WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

НГАВТ - Стр 1 из 57

Е.С. Мироненко

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

инженерных специальностей высших учебных заведений

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1998

НГАВТ - Стр 2 из 57

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Цель преподавания математики в вузе — ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыка математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Настоящее пособие для студентов-заочников содержит методические указания и контрольные задания по курсам аналитической геометрии, линейной алгебры, математического анализа, функций комплексной переменной, теория поля, числовых и функциональных рядов, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, теории вероятностей и математической статистики.

Всего предусматривается выполнение восьми контрольных работ, причем каждое задание содержит по 20 вариантов. Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям, рекомендуемым в данной книге. В ней же даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.

Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить устную или письменную консультацию на учебно-консультационных пунктах.

Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины я дату отправки работы в институт.

Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.





В прорецензированной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию.

Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

В случае необходимости все дополнительные сведения, связанные со спецификой учебных планов данного вуза или с методикой изучения курса, принятой в этом вузе, сообщаются студентам кафедрами высшей математики вузов дополнительно к настоящему пособию.

НГАВТ - Стр 3 из

ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрия и линейной алгебры. M.: 1987, 1998.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры а аналитической геометрии.— М.: 1980, 1984.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление.— М.: 1980, 1984.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.:

1981, 1985.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник - М.: 1982, 1987.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М.:

1997.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.— М.: 1997.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (в двух частях). — М.: 1996, 1997.

9. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П.

Демидовича - М.: 1986, 1987.

10. Щипачев В. С. Высшая математика - М.: 1996.

11. Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. М.: 1998.

НГАВТ - Стр 4 из

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ

И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Основные теоретические сведения 1. Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D, равное алгебраической сумме n! членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Обозначение:

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженный на (- 1)i+j.

Рекуррентная формула для вычисления определителя n-го порядка имеет вид (разложение определителя по элементам n-й строки).

Определитель второго порядка b = bx i + by j + bz k называется число, определяемое равенством где j - угол между векторами a и b.

3. Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор с, длина которого равна произведению длин векторов-сомножителей на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам векторы a, b, с образуют правую тройку (рис. 1):





Геометрически c равен площади S параллелограмма, построенного на векrr торах Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, с.

5. Общее уравнение плоскости Р имеет вид где N = Ai + Bj + Ck - нормальный вектор плоскости (рис. 2).

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М0(x0,y0,z0), М1(x1,y1,z1), и М2(x2,y2,z2) имеет вид Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы N1 = A1i + B1 j + C1k и N 2 = A2i + B2 j + C2 k, определяется как угол между N1 и N 2 ; косинус этого угла находится по формуле 6. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки М0(x0,y0,z0) и М1(x1,y1,z1) имеют вид 7. Матрицей A = ( a ij ) размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из т строк и n столбцов:

Произведением матрицы A = ( a ij ) размера m r на матрицу B = (b jk ) размера r n называется матрица C = AB = ( cik ) размера m n c элементами (поэлементное умножение i-й строки матрицы A на k-й столбец матрицы B).

Матрица размера n n называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы a11, a 22,..., a nn образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы н обозначается A или det A.

матрицей n-го порядка.

Матрица A Элементы aij обратной матрицы A где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij, матрицы A, а A - ее определитель.

8. Матрица Ar называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю; например, Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду Ar путем элементарных преобразований: а) перестановки столбцов (строк); б) умножения столбца (строки) на число, отличное от нуля; в) прибавления к элементам какоголибо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.

Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: A ~ Ar.

Число г единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы Ar не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы A: r(A)=r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

9. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3 имеет вид где аij - коэффициенты системы; bi - свободные члены. Определитель третьего порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Если D 0, то единственное решение системы (10) выражается формулами Крамера:

где D1, D 2, D 3 - определители третьего порядка, получаемые из определителя системы D заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами b1, b2, b3.

Систему (10) можно записать матричной форме: AX = B, где Тогда ее решение имеет вид если определитель системы отличен от нуля.

Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т. е.

то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n – r неизвестных выбираются произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.

9. Вектор-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы А п-го порядка, соответствующим собственному значению l, если он удовлетворяет матричному уравнению Здесь Е - единичная матрица n-го порядка, а 0 - нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор ХО, получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений l:

Координаты собственного вектора Xi соответствующего собственному значению li, являются решением системы уравнений

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Пример 1. По координатам вершин пирамиды А1 (3; -2; 2), А2 (1; —3; 1), A3 (2;

0; 4), А4 (6; -4; 6) найти: 1) длины ребер А1Аг и А1А3; 2) угол между ребрами А1Аг и А1А3; 3) площадь грани А1АгА3 ; 4) объем пирамиды Решение. 1) Находим векторы А1Аг и А1А3:

Длины этих векторов, т. е. длины ребер А1Аг и А1А3, таковы:

2) Скалярное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 находим по формуле (1):

а косинус угла между ними — по формуле (5):

Отсюда следует, что f — тупой угол, равный p - arccos 0,27 = 1,85 рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А1Аг и А1А3.

3) Площадь грани А1АгА3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах A1 A2 и A1 A3, т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов [см. формулу (2)]:

Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно, 4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах A1 A2, A1 A3, A1 A4. Вектор A1 A4 = 3i - 2 j + 4k. Используя формулу (3), получаем Пример 2. Найти угол между плоскостью Р1, проходящей через точки А1 (2;

—4; 1), А2 (—1; 2; 0), А3 (0; —2; 3), и плоскостью Р2, заданной уравнением 5х+2у-3z=0.

Решение. Уравнение плоскости Р1 находим по формуле (4):

т. е.

N1 = 7i + 4 j + 3k, N 2 = 5i + 2 j - 3k. Угол j между плоскостями P1 и P находим по формуле (5):

откуда j = arccos 0,64 = 0,87 рад.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А1 (4; -3; 1) и А2 (5; -3; 0).

Решение. Используя формулу (6), получаем Равенство нулю знаменателя второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости y = -3.

Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений Решение. Вычислим определитель системы Так как D 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера (11). Для этого найдем D 1, D 2, D 3 :

Подставляя найденные значения определителей в формулы (11), получаем искомое решение системы: x1 = D 1 / D = 3, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 2.

Пример 5. Найти решение системы примера 4 с помощью обратной матрицы.

Решение. Здесь Так как определитель матрицы системы отличен от нуля (см. пример 4):

A = -26, то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы A -1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Согласно формуле (9), матрица A, обратная к А, имеет вид Проверим правильность вычисления A, исходя из определения обратной матрицы (8) и используя формулу (7):

Матричное решение системы (16) в силу формулы (12) имеет вид откуда следует (из условия равенства двух матриц), что х1 = 3, х2 = - 5, х3 = 2.

Пример 6. Найти решение однородной системы линейных уравнений Решение. Однородная система имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных [см. формулу (13)]. Приведем матрицу А к каноническому виду Ar путем элементарных преобразований. Прибавляя к 1-му столбцу 3НГАВТ - Стр 15 из й, а из 3-го вычитая 2-й, получаем Умножим 1-й столбец на 1/4, а затем вычтем из 3-й строки 1-ю:

Из 3-й строки вычтем 2-ю, умноженную на 4, а затем ко 2-му и 3-му столбцам прибавим 1-й столбец, умноженный соответственно на 3 и 1:

Таким образом, ранг матрицы А равен 2 и система (17) имеет нетривиальное решение. Примем за главные неизвестные x1 и x 2. Тогда система (17) сводится к системе двух уравнений решение которой имеет вид x1 = x 3, x 2 = - x 3. Придавал свободному неизвестному x 3 произвольные значения x 3 = 5 t, получаем решение системы Пример 7. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (14):

откуда следует, что матрица А имеет два собственных значения l1 = 4 и l2 = -1. Собственный вектор X 1, соответствующий l1 = 4, определяется из системы уравнений вида (15) которая сводится к одному уравнению x1 = 2x 2. Полагая x 2 = t, получаем решение в виде x1 = 2 t, x 2 = t. Следовательно, первый собственный вектор есть Второй собственный вектор X 2, соответствующий собственному значению l2 = -1, определяется из системы уравнений вида (15):

Эта система уравнений также сводится к одному уравнению x1 + 3 x 2 = 0 ;

полагая x 2 = t, запишем ее решение в виде x1 = -3t, x 2 = t. Следовательно, второй собственный вектор есть Таким образом, матрица А имеет два собственных различных значение l1 = 4 и l2 = -1 и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. Прямоугольные координаты (х, у) точки М и ее полярные координаты ( r, j ) связаны соотношениями где r - полярный радиус, а j - полярный угол точки М (рис. 3).

2. Определение конечного предела функции в точке: число А называется пределом функции f ( x ) при x ® a, если для любого e 0 найдется d Функция f ( x ) ( F ( x )) называется бесконечно малой (бесконечно большой) Две функции бесконечности при x ® a, называются эквивалентными, если lim x®a j ( x ) Обозначение: f ( x ) ~ j ( x ).

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной ей функцией, т. е.

3. К основным элементарным функциям относятся: 1) степенная функция y = x n ; 2) показательна функция y = a x ; 3) логарифмическая функция y = log a x ; 4) тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x; 5) обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x.

Предел элементарной функции в точке области ее определения равен частному значению функции в этой точке: lim f ( x ) = f ( a ).

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям вида -, 0, 0 / 0, 1, 0,.

Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при x ® 3) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших; 4) использование двух замечательных пределов:

Отметим также, что 4. Функция/(х) называется непрерывной в точке x = a, если:

1) частное значение функции в точке x = a равно f (a ) ;

2) существуют конечные односторонние пределы функции 3) односторонние пределы равны:

4) предельное значение функции в точке x = a равно ее частному значению Обозначение: lim f ( x ) = f ( a ) Точка x = a называется точкой устранимого разрыва, если f ( a ) С [нарушается условие (6)].

Точка x = a называется точкой разрыва первого рода, если оба односторонних предела конечны, но f ( a - 0 ) f ( a + 0 ) [нарушается условие (5)].

Точка x = a называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует [нарушается условие (4)].

комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь i2 = - 1, x = Re z — действительная часть, а y = Im z — мнимая часть комплексного числа z ; r и j — модуль и аргумент числа z.

Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.

4).

Извлечение корня n-й степени (n — натуральное число) из числа z = x + yi = r (cos j + i sin j ) ( z 0 ) производится по формуле z=x+iy Пример 1. Найти полярные координаты точки M ( 3 ;- 1) (рис. 5).

Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки М:

так как точка М лежит в IV четверти.

Пример 2. Построить по точкам график r = 2 sin j в полярной системе координат. Найти уравнение полученной кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ох — с полярной осью. Определить вид кривой.

Решение. Так как полярный радиус не отрицателен, т. е. r 0, то sin j 0, откуда 0 j p ; значит, вся кривая расположена в верхней полуплоскости. Составим вспомогательную таблицу:

Для построения кривой на луче, проведенном из полюса под углом j k, откладываем соответствующее значение полярного радиуса r k = r (j k ) и соединяем полученные точки (рис. 6).

Найдем уравнение кривой r = 2 sin j в прямоугольной системе координат.

Для этого заменим r и j их выражениями через x и y по формулам (1):

Окончательно имеем x + ( y - 1 ) = 1, т. е. рассматриваемое уравнение выражает окружность с центром в точке (0; 1) и единичным радиусом.

Пример 3. Найти x ® Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе — бесконечно малую функцию:

Поэтому lim Пример 4. Найти lim Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида /. Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т. е. на x. В результате получим поскольку при x ® функции 5 / x и 7 / x являются бесконечно малыми.

Пример 5. Найти limx ® 0 ln( 1 - x 2 ) Решение. Для раскрытия получающейся здесь неопределенности вида 0 / используем метод замены бесконечно малых эквивалентными. Так как при x® формулы (2) находим Пример 6. Найти x® -2( 5 + 2 x ) Решение. Подстановка Произведем замену переменных: y = x + 2, x ® - 2 y = 0. Тогда Здесь использован второй замечательный предел (3).

Пример 7. Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме Решение. Очевидно, что при малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых, используя замену бесконечно малых эквивалентными:

Следовательно, функция второму слагаемому.

Пример 8. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Решение. Так как данная функция определена на всей числовой оси, то «подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется аналиx = - 1 и x = 0. Вычислим тическое выражение функции, т. е. точки односторонние пределы в этих точках.

Для точки x = - 1 имеем:

Односторонние пределы функции в точке x = - 1 существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки x = 0 получаем Односторонние пределы функции при x ® 0 равны между собой и равны исследуемая точка является точкой непрерывности.

График данной функции приведен на рис. 7.

z 2 = 2 cos + i sin. Записать число z1 в тригонометрической, а число z в алгебраической форме.

Решение. 1) Для числа Откладывая по оси Ox x1 = - 8, а по оси Oy y1 = 0, получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу z1 (рис. 8). Модуль этого числа находим по формуле (7):

tgj = = = 0. Так как число z1 находится в левой полуплоскости, то его аргумент j 1 = p. Тригонометрическая форма числа z1 имеет вид 2) Модуль числа z 2 равен r 2, а аргумент j 2 =. Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом j 2 = к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной r 2 = 2. Полученная точка Im z 2 = y2 = r 2 sin j 2 = 2 sin = 2. Таким образом, алгебраическая форма числа z 2 имеет вид z 2 = 2 + i 2.

Пример 10. Вычислить - Решение. Модуль числа - 8 равен 8, а аргумент равен p. Используя формулу (8), получаем

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

1. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность 0 / 0 или / ) равен пределу отношения их производных:

если предел справа существует.

2. Если в некоторой окрестности точки f ( x ) f ( x 0 ) или f ( x ) f ( x 0 ), то точка x 0 называется точкой экстремума f ( x ) (соответственно точкой максимума или минимума).

функции Необходимое условие экстремума: если x 0 — экстремальная точка функции f ( x ), то первая производная f ( x 0 ) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: x 0 является экстремальной точкой функции f ( x ), если ее первая производная f ( x ) меняет знак при переходе через точку x 0 : с плюса на минус — при максимуме, с минуса на плюс — при минимуме.

3. Точка x 0 называется точкой перегиба кривой y = f ( x ), если при переходе через точку условие точки перегиба: если x 0 — точка перегиба кривой y = f ( x ), то вторая производная f ( x 0 ) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба: x 0 является точкой перегиба кривой y = f ( x ), если при переходе через точку x 0 вторая производная f ( x 0 ) меняет знак, y = f ( x ), если расстояние от точки ( x ; f ( x )) кривой до этой прямой стремится к нулю при x ®. При этом При k = 0 имеем горизонтальную асимптоту: y = b.

то прямая x = a называется вертикальной асимптотой, 4. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функция;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднения, точки пересечения графика функция с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решения уравнений y ( x ) = 0, y ( x ) = и y не существует;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений y ( x ) = 0, y ( x ) = и y не существует;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование цроведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

6. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных u = f ( x, y, z ) по аргументу x называется предел (приращение получает только один аргумент x ). Обозначение: u =.

Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной u( x ) = f ( x, y0, z 0 ), полученной при фиксировании аргументов y и z : y = y0, z = z 0.

7. Скалярным полем U = U ( M ) называется скалярная функция точки M вместе с областью ее определения.

Уравнение определяет семейство поверхностей (или линий) уровня, на которых скалярное поле принимает одно и то же значение C.

Скалярное поле U ( M ) характеризуется градиентом и производной по направлению произведению grad U и единичного вектора l направления l :

Пример 1. Составить уравнение касательной к нормали к кривой y = 1 - 4 x в точке, абсцисса которой x 0 = - 2.

Пример 2. Используя правило Лопиталя, вычислить предел функции:

Решение. 1) Подстановка предельного значення аргумента x = 2 приводит к неопределенности вида 0 / 0. Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (1):

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по-прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз:

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5.

2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида, применим правило Лопиталя:

y = 0 и y = получаем точки, «подозрительные» на экстремум: x 1 = 0, x 2 = - 3, x 3 = - 1. Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака y :

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками x 1, x 2, x 3 и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной y в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Решение. Точка x = - 1 является точкой разрыва функции. Так как графика функции [см. формулы (3)].

Ищем наклонные асимптоты yac = kx + b, используя формулы (2):

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид y ac = - x + 2.

Пример 5. Построить график функции y = x + 1 ) 2, используя общую схему исследования функции.

Решение. I. Область определения: ( -, - 1 ), ( - 1, + ). Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

График функции имеет одну вертикальную асимптоту x = - 1 и одну наклонную асимптоту y = - x + 2 (см. пример 4). Он пересекает координатные оси в точке (0; 0).

II. Функция имеет один минимум при x = - 3 (см. пример 3).

III. Вторая производная x = - 1 и равна нулю в точке x = 0, которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):

y=x + 1 ) 2 (рис. 9).

Пример 6. Найти первую производную функции параметрически:

x t = -, y t = 2( t - 1). Искомая производная от y по x равна отношению производных от y (t ) и от x (t ) по t :

Решение. Считая функцию u функцией только одной переменной x, а переменные y и z рассматривая как постоянные [см. формулу (4)], находим = z x. Аналогично, считая u функцией только y, а затем только z, получаем Пример 8. Найти поверхности уровня скалярного поля U = x + y + z.

Вычислить производную поля в точке вектора AB, где B ( 0; - 4; 3 ).

Решение. Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат [см. формулу (5)]: x + y + z = С.

Градиент вычисляется по формуле (6): gradU = 2 x i + 2 y j + 2 zk.

Найдем единичный вектор AB :

а затем по формуле (7) производную скалярного поля U по направлению вектора AB в точке A :

0, то данное скалярное поле убывает в направлении вектора Так как

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №

I. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых А1А2 и А1А3; 6) уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4; 7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4.

1. А1(-1; 2; 1), А2(-2; 2; 5), А3(-3; 3; 1), А4(-1; 4; 3).

2. А1(-2; I; -1), А2(-3; 1; 3), А3(-4; 2; -1), А4(-2; 3; 1).

3. А1(1; 1; 2), А2(0; 1; 6), А3(-l; 2; 2), A4(l; 3; 4).

4. А1(-1; -2; 1), А2(-2; -2; 5), А3(-3, -1; 1), A4(-1; 0; 3).

5. А1(2; -1; 1), А2(1; -1; 5), (0; 0; 1), (2; 1; 3).

6. А1(-l; 1; -2), А2(-2; 1; +2), А3(-3; 2; -2), А4(-1; 3;0).

7. А1 (1; 2; 1), А2(0; 2; 5), А3(-1; 3; 1), А4(1; 4; 3).

8. А1(-2; -1; 1), А2(-3; -1; 5), А3(-4; 0; 1), А4(-2; 1; 3).

9. А1 (1; -1; 2), А2(0; -1; 6), А3(-1; 0; 2), А4(1; 1; 4).

10. А1(1; -2; 1), А2(0; -2; 5), А3(-1; -1; 1), А4(0; 0; 3).

11. А1 (0; 3; 2), А2(-1; 3; 6), А3(-2; 4; 2), А4(0; 5; 4).

12. А1(-1; 2; 0), А2(-2 2; 4), А3(-3; 3; 0), А4(-1; 4; 2).

13. А1(2; 2; З), А2(1; 2; 7), А3(0; 3; З), А4(2; 4; 5).

14. А1(0; -1; 2), А2(-1; -1; 6), А3(-2; 0; 2), А4(0; 1; 4).

15. А1(3; 0; 2), А2(2; 0; 6), А3(1; 1; 2), А4(3; 2; 4).

16. А1(0; 2; -1), А2(-1; 2; 3), А3(-2; 3; 7), А4(0; 4; 1).

17. А1(2; 3; 2), А2(1; 3; 6), А3(0; 4; 2), А4(2; 5; 4).

18. А1(-1; 0; 2), А2(-2; 0; 6), А3(-3; 1; 2), А4(-1; 2; 4).

19. А1 (2; 0; 3), А2(1; 0; 7), А3(0; 1; 3), А4(2; 2; 5).

19.А1(2; -1; 2), А2(1; -1; 6), А3(0; 0; 2), А4(2; 1;4).

II. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.

III. Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

IV. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №

каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ax + By + C = 0.

Построить графики кривой и прямой.

II. Требуется: 1) построить по точкам график функции r = r (j ) в полярной системе координат. Значение функции вычислять в точках j k = p k / 8 ;

2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ox - с полярной осью; 3) определить вид кривой.

III. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

14. 1) IV. Функция f ( x ) представляет собой сумму трех одночленов. Указать среди них одночлен, эквивалентный всей сумме: а) при x ® 0 ; б) при x ®.

V. Исследовать функцию y = f ( x ) на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

VI. А. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа z = z1 + z 2. Изобразить числа z1, z 2 и z на комплексной плоскости.

Вычислить z по формуле Муавра.

Б. решить уравнение z1, z 2, z 3 на комплексной плоскости.

Проверить, что

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №

I. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения производной.

II. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

4. 1) y = 5 x - arcsin x 5. 1) y = 4 x + arctg x 6. 1) y = 5 x - 7 arcctg x III. Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой y = f ( x ) в точке, абсцисса которой равна x 0.

11. y = 13. y = 16. y = x IV. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

V. Построить график функции исследования функции.

r= x 2 + y 2 + z 2. Вычислить производную этого поля в точке А по направлению вектора AB VI. Б. Дано скалярное поле u = u( x, y ). Требуется: 1) составить уравнение линии уровня u = C и построить ее график; 2) вычислить с помощью градиента производную скалярного поля u = u( x, y ) в точке A по направлению вектора AB ; 3) найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке A

ПРИЛОЖЕНИЯ

Здесь C = const, u и v - дифференцируемые функции.



 
Похожие работы:

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВМАТЕМАТИКОВ Под редакцией профессора В.А. Макарова ЧАСТЬ III Н.В. Нетребко, И.П. Николаев, М.С. Полякова, В.И. Шмальгаузен ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ МОСКВА 2006 УДК 530.1 (075.8) ББК 22.2 Н62 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ТЕХНОЛОГИЯ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКИ Основной образовательной программы по специальности 010701.65 - Физика Благовещенск 2012 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 4 2. Краткое изложение программного материала 13 3 Методические указания...»

«Министерство общего и профессионального образования РФ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра теоретической физики ЗАПРЯГАЕВ С. А. МАГНИТОСТАТИКА Методические указания к практическим занятиям по курсу ЭЛЕКТРОДИНАМИКА для студентов 3-го курса дневного отделения Работа выполнена при поддержке гранта VZ-010 Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF). Воронеж 2003 1 1 МАГНИТОСТАТИКА 1.1 Система уравнений Максвелла Магнитостатика - это раздел...»

«Учреждение образования Белорусский государственный медицинский университет Кафедра поликлинической терапии ТЕМА: Дифференциальная диагностика болей в грудной клетке. Некоронарогенные заболевания сердца: амбулаторная диагностика, принципы лечения, врачебная тактика, медикосоциальная экспертиза, диспансеризация, профилактика МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для студентов 5 курса лечебного факультета и МФИУ Утверждено на методическом совещании кафедры _ 2012 г. Протокол № Общие требования к проведению...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе профессор В.Л. ТРУШКО ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ГОРНОПРОМЫШЛЕННАЯ И НЕФТЕГАЗОПРОМЫСЛОВАЯ ГЕОЛОГИЯ, ГЕОФИЗИКА, МАРКШЕЙДЕРСКОЕ ДЕЛО И ГЕОМЕТРИЯ НЕДР, соответствующей направленности (профилю) направления подготовки...»

«9435 УДК 519.711; 378.4 ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ СТУДЕНТАМ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА А.Ю. Ощепков Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, Данщина ул., 19 E-mail: aos57@mail.ru Ключевые слова: система автоматического управления, преподавание теории управления, физические исследования, применение теории управления в физике, Аннотация: В докладе излагается опыт преподавания теории автоматического управления студентам физического факультета...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор В.С.Бухмин ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Современные методы экспериментальной физики Цикл ФТД ГСЭ - общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины; ЕН - общие математические и естественнонаучные дисциплины; ОПД - общепрофессиональные дисциплины; ДС - дисциплины специализации; ФТД - факультативы. Специальность: 010400 – Физика (Номер специальности) (Название специальности) Принята на заседании кафедры физики твёрдого тела (Название...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Основы материаловедения Основной образовательной программы по специальности: 010701.65 Физика Специализация Физическое материаловедение Благовещенск 2012 г. 1 УМКД разработан старшим преподавателем Волковой Натальей Александровной. Рассмотрен и...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ ПАДАЮЩЕГО ШАРИКА Методические указания к лабораторной работе для студентов всех технических направлений дневной и заочной формы обучения Ухта 2012 УДК 53(075) ББК 22.3 Я7 Б 73 Богданов, Н. П. Определение динамической вязкости жидкости по методу падающего шарика...»

«А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. С. Семёнов АЛГ ОР ИТ МЫ МЕ Т О Д О В ВЗВЕ Ш Е ННЫ Х НЕВЯЗОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В СИСТЕМЕ MATHCAD Учебное пособие Ульяновск 2006 УДК 519.6 (075) ББК 22.311 я7 A 67 Рецензенты: Кафедра прикладной математики Ульяновского государственного университета (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор А. А. Бутов); Доктор физико-математических наук, проф. УлГУ В. Л. Леонтьев. Утверждено...»

«П.П. Власов, С.В. Спицкий, В.Д. Шаханов Экология Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна Кафедра инженерной химии и промышленной экологии Экология Методические указания для студентов заочной формы обучения всех специальностей Составители: П.П. Власов C.В. Спицкий В.Д Шаханов Санкт-Петербург 2005 Утверждено На заседании кафедры...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра радиофизики МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ БИПОЛЯРНЫЕ ТРАНЗИСТОРЫ (Методические указания по выполнению лабораторных работ) Новосибирск 2012 Методическое руководство к лабораторной работе Биполярные транзисторы составлено на кафедре радиофизики физического факультета НГУ в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет Рабочая тетрадь для лабораторных работ студента Ф.И.О. группа _ Подписано в печать 31.08.2009 Формат 60 84/16. 2,79 усл. печ. л. Тираж 200 экз. Заказ № 320 Издательско-полиграфический центр ТГТУ 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14 Тамбов Издательство ТГТУ 2009 УДК 535 ББК В343я73-5 Б907 Рецензент Доктор технических наук, профессор кафедры Автоматизированные системы и приборы ТГТУ...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ кафедра Мобилизационной подготовки здравоохранения и медицины катастроф Основы радиобиологии Учебно-методическое пособие Волгоград – 2010 УДК 615.9-0.53.2:614.1:31 Рекомендуется Учебно-методическим объединением по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России в качестве учебного пособия для системы профессионального образования студентов медицинских вузов УМО Авторы: кандидат...»

«0BПредисловие В основу данного учебного пособия положен специальный курс лекций, читаемый автором для магистрантов НГУ на кафедре радиофизики. Структура изложения материала является традиционной для данного предмета. Отчасти она близка к структуре таких учебников, как: И. В. Лебедев Техника и приборы СВЧ, Л. М. Андрушко и В. М. Бурмистенко Электронные и квантовые приборы СВЧ и др. Вместе с тем, пособие знакомит также с некоторыми методам генерации и усиления СВЧ колебаний, разработанными в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ РАДИОФИЗИКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ КАФЕДРА РАДИОФИЗИКИ Методические указания к лабораторной работе Исследование невзаимных пассивных микрополосковых устройств СВЧ по курсам Прикладная электродинамика, Электроника СВЧ для студентов специальностей Н.02.02.00-Радиофизика, Н.02.03.00-Физическая электроника Минск 2002 Составители: А.Г. Будай, к.т.н. В.И. Демидчик, доцент В.С.Курило, старший преподаватель...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки магистров Ю.Г. Пастушенков 30 апреля 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Дополнительный специализированный практикум Проблемы достоверности в физическом эксперименте для студентов 1 курса очной формы обучения Направление подготовки магистров 011200.68 – Физика...»

«Международный университет природы, общества и человека Дубна Кафедра Ядерной физики ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ ОПТИКА Дубна, 2006 Лабораторный практикум по общей физике. Оптика. / А.В. Карпов, Н.И. Ескин, И.С. Петрухин, под редакцией Г.Р. Лошкина. Технический редактор А.С. Деникин. В учебное пособие включены описания 11 лабораторных работ по общей физике (раздел Оптика). Работы и методические указания к ним разработаны сотрудниками университета Дубна и МФТИ под редакцией профессора...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет Т. Л. Сабатулина ЧИСЛЕННАЯ ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Методические указания для студентов направления Информационные системы и технологии Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета 2012 УДК 519.6 С34...»

«Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев Геометрия в двух частях Допущено Министерством образования и науки РФ   в качестве учебного пособия   для студентов физико-математических факультетов   педагогических вузов часть 2 Второе издание, стереотипное УДК 514.1(075.8) ББК 22.151.1я73 А92 Рецензент: Л.Е. Евтушик, д-р физ.-мат. наук, В.И. Близникас, проф. Атанасян Л.С. А92 Геометрия: в 2 ч. — Ч. 2 : учебное пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. — 2-е изд., стер. — М. : КНОРУС, 2011. — 424 с....»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.