WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

"Тверской государственный университет"

УТВЕРЖДАЮ

Декан физического факультета

_ Б. Б. Педько

_ 2007 г.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

по дисциплине

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

для студентов 2 курса очной формы обучения специальности: 010700.62 – физика, 010704.65 – физика конденсированного состояния вещества, 010801.65 – радиофизика и электроника Обсуждено на заседании кафедры Составитель:

математических методов старший преподаватель современного естествознания 20 г. Протокол № Е.Г. Воронцова Зав. кафедрой А.Н. Цирулев Тверь

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ стр. УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА стр. РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА стр.

ПЛАНЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО

ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ стр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ стр. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ стр.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ стр. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЙТИНГ-КОНТРОЛЮ стр.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ

РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ стр. ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА стр.

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Дифференциальные и интегральные уравнения» является обязательной ступенью базовой математической подготовки студентов с учетом специальных требований к их профессиональной подготовке. Он следует за курсом "Математический анализ" и является основополагающим для последующих базовых учебных курсов, а также для специальных курсов.

От слушателей требуются следующие предварительные знания и навыки из курсов математического анализа и линейной алгебры:

дифференцирование и интегрирование функций одной переменной, свойства определенных интегралов, вычисление и свойства частных производных и дифференциалов функций многих переменных первого и высших порядков, алгебраические операции над матрицами, вычисление собственных чисел и собственных векторов квадратных матриц, общие свойства линейных пространств и линейных операторов.





Требования ГОС ВПО к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки специалиста:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ:

Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Уравнения первого порядка. Уравнения высших порядков. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория устойчивости. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Уравнения в частных производных первого порядка.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ:

Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Однородное и неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Задача Штурма-Лиувилля.

Принцип сжатых отображений. Уравнение Вольтерра. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Необходимое и достаточные условия экстремума функционала, задачи на условный экстремум, задачи с закрепленными границами и подвижной границей.

дифференциальных уравнений и связанных с ними задач.

Предмет интегральных уравнений – изучение функциональных уравнений, содержащих интегральные преобразования над неизвестной функцией.

Предмет вариационного исчисления – изучение вариации функционалов.

Цели и задачи дисциплины:

• освоение основных понятий и идей теории дифференциальных и интегральных уравнений;

• обобщение знаний, полученных при изучении математического анализа;

• овладение навыками и приемами решения математических, физических и технических задач методами теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Знания и умения:

В результате изучения дисциплины «Дифференциальные и интегральные уравнения» студент должен:

• знать точные формулировки основных понятий и теорем, уметь интерпретировать их на простых примерах; в том числе свободно использовать дифференциальные и интегральные уравнения в записи математических соотношений;

• знать общие методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и систем таких уравнений, иметь понятие о задаче Коши и теоремах существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем;

• знать общие теоремы о структуре множества решений линейных уравнений и систем линейных уравнений, уметь применять специальные способы построения таких решений;

• знать основные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, способы понижения порядка для уравнений высших порядков;

• иметь представление об устойчивости решений дифференциальных уравнений, критериях устойчивости и исследовании устойчивости по линейному приближению;

• обладать навыками работы и быть готовыми понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с применением обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, а также интегральных уравнений.

Форма контроля – зачет в третьем семестре и экзамен в четвертом семестре.

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА





Тема 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка • Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

• Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

• Уравнения с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным, линейные уравнения и приводящиеся к • Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель.

• Общий метод введения параметра.

• Уравнения Лагранжа, Клеро.

• Теорема существования и единственности. Задача Коши.

• Понятие особого решения дифференциального уравнения.

Тема 2. Дифференциальные уравнения высших порядков • Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

• Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений.

• Уравнения, допускающие понижение порядка.

• Первые интегралы дифференциальных уравнений.

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Свойства линейного дифференциального оператора.

Линейные однородные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Формула Лиувилля.

• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения.

• Линейные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся • Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка.

Теорема сравнения. Уравнение Бесселя. Функция Грина.

Тема 4. Системы дифференциальных уравнений Нормальные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши.

Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений.

Структура общего решения.

• Решение нормальной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Функции матриц. Матричная экспонента.

• Теорема существования и единственности решения нормальной системы.

• Характер зависимости решения от параметров: непрерывность, дифференцируемость, зависимость от начальных условий.

• Автономные системы дифференциальных уравнений, основные • Общие свойства автономных систем.

• Структура решений автономной системы в окрестности особой точки.

Изменение фазового объема. Производная Ли.

Тема 5. Элементы теории устойчивости Устойчивость и асимптотическая устойчивость решения по Ляпунову.

Устойчивость положения равновесия линейной системы.

Двумерные автономные системы. Элементы качественной теории.

Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка • Уравнения в частных производных первого порядка. Классификация.

• Задачи, приводящие к уравнениям первого порядка с частными производными.

• Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка.

• Уравнение Пфаффа.

• Задача Коши.

• Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка.

Полный интеграл нелинейного уравнения.

Тема 7. Вариационное исчисление Основные понятия вариационного исчисления.

Уравнение Эйлера. Экстремали.

Краевая задача.

Тема 8. Интегральные уравнения Задачи, приводящие к интегральным уравнениям.

Уравнение Вольтерра. Уравнение Фредгольма.

Собственные значения и собственные функции однородного уравнения Фредгольма.

• Теорема Гильберта- Шмидта.

• Нелинейные интегральные уравнения.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

№ Наименование разделов и Аудиторные Самосто- Всего 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 2. Дифференциальные порядков 3. Линейные уравнения высших порядков 4. Системы обыкновенных уравнений 5. Элементы теории 6. Уравнения в частных порядка 7. Вариационное исчисление 8. Интегральные уравнения Итого

ПЛАНЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ПОДГОТОВКЕ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

При подготовке к практическим занятиям необходимо:

1. Проработать соответствующий теоретический материал по учебникам [1] – [5] и лекциям.

2. Разобрать примеры решения задачи в лекциях и сборниках задач [6], [7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная 1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

М.: УРС, 2000.

2. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М: Наука, 1984.

3. Карташов А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М: Наука, 1986.

4. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2002.

5. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002.

6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:

Наука, 1985.

7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. М.: Наука, 1985.

Дополнительная 1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1983.

3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

4. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М. – СПб.: Физматлит, 2002.

5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.

6. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Высшая школа, 1974.

7. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

8. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1985.

9. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:

Мир, 1986.

10. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

11. Краснов М.П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1981.

12. Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А.

Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление. М.:

Физматлит, 2003.

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

М.: Наука, 1976.

14. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1995.

15. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1983.

16. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1982.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Самостоятельная работа студента заключается в усвоении необходимого теоретического материала [1] – [5], выполнении домашних работ [6], [7] к каждому практическому занятию и выполнении индивидуальных работ.

Ниже приведены номера заданий для самостоятельной работы по темам.

Тема 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 72 – 80 (четные).

2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 1 – 14 (четные).

3. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 51 – 64 (четные), 102 – (четные).

4. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 136 – 155 (четные).

5. Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 186 – 210 (четные).

6. Уравнения, не разрешенные относительно производной.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№, 267 – 274 (четные), 287 – (четные).

7. Теорема существования и единственности. Задача Коши. Понятие особого решения дифференциального уравнения.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 241 – 246 (четные), 251, 253, 254, 255.

Тема 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 1. Уравнения, допускающие понижение порядка. Первые интегралы.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 421 – 440 (четные).

Примечание: по данной теме студентам дается домашняя контрольная работа.

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения высших 1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 511 – 520 (четные), 534 – (четные), 576, 578.

2. Уравнения Эйлера.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 589 – 594 (четные), 602 – 604.

3. Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Формула Лиувилля.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 681, 684, 685, 687.

4. Краевые задачи. Функция Грина.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 751 – 758 (четные), 764, 766.

Тема 4. Системы дифференциальных уравнений 1. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 787 – 797 (нечетные).

2. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 827 – 831 (нечетные), 847, 849.

3. Функции матриц. Матричная экспонента.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 868, 870.

Тема 5. Элементы теории устойчивости 1. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решения по Ляпунову.

Функция Ляпунова.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 881(в, г), 886, 887.

2. Классификация точек покоя линейной однородной системы.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 970 –974.

3. Устойчивость по первому приближению. Условия Гурвица.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 900, 902, 908, 910, 933, 935, 942, 944, 950, 952.

Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка 1. Уравнения в частных производных первого порядка. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 1167 – 1175 (нечетные), 1190, 1192, 1195 – 1203 (нечетные).

2. Системы уравнений. Уравнение Пфаффа.

Задачи для самостоятельного решения [6]: №№ 1218, 1219, 1222, 1223.

5. Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Полный интеграл нелинейного уравнения.

Задачи для самостоятельного решения:

Найти полный интеграл нелинейного уравнения:

4) =+.

1. Основные понятия вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

Экстремали. Краевая задача.

Задачи для самостоятельного решения [7]: 3.1, 3.4, 3.8, 3.9, 3.12, 3.14, 3.16, 3.17, 3.19, 3.23, 3.25, 3.27, 3.29.

1. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям.

2. Уравнение Вольтерра. Уравнение Фредгольма.

3. Собственные значения и собственные функции однородного уравнения Фредгольма.

4. Нелинейные интегральные уравнения.

Задачи для самостоятельного решения [7]: 1.3, 1.5, 1.7, 1.19, 1.23, 1.40, 1.44, 1.45, 1.52, 1.54, 1.56, 1.62, 2.2, 2.7, 2.9, 2.12, 2.17, 2.22, 2.24, 2.35, 2.40, 2.43, 2.46, 2.53, 2.55, 2.62, 2.64.

ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ

И ФОРМУЛ

Тема 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Дифференциальное уравнение (обыкновенное, с частными производными), порядок дифференциального уравнения, решение дифференциального уравнения, интегральная кривая, уравнение разрешенное относительно производной, поле направлений, изоклины, задача Коши для уравнения первого порядка, общее решение, общий интеграл, частное решение, особое решение, однородное уравнение, линейное уравнение, метод Лагранжа решения неоднородного линейного уравнения, уравнение Бернулли, уравнение Риккати, уравнение в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, дискриминантная кривая, уравнение Лагранжа, уравнение Клеро.

Тема 2. Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальное уравнение n-го порядка, интегральная кривая уравнения n-го порядка, задача Коши для уравнения n-го порядка, краевая задача, общее решение, частное решение, особое решение, понижение порядка уравнения.

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения высших Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка, линейно независимые решения однородного линейного уравнения, фундаментальная система решений, общее решение однородного линейного уравнения, общее решение неоднородного линейного уравнения, метод Лагранжа нахождения общего решения неоднородного линейного уравнения, характеристическое уравнение, корни характеристического уравнения, метод Эйлера, метод неопределенных коэффициентов, уравнение Эйлера, определитель Вронского, формула Остроградского-Лиувилля для уравнений.

Тема 4. Системы дифференциальных уравнений Нормальная система дифференциальных уравнений, линейная система дифференциальных уравнений, решение (интегральная кривая) нормальной системы, задача Коши для нормальной системы, общее, частное решения нормальной системы, первый интеграл системы, общий интеграл нормальной системы, метод исключения, метод интегрируемых комбинаций, линейная однородная (неоднородная) система дифференциальных уравнений, фундаментальная система решений однородной линейной системы уравнений, определитель Вронского решений однородной линейной системы уравнений, метод Лагранжа нахождения общего решения, формула ОстроградскогоЛиувилля для систем дифференциальных уравнений, матричная экспонента, нормальная жорданова форма матрицы, жорданова клетка, автономная система, фазовое пространство, фазовые траектории, типы фазовых траекторий, неособая точка, точка покоя, классификация особых точек автономной системы, фазовый портрет.

Тема 5. Элементы теории устойчивости Устойчивость (неустойчивость) решения по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, критерий Гурвица, матрица Гурвица, устойчивость по первому приближению.

Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка Дифференциальное уравнение в частных производных, решение уравнения в частных производных, линейное уравнение, квазилинейное уравнение, нелинейное уравнение, задача Коши для УЧП первого порядка, метод характеристик, уравнение Пфаффа, полный интеграл нелинейного уравнения, метод Лагранжа-Шарпи.

Функционал, вариация, уравнение Эйлера, экстремум функционала.

Интегральное уравнение, классификация, ядро интегрального оператора, характеристические числа и собственные функции, уравнение Вольтерра, сопряженные уравнения, Эрмитовы ядра интегральных уравнений, альтернатива Фредгольма, решение уравнения Фредгольма II рода методом резольвент, интегральное уравнение Абеля, собственные значения и собственные функции однородного уравнения Фредгольма, резольвента, определители Фредгольма, решение уравнения Фредгольма II рода с вырожденным ядром, решение уравнения Вольтерра II рода с разностным ядром, сведение уравнения Вольтерра II рода с разностным ядром рода к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, решение уравнения Вольтерра II рода с помощью резольвент, резольвенты некоторых интегральных уравнений Вольтерра.

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЙТИНГ-КОНТРОЛЮ

Дисциплина «Дифференциальные и интегральные уравнения» изучается в третьем и четвертом семестрах. Изучаемый в третьем семестре материал разбивается на 2 модуля, изучаемый в четвертом семестре материал разбивается на 3 модуля. Итоговая аттестация по дисциплине: III семестр – зачет, IV семестр – экзамен.

В первом модуле студенты изучают тему 1 (дифференциальные уравнения 1-го порядка). Максимальная сумма баллов по первому модулю – 40. Рубежный контроль проводится в письменной форме в виде контрольных работ на 30 баллов и 10 баллов отводится на текущий контроль учебной работы студента (домашние работы, ответы у доски, активность на занятиях).

Во втором модуле студенты изучают тему 2 (дифференциальные уравнения высших порядков). Максимальная сумма баллов по второму модулю – 60. Рубежный контроль проводится в письменной форме в виде контрольной работы на 25 баллов и 15 баллов отводится на текущий контроль учебной работы студента, 20 баллов за выполнение домашних работ.

В четвертом семестре студенты изучают темы 3 – 8. Максимальная сумма баллов – 60. На первый модуль отводится 20 баллов, на второй модуль – 20 баллов и на третий – 20 баллов.

В первом модуле студенты изучают темы 3 (линейные дифференциальные уравнения высших порядков) и 4 (системы дифференциальных уравнений). Максимальная сумма баллов по первому модулю – 20. Рубежный контроль проводится в письменной форме в виде контрольных работ на 20 баллов.

Во втором модуле студенты изучают темы 5 (элементы теории устойчивости) и 6 (уравнения в частных производных первого порядка).

Максимальная сумма баллов по второму модулю – 20. Рубежный контроль проводится в письменной форме в виде контрольной работы на 15 баллов и баллов отводится на текущий контроль учебной работы студента.

В третьем модуле студенты изучают темы 7 (вариационное исчисление) и 8 (интегральные уравнения). Максимальная сумма баллов по второму модулю – 20. Рубежный контроль проводится в письменной форме в виде контрольной работы на 15 баллов и 5 баллов отводится на текущий контроль учебной работы студента.

для проведения текущего и рубежного контроля Работа №1.

Решить однородное уравнение:

Решить уравнение Бернулли Решить линейное неоднородное (относительно x) уравнение Решить линейное неоднородное уравнение Работа №2. Уравнения, не разрешенные относительно производной Домашняя контрольная работа [6]: №№ 429 – 480, каждый вариант содержит 6 номеров.

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными Решить линейное неоднородное уравнение методом неопределенных коэффициентов:

Записать общий вид частного решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами Решить уравнение методом вариации постоянных Решить однородные системы дифференциальных уравнений:

1. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы, определить тип точки покоя. Построить траектории 2. Исследовать на асимптотическую устойчивость нулевое решение системы по первому приближению (с помощью теоремы Ляпунова) асимптотически устойчиво 4. Исследовать на устойчивость нулевое решение, пользуясь условиями Гурвица Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка Найти общее решения уравнения в частных производных Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение. Поле направлений. Интегральные кривые. Задача Коши. Физические и геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

2. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

3. Однородные уравнения и приводящиеся к ним.

4. Линейные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним. Теорема об общем решении. Метод вариации постоянных.

5. Уравнения в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

6. Особые решения дифференциального уравнения. Дискриминантные кривые.

7. Интегрирование методом введения параметров. Уравнение Лагранжа.

Уравнение Клеро.

8. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

9. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков.

Свойства их решений.

10. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций. Условие линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

11. Фундаментальная система решений, теорема о существовании ФСР, теорема о структуре общего решения.

12. Формула Остроградского-Лиувилля для уравнений.

13. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

14. Линейные неоднородные уравнения. Структура общего решения.

15. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида.

17. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Задача Коши.

18. Решение нормальной системы методом исключения. Первые интегралы.

19. Линейные системы дифференциальных уравнений. Теорема об определителе Вронского.

20. Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Формула Остроградского-Лиувилля для систем дифференциальных уравнений. Общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений.

21. Решение однородной линейной системы с постоянными коэффициентами.

Характеристический многочлен. Запись общего решения в векторном виде.

22. Решение неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами. Запись общего решения в векторном виде.

21. Функции матриц. Матричная экспонента.

22. Нормальная жорданова форма матрицы. Практическое вычисление экспоненты.

23. Теорема существования и единственности решения для нормальной системы.

24. Зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий (непрерывность, дифференцируемость).

25. Автономные системы дифференциальных уравнений. Свойства траекторий автономных систем.

26. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки.

27. Первые интегралы автономных систем.

28. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решения по Ляпунову.

29. Фазовая плоскость. Типы точек покоя.

30. Устойчивость по первому приближению.

31. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.

Основные понятия.

32. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка. Примеры.

33. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

Примеры.

34. Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка.

Примеры.

35. Уравнение Пфаффа. Условие полной интегрируемости.

36. Полный интеграл нелинейного уравнения. Примеры.

37. Функционалы в линейном пространстве.

38. Основные понятия вариационного исчисления. Вариация и ее свойства.

39. Уравнение Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Примеры.

40.Достаточное условие экстремума функционала.

41.Условный экстремум.

42.Уравнение Вольтерра.

43.Уравнение Фредгольма 2-го рода.

44. Собственные функции и собственные значения однородного уравнения Фредгольма.

45.Теорема Гильберта-Шмидта.

46. Альтернатива Фредгольма.

47. Резольвента. Решение уравнений с помощью резольвенты.

48. Решение уравнений Фредгольма с помощью определителей Фредгольма.



Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Московский архитектурный институт (государственная академия) А.А. Климухин Е.Г. Киселева Проектирование акустики зрительных залов Учебно-методические указания к курсовой расчетно-графической работе Москва МАРХИ 2012 1 УДК 534.2 ББК 38.113 П 79 Климухин А.А., Киселева Е.Г. Проектирование акустики зрительных залов: учебно-методические указания к курсовой расчетно-графической работе / А.А. Климухин, Е.Г. Киселева. — М.: МАРХИ, 2012. —...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет вычислительной математики и кибернетики Р.З. ДАУТОВ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МКЭ В МATLAB Учебное пособие Казань — 2010 2 УДК 519.3 P.З. Даутов. Программирование МКЭ в МATLAB. 71 с. В пособии излагаются основные этапы построения и программной реализации схем метода конечных элементов приближенного решения краевых задач для линейных эллиптических уравнений второго порядка. Пособие рассчитано на студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С.А. Куценко, Д.В. Цымай ХИМИЯ РАБОЧИХ ТЕЛ Рекомендовано редакционно-издательским советом ОрелГТУ в качестве учебно-методического пособия Орел 2010 2 УДК 544.2(075) ББК 24.5я7 К95 Рецензенты: кандидат технических наук, доцент кафедры физики Академии ФСО РФ, Н.В. Будашева, кандидат технических наук, доцент, доцент...»

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физической химии А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Курс лекций В двух частях Часть 1 МИНСК 2002 Автор-составитель Блохин А.В., кандидат химических наук. Рецензенты: кандидат химических наук Н.Н. Горошко; Л.М. Володкович. Утверждено на заседании Ученого совета химического факультета 29 марта 2002 г., протокол № 5. 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие представляет собой лекции по курсу Теория эксперимента для студентов IV курса...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ _Ю.И. Тюрин ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ И ПОДВИЖНОСТИ ОСНОВНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-12а по курсу Общая физика для студентов всех специальностей Издательство Томского политехнического университета 2008 УДК 53.01 Определение концентрации и подвижности...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра целлюлозно-бумажного производства, лесохимии и промышленной экологии АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ И ФИЗИКОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Учебно-методический комплекс по дисциплине для подготовки дипломированного...»

«СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 Информационные системы специальности 230201 Информационные системы и технологии СЫКТЫВКАР 2007 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет Физический факультет Университетская физическая школа А.А. ЧАКАК, Н.А. МАНАКОВ ЕГЭ 2012. ФИЗИКА РЕКОМЕНДАЦИИ. ТЕСТЫ. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Рекомендовано к изданию Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский...»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ В.А. ЛИОПО, В.В. ВОЙНА РЕНТГЕНОВСКАЯ ДИФРАКТОМЕТРИЯ Учебное пособие по курсам Методы исследования структуры веществ, Молекулярная физика, Физика диэлектриков и полупроводников, Материаловедение для студентов специальностей Н 02.01.00 – Физика, Н 02.02.00 – Радиофизика, Т 03.02.00 – Технология и оборудование высокоэффективных процессов обработки материалов, Т 06.01.00 –...»

«Министерство образования Российской Федерации Томский политехнический университет Кафедра теоретической и экспериментальной физики УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ И.П. Чернов 2001 г. ГРАДУИРОВАНИЕ АМПЕРМЕТРА И ВОЛЬТМЕТРА Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-04 по разделу Электричество курса Общей физики для студентов всех специальностей Томск 2002 УДК 531 Градуирование амперметра и вольтметра. Методические указания к выполнению лабораторной работы Э-4, по разделу Электричество курса...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Методические рекомендации и контрольные работы по дисциплине Биологическая химия для студентов 3 курса заочного отделения фармацевтического факультета Учебно-методическое пособие для вузов Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2009 2 Утверждено научно-методическим советом фармацевтического факультета...»

«П ПРАКТИКУМ В ДЛЯ ВУЗОВ ПРАКТИКУМ ПО БИОФИЗИКЕ Учебное пособие для студентов высших учебных заведений Издание второе, исправленное и дополненное Москва 2004 ББК 28.071я73 П69 А в т о р ы: В.Ф. Антонов, А.М. Черныш, В.И. Пасечник, С.А. Вознесенский, Е.К. Козлова Практикум по биофизике: Учеб. пособие для студ. высш. П69 учеб. заведений. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. — 352 с. ISBN 5 691 00698 3. Пособие является составной частью учебного комплекта Био физика и служит практическим...»

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии Исследовательская школа Лазерная физика Основная профессиональная образовательная программа аспирантуры 01.04.21 Лазерная физика Название дисциплины Фурье-спектроскопия Егоров А.С. ИНФРАКРАСНАЯ ФУРЬЕ-СПЕКТРОСКОПИЯ Электронное учебно-методическое пособие Мероприятие 3.1: Развитие системы поддержки...»

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Государственное высшее учебное заведение Национальный горный университет Методические указания к лабораторной работе № 6.1 ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКА г. Днепропетровск 2011 1 Методические указания к лабораторной работе № 6.1 Изучение зависимости сопротивления полупроводников от температуры и определение ширины запрещенной зоны полупроводника по...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра аналитической химии АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплинам Аналитическая химия, Аналитическая химия и физико-химические методы анализа для студентов химикотехнологических специальностей заочной формы обучения Минск 2012 1 УДК 543(075.4) ББК 24.4я73 А64 Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом университета Составители: А. Е....»

«Федеральное агентство по образованию Сыктывкарский лесной институт – филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С. М. Кирова Кафедра автоматизации технологических процессов и производств ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПРОИЗВОДСТВА САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по направлению 651900 Автоматизация и управление,...»

«СЕВЕРНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра военной и экстремальной медицины И.Г. Мосягин, А.А. Небученных, В.Д. Алексеенко, И.М. Бойко Медицинская служба гражданской обороны Учебное пособие по медицинской службе гражданской обороны для студентов высших медицинских учебных заведений обучающихся по специальностям: 040100 – лечебное дело 040200 – педиатрия 040300 – медико-профилактическое дело 040400 – стоматология 040500 – фармация 040800 – медицинская биохимия 040900 – медицинская...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Оренбургский государственный университет” Н.А.ТИШИНА ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программам высшего...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан биологического факультета _ С.М. Дементьева 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине ПРИРОДНО-ЗАВОЕДНЫЙ ФОНД для студентов 4 курса очной формы обучения специальность 020801.65 ЭКОЛОГИЯ Обсуждено на заседании кафедры 2012 г. Протокол № _ Зав. кафедрой физико-химических методов биоорганических...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс Исследовательская школа по лазерной физике Бакунов М.И. Царев М.В. Горелов С.Д. ЭЛЕКТРООПТИЧЕСКОЕ СТРОБИРОВАНИЕ Электронное методическое пособие Блок мероприятий 2. Повышение эффективности научно-инновационной деятельности Учебная дисциплина: Генерация и регистрация терагерцового излучения...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.