WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный университет»

В.П. Максимов

П.М. Симонов

ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Часть 2. Элементы теории линейных операторов и операторных уравнений Учебное пособие Допущено методическим советом Пермского государственного университета в качестве учебного пособия для студентов специальности 061800 – «Математические методы в экономике»

Пермь 2010 УДК 517.982.22:330.4 ББК 22.162 М Максимов, В.П.

М 17 Теория оптимального управления: Ч. 2. Элементы теории линейных операторов и операторных уравнений: учеб. пособие / В.П. Максимов, П.М. Симонов; Перм. гос.

ун-т. Пермь, 2010. 80 с.: ил.

ISBN В сжатой и доступной для экономистов-математиков форме излагаются элементы теории линейных операторов и операторных уравнений в банаховых пространствах. Предполагается предварительное ознакомление читателя с материалом учебного пособия П.М. Симонова «Теория оптимального управления: Ч.1. Элементы функционального анализа. Элементы теории меры и интеграла Лебега. Гильбертовы пространства» (Пермь, 2009).

Излагаемый материал является основой для понимания и усвоения разделов учебной программы по теории оптимального управления.

Для студентов специальности 061800 – «Математические методы в экономике» и направления «Математические методы анализа экономики» магистратуры.

Ил. 7. Библиогр. 10 назв.

УДК 517.982.22:330. ББК 22. Пособие подготовлено с учетом программы развития Пермского государственного университета в рамках национального исследовательского университета по теме «Рациональное природопользование: технологии прогнозирования и управления природными и социально-экономическими системами».

Печатается по постановлению редакционно-издательского совета Пермского государственного университета Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.С. Жуковский (Институт математики, физики и информатики Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина);





доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Кузнецов (Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского);

Издание подготовлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Программы развития НИУ ПГУ и ЗАО «ПРОГНОЗ»

ISBN © Максимов В.П., © Симонов П.М., Оглавление Предисловие.............................. 1. Линейное операторное уравнение и линейные операторы... 2. Роль линейных уравнений в исследовании задач оптимизации. 3. Первые результаты о линейных уравнениях второго рода... 3.1. Принцип Банаха................... 3.2. Теорема об обратном операторе............. 3.3. Применения теоремы об обратном операторе....... 4. Линейные интегральные уравнения второго рода с вырожденным ядром....................... 5. Обобщенный принцип Банаха................... 6. Линейные интегральные Вольтерра второго рода....... 7. Системы линейных интегральных уравнений Вольтерра... 8. Задачи, сводящиеся к линейным интегральным уравнениям Вольтерра....................... 9. Линейные краевые задачи..................... 9.1. Постановка общей линейной краевой задачи........ 9.2. Условие однозначной разрешимости..........

9.3. Представление решения. Матрица Грина........

9.5. Линейные краевые задачи с условиями - неравенствами... 10. Задачи управления для линейных систем............ 11. Задачи импульсного управления................. 11.1. Линейная модель двухотраслевой экономики. Случай 11.2. Импульсное управление за счет внутренних ресурсов системы.

Связь отраслей по импульсному управлению........ 11.3. Общая задача импульсного управления для системы обыкновенных дифференциальных уравнений........ 12. Исследование разрешимости линейных уравнений на основе доказательных вычислений.................. 12.1. Как узнать, существует ли решение........... 12.2. Задачи, сводящиеся к интегральному уравнению...... 12.3. Интегральное уравнение с вырожденным ядром: сведение к системе линейных алгебраических уравнений........ 12.4. Как узнать, существует ли решение интегрального уравнения Материал данного учебного пособия и пособия [1] охватывает подготовительную часть курса «Теория оптимального управления», включающую необходимые сведения из функционального анализа, на основе которых излагается основная часть [2]. Наряду с элементарными сведениями из теории линейных операторов и операторных уравнений, которые можно найти в любом стандартном учебнике по функциональному анализу (см., например: [4-6]), в настоящем пособии излагаются элементы теории краевых задач и задач управления. В качестве упражнений к теоретическому материалу пособия рекомендуются задачи, представленные в [3].

1. Линейное операторное уравнение и линейные операторы 1.1. Уравнение где A : X Y – линейный ограниченный оператор, действующий из банахова пространства X в банахово пространство Y, а f Y – заданный уравнением. Здесь и далее ниже мы рассматриваем только случай вещественных банаховых пространств (см. [1], § 9). Примеры экономико-математических моделей, допускающих запись в виде (1), будут приведены ниже.





Перечислим типичные вопросы, которые возникают у исследователя уравнения (1) в первую очередь.

1. Существует ли решение уравнения (1)? Для уравнения (1), количественных отношений, отрицательный ответ на этот вопрос или отсутствие ответа должны ставить под сомнение адекватность модели.

2. Единственно ли решение уравнения (1)? Отсутствие единственности (наличие множества решений, содержащего более одного элемента) также заставляет вернуться к вопросу об адекватности модели.

3. Как найти точное решение в случае его существования? Как правило, точное решение уравнения (1) удается найти только в исключительных случаях, поэтому чаще возникает вопрос:

4. Как найти приближенное решение? Как найти оценку погрешности приближенного решения, чтобы оценить его 5. Зависит ли решение уравнения (1) от оператора A и правой части f непрерывным образом? Отрицательный ответ на этот вопрос ставит под сомнение корректность модели (1):

малые изменения самой модели могут приводить к существенным (иногда к катастрофическим) изменениям Одна из целей этого учебного пособия — познакомить читателя с условиями, при выполнении которых можно дать ответы на сформулированные вопросы.

1.2. Приведем примеры конкретных уравнений вида (1).

Модель статического межотраслевого баланса представляет собой систему линейных уравнений где xi – объем производства i -й отрасли, bij – коэффициент прямых затрат на производство продукции i -й отрасли с использованием продукции j -й отрасли, yi – конечный продукт i -й отрасли.

После введения вектор-столбцов x col( x1,..., xn ), y col( y1,..., yn ) и матрицы B {bij }i, j1,...,n система (2) принимает вид (1), Если для модели (2) ставится задача: по заданному y найти вектор выпусков x, то формальный положительный ответ на вопросы 1, гарантируется обратимостью матрицы A : x A1 f. Однако такой ответ не всегда соответствует содержательному смыслу модели:

подразумевается, что для вектора компонентами надо найти вектор x (тоже с неотрицательными компонентами (!)), удовлетворяющий системе (2). Таким образом, речь идет о так называемой положительной обратимости матрицы A E B. К условиям такой обратимости мы вернемся в § 4.

Модель динамики основных производственных фондов (ОПФ) системы m отраслей, рассматриваемая на промежутке времени [0, T ].

Обозначим через x (t ) R m вектор ОПФ в момент времени t [0, T ].

Уравнение динамики ОПФ при естественных предположениях можно записать в виде где V – оператор ввода ОПФ, а оператор M моделирует выбытие (амортизацию) фондов. Такой оператор может иметь одно из следующих представлений:

коэффициент амортизации.

б) ( Mx)(t ) M (t, s ) x ( s )ds – интегральный оператор Вольтера, который в отличие от оператора M в а) обладает «памятью»: вектор ( Mx)(t ) зависит от значений x ( s ), принимаемых на всем промежутке [0, t ].

запаздывание.

Оператор ввода ОПФ тоже может быть:

а) локальным (без памяти) б) интегральным или в) с постоянным запаздыванием При наличии внешних дополнительных инвестиций с интенсивностью g (t ) в правой части уравнения (3) появляется соответствующее слагаемое:

В случае а) уравнение (4) – система обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), в случае б) это система интегродифференциальных уравнений (СИДУ), в случае в) – система дифференциальных уравнений с запаздыванием (СДУЗ).

Уравнение (4) вместе с начальным условием x (0) a можно или Последнее уравнение принимает вид (1) после обозначений Уравнение (5) естественно рассматривать в пространстве X Cm [0, T ] непрерывных вектор-функций x :[0, T ] R m с нормой 1.3. Здесь мы приведем список функциональных банаховых пространств, используемых при исследовании динамических моделей.

Начнем с пространств скалярных функций x :[0, T ] R.

1. C [0, T ] пространство непрерывных функций x :[0, T ] R с нормой 2. L [0, T ] пространство суммируемых по Лебегу ([1], § 14) функций (классов функций) x :[0, T ] R, т.е. таких измеримых по Лебегу функций x, что определяется равенством | x(t ) | dt. Это пространство называется пространством функций, суммируемых со степенью p :

x :[0, T ] R, измеримых и ограниченных в существенном: для каждой x L [0, T ] существует такая постоянная K 0 (для каждой своя), что «Почти всюду» (далее – п.в.) означает: для всех t [0, T ], за исключением множества нулевой лебеговой меры. Норма в L [0, T ] определяется равенством vraisup | x (t ) |.

t[0,T ] 5. D[0, T ] пространство абсолютно непрерывных функций x :[0, T ] R, т.е. функций, представимых в виде Норма в этом пространстве определяется равенством Таким образом, || x ||D | x(0) | || x ||L. Равенство (6) устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами x D и элементами {a, z} прямого произведения R L : a x (0), z x и 6. D p [0, T ] пространство абсолютно непрерывных функций x :[0, T ] R с производной x L p [0, T ], 7. D [0, T ] пространство абсолютно непрерывных функций x :[0, T ] R с производной x, ограниченной в существенном:

включению следующим образом:

если p r 1. Здесь и ниже мы опускаем в обозначении пространств отрезок [0, T ], если это не приводит к недоразумениям.

пространства траекторий уравнений динамики, в записи которых участвует производная по времени;

производных от траекторий и пространства управлений в системах управления, где управляющие воздействия как функции времени не обладают свойством непрерывности.

соответствующим пространствам D p и Lp. При этом для определения нормы можно ограничиться в приведенных ранее формулах заменой например, 1.4. Напомним определения некоторых свойств линейных операторов. Пусть A : X Y – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства.

1. Во-первых, оператор A называется линейным, если он обладает свойствами аддитивности:

и однородности:

2. Непрерывность в точке. Говорят, что линейный оператор А непрерывен в точке x0 X, если для любой последовательности, сходящейся к x0 ( xn x0 при n ), имеем Axn Ax0. Здесь xn x0 означает, что || xn x0 || X 0, а Axn Ax0 – что || Axn Ax0 ||Y 0. Говорят, что оператор A непрерывен, если он непрерывен в каждой точке пространства X.

3. Для линейного оператора непрерывность в одной точке влечет непрерывность всюду.

Действительно, пусть A непрерывен в точке x 0 (нуль в пространстве Y ). Возьмем произвольную последовательность {xn }, сходящуюся к элементу x X : xn x. Тогда для z k xk x имеем z k 0 и, значит, Azk 0. Но Azk = Axk Ax 0 означает, что Axk Ax.

4. Оператор A называется ограниченным, если существует такое M 0, что для любого x X верно || Ax ||Y M || x || X.

5. Для линейного оператора ограниченность эквивалентна непрерывности.

Почти очевидно, что ограниченность влечет непрерывность: для Докажем, что непрерывность влечет ограниченность. Допустим, что Очевидно, что yN 0 при N. Далее имеем || AyN ||Y = = 1. Полученное противоречие завершает доказательство.

6. Говорят, что оператор A обратим (имеет обратный), если существует такой оператор B :Y X, что где IY – тождественный (единичный) оператор на пространстве Y, I X – тождественный (единичный) оператор на пространстве X. Такой оператор B : Y X и называется обратным оператором. При этом равенство AB IY определяет линейный правый обратный оператор, равенство BA I X определяет линейный левый обратный оператор.

Если существует не более одного решения x X уравнения Ax f для любого f Y, то говорят, что A – инъекция, т.е. оператор A : X Y является инъективным оператором. Если для любого f Y существует хотя бы один x X такой, что Ax f, то это сюръекция, т.е. оператор A : X Y является сюръективным оператором.

Оператор, являющийся инъекцией и сюръекцией одновременно, называется биективным.

Примеры П.1. Пусть X Y R n, тогда Ax y – система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Как известно, в этом случае справедлива альтернатива Фредгольма: инъективность эквивалентна сюръективности, поэтому условие det A 0 необходимо и достаточно для обратимости оператора A.

Приведем простые примеры, показывающие, что в случае бесконечномерных пространств дело обстоит иначе.

П.2. Рассмотрим оператор ( Ax)(t ) = x( s )ds, запишем уравнение ( Ax)(t ) f (t ), t [0,1] и будем рассматривать его в пространстве C[0,1]. Однородное уравнение ( Ax)(t ) =0, t [0,1], очевидно, имеет только тривиальное решение x (t ) =0. Таким образом, A– инъекция.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение x(s)ds 1, t [0,1].

Легко убедиться, что это уравнение не имеет решений в пространстве C[0, T ]. Таким образом, в этом примере инъективность оператора A не влечет его обратимости.

П.3. Рассмотрим уравнение x (t ) x( s )ds 1, t [0,1]. Применим метод простой итерации: xn Kxn1 f, где ( Kx)(t ) = x( s )ds, x1 (t ) 1, x2 (t ) 1ds + 1 =, x3 (t ) = + 1, …. Последовательность {xn } сходится в точному решению, которое можно найти из элементарных соображений. Действительно, из уравнения видно, что его решением может быть только x = C. Отсюда, x (t ) = C = данном случае уравнение имеет единственное решение и это решение может быть получено как предел последовательных приближений.

Условия, гарантирующие наличие этих свойств в общем случае уравнения (1), будут сформулированы ниже.

П.4. Рассмотрим уравнение x (t ) – x( s )ds =1, t [0,1]. Попробуем опять применить метод простых итераций: xn Kxn1 f, где ( Kx)(t ) Получаем расходящуюся последовательность: x1 (t ) 1, = x(s)ds.

x2 (t ) 2, x3 (t ) 3, … Легко обнаружить, что в данном случае уравнение не имеет решения.

П.5. Рассмотрим уравнение x (t ) – 2 x ( s )ds = 1, t [0,1], здесь ( Kx)(t ) = 2 x( s )ds. Снова видно, что если есть решение, то оно является константой: x (t ) C. Находим: C 2 Cds C 1, значит, C 1. В этом случае решение есть, оно единственно, но сходимости последовательных приближений нет.

7. Норма линейного оператора A : X Y. Пусть существует такое M 0, что || Ax ||Y M || x ||X для любого x X. Множество всех таких чисел M ограничено снизу, поэтому существует нижняя грань inf{M 0 :|| Ax ||Y M || x ||X для любого x X }. Эта числовая характеристика оператора A называется его нормой и обозначается || A || X Y.

Норма оператора может быть определена эквивалентным образом с помощью равенств При этом, очевидно, || A || X Y M для любой константы из первого определения.

действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y, обозначается ( X, Y ).

Для того чтобы множество таких операторов стало линейным многообразием, надо ввести операции сложения операторов и умножения оператора на число. Это делается естественным образом:

а) для любых ограниченных операторов A1 и A2 и для любого элемента x X определим:

б) для любого R и любого ограниченного оператора A определим Примеры П.2. X = Y = C[0, 2], (C [0, 2], C [0, 2]) = (C, C ). Если ( A1 x )(t ) = = (t s ) x ( s )ds, ( A2 x)(t ) = sin t x (t ), то оператор A1 A2 определяется Введенная выше норма ограниченного оператора || || X Y – это действительно норма, она удовлетворяет всем аксиомам нормы:

1) для любого ограниченного оператора A: X Y введем функцию A || A ||X Y 0, || A ||X Y 0 равносильно A 0 (нулевой оператор);

2) || A || X Y = | | || A || X Y для любого действительного ;

3) неравенство треугольника.

Проверим неравенство треугольника. Для любых ограниченных операторов A и B имеем 10. Сходимость последовательности операторов. Сходимость по естественным образом как || An A ||X Y 0. Наряду с этим видом сходимости используется сходимость точечная: An A точечно, если для любого x X имеет место сходимость An x Ax.

Справедливы утверждения:

а) Равномерная сходимость влечет точечную сходимость.

Действительно, для любого x X имеем Если || x || X r, то || An x Ax ||Y || An A || X Y r, что объясняет термин «равномерная»: An A одинаково быстро для всех x из шара радиуса r.

б) Из точечной сходимости равномерная сходимость не следует, если банахово пространство не является конечномерным.

Напомним, что в конечномерном случае сходимость по норме совпадает с покоординатной.

Пример. Пусть X l2, где элементы x {x1, x2,...} таковы, что || x ||l2 = xi. Для любого n 1,2,... определим линейный оператор An : An x ={0,...,0, xn1,0,...}. Точечная сходимость An 0 при n здесь имеет место, так как из || x ||l2 следует | xi | 0 при i. Возьмем en = {0,..., 0,1,0,...}, для таких элементов имеем: 1 = || An en ||l2 || An ||l2 l2 || en ||l2 = || An ||l2 l2 1, т.е. || An ||l2 l2 1. Итак, равномерной сходимости в этом случае нет.

11. Достаточное условие равномерной сходимости. Рассмотрим интегральных операторов ( An x)(t ) = K n (t, s ) x(ds ), где n 1,2,..., в пространстве C[0, T ], предполагая, что ядра K n (t, s) и K (t, s ) непрерывны по совокупности аргументов на квадрате [0, T ][0, T ].

Получим условие равномерной сходимости An A, оценивая || An A ||C [0,T ]C [0,T ] :

Таким образом, получаем, что условие – достаточное условие для равномерной сходимости.

Важен вопрос о том, является ли пространство линейных ограниченных операторов банаховым пространством, если X и Y – банаховы? Ответ на этот вопрос дает Теорема 1. Если X и Y – банаховы пространства, то ( X, Y ) – банахово пространство.

последовательность, т.е. || An Am ||X Y 0 при любых n, m.

|| An Am ||X Y 0. Итак, последовательность { An x } фундаментальна, а пространство Y полное, поэтому { An x}1 сходится в пространстве Y.

Положим Ax =lim An x. В силу произвольности элемента x последним равенством определен оператор A : X Y. Его линейность очевидна.

Остается доказать ограниченность оператора A. На этом мы останавливаться не будем.

Замечание. Утверждение теоремы 1 остается справедливым, если Х – линейное нормированное пространство, а Y – банахово пространство.

2. Роль линейных операторных уравнений в исследовании задач Здесь приведем несколько примеров, отражающих роль линейных операторных уравнений в исследовании задач оптимизации.

Пример 1. Рассмотрим задачу линейного программирования Симплекс-метод позволяет выбирать очередную угловую точку, в которой значение целевой функции больше, чем в предыдущей. Каждая угловая точка многогранного множества, определяемого линейными ограничениями, является решением соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, т.е. уравнения (1).

Пример 2. Задача из эконометрики: нахождение вектора точечных статистических оценок b параметров b линейной множественной регрессии y Xb по наблюдениям y Xb методом наименьших квадратов (МНК): Q(b ) = ( y y, y y ) min (здесь (,) – скалярное произведение). Здесь линейная система алгебраических уравнений, так называемая система нормальных уравнений, возникает после вычисления вектора частных производных от функции Q(b ) и приравнивания его нулю: X T ( y Xb) 0. Отсюда, при условии что det( X T X ) 0, получаем известную формулу:

Пример 3. Задача максимизации интегрального потребления для линейной модели одноотраслевой экономики. Обозначая через x (t ) чистый конечный продукт и через c (t ) интенсивность потребления, запишем модель в следующем виде:

(1) x (t ) x (t ) c(t ), t [0, T ] – уравнение динамики, (2) x (0) 1 – начальное состояние, (3) 0 c(t ) x(t ), t [0, T ] – ограничение, (4) C c(t )dt max – критерий максимизации.

Эту задачу можно рассматривать как бесконечномерный аналог задачи линейного программирования. Опишем кратко один из способов решения задачи (1)-(4), основанный на линейных интегральных неравенствах и уравнениях (в общем случае такие уравнения достаточно подробно рассматриваются ниже, в § 7).

1. Решаем задачу Коши (1), (2):

2. Запишем ограничения (3), используя это решение: 0 c (t ) et – z (t ) e c(t ). Тогда 3. Задача (1)-(4), таким образом, сведена к задаче t 4. Решаем неравенство z (t ) z ( s )ds 1, обозначим ( Az )(t ) = z (t ) + z ( s )ds, тогда неравенство запишется как ( Az )(t ) 1. Обозначим 5. Исходная задача свелась к задаче представления ( A d )(t ) d (t ) e( ts )d ( s )ds (см. § 7).

3. Первые результаты о линейном операторном уравнении 3.1. Принцип Банаха. Вернемся к уравнению (1):

Это уравнение называется уравнением второго рода, если оператор A имеет вид A I K, где K ( X, X ), I – тождественный оператор.

Рассмотрим уравнение Попробуем формально воспользоваться методом последовательных приближений:

Вычислим называемый рядом Неймана, сходится, то существует предел lim xn x.

lim xn K (lim xn 1 ) f, или т.е. x решение уравнения (2). В случае сходимости ряда Неймана легко убедиться в справедливости равенств Таким образом, существует левый и правый обратные линейные операторы к оператору I K, т.е. линейный обратный оператор ( I K ) 1 существует, и Сходимость ряда Неймана – это по определению сходимость последовательности его частичных сумм:

где S n = K i. Рассмотрим частичные суммы Получим условие такой сходимости к нулю: пусть для определенности || K m... K n1 || X X. Предположим, что || K || X X q, тогда прогрессия. Если | q | 1, то сходится геометрическая прогрессия последовательность Sn фундаментальна, когда || K || X X q 1, и в силу полноты пространства ( X, X ) последовательность Sn сходится. Оценим в случае || K || X X q 1 норму разности точного решения x и его n -го приближения xn :

Таким образом, доказана Теорема (принцип) Банаха. Пусть в уравнении (2) оператор K удовлетворяет условию Тогда 1) для любого f X существуют единственное x X – решение уравнения (2);

2) x является пределом последовательных приближений (3):

где виде сходящегося ряда Неймана;

4) имеет место оценка 5) для любого n 1,2,... имеем Пример. Рассмотрим интегральное уравнение в пространстве C[0, T ]. Это уравнение (2), где оператор K определен равенством Оператор K действует в пространстве C[0, T ], если ядро K (t, s ) непрерывно на квадрате [0, T ] [0, T ]. Оценим норму этого оператора:

Видим, что если max | K (t, s ) | ds q 1, то тогда выполнено условие принципа Банаха. Если ядро K (t, s ) ограничено по абсолютной величине постоянной M 0 : | K (t, s ) | M для всех (t, s ) [0, T ] [0, T ], то тогда условие принципа Банаха выполнено, 3.2. Теорема об обратном операторе. Рассмотрим пару уравнений Будем считать, что оператор A0 имеет ограниченный обратный, и зададимся вопросом: когда из обратимости оператора A0 следует обратимость оператора A ? Представим оператор A как возмущение оператора A0 :

Если оператор B в квадратных скобках обратим, то A1 = ( A0 B ) B 1 A01. Получим условие существования B 1, пользуясь тем, что оператор B имеет вид I K, и применяя принцип Банаха: если Достаточным условием для (6) является выполнение неравенства которое можно записать в виде Это неравенство допускает естественную интерпретацию: в пространстве ( X, X ) открытая окрестность обратимого оператора A радиуса заполнена обратимыми операторами.

Следующий важный вопрос – вопрос об оценке нормы обратного оператора || A1 || X X. Такая оценка позволяет получать оценку решения уравнения (4), не решая уравнения. Действительно, для x A1 f имеем Получим эту оценку, используя полученное представление откуда сходимость ряда Неймана, получаем ( I K ) 1 = I K K 2... K n...

Оценим норму в случае выполнения условия (6):

Используя неравенство || K i || X X || K ||i X X, можно получить более грубую оценку:

справедливую в случае выполнения условия (7). Если обозначить A A0 A, то последнее неравенство принимает вид Не менее важным является вопрос об оценке разности решений уравнений (4) и (5). Пусть x A1 f и x0 A01 f, тогда Оценим || A1 A01 || X X, используя представление (8) оператора A1 и вынося за скобку общий множитель A0 1 :

Эта оценка имеет место при выполнении условия (6). Аналогично условие (7) дает Таким образом, доказана Теорема об обратном операторе. Пусть в уравнении (5) оператор A имеет ограниченный обратный. Если выполнено условие (6) (условие (7)), то оператор A тоже имеет ограниченный обратный, при этом имеют место оценки (9),(11) (соответственно (10),(12)).

3.3. Применение теоремы об обратном операторе 1. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений где A = {aij }i, j 1,n, f = col{ f1 ,..., f n }, как операторное уравнение (4) в пространстве X R n. Если элементы матрицы A суть вещественные числа, то непосредственная проверка условия det A 0 не всегда возможна: любой компьютер обрабатывает строки символов только конечной длины. Выход воспользоваться матрицей A0 {aij }i, j 1,n, элементы которой являются рациональными приближениями соответствующих элементов матрицы A. Теоремой об обратном операторе можно воспользоваться, если точность упомянутых приближений удовлетворяет условию (подразумевается, что обратимость матрицы A0 установлена и элементы матрицы A0 1 рациональные числа bij вычислены точно).

Возьмем какую-нибудь норму в пространстве R n, например, || x ||R n = || x || = max | xi |, тогда || A ||Rn R n = || A || = max | aij |. Таким образом, условие однозначной разрешимости исходной системы, проверяемое с помощью точных (и потому доказательных) вычислений, имеет вид 2. Рассмотрим два линейных интегральных уравнения в пространстве C[0, T ], считая ядра K (t, s), K 0 (t, s ) непрерывными на квадрате [0, T ][0, T ]. Если ядро K 0 (t, s ) является многочленом от двух переменных, то исследование однозначной разрешимости уравнения (14) сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнений (см. об этом в следующем параграфе). Считая, что уравнение (14) однозначно разрешимо (т.е. обратим оператор I K 0, где K 0 – линейный интегральный оператор с ядром K 0 (t, s ) ) и вспоминая теорему Вейерштрасса о как угодно точном приближении непрерывной функции многочленами, воспользуемся теоремой об обратном операторе для ответа на вопрос, при какой точности аппроксимации непрерывного ядра K (t, s ) многочленом K 0 (t, s ) можно гарантировать однозначную разрешимость уравнения (13). Нетрудно проверить, что таким условием является неравенство Проверка этого условия требует специальных вычислений. О том, как получить достоверный результат с помощью компьютерного вычислительного эксперимента, подробно рассказано в § 12.

4. Линейные интегральные уравнения с вырожденным ядром Рассмотрим интегральное уравнение Определение. Ядро K 0 (t, s) интегрального оператора K 0 называется вырожденным, если оно допускает представление Пока не будем конкретизировать пространство, в котором рассматривается уравнение (1), однако будем сразу считать, что свойства функций ui, vi, i 1,..., m, позволяют производить все преобразования и операции, описанные ниже. Результатом этих преобразований будет сведение уравнения (1) к системе m линейных алгебраических уравнений с m неизвестными.

Запишем уравнение (1) в виде или где Очевидно, что задача сводится к нахождению чисел g1, g 2,..., g m.

Будем умножать последовательно обе части уравнения (2) на v1 (t ), v2 (t ),..., vm (t ) :

Теперь проинтегрируем обе части каждого из этих равенств на отрезке [0, T ] :

Далее для сокращения записи воспользуемся обозначениями:

Получаем систему относительно вектора g col{g1, g 2,..., g m } :

или Условие det( E A) 0 гарантирует существование обратной матрицы ( E A) 1 {b jl } j,l 1,...,m.Если это условие выполнено, получаем ответ Подставим найденные i в равенство (2):

Таким образом, решение исходного уравнения имеет представление Если обозначить окончательно получаем или Интегральный оператор с ядром R0 (t, s ) называется разрешающим оператором.

Замечание. Уравнение (1) можно рассматривать в пространстве где показатели p и q связаны соотношением Рассмотрим уравнение:

где K : X X – линейный ограниченный оператор, X – банахово простран ство.

Напомним классический принцип Банаха: если || K || X X q 1, то существует единственное решение уравнения (1) : x lim xn, где xn Kxn1 f, n = 1, 2, …, x0 f. Его обобщением является сходится.

Точнее, справедлива следующая теорема.

Теорема (обобщенный принцип Банаха). Пусть оператор K в уравнении (1) удовлетворяет условию Тогда a) существует x lim xn, где xn Kxn1 f, n 1, 2,..., x0 f ;

б) решение представимо в виде ряда: x K f, причем ряд в) справедлива следующая оценка: || x xn || X ai || f || X.

Доказательство этой теоремы повторяет доказательство принципа 6. Линейные интегральные уравнения Вольтерра второго рода Рассмотрим линейное интегральное уравнение в предположении, что ядро K (t, s ) измеримо по совокупности аргументов и удовлетворяет неравенству для всех (t, s ), лежащих в треугольнике К этому уравнению будет применен обобщенный принцип Банаха, поэтому сначала получим представление для степеней оператора K.

При этом не будем до некоторых пор конкретизировать пространство X, как это было сделано и при рассмотрении интегрального уравнения с вырожденным ядром, однако будем считать, что свойства функций u (t ), v( s ) в условии (2) обеспечивают возможность производимых ниже преобразований. Для K 2 имеем (меняя порядок интегрирования в повторном интеграле далее получаем) Таким образом, оператор K является интегральным оператором Вольтерра с ядром которое называется вторым итерированным ядром.

Используя условие (2), получим оценку по абсолютной величине для ядра K 2 (t, s) :

Рассуждая аналогично, получаем представление для третьего итерированного ядра – ядра оператора K 3 :

Отсюда находим вычисляя интеграл т.е.

Продолжая эти рассуждения, по индукции получаем Воспользуемся полученными оценками для проверки условия (2) обобщенного принципа Банаха последовательно в пространствах C[0, T ], L [0, T ], L[0, T ].

При этом удобно считать ядро определенным на квадрате [0, T ][0, T ], доопределяя K (t, s ) нулем при s t. Воспользуемся для оценки ядра только что полученной оценкой:

где d u ( )v( )d. Таким образом, в качестве чисел an можно взять Таким образом, в пространстве C[0, T ] для уравнения (1) выполнены условия обобщенного принципа Банаха–Каччополи.

Случай X = L [0, T ]. Рассуждая аналогично предыдущему случаю и используя стандартные оценки, обнаруживаем, что в этом случае Далее для случая X = L[0, T ] получаем 7. Системы линейных интегральных уравнений Вольтерра Рассмотрим уравнение где x (t ) col{x1 (t ),..., xn (t )}. Зафиксируем норму в R n, обозначив ее || ||n. Будем предполагать, что выбранная норма монотонна, т.е. если | xi | | yi |, i 1,..., n, то || x ||n || y ||n. Ядро K (t, s ) рассматриваем в пространство n n -матриц.

Cформулируем аналог условия (2) предыдущего параграфа:

согласованная с нормой в R n (т.е. || ||n =|| ||R n Rn ); функции u, v принадлежат пространствам, согласованным с пространством X, в Cn [0, T ] предполагаем, что u C[0, T ], v L[0, T ] ; в случае X = наконец, для случая X = Ln [0, T ] будем считать, что u L [0, T ], v L[0, T ]. Все рассуждения и выкладки, проведенные для скалярного уравнения (1) ( n 1), повторяются без изменений с учетом того, что все ядра являются n n -матрицами. В частности, общая формула для итерированного ядра с номером i имеет тот же вид:

Все оценки, использовавшие знак абсолютной величины, сохраняются с заменой знака | | на || ||n.

Таким образом, приходим к выводу, что условие (2) гарантирует применимость обобщенного принципа Банаха к системам (1), что существенно расширяет область применения этого принципа.

8. Задачи, сводящиеся к линейным интегральным 8.1. Задача Коши (начальная задача) для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

Если элементы n n -матрицы P (t ) и вектор-функции f (t ) суммируемы на отрезке [0, T ], то задачу (1) можно записать в эквивалентной форме как уравнение второго рода, используя тождество x (t ) x(0) x( s )ds :

Обозначая K (t, s ) = P ( s ), p( s ) = || P( s ) ||n, получаем, что условие (2) выполнено, если положить u (t ) = 1, v ( s ) = p( s ). Таким образом, к системе (3) применим обобщенный принцип Банаха, следовательно, она однозначно разрешима, а вместе с ней этим свойством обладает и задача (1).

8.2. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом:

функция, h(t ) t, t [0, T ], определяющая запаздывающий (по отношению к t ) аргумент.

Для сведния этой задачи Коши к интегральному уравнению Вольтерра воспользуемся представлением где (t, s ) – характеристическая функция множества Подставляя в исходное уравнение вместо xh (t ) правую часть равенства (4), получаем Обозначив x (t ) z (t ), получим интегральное уравнение Вольтерра:

или в котором роль ядра K (t, s ) играет матрица (t, s ) P (t ). Очевидная оценка нормы такой матрицы имеет вид Таким образом, к системе (5) применим обобщенный принцип Банаха, что в силу эквивалентности (3) и (5) влечет однозначную разрешимость задачи (3).

В заключение отметим, что по решению z (t ) уравнения (5) решение x (t ) задачи (3) находится легко: x (t ) z ( s )ds.

Задача Коши для системы линейных интегродифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом:

Заменим xh (t ) в правой части уравнения правой частью тождества (4) и сделаем подстановку x (t ) z (t ) :

где f1 (t ) P (t ) (t,0) x(0) f (t ). Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получаем Таким образом, в данном случае и опять можно воспользоваться обобщенным принципом Банаха.

В этом параграфе мы познакомимся с новым объектом – линейными краевыми задачами для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, играющими важную роль в приложениях к задачам экономической динамики вообще и в задачах оптимального управления в частности.

9.1. Постановка общей линейной краевой задачи. Линейной краевой задачей для динамической модели экономики называется система обыкновенных дифференциальных уравнений дополненная краевыми условиями где l : D n [0, T ] R n – линейный ограниченный вектор-функционал.

Напомним, что по определению ограниченность l означает существование такой постоянной M 0, что Подчеркнем, что в такой постановке фактическое число условий (2) совпадает с размерностью системы уравнений динамики (1).

Решить краевую задачу (1),(2), значит найти траекторию системы (1), которая удовлетворяет краевым условиям (2).

Приведем примеры конкретных краевых условий.

Примеры 1. В начальной задаче в роли краевых условий выступают начальные условия x (0) и, таким образом, здесь векторфункционал l определяется равенством lx x (0).

2. В задаче об удвоении значения векторного показателя x за время T имеем x (T ) 2 x (0), или x (T ) 2 x (0) 0. Таким образом, здесь 3. В задаче, где контролируется состояние системы в точках заданными коэффициентами l 1,..., l m. Это условия вида (2) с векторm функционалом lx l i x(ti ).

4. Предельный случай предыдущих условий (число контрольных точек бесконечно):

Список таких примеров можно продолжать, но, пожалуй, важнее то, что известен общий вид линейного ограниченного векторфункционала l : D n [0, T ] R n. Всякий такой вектор-функционал допускает представление где – постоянная n n -матрица, – n n -матрица-функция с элементами из пространства L [0, T ].

9.2. Необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости краевой задачи. Для получения такого условия воспользуемся известным представлением общего решения системы (1) (так называемой формулой Коши):

Здесь X (t ) c – общее решение однородного уравнения, c col{c1,..., cn } – вектор произвольных постоянных, X (t ) – фундаментальная матрица, столбцы этой матрицы образуют базис пространства решений однородного уравнения Матрицу X (t ) можно определить как решение матричной задачи Коши Для каждого столбца X i (t ) матрицы X (t ) имеем где ei = col{0,...,1,..., 0} – i -й столбец единичной n n -матрицы E.

Семейство (4) содержит все решения системы (1), поэтому вопрос о существовании решения краевой задачи – это вопрос о существовании такого набора постоянных c col{c1,..., cn }, что соответствующее ему частное решение удовлетворяет краевым условиям (2). Для ответа на этот вопрос применим к обеим частям равенства (4) вектор-функционал l и воспользуемся краевым условием (2):

Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений относительно c. Очевидно, однозначная разрешимость задачи (1), (2) эквивалентна однозначной разрешимости системы (7), поэтому условие является необходимым условием однозначной разрешимости краевой задачи (1),(2). Определитель det[lX ] называют определителем краевой задачи.

Замечание 1. Однозначная разрешимость задачи (1), (2) не зависит ни от f, ни от R n. Из вида условия (8) видно, что это свойство зависит только от фундаментальной матрицы X (t ) и векторфункционала l.

Замечание 2. Для эффективной практической проверки обратимости матрицы lX можно воспользоваться теоремой об обратном операторе (см. п. 3.3).

Замечание 3. Обозначим X 1 (t ) Y (t ). Запишем тождество Y (t ) X (t ) E, t [0, T ]. Дифференцируя, получаем: (Y (t ) X (t )) = X (t ) P (t ) X (t ) следует P (t ) X (t ) X 1 (t ), то окончательно получаем, что Y (t ) является решением системы Y (t ) Y (t ) P (t ). Это позволяет при использовании формулы (4) обойтись без операции обращения матрицы X (t ).

9.3. Представление решения линейной краевой задачи.

Матрица Грина. Из равенства (7) следует, что вектор c, определяющий решение краевой задачи, имеет представление Таким образом, для решения x (t ) имеем Запишем правую часть этого равенства в виде В дальнейшем будем ссылаться на эту формулу как на формулу Грина. Для этого произведем некоторые преобразования. Используя представление (3), получим Вычислим производную по s от выражения в квадратных скобках:

Таким образом, Здесь M ( s ) (t ) X (t )d t X 1 ( s ). Запишем последний интеграл в характеристическая функция отрезка [0, t ]. Это дает возможность объединить все интегральные слагаемые в (10) под общим знаком интеграла:

Таким образом, в (11) Эта матрица называется матрицей Грина краевой задачи (1),(2).

Интегральный оператор с ядром G (t, s ) называется оператором Грина. В случае однородных краевых условий (2), а именно, lx 0, решение однозначно разрешимой краевой задачи имеет интегральное представление:

Оператор Грина играет ключевую роль в регуляризации краевых задач (см. следующий пункт).

9.4. Регуляризация линейной краевой задачи.

линейную краевую задачу считая ее возмущением краевой задачи (1),(2) и сохраняя предположение об однозначной разрешимости (1),(2). В роли возмущения выступает линейный ограниченный оператор M : D [0, T ] L [0, T ]. Если считать, что уравнение (1) моделирует динамику основных производственных фондов без учета их выбытия, то включение оператора M в уравнение (13) позволяет включить в модель и процесс амортизации фондов. Применим к задаче (13),(14) формулу Грина:

Перегруппируем слагаемые в правой части:

или единственное слагаемое в правой части уравнения, не зависящее от искомой функции x (t ).

Таким образом, краевая задачи (13),(14) эквивалентна уравнению с оператором Эквивалентность уравнения (15) и линейной краевой задачи (13), (14) означает, что любое решение линейной краевой задачи (13), (14) является решением уравнения (15) и наоборот. Сведение краевой задачи к уравнению второго рода называется регуляризацией краевой задачи.

Вернемся к возможности моделирования амортизации производственных фондов и приведем несколько примеров соответствующих операторов выбытия M.

1. ( Mx)(t ) = Ex (t ), 0 – коэффициент амортизации (общий для всех отраслей), E – единичная матрица. При отсутствии производственных накоплений ( P (t ) 0 ) и инвестиций ( f (t ) 0 ) динамика фондов описывается уравнением x (t ) = – Ex (t ), t [0, T ].

Решая эту систему, получаем явное описание выбытия фондов:

диагональная матрица коэффициентов амортизации по отраслям.

Этот оператор носит название «локальный оператор».

4. Оператор с последействием (с предысторией):

Часто используется постоянное запаздывание: h(t ) t, где const.

5. Интегральный оператор:

6. Интегральный оператор с запаздыванием:

Замечание 1. Во всех этих примерах подразумевается, что выполнены некоторые естественные предположения относительно параметров, входящих в определение оператора, гарантирующие его ограниченность как оператора из Cn [0, T ] в L [0, T ] или из D n [0, T ] в Ln [0, T ].

Замечание 2.

допускает рассмотрение в пространстве Cn [0, T ]. При этом всякое непрерывное решение уравнения (15) является абсолютно непрерывным, так как оператор Грина G любую функцию из Ln отображает в D n.

Во всех рассмотренных случаях 1 – 6 уравнение (15) является интегральным или сводится к интегральному уравнению.

Действительно, Для случая 4 имеем т.е.

где (Tx)(t ) xh (t ), ( Mx)(t ) M (t ) x(t ). Запишем уравнение (15) и применим оператор T к его обеим частям:

где относительно новой неизвестной:

Здесь Это уравнение можно рассматривать в пространстве Ln [0, T ], по его решению z (t ) решение краевой задачи определяется равенством В случае 5 оператор K является интегральным как произведение двух интегральных операторов.

9.5. Линейные краевые задачи с краевыми условияминеравенствами. Рассмотрим уравнение динамики с линейными краевыми неравенствами:

Здесь l : D n [0, T ] R m, lx col{l1 x,..., lm x} – линейный ограниченный вектор-функционал, R m, P (t ) – n n -матрица с суммируемыми элементами. Исследование этой задачи сводится к исследованию системы линейных алгебраических неравенств следующим образом.

Запишем решение в виде формулы Коши:

Здесь X (t ) – фундаментальная матрица системы (16), эта формула дает общее решение системы уравнений (16).

Применим вектор-функционал l к обеим частям формулы Коши:

Таким образом, краевая задача (16), (17) сведена к системе Пусть c* – решение системы (18), тогда – решение задачи (16), (17).

К сожалению, матрица X (t ), как правило, не известна, известно лишь ее некоторое приближение X (t ). Если для построения этой матрицы применять специальные методы, дающие явные двусторонние оценки погрешности, то можно получить покомпонентные оценки элементов матрицы X (t ), с помощью которых можно построить двусторонние оценки параметров системы (18):

а также получить ответ на вопрос о разрешимости этой системы.

Подробное описание такого исследования краевых задач с условиями - неравенствами можно найти в работе [9].

10. Задача управления для линейных систем Введем в систему уравнений динамики программное управление u(t ) :

где u Lr2 [0, T ] (обычно r n ), n r -матрица F (t ) «распределяет»

компоненты управления по уравнениям системы (1).

В классической постановке цель управления состоит в том, чтобы перевести систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние:

Здесь x (T ) – терминальное (конечное) состояние, x (0) – начальное состояние. Управление, решающее задачу (1),(2) – это программное управление, – оно не зависит от состояния системы. С формальной точки зрения задача управления – это задача о таком управлении u(t ), при котором разрешима краевая задача (1),(2).

воспользуемся формулой Коши (формула (4) предыдущего параграфа):

Для t T имеем уравнением первого рода:

Обозначая B ( s ) X 1 ( s ) F ( s ), запишем это уравнение в виде Будем искать решение в форме здесь матрица BT ( s ) имеет размерность r n, вектор – размерность n 1. Подставим u ( s ) BT ( s ) в уравнение (3):

или, вынося постоянный вектор из-под знака интеграла, Обозначая W B( s ) BT ( s )ds, получаем, что условие гарантирует однозначную разрешимость линейной алгебраической системы (5) относительно.

Пусть * – решение системы (5): W, тогда управление решает задачу (1), (2).

Вернемся теперь к вопросу о форме управления (4).

Воспользуемся известным фактом из теории гильбертовых пространств. Пусть H – гильбертово пространство, M H – его замкнутое пространство, тогда справедливо разложение H M M, где M – ортогональное дополнение к M. Если в качестве M взять M ( B1T,..., Bn ) – линейную оболочку столбцов B1T, …, Bn матрицы B T (t ), то ясно, что любой элемент гильбертова пространства H Lr2 [0, T ] можно представить в виде формулой описывается все множество управлений, решающих задачу (1),(2), второе слагаемое в правой части (8) называют ортогональной добавкой.

Покажем, что среди всех управлений, решающих задачу (1),(2), управление u* (t ) имеет минимальную норму. Действительно, = || u* || + || v ||2 || u * ||2.

В заключение остановимся кратко на одной более общей задаче управления:

В этой задаче цель управления формулируется в более общем виде:

требуется найти такое управление, что порождаемая им траектория системы (9), удовлетворяющая начальному условию x (0), будет доставлять заданному линейному вектор-функционалу l : D n [0, T ] R m заданное векторное значение R m : lx.

Задача (9), (10) также сводится к задаче о разрешимости системы линейных алгебраических уравнений на основе представления общего решения системы (9) с использованием представления векторфункционала l : D n [0, T ] R m (см. (3) предыдущего параграфа).

В этом параграфе речь идет о математических моделях, имеющих вид таких систем дифференциальных уравнений, которые в настоящее время принято называть импульсными системами, или системами с импульсными возмущениями. Устойчивый интерес к таким моделям проявился относительно недавно – в 50-х гг. ХХ в. Возникли эти модели при описании реальных систем и процессов, основная особенность которых заключается в том, что в отдельные моменты времени состояние системы или процесса может измениться мгновенно. Траектория такой системы меняется скачкообразно в упомянутые моменты времени, в промежутках между ними она подчиняется закону, описываемому дифференциальными уравнениями, и является функцией дифференцируемой. Для механической или физической системы скачкообразное изменение состояния естественно трактовать как результат некоторого «толчка» или «удара», поэтому такие модели называют также ударными системами или системами с толчками. Систематические исследования импульсных систем связаны с именами многих отечественных и зарубежных ученых: Ф. Стэлларда, Дж. Сансоне, Я.З. Цыпкина, А.Д. Мышкиса и В.Д. Мильмана, А.

Халаная и Д. Векслера, А.М. Самойленко и Н.А. Перестюка.

Изложение теории импульсных систем обычно опирается на основные факты и понятия весьма сложной современной теории обобщенных функций. Такое изложение трудно сделать доступным для неподготовленного читателя. Лаконичную теорию широкого класса линейных импульсных систем, не использующую понятие обобщенной функции, удалось построить на основе общей теории функциональнодифференциальных уравнений, результаты которой систематизированы в книге [7]. В основе нового подхода к импульсным системам лежит предложенная А.В. Анохиным [8] идея рассмотрения таких систем на специальных множествах функций, представимых в виде суммы двух слагаемых: первое является дифференцируемой функцией, а второе — кусочно-постоянной (ступенчатой) функцией, «отвечающей» за скачки траектории.

Проиллюстрируем возможности такого подхода применительно к экономических систем, показав, как исследование этих задач можно эффективно сводить к решению систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. Ограничимся рассмотрением импульсных систем на конечном промежутке времени и с конечным числом точек разрыва траектории. Основная часть материала посвящена рассмотрению простых модельных задач, позволяющих пояснить существо упомянутого подхода.

Динамические модели экономических систем описывают динамику ее основных показателей, скажем, выпуска продукции или объема основных производственных фондов. Здесь скачки траектории можно трактовать как мгновенное изменение соответствующего показателя (передача фондов из одной отрасли в другую, прекращение выпуска продукции и т.п.). Импульсные системы естественно перепрофилирования производства, задач управления конверсионными процессами.

11.1. Линейная модель динамики двухотраслевой экономики.

Случай независимых отраслей. Выберем в качестве основной переменной, описывающей состояние отдельно взятой i -й отрасли экономики, объем ее основных производственных фондов и обозначим эту переменную, зависящую от времени t, через xi (t ).

Зафиксируем промежуток времени [0, T ], на котором будем изучать функционирующей независимо от других и без привлечения внешних инвестиций, скорость прироста фондов определяется соотношением где положительный коэффициент ai характеризует эффективность использования фондов для развития отрасли, а положительный коэффициент i – скорость амортизации (выбытия) фондов. Для развивающейся отрасли естественно считать, что ai mi 0.

Обозначив li ai mi и ограничиваясь случаем двух отраслей, запишем систему дифференциальных уравнений При заданных начальных состояниях траектории системы (2) в классе дифференцируемых функций определяются однозначно:

и выглядят, как показано на рис.1.

Картина существенно изменится, если зафиксировать набор точек t1,..., tm, 0 t1... tm T и искать решения уравнений (2) c условиями (3) среди функций x (t ) вида где x 0 (t ) – дифференцируемая функция, а функция h (t ) имеет вид Здесь, k 1,...m – постоянные, tк, (t ) – так называемая характеk ристическая функция отрезка [t k, T ] :

Функция h (t ) является ступенчатой, график одной такой функции, соответствующий конкретному набору чисел 1,..., m, показан на рис. 2.

Множество функций вида (5) обозначим через D(t1,..., tm ). Под решением уравнения будем понимать теперь такую функцию x D(t1,..., tm ), которая удовлетворяет ему всюду на промежутке t [0, T ], за исключением, быть может, точек t1,..., tm.

Подставляя правую часть равенства (5) в обе части уравнения (6) и учитывая, что h (t ) 0 всюду, за исключением точек t1,..., tm, получаем следующее линейное дифференциальное уравнение относительно функции x 0 (t ) :

Как хорошо известно, общее решение этого уравнения имеет вид представление Очевидно, если начальное значение x (0) задано:

то функция является решением системы (6),(7), каковы бы ни были числа 1,..., m.

Возвращаясь к системе (2) с начальными условиями (3), запишем множество всех ее решений:

где 11,..., m и 12,..., m – произвольные постоянные, задание которых однозначно определяет величину скачков компонент x1 (t ) и x2 (t ) :

Множество двумерных вектор-функций ( x1 (t ), x2 (t )) с компонентами из множества D(t1,..., tm ) будем обозначать D 2 (t1,..., tm ).

Приведем для иллюстрации вид траекторий x 1 (t ) и x 2 (t ) 1 1, 1 0.5, 2 0.5 (см. рис. 3).

Может сложиться впечатление, что с переходом к разрывным траекториям у нас появляются неограниченные возможности управления траекториями, поскольку в нашем распоряжении оказывается 2m произвольных постоянных. На самом деле это, конечно, не так: не будем забывать о том, что мы рассматриваем модель двух отраслей в условиях отсутствия внешних источников воздействия. И если отрицательные скачки (остановка производства, потеря фондов, одним словом, «ухудшение» состояния системы) реализовать легко, то любой положительный скачок требует определенных ресурсов. На обсуждении возможности управления за счет внутренних ресурсов системы остановимся в следующем пункте.

11.2. Импульсное управление за счет внутренних ресурсов системы. Связь отраслей по импульсному управлению. Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий возможность управлять показателями системы без привлечения внешних источников. Пусть Выберем в качестве показателей функционирования системы (2) интегральные объемы фондов по обеим отраслям:

В случае отсутствия импульсных воздействий – скачков траекторий – можно только вычислить показатели J 1 и J 2, соответствующие этому случаю:

Возникает вопрос, можно ли улучшить (увеличить) оба показателя без привлечения внешних источников? Оказывается, можно. Оставляя пока в стороне вопрос о том, как найти соответствующее импульсное управление (скачки 11, 2 и 12, 22 ), приведем пример такого управления. Пусть Траектории, соответствующие указанному набору управлений, показаны на рис. 4.

Заметим, что такое управление можно реализовать без привлечения внешних ресурсов, так как и процесс управления состоит в передаче единицы фондов из первой отрасли во вторую в момент времени t1 1 и в передаче e1 единиц фондов из второй отрасли в первую в момент t2 2. Таким образом, отрасли в нашей модели оказываются связанными по управлению.

Воспользовавшись формулами (9), найдем теперь новые значения показателей J 1 и J 2 :

Сравнивая эти значения со значениями (11), видим, что оба показателя увеличились и, таким образом, предлагаемое управление оказалось для обеих отраслей обоюдно полезным. Напрашивается аналогия со связкой альпинистов: в роли ведущего оказывается "более сильная" отрасль. Забрав дополнительное снаряжение у ведомой, она в конечном счете вытягивает ее на более высокий уровень.

Приведем теперь формализованную постановку решенной задачи:

найти вектор-функцию ( x1 (t ), x2 (t )), принадлежащую множеству D 2 (1,2) ( xi (t ) xi0 (t ) xi (1) 1,3 (t ) xi (2) 2,3 (t ), i 1,2 ), удовлетворяющую системе (2) и дополнительным условиям:

В этой системе условия (13) задают начальное состояние изучаемого процесса, условия (14) связаны с возможностью реализации импульсного управления без привлечения ресурсов извне и, наконец, условия (15) задают цель управления.

Теперь коротко о том, как найдено решение этой задачи.

Представление общего решения системы (2) (см. (9)) позволяет, используя условия (13)-(15), получить следующую линейную Множество всех решений этой системы можно описать следующим образом. Значения 11 и 2 выбираем произвольно из заштрихованного множества, показанного на рис.5. Его граница Каждой выбранной паре ( 1, 1 ) соответствует пара ( 1, 2), где 1 1, 2 1, и такая четверка (1, 1, 1, 2 ) удовлетворяет системе уравнений и неравенств (16). Выше мы воспользовались четверкой 1, e 1, 1, e 1.

11.3. Общая задача импульсного управления для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Обозначим через x (t ) n -мерную вектор-функцию рассмотрим систему дифференциальных уравнений col( f1 (t ),..., f n (t )) с кусочно-непрерывными на [0, T ] компонентами заданы. Рассмотренная нами система (2) – частный случай такой может быть записана, в частности, модель динамики n -отраслевой воздействиями.

Задача импульсного управления для системы (17) на множестве D n (t1,..., tm ) n -мерных вектор-функций с компонентами из D(t1,..., tm ) – это задача о нахождении траектории x D n (t1,..., tm ) системы (17), удовлетворяющей заданной системе ограничений в которой левые части l j x определены равенством Напомним, что в роли импульсных управлений здесь выступают скачки xi (t k ) компонент траектории в фиксированные моменты времени t1,..., t m. В виде (18) могут быть записаны весьма разнообразные ограничения на интегральные и локальные характеристики состояния системы.

Задача (17),(18) также может быть сведена к системе линейных алгебраических неравенств. Такое сведение существенно использует представление общего решения системы (17):

Здесь n n (m 1) -матрица X (t ) и n n матрица C(t, s) определяются однозначно по матрице P ( t ) и системе точек t1,, tm, а – n ( m 1) мерный вектор-столбец произвольных x1 (t ),, xn (t ),, x1 ( t m ),, xn (t m ). В рассмотренных нами примерах матрицы X (t ) и C(t, s) можно было записать в явном виде; в общем случае приходится обходиться возможностью строить эти матрицы приближенно с достаточно высокой гарантированной точностью. Подставляя в условия (18) правую часть представления (19), получаем для нахождения вектора упомянутую систему линейных алгебраических неравенств. Специфика исследования и решения этой системы определяется тем, что ее коэффициенты известны лишь с некоторой (известной) точностью. Представление о методике исследования таких систем с использованием современных вычислительных средств будет дано в следующем параграфе.

11.4. Заключение. Эффективное решение задачи импульсного управления позволяет находить решения широкого класса прикладных задач, в том числе задач математической экономики.

Современная теория функционально-дифференциальных уравнений предлагает эффективные процедуры исследования задач импульсного управления для моделей, далеко выходящих за рамки обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности для моделей экономики, учитывающих эффекты запаздывания в освоении капиталовложений и реализации управляющих воздействий. Подчеркнем, что описанный здесь подход допускает эффективную компьютерную реализацию.

Специальные комплексы программ для исследования задач импульсного управления многоотраслевыми экономическими и эколого-экономическими системами разработаны в Пермском государственном университете. Описание проблем и деталей компьютерной реализации, а также пример исследования реальной эколого-экономической системы можно найти в работе [9].

12. Исследование разрешимости линейных уравнений на основе Цель этого параграфа – проследить вместе с читателем за тем, как одна из довольно трудных задач исследования интегральных уравнений сводится к задаче, требующей минимального уровня знаний: умения производить арифметические действия с рациональными числами. На наш взгляд, такое сведние не только будет представлять познавательный интерес, но и поможет составить представление о возможности и «технологии» использования компьютера для эффективного исследования конкретных интегральных уравнений, возникающих при изучении самых разнообразных прикладных задач.

План изложения таков. Сначала на примере системы линейных алгебраических уравнений мы обсудим вопрос, можно ли (и, если можно, то как ?) с помощью арифметических вычислений ответить на вопрос о существовании решения. Заметим сразу, что традиционное и наиболее распространенное применение компьютера направлено на вычисление некоторого приближения к «решению» без скрупулезного анализа ситуации, без попыток ответить сначала на вопрос, существует ли то, приближение к чему мы хотим найти, и без оценки точности результата, когда он осмыслен. Как это ни парадоксально, даже для систем линейных алгебраических уравнений вопрос о гарантированных оценках точности решения стал систематически изучаться относительно недавно. Обычного пользователявычислителя в лучшем случае настораживают неприятности, возникающие в процессе вычислений, или экзотичность результата, например, очень большое число.

Затем мы расскажем о задачах, которые сводятся к исследованию интегральных уравнений; покажем, как исследование одного класса интегральных уравнений сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений и, наконец, как можно этим воспользоваться при исследовании интегрального уравнения в довольно общем случае.

* Этот материал опубликован как отдельная лекция в “Соросовском образовательном журнале”( 1999. №3. C.

121-126). Текст может читаться независимо от других разделов данного пособия.

По ходу изложения мы приводим формулировки основных используемых утверждений в таком виде, что понимание их алгоритмического смысла не требует предварительной подготовки.

12.1. Как узнать, существует ли решение. Обсудим сначала вопрос, можно ли и, если можно, как с помощью вычислений (с использованием компьютера) получить ответ на вопрос о разрешимости системы уравнений. Для определенности рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Как известно, такая система имеет единственное решение, если ее определитель D не равен нулю:

Заметим, что коэффициенты системы могут не быть рациональными числами. В таком случае для их записи требуется бесконечная последовательность символов. Так как любое вычислительное устройство оперирует с числамипоследовательностями конечной длины, то число D не может быть вычислено точно. Даже в элементарном случае (1), для того чтобы быть уверенными в неравенстве (2), мы должны ограничиться конечным приближением aij коэффициентов aij, оценить, не зная точного значения D (!), погрешность | D D | e результата D a a a a и, наконец, убедиться в том, что e D.

Нетрудно понять, что в случае системы n линейных уравнений с n неизвестными сложность обсуждаемого вопроса многократно возрастает.

Для сокращения записи в дальнейшем обозначим матрицу коэффициентов этой системы через A aij, вектор неизвестных – через x col x1,, xn (colon – столбец), вектор правых частей – c col c1,, cn. Напомним, что произведением Ax матрицы A на вектор x называется вектор y, составленный из чисел y1,, yn, вычисляемых по правилу Система (3) в новых обозначениях принимает вид Напомним еще, что в случае det A 0 (и только в этом случае) существует матрица, называемая обратной матрицей для матрицы A.

Эта матрица обозначается A1 и ее элементы bij ( A1 bij ) вычисляются по правилу где Aji – алгебраическое дополнение элемента a ji матрицы A, т.е.

взятый со знаком (1)i j определитель матрицы, получаемой из A вычеркиванием j -й строки и i -го столбца. Обратная матрица позволяет записать решение системы (4) при любой правой части:

Пример 1. Матрица Условимся еще о двух обозначениях: для матрицы В ситуации, когда система (3) возникает как математическая модель реального явления, точные значения коэффициентов неизвестны: известны лишь приближенные, скажем, полученные в результате измерений, значения aij и погрешности измерения dij :

Поэтому наш вопрос можно сформулировать так. Как по матрицам {aij } и {dij } определить, имеет ли решение система (3)? Будем считать, что элементы матрицы измерений A {aij } и матрицы погрешностей {dij } суть рациональные числа и, таким образом, арифметические операции над ними могут производиться точно.

Сформулируем утверждение, которое дает принципиальную возможность по известной нам информации сделать вывод об однозначной разрешимости системы (3). Это утверждение известно в математике как теорема об обратном операторе (см., п. 3.2.).

Теорема 1. Пусть det A 0 и B {bij } — матрица, обратная для A.

Если удовлетворяют неравенствам (5), имеет единственное решение.

Замечание 1. В условиях теоремы 1 для разности решения x системы Ax c и решения x системы Ax c имеет место оценка Замечание 2. Подчеркнем, что в условиях теоремы 1 любая система, коэффициенты которой удовлетворяют условию (5), имеет единственное решение. Таким образом, на множестве коэффициентов линейных систем (на множестве матриц «окрестность» матрицы A, вся заполненная обратимыми матрицами (матрицами коэффициентов однозначно разрешимых систем Ax c ).

«Радиус» r этой окрестности зависит только от матрицы A :

Например, для системы с матрицей предположении, что элемент 1 известен точно ( d22 0 ), такая окрестность представляет собой прямоугольный параллелепипед, изображенный на рис. 1. Ниже воспользуемся аналогом теоремы для линейных интегральных уравнений.

12.2. Задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям. Можно считать общеизвестным, что обыкновенные дифференциальные уравнения играют исключительно важную роль как математические дифференциального уравнения часто возникает так называемая начальная задача, или задача Коши, где требуется найти функцию x (t ), удовлетворяющую уравнению (6) и дополнительному «начальному» условию x (0) a. Используя подстановку ( z (t ) x(t ) ) для z (t ) получаем уравнение которому можно придать вид называется линейным интегральным уравнением Фредгольма, а функция двух переменных K (t, s ) – ядром этого уравнения.

Для широкого круга прикладных задач возникает необходимость рассматривать краевую задачу, представляющую собой систему в которой второе уравнение принято называть краевым условием. В виде lx a могут быть записаны самые разнообразные случаи краевых условий. В частности, при соответствующем выборе и j в таком виде могут быть записаны:

(в этом случае интегральное условие Свести задачу (9) к интегральному уравнению можно, воспользовавшись следующим утверждением современной теории краевых задач [7, с. 52]: по числу и функции j можно найти такую функцию u (t ), что u (0) 0, lu 1 и система уравнений где B (t ) u (t ), однозначно разрешима и ее решение имеет представление подстановкой» (10) применительно к уравнению (6):

Получаем уравнение которое принимает вид (8), если положить Краевая задача (9) для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом для интегродифференциального уравнения и многих других классов уравнений тоже сводится к интегральному уравнению (8) с помощью W-подстановки (10). При этом ядро K (t, s ) и функция g (t ) находятся в результате элементарных преобразований.

Подробности можно найти в книге [7].

12.3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром: сведение к системе линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим класс интегральных уравнений, исследование которых сводится к исследованию системы (3). Этот класс будет играть в исследовании интегральных уравнений с произвольным ядром ту же роль, что и система Ax c при исследовании системы Ax c в п. 12.1.

Уравнение называется уравнением с вырожденным ядром K (t, s ), если это ядро имеет вид Не будем сейчас оговаривать свойства функций u j, v j, здесь от них требуется только существование интегралов (см. ниже).

Будем умножать обе части уравнения (13) на функции vi (t ) и интегрировать почленно от 0 до T. Проделав это последовательно для всех индексов i 1,, m, получим систему равенств Обозначая и записывая в новых обозначениях систему (14), приходим к выводу, что уравнение (13) имеет решение тогда и только тогда, когда разрешима система В случае, если матрица имеет обратную матрицу A B {bi j }, уравнение (13) имеет единственное решение (t ) :

или где Заметим, что в случае, когда функции ui, vi являются многочленами с рациональными коэффициентами и число T рационально, коэффициенты системы (15) вычисляются точно и в случае обратимости матрицы A числа bi j тоже рациональные.

Пример 2. Для уравнения имеем Таким образом, в силу (17) 12.4. Как узнать, существует ли решение интегрального уравнения. Самые простые на вид интегральные уравнения Фредгольма могут не иметь решений (примером является уравнение z (t ) z ( s ) ds 1 ). Понятно, что в таких случаях бессмысленно пытаться применять многочисленные приближенные методы. Как узнать, разрешимо ли интегральное уравнение в общем случае? Напомним, что в уравнении (19), возникающем при исследовании краевой или вариационной задачи, ядро строится по параметрам исходной задачи с помощью преобразований, которые в большинстве случаев приводят к довольно громоздким выражениям.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся той же идеей, что и в п.12.1.

Заменим уравнение (19) уравнением с вырожденным ядром в котором функции u j и v j являются многочленами с рациональными коэффициентами или, что иногда удобнее, кусочно-полиномиальными функциями с рациональными коэффициентами и рациональными точками разрыва. Известно, что при естественных предположениях относительно ядра K (t, s ) для любого заданного e 0 ядро K (t, s ) можно определить так, чтобы выполнялось неравенство (так же, как для каждого вещественного числа a и любого e 0, можно найти рациональное число a так, что | a a | e ).

Задав e и построив соответствующее ядро K (t, s ), исследуем уравнение (20), как это было описано в параграфе 4. Это можно сделать, оперируя только с рациональными числами (все интегралы с формулами для ai j вычисляются как интегралы от многочленов с рациональными коэффициентами – и представляют собой рациональные числа).

Сформулируем теперь для интегральных уравнений аналог теоремы 1.

Теорема 2. Пусть m m -матрица A (16), построенная по функциям u j, v j, j 1,, m, обратима и A1 B bij. Если где а функция R (t, s ) определена равенством (18), то уравнение (19) с ядром K (t, s ), удовлетворяющим неравенству (22), имеет единственное решение.

Замечание 2. Если неравенство (23) не выполняется, ничего нельзя сказать о разрешимости уравнения (19). В таком случае есть смысл, уменьшив e, повторить снова всю процедуру исследования.

Установлено, что для однозначно разрешимого уравнения (19) всегда найдется такое ядро K (t, s ), что неравенство (23) будет выполнено.

Таким образом, исследование конкретного уравнения (19) представляет собой многократный вычислительный эксперимент, в результате которого может быть установлена однозначная разрешимость уравнения.

Замечание 3. В условиях теоремы 2 для разности решения z уравнения (19) и решения уравнения (20) имеет место оценка Замечание 4. Формула (24) – единственное выражение, где придется извлекать квадратный корень из рационального числа.

Пример 3 (подготовлен А. Н. Румянцевым). Задача Коши для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом где с помощью W-подстановки (7) сводится к интегральному уравнению K (t, s) P (t )ch (t, s), где функция ch (t, s ) принимает значение 1 на заштрихованном множестве (см. рис. 2) и значение 0 в остальных точках квадрата [0,1][0,1]. В качестве ядра K (t, s ) возьмем кусочнопостоянную аппроксимацию ядра K (t, s ), соответствующую равномерному разбиению квадрата [0,1][0,1] на квадраты со стороной 0.02. При этом оказывается Таким образом, полученное уравнение (8), а с ним и задача (24) однозначно разрешимы.

Мы надеемся, что читатель получил представление об основных утверждениях, лежащих в основе вычислительного эксперимента по исследованию разрешимости линейных интегральных уравнений.

Подчеркнем еще раз, что справедливость неравенства (23) не может быть установлена стандартными вычислениями с помощью компьютера. Получение гарантированного результата здесь требует вычислительных и программных средств, точно оперирующих с рациональными числами (альтернативный вариант, при котором осуществляется скрупулезный пооперационный контроль точности вычислений, мы здесь не обсуждаем, это выходит за рамки настоящей статьи). По этой причине реализация описанной схемы исследований требует значительных усилий и соответствующей квалификации. Как замечено в [10], существует «контраст между простотой описания метода … и сложностями грамотной его программной реализации».

Одна из таких реализаций выполнена в Пермском государственном университете под руководством А. Н. Румянцева.

1. Симонов П.М. Теория оптимального управления. Ч. 1:

Элементы функционального анализа. Элементы теории меры и интеграла Лебега. Гильбертовы пространства / Перм. гос.

ун-т. Пермь, 2009.

2. Максимов В.П. Теория оптимального управления: Вводный курс лекций / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2004.

3. Теория оптимального управления: программа курса, варианты индивидуальных заданий, вопросы к итоговому экзамену / Перм. гос. ун-т; авт.-сост. В.П. Максимов. Пермь, 2001.

4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. шк., 1982.

5. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

6. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983.

7. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.:

Наука, 1991.

8. Анохин А.В. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР. 1986. Т. 286, №5. С.1037-1040.

9. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике.

Конструктивное исследование // Изв. вузов. Математика. 1993.

№ 5. С.56-71.

10. Икрамов Х.Д. Численные методы линейной алгебры. М.:

Знание, 1987. (Новое в жизни, науке, технике. Сер.

«Математика, кибернетика», № 4).

Теория оптимального управления Ч. 2: Элементы теории линейных операторов и операторных уравнений Пермского государственного университета Типография Пермского государственного университета

 
Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по изучению учебной дисциплины МЕНЕДЖМЕНТ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 080507 МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ СПЕЦИАЛИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ И КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬЮ для студентов 5 курса дневной формы обучения...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) СТАТИСТИКА Методические указания и задания по выполнению контрольной работы Пенза ИИЦ ПГУ 2008 1 УДК 311.33(075.8) С 78 Рецензент кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета, финансов и налогообложения Пензенского государственного педагогического университета им. В. Г. Белинского Е. А. Фатеева Статистика :...»

«ВЫСШЕЕ ФИНАНСОВОЕ ОБРАЗОВАНИЕ О.И. Мамрукова НАЛОГИ и НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ учебное пособие 8 е издание, переработанное Москва, 2010 УДК 336.2(470+571)(075.8) ББК 65.261.4(2Рос)я73 1 М22 Мамрукова, Ольга Ильинична. Налоги и налогообложение : учеб. пособие / О. И. Мамру М22 кова. — 8 е изд., перераб. — М. : Издательство Омега Л, 2010. — 310 с. : ил., табл. — (Высшее финансовое образование). ISBN 978 5 370 01742 1 Агентство СIP PГБ В учебном пособии рассмотрены классификация налогов, их функции,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова Кафедра менеджмента и маркетинга МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по курсу “Логистика” для всех форм обучения Одесса 2013 УДК 319.18 План УМИ 2012 г Рецензент: Н. С Бобровничая, к.э.н., доцент, заведующий кафедрой управления проектами и системного анализа Одесской национальной академии связи им. А. С. Попова Методические указания и задачи разработаны Н. К. Заборской, Л....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан экономического факультета _ Д. И. Мамагулашвили 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Оценка и анализ рисков 5 курс специальности 080109 Бухгалтерский учёт, анализ и аудит Форма обучения очная Обсуждено на заседании кафедры Составитель: национальной экономики к. э.н., доцент Романюк А. В. 25...»

«Министерство образования и науки Российской федерации филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет) в г. Нязепетровске Документационное обеспечение управления (наименование дисциплины) Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников по специальности 080110.51 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям) (код...»

«ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. Казань) Экономический факультет Утверждены на заседании кафедры Информационных технологий Протокол №_ от _ 2010 г. зав. кафедрой _ И.А. Фукин И. А. Романова Методические указания по выполнению курсового проекта по дисциплине Проектирование информационных систем Казань – 2010 СОДЕРЖАНИЕ Общие положения Основные этапы работы и требования, предъявляемые к курсовым проектам Основные требования к содержанию структурных элементов Требования к оформлению...»

«СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА, АНАЛИЗА, АУДИТА И НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ ДИАГНОСТИКА ПОТЕНЦИАЛА ПРЕДПРИЯТИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (по отраслям) СЫКТЫВКАР 2007 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ...»

«Уважаемые выпускники! В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Рыжков, И. Б. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс] : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подготовки (специальностям) 280400 — Природообустройство, 280300 — Водные ресурсы и водопользование] / И. Б. Рыжков.— Санкт-Петербург [и др.] : Лань,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Н.Б. ГРИЩЕНКО ОСНОВЫ СТРАХОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Издательство Алтайского государственного университета БАРНАУЛ – 2001 ББК 65.9 УДК.336.012.24 Г 85 РЕЦЕНЗЕНТ: доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой региональной экономики АГУ В.В. Мищенко Г 85 Грищенко Н.Б. Основы страховой деятельности: Учебное пособие. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2001. 274 с. В учебном...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Кафедра прикладной математики В. Н. Калинина, В. И. Соловьев КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ПРИКЛАДНОЙ СТАТИСТИКЕ И ОСНОВАМ ЭКОНОМЕТРИКИ Учебное пособие для студентов высших учебных заведений i Москва 2010 УДК 519.2 (075.8) ББК 22.17я73 К17 Р е ц е н з е н т ы: доктор экономических наук, профессор В. С. Мхитарян; кандидат экономических наук,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Финансовый факультет А.В. Виноградова МАКРОЭКОНОМИКА Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлению 080100 Экономика и 080200 Менеджмент. Нижний Новгород 2012 УДК 330.101.54 ББК 65.01 В-49...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫПОЛНЕНИЕ МАГИСТЕРСКИХ ДИССЕРТАЦИЙ, ПРОХОЖДЕНИЕ НАУЧНОИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ И НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИК МАГИСТРАНТОВ Учебно-методическое пособие для магистрантов Составители: М.Б. Табачникова, Е.М. Исаева, Г.В. Меняйло Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета Утверждено научно-методическим советом...»

«АНО Центр информационных стратегий Лучшие практики социаЛьно ориентированных нко – участников конкурса соДействие методическое пособие Москва 2013 ББК 66.4(0) :67.408/67.412 УДК 334.72:316.334.3 (470) Рецензенты: Николаева Е.Л., первый заместитель Председателя Комитета Государственной Думы Российской Федерации по жилищной политике и жилищно-коммунальному хозяйству, заместитель председателя Общероссийской общественной организации Деловая Россия, кандидат социологических наук Составители:...»

«Введение Изучение курса Международные экономические отношения является составной частью программы преподавания экономической теории на экономическом факультете Петрозаводского государственного университета. Современные масштабы международных потоков товаров, капитала, услуг позволяют судить о растущем значении международных экономических отношений для каждой страны. Об этом свидетельствует, в частности, доля экспорта и импорта в процентах к ВВП стран. Так, к 2000 г. доля экспорта в процентах к...»

«Список новых поступлений ИНИ-ФБ ДВГУ Владивосток. 690000 ул. Алеутская, 65 б Россия (24.05-28.05.2010) Автор Заглавие Место хранения Предмет Класс экземпляра Ч/З иностранной 85.374.3(7Сое) Научная American independent cinema A sight and литературы, ауд 305 sound reader ed. by Jim Hillier. Ч/З иностранной Научная Art in theory 1900-2000 An anthology of 85.0 литературы, ауд changing ideas ed. by Charles Harrison and Paul Wood. Ч/З иностранной Научная Remapping world cinema Identity, culture...»

«Методические указания по выполнению письменных контрольных работ студентами заочного отделения факультета правоведения, специальности Экономическое право по дисциплине Основы криминалистики Контрольные работы выполняются студентами по вариантам №№ 1-4. Для равномерного распределения вариантов группы по спискам делятся на 4 части. Например, если в группе 44 человека, то первые по списку 11 студентов берут вариант №1, следующие 11 – вариант №2, и т.д. В вариантах контрольных работ по 2 вопроса: 1...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Кафедра Управление и экономика Н.Л. ГРЯЗНОВА УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ КЕМЕРОВО 2002 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. КУРС ЛЕКЦИЙ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ.3 Тема 1 Введение в курс Управление персоналом.3 Тема 2 Методические основы управления персоналом организации..10 Тема 3 Виды обеспечения системы управления персоналом. Тема 4 Кадровое планирование в организации. Тема 5 Подбор и...»

«Давидян Г.Р, Иоселиани А.Д., Ножка E.M. Русский язык: учебное пособие по научному стилю речи (на материале дисциплины Философия) для иностранных обучающихся II курса всех направлений подготовки бакалавров. M.: Финансовый университет, 2013. 108 c. ISBN 978-5-7942-1059-0 Данное учебное пособие предназначено для иностранных студентов-бакалавров II курса, изучающих дисциплину Русский язык в Финуниверситете. Цель изучения — совершенствование умений учащихся в основных видах речевой деятельности в...»

«НОУ ВПО Институт экономики и управления (г. Пятигорск) НОУ ВПО ИнЭУ (г. Пятигорск) Кафедра уголовно-правовых дисциплин УТВЕРЖДАЮ Председатель УМС Андреева Р.С. Протокол № 1 от 26 сентября 2012 г. КРИМИНОЛОГИЯ Методические указания, задания к контрольным работам для студентов специальности: 030501 Юриспруденция заочной формы обучения г. Пятигорск, 2012 Составитель: Аджимусаев С.А., к.ю.н., доцент Рецензент: Чемеринский К.В., к.ю.н., доцент, зав. кафедрой Уголовноправовых дисциплин филиала ФГАОУ...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.