WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Оренбургский государственный университет

Кафедра Математических методов и моделей в экономике

Г.Г. АРАЛБАЕВА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Рекомендовано к изданию Редакционно – издательским советом Оренбургского государственного университета Оренбург 2002 ББК 22.17я7 А 79 УДК519.676(07) Введение Настоящие методические указания предназначены для студентов заочной формы обучения экономических специальностей высших учебных заведений.

Методические указания содержат перечень основных тем курса теории вероятностей и математической статистики, общие рекомендации по изучению дисциплины, краткие указания к выполнению контрольных работ, образцы решений задач, контрольные задания и вопросы для самопроверки.

1 Общие методические указания Основной формой обучения студента заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая чтение учебников, решение задач, выполнение контрольных заданий. После изучения соответствующей темы, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы (включать в контрольную работу ответы на вопросы не требуется).

При выполнении контрольных работ студент должен руководствоваться следующими указаниями:

1) контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке указывается фамилия, имя, отчество студента; полный шифр; дата ее отсылки в институт, домашний адрес студента; фамилия проверяющего преподавателя;

2) контрольные задачи располагают в порядке номеров, указанных в заданиях. Перед решением задачи полностью переписать условие;

3) решение задач следует излагать подробно, делая соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием необходимых формул;

4) контрольная работа отсылается в учебное заведение;

5) получив из учебного заведения прорецензированную работу, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты. В случае незачета по работе студент должен в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование;





6) в межсессионной период или во время лабораторно-экзаменационной сессии студент должен пройти собеседование по зачтенной контрольной работе;

7) студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

2 Перечень основных тем по теории вероятностей и математической статистике 1. Предмет теории вероятностей и математической статистики. Вероятность события. Относительная частота событий. Полная группа событий Классическое определение вероятностей.

2. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий.

Теорема о вероятности суммы двух совместных событий.

3. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

4. Повторение испытаний. Формула испытаний Бернулли. Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона. Нормальное распределение.

5. Случайные величины и их числовые характеристики. Предельные теоремы. Система случайных величин.

6. Точечные и интервальные оценки параметров распределений. Понятие интервальной оценки. Интервальные оценки параметров нормального распределения.

7. Проверка статистических гипотез. Проверка гипотезы о параметрах нормального распределения. Проверка гипотез о равенстве средних и о равенстве дисперсий двух нормальных распределений. Критерий согласия.

8. Парный корреляционный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание парного коэффициента корреляции.

9. Регрессионный анализ. Оценка парной линейной регрессии. Проверка значимости и интервальное оценивание параметров уравнения регрессии.

3 Примеры решения задач Тема 1. Вероятность события. Относительная частота событий. Полная группа событий. Классическое определение вероятностей Задача 1.

Известно, что среди 10 изделий верхней одежды имеются 3 не прошедших контроль качества. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 изделий обнаружить среди них 2 не прошедших контроль.

Решение. Перенумеруем все 10 изделий. Возможными случаями будем считать соединения по 5 изделий из 10, различающиеся только номерами, входящих в каждое соединение. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 10 элементов по 5.

CM C N m mn М M Р (А) = =.

N=C 10 = Для подсчета возможных благоприятствующих случаев учитываем, что не прошедших контроль из 3 можно извлечь С 3 = 3 способами.

Кроме того, 3 не прошедших контроль изделия можно выбрать из 7 прошедших контроль C 3 = = 35 различными способами.

Каждый вариант из двух не прошедших контроль комбинируется с каждым вариантом из трех прошедших контроль, следовательно, число возможных случаев N, благоприятствующих событию А, вероятность котороC 83 = 3*35=70. Отсюда, Р(А)= Задача 2. Пусть имеется партия, состоящая из 100 изделий обуви, среди которых возможны 2 бракованные пары обуви. Определить вероятность из 10 пар обуви не обнаружить ни одного бракованного.





Решение.

Воспользуемся формулой:

Пусть событие А- из 10 пар обуви не обнаружить ни одного бракованного.

Тогда, Р (А)= 10 = 100! 10!*88!*100! 88!*100 * 99 * 97 * 96 * 95 * 94 * 93 * 92 * 91 * 90!

10!*90!

90 * 100 * Тема 2. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий Задача 3. Система контроля изделий состоит из двух независимых проверок, выполняемых одновременно. По параметрам изделие считается годным, если оно прошло обе проверки. Вероятность изготовления годной детали по первому параметру равна 0.9, по второму - 0.95.

Найти вероятность проверки изделия.

Решение.

Если на вход системы контроля поступило изделие, то возможны элементарные исходы:

1 = {0,0}, 2 = {0,1}, 3 = {1,0}, 4 = {1,1}, где 0 означает, что изделие признано бракованным, 1 - годным.

Испытания независимы, поэтому получаем следующие значения вероятностей элементарных исходов.

Р 1 = Р( 1 )= (1-q 1 )*(1-q 2 ) = 0.1*0.05= 0. P 2 =P( 2 )= 0.1*0.95= 0.095;

P 3 =P ( 3 )= 0.9*0.95= 0.855;

Р 4 =Р( 4 )=0,9*0,05=0,045;

Сумма вероятностей элементарных событий для полной группы событий должна быть равна 1.

Тема3. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Задача 4. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех рабочих линиях. Производительность первой линии 38% от всего общего производства, на второй - 35%, на третьей - 27%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95;98% и 97%.

Определить вероятность того, что наудачу взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано соответственно на первой, второй и третьей линиях.

Решение.

Обозначим через А 1, А 2, А 3 события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях.

Согласно условиям задачи Р(А 1 ) = 0.38; Р(А 2 ) = 0.35; Р(А 3 ) = 0.27 и эти события образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместимы, т.е. Р(А 1 ) + Р(А 2 )+ Р(А 3 ) = 1.

Если через В обозначим событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным, то согласно условию задачи Р(В\ А 1 ) = 0.05, Р(В\ (А 2 )= 0.02, ; Р(В\А 3 ) = 0. Используем формулу полной вероятности Р(В) = i Р(В) = Р(А 1 ) * Р(В\ А 1 ) + Р(А 2 )* Р(В\ (А 2 )+ Р(А 3 )* Р(В\А 3 ) = =0.38*0.05 + 0.35*0.02 + 0.27*0.03 =0. Р(В)= 0.0341 означает, что вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным равна 3.41%. Априорные вероятности того, что наугад взятое изделие окажется изготовленным на первой, второй или третьей линии равны соответственно 0.38; 0.35; 0.27.

Допустим, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; определим апостериорные вероятности того что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. Здесь применяют формулу Байеса:

Таким образом, вероятность того, что наугад взятое и оказавшееся бракованным изделие, изготовлено первой, второй, третьей линией равны соответственно 0.5572; 0.2053; 0.2375.

Тема 4 Повторение испытаний. Формула испытаний Бернулли. Наивероятнейшая частота при повторении опытов. Биноминальное распределение. Формула Пуассона Задача 5. Вероятность изготовления качественного изделия равна 0,9. Какова вероятность того, что, из 4 взятых наугад изделий не менее 3 окажутся качественными?

Решение.

Пусть событие состоит в том, что А - не менее 3-х изделий окажутся качественными; включает в себя следующие события:

А 1 - из 4 изделий 3 качественные;

А 2 - из 4 изделий 4 качественные;

По теореме сложения вероятностей Р (А)=Р(А 1 ) +Р(А 2 ) Вероятности Р(А 1 ) и Р(А 2 ) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Если проводится n независимых испытаний, вероятность наступления которых постоянна и равна р. Вероятность не наступления этого события тогда q=1-p, а вероятность того, что событие А в n испытаниях появится m раз.

Искомая вероятность равна Р(А) = 1,2916 + 0,6561= 0,9477;

Задача 6. Вероятность изготовления качественных изделий равна 0. Найти вероятность того, что в партии из 200 изделий будут качественными.

Решение. Применить формулу Бернулли в данной задаче затруднительно, так как надо будет возводить в 200- ую степень число 0.95.

В таких случаях применяется приближенная формула - локальная теорема Лапласа:

Из условия задачи р = 0,9; q = 1-р = 0,1; n = 200; m=170.

Из таблицы 1 приложений находим (- 2,357) = ( 2,357) = 0, Задача 7.

Среди изделий одежды 0,02% имеющих дефекты. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 изделий будет обнаружено 5 с дефектом?

Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности Р = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения P n (m). Поэтому при малых значениях Р для вычисления P n (m) применяют асимптотическую формулу Пуассона:

где е = 2,7182; = n*p.

Эта формула используется при = Таким образом Р = 0,0002 ; n= 10000; m=5;

Задача 8. Вероятность изготовления качественных изделий = 90%.

Найти вероятность того, что из 500 изделий качественных будет от 400 до 440.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из n испытаний постоянна и равна Р, то вероятность P n ( m 1 m m2 ) того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее m 1 раз и не более m2 раз определяется по интегральной теореме Лапласа.

(x) = 0,5. При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа ( x) = ( x). Используя функцию Лапласа, имеем:

По условию задачи n = 500; р = 0,9; q=0.1; k 1 = 400; k 2 = 440.

По приведенным выше формулам находим и :

Тогда Р 500 (400 k 440) ( 1.49) ( 7.45) = (1.49) + (7.45) = Вопросы для самопроверки по темам 1- 1. Что называется событием? Приведите примеры событий; невозможных событий.

2. Какие события называются несовместимыми? Совместимыми? Противоположными?

3. Что называется относительной частотой события?

4. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

5. Что называется условной вероятностью события?

6. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

7. Напишите формулу полной вероятности.

8. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?

9. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?

10. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

11. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?

Тема 5. Случайные величины и их числовые характеристики Задача 9.

Составить закон распределения вероятностей числа появления события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.6.

Решение.

Обозначим через А1 -первое событие, А2 – второе событие, А3 – третье событие. События А1, А2, А3 независимы.

Пусть А=0 означает не появление ни одного из рассматриваемых событий.

Р(А=0)=Р(1)*Р(2)*Р(3)=(1-0.6)(1-0.6)(1-0.6)=0.064.

А=1-означает появление одного из рассматриваемых событий.

Р(А=1)=Р(А1)*Р(2)*Р(3)+Р(1)*Р(А2)*Р(3)+Р(1)*Р(2)*Р(А3)= =0.6*(1-0.6)(1-0.6)3=0.288 аналогично для А2 и А3.

Р(А=2)=Р(А1)*Р(А2)*Р(3)+Р(А1)*Р(2)*Р(А3)+Р(1)*Р(А2)*Р(А3)= =0.6*0.6*(1-0.6)3=0.432;

Р(А=3)=Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)=0.63=0.216.

Таким образом, получили закон распределения вероятностей:

Таблица Задача 10.

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Таблица Найти:1) математическое ожидание М(Х);

3) среднее квадратическое отклонение (х).

Решение. 1) Если закон распределения случайной величины задан значениями где в первой строке даны значения случайной величины Х, а во второй – вероятности этих значений, то математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле:

Тогда М(Х)= 40*0.1+42*0.3+41*0.2+44*0.4= 42.4.

2) Дисперсией D(Х) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е. n Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от М(Х). Из последней формулы имеем D(Х)=(40-42.4)2*0.1+(42-42.4)2*0.3+(41-42.4)2*0.2+(44-42.4)2*0.4= =2.42*0.1+0.42*0.3+1.42*0.2+1.62*0.4=2.04.

Дисперсию можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(X) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания М(Х), т. е.

Для вычисления М(Х2) составим следующий закон распределения величины Х2:

Таблица Тогда М(Х2)=402*0.1+422*0.3+412*0.2+442*0.4=160+529.2+336.2+774.4= = 1799.8 и D(X)=1799.8-42.42=2.04.

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение (Х) случайной величины Х, равное квадратному корню из дисперсии D(X), то есть (Х)= D(X).

Из этой формулы имеем: = 2.04 1.43.

Задача Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X).

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределения f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от интегральной функции распределения F(X), то есть Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой:

формулы имеем 3) Дисперсию D(X) определим по формуле:

Тогда D(X)= x-4 2 *3x2dx = 3*x-2 x3+16 x2 dx =3* 5 - 8 + 16 0 = Задача Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм.

Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой детали будет больше 34 мм и меньше 43 мм;

2) вероятность того, что длина детали отклонится от ее математического ожидания не более чем на 1.5 мм.

Решение. 1) Пусть Х- длина детали. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку [; ], определяется по формуле:

Вероятность выполнения строгих неравенств Х определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то где Ф(х)- функция Лапласа, а=М(Х), = D( X ).

В задаче а = 40, = 34, = 43, =3.Тогда Р(34 Х43)=Ф 3 -Ф 3 = Ф(1)-Ф(-2)= Ф(1)+Ф(2)= =0.3413+0.4772=0.8185.

По условию задачи а- Х а+, где а= 40; = 1.5. Подставим, = а-, имеем:

Из формулы имеем:

Р( |х-40| 1.5)=2*Ф 3 =2*Ф(0.5)=2*0.1915=0.383.

Вопросы для самопроверки по теме 1. Какие случайные величины называются дискретными? Непрерывными? Приведите примеры.

2. Что называется законом распределения случайной величины? Как задается закон распределения дискретной случайной величины?

3. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением?

Перечислите их свойства.

4. Дайте определение интегральной функции распределения; дифференциальной функции распределения. Перечислите свойства этих 5. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины?

6. Напишите дифференциальную функцию для нормального закона распределения.

7. Напишите формулу для определения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

8. Сформулируйте правило «трех сигм».

9. Назовите сущность закона больших чисел.

10. Напишите неравенство Чебышева; теорему Бернулли.

Тема 6. Интервальное оценивание параметров распределения Задача 13.

На контрольных испытаниях n = 20 ламп выявлено, что средний срок службы ламп равен Х = 980 ч. Определите с надежностью = 0.97 границы доверительного интервала для генеральной средней в предположении, что срок службы ламп распределен по нормальному закону распределения с = 18 ч.

Решение.

Интервальная оценка для математического ожидания при известной дисперсии определяется в соответствии с формулой:

Далее, используя таблицу интегральной функции Лапласа, находим, что t = Ф-1( = 0.97 ) = 2.13, тогда: Р (980-2.13* µ980+ +2.13* )= 0.97.

Ответ: Р (970.62µ989.38) = 0.97.

Задача 14.

По результатам контроля n=9 деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение S=5мм. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена нормально, определить с надежностью =0.95 доверительный интервал для параметра.

Решение.

Так как n 30, используется 2- распределение. По таблице 2 – распределения нужно выбрать такие два значения 21 и 22, чтобы площадь, заключенная по дифференциальной функцией распределения 2 между 21 и 22, была равна = 1 –.. Тогда По таблице 2- распределения для числа степеней свободы = n-1= 8 и найденных вероятностей 0.975 и 0.025 определяем, что Вычисляем 1 = 2.18 = 1.47 и 2 = 17.535 = 4.19.

Доверительный интервал (30) равен и окончательно 3.58 10.2(мм).

Вопросы для самопроверки по теме 1. Дайте определение точечной оценки параметров распределения.

2. Перечислите основные свойства точечной оценки.

3. Какими выборочными характеристиками оцениваются математическое ожидание и дисперсия?

4. Дайте определение интервальной оценки параметров распределения.

5. Чему равна точность оценки при интервальном оценивании математического ожидания при известном значении дисперсии генеральной совокупности и при неизвестном значении дисперсии генеральной совокупности?

6. Как определяется доверительный интервал для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения?

Тема 7. Проверка статистических гипотез Задача 15.

По данным 12 рейсов установлено, что в среднем машина затрачивает на поездку до хлебоприемного пункта Х = 73 мин. Допустив, что время поездки есть нормальная случайная величина, на уровне значимости 0. проверьте гипотезу Н0: µ = 75 мин.:

а) при конкурирующей гипотезе Н1: µ = 72 мин., если известно, что = мин.;

б) при конкурирующей гипотезе Н1: µ = 72 мин., если выборочное среднее квадратическое отклонение равно S = 4 мин.;

в) для условий а) и б) вычислите мощность критерия.

Решение.

а) для проверки гипотезы Н0: µ = 75 мин., при Н1 = 72 мин., выбираю левостороннюю критическую область ( µ1 µ0), в этой связи tкр = tтабл = Ф-1(1-2) = Ф-1(0.9) = 1.65.

Рассчитаем наблюдаемое значение статистики критерия:

Поскольку | tтабл | tкр, гипотеза Н0: µ = 75 мин. Отвергается с вероятностью ошибки = 0.05;

б) для проверки гипотезы Н0: µ = 75 мин. при Н1: µ = 72 мин., если S = 4мин., наблюдаемые значения статистики критерия рассчитаем по следующей формуле:

Границу критической области найдем по таблице Стьюдента:

Поскольку | tтабл | tкр, гипотеза Н0 не отвергается, т.е. Н0: µ = 75 мин. не противоречит наблюдениям;

в) мощность критерия для условия а) рассчитаем по формуле:

1- = 2 1+ Ф n-tкр, где tкр= Ф-1(1-2) = Ф-1(0.9) = 1.6.

Таким образом:

1- = 2 1+ Ф 4 12-1.65 = 2 [1+ Ф(0.948)] = 2 [1+0.6579] = = 0.828.

Мощность критерия для условия б) рассчитаем по формуле:

1- = 1- 2 St S n-1- tкр ; n-1, где tкр= St-1(2 ; n-1) = 1.796.

Таким образом:

1- = 1- 2 St 11-1.796;11 = 1-2 St (0.681; 11) = 1-2 0.51 = = 0.745.

Задача 16.

При n = 7 независимых измерениях получены следующие результаты:

82.45; 82.30; 82.48; 82.05; 82.45; 82.60; 82.46 мм. В предположении, что ошибки измерений имеют нормальное распределение и не содержат систематической ошибки, на уровнях значимости 0.05 проверьте гипотезу Н0:

2 = 0.02, при конкурирующей гипотезе Н1: 2 = 0.05.

Решение.

Сначала рассчитаем значения:

Для проверки гипотезы Н0: 2 = 0.02 мм2, при Н1: 2 = 0.05 мм2, выбирают правостороннюю (12 02) критическую область, а, значение границы критической области можно найти по таблице 2-распределения: 2кр (;n-1) = 2кр (0.05;6) = 9.45.

Затем определяют наблюдаемое значение статистики критерия:

набл = 2 = 0.02 = 9.45.

Поскольку 2набл 2кр, гипотеза Н0 не отвергается, т.е. предположение, что 2 = 0.02 не противоречит опытным данным.

Задача 17.

Из продукции двух станков-автоматов, выпускающих однотипные изделия, взяты выборки объемом n1= 10 и n2= 13. По результатам выборок найдены: Х1= 82.7мм., Х2=82.3мм., S12= 0.8 и S22= 1.1. В предположении о нормальном законе распределения погрешности изготовления требуется на уровне значимости = 0.01 проверить гипотезу Н0: µ1 = µ2, при конкурирующей гипотезе Н1: µ1 µ2.

Решение.

Проверка гипотезы Н0: µ1 = µ2 возможна, если дисперсии неизвестны, но равны 12 = 22. Это значит, что сначала надо проверить гипотезу Н0: 12 = 22, при Н1: 12 22. Наблюдаемое значение статистики рассчитаем по формуле:

Fнабл = S2 = (13/12)1.1 = 1.19, очевидно, что в этом случае, мы получим, что Fнабл 1, но по определению F 1. Следовательно, необходимо переименовать совокупности. Тогда Fнабл =1.19/0.89 = =1.33.

Затем по таблице Фишера-Снедекора находим Fкр(;n2-1;n1-1) = = Fкр (0.01;12;9) = 5.11. Поскольку Fнабл Fкр, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным. Далее примем, что 12 = 22. Теперь можно перейти к проверке гипотезы Н0: µ1 = µ2, при неизвестных, но равных дисперсиях.

Альтернативная гипотеза Н1: µ1 µ2 свидетельствует о том, что следует выбирать двухстороннюю критическую область, симметричную относительно нуля. Граница критической области будет найдена из условия, что tкр= St-1( ; = n1 + n2-2) = St-1 (0.01; 21) = 2.831.

Найдем наблюдаемое значение статистики критерия по формуле:

tнабл = n S2 +n S2 n +n = 10*0.8+13*1.1 10+13 = 8+14.3 23 = =0.89.

Поскольку | tнабл | tкр, то гипотеза Н0: µ1 = µ2 не противоречит опытным данным. Приняв гипотезу µ1 = µ2, можно утверждать, что выборки объемом n1 и n2 принадлежат одной генеральной совокупности.

Задача 18.

Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему году):

Таблица Выработка в отчетном году(в % к пре- 94-104 104-114 114-124 124-134 дыдущему году) рабочих На уровне значимости = 0.05 проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х – выработки рабочих – с помощью критерия 2 Пирсона.

Решение.

Параметры теоретического нормального закона распределения а и 2, являющиеся соответственно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Х, неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими»

оценками по выборке – несмещенными и состоятельными оценками соответственно выборочной средней х и «исправленной» выборочной дисперсией 2*. Так как число наблюдений n = 100 достаточно велико, то вместо исправленной 2* можно взять «обычную» выборочную дисперсию b2. По данному в условии распределению были вычислены х = = 119.2( %), b2= 87.96; b = 9.38( %).

Для расчета вероятностей рi попадания случайной величины Х в интервал [xi, xi+1], где i= 1,2…,m, используем функцию Лапласа Ф(х). В соответствии со свойством нормального распределения:

Например, рi = р(94 Х 104) = 2 Ф 9.38 -Ф 9.38 = 2 [Ф(-1.62)Ф(-2.69)] = 2 (-0.8948+0.9928) = 0. и соответствующая первому интервалу теоретическая частота np1=100*0.49 = 4.9. Аналогично вычисляем теоретические частоты npi в других интервалах (i= 1,2…,m). Для определения статистики 2 удобно составить следующую таблицу:

Таблица параметрами (которые мы оценили по выборке), то число степеней свободы k = m-2-1 = 5-2-1 = 2. Соответствующее критическое значение статистики 2 по таблице Пирсона (из приложений) 20.05;2= 5.99. Так как 20.05;2, то гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения с параметрами а =119.2 и 2= 87.96 согласуется с опытными данными.

Изобразить эмпирические распределения можно, например, ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников с основаниями, равными величинам интервалов хi = xi+1- xi, и высотами, равными частостям i = ni/n (или частотам ni) этих интервалов, называемой гистограммой. При построении нормальной кривой для каждого интервала по оси координат откладываем соответствующие вероятности рi (теоретические частоты npi).

Выполнив чертеж, можно увидеть, что нормальная кривая теоретического распределения достаточно хорошо «выравнивает» гистограмму теоретического распределения.

Вопросы для самопроверки по теме 1. Дайте определение статистической гипотезы.

2. Приведите порядок проверки статистической гипотезы.

3. Что называется уровнем значимости? Мощностью критерия?

4. Приведите правила проверки статистической гипотезы.

5. Как проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей?

6. Как проверяется гипотеза о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей?

7. Как проверяется гипотеза о законе распределения случайной величины?

Тема 8. Корреляционный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание коэффициента корреляции Задача 19.

По n = 8 значениям, представленным в таблице, требуется:

а) оценить тесноту связи между параметрами х1 и х2, которые предполагаются нормально распределенными, с помощью линейного коэффициента корреляции;

б) при = 0.05 проверить значимость коэффициента корреляции;

в) при = 0.95 построить интервальную оценку для коэффициента корреляции.

Таблица Решение.

а) Предварительно находят средние арифметические переменных х1 и х и их произведения, средние квадратические отклонения S1 и S2.

х1= 34.375;х2= 48.125; х1 х2 = 1875.

S1= 9.49; S2= 26.68. Теперь найдем оценку коэффициента парной корреляции:

х1 х2- х1* х2 1875-34.375*48. б) для проверки гипотезы Н0: r12 = 0 найдем rкр по таблице Фишера-Иейтса.

При условии, что = 0.01, = n-2 = 6, rкр=0.707. Поскольку r12= 0.871 rкр= 0.707, то Н0: r 12 = 0 отвергается, т.е. предположение о равенстве его нулю противоречит наблюдениям;

в) для определения доверительного интервала для коэффициента парной корреляции генеральной совокупности воспользуемся преобразованием Фишера. Согласно таблице значению r12= 0.871 соответствует z’=1.3331. Затем найдем интервальную оценку для z по выражению:

z’- t n-3 z z’+ t n-3.

Величину t определяем по таблице интегральной функции Лапласа из условия, что Ф(t) = = 0.95. В этом случае: t = 1.96.Тогда:

1.3331- 0.877 z 1.3331+0.877, 0.46 z 2.21. Далее воспользуемся таблицей z -преобразования Фишера для обратного перехода от z к, т.е. 0. 0.98. Интервальная оценка подтверждает вывод о значимости коэффициента корреляции, т.к. полученная оценка коэффициента корреляции входит в полученный интервал.

Задача 20.

По результатам 8 наблюдений была построена корреляционная матрица а) при = 0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции 12/3, 13/2 и 23/1 и при = 0.95 построить интервальную оценку для 13/2 ;

б) найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции 1/ и при = 0.05 проверить его значимость.

Решение. Найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляR элемента r12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы.

Аналогично находим r13/2 = -0.462 и r23/1 = -0.494.

Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции найдем rкр(=0.05, v=n-l-2=5)=0.754, где l – порядок коэффициента корреляции. В рассматриваемом примере l = 1. Так как | r| rкр = 0.754, то гипотезы Н0: = 0 не отвергаются, т.е. предположение о равенстве его нулю не противоречит наблюдениям.

Определим интервальную оценку для 13/2 при = 0.95. Для этого используем z – преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку для z из условия:

z z ± t. По таблице z - преобразования Фишера для r13/2= -0.462, учитывая, что z’(-r) = -z’(r), будем иметь z’= -0.497. По таблице нормального закона, из условия Ф(t) = 0.95, найдем t = 1.96. Тогда, z 0.497 ± 1.96 8 4, откуда, z [ 1.477; 0.483]. По таблице z - преобразования для zмин = -1.477 и zмакс = 0.483 найдем интервальную оценку для 13/2: 13. / 2 [ 0.9; 0.45]. Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о незначимости частного коэффициента корреляции 13/2, т.к. нуль находится внутри доверительного интервала;

б) найдем точечную оценку множественного коэффициента корреляции 13/2 и при =0.05 проверим его значимость. Точечная оценка определяетR ся по формуле: r1 / 23 = 1 R, где |R| - определитель корреляционной матрицы, |R| = 0.043 и r1 / 23 = 1 0..227 = 0.90.

ределим по таблице F- распределения, Fкр(=0.05, v1=2, v2=5)=5.79. Так как Fнабл Fкр, то гипотеза Н0 отвергается, т.е. множественный коэффициент корреляции не равен нулю (13/2 0).

Вопросы для самопроверки по теме 1. Дайте определение корреляционной зависимости между случайными величинами.

2. Как определяется парный коэффициент корреляции?

3. Значимость коэффициента корреляции.

4. Интервальное оценивание коэффициента корреляции.

5. Корреляционное отношение.

6. Как определить частный коэффициент корреляции?

7. Как определить значимость частного коэффициента корреляции?

8. Привести формулу интервального оценивания частного коэффициента корреляции.

9. Как определить множественный коэффициент корреляции?

10. Как проверить значимость множественного коэффициента корреляции?

11. Привести формулу интервального оценивания множественного коэффициента корреляции.

Тема 9. Регрессионный анализ. Проверка значимости и интервальное оценивание параметров уравнения регрессии Задача 21.

По данным таблицы (n=10) провести регрессионный анализ, предполагая линейную модель вида ~ = 0 + 1 *x.

Таблица Определить:

1.Оценки параметров уравнения регрессии b 0 и b 1 и остаточной дисперсии S ост. ;

2.Проверить, при = 0,05, значимость уравнения регрессии;

3.С надежностью 0,95 найти интервальные оценки параметров 0 и 1 ;

4.С надежностью 0,9 установить интервальную оценку условного математического ожидания ~ при x 0 = 4;

5. При = 0.9 доверительный интервал предсказания ~n+1 в точке x 0 = 5;

Решение:

Для удобства решения задачи составим вспомогательную таблицу 8:

Таблица 1.Найдем оценки параметров уравнения регрессии, решая систему:

В результате решения системы получим b 0 = 0.53 и b1 = 0.75, а оценка уравнения регрессии примет вид: y =0.53+0.75*x;

Для расчета оценки остаточной дисперсии определим расчетные значения y i в 5-й графе таблицы и найдем квадраты отклонений фактических значений от расчетных (графа 6). В результате получим:

что F кр. =5.32.

Поскольку F н =306.565.32, рассматриваемая гипотеза отвергается и уравнение регрессии считается значимым;

3. Предварительно находим, Sост. = Sост.2 = =0.7 и по таблице распределения Стьюдента, при = 0,05 и = n-2 = 8, определяем t =2.306.

Воспользовавшись формулами:

находим интервальные оценки для 0 и 1 :

4. Предварительно, по таблице Стьюдента, при = 1 0.9 = 0.1 и = 8, находим, что t =1,86 и, определим интервальную оценку условного математического ожидания ~ при x 0 = 4:

3,45 ~ 3.61;

ределим, что или 1,86 n-1 6.7.

Вопросы для самопроверки по теме 1. Что характеризует уравнение регрессии?

2. Как определяются параметры оценки уравнения регрессии?

3. Как проверяется значимость уравнения регрессии и параметров уравнения регрессии?

4. Интервальное оценивание параметров уравнения регрессии.

5. Как осуществляется прогнозирование по полученной оценке уравнения регрессии?

1. Из n1 рабочих норму выработки не выполняют n2 человек. Найти вероятность того, что n3 случайно выбранных рабочих не выполняют норму.

Таблица 2.Вероятность сдать каждый из трех экзаменов экзаменационной сессии на "отлично" для студента равна, соответственно, р1, р2, р3. Определите вероятность того, что студент сдаст на "отлично":

а) все три экзамена;

б) два экзамена;

в) хотя бы один экзамен.

Таблица 3. Среди одинаковых по внешнему виду n1 изделий имеется n2 без брака. Произвольно вынимают m изделий. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы одно с браком.

4. Бригада операторов компьютерного набора из трех человек выполняет набор книги в n1 страниц. План первого оператора – n2 страниц, второго оператора n3 страниц и третьего – n4 страниц. Вероятность допустить ошибку при наборе для первого оператора к1%, второго – к2%, третьего – к3%. При наборе была сделана ошибка. Найти вероятности сделать ошибку первым, вторым и третьим оператором.

5. Дана вероятность р того, что пара обуви окажется первого сорта.

Найти вероятность того, что из n взятых пар обуви m окажется первого сорта.

6. Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется первого сорта, равна р. Определите вероятность того, что среди n пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее m1 и не более m2.

Таблица 7. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (в первой строке указаны возможные значения величины Х, во второй строке даны вероятности р этих значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение.

8. В задаче случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(x). Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x); 2) математическое ожидание М(Х); 3) дисперсию D(X).

9. Заданы две случайные величины x и y:

а) построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения;

б) проверить гипотезы о нормальном законе распределения величин x и y, равенстве математического ожидания µ заданному µ = µ0; равенстве генеральной дисперсии заданной 2=02; равенство дисперсий двух генеральных совокупностей x и y; равенство математических ожиданий двух генеральных совокупностей х и y;

в) рассчитать парный коэффициент корреляции между совокупностями х и y, проверить значимость парного коэффициента корреляции;

построить доверительный интервал для парного коэффициента корреляции;

г) проверить, при = 0,05, значимость уравнения регрессии;

- с надежностью 0,95 найти интервальные оценки параметров 0 и 1 ;

- с надежностью 0,9 установить интервальную оценку математического ожидания ~ при x 0 ;

- при = 0.9 определить доверительный интервал предсказания y n+ Таблица Продолжение таблицы Продолжение таблицы Продолжение таблицы 10. Заданы корреляционные матрицы. Определить оценки частных и множественных коэффициентов корреляции, проверить их значимость и построить интервальные оценки.

Список использованных источников 1. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика. -М.: МЭСИ, 1996.-387с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000,-400с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2000, -479с.

4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М:

Высшая школа, 1998. –336с.

5. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ИНФРА. 1999,-302с.

6. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. и др. Теория вероятностей и математическая статистика.(Учебное пособие). –М.:МЭСИ. 1998, Таблица 1- Нормальный закон распределения. Значения функции Ф(t) = P( T t табл. ) Продолжение таблицы Продолжение таблицы Продолжение таблицы Продолжение таблицы Продолжение таблицы Таблица 4 - Распределение Фишера - Снедекора ( F-роаспределение) Значения F табл.,удовлетворяющие условию Р(F F табл. ). Первое значение соответствует вероятности-0,05, второе - 0,01 и третье - вероятности 0,001, где 1 число степеней свободы числителя, а 2 -число степеней свободы Продолжение таблицы Продолжение таблицы Продолжение таблицы Таблица 5- Фишера-Иейтса. Значения rкр, найденные для уровня значимости и чисел степеней свободы = n- в случае парной корреляции и = n– l-2, где l- число исключенных величин в случае парной корреляции Таблица 6 - Z-преобразования Фишера Z = 2 { ln(1+r) – ln(1-r)}

 
Похожие работы:

«История России. Теории изучения. Книга вторая. Двадцатый век. Учебное пособие. /Под. ред. Б. В. Личмана. Екатеринбург: Изд-во “СВ-96”, 2001 г. – 304 с. Часть III. СОЮЗ СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК (1922-1985) Глава 1 Россия в 20-е годы i[1] После окончания гражданской войны в Советской России начался Государство острейший социально-политический кризис, вызванный и право недовольством крестьян политикой военного коммунизма. Крестьянские выступления против продразверстки зимой 1920/21 гг....»

«Министерство образования и науки РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Уральский государственный экономический университет Колледж УТВЕРЖДАЮ: Директор Колледжа: _ В.А. Мезенин Методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине Статистика для студентов заочной формы обучения специальностей: Экономика и бухгалтерский учет, Менеджмент, Банковское дело, Земельно-имущественные отношения Екатеринбург 2010 Методические рекомендации...»

«Ю.Н.Пахомов А. С. Филипенко Д. Г. Лукьяненко Ю. В. Макогон С. В. Громенкова КИЕВ – ДОНЕЦК - 2001 Министерство образования и науки Украины Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко Киевский национальный экономический университет Донецкий национальный университет Ю.Н.Пахомов А. С. Филипенко Д. Г. Лукьяненко Ю. В. Макогон С. В. Громенкова МЕЖДУНАРОДНЫЕ СТРАТЕГИИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Под общей редакцией академика НАН Украины, д.э.н., профессора Ю.Н. Пахомова...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ по курсу МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ для студентов дневного отделения специальности 080116 Математические методы в экономике IV курс...»

«Кафедра государственного и муниципального управления Список методичек по специалитету (4 и 5 курсы) Курс Методическое пособие Муниципальное право Методические указания по написанию контрольных работ.Тамодлин А.А.- 2008.- 24 с. Государственное регулирование Методические указания по написанию контрольных работ.экономики Лукьянова В.В.- 2008.- 19 с. Учебное пособие Лукьянова В.В., Попов А.Н, - 2009. 127 с. История государственного управления История государственного управления в России. в России...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫХ И ПИЩЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ Кафедра автоматики и автоматизации производственных процессов РАЗРАБОТКА ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССАМИ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ Методические указания к практическим занятиям по курсовому проектированию для студентов специальности 210200 и направления 550200...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ А. В. Матвеев УПРАВЛЕНИЕ ОХРАНОЙ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ Учебное пособие Санкт-Петербург 2003 УДК 502 ББК 20.18 М33 Матвеев А. В. М33 Управление охраной окружающей среды: Учеб. пособие /СПбГУАП. СПб., 2003. 112 с.: ил. Учебное пособие предназначено для изучения дисциплины Управление охраной...»

«Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра экономики Афонасова М.А. ПЛАНИРОВАНИЕ НА ПРЕДПРИЯТИИ Методические рекомендации по проведению практических занятий и организации самостоятельной работы студентов Томск 2012 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение 1 Особенности организации практических занятий и самостоятельной 2 работы студентов...»

«М и н и стер ство обр азов ан и я и науки Р осси й ск ой Ф едер ац и и ГО С У Д А РС ТВЕН Н О Е О БРА ЗО ВА ТЕЛ ЬН О Е У Ч РЕЖ Д ЕН И Е ВЫ СШ ЕГО П РО Ф Е С С И О Н А Л Ь Н О ГО О БРА ЗО ВА Н И Я РО ССИ Й СКИ Й ГОСУДАРСТВЕННЫ Й ГИ ДРО М ЕТЕО РО Л О ГИ ЧЕСКИ Й УН ИВЕРСИ ТЕТ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А ЗА Н И Я по выполнению курсовой работы по дисциплине Бухгалтерский учет для высших учебных заведений по специальностям; 061100 - Менеджмент организации 060800 - Экономика и управление на...»

«Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибаДИ) Кафедра общей экономики и права ТРАНСПОРТНОЕ П Р А ВО Учебно-методическое пособие Составитель Л.П. Казакевич Омск Издательство СибАДИ 2008 г. 1 УДК ББК Рецензенты Работа одобрена методической комиссией социогуманитарного совета СибАДИ в качестве учебного методического пособия по дисциплине Транспортное право для студентов факультета Автомобильный транспорт, специальности 050501, 14501,...»

«Федеральное агентство по образованию Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ ПРОГРАММА ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ по специальности 080111.65 Маркетинг Владивосток Издательство ВГУЭС 2009 ББК 67.623 Программа преддипломной практики составлена в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта России. В программе даны организационно-методические рекомендации по прохождению практики и методические указания по составлению и оформлению отчета....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Кафедра Управление и экономика Выполнение контрольной работы по дисциплине Экономика недвижимости Методические указания для студентов экономических специальностей всех форм обучения Кемерово 2005 2 Составители: П.В. Масленников, А.А. Задорожный Рекомендовано методической комиссией экономического факультета Протокол № 2 от 17.01.05 Методические указания предназначены для самостоятельной работы...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Экономика и управление на транспорте В.А. ПОДСОРИН ЭКОНОМИКА НЕДВИЖИМОСТИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Москва – 2009 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Экономика и управление на транспорте В.А. ПОДСОРИН ЭКОНОМИКА НЕДВИЖИМОСТИ Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов специальности 080502 Экономика и управление...»

«УЧЕБНИК Москва - 2003 Ольга Михайловна Писарева МЕТОДЫ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ УЧЕБНИК Москва - 2003 Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ - НФПК ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ УЧЕБНИК МЕТОДЫ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ О.М. Писарева кандидат экономических наук, доцент для студентов специальности Математические методы в экономике -...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОУ ВПО МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА Воронежский филиал УТВЕРЖДАЮ Директор Воронежского филиала д.т.н., профессор Заряев А.В.. 2013 г. Кафедра общегуманитарных и естественнонаучных дисциплин УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по учебной дисциплине ИСТОРИЯ ЗАРУБЕЖНОГО ГОСУДАРСТВА И ПРАВА по направлению: 030500.62 – Юриспруденция Воронеж Автор-составитель: Холодов О.М., к.п.н., доцент Рецензент: Чебаев В.Н., к.ю.н., доцент кафедры...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАМИ В.И.Калядин, А.И.Макаров Основы работы на персональном компьютере ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ПК ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ АВТОМОБИЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра Экономика и управление на транспорте В.А. ПОДСОРИН ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Москва – 2011 ФГБ ОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра Экономика и управление на транспорте В.А. ПОДСОРИН ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ИНВЕСТИЦИЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Москва – 2011 ФГБ ОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра Экономика и управление на транспорте В.А. ПОДСОРИН...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет Кафедра бухгалтерского учета, анализа и аудита Е.В. САТАЛКИНА А.Х. КУРМАНОВА БУХГАЛТЕРСКАЯ (ФИНАНСОВАЯ) ОТЧЕТНОСТЬ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский...»

«Федеральное агентство по образованию Байкальский государственный университет экономики и права Кафедра предпринимательского и финансового права Одобрено Учебно-методической комиссией БГУЭП УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ВНЕШНЕТОРГОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Программа и методические указания по изучению дисциплины Специальность 030501 Юриспруденция; специализация Гражданское право и гражданский процесс; финансовое, банковское, налоговое и валютное...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАРКЕТИНГ Учебно-методическое пособие Составитель И. В. Ильичева Ульяновск 2010 2 УДК 339.1(075) ББК 65.291я7 М 27 Рецензенты: И. П. Лаврентьева – канд. эконом. наук, доцент ФГОУ ВПО Поволжской академии государственной службы имени П. А. Столыпина, филиал г. Ульяновск; В. А. Шалаева – канд. эконом. наук, доцент...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.