WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тихоокеанский государственный университет

Институт экономики и управления

Кафедра Экономической кибернетики

Методические указания к лабораторным работам

По дисциплине Численные методы в экономике

Для специальности 080116.65 «Математические методы в экономике»

Методические указания разработаны в соответствии с составом УМКД Методические указания разработала Матафонова А.Н. _ Методические указания утверждены на заседании кафедры, протокол № от «_» _ 200 г.

Зав. кафедрой _ «_» 200 г. Пазюк К.Т.

Данные методические указания к лабораторным работам предназначено для использования студентами при выполнении лабораторных работ по курсу «Численные методы в экономике».

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании УМКС и рекомендованы к изданию протокол № от «_» _ 200 г.

Председатель УМКС _ «_» 200 г. Пазюк К.Т.

Директор института _ «_» 200 г. Зубарев А.Е.

Введение Курс “Численные методы” является обязательным разделом математического образования для специальности 080116.65 – “Математические методы в экономике”.

Материал дисциплины предназначен для использования в курсах, связанных с постановками и решением реальных экономических задач (например, различные разделы теоретической и прикладной микро- и макроэкономики, маркетинга), с построением математических моделей экономических и социальных процессов, верификацией гипотез, теоретических моделей и т.д. Экономическая направленность курса обеспечивается увеличенным вниманием к численным методам линейной алгебры и экономической направленностью задач, решаемых на практических занятиях. Знания, полученные в процессе изучения дисциплины могут быть использованы в курсах по теории оптимального управления, по математическим моделям в экономике, по принятию решений в условиях неопределенности и т.д.

К основным задачам, дисциплины следует отнести:

– изучение основных понятий дисциплины;

– изучение современных численных методов;

– изучение возможностей различных численных алгоритмов, методов, особенностей их применения при решении прикладных задач;





– различные численные методы, их характеристики и свойства, особенности применения этих методов для решения практических задач.

Объектом изучения научной и учебной дисциплины "Численные методы" являются исследование реальных экономических задач.

Предметом изучения является решение реальных экономических задач с построением математических моделей экономических и социальных процессов, верификацией гипотез, теоретических моделей и т.д.

Курс базируется на понятиях, изучаемых в дисциплинах:

- «Высшая математика»

- «Информатика»

- «Алгоритмические языки и программирование».

В результате изучения дисциплины в соответствии с ГОС студент должен:

Знать:

- современные численные методы - различные численные алгоритмы, методы, особенности их применения при решении прикладных и практических задач - современные программные средства, используемые в экономике, и умение работать на ЭВМ Уметь:

- использовать современные численные методы, информационные технологии и вычислительные средства для обоснования принятия оптимальных решений в области управления и бизнеса;

- применять теорию математического моделирования и методы исследования операций в экономике;

- применять методы численного решения профессиональных задач.

Изучение курса «Численные методы» проводится в форме лекции, практических и лабораторных занятий.

Практические занятия по дисциплине проводятся в форме решения практических заданий. Лабораторные работы выполняются с использованием персонального компьютера.

По завершении изучения каждой темы проводится тестирование.

Завершается изучение дисциплины " Численные методы" получением зачета и сдачей экзамена.

Тема 2. Решение нелинейных уравнений и систем.

Приближенное вычисление корня Решение нелинейных уравнений: метод уравнения с заданной точностью половинного деления, метод простых методом половинного деления. итераций, метод Ньютона.

численного решения уравнений.

Условия сходимости итерационной последовательности. Практические схемы вычисления приближенного значения корня уравнения с заданной точностью методом простой итерации. Сходимость и устойчивость численного метода.

Системы нелинейных уравнений.

касательных, метод хорд (секущих).

Вычислить наименьший положительный корень заданного уравнения с точностью =10. Работу провести в три этапа:

1) Провести графическое отделение корней уравнения.

2) Сузить отрезок, полученный графическим способом до отрезка длиной 0.1.

3) Вычислить приближенное решение методом половинного деления.

По итогам выполнения заданий представить корень уравнения, вычисленный с указанной точностью.

Номер варианта соответствует порядковому номеру в списке.

Найти решение уравнения с точностью 1 10, используя метод простой итерации и один из методов Ньютона.

Номер варианта соответствует порядковому номеру в списке.





Исполнение: Освоить реализацию итерационных процессов с использованием логических функций в MS Excel.

Лабораторная установка: Персональный компьютер с ОС Windows, MS Office.

Оценка: Использование инструментальных пакетов для решения трансцендентных уравнений.

Время выполнения работы: 4 часа.

Краткая теория метода половинного деления Многие проблемы физики, механики, техники и других областей приводят к задаче нахождения корней нелинейного уравнения с одной переменной. В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде где функция F (x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном a, b. Примерами трансцендентных уравнений являются уравнения интервале Определение 1. Число x, такое, что F ( x ) 0 называется корнем уравнения (1).

Для подавляющего числа нелинейных уравнений вида (1) невозможно (или очень сложно) решить задачу нахождения корней уравнения аналитическими методами. Поэтому на практике такие уравнения решаются численными методами, вместо точного решения x вычисляется приближенное решение.

Определение 2. Число ~, такое, что x* ~ называется приближенным решением уравнения (1), найденным с точностью 0.

Задача численного нахождения приближенных корней состоит из двух этапов:

отделение корней, то есть нахождение достаточно малого интервала (a, b), в котором содержится один корень уравнения (1), и уточнение корня, т.е. вычисление приближенного решения с необходимой точностью.

Графическое отделение корней.

Для того чтобы провести графическое отделение корней, надо построить график функции y F (x) и визуально определить интервал, на котором находится ровно один корень уравнения.

Уточнение корня методом половинного деления.

Основная идея нахождения приближенного решения заключается в сокращении первоначального интервала, определенного при графическом отделении, до интервала длиной 2. После того, как удалось сократить интервал до заданной величины, можно определить ~ (a b) / 2. В этом случае условие x* ~ выполнено.

В методе половинного деления сокращение интервала происходит делением отрезка a, b пополам и выбора той из половин, которой принадлежит искомый корень уравнения.

Итак, алгоритм численного решения уравнения (1) методом половинного деления заключается в выполнении следующих шагов:

1. определить начальный отрезок a, b ;

2. найти точку с – середину отрезка проверить, какому из отрезков a, c или c, b принадлежит корень. Легко видеть, что проверка выполняется так:

если f (a) f (c) 0, то корень принадлежит отрезка положить b c, в противном случае корень положить a c ;

4. если длина отрезка a, b больше 2, то перейти к пункту 2;

5. закончить вычисления, положив ~ (a b) / 2.

Теория электронных таблиц Для реализации данного алгоритма необходимо воспользоваться логическими функциями. Логические функции предназначены для проверки выполнения условия или для проверки нескольких условий. В отличие от математических функций, при проведении вычислений с логическими функциями мы оперируем понятиями ИСТИНА и ЛОЖЬ.

В общем виде функция, позволяющая учесть при вычислениях условия выглядит так:

ЕСЛИ(логическое выражение; значение1; значение2) логическое выражение – это выражение, принимающее значения ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, С15=1 – это логическое выражение. Если значение в ячейке С15 равно 1, то выражение принимает значение ИСТИНА, иначе – ЛОЖЬ.

Значение1 – это значение, которое заносится в ячейку, если логическое выражение равно ИСТИНА; значение2 – это значение, которое заносится в ячейку, если логическое выражение равно ЛОЖЬ.

До 7 функций ЕСЛИ могут быть вложены друг в друга в качестве значений аргументов значение1 и значение2 для конструирования более сложных проверок. Если любой из аргументов функции ЕСЛИ является массивом, все элементы массива вычисляются при выполнении функции ЕСЛИ.

Microsoft Excel предлагает дополнительные функции, которые можно применять для анализа данных с использованием условий. Например, для вычисления числа появлений текстовой строки или числа в диапазоне ячеек используется функция СЧЁТЕСЛИ. Для вычисления суммы значений, попадающих в интервал, заданный текстовой строкой или числами, используется функция СУММАЕСЛИ.

Для записи логических выражений (условий) служат стандартные операции сравнения: = (равно), (больше), (меньше), = (больше или равно), = (меньше или равно), (не равно). Если требуется записать более сложные условия, включающие в себя несколько простых условий, то приходится применять такие логические функции, как И, ИЛИ, НЕ.

И(логическое выражение1; логическое выражение2;...) Функция И будет иметь значение ИСТИНА, если все логические выражения, перечисленные в скобках, истинны. В противном случае результатом функции И будет значение ЛОЖЬ. Всего можно указать до 30 различных условий.

ИЛИ(логическое выражение1; логическое выражение2;...) Функция ИЛИ возвращает значение ИСТИНА, если хотя бы один из аргументов имеет значение ИСТИНА и возвращает ЛОЖЬ, если все аргументы имеют значение ЛОЖЬ.

НЕ(логическое выражение) Если логическое выражение имеет значение ЛОЖЬ, то функция НЕ возвращает значение ИСТИНА; если логическое выражение имеет значение ИСТИНА, то функция НЕ возвращает значение ЛОЖЬ.

Методика выполнения 1) Запустить программу Excel. Создать документ Книга1. Сохранить в отведенное место на жестком диске под оригинальным именем, например, Книга Иванова. Первая лабораторная работа выполняется на листе Лист1 вашей первой электронной книги, переименовать его в Лаб1.

2) Создать заголовок сверху по центру будущей таблицы, используя шрифты помельче, 12 пунктов, Аrial курсив и покрупнее, 14 пунктов, Times полужирный. Выделить название темы лабораторной цветом.

3) Сделать подпись Выполнил, Дата, Вариант. Дата должна показывать текущую дату в заданном полном формате. Вставить свою функцию по варианту в математической нотации как объект MS Equation. Выделить формулу цветной рамкой.

4) Завести отдельные ячейки для начала интервала аx и шага табулирования hx, ячейки D7 и D8 на рисунке 1.1. Начало интервала определить вручную. Для заполнения диапазона ячеек со значениями аргумента функции использовать абсолютные адреса этих ячеек. В ячейки C7 и C8 вставьте пояснения Начало интервала аx = и Шаг hx =.

5) В строке 10 оформить шапку таблицы: Номер точки, Значение аргумента, Значение функции, и ниже, в строке 11 сокращенно: №, х, у.

6) Заполнение таблицы.

Создание столбца номеров точек. Набрать 1 в В12. Протащить маркер заполнения формул с нажатым Ctrl до 79 в всплывающем окне для получения арифметической прогрессии с приращением 1 в диапазоне ячеек B13:B90.

Создание столбца х. В первую сверху ячейку столбца, С12 набираем ссылку на начало интервала =$D$7 (абсолютный адрес). Под ней в ячейку C13 формулу для расчета следующего значения аргумента через предыдущее =C12+$D$8 (комбинация абсолютных и относительных адресов). Протаскиваем маркер заполнения через диапазон ячеек C14:C для получения в нем формул расчета значений аргумента.

Создание столбца y. В ячейку D12 набираем формулу расчета функции по варианту для первой строки таблицы. Для 0-го варианта =sin(3*C12)^2-log10(C12-2) (относительный адрес х). Далее используем технику протаскивания формулы для заполнения диапазона ячеек D13:D90 со значениями функции.

7) Форматирование таблицы. Вывести 5 значащих цифр для значений х и 10 для у.

Выровнять по десятичной точке. Назначить холодный цвет, например, синий, отрицательным значениям и красный положительным. Навести рамки в таблице по образцу на рисунке 1.1.

8) Посчитать значения функции для х=0.0 и х=1.0. Ответы для контроля приведены в таблице 2 Приложения.

9) Посчитать максимальное Ymax и минимальное Ymin значения функции в полученном диапазоне ячеек.

1) График функции в Excel, как и все остальные диаграммы, строится по дискретным значениям. Исходные данные для графика получены в предыдущей лабораторной Рисунок 1.1. Образец оформления лабораторной работы Рисунок 2.1. Образец оформления графика функции y(x) Лаб1[Книга Иванова].

2) Запускаем Мастера диаграмм. Выбираем тип диаграммы График. Во втором окне мастера указываем исходные данные для первого ряда Значения: столбец y, Подписи оси Х:

столбец x, Имя: набираем с клавиатуры Грубый график. Для второго ряда Значения и Подписи по оси Х те же, Имя: Сглаженный график. Лишние ряды удалить.

3) Отформатировать график по образцу рисунка 2.1.

На грубом графике соединить точки отрезками прямых сплошными, тонкими, синего цвета, в точках синие прозрачные квадратные маркеры 5 пунктов. На глаженном графике соединяющие точки линии сплошные, толстые, красные, сглаженные, без маркеров.

Настроить порядок рядов так, чтобы тонкие синие линии были видны на фоне красных.

Оформить график заголовком, Equation скопировать с листа Лаб1 на график. Подписать оси как Ось Х и Ось Y. Ось Х провести через y=0. Проредить деления шкал, в подписях делений отобразить 2-3 цифры, чтобы не загромождали график. Настроить диапазон оси Y от ~Ymin до ~Ymax своей функции. Подпись Выполнил Дата Вариант подставить в шесть надписей из соответствующих ячеек листа. Выровнять и распределить надписи инструментами панели Рисование – Действия – Выровнять, Распределить, Группировка. Убрать серую заливку фона области построения. Линии сетки оставить только горизонтальные по основным делениям оси Y, уменьшить их яркость до светло-серого цвета.

Работа с книгой. Перенести диаграмму на отдельный лист под именем График y(x). Для обзора точности построения ломаной и сглаженной линий отобразить график в максимальном масштабе.

2) Создать новый лист, назвать его «Корень».

3) Оформить рабочий лист, написав заголовок «Решение уравнения методом половинного деления», ниже заголовка добавить надпись «Решить уравнение Ваше уравнение».

4) Подготовьте лист для проведения графического отделения корней. Сделайте надпись «1. Графическое отделение корней», в ячейку A6 сделайте поясняющую надпись «a=», в ячейку A7 – надпись «b=», в ячейку A8 – «Шаг=».

5) По графику, построенному в листе Графика, определите отрезок, на котором находится наименьший положительный корень. Левую границу отрезка укажите в ячейке B6, а его правую границу – в ячейке B7. В ячейку B8 занесите формулу вычисления шага (ba)/10.

6) Протабулируйте функцию y f (x) на интервале a, b с вычисленным шагом h.

Постройте график данной функции.

7) Сделайте надпись «2. Уточнение отрезка». Подготовьте ячейки для занесения величин a, b, h (см. п.3). Запишите значения a и b, определенные с помощью графика, величину шага укажите равной 0,1.

8) Протабулируйте функцию y f (x) на новом интервале a, b с заданным шагом h=0,1.

9) Сделайте надпись «3. Метод половинного деления». Аналогично тому, как это было сделано в пп. 3 и 6, подготовьте ячейки для занесения величин a, b. По таблице значений функции y f (x) определите отрезок, на котором функция меняет знак. Это и будет первоначальный отрезок a, b для метода половинного деления. Скопируйте значения границ этого отрезка в соответствующие ячейки.

Ниже границ отрезка укажите заданное значение точности, внесите поясняющую надпись «Epsilon=».

11) Оформите вычисления по методу половинного деления в виде таблицы:

Установите вывод 7 значащих цифр после десятичной запятой для всех значений в столбцах 2-9.

На первом шаге в ячейках столбцов 2 (значение a) и 3 (значение b) поставьте ссылки на ячейки, содержащие границы отрезка после его уточнения (п.8). В столбец 3 внесите формулу, соответствующую вычислению c=(a+b)/2, в столбцы 5, 6 и 7 запишите формулы для вычисления f(a), f(b) и f(c). В столбце 8 вычислите длину отрезка a, b а в столбец внесите формулу, реализующую условие На втором шаге вычислений формулы в столбцах 4-9 переносятся (“растягиваются”) из первого шага. В столбец 2 вносится формула вида а в столбец 3 вносится аналогичная формула Здесь вместо f(a), f(c), a, b, c указываются ссылки на соответствующие ячейки.

Дальнейшие шаги выполняются так же, как второй шаг.

Копируйте строки таблицы до тех пор, пока в столбце 9 не появится значение искомого корня.

12) Скопируйте полученное значение приближенного решения в отдельную ячейку, слева от нее введите надпись «Ответ:», установите вывод 3 значащих цифр после запятой.

Контрольные вопросы и задания варианта варианта Тема 4. Численные методы решения систем линейных уравнений.

Точные и приближенные методы решения Решение систем линейных систем линейных уравнений. Полные уравнений. Метод Гаусса. Метод метрические пространства. Теорема о простой итерации/ Оценка сжимающих отображениях в полном погрешности решения системы метрическом пространстве и ее следствия. линейных алгебраических уравнений.

Применение теоремы о сжимающих Понятие об обусловленности. Метод отображениях при решении системы линейных прогонки, трехдиагональная матрица.

уравнений: простые итерации, метод Зейделя. Релаксация.

Погрешности округления при практической реализации итерационного процесса. Число операций при решении системы линейных уравнений методом Гаусса. Оценка погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений. Понятие об обусловленности. Метод прогонки, трехдиагональная матрица. Релаксация.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

1. Решите систему методом Гаусса:

способами: без перестановки строк; с перестановкой строк; расчеты выполняйте с тремя калькулятора); подставьте найденные решения в исходную систему, вычислите невязки и ведущие элементы схемы единственного деления, найдите значение определителя системы;

б) с помощью программы для ЭВМ с пооперационным учетом ошибок.

2. Решите систему методом простой итерации с точностью е = 10~4 с помощью программы для ЭВМ.

Исполнение: применить а) метод Гаусса; б) метод простой итерации используя любой инструментальный пакет.

Лабораторная установка: Персональный компьютер с ОС Windows, MS Office, MathCad.

Оценка: Сопоставление полученных результатов, решаемых различными методами.

Время выполнения работы: 4 часа.

Табличный процессор Excel В табличном процессоре Excel для решения систем уравнений есть два варианта:

реализация алгоритмов в электронной таблице с помощью основных средств табличного процессора и использование специальных средств.

Первый вариант проиллюстрирован на примере системы уравнений На рис. приведены идентичные тексты в Excel, но один — в режиме отображения формул, а другой — значений. Из них прекрасно видно устройство алгоритма.

Второй вариант не столь очевиден. Среди встроенных в Excel математических программ программы решения систем уравнений, строго говоря, нет.

Неточно так же, как для решения уравнений было использовано средство Подбор параметра, для решения систем может быть использовано средство, предназначенное совсем для другой цели (для решения задач оптимизации).

Это средство - Поиск решения. Поясним его использование и приведем примеры применения.

Средство Поиск решения активируется в меню Сервис (если это средство не установлено, то это необходимо сделать).

Предварительно проводят следующую подготовительную работу.

Отводят для каждой переменной по ячейке.

системы (по одной формуле в ячейку).

После этого запускают Поиск решения. Возможный вид экрана для подготовки к решению той же системы, что и выше, приведен на рис. На этом рисунке под переменные отведены ячейки A2:D2, под формулы — ячейки А4, А6, А8 и А10. Какие именно числовые значения переменных будут введены в ячейки A2:D2, при решении системы линейных уравнений значения не имеет (итерационная процедура, заложенная в Поиск решения, стартует с этих значений).

Еще один элемент в таблице — целевая функция. Она в данном случае особой роли не играет, но какую-нибудь формулу ввести необходимо, иначе Поиск решения работать не может (напомним, что эта программа нацелена на другой класс задач). Точно так же неважно, как установлен флажок: «максимальному значению» или «минимальному значению».

Теперь необходимо ввести то, что в форме на рис. 2 именуется ограничениями.

Щелкнув по кнопке Добавить, получают другую форму (рис.3 ).

В форму, изображенную на рис. 3. надо ввести четыре условия (по числу уравнений системы). На рисунке отражено последнее условие. Ссылка на ячейку А обусловлена тем, что в ней -формула для левой части 4-го уравнения, знак '=' выбран из меню, число (-13) введено с клавиатуры (правая часть 4-го уравнения). После ввода последнего ограничения нажимают кнопку ОК и возвращаются в основную форму Поиск решения. Щелкнув по кнопке Выполнить, получают результат (рис. 4).

Каким методом это решение получено, можно узнать, щелкнув по кнопке Параметры (см. рис. 2). Там, в частности, есть знакомый нам метод Ньютона (наверняка сильно видоизмененный, поскольку применяется на самом деле к решению гораздо более сложной задачи).

Поиск решения можно попытаться применить и к решению систем нелинейных уравнений. В этом случае выбор начального приближения очень важен, в зависимости от него решение может быть получено или не получено и могут быть получены разные решения.

Решение систем линейных уравнений (см. пример 1) матричным методом в Maple (рис. 5) реализуют два класса функций:

matrix(n,m,lisf) — возвращает матрицу размерности п х т с заданными списком элементами, которые перечисляются через запятую построчно (элементы каждой строки заключается в квадратные скобки, а строки разделяются запятыми);

vector(n,lisf) — возвращает вектор с п элементами, заданными списком;

функции для работы с векторами и матрицами:

multiply(A,B) -- возвращает произведение матриц А и В;

inverse(A) — возвращает матрицу, обратную А.

Решение представляет собой список элементов вектора х.

Этот же метод используется функцией linsolve(A,B), аргументами которой являются матрица А и матрица (или вектор) В (рис. 6) для решения матричного уравнения вида Ах = В.

Для решения систем линейных и нелинейных уравнений может быть применена функция solve({eql,eq2,..,},{varl,var2,...}), где eq — уравнение, var — переменная, по которой ищется решение. Уравнения и список переменных задаются в виде множества, поэтому результат будет получен также в виде множества в аналитическом виде (символьной форме).

Краткая теория метода итераций Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений Систему уравнений можно записать в матричном виде В выражении (2) матрица Р и вектор заданы, вектор x является искомым решением задачи.

Если все диагональные коэффициенты ii представить в так называемом приведенном виде:

Введем обозначение и перепишем систему (4) в виде матричного уравнения Метод итераций заключается в нахождении последовательных приближений решения x. Возьмем в качестве начального приближения x0 вектор b и подставим его в правую часть уравнения (5), получим вектор x1. Продолжая аналогичные вычисления, придем к векторной последовательности приближений:

Процесс вычисления последовательных приближений продолжают до тех пор, пока полученные значения на двух последовательных шагах существенно отличаются друг от друга. В таком случае условие прекращения вычислений можно записать так d=max{|x ik+1- x ik|}, i=1,2,..n.

Для того чтобы описанным методом можно было найти решение системы уравнений (1) матрица Р должна удовлетворять достаточному условию сходимости метода итераций. Матрица Р должна быть с диагональным преобладанием, т.е. в каждой стоке элемент, стоящий на главной диагонали, по модулю должен быть больше суммы модулей остальных элементов строки. В случае, когда матрица не имеет диагонального преобладания, необходимо провести преобразования.

Теорема. Если матрица P является симметричной положительно-определенной матрицей, то итерационный процесс (6) сходится к решению уравнения (5) при произвольном x0.

Замечание. Для того, чтобы преобразовать исходное уравнение к виду с симметричной положительно-определенной матрицей, необходимо умножить уравнение (2) на транспонированную матрицу PT.

1) Запустить программу Excel, открыть рабочую книгу лабораторных работ.

Создать в ней новый лист, дать ему имя «Мет.итераций».

Значения коэффициентов матрицы P и вектора b взять по своему варианту, таблица 4 Приложения.

3) Привести систему к виду (4).

4) Умножить матрицу P и вектор b на транспонированную матрицу PT.

Преобразовать коэффициенты по формулам (4'). В формулах вычисления коэффициентов aij и bi (ij) использовать абсолютную адресацию. Коэффициенты aii задать равными нулю.

5) Для начала итерационного процесса задать значение вектора x0 равным b.

Ввести формулы для вычисления xk+1 и d. При ссылке на матрицу А можно использовать абсолютные адреса, для вектора b удобно ячейкам с элементами вектора присвоить имена и в формулах ссылаться на них:

Ячейкам со значениями величин и d также следует присвоить имена для использования в формулах.

Для переноса значений xk+1 на следующий шаг в ячейки xk необходимо использовать функцию ЕСЛИ с условием d.

6) Копировать ячейки, относящиеся к одному шагу итераций до тех пор, пока d.

7) Выделить в отдельные ячейки окончательный ответ с 3 десятичными знаками.

Сравнить полученные значения с точным решением системы уравнений и решением, полученным выше.

Тема 3. Численное дифференцирование и интегрирование Постановка задачи численного дифференцирования. Постановка задачи.

Численное дифференцирование на основе Интерполяционный многочлен интерполяционных многочленов. Оценка Лагранжа и интерполяционный погрешности численного дифференцирования в многочлен Ньютона. Численное точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. дифференцирование с помощью Численное вычисление первой производной во многочленов Лагранжа и внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления Ньютона.

производной произвольного порядка. Метод Метод трапеции, метод неопределенных коэффициентов. Неустранимая Симпсона Постановка задачи приближенного вычисления (парабол) определенного интеграла, формула прямоугольников.

Формулы Ньютона-Котеса. Метод неопределенных коэффициентов. Формула трапеций. Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона. Квадратурная формула Гаусса, оценка порядка убывания погрешности. Вычислительная погрешность квадратурных формул. Метод Монте– Карла. Численное интегрирование на ЭВМ.

Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона.

Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [a,b] при делении отрезка на 10 равных частей следующими способами 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона.

Исполнение: применить интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона используя любой инструментальный пакет для вычисления производной. Использовать формулы трапеции и формулы Симпсона для вычисления определенного интеграла.

Лабораторная установка: Персональный компьютер с ОС Windows, MS Office, MathCad.

Оценка: Сопоставление полученных результатов, решаемых различными методами.

Время выполнения работы: 4 часа.

Вычислить значение производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные формулы Лагранжа или Ньютона.

Вариант 3,7, 1,10 0, •1,1 0, 1,20 0, 1,25 0, 1,30 0, 1,35 0, 1,40 0, 1,45 0, 1,50 0, 1,55 0, 1,60 0, Вариант 4,8, 1,00 0, 1,05 0, 1,10 0, 1,15 0, 1,20 0, 1,25 0, 1,30 0, 1,35 0, 1,40 0, 1,45 0, 1,50 0, Задание 2.

Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [a,b] при делении отрезка на равных частей следующими способами 1) по формуле трапеций; 2) по формуле Симпсона.

Отрезок интегрирования разбивается на 10 равных частей. Для расчетов удобно составить единую таблицу значений по схеме:

По каждому из трех столбцов таблицы находятся суммы соответствующих значений подынтегральной функции (при этом по столбцу у,- для формулы трапеций находится сумма всех элементов столбца, а для формулы Симпсона — только с четными индексами).

Тема 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Численные методы решения задачи Постановка задачи. Решение Коши для обыкновенных дифференциального уравнения методом Коши, дифференциальных уравнений. методом Эйлера, Методом Эйлера-Коши, РунгеМетод Рунге-Кутта. Многошаговые Кутта 4-го порядка и Адамса.

методы. Решение краевой задачи для линейного 2-ого порядка сведением к разностной краевой задаче. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения y=f(x,y) на отрезке [a,b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.

Номер варианта соответствует порядковому номеру в списке.

Исполнение: С помощью инструментальных пакетов MS Office, MathCad методами Эйлера, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса, предусмотрев вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.

Лабораторная установка: Персональный компьютер с ОС Windows, MS Office, MathCad.

Оценка: Сопоставление полученных результатов, решаемых различными методами Время выполнения работы: 5 часов.

Дана система дифференциальных уравнений:

Рассмотрим задачу Коши для данной системы. Пусть известны начальные условия при x0 = a: y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, …, yn(x0) = yn0. Требуется найти y1(x), y2(x),…, yn(x), проходящие через заданные точки: (x0,y10), (x0,y20), …, (x0,yn0).

Методы решения одного дифференциального уравнения можно обобщить и на их системы.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка:

1. Задать исходные данные: функцию f правой части, начальное значение y0.

2. Используя функцию eyler (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 7.B), найти приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.1 по явному методу Эйлера.

3. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD, найти приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности (см.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7.B).

4. Найти решение задачи Коши аналитически.

5. Построить таблицы значений приближенных и точного решений. На одном чертеже построить графики приближенных и точного решений.

6. Оценить погрешность приближенных решений двумя способами:

a) по формуле max | y (ti ) yi | ; здесь y (ti ) и yi - значения точного и приближенного решений в узлах сетки ti, i=1,..N;

b) по правилу Рунге (по правилу двойного пересчета) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 7.C).

7. Выяснить, при каком значении шага h=h* решение, полученное по методу Эйлера, будет иметь такую же погрешность (см. п. 6а), как решение, полученное с помощью метода РунгеКутты с шагом h=0.1.

УКАЗАНИЕ. В п. 7 рекомендуется провести серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература 1. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике, Ч. 2. – М.: Финансы и статистика, 1999.

2. Бахвалов Н.С.., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях - М.: Высшая школа, 2000.

3. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения – М.: Высшая школа, 2001.

4. Денежкина И.Е., Посашков С.А., Шандра И.Г. Дифференциальные уравнения – М.: Изд-во ФА, 2002.

5. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения):

Учеб. пособия для вузов. - М.: Высш. шк., 2000. - 266 с: ил.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1987.

7. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. – М.: ЮНИТИ, 1999 (рекомендовано Министерством образования РФ).

8. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник. – М.:

ИНФРА-М, 1999 (рекомендовано Министерством образования РФ).

9. Киреев В.М., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах – М.: Издво МАИ, 2000.

10. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб.пособие. М.:

Высш.шк., 1998. - 383 с.

Дополнительная литература 1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х ч. – М.: Физматгиз, 1962.

2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999.

3. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1982.

4. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике.- М.:

Высш. шк., 5. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.- М.:

Наука, 6. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1970.

7. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы.- М.:

Просвещение, 8. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций.- М.:

Наука, 1980.

9. Калиткин Н.П. Численные методы.- М.: Наука, 1978.

10. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.М.: Наука, 1972.

11. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Стукалов В.А. Численные методы: Учеб. пособие для пед. вузов.-М.: Академия, 2001.

12. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука, 1989.

13. Ракитин В.И., Первушкин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк., 1998.

14. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989.

15. Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие: Для вузов/Под ред. П.И.

Монастырного.- М.: Физматлит, 1994.

16. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров.

17. Амосов А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994.

18. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

19. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. – М.: Изд-во "СОЛОН", 1998.

20. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

21. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

22. Пирумов У.Г. Численные методы.: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 1998.



 
Похожие работы:

«Федеральное агентство профессионального образования Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Астафурова Ирина Сергеевна Статистика. Учебное пособие Владивосток 2009 ББК 65.05 Учебное пособие по дисциплине Статистика соответствует Государственному образовательному стандарту. Целью изучения дисциплины является приобретение студентами компетенций в области применения аналитических процедур при изучении состояния и развития массовых...»

«БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ ГЕОГРАФИИ А.С. ЕРМОШКИНА ЭКОНОМИЧЕСКАЯ И СОЦИАЛЬНАЯ ГЕОГРАФИЯ РОССИИ 9 класс Методическое пособие для учителя ГУМАНИТАРНЫЙ ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР ВЛАДОС МОСКВА, 2004 УДК 372.016:911.3*09 ББК 74.266.504я72 Е74 Ермошкина А.С. Е74 Экономическая и социальная география России: 9 кл.: Метод. пособие для учителя. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2004. — 288 с. — (Б ка учителя географии). ISBN 5 691 01265 7. Агентство CIP РГБ. В пособии в форме развернутого планирования отражен прак...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Институт государственного и муниципального управления Кафедра государственного и муниципального управления МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСОВОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ ПО ДИСЦИПЛИНЕ УПРАВЛЕНИЕ ГОРОДСКИМ ХОЗЯЙСТВОМ для студентов специальности Менеджмент организации — 080507 МОСКВА 2006 Составитель кандидат экономических наук, доцент А.Б.Гусев ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР Заведующий кафедрой государственного и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ Н.И. ВИНТОНИВА ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2010 ББК 65.290.6-21с51 В 48 Рецензенты: В.И. Кондратьева, канд. экон. наук, доцент, зав. каф. ИСЭ ДВГТУ; О.А. Волгина, канд. экон. наук, доцент каф. математики и моделирования Винтонива, Н.И. В 48 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ : учебное пособие. –...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Лауреат всероссийского конкурса Лучшая научная книга 2010 года (Фонд развития отечественного образования) УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛОГИСТИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ЦЕПЯМИ ПОСТАВОК (теория и практика) для студентов специальности Логистика и управление цепями поставок – 080506 Москва – 2010 2 Федеральное агентство по...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА И АУДИТА Г.В. КЛУШАНЦЕВА Т.Н. ЕЛКИНА БУХГАЛТЕРСКИЙ И НАЛОГОВЫЙ УЧЕТ ФОРМИРОВАНИЯ ДОХОДОВ И РАСХОДОВ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ Учебное пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ББК 65. К Рекомендовано...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ О.М. ДЮКОВА, Н.И. ПАСЯДА УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ НЕДВИЖИМОСТИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК Д Дюкова О.М., Пасяда Н.И. Управление развитием недвижимости: Учебное пособие.– СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2009.– 100 с. В учебном пособии излагаются...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ КАФЕДРА МАРКЕТИНГА В.А. БАБУРИН М.Е. ЯНЕНКО ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В МАРКЕТИНГЕ И МЕНЕДЖМЕНТЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ МАГИСТРАНТОВ (НАПРАВЛЕНИЕ 080500.68 (521505) МЕНЕДЖМЕНТ МАГИСТЕРСКАЯ ПРОГРАММА МАРКЕТИНГ) Санкт-Петербург Одобрены на заседании кафедры маркетинга, протокол № 9 от 22.04.2009 г. Утверждены...»

«Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В.В. Максимов, В.И. Подгурский МАСЛА. ТОПЛИВА (классификация, ассортимент) Учебное пособие Омск Издательство СибАДИ 2003 3 УДК 662.7+621.892 ББК 39.33-082 М 17 Рецензенты д-р техн. наук, проф. Омского государственного университета путей сообщения В.Р. Ведрученко, доцент СибАДИ В.Я. Авдюков Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов специальностей...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ И ПРОИЗВОДСТВАМИ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по специальности 080502 Экономика и управление...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ТЕОРИИ ЯЗЫКА И ПЕРЕВОДОВЕДЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО НАПИСАНИЮ КУРСОВЫХ РАБОТ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ 2009 2 Рекомендовано научно-методическим советом университета Методические рекомендации по написанию курсовых работ.– СПб.: Изд-во...»

«Министерство образования и науки РФ Нижневартовский филиал Негосударственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Институт бизнеса и права БУХГАЛТЕРСКОЕ ДЕЛО Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению 080100 Экономика Нижневартовск 2013 ББК 65.052.2 Б 94 Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом Нижневартовского филиала НОУ ВПО Институт бизнеса и права Рецензент: генеральный директор ООО Югра-Аудит, кандидат экономических наук, доцент...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ЮРИДИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА УГОЛОВНО-ПРАВОВОЙ ОХРАНЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ СЕМИНАРСКИХ (ПРАКТИЧЕСКИХ) ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ПРАВОЗАЩИТНЫЕ ОРГАНЫ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ ПРЕДПРИЯТИЯ И ПРОИЗВОДСТВЕННОГО МЕНЕДЖМЕНТА УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК 65.050. У Управление проектами : учебное пособие / М.В. Тихонова У 66 [и др.]. –...»

«ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ОБРАЗОВАНИЕ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Г.Ф. ТКАЧ, В.М. ФИЛИППОВ, В.Н. ЧИСТОХВАЛОВ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ И РЕФОРМЫ ОБРАЗОВАНИЯ В МИРЕ Учебное пособие Москва 2008 Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов Создание комплекса инновационных образовательных программ и формирование инновационной образовательной среды, позволяющих эффективно реализовывать государственные интересы РФ через систему экспорта образовательных...»

«РЕКОМЕНДУЕМАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ФИНАНСОВОМУ АНАЛИЗУ ОРГАНИЗАЦИИ (для самостоятельной работы студентов, написания контрольных работ, решения тестов, подготовки к экзамену) Основная литература: 1. Барнгольц, С.Б. Методология экономического анализа деятельности хозяйствующего субъекта: учеб. пособие / С.Б. Барнгольц, М.В. Мельник. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 240 с. 2. Береснева А.И. Практикум по анализу хозяйственной деятельности: Учебнометодическое пособие. Мн., БГУ, 2010. Режим...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский экономико-юридический институт УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине Спецкурс по трудовому праву и праву социального обеспечения для направления подготовки 030500.62 Юриспруденция Томск - 2010 СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Рабочая программа Раздел 1.1. Организационно-методический Цели и задачи учебной дисциплины 1.1.1 1.1.2. Требования к уровню освоения...»

«Новые книги, поступившие в библиотеку МГТУ МАМИ в сентябре-ноябре 2011 г. 1. Общий отдел Наука. Информация Большая Российская энциклопедия: в 30-ти т. Т. 17: Лас-ТунасЛомонос / пред. науч.- ред. совета Ю.С. Осипов. – М.: Большая Российская энциклопедия, 2010. – 784 с.: ил. 1 экз. 03 Б-799 Большая Российская энциклопедия : в 30-ти т. Т. 18 : Ломоносов - Манизер / пред. науч.- ред. совета Ю. С. Осипов. - М.: Большая Российская энциклопедия, 2011. - 768 с. : ил. 2 экз. 03 Б-799 Ясницкий Л.Н....»

«Н. П. Абаева, Р.М. Байгулов ОЦЕНКА БИЗНЕСА Ульяновск 2006 1 УДК 336.6(075) ББК 65.29:65.261я73 А 48 Рецензент зав. кафедрой Экономическая теория УлГТУ, кандидат экономических наук, профессор Л.В.Барт Абаева Н.П. А 48 Оценка бизнеса: Методические указания по изучению дисциплин/ Н.П. Абаева, Р.М. Байгулов. - Ульяновск. УлГТУ, 2006. - 46 с. Разработаны в соответствии с рабочей программой. Изложены цель и задачи, рабочая программа, требования к уровню усвоения студентами дисциплины, а также даны...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА СОЦИОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ Э.Б. АВАКОВА М.А. ГРИДНЕВА СОЦИАЛЬНАЯ ДЕМОГРАФИЯ Учебное пособие ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Рекомендовано научно-методическим советом университета ББК 60. А Авакова Э.Б. А 18 Социальная...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.