WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет

"Высшая школа экономики"

Московский институт электроники и математики

Национального исследовательского университета

"Высшая школа экономики"

Кафедра высшей математики

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

методические указания к курсовой работе Москва 2013 Составители: канд. физ.-мат. наук В.Н. Деменко, д-р физ.-мат. наук Р. С. Исмагилов, канд. физ.-мат. наук А. Г. Федотов Методические указания к курсовой работе "Элементарные асимптотические методы"/ Московский институт электроники и математики.

Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики";

Cост. В.Н. Деменко, Р. С. Исмагилов, А. Г. Федотов, М., 2013.- 15 с.

Методические указания к курсовой работе являются составной частью учебнометодического комплекса по математическому анализу. Рассмотрены теоретические основы элементарных асимптотических методов и приведены некоторые примеры их применения.

Предназначено для студентов I курса факультета прикладной математики и кибернетики, 3 модуль.

ISBN 978–5–94506–311– §1. Обозначения Пусть функции f (x), g(x) определены на множестве Oh (a) = {x : |xa| h} (то есть в проколотой h-окрестности точки a). Мы хотим сравнить поведение этих функций при x a. Для этого введем следующие обозначения.

Будем писать а) f (x) g(x) (при x a), если f (x) = g(x)(x), где (x) 1 при x a (читается: f (x) и g(x) эквивалентны при x a);

б) f (x) = o(g(x)) (при x a), если f (x) = g(x)(x), где (x) - бесконечно малая при x a (читается: f (x) есть "о-малое" относительно g(x) при x a);

в) f (x) = O(g(x)) (при x a), если f (x) = g(x)p(x), где p(x) ограничена в некоторой проколотой -окрестности точки a; здесь 0 h (читается:

f (x) есть "О-большое" относительно g(x) при x a).

Аналогично вводятся обозначения, o, O для сравнения поведения функций f (x) и g(x) при x, x +, x.

Наконец, если {an }, {bn }, n = 1, 2,..., две числовые последовательности, то пишут:





an bn (при n ), если an = bn n, где n 1 при n ;

an = o(bn ) (при n ), если an = bn n, где n – бесконечно малая при n ;

an = O(bn ) (при n ) если существует такое M, что |an | M |bn | для всех n = 1, 2,....

Легко понять интуитивный смысл соотношений, o, O. Соотношение f (x) g(x) (при x a) означает, что значения этих функций становятся весьма близкими между собой, если точка x достаточно близка к точке a; соотношение f (x) = o(g(x)) (при x a) означает, что f (x) становится существенно меньше, чем g(x), если точка x достаточно близка к точке a; наконец, соотношение f (x) = O(g(x)) (при x a) означает, что f (x) не может существенно превзойти g(x) при всех значениях аргумента, достаточно близких к a.

Удобство введенной символики читатель сможет оценить, познакомившись с дальнейшим текстом этой разработки, однако сразу следует иметь в виду, что наличие знака равенства в обозначениях соотношений пунктов б) и в) надо воспринимать с осторожностью. Действительно, данные соотношения не подчинены тем формальным свойствам, которыми обладают соотношения равенства для чисел или для функций. К примеру, из соотношений f1 (x) = o(g(x)), f2 (x) = o(g(x)) при x a не следует с необходимостью равенство функций f1 (x) и f2 (x).

§2. Примеры 1. sin x x при x 0, так как (sin x)/x 1 при x 0 (это замечательный предел, известный из курса анализа).

2. sin x = O(1) (при x ±), ибо |(sin x)/1| = | sin x| 1 для всех x R.

3. ln x = o(x ) (при x +) для любого числа 0, так как (ln x)/x 0 при x + (последнее равенство легко устанавливается при помощи правила Лопиталя).

4. x = o(ax ) (при x +) при произвольном и a 1 (что также легко проверить, воспользовавшись правилом Лопиталя).

Соотношения 3 и 4 очень важны; они означают, что логарифмическая функция растет существенно медленнее степенной функции с положительным показателем, а последняя существенно медленнее показательной с основанием, большим единицы.

§3. Некоторые свойства соотношений f (x) g(x), f (x) = o(g(x)), f (x) = O(g(x)) (при x a) Элементарные свойства соотношений, o, O, которые приведены в этом параграфе, постоянно будут использоваться нами в дальнейшем для упрощения асимптотических формул. Предлагаем читателю самостоятельно доказать эти свойства, исходя из определений §1.

1. Если f (x) g(x) при x a, то f (x) = O(g(x)) при x a.

2. Если f (x) = o(g(x)) при x a, то f (x) = O(g(x)) при x a.

3. Если f (x) = o(g(x)) и f1 (x) = O(g1 (x)) при x a, то f (x)f1 (x) = o(g(x)g1 (x)) при x a.

4. Если f (x) = O(g(x)) и g(x) = O(h(x)) при x a, то f (x) = O(h(x)) при x a.

5. Если f (x) = O(g(x)) и (x) = O(g(x)) при x a, то (x) + f (x) = O(g(x)) при x a.

6. Если f (x) = O(g(x)) и g(x) = o(h(x)) при x a, то f (x) = o(h(x)) при Иногда приведенные только что свойства записываются символически. Например, свойство 3 можно условно записать так:

свойство свойство Эта символика достаточно выразительна и смысл соответствующего свойства может быть с ее помощью однозначно восстановлен.





Например, мы часто будем использовать правило поглощения частный случай свойства 5, которое условно может быть записано так: если f (x) = O(g(x)) при x a, то f (x) + O(g(x)) = O(g(x)) (x a) (слагаемое f (x) поглощается слагаемым O(g)). (Дайте точную формулировку правила поглощения в рамках определений §1.) Данное правило позволяет сократить асимптотические формулы. Например, x1 + (x + 1)3/2 + 2x2 + O(x3/2 ) = x1 + O(x3/2 ) при x +; здесь слагаемые 2x2, (x + 1)3/2 поглощаются слагаемым O(x3/2 ).

§4. Асимптотическое представление функций Пусть дана функция f (x), x Oh (a). Как правило, нас будет интересовать случай, когда она имеет достаточно сложный вид (например, она задается громоздкой формулой, либо определяется как неявная функция F (x, y) = и т.д.). Нас интересует ее поведение при x a.

Предположим, мы нашли такие функции (x), g(x) (достаточно простого вида), что Формула (1) представляет собой пример асимптотического равенства. Говорят также, что она дает асимптотическое представление функции f (x) при Обратим внимание на то, что в правой части формулы (1) второе слагаемое, которое записано в виде O((x)), является бесконечно малым по отношению к первому слагаемому g(x) при x a, ибо O((x)) = O(o(g(x))) = o(g(x)) (см. свойство 6 из §3). Поэтому резонно считать, что функция g(x) является главной частью функции f (x) при x a, а второе слагаемое дает оценку погрешности, возникающей при замене функции f (x) функцией g(x); формула (1) утверждает, что эта погрешность не превосходит величины M |(x)|, где M = const.

Нижеследующая теорема формализует утверждение g(x) есть главная часть функции f (x) при x a.

Теорема 1. Если выполнены условия (1) и (2), то f (x) g(x) при x a.

Доказательство. Соотношения (1) и (2) означают, что в некоторой проколотой окрестности точки a будет справедлива цепочка равенств f (x) = g(x) + p(x)(x) = g(x) + p(x)(x)g(x) = g(x)(1 + (x)) = g(x)(x), где xa (x) = 1, поскольку p(x) – ограничена в некоторой окрестности точки a, (x) –бесконечно малая при x a и следовательно, (x) тоже бесконечно малая при x a, т.е. f (x) g(x) при x a.

Теорема доказана.

Может случиться, что функция f (x) допускает несколько асимптотических представлений вида (1). Пусть кроме равенства (1) функция f (x) удовлетворяет соотношению Если 1 (x) = o((x)), x a, то естественно считать, что асимптотическая формула (3) точнее, чем формула (1).

Как мы увидим в следующем параграфе, для одной и той же функции f (x) можно написать цепочку асимптотических представлений, каждое из которых точнее предыдущего.

§5.Построение асимптотических формул с помощью Теорема 2. Пусть функция f (x), x Oh (a), имеет непрерывные производные до порядка n + 1 включительно.

Тогда где Tn (x) = Доказательство. Запишем формулу Тейлора для f (x) в окрестности точки a с остаточным членом в форме Лагранжа:

где точка cx лежит между точками x и a, x Oh (a). Так как производная f (n+1) (x) ограничена в некоторой окрестности O (a), 0 h, то |rn (x)| M |xa|n+1, x O (a). Последнее означает, что rn (x) = O((xa)n+1 ), x a.

Теорема доказана.

Если функция f (x) имеет производные любого порядка в Oh (a), то для каждого натурального n можно написать асимптотическую формулу (4). Тем самым мы получаем бесконечную последовательность асимптотических представлений для функции f (x), каждое из которых точнее предыдущего, поскольку (x a)n+1 = o((x a)n ), x a.

Приведем асимптотические представления для основных элементарных функций при x 0, n = 1, 2,...:

и вариант формулы д) для = 1 :

(формула геометрической прогрессии).

Выведем формулы для еще нескольких представлений, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Рассмотрим "интегральный вариант"формулы (4):

Применим его к разложениям функций Получим Полезным следствием формулы (4) является следующее утверждение, позволяющее находить асимптотические представления для сложных функций.

Теорема 3. Пусть f (x), x Oh (a), функция, обладающая непрерывной производной. Пусть далее (t), (t), t O (t0 ), таковы, что (t) 0, (t) 0 (t t0 ) и (t) = O((t)) при t t0. Тогда f (a + (t)) = f (a) + O((t)) при t t0.

Доказательство. Из формулы (4) при n = 0 имеем f (a + ) = f (a) + O() при 0. Следовательно, f (a+(t)) = f (a)+O((t)) при t t0. Применяя свойство 4 из §3, получаем доказательство теоремы.

Замечание. Утверждение теоремы остается в силе при замене символа O символом o.

Из сказанного с очевидностью следует справедливость формул eO((t)) = 1 + O((t)), (1 + o((t)))1 = 1 + o((t)) при t t0 (здесь (t) бесконечно малая при t t0 ).

В заключение этого параграфа разберем четыре примера.

Пример 1. Напишем асимптотическое представление для функции f (x) = бесконечно малая функция при x. Согласно формуле д) этого параграфа, взяв n = 1, получаем: f (x) = x4/3 (1 + (x) + O(2 (x))), x.

Обозначим второй сомножитель этой формулы через u(x). Так как (x) применяя правило поглощения (см. §3), получаем: 4 +O 2 = O 2, x, откуда f (x) = x4/3 + x + O(x2/3 ), x.

Заметим, что можно получить более точные асимптотики, беря большее число членов в асимптотическом представлении функции (1 + (x))1/3.

Пример 2. Найдем асимптотику функции f (x) = e x +xx при x +.

Имеем:

Следовательно, Имеем для показателя степени и для основания где (x) = + 2 + O 3. Заметим, что (x) = O O 3 при x. Следовательно, Отсюда заключаем, что Пример 4. Выпишем три слагаемых асимптотического представления для функции tg x при x 0. Так как (см. разложение б)), cos x = 1 (x), где то (см. разложение д )) Окончательно получаем:

§6.Асимптотические формулы для функций, Пусть функция f (t) непрерывна на полуоси [a, +). Что можно сказать об асимптотике функции f (t) dt при x +? При решении этого вопроса оказывается полезной следующая теорема сравнения.

Теорема 4. Пусть функции f (t), g(t) непрерывны на полуоси [a, +), g(t) = 0 при t [a, +). Положим Тогда F (x) G(x) при x +;

2) если f (t) = O(g(t)), t +, то F (x) = O(G(x)), x +; 3) если f (t) = o(g(t)), t +, и G(x), x +, то F (x) = o(G(x)), Доказательство. 1) Пусть f (t) g(t) (t +). Согласно условию несобственный интеграл g(t) dt = lim G(x) расходится. Но тогда согласно теореме сравнения для несобственных интегралов, которая известна из курса математического анализа, расходится также несобственный интеграл f (t) dt, иначе говоря, F (x), x +. Итак, при нахождении предела отношения функций F (x) и G(x) при x + может быть применено правило Лопиталя. По теореме Ньютона–Лейбница F (x) = f (x), G (x) = g(x). Итак, получаем 1) доказано.

2) По условию теоремы имеем |f (x)| M |g(x)| (x a). Поэтому то есть F (x) = O(G(x)). Утверждение 2) доказано.

3)Если f (x) = o(g(x)), то и |f (x)| = o(g(x)) (x +). Возможны два а) существует конечный предел lim б) lim В любом случае и F (x) = o(G(x)) (x +).

Пример. Пусть F (x) = (t +); положим G(x) = F (x) G(x), т.е. F (x) x при x +.

Одним из основных приемов при исследовании асимптотики функций, заданных интегралом, является интегрирование по частям. Проиллюстрируем этот способ примером. xat Пример. F (x) = t e dt. Согласно формуле интегрирования по частям получаем такую асимптотическую формулу:

Можно получить более точные асимптотики, применяя многократное интегрирование по частям. В связи со сходящимся несобственным интегралом f (t) dt естественно возникает вопрос об установлении асимптотики выражения f (t) dt при x +. Основой для исследования здесь является теорема 4, которая аналогична рассмотренной выше теореме 4; она также может быть отнесена к разряду теорем сравнения.

Теорема 4. Пусть функции f (t), g(t) непрерывны на полуоси [a, +) и g(t) = 0 при t [a, +). Тогда 1) если f (t) g(t), t +, и несобственный интеграл g(t) dt сходится, 3) утверждение пункта 2) теоремы остается в силе, если в нем символ O заменить символом o.

Доказательство теоремы предоставляется читателю.

Вернемся к примеру функции F (x) = и выведем асимптотическую формулу с остатком вида O(1/x2 ) при x +.

Имеем:

Итак, Осталось исследовать асимптотику функции Так как в последнем выражении подынтегральная функция имеет асимптотику O(1/t3 ), t +, несобственный интеграл ( t2 + 1 t ) dt сходится.

Обозначим его значение через A. Тогда Итак, В этом параграфе мы рассмотрим два примера. Они являются модельными для некоторых глав асимптотической теории и их разбор поможет заинтересованному читателю при дальнейшем изучении данного круга вопросов.

Пример 1. Пусть дана функция f (x), x [a, +), причем уравнение f (x) = 0 имеет корни x1 x2.... Требуется исследовать асимптотику последовательности {xn }, n = 1, 2,.... При решении подобного вопроса часто можно использовать формулу Тейлора. Рассмотрим уравнение tg x =, x 0.

Корни уравнения абсциссы точек пересечения графиков функций y = tg x, Очевидно, что xn = n + n, n 0 (n ). Чему эквивалентна бесконечно малая величина n ? Чтобы это установить, подставим xn в обе части уравнения.

воспользовались периодичностью функции tg x). Далее, tg n n Данное асимптотическое представление может быть уточнено. Найдем, к примеру, асимптотическую формулу для xn с погрешностью вида o 3.

Для этого воспользуемся формулой Тейлора: tg x = x + Тогда tg n = n + + o(n ), n. Итак, n + + o(n ) = Далее, В результате получаем: n = Ответ: xn = n + Здесь мы рассмотрим ряд дополнительных примеров, которые иллюстрируют основное содержание пособия.

Пример 1. Написать асимптотическое представление функции Рассмотрим функции f1 (x) = следовательно, Пример 2. Написать асимптотическое представление функции функции:

Итак, f (x) = 1 + o(x), x 0.

представление с погрешностью вида O 2, x +.

F (x) = слагаемом подынтегральная функция имеет асимптотику O 2, t +, O x2, формулу с погрешностью вида O(x4 ), x +0.

Ясно, что замена переменного t = 1/ приводит к рассмотрению асимптотики функции, заданной интегралом, подобным рассмотренному в п. 3. Однако короче решить задачу иначе. Заметим, что поскольку 2 = + O(t3 ) (t 0), расходимость интеграла dt обусловлена первым слагаемым 1/t асимптотического представления подынтегральной функции. Поэтому Технический редактор О.Г. Завьялова Подписано в печать 03.09.13. Формат 6084/16. Бумага офсетная. Печать ризография. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л.0,8 Тираж 250 экз. Заказ Бесплатно.

Изд. №47.

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики".

109028 Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.

Редакционно-издательский отдел Московского института электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики". Участок МИЭМ типографии НИУ ВШЭ.

113054 Москва, ул. М.Пионерская, 12.



 
Похожие работы:

«по подготовке для магистров специальности 0109 „Управление персоналом и экономика труда” дневной, заочной и ускоренной форм обучения Донецк 2006 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ (для магистров специальности 0109 „Управление персоналом и экономика труда” дневной, заочной и ускоренной форм обучения) Донецк ДонНУ 2006 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ А. И. Балашов ТРУДОВЫЕ СПОРЫ И ПОРЯДОК ИХ РАЗРЕШЕНИЯ Учебное пособие Санкт-Петербург 2008 УДК 349.2 ББК 65.5 Рецензенты: Лукичев Ю. А., канд. юрид. наук, профессор, заслуженный юрист РФ, зав. кафедрой теории права и правоохранительной деятельности Санкт-Петербургского гуманитарного университета профсоюзов Лядов А. О., канд. юрид. наук, доцент, декан юридического факультета Санкт-Петербургского филиала Государственного...»

«ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ НА ТРАНСПОРТЕ Методические рекомендации для преподавателей и студентов специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (транспорт) Омск 2010 3 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра экономики и управления предприятиями ЦЕНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ НА ТРАНСПОРТЕ Методические рекомендации для преподавателей и студентов специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (транспорт)...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И НАЛОГОВАЯ СИСТЕМА Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 080502 Экономика и управление на предприятии Семестр 6 7 8 Лекции, часов 2 10 14 Практические занятия, часов 2 4 Курсовая работа, часов 2...»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ  ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ  ЯНКИ  КУПАЛЫ ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра экономики и управления на предприятии C.А. КРЕЧКО ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Пособие для  студентов экономических  специальностей Гродно ГрГУ им. Я.Купалы 2010 УДК 330.101.8(075) ББК 65.01         К80 Реценз енты: Марголин Ф.Б., кандидат экономических наук, доцент кафедры менеджмента;  Герасимович Л.Ю., кандидат экономических наук,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА КОММЕРЦИИ И ЛОГИСТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ ПО КУРСУ ОСНОВЫ КОММЕРЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ для студентов всех форм обучения направления Торговое дело ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО Уральский государственный экономический университет Колледж УрГЭУ Кафедра коммерции, логистики и экономики торговли Методические указания по выполнению выпускной квалификационной (дипломной) работы для студентов специальности 100701.51 Коммерция (по отраслям) Екатеринбург 2014 1 Составители: В.П. Соловьева, Н.К. Чернышева, С.В. Потапова, Н.К. Логинова 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Целевое назначение дипломной работы.4 2. Порядок выбора,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АРК РВУЗ КРЫМСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет Кафедра учта и аудита МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по написанию и защите магистерской работы (Специальность 8.03050901 Учт и аудит) Симферополь, 2012 2 Методические рекомендации по написанию и защите магистерской работы (Специальность 8.03050901 “Учт и аудит”)/ Сост. Абдуллаев Р.А., Байрам М.К., Симферополь: РВУЗ КИПУ, 2010 - 32 с. Составители:...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГОПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ФИНАНСОВ КАФЕДРА БАНКОВСКОГО ДЕЛА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОРГАНИЗАЦИИ, ВЫПОЛНЕНИЮ И ЗАЩИТЕ ВЫПУСКНОЙ РАБОТЫ НА СТЕПЕНЬ БАКАЛАВРА Для студентов дневной и вечерней форм обучения по направлению: 5216000 Экономика Санкт-Петербург Рекомендовано научно-методическим советом университета...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СВЯЗЕЙ С ОБЩЕСТВЕННОСТЬЮ ПОДГОТОВКА И ЗАЩИТА ВЫПУСКНЫХ КВАЛИФИКАЦИОННЫХ РАБОТ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ СВЯЗИ С ОБЩЕСТВЕННОСТЬЮ Методические рекомендации ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет Кафедра экономических дисциплин Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине Микроэкономика (для студентов направления подготовки 080100.62 Экономика всех форм обучения) Избербаш-2013 1 Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине Макроэкономика / Филиал ДГУ в г. Избербаше.- Избербаш, 2013.- 75 с. В методических указаниях в соответствии с...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Кафедра Экономика и управление Н.Л. ГРЯЗНОВА УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ КУРС ЛЕКЦИЙ КЕМЕРОВО 2008 2 СОДЕРЖАНИЕ Тема 1 Социально-экономические основы управления персоналом в условиях рыночной экономики.3 Тема 2 Методологические основы управления персоналом организации..10 Тема 3 Виды обеспечения системы управления персоналом.33 Тема 4 Кадровое планирование в организации. Тема 5 Подбор и прием на работу.....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА СТАТИСТИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ЗАЩИТЕ ВЫПУСКНОЙ РАБОТЫ НА СТЕПЕНЬ БАКАЛАВРА по направлению 080 600 Статистика ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Рекомендовано научно-методическим советом...»

«148 ЭКОНОМИКА _ важнейших социально-экономических процессов с целью их анализа, идентификации и выявления круга регулируемых фактов в процессах подготовки и принятия решений. Приведенный, не претендующий на полноту перечень направлений исследований ОС показывает, что предстоит большая работа по разработке новых и адаптации к новым условиям (парадигмам) известных методов анализа организационных систем. ЛИТЕРАТУРА 1. Клейнер Г.Б. Эволюция экономических институтов в России. – М. : Наука, 2004. 2....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ А.Б. ВОЛЫНЧУК С.В. СЕВАСТЬЯНОВ МЕЖДУНАРОДНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ ПОЛИТИЧЕСКОГО И ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОТРУДНИЧЕСТВА Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2008 ББК 65.5 В 70 Рецензенты: С.К. Песцов, д-р полит. наук, профессор; В.Г. Шведов, д-р географ. наук, профессор Волынчук А.Б., Севастьянов С.В. В 70 МЕЖДУНАРОДНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ...»

«Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТОВ Методические указания для студентов специальностей 1-48 01 02 Химическая технология производства и переработки органических веществ, 1-48 01 05 Химическая технология переработки древесины, 1-48 02 01 Биотехнология и 1-57 01 03 Биоэкология Минск 2005 1 УДК 338.45 ББК 65.9(2)304.17 Э 40 Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом университета...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ) УТВЕРЖДАЮ Зав. каф. АОИ, профессор _Ю.П. Ехлаков _ 2012 г. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по дисциплине Экономическое моделирование для студентов специальности Государственное и...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ О.М. ДЮКОВА, Н.И. ПАСЯДА УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ НЕДВИЖИМОСТИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК Д Дюкова О.М., Пасяда Н.И. Управление развитием недвижимости: Учебное пособие.– СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2009.– 100 с. В учебном пособии излагаются...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА СОГЛАСОВАНО ВРИО директора ФГУП НИИ Атмосфера _ Миляев В.Б. 20.01.2006 г. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЫБРОСОВ ВРЕДНЫХ (ЗАГРЯЗНЯЮЩИХ) ВЕЩЕСТВ В АТМОСФЕРУ ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙ БЫТОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Владивосток 2004 Документ разработан Владивостокским государственным университетом экономики и сервиса (ВГУС) Список исполнителей Научный руководитель - зав. лабораторией экологического мониторинга ВГУЭС,...»

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО НАПИСАНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ Важным элементом учебного процесса на экономическом факультете СПбГУ является написание и защита курсовых работ. Для студентов отделения теоретическая экономика это предусмотрено на 2, 3, 4 курсах. Написание и защита курсовой работы предусматривает реализацию следующих задач: ! глубокое изучение избранной темы; ! освоение методов научно-исследовательской работы, подбора и критического анализа литературы и фактологического материала; !...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.