WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«CАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»

КАФЕДРА СТАТИСТИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ

О.Ю. БОРОЗДИНА Н.В. ШКУРКО

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»

2

ИЗДАТЕЛЬСТВО

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Рекомендовано научно-методическим советом университета ББК 65. Б Бороздина О.Ю.

Б 83 Учебное пособие по дисциплине «Методы оптимизации» / О.Ю. Бороздина, Н.В. Шкурко. – СПб. : Изд-во СПбГУЭФ, 2012. – 42 с.

В учебном пособии кратко изложены теоретические и методологические основы математических методов оптимизации. Рассмотрен метод линейного программирования в оптимизации производственный процессов.

Применение формул проиллюстрировано конкретными примерами.

Пособие написано без использования сложных математических выводов, что позволит студентам эффективно и в кратчайшие сроки подготовиться к экзамену по данной дисциплине.

Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину «Методы оптимизации» по специальности «Статистика».

ББК 65. Рецензенты: д-р техн. наук, профессор В.В. Трофимов канд. экон. наук, профессор, ЕУСПБ Ю.В. Вымятнина © СПбГУЭФ,

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

1. Введение в теорию оптимизации

1.1. Классификация задач исследования операций

1.2. Определение целевой функции

1.3. Этапы определения оптимального решения

1.4. Оптимизация плана производства

1.5. Задача о распределении ресурсов

1.6. Из истории развития метода «Линейное программирование»...... 2. Оптимизация плана производства предприятия с учетом рациональности использования ресурсов





3. Планирование производства переработки мяса птицы с использованием метода линейного программирования

4. Задачи для самостоятельной работы

Глоссарий

Библиографический список

ПРЕДИСЛОВИЕ

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с множественностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта. Всегда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу – критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, ставится задача минимума затрат при максимуме продукции).

Дисциплина «Методы оптимизации» предназначена студентам 3-го курса специальности «Статистика». Дисциплина направлена как на изучение теоретических основ применения экономико-математических моделей, так и на освоение навыков практического использования расчетных методов.

Лекционная часть курса охватывает основные разделы дисциплины в соответствии со стандартом специальности.

Практические занятия по курсу проводятся в компьютерной аудитории и имеют целью освоение и закрепление навыков построения моделей, организации расчетов, анализа вариантов, поиска решений.

Инструментальной основой проведения практических занятий является табличный процессор Excel.

Целью изучения данной дисциплины является овладение, как необходимыми теоретическими основами экономико-математического моделирования в данной предметной области, так и практическими навыками:

построения соответствующих моделей, их компьютерной реализации, организации и проведения необходимых вариантных и оптимизационных расчетов, интерпретации и анализа результатов, проверки устойчивости полученных результатов, расчета оценки чувствительности полученных результатов к изменению исходных характеристик и параметров моделируемой ситуации.

1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОПТИМИЗАЦИИ

Деятельность отдельных людей и коллективов часто связана с принятием таких решений, которые позволяют получить в некотором смысле наилучший (оптимальный) результат. Например, добиться максимальной прибыли предприятия, оптимально вложить средства, организовать перевозку грузов, распределить материалы для изготовления продукции, организовать контроль качества продукции, затратить минимум средств на питание группы, создать оптимальную сеть сезонных торговых точек и т.д.

При этом в каждой конкретной ситуации необходимо считаться с реальными условиями. Так, предприятие не может обеспечить максимальную прибыль в условиях реальных запасов сырья, его стоимости, конъюнктуры рынка и целого ряда других факторов. Прибыль от инвестиций зависит от уровня инфляции, времени возврата вложенных средств, процента прибыли, состояния рынка и т.д.

В самом общем виде задача оптимального планирования ставится следующим образом. Пусть планируется мероприятие (процесс), которое обычно называют «операцией», преследующее некоторую цель.

Ставится вопрос: как нужно спланировать операцию, чтобы она в рамках существующих ограничений наилучшим образом удовлетворяла поставленной цели?





В задачах оптимального планирования можно выделить:

- искомые переменные или параметры (количество покупаемых продуктов, количество выпускаемой продукции, количество перевозимого груза), - желаемую цель (функцию цели), которую следует оптимизировать (минимизировать затраты на питание, максимизировать прибыль предприятия, минимизировать стоимость перевозки), - ограничения, т.е. условия, ограничивающие возможность достижения желаемой цели (в рационе должны присутствовать определенные компоненты, ограниченные ресурсы предприятия, количество перевозимого товара).

Целевая функция имеет смысл ожидаемой полезности. Задача оптимального планирования называется оптимизационной, или экстремальной задачей.

В задачах оптимизации должны быть выделены характеристики объекта (объектов), которые можно и нужно варьировать для достижения цели. Такие характеристики называются управляемыми переменными, или управляемыми параметрами.

Всякий набор значений управляемых переменных в задаче оптимизации называется решением.

Как упоминалось выше, значения управляемых переменных могут быть ограниченны. Решение, удовлетворяющее наложенным ограничениями, называется допустимым решением. Допустимое решение может быть как хорошим, так и неудачным. Оптимальным называется допустимое решение, которое в силу ряда причин предпочтительнее других, например решение, при котором целевая функция экстремальна.

Также важным является определение неуправляемых переменных, т.е. таких переменных, изменение значений которых не зависит от управляющего субъекта. Так, обсуждая проблему прибыли, следует иметь в виду, что рыночная цена готовой продукции, как правило, не зависит от производителя и является неуправляемой переменной.

Рыночная цена может сильно колебаться, и пренебрежение этой неуправляемой переменной может привести к совершенно ошибочным решениям.

В производственной или коммерческой сфере под целью обычно подразумевают желание максимизировать прибыль или минимизировать расходы, достигнуть высокого уровня обслуживания.

При этом надо понимать, что при решении одной и той же проблемы могут возникать прямо противоположные цели. Например, в промышленной фирме производственный отдел и отдел сбыта должны иметь одну общую цель – достижение максимальной прибыли. Однако отдел сбыта стремится увеличить уровень складских запасов, чтобы удовлетворить спрос даже при резком его повышении, а производственный отдел, напротив, – снизить уровень складируемых запасов, поскольку из-за загруженности складских помещений выпускаемую продукцию придется хранить в цехе. Удовлетворить эти противоречивые требования одновременно невозможно, и встает вопрос о компромиссном варианте, который в максимальной степени соответствовал бы интересам фирмы.

Другой пример. Оптимизируя работу предприятия, с одной стороны, можно исходить из принципа максимизации прибыли; с другой стороны, из принципа минимизации затрат. Два эти принципа не эквивалентны. Это становится ясным, если обратить внимание на то, что затраты, как правило, определяются процессом производства, а прибыль зависит от конъюнктуры рынка.

При постановке задачи оптимизации важно:

- сформулировать преследуемую цель;

- установить, какие переменные можно варьировать для достижения цели (т.е. управляемые переменные и и неуправляемые параметры);

- определить, какие ограничения накладываются на переменные.

1.1. Классификация задач исследования операций Задачи исследования операций классифицируют по их информационным свойствам. Если субъект в ходе принятия решения не меняет своего информационного состояния, т.е. никакой информации не приобретает и не утрачивает, то принятие решения можно рассматривать как мгновенный акт. Такие задачи называются статистическими.

Если субъект в ходе принятия решения изменяет свое информационное состояние, получая или теряя информацию, то в этом случае решение целесообразно принимать поэтапно (многошаговое решение).

Такие задачи называются динамическими.

Задачи исследования операций классифицируют так же по виду целевой функции и по виду ограничений. Если функция цели и система ограничений является линейными, то говорят о линейном программировании, в противном случае возникает задача нелинейного программирования.

В случае квадратичной функции целей и линейной системы ограничений задачу оптимизации называют задачей квадратичного программирования.

Когда функцию цели можно представить в виде суммы таких функций, что каждая зависит только от одной переменной, то рассматривают задачу сепарабельного программирования. Если управляющие переменные принципиально могут быть только целыми числами, то такая задача оптимизации называется целочисленной.

Если функция цели является выпуклой функцией, то такая задача оптимизации называется задачей выпуклого программирования.

Если функция j определяющие ограничения j(x1, x2, …, xN) () bj, в задаче математического программирования являются выпуклыми (вогнутыми) функциями, то они порождают выпуклое множество допустимых решений. Другими словами, задача выпуклого программирования также возникает, когда функция цели – выпуклая функция и ограничения – выпуклые (вогнутые) функции.

Наиболее важными моделями, используемыми при исследовании операций, являются математические модели. Любая модель в задаче исследования операций включает искомые переменные, налагаемые на них ограничения и формулировку цели.

Цель модели определяет целевую функцию, которая задается на множестве допустимых решений D. Само множество D выражает меру осуществления цели:

- если D пусто, то решения не существует;

- если D содержит более чем одно решение, то тогда задача оптимизации заключается в нахождении оптимального решения на множестве допустимых решений.

При этом, если D конечно, то оптимальное решение может быть найдено в результате простого перебора всех точек D и вычисления в них функции цели.

Если D счетно или D является континуумом, то оптимальное решение приходиться искать на бесконечном множестве допустимых решений.

В основе математической модели лежит допущение, что все переменные, параметры, ограничения и целевая функция модели количественно измеримы.

Если переменные X=(x1, x2, …, xN) представляет собой N управляемых переменных, Z=(z1, z2, …, zK) – K неуправляемых параметров и условие функционирования исследуемой системы определяется M ограничениями, то математическая модель может быть записана в следующем виде: найти точку Y=(y1, y2, …, yN), в которой достигается экстремум, минимум или максимум, целевой функции (X,Z):

Еще раз подчеркнем, что задача на условный экстремум обычно имеет смысл, когда MN. Именно в этом случае множество допустимых решений может содержать более одной точки. Подразумевается, что все ограничения независимы. Если какое-либо из ограничений оказывается следствием других ограничений, то оно исключается из системы ограничений.

1.3. Этапы определения оптимального решения Процесс нахождения оптимального решения, как правило, состоит из четырех этапов:

1) формулировки проблемы;

2) построение модели;

3) нахождения оптимального модельного решения;

4) проверки адекватности модели.

На первом этапе – при формулировке проблемы – можно выделить следующие стадии: формулировку цели исследования; выявление возможных альтернатив решения применительно к исследуемой ситуации; определение требований, присущих исследуемой системе условий и ограничений.

На втором этапе – при построении модели – должны быть установлены управляемые параметры, количественные соотношения для выражения целевой функции и ограничений в виде функций от управляемых параметров. Процесс построения математической модели можно начать с ответов на три основных вопроса:

1. Для определения каких величин строится модель, т.е. как выделить переменные (искомые величины) задачи?

2. Какие ограничения по условиям задачи должны быть наложены на переменные?

3. В чем состоит оптимальная цель?

На третьем этапе происходит решение сформулированной задачи. На этом этапе, кроме нахождения оптимального решения, необходимо провести анализ модели на чувствительность, который покажет возможность изменения решения при изменении численных значений параметров системы. Особенно полезен такой анализ, когда значения каких-либо параметров системы точно не известны.

На четвертом этапе проводится проверка адекватности модели. Модель можно считать адекватной, если она способна предсказать поведение системы. Общий метод проверки адекватности модели состоит в сопоставлении модельных результатов с характеристиками системы, которые при тех же исходных условиях система имела в прошлом. Если при аналогичных входных параметрах модель достаточно точно воспроизводит поведение системы, то она считается адекватной.

Однако такой способ непригоден при разработке новых систем, так как нет необходимых данных для проверки модели. Интуитивные методы также могут играть важную роль при оценке адекватности модели.

1.4. Оптимизация плана производства Во многих ситуациях метод линейной оптимизации целесообразно использовать для определения плана производства. В таком случае общая формулировка линейной модели заключается в следующем:

определить оптимальный план производства продукции, учитывающий имеющееся обеспечение материальными, людскими, финансовыми и другими видами ресурсов. План считается оптимальным по какому-то выбранному критерию:

- максимум объема готовой продукции, - минимум использования ресурсов и т.д.

Линейная модель оптимального плана производства имеет вид:

Следует определить объем выпускаемой продукции, обеспечивающий максимальное (или минимальное) значение целевой функции учитывая, что имеющиеся ресурсы подчинены следующим ограничениям:

где N – количество видов выпускаемой продукции;

M – число типов производственных ресурсов;

xi – объем выпуска i-й продукции;

pi – стоимостная характеристика, связанная с выпуском единицы i-й продукции;

aji – удельный вес j-го ресурса, расходуемого на производство i-й продукции;

bj – количество имеющегося ресурса j-го типа;

определяет доходы (или расходы) при производстве продукции.

Линейные модели подобного типа применяется в ситуациях, когда в процессе производства закупка готовых полуфабрикатов или комплектующих может оказаться более выгодной, чем производство их на собственных мощностях. Также линейные модели планирования производства рассматриваются, если учитывается динамика спроса, производства и хранения продукции.

Приведенные далее задачи о распределении ресурсов, загрузке оборудования и ассортименте продукции являются примерами оптимизации плана производства.

Допустим для производства продукции P1, P2,…, PN используются некоторые ресурсы (сырье, оборудование, финансы, рабочая сила) R1, R2,…,RM в количествах b1, b2, …, bM.

Стоимость единицы ресурса равна d1, d2, …, dM рублей. Производство продукции Pi ограничено спросом, который оценивается в количестве Si штук (i= 1, 2,…, N).

Единица продукции Pi может быть продана по цене ci рублей, и для ее производства необходимо aji единиц ресурса Rj (j= 1, 2,…, M). В этой ситуации возникает естественный вопрос: какое количество продукции необходимо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль при ее реализации?

Для удобства запишем сформулированные условия в виде табл. 1.1.

Если j-й ресурс не используется для изготовления продукции Pi, то aji=0.

Опишем данную ситуацию в виде математической модели. Обозначим через X=(x1, x2,…, xN) количество единиц (управляемые переменные) выпускаемой продукции P1, P2,…, PN, которое следует подобрать так, чтобы прибыль от реализации продукции была максимальна.

Параметры задачи о распределении ресурсов ПродукЦена Спрос ресурса ресурса Ясно, что не надо выпускать продукцию больше, чем диктуется спросом, т.е.

Далее, например, количество ресурса R1, израсходованного на производство всех рассматриваемых видов продукции P1, P2,…, PN, будет равно a11x1+a12x2+a13x3+…+a1NxN.

Учитывая, что количество ресурса R1 равно b1, получим ограничение, определяющее расход ресурса R1.

Аналогично записываются ограничения, определяющие фактический расход любого из ресурсов Rj, т.е.

Таким образом, учет ограниченности ресурсов приводит к системе линейных неравенств для переменных x1, x2,…, xN a21x1+a22x2+a23x3+…+a2NxN b2, aj1x1+aj2x2+aj3x3+…+ajNxN bj, aM1x1 + aM2x2+ aM3x3+…+aMNxN bM, которую можно записать в более компактной форме Очевидно, что количество единиц производимой продукции не может быть отрицательным числом, поэтому систему ограничений (1.5) и (1.8) необходимо дополнить естественными ограничениями Найдем зависимость прибыли от объема выпускаемой продукции X. Прибыли (X), получаемая от реализации продукция, определяется разностью между ценой произведенной продукции и ее себестоимостью.

Цена произведенной продукции равна pixi, ее себестоимость, зависящая от расхода и стоимости использованных ресурсов, имеет вид djajixi (внутренняя сумма определяет объем использованного ресурса Rj). Поэтому прибыль (X) от реализации всей продукции X есть В итоге получаем математическую форму записи рассматриваемой задачи о распределении ресурсов: определить количество выпускаемой продукции x1, x2,…, xN, которое удовлетворяет линейным неравенствам (1.5-1.10) и обеспечивает максимум прибыли, в соответствии с линейной целевой функцию (1.11), (X)max.

1.6. Из истории развития метода «Линейное программирование»

В 1938 г. перед профессором Ленинградского государственного университета Л.В. Канторовичем была поставлена задача: как наилучшим образом распределить работу восьми станков фанерного треста при условии, что известна производительность каждого станка фанерного по любому из пяти видов обрабатываемых материалов? Он нашел метод решения этой задачи, ставший общепринятым и получивший название «Линейное программирование».

За разработку этого метода Л.В. Канторовичу, В.С. Немчинову и В.В. Новожилову в 1965 г. была присуждена Ленинская премия.

В 1975 г. Л.В. Канторович и американец Т. Купмас получили Нобелевскую премию за вклад в теорию оптимизации распределения ресурсов.

Методы линейного программирования применялись и одновременно развивались во время Второй мировой войны для планирования военных операций. В 1938 г. В США был введен термин «исследование операций» для характеристики род деятельности исследовательской группы, выполнявшей работы по анализу военных систем, в частности, для решения задачи оптимального использования радиолокационных установок в общей системе обороны страны.

Сегодня линейное и, шире, математическое программирование – один из основных методов принятия производственно-экономических решений.

Также существуют другие методы, используемые при принятии оптимальных решений: теория игр и статистических решений, метод Монте-Карло (метод статистических испытаний), теория массового обслуживания, сетевое планирование и др. Все эти методы в совокупности объединяются в математической дисциплине под названием «Исследование операций».

2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА ПРЕДПРИЯТИЯ

С УЧЕТОМ РАЦИОНАЛЬНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ

В современных рыночных условиях проблема принятия решения постоянно возникает перед управляющими производством и экономистами. В связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования предприятия возникает необходимость решения оптимизационных задач, когда возникает ситуация выбора варианта, который будет наилучшим по некоторому правилу, иначе говоря критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией.

Одной из самых важных производственных задач на предприятии является задача оптимизация плана производства. Рассмотрим конкретную задачу по оптимизации плана выпуска предприятия. Заметим, что мы вводим условное обозначение предприятия с целью конфиденциальности, опираясь на данные реального предприятия, которое занимается переработкой и реализацией продукции из куриных тушек. Суть задачи состоит в определение оптимального плана производства продукции, с учетом учитывающегося имеющегося обеспечение материальными, людскими, финансовыми и другими видами ресурсов. В качестве критерия оптимальности плана производства будем задавать максимум прибыли.

Возможны и иные критерии, как минимум расходов, максимум объема готовой продукции или минимум использования ресурсов.

Рассмотрим данные одной смены. В планируемом периоде, т.е.

за смену предприятие должно обеспечить производство не менее 32 т продукции для реализации. Цена каждого вида продукции, и удельный выход из 100 кг сырья для каждого из трех возможных вариантов разделки и обработки куриной тушки представлены в табл. 2.1.

Итоговый показатель * Примечание: технические потери безвозвратны и в расчетах не используются.

Итоговый показатель в первых колонках вариантов – средняя цена реализации и во вторых колонках – общий выход по варианту из 100 кг сырья.

Введем следующие обозначения:

xi – количество произведённой продукции i-го варианта, кг; используемые ресурсы Rj; ресурс R1 – объём первичного сырья в количестве b1 кг, R2 – трудовые ресурсы в количестве b2 чел., R3 – оборудование в количестве b3 машин. Стоимость единицы ресурса равна dj рублей. Производство продукции хi ограничено спросом, который определяется в количестве Si штук (i =1, 2, 3); S – суммарная потребность в изделиях, кг. Единица продукции варианта xi сможет быть реализована по средней цене сi рублей и для её производства необходимо aij единиц ресурса Rj (j = 1, 2, 3). Для удобства запишем сформулированные условия в табличном виде (см. табл. 2.2).

Условные обозначения для оптимизационной задачи Количество продукции ресурса ресурса Экономико-математическая модель нашей оптимизационной задачи в принятых символах будет иметь следующий вид. Так как надо выпускать продукции не больше, чем диктуется спросом, то имеют место неравенства (2.1) и (2.2).

Ограничения, определяющие фактический расход сырьевых и трудовых ресурсов и ресурсов по оборудованию, имеют вид системы трёх линейных неравенств для переменных x1, x2, x3.

Запишем систему ограничений ресурсов (2.3) в более компактной форме:

Количество единиц производимой продукции не может быть отрицательным числом, поэтому на (2.1) – (2.3) накладывается условие (2.4).

Прибыль f (x1, x2, x3), получаемая от реализации продукции, определяется разностью между ценой реализованной продукции и ее себеpi хi, ее себе- стоимостью. Цена произведенной продукции равна стоимость, зависящая от расхода и стоимости использованных ресурсов, имеет вид aij xi. Внутренняя сумма определяет объем испольdj зованного ресурса Rj. Поэтому прибыль f(Х) от реализации всей продукции определяется следующей целевой функцией:

где aij d j – себестоимость продукции варианта хi.

Таким образом, выражение (2.5) представляет собой математическую форму записи оптимизационной задачи о распределение ресурсов и обеспечении максимума прибыли.

Данные о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства продукции каждого из трех вариантов, и доходах, получаемых предприятием, приведены в табл. 2.3. Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая прибыль максимизируется.

Исходные данные для оптимизации плана производства ресурса ресурса Предприятие имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. В нашем случае, например, ресурсы трех видов – трудовые ресурсы, сырье и оборудование – имеются в количестве, соответственно, 32 чел. в смену, 32000 кг сырья и 8 машин в смену. Предприятие может выпускать более 11 различных позиций ассортимента (см. табл. 2.1).

Составим математическую модель оптимизации плана производства с ограничениями по ресурсам для наших конкретных данных, представленных в табл. 2.3.

При выполнении расчетов с использованием Поиск решения, надстройки EXCEL, которая позволяет решать оптимизационные задачи, получили следующие результаты. Наибольшая прибыль от реализации возможна в обычные дни (понедельник-пятница), т.к. наблюдается стабильный спрос на продукцию 1 и 2 варианта, которые имеют меньшие затраты по всем ресурсам, чем 3 вариант (см. табл. 2.4). В этом случае прибыль от реализации составляет до 262301,75 руб.

Вариант разделки Вариант разделки Прибыль зации, Тем не менее, в выходные и праздничные дни возрастает спрос на продукцию варианта 3 и падает на продукцию варианта 1 и 2. Но, так как вариант 3 более затратный по сырью, трудовым ресурсам и оборудованию, то прибыль реализации уменьшается до 253830,50 руб.

Следует отметить, что без учета расхода и стоимости использованных ресурсов, наиболее выгодным выходит вариант 3, т.к. он имеет наибольшую стоимость реализации за 1 кг. Но это ошибочный подход при поиске оптимального плана производства без учета использования ресурсов. Многие специалисты считают, что можно справиться с ситуацией на интуитивном уровне. На самом деле это далеко не так. Неоптимальность решения в производственных задачах на основе интуитивных соображений, как правило, приводит к значительным потерям прибыли и нерациональному использованию ресурсов. Таким образом, при поиске наилучшего решения нам удалось построить модель для решения поставленной задачи и с ее помощью найти оптимальное решение.

3. ПЛАНИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВА ПЕРЕРАБОТКИ МЯСА

ПТИЦЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для организаций, занимающихся выращиванием птицы, важно сформировать оптимальный план производства для получения максимальной прибыли с учетом производственных и рыночных ограничений.

С одной стороны, имеются определенные предпочтения для различных способов переработки мяса птицы в зависимости от веса тушки птицы. Например, птицу с наименьшим весом, имеющую небольшой выход по мясу, более рационально отправлять на глубокую переработку; птица со средним весом пользуется спросом при продаже тушки целиком, а наиболее крупную птицу целесообразнее разделывать на части. Кроме того, с разными видами переработки тушки птицы связаны различные производственные затраты.

С другой стороны, одним из существенных факторов производственного процесса является реальный спрос на различные виды продукции птицеводства (фарш, тушка целиком, разделка), который отличается в разные периоды времени реализации продукции (будние или выходные и праздничные дни).

Для формирования оптимального производственного плана важно своевременно принимать управленческие решения, состоящие в том, в какой период, и какую именно весовую группу птицы следует направить на тот или иной вид переработки.

Для решения этой производственной задачи мы предлагаем использовать методы математического моделирования. К фундаментальным работам по исследованию операций следует отнести работы Вагнера (Вагнер, 1972) и Вентцеля (Вентцель, 1972), в которых подробно изложены основные концепции исследования операций и рассмотрены методы оптимизации управляющих решений с помощью аппарата линейного программирования.

Нами разработана методика планирования производства переработки мяса птицы на основе метода линейного программирования, которая включает в себя восемь этапов:

группировка голов птицы по весовым категориям;

расчёт выхода продукции в убойном весе по каждой весовой определение количества готовой продукции по видам в зависимости от варианта переработки мяса птицы;

определение себестоимости переработки мяса птицы;

определение цены произведенной продукции;

расчёт прибыли от реализации всей продукции;

определение коэффициентов iq в зависимости от спроса на различные виды продукции;

составление оптимального плана производства переработки мяса птицы.

Введём необходимые обозначения и рассмотрим решение этой задачи, как в общем виде, так и на примере данных конкретного предприятия.

1 этап. Группировка голов птицы по весовым категориям.

На основе репрезентативной выборки птиц, их взвешивания и сравнения показателей с оптимальными показателями веса для данного возраста, была проведена группировка голов птицы по весовым категориям и вся совокупность была разделена на семь групп (см. табл. 3.1).

Группировка по весовым категориям тушек птицы птицы ки, кг Доля тушек i-й весовой категории в совокупно- 3,46 8,19 14,56 53,65 11,28 7,63 1, сти, % Распределение живого веса тушек птицы соответствует нормальному распределению. Наибольшее число птицы относится к четвертой весовой категории со средним живым весом тушки 2,2 кг. В течение месяца на птицеперерабатывающем производстве N-й птицефабрики было забито 514 979 голов цыплят бройлера и в итоге было получено 800 тонн мяса птицы в убойном весе.

2 этап. Расчёт выхода продукции в убойном весе по каждой весовой категории птицы (см. табл. 3.2):

xi li f i mi li zi где xi – выход продукции из птицы i-ой категории, i 1, 2,..., n ; li – число голов i-й категории; mi – средний живой вес тушки птицы i-й категории; fi – процент выхода от живого веса тушки i-й категории;

zi fi mi – средний убойный вес тушки птицы i-й категории.

Расчёт выхода продукции в убойном весе по весовым категориям птицы птицы 3 этап. Определение количества готовой продукции по видам в зависимости от варианта переработки мяса птицы.

В нашем примере тушки семи весовых категорий используются для трех вариантов производства переработки мяса птицы: 1) глубокая переработка; 2) тушка целиком; 3) разделка тушки. Пусть xij – количество продукции по j-му варианту переработки мяса птицы i-й категории, где j=1,2, 3.

В результате этих трех видов переработки мяса птицы получают следующие виды продукции: 1) условно готовая продукция; 2) тушка птицы целиком; 3) бедро; 4) голень; 5) филе; 6) крыло; 7) спинка.

Бедро, голень, филе, крыло и спинка представляют собой отдельные части тушки, полученные при разделке тушки. Пусть yv – количество v-го вида продукции, где v=1,2 …p.

Тушки различных весовых категорий используются для производства разных видов продукции. Так, тушки первой и второй весовых категорий полностью направляются на глубокую переработку. Тушки шестой и седьмой весовых категорий используются только для разделки тушки. Тушки третьей, четвертой и пятой весовых категорий можно распределять на все три рассматриваемых варианта производства переработки мяса птицы в зависимости от рыночного спроса на соответствующие виды продукции.

Для третьей, четвертой и пятой весовых категорий тушки птицы введем коэффициенты, показывающие долю тушки птицы определенной весовой категории в производстве различных видов продукции. Эти коэффициенты могут быть представлены в виде следующей матрицы:

где [0;1] – коэффициент, характеризующий долю тушки птицы i-й весовой категории в q-м варианте производства; i 3, 4,5 – весовые категории тушки птицы; q 1, 2,3 отражает соответственно варианты производства переработки мяса птицы: глубокая переработка, тушка целиком и разделка тушки. Для i-й весовой категории выполняется условие 1.

Условно готовая продукция в виде фарша для последующего производства колбас получается не только при глубокой переработке тушки птицы целиком, но и в результате разделки тушки. Так, например, гузка, коленный сустав, киль и другие части птицы, оставшиеся после отделения бедра, голени, филе, спинки и крыльев также идут на глубокую переработку. Примем долю выхода фарша при глубокой переработке тушки птицы целиком равной 0,7. Тогда количество произведенной условно готовой продукции (фарша) будет определяться следующим уравнением:

– доля выхода технических отходов (киль, гузка, коленный сустав и др.) от тушки птицы i-й категории, направляемых на глубокую переработку, в убойном весе при разделке тушки.

Значения долей выхода технических отходов от тушки птицы четвертой–седьмой весовых категорий, соответственно, равны h4 =2,24%, h5 = 2,06 %, h6 = 1,91 % и h7 = 1,79 %.

Производство тушек птицы целиком будет определяться следующим уравнением:

Количество готовой продукции, представляющей собой отдельные части тушки птицы (бедро, голень, филе, крыло, спинка) определится следующим уравнением:

g 1, 2... 5 – номер части тушки, относящийся соответственно к бедру, голени, филе грудки, крыльям и спинке. В качестве коэффициентов были использованы соответствующие нормативы 1.

4 этап. Определение себестоимости переработки мяса птицы, которая зависит от объема и стоимости использованных ресурсов (см. раздел 3 пособия).

Справочник по содержанию бройлерного стада ROSS 308. Aviagen, Newbridge, Midlothian, EH28 8SZ, Scotland, UK. 2007.

В качестве ресурсов в нашей модели будут учитываться сырье, труд и оборудование. Введем следующие обозначения: ресурс R1 – объм первичного сырья в количестве b1, кг; R2 – трудовые ресурсы в количестве b2, чел.; R3 – оборудование в количестве b3, машин (см.

табл. 3.3). Для производства продукции yv по j-му варианту переработки мяса птицы необходимо ajk единиц ресурса Rk, k = 1, 2, 3. Стоиdk a jk yv себестоимость всей продукции.

Исходные данные для оптимизации плана производства Количество сурса на месяц ницы ресурса 5 этап. Определение цены произведенной продукции.

Единица продукции w-го вида, w 1, 2,...,7, может быть реализована по средней цене сw, руб. Отпускные цены реализации рассматриваемых в модели видов продукции представлены в табл. 3.4. Тогда выручка от реализации произведенной продукции будет опредеy' w Отпускные цены на производимую продукцию 6 этап. Расчёт прибыли от реализации всей продукции производится по формуле:

Прибыль определяется как разность между выручкой от реализации произведенной продукции и ее себестоимостью. Выручка от реализации произведенной продукции равна p w y ' w. Себестоимость с учетом мы определяют объем использованного ресурса Rk, k = 1, 2, 3.

спроса на различные виды продукции (условно готовая продукция, тушка целиком, бедра, голени, грудка и т.д.) в разные периоды времени (см. табл. 3.5).

Спрос на различные виды продукции в зависимости от периода, кг дельник–пятница) ничные дни Коэффициенты iq находятся в результате решения линейной оптимизационной задачи, математическая модель которой имеет следующий вид:

8 этап. Составление оптимального плана производства переработки мяса птицы.

При выполнении расчетов с использованием надстройки EXCEL Поиск решения, при помощи которой можно находить решение для оптимизационных задач, были получены следующие результаты (см. табл. 3.6):

Определение оптимального плана производства Будние дни 0,3213 0,6787 Выходные и 0,2502 0,7498 праздничные * Примечание: при расчёте прибыли учитывались только указанные выше затраты, т.к. остальные затраты не зависят от варианта разделки тушки и могут быть учтены предприятием после применения оптимизационной модели.

Таким образом, в результате применения разработанной модели определен оптимальный план производства переработки мяса птицы с учетом спроса в будние и выходные и праздничные дни. В будние дни 32,13% тушек птицы третьей весовой категории целесообразно направить на глубокую переработку и 67,87% – на производство тушки целиком. Тушки птицы четвертой весовой категории необходимо распределить в следующих пропорциях: 47,08% – на производство тушки целиком и 52,92% – на разделку тушки. Тушки птицы пятой весовой категории необходимо в полном объеме использовать для разделки тушки.

В соответствии с данными о спросе на продукцию конкретной организации птицеводческой отрасли в выходные и праздничные дни по сравнению с будними днями наблюдалось увеличение спроса на тушки целиком и снижение спроса на условно готовую продукцию и продукцию разделки тушки птицы по частям. В результате изменения структуры спроса в нашей модели произойдет изменение коэффициентов iq, то есть будет иметь место иное перераспределение тушек птицы третьей, четвертой и пятой весовых категорий на различные виды переработки мяса птицы. Так, в выходные и праздничные дни 25,02% тушек птицы третьей весовой категории будут направлены на глубокую переработку и 74,98% – на производство тушки целиком. Оптимальной пропорцией для тушек птицы четвертой весовой категории будет следующей: 70% тушек птицы четвертой весовой категории – на производство тушки целиком и 30% – на разделку тушки. Тушки птицы пятой весовой категории так же как и в будние дни будут в полном объеме направляться на разделку тушки.

В заключение подчеркнем, что в результате применения математического моделирования, а именно линейного программирования, руководство предприятия имеет возможность быстро отреагировать на изменение спроса на реализуемую продукцию на рынке и принять научно обоснованные управленческие решения по планированию объемов производства для получения максимальной прибыли. Представленная в данной работе методика планирования производства переработки мяса птицы позволяет оптимизировать производственные процессы и рационально использовать ресурсы, что так же как и получение максимальной прибыли является приоритетными задачами для любого работающего и развивающегося предприятия птицеводческой отрасли.

4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Номер Вашего варианта соответствует последней цифре зачетной книжки.

ЗАДАНИЕ

Используя Поиск решения, решить задачу оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.

В задаче по своему варианту требуется определить:

1. План выпуска продукции из условия максимизации ее стоимости.

2. Ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.

3. Максимальный интервал изменения запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура оптимального решения, т.е.

номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменений.

4. Суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия. Выпуск какой продукции нерентабелен?

5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?

6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли.

7. Интервалы изменения цен на каждый вид продукции, при которых сохраняется структура оптимального плана.

8. На сколько нужно снизить затраты каждого вида сырья на единицу продукции, чтобы сделать производство нерентабельного изделия рентабельным?

Кроме того, в каждом варианте необходимо выполнить еще два пункта задания.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и прибыль от реализации каждого продукта приведены в таблице.

Тип сырья сливочное 9. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 ед., соответственно, и уменьшении на 3 ед. сырья III вида?

10. Целесообразно ли включать в план изделие Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

Тип сырья 9. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 120 и 160 ед., соответственно, и одновременном уменьшении на 60 ед. запасов сырья III вида?

10. Целесообразно ли включать в план изделие Д ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

экстракт оливковое 9. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 ед. каждого?

10. Целесообразно ли включать в план изделие Г ценой 13 ед., на изготовление которого расходуется, соответственно, 1, 3 и 2 ед. каждого вида сырья, и изделие Д ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

Тип сырья 9. Как изменится общая стоимость продукции и план выпуска при увеличении запасов сырья I и П вида на 8 и 10 ед., соответственно, и одновременном уменьшении на 5 ед. запасов сырья Ш вида?

10. Целесообразно ли включать в план изделие Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

На основании информации, приведенной в таблице, была решена задача оптимального использования ресурсов на максимум общей стоимости.

9. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 ед.?

10. Целесообразно ли включать в план изделия IV вида, на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида ресурсов ценой 70 ед.?

На предприятии выпускается три вида изделий и используется при этом три вида сырья.

9. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II вида – уменьшить на 9 кг?

10. Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 11 ед., если нормы затрат сырья составляют 9, 4 и 6 кг?

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы и цена каждого продукта приведены в таблице.

Ресурсы 9. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 24 кг?

10. Целесообразно ли выпускать изделие IV вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов составляют 8, 4, 20 и 6 ед.?

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Затраты на изготовление единицы продукции приведены в таблице; там же указан общий фонд рабочего времени, а также цена изделия каждого вида.

оборудования 9. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если фонд времени шлифовального оборудования увеличить на 24 ч?

10. Целесообразно ли выпускать изделие Д ценой 11 ед., если нормы затрат оборудования составляют 8, 2 и 2 ед.?

На предприятии выпускается три вида изделий, используется при этом три вида сырья.

Тип сырья 9. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 80 кг, а II вида уменьшить на 10 кг?

10. Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 7 ед., если нормы затрат сырья составляют 2, 4 и 3 кг?

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

Тип сырья изделия 9. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 100 кг, а II вида – уменьшить на 150 кг?

10. Целесообразно ли выпускать изделие Д ценой 10 ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 кг?

ГЛОССАРИЙ

Альтернативные оптимумы. Оптимизируемая модель имеет несколько оптимальных решений.

Анализ чувствительности. Исследование воздействия на оптимальное решение (значения переменных решения и значение целевой функции) изменений различных параметров модели.

Анализ чувствительности. Определение степени воздействия, оказываемого (незначительным) изменением внешней переменной на другую переменную.

Аналоговая модель. Модель, использующая различные средства для представления значений действительных величин (например, положение стрелок часов на циферблате для представления времени).

Вероятностная модель. Модель, в которой некоторые данные не являются достоверно известными, их неопределенность описывается посредством вероятностных распределении.

Вероятностное распределение. Способ определить вероятность того, что случайная величина примет конкретное числовое значение.

Внешние переменные. Количественные переменные, значения которых определяются вне символической модели, входы символической модели.

Внутренние переменные. Количественные переменные, значения которых определяются внутри символической модели, выходы символической модели.

Графический метод решения. Двухмерный геометрический анализ моделей ЛП с двумя переменными решения.

Данные. Числовые данные, которые количественно отражают взаимосвязи факторов управленческой ситуации.

Детерминированная модель. Модель, в которой все данные достоверно известны.

Диапазоны целевых коэффициентов. Задают диапазоны изменений коэффициентов целевой функции, при которых оптимальное решение не изменяется.

Динамическая модель. Модель, связывающая принятие решений в течение нескольких временных периодов, когда принятые в более ранние периоды времени решения оказывают влияние на последующие допустимые решения.

Дискретное равномерное распределение. Вероятностное распределение, задающее равные вероятности всем членам конечного множества чисел.

Допустимая область. Множество значений переменных решения, удовлетворяющих всем ограничениям и условиям неотрицательности одновременно, т.е. множество допустимых решений.

Допустимое решение. Решение, которое удовлетворяет всем ограничениям модели, включая условия неотрицательности. Графически между допустимыми решениями и точками допустимой области существует взаимно однозначное соответствие.

Избыточное ограничение. Ограничение, удаление которого не влияет на допустимую область.

Имитатор. Устройство для экспериментирования, которое имитирует некоторые основные черты поведения реальных систем.

Имитационная модель. Последовательность логических и математических операторов, ведущая к получению оценок определенного множества значений параметров иди переменных решения.

Испытание. Однократное вычисление имитационной модели.

Крайняя точка. Угловая точка допустимого множества. Если задача ЛП имеет решение, всегда существует как минимум одно решение в крайней точке.

Лимитирующее ограничение. Ограничение, для которого значение левой части, вычисленное в оптимальной точке, равно значению правой части.

Линейная функция. Функция, в которую все переменные входят в виде отдельных членов. В такой функции нет степеней, отличных от 1, логарифмических, экспоненциальных, тригонометрических или подобных выражений.

Линейное программирование. Детерминированная модель, состоящая из линейных уравнений и неравенств и одного показателя эффективности (целевой функции), который нужно оптимизировать при наличии заданного набора ограничении.

Модель условной оптимизации. Модель, цель которой состоит в том, чтобы найти значения переменных решения, оптимизирующие целевую функцию при условии соблюдения ограничений.

Невырожденное решение. Решение задачи ЛП, в котором число имеющих положительные значения переменных равно числу лимитирующих ограничений.

Недопустимая модель. Задача ЛП, область допустимых решений которой является пустым множеством. Такая задача не имеет решений.

Неограниченная допустимая область. Допустимая область, в которой по крайней мере одна переменная решения может принимать произвольно большие значения.

Неограниченная модель. Модель ЛП, в которой значение целевой функции может неограниченно увеличиваться (уменьшаться).

Такая модель не имеет решения.

Неограниченная целевая функция. Целевая функция, которая на допустимом множестве может принимать в модели максимизации сколь угодно большие положительные, а в модели минимизации — сколь угодно большие отрицательные значения.

Непрерывное равномерное распределение. Вероятностное распределение, задающее равные вероятности всем действительным числам из конечного интервала.

Ограничение в форме неравенства. Ограничение, требующее, чтобы некая функция переменных решения была больше или равна () или меньше или равна () определенной константы.

Ограничение в форме равенства. Ограничение, требующее, чтобы некая функция переменных решения была в точности равна некоторой константе.

Оптимальное решение:

- Допустимое решение, оптимизирующее целевую функцию (т.е. обеспечивающее максимум или минимум целевой функции);

- Допустимый набор значений переменных решения, оптимизирующий целевую функцию оптимизационной модели;

- Точка допустимой области, в которой целевая функция достигает оптимума (максимума или минимума).

Оптимальное целевое значение (оптимальное значение).

Оптимальное значение целевой функции, т.е. значение целевой функции, вычисленное в точке оптимального решения.

Оптимальный ассортимент продукции. Тоже, что и оптимальный производственный план.

Оптимальный производственный план. Оптимальное решение производственной модели, определяющее оптимальные количества производимых продуктов.

Оптимизационная модель. Детерминированная модель принятия решения, содержащая единственный показатель эффективности (целевую функцию), который необходимо оптимизировать при условии соблюдения набора заданных ограничений.

Оптимизация. Максимизация или минимизация целевой функции.

Оптимизировать. Максимизировать или минимизировать целевую функцию.

Параметр. Внешняя переменная, значение которой не зависит от решений, принимаемых менеджером, а определяется внешней средой.

Параметрический анализ. То же, что и анализ чувствительности.

Переменные затраты. Затраты, значения которых будут определяться выбранным решением.

Переменные решения. Переменные, значениями которых управляет человек, принимающий решение.

Подбор параметра. Нахождение значения внешней переменной, которое приводит к заданному значению внутренней переменной.

Поддержка принятия решений. Процесс использования данных, моделей и результатов их анализа для получения информации, помогающей при принятии решений.

Поиск решения. Надстройка (средство) Excel, которая может оптимизировать табличные модели ЛП.

Показатель эффективности (критерий, целевая функция).

Внутренняя переменная, позволяющая определить, насколько модель близка к цели.

Постановка проблемы. Выявление возможных решений и метод измерения их эффективности.

Правая часть ограничения. Число, стоящее в правой части неравенства, задающего ограничение.

Принятие решений в условиях неопределенности. Принятие решений против природы, когда неизвестны вероятности проявления состояний природы.

Принятие решений в условиях определенности. Принятие решений против природы, когда известно, в каком состоянии будет находиться природа после принятия решения.

Принятие решений в условиях риска. Принятие решений против природы, когда известны вероятности наступления каждого возможного состояния природы.

Промежуточные переменные. Внутренние переменные модели, созданные для удобства, которые математически комбинируются с другими переменными, чтобы получить выходы модели – показатель эффективности и результирующие переменные.

Профиль риска. Для конкретного решения профиль риска показывает все возможные выходы (значения платежей) с соответствующими вероятностями. Обычно профиль риска представляется в виде графика.

Процесс моделирования. Итеративный процесс абстрагирования, построения модели, ее анализа и интерпретации, дополненный интуицией и суждениями менеджера, призванный содействовать принятию решений.

Результирующая переменная. Внутренняя переменная, поставляющая дополнительную информацию, которая призвана помочь менеджеру в интерпретации результатов модели.

Решение (переменная решения). Внешняя переменная, значение которой контролирует и определяет принимающий решение менеджер.

Символическая модель (количественная модель). Модель, использующая данные, переменные и математические связи для представления абстрактных ситуаций (например, модель экономики определенной страны).

Символическая модель линейного программирования. Математическое представление модели линейного программирования.

Точка безубыточности. Набор значений входных переменных модели, который приводит к нулевому значению стоимостного показателя эффективности.

Управляемые переменные (управляемые параметры). Характеристики объекта (объектов), которые можно и нужно варьировать для достижения цели.

Неуправляемые переменные. Переменные изменения значений, которые не зависят от управляющего субъекта.

Условие целочисленное. Требование, чтобы одна или несколько переменных модели принимали только целочисленные значения.

Условия неотрицательности. Условия модели, требующие, чтобы переменные решения принимали только неотрицательные (положительные или нулевые) значения.

Физическая модель. Модель, подобная модели самолета, компонентами которой являются физические артефакты, обладающие действительными свойствами моделируемой сущности.

Функция ограничения. Левая часть неравенства, задающего ограничение, зависит от переменных решения.

Целевая функция. Линейная целевая функция, представляющая показатель эффективности, которую необходимо максимизировать или минимизировать.

Целочисленное программирование. Модель, в которой одна или несколько переменных могут принимать только целые значения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алексеев В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи: учеб. пособие / В.М. Алексеев, Э.М. Галлеев, В.М. Тихомиров. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 256 с. (518, Ф 471) 2. Фролькис В.А. Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов. 2-е изд / В.А. Фролькис. – СПб.: Питер, 2002. – 3. Аттеков А.В. Методы оптимизации: учеб. для вузов / А.В. Аттеков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин / под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003.

4. Габасов Р. Методы линейного программирования. И.З: Специальные задачи. 2-е изд. / Р. Габасов, Ф. Кириллова. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – 368 с.

5. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации. Компьютерные технологии / И.Г. Черноруцкий. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 6. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений / И.Г. Черноруцкий – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

7. Аоки М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки. – М.: Мир, 8. Нестеров Ю.Е. Введение в выпуклую оптимизацию / Ю.Е. Нестеров / под ред. Б.Т. Поляка, С.А. Назина. – М.: МЦНМО, 9. Калиткин И.Н. Численные методы: учеб. пособие / И.Н. Калиткин. – 2-е изд., исправленное. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 10. Агольцов В.П. Математические методы в программировании:

учебник / В.П. Агольцов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.:

ИД «ФОРУМ», 2010. – 240 с.

11. Измаилов А.Ф. Численные методы оптимизации / А.Ф. Измаилов, М.В. Солодов. – М.: Физматлит, 2008.

12. Крюкова О.Г. Численные методы линейной алгебры / О.Г.

Крюкова., Г.С. Шевцов, Б.И. Мызникова. – М.: Финансы и статистика, 2008.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ»

Подписано в печать 05.07.12. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л. 2,7. Тираж 230 экз. Заказ 333. РТП изд-ва СПбГУЭФ.

Издательство СПбГУЭФ. 191023, Санкт-Петербург, Садовая ул., д. 21.



Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса В.И. ДУЛЕПОВ О.А. ЛЕСКОВА ЭКОСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие Владивосток Издательство ВГУЭС 2006 ББК 65.01 Д 79 Дулепов В.И., Лескова О.А. Д 79 ЭКОСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ: Учеб. пособие. – Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2006. – 248 с. Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой курса, а также требованиями образовательного стандарта России к учебной дисциплине...»

«ББК 65.290-2 С 83 Страхова О.А. Организационное поведение: лидерство и личная эффективность руководителя: Учебное пособие. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2009. – 168 с. В учебном пособии рассмотрены основные проблемы организационного поведения: лидерство нового века; менеджер в организации; формирование лидерского поведения – основа эффективного управления персоналом; мотивационное поведение; эффективная команда; делегирование полномочий; управление конфликтами. Отражаются основные тенденции изменения...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ И ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ В ЛОГИСТИКЕ для направления Менеджмент магистратуры 08 02 00 ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО...»

«МИНИСТЕ РС ТВО ОБР АЗОВ АНИЯ И Н АУКИ РОССИЙС К ОЙ ФЕДЕР АЦИИ ГОСУД АР С ТВЕННОЕ ОБР АЗОВ АТЕЛЬНОЕ УЧРЕ ЖДЕН ИЕ ВЫСШ ЕГО ПРОФЕССИО Н АЛЬН ОГО ОБР АЗОВ АНИЯ С АН К Т-ПЕ ТЕРБУРГСКИЙ ГОСУД АРС ТВЕННЫЙ УНИВЕ РСИ ТЕ Т ЭКОНОМИКИ И ФИН АН СОВ К АФЕДР А К ОММЕР ЦИИ И ЛОГИСТИКИ Б.К. ПЛОТКИН Л.А. ДЕЛЮКИН ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЛОГИСТИКЕ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗД АТЕЛЬС ТВО С АНК Т-ПЕ ТЕРБУРГСК ОГО ГОСУД АРС ТВЕНН ОГО УНИВЕРСИ ТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИН АН СОВ ББК 65. П Плоткин Б.К., Делюкин Л.А....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА КОММЕРЦИИ И ЛОГИСТИКИ Методические указания по изучению учебной дисциплины УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ В ЦЕПЯХ ПОСТАВОК для студентов 4 курса вечернего отделения специальности Логистика и управление цепями поставок ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ И ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ И КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬЮ для специальности Менеджмент организации, направление Менеджмент 08.05. для студентов заочного...»

«Л.Н. Краснова, М.Ю. Гинзбург ОрГаНизация, НОрМирОваНие и ОпЛата труда на преДприятиях нефтянОй и газОвОй прОМышленнОсти Допущено УМО по образованию в области производственного менеджмента в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (по отраслям) УДК 331(075.8) ББК 65.24я73 К78 Рецензенты: А.Д. Галеев, начальник отдела инвестиций НГДУ Азнакаевскнефть ОАО Татнефть, канд. экон. наук,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА КОММЕРЦИИ И ЛОГИСТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ЛОГИСТИКА для студентов 4 курса дневного факультета специальности Менеджмент ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Рекомендовано научно-методическим советом...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА И АУДИТА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И АУДИТ для студентов 3-го курса дневного и вечернего отделений по специальности Коммерция ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА УГОЛОВНО-ПРАВОВОЙ ОХРАНЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ КРИМИНАЛИСТИКА (для всех форм обучения) ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ МИНИСТЕРСТВО...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ И ПЛАНИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ИМ. ЗАСЛ. ДЕЯТ. НАУКИ Ю.А. ЛАВРИКОВА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ И ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИЙ УЧЕТ И КОНТРОЛЛИНГ для студентов дневной формы обучения...»

«Костюнина Г.М. Ассоциация стран Юго-Восточной Азии (АСЕАН) // Международная экономическая интеграция: учебное пособие / Под ред. Н.Н.Ливенцева. – М.: Экономистъ, 2006. – С. 226-261. Костюнина Г.М. Ассоциация стран Юго-Восточной Азии (АСЕАН) 1. Цели и направления создания АСЕАН. Результаты интеграционных тенденций в 1960-80-е гг. Ассоциация стран Юго-Восточной Азии - АСЕАН (Association of South East Asian Nations - ASEAN) создана в 1967 г. в составе пяти государств Сингапура, Таиланда, Филиппин,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ ДЕРЕВООБРАБАТЫВАЮЩИХ ПРОИЗВОДСТВ ДРЕВЕСИНОВЕДЕНИЕ С ОСНОВАМИ ЛЕСНОГО ТОВАРОВЕДЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по специальности 080502 Экономика и управления на...»

«Издания Вита-Пресс в 200/10 учебном году К новому учебному году издательство Вита-Пресс подготовило несколько изданий. А.П.КИРЕЕВ Экономика в графиках. Учебное пособие для 10 – 11-х классов Это учебное пособие призвано проиллюстрировать, как с помощью графических примеров экономисты решают загадки окружающего нас материального мира и объясняют главные характеристики реальных экономических проблем. Уникальность данного издания состоит в том, что оно в равной степени полезно как для учащихся,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СРЕДСТВАМИ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ БОРЬБЫ Учебная программа курса для специальности 210305 Средства радиоэлектронной борьбы Владивосток Издательство ВГУЭС 2008 1 ББК 32.841 Учебная программа по дисциплине Системы управления средствами радиоэлектронной борьбы составлена в соответствии с требованиями государственного стандарта...»

«3259 МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра Экономика и логистика на транспорте ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов направления подготовки 080200.62 Менеджмент очной и заочной форм обучения Составитель: Е.И. Плисова О.В. Малышева А.Е....»

«КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИУТ УПРАВЛЕНИЯ И ТЕРРИТОРИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ КАФЕДРА СТРАТЕГИЧЕСКОГО И ФИНАНСОВОГО МЕНЕДЖМЕНТА А.Г.Богданов Методы разработки управленческих решений Учебно-методическое пособие Казань 2009 УДК ББК Б Печатается по рекомендации ученого совета экономического факультета КГУ Рецензенты: Богданов А.Г. Б Методы разработки управленческих решений: Учебно-методическое пособие. – Казань: Издательство КГУ, 2010 – 49 с. В учебно-методическом пособии рассматриваются методы...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ И ПРОИЗВОДСТВАМИ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по специальности 080502 Экономика и управление...»

«ББК 67 З 51 Рецензенты: Т.К. Святецкая, канд. юрид. наук, профессор; Е.А. Постриганов, канд. пед. наук, доцент ЗЕМЕЛЬНОЕ ПРАВО: Практикум / Сост. К.А. Дружина – З 51 Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2006. – 96 с. Практикум по курсу Земельное право составлен в соответствии с требованиями образовательного стандарта России. Изложено содержание курса, дан список рекомендуемой литературы, а также содержатся задачи и задания, необходимые для проведения практических занятий. Для преподавателей и студентов...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА СОЦИОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ ПЕРСОНАЛОМ М.Г. ГИЛЬДИНГЕРШ В.К. ПОТЕМКИН О.Г. ПОСКОЧИНОВА ИННОВАЦИОННЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ ББК 65.290- Г Гильдингерш М.Г., Потемкин В.К., Поскочинова О.Г. Инновационный менеджмент:...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.