WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 | 3 |

«В.Г. Казачков Ф.А. Казачкова С.Н. Чмерев Т.М. Чмерева СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Часть 3 Учебное пособие для заочного отделения Оренбург 2000 ББК 22.3я7 С 23 УДК53 (076.5) ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

В.Г. Казачков

Ф.А. Казачкова

С.Н. Чмерев

Т.М. Чмерева

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Часть 3 Учебное пособие для заочного отделения Оренбург 2000 ББК 22.3я7 С 23 УДК53 (076.5) Рекомендовано Редакционно - издательским Советом ОГУ протокол №_, от 2000 г.

Рецензент кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерев С.Н., Чмерева Т.М.

С 23 Сборник задач по курсу общей физики. Часть 3: Учебное пособие для заочного отделения.- Оренбург:ОГУ,2000. - 122 с.

Учебное пособие предназначено для выполнения контрольных работ по физике студентами-заочниками инженерно-технических специальностей.

ББК 22.3я C 6Л9 - Казачков В.Г., ОГУ, Содержание Введение

1 Механические колебания

1.1 Основные формулы и соотношения

1.2 Методические указания

1.3 Примеры решения задач

1.4 Задачи для контрольной работы

2 Электромагнитные колебания

2.1 Основные формулы и соотношения

2.2 Методические указания

2.3 Примеры решения задач

2.4 Задачи для контрольной работы

3 Электромагнитные волны. Излучение

3.1 Основные формулы и соотношения

3.2 Методические указания

3.3 Примеры решения задач

3.4 Задачи для контрольной работы

4 Интерференция волн

4.1 Основные формулы и соотношения

4.2 Методические указания

4.3 Примеры решения задач

4.4 Задачи для контрольной работы

5 Дифракция волн

5.1 Основные формулы и соотношения

5.2 Методические указания

5.3 Примеры решения задач

5.4 Задачи для контрольной работы

6 Поляризация электромагнитных волн

6.1 Основные формулы и соотношения





6.2 Методические указания

6.3 Примеры решения задач

6.4 Задачи для контрольной работы

7 Дисперсия и поглощение волн

7.1 Основные формулы и соотношения

7.2 Методические указания

7.3 Примеры решения задач

7.4 Задачи для контрольной работы

8 Элементы квантовой механики

8.1 Основные формулы и соотношения

8.2 Методические указания

8.3 Примеры решения задач

8.4 Задачи для контрольной работы

Список использованных источников

Данный сборник является третьей частью издаваемого кафедрой физики в помощь студентам заочного отделения учебно-методического пособия.

При составлении сборника основное внимание было уделено тщательному подбору задач для контрольных работ, анализу как методических, так и физических подходов к решению типовых задач.

Исходя из требований государственного образовательного стандарта, в данный сборник включены задачи по колебательным и волновым процессам.

Кроме того, к волновым процессам мы отнесли задачи по выделению микрочастиц, так как уравнение Шредингера - волновое уравнение. При таком подходе, многие задачи являются естественным продолжением задач, описанных во второй части сборника, в новых условиях переменных полей. Это позволило показать единые методические подходы к решению задач по колебательным процессам различной физической природы, увязать между собой различные разделы курса физики.

Данный сборник написан коллективом авторов. Работа по составлению и изданию пособия распределилась следующим образом: задачи к темам "Интерференция и дифракция" подобраны Казачковой Ф.А., задачи к теме "Элементы квантовой механики" подобраны Чмеревой Т.М., Чмеревым С.Н., задачи к теме "Электромагнитные волны. Излучение" подобраны Казачковым В.Г., задачи к остальным темам подбирались всеми авторами. Методические указания к решению задач, примеры решения типовых задач и их объяснения составлены Казачковым В.Г.

а) Задачи, приведенные в данном сборнике, являются логическим продолжением задач по механике, электричеству и электромагнетизму. Поэтому, прежде чем приступить к решению задач, мы рекомендуем еще раз обратиться к соответствующим методическим материалам предыдущего семестра. Без этого вы можете столкнуться с целым рядом вопросов при решении задач, так как усвоение нового материала, в данном случае, без повторения соответствующих разделов учебника, затруднительно.

б) Все общеметодические указания первой и второй частей сборника справедливы и в данном пособии, поэтому мы ограничимся только краткой справкой по оформлению и сдаче контрольных работ.

в) Контрольная работа выполняется в отдельной тетради. Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью без сокращений. Для замечаний преподавателя необходимо оставлять поля.

г) Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения которых оказались неверными или потребовали дополнительных уточнений. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтенной.





д) Законченные контрольные работы представляются экзаменатору. Студент должен быть готов во время экзамена (зачета) дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольную работу. В противном случае не ставится зачет (экзамен).

е) Количество задач, входящих в контрольную работу, определяется ведущим преподавателем, но не должно превышать десяти.

ж) Контрольная работа должна быть сдана до начала сессии.

1 Механические колебания 1.1 Основные формулы и соотношения Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями:

гдеA - амплитуда колебания;

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний:

а) одинаковой частоты и разной амплитуды получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда которого А и фазовая постоянная определяются соотношениями где A1, A2 - амплитуды складываемых колебаний;

б) разных частот, но одинаковой амплитуды, получится соотношение При сложении двух взаимно перпендикулярных (оси колебаний взаимно перпендикулярны) гармонических колебаний одинаковой частоты и разных амплитуд колеблющаяся точка описывает эллиптическую траекторию, которая задается уравнением лежащем в основе оптической поляризации.

При сложении большего числа n гармонических колебаний одной амплитуды а с последовательным сдвигом по фазе на :

получается гармоническое колебание Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

где k m 0 - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение x, равное единице.

Уравнение движения тела под действием квазиупругой силы имеет вид есть собственная частота колебаний системы.

Частота колебаний математического маятника длиной l равна Частота колебаний физического маятника где J - момент инерции маятника относительно оси качаний;

Полная энергия тела, совершающего свободные гармонические колебания, постоянна и равна При наличии силы сопротивления Fсопр, пропорциональной скорости ( Fсопр rv, где r- коэффициент сопротивления), уравнение движения имеет вид:

Решение уравнения (1.19) запишется в виде где x - смещение в затухающих колебаниях;

A0, 0 - начальные амплитуда и фаза, которые задаются начальными условиями.

Величины, выражаются через параметры системы r, k, m формулами:

Уменьшение амплитуды при затухающих колебаниях характеризуется логарифмическим декрементом затухания - логарифм отношения двух значений амплитуды, разделенных во времени одним периодом:

Время, необходимое для уменьшения амплитуды в e раз, называется временем релаксации, т.е.

откуда время релаксации Уменьшение энергии при затухающих колебаниях характеризуется добротностью, которая равна числу радиан, на которые изменится фаза колебаний при уменьшении энергии в e раз, т.е.

При наличии вынуждающей силы, меняющейся по гармоническому закону F F0 cos t, уравнение движения имеет вид:

Решение уравнения (1.26) запишется в виде где А - амплитуда вынужденных колебаний, равная и фаза колебания Резонансная циклическая частота равна 1.2 Методические указания а) Кинематика колебательного движения.

1.2.1 Уравнение гармонического колебания можно записать двумя способами, основанными на известной связи между синусом и косинусом:

Поэтому смещение, скорость и ускорение того же самого гармонического колебания, которое описывается формулами (1.1)-(1.3), всегда можно записать в виде уравнений:

Начальные фазы 0 или находятся из начальных условий.

1.2.2 Из системы уравнений (1.1)-(1.3) следует, что максимальному смещению при гармоническом колебании соответствует нулевая скорость и максимальное ускорение, направленное противоположно смещению (в сторону равновесия). Наоборот, в положении равновесия x 0 скорость максимальна, а ускорение равно нулю.

1.2.3 При сложении n n 2 одинаково направленных гармонических колебаний равных периодов амплитуду и начальную фазу можно находить по формулам (1.5) и (1.6), последовательно применяя их n 1 раз. Однако более эффективным в этом случае является метод векторных диаграмм (см.

задачу 3 и литературу /1/-/3/).

1.2.4 В задачах на определение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, следует исключать время t из уравнений складываемых колебаний, представленных в виде Если при этом 2, то результирующей траекторией движущейся точки будет эллипс.

б) Динамика колебательного движения.

1.2.5 Следует иметь в виду, что при решении задач на колебательное движение используются уже рассмотренные в первой части издания законы кинематики и динамики. Поэтому, как и в задачах по динамике материальной точки, необходимо в начале записать уравнение колебательного движения, т.е. второй закон Ньютона в векторной форме, а затем спроектировать его на оси (см. Сборник задач, часть 1, раздел “Динамика”).

1.2.6 В случае, если тело совершает колебания только под действием квазиупругой силы, то независимо от природы этой силы уравнение движения описывается выражением (1.14).

1.2.7 Циклическая частота затухающих колебаний, как это следует из соотношения (1.22), всегда меньше собственной частоты 0 свободных колебаний. Таким образом, сопротивление среды приводит к уменьшению частоты колебаний, но колебание все равно остается гармоническим.

1.2.8 Если, при решении задач, выполняются эквивалентные друг другу условия:

то сопротивлением среды можно пренебречь. В этом случае колебания совершаются с частотой собственных колебаний системы.

1.2.9 Многие задачи на колебательное движение удобней и проще решать, используя математический аппарат комплексных чисел.

1.3 Примеры решения задач Задача 1. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 500 Гц и амплитудой А = 0.020 см. Определить средние значения скоростей V и ускорения a точки на пути от ее крайнего положения до положения равновесия, а также найти максимальное значение этих величин: Vмакс и aмакс.

Решение. По определению средней скорости имеем где l - путь, пройденный за время t.

В данном случае l A, t T / 4, поскольку за время периода Т колеблющаяся точка проходит путь, равный 4 амплитудам. Подставив эти значения l и T в (1.30), получим По формуле (1.2), положив sin t 1, найдем максимальную скорость:

Согласно определению среднего ускорения, запишем:

где V V V0. В данном случае начальная скорость V0 0, конечная скорость V V макс А. Подставив значения V и t T / 4 в формулу (1.33), получим:

По формуле (1.3), приняв cos t 1, найдем максимальное значение ускорения:

После подстановки числовых значений в формулы (1.31), (1.32), (1.34), (1.35) и выполнения вычислений, получаем:

Замечание. Методом среднего арифметического для нахождения V и a здесь пользоваться нельзя, поскольку скорость и ускорение при гармоническом колебании, как это следует из формул (1.2) и (1.3), не являются линейными функциями времени.

момент времени она находилась в крайнем положении.

Решение. а) Путь l1 = A / 2, пройденный точкой в гармоническом колебании при движении от положения равновесия к крайнему положению, равен смещению x, определяемому уравнением (1.1), которое с учетом (1.4) запишем так:

Чтобы найти начальную фазу 0, воспользуемся начальными условиями задачи: x = 0 при t = 0. Подставив эти значения x и t в (1.36), получим. Считая, что точка движется в сторону положительных значений x, Примечание. Если бы мы записали гармоническое колебание в виде то после подстановки начальных условий, получили бы 0 0, т.е. сразу выражение (1.37). В этом плане обратите внимание на пункт 1.2.1 методических указаний.

Подставив в (1.37) значение x A / 2, получим искомое время, выраженное в долях периода:

б) Точка движется из крайнего положения, поэтому начальные условия будут теперь: x = A при t = 0. Подставив эти значения x и t в уравнение (1.36), получим 0 = 0. Следовательно, Чтобы избежать ошибок, учтем, что исходное уравнение (1.1) выражает смещение x точки при гармоническом колебании, отсчитанное от положения равновесия (точка 0 на рисунке 1.1), но не путь, пройденный точкой. Лишь в частном случае движения точки из положения равновесия к крайнему положению эти величины численно равны (этим мы воспользовались в первом случае). Если точка, двигаясь из крайнего положения, прошла путь l2 = A / 3, то как видно из рисунка 1.1, ее смещение равно Подставив это значение x в (1.38), получим cos 2 t. Отсюда, пользуясь таблицей косинусов, найдем искомое время в долях периода:

Задача 3. Материальная точка участвует в трех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:

Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, написать его уравнение. Все смещения даны в сантиметрах.

Решение. Так как точка участвует в трех гармонических колебаниях, то и результирующее колебание будет также гармоническим колебанием. Его амплитуду и начальную фазу можно найти по формулам (1.5) и (1.6). Однако они выведены для случая, когда складываемые колебания содержат одну и ту же тригонометрическую функцию: синус или косинус. Поэтому перепишем уравнение (1.41), выразив x через косинус:

Сравнив (1.39), (1.40), (1.42) с общим уравнением смещения гармонических колебаний (1.1), видим, что складываемые колебания характеризуются следующими величинами: амплитуды A1=A2=A3=3 см, циклические частоты 1 3 1 с ; начальные фазы 1 0; 2 ;

С помощью формул (1.5) и (1.6) можно последовательно сложить вначале любые два из трех заданных колебаний. Затем, еще раз применив эти формулы, найти амплитуду A и начальную фазу результирующего колебания.

К этому же результату придем быстрее, применив метод векторных диаграмм. Сущность его в том, что амплитуду A и начальную фазу результирующего колебания находят путем сложения векторов. Длина каждого вектора берется равной амплитуде соответствующего складываемого колебания, а угол, образованный вектором с осью x, - начальной фазе. Величины A и определяются длиной результирующего вектора и углом его наклона к оси x.

На рисунке 1.2 построена векторная диаграмма по данным задачи. Из чертежа сразу получаем = /3, A=2A, т.е. A=6 см. Теперь запишем уравнение результирующего колебания:

Задача 4. Известно, что сложное колебание, график которого представлен на рисунке 1.3, состоит из двух гармонических колебаний. Найти их частоту и амплитуды.

Решение. Приведенный график изображает гармоническое колебание с медленно периодически изменяющейся амплитудой. Такие колебания, называемые биеРисунок 1. ниями, получаются в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с мало различающимися частотами. При этом частота сложных колебаний оказывается равной полусумме частот слагаемых колебаний 1 и 2:

а частота изменения амплитуды, называется частотой биений, равна разности частот:

Из графика видно, что за одну секунду произошло девять полных колебаний, значит, = 9 Гц. За это же время свершились два полных цикла изменения амплитуды, следовательно, амп = 2 Гц. Подставив в (1.43) и (1.44) значения и и решив систему уравнений, найдем:

Амплитуда сложного колебания в каждый момент времени определяется формулой (1.5). При этом ее максимальное значение при 2 0 равно:

Но из графика видно, что Амакс= 2 см, Амин= 0. Подставив эти значения Амакс и Амин в (1.45) и (1.46), найдем:

Примечание. Общее уравнение биений легко получить, складывая два гармонических колебания x1 a1 cos 1t 1 и x2 a2 cos 2 t 2, считая, что а1 = а2 = а, 1,2. Тогда по правилам сложения косинусов получим:

где выражение 2a cos t дает значение амплитуды биений, медленно меняющейся с течением времени, т.к. по условию 2 1.

Задача 5. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями x 2 sin t ; y cos t (смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t = 0.5 с.

Решение. Так как циклические частоты складываемых колебаний совпадают, траекторией точки будет эллипс. Исключим время t из заданных уравнений, для чего возведем оба уравнения в квадрат:

Затем, т.к. sin 2 t 1 cos 2 t, т.е. sin 2 t 1 y 2, получим Приводя это уравнение к виду получим каноническое уравнение эллипса с полуосями а = 2 см, b = 1 см (рисунок 1.4). Чтобы определить направление движения по эллипсу, учтем, что в момент t = 0 имеем x = 0, y = –1 см и, следовательно, точка находится в положении А (рисунок 1.4). При возрастании t увеличивается смещение x, значит, точка движется по траектории против часовой стрелки.

Скорость V при ее движении по эллипсу равна векторной сумме скоростей Vx и V y в слагаемых колебаниях. Поскольку колебаРисунок 1. ния взаимно перпендикулярны, то Аналогично определяется искомое ускорение:

где ax и ay - ускорения в слагаемых колебаниях.

По формулам (1.2) и (1.3) имеем:

Подставив эти значения, соответственно, в формулы (1.47) и (1.48), найдем Взяв t = 0.5 с и выполнив вычисления, получим:

Задача 6. На концах тонкого стержня длиной l = 30 см и массой mст = 400 г укреплены грузики m1 = 200 г, m2 = 300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, проходящей через его середину (рисунок 1.5).

Определить период колебаний, совершаемый стержнем. Размерами грузиков пренебречь.

где J - момент инерции маятника;

d- расстояние от центра масс маятника до оси вращения.

Момент инерции физического маятника J состоит из моментов инерции грузиков J1 и J2 и момента инерции J3 стержня:

Так как размерами грузиков пренебрегаем (из условия задачи), то рассматриваем их как материальные точки, моменты инерций которых равны, соответственно, Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, определяется по формуле В задачах по общей физике формулы для расчета моментов инерции тел обычно заданы. Общий момент инерции физического маятника, согласно (1.51) Подставляя в (1.52) числовые данные из условия задачи, получим Масса физического маятника состоит из массы стержня и масс грузиков, т.е.

Для определения расстояния d центра масс от оси вращения запишем условие равновесия стержня с грузиками, находящегося в горизонтальном положении, т.е. сумма моментов сил относительно оси должна равняться нулю.

Сократив на g и решив уравнение относительно d, получим Подставив в (1.53) числовые данные, получим Теперь, подставляя в формулы (1.49) и (1.50), полученные числовые данные, найдем значение периода колебаний Задача 7. Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает ее на x0 = 5.0 см. Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их частоту.

Решение. Если бы тело совершало колебания только под действием упругой силы пружины Fупр = -kx, их частоту можно было определить из уравнения (1.14). В данном случае на тело действует еще сила тяжести mg. Чтобы выяснить ее влияние на колебания груза, рассмотрим силы, действующие на тело, в двух случаях:

а) тело неподвижно висит на пружине. Равнодействующая сил (они приложены вдоль одного направления), приложенных к телу, F1 = 0. Приняв направление вниз за положительное, запишем б) тело смещено из положения равновесия на x. Будем считать x величиной алгебраической. Пружина в этом случае растянулась на x0 x.

Равнодействующая сил, приложенных к телу, равна Раскрывая скобки и учитывая (1.54), получим Из (1.55) видно, что равнодействующая сил Fупр и mg пропорциональна растяжению пружины и противоположно ему направлена, если только это растяжение отсчитывать от положения равновесия висящего на пружине груза. Следовательно, и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания. Согласно формулам (1.54) и (1.55) k mg / x0, тогда частота колебаний по формуле (1.15) равна Подставляя в (1.56) числовые данные задачи, получим:

Задача 8. Ареометр массой 55 г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости = 1.27 г/см3. Если прибор незначительно сместить из положения его равновесия по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их частоту, если радиус цилиндрический трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен R = 0.30 см.

Решение. На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы:

сила тяжести mg и выталкивающая (архимедова) сила FA, равная весу жидкости, вытесненной телом:

где V- объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной части ареометра.

Как и в предыдущей задаче, выясним соотношение между действующими на тело силами в двух случаях:

а) ареометр находится в равновесии. Приложенные к нему силы уравновешивается, т.к. направлены вдоль одной прямой. Приняв направление вниз за положительное, запишем б) ареометр смещен из положения равновесия по вертикали на величину x (x- алгебраическая величина). Поскольку изменится объем погруженной части прибора, выталкивающая сила также изменится. К ареометру будет приложена равнодействующая, направленная по вертикали и равная R 2 x - изменение объема погруженной части прибора.

Подставив в (1.58) это значение V и раскрыв скобки, получим, с учетом (1.57) Из выражения (1.59) видно. Что на ареометр действует сила пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, ареометр, совершает гармонические колебания с частотой (1.15) Подставляя в (1.60) числовые данные задачи, получим Задача 9. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в некоторой среде, за время t = 2.00 мин уменьшилось в N = 100 раз. Определить коэффициент сопротивления, если масса маятника m = 0.100 кг.

Решение. Коэффициент сопротивления r связан с коэффициентом затухания и массой m тела соотношением (1.21) Чтобы найти величину, обратимся к уравнению затухающих колебаний (1.20). Стоящий в нем сомножитель выражает уменьшающуюся со временем амплитуду колебаний. Из (1.18) следует, что энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, обозначив начальную и конечную энергию колебаний через W0 и W, можно записать:

Теперь из (1.62) и (1.63) имеем e 10. Логарифмируя, находим Подставив найденное значение в (1.61), получим ответ:

Теперь, подставляя числовые данные задачи и учтя, что ln 10.0 = 2.3, получим:

Задача 10. Гиря массой 0.500 кг подвешена к пружине, жесткость которой k 32.0 Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период в двух случаях:

а) за время, в течение которого произошло n1 88 колебаний, и амплитуда уменьшилась в N1 = 2 раза;

б) за время двух колебаний ( n2 2 ) амплитуда уменьшилась в N раз.

Решение. Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний. Циклическая частота затухающих колебаний определяется по формуле (1.22), откуда период равен Собственную циклическую частоту найдем сразу по формуле (1.15), зная числовые значения m и k пружины:

Коэффициент затухания нельзя найти сразу из условия задачи. Согласно (1.23) он равен Чтобы найти величину, обратимся к уравнению затухающих колебаний (1.20). Уменьшающуюся со временем амплитуду с учетом (1.66) выразим так:

Пользуясь введенными в условии задачи обозначениями, можно записать A0 / A N, t / T n. Тогда из (1.67) следует e n N, откуда, логарифмируя, имеем Подставив числовые значения N и n для двух случаев, выполним вычисления:

Теперь перепишем формулу (1.64) с учетом (1.66):

Получилось квадратное уравнение относительно периода T. Решив его, найдем (отбрасывая отрицательный корень) период колебания:

Приступая к вычислениям периода, заметим, что в первом случае 4 2. Поэтому, сохраняя достаточно высокую точность, можно в формуле (1.68) пренебречь членом (смотри методические указания к теме, пункт 1.2.8) и тогда Задача 11. Чему равна амплитуда вынужденных колебаний при резонансе A рез, если при очень малой (в сравнении с собственной) частоте вынужденных колебаний она равна A0 0.10 см, а логарифмический декремент затухания 0.010 ?

Решение. Как видно из (1.27), амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некотором значении рез, определяемым соотношением (1.29), наступает явление резонанса: амплитуда достигает максимального значения A рез. Величину A рез выразим по (1.27), подставив из (1.29) вместо. После ряда упрощений найдем Из формулы (1.27) можно получить простое соотношение между величинами A0 и F0 / m0. Учитывая вытекающие из условия задачи соотношения:

С учетом сказанного (1.27) запишется в виде:

Подставляя данное выражение в формулу (1.69) и пренебрегая величиной по сравнению с 0, получим Выразим собственную частоту 0 и коэффициент затухания по формулам (1.4) и (1.23):

где T0 - период свободных колебаний при отсутствии сопротивления;

T - период затухающих колебаний, которые начались бы после найдем окончательный ответ:

1.4 Задачи для контрольной работы 1.4.1 Точка колеблется по гармоническому закону. Амплитуда колебас-1, начальная фаза 0 0. Опредения A = 5 см, круговая частота лить ускорение точки в момент, когда ее скорость v = 8 см/с.

1.4.2 Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки vмакс = 10 см/с, максимальное ускорение aмакс = 100 см/с2. Найти круговую частоту колебаний, их период T и амплитуду A. Написать уравнение колебаний.

1.4.3 Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки x1 = 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение точки стало x2 = 8 см. Найти амплитуду A колебаний.

1.4.4 Точка совершает гармонические колебания. В некоторой момент времени t смещение точки x = 5 см, ее скорость v = 20 см/с и ускорение 80 см/с2. Найти: амплитуду A, круговую частоту и фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.

1.4.5 Написать уравнение гармонического колебания, если максимальное ускорение точки 49.3 см/с2, период колебания 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

1.4.6 Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении точки от положения равновесия равном 2.4 см, скорость точки равна 3 см/с, а при смещении равном 2.8 см, скорость равна 2 см/с. Найти амплитуду и период колебания.

1.4.7 Материальная точка массой 10 г колеблется согласно уравнению x 5 sin( ) см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

1.4.8 Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, равна 3 10-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, равна 1.5 10-3 Н.

Написать уравнение колебаний этого тела, если период колебаний равен 2 с и начальная фаза 60.

1.4.9 Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 5sin2t см. В момент, когда возвращающая сила впервые достигла значения F = +5 мН, точка обладает потенциальной энергией П = 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу.

1.4.10 Период гармонических колебаний материальной точки T = 2 с, а ее полная механическая энергия E = 10-4 Дж. Определить амплитуду колебаний и наибольшее значение силы, действующей на материальную точку, если ее масса 10 г. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки.

1.4.11 Некоторая точка движется вдоль оси по закону а) проекцию скорости vx как функцию координаты x;

б) изобразить графики x(t) и vx(x).

1.4.12 Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x около положения равновесия x = 0. Частота колебаний = 4.0 с-1. В некоторый момент координата частицы x0 = 25.0 см и ее скорость vx0 = 100 см/с. Найти координату x и скорость vx частицы через t = 2.40 с после этого момента.

1.4.13 Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0.60 с и амплитудой А = 10.0 см. Найти среднюю скорость за время, в течение которого она проходит путь А/2:

а) из крайнего положения;

б) из положения равновесия.

1.4.14 В момент t = 0 частица начинает двигаться вдоль оси x так, что проекция ее скорости меняется по закону v x 35 cos t см/с, где t в секундах.

Найти путь, который пройдет частица за первые t = 2.80 с после начала движения.

1.4.15 Частица совершает гармонические колебания вдоль оси x по закону x a cos t. Считая вероятность Р нахождения частицы в интервале от –a до +a равной единице, найти зависимость от x плотности вероятности dP/dx, где dP- вероятность нахождения частицы в интервале от x до x+dx.

Изобразить график dP/dx в зависимости от x.

1.4.16 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как П x П 0 1 cos x, где П0 и - некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

1.4.17 Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты x как П x a x 2 b x, где a и b - некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.

1.4.18 Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т1 = Т2 = 1.5 с и равными амплитудами уравнение результирующего колебания.

1.4.19 Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний 1.4.20 Складываются два колебания одинакового направления и одинакового периода: x1 sin t см и x2 sin t 0.5 см. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

1.4.21 Материальная точка участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и выражаемых уравнениями x1 sin t см и x2 2 cos t см. Написать уравнение результирующего колебания.

1.4.22 Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами Т = 2 с и амплитудами А = 3 см. Начальные фазы колебаний, соответственно, 1 = 0; 2 = /3; 3 = 2 /3. Написать уравнение результирующего колебания.

1.4.23 Точка участвует одновременно в трех колебаниях, происходящих вдоль одной прямой и выраженных уравнениями x1 2 cos t см;

рующего колебания.

1.4.24 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x 2 sin t м и y 2 cos t м. Найти траекторию точки, скорость и ускорение.

1.4.25 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x cos t и y cos t 2. Найти траекторию точки. Построить траекторию и указать направление движения точки по ней.

1.4.26 Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями x 0.5 sin t см; y 2 cos t см. Найти уравнение траектории и указать направление движения. Определить скорость и ускорение в момент времени t = 0.1 с.

1.4.27 Движение точки задано уравнениями x 10 sin 2t см и y 5 sin 2t 1.57 см. Найти уравнение траектории, а также скорость и ускорение для момента времени t = 0.5 с.

1.4.28 Движение точки задается уравнениями x 2 cos t 2 см;

cos t см. Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже в масy штабе.

1.4.29 Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых x cos t и y 2 cos t 2.

Определить траекторию и построить ее с соблюдением масштаба.

1.4.30 Написать уравнение результирующего колебания при сложении x2 5.0 cos t 1.4.31 При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид x a cos 2.1t cos 50.0t см, где t в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений результирующего колебания.

1.4.32 Точка движется в плоскости xy по закону x c sin t, y b cos t, где c, b, - положительные постоянные. Найти: уравнение траектории точки y x и направление ее движения по этой траектории; ускорение a в зависимости от ее радиуса-вектора r относительно начала координат.

1.4.33 Написать уравнение результирующего колебания для точки, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой 1 2 5 Гц и с одинаковой начальной фазой 1 = 2 = 60. Амплитуды колебания соответственно равны А1 = 0.10 м, А2 = 0.05 м.

1.4.34 Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания =1.6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t T 4 равно 4.5 см. Написать уравнение затухающих колебаний и построить их график для двух периодов.

1.4.35 Построить график затухающего колебания для трех периодов, уравнение которого дано в виде x e 0.1t sin t 4.

1.4.36 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на 9.8 см. Оттягивая груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Чему должен быть равен коэффициент затухания, чтобы:

а) колебания прекратились через 10 с (считать, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной величины);

б) груз возвращался в положение равновесия апериодически;

в) логарифмический декремент затухания был равен 6?

1.4.37 Амплитуда А колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания.

1.4.38 Логарифмический декремент затухания = 0.004. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда А уменьшилась в два раза.

1.4.39 Гиря массой m = 400 г подвешена на пружине жесткостью k = 15Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания = 0.003. Сколько полных колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда А колебаний уменьшилась в два раза? За какое время это произойдет?

1.4.40 Тело массой m = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 40 с тело потеряло 80% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления.

1.4.41 Под действием веса электромотора консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h 1 мм. При каком числе оборотов n якоря мотора может возникнуть опасность резонанса?

1.4.42 Жесткость пружины рессоры вагона k = 490 кН/м. Масса вагона с грузом m = 64 т. Вагон имеет четыре рессоры. При какой скорости v вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина рельса l = 12.8 м?

1.4.43 По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде периодического ряда углублений, находящихся на расстоянии 30 см друг от друга. По этой дороге движется автомобиль, предположим ВАЗ-2106, имеющий массу примерно равную 1000 кг и две рессоры с жесткостью порядка 35 кН/м. С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы, попав в резонанс, кузов автомобиля начал сильно вибрировать?

1.4.44 Амплитуда скорости вынужденных колебаний при частотах вынуждающих силы, равных 1 = 200 Гц и 2 = 300 Гц равны между собой. Принимая, что амплитуда вынуждающей силы в обоих случаях одна и та же, найти частоту, соответствующую резонансу скорости.

1.4.45 Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы, равных 1 = 200 Гц и 2 = 300 Гц, равны между собой.

Найти частоту, соответствующую резонансу.

1.4.46 Амплитуда смещения вынужденных колебаний при очень малой частоте x0 = 2 мм, а при резонансе равна 16 мм. Предполагая, что логарифмический декремент затухания меньше единицы, определить его.

1.4.47 Стальная проволока протянута между полюсами электромагнита, по обмотке которой идет переменный ток, вследствие чего струна колеблется с частотой переменного тока. Когда частота собственных колебаний струны равна 100 Гц, мощность тока в обмотке достигает максимальной величины и на 50% превышает мощность при отсутствии струны. Когда частота собственных колебаний струны увеличивается до 101 Гц, то мощность тока в обмотке электромагнита только на 5% превышает мощность при отсутствии струны. В течение какого промежутка времени амплитуда колебаний струны уменьшится в 10 раз, если ток в обмотке электромагнита выключить.

(Указание: считать, что к системе, совершающей вынужденные колебания, подводится мощность, средняя за период величина которой равна P rmv макс ).

1.4.48 Маятник состоит из очень легкого стержня, на котором закреплены два одинаковых груза - один на расстоянии 30 см от оси, другой на расстоянии 15 см от оси. Каков период колебаний такого маятника? Грузы считать точечными.

1.4.49 Шар, радиус которого 5 см, подвешен на нити длиной 10 см. Определить погрешность, которую мы делаем, приняв его за математический маятник с длиной 15 см.

1.4.50 Определить период колебания массы m = 121 г ртути, находящейся в U-образной трубке (рисунок 1.6).

Площадь сечения канала трубки S = 0.3 см2.

1.4.51 Шарик катается по дну сферической чаши.

Предполагая, что эти колебания можно считать синусоидальными, определить их период.

1.4.52 Жидкость налита в изогнутую трубку (рисунок 1.7), колена которой составляют с горизонтом углы и, длина столба жидкости l. Если жидкость выведена из положения равновесия, то начинаются колебания уровня в трубке. Найти частоту малых колебаний. Вязкостью жидкости пренебречь.

и трение пренебрежимо малы.

1.4.54 Найти период малых вертикальных колебаний тема массы m в системе (рисунок 1.9). Жесткости пружин k1 и k2 равны, а их массы пренебрежимо малы.

1.4.55 Покажите, что отношение значений величины 2 для гармонических колебаний трех систем (рисунок 1.10) равно 1:2:4. Жесткости пружин равны, массы тел одинаковы.

1.4.56 Найти частоту малых колебаний тела массы m в системе (рисунок 1.9), если жесткости пружин k1 и k2 различны между собой.

1.4.57 Найти частоту малых колебаний тела массы m в системе (рисунок 1.10в), если жесткости пружин различны между собой.

струны длиной l (рисунок 1.11). Натяжение струны постоянно и равно T. Массой струны можно пренебречь.

Рисунок 1.11 (рисунок 1.12). Известны радиус блока, его момент инерции J относительно оси вращения, масса тела m и коэффициент жесткости пружины k. Массы нити и пружины 1.4.60 Цилиндрический брусок (рисунок 1.13) находится в вертикальном положении на границе раздела двух жидкостей и делится этой границей пополам. Найти период малых колебаний бруска в пренебреРисунок 1.13 жении силами трения.

Рисунок 1. 2 Электромагнитные колебания 2.1 Основные формулы и соотношения При свободных колебаниях в контуре, содержащем конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и сопротивление R, соединенных последовательно, уравнение напряжений имеет вид:

Решение этого уравнения показывает изменение заряда во времени на обкладках конденсатора и дается соотношением:

q0 e t - амплитуда затухающих колебаний;

q0, 0 - начальные амплитуда и фаза (определяются из начальных Величины, выражаются через параметры контура R, L, C формулами:

здесь есть циклическая частота свободных незатухающих, т.е. собственных, колебаний, которые устанавливаются в контуре при условии R 0.

Логарифмический декремент затухания где an, an+1 - амплитудные значения в двух последовательных колебаниях любой из величин q, I, U (U - напряжение на конденсаторе, I – сила тока в контуре);

Добротность колебательного контура Q связана с логарифмическим декрементом затухания формулой:

Если в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L и сопротивления R, действует периодическая ЭДС = 0cos t, то уравнение напряжений примет вид Решение уравнения (2.8) запишется так Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре равна:

соотношениями:

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока где Uд и Iд - действующие (эффективные) значения напряжения и тока:

Аналогично 2.2 Методические указания 2.2.1 Методы решения задач на электромагнитные колебания сходны с методами решения задач на механические колебания. В основе этого сходства лежит одинаковая структура уравнений, описывающих оба вида колебаний. Так, например, формулы (2.1) - (2.5) этого раздела, характеризующие свободные электрические колебания в контуре, аналогичны формулам (1.19) - (1.23) для свободных механических колебаний. При этом заряд q соответствует смещению x, омическое сопротивление R - коэффициенту сопротивления среды r, индуктивность L – массе m, емкость С – величине, обратной коэффициенту квазиупругой силы k.

Сходство уравнений приводит к сходству при решении задач, основанных на этих уравнениях. Поэтому при решении задач этого раздела всегда можно найти соответствующие аналогии в задачах на динамику колебательного движения.

2.2.2 Если в формуле (2.10), выражающей связь между амплитудой тока и Э.Д.С. при вынужденных колебаниях в контуре, заменить амплитудные значения I0 и 0 на соответствующие действующие значения по формулам (2.12) и (2.13), то получим закон Ома для участка цепи переменного тока:

Оно состоит из омического сопротивления R, индуктивного сопротивления L и емкостного сопротивления 1 C. Обратите внимание: отсутствие в цепи переменного тока конденсатора, означает отсутствие емкостного сопротивления, т.е. 1 C 0, следовательно, емкость цепи C =.

Указание. Закон Ома справедлив в цепях переменного тока только для квазистационарных токов. Условие квазистационарных токов справедливо, если время распространения тока в цепи много меньше его периода колебаl ния, т.е. T, где l - длина цепи, с- скорость света.

2.2.3 Законы последовательного и параллельного соединений в цепях постоянного тока не годятся для переменного тока, если его характеризовать не мгновенными значениями величин I, U,, а действующими Iд, Uд, д (или амплитудными I0, U0, 0). Так при последовательном соединении сумма напряжений на отдельных участках замкнутой цепи оказывается не равной электродвижущей силе, а при параллельном соединении сумма токов в ветвях не равна току в неразветвленной части цепи. Величины I, U, определяющие электрические процессы во всей цепи и на ее отдельных участках, совершают гармонические колебания, находясь в различных фазах. Поэтому напряжения (и токи) складываются по правилу сложения векторных величин с учетом угла (разности фаз) между ними точно так же, как складываются, например, амплитуды смешения при механических колебаниях равных периодов (см. формулу (1.5)).

2.3 Примеры решения задач Задача 1. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С 5.0 мкф и катушки индуктивностью L 0.200 Г. Определить максимальную силу тока I 0 в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U 0 90 В. Сопротивлением контура пренебречь.

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи. Первый из них основан на исследовании закона свободных колебаний заряда в контуре (2.2);

второй - на законе сохранения энергии.

Первый способ. Если в колебательном контуре сопротивление пренебрежимо мало (а в условии задачи о величине ничего не говорится), то в уравнениях (2.1) и (2.2) коэффициент затухания можно считать равным нулю. Тогда, согласно (2.4), частота колебаний в таком контуре равна частоте собственных колебаний, т.е. 0, получим выражение незатухающих свободных колебаний. Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (2.14) по времени, получим для силы тока в контуре уравнение Величина I 0 0 q0 является амплитудным, т.е. максимальным, значением силы тока в контуре. Подставив в выражение I0 величину 0 из формулы (2.5) и учитывая соотношение q0 CU 0, определим искомую величину:

Второй способ. В процессе незатухающих электромагнитных колебаний (по условию задачи сопротивлением в контуре можно пренебречь) полная энергия контура, равна сумме энергий электрического поля конденсатора CU 2 / 2 и магнитного поля катушки LI 2 / 2, остается постоянной. Поскольку энергия электрического поля конденсатора ( CU 2 / 2 q 2 / 2C ) пропорциональна квадрату заряда, а энергия магнитного поля пропорциональна квадрату тока, то максимумы энергий электрического и магнитных полей равны, т.е.

так как заряд q и ток I в контуре сдвинуты по фазе на /2.

Из (2.16) следует, что Подставив числовые значения величин из условия задачи и произведя вычисления, получим Задача 2. Добротность колебательного контура Q = 5.0. Определить на сколько процентов отличается частота свободных колебаний контура от его собственной частоты 0.

Решение. Во всяком реальном колебательном контуре, обладающим сопротивлением R, частота свободных колебаний меньше частоты собственных колебаний контура (т.е. частоты колебаний при R 0). В задаче требуется найти величину Добротность контура выразим через величины и используя формулы (2.4), (2.6), (2.7) и соотношение T 2 / :

Определив отсюда и подставив в (2.17), найдем Действительно, разделив числитель и знаменатель в (2.19) на 2Q, получим Подставляя значение Q в (2.20) найдем Примечание. Второе упрощение в (2.20) проведено на основании приближенного равенства 1 /(1 )1, при 1. Оба использованных приближенных равенства получаются при разложении исходного выражения в ряд.

Задача 3. В цепи, из последовательно соединенных резистора сопротивлением R = 20 Ом, катушки индуктивностью L = 1.0 мГ и конденсатора емкостью C = 0.10 мкФ, действует синусоидальная э.д.с. (рисунок 2.1). Определить частоту э.д.с., при которой в цепи наступит резонанс. Найти также действующие значения силы тока I и напряжений UR, Uc, UL на всех элементах цепи при резонансе, если при этом действующее значение э.д.с. = 30 В.

Рисунок 2. контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом амплитудные значения тока I0 и э.д.с. 0 связаны соотношением (2.10). Из формул (2.13) видно, что между действующими значениями тока Iд и э.д.с. д существует то же соотношение, что и между величинами Iд и д. Поэтому Очевидно, максимальному току при резонансе соответствует такое значение, при котором выражение, стоящее в скобках в формуле (2.21), обратится в нуль. Отсюда определим резонансную частоту:

При этом сила тока равна:

Зная силу тока Iрез, найдем действующие значения напряжения на каждом из элементов контура R, L, C, применив закон Ома для каждого из этих участков:

Равенство UC = UL следует из равенства емкостного и индуктивного сопротивлений и является характерной особенностью последовательного резонанса.

Примечание. При последовательном резонансе напряжение на реактивных сопротивлениях RC и RL всегда намного превышают напряжение на активном сопротивлении R. Поскольку эти напряжения UL и UC, сдвинуты по фазе на, то общее сопротивление цепи становится чисто активным.

Задача 4. Определить действующее значение силы тока на всех участках цепи, изображенной на рисунке 2.2, если R = 1.0 Ом, L = 1.00 мГ, С = 0.110 мкф, Решение. Эта цепь отличается от предыдущей Рисунок 2. (рисунок 2.1) способом включения источника переменной Э.Д.С. (внутренним сопротивлением которого мы пренебрегаем).

Если раньше все элементы цепи были соединены последовательно, то в данном случае имеем разветвленную цепь переменного тока: участок 1-2 является параллельным соединением двух ветвей, одна из которых содержит конденсатор С, другая – элементы R, L, соединенные последовательно между собой. Каждая из ветвей вместе с источником Э.Д.С. образует колебательный (неполный) контур. Поэтому силу тока в каждой ветви снова найдем по формуле (2.9), заменив амплитудные величины I0, 0 их действующими значениями I,. Тогда для силы тока в цепи 1C2, где R = 0, L = 0, получим:

В ветви 1RL2, где отсутствует емкостное сопротивление 1 C, сила тока с учетом соотношения R 2 L2 Если бы переменные токи в обеих ветвях имели одинаковые фазы, то сила тока в неразветвленной части цепи была бы равна сумме токов IC и IRL.

Однако эти токи имеют различные фазы: между каждым из них и Э.Д.С.

существует сдвиг фаз, определяемый формулой (2.11). Применим эту формулу для каждой ветви. Для ветви 1С2 R = 0, L = 0. Следовательно, В формуле (2.9) величина стоит со знаком “-”; это означает, что ток IC опережает по фазе Э.Д.С. на /2, а ток IRL отстает по фазе от Э.Д.С. на /2. На рисунке 2.3 изображена векторная диаграмма, построенная в соответствии с полученными фазовыми соотношениями. Сложив векторы, изображающие токи IC и IRL, найдем вектор, изображающий ток I в неразветвленной части цепи. Таким образом,

I IC I RL

Такой же результат можно получить с помощью формулы (1.5) предыдущей Замечание. а) В данной задаче величины R, L, были связаны RL.

Именно поэтому переменные токи в параллельных ветвях оказались в противофазе. В противном случае вектор IRL был бы направлен под углом к, как показано пунктиром на диаграмме (рисунок 2.3).

б) При условии что RL, если бы оказалось L=1/ C, то как видно из формул (2.23), (2.24), величины IC, IRL приблизительно одинаковы и, согласно (2.25) I I C I RL 0. Точнее:

при R 0, I 0 и, следовательно, полное сопротивление переменному току всего участка цепи 1-2 R12. Это резонанс Рисунок 2. токов (в отличие от резонанса напряжений, рассмотренного в задаче 3).

в) При резонансе токов токи в ветвях достигают больших величин, в сравнении с током в цепи. А поскольку сопротивление контура стремится к бесконечности, то параллельный резонанс используется как фильтр на резонансной частоте.

2.4 Задачи для контрольной работы 2.4.1 Конденсатор емкостью в 20 мкФ и активное сопротивление R = 150 Ом, включены последовательно в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Какую часть напряжения, приложенного к этой цепи, составляет падение напряжения: а) на конденсаторе; б) на сопротивлении.

2.4.2 Конденсатор и электрическая лампочка соединены последовательно и включены в цепь переменного тока напряжением 440 В и частотой 50 Гц. Какую емкость должен иметь конденсатор для того, чтобы через лампочку протекал ток 0.5 А и падение напряжения на лампочке было равно 110 В?

2.4.3 Катушка с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока, напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти индуктивность катушки, если известно, что катушка поглощает мощность 400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен 60.

2.4.4 Рассчитайте формулы для полного сопротивления Z и сдвига фаз tg в цепи переменного тока между напряжением и током если: а) сопротивление R и емкость С включены параллельно; б) сопротивление R и индуктивность L включены параллельно.

2.4.5 Конденсатор емкостью в 1 мкФ и реостат с активным сопротивлением в 3000 Ом включены в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Индуктивность реостата ничтожно мала. Найти полное сопротивление цепи, если конденсатор и реостат включены: а) последовательно; б) параллельно.

2.4.6 В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно емкость 35.4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и индуктивность 0.7 Гн. Найти силу тока в цепи и падение напряжения на каждом элементе цепи.

2.4.7 Индуктивность L 2.26 10 2 Гн и активное сопротивление R включены параллельно в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Найти величину R, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током равен 60.

2.4.8 Найти полное сопротивление цепи Z и сдвиг по фазе tg в цепи переменного тока, если: а) R и C; б) R и L; в) R, C и L- включены последовательно.

2.4.9 Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти значения R и L, если известно, что мощность, поглощаемая в этой цепи, равна 404 Вт и сдвиг по фазе между напряжением и током равен 2.4.10 В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно емкость C, активное сопротивление R и индуктивность L. Найти падение напряжения UR на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе UC=2UR и падение напряжения на индуктивности UL=3UR.

переменное напряжение с действующим значением L = 1.00 мГн, активное сопротивление R = 100 мОм. При каком значении частоты ток через сечение 1 будет минимальным? Чему равны при этой частоте действующие значения 2.4.12 Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L = 200 мкГн и конденсатора емкостью С = 80 мФ. Значение емкости в результате изменения температуры может отклоняться от указанного на 5%. Вычислить Рисунок 2.4 в каких пределах может изменяться частота, на которую резонирует контур.

2.4.13 Активное сопротивление колебательного контура R = 0.33 Ом.

Какую мощность N потребляет контур при поддержании в нем незатухающих колебаний с амплитудой силы тока I0 = 30 мА?

2.4.14 Параметры колебательного контура имеют значения:

С = 1.00 мФ, L = 6.00 мкГн, R = 0.50 Ом. Какую мощность N нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе U0 = 10.0 B?

2.4.15 Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки самоиндукции L = 1 Гн. Чему равно омическое сопротивление контура, если известно, что амплитуда собственных колебаний в нем за 0.05 с уменьшается в l = 2.7 раза?

2.4.16 Что характеризуют собой коэффициент затухания контура и логарифмический декремент контура?

2.4.17 Через сколько периодов колебаний амплитуда их уменьшится в l = 2.7 раза в колебательном контуре, у которого L = 1 Гн, С = 0.5 мкФ и R = 30 Ом?

2.4.18 Колебательный контур имеет следующие параметры:

L = 40 мкГн, С = 270 пФ и R = 8 Ом. Определить время за которое амплитуда собственных колебаний уменьшится в l2 раз.

2.4.19 Получите уравнение (2.1) затухающих свободных колебаний, используя закон сохранения энергии в колебательном контуре.

2.4.20 Контур состоит из последовательно включенных конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L, ключа и сопротивления, равного критическому для данного контура. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения U0 и в момент t = 0 ключ замкнули. Найти ток I в контуре как функцию времени t. Чему равно Iмакс?

2.4.21 Катушку с активным сопротивлением R и индуктивностью L подключили в момент t = 0 к источнику переменного напряжения U U 0 cos t. Найти ток в катушке как функцию времени t.

2.4.22 Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью С и сопротивления R, подключили к переменному напряжению U U 0 cos t в момент t = 0. Найти ток в цепи как функцию времени.

2.4.23 Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора и активного сопротивления R = 110 Ом, подсоединили к переменному напряжению с амплитудным значениям U0 = 110 В. При этом амплитуда установившегося тока в цепи I0 = 0.50 А. Найти разность фаз между током и подаваемым напряжением.

2.4.24 К сети с действующим напряжением U = 100 В подключили катушку, индуктивное сопротивление которой XL = 30 Ом и импеданс Z = 50 Ом. Найти разность фаз между током и напряжением, а также тепловую мощность выделяемую на катушке.

2.4.25 Катушка с индуктивностью L = 0.70 Гн и активным сопротивлением r = 20 Ом соединена последовательно с безиндукционным сопротивлением R, и между концами этой цепи приложено переменное напряжение с действующим значением U = 220 В и частотой = 314 Гц. При каком значении сопротивления R в цепи будет выделяться максимальная тепловая мощность? Чему она равна?

2.4.26 Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора и катушки, подключена к сети. Изменив емкость конденсатора, добились увеличения тепловой мощности в катушке в n = 1.7 раза. На сколько процентов изменилось при этом значение cos ?

2.4.27 Цепь, состоящую из последовательно соединенных безиндукционного сопротивления R = 0.16 кОм и катушки с активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением U = 220 В. Найти тепловую мощность, выделяемую на катушке, если действующие напряжения на сопротивлении R и катушке равны соответственно U1 = 80 В и U2 = 180 В.

2.4.28 Катушка и безиндукционное сопротивление R = 25 Ом подключены параллельно к сети переменного напряжения. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если из сети потребляется ток I = 0 90 А, а через катушку и сопротивление R текут токи, соответственно равные I1 = 0.50 А и I2 = 0.60 А.

2.4.29 Изобразить примерные векторные диаграммы токов в электрических контурах, показанных на рисунке 2.5. Предполагается, что подаваемое между точками А и В напряжение синусоидальное и параметры каждого контура подобраны так, что суммарный ток I0 через контур отстает по фазе от внешнего напряжения на угол.

3 Электромагнитные волны. Излучение 3.1 Основные формулы и соотношения При отсутствии зарядов и токов электромагнитное поле называется свободным. Уравнение Максвелла для свободного электромагнитного поля имеет вид:

Фазовая скорость электромагнитной волны равна:

где с - скорость света в вакууме.

В бегущей электромагнитной волне Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна:

Плотность потока электромагнитной энергии - вектор Пойтинга:

В области пространства, где отсутствуют заряды и токи, теорема Гаусса для электромагнитного поля имеет вид:

Плотность потока энергии излучения диполя в волновой зоне:

R - расстояние от диполя до точки наблюдения;

Мощность излучения диполя с электрическим моментом p t и зарядом q, движущегося с ускорением a :

Если в антенне течет ток I I 0 cos t, равномерно распределенный по длине антенны l, то решение уравнений Максвелла в вакууме для полей E и H в волновой зоне дается выражениями где - длина волны, излучаемой антенной;

3.2 Методические указания 3.2.1 Любой электромагнитный волновой процесс может быть представлен в виде суперпозиции плоских монохроматических электромагнитных волн причем в электромагнитной волне обязательно присутствуют оба поля электрическое E и магнитное B.

3.2.2 Связь между векторами E и B, как следует из уравнений Максвелла и уравнений (3.12), задается соотношениями:

где n - единичный вектор, направленный вдоль k, т.е. вдоль распространения волны, и равный В частности, из выражения (3.13) следует, что E и B перпендикулярны не только n (поперечность), но и друг другу, т.е. BE 0.

3.2.3 Выражение (3.7) фактически определяют закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Из него видно, что при отсутствии зарядов, убыль энергии поля в объеме V в единицу времени равна интегральному потоку энергии через поверхность из этого объема.

3.2.4 Из выражения (3.3) следует, что в вакууме отношение EH 0 0 имеет размерность сопротивления. Следовательно, отношение E H Z 0 представляет собой сопротивление, которое обычно называют внутренним сопротивлением вакуума (или характеристическим). Его численное значение с учетом (3.2) равно 3.2.5 При решении задач, связанных с излучением диполя, вибратора, антенны, обычно рассматривается излучение в волновой зоне, т.е. в области, которая находится на расстояниях значительно превышающих длину волны.

В задачах принято считать, что волна распространяется в однородной и изотропной среде, ее волновой фронт в волновой зоне сферический.

3.2.6 Под элементарным диполем понимается диполь, длина которого мала по сравнению с длиной волны. Излучение элементарного диполя рассматривается в целом ряде задач. Это излучение электронов в атоме, где вращательное движение электронов вокруг ядра, можно разложить на два прямолинейных гармонических колебания; а электрон, совершающий гармонические колебания возле неподвижного положительного ядра, представляет собой элементарный диполь, т.к. в этом случае длина волны, излучаемого, например, видимого света, намного больше размеров атома.

Поле волны от незаземленной антенны в волновой зоне практически неотличимо от поля, излучаемого элементарным диполем. Антенны радиостанций совместно с поверхностью Земли (заземленная антенна), на которой индуцируются заряды противоположного знака, во многих случаях также можно рассматривать как элементарные диполи.

3.2.7 Соответствие между диполем и осциллирующим зарядом следующее:

Подставляя это значение для I 0 в (3.22) задачи 2 (смотри примеры решения задач) и, учтя при этом, что c 2 1 0 0 и p0 4 2 p 2, то получим формулу (3.9).

3.2.8 Из формулы (3.9) следует очень важный вывод классической электродинамики, что заряженная частица, движущаяся с ускорением, всегда излучает. Этот вывод противоречит полной устойчивости атома по классической теории Бора, в котором электроны движущиеся по круговым орбитам и, следовательно, обладают ускорением. Значит, они должны были бы излучать энергию, что вызывало бы замедление их движения и последующее падение на ядро. Объяснение устойчивости атома дала квантовая механика, дополняя электромагнитные явления новыми законами.

3.2.9 Если длина волны значительно превышает размеры l антенны, то эффект, производимый различными частями антенны, будут находиться в различных фазах и в следствие деструктивной интерференции могут компенсироваться уже на конечном расстоянии от антенны.

3.3 Примеры решения задач Задача 1. Определить энергию, которую переносит за время t = 1.00 мин плоская синусоидальная электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S = 10.0 см2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля волны E0 = 1.00 мВ/м. Период T t.

Решение. Энергия, переносимая электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению волны, определяется вектором Пойтинга. Учитывая, что в электромагнитной волне E H (см. пункт 3.2.2 методических указаний к теме), получим для модуля вектора П, согласно (3.6), Поскольку обе величины Е, H, характеризующие электромагнитную волну, в каждой ее точке меняются во времени по синусоидальному закону, находясь в одинаковых фазах, соотношение (3.16) можно записать так:

Отсюда энергия dW, переносимая волной через площадку S за время t, с учетом формул (3.6), (3.7) запишется так:

По условию задачи 1, тогда, используя выражение (3.3), связывающее величины E и H между собой, выражение (3.18) можно переписать так:

Отсюда полная энергия, переносимая волной за время t, Так как частота неизвестна, воспользуемся данным в условии неравенством T t, для оценки величины дроби sin 2 t 4. Учитывая соотношение, имеем:

(3.19) можно пренебречь. Тогда окончательно получим:

Подставив числовые данные задачи, выраженные в единицах СИ, получим Задача 2. Рассчитайте энергию, излучаемую дипольной антенной за 1 с.

Считать, что диполь, совершающий колебания, эквивалентен антенне, по которой течет ток: I I 0 cos t, равномерно распределенный по всей длине антенны (рисунок 3.1).

Решение. Исходя из формул (3.10) и (3.11), а также пункта 3.2.5 методических указаний к теме, запишем вектор Пойтинга:

полная энергия, излучаемая диполем за 1 с, согласно (3.7), равна где dS - элемент сферической поверхности;

d - телесный угол, под которым видна поверхность dS.

Формально эту излучаемую энергию можно рассматривать как энергию, затраченную на преодоление некоторого сопротивления Rизл, которое характеризует антенну и поэтому называется сопротивлением излучения антенны. Величина Rизл определяется из равенства (3.22) откуда для дипольной антенны:

3.4 Задачи для контрольной работы 3.4.1 Электромагнитная волна с частотой 3.0 МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью 4.0.

Найти приращение ее длины волны.

3.4.2 Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщиной l из немагнитного материала, диэлектрическая проницаемость которого экспоненциально падает от значения 1 на передней поверхности до 2 - на задней. Найти время распространения фазы данной волны через этот слой.

3.4.3 Плоская электромагнитная волна с частотой 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проницаемостью 10 мСм/м и диэлектрической проницаемостью 9. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.

3.4.4 Плоская электромагнитная волна E E0 cos t k r распространяется в вакууме. Считая векторы E0 и k известными, найти вектор H как функцию времени t в точке с радиус - вектором r 0.

3.4.5 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна E E0 cos t k r, где E0 E0 e у, k ke x, e x, e y - орты осей x, y. Найти вектор H в точке с радиус - вектором r xe x в момент: а) t=0; б) t=t0. Рассмотреть случай, когда E0 160 В/м, k = 0.51 м-1, x = 7.7 м, t0 = 33 нс.

E E0 cos t kx, распространяющаяся в вакууме, наводит Э.Д.С. индукции инд в квадратном контуре со стороной l. Расположение контура показано на рисунке 3.2. Найти инд(t), если E0 50 мВ/м, частота 3.4.7 Исходя из уравнений Максвелла, покажите, Рисунок 3. что для плоской электромагнитной волны (рисунок 3.3), распространяющейся в вакууме, 3.4.8 В вакууме в направлении оси x установилась стоячая электромагнитная волна, электрическая составляющая которой E E0 cos kx cos t. Найти мгноРисунок 3. венную составляющую волны B x, t. Изобразить примерную картину распределения электрической и магнитной составляющих волны E и B в моменты t = 0 и t = T/4, где Т - период колебаний.

3.4.9 Найти средний вектор Пойтинга П у плоской электромагнитной волны E E0 cos t k r, если волна распространяется в вакууме.

3.4.10 Плоская гармоническая линейно поляризованная волна распространяется волна в вакууме. Амплитуда напряженности электрической составляющей волны E0 50 мВ/м, частота 100 МГц. Найти:

а) действующее значение плотности потока смещения;

б) среднюю за период колебания плотность потока энергии.

3.4.11 В вакууме вдоль оси x установилась стоячая электромагнитная волна E E0 cos kx cos t. Найти х - проекцию вектора Пойтинга П x x, t и ее среднее за период колебания значение.

3.4.12 В вакууме распространяется вдоль оси x плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны H 0 0.05 А/м.

Определить:

а) амплитуду напряженности электрического поля волны E0;

б) среднюю по времени плотность энергии волны w ;

в) интенсивность волны I.

3.4.13 В некоторой среде распространяется электромагнитная волна частотой. Диэлектрическая проницаемость среды при частоте равна 2.00, магнитная проницаемость практически равна единице. Найти вектор Пойтинга П в точке, в которой электрический вектор изменяется по закону 10.0 cos t e0. Вектор колеблется вдоль оси x.

3.4.14 Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях пренебречь.

3.4.15 По прямому проводнику круглого сечения течет ток I. Найти поток вектора Пойтинга через боковую поверхность данного провода, имеющего сопротивление R.

3.4.16 Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, достаточно медленно увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойтинга через его боковую поверхность.

3.4.17 Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов U, образуют пучок круглого сечения с током I. Найти модуль и направление вектора Пойтинга вне пучка на расстоянии R от его оси.

3.4.18 В среде с 4.00 и 1.00 распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда электрического вектора волны Е0 = 200 В/м. На пути волны располагается поглощающая поверхность, имеющая форму полусферы радиуса R = 300 мм, обращенная своей вершиной в сторону распространения волны. Какую энергию W поглощает поверхность за время t = 1.0 мин? Считать, что время t T - периода волны.

3.4.19 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с порядка 1010 Гц. Амплитуда электрического вектора волны частотой Еm = 0.775 В/м. На пути волны располагается поглощающая волну поверхность, имеющая форму полусферы радиуса R = 0.632 м, обращенная своей вершиной в сторону распространения волны. Какую энергию W поглощает эта поверхность за время t = 10.0 c?

3.4.20 Оцените порядок величины напряжения, которое появится в антенне радиоприемника, находящегося на расстоянии R = 100 км от радиостанции, излучающей мощностью 100 кВт.

3.4.21 Излучение антенны полевой радиостанции имеет мощность 50 Вт.

Какова средняя напряженность электрического поля при приеме на наземную антенну на расстоянии 80 км. Оцените величину напряжения на приемной антенне.

Указание. Считать, что интенсивность излучения по направлению перпендикулярному к антенне, в три раза больше той, которая имела бы место при равномерном излучении по всем направлениям.

3.4.22 Три наблюдателя находятся на одной прямой на расстоянии 10 км друг от друга и измеряют среднюю напряженность электрического поля в электромагнитных волнах, излучаемых некоторым источником. Где находится источник волн, если напряженность поля у крайних наблюдателей одинакова, а у среднего на 10% больше.

3.4.23 Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем, распространяется в вакууме. В волновой зоне на луче, проведенным из диполя перпендикулярно его оси, в точке, находящейся на расстоянии R = 1.00 м от диполя, амплитуда напряженности электрического поля Е0 = 1.00 мВ/м.

Вычислить мощность излучаемую диполем, т.е. энергию, излучаемую диполем в единицу времени по всем направлениям.

3.4.24 Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего гармонические колебания с амплитудой а = 1.10 нм и частотой 3.4.25 Найти мощность излучения нерелятивистской частицы с зарядом q и массой m, движущейся по круговой орбите радиуса R в поле неподвижного точечного заряда q1.

3.4.26 Электромагнитная волна, излучаемая элементарным диполем, распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии R от него, среднее значение плотности потока энергии равно П0. Найти среднюю мощность излучения диполя.

3.4.27 Средняя мощность, излучаемая элементарным диполем, равна P0.

Найти среднюю объемную плотность энергии электромагнитного поля в вакууме в волновой зоне на луче перпендикулярном к оси диполя, на расстоянии R от него.

3.4.28 Свободный электрон находится в поле плоской электромагнитной волны. Пренебрегая влиянием на его движение магнитной составляющей волны, найти отношение средней энергии, излучаемой осциллирующим электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей волны.

3.4.29 Плоская электромагнитная волна с частотой падает на упруго связанный электрон, собственная частота колебаний которого 0. Пренебрегая затуханием колебания, найти отношение средней энергии, рассеянной электроном в единицу времени, к среднему значению плотности потока энергии падающей волны.

3.4.30 Найти сопротивление излучения Rизл симметричного полуволнового вибратора (антенны).

Указание: При расчетах учесть, что сила тока в разных участках вибратора различна, в отличие от задачи рассмотренной в примерах к теме. Поэтому нужно разбить вибратор на отдельные малые элементы и подсчитать напряженности E и H, суммируя поля от отдельных элементов тока. Приближенно можно считать, что поля, создаваемые отдельными элементами тока, приходят в данную точку пространства в одинаковой фазе. Сопротивлением излучения вибратора, в данном случае, называется отношение полной мощности, излучаемой вибратором, к квадрату эффективного значения силы тока в пучности вибратора.

3.4.31 С учетом указаний к задаче 3.4.30, найти сопротивление излучения Rизл четвертьволнового заземленного вибратора.

3.4.32 В двух одинаковых полуволновых вибраторах, расположенных параллельно друг другу на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны, возбуждаются токи одной и той же амплитуды и фазы. Каково сопротивление излучения каждого из вибраторов Rизл, если сопротивление излучения уединенного полуволнового вибратора R = 72 Ом.

3.4.33 Найти эффективную напряженность электрического поля Еэфф, создаваемого полуволновым вибратором в точке, расположенной в экваториальной плоскости вибратора на расстоянии r = 10 км от него, если известно, что полная мощность, излучаемая вибратором, равна 10 Вт.

Указание: Воспользоваться указаниями к задаче 3.4.30 и формулами 3. и 3.11.

3.4.34 Какую наибольшую мощность P может отдать приемнику присоединенный к нему полуволновой вибратор длиной l = 3 м, если этот вибратор расположен параллельно направлению электрического вектора приходящей электромагнитной волны, и эффективное значение напряженности электрического поля этой волны Eэфф = 2 мкВ/м.

Указание. Нужно найти мощность, развиваемую электрическим полем приходящей волны в каждом элементе вибратора. Затем подсчитать мощность, развиваемую во всем вибраторе, и найти ту часть мощности, которая, при оптимальных условиях передачи мощности, может быть отдана приемнику.

4 Интерференция волн 4.1 Основные формулы и соотношения Оптическая длина пути, проходимая электромагнитной волной в однородной среде с показателем преломления n, равна где s – геометрическая длина пути.

Оптическая разность хода двух световых лучей Результат интерференции волн от двух когерентных источников при совпадении начальных фаз колебаний зависит от величины Четному m (m = 2к, где к = 0,1,2,3,...) соответствует интерференционный максимум; нечетному m (m = 2к + 1) – интерференционный минимум.

Расстояние между интерференционными максимумами (или минимумами) на экране от двух источников когерентных волн равно:

где l – расстояние от экрана до источников;

d – расстояние между источниками, причем d l;

Оптическая разность хода световых волн, отраженных от двух поверхностей тонкой пластинки, по обе стороны которой находятся одинаковые среды, равна где h – толщина пластинки;

n – показатель преломления (абсолютный) вещества пластинки;

Кольца Ньютона наблюдаются при интерференции волн, отраженных от поверхностей воздушной прослойки, которая образована между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой поверхностью линзы радиуса R. Радиусы колец Ньютона в этом случае равны причем кольца светлые, если m – нечетное (m = 1,3,5…), и темные, если m – четное (m = 2,4,6...) Значению m = 0 соответствует середина центрального темного пятна.

Времення и пространственная когерентности характеризуются, соответственно, длиной и радиусом когерентности:

где – угловой размер источника.

Для «просветления» оптики стекло с показателем преломления n0 покрывают диэлектриком с показателем преломления 4.2 Методические указания 4.2.1 Явление интерференции, как это следует из определения, связано со сложением волн. Поэтому, прежде чем приступать к решению задач, советуем посмотреть вопросы раздела «Колебания и волны» настоящего сборника.

4.2.2 Интерференция возможна лишь в случае сложения когерентных волн. Так как два любых независимых источника света не являются когерентными, то интерференция света (в данном случае речь идет об электромагнитных волнах оптического диапазона) возникает лишь в тех случаях, когда световая волна, испускаемая одним источником, разделяется оптической системой на две части. Соответствующие две волны, пройдя различные оптические пути, встречаются на экране (или на каком-нибудь приемном устройстве, например, сетчатке глаза), создавая интерференционную картину.

Последнюю часто удается объяснить, заменив данную систему другой, эквивалентной, считая при этом, что имеется не один, а два когерентных источника.

4.2.3 Задачи на интерференцию света делятся в основном на три группы. Две из них – это задачи связанные с интерференцией волн от двух когерентных источников и интерференцией в тонких пластинках (пленках). К первой группе задач относятся случаи интерференции, полученной с помощью зеркал Френеля, зеркала Ллойда, бипризмы Френеля, а также в опыте Юнга. Для расчета интерференционной картины используют формулы (4.3), (4.4), предварительно определив (если в этом есть необходимость) положение двух когерентных источников. Вторую группу составляют задачи на интерференцию как в плоскопараллельных, так и в клинообразных тонких слоях. Сюда же относятся и задачи на кольца Ньютона. В этих случаях соотношение (4.5) позволяет рассчитать оптическую разность хода между интерферирующими волнами, отраженными от обеих поверхностей слоя. Затем по условию (4.3) определяют результат интерференции.

4.2.4 Определение размеров источников излучения, для получения интерференционной картины, и степени монохроматичности их излучения нами выделено в третью группу задач, хотя их можно решать по методам описанным в пункте 4.2.3. Дело в том, что их решение существенно упрощается, если воспользоваться формулами (4.7) для временной и пространственной когерентности. Поскольку такой подход к решению задач требует хорошего понимания физической сущности интерференции, советуем еще раз внимательно прочитать соответствующие разделы учебника.

4.2.5 Следует обратить внимание на то, что формула (4.5) выведена для случая, когда пластина (пленка) окружена одинаковыми средами. При этом один из лучей отражается от границы с оптически менее плотной средой, другой – от границы с оптически более плотной средой. В последнем случае фаза светового колебания при отражении скачкообразно меняется на противоположную. Очевидно, что такое явление можно трактовать и как уменьшение, и как увеличение фазы на, что соответствует изменению оптической разности хода на 2. Поэтому в формуле (4.5) член 2, выражающий «потерю» полуволны при отражении, можно записывать с любым знаком, т.е. записать и так:



Pages:   || 2 | 3 |
Похожие работы:

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет вычислительной математики и кибернетики Р.З. ДАУТОВ МЕТОД ГАЛЕРКИНА С ВОЗМУЩЕНИЯМИ ДЛЯ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Учебное пособие Казань 2010 2 УДК 517.5 P.З. Даутов. Метод галеркина с возмущениями для задач на собственные значения. 94 с. В пособии излагается метод Галеркина с возмущениями для самосопряженных задач на собственные значения в вещественном гильбертовом пространстве. Рассмотрено применение этого метода для решения задачи о...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет вычислительной математики и кибернетики Р.З. ДАУТОВ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МКЭ В МATLAB Учебное пособие Казань — 2010 2 УДК 519.3 P.З. Даутов. Программирование МКЭ в МATLAB. 71 с. В пособии излагаются основные этапы построения и программной реализации схем метода конечных элементов приближенного решения краевых задач для линейных эллиптических уравнений второго порядка. Пособие рассчитано на студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан физического факультета _ Б. Б. Педько _ 2007 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для студентов 2 курса очной формы обучения специальности: 010700.62 – физика, 010704.65 – физика конденсированного состояния вещества, 010801.65 – радиофизика и электроника Обсуждено на заседании...»

«ГОУ ВПО Кемеровский государственный университет Кафедра экспериментальной физики Программа для создания презентаций Power Point XP Методические указания к лабораторной работе Кемерово 2006 Программа для создания презентаций Power Point XP: методические указания к лаб. работе / ГОУ ВПО Кемеровский государственный университет; сост. А. Л. Юдин. – Кемерово, 2006. -63 с. В методических указаниях рассмотрены основные принципы работы с программой для создания презентаций Power Point XP. Главная...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (МГТУ МИРЭА) ЛЕВИТАЦИЯ НАМАГНИЧЕННЫХ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ КОЛЕЦ С ТОКОМ Методические указания по выполнению лабораторной работы по курсам Физическая химия материалов и процессов электронной техники и Физико-химические основы процессов микро- и...»

«ДЖАМАНБАЛИН Д. К А Р А С Е В А Э.М. Методические указания решению задач (МЕХАНИКА) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ г. Костанай - 2007 ДЖАМАНБАЛИН К. К. КАРАСЕВА Э. М. Методические указания к решению задач (МЕХАНИКА) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ОСТАНАЙ Л ЕУМЕТ7ІК - ТЕХНИ К АЛ Ы К, УНИВЕРСИТЕТ! КІТАПХАНА БИБЛИОТЕКА КОСТАНАЙСКИЙ СОЦИАЛЬНО-ТЕХНИЧЬСКИР.. УНИВЕРСИТЕТ [ г. К о с т а н а й - 2 0 p ^ T j 'Д.і I Д4® Ш*' I I Рецеюенты: Щ І Медетов Н. А. - кандидат физико-математических наук, профессор ЩШШ...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова КАФЕДРА ХИМИИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ И ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Раздел Аналитическая химия Методические указания и контрольные задания для студентов специальности 240406 Технология химической переработки древесины заочной формы обучения Самостоятельное...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки магистров Ю.Г. Пастушенков 30 апреля 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Специальные методы исследования магнетиков для студентов 1 курса очной формы обучения Направление подготовки магистров 011200.68 – Физика Специализированная программа подготовки магистров Физика...»

«Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВ Методические указания Красноярск 2008 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Настоящие методические указания содержат цикл лабораторных работ, включенных в специальный практикум для студентов 4-ых и 5-ых курсов, обучающихся по специальности 140402.65 Теплофизика по направлениям 140400.62 Техническая физика...»

«Московский государственный технический университет им. Н.Э.Баумана Ю.И.Беззубов, В.П.Карасева ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Методические указания к лабораторной работе Э11 по курсу общей физики Под редакцией С.Н.Тараненко Издательство МГТУ, 1993 Рассмотрены основные законы постоянного тока и их применение к электрическим цепям. Дан компенсационный метод измерения ЭДС источника. Для студентов 2-го курса. Цель работы - изучение законов, действующих в электрических цепях постоянного тока;...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра физики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Составители Л.Г.Туренко, М.В.Пластинина Омск Издательство СибАДИ УДК 53:621. ББК 22. Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор ОмГИС В.В.Пластинин Работа...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан биологического факультета _ С.М. Дементьева 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОЦЕНКА ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ОКРУЖАЮЩУЮ СРЕДУ Для студентов 4 курса очной формы обучения специальность 020803.65 БИОЭКОЛОГИЯ Обсуждено на заседании кафедры экологии Составитель: _ _ 2012г. Протокол №_ _ К.Ю.Толстых Зав. кафедрой...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Нанотехнологии и перспективные материалы Физический факультет Исследование наноматериалов методами сканирующей электронной микроскопии Методические указания Подпись руководителя ИОНЦ Дата Екатеринбург 2008 Методические указания специальной дисциплины Исследование наноматериалов методами сканирующей электронной...»

«Академия труда и социальных отношений Кафедра высшей и прикладной математики Потемкин Александр Владимирович Эйсымонт Инна Михайловна ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС для подготовки бакалавров по направлению 080100 - Экономика, очная форма обучения Москва - 2012 г. 1 Теория вероятностей и математическая статистика: учебно-методический комплекс. Сост. Потемкин А.В., Эйсымонт И.М.: АТиСО, 2012 В учебно-методическом комплексе приводятся рекомендации по...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет радиофизики и электроники Кафедра интеллектуальных систем КУРС ЛЕКЦИЙ по специальному курсу Теория принятия решений и распознавания образов Учебное пособие для студентов факультета радиофизики и электроники Минск 2005 1 УДК 681.31:621.38 ББК 32.841я43+32.85я43 ISBN 5-06-0004597 Рецензенты доктор технических наук В. А. Зайка кандидат технических наук, доцент А. А. Белый Рекомендовано Ученым советом факультета радиофизики и электроники 2003 г., протокол №_...»

«Федеральное агентство по сельскому хозяйству Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Мичуринский государственный аграрный университет Кафедра математики и физики Методические указания по изучению дисциплины Агрометеорология и выполнению контрольной работы для студентов – дистанционного обучения 2 курса по специальностям: 110201 – Агрономия, 110102 – Агроэкология, 110202 – Плодоовощеводство и виноградарство, и 4 курса по специальности 110305 –...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет Т. Л. Сабатулина ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Методические указания для студентов направления Информационные системы и технологии Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета 2012 УДК 519.6 С34...»

«Электронный архив УГЛТУ И.О. Заплатина Ю.Л. Чепелев ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ ЛАЗЕРНОЙ УКАЗКИ ДИФРАКЦИОННЫМ МЕТОДОМ Екатеринбург 2013 Электронный архив УГЛТУ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФГБОУ ВПО УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики И.О. Заплатина Ю.Л. Чепелев ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ ЗЛУЧЕНИЯ ЛАЗЕРНОЙ УКАЗКИ ДИФРАКЦИОННЫМ МЕТОДОМ Методические указания к лабораторным работам по физике для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения Екатеринбург...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МИФИ Ю.Н. Громов Пособие по физике Колебания и волны В помощь учащимся 10 – 11 классов Москва 2009 УДК 534.1(075) ББК 22.32я7 Г 87 Громов Ю.Н. УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. В помощь учащимся 10 – 11 классов. – М.: МИФИ, 2009. – 48 с. Дано систематизированное изложение основного содержания школьного курса физики по разделу Колебания и волны в соответствии с требованиями образовательного...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ К КУРСУ БИОФИЗИКА Составители: Башарина О.В., Артюхов В.Г. ВОРОНЕЖ 2007 2 Утверждено Научно-методическим советом фармацевтического факультета 30.05. 2007 г. (протокол № 5). Учебно-методическое пособие для самостоятельной подготовки студентов к занятиям по биофизике подготовлено на кафедре биофизики и биотехнологии биолого-почвенного факультета Воронежского государственного университета....»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.