WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

Pages:   || 2 |

«Н.Г. Хисамиев, С.Д.Тыныбекова, А.А.Конырханова МАТЕМАТИКА для технических специальностей вуза ЧАСТЬ 2 Усть-Каменогорск 2006 УДК 51.075.8 (076) Хисамиев Н.Г. Математика: для технических ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Республики Казахстан

ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Д. СЕРИКБАЕВА

Н.Г. Хисамиев, С.Д.Тыныбекова, А.А.Конырханова

МАТЕМАТИКА

для технических специальностей вуза

ЧАСТЬ 2

Усть-Каменогорск

2006 УДК 51.075.8 (076) Хисамиев Н.Г. Математика: для технических специальностей вуза.

ч.2. / Н.Г.Хисамиев, С.Д.Тыныбекова, А.А.Конырханова / ВКГТУ.- УстьКаменогорск, 2006.- 117с.

Учебное пособие содержит лекции для всех технических специальностей и предназначен для освоения теоретического и практического материала, а также для самостоятельного изучения курса высшей матетатики.

Утверждено методической комиссией информационнотехнологического и энергетического факультета.

Протокол № от 2006г.

Рецензенты доктор физ.-мат. наук, профессор Н.М.Темирбеков канд.физ.-мат. наук, профессор А.Б.Базарбеков канд. физ.-мат. наук Г.Х.Мухамадиев © Издательство ВКГТУ им. Д. Серикбаева,

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 16. Обыкновенные дифференциальные уравнения 16.1 Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия 16.2 Уравнения 1-го порядка и методы их интегрирования 16.3 Задания для самостоятельного решения 16.4 Вопросы 17. Дифференциальные уравнения Бернулли и в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков 17.1 Уравнения 1-го порядка (продолжение) 17.2 Основные виды уравнений высших порядков и методы их решения 17.3 Задания для самостоятельного решения 17.4 Вопросы 18. Линейные дифференциальные уравнения 18.1 Вид и общая структура решения 18.2 Метод вариации произвольных постоянных 18.3 Задания для самостоятельного решения 18.4 Вопросы 19. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 19.1 Однородные уравнения 19.2 Неоднородные уравнения 19.3 Задания для самостоятельного решения 19.4 Вопросы 20. Ряды 20.1 Числовые ряды 20.2 Знакоположительные ряды 20.3 Знакопеременные ряды 20.4 Задания для самостоятельного решения 20.5 Вопросы 21. Функциональные ряды 21.1 Функциональные ряды 21.2 Степенные ряды 21.3 Ряд Тейлора 21.4 Задания для самостоятельного решения 21.5 Вопросы 22. Элементы теории вероятности 22.1 Предмет теории вероятностей. Основные понятия 23.1 Основные определения 23.2 Теорема сложения вероятностей 23.3 Теорема умножения вероятностей 24. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Независимые повтореные испытания 24.1 Формула полной вероятности 24.2 Формула Бейеса 24.3 Повторные независимые испытания 24.4 Задания для самостоятельного решения 25. Случайные величины и их числовые характеристики 25.1 Дискретные и непрерывные случайные величины 25.2 Законы распределения дискретных случайных величин 25.3 Функции распределения и плотности непрерывных случайных величин 25.4 Задания для самостоятельного решения 26. Числовые характеристики случайной величины. Распределения непрерывных случайных величин. Закон больших чисел 26.1 Числовые характеристики случайной величины 26.2 Виды распределений непрерывных случайных величин 26.3 Закон больших чисел 26.4 Задания для самостоятельного решения 27. Элементы математической статистики 27.1 Основные задачи.





27.2 Понятие о выборочном методе исследования 27.3 Эмпирическая функция распределения 27.4 Полигон и гистограмма 27.5 Задания для самостоятельного решения 28. Точечные оценки. Интервальные оценки.

28.1 Точечные оценки параметров 28.2 Доверительные интервалы 28.3 Задания для самостоятельного решения 29. Статистическая проверка статистических гипотез 29.1 Основные определения 29.2 Критерии согласия 30. Элементы теории корреляции. Основные понятия. Линейная корреляция 30.1 Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости 30.2 Основные задачи теории корреляции 30.3 Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.

30.4 Выборочный коэффициент корреляции 30.5 Задания для самостоятельного решения Список литературы Приложение

class='zagtext'> ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с социальным заказом общества, вступившего в век всеобщей информатизации и компьютеризации, системная математическая подготовка студентов является одной из приоритетных задач обучения в технических вузах РК. Задача учебного заведения – дать студенту сильное базовое, фундаментальное образование, которое в дальнейшем позволит ему самому совершенствовать свои знания, развить способность к самообразованию. Осуществленный в настоящее время переход к кредитным технологиям обучения удовлетворяет этой задаче. Основой кредитных технологий является самостоятельная работа обучаемых, но для её реализации необходимо методическое обеспечение учебного процесса.

В настоящее время в Республике Казахстан недостаточно учебной литературы по высшей математике, предназначенной для самостоятельной работы студентов. В данном пособии мы попытались ликвидировать этот пробел. Подробно разобраны задачи и примеры, а также приведены задачи для самостоятельного решения, после каждой лекции вопросы для самопроверки и список литературы позволит более полно и глубоко освоить пройденный материал.

Материал пособия максимальным образом охватывает программу курса высшей математики в техническом вузе в соответствии с ГОСО МОиН РК за 2004г. и в доступной форме помогает студентам самостоятельно выполнять индивидуальные задания. В пособие включено 30 лекций (6 кредитов) и состоит из двух частей по 15 лекций каждая часть. Разбивка пособия на две части обусловлена объемом пособия и соответствует для большинства технических специальностей разбивке материала по семестрам, что соответствует 3 кредитам. В каждой из лекций подробно рассмотрена методика решения задач на тему лекции, что, по существу, означает охват и практических занятий. Каждая лекция представляет собой отдельный модуль, что позволяет дифференцировать процесс обучения и индивидуализировать его, что способствует большей самостоятельности студентов. Модульный принцип позволяет использовать данное пособие студентам различных специальностей вузов в зависимости от стандартов, в том числе и экономических специальностей, в которых количество часов, отведенное на изучение математики, значительно меньше. Для этого из предлагаемого материала необходимо отобрать нужные модули.





Кроме того, практически нет литературы, в которой бы изложение материала одновременно проводилось на двух языках: казахском и русском.

Издание данного пособия частично восполнит этот пробел, а также поможет внедрению двуязычия в учебный процесс. Овладение государственным языком актуально в нашем регионе.

Авторы надеются, что настоящее издание будет активизировать познавательную деятельность студентов, способствовать качественной самостоятельной работе студентов при изучении курса математики в контексте кредитных технологий обучения.

Во второй части книги содержится материал по дифференциальным уравнениям, рядам, элементам теории вероятностей, математической статистики и теории корреляции.

Авторы выражают благодарность рецензентам – д.ф.-м.н., профессору Темирбекову Н.М., к.ф.-м.н., доцентам Базарбекову А.Б. и Мухамадиеву Г.Х.

16 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

16.1 Дифференциальные уравнения. Основные понятия 16.1.1 Определения. Общее, частное, особые решения Определения:

1. Уравнение, связывающее искомую функцию, её производные или дифференциалы, и аргументы, называется дифференциальным.

2. Наивысший порядок производной или дифференциала в записи уравнения называется порядком этого уравнения.

3. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, если она и её производные или дифференциалы, будучи подставлены в уравнение, превращают его в тождество.

4. Дифференциальные уравнения относительно функции одной переменной (нескольких переменных) называются обыкновенными (в частных производных).

второго порядка;

б) y ( x) xy 2 ( x) = 3 - обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

в) xdx ydy = 0 - обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

Замечание 1. В дальнейшем под дифференциальным уравнением будем понимать только обыкновенное дифференциальное уравнение.

Пример 2. Найти решения уравнений Решение (1) уравнения первого порядка зависит от одной произвольной постоянной С, т.е. при различных значениях С получим разные решения.

Теперь, для определения С, зададим одно дополнительное условие ( начальное):

y (1) = 2.

Отсюда из (1)следует: 2 = 12 + С С = 1 y = x 2 + 1 - частное решение.

Решение (2) уравнения 2- го порядка зависит от двух произвольных постоянных С1 и С2, необходимо задать уже два условия (начальных): y (0) = 1, y (0) = 2.

Отсюда Геометрически решения (1) и (2) – семейство парабол. Задание начальных данных означает: из семейства парабол найти такую параболу, которая в случае:

а) проходит через т. M (1;2), б) проходит через т M (0;1), таким образом, чтобы угловой коэффициент касательной в т. x = 0 равнялся k = y (0) = 2.

16.1.2 Теорема Коши. Общее и частные решения Дифференциальные уравнения n го порядка записываются в неявном виде:

Задача Коши. Найти решение уравнения (3), удовлетворяющее (4) f ( x; y; y,..., y ) непрерывна по всем аргументам и имеет в этой области ограниченные частные производные f y, f y,..., f y, то уравнение (3) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным данным (4), где точка ( x0 ; y 0 ) принадлежит этой области.

Определение 5. Любая дифференцируемая функция где Ci, i = 1, n - произвольные постоянные, называется общим решение уравнения (3), если:

а) она является решением уравнения (3) при любом конкретном наборе б) при любых начальных данных в области, где выполняются условия теоремы Коши, можно подобрать конкретный набор Сi = Ci0, i = 1, n так, что решение удовлетворяет начальным данным.

Решение вида (6) называется частным решением, если в каждой точке области задания уравнения выполняется условие единственности.

Геометрически (5) – семейство кривых (интегральные кривые).

Выполнение условий теоремы Коши означает, что через любую точку области ( x0, y 0 ) проходит только одна интегральная кривая, удовлетворяющая начальным условиям (4).

Общее (частное) решение уравнения (3), заданное в неявном виде:

общим (частным) интегралом дифференциального уравнения.

Кроме общего и частного решения уравнение (3) может иметь особые решения.

Определение 6. Решения уравнения, не получающиеся из общего ни при каком конкретном наборе Сi, i = 1, n и находящиеся в точках нарушения единственности решения (граница области) называются особыми решениями дифференциального уравнения.

Пример 3. Рассмотрим уравнение Решение. Непосредственной подстановкой можно проверить, что общий интеграл уравнения (7). Так как то на прямых y = 0, y = ± R f y - неограниченна, т.е. нарушено условие теоремы Коши.

Очевидно, что y = 0 не является решением (7), а прямые y = ± R решения (7), не получающиеся из (8) ни при каком конкретном значении C, включая ±. Геометрически это означает, что через любую точку прямых y = ± R проходят две интегральные кривые: например, через т. (0; R ) проходят интегральные кривые y = R и x 2 + y 2 = R (C = 0). Следовательно y = ± R особые решения.

Как видно из примера 2 при решении уравнения, мы находим первообразные. Поэтому процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения.

16.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка и методы их Определение 7. Уравнение, разрешенное относительно y, вида:

или в дифференциальной форме называется дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Геометрически уравнение (9) в каждой т. M ( x; y ) задает значение углового коэффициента касательной к интегральной кривой, т.е. поле направлений.

Замечание 2. Иногда интегрирование уравнения упрощается, если переменные х и y равноправными переменными.

является интегралом дифференциального уравнения ( x + x 2 y ) y = y xy 2.

Решение. Согласно правилу дифференцирования неявной функции имеем:

в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество.

16.2.1 Уравнения с разделяющимися переменными Определение 7. Уравнение, вида коэффициенты которого при dx и dy, являются произведением функции только от x на функцию только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.

произведение P ( x ) N ( y ) и интегрируем:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения.

Замечание 3. Случай P( x) = 0, N ( y ) = 0 исследуется дополнительно.

Если дифференциальное уравнение имеет особые решения, они являются решениями данных алгебраических уравнений.

Пример 5. Решить уравнение Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим на Рассмотрим теперь x 2 1 = 0 и y 2 1 = 0.

Получим решения уравнения (легко проверить непосредственной подстановкой в уравнение) х = ±1 и у = ±1. Но эти же решения получаются из общего решения при С = 0. Следовательно, особых решений нет. Ответ:

Частный случай уравнения (1):

Пример 6. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальному условию y (0 ) = 1.

Запишем данное уравнение в дифференциальной форме:

Теперь разделим переменные:

Проинтегрируем последнее уравнение:

Получили общее решение исходного уравнения.

Использовав начальное условие, определим значение произвольной постоянной:

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид 16.2.2 Однородные уравнения Определение 8. Функция ( x; y ) называется однородной порядка относительно x и y, если для любого t : (tx; ty ) = t ( x; y ).

Определение 9. Если M ( x; y ) и N ( x; y ) - однородные функции одного порядка, то (1) называется однородным дифференциальным уравнением.

Уравнение у = f ( x, y ) будет однородным, если f (tx; ty ) = f ( x; y ), т.е. = 0.

Однородные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой:

Решение. Приведем, перенося все члены в одну часть к однородному уравнению:

Так как M = y 2 и N = x 2 xy - однородные функции порядка 2, то уравнение однородное. Делаем подстановку u =.

разделяющимися переменными. Делим обе части на произведение u x и интегрируем. Получим Случай u = 0 и x = 0 равносилен y = ux = 0. Получается из общего решения при С=0.

Замечание 4. Уравнения вида Приводятся к однородным.

однородному.

Решение. Сделаем замену ( h и t - постоянные) Подберем h и t так, чтобы свободные члены равнялись нулю Следовательно, делая замену x = u, y = v + 1, придем к однородному уравнению (u v)du = (2u + v)dv.

Пример 9. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 2 x 2 y = x 2 + y и найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1)=0.

Так как функции 2x 2 и x 2 + y 2 - однородные второго измерения, то данное уравнение – однородное. Сделаем замену y = xu, y = u + xu.

Тогда Предполагая, что х0, сокращаем обе части уравнения на х 2. Далее имеем Разделяя переменные, последовательно находим:

В последнее выражение вместо и подставим значение у/х. Получим общий интеграл :

Разрешив его относительно у, найдем общее решение исходного дифференциального уравнения:

Использовав начальное условие у(1)=0, определим значение С :

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид 16.2.3 Линейные уравнения Определение 10. Дифференциальное уравнение, содержащее искомую функцию и ее производную только в первой степени, называется линейным.

Линейные уравнения 1-го порядка имеют вид:

и называются соответственно (13) – неоднородным, (14) – однородным.

Найдем общее решение однородного уравнения Методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной) найдем решение уравнения (13). Решение ищем в виде (15), где C = C (x) - неизвестная функция. Подставляя в (13) вместо y.

а вместо y - (15), получим Подставляя C (x) в (15), получим общее решение (13).

Замечание 5. Так как C1e - частное решение (при C1 = 0 ) уравнения (13), то можно сделать вывод, верный для линейных уравнений любого порядка: общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решение линейного однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Пример 10. Найти общее решение уравнения (х 2 х )у + у = х 2 (2 х 1).

Решить задачу Коши при начальном условии у(-2)=2.

Приведем данное уравнение к виду (3), разделив обе его части на х х 0. Получим:

Здесь Общее решение исходного уравнения в соответствии с формулой (6) имеет вид Найдем входящие в это решение интегралы. Имеем найденные интегралы в решение (7), окончательно получаем общее решение исходного уравнения:

Из него выделяем частное решение, соответствующее начальному условию у(С 3х Пример 11. Решить уравнение y (3 x y 2 ) = y.

Решение. Уравнение не является линейным относительно y. Перейдем к x, полагая её функцией независимой переменной у, тогда x =. Получим Это уравнение относительно x линейное. P( y ) =, Q( y ) = y.

Из (16) Отметим, что линейное дифференциальное уравнение (13) можно также проинтегрировать методом Бернулли, суть которого заключается в следующем. Введем две неизвестные функции u(x ) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда у = u v + uv. Подставим выражение для у и у в уравнение (13), получим уравнение u v + uv + P(x )uv = Q(x ), которое преобразуем к виду Пример 12. Проинтегрировать уравнение методом Бернулли и решить задачу Коши при начальном условии у ( ) = 1.

Сделав подстановку Бернулли y = uv, y = u v + uv, получим :

Находим частное решение уравнения Пологая C1 = 1, выбираем решение v = cos x. Далее ищем общее решение Общее решение исходного уравнения Из него выделяем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

у ( ) = 1, 1 = (0 + С )( 1), откуда С = 1. Подставляя значение С=-1 в общее решение, окончательно получим: y = (tgx 1) cos x = sin x cos x.

16.3 Проинтегрировать самостоятельно следующие дифференциальные уравнения I. Ответить на вопросы:

1. Является ли функция у(х,С), где С – произвольная постоянная, решением данного дифференциального уравнения:

2. Является ли функция, заданная неявно уравнением e x = Cy, интегралом дифференциального уравнения xyy y 2 = x 2 y ? (Ответ: да.) II. Решить дифференциальные уравнения:

1. Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) дифференциального уравнения:

2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 3. Найти общее решение дифференциального уравнения (1 + е 2 )у = уе х.

4. Найти общее решение дифференциального уравнения:

(Ответ: a) y = х ln x + С / х;

5.Решить задачу Коши:

6. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения xy = x sin 7. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения 8.Решить задачу Коши для дифференциального уравнения 1. Определение обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Задача Коши. Существование решения дифференциального уравнения.

3. Общее, частное и особое решения.

4. Определение дифференциального уравнения 1-ого порядка.

5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

6. Однородные дифференциальные уравнения.

7. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ И В ПОЛНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ

17.1 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 17.1.1 Уравнение Бернулли Определение 1. Дифференциальное уравнение вида:

на некотором отрезке функции, называется уравнением Бернулли.

Решение этого уравнения сводится к линейному уравнению заменой u = y 1.

Пример 1. Привести уравнение Бернулли y + xy = x y 2 к линейному.

Решение:

Пример 2. Найти общее решение уравнения Бернулли y = 2e x y = 2e x y.

Так как для данного уравнения =, можно сделать замену имеет вид:

Тогда общее решение исходного уравнения будет:

Пример 3. Найти общее решение уравнения ху + у = ху 2 ln x.

Разделив обе части данного уравнения на х 0, получим уравнение Бернулли с = 2. Решим его методом подстановки Бернулли Интегрируя, получаем частное решение v = x 1 уравнения xv + v = 0.

Теперь необходимо найти общее решение уравнения xvu = xu 2 v ln x, где v = x 1, т.е. уравнения u = u 2. Разделяем переменные в последнем уравнении и интегрируем его:

Следовательно, общее решение исходного уравнения будет:

17.1.2 Уравнение в полных дифференциалах Определение 2. Дифференциальное уравнение, вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует функция u ( x; y ), полный дифференциал которой в некоторой области равен левой части уравнения.

Теорема. Пусть M ( x; y ), N ( x; y ) непрерывные и дифференцируемые функции, причем и - непрерывны в некоторой области. Для того, чтобы уравнение (10) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы причем общий интеграл записывается в виде:

где ( x0 ; y 0 ) любая точка, в окрестности которой существует решение (1) или в виде:

где точка (х0, у 0 ) D.

Пример 4. Решить уравнение (3x 3 + 6 xy 2 )dx + (6 x 2 y + 4 y 3 )dy = 0.

Решение:

уравнение в полных дифференциалах. Пусть ( x0 ; y0 ) = (0;0). Тогда Пример 5. Найти общее интеграл уравнения (x 2 + y 4)dx + (x + y + e x )dy = 0.

т.е. условие (3) выполнено, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл можно найти по формуле (4) или по (5), положив для простоты х0 = 0, у 0 = 0. Выбор этих значений х0, у 0 допустим, так как функции P(x, y ), Q(x, y ) и их частные производные определены, т.е.

точка М 0 (0,0) D. По формуле (4) имеем:

По формуле (5) получаем общий интеграл:

который совпадает с уже найденным.

17.2 Основные виды уравнений высших порядков и методы их решения 17.2.1 Уравнение вида F ( x, y ( k ), y ( k +1),..., y ( n ) ) = Рассмотрим различные типы уравнений высших порядков, интегрирующихся методом понижения порядка.

- уравнение не содержит явно функцию y.

Порядок понижается заменой: y ( k ) = z, y ( k +1) = z,..., y ( n ) = z ( n k ) Пример 7. Решить задачу Коши:

Решение: данное уравнение является уравнением типа (6). Вводим новую функцию y = p, y = p, разделяя обе части уравнения на x,получим из исходного уравнения p p sin p = 0 или p = p + sin p. Так как правая часть + sin -однородная функция нулевого измерения, то данное уравнение является однородным. Сделаем замену p = zx, p = zx + z. Тогда zx + z z sin z = 0, решаем вначале уравнение zx sin z = 0 Разделяя переменные, последовательно находим ln tg z = ln x + ln c1, tg z = xc1, z = 2arctgxc1. В уравнении вместе z подставляя p = zx, z =, получаем = 2xarctgxc1 d y = 2xarctgxc dx. Далее, интегрируя по частям, U = arctgxc1, dU = y = x arctgxc = x arctgxc1 1 x + 12 arctgxc1 + c2 = x + 12 arctgxc1 1 x + c Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

Чтобы найти частное решение, находим сначала производное от найденной функции решения уравнения Из начального условия y(1) =, y(1) =, находим Из последнего уравнения системы определяем c1 :

Из первого уравнения системы находим Итак, мы нашли c1 = 1, c2 = 1.

Следовательно, искомое частное решение определяется формулой:

17.2.2 Уравнение вида F ( y, y,..., y ( n ) ) = - уравнение, которое не содержит явно аргумент x.

Делается замена: y = = p. Используя правила дифференцирования сложной функции, получим:

Аналогично находят производные высших порядков.

Пример 8. Решить уравнение yy ( y ) 2 = y Решение.

Пример 9. Найти общее решение уравнения y 2yy = 0.

Чтобы решить уравнения введем новую функцию p( y ) = y Тогда Окончательно получаем общее решение данного уравнения.

y = c1tg(c1x + c2 ) здесь c2 = c2c Рассмотрим уравнение вида: у = f (x), в котором правая часть зависит только от х.

Тогда y =... f ( x)dxdx...dx + С1 x n 1 + C 2 x n 2 +... + C n1 x + C n - общее решение уравнения.

Пример 10. Найти общее решение уравнения Решение.

Сначала уравнения приводим к виду (1), тогда Согласно формуле (2) последовательно интегрируя, имеем Далее заново интегрируя, по правилам интегрирования получаем Проинтегрировав последнее равенство еще раз, получим общее решение исходного уравнения 17.3 Проинтегрировать самостоятельно следующие дифференциальные уравнения I. Решить задачу Коши.

4. 1. Решить задачу Коши :

2. С высоты падает тело массой m с начальной скоростью v(0)=0. Найти скорость тела v=v(t) в любой момент времени t, если на него, кроме силы тяжести P=mg, действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости v(t), с коэффициентом пропорциональности, равным 3/2. (Ответ :

5. 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения 6. Найти частное решение дифференциального уравнения II. Решить самостоятельно уравнения высших порядков.

1. Проинтегрировать следующие уравнения:

2. Решить задачу Коши:

а) y = ln x 2, y(1) = 3, y(1) = 1;

б) xy y = x2 + 1, y(1) = 0, y(1) = 1, y(1) = 0;

в) y = e2y, y(0) = 0, y(0) = 3. Проинтегрировать уравнение x2 y = y2.

4. Решить задачу Коши: 2y2 = ( y 1)y, y(0) = 0, y(0) = 1;

5. Проинтегрировать уравнение xy y = x2ex 6. Решить задачу Коши: y3 y + 1 = 0 y(1) = 1, y(1) = 7. Проинтегрировать уравнение xy + y = y 8. Решить задачу Коши: 2y = 3y2, y(2) = 1, y(2) = 1. Уравнение Бернулли и методы его решения.

2. Интегрирование уравнения в полных дифференциалах.

3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

4. Типы уравнений высших порядков.

5. Методы понижения порядка уравнений высших порядков.

18. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

уравнением n - го порядка называется уравнение, вида:

где ai = ai ( x ), i = 1, n - коэффициенты уравнения – функции непрерывные на некотором отрезке.

Правая часть уравнения L[ y ] y ( n ) + a1 y ( n1) + … + a n y называется линейным оператором. Очевидно, что L[ y1 ± y 2 ] L[ y1 ] + L[ y 2 ] и L[Cy ] CL[ y ], C const.

Теорема 1 (Пикара). Во всех точках некоторой области D, где ai = ai ( x ), i = 1, n и f ( x ) непрерывны, существует единственное решение задачи Коши для уравнения (1).

В дальнейшем полагаем, что ai = ai ( x ), i = 1, n и f ( x ) непрерывны в D.

Рассмотрим линейное однородное уравнение Определение 2. Функции y 1, y 2,..., y m называются линейно зависимыми на (a ;b ), если существуют такие постоянные числа 1, 2,..., m, не все равные нулю, что независимыми.

а) Функции y1 = x, y 2 = x 2, y3 = 3 x, y 4 = 2 x x 2 - линейно зависимые в б) Функции 1, x, x 2 - линейно независимые на ( ; ), так как 1 + 2 x + 3 x 2 =0 только для двух значений x, а не для всех x.

Линейная зависимость функции y1, y 2,..., y n, имеющих непрерывные производные до (n 1) - го порядка включительно определяется с помощью определителя называемого определителем Воронского.

Теорема 2. Если функции y1, y2,..., yn линейно зависимые на (a ;b), то W[ y1, y2,..., yn ] 0 на (a ; b ).

Теорема 3. Если частные решения y1, y 2,..., y n уравнения (2) линейно независимые на (a ; b ) функции, то x (a ; b ): W [ y1, y 2,..., y n ] 0.

Определение 3. Любая система из n линейно независимых частных решений уравнения (2) называется фундаментальной системой.

Теорема 4. Для уравнения (2) всегда существует фундаментальная система.

Теорема 5. Если y1, y2,..., yn - частные решения уравнения (2), то где Ci, i = 1, n - произвольные постоянные, также будет решением уравнения (2).

Решение (4) содержит n произвольных постоянных. При каких условиях (4) будет общим решением уравнения (2)?

Теорема 6. Если частные решения y1, y2,..., yn уравнения (2) образуют фундаментальную систему, то (3) является общим решением уравнения (2).

фундаментальной для уравнения y 2 y y + 2 y = 0, и записать его общее решение.

Решение: подстановка функций y1 = e x, y 2 = e x, y 3 = e 2 x и их производных в исходное уравнение показывает, что они являются его решениями. Их вронскиан имеет вид:

Следовательно, e x, e x, e 2 x линейно независимые функции и образуют фундаментальную систему решений исходного уравнения. Его общее решение, согласно формуле (4), имеет вид Пример 2. Записать общее решение уравнения y 2 y y + 2 y = 2 x + 1, если одним из его частных решений является функция y* = x + 1.

Решение: так как общее решение ~ соответствующего однородного уравнения найдено в примере 1, то общее решение данного уравнения имеет вид 18.2 Метод вариации произвольных постоянных решения линейного Теорема 7. Общее решение уравнения (1) есть сумма частного решения этого уравне ния и общего решения соответствующего однородного уравнения (2).

Следовательно, для нахождения общего уравнения (1) необходимо:

1) найти общее решение однородного уравнения (2), 2) найти частное решение уравнения (1).

Метод вариации применяется для нахождения частного решения уравнения (1), если известно общее решение уравнения (2).

Пусть (4) общее решение уравнения (2). Частное решение уравнения (1) будем искать в виде (4), считая Ci, i = 1, n неизвестными функциями от x.

Для нахождения решения необходимо n условий. Этими условиями будут следующие: (n 1) условий, заключающихся в том, что в выражениях, определяющих y(i ), i = 1, n 1:

не должны присутствовать производные от функций Ci, i = 1, n и плюс условие, что (4) удовлетворяет уравнению (1). Тогда Ci (x ) определяются из системы:

которая является линейной системой алгебраических уравнений относительно n неизвестных C i. Определитель системы является определителем Вронского, который в случае фундаментальной системы решений y i (x ) отличен от нуля.

Поэтому система (5) имеет единственное решение Ci(x ) = i (x ). Интегрируя последние равенства, являющиеся дифференциальными уравнениями первого порядка, находим Ci (x ) = i (x )dx.

Следовательно, частное решение y * уравнения (1) имеет вид Пример 3. Найти общее решение уравнения Решение.

Тогда y = 2C1 x + C1 x 2 + C 2. Так как y не должно зависать от C1 и C 2, то положим C1 x 2 + C 2 = 0, т.е. y = 2C1 x. Найдем второе условие, подставляя y и её Для нахождения C1 ( x ) и C 2 ( x ) имеем систему Следовательно, частное решение y = =, а общее – Пример 4. Найти общее решение уравнения Решение: общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (8), известно:

Чтобы получить общее решение уравнения (8), найдем его частное решение y * методом Лагранжа. Согласно формуле (5), Система (5) в нашем случае имеет вид:

Ее определитель W = 6e 2 x 0. Решая систему (9), находим:

Интегрируя выражение (10), получаем:

Записываем частное решение уравнения (8):

Общее решение уравнения (8) имеет вид 18.3 Решить самостоятельно следующие дифференциальные уравнения методом вариации произвольных постоянных 1.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

2.Свойства решений однородного линейного дифференциального уравнения и структура его общего решения.

3.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

19. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение.

Определение1. Если в линейном дифференциальном уравнении, вида:

все ai, i = 1, n, называемые коэффициентами – постоянные числа, то оно называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Найдем фундаментальную систему уравнения, правая часть которого равна Частное решение ищем в виде y = e, где k - некоторая постоянная. kx Определим её.

Подставляя в (2) y = e kx, получим Так как, x : e kx 0, то y = e kx будет решением уравнения (2), если k будет корнем алгебраического уравнения, называемого характеристическим:

Рассмотрим вопрос отыскания фундаментальной системы для случая n = 2.

Характеристическое уравнение для этого случая имеет вид:

Это алгебраическое квадратное уравнение, для которого возможны следующие случаи:

1) D = p 2 4q 0. Тогда k1 k 2 - действительные корни (4). Частные решения y1 = e k x и y 2 = e k x образуют фундаментальную систему, поскольку Используя общую теорию линейных уравнений, получим общее решение уравнения (3):

2) D = p 4q 0. Корни комплексные, сопряжённые: k1, 2 = ± i. Частные решения: y1, 2 = e ( ±i )x = ex e ±i = ex (cos x ± i sin x ).

Из свойства линейных операторов: L[U (x ) + iV (x )] L[U ] + iL[V ] 0 L[U ] = 0 и L[V ] = 0, следует, что фундаментальная система решений уравнения состоит из функций y1 = ex cosx, y2 = ex sin x, тогда общее решение уравнения будет 3) D = p2 4q = 0. Тогда k1 = k 2 = k =. Получим только одно решение y1 = e kx.

Фундаментальная система решений уравнения будет иметь вид: y1 = e kx, y 2 = xe kx, поскольку W[ y1, y 2 ] 0. Общее решение уравнения:

Следовательно, в общем случае для решения уравнения (2) необходимо:

1) Составить и решить характеристическое уравнение.

2) Найти фундаментальную систему решений:

А) Каждому однократному действительному корню k соответствует частное решение y = e kx.

Б) Каждой паре однократных комплексных корней k1, 2 = ± i соответствуют два частных решения: y1 = ex cos x, y2 = ex sin x.

В) Каждому r - кратному действительному корню k соответствует r частных решений:

Г) Каждой паре r -кратных корней k = ± i соответствуют 2r решений:

Количество частных решений ровно n и они образуют фундаментальную систему.

Д) Записать общее решение y = C1 y1 + C 2 y 2 + … + C n y n.

Пример 1. Найти общее решение уравнения Решение.

а) Составим и решим характеристическое уравнение б)Найдем фундаментальную систему y1, y 2, y 3, y 4.

Для уравнения с постоянными коэффициентами и правыми частями f (x ), называемыми квазиполиномами (многочлен, умноженный на показательную функцию), частные решения можно найти проще, не применяя метод вариации произвольных постоянных.

Пусть Pn ( x ) и Qm ( x ) - многочлены n -ой и m -ой степени, а r - кратность корня ( ± i ) характеристического уравнения, причем, если ( ± i ) не является корнем, то r = 0.

где Pn ( x ) - многочлен с неопределенными коэффициентами.

где k = max (n, m ), а Uk и Vk - многочлены с неопределенными коэффициентами.

Пример 3. Найти общее решение уравнений Найдем общее решение однородного уравнения y + 4 y + 3 y = 0.

Найдем частное решение уравнения (10): f ( x ) = xe x Pn ( x ) = x, = 1 однократный корень ( = k1 ) r 1, Pn ( x ) = ax + b, y = x(ax+ = b )e x, где a и b Подставляя y, y, y в (8) и приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней x, получим y = (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ) e x - общее решение однородного уравнения.

в уравнение, получим.

Общее решение Пример 5. Найти общее решение уравнения: y 3 y = 9 x Решение.

Составляем характеристическое уравнение, находим его корни, фундаментальную систему решений и общее решение ~ соответствующегоу однородного уравнения:

В данном уравнении правая часть относится к частному случаю (1.),поэтому =0. Двукратный корень характеристического уравнения 1 = 2 = 0 совпадает с =0,откуда следует, что k=2. Частное решение, согласно формуле (8) имеет вид у* = х2 ( А х2 + Вх + С ). Выписываем вычисления производных :

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в левой и правой частях последнего тождества, получаем систему алгебраических уравнений для определения А,В,С:

откуда А=-1/4, В=0, С=-1. Следовательно, общим решением исходного уравнения является:

Пример 6. Решить задачу Коши Так как характеристическое уравнение 2 7 + 6 = 0 имеет корни 1 = 1, 2 = 6,то общим решением соответствующего однородного уравнения является функция ~ = C1 ex + C 2 e6 x.

Правая часть исходного уравнения квазиполином, вида (1.), где =1;

P1 ( x) = x 2; r = 1. Так как r является корнем характеристического уравнения, то k = 1, и частное решение исходного уравнения определяется формулой y * = xe x ( Ax + B). Далее аналогично предыдущему примеру, имеем Сокращая обе части последнего тождества на e x и приравнивая коэффициент при одинаковых степенях x в левой и правой частях, имеем систему:

откуда A = 1 / 10, B = 9 / 25 и частное решение будет, вида:

Общим решением исходного уравнения является Для того, чтобы решить задачу Коши, находим y :

Используя начальные условия, получаем систему уравнений для определения значений произвольных постоянных :

откуда находим: C1 =84/125, C 2 =41/125.

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, имеет вид:

Пример 3. Найти общее решение уравнения:

(11) Так как характеристическое уравнение 2 + 1 = 0 имеет мнимые корни 1 = i, 2 = i, то общее решение однородного уравнения y + y = 0 определяется функцией ~ = C1 cos x + C 2 sin x согласно формуле (6).

Правая часть уравнения (11) представляет собой сумму двух квазиполиномов, типа (2.): f 1 ( x) = x sin x, f 2 ( x) = cos 2 x. Поэтому, используя структуру формулы (9), методом неопределенных коэффициентов, находим частное решение y1* уравнения и частное решение y 2 уравнения Для уравнения (11) с правой частью f1 ( x) : a = 0, b = 1, = i = 1, поэтому k =1и. y1 = x(( Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x).

Приравнивая коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях последнего тождества, находим A, B, C, D и y1* :

откуда A = 1 / 4, B = 0, C = 0, D = 1 / 4. Следовательно, Для уравнения (11) с правой частью f 2 ( x) : a = 0, b = 2, = 2i, поэтому k = 0 и Далее находим:

Очевидно, что 3M = 1, 3N = 0, поэтому Окончательно, получаем:

и общее решение исходного уравнения (11) определяется функцией Пример 4. Решить задачу Коши Решение.

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного линейного уравнения. Характеристическое уравнение 2 2 + 5 = 0 имеет корни 1, 2 = 1 ± 2i. Общее решение однородного уравнения y 2 y + 5 y = определяется по формуле (6) функцией Правая часть уравнения (12) представляет собой сумму двух функций.

Первая из них f 1 ( x) = 3e x относится к (1.): при Pr ( x) = 3, a = 1, b = 0, z = 1 1, 2.

Поэтому частное решение y1* уравнения y 2 y + 5 y = 3e x имеет вид: y1* = Ae x, где A определяется из тождества, подстановкой в данное уравнение.

Вторая функция f 2 ( x) = e x tg 2 x не является квазиполиномом, и частное решение y 2 уравнения вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Согласно известной теории, имеем В нашем случае система состоит из двух уравнений Сократив уравнения этой системы на e x, получим:

Определитель (вронскиан) последней системы По формулам Крамера находим:

Теперь проинтегрируем полученные равенства:

Следовательно, Таким образом, частное решение исходного уравнения (12) имеет вид:

а его общее решение определяется функцией Чтобы решить задачу Коши, вычислим значения произвольных постоянных C и C 2 в общем решении (13), используя начальные условия y (0) = 3 / 4, y (0) = 2.

Находим y :

Подставляя значение x = 0 в выражения y и y, с учетом начальных условий, получаем:

откуда C1 = 0, C 2 = 7 / 4.

Следовательно, искомое частное решение 19.3 Решить следующие дифференциальные уравнения самостоятельно I.Найти общее решение.

II.Решить задачу Коши.

1.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Определение. Условия существования решения.

3.Метод Эйлера. Характеристическое уравнение.

4.Вид общего решения однородного линейного уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения.

5. Составление частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с квазиполиномом в правых частях, вида: f ( x ) = Pn ( x )ex.

6. Составление частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с квазиполиномом в правых частях, вида: f (x ) = [Pn (x )cos x + Qm (x )sin x ]e x.

В данном курсе рассматриваются числовые и функциональные ряды.

Определение 1. Для заданной бесконечной последовательности чисел {a1, a2,..., an,...} выражение где числа ai, i = 1,2,... - члены ряда, называется числовым рядом.

Обозначим si = a1 + a2 +... + ai, i = 1,2,... и назовем частичными суммами ряда.

Определение 2. Если существует предел частичной суммы ряда S = lim S n, то S называется суммой ряда (1).

Определение 3. Ряд называется сходящимся, если S - конечное число, иначе, т.е. если lim S n равен бесконечности или не существует, ряд называется расходящимся.

Решение. Рассмотрим общий член ряда Используя полученную формулу, распишем n –ую частичную сумму ряда:

Пример 2. Рассмотрим ряд (геометрическая прогрессия) Тогда частичная сумма lim S n - не существует.

Следовательно, ряд сходится только при q 1.

Если S - сумма сходящегося ряда, то можно писать Очевидно, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на ее сходимость. Для сходящихся рядов b = b1 + b2 +... + bn +...

Имеет место равенства:

а) ca = ca1 + ca2 +... + can +..., c const Теорема 1. Необходимый признак сходимости рядов. Для сходимости ряда (1) необходимо, чтобы lim a n = 0.

Имейте в виду: из условия lim a n = 0 не следует сходимость ряда.

Если можно, как в примерах 1- 2, определить конечную формулу для частичной суммы S n, что бывает не часто, то вопрос сходимости ряда решается переходом к пределу в этой формуле, в свою очередь, нахождение предела также связано с трудностями. Поэтому необходимо установить достаточные признаки сходимости ряда, зная только общий член ряда. Приведем эти признаки, справедливые только для рядов с положительными членами.

Рассмотрим ряды с положительными членами Теорема 2. Признаки сравнения:

1.Если, начиная с некоторого номера N : a n bn, n = N, N + 1,..., то а) из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), б) из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).

2. Если существует конечный предел lim сходятся, либо оба расходятся.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд Рассмотрим сходящийся ряд (пример 1, q =, a = 1 ) Так как при n 2 : n n, то 2 2, 3 3,..., то ряд (4) сходится.

Теорема 3-4. Признаки Даламбера (Коши). Если lim а) l 1- ряд (1) сходится, б) l 1 - ряд (1) расходится, в) l = 1 - вопрос сходимости ряда остается открытым.

Пример 5. Исследовать сходимость рядов.

Так как lim a n = lim = = 0, то необходимый признак сходимости выполняется. Применим признак Коши б) гармонический ряд lim a n = lim = 0. Применим признак Даламбера.

lim Следовательно, ряд сходится по признаку Коши.

Теорема 5. Интегральный признак. Пусть, начиная с некоторого номера N, a N a N +1 a N + 2..., и пусть f (x) - непрерывная невозрастающая (расходится), то ряд (1) сходится (расходится).

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд lim a n = lim = 0 - необходимый признак выполняется.

Так как p p p..., то можно применить интегральный признак, где а) p = При p 1 I сходится, при p 1 I расходится.

который расходится, как является рядом Дирихле с показателем Тогда по первому признаку сравнения исходный ряд расходится.

Определение 4. Числовой ряд (6), где u i, i = 1,2,..., … - члены ряда (6) могут быть как положительными так и отрицательными называется знакопеременным рядом.

Частным случаем ряда (6) является знакочередующийся ряд:

Теорема 5. Признак Лейбница. Если ряд (8) таков, что, начиная с некоторого номера N : a N a N +1 a N + 2... и lim a n = 0, то ряд (8) сходится и его сумма положительна.

Теорема 6. Если сходится ряд (7), то сходится и ряд (6).

Определение 5. Если ряд (6) сходится, а ряд (7) расходится, то ряд (6) называется условно сходящимся.

Определение 6. Если ряд (7), а следовательно, и ряд (6), сходится, то ряд (6) называется абсолютно сходящимся.

Вопрос сходимости знакопеременного ряда (6) в общем случае сводят к вопросу сходимости ряда (7), для которого можно применить признаки сходимости знакоположительных рядов.

сходится согласно признака Лейбница, а ряд из его абсолютных величин (гармонический ряд) расходится. Следовательно, ряд (9) - условно сходящийся.

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда, этот ряд расходится как ряд Дирихле с показателем p = 1.

Применим признак Лейбница к заданному ряду:

Следовательно, заданный ряд сходится условно.

2. Написать формулу n - го члена ряда:

3. Написать 4 первых членa ряда по известному общему члену a n.

Исследовать сходимость знакоположительных рядов:

21.Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды.

1.Определение числового ряда.

2. Частичная сумма ряда.

3. Определение суммы ряда.

4. Сходимость и расходимость числового ряда.

5. Необходимый признак сходимости.

6. Первый признак сравнения знакоположительных рядов.

7. Второй признак сравнения знакоположительных рядов.

8. Признак Даламбера.

9. Признак Коши.

10. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

11. Знакочередующие ряды. Теорема Лейбница.

21 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Определение 1. Функциональным называется ряд, вида:

где функции u i ( x), i = 1,2,... - члены ряда.

При конкретном значении x ряд (1) становится числовым рядом.

Следовательно при одних значениях x ряд (1) может сходится, при других – расходится.

Определение 2. Множество значений x, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда ряда.

Так как в области сходимости ряда, его сумма является некоторой функцией от x, то сумму ряда будем обозначать S (x ).

является убывающей геометрической прогрессией ( a1 = 1, q = x ) с суммой. Следовательно, в интервале (-1,1) ряд сходится и Пусть S n ( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) +... + u n ( x), rn ( x) = u n+1 ( x) + u n+ 2 ( x) +... - остаток ряда.

Теорема 1. В области сходимости ряда (1) 21.1.1 Равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами Определение 3. Ряд (10) называется мажорируемым в области D, если существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что x D выполняются неравенства:

Пример 2. Очевидно, что ряд а ряд + 2 + 2 +... + 2 +... - сходящийся (пример 5).

Очевидно, что ряд мажорируемый в D, абсолютно сходится в D.

Определение 4. Ряд (1), сходящийся на [a; b ], называется равномерно сходящимся, если 0 : N, что при всех n N Теорема 2. Ряд (1), мажорируемый на [a; b ] сходится на этом отрезке равномерно.

Из теоремы 2 следует, что мажорируемость более сильное условие, чем равномерная сходимость, т.е. существует не мажорируемые ряды, сходящиеся равномерно.

Теорема 3. Пусть ряд (1) равномерно сходится на [a; b ] и S (x) - его сумма. Тогда если 1. lim ui ( x), i = 1,2,... - существует, то 2. члены ряда ui ( x), i = 1,2,... - непрерывны в [a; b], S (x) - непрерывна на [a; b], то возможно почленное интегрирование ряда.

Теорема 4. Если ряд (10) сходится на [a; b], S (x), ui ( x) С 1[a; b], i = 1,2,...

, а ряд u1 ( x) + u ( x) +... + u ( x) +... сходится равномерно на [a; b ], то т.е. возможно почленное дифференцирование ряда.

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение 5. Степенным рядом относительно х a называется ряд, вида:

Теорема 5. (Абеля). Из сходимости ряда (4) при x = x0 следует его абсолютная сходимость при всех x x0, а из его расходимости при x = x1 расходимость при всех x x0.

Из теоремы Абеля следует: для ряда (4) существует единственное число R, 0 R, такое, что при x R ряд (2) сходится, а при x R - расходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а ( R; R ) a n + интервалом сходимости. Если существует конечный предел lim lim Пример 3. Найти область сходимости ряда сходимость в точках x = ±1.

При x = 1 1 + + +... - гармонический ряд – расходится.

При x = 1 1 + +... - знакочередующийся ряд сходится (пример 6).

Следовательно, область сходимости степенного ряда: [1;1).

Для ряда (1) интервал сходимости (a R; a + R), где R - радиус сходимости ряда (2).

Пусть D произвольный отрезок, целиком лежащий внутри интервала сходимости ряда (3). Тогда:

1. Ряд (12) мажорируем ( равномерно сходящийся) в D.

2. Сумма ряда (1) – непрерывна в интервале сходимости.

3. Ряд (1) в D можно почленно интегрировать и любое число раз почленно дифференцировать, причем полученные степенные ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (1).

(–1,1) – интервал сходимости.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При x = 1 ряд примет вид сходится абсолютно при x ( 1,1), сходится условно при x = 1.

( 1,1) интервал сходимости.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При x = 1 ряд примет вид:

Следовательно, по второму признаку сравнения при x = 1 ряд сходится абсолютно.

Ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, имеет вид который сходится абсолютно.

Итак, заданный ряд сходится абсолютно при x [ 1,1].

Пусть y = f (x) в некоторой окрестности т. a имеет производную (n + 1) го порядка. Найдем многочлен Pn (x), степени не выше n, такой, что Будем искать Pn (x ) в виде:

Найдя Pn( i ) ( x), i = 1, n, и используя условия (5), получим Пусть Rn ( x ) = f ( x ) Pn ( x) - остаточный член. Тогда f ( x) = Pn ( x) + Rn ( x) можно показать, что Rn (x ) можно записать в форме Лагранжа Формула (6) называется формулой Тейлора, а при a = 0 - формулой Маклорена.

Эти формулы дают возможность функцию y = f (x) заменить на многочлен Pn (x ) в окрестности т. a с точностью, равной Rn (x).

Пример 6. Разложить по формуле Маклорена y = e x и вычислить число e с точностью до = 10 5.

а при n = Пусть в окрестности т. a y = f (x) дифференцируема бесконечное число раз. Тогда, считая n сколь угодно большим, получим в правой части (4) степенной ряд. При каких условиях этот ряд имеет сумму S ( x) = f ( x) ?

Теорема 6. Если функция f (x) а интервале D = (a r ; a + r ) бесконечное число раз дифференцируема и lim Rn ( x) = 0 x D, то в D Причем сходимость ряда к функции f (x) в D равномерная.

Определение 6. Ряд (7) называется рядом Тейлора, а при a = 0 - рядом Маклорена.

Отметим, что для каждой элементарной функции существует такое a и R, что в интервале (a R; a + R), она разлагается в ряд Тейлора.

Приведем без выкладок разложение некоторых функций в ряды Тейлора:

З а м е ч а н и е. Указанные разложения можно использовать и для сложных функций.

Например:

3. y = подставляем x 2, интервал сходимости x 2 1 x 1 1 x Можно показать, что этот ряд сходится и при x = ±1. Тогда при x = С помощью рядов иногда удобно вычислять интегралы, первообразные которых не являются элементарными функциями.

Так как То интегрируя получим Ряды Тейлора, и вообще степенные ряды, часто используются для приближенного вычисления частного решения дифференциального уравнения.

Пример 8. Найти решение уравнения Решение ищем в виде Из начальных условий a0 = y (0) = 0, a1 = y (0) = 1.

Далее, подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим Следовательно a2 k = 0, k = 1,2,....

Отсюда частное решение точки x = 1.

Решение. Находим производные:

При x = 1 получаем:

Тогда ряд Тейлора для функции f ( x ) = Полученный ряд есть геометрическая прогрессия со знаменателем q = ( x 1), Следовательно, ряд сходится абсолютно при x (0,2). Тогда Пример 10. Разложить в ряд Тейлора функцию Решение. Раскладываем дробь на простейшие:

Отсюда, полагая x = 3 и x = 4, получим A =, B =.

Следовательно, Используя формулу рассмотрим каждую из простейших дробей:

Подставим полученные разложения в (8):

Пример 11. Разложить в ряд Тейлора функцию f ( x ) = sin 2 x.

Разложив cos 2 x в ряд по формуле пункта 3 (заменив там x на 2 x ) получим:

x (,+).

Решение. Рассмотрим ln Используем разложение пункта 5, заменив x соответственно на и ( ) :

Полученное разложение справедливо при Пример13. Разложить в ряд Тейлора функцию Решение. Воспользуемся разложением Разложение имеет место, если x 1, т.е. x 1.

21.4 Следующие задания решить самостоятельно Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости.

12. Пользуясь основными разложениями 1-5 и геометрической прогрессией, написать разложение по степеням x следующих функций 13.Разложить функцию x 3 2x 2 5x 2 в ряд по степеням ( x + 4).

14.Разложить ln x в ряд по степеням ( x 1).

15.Разложить e x в ряд по степеням ( x + 2).

16.Разложить 2 в ряд по степеням ( x + 1).

1. Определение функционального ряда.

2. Область сходимости.

3. Определение равномерной сходимости ряда.

4. Мажорируемые ряды.

5. Непрерывность суммы ряда.

6. Почленное интегрирование рядов.

7. Почленное дифференцирование рядов.

8. Степенные ряды. Интервал сходимости.

9. Ряды Тейлора и Маклорена.

10. Разложение в ряд Элементарных функций.

22 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

22.1 Предмет теории вероятностей. Основные понятия Теория вероятностей – обязательный инструмент анализа ситуаций, включающих неопределенность.

Основная задача теории вероятностей – установление математических законов для исследования случайных явлений массового характера и предвидения их на основании отдельных фактов. В окружающем нас мире мы имеем дело с различными случайными явлениями, большинство которых подчиняется определенным закономерностям, проявляющимся только при большом числе наблюдений.

Теория вероятностей формирует основу для статистического вывода, а также для количественной оценки наступления или не наступления некоторых событий, включая контроль качества, принятие управленческих решений, в инженерных расчетах в экономике и пр.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых случайных событий. Методы теории вероятностей широко применяются в теориях надежности, стрельбы, автоматического управления и т.д. Теория вероятности служит обоснованием математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и т.д. Можно с уверенностью сказать, что нет такой области знаний, где не использовались бы вероятностные или статистические методы исследования.

Определение 1. Событием в теории вероятностей называют всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).

Например: Стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие. События принято обозначать A, B, … Единичное случайное событие – следствие очень многих случайных причин, которые часто невозможно учесть. Однако, если рассматривать массовые однородные события (многократно наблюдающиеся при осуществлении опыта в одних и тех же условиях), то они подчиняются определенным закономерностям: если бросать монету в одних и тех же условиях большое число раз, можно с небольшой погрешностью предсказать, что число появлений герба будет равно половине числа бросков.

Определения.

2 Если в результате опыта событие A :

а) всегда произойдет, то A - достоверное событие, б) никогда не наступит, то A - невозможное событие, в) может произойти, может и не произойти, то A - случайное (возможное) событие.

3. События называются равновозможным, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не имеет больше шансов появиться в результате опыта, чем другие.

4. События A и B - совместные (несовместные), если появление одного из них не исключает (исключает) появление другого.

5. Группа событий совместна, если совместны хотя бы два события этой группы, иначе – несовместна.

6. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступит одно из них.

Пример 1. По мишени производят три выстрела: Пусть A1 (A1 ) попадание (промах) при первом выстреле A2 (A2 ) - при втором выстреле, A3 (A3 ) - при третьем выстреле. Тогда а) A1, A2, A3 - совместная группа равновозможных событий.

б) A1, A1 - полная группа несовместных событий, A1 - событие, противоположное A1.

в) A1, A2, A3, A1, A2, A3 - полная группа событий.

Основные формулы комбинаторики При вычислении вероятностей событий по классической формуле часто используются формулы комбинаторики. Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

Рассмотрим основной принцип комбинаторики. Допустим, что требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе - n2 способами и т.д., k действие nk способами, то все k действия могут быть выполнены n1 n2... nk способами.

Пусть дано множество из n элементов.

Определение 10. Произвольное k-элементное подмножество из n элементного множества, отличающиеся либо самими элементами, либо их порядком называются размещениями и обозначаются An k.

Число размещений вычисляется по формуле: An k = n(n 1)(n 2)...(n k + 1).

Пример 4. Дано множество {a‚b‚c}, число размещений из 3 по 2 будет:

{a‚b},{a‚c},{b‚c}‚{b‚a}‚{c‚a}‚{c‚b}, всего A3 2 = 3 2 = 6.

Определение 11. Множества, которые отличаются только порядком элементов называются перестановками и обозначаются Pn.

Число перестановок вычисляется по формуле: Pn = n !.

Пример 5. Дано множество {a‚b‚c}, число перестановок из 3 элементов будет P3 = 3 !=6.

Определение 12. Множества, которые отличаются только самими элементами и состоит из k элементов, взятых из данных n элементов, называются сочетаниями и обозначаются C n m.

Пример 6. Дано множество {a‚b‚c}, число сочетаний из 3 элементов по Пример 7. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется.

Решение. Эта задача о размещении по 7 различным местам семи из различных цифр, поэтому число номеров будет: A10 7 = 10 9 8 7 6 5 4 = 604800.

Пример 8. Сколькими различными способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвкртам, если в конверте по одному письму.

Решение. p8 = 8!= 40320.

Пример 9. В городки играют 12 человек. Сколькими способами они могут набрать команду из 4 человек на соревнования?

Пример10. Имеются изделия 4-х сортов, причем изделий i-ого сорта равно ni (i=1,2,3,4). Для контроля наудачу берут m изделий. Определить вероятность того, что среди них m1 первосортных, m2, m3, m4 второго, третьего, M- число благоприятные исходы (способов), N – общее число исходов (способов). Тогда они вычисляются по формулам:

Пример11. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что l выигрышных.

где M- число благоприятные исходы (способов), N – общее число исходов (способов). В этом случае 22.3.1 Определения вероятности Объективная вероятность, классическая вероятность – вероятность, базирующаяся на симметричной игре шансов или одинаковых ситуациях и исходящая из того, что определенные явления бывают равновозможными (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в честной игре в кости имеют равную возможность появления).

Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий. Вероятность – это мера объективной возможности данного события. Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных, равновозможных и несовместных элементарных исходов.

Определение 7. Вероятностью P( A) события A называют величину где m - число исходов, благоприятных появлению события A, n - общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных элементарных исходов в данном опыте.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие A - сумма выпавших очков равна 4. Найти P( A).

а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: A и A - полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е. m = 1, P( A) =.

Это ошибка, так как A и A не равновозможные.

б) Всего равновозможных случаев n = 6 6 = 36. Благоприятные случаи:

выпадение (1, 3), (2, 2), (3, 1) m = 3, P( A) = =.

Слабыми сторонами классического определения являются:

1. Количество случаев n - конечно.

2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).

3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.

Пусть произведено серия из n испытаний.

Пример 3. Монета подбрасывается три раза, найти вероятность того, что при этом (безразлично, в каком порядке) выпадет два раза герб и один раз цифра.

Решение.

1. Опыт (испытание, эксперимент) состоит в трехкратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании трех монет).

последовательности выпадений сторон на трех подбрасываемых монетах.

3. U = {ГГГ, ЦЦЦ, ГЦГ, ЦЦГ, ГГЦ, ЦГЦ, ЦГГ, ГЦЦ}, N = 8.

4. Событие А – «выпадение двух гербов и одной цифры», M = 3.

Определение 8. Относительной частотой события A называют величину где m - число испытаний, в которых появилось события A, n - общее число испытаний.

Определение 9. Статистической вероятностью события А называется относительная частота этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А). Следовательно, Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших n P * ( A) изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.

Вероятность обладает следующими свойствами.

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

22.3.2 Геометрическая вероятность Пусть в результате опыта в некоторой области на удачу появится точка А. Требуется определить вероятность того. что точка попадет в область Определение 13. Вероятность попадания точки А в область, равное отношению вида: P( A) = областей, называется геометрической вероятностью.

Под мерой будем понимать длину, площадь, объем одно-, двух-, трехмерной областей.

Пример12. В отрезке единичной длины на удачу появляется точка.

Определить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превосходит величину 1 k.

Решение. Пусть АВ – отрезок единичной длины, СД – отрезок расположенный внутри АВ так, что расстояние от его концов до точек А и В не превосходит величины 1 k.. По формуле геометрической вероятности имеем Р=дл.СД/ дл.АВ, Длина АВ =1, длина СД= 1-21 k. Следовательно, искомая вероятность равна Пример13. Моменты начала двух случайных событий распределены в промежутке времени между T1, T2. Одно из событий длится t1 минут, другое t минут. Определить вероятность того, что: а) события перекрываются во времени; б) не перекрываются.

Сделаем рисунок.

Одно событие будем откладывать по оси ОХ, другое по оси ОУ. Пусть Т= T2 T1. На рисунке 1 это отрезки OS и OF. По условию задачи: 0 х Т, 0 у Т. Если события перекрываются во времени, то х-у min( t1, t 2 )= t, а если не перекрываются во времени, то х-у mах( t1, t 2 )= t. Первое неравенство равносильно следующему у-5 х у+5. На чертеже это будет плоскость между прямыми АВ и СД, т.е. шестиугольник ОАВМДС. Второе неравенство равносильно двум: х 10+у и х у-10. На чертеже это будут два треугольника KSP и ZFN. Для случая двумерного пространства формула геометрической вероятности будет:

где S1 - площадь шестиугольника ОАВМДС, что соответствует благоприятствующему событию, S – площадь квадрата ОSMF. Окончательно, получим 22.4 Следующие задачи решить самостоятельно 1. В коробке 10 белых, 15 черных, 10 желтых и 25 красных шаров. Найти вероятность того, что наудачу взятый шар белый.

2. В коробке имеется 10 белых, 15 черных, 10 желтых и 25 красных шаров.

Найти вероятность того, что наудачу взятый шар черный.

3. Сколько существует номеров автомобилей, состоящих из четырех разных цифр?

4. В коробке имеется 10 белых, 15 черных, 10 желтых, 10 желтых и 25 красных шаров. Найти вероятность того, что наудачу взятый шар красный.

5. Сколько существует номеров автомобилей, состоящих из четырех разных цифр?

6. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков делится на три 7. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма числа очков не превосходит пяти 8. Сколькими возможными способами можно распределить между шестью лицами две разные путевки в санаторий.

1. Предмет теории вероятности.

2. Виды событий.

3. Классическое определение вероятности.

4. Частота событий.

5. Статистическое определение вероятности.

6. Геометрическое определение вероятности.

1. Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы в появлении одного из них.

2. Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Из примера 1. B = A1 + A2 + A3 - хотя бы одно попадание при трех выстрелах, C = A1 A2 A3 - попадание при первом и втором выстрелах и промах при третьем.

D = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 - ровно одно попадание.

E = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 - не менее двух попаданий.

3. Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

4. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.

5. Условной вероятностью события B называют вероятность, вычисленную в предположении, что событие A произошло и обозначается PA (B ) [P(B A)].

Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2,…, An равна Следствие 1. Если события A1, A2,…, An попарно несовместные, то Действительно в этом случае P( A1 A2 ) = P( A1 A3 ) = … = P( A1 A2 … An ) = 0.

Пример 1. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - 0,6, при втором - 0,7, при третьем - 0,8.

Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть A - попадание при первом выстреле, B - при втором, C при третьем, D - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда D = A + B + C, где A, B, C - совместные независимые в совокупности. Тогда Пример 2. Определим, чему равна вероятность извлечения либо карты масти «трефы», либо карты масти «бубны».

Решение.Обозначив С «извлечение карты бубновой масти», получим P(B + С) = P(B C) = P(B) + Р(C) = 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2.

Мы не должны вычитать вероятность пересечения этих событий, поскольку нет карт, имеющих масти «трефы» и «бубны» одновременно.

Теорема 2. Если попарно несовместные события A1, A2,…, An образуют полную группу, то Пример3. Институт получает пакеты с контрольными работами из городов. Вероятности получения пакетов из первого и второго городов соответственно равны 0,7; 0,2. Найти вероятность получения пакета из третьего города.

Решение. Обозначим события А,Б,В – города, из которых институт получает пакеты с контрольными работами. Эти события образуют полную группу, поэтому Р(А)+Р(Б)+Р(В)=1. Отсюда искомая вероятность равна Р(В)=1-0,7-0,2=0,1.

Определение 6. Противоположными называются два единственно возможных события.

Они обозначаются А и.

Следствие 1. Для противоположных событий Иногда при решении задач легче найти вероятность противоположного события. Например, D = AB C - промах при трех выстрелах. Так как A, B, C независимые в совокупности, и P(A ) = 1 0,6 = 0,4, P(B ) = 0,3, P(C ) = 0,2, то Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2,…, An, независимых в совокупности равна где qi, i = 1, n - вероятности появления событий Ai.

В случае, если A1, A2,…, An имеют одинаковую вероятность P, то формула Пример4. В ящике имеются n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хобя бы одна стандартная.

Решение. События А- среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная, – среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной. Эти события противоположные. Очевидно, Р(А)=1- Р().

Вероятность Р() вычисляется по классической формуле Р=М/N, где Искомая вероятность Р(А)=1- C k n m C k n.

Вероятность совместного появления (произведения) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место Следствие 1. Если A1, A2,…, An - независимы в совокупности, то Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар ( A), при втором – черный шар (B ), при третьем – синий шар (C ), если шар возвращается в урну.

Решение. По условию задачи события A, B, C - независимые в совокупности и Пример 6. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар ( A), при втором – черный шар (B ), при третьем – синий шар (C ), если каждый раз шар не возвращается в урну.

испытания 11 шаров из них 4 белых. PAB (C ) =. Отсюда Пример 7. В большой рекламной фирме 21 % работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40 % работников фирмы – женщины, а 6.4 % работников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?

Решение. Сформулируем решение этой задачи в терминах теории вероятностей и спросим: «Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?».

Определим событие А – «случайно выбранный работник имеет высокую зарплату», событие В – «случайно выбранный работник – женщина», тогда:

Р(А/В) = P(A·B)/P(B) = 0,064/0,40 = 0,16.

Поскольку 0,16 меньше, чем 0,21, то можно заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.

Пример 8. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.

Решение. Определим следующие события: А – «студент знает все три вопроса»; A1 – «студент знает первый вопрос»; А2 – «студент знает второй вопрос»; А3 – «студент знает третий вопрос». События A1, А2, А3 – зависимые:

P(A)=P(А1)·P(A2/A1)·P(A3/A1·A2)=(20/25)·(19/24)·(18/23)= 57/115 = 0,496.

23.4 Следующие задачи решить самостоятельно 1. Три стрелка стреляют в мешени. Вероятность попадания в мешень при одном выстреле для первого 0,75 для второго 0,8 и для третьего 0,9. Найти вероятность попадания всех стрелков.

2. Три стрелка стреляют в мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,75 для второго 0,8 и для третьего 0,2.

Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

3. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 4 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна окрашенная деталь 4. Три стрелка стреляют в мешени. Вероятность попадания в мешень при одном выстреле для первого 0,75; для второго 0,8 и для третьего 0,9. Найти вероятность попадания любых двух стрелков.

5. Какое событие является противоположным для события – выпадения двух гербов при бросании двух монет?

6. Событие Аi, i = 1,3 образуют полную группу, причем P( A1 ) = 0,3; P( A3 ) = 0,2.

Определить вероятность P( A2 ).

7. Из урны, содержащей 10 белых и 4 черных шар последовательно без возращения выбирают наугад 3 шара. С помощью теоремы умножения найти вероятность появления последовательности: черный, белый, черный шар.

1.Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

2.Теорема умножения вероятностей независимых событий.

3.Условная вероятность.

4.Умножение зависимых событий.

5.Сложение совместных событий.

6.Противоположные события.

24. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА.

ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ

Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одним из событий Н1, H2, H3,..., Hn, образующих полную группу, т. е. эти события являются единственно возможными и несовместными. Так как заранее неизвестно, какое из событий Н1, H2, H3,..., Hn наступит, то их называют гипотезами. Пусть также известны вероятности гипотез Р(Н1), Р(Н2),…, Р(Hn) и условные вероятности события А, а именно: Р(А/Н1), Р(А/Н2),…, Р(А/Нn).

Так как гипотезы образуют полную группу, то P ( H i ) = 1.

Рассмотрим событие А – это или Н1·А, или … Нn·А. События Н1·А, Н2·А, …, Нn·А – несовместные попарно, так как события Н1, H2, H3,..., Hn попарно несовместны. К этим событиям применяем теорему сложения вероятностей для несовместных событий:

События Н1 и А, Н2 и А,..., Нn и А – зависимые. Применив теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим:

Пример 1. В цехе 3 типа станков с одинаковой производительностью изготавливают один и те же детали. Станки первого типа производят 0, деталей стандартного качества, 2-го типа-0,9, 3-го типа –0,85, которые в нерассортированном виде лежат на складе. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартного качества, если станков 1-го типа 5,2-го, 3го –2.

Решение. Пусть A - наудачу взятая деталь стандартного качества. Тогда гипотезы: B1 - деталь произведена станком 1-го типа, B2 - 2-го типа, B3 - 3-го P (B1 ) =, P(B2 ) =, P (B3 ) = =. Если деталь произведена станком 1-го типа, то PB1 ( A) = 0,94. Аналогично PB2 ( A) = 0,9, PB3 ( A) = 0,85.

Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, в случае успешного развития экономики страны, и эта же вероятность составит 0,30, если произойдет спад экономики. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Событие А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Составим рабочую таблицу:

Пример 3. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из урны 1 в урну 2 наудачу переложен один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из урны 2 после перекладывания, окажется черным.

Решение. Событие А – «шар, извлеченный из урны 2, – черный».

Составим рабочую таблицу:

переложили черный шар»

переложили белый шар»

Представим, что существует несколько предположений (несовместных гипотез) для объяснения некоторого события. Эти предположения проверяются с помощью опыта. До проведения опыта бывает сложно точно определить вероятность этих предположений, поэтому им часто приписывают некоторые вероятности, которые называют априорными (доопытными). Затем проводят опыт и получают информацию, на основании которой корректируют априорные вероятности. После проведения эксперимента вероятность гипотез может измениться. Таким образом, доопытные вероятности заменяют послеопытными (апостериорными).

В тех случаях, когда стало известно, что событие А произошло, возникает потребность в определении условной вероятности P(Hi/A). Пусть событие А может осуществляться лишь вместе с одной из гипотез Hi, (i = 1, 2,..., n).

Известны вероятности гипотез Р(Н1),..., Р(Нп) и условные вероятности А, т. е.

A·Hi = Нi·А, то Р(А·Нi) = P(Нi·А) или P ( A) P ( A / H i ), а отсюда по правилу пропорций:

Итак, можно записать формулы Бейеса:

Пример 4. В условиях примера 5 наудачу взятая деталь оказалась стандартного качества. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на станке 2-го типа [PA (B2 ) = ?].

события A ), PA (B2 ) - после испытания.



Pages:   || 2 |
 
Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова А.А. Елепов РАЗВИТИЕ И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МИРОВОЙ АВТОМОБИЛИЗАЦИИ Учебное пособие Архангельск ИПЦ САФУ 2012 УДК 629.33 ББК 39.33я7 Е50 Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Северного (Арктического) федерального университета имени М.В. Ломоносова...»

«С. М. АПОЛЛОНСКИЙ, Ю. В. КУКЛЕВ НАДЕЖНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ АППАРАТОВ РЕКОМЕНДОВАНО Учебно методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 140400 — Техническая физика и 220100 — Системный анализ и управление САНКТ ПЕТЕРБУРГ•МОСКВА• КРАСНОДАР• 2011 ББК 31.264я73 А 76 Аполлонский С. М., Куклев Ю. В. А 76 Надежность и эффективность электрических...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО Братский государственный университет Д.Б. Ким, Д.И. Левит ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ Учебное пособие Братск Издательство Братского государственного университета 2012 УДК 630.81 Ким Д.Б., Левит Д.И. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учеб. пособие. – Братск: ФБГОУ ВПО БрГУ, 2012. – 145 с. В рамках курса общей физики в учебном пособии рассмотрены современные представления физики атомного ядра и элементарных...»

«Министерство науки и образования Российской Федерации Уральский государственный университет им.А.М.Горького А.Н.Петров, ТВЕРДЫЕ МАТЕРИАЛЫ. ХИМИЯ ДЕФЕКТОВ. СТРУКТУРА И СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ. Учебное пособие Екатеринбург 2008 ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ИДЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ. МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.7 1.1. Классификация твердых тел [1-5]. 1.1.1. Энергетическое обоснование различных агрегатных состояний вещества.7 1.1.2. Классификация твердых тел по структурному состоянию. 1.1.3....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУВПО Амурский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой энергетики _ Н.В.Савина 2007 г. Г.В. Судаков, Т.Ю. Ильченко, Н.С. Бодруг УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ Учебное пособие Благовещенск, 2007 Печатается по разрешению редакционно-издательского совета энергетического факультета Амурского государственного университета Г.В. Судаков, Т.Ю. Ильченко, Н.С. Бодруг...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИСТОРИИ ЭНЕРГИЯ И ЭНЕРГОРЕСУРСЫ В ГЛОБАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКЕ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК 65.304. Э...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ С. М. КИРОВА Кафедра менеджмента и маркетинга А. С. Большаков ОРГАНИЗАЦИЯ ЛЕСОПОЛЬЗОВАНИЯ Учебное пособие Утверждено учебно-методическим советом Сыктывкарского лесного института в качестве учебного пособия для студентов...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Безопасность жизнедеятельности МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению контрольной работы по дисциплине Безопасность жизнедеятельности (раздел Охрана труда) для студентов специальностей: 290300 Промышленное и гражданское строительство, 270112 Водоснабжение и водоотведение, 140104 Промышленная теплоэнергетика, форма обучения – заочная Тюмень-2006 Баранцев П.Г., Монахова З.Н., Медведев А.В....»

«МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Т.М. ТКАЧЕВА ОСНОВЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ ТЕХНИКИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В АВТОТРАНСПОРТНОМ КОМПЛЕКСЕ Учебное пособие Утверждено в качестве учебного пособия редсоветом МАДИ(ГТУ) МОСКВА 2007 УДК 53.043:621.382 ББК 22.3 + 32.852 Ткачева Т.М. Основы полупроводниковой техники и ее применение в автотранспортном комплексе: Учебное пособие, МАДИ(ГТУ). - М., 2007. - с. Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. кафедры...»

«ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЕТЕВАЯ КОМПАНИЯ ЕДИНОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СТАНДАРТ ОРГАНИЗАЦИИ СТО 56947007ОАО ФСК ЕЭС МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по обеспечению электромагнитной совместимости на объектах электросетевого хозяйства Стандарт организации Дата введения: 21.04.2010 ОАО ФСК ЕЭС 2010 Предисловие Цели и принципы стандартизации в Российской Федерации установлены Федеральным законом от 27 декабря 2002 г. № 184-ФЗ О техническом регулировании, объекты стандартизации и общие...»

«Московский физико-технический институт (государственный университет) Факультет молекулярной и биологической физики Яворский В.А., Григал П.П. Основы количественной биологии Методические указания к семинарам Москва 2009 Введение О курсе Биология – наука количественная. Любой ее раздел, будь то генетика, теория эволюции или ботаника, для описания предмета привлекает разные математические модели и методы. Особое значение это имеет в молекулярной и клеточной биологии, где в силу малых размеров...»

«Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова М. Н. Преображенский, Н. А. Рудь, А. Н. Сергеев АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА Учебное пособие Ярославль, 2001 г. 6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Вариант 1 Задача 1. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй. Задача 2. Найти: 1) радиусы первых трех боровских электронных орбит в атоме водорода; 2) скорость...»

«Пилипенко Н.В., Сиваков И.А. Энергосбережение и повышение энергетической эффективности инженерных систем и сетей Учебное пособие Санкт-Петербург 2013 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Пилипенко Н.В., Сиваков И.А. Энергосбережение и повышение энергетической эффективности инженерных систем и сетей Учебное пособие Санкт-Петербург Пилипенко Н.В., Сиваков И.А....»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.