WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«О.А.ОГАНЕСОВ, П.Р.ДОБРОГАЕВ, Н.Н.КУЗЕНЕВА КУРС ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ для студентов механических специальностей Часть 2 Учебное пособие Утверждено в качестве учебного пособия ...»

-- [ Страница 1 ] --

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)

О.А.ОГАНЕСОВ, П.Р.ДОБРОГАЕВ, Н.Н.КУЗЕНЕВА

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

для студентов механических

специальностей

Часть 2

Учебное пособие

Утверждено в качестве учебного пособия редсоветом МАДИ МОСКВА 2012 УДК 514.18 ББК 22.151.3 О 361 Рецензенты: профессор кафедры начертательной геометрии и черчения МГТУ “МАМИ”, кандидат технических наук Э.М.Фазлулин;

доцент кафедры начертательной геометрии и черчения МАДИ, кандидат технических наук И.М.Рябикова Оганесов О.А.

О 361 Курс лекций по начертательной геометрии: учебное пособие для студентов механических специальностей: Ч.2 / О.А. Оганесов, П.Р. Доброгаев, Н.Н. Кузенева;

под ред. О.А. Оганесова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М., МАДИ, 2012. - 82 с.

Во вторую часть переработанного и дополненного второго издания курса лекций по начертательной геометрии включены обновленные разделы “Главные позиционные задачи” и “Аксонометрические проекции”, а также новый раздел “Приложение”. В этом разделе приведены конкретные указания и рекомендации по выполнению расчетно-графической работы “Пересечение поверхностей” и подробно рассмотрены примеры решения двух типовых задач этой РГР с пояснениями.

Данное учебное пособие рассчитано на студентов Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета, обучающихся на факультетах автомобильного транспорта, конструкторскомеханическом, энерго-экологическом, дорожных и технологических машин и изучающих графические дисциплины. Пособие соответствует федеральным государственным образователь-ным стандартам и основным образовательным программам третьего поколения для указанного контингента студентов.

Под редакцией канд. техн. наук, доц. Оганесова О.А.

УДК 514. ББК 22.151. © Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), © Коллектив авторов, Л Е К Ц И Я

ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В лекции 4 рассматривались две ГПЗ для прямых и плоскостей:

1ГПЗ - задача на пересечение линии и поверхности; 2ГПЗ - задача на пересечение двух поверхностей. Было установлено, что решение ГПЗ осуществляется согласно одному из трёх алгоритмов в зависимости от трех возможных случаев расположения пересекающихся ГО относительно плоскостей проекций. В основу этих алгоритмов положено аксиоматическое утверждение: точка пересечения линии с поверхностью принадлежит и линии, и поверхности; линия пересечения поверхностей принадлежит каждой из них.





11.1. Поверхности второго порядка Так как поверхности второго порядка широко применяются в технике, то перед решением ГПЗ дадим краткий перечень этих поверхностей, включая и те из них, которые были рассмотрены в 1-й части как поверхности вращения или линейчатые.

Поверхность второго порядка можно определить как поверхность, пересекающуюся с произвольной прямой в двух точках.

Поверхностями второго порядка являются ряд поверхностей вращения: цилиндрическая и коническая; сфера и некоторые торы, образованные при вращении вокруг оси дуги окружности, не превышающей 180О; а также эллипсоид вращения (рис. 11.1, а), образованный вращением эллипса e или его дуги вокруг своей оси j;

параболоид вращения (рис. 11.1, б), образованный вращением параболы g вокруг её оси j; гиперболоид вращения однополостный (рис.

11.1, в), образованный вращением гиперболы k вокруг её мнимой оси j, и двухполостный (рис. 11.1, г), образованный вращением гиперболы k вокруг её действительной оси i.

Напомним, что однополостный гиперболоид вращения может быть образован и вращением прямой вокруг скрещивающейся с ней оси.

К поверхностям второго порядка относятся линейчатые цилиндрическая и коническая поверхности, у которых направляющими служат кривые второго порядка: эллипс (окружность), парабола, гипербола и некоторые цилиндроиды, коноиды, гиперболические параболоиды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма.

В 1-м случае пересекаются два проецирующих ГО, которыми при ортогональном проецировании могут быть прямая линия, плоскость, цилиндрическая и призматическая поверхности.

На рис. 11.2 решена 1ГПЗ с прямой d П2 и призматической поверхностью Ф П 1 (1ГПЗ-1); на рис. 11.3 - 2ГПЗ с цилиндрической цилиндрической W П 2 и призматической Y П 1 поверхностями.

Согласно алгоритму (лекция 4) в 1-м случае ГПЗ обе проекции точки пересечения (1ГПЗ) или линии пересечения (2ГПЗ) известны и их только обозначают.

Пусть на рис. 11.2 прямая d пересекает поверхность Ф в точках K и N, то есть K,N d и K,N Ф. Поэтому K 2 N 2 d2 - в точку d 2 на П 2 l проецируются все точки прямой d. В свою очередь, K1 =d 1 F 1, N 1 =d 1 F 1, так как в ломаную F 1 на П 1 проецируются все точки Аналогично, если на рис. 11.3 k=S F, то l как на П 2 в линию Ф 2 проецируются все точки цилиндрической поверхности F, а на П 1 в прямую S 1 - все точки плоскости S. Из этих же соображений на рис. 11.4 выделены и обоРис. 11. значены проекции k 1 и k 2 линии k=W Y.

Во 2-м случае один пересекающийся ГО является проецирующим, а второй непроецирующим. Согласно алгоритму (лекция 4) во 2-м случае известной является только одна проекция точки или линии пересечения, принадлежащая основной проекции проецирующего ГО. Вторая проекция точки или линии пересечения ищется из условия принадлежности точки или линии непроецирующему ГО.





N1 k1 поверхность Y - тончайшая оболочка. ОтноK1 сительно П 2 кривая k не видна между левым контурным ребром и точкой N, так как кривая находится внутри непрозрачной поверхности. Правее точки K кривая k видна.

На рис. 11.6 построены точки K и N пересечения прямой a с отсеком конической поверхности вращения Ф{t(t,j;t j)(t i =t j)}.

t1 N1 прямой, находящийся внутри поверхности тончайшей оболочки. На участке EN прямая Рис. 11. На рис. 11.7 найдены точки i t)} с прямой a. Так как a П, проекциям K 2 и N 2 из условия, что K,N Ф, с использованием прямолинейных образующих t1 и ному закону образования, начи- точку a 2 параллельно t2.

Относительно П 1 через внутри поверхности. Остальные участки прямой закрыты поверх- m Рассмотрим далее несколько примеров решения 2ГПЗ-2.

Ф{m(m,j;m j)(m j)} и цилиндрической поверхности вращения 1 ;t j 1 )(t i =t j1 )}, показав построение её характерных точек.

{t(t,j Определить видимость линии k и видимость контурных линий пересекающихся поверхностей (рис. 11.8).

Цилиндрическая поверхность Y - проецирующая на П 1 (t П 1).

Характерные точки линии пересечения - точки, расположенные на контурных линиях пересекающихся поверхностей; “крайние” точки кривой - самая верхняя, самая левая и т. п.; точки, определяющие оси кривой, и т. д. В задаче на рис. 11.8 точки 1, 2, 3 расположены на контурных линиях сферы, причем точка 3 - самая нижняя точка кривой; самая левая 4 и правая 5 точки кривой лежат на контурных образующих цилиндрической поверхности; 6 - самая верхняя точка кривой (проекция 6 2 на рис. 11.8 не обозначена).

Проекции 1 2, 2 2 найдены на меридиане, а 3 2 - на экваторе сферы;

проекции 42, 52, 62 построены подобно проекции M 2.

Количество точек, используемых для построения k 2, должно быть таким, чтобы по ним можно было однозначно определить форму k 2 и с достаточной степенью точности вычертить эту линию.

Границей видимости точек поверхности относительно ПП являются крайние относительно этой ПП контурные линии поверхности. Поэтому видимость линии пересечения поверхностей может меняться только в точках этой линии, расположенных на крайних относительно рассматриваемой ПП контурных линиях одной из поверхностей. Границей видимости точек сферы относительно П является её меридиан m - при взгляде на П2 видны все точки линии k, лежащие перед меридианом (точки 1, 4, M, 3, 5, 2). У цилиндрической поверхности относительно П 2 видны точки 4, M, 3, 5, расположенные в передней части поверхности - на контурных её образующих и перед ними. В результате относительно П 2 видимыми будут те точки линии k, которые одновременно видны и для сферы, и для цилиндрической поверхности - точки 4, M, 3, 5.

В учебном курсе принята модель: поверхности при пересечении образуют единую фигуру и друг в друга не проникают. Так, левая контурная образующая цилиндрической поверхности существует только до точки 4, в которой она пересекает сферу, правая - до точки 5, а меридиан m сферы не существует между точками 1 и 2.

Проекции несуществующих частей контурных линий на чертеже либо не показывают, либо вычерчивают тонкой сплошной линией.

Определяя взаимную видимость контурных линий пересекающихся поверхностей, удобно использовать конкурирующие точки.

Пусть надо определить: относительно П 2 видна левая образующая цилиндрической поверхности от точки 7 до точки 4 или меридиан m сферы от точки 8 до точки 1, где 7 и 8 - конкурирующие точки контурной образующей цилиндрической поверхности и меридиана сферы.

Ответ: точка 7 цилиндрической поверхности ближе к наблюдателю точки 8 сферы (см. на 7 1 и 8 1 на рис. 11.8), поэтому относительно П 2 видна часть контурной образующей цилиндрической поверхности, а часть меридиана сферы не видна. Относительно П 1 видны контурные линии обеих поверхностей.

На рис. 11.9 построена дальной поверхности Ф{t(T,d) (t i d, t i T)}, d[E,L,F,E] и призповерхн ости D2 W{l(l,b)(l b, l l)}, b[A,B,D,A], поверхности, состоящие из принадлежащих линии g и непроецирующей поверхности Ф по их известным проекциям 1 2...72. На рис. 11.9 показано построение проекции 3 1 точки 3 с помощью образующей t пирамидальной поверхности. Аналогично можно было определить проекции 1 1, 4 1, 5 1 и 6 1 точек 1, 4, 5 и линии g. Но проекции 2 1 и 71 точек 2 и 7 посредством образующих пирамидальной поверхности найти нельзя. На рис. 11.9 проекция точки 7 построена с использованием отрезка e, параллельного стороне [FL] направляющей d. Заметим, что грань призматической поверхности, проходящая через точки B и D, параллельна ребру [TE] пирамидальной поверхности. Поэтому отрезки [3 1 6 1 ] и [4 1 5 1 ] параллельны отрезку [T1 E 1 ]. При определении видимости линии g относительно П 1 исходили из того, что невидимой является та её часть, которая расположена в “нижней” грани призматической поверхности, проходящей через точки A и D. Вопрос взаимной видимости контурных линий пересекающихся поверхностей относительно П 1 решался с использованием конкурирующих точек.

На рис. 11.10 по линии k пересекаются отсек гиперболического параболоида Ф{t(b,a,S П2 )(t b, t a, t S)}, ограниченный образующими t1, t 2 и направляющими b, a, с призматической поверхностью Y{l(l, d)(l i d, l i l)} П1. Так как линия пересечения k Y, то её проекция k 1 известна: k 1 Y1. Проекция k2 проходит через проекi ции М 2 точек М k. Проекции М 2 строили по их проекциям М 1 k1 с помощью образующих t гиперболического параболоида. Характерные точки 1, 2, 3 линии k расположены на ребрах призматической поверхности. Одна из её граней пересекает параболоид по отрезку [2,3], расположенному на образующей t 3 этой поверхности.

Относительно П 2 видны все точки отсека параболоида и две обращенные к наблюдателю грани призматической поверхности. Поэтому относительно П 2 видны расположенные в этих гранях участки линии пересечения k и не виден её отрезок [2,3]. Видимость контурных линий пересекающихся поверхностей относительно П (контурные относительно П 1 линии этих поверхностей все видны) Рассмотрим далее построение линии k пересечения открытого тора W и проецирующей призматической поверхности Ф П 1 (рис.

11.11). Здесь известна проекция k 1 F 1. Проекция k 2 линии k строилась из условия k W по известной проекции k 1 с использованием окружностей (параллелей).

Характерные точки 1 и 2 принадлежат контурным относительно П 1 окружностям q 3 и q 4 тора и ребрам призматической поверхности.

Точки 3, 4, 5 и 6 расположены на экваторе q 1 и горле q 2 тора.

Отметим, что точки 3 и 4 также принадлежат ребрам призматической поверхности. Промежуточные точки 7, 8 и др. строят с помощью параллелей q i тора. Чтобы не загромождать чертеж, показано построение только точек 7 и 8. Заметим, что в отрезок q1i проецируются две параллели. Одна из них образуется при вращении точки D окружности m, другая - её точки E. Поэтому в общем случае на данном торе одной проекцией задаются две точки: 7 и 7 1, 8 и 8 1.

Относительно П 2 у тора видны точки, расположенные перед экватором q 1, а у призматической поверхности - точки её передней для наблюдателя грани. Поэтому относительно П 2 линия пересечения k видна между точками 1 и 3, 1 и 4.

Все контурные относительно П 1 линии поверхностей видны.

Относительно П 2 ребро призматической поверхности, проходящее через точку A, полностью видимо; проходящее через точку B целиком не видимо; проходящее через точку C не существует между точками 3 и 4. В свою очередь, экватор тора не существует между точками 4 и 6, горло - между точками 3 и 5. Участок экватора между ребром, проходящим через точку A, и точкой 6 не виден, как и участок горла между этим же ребром и точкой 5.

При пересечении конической поверхности плоскостью в зависимости от их взаимного положения линией пересечения может быть та или иная кривая второго порядка. На рис. 11.12 - 11.14 это демонстрируется на примере пересечения плоскостью конической поверхности вращения.

Если плоскость пересекает все образующие конической поверхности, не пересекает её вторую полость и (рис. 11.12), ность ( 2). Если плоскость параллельна одной образующей конической поверхности, не пересекает её вторую полость и = (рис.

11.13), то в сечении получают параболу ( ). Если плоскость параллельна двум образующим конической поверхности, пересекает обе её полости и a f (рис.11.14), то в сечении получают гиперболу (D ) или её частный случай - пару пересекающихся прямых, когда плоскость (D2 ) проходит через вершину поверхности.

ПРИМЕР 11.2. Построить линию пересечения k конической поверхности Ф{t(T,m)(ti T;ti m)} и плоскости (рис. 11.15).

Линия k в примере является эллипсом, поскольку плоскость S пересекает все образующие конической поверхности.

Проекция k2 линии k известна: k k1 приближенно проводят через проекции M1i ряда точек M i k.

M1i определяют по проекциям M 2 k2 и условию M i Ф согласно ГА:

4 искали так: по известным проекциям t 1, t 4 строили их проекции t2, t2 и находили 32 =t2 k2 ; 3 1 t 1 ; 4 2=t 2 k 2; 4 1 t 1 (в примере t3 t4 и 3 2 42 ).

Видимость линии k относительно П1 меняется в точках 3 t3 и 4 t4: точки, расположенные на крайних контурных образующих t3, t 4 и левее их, относительно П1 видны, а остальные нет. Взаимная видимость конической поверхности и плоскости относительно П1 в примере не определялась.

ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В третьем случае пересекаются непроецирующие ГО. В лекции 4 рассматривалось решение 1ГПЗ-3 для прямой и плоскости.

Сформулируем алгоритм решения 1ГПЗ, когда пересекаются непроецирующие линия g и поверхность Ф в общем случае (1ГПЗ-3):

. Линию g заключают во вспомогательную поверхность Y: g.

. Строят линию k пересечения вспомогательной поверхности. Искомая точка K есть точка пересечения построенной линии k и заданной g: K = k g (точек пересечения может быть несколько).

верхность обычно выбирают такой, чтобы линия k = строилась по возможности a точно, п рос то и уд обн о.

Ун ив ерс ал ьн ы м явл я етс я использование в качестве поверхности Y проецирующей проецирующей цилиндрической (призматической) поверхности для кривой (ломаной) t линии, когда решение задачи сводится к решению 2ГПЗ-2.

На рис. 12.1 найдены точT ки E и N пересечения коничесt кой поверхности Ф{t(T,m)(t m, ti T)} и прямой a. Для этого: m заключили во фронтально проецирующую плоскость S.

пересекает коническую поверхность Ф (построение эллипса см.

раздел 11.3).

3. E,N = k a - искомые точки E и N есть точки пересечения эллипса k с данной прямой a.

Отрезок [EN] прямой a, находящийся внутри конической поверхности Ф, не виден. Поверхность Ф имеет фронтальную плоскость симметрии - точки поверхности, расположенные в ней и перед ней (точка N) относительно П 2 видны, а расположенные за ней (точка E) - не видны. Поэтому правее точки N прямая относительно П 2 видна, а левее точки N не видна. Относительно П 1, наоборот, правее точки N прямая не видна, а левее точки E видна, так как границей видимости точек поверхности Ф являются (ПРИМЕР №2) образующие t3 и t 4 (t 2 t4).

ПРИМЕР 12.1. Построить точки M и N пересечения прямой a и сферы Ф{m(m,j;m j)(m i =m j)}. Определить видимость прямой a относительно плоскостей проекций (рис. 12.2).

Пояснения к решению:

. g = Ф (2ГПЗ-2) - найдем линию g пересечения плоскости S и сферы Ф.

K2 g2 с помощью окружностей q из условия K Ф согласно ГА:

са, лежат на главном меридиане сферы, 3 и 4 - на её экваторе, 5 и 6 зада- Рис. 12. ют вторую ось эллипса, их проекции 5 1 и 6 1 строятся подобно проекции K 1i.

. M,N = g a - искомые точки есть точки пересечения окружности g с прямой a.

Отрезок прямой a между точками M и N находится внутри сферы и не виден. Видимость прямой a на других участках зависит от видимости точек M и N относительно той или иной ПП (относительно П1 M видна, N не видна, а относительно П2 видны и M, и N).

На рис. 12.3 при нахождении точек M и N пересечения горизонтали h с конической поверхностью вращения h заключали в П1, пересекающую поверхность по окружности m.

плоскость На рис. 12.4 построены точки M и N пересечения прямой l с призматической поверхностью Ф {t(t,b)(t i b, t i t)}, b[A,B,D,A].

Пояснения к решению:

2. g = Ф - строим линию g пересечения плоскости S с поверхностью Ф (g 1 1, а g 2 - треугольник 1 2 2 2 3 2, где 1, 2, 3 - точки пересечения плоскости 3. M,N = g l - определяем искомые точки.

Видимость прямой l на участках левее точки M и правее точки N определяется видимостью M и N относительно той или иной ПП, а между точками M и N прямая не видна.

Сформулируем ПА построения линии k пересечения двух непроецирующих поверхностей Ф и W (2ГПЗ-3):

1. Y i Ф,W - задают вспомогательную секущую поверхность Y i, пересекающую данные поверхности F и W.

2. g i =Y i F и e i =Y i W - строят линии пересечения вспомогательной поверхности Y i с каждой из поверхностей F и W.

3. K i =g i e i - ищут точку пересечения построенных в п. 2 линий, принадлежащую искомой линии пересечения k.

K i - задавая несколько секущих поверхностей Y i и поk вторяя построения 1-3, получают несколько точек K, через которые проходит линия k.

В общем случае в качестве секущих поверхностей Y i используют проецирующие плоскости. В частных случаях секущими поверхностями Y i могут быть другие поверхности.

Построим линию k пересечения плоскости S(a h) и отсека конической поверхности вращения F{t(t,j)(t i =t j)} (рис. 12.6). Линия k (дуга эллипса - см. лекцию 11) проводилась через точки K i, которые строили с помощью секущих плоскостей D P 1, пересекающих коническую поверхность по окружностям m i, а плоскость S по горизонталям h i :

На рис. 12.7 показано построение линии k пересечения конической поверхности F{t(t,j)(t i =t j)} и сферы W{m(m,j 1 ;m j 1 )(m i = =m j1 )} с помощью секущих плоскостей Di P 1. Плоскость Di пересекает коническую поверхность по окружности g i, сферу - по окружности q i, а точка K i =g i q i принадлежит искомой линии пересечения k (окружность g i строили с помощью точки A, окружность q i - с помощью точки B). Точки 1 и 2, расположенные на экваторе q сферы, найдены с использованием плоскости D.

Коническая поверхность и сфера занимают на рис. 12.7 такое положение, в котором их общая плоскость симметрии S параллельна П 2.

На рис. 12.8 показано построение проекций k 1 и k 2 линии k пересечения отсеков эллипсоида вращения Ф{u(u,j)(u i=u j)} и цилинi i дроида W{l(e 1,e 2,S)(l i e 1,l e 2,l S)}, ограниченного направляющими e1, e 2 и образующими l1, l2. Задача решалась с использованием секущих плоскостей D i P 1, пересекающих поверхность эллипсоида по окружностям q i, а цилиндроид - по образующим l. Точки M, N линии k определялись как точки пересечения линий q i и l i: M i,N i =q i l i.

Точки 1 и 2, расположенные на меридиане u эллипсоида, найдены как точки пересечения u с образующей l1 цилиндроида:

1,2=u l 1 (эллипс u и прямая l 1 лежат в одной плоскости G P2 ).

Нижние точки 3 и 4 кривой k (одновременно точка 3 - самая ближняя к наблюдателю точка, а 4 - самая дальняя) есть точки пересечения параллели q с образующей l2, лежащих в плоскости D.

Рассматривая каждую поверхность отдельно, можно отметить, что все точки цилиндроида видны относительно П 1 и П 2 ; относительно П 1 видны также все точки эллипсоида, а относительно П 2 точки, расположенные в ближней к наблюдателю половине эллипсоида. Поэтому относительно П 1 видна вся кривая k, а относительно П 2 - её дуга 2-M -3.

В примере принято, что поверхность эллипсоида существует полностью, а отсек цилиндроида в эллипсоид не проникает.

ГЛАВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

13.1. Использование плоскости общего положения для Для построения точек пересечения прямой линии с конической и цилиндрической поверхностями удобно использовать плоскости общего положения, пересекающие эти поверхности по образующим прямым.

Найдем точки M и N пересечения прямой d с отсеком конической поверхности F (рис. 13.1). Возьмем на d произвольные точки A и B. Зададим прямыми a которая содержит прямую d. Поскольку плоскость S проходит через вершину T поверхности F, то S пересекает F по образующим t 1 и t2. Для их построения найдем прямую l=S D, где D - плоскость, в которой расположена окружность m - граница отсека поверхности. Так как D P 2, то l 2 D 2, а l 1 строится по точкам щие t1,t2 =S F проходят 1,2=l m. При этом достаA точно построить только проекции t 1 и t 2 этих M2,N 2 d 2.

На рис. 13.2 найдены точки M и N пересечения прямой l с цилиндрической поверхностью Y, для чего использовали плоскость S, проходящую через прямую l и прямую g. Прямую g провели через произвольную точку B l параллельно образующей t цилиндрической поверхности. Поэтому плоскость S пересекает эту поверхность по образующим t 1 и t 2. Для их построения нашли прямую d=S D, где D - плоскость, в которой расположена направляющая цилиндрической поверхности кривая k. Так как D P 2, то d 2 D 2, а d 1 строилась по точкам D=g D и E=l D из условия d S. Образующие t1, t 2 =S Y проходят через точки 1,2=d k. Для нахождения проекций точек M,N=l Y здесь также достаточно построить только проекции t 1 и t2 образующих t 1 и t 2, чтобы найти M 1 =t 1 l 1, N 1 =t 2 l 1, а затем определить M2,N 2 l2.

13.2. Соосные поверхности вращения.

Соосные поверхности вращения - это поверхности вращения с общей осью. Две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям (параллелям), которые образуются при вращении точки пересечения их меридианов (полумеридианов). На рис. 13.3 по окружностям q и g пересекаются соосные тор и коническая поверхность вращения. Эти окружности образуют точки A и B пересечения полумеридианов m и t поверхностей.

Рис.13.3 На рис. 13.5 построена линия k пересечения конической F и цилиндрической W в отрезки m 2 j 2 и q 2 j 2. Проекции m 2 и q 2 пересекаются в точке M 2 - фронтальной проекции точки M i, принадлежащей линии пересеi чения k. Горизонтальные проекции M 1i строятся из условия M F с помощью окружностей m i : M фронтальные M 2, а проекция k 1 - через горизонтальные M 1 проекции k. Количество вспомогательных сфер Y i зависит от точек M требуемой точности построений.

Не все сферы с центром в точке C нужны для построения k.

Определим диапазон изменения радиуса R секущих сфер Y i.

Заметим, что меридианы t, t 1 поверхности F и l, l 1 поверхности W расположены в плоскости S P 2 и пересекаются соответственно в точках A, B, D, E, принадлежащих линии пересечения k. Максимальный радиус R сферы, которая может использоваться для построения k, равен расстоянию от центра C до наиболее удаленной точки пересечения меридианов. В нашем примере R =IC 2,A 2I.

Сферой минимального радиуса R является сфера большего радиуса из двух сфер, вписанных в поверхности F и W (на рис. 13. это сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность W). На рис.

13.5 показано построение точек линии пересечения с помощью сферы минимального радиуса R (на чертеже не обозначены) и точки M i k, найденной с помощью сферы радиусом R i.

Линия пересечения двух циклических поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии, в которой расположены линии их центров, может быть построена способом вспомогательных секущих эксцентрических сфер - сфер, проведенных из различных центров.

Напоминание: линия центров циклической поверхности - линия, на которой расположены центры образующих окружностей; любая поверхность вращения является циклической поверхностью; линия центров поверхности вращения - её ось вращения.

На рис. 13.6 построена линия k пересечения тора с конической поверхностью вращения, оси вращения j и j1 которых не пересекаются. Поверхности имеют общую плоскость симметрии S P 2, в которой расположены линии центров b тора и j 1 конической поверхности, а также контурные линии этих поверхностей q (экватор тора) и l, l 1 (образующие конической поверхности), пересекающиеся в точках A,B k.

Проекции K 2 точек K i линии k строили с помощью вспомоi гательных секущих эксцентрических сфер. Плоскость D, проходящая через ось j тора, пересекает его по меридианам - образующим окружностям m i, центры O i которых расположены на линии центров b.

По этим же окружностям тор пересекут сферы, центры которых лежат на перпендикулярах t i, проведенных из центров O i. Если центр сферы расположить в точке C i пересечения прямой t i с осью j 1 конической поверхности (C 2 =t2 j 2 ) и взять её радиус R i таким, чтобы сфера проходила через точки 1 и 2, то сфера пересечет обе поверхности по окружностям: тор - по окружности m i, коническую i i i по окружности g i. Точка K2 =m2 g2 принадлежит проекции k 2 линии k.

Точка K 1i k1i строится с помощью параллели q i тора.

Подобные построения выполняют несколько раз, располагая плоскости D i между плоскостями DА и D В, проходящими соответственно через точки A и B. На рис. 13.6 показаны две сферы с центрами в точках C и C 1, которые использовались для построения проекции k 2 линии k.

В общем случае поверхности 2-го порядка (см. раздел 11.1) пересекаются по пространственной кривой 4-го порядка. Однако существуют особые случаи взаимного расположения поверхностей 2-го порядка, когда одна проекция линии их пересечения строится без использования вспомогательных секущих поверхностей и дополнительных построений, а вторая проекция ищется по её На рис. 13.7 приведен чертеж пересекающихся конической и цилиндрической поверхностей, описанных вокруг сферы. Сфера касается конической поверхности по окружности q, а цилиндрической по окружности m. Эти окружности пересекаются в точках А и В, через которые проходит прямая d. Поверхности пересекаются по двум эллипсам е 1 и е 2, также пересекающимся в точках А и В. Это обстоятельство позволяет отметить, что плоскости эллипсов е 1 и е проходят через прямую d А,В.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА

Геометрическим телом называют замкнутую часть пространства, ограниченную отсеками поверхностей и заполненную однородным материалом, например, каким-то металлом.

Геометрические тела делят на простейшие - тела, образованные одной поверхностью (шар, тор и т. д.) или ограниченные отсеком исходной поверхности и поверхностями (обычно плоскостями), образующими границы отсека исходной поверхности - цилиндр, конус, призма, пирамида и т. д.

(рис. 14.1), и сложные - тела, состоящие из нескольких простейших тел.

На рис. 14.1 дан КЧ простейших геометрических тел: шара части пространства, ограниченной сферой; цилиндра вращения части пространства, ограниченной отсеком цилиндрической поверхности вращения и двумя плоскостями уровня D и S; конуса вращения части пространства, ограниченной конической поверхностью вращения, плоскостью уровня и вершиной T. Отметим, что изображения геометрического тела (цилиндра, конуса, шара и т. д.) на чертеже не отличаются от изображений отсека соответствующей исходной образующей тело поверхности (цилиндрической, конической, сферы и т. д.).

14.2. Построение изображений геометрических тел с вырезами Для построения машиностроительных чертежей важно уметь строить изображения простейших геометрических тел с вырезами на горизонтальную П1, фронтальную П2 и профильную П3 ПП (в лекции 14 П3 - профильная ПП). Для установления проекционной связи изображений на П 1 и П3 тело связывают с системой координат Oxyz и проецируют её оси вместе с телом. Координатные плоскости Oxz, Oxy и Oyz задают параллельно плоскостям проекций и по возможности совпадающими с плоскостями симметрии тела, его гранями, основанием и т. д. В этом случае проекционное соответствие между полями проекций П1 и П3 (см. рис. 14.3 - 14.6) устанавливает общая для этих полей координата Y.

ПРИМЕР 14.1. Заданы изображения пирамиды на П1 (вид сверху), П2 (вид спереди) и основные проекции фронтально проецирующих плоскостей, образующих сквозной Пирамида образована отсеком трехгранной пирамидальной поверхности, ограниченным вершиной T и плоскостью S П 1, Рис. 14.2 секущих плоскостей на П 2 (рис. 14.3). Решение задачи сводится к построению горизонтальных и профильных проекций указанных линий пересечения по их известным фронтальным проекциям и условию принадлежности этих линий пирамиде.

Совместим ось z пространственной системы координат с высотой, проведенной из вершины T пирамиды на плоскость S.

Начало системы отсчета точку O возьмем в точке пересечения этой высоты с S, а координатные плоскости Oxz и Oyz расположим параллельно П2 и П3 соответственно.

Для построения вида слева пирамиды на П3 на свободном месте чертежа правее z 2 проведем z 3 z 2, с помощью линии связи (T2,T3 ) z2 на z 3 найдем проекцию вершины T3 и зададим проекции S 3 плоскости S и оси y3 (рис. 14.3). От точки O 3 =z 3 3 влево по оси y3 отложим координату YA и получим точку A3, а затем от точки O по оси y 3 вправо отложим координату YB и получим точку B 3. YA и YB брали в поле П1. Так как AD П3, то D 3 A 3. Грань DTA также перпендикулярна П3, поэтому её проекция на П3 совпадает с T3 A3 T3 D 3.

Секущие плоскости и D пересекаются с пирамидальной поверхностью по ломаной [1, 2, 4, 6, 7, 5, 1], а между собой - по отрезку [4, 5].

Точки 1, 2, 6 и 7 расположены на ребрах пирамиды: 1, 7 [A,T] и 2, 6 [B,T]. Их горизонтальные и профильные проекции найдены по известным фронтальным проекциям с помощью линий связи.

Точка 4 лежит в грани BTD, а точка 5 - в грани ATD, причем эти точки конкурируют относительно П2 (4 2 5 2 ). Обе точки 4 и 5 принадлежат 123, по которому плоскость G пересекает пирамидальную поверхность. Так как G S, то 123 подобен ABD и проецируется на П2 в отрезок [12,3 2 ], параллельный S 2, а на П1 - в 1 1 21 3 1, подобный A1 B1 D 1. При этом 4 1 [21,3 1 ], 5 1 [1 1,3 1 ].

Точка 5 принадлежит проецирующей на П3 грани ATD, поэтому 53 [A 3,T 3 ]. Точка 4 3 строится аналогично точкам A 3 и B 3 : используется координата Y точки 4 (расстояние от точки 41 до оси y1 ), откладываемая от оси z 3 по линии связи (4 2,4 3).

Относительно П1 и П3 видны все звенья ломаной [1,2,4,6,7,5,1] на пирамидальной поверхности. Отрезок [4,5] находится внутри пирамиды и не виден на виде сверху, но виден на виде слева благодаря вырезу.

ПРИМЕР 14.2. Задан вид спереди конуса вращения, ограниченного конической поверхностью вращения, вершиной и плоскостью основания, со сквозным вырезом (см. вид конуса на П2 на рис. 14. без обозначений). Построить виды конуса с вырезом на П1 и П3.

Так как сквозной вырез образуют секущие фронтально проецирующие плоскости S, D, Ф,, то проекции линий пересечения k конической поверхности с этими плоскостями и плоскостей между собой на П 2 известны: они совпадают с основными проекциями S 2, D 2, Ф2, 2 плоскостей и обозначены k2 на рис. 14.4. Решение задачи сводится к построению горизонтальных и профильных проекций линий пересечения k по их фронтальным проекциям.

Виды конуса сверху на П1 (окружность) и слева на П3 (треугольник) располагают в проекционной связи с видом конуса на П 2.

Положение проекций осей и начала отсчета системы координат, связанной с конусом, указаны на рисунке.

Плоскость пересекает поверхность конуса по эллипсу, который на П2 проецируется в отрезок [A2,L2 ], а на П1 и П3 в эллипсы.

Для их построения использовали характерные точки A, G, N, B, L, C, S, Q и не обозначенные промежуточные точки, взятые между характерными точками. Точки A и L расположены на контурных относительно П 2 образующих l 2 и l 1, а точки N и S - на контурных относительно П3 образующих l 4 и l 3. Точки A и L определяют одну ось эллипса, а точки G и Q, проекция Q2 G2 которых делит отрезок [A2,L2 ] пополам, вторую его ось. На П1 G и Q являются самой ближней и дальней точками эллипса, а на П3 - его самой правой и левой точками соответственно. B и C - общие точки эллипса и прямолинейных образующих, по которым плоскость пересекает коническую поверхность. Дуга эллипса BLC не существует, но строится и обводится тонкой линией.

Плоскость пересекает коническую поверхность по дуге ветви гиперболы KAF (точка A - её вершина, точки K и F - общие точки ветви гиперболы и дуг окружности, по которым поверхность конуса пересекает плоскость Ф). Ветвь гиперболы на П 1 и П 2 проецируется в отрезки прямых, а на П 3 в натуральную величину, для построения которой кроме точек A, K и F используются промежуточные точки, фронтальные проекции которых расположены между A 2 и K 2 F 2.

Уже отмечалось, что коническая поверхность пересекается, проходящей через вершину T конуса, по отрезкам плоскостью образующих ([B,D] и [C,E]), а плоскостью Ф, перпендикулярной оси j конуса, - по дугам окружностей (F,D и K,E), которые на П2 и П3 проецируются в отрезки прямых, а на П1 - в дуги окружностей (E и D общие точки образующих и дуг окружностей).

Между собой секущие плоскости пересекаются по отрезкам:

Горизонтальные проекции линий пересечения конической поверхности и секущих плоскостей строят по их известным фронтальным проекциям и условию принадлежности линий пересечения поверхности конуса. Для этого обычно используют окружности q i, проецирующиеся на П2 и П3 в отрезки прямых, а на П1 - в окружности.

Ниже дан ГА построения горизонтальных проекций точек M и P гиперболы по их произвольно взятой фронтальной проекции M 2 P2 :

Проекции M 3 и P3 найдены с использованием их координат Y M и Y, взятых в поле П1 и откладываемых в нужные стороны от оси z по линии связи (M2,M3 ).

Аналогично строили проекции точек Q, G, B, C, F, K, D, E и не указанных промежуточных точек эллипса и гиперболы. Точки B, C, D, E, лежащие в плоскости и на образующих прямых, проходящих через точки T,3 и T,4 (рис. 14.4), можно было строить с помощью этих образующих. Точки A проекциях соответствующих контурных образующих конуса.

Относительно П1 видны все точки конической поверхности.

На виде слева видны точки конической поверхности, расположенные перед контурными образующими l 3 и l 4 и проецирующиеся на П2 и П1 левее соответствующих проекций этих образующих.

Поэтому относительно П3 видны точки гиперболы, дуга эллипса NGAQS и части дуг окружностей от точек F и K до образующих l3 и l 4. Из-за сквозного выреза в конусе на виде слева видны также части отрезков [C,E] и [B,D].

Отрезки, по которым пересекаются секущие плоскости, находятся внутри конуса и поэтому относительно П1 и П3 не видны (отрезок [F,K]= Ф конкурирует на П1 с гиперболой).

Контурные относительно П3 образующие l3 и l4 вырезаны от точек N и S до плоскости Ф и показаны на этих участках тонкими линиями как несуществующие.

ПРИМЕР 14.3. Задан вид спереди шара со сквозным вырезом (см. вид шара на П2 на рис. 14.5 без обозначений). Построить виды шара сверху на П1 и слева на П3 (рис. 14.5).

Изображением шара на П2 является проекция m 2 его главного меридиана m, на П1 - проекция q1 его экватора q, на П3 - проекция g его профильного меридиана g.

Ф2 m1 m кая поверхность вращения Ф П2, соосная со сферой.

Поскольку вырез образуют фронтально проецирующие поверхности, то фронтальные проекции линий пересечения сферы (поверхности шара) с секущими поверхностями и секущих поверхностей между собой известны - они совпадают с основными проекциями 2, S 2, Ф 2 этих поверхностей на П 2 (на рис. 14.5 обозначены k 2 ). Поэтому решение задачи сводится к построению горизонтальных и профильных проекций указанных линий пересечения по их известным фронтальным проекциям.

Плоскость G пересекает сферу по полуокружности g 1, проецирующейся на П2 в отрезок [K2,L 2 ], на П1 - в отрезок [K1,N 1 ], на П3 в полуокружность g 1.

Общая ось вращения сферы и цилиндрической поверхности Ф перпендикулярна П2. Поэтому сфера с поверхностью Ф соосны и пересекаются по двум полуокружностям m1 и m2, проходящим через точки C,K и E,N соответственно. На П2 эти полуокружности проецируются в полуокружность Ф 2, а на П1 и П3 - в отрезки прямых.

Плоскость пересекает сферу по окружности, проецирующейся на П2 в отрезок [A2,F2 ], а на П1 и П3 - в эллипсы, несуществующая дуга EFC которых показывается на чертеже тонкой линией.

Характерные точки A и F, задающие ось эллипса, расположены на главном меридиане сферы m, а C и E на её экваторе q.

Горизонтальные проекции промежуточных точек 1 и 2 для построения эллипсов найдены по их проекции 1 2 22 (взята на [A2,F 2 ] произвольно) с помощью окружности q 1 и линии связи (1 2,1 1 ).

Профильные проекции этих точек построены по их фронтальным и горизонтальным проекциям с использованием координаты Y (положения проекций осей и начала отсчета O указаны на рисунке).

Аналогично определены проекции характерных точек B и D, задающих положение второй оси эллипсов, и других их произвольных точек.

На виде сверху видны все точки, расположенные выше экватора q, а также, благодаря вырезу, часть дуг окружностей m 1 и m 2.

На виде слева видны все точки, расположенные перед профильным меридианом g и проецирующиеся на П1 и П2 левее g 1 и g 2.

по отрезку [C,E], расположенному внутри шара и не видимому на видах сверху и слева. На П3 показана проекция t3 нижней контурной образующей t цилиндрической поверхности Ф.

ПРИМЕР 14.4. Задан вид спереди цилиндра вращения, ограниченного цилиндрической поверхностью вращения и плоскостями верхнего и нижнего оснований, со сквозным вырезом (см. вид цилиндра на П2 на рис. 14.6 без обозначений). Построить виды цилиндра с вырезом сверху на П1 и слева на П3 (рис. 14.6).

Особенность задачи: секущие плоскости, S, D и Ф, образующие в цилиндре сквозной вырез и срез, являются проецирующими на П2, а цилиндрическая поверхность Y - проецирующей на П 1. Поэтому известны две проекции линии пересечения k секущих плоскостей и цилиндрической поверхности: на P 1 линия k проецируется в окружность Y 1 - основную проекцию поверхности цилиндра (k 1 Y1 ), а на П 2 - в основные проекции 2, S 2, D 2, Ф2 секущих плоскостей, обозначенную k2. Тем самым решение задачи сводится к построению профильной проекции линии пересечения k по её известным горизонтальной и фронтальной проекциям.

На рис. 14.6 обозначены секущие плоскости, проекции контурных образующих цилиндра, проекции координатных осей связанной с ним системы координат, выделены и обозначены характерные и некоторые промежуточные точки линий пересечения.

Плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по дугам эллипса ATC и BSD, проецирующимся на П2 в отрезок [A2,C 2], на П 1 - в дуги A 1 C 1 и B 1 D 1 окружности Y1, а на П 3 - в дуги эллипса A3 T3 C 3 и B3 S3 D3, которые построены по точкам. Рассмотрим порядок построения профильных проекций M 3 и P3 точек M и P эллипса:

- на 2 возьмем произвольную фронтальную проекцию M 2 P конкурирующих точек M и P;

- на 1 с помощью вертикальной линии связи, проведенной из точки M 2 P2, найдем проекции M 1 и P1 ;

- из точки M 2 P2 проведем перпендикулярно к z2 (z 3 ) горизонтальную линию связи, отложим на ней от оси z 3 координаты YM и Y, взятые в поле П 1, и получим проекции M 3, P3 точек M и P.

Плоскость Ф пересекает цилиндрическую поверхность по дуге эллипса LKN, который на П2 проецируется в отрезок [K2,L2 ], на П1 в дугу окружности L 1 K1 N 1, на П3 - в дугу окружности L3 K 3 N 3 радиусом, равным радиусу вращения цилиндра, так как плоскость Ф пересекает ось цилиндра z под углом 45.

Плоскость перпендикулярна оси цилиндра и пересекает его поверхность по дугам AE и BF окружности, которые на П2 и П3 проецируются в отрезки прямых, а на П1 - в дуги окружности. Плоскость параллельна оси цилиндра и пересекает его поверхность по отрезкам [E,C] и [F,D] образующих прямых, которые на П2 проецируются в отрезки [E2,C2 ] [F2,D 2 ], на П1 - в точки C 1 E 1 и D1 F1, на П3 - в параллельные отрезки [E3,C3] и [F3,D 3].

отрезку [E,F], и - по отрезку [C,D] и, наконец, плоскость Ф пересекает нижнюю плоскость основания цилиндра по отрезку [L,N].

На виде сверху видно только верхнее основание цилиндра.

На виде слева видны точки, расположенные перед контурными образующими l 3, l 4 и проецирующиеся на П1 и П2 в левую часть цилиндра, в частности, точки A, B, M, P, S, T, K, L, N.

Кроме того, из-за выреза части геометрического тела видны некоторые точки, расположенные за образующими l 3 и l 4, например, точки E и F. Поэтому части отрезков [E,C] и [F,D], расположенные в “задней” относительно П3 половине цилиндра, “выглядывают” из-за дуг эллипса и становятся видимыми.

Отрезки, по которым пересекаются секущие плоскости, расположены внутри цилиндра и на видах сверху и слева не видны.

14.3. Построение натурального вида плоской фигуры, получаемой при пересечении геометрического тела плоскостью На рис. 14.7 построен натуральный вид сечения плоскостью S П 2 сложного геометрического тела, ограниченного горизонтально проецирующими цилиндрическими F, Y и призматической W поверхностями, горизонтальными плоскостями D, D1 и D. Задача свелась к заданию новой ПП П3 П3 П2 и решению 4ОЗПЧ, причем за ось проекций x1 2 принималась ось симметрии фигуры на П1. При построении натурального вида сечения симметричные точки не обозначались. Расстояние, используемое для получения проекции 1 3, на рис. 14.7 отмечено фигурной скобкой. Точка 9 промежуточная точка для построения эллипса.

РЕШЕНИЕ ГЛАВНЫХ ПОЗИЦИОННЫХ ЗАДАЧ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Цель преобразования чертежа при решении ГПЗ в 3-м случае упростить решение задачи или сделать его более точным. Для этого в результате преобразования чертежа либо один из пересекающихся образов делают проецирующим и вместо ГПЗ-3 решают более простую ГПЗ-2, либо прямую линию переводят в положение прямой уровня (для 1ГПЗ-3), либо определяют некоторые характерные точки линии пересечения (для 2ГПЗ-3).

На рис. 12.6 построена линия k пересечения плоскости S(a h) с отсеком конической поверхности вращения Ф{t(t,j)(t =t j)}. Решим на рис. 15.1 эту же задачу с использованием новой ПП П 3 h. Цель задания П 3 h - сделать плоскость S проецирующей на П 3 и решить 2ГПЗ-2 в системе плоскостей проекций (П 1,П 3).

Изображение отсека конической поверхности на П 3 образуют проекции m 3, T, t 2, t3 его контурных относительно П 3 линий m, T, t 2, t 3.

Основная проекция S3 плоскости S проходит через проекции 13 2 3 и A 3 точек 1,2 h и A a.

Проекция k 1 линии пересечения k строилась по известной проекции k 3 и условию принадлежности линии k конической поверхности F: k 1 проводили через проекции M 1 точек M i k, которые искали согласно ГА:

Использование новой ПП П 3 позволило:

- по положению проекции S 3 плоскости S установить, что она пересекает коническую поверхность по эллипсу, который проецируется на П 3 в отрезок [33,73 ], а заданный отсек конической поверхности - по дуге эллипса k, проецирующейся в отрезок [1 3 23,3 3 ]. Проекции точек 1 и 2 находятся на проекциях границы отсека окружности m;

- легко построить проекцию второй оси эллипса, которая проецируется на П 3 в точку 5 3 6 3, делящую отрезок [3 3,7 3 ] пополам (проекции 5 1 и 6 1 строились аналогично проекции M 1 );

- сразу определить проекции верхней точки 3 эллипса k, расположенной на образующей t 2 конической поверхности F (соответственно проекции точки 3 искали на проекциях образующей t2 );

- более просто определить проекцию 4 2 точки 4, расположенной на контурной относительно П2 образующей t (проекции 4 3 и искали так: 43 =t3 k 3 и 41 =(43,41 ) t1 ).

Проекции точек M 2, 5 2, 6 2 и т. д., через которые проходит проекция k 2 линии k, можно строить по проекциям M 3 и M 1, 5 3 и 5 1 и т. д. или только по горизонтальным проекциям с помощью проекций окружности m i или образующих t i.

На рис. 15.1 так же найден натуральный вид линии пересечения k - её проекция k4 на плоскость П 4 S (новая ось x3 4 S 3 ).

На рис. 15.2 с использованием преобразования чертежа решена 1ГПЗ-3, в которой искали точки M и N пересечения прямой a общего положения со сферой F. Как и в примере на рис. 12.3, прямая a заключалась в плоскость S P (S 2 a 2) и строилась окружность плоскости S со сферой F.

Рис. 15. Однако далее вместо построения эллипса q 1, горизонтальной проекции окружности q, была задана новая ПП P 3 S и P 3 P 2 (новая ось x2 3 a 2 S 2 ). В результате прямая a стала прямой уровня относительно P 3 (её проекцию a 3 строили по произвольным точкам 1,2 a), а окружность q спроецировалась на P 3 в свою натуральную величину окружность q 3, которую провели из центра C 3 радиусом R=IC 2,AI (проекции центра C окружности q см. на рис. 15.2). В заключение определялись проекции искомых точек: M 3, N 3 =q 3 a 3 ; M2,N 2 a 2 ;

M 1,N 1 a 1. Таким образом, в процессе решения не надо было строить лекальную кривую.

На рис. 15.3 построены точки M и N пересечения прямой a общего положения с тором F (1ГПЗ-3). При этом прямая a пересекает ось вращения j тора в точке 1=a j (1 1 j 1, так как j P 1 ).

Заключим прямую a в плоскость S P 1 (S 1 a 1 ), которая также проходит через ось j тора. Плоскость S пересекает тор по его меридиану - окружности g (g прямая a займет положение a, задаваемое точками 1 1и2и определяемое проекциями a 1 S1 и a 2 ), а меридиан g совпадет с главным меридианом (образующей) m тора: g 1 m 1 ; g 2 m 2. Точки M 2, N 2 =a 2 g 2 - проекции повернутых точек M, N. Произведя обратные преобразования (поворот из положения S, a и g в положение S, a и g) с помощью отрезков n M, n N, сначала нашли проекции M2, N 2, а затем с помощью линий связи проекции M1, N 1 точек M, N.

Применение вращения вокруг проецирующей оси позволило более точно и просто найти точки пересечения прямой с тором, не строя при этом эллипс. Видимость прямой a на рис. 15.3 определялась известным образом.

На рис. 15.4 пересекаются коническая поверхность вращения F с осью j и сфера W с осью j 1 при том же взаимном положении, что и на рис. 12.7, но в другом положении относительно P 2 : общая плоскость симметрии поверхностей S, проходящая через оси j и j 1, перпендикулярна к P 1, но не параллельна P 2. Промежуточные точки линии пересечения, как и в примере на рис. 12.7, удобно строить с помощью секущих плоскостей Di P1, пересекающих обе поверхности по окружностям. Поэтому, не строя проекций линии пересечения целиком, дадим далее рекомендации только по построению проекций её некоторых характерных точек.

Верхняя N и нижняя M точки линии пересечения расположены в плоскости симметрии S и являются точками пересечения меридиана g сферы (g=S W) с образующей t1 конической поверхности (t1 = = S F). Чтобы не строить эллипс, в который на P 2 проецируется меридиан g, повернем плоскость S вокруг оси j конической поверхности до занятия плоскостью S положения S P2. Вместе с S повернутся расположенные в S образующая t 1 до занятия ею положения t1 t и меридиан g до занятия им положения g. В результате для указанных ГО можно записать: g1 t 1 S 1 t 1, а t Напомним, что так как ось j P 1, то проекции точек, вращаемых вокруг оси j фигур, перемещаются на P 1 по дугам окружностей, а на P 2 - по отрезкам n, перпендикулярным к j 2. Для построения проекции g 2 меридиана определим проекции C 1, затем C 2 центра сферы C в повернутом положении C, после чего из точки C 2 радиусом сферы проведем кружность g 2. Далее находим проекции N2, M Проекции точек линии пересечения, расположенные на контурных относительно P 2 образующих t, t 2 конической поверхности, удобно строить с помощью секущей плоскости G P 2 (G1 S 1 ), пересекающей коническую поверхность по t, t 2, а сферу - по окружности q.

Описываемые построения и q 2 на рис. 15.4 не показаны. Также не показано построение точек линии пересечения, расположенных на меридиане сферы m. Их можно приближенно найти либо с использованием секущей плоскости G 1, пересекающей сферу по меридиану m, а коническую поверхность по гиперболе, либо с помощью линии связи по горизонтальной проекции линии пересечения, для которой искомые точки не являются характерными.

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ

К конструктивным задачам в НГ обычно относят задачи на построение фигур по заданным условиям. Решение многих таких задач существенно упрощается при использовании понятия геометрического места точек, как множества точек, отвечающих ряду условий.

Наиболее часто при решении задач используются следующие геометрические места (множества) точек:

1. Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов отрезка (двух данных точек), является плоскость, перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину.

2. Геометрическим местом точек пространства, удаленных от данной плоскости на расстояние R, являются две плоскости, параллельные данной и удаленные от неё на указанное расстояние.

3. Геометрическим местом точек пространства, удаленных от данной прямой на расстояние R, является цилиндрическая поверхность вращения, осью вращения которой является данная прямая, а радиусом вращения - указанное расстояние.

4. Геометрическим местом точек пространства, удаленных от данной точки на расстояние R, является сфера радиусом R, центром которой является данная точка.

5. Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух параллельных прямых, является плоскость, перпендикулярная к отрезку, определяющему расстояние между этими прямыми, и проходящая через его середину.

6. Геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин треугольника, является прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника и проходящая через центр описанной вокруг него окружности.

7. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон треугольника, является прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника и проходящая через центр вписанной в него окружности.

Рассмотрим решение нескольких примеров с использованием введеных понятий.

ПРИМЕР 16.1. Заданы плоскость S(a b) и проекция M2 точки M, удаленной от плоскости S на расстояние R. Построить проекцию M 1.

Так как точка M удалена от плоскости S на расстояние R, то точка M принадлежит одной из плоскостей G или 1, параллельных плоскости S и расположенных на заданном расстоянии от неё (задача имеет два решения).

На рис. 16.1 плоскость S переведена в проецирующее положение S 3 путем задания новой ПП П 3, перпендикулярной к фронтали f плоскости S.

связи, проведенной из M 2 перпендикулярно к оси x 2 3. Возможные горизонтальные проекции M 1 и M 1 точки M расположены на линии связи, проведенной из M 2 перпендикулярно к оси x 1 2, и удалены от x 1 2 на расстояние M3,x 2 3 и M3,x 2 3.

ПРИМЕР 16.2. На прямой a найти точки, удаленные от плоскости S(h f) на расстояние R (рис. 16.2).

Данный пример решается аналогично предыдущему. Искомые точки A и B должны принадлежать плоскостям и 1, параллельным данной плоскости S и удаленным от неё на расстояние R, а также данной прямой a. Поэтому A и B являются точками пересечения прямой a с плоскостями и 1 : А=a, В=a 1. Задача решалась с использованием новой ПП П3, перпендикулярной к горизонтали h плоскости S (в примере ось x 1 2 h2, а новая ось x 1 3 h 1 ).

ПРИМЕР 16.3. На данной прямой a найти точки, удаленные от точки A на расстояние R (рис. 16.3).

Искомые точки (далее точки M и N), как точки, удаленные от точки А на расстояние R, принадлежат сфере Ф радиусом R с центром в точке А и являются точками её пересечения с прямой a. Для решения задачи прямую заключили в проецирующую плоскость П 1. Так как окружность q=G F проецируется на П 2 в эллипс, задачу решали с использованием новой ПП П 3. Построив с помощью точек 1 и 2 проекцию a 3 прямой a и окружность q 3 - проекцию окружности q, легко находим проекции M 3 =q 3 a 3 и N3 =q 3 a 3 точек M и N, ПРИМЕР 16.4. На прямой a найти точки, удаленные от прямой b на расстояние R (рис. 16.4).

Искомые точки M и K могут быть найдены как точки пересечения прямой a с цилиндрической поверхностью Ф, осью вращения которой является прямая b и образующие которой удалены от этой прямой на расстояние R. В этой связи прямую b последовательным заданием новых ПП П 3 (П 3 b, П 3 П 1 - 1ОЗПЧ) и П 4 (П 4 b, П4 П - 2ОЗПЧ) перевели в положение проецирующей прямой. В результате поверхность Ф также стала проецирующей на П4 (все её точки на П проецируются в окружность Ф 4 с центром в точке b 4 и радиусом, равным R), а проекции M 4 и K4 искомых точек M и K были найдены из условия M 4,K4=F4 a 4. Заметим, что для построения новых проекций прямых a и b использовали проекции точек 1...4.

ПРИМЕР 16.5. Построить горизонтальную проекцию A 1 точки A(A 2), удаленной от прямой a на расстояние R (рис. 16.5).

Аналогично примеру 16. точка A, удаленная от прямой a на расстояние R, принадлежит цилиндa рической поверхности Ф, осью вращения которой является прямая a. Поэтому прямую a последова- t положение проецирующей прямой и х из центра a 4 радиусом R провели цилиндрической поверхности Ф, которой принадлежит точка A. Её проекция A 4 удалена от оси x 3 4 на х расстояние l - расстояние от A до оси x2 3. На этом расстоянии в поле П 4 была проведена прямая t, два решения). Проекции A 3 и A 3 строятся на пересечении линий связи, проведенных из проекций A 4, A 4 и A 2. Для получения проекций A 1 и A 1 от оси x1 2 откладываются расстояния, равные расстояниям от оси x 2 3 до проекций A3 и A 3 соответственно.

ПРИМЕР 16.6. Построить проекцию d 1 прямой d, равноудаленной от прямых a b, если задана её проекция d 2 и известно, что прямая d параллельна a и b (рис. 16.6).

Поскольку прямая d равноудалена от прямых a и b (a b), то она принадлежит плоскости, все точки которой равноудалены от этих прямых. Так как a и b являются фронталями, зададим новую ПП П 3 a ( b). Прямые a и b проецируются на П 3 в точки a 3 и b 3, а плоскость - в прямую 3, проходящую через середину отрезка [a 3,b 3 ], определяющего расстояние между прямыми a и b, перпендикулярно к этому отрезку. Точка d 3 - проекция прямой d на П 3 есть точка пересечения прямой 3 с линией связи, являющейся продолжением прямой d 2. Проекция d 1 прямой d параллельна оси x 1 2 и удалена от неё на указанное расстояние.

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

К чертежам предъявляют следующие основные требования:

1. Обратимость.

2. Удобоизмеримость.

3. Наглядность.

Обратимым является чертеж, дающий возможность восстановить фигуру по её проекциям (лекция 1).

Удобоизмеримым является чертеж, на котором достаточно просто, с минимумом построений и вычислений можно определить размеры фигуры.

Под наглядностью чертежа, являющегося абстрактной графической моделью фигуры, понимают свойство чертежа воспроизводить в сознании человека пространственный образ этой фигуры.

Последние два требования к чертежу противоречат друг другу:

чем чертеж более удобоизмерим, тем он менее нагляден и наоборот.

При выполнении технического (комплексного) чертежа предмета, например параллелепипеда (рис. 17.1), его обычно располагают так относительно ПП, чтобы направление одного из трех его главных измерений (длины l, ширины b и высоты h) было проецирующим. Так, на рис. 17.1 проецирующим относительно П является направление высоты h параллелепипеда, а относительно П 2 - направление b его ширины. Тогда длина l и высота h проецируются в натуральную величину на фронтальную ПП, а длина l и ширина b - на горизонтальную ПП. Такой чертеж прост в исполнении, обратим, удобоизмерим, но недостаточно нагляден, так как на каждом изображении отсутствует одно из трех измерений предмета, в результате чего его форму приходится мысленно воссоздавать по двум, а иногда и большему числу проекций. Таким образом, КЧ свойственна удобоизмеримость, для чего фигуру располагают так, чтобы как можно большее число её плоскостных и линейных элементов лежало в плоскостях уровня, проецируясь в натуральную величину на одну (одни) ПП и являясь проецирующими относительно другой (других) ПП.

Более наглядный чертеж можно получить, проецируя предмет на одну ПП и располагая его так, чтобы ни одно из направлений главных его измерений не было проецирующим. На рис. 17.2 приведен чертеж того же параллелепипеда, позволяющий легко представить себе его Рассмотрим образование аксонометрического чертежа обратимого чертежа, основным свойством которого является наглядность, но по которому можно производить измерения.

17.2. Формирование аксонометрического чертежа Пусть заданы плоскость проекций П, точка А и направление проецирования s (рис. 17.3).

Чтобы сделать чертеж измеримым, отнесем точку А к пространственной системе координат Оxyz. Точка А считается отнесенной к системе координат, если известна её проекция на одну из координатных плоскостей, и на координатных осях отложены отрезки е единичной длины, называемые натуральным масштабом.

На рис. 17.3 задана проекция А 1 на координатную плоскость xOy, обычно ассоциируемую с горизонтальной ПП.

Спроецируем точку А и связанную с ней пространственную систему координат Оxyz, а также проекцию A 1 по направлению s на ПП П. В результате получим:

А - проекцию точки А, называемую аксонометрической проекцией данной точки;

А1 - проекцию точки A 1, называемую вторичной проекцией точки A.

О x y z - проекции осей пространственной системы координат, называемые аксонометрическими осями;

е x, е y, е z - проекции отрезков е единичной длины на соответствующих аксонометрических осях, называемые аксонометрическими масштабами.

Наличие вторичной проекции, аксонометрических осей и масштабов делают чертеж обратимым и измеримым. Построенный таким образом чертеж называют аксонометрическим или аксонометрией и используют для получения обратимого наглядного изображения оригинала, на котором можно проводить измерения.

Отношения u=e x /e, v=e y /е и w=е z /е называют показателями искажения по сответствующим осям.

Показатели искажения связаны между собой соотношением где y - угол между направлением проецирования s и ПП П.

17.3. Виды аксонометрических проекций Если направление проецирования s не перпендикулярно к плоскости проекций (y 90 ), то аксонометрическая проекция называется косоугольной, а если направление проецирования s перпендикулярно к плоскости П (y 90 ), то аксонометрическая проекция называется прямоугольной (ортогональной).

Так как для прямоугольной аксонометрии y=90, то у неё все показатели искажения меньше единицы и связаны соотношением По значениям показателей искажения различают:

1. Триметрические проекции (триметрию). Все показатели искажения в ней различны: u v w.

2. Диметрические проекции (диметрию). В этом случае два показателя искажений равны, а третий не равен им.

3. Изометрические проекции (изометрию). Все показатели искажения равны: u = v = w.

17.4. Стандартные аксонометрические проекции Для построения наглядных технических изображений Единой системой конструкторской документации рекомендуется использовать стандартные аксонометрические проекции, обладающие хорошей наглядностью. Наибольшее распространение получили:

1. Диметрическая прямоугольная аксонометрия.

Аксонометрические оси стандартной диметрии образуют между собой углы f1 =f3 =131 25 и f 2 =97 10 (рис. 17.4), а показатели искажения по этим осям равны u=w=0,94 и v=0,47.

Для построения аксонометрических осей данной аксонометрии (рис. 17.5) удобно использовать уклоны оси x (1:8) и оси y (7:8) к горизонтальной прямой чертежа (ось z на чертеже всегда вертикальна).

2. Изометрическая прямоугольная аксонометрия.

Для этой аксонометрии одинаковы все три угла между аксонометрическими осями f1 =f2 =f3 =120 и все три показателя искажения по ним u=v=w=0,82 (рис. 17.6). Оси x и y проводят с уклоном 4... к горизонтальной линии чертежа.

3. Фронтальная косоугольная диметрия.

Положение аксонометрических осей этой стандартной диметрии приведено на рис. 17.7, а показатели искажения по ним соответственно имеют значения u=w=1 и v=0,5.

При обозначении аксонометрических осей допускается не указывать штрих над буквами x, y и z, как это часто делается в технической литературе.

17.5. Приведенные показатели искажения При построении аксонометрических чертежей приходится в соответствии с показателями искажения вычислять размеры, с помощью которых строится аксонометрическое изображение. Для упрощения построения аксонометрии используют приведенные показатели искажения, когда наибольший показатель искажения принимают равным единице, а остальные пропорционально увеличивают.

Для стандартной прямоугольной диметрии приведенные показатели искажения имеют значения u=w=1 и v=0,5, а для стандартной изометрии u=v=w=1.

Следует понимать, что использование приведенных показателей искажения увеличивает масштаб аксонометрического изображения.

Так, стандартная прямоугольная диметрия в этом случае выполняется в масштабе М=1,06:1, а стандартная изометрия - в масштабе М=1,22:1. Все аксонометрические проекции фигур в разделе 17. строились по приведенным показателям искажений.

17.6. Построение аксонометрических проекций Аксонометрическую проекцию точки строят по её координатам.

На рис. 17.8 показан КЧ точки А, а на рис. 17.9 - её стандартная прямоугольная диметрическая проекция А (А 1 - вторичная проекция точки А).

Аксонометрические проекции других фигур строятся по аксонометрическим проекциям их характерных точек.

Аксонометрические проекции отрезков и прямых строят по аксонометрическим проекциям двух их точек. Отрезки (прямые), параллельные между собой, в аксонометрии изображаются параллельными отрезками (прямыми).

Аксонометрические проекции многоугольников строят по аксонометрическим проекциям их вершин.

При построении аксонометрических проекций геометрических тел или предметов стремятся координатную плоскость xOy совместить с плоскостью их основания, а оси x, y и z - с ребрами призматических форм фигуры или осями её симметрии. В этом случае вторичная проекция предмета совпадает с контуром фигуры основания, что делает чертеж обратимым.

На рис. 17.10 показан КЧ параллелепипеда с проекциями координатных осей, заданных так, чтобы его основание ABED лежало в плоскости xOy, а ось z совпадала с одним из его ребер.

Приведенная на рис 17.11 изометрия параллелепипеда является обратимой, так как вторичная проекция параллелепипеда совпадает с проекцией А B E D контура его основания.

Аксонометрические проекции кривых, дуг окружностей больших радиусов и окружностей, не лежащих в плоскостях, параллельных координатным, строят по аксонометрическим проекциям их точек.

На рис. 17.12 дан КЧ предмета, ограниченного отсеками плоскостей и двумя цилиндрическими поверхностями, проецирующими на П 2. Связанные с предметом координатные оси выбраны так, чтобы основание предмета лежало в плоскости xOy, направление осей x и y совпадало с направлением соответственно его длины a и ширины b.

Рис. 17. Начало координат О расположили в передней грани так, чтобы ось z совпадала с её осью симметрии. Изометрию предмета начинали строить с изометрического изображения этой грани (рис. 17.13), используя размеры a, c, h и проекции k, e контурных кривых k, e.

Проекции k и e приближенно строили по проекциям их точек координатным способом. На рис. 17.12 и 17.13 показано построение по координатам аксонометрической проекции одной точки А k.

Проекции контурных кривых задней грани (на рис. 17.13 показаны проекции только видимых контурных линий) строили по точкам, получаемым в результате откладывания ширины предмета b в направлении оси y от точек проекции k контурной кривой k передней грани.

17.7. Проекции окружностей, лежащих в координатных Как известно, при параллельном проецировании окружность проецируется в общем случае эллипсом. При ортогональном проецировании большая ось эллипса имеет направление линии уровня плоскости окружности, а малая - направление проекции перпендикуляра к этой линии уровня.

Пусть окружность расположена в какой-то координатной плоскости или плоскости, ей параллельной. В этом случае большая ось эллипса, в который проецируется окружность при ортогональной аксонометрии, перпендикулярна свободной аксонометрической оси, а малая ось ей параллельна (свободная аксонометрическая ось координатная ось, перпендикулярная к плоскости окружности). Так, если плоскость окружности параллельна плоскости xOy, то большая ось эллипса, в который проецируется окружность, перпендикулярна к оси z; плоскости xOz - большая ось эллипса перпендикулярна к оси y;

плоскости yOz - большая ось эллипса перпендикулярна к оси x.

На рис. 17.14 изображены эллипсы, в которые проецируются окружности, лежащие в координатных плоскостях или им параллельных, в стандартной изометрии, а на рис. 17.15 - в стандартной диметрии.

1, (0,82) На рисунках около изображенных диаметров эллипсов указаны приведенные и действительные (в скобках) показатели искажения для направлений этих диаметров.

В изометрии эллипсы во всех плоскостях одинаковы, а в диметрии одинаковы эллипсы в плоскостях xOy и yOz.

Построение эллипса начинают с определения его центра, затем, вычислив их длины, строят большую и малую оси эллипса, находя его вершины, и четыре точки, принадлежащие диаметрам, параллельным осям аксонометрии. В изометрии рекомендуется вычерчивать эллипс только по этим восьми точкам. В диметрии в плоскостях xOy и yOz при построении эллипсов целесообразно использовать симметрию точек относительно осей эллипса.

17.8. Построение аксонометрических изображений Очерками поверхностей цилиндра и конуса в аксонометрии являются прямые линии проекции образующих этих поверхностей. На рис. 17. приведен КЧ и диметрическая проекция цилиндра, а на рис.

проекция конуса (обе аксонометрии построены по приведенным показателям искажения).

Построение проекций конz турных образующих цилиндра ясно из рис.17.16. При построении очерка конуса проекции контурных образующих проводят из вершины конуса касательно к эллипсу основания. Если конус усеченный, то проекции контурн ых образующих конуса эллипсам оснований.

геометрические тела. Рассматриваемый предмет, имеющий фронтальную и профильную плоскости симметрии, можно разбить на основание в форме параллелепипеда; шестигранную призму, установленную на основании; цилиндрическое сквозное отверстие.

Совместим координатную плоскость xOy с нижней гранью параллелепипеда основания, начало координат - с центром нижней грани, а плоскость xOz - с фронтальной плоскостью симметрии предмета. В этом случае ось x направлена вдоль длины, ось y вдоль ширины, ось z, совпадая с осью центрального отверстия, ния между противолежащими ребрами шестигранника, а по оси y расстояния между его противолежащими гранями. Каждая пара противоположных сторон шестиугольников нижней и верхней граней призмы проецируется в аксонометрии в пару параллельных отрезков одинаковой длины. При этом стороны, параллельные оси x, проецируются в натуральную величину.

В последнюю очередь вычерчивается цилиндрическое отверстие по аналогии с рис. 17.16.

На рис. 17.20 приведена изометрия представленного на рис.

17.19 предмета, на которой показаны его видимые и невидимые контуры. Обычно в аксонометрии линии невидимого контура не изображают, а для того, чтобы раскрыть форму центрального отверстия фронтальной и профильной секущими плоскостями, проходящими через оси x и y соответственно, вырезают четверть предмета (рис. 17.21). При этом части предмета, рассеченные плоскостями заштриховывают согласно ГОСТ 2.317-69*.

ПРИЛОЖЕНИЕ

РЕКОМЕНДАЦИИ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

“ П Е Р Е С Е Ч Е Н И Е П О В Е РХ Н О СТ Е Й ”

Все задачи на пересечение поверхностей (2ГПЗ), входящие в РГР, имеют одинаковое условие: назвать заданные поверхности Ф и W; построить проекции линии k их пересечения, показав построение её характерных точек; определить видимость линии k и видимость контурных линий пересекающихся поверхностей;

записать графический (для 2ГПЗ-2) или пространственный (для 2ГПЗ-3) алгоритмы построения одной точки линии пересечения.

Уже не раз отмечалось, что задачи на пересечение поверхностей решаются на основе следующего аксиоматического положения: линия k пересечения поверхностей - общая линия этих поверхностей, одновременно принадлежащая каждой из них.

Варианты заданий на РГР приведены во 2-й части методического пособия по начертательной геометрии для студентов механических специальностей (рабочей тетради). В задании к каждому варианту приведены формулы пересекающихся поверхностей F и W, их основные чертежи с размерами в мм и обозначенными элементами определителей. На этих чертежах основными линиями показаны проекции заведомо видимых крайних контурных линий фигуры, которую при пересечении образуют данные поверхности.

Каждая задача РГР на пересечение поверхностей решается на двухкартинном чертеже в масштабе 1:1 на вертикально расположенном формате А3. Все графические построения осуществляются карандашом с использованием чертежного инструмента.

Рекомендуемая последовательность выполнения 2ГПЗ:

1. В тонких линиях с соблюдением размеров по индивидуальному варианту задания вычерчива ют исходный чертеж с обозначенными элементами определителей пересекающихся поверхностей, а над ним записывают их формулы. Под формулами указывают условие задачи:

Размеры в задании даны только для выполнения исходного чертежа и в дальнейшем не проставляются.

В некоторых задачах РГР направляющими или образующими линиями поверхностей являются лекальные кривые второго порядка (эллипс, парабола, гипербола). Способы их построения приведены в справочниках и учебниках по черчению, а также во 2-й части рабочей тетради.

Если в варианте задания на чертеже проекция контурной линии поверхности обозначена знаком “ * ”, то эту проекцию строят как огибающую линию проекций элементов одного из каркасов, принадлежащих этой поверхности. Для линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма используют каркас их образующих прямых, а для однополостного гиперболоида вращения - каркас окружностей (параллелей).

2. Проводят визуальный анализ исходного чертежа и формул поверхностей, определяя:

- их названия, которые записываются на одной строке c соответствующей формулой;

- вид и способы образования заданных поверхностей;

- возможный характер линии пересечения;

- наличие среди заданных поверхностей проецирующих поверхностей - если одна из поверхностей является проецирующей, то решается 2ГПЗ-2, а если проецирующих поверхностей нет, то - вспомогательные секущие поверхности, которые пересекают данные поверхности по удобным линиям (для 2ГПЗ-3). В РГР такими поверхностями являются плоскости уровня, пересекающие заданные поверхности по прямым линиям и (или) окружностям.

3. Выполняют графические построения, позволяющие получить проекции характерных и ряда произвольных точек линии k пересечения поверхностей. Здесь исходят из того, что в общем случае проекции линии пересечения строят по проекциям точек, принадлежащих одновременно обеим пересекающимся поверхностям.

Напомним, что характерными точками линии пересечения являются:

- точки, расположенные на контурных линиях пересекающихся поверхностей;

- “крайние” относительно плоскостей проекций или наблюдателя точки (самая нижняя, верхняя, левая, правая, ближняя, дальняя);

- точки, являющиеся вершинами кривых второго порядка;

- точки перегиба линии пересечения.

Число проекций точек, которые следует построить, должно быть достаточным для того, чтобы по ним можно было однозначно определить форму проекций линии пересечения и вычертить эти проекции.

Далее см. п. 3.1 или п. 3.2.

3.1. Выполнение пункта 3 для 2ГПЗ-2, когда одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, а вторая нет:

а) обозначают основную проекцию проецирующей поверхности линию, в которую на одну из ПП проецируются все точки этой поверхности;

б) обозначают известную проекцию k 1 или k 2 линии k пересечения поверхностей, принадлежащую основной проекции проецирующей поверхности;

в) ищут неизвестную проекцию произвольной точки M линии пересечения k, для этого:

- на известной проекции k 1 или k 2 линии k берут произвольную точку - проекцию M 1 или M 2 точки M k;

- строят вторую проекцию точки M из условия принадлежности M непроецирующей поверхности (решают основную позиционную задачу). Для этого используют образующие прямые линии, если непроецирующая поверхность является линейчатой, или окружности, если непроецирующая поверхность является поверхностью вращения;

г) определяют проекции характерных и ряда других произвольных точек линии k;

д) построенные проекции точек соединяют тонкой линией и получают искомую проекцию линии пересечения ;

е) записывают ГА построения проекций произвольной точки M линии k (далее см. пункт 4).

3.2. Выполнение пункта 3 для 2ГПЗ-3, когда пересекаются две непроецирующие поверхности:

а) определяют проекции произвольной точки искомой линии пересечения k:

- задают произвольную вспомогательную секущ ую плоскость уровня, пересекающую данные поверхности, как уже отмечалось, по прямым и (или) по окружностям;

- строят проекции линий пересечения вспомогательной секущей плоскости с каждой из поверхностей;

- ищут точку пересечения построенных в предыдущем пункте линий - точку, принадлежащую искомой линии k;

б) далее строят проекции нескольких произвольных точек линии k, а также проекции её характерных точек;

в) одноименные проекции построенных точек соединяют тонкой линией, получая проекции искомой линии пересечения k.

г) записывают ПА построения произвольной точки линии пересечения k (далее см. п. 4).

4. Определяют видимость линии пересечения.

5. Определяют видимость контурных линий пересекающихся поверхностей.

Напомним условия, которые должны учитываться при решении вопросов видимости в ГПЗ:

- поверхности расположены между наблюдателем и плоскостью проекций;

- поверхность - тончайшая непрозрачная оболочка;

- пересекающиеся поверхности образуют единую фигуру, и контурные линии одной поверхности в другую поверхность не проникают, cуществуя после пересечения лишь теоретически;

- видимость линии пересечения может меняться только на крайних контурных линиях пересекающихся поверхностей, причем относительно плоскости проекций видны те части линии пересечения, которые одновременно видны с точки зрения обеих поверхностей;

- в общем случае вопросы видимости на чертеже решают с использованием метода конкурирующих точек.

6. Обводят чертеж с разрешения преподавателя.

Проекции существующих видимых контурных линий поверхностей обводят сплошной основной линией, проекции существующих невидимых контурных линий - штриховой линией; проекции несуществующих реально контурных линий - сплошной тонкой линией.

Кроме обводки этих линий, на чертеже, подготовленном к сдаче, обозначают элементы определителей поверхностей; в вариантах, в которых образующими или направляющими поверхностей являются кривые второго порядка, оставляют линии построения этих кривых;

сохраняют линии построения проекций произвольной точки линии пересечения и обозначения используемых для этого образов;

выделяют проекции характерных точек линии пересечения.

В приведенных ниже примерах графические построения осуществляют на нескольких последовательно выполняемых чертежах, начиная с исходного и завершая итоговым. При этом часть построений и обозначений, имеющихся на промежуточных чертежах, на итоговом чертеже может отсутствовать. Студент же все построения последовательно выполняет на одном чертеже.

На рис. 1 приведено условие ПРИМЕРА №1, выполняемого в следующей последовательности:

1. На формате А3 записывают формулы пересекающихся поверхностей и условие задачи, затем в тонких линиях по размерам вычерчивают исходный чертеж (рис. 2).

2. Анализ исходного чертежа и формул показывает, что поверхность Ф - пересекающийся тор, а W цилиндрическая поверхность.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ИЗУЧЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МЕТОДОВ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ИЗДЕЛИЙ Методические указания к лабораторным работам №1 10 по дисциплине Технологические основы машиностроения для студентов направления Инженерная механика дневной и заочной форм обучения Cевастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 621. Изучение технологических возможностей...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ ВЫРАЩИВАНИЯ ПОСАДОЧНОГО МАТЕРИАЛА В ЛЕСНЫХ ПИТОМНИКАХ Методические указания УХТА 2007 УДК 630 (075.8) К 61 Коломинова М.В. Техника и технология выращивания посадочного материала в лесных питомниках [Текст]: метод. указания / М.В. Коломинова. – Ухта: УГТУ, 2007. – 48 с. Методические указания предназначены для студентов специальности 250401 Лесоинженерное дело при изучении дисциплин Лесное...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра электрификации и механизации сельского хозяйства Б. П. Евдокимов ТОПЛИВО И СМАЗОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Учебное пособие Утверждено учебно-методическим советом Сыктывкарского лесного института в качестве учебного...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ Учебно-методическое пособие по дисциплине Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика для студентов механических специальностей В 2-х частях Часть 1 ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ Минск 2005 УДК 681.327.11 ББК 85.15 П 38 Рассмотрено и рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом университета Составители: Н.И. Жарков,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА ДОРОЖНОГО, ПРОМЫШЛЕННОГО И ГРАЖДАНСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 653600 Транспортное строительство специальности 270205...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет СБОР И ПОДГОТОВКА СКВАЖИННОЙ ПРОДУКЦИИ Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов заочного отделения специальности 130503 (РЭНГМ) Ухта 2009 УДК 622.276 P 63 Рожкин, М.Е. Сбор и подготовка скважинной продукции [Текст]: метод. указания / М.Е. Рожкин, Н.В. Князев, Н.В. Воронина. – Ухта: УГТУ, 2009. – 20 с....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМ. С. М. КИРОВА Кафедра общетехнических дисциплин И. В. Боровушкин, кандидат технических наук, профессор ТЕХНОЛОГИЯ СВАРКИ ЛЕГИРОВАННЫХ СТАЛЕЙ Учебное пособие по дисциплине Технология конструкционных материалов и материаловедение для студентов всех форм...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановская государственная текстильная академия Кафедра химии ФИЗИКА И ХИМИЯ ПОЛИМЕРОВ Методические указания для студентов специальностей 280800, 280900 всех форм обучения Иваново 2003 В настоящих методических указаниях рассматриваются основные понятия физики и химии полимеров, особенности их химической структуры, способы получения, химические превращения полимеров,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.Я. Емельянова, В.В. Крамаренко ПРАКТИКУМ ПО МЕРЗЛОТОВЕДЕНИЮ Допущено УМО вузов РФ по образованию в области прикладной геологии в качестве учебного пособия для студентов направлений 130100 Геология и разведка полезных ископаемых и 130300 Прикладная геология специальности 130302 Поиски и разведка подземных вод и инженерно-геологические...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГИБКИЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ В ДЕРЕВООБРАБОТКЕ Учебно-методическое пособие по одноименной дисциплине для студентов специальности 1-46 01 02 Технология деревообрабатывающих производств заочной формы обучения Минск 2006 УДК 658.512.22.011.56.:674(075.8) ББК 65.050.9(2)2я7 Г 46 Рассмотренo и рекомендованo к изданию редакционноиздательским советом университета. Составитель А. С. Кравченко Рецензенты: зав. кафедрой Станки...»

«Электронный архив УГЛТУ А.В.Мехренцев Э.Ф.Герц Я.Мартинек Л.Новак КАНАТНЫЕ ТРЕЛЕВОЧНЫЕ УСТАНОВКИ Екатеринбург Брно 2012 19 Электронный архив УГЛТУ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра технологии и образования лесопромышленного производства Сельскохозяйственный и лесной университет им. Менделя Чехия А.В.Мехренцев Э.Ф.Герц Я.Мартинек Л.Новак КАНАТНЫЕ ТРЕЛЕВОЧНЫЕ УСТАНОВКИ Методические указания для самостоятельной работы студентов очной и...»

«Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ БИЗНЕС – ПРОЦЕССОВ Составители Орел А.А., Ромакина О.М. Учебное пособие по курсу “Проектирование бизнес - процессов” для студентов механико-математического факультета САРАТОВ 2008 1 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 Применение методологии SADT в моделировании бизнес – процессов. 3 1.1 Состав функциональной модели 1.2 Стратегии декомпозиции 2 Проектирование бизнес-процессов 2.1 Разработка модели бизнеса предприятия 2.2...»

«ОЦЕНКА ИЗБИРАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИЯ ПЕСТИЦИДОВ НА РАСТЕНИЯ (электрофизиологический метод) Методические указания для студентов биологического факультета МИНСК БГУ 2011 УДК 632.95.024(0758) ББК 44.152.6я73 О-93 А в т о р ы: В. М. Юрин, Т. И. Дитченко, О. Г. Яковец, Е. Н. Крытынская, А. И. Быховец, В. А. Тимофеева Рекомендовано ученым советом биологического факультета 29 апреля 2010 г., протокол № 8 Рецензент кандидат биологических наук В. П. Шуканов, ведущий научный сотрудник Отдела биохимии и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс Физические основы информационно-телекоммуникационных систем Стручкова И.В. Брилкина А.А. Веселов А.П. Регуляция биосинтеза белка (Учебно-методическое пособие) Мерприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса Учебная дисциплина:...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра электрификации и механизации сельского хозяйства ТЕХНОЛОГИЯ РАСТЕНИЕВОДСТВА Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов специальности 110301 Механизация сельского хозяйства всех форм обучения...»

«Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Архангельский государственный технический университет МЕХАНИКА Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 для студентов - заочников инженерно - технических специальностей Архангельск 2005 Рассмотрены и рекомендованы к изданию методической комиссией факультета промышленной энергетики Архангельского государственного технического университета 24 н о я б р я 2004 г о д а Составители: А.И. А н и к и н, доц., канд. техн. паук;...»

«Министерство образования Российской Федерации Томский государственный архитектурно-строительный университет СИЛОВОЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ Методические указания к курсовому проекту 3 F34 В(S3 ) F3С x x G3 S2 t F21 G2 n F21 А Томск – 2001 1 УДК 621.01.001 (075) Ф-333 Филиппов В.Ф. Силовой анализ рычажных механизмов: Методические указания к курсовому проекту. Томск: Изд-во Томского государственного архитектурно-строительного университета, 2001.-22 с. Рецензент к.т.н. А.А. Никифоров Редактор...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс Модели, методы и программные средства Н.Ю. Культина В.В. Новиков КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Учебно-методическое пособие Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Электротехнический факультет Кафедра электрических машин и аппаратов Задания и методические указания к контрольной работе по электромеханике Дисц. Электромеханика Спец. 140204, заочное бюджетное, ускоренное обучение Киров 2010 УДК 621.3(07) З-151 Составитель: доцент А.Б. Леготин Рецензент: кандидат технических наук, доцент В.С. Грудинин...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Полоцкий государственный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольной работы Гидравлический расчет простого трубопровода по курсу Механика жидкости и газов для студентов заочной формы обучения по специальности 70 04 03 Водоснабжение, водоотведение и охрана водных ресурсов, 70 04 02 Теплоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна Новополоцк, 2013 1 ВВЕДЕНИЕ Контрольная работа по дисциплине Механика жидкости...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.