WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ Часть V Статистическое моделирование НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Кафедра физики Кайран Д.А., ...»

-- [ Страница 1 ] --

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ФИЗИЧЕСКИХ

ЯВЛЕНИЙ

НА ЭВМ

Часть V

Статистическое

моделирование

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

Кафедра физики Кайран Д.А., Кандауров И.В., Краснов А.А., Мезенцев Н.А., Мешков О.И., Пиндюрин В.Ф., Скарбо Б.А.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ

Методическое пособие Часть V Статистическое моделирование Новосибирск Пособие является составной частью учебно-методических материалов, предназначенных для учащихся Специализированного учебно-научного центра Новосибирского государственного университета (СУНЦ НГУ бывшая Физико-математическая школа им. М.А.Лаврентьева), занимающихся на спецкурсе "Моделирование физических явлений на ЭВМ".

В настоящем пособии рассмотрены основы метода статистического моделирования (метод Монте-Карло) для решения физических, технических и других задач. Даются основные вероятностные понятия, способы получения случайных величин и обработки получаемых результатов.

Приводится набор задач для самостоятельного решения.

Рецензенты:

доцент кафедры физики

СУНЦ НГУ

Харитонов В.Г.

профессор кафедры теор.

физики НГУ, к.ф.-м.н.

Коткин Г.Л.

Новосибирский государственный университет, Подготовлено при поддержке ФЦП "Интеграция", проект "Современные компьютерные технологии в ранней профессиональной ориентации и подготовке физиков-исследователей" (рег. № 274)

СОДЕРЖАНИЕ

Введение Основные вероятностные понятия Основные принципы метода статистического моделирования Получение равномерно распределенных случайных чисел Моделирование дискретных случайных величин Моделирование непрерывных случайных величин Обработка результатов моделирования Пример решения задачи методом статистического моделирования

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие посвящено решению задач методом статистических испытаний или, как его еще называют, методом Монте-Карло. Название "Монте-Карло" происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом для игры в рулетку, и символизирует случайность процесса, как и при игре в рулетку. Возникновение и развитие этого метода стало возможным только после появления ЭВМ, поскольку моделирование случайных величин вручную очень трудоемко.





На первый взгляд может показаться странным совместимость случайности со строго детерминированной работой ЭВМ. Действительно, случайный сбой даже одного бита в ЭВМ может привести к совершенно неправильным результатам вычислений. Тем не менее, как мы увидим дальше, такой "симбиоз" вполне возможен и очень плодотворен.

Метод Монте-Карло весьма красив и прост по своим принципам и широко используется для расчетов в физике и технике (ядерная физика, физика элементарных частиц и ускорителей, взаимодействие различных излучений с веществом, геофизика, расчет качества и надежности изделий и т.д.). В некоторых случаях методом Монте-Карло решаются задачи, которые в принципе могут быть решены другими методами; в других же случаях метод Монте-Карло оказывается единственным для решения задач. Метод особенно хорош там, где не требуется очень высокой точности получаемых результатов.

Здесь мы будем рассматривать в основном физические и технические задачи, однако, нужно помнить, что метод статистических испытаний успешно применяется в математике, теории игр, теории массового обслуживания, теории передачи сообщений и обнаружения и т.д., поэтому приобретенные здесь навыки Вы сможете с успехом применить и в других областях деятельности.

ОСНОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ПОНЯТИЯ

Случайным опытом или экспериментом называется процесс, при котором возможны различные исходы, так что нельзя заранее предсказать, каков будет результат. Величина X, представляющая собой результат случайного опыта, называется случайной величиной. Непостоянство результата такого опыта может быть связано с наличием случайных ошибок измерений или со статистической природой самой измеряемой величины (например, процесс распада радиоактивного вещества). Будем обозначать отдельные значения, которые принимает случайная величина (не обязательно численные), как X i, где i = 1, 2,, n. Любая функция от X i будет также случайной величиной.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные, одномерные (зависящие от одной переменной) или многомерные (зависящие от двух и более переменных).

Полной характеристикой случайной величины X с вероятностной точки зрения является ее закон распределения, т.е. заданная в той или иной форме связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Естественной формой закона распределения дискретной случайной величины X, принимающей дискретный набор значений X 1, X 2,..., X n с соответствующими вероятностями P, P2,..., Pn, является таблица где X 1, X 2,..., X n возможные значения величины X, а P1, P2,..., Pn соответствующие им вероятности, причем, i Универсальной формой закона распределения (непрерывных и дискретных величин) является функция распределения вероятностей это такая функция F (x), значение которой в точке x равно вероятности P того, что при проведении опыта значение случайной величины X окажется меньше, чем x :





Основные свойства функции распределения вероятностей следующие:

1) числовые значения заключены в пределах 0 F ( x) 1 ;

2) если x1 x2, то F ( x1 ) F ( x2 ), т.е. F (x) неубывающая функция;

Если случайная величина дискретна, то ее функция распределения представляет собой ступенчатую функцию (рис. a ), а у непрерывных случайных величин функция распределения также непрерывна (рис. b ).

Функцию распределения вероятностей F (x) непрерывной случайной неотрицательной функции f (x ) :

Функция называется плотностью распределения вероятности.

Основные свойства плотности вероятности таковы:

3) плотность вероятности пропорциональна вероятности события Кроме закона распределения, случайную величину характеризуют значениями некоторых параметров, определяющих наиболее существенные особенности ее распределения. Наиболее часто используемыми параметрами распределения являются математическое ожидание или среднее значение случайной величины, а также дисперсия случайной величины.

Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины называется сумма всех возможных значений случайной величины X, умноженных на соответствующие вероятности:

Заметим, что является не случайной, а определенной, детерминированной величиной.

Так как функция от случайной величины является также случайной величиной, то математическое ожидание функции Y = H ( X ) определяется следующим образом:

Для непрерывных случайных величин будем иметь Важной характеристикой отклонения или разброса случайной величины от ее среднего значения является дисперсия случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от своего среднего значения:

Положительный квадратный корень из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением*).

Среднеквадратичное отклонение количественно показывает, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг среднего значения x.

В качестве примера дискретной случайной величины рассмотрим числа, выпадающие при бросании игрального кубика.

Пусть мы N раз бросили игральный кубик и получили N1, N 2, N 3, N 4, N 5, N 6 выпаданий значений 1, 2, 3, 4, 5, 6, соответственно. Тогда ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) приближенно равна т.е. Pi равна доле числа случаев, в которых выпало значение i, от полного числа бросаний. Знак приближенного равенства означает, что если мы повторим еще N бросаний, то получим, вообще говоря, другое значение N i.

Соотношение для вероятности становится точным в пределе, когда N :

Часто используют также эквивалентный термин квадратичное отклонение.

В нашем случае, если кубик "честный", вероятности выпадания значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны Очевидно также, что Вычислим математическое ожидание M{X } и дисперсию D{X } для игрального кубика:

В качестве примеров непрерывных случайных величин рассмотрим два весьма важных непрерывных распределения.

Пример 1. Равномерное распределение.

Случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале ( a, b ), если ее плотность вероятности задается следующим образом:

Заметим, что в разной литературе несколько по-разному определяется равномерное распределение на заданном интервале. Часто плотность p(x) такого распределения полагается равной 1 (b a ), если a x b, исключением очень специальных случаев, результаты статистического моделирования не зависят от того, определено ли равномерное распределение на интервале или на сегменте и в дальнейшем считать равномерное распределение определенным на интервале В частном случае, когда распределенную на интервале (0,1) случайную величину, играющую значительную роль в методе Монте-Карло. Для таких величин Пример 2. Нормальное (или гауссовское) распределение.

Нормальной (или гауссовской) называется случайная величина распределения вероятности где a и числовые параметры. Для гауссовского распределения имеем:

зует центр тяжести распределения X и не влияет на форму кривой. Величина же характеризует разброс случайной величины X относительно ее среднего значения a. = 2. Последнее утверждение можно выразить и по-другому.

Характерный размер функции по оси аргумента принято определять как ширину на полувысоте, т.е. за характерный размер принимается ширина функции (см. рис.). Так как гауссовская функция симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через среднее значение p(x) полуширина функции на полувысоте. Нетрудно вычисpmax лить, что при Соответственно, полуширина w1 2 = 2 ln 2 1.18 и полная ширина функции на полувысоте 1 2 2.36. Видно, что полуширина функции на уровне p(a ± ) лишь немного (на 18 % ) отличается от полуширины полувысоте. Поэтому для гауссоподобных функций за полуширину обычно принимают величину полушириной гауссовской функции плотности вероятности.

вероятность получения значения величине больше чем на 3 от среднего значения a, очень мала (0.3 %).

Заметим, что все нормальные распределения с параметрами ( a, ) могут распределением и имеющему плотность вероятности нормального распределения с параметрами ( a, ) путем замены переменной U = ( X a) /. Любая же нормально распределенная случайная величина X с параметрами ( a, ) может быть получена из стандартной нормальной величины U с параметрами (0,1) преобразованием Распределение Гаусса одно из самых распространенных в физике.

Такому распределению подчиняются ошибки измерения физических величин, результаты стрельбы по мишени, распределение проекций скоростей молекул газа (распределение Максвелла), вероятность малых флуктуаций и многое другое.

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

Сущность метода статистического моделирования заключается в следующем. Выбирается определенная модель, описывающая исследуемый процесс, явление, систему. На основании математического описания модели и численных методов разрабатывается моделирующий алгоритм, имитирующий внешние воздействия на систему, поведение ее элементов, их взаимодействие и последовательное изменение состояний всей системы во времени.

Затем осуществляется одна случайная реализация моделируемого явления, например: один "распад" радиоактивного атома, один "процесс" прохождения элементарной частицы через вещество, один "обстрел" цели, один "день работы" транспорта, и т.п..

После осуществления единичной реализации моделируемого явления эксперимент многократно повторяется, и по результатам моделирования определяются различные характеристики модели. При этом полнота и достоверность полученной путем моделирования информации о свойственных системе закономерностях зависят от того, насколько точно использованная математическая модель описывает реальную систему, от точности вычислительных методов, использованных при разработке моделирующего алгоритма, и от числа проведенных испытаний.

на простом примере. Пусть необходимо определить площадь произвольной плоской фигуры S.

Ограничим фигуру квадратом со стороной a и выберем в квадрате N случайных точек.

площадь фигуры S приближенно равна a N ' / N. Причем, чем больше будет значение N, тем точнее будет оценка площади фигуры S. Отсюда ясно, как можно построить алгоритм для вычисления площади такой фигуры:

Разыгрываем случайную величину, равномерно распределенную на случайной точки.

2. Разыгрываем случайную величину, равномерно распределенную на случайной точки.

Если попала, то добавляем к счетчику единицу (перед началом описываемых действий счетчик N должен быть обнулен).

Повторяем предыдущий процесс (пункты 1,2,3) N раз.

5. Вычисляем значение интеграла.

Отметим две особенности метода статистического моделирования.

Первая относительная простота вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для прослеживания одной реализации, а затем эта процедура N раз повторяется. Вторая погрешности вычислений обычно пропорциональны требуется очень высокая точность вычислений.

Таким образом, единичная реализация является основным элементом метода статистического моделирования и представляет один случай осуществления моделируемого процесса (явления) со всеми присущими ему случайностями. Каждый раз, когда в ход моделируемого процесса вмешивается случайность, должен быть реализован какой-то механизм случайного выбора (бросание монет, костей, вынимание жетона из вращающегося барабана, числа из набора чисел, и т.д.), называемый "единичным жребием".

Единичный жребий должен давать ответ на один из вопросов:

произошло или не произошло некое событие A ? какое из возможных X ? какую совокупность значений приняла система случайных величина X 1, X 2,..., X k ? и т.п.. Например, при моделировании величин прохождения элементарной частицы через вещество единичный жребий должен отвечать на вопросы: произошло или не произошло взаимодействие частицы с веществом (событие взаимодействии поглощение или рассеяние (события если произошло рассеяние, то на какой угол частица рассеялась (случайная величина X ) ? каковы координаты точки взаимодействия частицы с веществом (система случайных величин X 1, X 2,..., X k ) ? и т.д..

Каждая реализация случайного явления методом Монте-Карло рассматривается как последовательность конечного числа элементарных случайных событий (единичных жребиев), перемежающихся обычными расчетами. Расчетами учитывается влияние исхода единичного жребия на ход моделирования (в частности, на условия, в которых будет осуществляться следующий единичный жребий).

Для того, чтобы реализовать единичный жребий, необходимо получать на ЭВМ последовательности значений случайных величин (скалярных или векторных) с заданными законами распределения. Поскольку при решении конкретных задач могут потребоваться случайные величины с самыми разнообразными распределениями (пуассоновское, гауссовское, биноминальное, равномерное, экспоненциальное и т.д.), то задача моделирования необходимой случайной величины может показаться неимоверно сложной. Однако, все эти задачи могут быть разрешены с помощью одного стандартного механизма, позволяющего решить одну единственную задачу получить случайную величину, распределенную с равномерной плотностью от 0 до 1. Тогда, как показано ниже, случайную величину y с произвольной плотностью распределения f ( y ) можно найти с помощью преобразований одного или нескольких независимых значений случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0,1).

ПОЛУЧЕНИЕ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ

Как упомянуто выше, ключевой проблемой статистического моделирования является получение случайных чисел распределенных в интервале (0,1). Отметим три основных способа получения : табличный, аппаратный и алгоритмический. Первый способ заключается в использовании специально составленных таблиц случайных чисел. Таблицы, полученные с помощью специальных приборов (типа рулетки), заносятся в память ЭВМ и используются по мере необходимости.

Основной недостаток необходимость в памяти достаточно большой емкости, затрудняющий решение "больших" задач, тем более, что преимущество "случайных" таблиц перед "псевдослучайными" числами, получаемыми алгоритмически, никем не было доказано. Во втором способе используются аппаратные датчики, основанные на некоторых физических процессах, случайных по своей природе (шумы в электронных и полупроводниковых приборах, процессы при радиоактивном распаде и т.п.).

Основные недостатки невозможность повторного получения одной и той же последовательности случайных величин для проверочных расчетов и невозможность гарантировать постоянную надежную работу датчика.

Как правило, случайные числа получают в настоящее время на ЭВМ программным способом, производящим последовательности "псевдослучайных" чисел. Для этого используются рекуррентные формулы, когда каждое последующее число i +1 образуется из предыдущего i на основании применения некоторого алгоритма. Подобная последовательность чисел, не будучи истинно случайной по своей природе, обладает свойствами, аналогичными свойствам случайных величин. Большинство алгоритмов получения псевдослучайных чисел основано на том, что при перемножении двух многоразрядных чисел x и y средние разряды произведения xy являются сложной функцией сомножителей и обладают "случайными" свойствами.

Простой пример получения равномерно распределенной в интервале алгоритмом:

Знак { } означает, что берется дробная часть произведения. Вычисления дают такую последовательность: 0 = 0.1, 1 = 0.415926, 2 = 0.667, 3 = 0.54422, 4 = 0.97175, 5 = 0.28426 и т.д..

К настоящему времени разработано множество алгоритмов получения псевдослучайных чисел. Наиболее популярным для получения (мультипликативный датчик), который можно записать в следующей форме:

где M достаточно большое целое число, фигурные скобки обозначают дробную часть, а m число двоичных разрядов в мантиссе чисел в ЭВМ.

реализаций данного метода (это своя собственная "наука") и определяют основные свойства датчика случайных чисел (соответствие статистическим критериям, длину периода повторения последовательности и т.п.).

В составе математического обеспечения системы Turbo Pascal также имеется датчик псевдослучайных чисел функция Random(). Если эта функция используется без параметра, то ее значением будет равномерно вызывается с параметром (целым числом равномерно распределенное целое число в интервале от 0 до n. Вызов функции в программе осуществляется следующим образом:

или Поскольку получение псевдослучайных чисел осуществляется по рекуррентной формуле, то при запуске программы функция Random будет всегда начинать последовательность с одного и того же первого числа компиляции и запуска программы вы все время будете получать одну и ту же наперед заданную последовательность чисел. С одной стороны, это иногда удобно для отладки программы, а, с другой стороны, может мешать при моделировании. Чтобы исключить такую ситуацию, существует специальная процедура Randomize, которая инициализирует случайным значением (текущим системным временем) генератор псевдослучайных чисел, используемый функцией Random. Таким образом, обращение к процедуре Randomize программного датчика псевдослучайных чисел.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотрим дискретную случайную величину значений X 1, X 2,..., X n с вероятностями P1, P2,..., Pn. Эта величина задается таблицей распределения Для моделирования такой дискретной случайной величины разбивают отрезок [0,1] на n которых равны соответствующим вероятностям P1, P2,..., Pn. Получают случайную величину, равномерно распределенную в интервале (0,1), и Аналогичным образом осуществляется моделирование случайных событий. Пусть необходимо смоделировать реализацию (осуществление или неосуществление) какого-либо события S k из ряда событий S1, S 2,..., S n, образующих полную группу событий. Свяжем с этой системой событий случайную величину, равную номеру события:

P P... P, где Pk вероятность наступления S k.

Тогда полагаем, что произошло случайное событие величина приняла значение, равное k.

Среди дискретных случайных величин важное значение имеют целочисленные случайные величины с распределением вида p k = P ( = k ) ( k = 0, 1, 2,... ), которые связаны простыми рекуррентными формулами p k +1 = p k r (k ). Среди таких распределений наиболее важными и часто используемыми являются биноминальное распределение и распределение Пуассона. Для биноминального распределения с параметрами ( p, n) имеем:

Для распределения Пуассона с параметром имеем:

Моделирование этих и подобных им случайных величин можно осуществлять по следующей простой схеме:

осуществляющей моделирование распределения Пуассона с параметром :

Function Puass(Lamda : real) : integer;

p0 := exp(-Lamda);

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть нам нужно получать значения случайной величины Стандартный метод моделирования основан на том, что интегральная функция распределения любой непрерывной случайной величины равномерно распределена в интервале (0,1), т.е. для любой случайной величины x с плотностью распределения f (x) случайная величина F(y) 1. Получаем случайную величину интервале (0,1).

3. Решая уравнение = F ( ), находим искомое значение.

Такой способ получения случайных величин называется методом обратных функций.

В качестве примера рассмотрим получение случайной величины используется при моделировании различных физических явлений: это и длина свободного пробега ионизирующих частиц в веществе, и распределение интервалов времени между моментами попадания ионизирующих частиц в регистрирующий прибор и т.д..

Следуя указанной методике, получаем точно так же, как и, то последнюю формулу можно переписать в виде Еще один пример. Пусть требуется получить случайную величину, распределенную в интервале ( a, b) с равномерной плотностью:

= a + (b a ). Эта формула часто используется для расширения или смещения стандартного интервала (0,1) равномерно распределенной случайной величины до необходимого интервала (a, b).

Следует отметить, что не всегда возможно так легко разрешить получаемые уравнения. Чаще всего аналитическое решение не существует, и тогда приходится прибегать к численному решению уравнения = F ( ).

Может оказаться и так, что алгоритм численного решения указанного уравнения будет достаточно сложным или требовать заметных затрат времени на вычисления. Тогда могут быть использованы другие методы генерирования случайных величин. Среди этих методов отметим метод исключения.

Суть метода исключения (или метода Неймана) заключается в следующем.

Пусть случайная величина определена на конечном интервале ( a, b ) и плотность ее распределения ограничена, используя пару равномерно осуществляем следующие действия для розыгрыша значения :

строим случайную точку Q с координатами (см. рисунок):

2. Если f ( 0 ), то пару значений (1, 2 ) отбрасываем и переходим Таким образом, мы определяем координаты случайной точки Q( 0, ) и, если точка окажется под кривой принимается в качестве значения случайной величины = a + 1 (b a ) с плотностью распределения f (x). В противном случае точка отбрасывается, мы определяем координаты следующей точки, и все повторяется.

Существуют и другие многочисленные способы формирования случайных величин с различными определенными законами распределения.

Так, например, моделирование нормально распределенной случайной величины X может быть осуществлено на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей. Эта теорема утверждает, что закон распределения суммы независимых случайных величин стремится к нормальному при увеличении числа слагаемых. Для практического M{X } = n / 2 и среднеквадратичным отклонением = n 12.

параметрами может быть осуществлено по очевидной формуле = m +, где нормальна с параметрами (0,1), то нормально распределенные случайные величины с параметрами (0,1) можно вычислять по следующей приближенной формуле:

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Чтобы получить статистические характеристики исследуемой модели, необходимо производить обработку результатов моделирования. Обработки могут быть различными в зависимости от цели моделирования, но чаще всего бывает необходимо определить математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (среднеквадратичное отклонение) интересующей нас величины (величин).

При реальном моделировании, как и в реальных экспериментах, мы всегда имеем дело с конечным числом испытаний или опытов, то есть с конечным числом n значений любой случайной величины X. Для определения средних значений и дисперсий можно воспользоваться стандартными приемами статистической обработки экспериментальных данных для оценок среднего и дисперсии по выборке из n значений выборочная дисперсия:

дисперсией случайной величины X. Значения x n и n можно принять в качестве оценок математического ожидания равенства становятся точными в пределе, когда выборочной дисперсии n Оценки среднего и дисперсии могут производиться как после проведения моделирования, так и параллельно ему. В первом случае обработке подвергается достаточно большой массив накопленных чисел, во втором каждое из значений случайной величины используется сразу же после получения. Если при решении задачи моделирования достаточно лишь вычисления значений среднего и дисперсии случайной величины, то определение их значений в процессе моделирования существенно сокращает как время вычислений, так и требуемый объем памяти (всего две переменных формулу для определения дисперсии в эквивалентной форме:

величины и сумму значений квадратов случайной величины.

Часто желательно и удобно иметь возможность графически отображать получаемую информацию о распределении моделируемой случайной величины, например, в виде гистограммы или графика так называемого частотного распределения. Для этого диапазон всех возможных значений случайной величины разбивают на одинаковые (как правило) интервалы, внутри которых сосредоточены статистические данные. Интервалы не должны перекрываться. Внутри каждого интервала определяют частоту попадания в него значений случайной величины. Число интервалов и их ширина чаще всего определяются сущностью задачи, однако они должны быть достаточно большими, чтобы не упустить важные подробности в поведении случайной величины. Обычно число интервалов выбирают порядка 20 или больше.

Для построения гистограммы нужно над каждым отрезком оси абсцисс, соответствующим выбранному интервалу значений случайной величины, построить прямоугольник, площадь которого пропорциональна количеству попаданий значений случайной величины в данный интервал. При интервалах равной ширины частота попаданий будет пропорциональна высоте прямоугольника.

резисторов с номиналом сопротивления значений сопротивлений R, так что истинная величина сопротивления любого резистора с равной вероятностью может находиться в диапазоне от Rnom R Rnom + R. Нужно смоделировать измерение значений сопротивлений для резисторов, определить среднее значение и среднеквадратичное отклонение сопротивлений, и построить гистограмму распределения значений сопротивлений. Это можно смоделировать следующей программой:

uses Gisto,Graph;

const NGist = 100; { число интервалов гистограммы } Gd, Gm, i : Integer;

Nizm : integer;

R, Rnom, Rsr, SumR, SumR2, deltaR, Disp : real;

begin write('Введите номинал сопротивления Rnom = ');

readln(Rnom);

write ('Введите величину разброса deltaR = ');

readln (deltaR);

write ('Введите число сопротивлений Nizm = ');

readln (Nizm);

SumR := 0; {для накопления суммы значений сопротивлений} SumR2 := 0; {для накопления суммы квадратов значений { Инициализация гистограммы } InitGist(NGist,Rnom-deltaR,Rnom+deltaR);

{ Моделирование измерения сопротивлений } Randomize;

for i := 1 to Nizm do begin writeln (' Rсреднее = ',Rsr:5:2);

writeln (' Квадр. отклонение R = ',sqrt(Disp):5:2);

readln; { Ожидание Enter перед выводом гистограммы } Gd := Detect; InitGraph(Gd, Gm, 'c:\tp\bgi'); { Переход } writeln (' Graph error or bgi driver not found '); { режим } Gistogram(green); { Вывод гистограммы на экран } CloseGraph;

работы с гистограммой: InitGist инициализация работы с гистограммой, InGist ввод текущего значения в массив гистограммы, Gistogram вывод гистограммы на экран. Текст модуля должен находиться в файле Gisto.pas, а сам файл нужно поместить в текущую рабочую директорию (папку). Перед откомпилировать с помощью опции Alt-F9, чтобы в рабочей директории появился файл Gisto.tpu, либо компиляцию основной программы нужно выполнять с помощью опций Build или Make из меню опции Compile ТурбоПаскаля. Текст модуля приведен ниже:

{ Пакет процедур для построения гистограммы распределений } { Файл: gisto.pas } UNIT Gisto;

INTERFACE

uses Graph;

I, NGist : Integer; { NGist-число интервалов гистограммы } OldPattern : FillPatternType;

Xstart,Xfin,deltaX : real;

procedure InitGist(Ng : integer; Xl,Xh : real);

procedure InGist(Value : real);

procedure Gistogram(Color : Byte);

IMPLEMENTATION

{ Процедура инициализации для построения гистограммы } { Ng - число интервалов гистограммы;

Xl,Xh - начальное и конечное значение гистограммы по оси X } procedure InitGist(Ng:integer; Xl,Xh:real);

var i : integer;

begin if Ng = 580 then Ngist:=Ng else begin writeln('Число интервалов гистограммы 580 !');

for i := 1 to NGist do MGist[i] := 0; { очистка массива гистограммы } deltaX := (Xh-Xl) / NGist; { интервал построения гистограммы по оси X } end;

{ Процедура занесения значения в массив гистограммы } procedure InGist(Value : real); { Value - вносимое значение } var i : integer;

begin i := trunc((Value - Xstart)/deltaX)+1; { номер элемента по x} end;

{ Процедура вывода гистограммы на экран } procedure Gistogram(Color : Byte); { Color - цвет вывода гистограммы } const X0 = 50; Y0 = 450; { координаты начальной точки вывода } var max,x,y,i,shir : integer;

mash : real;

s : string;

begin { Определение максимума массива и масштаба по Y } max := MGist[1];

for i := 2 to NGist do if MGist[i] max then max := MGist[i];

if max 0 then mash := MaxY / max;

if max = 0 then mash:=0;

{ Определение ширины прямоугольника для вывода интервала } shir := trunc((630-X0) / Ngist);

GetFillPattern(OldPattern); {Цвет и стиль вывода гистограммы} SetFillPattern(OldPattern,Color);

{ Вывод гистограммы на экран } for i := 1 to NGist do begin y := Y0 - round(MGist[i]*mash);

x := X0 + round(Shir*(i-1));

bar(x+1, Y0, x + shir-1, y);

{ Построение осей и разметки гистограммы } SetColor(white);

line(X0-10,Y0,X0+NGist*shir+9,Y0);

line(X0,Y0+10,X0,Y0-MaxY-10);

line(X0-10,Y0-MaxY,X0+10,Y0-MaxY);

line(X0+NGist*shir,Y0+10,X0+NGist*shir,Y0-10);

{ Вывод значений максимума гистограммы, начального и конечного значений по оси X } Str(0,s);

MoveTo(X0-22,Y0-4);

OutText(s);

Str(max,s);

MoveTo(0,Y0-MaxY-4);

OutText(s);

Str(Xstart:8:2,s);

MoveTo(X0,Y0+14);

OutText(s);

Str(Xfin:8:2,s);

MoveTo(X0+NGist*shir-64,Y0+14);

OutText(s);

end;

end.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

При решении задач методом Монте-Карло, так же как и при обработке экспериментальных данных, часто возникает один и тот же вопрос. Пусть мы решаем какую-нибудь задачу, в которой некая физическая величина ~ зависит от аргумента Задав ряд значений аргумента x i, где i = 1,, N, методом статистических испытаний мы находим для каждой точки ~ = ~ ( x ). Если мы отложим на графике найденные точки и соединим их отрезками прямых, то из-за статистического разброса значений ~ вместо "гладкой" зависимости ("зубастую") кривую (см. рис.).

Мы понимаем, что эта статистических ошибок наших вычислений величины ~ и не имеет отношения к искомой физической зависимости ~( x). Поэтому в простейшем случае по найденному набору например, "на глаз" провести некоторую плавную (гладкую) кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала все точки ~i, и принять эту гладкую зависимость за искомую зависимость ~( x). Но в этом случае мы никогда не будем уверены, что провели такую гладкую зависимость "наилучшим" образом и что нельзя провести какую-нибудь другую гладкую кривую, которая бы еще лучше аппроксимировала все точки Пусть мы предполагаем, догадываемся или даже определенно знаем, что искомая зависимость описывается функцией p1,..., p m некоторые параметры. Попробуем подобрать параметры так, чтобы функция (приближала) все точки ~i. Естественен вопрос, что значит "наилучшим образом" ? Нам нужно, чтобы для каждой точки x значения ~ = ~ ( x ) и y i = y ( xi, p1,..., p m ) как можно меньше отклонялись друг от друга.

Возможны разные меры отклонения, но наиболее часто в качестве такой приближения всех точек последовательности ~i функцией y ( x, p1,..., p m ) мы должны потребовать, чтобы сумма квадратов отклонений по всем точкам была минимальна, т.е. чтобы величина имела минимум.

p1,..., p m, величина S также является функцией от параметров p1,..., p m :

Чтобы функция S имела минимум, необходимо выполнение условий (см. ПРИЛОЖЕНИЕ):

p1,..., p m. Если N m, то система может иметь однозначное решение, хотя для произвольной нелинейной функции y ( x, p1,..., p m ) такое решение в большинстве случаев может быть найдено только численными методами.

При найденных из решения системы значениях параметров последовательность значений ~i.

Рассмотренный способ называется методом наименьших квадратов (МНК) и широко используется при обработке результатов статистического моделирования, при обработке экспериментальных данных и в других случаях.

В ситуации, когда зависимость y (x ) является линейной функцией приведенная выше система уравнений сильно упрощается. Действительно, в этом случае и, соответственно, уравнения на минимум суммы квадратов отклонений имеют вид:

Решение этой системы двух линейных уравнений дает:

Ниже приведен пример программы для вычисления коэффициентов a и b прямой y = ax + b наилучшего приближения по заданному массиву N статистически смоделированных или экспериментальных точек (xi, yi Var a, b, x, y, sum_x, sum_y : Real ;

sum_xx:=sum_xx + x*x ;

sum_xy:=sum_xy + x*y ;

a:=( sum_x*sum_y - N*sum_xy )/(sum_x*sum_x - N*sum_xx) ;

b:=(sum_y - a*sum_x)/N ;

Writeln(‘a=’, a) ;

Writeln(‘b=’, b) ;

Если зависимость функциональный масштаб, ее можно свести к линейной путем замены переменных. Так, например, если по расположению смоделированных или экспериментальных точек на графике y ( x ) = k e x, то, прологарифмировав это выражение, можно перейти к таким переменным q и p, что связь между ними окажется линейной:

В новом масштабе полученные данные должны укладываться на прямую линию. Найдя методом наименьших квадратов коэффициенты a и b, как изложено выше, можем найти выражения для коэффициентов k и :

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

На пластину из алюминия толщиной D = 75 см перпендикулярно ее поверхности падает пучок моноэнергетических тепловых нейтронов.

Вероятность свободного пробега нейтрона в веществе до взаимодействия равна p(l ) = µ e µ, где µ = 0.0981 см-1.

В результате взаимодействия с поглощается с вероятностью pa = 0.141, либо рассеивается с вероятностью p s = 0.859. Считать, что задача двумерна и рассеяние нейтронов происходит изотропно в плоскости рисунка.

Нарисовать набор траекторий движения нейтронов в пластине.

Построить гистограмму распределения нейтронов, прошедших через пластину, в зависимости от угла вылета из пластины.

Решение Сложный случайный процесс прохождения нейтронов через вещество будем рассматривать как последовательность конечного числа элементарных случайных событий. Такими событиями в данном случае будут: движение нейтрона без взаимодействия на некотором пути, взаимодействие какоголибо типа (поглощение или рассеяние) и, если нейтрон не поглощается, снова движение до следующего взаимодействия. Зная вероятность каждого из этих событий, можно смоделировать траекторию нейтрона в пластине. Повторяя этот процесс для достаточно большого числа нейтронов, можно определить требуемые характеристики процесса прохождения нейтронов через пластину.

Так как задача симметрична относительно оси движение каждого нейтрона начинается в точке 0. Тогда алгоритм прослеживания траекторий может быть таким:

1. Инициализируем начальное положение нейтрона при входе в пластину:

2. Моделируем движение нейтрона без взаимодействия (свободный пробег). Так как плотность распределения длины свободного пробега экспоненциальной функцией распределения координаты положения нейтрона:

3. Проверяем, не вышел ли нейтрон за границы пластины ? Если вышел ( x D ), то вносим в гистограмму точку с углом и переходим к розыгрышу траектории следующего нейтрона на п.1. Если нейтрон не вышел за границы пластины ( x D ), то переходим к следующему пункту.

4. Розыгрыш типа взаимодействия нейтрона с веществом. Определяем, какой процесс произошел поглощение или рассеяние. Для этого получаем очередное случайное число и сравниваем его со значением вероятности поглощения нейтрона p a. Если p a, то это означает, что произошло поглощение нейтрона, поэтому процесс прослеживания текущей траектории заканчивается и переходим к п.1 для розыгрыша движения следующего нейтрона. Если p a, то произошло рассеяние нейтрона и переходим к пункту 5.

5. Определение параметров рассеяния нейтрона. Считая рассеяние нейтрона изотропным, определяем угол рассеяния по формуле = 2 , так как рассеяние во все стороны равновероятно. Теперь, определив новое направление движения нейтрона, возвращаемся к п.2 для розыгрыша движения нейтрона в этом направлении до следующего взаимодействия.

6. Повторяем описанный процесс необходимое число раз, соответствующее числу нейтронов, упавших на пластину.

Вариант программы:

uses Gisto,Graph;

const MashX = 2; { Масштабный коэффициент по X для вывода на экран } MashY = 1.2; { Масштабный коэффициент по Y для вывода на экран } NGist = 60; { Число интервалов гистограммы } Mu = 0.0981; { Mu - коэффициент поглощения нейтрона } Pa = 0.0141; { Pa - вероятность поглощения нейтрона } var Gd, Gm, I, N : Integer;

Xscr, Yscr, Xscr0, Yscr0 : Integer;

OldPattern : FillPatternType;

x, y, Lpr, Fi : real;

label P1, P2, P3, P4, P5, OutGist;

begin writeln('Введите число нейтронов N = ');

readln(N);

{ Переходим в графический режим } Gd := Detect; InitGraph(Gd, Gm, 'с:\tp\bgi');

if GraphResult grOk then begin writeln (' Graph error or BGI driver not found. ');

{ Рисуем пластину в центре экрана } GetFillPattern(OldPattern);

SetFillPattern(OldPattern,7); { стиль и цвет для вывода пластины } Bar(320-round(D*MashX/2), 0, 320+round(D*MashX/2), 479);

InitGist(NGist,-Pi/2,Pi/2); { инициализация гистограммы в диапазоне {Инициализируем начальные координаты и угол движения нейтрона } if (i N ) then goto OutGist; { проверка на исчерпание числа нейтронов } x := 0; y := 0; Fi := 0;

Xscr0 := 320-round(D*MashX/2); Yscr0 := 240;

MoveTo(Xscr0,Yscr0); { установка точки на экране в позицию x=0, y=0 } SetColor (i); { установка цвета вывода траектории } { Определяем длину свободного пробега и новые координаты нейтрона} Lpr := - ln(Random)/Mu; { длина пробега } { Определяем экранные координаты и рисуем траекторию } Xscr := Xscr0 + round(x*MashX);

Yscr := Yscr0 + round(y*MashY);

LineTo(Xscr,Yscr);

{ Проверка выхода за границы пластины } if (Fi Pi) then Fi := Fi - 2*Pi; { коррекция диапазона по углам } { Проверка на поглощение или рассеяние нейтрона } if (Random = Pa) then GoTo P1; { поглощение нейтрона } { Рассеяние нейтрона, розыгрыш угла рассеяния } Fi := 2*Pi*Random;

OutGist:

write(' Вывод гистограммы Enter ? ');

ClearDevice; { очистка экрана перед выводом гистограммы } Gistogram(13); { вывод гистограммы } CloseGraph;

end.

Для построения гистограмм в программе используется описанный выше модуль Gisto (текст модуля и его правильное применение приведены в предыдущем примере).

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Метод Монте-Карло, будучи случайным по своей природе, применяется также и для решения многих задач, не связанных с какими-либо случайностями. В частности, он используется при решении ряда задач вычислительной математики, например, для вычисления интегралов (особенно высокой кратности).

Пусть у нас есть некоторая функция y = f (x) и необходимо вычислить определенный интеграл от этой функции на интервале Разработано много разных методов вычисления интегралов с помощью статистического моделирования. Рассмотрим здесь лишь два наиболее простых.

Первый метод аналогичен способу определения площади произвольной плоской фигуры, описанному выше.

которых равномерно распределены в интервалах Тогда геометрически очевидно, что приближенное значение интеграла (заштрихованная на рисунке площадь) будет равно площади прямоугольника, умноженной на отношение числа точек N, попавших под кривую y = f (x), к общему числу точек N. Следовательно:

На практике это означает, что для каждой разыгранной точки где i = 1,2,, N, проверяется условие i f ( i ), и, если оно выполнено, то в счетчик для N добавляется единица, в противном случае ничего не добавляется. После проведения N испытаний по приведенной формуле вычисляется приближенное значение интеграла.

Аналогично могут быть вычислены и кратные интегралы. Например, V0 объем параллепипеда со сторонами высотой M, равной или превышающей по величине максимум функции в области G, так что во всей области 0 f ( x, y ) M. В данном случае уже не прямоугольник, а параллепипед заполняется случайными точками (,, ), координаты которых имеют равномерное распределение в интервалах a b, c d, 0 M, и, если для произвольной точки N добавляется единица.

В общем случае формула вычисления для k -кратных интегралов будет иметь вид где Vk k-мерный объем области интегрирования.

Чем больше точек, тем точнее значение интеграла, но следует помнить, что точность вычисления пропорциональна точности в 10 раз нужно увеличить N в 100 раз и т.д..

Другой способ вычисления интегралов с помощью метода Монте-Карло основан на вычислении среднего значения функции. Пусть случайная величина, равномерно распределенная в интервале вероятности Так как любая функция случайной, то ее математическое ожидание равно где I = f ( x ) dx. Отсюда видно, что интеграл I может быть вычислен через математическое ожидание или среднее значение случайной величины f (), являющейся функцией равномерно распределенной случайной. Используя оценку для среднего значения по выборочным величины значениям из N испытаний, получаем Описанный способ может также рассматриваться как модификация метода прямоугольников для вычисления интегралов. Правда, в данном случае область интегрирования не разбивается на множество интервалов с h, которые и служат основанием прямоугольников, шагом аппроксимирующих при суммировании значение интеграла. Наоборот, основание прямоугольников, использующихся в данном методе, равно полному интервалу интегрирования высота этих прямоугольников случайна и равна значению точке x i интервала (a, b).

область интегрирования такие случайные прямоугольники, а площадь каждого прямоугольника принимать за значение интеграла на каждом этапе. Из-за случайности высоты прямоугольников оценки значения интеграла будут также носить случайный получим Аналогично могут быть вычислены и кратные интегралы. Например, для двойного интеграла формула вычислений имеет вид где независимые случайные величины, равномерно распределены в Для интегралов произвольной кратности k аналогично будем иметь реализация значений независимых, равномерно распределенных в соответствующих интервалах интегрирования случайных величин В качестве примера рассмотрим вычисление интеграла определяющего функции Бесселя первого рода порядка p от аргумента z Вычисления проведем методом "набрасывания" случайных прямоугольников.

Вариант программы:

Uses Crt;

label Rd,St,Fn,Cn;

Function f(x : real) : real;

f:=cos(z*sin(x)-p*x) Procedure MK(N : longint; var S : real);

var a,h : real;

var l : longint;

begin a:=0; h := Pi; S:=0; l:=1; { h=b-a =Pi-0 – интервал интегрирования } S:=S+f(a+random*h); l:=l+1;

begin St : write('N= '); read(N); { ввод параметров } write('p= '); read(p);

write('z= '); read(z);

Rd : Ch:=ReadKey;

Cn : begin writeln('Введите Enter или Esc'); GoTo Rd; end;

Расчет при Видно, что приближение достаточно неплохое, однако, напомним, что метод наиболее эффективен для расчета многомерных интегралов.

ЗАДАЧИ

( Генератор равномерно распределенных псевдослучайных чисел ) распределенных на интервале (0,1), на основе следующих соотношений:

Здесь: U j некоторые вспомогательные величины (реальные!);

j псевдослучайные числа, равномерно распределенные на знак (mod 4) означает, что берется остаток от деления на 4 суммы Построить гистограмму распределения чисел на интервале (0,1).

Дополнительные вопросы:

а) Построить распределение случайных точек с координатами ( 1, 2 ), заполнит квадрат со стороной равной 1 ?

б) Вычислить среднее значение и дисперсию величины. Насколько хорошо эти параметры соответствуют равномерному распределению на интервале (0,1) ?

в) Как изменятся результаты, если число ?

Построить гистограмму распределения случайной величины :

где i ( i = 1, 2,..., n ) случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0,1). Построение выполнить для n = 2, 4, 6, 8,10,12.

Дополнительные вопросы:

а) Нанести на гистограмму график функции Какие выводы можно сделать из сравнения гистограммы и графика функции P (x) ? Как согласуется график и гистограмма при больших значениях x ?

б) Построить на плоскости в координатах ( x, y ) распределение точек картинка ?

( Распределение Гаусса из равномерного распределения ) Функция распределения плотности вероятности Гаусса в двумерном пространстве ( x, y ) имеет вид:

использованием соотношений x = r cos, y = r sin, получим:

Будем интересоваться только распределением по r, тогда:

одинаковое равномерное распределение от 0 до 1, то в последнем выражении можем заменить (1 F ) на F. В итоге имеем для r и, соответственно, для x, y :

где величина F равномерно распределена от 0 до 1, угол равномерно распределен от 0 до 2, а величины x и y имеют распределение Гаусса с дисперсией.

Используя вышеизложенный способ, построить датчик случайных чисел x, распределенных по нормальному закону с заданным стандартным отклонением.

1. Построить гистограмму распределения случайных чисел гистограмму график функции Насколько хорошо график описывает гистограмму ? Наблюдается ли хорошее согласие графика и гистограммы при больших значениях x 2. Вычислить среднеквадратичное отклонение построенного распределения и сравнить их с заданными величинами моделируемого распределения. Исследовать точность совпадения вычисленных и заданных величин среднего и дисперсии в зависимости от числа N точек, использованных для моделирования нормального распределения.

Определить с помощью метода Монте-Карло значение числа.

При произвольно выбранном числе N статистических испытаний для числа получается приближенное вычисленное значение ~ N. Построить график зависимости относительной ошибки вычисления числа величины [~ N ]/, от числа N испытаний.

Проанализировать полученный график и выбрать подходящий вид функции для его аппроксимации. Методом наименьших квадратов найти параметры аппроксимирующей функции.

Оценить необходимое число N испытаний для вычисления числа с относительной точностью 10-10. Оценить требуемое для этого время вычисления на используемом компьютере.

Указание: Для вычисления числа используйте определение площади четверти окружности, вписанной в квадрат со стороной 1.

сравнить с его точным значением. Построить график зависимости относительной ошибки вычисления интеграла от числа N испытаний.

Выбрать подходящий вид функции для аппроксимации полученной зависимости и методом наименьших квадратов найти параметры аппроксимирующей функции. Оценить необходимое число испытаний и требуемое время на используемом компьютере для вычисления интеграла с относительной точностью 10-6.

( Всемирный закон тяготения и конечные размеры тел ) Всемирный закон тяготения Ньютона, записанный в виде классической формулы F = G, где F сила притяжения между телами с массами M R расстояние между телами, и G гравитационная постоянная, справедлив для точечных тел, т.е. для случая, когда размеры тел существенно меньше расстояния между ними. Если же притягивающиеся массы не являются точечными, то, вообще говоря, формула для силы взаимодействия масс должна быть другой. Тем не менее, когда размеры притягивающихся тел сравнимы с расстоянием между ними, можно сохранить классический вид формулы, если записать ее как F = K G, где R0 расстояние между центрами масс тел, а поправочный коэффициент (геометрический фактор) учитывает "неточечность" масс. В общем случае этот коэффициент зависит от распределения масс внутри тел.

пед с общей массой M нок). Найти поправочный геометрический фактор K для силы притяжения параллепипеда и точечной массы m, расположенной на оси z на расстоянии R0 c 2 от центра параллепипеда.

Построить график зависимости коэффициента K от расстояния R0.

При каких значениях R0 классическую формулу закона притяжения можно считать выполняющейся с точностью не хуже 30, 20, 10, 5, 1, 0.5 % ?

Дополнительные вопросы:

а) Как изменятся результаты, если параллепипед развернуть на 90° вокруг оси y, так что он станет вытянут вдоль оси z ?

б) Как изменятся результаты, если масса себя однородный параллепипед с размерами a b c ?

в) Насколько существенно изменятся результаты, если вместо параллепипеда рассмотреть однородный шар диаметром a ?

Пояснение: Решение задачи выражается через трех- или шестимерные интегралы, значения которых предлагается находить численно методом статистических испытаний.

Согласно представлениям квантовой механики, положение электрона в атоме описывается вероятностным образом. Вероятность P обнаружить электрона в атоме плотность вероятности a= 0.5 так называемый боровский радиус (радиус ближайшей к ядру орбиты электрона в атоме водорода). Соответственно, плотность функций R (r ) и Y () зависит от состояния электрона в атоме, которое обычно характеризуют основными числами: n главное квантовое число, l угловой момент, m проекция углового момента на ось Z.

Смоделировать процесс последовательного наблюдения электрона в атоме водорода и нарисовать распределение плотности заряда электрона (электронное облако) для указанных ниже состояний. Распределение рисовать в плоскости сечения, проходящего через центр атома.

1. Основное состояние, n = 1 :

2. S-состояния, l = 0 :

3. P-состояние, n = 2, l = 1, m = 1 :

4. D-состояние, n = 3, l = 2, m = 1 :

Дополнительные вопросы:

а) Нарисовать электронные облака для перечисленных выше состояний электрона в виде плоской проекции трехмерных объектов.

Король небольшого государства, дабы лишний раз напомнить подданным о своей доброте, приказал в безветренную погоду поднять над денежных купюр и сбросить их на высоте h = 200 м. Купюры падают вниз равномерно со скоростью Vвер = 1 м/с, среднее смещение купюры в произвольном горизонтальном направлении (за счет флуктуаций потоков воздуха и сложного движения купюры) составляет r0 = 0.45 м/с.

Нарисовать картину распределения купюр в горизонтальной плоскости в каждый момент времени (через 1 с) до их падения на землю.

Дополнительные вопросы:

а) Если резиденция короля представляет собой круг с радиусом R = 10 м, то какая часть денежных купюр попадет на территорию резиденции, то есть вернется обратно королю (или насколько мудр был король) ?

б) Если перед сбрасыванием купюр неожиданно начал дуть ветер, сносящий купюры со средней горизонтальной скоростью V гор = 0.1 м/с, то какая часть купюр достанется королю (или насколько просчитается король) ?

в) Как изменятся результаты, если смещение купюры вероятностью принимать значения 0 r0 1 м/с ?

г) Построить гистограмму распределения числа купюр на поверхности земли в зависимости от расстояния r до центра резиденции. Вычислить r и r.

Имеется цепочка сопротивлений, состоящая из 10 одинаковых звеньев.

Средние номиналы всех сопротивлений одинаковы и равны ri = r ± r, где r = 0.3 Ом.

Построить гистограмму распределения сопротивления цепочки (между точками a и b ).

Дополнительные вопросы:

а) Вычислить среднее значение R и дисперсию R.

б) Какова вероятность, что R будет находиться в пределах R ± R ?

в) Нарисовать график зависимости R от числа n звеньев цепи. Объяснить качественно ход зависимости.

свободного пробега молекулы равна плоскости, молекула между столкновениями пробегает одно и то же расстояние, а направление скорости молекулы после столкновения равновероятно по всем углам.

Примечание: Удобно работать в нормированных безразмерных длинах Дополнительные вопросы:

а) Реальная длина l свободного пробега молекулы в газе является случайной величиной и описывается распределением плотности вероятности Решить задачу с учетом случайности длины свободного пробега.

б) Построить график расстояния между текущим положением молекулы и ее начальным положением в зависимости от времени. Какую зависимость напоминает получающийся график ? Используя метод наименьших квадратов, найти параметры этой зависимости.

В газе H 2, находящимся при нормальных условиях, под действием электрического разряда в точке с координатами (0,0) родилось N = соударениями молекул и ионов равно изменение положений ионов со временем. Считать, что ионы между столкновениями пробегают одинаковое расстояние, а при столкновении ион с равной вероятностью рассеивается под любым углом к направлению скорости иона до столкновения.

Примечание: Удобно работать в нормированных координатах x * = x, Дополнительные вопросы:

а) Построить гистограмму распределения ионов вдоль оси x в зависимости от времени.

б) Нарисовать график зависимости среднего квадрата координат ионов Методом наименьших квадратов найти параметры этой зависимости.

электрическое поле с напряженностью E = 1 кВ/см ?

в) Рассмотреть трехмерный случай движения ионов и нарисовать график (xi + yi2 + zi2 ) от времени. Методом наименьших квадратов найти параметры этой зависимости. Насколько существенно результаты отличаются от двумерного случая ?

Небольшой космический спутник питается от солнечной батареи, состоящей из 1010 элементов, соединенных параллельно-последовательно, как показано на рисунке. Э.д.с. каждого элемента равна внутреннее сопротивление элемента r0 = 100 Ом, площадь элемента s 0 = 2 см2. Батарея нагружена на бортовую аппаратуру спутника с сопротивлением r = 1 кОм.

С момента времени t = 0 спутник попадает в пояс микрометеоритов Попадание микрометеорита в солнечный элемент вызывает частичное разрушение последнего, и внутреннее сопротивление элемента скачком увеличивается в 3 раза.

Смоделировать процесс попадания микрометеоритов в батарею и исследовать жизнеспособность спутника.

1. Построить график зависимости мощности P тепла, выделяемого на батарее, от времени.

2. Через какое время эта мощность будет максимальна ? Чему равно максимальное значение выделяемой тепловой мощности ?

3. Если мощность тепла, выделяемого на батарее, становится больше 0.022 Вт, то батарея перегревается и теряет работоспособность. Через какое время это произойдет ?

4. Как изменятся результаты, если промежуток времени t между попаданиями двух микрометеоритов не постоянен, а распределен по экспоненциальному закону с плотностью вероятности p(t ) = n 0 s exp( n0 s t ), где s площадь батареи ?

По ровной наклонной плоскости скользит с постоянной скоростью V = 1 м/с коробка с массой M = 0.3 кг. В момент времени t = 0 пошел косой дождь (капли падают перпендикулярно задней стенке коробки).

Нарисовать графики зависимостей скорости V коробки и пройденного ею пути S от времени.

Дополнительные вопросы:

а) Через какое время скорость коробки достигнет величины 3 м/с ? Какой путь пройдет коробка за это время ?

б) Оценить возможный разброс в длине пути, проходимого коробкой за заданное время.

в) Как изменятся результаты, если падающие капли имеют разброс в радиусах, описываемый распределением плотности вероятности г) Для предыдущего вопроса учесть также, что скорость v0 падения капель зависит от их радиуса как v0 ~ r.

д) Как изменятся результаты, если задняя стенка коробки срезана сверху так, что 80 % капель, попадающих в коробку, ударяют о ее переднюю стенку и скатываются на дно коробки ? Какой окажется суммарная масса коробки при достижении ею скорости 3 м/с ?

е) Как изменятся результаты, если учесть, что коробка при своем движении = 6 10 5 кг/м ? Какую максимальную скорость сможет достичь коробка ?

ж) Пусть из-за намокания поверхности, по которой скользит коробка, коэффициент k тр трения скольжения постепенно уменьшается на 1 % согласно зависимости k тр (t ) = k 0 [ 0.01(1 exp( t T0 )], где k 0 = 0. начальный коэффициент трения, и изменения коэффициента трения. Как в этом случае изменятся ответы на предыдущие вопросы ? Через какое время дождь перестанет влиять на движение коробки ?

( Стохатрон ускоритель заряженных частиц ) Для получения заряженных частиц высоких энергий используются специальные электрофизические установки – ускорители заряженных частиц.

Обычно увеличение энергии частиц в ускорителях происходит за счет ускоряющего электрического поля, которое, как правило, стараются создать таким образом, чтобы частица каждый раз увеличивала свою энергию при прохождении области с электрическим полем. Однако, как показано ниже, возможно и стохастическое ускорение заряженных частиц, когда электрическое поле может как ускорять, так и замедлять пролетающие частицы случайным образом. Такие ускорители получили название стохатронов.

Рассмотрим ускоритель электронов, состоящий из вакуумной камеры, внутри которой движутся частицы, из магнитной системы, поле которой заставляет частицы двигаться по траектории, близкой к окружности, и из напряжение на зазоре в момент его прохождения электроном. Поскольку все реальные магнитные системы и вакуумные камеры обеспечивают лишь ограниченную область пропускания по энергии частиц, будем считать, что электрон погибает на стенках вакуумной камеры, внутри которой он движется, если его энергия меньше некоторой минимальной энергии E min или больше некоторой максимальной энергии E max. Будем также считать, что электроны инжектированы (введены) в вакуумную камеру ускорителя с начальной энергией и в дальнейшем движутся в ускорителе в виде короткого по длине пучка частиц.

Смоделировать работу стохатрона и убедиться, что такая система может служить ускорителем электронов в смысле увеличения средней энергии пучка заряженных частиц.

1. Построить график зависимости средней энергии E электронов в пучке ускорителя от числа n прохождений пучка через ускоряющий зазор с разностью потенциалов U = 500 кВ, если начальная энергия электронов E in = 100 МэВ, минимальная и максимальная энергия, соответственно, количество частиц в пучке для моделирования 1000. Для сравнения построить аналогичный график для случая, когда на ускоряющий зазор приложена одна и та же разность потенциалов + U.

2. Построить график зависимости числа N частиц в электронном пучке от конечной средней энергии E частиц. Показать уменьшение количества частиц в такой системе из-за их потерь на стенках вакуумной камеры.

Найти, какая часть частиц останется в пучке, когда средняя энергия электронов будет 150 МэВ, 200 МэВ ?

Дополнительные вопросы:

а) Для графика средней энергии электронов в пучке как функции числа прохождений через зазор предположить аналитический вид зависимости.

Методом наименьших квадратов найти параметры этой зависимости.

б) Через заданное число k прохождений пучком ускоряющего зазора предусмотреть вывод гистограммы распределения электронов по энергии.

Нанести на гистограмму линии, соответствующие минимально и максимально возможной энергии электронов. Предположить вид зависимости, которая бы неплохо аппроксимировала получаемые гистограммы.

в) Как изменятся результаты моделирования, если при прохождении ускоряющего зазора пучком электронов разность потенциалов на зазоре может принимать случайное значение, равномерно распределенное в интервале от U до + U ?

д) Указать видимые недостатки стохастического метода ускорения заряженных частиц по сравнению с другими, более широко используемыми методами.

( Многократное комптоновское рассеяние ) Рентгеновские кванты падают слева на бериллиевую пластину толщиной D = 10 см. Средняя длина свободного пробега квантов в бериллии поглощается в веществе или с вероятностью рассеивается.

Считать рассеяние квантов изотропным по углу, изменением энергии квантов при рассеянии пренебречь. Рассмотреть движение квантов в пластине с помощью метода Монте-Карло в двумерном (плоском) приближении.

1. Нарисовать картину траекторий квантов при прохождении пластины.

Выделить точки поглощения квантов.

2. Найти вероятности:

поглощения кванта в пластине;

при рассеянии.

3. Построить гистограмму распределения квантов по углу вылета при их выходе из пластины и объяснить качественно результаты.

Дополнительные вопросы:

а) Учесть, что реальное комптоновское рассеяние квантов неизотропно по углу и в двумерном случае описывается плотностью вероятности направления распространения кванта перед рассеянием.

Как изменятся предыдущие результаты с учетом анизотропности рассеяния квантов ?

б) Рассмотреть трехмерный случай распространения квантов в пластине, считая, что рассеяние кванта аксиально симметрично вокруг направления его движения перед рассеянием, а вероятность его рассеяния на угол относительно этого направления описывается плотностью вероятности проекции на плоскость сечения пластины.

Насколько сильно изменятся результаты задачи по сравнению с двумерным случаем ?

Исследовать условия работы гомогенного (однородного) уранa. В графитового ядерного реактора в виде квадрата со стороной начальный момент времени в реакторе находится n = 30 нейтронов, случайно распределенных по реактору. Средняя длина свободного пробега нейтрона до взаимодействия с каким-нибудь ядром равна = 1.7 см. При взаимодействии с ядром возможно:

с вероятностью p s = 0.9632 изотропное рассеяние нейтрона;

с вероятностью p a = 0.0152 поглощение нейтрона без деления ядра;

с вероятностью p f = 0.0216 поглощение нейтрона с делением ядра урана.

При делении ядра урана в среднем вылетает n = 2.47 нейтрона.

Смоделировать работу реактора на основе метода Монте-Карло.

Считать, что нейтроны живут в реакторе поколениями, и число поколений пропорционально времени, а нейтроны до взаимодействия с каким-нибудь ядром пробегают одинаковое расстояние. Также считать, что, если число нейтронов превышает 500, то реактор взрывается; если же число нейтронов становится равным 0, то реактор гаснет. Стенки реактора без отражающих свойств.

1. Построить график зависимости количества нейтронов в реакторе от времени при заданном размере реактора a.

2. Оценить критический размер реактора acr.

3. Рассмотреть такой же реактор, но с формой в виде круга радиусом a 2.

Оценить для него критический размер и сравнить с критическим размером для квадратного реактора.

Радуга одно из удивительных и прекрасных явлений природы, поэтому люди издавна пытались понять, как она возникает. Сначала итальянец Антонио Доминико (1566-1624), а затем Исаак Ньютон (1643-1727) смогли правильно указать физический механизм образования радуги [9]. Согласно этим представлениям, радуга возникает в результате попадания в глаз наблюдателя солнечных лучей, испытавших двукратное преломление и одно отражение в дождевой капле (см. рисунок). Если световой луч испытает внутри капли два последовательных отражения, а затем выйдет из нее, то может наблюдаться вторичная радуга, расположенная выше основной и имеющая обратное чередование цветов по отношению к основной радуге.

Методом Монте-Карло исследовать возникновение радуги при рассеянии света на сферической капле воды. При моделировании считать, что световые лучи от Солнца случайно и равномерно (по поперечному от Солнца к наблюдателю сечению капли) попадают на каплю, испытывая дальше преломления и отражения. Учесть, что преломление лучей на границе раздела сред происходит согласно закону Снеллиуса падающего ( ) и преломленного ( ) луча отсчитываются от нормали к границе раздела, а которой распространяется преломленный луч, относительно среды, в которой распространяется падающий луч. Зависимость показателя преломления воды от длины волны света может быть описана выражением:

1. Построить гистограммы распределения интенсивности рассеянного света от угла, отсчитываемого от начального направления световых лучей, для синего (400 нм), зеленого (550 нм) и красного (650 нм) света. Считать, что никаких потерь лучей в процессах преломления и отражения не происходит. Рассмотреть случаи одного и двух отражений внутри капли.

Определить области углов, в которых наблюдается разделение цветов.

Выяснить, каким входящим в каплю лучам соответствуют эти области углов.

2. В действительности при прохождении светом границы раздела сред возникают и преломленный, и отраженный лучи. Для неполяризованного света зависимость коэффициента отражения R от границы раздела имеет и, соответственно, коэффициент пропускания равен T = 1 R. Это означает, что при прохождении границы раздела сред каждый фотон с вероятностью R может отразиться от границы и с вероятностью T пройти через границу.

Рассмотреть процесс рассеяния света каплей для случаев одного и двух отражений внутри капли с учетом коэффициентов отражения и пропускания. Как изменятся результаты моделирования по сравнению с предыдущим случаем ? Оценить интенсивность цветов во вторичной радуге по отношению к первичной.

( Случайные блуждания и уравнение теплопроводности ) Стационарное распределение температуры в заданной области при отсутствии источников тепла описывается уравнением Лапласа (см.

ПРИЛОЖЕНИЕ) при заданных условиях на границе T | Г = T0 (x, y, z ).

В некоторых случаях решение этого уравнения может быть найдено аналитически. Например, в случае, когда у нас имеется две бесконечные плоскости с разными температурами уравнение Лапласа превращается в одномерное Решением последнего уравнения является Для двумерной или трехмерной задачи с произвольными граничными условиями не всегда возможно найти аналитическое решение T ( x, y ) или T ( x, y, z ), но существует много методов численного решения.

Рассмотрим здесь интересный численный способ решения уравнения теплопроводности для двумерного случая, основанный на методе статистического моделирования. Этот способ особенно хорош, когда не требуется высокая точность результатов, или когда решение нужно найти только для какой-то ограниченной области внутри всей области задания.

области какую-нибудь точку ( x, y ), в которой мы хотим найти значение температуры точки, и пусть дальше каждая из них движется случайным образом с некоторым шагом s. Рано или поздно частица пересечет границу области в некоторой точке i, в которой температура равна Ti = T0 (xi, yi ). Выпустив значение температуры в точке ( x, y ) можем принять среднее значение по всем полученным граничным температурам:

По-другому, если рассмотреть это в обратном направлении по времени, то имеем следующую картину: каждая из частиц приобретает некоторую температуру на границе области и, двигаясь случайным образом, приносит эту температуру в выбранную точку ( x, y ).

Для получения правдоподобных решений необходимо, чтобы величина шага s свободного пробега частиц была много меньше характерных размеров заданной области G. Очевидно также, чем больше частиц будет выпущено из выбранной точки температуры в этой точке будет приближать точное решение.

1. Найти рассмотренным способом распределение температуры между двух бесконечных плоскостей, находящихся на расстоянии a друг от друга.

Температуры плоскостей равны T1 и T2, соответственно.

2. Имеется квадрат со стороной a, на границах которого заданы следующие температуры:

а) Построить график распределения температуры на окружности, центр которой совпадает с центром квадрата, и радиус которой равен Построение графика производить в T = T (), где изменяется от 0 до 2. Какой вид имеет график ?

б) Найти распределение температуры квадрата. Вывести полученное распределение псевдоцветами, разбив полный диапазон температур (Tmax Tmin ) на 16 градаций.

в) Для предыдущего случая произвести вывод найденного распределения в виде трехмерного графика T (x, y ).

Для решения задачи обнаружения сигнала n s на некотором фоновом уровне n f неопределенности в наличии сигнала в смеси применяют прием, называемый критерием Неймана-Пирсона. Суть его заключается в следующем.

Устанавливаются две вероятности ошибочных решений вероятность ложной тревоги и вероятность пропуска сигнала. Вероятности и выбирают достаточно маленькие (как правило, 0.05 и менее), чтобы не очень часто пропускать сигнал, когда он есть, и, наоборот, не поднимать зря тревогу, когда сигнала нет. Для заданных и определяются две величины:

значение не превысило порога M, то говорят, что сигнал отсутствует. В противном случае (больше порога M ) говорят, что сигнал есть.

последовательность распределенных по закону Пуассона импульсов поступает ли сигнал с фоном, либо только фон. Для распределения Пуассона время измерения T и порог M определяются по следующим формулам:

где k и k некоторые величины, определяющиеся вероятностями и = = 0.05 имеем k = k = 1.645.

Пусть счетчик Гейгера, установленный на самолете радиационного мониторинга, регистрирует в среднем радиационного фона. Методом Монте-Карло смоделировать процесс обнаружения возможных дополнительных источников радиации для = = 0.05, = n s n f = 0.5 (при наличии дополнительных источников Моделирование удобно осуществить с помощью счетчика, на вход которого отсутствии дополнительной радиации (сигнала) и интенсивностью n f + n s при наличии сигнала. По истечении заданного времени T накопленная в счетчике сумма сравнивается с порогом M и принимается решение "есть радиация", если порог превышен, или "нет радиации" в противном случае.

Нарисовать график изменения накопленной в счетчике суммы импульсов в зависимости от времени. Обозначить также на графике пороговый уровень M и граничное время измерения T.

Определить "экспериментальные" вероятности ложной тревоги p и пропуска повышенного уровня радиации (проведя не менее испытаний на фоне и на сигнале с фоном, соответственно), и сравнить их с заданными значениями и.

Дополнительные вопросы:

а) Модифицировать критерий Неймана-Пирсона следующим образом. Если зарегистрированное в процессе измерения число импульсов превысило порог M до истечения времени T, то процесс измерения прекращаем и принимаем решение о наличии дополнительной радиации. Оценить экономию во времени измерения при таком алгоритме принятия решения.

( Последовательный обнаружитель сигналов ) При решении задач обнаружения (см. предыдущую задачу) вместо критерия Неймана-Пирсона может применяться последовательный критерий Вальда. В отличие от классического обнаружителя сигналов время измерения в нем не фиксируется, а измеряемая в процессе наблюдений определенная величина сравнивается с двумя порогами пуассоновских сигналов алгоритм принятия решения можно выразить следующим образом. Пока выполняются неравенства и пропуска сигнала, соответственно; = n s n f ; t время измерения; n sf интенсивность поступающих на регистрирующее устройство импульсов (равно либо заключений при заданных вероятностях и должны продолжать измерения. Если же m(t ) становится меньше или равно C 0, измерения прекращают и принимают решение об отсутствии сигнала. Если же величина m(t ) становится больше или равна C1, измерения также прекращают и принимают решение о наличии сигнала. Заметим также, что при равных и порог C1 = C 0.

Смоделировать методом Монте-Карло описанный в предыдущей задаче процесс радиационного мониторинга при = n s n f = 0.5. Моделирование проще всего выполнить с помощью пуассоновский поток импульсов n sf t, а на вход вычитания постоянная частота принимается решение о наличии дополнительной радиации на уровне 50 % от естественного фона, при достижении же нижнего порога отсутствии такой радиации. В процессе моделирования выводить график накопленной в реверсивном счетчике суммы импульсов в зависимости от времени. Отобразить также на экране нижний и верхний пороговые уровни Реверсивный счетчик счетчик импульсов с двумя входами: суммирования и вычитания. При поступлении импульса на вход суммирования, к содержимому счетчика добавляется единица; при поступлении же импульса на вход вычитания, из содержимого счетчика вычитается единица.

Определить "экспериментальные" вероятности ложной тревоги пропуска сигнала (проведя не менее 100 испытаний на фоне и на сигнале с фоном, соответственно) и сравнить их с заданными значениями Определить средние времена обнаружения на фоне и на сигнале с фоном, и сравнить их со временем классического обнаружителя. Среднее время обнаружения и на фоне, и на сигнале с фоном должно быть примерно в два раза меньше, чем в классическом случае.

Электроны с достаточно большой кинетической энергией, бомбардируя поверхность металлов или некоторых других материалов, способны выбивать из них другие электроны. Падающие на поверхность материала электроны называют первичными; электроны же, покидающие поверхность, называют вторичными, а сам процесс получил название вторичная электронная эмиссия. Этот эффект широко используется во многих электронных и оптоэлектронных приборах, в частности, в фотоэлектронном умножителе (ФЭУ) приборе для регистрации слабых световых потоков.

ФЭУ представляет собой откачанный объем со стеклянным окном, на которое с внутренней стороны нанесен материал с малой работой выхода фотокатод (ФК). При попадании фотонов на фотокатод, из последнего вылетают фотоэлектроны внутрь объема ФЭУ. Далее в объеме последовательно размещена система пластин динодов (Д) из материала с большим коэффициентом вторичной эмиссии, т.е. при попадании электрона на динод из последнего вылетает k 1 вторичных электронов.

Между ФК и динодами приложены разности потенциалов таким образом, чтобы электроны, образовавшиеся на ФК или диноде, ускорялись к следующему диноду. Последним динодом, собирающим образовавшуюся лавину электронов, является анод (А), с которого и снимается электрический сигнал.

Процессы рождения вторичных электронов имеют вероятностный характер. Число m вылетевших вторичных электронов с динода хорошо описывается распределением Пуассона k коэффициент вторичной эмиссии (среднее число вылетающих где электронов на один падающий электрон).

коэффициентом вторичной эмиссии k = 4. На ФЭУ посылают слабые световые импульсы, так что с фотокатода всегда вылетает только один электрон.

1. Построить гистограмму распределения числа k an электронов на аноде.

2. Найти M{ k an } среднее число электронов, приходящих на анод, и an дисперсию величины k an. Каков коэффициент усиления ФЭУ ?

3. Какова вероятность, что k an = 0 и, значит, световая вспышка не будет зарегистрирована ?

4. Пусть с фотокатода с равной вероятностью вылетает либо 1, либо электрона. При каком значении k распределения k an от одного и от двух электронов с фотокатода будут отделяться друг от друга, т.е. мы сможем различить один или два электрона вылетают с фотокатода ?

Эффект вторичной электронной эмиссии, с большой пользой используемый во многих приборах (см. задачу "Фотоэлектронный умножитель"), иногда нежелателен, поскольку может приводить к ряду паразитных эффектов. Во многих таких случаях устранить соответствующие трудности достаточно легко: поскольку энергия вторичных электронов невелика, их можно вынудить вернуться на поверхность с помощью слабого электрического поля. Однако, в некоторых случаях полное устранение вторичной электронной эмиссии невозможно.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра радиофизики МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ БИПОЛЯРНЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ (Методические указания по выполнению лабораторных работ) Новосибирск 2012 Методическое руководство к лабораторной работе Биполярные транзисторы составлено на кафедре радиофизики физического факультета НГУ в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор В.С.Бухмин ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Физика поверхности и тонких пленок Цикл ДС ГСЭ - общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины; ЕН - общие математические и естественнонаучные дисциплины; ОПД - общепрофессиональные дисциплины; ДС - дисциплины специализации; ФТД - факультативы. Специальность: 010400 – Физика (Номер специальности) (Название специальности) Принята на заседании кафедры физики твёрдого тела (Название кафедры)...»

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова Кафедра автоматизации технологических процессов и производств ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПРОИЗВОДСТВА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по направлению 651900 Автоматизация и управление,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Методические рекомендации и контрольные работы по дисциплине Биологическая химия для студентов 3 курса заочного отделения фармацевтического факультета Учебно-методическое пособие для вузов Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2009 2 Утверждено научно-методическим советом фармацевтического факультета...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ И. М. Борковская, О. Н. Пыжкова УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Республики Беларусь по химико-технологическому образованию в качестве учебно-методического пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 1-53 01 01 Автоматизация технологических процессов и производств Минск 2010 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки магистров Ю.Г. Пастушенков 30 апреля 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Дополнительный специализированный практикум Проблемы достоверности в физическом эксперименте для студентов 1 курса очной формы обучения Направление подготовки магистров 011200.68 – Физика...»

«Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра экспериментальной физики Исследование дифракции света на системе щелей Методические указания к лабораторной работе М. П. Коробков Санкт-Петербург 2010 Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ Лабораторная работа № 3.15 Исследование дифракции света на системе щелей ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучение явления дифракции световых волн на узкой плоскопараллельной щели и на дифракционной решетке; экспериментальная проверка выполнимости условий...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Геологический факультет Кафедра геофизики МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ГЕОНОТИПЫ ЛОВУШЕК, ИХ ЗНАЧЕНИЕ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ЭТАПЕ ВЫСОКОЙ ОПОИСКОВАННОСТИ НЕДР ТАТАРСТАНА ПО КУРСУ Региональная геофизика Для специальностей – 020302 Геофизика V курс КАЗАНЬ – 2009 Печатается по решению учебно-методической комиссии Геологического факультета Казанского государственного университета Составитель: Ларочкина И.А., доктор геолого-минералогических наук, академик РАЕН...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики Кафедра Химии и естествознания УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Основной образовательной программы по специальности 032301.65 - Регионоведение Благовещенск 2012 2 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 4 2. Краткое изложение...»

«Министерство образования Российской Федерации Ивановская государственная текстильная академия Кафедра химии Контрольные задания по разделу Органическая химия для студентов заочного факультета Иваново 2002 Методические указания содержат контрольные задания по курсу органической химии, включая раздел Химия и физика высокомолекулярных соединений. Указания предназначены для студентов заочного факультета технологических специальностей. Составители: канд. техн. наук, доц. Г.М. Прияткин канд. техн....»

«Ю. А. Зингеренко ОПТИЧЕСКИЕ ЦИФРОВЫЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И СЕТИ СИНХРОННОЙ ЦИФРОВОЙ ИЕРАРХИИ Учебное пособие Санкт-Петербург 2013 Ю.А. Зингеренко. Оптические цифровые телекоммуникационные системы и сети синхронной цифровой иерархии. - Учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. – 393 с. Учебное пособие посвящено принципам построения оптических цифровых телекоммуникационных систем и сетей, использующих технологию синхронной цифровой иерархии (SDH). Основное внимание уделено непосредственно...»

«Федеральное агентство по образованию Томский политехнический университет Кафедра теоретической и экспериментальной физики УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ _ Ю.И.Тюрин “_” _ 2008 г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА И МОДУЛЯ ЮНГА РЕЗОНАНСНЫМ МЕТОДОМ Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-25a по курсу Общая физика по разделу Колебания и волны для студентов всех специальностей. Томск 2008 УДК 53.072:681.3. Определение скорости звука и модуля Юнга резонансным методом. Методические указания к...»

«П.П. Власов, С.В. Спицкий, В.Д. Шаханов Экология Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна Кафедра инженерной химии и промышленной экологии Экология Методические указания для студентов заочной формы обучения всех специальностей Составители: П.П. Власов C.В. Спицкий В.Д Шаханов Санкт-Петербург 2005 Утверждено На заседании кафедры...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор В.С.Бухмин ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Физика магнитных материалов и полупроводников Цикл ДС ГСЭ - общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины; ЕН - общие математические и естественнонаучные дисциплины; ОПД - общепрофессиональные дисциплины; ДС - дисциплины специализации; ФТД - факультативы. Специальность: 010400 – Физика (Номер специальности) (Название специальности) Принята на заседании кафедры физики твердого тела (Название...»

«Литература: 1. Мазюк В.В. Расчет и оптимизация по пределу теплопереноса порошковых капиллярных структур низкотемпературных тепловых труб: [Текст] Дисс. канд. техн. наук. – Минск, 1990. – 139 с. 2. Изделия порошковые. Методы определения плотности содержания масла и пористости. ГОСТ 18898-89. – Введ. 01.01.91. – Москва: Государственный комитет СССР по стандартам, 1991. – 10 стр. 3. Материалы порошковые. Метод определения величины пор: ГОСТ 26849-86. – Введ. 27.04.89. – Москва: Государственный...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор В.С.Бухмин ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Современные методы экспериментальной физики Цикл ФТД ГСЭ - общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины; ЕН - общие математические и естественнонаучные дисциплины; ОПД - общепрофессиональные дисциплины; ДС - дисциплины специализации; ФТД - факультативы. Специальность: 010400 – Физика (Номер специальности) (Название специальности) Принята на заседании кафедры физики твёрдого тела (Название...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе профессор В.Л. ТРУШКО ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ГОРНОПРОМЫШЛЕННАЯ И НЕФТЕГАЗОПРОМЫСЛОВАЯ ГЕОЛОГИЯ, ГЕОФИЗИКА, МАРКШЕЙДЕРСКОЕ ДЕЛО И ГЕОМЕТРИЯ НЕДР, соответствующей направленности (профилю) направления подготовки...»

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ Ю. Л. Крученок ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Учебное пособие Минск 2005 Рекомендовано Ученым советом факультета радиофизики и электроники 30 марта 2004 г., протокол № 8 Крученок Ю. Л. Экономико-математические методы и модели: Учебное пособие. – Мн.: БГУ, 2005. – 100 с. Излагаются материалы лекций курса Экономико-математические методы и модели для студентов специальности E 25 01 10 Коммерческая деятельность...»

«МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ Академия Государственной противопожарной службы В.И. Слуев, А.В. Клыгин МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СЛУШАТЕЛЕЙ ВТОРОГО КУРСА ФЗО Москва 2004 МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ Академия Государственной противопожарной службы В.И. Слуев, А.В....»

«www.ReshuZadachi.ru задачи решают тут Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра аналитической химии АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплинам Аналитическая химия, Аналитическая химия и физико-химические методы анализа для студентов химикотехнологических специальностей заочной формы обучения Минск 2012 1 www.ReshuZadachi.ru задачи решают тут УДК 543(075.4) ББК 24.4я А Рассмотрены и рекомендованы к...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.