WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Дерезин Святослав Викторович

СОБСТВЕННЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНО

УПРУГИХ ТЕЛАХ С ДИСЛОКАЦИЯМИ И

ДИСКЛИНАЦИЯМИ

Специальность 01.02.04 –

механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2011

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Иванова Елена Александровна доктор физико-математических наук, доцент Еремеев Виктор Анатольевич

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН (г. Пермь)

Защита состоится «11» октября 2011 г. в 1715 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «9» сентября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Н. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы — методами нелинейной теории упругости исследовать проблему определения собственных напряжений в различных структурах, содержащих поля изолированных и непрерывно распределённых дислокаций и дисклинаций.

Актуальность работы — задачи определения собственных напряжений, вызванных наличием в теле дефектов в форме дислокаций и дисклинаций, играют важную роль в моделировании и исследовании механических свойств современных материалов.

Методы исследования. В работе используются методы нелинейной теории упругости, дифференциальной геометрии обобщённых пространств, теории пластин и оболочек, вариационные методы, метод Фурье решения уравнений в частных производных, метод комплексных потенциалов в духе Колосова-Мусхелишвили.





Достоверность полученных результатов в диссертационной работе обеспечивается совпадением решений нелинейных уравнений для диска из полулинейного материала, содержащего непрерывно распределённые дисклинации с известными решениями для изолированных дисклинаций в случае, когда плотности распределённых дефектов представляют из себя обобщённые функции. Задача об изгибе пластинки Рейсснера с дислокациями решалась двумя различными способами. Было получено совпадение результатов между собой, а также с известными результатами для неограниченной пластинки.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. В рамках нелинейной теории упругости путём предельного перехода от изолированного набора дислокаций к их непрерывному распределению получена полная система уравнений, определяющих собственные напряжения в теле с распределенными дислокациями и изолированными дисклинациями. В случае плоской деформации введено физически обоснованное понятие плотности дисклинаций и установлена его связь с гауссовой кривизной многообразия с дефектами. Получено точное решение задачи о собственных напряжениях в круглом диске из нелинейно упругого материала, обусловленных заданной плотностью дисклинаций.

2. В рамках общей нелинейной теории оболочек типа Кирхгофа-Лява рассмотрена задача сильного изгиба упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределённые поля краевых дислокаций и клиновых дисклинаций, а также другие источники собственных напряжений. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), не сопротивляющейся изгибу, и положительной плотности дисклинаций доказано существование, наряду с плоским напряжённым состоянием, также и изогнутой формы равновесия, переходя в которую мембрана освобождается от внутренних напряжений. Получена инвариантная формулировка модифицированных уравнений несовместности деформаций типа Гаусса-Кодацци с учётом непрерывно распределённых краевых и винтовых дислокаций в оболочке. Рассмотрена задача о квазипластическом (некогерентном) изгибе тонкой плёнки, содержащей дислокации, установлена гидродинамическая аналогия с уравнениями, описывающими стационарные течения идеальной несжимаемой жидкости с заданной завихрённостью.

3. Для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учётом поперечного сдвига, развита теория дислокаций Вольтерры. Решена задача определения полей перемещений и поворотов многосвязной пластинки по заданным однозначным полям тангенциальных, сдвиговых и изгибных деформаций. Получены формулы для скачков перемещений и поворотов, возникающих при переходе через разрезы, превращающие многосвязную область в односвязную. Дано выражение характеристик дислокаций и дисклинаций через поля деформаций в виде контурных интегралов.

4. В рамках линейной теории Рейсснера с использованием разложения в ряды Фурье решена задача об изгибе неограниченной пластинки, содержащей изолированный дефект. Решение содержит модифицированные функции Бесселя, асимптотические свойства которых позволили определить характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения. Полученное решение было проверено при помощи метода комплексных потенциалов.





5. С помощью модифицированного принципа минимума дополнительной энергии введены плотности непрерывно распределённых дефектов. Показано, что, в отличие от теории пластинок Кирхгофа, теории, учитывающие поперечный сдвиг, позволяют корректно определить плотность винтовых дислокаций. Известная статико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и сосредоточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при расчётах многосвязных тонкостенных конструкций, в механике разрушения, а также при моделировании двумерных углеродных наноструктур, нанотрубок, оболочек вирусов и биологических мембран.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём работы — 137 страниц.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на IV и XIV международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1998; Азов, 2010), 37th Solid Mechanics Conference (Варшава, 2010), Euromech Colloquium «Shell-like Structures – Non-classical Theories and Applications» (Виттенберг, 2011), а также на семинаре кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

На различных этапах работа над диссертацией была поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России»

на 2009 – 2013 годы (государственные контракты П 596 и № 02.740.11. от 7 июля 2009 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [2, 5] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю Л. М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору методов их решения.

Вывод основных уравнений, решение краевых задач и анализ результатов принадлежат автору диссертационной работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор работ по теме диссертации.

Понятие дислокации стало одним из основных в современной физике твёрдого тела. При помощи дислокационных моделей и механизмов могут быть объяснены такие сложные явления как пластическое течение, внутреннее трение, хрупкость, усталость, фазовые переходы и т. д.

Развитие и становление линейной теории изолированных и непрерывно распределенных дислокаций трансляционного типа получило отражение в работах Дж. Эшелби, Э. Крёнера, Р. де Вита, В. Л. Инденбома и А. Н. Орлова, А. М. Косевича, Дж. Хирта и Л. Лоте, А. Коттрела, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, Ж. Фриделя, А. А. Вакуленко, В. П. Мясникова и М. А. Гузева и др.

Идея связать кручение, введённое в дифференциальную геометрию Э. Картаном под влиянием работы братьев Э. и Ф. Коссера, с дислокациями появилась в работах К. Кондо, Дж. Ная, Б. Билби, Р. Баллофа и Э. Смита, Э. Крёнера. Основные принципы динамической теории дислокаций были заложены В. Л. Бердичевским и Л. И. Седовым.

Благодаря тесной связи теории дислокаций с дифференциальной геометрией в семидесятые годы прошлого века появилась т. н. калибровочная теория дислокаций, нашедшая своё отражение в монографиях А. Кадич и Д. Эделена и Д. Эделена и Д. Лагоудаса. Пространство с дефектами в случае их непрерывного распределения имеет естественную структуру расслоения с группой голономии, индуцированной кривизной калибровочной группы теории упругости, равной полупрямому произведению подгруппы вращений на подгруппу трансляций. Позднее, в работах И. В. Воловича и М. О. Катанаева возникла геометрическая теория дефектов, сочетающая в себе многие аспекты калибровочной теории с классической теорией упругости.

Развитие теории дисклинаций в твёрдых телах можно проследить по монографиям и обзорам K.-H. Anthony, В. А. Лихачёва и Р. Ю. Хайрова, Р. де Вита, В. И. Владимирова и А. Е. Романова, А. Л. Колесниковой и А. Е. Романова, А. Е. Романова и др.

Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций получила своё дальнейшее развитие в работах Л. М. Зубова, М. И. Карякина, К. Теодосиу, J. D. Clayton и др.

Теория собственных напряжений как особое направление механики деформированного тела появилась в Германии в начале 20-го века. В её становлении участвовали такие известные учёные, как Ф. Клейн, Л. Прандтль, А. Фёппль, Х. Рейсснер. Использование этого понятия собственных напряжений позволяет абстрагироваться от природы возникновения той или иной несовместной деформации, вызывающей уравновешенное напряжённое состояние твёрдого тела при отсутствии приложенной внешней нагрузки. Причиной возникновения собственных напряжений помимо дислокаций могут быть температурные, пьезоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и другие деформации. Отличие собственных напряжений от упругих напряжений, вызванных внешними силами, состоит в том, что последние исчезают, если снимается внешняя нагрузка (т. е. тело переходит в естественное состояние), в то время как устранение собственных напряжений может быть осуществлено путём разрезания тела на элементы. Однако, в двумерном случае существует возможность релаксации собственных напряжений путём потери устойчивости плоского состояния упругой системы и её «побегу в третье измерение».

Первая глава диссертации посвящена проблеме определения собственных напряжений, вызванных наличием изолированных и непрерывно распределённых дислокаций и дисклинаций, в трёхмерной нелинейно упругой среде.

В п. 1. 1 рассматривается задача об определении положения точки деформированного упругого тела по заданному в многосвязной области непрерывно дифференцируемому и однозначному полю тензора дисторсии.

Возможная неоднозначность решения означает наличие в теле трансляционных дислокаций. Суммарный вектор Бюргерса дискретного набора дислокаций выражается контурным интегралом где C — градиент деформации (тензор дисторсии), L0 — контур, охватывающий линии всех дислокаций из данного набора.

При переходе к непрерывному распределению вводится плотность дислокаций как тензорное поле, поток которого через любую поверхность внутри тела дает суммарный вектор Бюргерса всех дислокаций, пересекающих эту поверхность. Тогда, преобразуя интеграл в (1) по формуле Стокса, получим Здесь — тензор плотности дислокаций.

Введение локального материального репера, связанного с дисторсией, позволяет трактовать деформированную конфигурацию упругого тела с непрерывно распределенными дислокациями как пространство метрической связности V3. Тензор кручения этого пространства выражается через плотность дислокаций следующим образом — компоненты тензора Леви-Чивиты.

Далее ставится задача определения поля дисторсии по заданным метрическому тензору деформированной конфигурации и плотности дислокаций. Показано, что необходимое и достаточное условие разрешимости последней задачи заключается в равенстве нулю тензора кривизны РиманаКартана пространства V3.

Если же предположить, что отсчётная конфигурация представляет собой многосвязную область и отказаться от условия однозначности дисторсии, то возможная неоднозначность поля дисторсии может быть вызвана наличием изолированных дисклинаций в многосвязном теле. Из-за некоммутативности конечных поворотов вектор Франка каждой дисклинации выражается через метрику и плотность дислокаций при помощи не простого (обычного) контурного интеграла, а мультипликативного криволинейного интеграла по замкнутому контуру, охватывающему линию данной дисклинации. Сложные свойства мультипликативного интеграла в общем случае затрудняют введение физически обоснованного понятия плотности дисклинаций в трёхмерной среде при произвольных деформациях.

В п. 1. 2 осуществлен переход к непрерывному распределению дисклинаций в условиях плоской деформации материальной среды. В этом случае суммарный вектор Франка набора клиновых дисклинаций выражается через метрику и плотность дислокаций при помощи обычного контурного интеграла, который можно преобразовать в интеграл по площади. Это дает возможность ввести плотность дисклинаций и сформулировать полную систему полевых уравнений, определяющих собственные напряжения в двумерной среде с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями. Условие несовместности деформаций плоской нелинейной теории упругости выглядит следующим образом где U = G — положительно определённый (левый) тензор искажений, G = C·CT — мера деформаций Коши, e — дискриминантный тензор, 0 — плотность краевых дислокаций, — плотность клиновых дисклинаций.

В отличие от линейной континуальной теории дисклинаций представленная здесь теория не накладывает никаких ограничений на малость деформаций в упругом теле. Выведена явная формула, связывающая плотность дисклинаций с дифференциально-геометрическим инвариантом двумерного пространства метрической связности – гауссовой кривизной и доказана ТЕОРЕМА [2] Гауссова кривизна R пространства V2, являющегося в случае плоской деформации дифференциально-геометрической моделью упругой среды с непрерывно распределенными дефектами, пропорциональна плотности клиновых дисклинаций:

В п. 1. 3 построенная общая теория проиллюстрирована решением задачи о собственных напряжениях в упругом диске из полулинейного материала, обусловленных заданной плотностью клиновых дисклинаций. Показано, что в осесимметричном случае задача может быть сведена к квадратурам при любой функции плотности дисклинаций. Для постоянной плотности дисклинаций приводится решение в явном виде.

Во второй главе рассматривается теория собственных напряжений дислокационного типа в двумерных системах, моделируемых упругими оболочками.

В п. 2. 1 в рамках общей нелинейной теории оболочек типа КирхгофаЛява рассматривается задача сильного изгиба упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределённые поля краевых дислокаций и клиновых дисклинаций, а также другие источники собственных (внутренних) напряжений. В отличие от модели пластинок Кармана деформации в плоском напряжённом состоянии не считаются малыми. Выведена система нелинейных уравнений, содержащая в качестве неизвестных функций нормальный прогиб пластинки и коэффициенты первой квадратичной формы деформированной срединной поверхности пластинки.

Кроме уравнений равновесия данная система включает нелинейное условие несовместности деформаций, содержащее плотности дислокаций и дисклинаций Полученная система уравнений описывает, в частности, изгиб пластинки при отсутствии внешних нагрузок за счёт релаксации внутренних напряжений, обуславливающих плоское напряжённое состояние. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), не сопротивляющейся изгибу, и положительной плотности дисклинаций доказано существование, наряду с плоским напряжённым состоянием, также и изогнутой формы равновесия, переходя в которую мембрана полностью освобождается от внутренних напряжений.

Если рассмотреть уравнение (7) в приближении Кармана где [w, w] — оператор Монжа-Ампера, то можно построить точное решение задачи об осесимметричном изгибе тонкой мембраны круглой формы под влиянием собственных напряжений, обусловленных распределёнными дисклинациями.

Рис. 1. Осесимметричное выпучивание мембраны, обусловленное наличием дисклинаций В п. 2. 2 рассматривается теория линейных дефектов в тонких плёнках и нанотрубках в предположении, что напряжения являются исключительно упругими, т. е. учитывается только упругая энергия деформации, зависящая от двух фундаментальных форм деформированной оболочки. Таким образом, не учитываются слагаемые, отвечающие за энергию самодействия образованных дефектов и энергию взаимодействия между приложенным напряжением и плотностью дислокаций.

Рис. 2. Две нанотрубки с различными хиральностями: A) Идеальная armchair-нанотрубка;

B) Zigzag-нанотрубка с дисклинациями противоположных знаков (дефект 5-7) Особое внимание уделено геометрической стороне вопроса, а именно уравнениям Гаусса-Кодацци совместности (несовместности) деформаций, которые определяют в общем случае наличие в теле собственных деформаций и напряжений. Получена бескоординатная формулировка этих уравнений Здесь e = n E — дискриминантный тензор на поверхности в отсчётной конфигурации с нормалью n, b, B — компоненты вторых фундаментальных форм в отсчётной и текущей конфигурациях соответственно, 0 — тензор плотности краевых дислокаций. B являются несимметричными по нижним индексам, причём антисимметричная часть определяется плотностью винтовых дислокаций.

Рассмотрены некоторые особые случаи неголономных преобразований плоскости в поверхность с дефектами, моделирующими квазипластический или некогерентный изгиб. При наличии только винтовых дислокаций с плотностью a система Гаусса-Кодацци допускает непосредственное интегрирование в форме что приводит к представлению известному в гидродинамике и описывающему стационарные течения идеальной несжимаемой жидкости с заданной завихрённостью.

Третья глава посвящена развитию теории дислокаций и дисклинаций в линейно и нелинейно упругих пластинках.

В п. 3. 1 для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учётом поперечного сдвига, развита теория дислокаций Вольтерры. При выполнении следующих условий совместности деформаций где — тензор локальных кривизн (изгибных деформаций), — вектор поперечных сдвигов, — тензор тангенциальных деформаций, была решена задача определения полей перемещений и поворотов многосвязной пластинки по заданным однозначным полям тангенциальных, сдвиговых и изгибных деформаций. Получены формулы для скачков перемещений и поворотов, возникающих при переходе через разрезы, превращающие многосвязную область в односвязную Здесь — вектор углов поворота срединной поверхности пластинки, w — нормальный прогиб, u — вектор перемещений в плоскости пластинки, r — радиус-вектор текущей точки на разрезе. Формулы (15) составляют суть теоремы Вейнгартена для пластинки Кармана с учётом поперечных сдвигов. Постоянные ak, bk, hk, Hk определяются для каждого разреза в виде контурных интегралов. (15) 1 и (15) 2 описывают перемещение краёв разреза как абсолютно твёрдых тел в рамках линейной аппроксимации. Для (15) 3 это не справедливо, т. к. тензоры Hk в общем случае не являются ни антисимметричными, ни ортогональными, что связано со структурой модели Кармана.

В п. 3. 2 в рамках линейной теории Рейсснера решена задача об определении напряжённо-деформированного состояния кольцевой пластинки, содержащей винтовую дислокацию и дисклинацию кручения с использованием разложений в ряды Фурье относительно полярного угла компонент упругой деформации. Полученное решение имеет вид Где Здесь Km (m = 0, 1, 2) — модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Макдональда), r — полярный радиус, b — длина вектора Бюргерса винтовой дислокации, a — вектор Франка дисклинации кручения, D — цилиндрическая жёсткость, — жёсткость на поперечный сдвиг, — коэффициент Пуассона. Асимптотические свойства функций Бесселя позволили определить характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения в бесконечной пластинке Рейсснера.

В п. 3. 3 дана постановка задачи об изгибе пластинки Рейсснера с дислокациями и дисклинациями в терминах комплексных потенциалов. Основные уравнения изгиба сформулированы в виде бигармонического уравнения на прогиб w и сингулярно возмущённого уравнения Гельмгольца на локальное кручение Основываясь на идеях Колосова-Мусхелишвили, была получена следующая комплексная формулировка задачи где,, — многозначные аналитические функции, удовлетворяет уравнению Гельмгольца (25).

Многозначность полей поворотов и перемещений, вызванная наличием дислокаций и дисклинаций, определяет характеры многозначности аналитических функций в многосвязной области Вычисляемые по заданным потенциалам (31) – (33) компоненты деформаций (и напряжений) совпадают с полученными ранее (16) – (20) в разделе 3. 2.

Найденные потенциалы, удовлетворяющие соответствующим граничным условиям, позволили определить выражения для прогиба и углов поворота неограниченной пластинки Отметим, что в случае бесконечной пластинки формула прогиба по теории Рейсснера (37) полностью идентична соответствующей формуле по теории Кирхгофа. Пользуясь этой формулой, можно построить поверхности, соответствующие пластинке с дефектом.

Рис. 3. Кольцевая пластинка с винтовой дислокацией и дисклинацией кручения Рис. 4. Круглая пластинка с дисклинацией кручения В п. 3. 4 предложен модифицированный вариационный принцип минимума дополнительной энергии для пластинки Рейсснера, позволяющий получить основные уравнения для изолированных дислокаций и дисклинаций, а также перейти к их непрерывному распределению. Варьирование функционала с соответствующими граничными условиями где W = M + Q · — удельная (на единицу площади) потенциальная энергия деформации, M — тензор изгибающих (и крутящих) моментов, Q — вектор перерезывающих сил, — полное произведение тензоров, эквивалентно исходной краевой задаче из п. 3. 2 и 3. 3.

Функционал дополнительной энергии для случая непрерывно распределённых дислокаций и дисклинаций будет иметь вид Здесь — плотность винтовых дислокаций, — плотность дисклинаций кручения.

Уравнениями Эйлера-Лагранжа для функционала (41) будут условия несовместности, определяющее наличие в пластинке собственных напряжений Было показано, что, в отличие от теории пластинок Кирхгофа, теории, учитывающие поперечный сдвиг, позволяют корректно определить плотность винтовых дислокаций. Известная статико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и сосредоточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.

В заключении формулируются ключевые результаты, полученные в работе.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Получена полная система уравнений, определяющих собственные напряжения в нелинейно упругом теле с распределенными дислокациями и изолированными дисклинациями. В случае плоской деформации доказана теорема о связи плотности дисклинаций с гауссовой кривизной. Найдено точное решение задачи о собственных напряжениях в круглом диске из нелинейно упругого материала, обусловленных заданной плотностью дисклинаций.

2. В случае мембраны и положительной плотности дисклинаций доказано существование изогнутой формы равновесия, переходя в которую мембрана освобождается от внутренних напряжений. Получена инвариантная формулировка уравнений типа Гаусса-Кодацци с учётом непрерывно распределённых краевых и винтовых дислокаций в оболочке.

3. Для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учётом поперечного сдвига, установлен аналог теоремы Вейнгартена. Даны выражения характеристик дислокаций и дисклинаций через тензорные поля деформаций в виде контурных интегралов.

4. В рамках линейной теории Рейсснера решена задача об изгибе кольцевой и неограниченной пластинок, содержащих изолированный дефект.

Определены характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения.

5. С помощью принципа минимума дополнительной энергии введены плотности непрерывно распределённых дефектов. Показано, что теория Рейсснера позволяет корректно определить плотность винтовых дислокаций. Cтатико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и сосредоточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Дислокации и дисклинации в упругих пластинках // Труды IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 1998.

C. 128 – 132.

2. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Уравнения нелинейно упругой среды с непрерывно распределёнными дислокациями и дисклинациями // ДАН. 1999. Т. 366. № 6. С. 762–765.

3. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Равновесие нелинейно упругой пластинки с распределёнными дислокациями и дисклинациями // Труды ХIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2010. Т. 1. C. 130–134.

4. Derezin S. V., Zubov L. M. Dislocations and disclinations in MindlinReissner plates: Further development of the slab analogy // Proceedings of 37th Solid Mechanics Conference. Warsaw. 2010. pp. 306–307.

5. Derezin S. V., Zubov L. M. Disclinations in nonlinear elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2011. V. 91. No 6. pp. 433–442.

6. Derezin S. V. Gauss-Codazzi equations for thin lms and nanotubes containing defects // Shell-like Structures – Non-classical Theories and Applications (Ed. H. Altenbach, V. A. Eremeyev). Berlin: Springer, 2011.

pp. 531–548.



 
Похожие работы:

«Козин Александр Васильевич ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ РАЗВИТИЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ И ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННОЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова Научный...»

«Голдобин Денис Сергеевич ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ, ЛОКАЛИЗАЦИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Пермь – 2007 Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета. Научный руководитель : доктор физ.-мат. наук, профессор Любимов Дмитрий Викторович Официальные...»

«МОРЩИНИНА Алина Алексеевна МОДЕЛИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СКЛЕРЫ И СОСУДОВ ЗРИТЕЛЬНОГО НЕРВА ПРИ ГЛАУКОМЕ 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург 2010 Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного...»

«Козулин Игорь Анатольевич ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГАЗО-ЖИДКОСТНОГО ТЕЧЕНИЯ В МИКРОКАНАЛАХ С РАЗЛИЧНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Новосибирск – 2013 Работа выполнена в ФГБУН Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН Научный руководитель доктор физико-математических наук, зав. лаб. Кузнецов Владимир Васильевич Официальные...»

«Калёнова Наталья Валерьевна ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА ВОЛНОВОГО ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ГИРОСКОПА И МЕТОДЫ ЕГО БАЛАНСИРОВКИ Специальность 01.02.01 – Теоретическая механика Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2012 Работа выполнена в ГОУ ВПО МАТИ- Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского (МАТИ) Научный руководитель : доктор физико-математических наук,...»

«Мельников Андрей Михайлович Задачи предельного равновесия дилатирующих тел в условиях плоского напряженного состояния 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 на кафедре теории пластичности Работа выполнена механико-математического факультета Московского государственного...»

«Розенблат Григорий Маркович Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела 01.02.01 Теоретическая механика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва 2011 Работа выполнена в Московском государственном автомобильно-дорожном техническом университете (МАДИ) Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Самсонов Виталий Александрович; доктор физико-математических наук, профессор Кобрин...»

«ЗЕМЛЯК ВИТАЛИЙ ЛЕОНИДОВИЧ ВЛИЯНИЕ ЛЕДОВЫХ УСЛОВИЙ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА ПОДВОДНЫМИ СУДАМИ РЕЗОНАНСНЫМ МЕТОДОМ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Владивосток – 2011 Работа выполнена в Комсомольском-на-Амуре государственном техническом университете и Амурском гуманитарно-педагогическом государственном университете. Научный руководитель : доктор...»

«Богачев Иван Викторович МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ИХ СВОЙСТВ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ростов-на-Дону – 2014 Работа выполнена в федеральном государственном автономном образователь­ ном учреждении высшего профессионального образования Южный федераль­ ный университет. Научный руководитель : доктор физико-математических наук,...»

«КОСТИН Георгий Викторович ВАРИАЦИОННЫЕ ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ И ОПТИМИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЙ УПРАВЛЯЕМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 01.02.01 теоретическая механика Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук (ИПМех РАН) Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Н....»

«Лекомцев Сергей Владимирович ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИХ ТЕКУЩУЮ ИЛИ НЕПОДВИЖНУЮ ЖИДКОСТЬ Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Пермь – 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук...»

«БУБНОВ Сергей Алексеевич КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И ПОВРЕЖДЕННОСТИ ТРУБЧАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, ПОДВЕРГАЮЩИХСЯ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ВОДОРОДНОЙ КОРРОЗИИ 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Саратов 2011 Работа выполнена в Балашовском институте (филиале) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего...»

«Смолин Игорь Юрьевич МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С ЯВНЫМ И НЕЯВНЫМ УЧЁТОМ ИХ СТРУКТУРЫ 01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук Томск – 2008 2 Работа выполнена в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН и Томском государственном университете Научный консультант : доктор физико-математических наук, доцент Макаров Павел Васильевич Официальные оппоненты...»

«Мигунова Дарья Сергеевна О движении мяча по травяному газону 01.02.01 — Теоретическая механика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва - 2012 Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Научный руководитель...»

«Костеренко Виктор Николаевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ВЕНТИЛЯЦИИ ГОРНЫХ ВЫРАБОТОК УГОЛЬНЫХ ШАХТ 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Томск - 2011 2 Работа выполнена в государственном общеобразовательном учреждении высшего профессионального образования Томский государственный университет Научный руководитель : доктор технических наук, Палеев Дмитрий...»

«Васильев Андрей Юрьевич Экспериментальное исследование пространственновременной структуры конвективной турбулентности в замкнутых объемах 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Пермь – 2013 1 Работа выполнена на кафедре общей физики ФГБОУ ВПО Пермский государственный национальный исследовательский университет Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Фрик...»

«ИМЫХЕЛОВА МАРИНА БАДМАЕВНА ОЦЕНКА ПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СИСТЕМ ВИБРОЗАЩИТЫ МАШИН, ПРИБОРОВ И ОБОРУДОВАНИЯ Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Иркутск - 2011 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Научный руководитель : доктор технических наук, профессор Мижидон Арсалан Дугарович Официальные...»

«Ануфриев Игорь Сергеевич ФИЗИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДАРНО-ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ИНТЕНСИВНОЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ФРОНТ НИЗОВОГО ЛЕСНОГО ПОЖАРА 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы 03.00.16 – Экология (физико-математические наук и) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск – 2009 Диссертация выполнена в учреждении Российской академии наук Институте теплофизики им. С.С....»

«Вдовиченко Ирина Анатольевна ПЛАЗМЕННО-ВОЛНОВЫЕ СТРУКТУРЫ, ФОРМИРУЕМЫЕ ВЧ-РАЗРЯДОМ В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Нижний Новгород – 2011 Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского. Национальный исследовательский университет...»

«Корниенко Денис Олегович НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОД ОСЦИЛЛЯЦИЙ ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ И ЗАРЯЖЕННОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ТАЮЩЕЙ ГРАДИНЫ 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы. АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Пермь – 2011 Работа выполнена в лаборатории математического моделирования физических процессов Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова Научный руководитель : доктор...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.