут равны:

Тогда уравнение энергии записывается так Следовательно, значение энергии может изменяться в зависимости от той системы отсчета, к которой мы её относим. Говорят, что значение энергии определено с точностью до некоторой аддитивной постоянной. Ряд величин в физике определены именно с такой оговоркой, однако такой факт не приводит к каким-либо недоразумениям – в уравнения, которые не привязаны к какой-то конкретной системе отсчета, входит не сама энергия, а ее разность, или производные. Произвольная постоянная, очевидно, не присутствует в этих уравнениях.

“Работа” уравнений движения в механике демонстрируется нагляднее всего в двух весьма распространенных видах движения, к которым, в принципе, наряду с прямолинейным движениям, можно свести большинство механических явлений. Это: 1)малые колебания материальной точки и 2)движение материальной точки, притягиваемой некоторым центром, масса которого весьма велика по сравнению с массой точки (силу притяжения будем считать обратно пропорциональной квадрату расстояния).

Малыми колебаниями называют колебания, происходящие под действием так называемой квазиупругой силы - силы, стремящейся возвратить колеблющуюся точку в положение равновесия, а следовательно, направленной против движения и пропорциональной отклонению точки от положения ее равновесия. Малые колебания играют большую роль как в механике (например, колебания маятника, упругие колебания), так и в других разделах физики. Колебания атомов твердого тела тоже можно в первом приближении рассматривать как малые колебания.

Классическая оптика рассматривала излучение как результат малых колебаний электронов, считая их самих заряженными материальными точками. На основе этих представлений о природе излучения возникла и развилась квантовая теория, причем, модель «излучающего электрона»

(или другой заряженной элементарной частицы) перешла и в квантовую механику (гармонический осциллятор).

Запишем уравнения движения для малых колебаний. Пусть некоторая точка массы т находится в положении равновесия в начале координат. Отклоним ее на расстояние х, тогда действующая на нее сила, которую иногда называют возвращающей силой, будет по определению пропорциональна величине х. Если обозначить коэффициент пропорциональности через k, то выражение для действующей силы запишется так:

а уравнение движения примет вид:

Рассмотрим вначале случай незатухающих колебаний, т.е., будем считать, что трения в системе нет, полная механическая энергия – интеграл (1.3.18) сохраняется.

Найдем интеграл – решение уравнения (1.5.1). Это уравнение представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентаx = e t :

ми. Воспользуемся подстановкой Эйлера:

откуда ( называется круговой частотой).

Итак, Умножая два полученных решения на постоянные С1 и С2, мы находим полное решение уравнения (1.5.1) в таком виде:

Чтобы определить постоянные С1 и С2 мы должны задать два начальных условия. Пусть в начале движения при t=0 координата колеблющейся точки x0, а ее скорость x0. Подставим значения x и x в уравнение (1.5.4) и в уравнение x = i С1e it С 2 e it, полученное из (1.5.4) дифференцированием по времени. После подстановки получим:

Складывая и вычитая уравнения (1.5.5) и (1.5.6), находим:

Используя формулы Эйлера Если в формуле (1.5.9) положить то ее можно записать еще в таком виде Формулы (1.5.10) позволяют выразить a и через x0, x0 и :

Проведем анализ решения (1.5.11).

При t = 0 имеем x=a. Наибольшее по абсолютной величине отклонение точки от положения равновесия (а) называют амплитудой колебания. При t=0 x = x0 = a cos( ), где начальный угол, называемый фазой колебания. Если вначале скорость x0 была равна 0, то равна начальному отклонению. В этом случае уравнения колебаний содержит только одну постоянную, определяемую начальными условиями,- амплитуду:

Найдём выражение полной энергии колеблющейся точки. По определению сила связана с потенциальной энергией соотношением: Fx =. Здесь производная является полной, так как сила зависит только от координаты x. Интегрируя выражение Fx dx = dU в приделах от до x, получаем потенциальную энергию:

Подставим ее в интеграл полной энергии:

Следовательно, полная энергия колебания пропорциональна массе колеблющейся точки m, квадрату амплитуды колебания a 2 и квадрату их частоты 2. Если ввести период колебаний T=, то получим для полной энергии такое выражение:

Отметим, что энергия колебаний обратно пропорциональна квадрату периода, или соответственно пропорциональна квадрату частоты колебаний.

Теперь пусть на материальную точку, помимо возвращающей, действует некоторая периодически изменяющаяся внешняя сила и сила сопротивления, пропорциональная скорости x.

Без периодической внешней силой действие силы сопротивления приводит к затуханию колебаний.

Коэффициент затухания (силу сопротивления, развивающуюся при единичной скорости) мы обозначим, а выражение для внешней периодической силы запишем в виде Аeit, где А — коэффициент пропорциональности, а — частота. Теперь уравнение движения запишется в такой форме:

или Уравнение (1.6.1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением, решение которого получается прибавлением к решению соответствующего однородного уравнения частного решения неоднородного уравнения. Найдем решение однородного уравнения представляющего собой левую часть (1.6.1):

(1.6.2), мы получим:

Решая характеристическое уравнение находим Разберем три возможных случая:

1) 2 4mk. Оба корня уравнения (1.6.3) действительны, соответствующие два решения:

2) 2 = 4mk, мы имеем только одно решение:

3) 2 4mk 0. В этом случае корни характеристического уравнения равны:

так как Мы имеем опять два решения, оба содержащие мнимую часть:

Рассмотрим физический смысл получившихся решений. В первом случае, умножая каждое из решений на произвольную постоянную, имеем:

Экспонента перед скобками и первое слагаемое в скобках являются убывающими функциями времени. Покажем, что второе слагаемое совместно с экспонентой перед скобкой также представляет собой убывающую функцию времени. Действительно, постоянную часть показателя функции можно записать в виде:

но подкоренное выражение по первому условию меньше единицы, следовательно, разность в скобках положительна, а весь показатель отрицателен и является убывающей функцией времени.

Решение, полученное во втором случае: x = Ce 2m, также является убывающей функцией времени.

Следовательно, в обоих случаях движение, во-первых, будет непериодическим, поскольку оба показателя являются действительными, во-вторых, отклонение х будет монотонно убывать, стремясь при t t к 0.

Больший интерес представляет третий случай, в котором оба решения x1 и х2 имеют мнимую часть, следовательно, движение будет периодическим. В данном случае полное решение однородного дифференциального уравнения можно записать таким образом:

Полагая Зададим снова начальные условия и определим по ним значения констант С1 и С2 :

x = x0, и x = x0, тогда из (1.6.9) получаем:

Полагая, как и раньше:

и применяя формулу Эйлера, мы окончательно получим:

Заметим, что частота колебаний следующим образом связана с частотой колебаний точки, не испытывающей сопротивления при движении ( 0 обозначает частоту в отсутствии сопротивления):

имеем, как мы уже видели во втором случае, апериодическое движение.

Найдем еще выражение для энергии колебаний при наличии сопротивления:

Таким образом, Это выражение содержит множитель представляющий собой убывающую функцию времени. Следовательно, энергия колебаний должна убывать во времени и колебания будут постеt амплитуды колебаний в момент времени t:

Мы видим, что затухающие колебания отличаются от происходящих без сопротивления тем, что при возрастании трения, то есть константы, частота их все более и более уменьшается. Энергия и амплитуда их не постоянна, а уменьшается со временем.

Произведение величины, от которой зависит уменьшение амплитуды и энергии коm лебаний, на период колебаний = называется логарифмическим декрементом затухания :

Уменьшение энергии затухающих колебаний указывает, конечно, не на нарушение закона сохранения энергии, а на передачу ее от колеблющейся системы окружающей среде (например, воздуху и подставке колеблющегося камертона).

Выясним роль внешней силы. Для этого необходимо решить неоднородное уравнение (1.6.1):

Допустим, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид x = Be i1t, то есть под влиянием внешней силы в системе возникают колебания с частотой 1. Проверим это предположение, подставив в (1.6.1) предполагаемое решение Поскольку x = t1 Bei1t, x = 12 Be i1t, получаем или Преобразуем знаменатель в (1.6.16), вводя величины и 1:

новые величины из соотношений:

Таким образом, знаменатель в (1.6.16) можно привести к виду:

Подставляя это выражение в (1.6.16), находим:

Частное решение уравнения (1.6.1) принимает следующий вид:

Назовем отношение амплитуд вынужденного колебания В и вынуждающего А без показательной функции е-i “коэффициентом искажения” :

тогда В=k i Таким образом, частное решение уравнения (1.6.1) имеет вид:

а полным решением этого будет сумма частного решения (1.6.19) и общего решения (1.6.11) однородного дифференциального уравнения (1.6.2):

Второе слагаемое в (1.6.20) с течением времени стремится к нулю, поэтому значимым является первое слагаемое, представляющее вынужденные колебания системы под влиянием внешней периодической силы Ae i1t. Амплитуда вынужденных колебаний A зависит от двух величин – амплитуды внешней силы А и коэффициента искажения.

Выясним характер изменения в зависимости от частоты свободных и вынужденных колебаний и коэффициента силы сопротивления. С этой целью найдем максимум в зависимости от частоты колебаний внешней силы 1.

В точке экстремума первая производная функции по частоте должна равняться нулю:

Этому условию удовлетворяет значение частоты:

Можно проверить, определив знак первой производной (1.6.21) при 1 M и 1 M, что значение М соответствует максимуму функции. Таким образом, достигает максимального значения при равенстве частот вынуждающей силы и затухающих колебаний данной системы.

Подставляя значение М, соответствующее максимуму, в (1.6.18), находим значение самого Явление резкого возрастания коэффициента искажения (и амплитуды) вынужденных колебаний называется резонансом. Очевидно, что явление резонанса возникает только при частотах затухающих колебаний, отличных от нуля, то есть когда всегда снижает резонанс и уменьшает максимальное значение. Явления резонанса играют большую роль во многих физических процессах.

Интересно отметить, что максимальная энергия колебаний не соответствует максимуму амплитуды В, совпадающему с максимумом коэффициента искажения. Энергия вынужденных колебаний равна:

Дифференцируя по, получаем:

Уравнение (1.6.24) имеет два решения: 20 = 2 и 20 = — 2. Поскольку частота всегда является положительной величиной, второе решение не имеет физического смысла - для максимума энергии Е получается следующее выражение:

Как говорилось выше, уравнение вынужденных гармонических колебаний при наличии сопротивления (1.6.1) и уравнение свободных незатухающих колебаний (1.5.1), являющееся частным случаем (1.6.1), применяются для описания самых разнообразных процессов. Так, например, если в (1.6.1) заменить массу m на индуктивность L, вместо механического сопротивления введем электрическое R, в качестве координаты х будем рассматривать количество электричеQ нение колебаний в электрическом контуре, состоящем из емкости С, индуктивности L и омического сопротивления R. Если в контуре действует некоторое переменное электрическое поле E0cost, мы будем иметь вынужденные электрические колебания. Совершенно аналогично уравнению для вынужденных затухающих механических колебаний (1.6.1), имеем:

Согласно (1.6.9), частота электрических колебаний может быть выражена формулой:

где 0 = - собственная (резонансная) частота контура.

Важный класс задач в физике составляют случаи движения материальной точки под влиянием центральных (то есть, зависящих только от расстояния) сил, когда эти силы обратно пропорциональны квадрату расстояния между двумя взаимодействующими центрами. Так, наиболее часто встречающиеся виды взаимодействия между двумя массами и между двумя электрическими зарядами подчиняются как раз закономерностям движения в поле центральных сил.

Закон притяжения материальных точек (закон всемирного тяготения Ньютона) записывается в виде:

где М и m обозначают величины взаимодействующих масс, r — расстояние между ними.

Закон Кулона, определяющий взаимодействие точечных электрических зарядов, имеет аналогичный вид:

где e1 и е2 —величины взаимодействующих разноименных зарядов.

Как видно из выражений (1.7.1) – (1.7.2), с использованием выражения для потенциальных сил F = -grad U (или U = - F(r) dr), в обоих случаях потенциальная энергия, равная работе переноса массы или заряда из бесконечности в данную точку силового поля, будет обратно пропорциональна расстоянию в первой степени:

Перейдем к интегрированию уравнений движения. Чтобы не рассматривать движение под влиянием гравитационных и электрических сил в отдельности, мы обозначим величину, стояA щую в числителе обоих законов взаимодействия, через А. UK,UH =. Будем считать прямую, соединяющую обе взаимодействующие точки, лежащей в плоскости ху, и рассматривать случай движения в этой плоскости. В этом случае проекции силы взаимодействия на оси х и у будут равны:

а уравнения движения примут следующий вид:

Напишем выражения первых интегралов:

2) момента импульса m(х y - у x ) = const, так как Запишем выражения первых интегралов в полярных координатах x=rcos; y=rsin.

Поскольку в полярных координатах выражение для кинетической энергии примет следующий вид:

Тогда интеграл энергии (1.7.6) в полярных координатах:

Проведя аналогичное преобразование координат для интеграла момента импульса (1.7.7), получим:

где С – постоянная величина (интеграл момента импульса).

Теперь можно исключить какую-либо из величин, входящих в уравнения (1.7.9) и (1.7.10).

Поставим задачу нахождения траектории, по которой будет двигаться точка под действием центральной силы. Для получения уравнения кривой необходимо установить связь между координатами r и. Для этого исключим из уравнения (1.7.9) дифференциал времени dt, воспользовавшись уравнением (1.7.10):

Подставляя (1.7.10) в (1.7.9) и перенося все члены, зависящие от r, направо, получим исходное дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

следних членов будет преобразована в квадрат разности - 2, взятый со знаком минус.

С учетом того, что Введя обозначения где р и — постоянные, получим новое выражение для (1.7.12):

Интегрируя (1.7.16) в пределах: от 0 до, и r от 0 до r, получим:

Уравнение (1.7.17) представляет собой уравнение конических сечений — гиперболы, эллипса и параболы, в зависимости от значений эксцентриситета кривой. Рассмотрим отдельно каждый из этих возможных случаев. Возводя (1.7.15) в квадрат и вычитая из (1.7.14), находим:

Случай 1). При 2 1, Е 0. Если энергия положительна, частица движется по незамкнутой кривой — гиперболе. Полная энергия может быть положительна в том случае, когда кинетическая энергия больше потенциальной, если потенциальная отрицательна (т. е. материальные точки притягивают друг друга), или в том случае, когда потенциальная энергия положительна (между точками действуют силы отталкивания).

Случай 2. 2 = 1; Е = 0. Кинетическая энергия равна потенциальной по абсолютной величине, но они противоположны по знаку; полная энергия равна нулю. Движение происходит по незамкнутой кривой — параболе.

Случай 3. 2 1; Е 0. Полная энергия отрицательна, кинетическая энергия меньше потенциальной. Движение происходит по эллипсу, который является замкнутой кривой.

Все эти случаи встречаются в небесной механике и теории атома. Пусть какое-нибудь небесное тело, например комета, движется к Солнцу из мирового пространства. По закону сохраmv нения энергии ее кинетическая энергия на весьма большом расстоянии от Солнца должна равняться ее полной энергии на расстоянии r от Солнца (так как потенциальная энергия стремится к нулю при росте r), т.е.

гле v0 — начальная скорость, a v — скорость на расстоянии r. Даже если начальная энергия кометы была равна нулю, ее полная энергия вблизи Солнца также будет равна нулю и комета удалится по параболе в межзвездное пространство. Чтобы комета осталась в солнечной системе, нужно действие какого-нибудь третьего тела, которое уменьшило бы ее энергию (например, за счет работы против сил притяжения), тогда кинетическая энергия может стать меньше потенциальной и комета начнет двигаться по эллипсу. Чаще всего такие случаи происходят благодаря прохождению кометы вблизи самых больших планет солнечной системы – Юпитера и Сатурна.

При прохождении ядер гелия - -частиц через вещество наблюдается их рассеивание.

Объяснить явление рассеивания можно исходя из того, что -частица и ядро, к которому она приближается, обладают одноименными электрическими зарядами и взаимодействуют по закону Кулона. Потенциальная энергия взаимодействия, а вместе с ней и полная энергия, в данном случае положительны. Когда энергия взаимодействия невелика, траектории -частиц, пролетающих вблизи более тяжелых ядер, будут гиперболами.

Альфа-частицы больших энергий, сближаясь с ядрами, могут преодолеть действие электрических сил отталкивания, попасть в сферу действия ядерных сил притяжения и вызвать одну из ядерных реакций. В квантовой физике эти процессы рассматриваются подробно.

В настоящее время, когда единство идей и методов физики ощущается особенно сильно, в механике весьма важным является подход, “учитывающий интересы” других теорий физики.

Одним из наиболее универсальных понятий физики является энергия, а закон ее сохранения — одним из самых общих и точных законов физики. Как было показано в разделе 1.3, интеграл энергии связывает уравнения механики с уравнениями, выражающими более широкие физические законы. С этой точки зрения формулировки принципов механики, основанные на введении в уравнения механики с самого начала или самой энергии или связанных с ней и родственных ей величин, представляются достаточно интересными.

Такие уравнения были выведены Лагранжем в 1788 г. и Гамильтоном в 1834 г. еще за много лет до того, как понятие энергии в его общем виде было сформулировано и закон сохранения энергии получил количественное определение.

Начнем с вывода уравнений Лагранжа. Рассмотрим некоторую функцию координат q и скоростей q —L (q, q ), введенную впервые Лагранжем и обозначаемую через L по первой букве фамилии Лагранжа. Мы назовем L функцией Лагранжа. Термин “кинетический потенциал”, применявшийся ранее, представляется устаревшим – в современной физической методологии потенциалом считается отношение энергии к массе, или к заряду, т.е. к величине, характеризующей способность физического объекта к тому или иному взаимодействию. Функция Лагранжа L равна разности между кинетической и потенциальной энергиями механической системы:

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется некоторый определенный интеграл по времени от функции Лагранжа L. Мы обозначим этот интеграл через S и назовем величину S действием (иногда ее называют еще функцией действия):

Величина S = Ldt зависит не только от значений q и q1, но и от вида функции L, поэтому S называют обычно функционалом. Так как согласно (1.8.1) L будет различным в зависимости от закона взаимодействия, определяющего потенциальную энергию U.

Задача заключается в том, чтобы найти минимум S за время, равное разности пределов интегрирования t— t0, то есть найти такое движение, при осуществлении которого функция действия имеет минимальное значение. Начальная и конечная точки пути фиксированы, фиксированы также начальный t0 и конечный t1 моменты времени. Из всех возможных путей между фиксированными точками мы ищем путь, для которого значение U минимально. Исследование функции U на экстремум позволяет, как будет видно дальше, выделить из многочисленных возможных путей системы ее действительный путь и найти определяющие его уравнения движения.

Поскольку U является определенным интегралом от функции L, поставленная задача сводится к нахождению экстремума этого интеграла. Решение подобных задач требует применения иных методов, чем решение обычных задач на нахождение экстремумов в дифференциальном исчислении. Рассмотрение этой задачи привело Эйлера к созданию нового раздела математики — вариационного исчисления. За недостатком места здесь не излагаются основы вариационного исчисления. Укажем лишь (без доказательства) правила нахождения экстремумов интегралов типа (1.8.2), называемых в вариационном исчислении функционалами. Операцию, аналогичную дифференцированию, в вариационном исчислении называют варьированием и обозначают греческой буквой. Смысл использования нового математического аппарата, в сущности, следующий. Вариации, как правило, применяются к постоянным величинам – таким, как интегралы движения. Дифференциалы их по определению равны нулю. Вариации – это некие допускаемые нами малые изменения рассматриваемых величин (даже если реально этих изменений не происходит). Однако, допускать изменения необходимо - чтобы иметь возможность преобразовывать интересующие нас величины.

Формально правила варьирования и дифференцирования одинаковы, например полный дифференциал от функции Ф некоторых переменных х и у равен:

и вариация:

Операции варьирования и дифференцирования могут следовать друг за другом в любом порядке, результат должен получиться один и тот же, поскольку эти два действия являются коммутативными. Следовательно, Перейдем непосредственно к решению поставленной задачи — нахождению экстремума функции действия S. Функция Лагранжа L является разностью кинетической и потенциальной энергий, которые представляют собой функции скоростей и координат, следовательно, и сама функция Лагранжа должна быть функцией скоростей и координат. Эти координаты могут быть любыми — прямоугольными, сферическими, цилиндрическими, параболическими и т.д.

Чтобы наши рассуждения были справедливы для любой системы координат, воспользуемся обобщенными координатами и обобщенными скоростями В частности, для прямоугольной декартовой системы координат жа, записанная в обобщенных координатах, имеет следующий вид:

Заметим, что L может также явно зависеть от времени. Подставляя выражение для функции Лагранжа (1.8.5) в (1.8.2) и варьируя S, получим:

Найдем вариацию L, рассматривая ее как функцию обобщенных координат qi и скоростей qi.

Поскольку, как говорилось выше, правила варьирования и дифференцирования одинаковы, полная вариация L будет аналогична ее полному дифференциалу:

Подставив значение L из (1.8.7) в (1.8.6), найдем:

Преобразуем второй член выражения (1.8.8):

Поскольку операции дифференцирования и варьирования коммутативны, результат их последовательного применения не зависит от порядка, поэтому:

Подставляя (1.8.10) в (1.8.9), находим:

Интегрируя (1.8.11) по частям и замечая, что начальная и конечная точки пути фиксированы, то есть, на границах интегрирования обращаются в ноль, имеем:

так как Подставляя найденное выражение второго члена в (1.8.8), получаем Рассмотрим выражение (1.813). Вариации qi могут иметь любые конечные значения, выражения в скобках являются коэффициентами при них. Поэтому только в том случае, когда все эти коэффициенты равны нулю, условие, выражаемое (1.8.13), выполняется — вариация S, или, правильнее, равный ей интеграл в правой части (1.8.13), равны нулю. Следовательно, когда (1.8.13) выполняется, мы имеем n дифференциальных уравнений для функции Лагранжа:

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа. Они определяют действительное движение системы и, как будет показано ниже, равнозначны уравнениям Ньютона.

Из уравнений Лагранжа могут быть формально выведены законы Ньютона. Выразим функцию L в прямоугольных координатах (x = q1, у = q2, z = q3). По определению, функция L является разностью кинетической и потенциальной энергий. Следовательно, для материальной точки можно записать:

Вычислим производные функции L, встречающиеся в выражении (1.8.14):

(Аналогичные соотношения можно записать для двух других координат, q2 = y и q3 = z) Из уравнений Лагранжа (1.8.14) следует, что m&& = m&& = m&& = Выражения, стоящие в полученных равенствах справа, являются проекциями действующей силы на оси координат и представляют собой ньютоновские уравнения движения материальной точки.

Преимущество уравнений Лагранжа по сравнению с уравнениями Ньютона состоит в том, что с их помощью мы получаем законы движения для любой системы координат без всяких преобразований. Рассмотрим в качестве примера движение под действием центральных сил. Как мы видели, в полярных координатах ( q1 = r, q2 = ) кинетическая энергия равна r +r, потенциальная -, Функция Лагранжа примет вид:

В этом случае будет два уравнения Лагранжа:

Уравнения (1.8.16) и (1.8.17) можно записать в виде:

1 = mr = сonst.

Метод Лагранжа применим не только к одной точке, но и к системам, состоящим из любого числа точек. Предположим, например, что мы имеем систему, состоящую из нескольких материальных точек, совершающих под влиянием силы, пропорциональной отклонению qi каждой из точек от положения равновесия, гармонические колебания. Такие системы играют большую роль в молекулярной спектроскопии, поскольку многие молекулы в первом приближении можно рассматривать как систему подобным образом колеблющихся материальных точек. Для таких систем кинетическая энергия выразится в виде суммы кинетических энергий отдельных частиц:

Аналогично для потенциальной энергии мы будем иметь:

Для функции Лагранжа получаем:

Дифференцируя выражение функции Лагранжа (1.8.20) по координатам и скоростям, мы найдем уравнения Лагранжа, число которых будет равно числу колеблющихся частиц, умноженному на число степеней свободы каждой частицы:

Выражение (1.8.21) показывает, что мы будем иметь ряд уравнений того же типа, что и уравнение гармонического осциллятора, решение которых даст нам частоты и амплитуды всех имеющихся в системе колебаний.

Однако выражения кинетической и потенциальной энергий, а следовательно, и функции Лагранжа не всегда имеют вид суммы квадратов скоростей и координат, умноженных на некоторые постоянные величины. В общем случае кинетическая и потенциальная энергии и функция Лагранжа являются квадратичными формами общего вида, содержащими не только квадраты, но и произведения скоростей и координат:

Но и в этом случае задача может быть сведена к задаче о нахождении частот и амплитуд простых гармонических колебаний, поскольку, как это известно из алгебры, всякое выражение типа (1.8.22), (1.8.23) и (1.8.24) может быть преобразовано к сумме квадратов. Новые координаты, переводящие выражения типа (1.8.22)-(1.8.24) в сумму квадратов, называются нормальными координатами.

1.9. Уравнения Гамильтона Принципиальным отличием теории Лагранжа от уравнений Ньютона является тот факт, что базовые уравнения не содержат основной величины ньютоновской механики – импульса p;

правильнее, они содержат его только в явном виде. Действительно, производная функции L по скорости представляет собой в прямоугольных координатах импульс, как это легко проверить:

Таким образом, уравнения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно координат, в то время как уравнения Ньютона в его собственной форp мулировке являются дифференциальными уравнениями первого порядка:

поставил задачу нахождения уравнений механики, в которых основной функцией является полная энергия, выраженная через переменные двух видов: геометрические, которые определяют положение данной точки или системы точек, и динамические, определяющие состояние движения точки или системы. За динамические переменные Гамильтон принял основную величину ньютоновской механики – импульс p. Естественно, возник вопрос об определении понятия импульса в любой системе координат. Решение этого вопроса предопределяется уравнениями Лагранжа, в них роль импульса в прямоугольных координатах играют производные функции ЛаL гранжа по скоростям, поэтому естественно рассматривать эту производную как определеqi ние импульса для любых систем координат в тех случаях, когда потенциальная не зависит от скоростей. Заметим, что в общем случае импульс не равен массе, умноженной на скорость, как мы и видели это на примере углового импульса в полярных координатах:

Перейдем теперь к выводу уравнений механики в форме Гамильтона. Вместо функции Лагранжа в гамильтоновой трактовке в качестве основной функции берется полная энергия, выраженная через переменные p и q. Эти переменные рассматриваются как координаты. Найдем, прежде всего, выражение функции Гамильтона, как называют полную энергию, в координатах p и q. Для прямоугольных координат кинетическая энергия T равна:

следовательно, проекции импульса на оси координат будут по определению равны выражение кинетической энергии, получим, прибавляя потенциальную энергию U, полную энергию, то есть функцию Гамильтона:

Найдем выражение функции Гамильтона H для полярных координат. Выражение кинетической энергии в полярных координатах уже было получено:

Воспользуемся им для нахождения проекций импульса pr и p :

Выразим кинетическую энергию через проекции импульса в полярных координатах:

Функция Гамильтона принимает следующий вид:

Найдем связь между функциями Лагранжа и Гамильтона:

Выражения для кинетической энергии T в любых координатах, как видно из (1.9.1) и (1.9.2), представляют собой однородные квадратичные функции скоростей или импульсов. Можно показать, что это имеет место во всех случаях, когда движение происходит согласно уравнениям Ньютона. Поэтому по теореме Эйлера об однородных функциях, удвоенная кинетическая энергия но, по определению:

Подставляя эти значения производных кинетической энергии по скоростям в (1.9.5), находим:

Подставляя в выражение суммы функций Лагранжа и Гамильтона (1.9.3) вместо удвоенного значения кинетической энергии его выражение (1.9.6), получим:

Используя функцию Лагранжа в виде (1.9.7), мы можем выразить функцию действия S через функцию Гамильтона:

Варьируя это новое выражение функции S, мы получим для принципа Гамильтона:

Подынтегральная функция теперь зависит от переменных p, q и q, Поэтому необходимо варьировать ее по всем этим величинам:

Освободимся от вариаций скоростей q i. Благодаря коммутативности операций варьирования и дифференцирования, можно написать:

Интегрируя (1.9.12) по частям и учитывая, что начальная и конечная точки пути фиксированы, а поэтому вариации qi в них равны нулю, получаем:

Подставляя (1.9.13) в (1.9.11), находим:

Вариации qi и pi могут иметь любые конечные значения, поэтому последнее уравнение будет выполняться всегда в том случае, когда все коэффициенты при вариациях равны нулю, то есть:

Уравнения (1.9.14) представляют собой канонические уравнения механики, или уравнения Гамильтона. Они являются симметричными по отношению к координатам обоих видов, как говорят теоретики, “с точностью до знака”.

Легко убедиться, что уравнения Гамильтона эквивалентны уравнениям Ньютона. Для этого достаточно подставить вместо функции H ее выражение через кинетическую и потенциальную энергии:

В уравнениях Гамильтона координаты, не содержащиеся в функции Гамильтона, играют такую же роль, как и в уравнениях Лагранжа. Действительно, если H не зависит от некоторой координаты qi, мы имеем: = 0 = i, то есть соответствующий ей импульс является постоqi dt янным. Эти координаты также называются циклическими.

Метод Гамильтона наглядно можно продемонстрировать, как и метод Лагранжа, для движения в поле центральных сил ньютоновско-кулоновского типа.

В этом случае функция Гамильтона в полярных координатах, как мы видели, равна:

Уравнения Гамильтона будут иметь вид:

Циклическая координата не входит в выражение функции Гамильтона, а соответствующий ей импульс p = mr не зависит от времени и является константой - первым интегралом уравнений движения. Это позволяет исключить p из выражения для H, которое превращается в явную функцию переменных pr и r. Поэтому наличие циклических координат позволяет упростить задачу интегрирования уравнений движения, особенно для консервативных систем, где сама функция Гамильтона также является константой. Например, для. pr из (1.9.15) можно получить:

где все величины, кроме r, постоянные (константа С = p2 ).

Такой же результат был получен фактически и при решении задачи о движении под действием центральных сил в 1.7, на основе уравнений Ньютона. Преимущество уравнений Лагранжа и Гамильтона состоит в том, что здесь получается тот же результат в общем виде.

принципом наименьшего действия S = pi qi = 0 и, кроме того, играет важную роль в инi тегрировании канонических уравнений (1.9.14), интегралом которых она является.

1.10. Релятивистские уравнения движения и гамильтониан Необходимость разрешения противоречий, возникших в физике к концу XIX века, связанных с электродинамической теорией Максвелла, привела после интенсивных теоретических исследований к возникновению новой механики – теории относительности Альберта Эйнштейна, одним из основных положений которой является утверждение о зависимости массы от скорости. Это положение не является постулатом, оно вытекает из теории относительности, излагаемой в основном курсе физики, и подтверждается опытом. В настоящее время, когда приборы для получения частиц высоких скоростей являются широко распространенными, механика теории относительности (релятивистская механика), является таким же средством технических расчетов, как и классическая механика малых скоростей. По теории относительности, масса движущейся материальной точки зависит от ее скорости следующим образом:

m обозначает здесь массу тела, движущегося со скоростью v, m0 - его массу в состоянии покоя, c – скорость света.

Подставляя значение m в определение импульса по Ньютону p = mv, мы получим для импульса новое выражение:

а для его компонентов:

Формулы (1.10.3) демонстрируют различие между понятием импульса в классической и релятивистской механиках. В классической механике значение импульса зависит только от массы и компонента скорости в данном направлении, в релятивистской – каждый компонент зависит от значений всех трех компонентов скорости, от ее полного значения. Подставляя выражение для импульса и его компонентов в выражение второго закона Ньютона в векторной форме и в проекциях на оси декартовых координат, находим:

Найдем интеграл, соответствующий интегралу энергии для уравнения (1.10.4). Умножим это уравнение на v :

его левую часть на с2:

следовательно, Левая часть уравнения (1.10.6) выражает изменение кинетической энергии, правая – совершенную телом или над ним за счет этого изменения работу или, в случае потенциальных сил, изменение потенциальной энергии. Интегрируя по скорости в пределах от v до v0 и рассматривая только потенциальные силы, получаем:

Интегрируя (1.10.9), находим:

Отсюда видно, что релятивистская кинетическая энергия выражается формулой:

Она переходит в классическую кинетическую энергию, если разложить подкоренную функцию в ряд по степеням с точностью до членов второго порядка:

Второй член этого выражения равен классической кинетической энергии, первый представляет константу, называемую собственной энергией или энергией покоя. Всякое тело, имеющее массу покоя, обладает этой энергией. Подставляя приближенное значение кинетической энергии в выражение закона сохранения (1.10.9), убеждаемся, что он переходит в обычное «классическое» выражение.

Формула (1.10.12) позволяет получить еще один интересный результат. Энергия покоящейся частицы, например покоящегося электрона, определяется выражением m0 c, где m0 масса покоя электрона. В то же время электростатическое поле покоящегося электрона обладает энергией U 0. Можно предположить, что m0 c = U 0, то есть рассматривать электрон как частицу, у которой масса покоя имеет электрическое происхождение. Подобная гипотеза, выдвинутая и обоснованная еще в 1881 г. Дж. Дж.Томсоном, позволяет определить так называемый «классический радиус» электрона. Для этого вычислим энергию электростатического поля, создаваемого зарядом электрона. Напряженность сферически симметричного поля точечного заряда Eэ =, где e - заряд электрона, r - расстояние точки поля от заряда.

Энергия единицы объема поля равна э, тогда U 0 = поля. Определим пределы интегрирования. Будем считать, что поле электрона распространяется, постепенно ослабевая, до бесконечности lim Eэ = 0, а сам электрон представляет собой шаr рик радиуса а, на поверхности которого равномерно распределен заряд е. Будем интегрировать от радиуса электрона а (внутри заряженной сферы поле равно нулю) до бесконечности. В сферических координатах dV = r 2 sin dr dd, Подставим полученный результат в равенство m0 c = U 0. Получающееся из него значение a :

и будет радиусом электрона, масса покоя которого имеет чисто электрическое происхождение.

Интересно, что почти тождественная величина получается при рассмотрении рассеяния электроном электромагнитных волн a = 2 без каких-либо предположений о струкm0c туре электрона. Обычно в качестве «классического радиуса» электрона принимают величину Изложенная теория не уменьшает трудностей в познании природы электрона. В квантовой механике электрон рассматривается как объект, размеры которого можно указать лишь в терминах вероятности, точнее, имеет смысл говорить о распределении плотности вероятности нахождения электрона в пространстве.

Для решения целого ряда задач необходимо знать выражение гамильтониана в релятивистском случае. Полная энергия в релятивистской механике определяется выражением:

Чтобы перейти от последнего выражения к гамильтониану, необходимо выразить величину не через скорость, а через импульс:

Прибавляя к обеим частям равенства (1.10.15) по единице, находим:

Подставляя (1.10.16) в (1.10.14), получаем выражение для релятивистского гамильтониана. Вводя под корень величину mc и выражая полный импульс через его компоненты p x, p y, p z, находим:

Для закона сохранения запишем выражение:

где p0 и U0 - начальные значения импульса и потенциальной энергии соответственно.

коренное выражение в ряд и ограничиться первым членом:

Формула (1.10.19) выражает закон сохранения энергии классической механики.

При переходе к релятивистскому выражению для гамильтониана возникает одна трудность, не существующая в классической механике: в выражении для энергии появляется корень, который может быть как положительным, так и отрицательным. Собственно говоря эта трудность содержится уже в определении переменной массы как частного деления покоящейся массы m0 на корень 1 2, который также является величиной неоднозначной.

Как показано выше, функция действия S может быть выражена через кинетическую энергию и гамильтониан следующим образом:

или, поскольку Уравнение (1.10.23) показывает, что гамильтониан является аналогом импульса, если время t считать аналогом геометрических координат qi. Эта связь играет достаточно важную роль в квантовой механике.

Соотношения (1.10.23) полезны при нахождении функции действия. Подставляя их в определение гамильтониана по (1.9.1), получим выражение:

(1.10.24) (1.10.24) представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее функцию S.

1. Сформулируйте механический принцип относительности.

2. Покажите, каким образом из уравнений движений может быть получен интеграл энергии.

3. Получите из уравнений вращательного движения интеграл момента импульса.

4. Выведите зависимость энергии малых колебаний от частоты колебаний.

5. Проанализируйте возможные траектории частицы в поле центральных сил.

6. Сформулируйте принцип Гамильтона.

7. Что такое “вариация” ?

8. Запишите уравнения Лагранжа.

9. Запишите выражение для релятивистского гамильтониана.

10. Шар радиуса r и плотности скатывается по плоскости, наклоненной к горизонту под углом. Какую скорость имеет шар после прохождения пути s и как относится эта скорость к скорости, которая достигается при скольжении по наклонной плоскости без трения ?

11. Вычислить момент инерции куба относительно его диагонали.

12. Если физический маятник при колебании относительно двух параллельных осей, удаленных на разные расстояния s1 и s2 и от центра тяжести, имеет одинаковые периоды колебания, то длина математического маятника с таким же периодом колебания равна (s1+ s2). Доказать это утверждение (теория оборотного маятника).

2. ОСНОВЫ КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ МИКРОМИРА

2.1 СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ВОЛН МАТЕРИИ

До 20-го века считалось, что существует два различных вида материи: частицы – электроны, атомы и т. д. И волны, к которым относятся свет, инфракрасные и ультрафиолетовые лучи и т. п. В 1924 г. де Бройль связал с движением каждой свободной частицы волну:

причем корпускулярные параметры частицы энергии Е и импульса р связаны с волновыми параметрами и k следующим образом:

где k = hЕсли направить ось Ox вдоль направления распространения волны, то (2.1.1) примет вид Здесь С – амплитуда волны, = t kx - ее фаза. Плоскость постоянной фазы =const Следует отметить, что фазовая скорость волны не равна скорости частицы. Чтобы устранить это несоответствие, с движением частицы следует связывать не монохроматическую волну, а группу волн, или волновой пакет, т.е. набор волн с различным k. С учетом этого вместо (2.1.3) следует записать Перед экспонентой стоит амплитуда, которая здесь зависит от x и t. Максимум амплиd Можно показать, что центр волнового пакета движется со скоростью частицы:

где m – масса частицы.

Из (2.1.5) следует, что скорость волны зависит от k, т.е. имеет место дисперсия. В отличие от электромагнитных волн, волны материи обладают дисперсией и при распространении в вакууме.

Итак, волны де Бройля отличаются от всех известных волн тем, что они обладают особым законом дисперсии.

Первоначально волна де Бройля интерпретировалась как распределение материи электрона в пространстве.

Такое истолкование, однако, сразу наталкивается на трудности. Частица описывается волновым пакетом, который сосредоточен в ограниченной части пространства, но стечением времени волновой пакет расплывается, ибо он состоит из волн, движущихся с различной скоростью, между тем электрон весьма устойчив и остается частицей с определенными размерами.

При дифракции волна делится на части, т. е. как бы электрон делится на части, но на опыте всегда обнаруживается целый электрон, который попадает либо в одну ловушку, либо в другую.

Единственно правильное толкование волн материи, позволяющее согласовать между собой описанные факты, это статистическое толкование: интенсивность волны пропорциональна вероятности обнаружить частицу в данном месте. Но волновая функция - = ( r, t ) комплексная величина, вероятность - величина положительная, поэтому с вероятностью связан квадрат модуля волновой функции | |2 =.

Точнее, вероятность обнаружить частицу в элементе объема dV около точки r в момент времени t А вероятность обнаружить частицу в конечном объеме Таким образом, квадрат модуля волновой функции | | 2 есть плотность вероятности, и волны материи суть волны вероятности.

Так как вероятность найти частицу где угодно в пространстве равна единице, то интеграл (2.1.7), взятый по всему пространству Это уравнение называется условием нормировки и позволяет определить постоянную С в выражении для волны.

Волновая функция описывает некоторое состояние частицы. Имеет физическое значение не только модуль функции, но и ее фаза, которая позволяет описать дифракцию и интерференцию волн. Состояние частицы зависит от различных внешних факторов потенциального поля, начальных и граничных условий, указанных выше, поэтому волновые функции для одной и той же частицы будут разные.

Если частица может быть в состояниях 1 Џ 2, то она может быть и в состоянии, являющемся их линейной комбинацией = –1 1 + – 2 2 и называемом суперпозицией состояний.

Этот принцип - принцип суперпозиции состояний специфичен для квантовых частиц и играет большую роль в квантовой механике. Он обобщается для какого угодно числа состояний:

Любое состояние может быть представлено как суперпозиция других состояний, в частности, любая функция может быть представлена в виде суперпозиции волн де Бройля, но в этом случае состояния меняются непрерывно и вместо суммы следует записать интеграл где и интеграл по dp означает тройной интеграл по пространству импульсов. (2.1.11) есть разложение функции ( r, t ) в тройной интеграл Фурье.

Если обозначить обратное преобразование Фурье дает Здесь и в дальнейшем интеграл по dr означает интегрирование по трехмерному пространству.

Возможно разложение и по другим системам функций, с чем мы встретимся в дальнейшем.

2.1.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Классическая частица в любой момент времени имеет определенные координаты и определенный импульс. В отличие от этого импульс px и координата х микрочастицы не могут быть одновременно определены точно, что следует из волновой природы этих частиц. Действительно, монохроматическая волна де Бройля несет определенный импульс p=hk, но ее амплитуда и квадрат модуля постоянны во всем пространстве, значит, координаты частицы полностью неопределенны. С другой стороны, можно составить волновой пакет, сосредоточенный в сколь угодно малой области, но и тогда придется использовать волны со всевозможными k и импульс становится неопределенным.

Рассмотрим этот вопрос количественно. Согласно (2.1.4) волновая функция пакета Очевидно, что вероятность нахождения электрона сосредоточена в основном в области между точками х0 + х, где | | 2 обращается в ноль, а значит, аргумент синуса (2.1.14) равен, т.е., xk =, откуда Это выражение называется соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Соотношение неопределенностей вытекает непосредственно из волновой природы частиц. Аналогично выражению (2.1.15) можно получить соотношение неопределенностей для энергии и времени где t - время существования некоторого состояния с энергией Е. Если некоторое состояние существует конечное время, то энергия этого состояния не будет строго определенной, энергетический уровень имеет конечную ширину. Лишь для состояния, существующего бесконечно долго ( t ) E 0, энергия строго задана. Соотношение (2.1.16) имеет большое практическое значение в спектроскопии, поскольку позволяет по ширине линий определить время жизни состояний, и наоборот.

2.2 КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ

2.2.1 Операторы, их собственные значения и собственные функции.

В каждой фундаментальной физической теории применяются свои специфические математические средства – математический аппарат. В классической механике это векторы и дифференциальные уравнения, в электродинамике добавляется векторный анализ. В квантовой механике математический аппарат заимствован из математической теории линейных самосопряженных операторов.

Оператор обозначает некоторое действие или программу действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы получить другую функцию.

Операторы обозначаются большими латинскими буквами со «шляпкой» наверху, например L. Символическая запись имеет следующий вид:

Например, функции › 2 можно сопоставить функцию 2х с помощью оператора дифd ференцирования Символы операторов рассматриваются как самостоятельные математические объекты, над которыми можно производить ряд математических действий: сложение, умножение на некоторое число или функцию, дифференцирование, интегрирование и т.п.

Определим сумму и произведение операторов. Оператор C называется суммой оператоA и B, если выполняется равенство ров Из определения следуют формулы Сложение ассоциативно и коммутативно:

C называется произведением операторов A и B, если справедливо равенство Скобки указывают порядок действий. Произведением операторов обозначается также, как и произведение чисел :

Операция умножения в общем случае некоммутативна: AB BA. Операторы, для которых AB = BA, называются коммутирующими. Оператор AB BA называется коммутатором операторов A и B. Он обозначается символом[A, B :

Для коммутирующих операторов A, B =0.

Если для оператора L и функции ( 0 выполняется соотношение где L - некоторое число, вообще говоря, комплексное, то называется, собственной функцией, а Ln - n-м собственным значением оператора L. Совокупность собственных значений оператора называют его спектром. Спектр бывает дискретным, непрерывным или смешанным.

Собственное значение называется вырожденным, если ему соответствует несколько линейно независимых собственных функций. Кратность вырождения определяется числом таких функций. Проиллюстрируем этот факт следующим примером.

Возьмем оператор A = a = 2. Уравнение (2.2.8) при всех действительных имеет два независимых Положим решения: e ix и e ix, удовлетворяющих требованиям однозначности, непрерывности и ограниченности по модулю. Отсюда видно, что спектр оператора A непрерывен и охватывает все отрицательные действительные числа. Каждое собственное значение двукратно вырождено. Заметим, что любая линейная комбинация C1e ix + C 2 e ix также является собственной функцией оператора A, принадлежащей тому же собственному значению: a = 2.

2.2.2 Линейные самосопряженные операторы Математический аппарат квантовой механики построен таким образом, что экспериментально наблюдаемыми значениями физической величины могут быть только собственные значения уравнения (2.2.7), а волновыми функциями системы - только фигурирующие в этом уравнении собственные функции оператора L. Чтобы это условие выполнялось, L должен обладать определенными свойствами, а именно он должен быть линейным и самосопряженным (эрмитовым). Требование линейности связано с принципом суперпозиции. Требование самосопряженности обусловлено тем, что операторы и их собственные функции могут быть комплексными, т.е. включать в себя мнимую единицу i = 1, а физические величины вещественны, и потому им должны соответствовать только операторы с вещественными собственными значениями.

Линейным называется оператор, удовлетворяющий следующему условию:

где С1 и С2 - действительные или комплексные числа.

Умножение и дифференцирование, очевидно, являются линейными операторами, а, например, извлечение корня - нелинейным оператором, так как 1 + 2 1 + 2.

Оператор называется эрмитовым, если выполняется следующее соотношение:

В приведенном равенстве одновременно с добавлением к символу оператора знака комплексного сопряжения (*), меняются местами функции и *, - одна из них () «уходит» изпод символа оператора, а другая ( *) встает на ее место.

Напоминаем: знак (*) показывает, что в соответствующей математической величине (числе, функции, операторе и т.д.) надо везде изменить знак перед мнимой единицей. Для вещественной величины L имеет место соотношение: L* = L.

Эрмитовы операторы обладают следующими важными свойствами:

1) Их собственные значения вещественны. В самом деле, пусть выполняется равенство (2.2.7). Подставим функкцию вместо в формулу (2.2.10):

Собственные значения оказались действительными числами.



Pages:   || 2 | 3 |
 
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И.К.Серов, Э.А.Перфильева, А.В.Тарсин, Г.П.Филиппов ФИЗИКА Часть 2 Учебное пособие 2-е издание Ухта 2002 УДК 53 (075) C32 ББК 22.3 Физика. Часть 2. Учебное пособие / И.К. Серов, Э.А.Перфильева, А.В.Тарсин, Г.П.Филиппов. – 2-е изд. - Ухта: УГТУ, 2002. – 67 с. ISBN 5 - 88179 - 218 - 1 Учебное пособие содержит программу, основные формулы, примеры решения задач и контрольные задания по разделам общего...»

«Учебное пособие Физика и химия полимеров Санкт-Петербург 2010 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ В.В. Зуев, М.В. Успенская, А.О. Олехнович Физика и химия полимеров Учебное пособие Санкт-Петербург 2010 2 Зуев В.В., Успенская М.В., Олехнович А.О. Физика и химия полимеров. Учеб. пособие. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2010. 45 с. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина Кафедра физики Комплект учебных пособий по программе магистерской подготовки НЕФТЕГАЗОВЫЕ НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ И ЭКСПЛУАТАЦИИ МЕСТОРОЖДЕНИЙ Часть 6. И.Н. Евдокимов, А.П. Лосев РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ – ПРИНУДИТЕЛЬНАЯ СБОРКА АТОМНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ СТРУКТУР И САМОСБОРКА НАНООБЪЕКТОВ Москва · 2008 УДК 622.276 Е15 Евдокимов И.Н., Лосев А.П. E 15 Комплект учебных пособий по...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ В КАТОВИЦАХ МЕЖДУНАРОДНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ: ТЕОРИЯ И ПОЛИТИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2-е издание, переработанное и дополненное Под редакцией доктора экономических наук, профессора, академика АЭН Украины Ю. Г. Козака Рекомендовано Министерством образования и науки Украины как учебное пособие для студентов высших учебных заведений Киев – Катовице Центр учебной...»

«Министерство образования Российской Федерации Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ им. В.В. Куйбышева) Курбатова О.А., Харин А.З. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГОРНОЙ МЕХАНИКИ Учебное пособие Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром в качестве учебного пособия для студентов специальности 170100 Горные машины и оборудование вузов региона Владивосток 2004 УДК 622.2(091) К 93 Курбатова О.А., Харин А.З. История развития горной механики: Учеб. пособие.-...»

«Министерство аграрной политики и продовольствия Украины Государственное агентство рыбного хозяйства Украины Керченский государственный морской технологический университет Кафедра Электрооборудование судов и автоматизация производства ТЕХНОЛОГИЯ ЭЛЕКТРОМОНТАЖНЫХ РАБОТ Конспект лекций для студентов направления 6.070104 Морской и речной транспорт специальности Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики, направления 6.050702 Электромеханика специальности Электромеханические...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ КАФЕДРА ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению и защите выпускных квалификационных работ для студентов направлений 140200 и 140600: бакалавр 140200.62 Электроэнергетика и 140600.62 Электротехника, электромеханика и электротехнологии специалист 140211.65...»

«Министерство Образования Азербайджанской Республики Западный Университет Банковский маркетинг и банковский менеджмент Учебное пособие Утверждено в качестве учебного пособия Ученым Советом Западного Университета от 28 ноября 2009 года (протокол №4) Баку 2010 1 Составители: к.э.н., доцент Курбанов П.А. к.э.н., преподаватель Абасов Э.А. Научный редактор: д.э.н., профессор Гусейнова Э.Н. Технический редактор: Касимова Т.Ю. Учебное пособие рекомендуется для студентов финансовых специальностей и...»

«Юрий Анатольевич Александровский. Пограничные психические расстройства Учебное пособие. Оглавление Об авторе Предисловие Раздел I. Теоретические основы пограничной психиатрии. Общее понятие о пограничных формах психических расстройств (пограничных состояниях). 6 Краткий исторический очерк Системный анализ механизмов психической дезадаптации, сопровождающей пограничные психические расстройства. Основные подсистемы единой системы психической адаптации Барьер психической адаптации и...»

«Школа информационной культуры: интеграция проектного менеджмента и информационно-коммуникационных технологий Учебно-методическое пособие УДК 371.1.07:004.773+004.91+004.633 ББК 74 р26я75+65.23+32.973.26-018.2 Рецензент Авторский коллектив: Вострикова Е.А., Суханова Т.А., Григорьева Л.Г., Морозова М.В., Шагина Л.А., Боташова Н.А., Анпилова М.В., Толстая Н.Ю. Вострикова Е.А. Школа информационной культуры: интеграция проектного менеджмента и информационно-коммуникационных технологий :...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.А. Санников Н.В. Куцубина А.М. Витвинин НАДЕЖНОСТЬ МАШИН ТРИБОЛОГИЯ И ТРИБОТЕХНИКА В ОБОРУДОВАНИИ ЛЕСНОГО КОМПЛЕКСА Допущено УМО по образованию в области лесного дела в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности и 1504.05 (170400) Машины оборудование лесного комплекса Екатеринбург УДК 620.179. Рецензенты: кафедра Мехатронные системы Ижевского...»

«МЕХАНИЗАЦИЯ И АВТОМАТИЗАЦИЯ СТРОИТЕЛЬСТВА Учебное пособие Табаков С.В. Раздел I. Введение. Общие сведения о механизации и автоматизации строительства Современное строительство является одной из наиболее механизированных сфер человеческой деятельности. Строительные машины используются на всех этапах строительного производства, а именно: 1- в карьерной добыче строительных материалов (песка, гравия, глины, мела и т.д.); 2- в изготовлении железобетонных, металлических, деревянных и других...»

«В.А. БРИТАРЕВ, В.Ф.З АМЫШЛЯЕВ ГОРНЫЕ МАШИНЫ И КОМПЛЕКСЫ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для учащихся горных техникумов МОСКВА НЕДРА 1984 Бритарев В. А., Замышляев В. Ф. Горные машины и комплексы. Учебное пособие для техникумом.—М.: Недра, 1984, 288 с. Описаны конструкции и принцип работы основных пиши горних машин, получивших наибольшее распространение па открытых горных разработках. Рассмотрены перспективные направления...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.