WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«П.Г. Яковенко МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Издательство Томского политехнического университета 2009 ББК 22.19 УДК 519.6 Т 89 Яковенко П.Г. Моделирование систем: учебное пособие / П.Г. Яковенко. – ...»

-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Томский политехнический университет»

П.Г. Яковенко

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Издательство

Томского политехнического университета 2009 ББК 22.19 УДК 519.6 Т 89 Яковенко П.Г.

Моделирование систем: учебное пособие / П.Г. Яковенко. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2009.

– 106 с.

В учебном пособии изложены основы теории моделирования теплоэнергетических объектов, сведения о численных методах решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, интерполяции и аппроксимации, вычислении определенных интегралов и синтезе оптимальных управлений на имитационных моделях. Приведены примеры использования методов, необходимые для первоначального знакомства с предметом.

Пособие подготовлено на кафедре автоматизации теплоэнергетических процессов ТПУ и предназначено для студентов специальности 1401014.

ББК 22. УДК 519. Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Яковенко П.Г., Томский политехнический университет,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………….………... 1. Математическое моделирование в задачах управления тепловыми электрическими станциями …………….…...…….. 2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений …………………………………….……….………… 2.1. Метод Гаусса ………………………………..…….………… 2.2. Пример 1……………………………………….…….………. 2.3. Метод Гаусса-Зейделя ………………………….…..………. 2.4. Пример 2 ……………………………………………..……… 3. Методы решения уравнений с одним неизвестным ……..……. 3.1. Метод дихотомии ………………………………………..….. 3.2. Метод хорд …………………………….……………………. 3.3. Метод Ньютона …………………………………………..…. 3.4. Модифицированный метод Ньютона …………………….... 3.5. Метод секущих ……………………………………………… 3.6. Метод простых итераций …………………...…...…………. 4. Методы интерполяции ………………………………..………… 4.1. Линейная интерполяция ……………………….......……….. 4.2. Интерполяция каноническим полиномом ……...…….…… 4.3. Интерполяционный полином Лагранжа …………………... 4.4. Пример 3 ………………………………………………...…... 4.5. Интерполяционный полином Ньютона





4.6. Пример 4 …………………………………………….……..... 4.7. Итерационные методы интерполяции ……………….……. 4.8. Пример 5 ……………………………………………….……. 4.9. Интерполяция сплайнами ………………………..……...…. 4.10. Применение интерполяции для решения уравнений ….... 5. Аппроксимация кривых ………………………...………………. 5.1. Метод наименьших квадратов …………………….……….. 5.2. Пример 6 ……………………………………….……………. 5.2. Пример 7 ……………………………………….……..……... 6. Численные методы вычисления определенного интеграла …... 6.1. Методы прямоугольников ………………………………...... 6.2. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену ………………………………………..…………... 6.3. Метод трапеций …………………………………..…………. 6.4. Метод Симпсона …………………………………..……….... 6.5. Вычисление интегралов с заданной точностью …...………. 6.6. Методы наивысшей алгебраической точности.………..…. 6.7. Методы Монте-Карло ……………..……...………………… 7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений ……. 7.1. Погрешности ………………………………………………... 7.2. Метод Эйлера ……………………………………………...... 7.3. Пример 8 …...……………………………………………...... 7.4. Пример 9 … ……………..………………………………….. 7.5. Пример 10 ………..………………………………………….. 7.6. Методы Рунге-Кутта второго порядка ………….…….….... 7.7. Пример 11 ………………………………………………........ 7.8. Методы Рунге-Кутта высоких порядков ………………….. 7.9. Пример 12 ………………………………………………….... 7.10. Методы прогноза и коррекции ………………...…………. 8. Синтез оптимальных управлений на имитационных моделях ……………………………………………….……...….. 8.1. Последовательный многошаговый синтез оптимальных управлений ……………………………......… 8.2. Оптимальное управление линейным объектом третьего порядка ……………………………………..…..… 8.3. Оптимальное управление линейным объектом четвертого порядка …………………………………..…..… 8.4. Оптимальное управление электродвигателем постоянного тока ……………………………………..…..… ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………..….. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………...……….

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование является методом опосредованного познания. Изучение свойств объекта моделирования путем анализа аналогичных свойств его модели представляет собой процесс моделирования. Если результаты моделирования могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то модель адекватна объекту. Адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Проектирование и отработка современных средств автоматизации технологических процессов, отдельных узлов и блоков, связаны с теоретическими расчетами и исследованиями [1]. Расчеты проводятся с использованием вычислительных средств (компьютеров).

При этом обычно выполняются следующие этапы:

1. Физическая постановка задачи. Этап заключается в содержательной (физической) постановке задачи и определении конечных целей решения. Результатом является общая формулировка задачи в содержательных терминах, т. е. что дано и что требуется определить.

2. Поиск, выбор или модификация некоторой математической модели, адекватной физической постановке задачи. Модель должна правильно описывать основные законы физического процесса. На этом этапе осуществляются:

– выделение основных математических уравнений, соотношений, аппроксимирующих формул, описывающих задачу;





– выделение дополнительных математических уравнений, связей, граничных или краевых условий;

– предварительное обоснование математической модели.

Этот этап является очень важным, так как ошибочная или неудачная модель, неадекватная физической, сводит «на нет» все дальнейшие усилия по проектированию средств автоматизации. При решении многих задач выбираются, как правило, общепринятые математические модели. Построение или выбор математической модели из существующих требует глубокого понимания проблемы и знания соответствующих разделов математики.

3. Разработка, выбор или модификация математического (аналитического, приближено-аналитического или численного) метода, наиболее целесообразного и экономичного. Поскольку компьютер может выполнять лишь простейшие операции, он «не понимает» постановки задачи даже в математической формулировке [2]. Для ее решения должен быть найден численный метод, позволяющий свести задачу к некоторому численному алгоритму. Специалисту – прикладнику для решения задачи, как правило, необходимо из имеющегося арсенала методов выбрать тот, который наиболее пригоден в данном конкретном случае.

Это осуществляется на основе имеющихся у исследователей знаний (субъективный подход), а также исходя из ресурсов компьютера – оперативной и внешней памяти, быстродействия, возможностей представления информации.

4. Составление алгоритма. Процесс решения задачи записывается в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций, приводящей к конечному результату и называемой алгоритмом решения задачи. Алгоритм можно наглядно изобразить в виде блок-схемы.

5. Разработка программного обеспечения. Алгоритм решения задачи записывается на понятном машине языке в виде точно определенной последовательности операций – программы для компьютера. Составление программы обычно производится с помощью некоторого промежуточного алгоритмического языка, а ее трансляция (перевод на машинный язык) осуществляется самой вычислительной системой.

6. Решение задачи предполагает апостериорное обоснование модели и метода путем их методических и параметрических компьютерных исследований в привязке к реальному объекту. При этом для уменьшения ручного труда по обработке результатов желательно использовать удобные формы выдачи результатов, особенно их графическое представление (визуализацию). Этап включает выдачу рекомендаций и характеристик.

В результате анализа полученного решения задачи может осуществляться переход к любому из описанных этапов для внесения соответствующих изменений.

Классическим средством изучения математических моделей являются аналитические методы, позволяющие получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее точную информацию о решении задачи, и они до настоящего времени не утратили своего значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен. Поэтому решение широкого класса задач при отработке современных технических систем, как правило, осуществляется численными методами.

Численные методы – это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изучающая численные методы, называется вычислительной математикой.

Численные методы, в отличие от аналитических, дают не общие, а частные решения, которые определяются в дискретных областях изменения независимых переменных. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических и логических действий над числовыми и логическими массивами. В силу приближенного характера вычислений этот процесс связан с некоторыми основными требованиями или понятиями, относящимися к конкретным задачам и численным методам (схемам). Некоторые из требований являются противоречивыми, поэтому при выполнении исследований чем-то приходится жертвовать, например, точностью или экономичностью метода.

1. Математическое моделирование в задачах управления Энергетическую систему (ЭС) образуют источники и потребители энергии – электроприемники, объединенные общей электрической сетью [3]. Важнейшим признаком ЭС является одновременность процессов производства, распределения и потребления электрической энергии, обусловленная невозможностью складирования готовой продукции и необходимостью баланса между суммарными мощностями, генерируемыми электростанциями и потребляемыми в электрической системе.

Энергетическая система относится к большим сложным системам.

Решение многомерной задачи оптимизации управления для больших систем выполняют поэтапно, используя преимущества многоступенчатого управления. Выделяют уровни математического описания, т.е. составляют иерархию математических моделей. При иерархическом представлении сложных систем используют одновременно вертикальную и горизонтальную декомпозиции.

Разбиение подсистемы на звенья в пределах одного уровня означает горизонтальную декомпозицию. Звено горизонтальной декомпозиции промышленных систем на низшем уровне выделяют обычно по принципу единства технологического процесса или конструкции (например, пароперегреватель котла, промежуточный пароперегреватель и т.п.). В зависимости от задач управления может быть выделено и более крупное звено (котел, турбогенератор или энергоблок в целом).

Требования к математическому описанию сложной системы противоречивы. С одной стороны, оно должно быть полным, т.е. отражать действие системы в деталях, а с другой – достаточно простым, доступным для понимания. Компромисс между полнотой и простотой математического описания систем достигают их иерархическим (многоуровневым) представлением.

Математическое описание системы обычно начинают с технологического процесса, для которого имеется определенный запас исходных данных. В общем случае подход к составлению математической модели процессов основан на законах сохранения энергии и вещества применительно к тепловым схемам и типовым конструкциям агрегатов или же опирается на экспериментальные статические и динамические характеристики отдельных агрегатов и участков. При этом немалую роль во всех случаях играют простота модели и способ ее представления.

Первоначальное общее представление о сложной системе можно детализовать, двигаясь вниз по иерархии. Движение вверх по иерархии позволяет расширить описание системы, представить ее в общем виде, с охватом большего числа звеньев и подсистем, большего периода времени и более общих задач управления. Наряду с этим степень детализации поведения системы сокращается по мере перехода к моделям верхних уровней. В результате математическое описание становится более обобщенным, т.е. не учитывает факторы и сигналы, имеющие существенное значение лишь для подсистем, расположенных на более низком уровне.

Выбор подходящего выражения математической абстракции определяется характером решаемых задач по управлению, а также степенью сложности системы, характеризуемой множеством параметров состояния.

Экономические показатели и надежность ЭС зависят, в основном, от эффективности первичных преобразователей энергии на тепловых электрических станциях (ТЭС).

Сущность технологического процесса на ТЭС состоит в поэтапном преобразовании различных видов энергии. Исходными продуктами этого процесса служат топливо, вода и воздух, конечным продуктом – электроэнергия. И тот и другой оценивают количеством (расходом, нагрузкой) и качеством (теплотой сгорания и тонкостью помола твердого топлива, концентрацией растворимых в воде примесей, напряжением и частотой электрического тока на выходе генератора и др.). Необходимо непрерывно поддерживать строгое соответствие между электрической нагрузкой и паропроизводительностью котла. Косвенным показателем баланса между ними служит давление перегретого пара, которое обычно стабилизируют вблизи установленного значения с помощью автоматических устройств.

Управление количеством исходных продуктов (расходом топлива, питательной воды и воздуха) осуществляют дистанционно или автоматически посредством регулирующих органов. Управление количеством конечного продукта (электрической энергией) осуществляют в основном изменением расхода пара через проточную часть турбины с помощью автоматического или дистанционного воздействия на ее регулирующие клапаны и как следствие изменением крутящего момента ротора турбогенератора. Различие в тепловых схемах ТЭС отражают в математических моделях, используемых как для расчета технико-экономических показателей (ТЭП), так и для управления.

Для отдельных моделей подходящим уровнем математической абстракции служат уравнения материального и энергетического баланса, по которым рассчитывают ТЭП энергоблоков станции в целом, а также дифференциальные уравнения (передаточные функции, комплексные частотные характеристики и др.), описывающие переходные процессы в котлах и турбинах. На основе этих уравнений определяется вид управляющих воздействий для достижения оптимальных значений ТЭП в установившемся и переходном режимах.

Перед составлением математических моделей ТЭС необходимо определить каналы передачи регулирующих, управляющих и возмущающих воздействий для каждого технологического объекта управления (ТОУ). В качестве объекта управления, характеризующего технологический процесс на ТЭС в целом, обычно выбирают обобщенный энергоблок, характеризуемый лишь небольшим числом общих главных признаков. Технологический процесс, протекающий в таком энергоблоке, можно представить в виде двух последовательных процессов: в паровом котле и в турбогенераторе. Для укрупненных моделей ТЭС дальнейшая детализация процессов не целесообразна.

При математическом описании технологических процессов ТЭС используют модели статики, описывающие установившиеся состояния, и модели динамики, описывающие переходные режимы. Модели могут быть построены аналитическим или экспериментальным методом [4].

Математические модели статики объектов ТЭС могут быть представлены несколькими видами. Первый вид моделей определяет связь между каким–либо входом xi и соответствующим ему выходом yi в установившемся режиме работы энергоблока. Модели в этом случае составляют в форме алгебраических уравнений, таблиц или графических зависимостей:

Зависимость (1.1) для линейных систем имеет вид Для нелинейных систем, к каким относятся все промышленные объекты, при изменении входных сигналов в широком диапазоне значений, составляют дополнительное семейство моделей статики, которые определяют связь между значениями ki и нагрузкой объекта, изменяющейся от минимального до номинального значений:

где iф= N / N 0 ; ф N, N 0 – фактическая и номинальная нагрузки.

Другой вид моделей статики промышленных объектов, используемых в задачах управления, определяет связь между заданным значением регулируемой величины и нагрузкой объекта, оцениваемой непосредственно или по какому–либо косвенному параметру.

Аналитические формы записи нелинейных моделей чаще всего неизвестны. Поэтому их задают в виде графиков или таблиц, построенных по результатам опытного или расчетного определения ki в принятом диапазоне изменения нагрузок. Вид аппроксимирующей функции нелинейных моделей статики зависит от решаемых задач, в которых они используются. Чаще всего применяют кусочно–линейные или кусочно-квадратичные приближения.

Широко распространены в задачах управления ТЭС модели статики, позволяющие получить количественную оценку технико-экономической эффективности работы теплоэнергетических установок. Для составления математических моделей статики ТЭС, используемых при определении ТЭП, необходимо провести расчет принципиальной тепловой схемы станции. Расчет ТЭП осуществляют с помощью семейства алгебраических уравнений, составляемых поэтапно [5].

Большинство тепловых объектов на электрических станциях – сложные динамические системы с распределенными параметрами. Аналитическое определение характеристик таких систем, например, в виде дифференциальных уравнений связано с большим объемом расчетных и исследовательских работ. Один из методов упрощения расчетов состоит в представлении сложного объекта с распределенными параметрами в виде последовательного или параллельного соединения участков с сосредоточенными параметрами [6]. Последние должны обладать единством конструкции или однообразием протекающих в них физических или технологических процессов, а также простотой математического описания.

Рассмотрим процесс изменения давления перегретого пара в трубопроводе на выходе парового котла, принципиальная технологическая схема которого приведена на рис. 1.1. Проследим прохождение сигнала по каналу топливо BT – давление перегретого пара PП. П.

Рис. 1.1 – Принципиальная технологическая схема котла:

1 – топка; 2 – барабан; 3 – газоход; 4 – дымосос; 5 – вентилятор; 6 – воздухоподогреватель; 7 – экономайзер; 8 – циркуляционный контур; 9 пароперегреватель; 10 – горелки; 11 – бункер пыли; 12 – питатели пыли;

13 – короб первичного воздуха; 14 – пылепроводы.

Паровой котел как сложная динамическая система может быть разделен на ряд более простых участков (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Структурная схема парового котла Первый участок W1 – транспортировка пылевидного топлива питателями пыли из бункеров пыли по пылепроводам к горелкам. Динамические свойства этого участка позволяют приближенно считать его звеном транспортного запаздывания с передаточной функцией W1 ( p) = e p, в котором значение зависит от скорости движения пылевоздушной смеси и длины пылепровода.

Второй участок W2 – топочная камера. Здесь протекают процессы подачи топлива в топку, воспламенения и сгорания (полное или частичное). Процесс тепловыделения, сопутствующий горению, приближенно описывается уравнением инерционного звена первого порядка с передаk точной функцией W2 ( p) = 1 + T p, где значение T2 зависит от типа парового котла, вида топлива и других факторов. Тепловая энергия, выделившаяся при сгорании топлива, воспринимается радиационными и конвективными поверхностями нагрева парового котла.

Третий участок W3 – процесс теплопередачи. Его динамика приближенно может быть описана уравнением инерционного звена первого (или более высокого) порядка с передаточной функцией W3 ( p ) = 1 + T p.

Четвертый участок W4 образуют барабан, опускные трубы DОП циркуляционного контура, экранные поверхности (подъемные трубы DПОД, где протекает процесс парообразования). Здесь осуществляется передача теплоты через стенки труб воде, нагревание ее до температуры кипения, образование пара и перенос его из экранных труб в барабан. Физическая сущность процесса, протекающего на этом участке, поясняется структурной схемой (рис. 1.2) и заключается в том, что изменение подводимой к воде теплоты QT' приводит к изменению двух регулируемых величин – паропроизводительности Dб и давления пара в барабане Pб, которые в свою очередь оказывают воздействие на паропроизводительность подъемных труб DПОД, т.е. служат и входными величинами. Таким образом, рассматриваемый участок нельзя считать звеном направленного действия, но, поскольку он включен последовательно с предшествующими направленными звеньями – пылепроводами и топкой, направленность парового котла как системы в целом сохраняется. Это означает, что изменения Dб и Pб не окажут обратного воздействия на количество топлива BT, подводимого в топку и на QТ и QT'. Если QT' изменится скачком, а расход пара Dб поддерживается постоянным, например, с помощью регулирующих клапанов турбины или другого потребителя пара, то интересующая нас кривая переходного процесса по давлению пара в барабане Pб будет иметь форму, близкую к экспоненте. Передаточная функция по каналу W4 с учетом обратных связей по Dб и Pб приближенно может быть представлена в виде инерционного звена первого порядка W4 ( p ) = 1 + T p.

Пятый участок W5 составляют пароперегреватель и присоединенный к нему трубопровод перегретого пара, в котором происходит изменение интересующего нас давления. Рассматриваемый участок имеет три входа со стороны парового котла: Qб, Pб и QТ''. Динамика этого участка по каналу Pб PП. П. определена аналитически. Результирующая расчетная передаточная функция парового котла по каналу BТ QТ Pб PП. П. определяется перемножением передаточных функций последовательно включенных звеньев W1, W2, W3, W4 и W5.

Рассмотренный способ составления передаточной функции сложного объекта посредством соединения простых звеньев, передаточные функции которых известны или легко определяются, называется структурным моделированием. Составление дифференциальных уравнений и структурное моделирование предусматривают применение расчетных методов определения динамических свойств сложных объектов. Однако эти методы не всегда могут обеспечить достаточно точное воспроизведение фактической динамики объекта. Поэтому динамика часто определяется опытным путем. При этом возникает обратная задача: по известной экспериментальной временной характеристике требуется составить математическую модель объекта.

При описании динамических свойств тепловых объектов с помощью упрощенных математических моделей широкое распространение получили следующие соединения простых звеньев: инерционное звено первого порядка последовательно соединено со звеном запаздывания W ( p ) = ke p /(1 + pT ); интегрирующее звено последовательно соединено со звеном запаздывания W ( p) = k И e p.

2. Методы решения систем линейных алгебраических Прикладные задачи часто сводятся к многомерным и в общем случае нелинейным уравнениям, которые решаются методом линеаризации, т.е. сведением нелинейных уравнений к линейным. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи. В общем случае система n уравнений с n неизвестными записывается в виде

Совокупность коэффициентов этой системы представляется в виде:

Используя понятие матрицы A, систему уравнений (2.1) можно записать в векторно-матричном виде:

где x и b – вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно:

или, в более компактной записи, Определителем (детерминантом) матрицы A n –го порядка называется число D, равное Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие D № 0.

Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы – прямые и итерационные.

Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т.е. пригодны для решения широкого класса линейных систем. Однако они требуют, как правило, хранения в оперативной памяти компьютера сразу всей матрицы, и при больших значениях n расходуется много места в памяти. Существенным недостатком прямых методов является накопление погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Эти методы используются обычно для не слишком больших ( n Ј 1000 ) систем с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. При использовании компьютеров неизбежны погрешности в окончательных результатах, т.к. на практике вычисления производятся с погрешностями.

Итерационные методы – это методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое приближенное решение - начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью. Алгоритмы решения линейных систем с использованием итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений трудно определить заранее. Методы требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с n компонентами. Иногда компоненты матрицы можно совсем не хранить, а вычислять их по мере необходимости. Погрешности окончательных результатов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений. Эти достоинства итерационных методов делают их особенно полезными в случае большого числа уравнений, однако, сходимость итераций может быть медленной.

Итерационные методы могут использоваться для уточнения решений, полученных с помощью прямых методов. Такие смешанные алгоритмы обычно довольно эффективны.

. Метод Гаусса Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается x1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается x2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего ( n –го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn, т. е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное xn. Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляем xn 1 и т. д. Последним найдем x1 из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы Для исключения x1 из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на a21 / a11. Умножив первое уравнение на a31 / a11 и прибавив результат к третьему уравнению, исключим из него x1. Получим равносильную (2.3) систему уравнений вида Теперь из третьего уравнения системы (2.4) нужно исключить x2.

Для этого умножим второе уравнение на a32 / a22 и прибавим результат к третьему. Получим Матрица системы (2.5) имеет треугольный вид. На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.

В процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на коэффициенты a11, a22 и т. д. Поэтому они должны быть отличны от нуля. В противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (2.5) Используя это значение, можно найти x2 из второго уравнения, а затем x1 из первого:

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с произвольным числом уравнений.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов aii, на которые происходит деление в процессе исключений, заменяется более жестким: из всех оставшихся в i -м столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента aii.

Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует снижению погрешностей вычислений. Объем вычислений определяется порядком системы n : число арифметических операций примерно равно (2 / 3)n3.

2.2. Пример Рассмотрим алгоритм решения линейной системы методом Гаусса для случая трех уравнений:

Исключим x1 из второго и третьего уравнений. Для этого сначала умножим первое уравнение на коэффициент 0.3, и результат прибавим ко второму уравнению, а затем умножим первое же уравнение на 0.5 и результат прибавим к третьему уравнению. Получим Умножим второе уравнение на коэффициент 25 и результат сложим с третьим уравнением. Получим систему в треугольном виде:

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.

Обратный ход состоит в последовательном вычислении x3, x2, x1 соответственно из третьего, второго, первого уравнений. Проведем эти вычисления:

Подстановкой в исходную систему легко убедиться, что ( 0, 1, 1 ) и есть ее решение.

Существует две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного решения. Одна из них – погрешность x, равная разности этих значений; другая величина – невязка r, равная разности между левой и правой частями уравнений при подстановке в них решения. Если одна из величин равна нулю, то и другая должна равняться нулю. Однако из малости одной не следует малость другой величины. При x 0 обычно r 0, но обратное утверждение справедливо не всегда.

В практических расчетах контроль точности решения осуществляется с помощью невязки (погрешность же обычно вычислить невозможно, поскольку неизвестно точное решение). Метод Гаусса с выбором главного элемента дает малые невязки. Понятия погрешности и невязки используются при численном решении не только линейных уравнений.

2.3. Метод Гаусса-Зейделя Этот метод является одним из самых распространенных итерационных методов, отличается простотой и легкостью программирования.

Рассмотрим применение этого метода для системы Предположим, что диагональные элементы a11, a22, a33 отличны от нуля (в противном случае можно переставить уравнения). Выразим неизвестные x1, x2 и x3 соответственно из первого, второго и третьего уравнений системы (2.6).

Зададим некоторые начальные (нулевые) приближения значений неизвестных: x1 = x1(0), x2 = x2(0), x3 = x3(0). Подставляя эти значения в правую часть выражения (2.7), получаем новое (первое) приближение x1 :

Используя это значение для x1 и приближение x3(0) для x3, находим из (2.8) первое приближение для x2 :

Используя вычисленные значения x1 = x1(1), x2 = x2, находим с помощью выражения (2.9) первое приближение для x3 :

На этом заканчивается первая итерация решения системы (2.7) – (2.9). Используя теперь значения x1(1), x2, x3(1), можно таким же способом провести вторую итерацию, в результате которой будут найдены вторые приближения к решению: x1 = x1(2), x2 = x2, x3 = x3(2) и т. д.

Приближение с номером k можно вычислить, зная приближение с номером k 1, как Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значения x1( k ), x2k ), x3k ) не станут близкими с заданной погрешностью к значениям 2.4. Пример Рассмотрим алгоритм решения линейной системы уравнений методом Гаусса–Зейделя:

Выразим неизвестные x1, x2 и x3 соответственно из первого, второго и третьего уравнений:

В качестве начального приближения примем x1(0) = 0, x2 = 0, x3(0) = 0.

Найдем новые приближения неизвестных:

Аналогично вычислим следующее приближение:

Итерационный процесс следует продолжать до получения малой разности между значениями неизвестных в двух последних итерациях.

3. Методы решения уравнений с одним неизвестным Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнений вида где f – заданная функция; x – неизвестная величина; p1, p2,..., pn – параметры задачи.

Как правило, исследователя интересует поведение решений в зависимости от параметра pk. При каждом фиксированном наборе параметров pk уравнение (3.1) может иметь либо конечное, либо бесконечное количество решений x, что соответствует определенному физическому смыслу конкретной задачи [7]. Решениями или корнями уравнения (3.1) называются такие значения x, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными. Методы решения таких уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения. Итерационные методы предполагают нахождение последовательных приближений решения.

Только для простейших уравнений удается найти решение в аналитическом виде, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину x, в явном виде через параметры pk.В большинстве же случаев приходится решать уравнения вида (3.1) численными методами.

В результате численного решения уравнения получают таблицы зависимостей искомой величины x от параметра pk. Численное решение уравнения (3.1) обычно проводят в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корни уравнения, т.е. найти такие интервалы изменения переменной x, где расположен только один корень. На этом этапе находят приближенные значения корней с погрешностью, задаваемой длиной каждого интервала. На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, т.е. находят корни с заданной точностью.

Рассмотрим табличный способ отделения корней. В интересующей нас области изменения неизвестного x О [ x0, xn ] при фиксированных параметрах pk вычислим ряд значений левой части уравнения и результаты поместим в таблицу, по которой построим график (рис. 3.1).

Рис. 3.1. График левой части уравнения (3.1) С точностью до выбранного шага (расстояния между точками xi ) из графика (таблицы) определяются приближенные значения корней уравнения. Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно повысить точность определения корней. Однако такой способ может потребовать большого объема вычислений. Если левая часть уравнения является непрерывной функцией аргумента x, то для отделения корней не обязательно строить график этой функции. В этом случае корни уравнения будут расположены между точками таблицы, где изменяется знак функции f ( x). Шаг изменения аргумента x при вычислении таблицы выбирается так, чтобы он был меньше расстояния между корнями. Только в этом случае удается отделить корни уравнения.

Для уточнения отделенных корней обычно используют итерационные методы. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения x0. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня x1, x2,..., xk,....

Если эти значения с ростом k стремятся к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится. Рассмотрим некоторые итерационные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений.

3.1. Метод дихотомии Это один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Он состоит в следующем. Допустим, что отделение корней уравнения (3.1) проведено и на отрезке [a, b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью (рис. 3.2).

Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [a, b] и вычисляем функцию f ( x). Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f ( x) есть непрерывная функция аргумента x, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f ( x) имеет разные знаки. На рис. 3.2 это будет отрезок [a, x], т.е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в середину отрезка x и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [a, b]. За один шаг промежуток существования корня сокращается ровно вдвое.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока интервал [a, b] не станет меньше заданной погрешности.

Следует учитывать, что функция f ( x) вычисляется с некоторой абсолютной погрешностью 1. Вблизи корня, значения функции f ( x) малы по абсолютной величине и могут оказаться сравнимыми с погрешностью ее вычислений, т.е. можно попасть в полосу шумов 2 1, и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным. Поэтому следует задавать ширину полосы шумов и прекращать итерационный процесс при попадании в нее. Необходимо иметь в виду, что при уменьшении интервала [a, b] увеличивается погрешность вычисления его длины за счет вычитания близких чисел.

Метод дихотомии всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное решение будет иметь любую наперед заданную точность (в рамках разрядности компьютера). Однако метод довольно медленный. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень, уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен (b a) / 2n. За 10 итераций интервал уменьшится в 210 = 1024 103 раз, за итераций интервал уменьшится в 220 106 раз.

3.2. Метод хорд Метод предназначен для уточнения корня на интервале [a, b], на концах которого левая часть решаемого уравнения f ( x) принимает разные знаки. Интервал [a, b] определяется табличным методом. Очередное приближение в отличие от метода дихотомии берется не в середине отрезка, а в точке x1, где пересекает ось абсцисс прямая линия, проведенная через точки f (a) и f (b) (рис. 3.3).

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбирается тот отрезок из двух [a, x1 ] или [ x1, b], на концах которого функция f ( x) принимает значения с разными знаками.

Процесс уточнения корня заканчивается, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной погрешности или когда значение функции f ( x) попадет в область шума, т.е.

Уравнение прямой линии, проходящей через точки f1 = f (a) и f 2 = f (b), записывается в общем виде Коэффициенты k и c уравнения этой прямой определяются из условий После вычитания левых и правых частей последних соотношений Точку пересечения прямой y ( x) с осью абсцисс получим, приравнивая y ( x) нулю, Метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, в сравнении с методом дихотомии. Так как для линейной функции f ( x) метод хорд дает корень за один шаг при любой длине отрезка [a, b], то можно рассчитывать на его довольно быструю сходимость, если f ( x) близка линейной. Однако в общем случае, если на функцию f ( x) не накладывать дополнительных ограничений, может оказаться, что метод хорд будет проигрывать методу дихотомии.

3.3. Метод Ньютона Метод предполагает приближение к корню по абсциссам точек пересечения касательных к графику данной функции, проводимых в точках, соответствующих предыдущим приближениям. Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой f ( x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой (рис. 3.4). В качестве исходной точки ( x0 ) выбирается тот конец интервала отделенного корня, которому отвечает ордината того же знака, что и знак f '' ( x). Выбор другого конца интервала в качестве начальной точки делает метод Ньютона непрактичным.

В точке x0 вычисляется левая часть решаемого уравнения y0 = f ( x0 ), а также производная в этой точке f ' ( x0 ). Следующее приближение к корню находится в точке x1, где касательная к функции f ( x), проведенная из точки ( x0, y0 ), пересечет ось абсцисс. Затем считают точку x1 в качестве начальной и продолжают итерационный процесс по описанной схеме. Таким способом можно приблизиться к корню. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным xk + 1 и предыдущим xk приближениями к корню будут уменьшаться. Процесс уточнения корня заканчивается, когда выполнится условие где – допустимая погрешность определения корня.

Для первого шага первое приближение корня определяется в явном виде формулой В общем виде для k –го шага итерационного процесса основная формула Ньютона имеет вид Метод Ньютона особенно удобно применять тогда, когда в окрестности корня график функции имеет большую кривизну. Обычно метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Абсолютная точность решения 10 5 10 6 достигается через 5 – 6 итераций. Но если численное значение производной f ' ( x) близ корня мало, то вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

3.4. Модифицированный метод Ньютона Можно, несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f '' ( x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f ( x), не изменяя производной f '' ( x) (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Модифицированный метод Ньютона 3.5. Метод секущих Один из недостатков метода Ньютона состоит в том, что, пользуясь им, приходится дифференцировать функцию f ( x). Если нахождение производной затруднено, то можно воспользоваться некоторым приближением. Если итерации xk и xk + 1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f '' ( x) в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением в виде отношения приращения функции f = f ( xk ) f ( xk 1 ) к приращению аргумента x = xk xk 1. Формула метода секущих имеет вид Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона в том, что от аппроксимации функции f ( x) касательной выполняется переход к секущей (рис. 3.6). Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения x0 и x1. Затем каждое новое приближение к корню вычисляется по выражению (3.6). Процесс уточнения корня заканчивается при выполнении условия Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной левой части уравнения. Алгоритм метода секущих близок к алгоритму метода хорд, однако в методе секущих начальные приближения могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны. При уточнении корня знаки функции f ( x) не повторяются.

3.6. Метод простых итераций От исходного уравнения (3.1) выполняется переход к эквивалентному уравнению Выбирается каким-либо способом грубо начальное приближенное значение корня x0 и подставляется в правую часть уравнения (3.7). Получается новое приближение Подставляя каждый раз новое значение корня в (3.7), получают последовательность значений Из графиков (рис. 3.7) видно, что возможен как сходящийся, так и расходящийся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной ( x). Чем меньше ( x) вблизи корня x*, тем быстрее сходится процесс.

Установим критерий сходимости математически. Будем считать, что в итерационной формуле (3.8) где k и k + 1 – отклонения k и k + 1 приближения от корня. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня x*, то функцию ( x) можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула (3.8) примет вид но так как x* является корнем уравнения, то x* є ( x* ) и, следовательно, Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие или Переход от уравнения (3.1) к уравнению (3.7) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f ( x). При таком переходе необходимо построить функцию ( x) так, чтобы выполнялось условие сходимости (3.9).

Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (3.1) к уравнению (3.8). Умножим левую и правую части уравнения (3.1) на произвольную константу b и добавим к обеим частям неизвестное x.

При этом корни исходного уравнения не изменятся Введем обозначение и перейдем от соотношения (3.10) к уравнению (3.7).

Произвольный выбор константы b позволит обеспечить выполнение условия сходимости (3.9). Желательно выбрать величину b такой, чтобы 1 ' ( x) 0, тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней (рис. 3.7, в). В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса – заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

где Если функция ( x) выбрана в виде (3.11), то производная по x от этой функции будет Наибольшую скорость сходимости получим при ' ( x) = 0, тогда и итерационная формула (3.8) переходит в формулу Ньютона Метод Ньютона имеет самую высокую скорость сходимости из всех итерационных процессов.

Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом, так и табличным, при котором функции известны только при дискретных значениях аргумента. Ограниченный объем памяти ЭВМ не всегда позволяет хранить подробные таблицы функций, желательно иметь возможность «сгущать» таблицы, заданные с крупным шагом аргумента. Сущность интерполяции состоит в отыскании значения функции в некоторой промежуточной точке между точками заданными.

Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции f ( x) более простой функцией ( x), которую нетрудно вычислить при любом значении аргумента x в заданном интервале его изменения. Введенную функцию ( x) можно использовать не только для приближенного определения численных значений f ( x), но и для проведения аналитических выкладок при теоретическом исследовании модели.

4.1. Линейная интерполяция Простейшим видом интерполяции является линейная интерполяция, в основе которой лежит аппроксимация кривой на участке между точками ( xk, yk ) и ( xk + 1, yk + 1 ) прямой, проходящей через те же точки.

Уравнение прямой можно представить в виде или в виде Зная два табличных значения yk и yk + 1, соответствующих xk и xk + 1, с помощью этих формул можно найти значение функции y при любом значении x в интервале й xk, xk + 1 щ.

4.2. Интерполяция каноническим полиномом Обычно полагают, что, используя большее число соседних точек и аппроксимируя истинную кривую более сложной линией, можно уточнить полученный результат. В этом случае для аппроксимации функции f ( x) используют функцию ( x) со свободными параметрами c0, c1,..., cn и соответствующим их выбором.

Пусть функция f ( x) задана таблицей значений f 0, f1, f 2,..., f n, полученной из эксперимента или путем вычисления в последовательности значений аргумента x0, x1, x2,..., xn. Выбранные значения аргумента x называются узлами таблицы. Считаем, что в общем случае узлы не являются равноотстоящими.

Введем аппроксимирующую функцию ( x, c0, c1,..., cn ) так, чтобы она совпадала с табличными значениями заданной функции во всех узлах xi Свободные параметры ci определяются из системы уравнений (4.1).

Подобный способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношение (4.1) – условиями Лагранжа.

Задачей интерполяции в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента x расположено между узлами x0 Ј x Ј xn, то нахождение приближенного значения функции f ( x ) называется интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [ x0, xn ], то процесс называют экстраполяцией.

В общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа – дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений. Возможность решения подобных задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции ( x).

Введем в качестве аппроксимирующей функции ( x) полином pn ( x) степени n в каноническом виде Свободными параметрами интерполяции ci являются коэффициенты полинома (4.2). Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования.

Коэффициенты ci определим из условия Лагранжа Система линейных алгебраических уравнений (4.3) имеет решение относительно свободных параметров ci, так как определитель системы отличен от нуля, если среди узлов xi нет совпадающих. Определитель системы (4.3) называется определителем Вандермонда и имеет аналитическое выражение.

4.3. Интерполяционный полином Лагранжа Пусть задано n + 1 значение функции f ( x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:

Старшая степень аргумента x в полиноме Лагранжа равна n, так как каждое произведение в формуле (4.4) содержит n сомножителей ( x xi ). В узлах x = xi выполняются условия Лагранжа, в сумме (4.4) остается по одному слагаемому fi, остальные обращаются в нуль за счет нулевых сомножителей в произведениях.

В отличие от канонического интерполяционного полинома для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительного определения коэффициентов полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином (4.4) приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. С известными коэффициентами для вычисления значений канонического полинома требуется значительно меньшее количество арифметических операций по сравнению с полиномом Лагранжа. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.

Полином Лагранжа занимает важное место в теории численных методов. Для практических вычислений обычно применяют полином Лагранжа не выше 5 – 6 степени.

Дана таблица значений функции y = f ( x) в четырех узловых точках ( x0 = 321, 0; y0 = 2,50651 ), ( x1 = 322,8; y1 = 2,50893 ), ( x2 = 324, 2; y2 = 2,51081 ), ( x3 = 325, 0; y3 = 2,51183 ).

Необходимо определить значение функции для аргумента x = 323.5, используя интерполяционный полином Лагранжа ( n = 3 ).

4.5. Интерполяционный полином Ньютона Существует множество разностных методов интерполяции, однако наиболее распространен метод Ньютона для интерполирования вперед, известный также как метод Ньютона-Грегори [8]. Интерполяционный многочлен для метода разделенных разностей имеет вид Коэффициенты c j находятся из уравнений позволяющих записать систему уравнений

Это линейная система уравнений с треугольной матрицей, и определение с ее помощью значений c j не вызывает затруднений. Существует и еще более простой способ определения c j, основанный на применении правых конечных разностей. Если значения x заданы через равные промежутки то в общем случае, xi = x0 + i Чh, где i = 1, 2,..., n. последнее выражение позволяет привести решаемые уравнения к виду откуда для коэффициентов получаем Здесь y0 называется первой правой разностью. Продолжая вычисления, находим где 2 y0 – вторая правая разность, представляющая собой разность разностей. Коэффициент c j можно представить в виде В общем случае разности более высоких порядков для функции y = f ( x) в интервале x0 Ј x Ј xn определяются выражением Часто их вводят в таблицы, где разности порядка n выражены через разности порядка n 1.

4.6. Пример Имеется таблица данных [значения функции y = Sin( x) ]:

Требуется найти y при x = 23 методом разделенных разностей.

С помощью исходных данных составляется таблица правых разностей.

За x0 можно принять любое значение xi, например x = 20 град.

Необходимые разности стоят на диагонали, идущей от значения x0 вниз.

Число используемых разностей высших порядков может быть любым, но чем оно больше, тем выше точность. Одно из достоинств рассматриваемого метода состоит в том, что он позволяет уточнять результат, используя дополнительные разности, причем нет необходимости начинать вычисления сначала. Поэтому в случае, если неизвестно, сколько членов следует взять, их число следует увеличивать до тех пор, пока их вклад не станет пренебрежимо малым. В данном случае h = 10. Используя только первую разность, найдем Введя дополнительно вторую разность, получим Наконец, с помощью третьей разности найдем Очевидно, что это значение y очень близко к точному значению, равному 0,39073 при x = 23.

4.7. Итерационные методы интерполяции Эти методы основаны на повторном применении простой интерполяционной схемы. Наиболее известным из них является метод Эйткена, сущность которого в повторном применении линейной интерполяции.

Линейная интерполяция между точками ( x0, y0 ) и ( xi, yi ) осуществляется по формуле с помощью которой, задав значение xi, можно составить таблицу функций yi1 ( x), где i = 1, 2,..., n. Пользуясь этими функциями, с помощью линейной интерполяции получим новое семейство соотношений. Простой подстановкой можно показать, что выражения для yi 2 ( x ) представляют собой многочлены второй степени, описывающие кривые, проходящие через точки ( x0, y0 ), ( x1, y1 ) и ( xi, yi ). Получив многочлены yi 2 с помощью линейной интерполяции и используя функции yi 2 ( x), можно записать выражение для многочлена третьей степени описывающего кривые, проходящие через точки ( x0, y0 ), ( x1, y1 ), ( x2, y2 ) и ( xi, yi ). Продолжая этот процесс, можно получить значения yij ( x), которые будут стремиться к значению f ( x). Хотя в принципе этот метод позволяет вводить многочлены степени n 3, обычно этого не делают, стремясь избежать роста ошибок. Следует отметить, что метод Эйткена не требует, чтобы используемые для интерполяции значения функции были расположены через равные интервалы.

Имеется таблица данных [значения функции y = Sin( x) ], требуется найти y при x = 23 с помощью многократного применения линейной интерполяции. По приведенной методике выполняются расчеты, и составляется таблица результатов. Видно, что по мере выполнения вычислений значения y (23) стремятся к истинному значению, равному 0,39073.

Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Несмотря на выполнение условий Лагранжа в узлах, интерполяционная функция может иметь значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами.

При этом повышение степени интерполяционного полинома приводит не к уменьшению, а к увеличению погрешности.

Для проведения гладких кривых через узловые значения функции чертежники используют упругую металлическую линейку, совмещая ее с узловыми точками. Математическая теория подобной аппроксимации называется теорией сплайн-функций. Разработано обширное программное обеспечение для практического применения сплайнов в различных областях науки и техники.

Рассмотрим один из наиболее распространенных вариантов интерполяции кубическими сплайнами. Используя законы упругости, можно установить, что недеформируемая линейка между соседними узлами проходит по линии, удовлетворяющей уравнению Функцию ( x) будем использовать для аппроксимации зависимости f ( x ), заданной в узлах x0, x1,..., xn значениями f 0, f1,..., f n.

Если в качестве функции ( x) выбрать полином, то в соответствии с уравнением (4.5) степень полинома должна быть не выше третьей.

Этот полином называют кубическим сплайном, который на интервале x О [ xi 1, xi ] записывают в виде где ai, bi, ci, d i - коэффициенты сплайна, определяемые из дополнительных условий; i = 1, 2,..., n – номер сплайна.

В отличие от полиномиальной интерполяции, когда вся аппроксимируемая зависимость описывается одним полиномом, при сплайновой интерполяции на каждом интервале [ xi 1, xi ] строится отдельный полином третьей степени (4.6) со своими коэффициентами.

Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках:

1) равенство значений сплайнов ( x) и аппроксимируемой функции f ( x ) в узлах – условия Лагранжа 2) непрерывность первой и второй производных от сплайнов в узлах Кроме перечисленных условий необходимо задать условия на концах, т.е. в точках x0 и xn. В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Часто используются условия свободных концов сплайнов. Если линейка не закреплена в точках вне интервала [ x0, xn ], то она описывается уравнением прямой линии, т.е. полиномом первой степени. Следовательно, исходя из условий (4.9) непрерывности вторых производных сплайнов на концах интервала, записываются соотношения Для улучшения гладкости аппроксимирующей кривой используют и другие граничные условия. Например, строят так называемые нагруженные сплайны, которые в механической модели соответствуют подвешиванию грузов к металлической линейке на ее концах. Коэффициенты кубических сплайнов [7] определяются из условий (4.7) – (4.11).

4.10. Применение интерполяции для решения уравнений Интерполяция применяется для решения уравнений вида Если в области корня уравнения (4.12) вычислить его левую часть в n + 1 точке и результаты поместить в таблицу, содержащую столбцы аргумента x и функции f ( x), то для определения корня можно поменять местами столбцы таблицы. С помощью одного из алгоритмов интерполяции определяется значение аргумента x, при котором функция f ( x) принимает значение p1. Нахождение значений аргумента x по заданным значениям функции называется обратной интерполяцией.

Значение корня, найденное с помощью обратной интерполяции, будет приближенным за счет погрешности интерполяции. Для уточнения значения корня необходимо организовать итерационный процесс, на каждом шаге которого узел, где величина f ( xi ) p1 принимает наибольшее значение, заменяется найденным приближением к корню. Критерием окончания итераций будет выполнение одного из условий где x k - приближение к корню на k – ой итерации; – заданная погрешность определения корня; 1 – половина ширины полосы шума функции f ( x ). Обычно при решении уравнений методом обратной интерполяции выбирают фиксированное и сравнительно небольшое число узлов. Если выбрать два узла, то получают алгоритм, полностью совпадающий с методом секущих.

При аппроксимации кривых возможно использование условия равенства значений интерполяционного многочлена и данной функции в известных точках – узлах интерполяции. В этом случае аппроксимирующая кривая строится с помощью одного из методов интерполяции и проходит через все узлы, к точности данных значений функции предъявляются высокие требования.

В случае обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений или измерений, нужно иметь в виду ошибки этих данных.

Они могут быть вызваны несовершенством измерительного прибора, субъективными причинами, различными случайными факторами и т. д.

Ошибки экспериментальных данных можно условно разбить на три категории по их происхождению и величине: систематические, случайные и грубые.

Систематические ошибки обычно дают отклонение в одну сторону от истинного значения измеряемой величины. Они могут быть постоянными или закономерно изменяться при повторении опыта, и их причина и характер неизвестны.

Систематические ошибки могут быть вызваны условиями эксперимента (влажностью, температурой среды и др.), дефектом измерительного прибора, его плохой регулировкой (например, смещением указательной стрелки от нулевого положения) и т. д. Эти ошибки можно устранить наладкой аппаратуры или введением соответствующих поправок.

Случайные ошибки определяются большим числом факторов, которые не могут быть устранены либо достаточно точно учтены при измерениях или при обработке результатов. Они имеют случайный характер, дают отклонения от средней величины в ту и другую стороны при повторении измерений и не могут быть устранены в эксперименте, как бы тщательно он не проводился. С вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Статистическая обработка экспериментальных данных позволяет определить величину случайной ошибки и довести ее до некоторого приемлемого значения повторением измерений достаточное число раз.

Грубые ошибки явно искажают результаты измерения; они чрезмерно большие и обычно пропадают при повторении опыта. Грубые ошибки существенно выходят за пределы случайной ошибки, полученной при статистической обработке. Измерения с такими ошибками отбрасываются и в расчет при окончательной обработке результатов не принимаются.

В экспериментальных данных всегда имеются случайные ошибки.

Они могут быть уменьшены до сколь угодно малой величины путем многократного повторения опыта. Однако это не всегда целесообразно, поскольку могут потребоваться большие материальные или временные ресурсы. Значительно дешевле и быстрее можно в ряде случаев получить уточненные данные хорошей математической обработкой имеющихся результатов измерений.

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию Лагранжа полиномами или сплайнами для обработки результатов. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживает возможные выбросы за счет погрешности эксперимента. Такой подход называется подгонкой кривой, которую стремятся провести так, чтобы ее отклонения от экспериментальных данных были минимальными.

5.1. Метод наименьших квадратов Обычно стремятся свести к минимуму сумму квадратов разностей между значениями функции, определяемыми выбранной кривой и экспериментальными данными.

Обозначим узлы исходной таблицы данных через xi, где 0 Ј i Ј n.

n – номер узла. Считаем известными значения экспериментальных данных в узловых точках f ( xi ) = fi. Введем непрерывную функцию ( x) для аппроксимации дискретной зависимости f ( xi ). В узлах функции ( x) и f ( x ) будут отличаться на величину i = ( xi ) f ( xi ). Отклонения i могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты отклонений по всем узлам Метод построения аппроксимирующей функции ( x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов.

Наиболее распространен способ выбора функции ( x) в виде линейной комбинации.

циенты, определяемые при минимизации величины Q.

Математически условия минимума суммы квадратов отклонений Q запишем, приравнивая нулю частные производные от Q по коэффициентам ck, 0 Ј k Ј m :

Из системы линейных алгебраических уравнений (5.3) определяются все коэффициенты ck. Система (5.3) называется системой нормальных уравнений. Матрица этой системы имеет вид:

и называется матрицей Грамма. Элементы матрицы Грамма являются скалярными произведениями базисных функций Расширенная матрица системы уравнений (5.3) получится добавлением справа к матрице Грамма столбца свободных членов где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично (5.5) Отметим основные свойства матрицы Грамма, полезные при программной реализации алгоритмов метода наименьших квадратов:

1) матрица симметрична, т.е. aij = a ji, что позволяет сократить объем вычислений при заполнении матрицы;

2) матрица является положительно определенной, следовательно, при решении системы нормальных уравнений методом исключения Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента;

3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции k ( x), при этом система (5.3) имеет единственное решение.

При обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью в каждой узловой точке, обычно начинают с аппроксимации функцией ( x), представимой одной или двумя базисными функциями. После определения коэффициентов ck вычисляют величину Q по формуле (5.1). Если получится, что Q, то необходимо расширить базис добавлением новых функций k ( x). Расширение базиса необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие Q.

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции f ( x), таких, как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, свойства симметрии, наличие асимптотики и т.д. [8].

При степенном базисе базисные функции k ( x) выбираются в виде последовательности степеней аргумента x. Базисные функции линейно независимы, В этом случае так же, как и при интерполяции, экспериментальную зависимость аппроксимируют полиномом. Однако степень полинома m выбирается обычно m = n (при лагранжевой интерполяции m = n ). Аппроксимирующая кривая в методе наименьших квадратов не проходит через значения исходной функции в узлах, но проведена из условия наименьшего суммарного квадратичного отклонения. Экспериментальные данные «сглаживаются» с помощью функции ( x). Если же выбрать m = n, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию ( x), совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени n, аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки и величина Q будет равна нулю. Последнее обстоятельство используется для отладки и тестирования программ, реализующих алгоритмы метода наименьших квадратов.

Запишем расширенную матрицу системы нормальных уравнений для базиса (5.8):

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (5.9) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются «оригинальными» и заполняются с помощью циклического присвоения.

Возможен выбор базиса в виде классических ортогональных полиномов. Выбор базисных функций k ( x) в виде степеней x (5.8) не является оптимальным с точки зрения решения системы нормальных уравнений с наименьшими погрешностями. Приемлемые результаты в этом случае можно получить, если набор экспериментальных данных с удовлетворительной погрешностью удается аппроксимировать полиномом невысокой степени (m Ј 4 5).

Лучшие результаты может дать использование классических ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Лагерра, Якоби и других в качестве базисных функций. Свойство ортогональности классических полиномов заключается в том, что для каждого типа полиномов существует отрезок [ x0, xn ], на котором обращаются в нуль скалярные произведения полиномов разного порядка с весовой функцией ( x) В случае большого количества узлов xi на отрезке [ x0, xn ] скалярные произведения (5.10) будут близки к дискретным скалярным произведениям (5.5), так как интегрирование можно приближенно заменить суммированием. Значит, недиагональные элементы матрицы Грамма станут иметь небольшую абсолютную величину, что позволит уменьшить погрешность решения системы нормальных уравнений.

Заданный интервал й x0, xn щ, в котором расположены все узлы апл ы проксимируемой функции, с помощью линейного преобразования всегда можно привести к отрезку [ x0, xn ], где определены и ортогональные базисные функции k ( x).

Для наиболее гладкого представления функций (с минимальным числом и амплитудой выбросов) выбираются полиномы Чебышева Tn ( x), которые определены и ортогональны в интервале [ 1, + 1] с весовой функцией (1 x ) 1/ 2. Значения полиномов Чебышева определяются по рекуррентной формуле Нетрудно убедиться, что в каждом из полиномов Tk + 1 ( x), определенном по формуле (5.11), при старших степенях x будет присутствовать коэффициент 2k. Последнее обстоятельство не всегда удобно при оценках вклада в аппроксимационную функцию ( x) (5.2) старших степеней x по величине коэффициентов ck.

Полиномы Чебышева можно ввести и по другой рекуррентной формуле где Особенностью такой формы полиномов Чебышева является отсутствие коэффициентов у высших степеней x в каждом из полиномов.

Недостатком полиномов Tk* ( x ) считают наличие дробного множителя в рекуррентной формуле (5.12). Однако это обстоятельство существенно только при ручных вычислениях.

Полиномы Tk* ( x) ортогональны на отрезке [ 1, 1] с такой же весовой функцией, что и полиномы Tk ( x).

Единичную весовую функцию на отрезке [ 1, 1] имеют полиномы Лежандра, определяемые по рекуррентной формуле где Возможен выбор базиса в виде ортогональных полиномов дискретной переменной. Построим систему базисных функций k ( x) так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (5.5), тогда матрица Грамма (5.4) будет диагональной, что позволит отказаться от использования процедур численного решения системы нормальных уравнений.

В зависимости от распределения погрешности обрабатываемых данных можно построить полиномы дискретной переменной, ортогональные с соответствующими дискретными весовыми функциями ( xi ).

Из классических ортогональных полиномов дискретной переменной известны полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье [ 9].

Рассмотрим алгоритм построения полиномов Чебышева tk ( x) дискретной переменной. Полином нулевой степени выберем единичным а полином первой степени возьмем в виде где коэффициент a1 определим из условия ортогональности Запишем условие (5.16) в развернутом виде откуда получим Полином второй степени также представим в общем виде с неопределенными коэффициентами a21 и a20 :

которые найдем из двух условий ортогональности:

Аналогичным способом запишем ортогональный полином степени Для полиномов Чебышева дискретной переменной установлена двухслойная рекуррентная формула, по которой можно вычислить полином любой степени через начальные полиномы (5.14) и (5.15), где Аппроксимирующая функция ( x) определяется, как и ранее (5.2), в виде линейной комбинации базисных функций, в качестве которых теперь выбраны полиномы Чебышева дискретной переменной tk ( x), Вследствие диагональности матрицы Грамма коэффициенты ck линейной комбинации (5.20) определяются как частные от деления правых частей (5.6) системы нормальных уравнений на диагональные элементы этой матрицы При увеличении количества базисных функций в сумме (5.20) не придется пересчитывать коэффициенты ck, определенные с меньшим значением m.

Применяется и линейный вариант метода наименьших квадратов.

На практике часто оказывается возможным при обработке экспериментальных данных ограничиться построением линейной аппроксимирующей функции Зная качественное поведение аппроксимируемой зависимости, иногда удается перейти и от нелинейной функции к линейной функции методом выравнивания. Так, например, если исходная зависимость близка к экспоненциальной, то достаточно прологарифмировать значения заданной функции в узлах f ( xi ), чтобы перейти к линейной зависимости.

Выравнивание данных можно осуществлять на этапе подготовки исходной таблицы.

Для коэффициентов a и b формулы (5.22) из общего алгоритма метода наименьших квадратов получим выражения где xi, fi – узлы и значения аппроксимируемой функции в них; n – количество узлов.

Среднеквадратическое отклонение аппроксимирующей функции ( x) от исходной функции определяется по формуле (5.1).

Построить эмпирическую формулу по способу наименьших квадратов в предположении линейной зависимости двух величин x и y (например, температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня). Производим n соответствующих измерений и заносим их в таблицу:

Будем рассматривать x и y как прямоугольные координаты точек на плоскости. Предположим, что точки с соответствующими координатами, взятыми из таблицы, почти лежат на некоторой прямой линии.

Естественно в этом случае считать, что между значениями x и y существует приближенная линейная зависимость, т.е. что y есть линейная функция от значений x, выражающаяся формулой a и b – некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие опредегде лению. Формула (5.25) может быть представлена в виде:

( x, y ) только приблизительно лежат на прямой линии, то Так как точки формулы (5.25) и (5.26) приближенные. Следовательно, подставляя в формулу (5.26) вместо x и y их значения ( x1, y1 ), ( x2, y2 ),..., ( xn, yn ), взятые из предыдущей таблицы, получим равенства где 1, 2,..., n - некоторые числа, вообще говоря, не равные нулю, которые будем называть погрешностями.

Требуется подобрать коэффициенты a и b таким образом, чтобы эти погрешности были по возможности малыми по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в следующем: нужно подобрать коэффициенты a и b так, чтобы сумма квадратов погрешностей была, возможно, меньшей, т.е. потребуем, чтобы сумма была наименьшей. Если эта сумма квадратов окажется малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по абсолютной величине.

Заменяя в выражении (5.28) погрешности их значениями из равенств (5.27), получим такую величину:

В формуле (5.29) числа ( x1, y1 ), ( x2, y2 )..., ( xn, yn ) получены в результате измерений, и они рассматриваются как данные; коэффициенты же a и b – неизвестные величины, подлежащие определению.

Итак, u можно рассматривать как функцию от двух переменных a и b. Подберем коэффициенты a и b так, чтобы функция u получила бы возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы соблюдались условия Беря эти частные производные, и для удобства выкладок снабжая их коэффициентом, будем иметь Отсюда, приравнивая эти частные производные нулю, получим линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b Произведя обычные алгебраические преобразования, представим эту систему в более простом виде:

или, введя сокращенные обозначения, имеем Это окончательный вид так называемой нормальной системы способа наименьших квадратов. Из этой системы находим a и b, а затем подставим их в нашу эмпирическую формулу Рассмотрим применение метода наименьших квадратов в предположении линейной зависимости двух величин x и y для результатов измерений Нормальная система (5.30) имеет вид Решая эти уравнения, получим b = 0.425 и a = 1.175. Подставляем их в уравнение y = bx + a В последнем столбце таблицы даны погрешности.

5.2. Пример Используя метод наименьших квадратов, вывести эмпирическую формулу для табличной функции f ( x), полагая, что функция ( x) является полиномом n – ой степени Составим сумму квадратов отклонений ( x) от f ( x) Математически условия минимума суммы квадратов отклонений u запишем, приравнивая нулю частные производные по коэффициентам

В результате получаем уравнения

a0, a1, a2,..., an и далее пользоваться полиномом Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для результатов измерений двух величин x и y Для вычисления коэффициентов нормальной системы составляем таблицу Составляем систему нормальных уравнений Решив эту систему, получим a = 0.023381; b = 2.6066; c = 100.791.

Искомая эмпирическая формула запишется Оценка точности эмпирической формулы (5.31) Сумма квадратов отклонений между значениями функции, определяемыми выбранной кривой и экспериментальными данными определяется 6. Численные методы вычисления определенного интеграла Существует множество методов приближенного вычисления одномерных интегралов. Сначала строятся простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку [10]. Такие формулы называются квадратурными. В многомерном случае (когда размерность интеграла больше единицы) формулы для приближенного вычисления интеграла называют кубатурными. Повышение точности вычисления интегралов осуществляется за счет повышения порядка точности квадратур, за счет разбиения отрезка на части, за счет сведения интегралов от функций с «особенностями» к интегралам от более гладких функций.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции.

Ставится задача вычислить интеграл вида где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования;

f ( x) – непрерывная функция на отрезке [ a, b ].

К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через элементарные функции аналитически записать первообразную интеграла (6.1) или когда подобная запись имеет сложный вид.

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f ( x) аппроксимирующей функцией ( x), для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях где S – приближенное значение интеграла; R – погрешность вычисления интеграла.

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции.

Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов. Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, где необходимо вычислить функцию f ( x). Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющие собой кусочный полином.

Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются для обработки данных.

В методах наивысшей алгебраической точности (методы ГауссаКристоффеля и другие) используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов.

Методы различаются способами выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе они применимы и для несобственных интегралов. Хотя из-за необходимости хранения числовых констант и стандартизации пределов интегрирования программы указанных методов требуют несколько большего объема памяти по сравнению с методами Ньютона-Котеса.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказываются эффективными при вычислении интегралов большой кратности.

В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе учета особенностей конкретных подынтегральных функций, что позволяет существенно сократить время и уменьшить погрешность вычисления интегралов.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение S интеграла (6.1) и оценить погрешность R (6.2). Погрешность будет уменьшаться при увеличении количества разбиений N интервала интегрирования [ a, b] за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значения N 0 становится преобладающей. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа N и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности R выбранного метода интегрирования.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«Московский физико-технический институт (государственный университет) Факультет молекулярной и биологической физики Яворский В.А., Григал П.П. Основы количественной биологии Методические указания к семинарам Москва 2009 Введение О курсе Биология – наука количественная. Любой ее раздел, будь то генетика, теория эволюции или ботаника, для описания предмета привлекает разные математические модели и методы. Особое значение это имеет в молекулярной и клеточной биологии, где в силу малых размеров...»

«УДК 621.311 РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ ПГУ С ГАЗИФИКАЦИЕЙ УГЛЯ Методические указания к расчетно-графическому заданию Новосибирск - 1997 Методические указания к расчетно-графическому заданию подготовлены Ноздренко Г.В., Щинниковым П.А., Гептиной Т.А. 2 Оглавление Введение Постановка задачи расчета структурной схемы ПГУ с газификацией угля Исходные данные Методические подходы к расчету технологических схем ПГУ с газификацией угля Расчет ГТУ - ступени Расчет реактора газификации Расчет ПТУ - ступени...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Безопасность жизнедеятельности МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольной работы по дисциплине Безопасность жизнедеятельности (раздел Охрана труда) для студентов специальностей: 290300 Промышленное и гражданское строительство, 270112 Водоснабжение и водоотведение, 140104 Промышленная теплоэнергетика, форма обучения – заочная Тюмень-2006 Баранцев П.Г., Монахова З.Н., Медведев А.В....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет НЕПРЕРЫВНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА Сборник методических указаний к прохождению практик для студентов направления подготовки 190700.62 Технология транспортных процессов по профилям: Организация перевозок и управление на транспорте (автомобильный транспорт) Международные перевозки на автомобильном транспорте...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА Л. Н. Савушкин, Г. Н. Фурсей МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ СПб ГУТ ))) САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2012 УДК 539.19(075.8)+536(075.8) ББК 322.36я7+22.3я7 М75 Рецензент профессор, академик РАО А.С. Кондратьев Утверждено редакционно-издательским советом университета...»

«ОСНОВЫ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ И ЭНЕРГОАУДИТА В.М. ФОКИН ОСНОВЫ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ И ЭНЕРГОАУДИТА МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2006 В.М. ФОКИН ОСНОВЫ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ И ЭНЕРГОАУДИТА МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 УДК 621:006.354; 621.004:002:006. ББК 31. Ф Рецензент Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор Геральд Павлович Бойков Фокин В.М. Ф75 Основы энергосбережения и энергоаудита. М.: Издательство Машиностроение-1, 2006. 256 с. Представлены основные...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Братский государственный университет Д.Б. Ким, Д.И. Левит ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ Учебное пособие Братск Издательство Братского государственного университета 2012 УДК 630.81 Ким Д.Б., Левит Д.И. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учеб. пособие. – Братск: ФБГОУ ВПО БрГУ, 2012. – 145 с. В рамках курса общей физики в учебном пособии рассмотрены современные представления физики атомного ядра и элементарных...»

«Оформление выпускных квалификационных работ и курсовых проектов Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина ОФОРМЛЕНИЕ ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ И КУРСОВЫХ ПРОЕКТОВ Методические указания для студентов кафедры редких металлов и наноматериалов, обучающихся по направлениям: 150100 – материаловедение и технология металлов 240100 – химическая технология и специальности: 240501 – химическая технология...»

«Федеральное агентство морского и речного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА имени адмирала С.О. МАКАРОВА КАФЕДРА ТЕПЛОТЕХНИКИ, СУДОВЫХ КОТЛОВ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК Б.С. Карандашов, Е.А. Бугаев АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ТОПОЧНОЕ УСТРОЙСТВО ОЙЛОН RP-52 YR Учебное пособие Санкт-Петербург Издательство ГУМРФ им. адм. С.О. Макарова УДК 621.181.002. К Карандашов, Б.С.,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) П.Г. КРУГ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ И НЕЙРОКОМПЬЮТЕРЫ Учебное пособие по курсу Микропроцессоры для студентов, обучающихся по направлению Информатика и вычислительная техника МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МЭИ 2002 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com УДК 621.398 К 84 УДК 621.398.724(072) Утверждено учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия Рецензенты: проф., д-р. техн. наук...»

«НГАВТ - Стр 1 из 239 Колпаков Б.А. Лебедев Б.О. ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Часть 1 – Теплофизические основы судовой энергетики Учебное пособие Рекомендовано УМО в качестве учебного пособия для студентов ВУЗов, обучающихся по направлению 652900 Кораблестроение и океанотехника и специальности 140200 Судовые энергетические установки Новосибирск, 2002 Новосибирская Государственная Академия Водного Транспорта НГАВТ - Стр 2 из 239 УДК 621 Колпаков Б.А., Лебедев Б.О. Техническая физика. Часть 1...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра промышленной теплоэнергетики Германова Т.В.. ЭКОЛОГИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ для студентов специальностей: 140104 Промышленная теплоэнергетика и 270112 Водоснабжение и водоотведение заочной и заочной в сокращенные сроки форм обучения Тюмень, УДК ББК Г-...»

«Федеральное агентство по образованию Дальневосточный государственный технический университет (ДВПИ им. В.В. Куйбышева) В.Н. Нагорная ЭКОНОМИКА ЭНЕРГЕТИКИ Учебное пособие Рекомендовано Дальневосточным региональным учебнометодическим центром в качестве учебного пособия для студентов энергетических специальностей вузов Владивосток • 2007 ББК 65.9(2)304.14 Н 16 Рецензенты: В.В. Зеленцев, канд. ист. наук, проф. каф. экономики морского транспорта МГУ им. Г.И. Невельского; А.М. Кайко, канд. экон....»

«МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ Ганин Н.Б. ВЫПОЛНЕНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧЕРТЕЖНО-ГРАФИЧЕСКОГО РЕДАКТОРА КОМПАСГРАФИК LT Учебное пособие Санкт-Петербург 2003 2 УДК 621 ББК 31. Рецензент к.т.н., проф. И.Ф. Нестеренко Ганин Н.Б., Выполнение графической части курсовых и дипломных проектов в чертежно графическом редакторе Компас-График LT. (Учебное пособие) – СПб.: СПГУВК,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет А. А. ЦЫНАЕВА, Д. Л. ЖУХОВИЦКИЙ РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕПЛОВОЙ СХЕМЫ КОТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Методические указания к курсовому и дипломному проектированию Ульяновск 2005УДК 697.34(076) ББК 31.38я7 Ц 95 Рецензенты: зам. главного инженера ОАО Ульяновскэнерго доцент В. Г. Сторожик, нач. перспективного отдела ОАО Ульяновскэнерго Н. В....»

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению курсового проекта Проектирование и эксплуатация судовых ДВС по дисциплине Судовые ДВС и их эксплуатация для студентов всех форм обучения специальности 7.100.302 – Эксплуатация судовых энергетических установок Севастополь 2 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 629. Проектирование и эксплуатация судовых...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Методические указания к выполнению лабораторного практикума по дисциплине ‘‘Математические методы и модели в расчётах на ЭВМ’’ для студентов специальностей Промышленная теплоэнергетика и Теплофизика Днепропетровск НМетАУ 2000 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Методические указания к выполнению лабораторного практикума по дисциплине ‘‘Математические методы и модели в...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В.А. Витязева, Е.С. Котырло Социально-экономическое развитие Российского и зарубежного Севера Допущено Учебно-методическим объединением вузов России по образованию в области национальной экономики и экономики труда в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080103 Национальная экономика СЫКТЫВКАР 2007 Социально-экономическое развитие...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный университет Кафедра физики Семин В.А., Семина С.М. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическии занятиям по дисциплине ФИЗИКА Электромагнетизм Тула 2012 2 Методические указания к практическим занятиям по дисциплине физика Электромагнетизм составлены доц. Семиным В.А. и асс. Семиной С.М., обсуждены на заседании кафедры...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЁВА УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТОМ на основе СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ Методические указания Самара 2007 г. 2 Составитель: И.Г. Абрамова УДК 658.512 Управление проектом на основе сетевых моделей: Метод. указания / Самар. гос. аэрокосм. ун-т, Сост. И.Г.Абрамова. Самара, 2007. 58 с. Кратко изложены основы теории...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.