WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Лавриненко Валентина Валерьевна

ЗАДАЧИ ТЕРМОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ

ДЛЯ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2008

Работа выполнена на кафедре теории упругости Южного федерального университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Пряхина Ольга Донатовна доктор физико-математических наук, профессор Ляпин Александр Александрович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург)

Защита диссертации состоится 23 декабря 2008 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете (ЮФУ) по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, ауд. 312.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Н. В.

Общая характеристика работы

В диссертационной работе сформулированы и решены ряд задач термоэлектроупругости для тонкостенных элементов. В работе предложен вариационный принцип с единым функционалом, который может быть эффективно использован для получения упрощенных моделей и формулировки корректных краевых задач при исследовании установившихся и нестационарных колебаний термоэлектроупругих элементов. Построен и изучен ряд моделей движения и колебаний термоэлектроупругой пластины при формулировке различных гипотез о строении физических полей. Проведенное сравнение моделей позволяет позволяет определить области их применимости в зависимости от параметров задачи.





Актуальность темы. Измерение температуры объектов является важнейшей инженерной задачей, позволяющей оперативно управлять технологическими и производственными процессами. При этом в качестве датчиков температуры в последнее время все чаще используются такие, в основе функционирования которых лежит пьезо- и пироэффект. Область применения таких датчиков достаточно широка: медицинская диагностика, системы контроля сложных динамических систем, системы идентификации параметров и другие. В ряде случаев, измерив температуру, можно анализировать и другие характеристики задачи, однозначно с ней связанные.

Так, например, при помощи измерения граничной температуры можно выявлять скрытые дефекты в конструкциях типа трещин, в окрестности которых при динамическом воздействии наблюдаются значительные градиенты температур.

Большой научный интерес представляет собой проблема расчета параметров и оптимизация при создании различных типов температурных датчиков из пиро- и пьезоактивных материалов, в которых в результате теплового нагружения наводится разность потенциалов. При определении потенциала необходимо учитывать взаимное влияние упругого, теплового и электрического полей. Детальный учет связанности физических полей в различных задачах термоэлектроупругости важен в связи с постоянной модернизацией датчиков, созданных на основе различных пьезо- и пироактивных материалов, в которых незначительные тепловые эффекты могут оказывать существенное влияние на сопряженные поля.

В связи с этим разработка методов решения задач с учетом связанных полей является весьма актуальной, особенно для тонкостенных элементов, которые являются важными компонентами датчиков.

Цели работы. Основная цель настоящей диссертационной работы состоит в формулировании объединенного вариационного принципа термоэлектроупругости и его применении для исследования динамических процессов в термоэлектроупругих тонкостенных элементах с учетом и без учета связанности, выяснении тех диапазонов изменения параметров задач, где упрощенные модели дают приемлемые результаты, а в каких ситуациях пренебрежение связанностью недопустимо.

Методика исследования. Методы, использованные в работе, опираются на классические подходы теории пластин и вариационные методы формулировки краевых задач математической физики. Результаты исследований опираются на общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, на использование интегральных преобразований Фурье и Лапласа, асимптотический анализ решений, методы теории функции комплексного переменного.

Научная новизна. В теории связанной термоэлектроупругости построен функционал, из стационарности которого вытекают основные уравнения и граничные условия модели. На основе вариационного подхода выведены корректные уравнения движения и граничные условия для термоэлектроупругих пластин при различных типах теплового нагружения на лицевых поверхностях при разной структуре гипотез при аппроксимации физических полей по толщинной координате. Решен ряд новых конкретных задач о колебаниях термоэлектроупругих ленточных пластин. Исследовано влияние связанности полей на наведенный потенциал, дана оценка применимости различных упрощенных подходов.





Практическая значимость. Вариационная постановка задачи термоэлектроупругости позволяет строить различные уточненные модели колебаний пироэлектрических датчиков, в том числе при наличии разрезных электродов. Результаты исследований задач о колебаниях термоэлектроупругих пластин могут быть использованы при расчетах и оптимизации пироэлектрических датчиков.

Достоверность полученных в диссертации результатов обеспечивается строгими математическими методами при формулировке упрощенных краевых задач на основе вариационного подхода, асимптотическим анализом потенциала при малых и больших временах, сравнением с точными решениями, сравнением результатов с различными предельными случаями.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на ряде конференций и семинаров: III Международной научной конференции Современные проблемы механики сплошной среды (г. Ростовна-Дону, 1997 г.); VI Международной научной конференции Современные проблемы механики сплошной среды (г. Ростов-на-Дону, 2000 г.); Международной конференции Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике (г. Ростов-на-Дону, 2001 г.); Всероссийской научно-практической конференции Транспорт – 2004 (г. Ростовна-Дону, 2004 г.); III школе-семинаре Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика (г. Ростов-на-Дону, 2004 г.); X Международной научной конференции Современные проблемы механики сплошной среды (г. Ростов-на-Дону, 2006 г.); III Всероссийской школесеминаре Математическое моделирование и биомеханика в современном университете (п. Дивноморское, 2007 г.); IV Всероссийской школе-семинаре Математическое моделирование и биомеханика в современном университете (п. Дивноморское, 2008 г.).

В полном объеме диссертация докладывалась на семинарах кафедры теории упругости Южного федерального университета. Представленные в диссертации исследования выполнены при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-01011).

Публикации и вклад автора. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 10 работах. Из них одна статья [3] помещена в журнале из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук, утвержденного ВАК РФ.

3 работы выполнены в соавторстве с научным руководителем А. О. Ватульяном. В работах [3], [4], [5] А. О. Ватульяну принадлежит постановка задачи и основные идеи получения вариационного принципа в задачах термоэлектроупругости, обсуждение результатов, автору диссертации принадлежит вывод вариационного принципа и построение решений приведенных задач. 2 работы выполнены в соавторстве с А.О. Ватульяном и А. Ю. Кирютенко. В работах [1], [2] А. О. Ватульяну принадлежит постановка задачи и основные идеи асимптотического анализа; диссертанту принадлежит построение решения для потенциала и его асимптотический анализ; А. Ю.

Кирютенко принадлежит построение решений для смещений и напряжений и численный анализ всех решений.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 116 страниц. Список литературы содержит 141 наименование.

Во введении обоснована актуальность исследований, предпринятых в работе; представлены историческая справка и краткий обзор работ и известных результатов по тематике диссертации. Большой вклад в развитие прикладных теорий и численных методов в электроупругости, термоупругости, термоэлектроупругости внесли В. А. Бабешко, А. В. Белоконь, А. О. Ватульян, И. И. Ворович, В. Т. Гринченко, С. А. Калоеров, А. Д. Коваленко, Р. М. Кушнир, А. В. Наседкин, В. З. Партон, Я. С. Подстригач, О. Д. Пряхина, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинов, Г. А. Шинкаренко, F. Ashida, D. Berlincourt, R. B. Hetnarski, Z.-B. Kuang, R. D. Mindlin, V. Nowacki, S. Shen, Q.-H. Qin и другие российские и зарубежные ученые.

В главе 1 представлена постановка задач в термоэлектроупругости и изучены некоторые свойства решений.

В разделе 1.1 представлена полная система уравнений связанной термоэлектроупругости в линейном приближении с учетом определяющих соотношений. Так, общая система уравнений в частных производных второго порядка, описывающая движение термоэлектроупругой среды, имеет вид:

где uj – компоненты вектора перемещения; – электрический потенциал;

– прирост температуры от естественного состояния; cijkl – компоненты тензора упругих постоянных; eikl – компоненты тензора пьезоэлектрических постоянных; ik – компоненты тензора диэлектрических проницаемостей; ij – компоненты тензора температурных напряжений; gi – пирокоэффициенты; kij – компоненты тензора теплопроводности; c – теплоемкость при постоянной деформации; – плотность; T0 – температура естественного состояния по шкале Кельвина (все величины измерены в изотермическом состоянии).

Сформулированы различные типы механических, тепловых и электрических граничных условий.

В случае, когда разность потенциалов наводится в результате теплового или механического воздействия на элемент и необходимо определить ее величину, она определяется из условия включения элемента в электрическую цепь:

где I(t) – ток в цепи.

Кроме граничных условий формулируются начальные условия для основных полевых характеристик.

Для важного случая пьезокерамики класса 6mm, наиболее часто использующейся в приложениях, приведены определяющие соотношения и представлен операторный вид уравнений, удобный для дальнейшего анализа.

В разделе 1.2 проведено обезразмеривание общей задачи и представлены различные случаи ее упрощения в термоэлектроупругости, использующее малость введенных безразмерных параметров 1, характеризующего связанность температуры с электрическим потенциалом и упругим смещением, и 2, являющегося отношением характерных времен звуковых t1 = H /c3333 и тепловых t2 = H 2 c /k33 возмущений. Для дальнейшего анализа задачи вводится в рассмотрение операторный пучок - преобразование Лапласа по времени с параметром s. Представлены несколько возможных упрощенных постановок, позволяющих изучить наиболее характерные типы решений в термоэлектроупругости:

1. Стационарное решение, на которое выходит система при t, что соответствует s 0.

2. Квазистатическое решение, получающееся при пренебрежении инерционными слагаемыми, т.е. при 2 = 0. Это приближение не описывает скачков напряжений на фронтах волн, но может быть использовано для описания поведения потенциала в зависимости от времени.

3. Решение в предположении малой связанности, т.е. 1 – мало. В этой постановке при тепловом возбуждении сначала определяется поле температур, а затем находится распределение остальных характеристик.

4. Квазистатическое решение в линейном приближении по 1.

В разделе 1.3 приведено решение важной одномерной задачи о тепловом ударе по полубесконечной среде, которая является обобщением известной задачи Даниловской в термоупругости. Краевая задача в данном случае описывается следующей системой уравнений:

с граничными условиями при x3 = 0:

и с нулевыми начальными условиями.

Общая формула для нахождения потенциала в этом случае имеет вид:

где L1 – обратное преобразование Лапласа, 0 (s) – трансформанта ЛаплаT са по времени 0 (t), = 33 c – безразмерный коэффициент, характеc ризующий температурную связанность полей, аналогичный коэффициенg3 0 h g 3 T циент электромеханической связи.

Дальнейший анализ осуществляется на основе различных подходов к анализу задач термоэлектроупругости. Найден потенциал в случае использования концепции слабосвязанной задачи; построена асимптотика передаточной функции, использующая малость параметра связанности. Исследовано поведение безразмерной наведенной разности потенциалов 0 ( ) при различных видах теплового нагружения: 0 ( ) = 1 ( ) = ( ), 0 ( ) = 2 ( ) = H( ), 0 ( ) = 3 ( ) = H( ) H( 1 ). На рис. 1 приведена зависимость потенциала от безразмерного времени в случае 0 ( ) = 3 ( ) = H( ) H( 1 ). Cравнение полученных при различных видах теплового нагружения результатов показало, что при малых временах основной вклад в потенциал вносит теплоэлектрическая связанность задачи, характеризуемая параметром 1. С ростом влияние этого параметра ослабевает и основной вклад в потенциал вносят термоупругий и электромеханический эффекты, влияние которых характеризует комплекс 2.

В главе 2 описана вариационная постановка задач термоэлектроупругости, необходимая для получения корректных краевых задач в случаях, когда возможно построение более простых моделей для тонкостенных элементов.

В разделе 2.1 приведены основные вариационные уравнения для термопьезоэлектрической среды, обобщающие принцип Гамильтона для термоупругих тел при установившихся колебаниях. При традиционном использовании этого подхода (Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. - М.: Мир, 1986, 160 с.) нужно варьировать два функционала. В задачах для тонкостенных элементов, в которых вводятся гипотезы о строении неизвестных полей и для корректной постановки краевых задач целесообразно использовать вариационный подход, это не всегда удобно.

В разделе 2.2 предлагается использовать подход с одним функционалом, основанный на принципе Гамильтона для единой термоэлектромеханической системы. Представленный в разделе стационарный вариационный принцип может быть эффективно использован для получения простых моделей колебаний термоэлектроупругих элементов.

Для термоэлектроупругого тела, занимающего объем V, ограниченного поверхностью S, введено понятие кинематически возможного поля U, которым названо множество вектор-функций {ui,, } C 2 (V ), вариации которых удовлетворяют условиям где Su – часть поверхности S, на которой заданы компоненты вектора смещений, на S задана температура, S± электродирована.

Показано, что среди всех кинематически возможных полей истинные доставляют стационарное значение функционалу L, где на S задан вектор напряжений с компонентами pi, на Sq – тепловой поток f.

Из условия равенства нулю первой вариации функционала L (7) следуют уравнения уравнения связанной термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний и естественные граничные условия. Также отмечено, что построенный функционал L является обобщением известных функционалов в электроупругости и термоупругости, и в случае, когда коэффициенты связанности ij = 0, gi = 0, он представляется в виде суммы L = L1 +L2, где функционал L1 отвечает задаче электроупругости, а функционал L2 – задаче теплопроводности в случае установившихся колебаний.

В разделе 2.3 сформулирован в общем случае в нестационарных задачах термоэлектроупругости вариационный подход в пространстве изображений по Лапласу. Единый функционал L в пространстве Лапласа построен аналогично случаю установившихся колебаний с помощью формальной замены i на s в L (7), использующей существующий в линейном случае принцип соответствия между задачами об установившихся колебаниях и преобразованными по Лапласу нестационарными задачами.

В главе 3 построены прикладные теории для тонкостенных элементов и исследован ряд моделей на их основе.

В разделе 3.1 введены два основных типа задач, отличающихся постановкой граничных условий для тепловых характеристик. Рассматривается тонкостенная термоэлектроупругая плита V = [H, H], где - плоская односвязная область с гладкой границей, R2 и =. Элемент поляризован в направлении оси x3. На внешние поверхности x3 = ±H нанесены бесконечно тонкие электроды. Ставится задача об отыскании наведенного потенциала на электродах.

Задача 1-го типа. На верхней и нижней гранях плиты задан тепловой поток, механические нагрузки отсутствуют; боковая поверхность плиты = [H, H] теплоизолирована, неэлектродирована и свободна от механических нагрузок. Граничные условия имеют вид:

Здесь nj - компоненты единичного вектора нормали к.

Задача 2-го типа. На верхней и нижней гранях плиты задается распределение температуры как функция координат и времени, механические напряжения отсутствуют; боковая поверхность теплоизолирована, неэлектродирована и свободна от механических нагрузок:

Далее рассмотрена краевая задача для тонкой термоэлектроупругой пластины, для которой = H 1, a = diam, поляризованную в направлении оси x3. Для получения упрощенной модели деформирования пластины используются определяющие соотношения для класса 6mm, 33 полагается равным нулю. Учитывая малость параметра, приняты гипотезы о строении физических полей, аналогичные гипотезам Кирхгофа. Из условия равенства нулю первой вариации проинтегрированного по x3 функционала L с учетом принятых гипотез и определяющих соотношений получены разрешающие уравнения и граничные условия для задач обоих типов. При этом система уравнений в каждой задаче естественным образом подразделяется на две задачи:

Задача 1.1:

c u10,1 n1 + 2(c c )u10,2 n2 + c u20,2 n1 11 T1 n1 + (T1,1 n1 + T1,2 n2 )| = 0.

Задача 1.2:

(c n2 + c n2 )u30,11 + (c n2 + c n2 )u30,22 + 2(c c ))u30,12 n1 n2 + c u30,111 n1 + (2c c )u30,122 n1 + c u30,222 n2 + c u30,112 n2 + В задаче 1.1 неизвестными являются u10, u20 – планарные смещения и полусумма граничных температур T1, характеризующие плоскую задачу связанной термоупругости. Однако, в этой задаче в правой части присутствует в качестве нагрузки потенциал 0. В случае, когда наведенная разность потенциалов неизвестна, она определяется из дополнительного условия включения элемента в цепь.

В задаче 1.2 неизвестными являются u30 – поперечное смещение и полуразность граничных температур T2, характеризующие задачу изгиба связанной термоупругости. Потенциал 0 явно в эту задачу не входит, а в качестве нагрузки выступает разность тепловых потоков на лицевых поверхностях пластины.

Задача 2.1:

c11 u10,1 n1 + 2(c11 c12 )u10,2 n2 + c12 u20,2 n1 11 T1 n1 + 31 0 n 2(c c )u20,1 n1 + c u20,2 n2 + c u10,1 n2 11 T1 n2 + 31 0 n Задача 2.2:

(c n2 + c n2 )u30,11 + (c n2 + c n2 )u30,22 + 2(c c ))u30,12 n1 n2 + c u30,111 n1 + (2c c )u30,122 n1 + c u30,222 n2 + c u30,112 n2 + В задаче 2.1 неизвестными являются u10, u20, в задаче 2.2 неизвестным является u30 – поперечное смещение. В этой постановке T1, T2 оказываются известными и определяются из граничных условий на верхней и нижней поверхностях. Задачи 1.1 и 2.1 суть плоские задачи анизотропной термоупругости и теории упругости с массовыми силами соответственно. Отмечается, что потенциал на электродах наводится в результате теплового воздействия именно в этих задачах. В задачи 1.2, 2.2 – задачи изгиба – потенциал явно не входит.

В разделе 3.2 рассмотрена задача о колебаниях пластины-полосы из термоэлектроупругого материала класса 6mm, находящейся в состоянии плоской деформации. Сечение пластины плоскостью x2 = const есть прямоугольник [l, l] [H, H], а колебания пластины возбуждаются разностью температур, приложенной к границам x3 = ±H, (задача 2 типа) (12)-(13). В этой постановке постоянные ± известны, неизвестный потенциал 0 определяется из дополнительного условия (2). Упрощенная модель деформирования ленточной пластины при = H 1 строится в рамках классических гипотез Кирхгофа. Аналогично процедуре в разделе 3.1 с использованием вариационного подхода из 2.2 получена система уравнений и граничных условий, которая естественным образом разделяется на две независимые задачи, которые условно можно назвать задачей растяжения-сжатия и задачей изгиба тонкостенного элемента:

Задача 2.1.1 (растяжение-сжатие, неизвестная u10 ):

Задача 2.2.1 (изгиб, неизвестная u30 ):

В задаче 2 уравнение и первое граничное условие лишь членами 2 u и 2 u30 соответственно отличаются от классического уравнения изгиба балки и учитывают инерцию вращения. Роль изгибающего момента, приложенного на краях x1 = ±l, играет слагаемое T2, зависящее от разH ности температур + и.

Дополнительное условие отсутствия тока в цепи (2) принимает форму:

Наведенный потенциал определяется из (16) следующим образом:

1 = H(e 11 sin(k) + g3 c k cos(k))d1, d0 = 33 c11 k cos(k) + e31 sin(k), Таким образом, в пироэлементе имеется два набора резонансных частот, соответствующих продольным резонансам, определяемым из условия d0 (kj ) = 0, и изгибным, определяемым из уравнения K0 (ki ) = 0. На этих частотах наведенный потенциал обращается в бесконечность, при T2 = 0 изгиб отсутствует.

В разделе 3.3 рассмотрена задача из раздела 3.2 с уточненными гипотезами о строении полей. Это связано с тем, что простейшая модель деформирования тонкостенного элемента, исследованная в 3.2, не всегда может быть использована; в частности, она не учитывает зависимость температуры от координаты x1, дает неограниченный рост потенциала на частотах продольного и изгибного резонансов. Уточненные гипотезы имеют вид:

Получена более сложная модель колебаний пластины. Система уравнений и граничных условий также разделяется естественным образом на две незаРис. 2. |1 | в окрестности первого резонанса простейшей модели (задача 2.1.1), сплошная линия, и в уточненной модели (задача 2.1.2), пунктирная линия висимые задачи: обобщенную задачу растяжения-сжатия 2.1.2, неизвестными в которой являются u10, 0, и обобщенную задачу изгиба 2.2.2 с неизвестными u30, 0. Обобщенные задачи существенно сложнее своих аналогов из раздела 3.1 и могут быть исследованы традиционными средствами, однако структура их решений весьма громоздка и выражается через корни характеристических уравнений 4-ой (биквадратного) и 6-ой (бикубического) степени. Наведенный потенциал имеет такую же структуру, как и в разделе 3.1: 0 = 1 T1 + 2 T2. Отмечается, что наведенная разность потенциалов 0 явно не входит в задачу изгиба, но выражается неявно через u и 0 из дополнительного условия (2).

На рис.2 отображены зависимости амплитуды наведенного потенциала от безразмерной частоты k для пироэлектрического элемента из титаната бария (сплошные линии соответствуют простейшей модели 2.1.1, штриховые - уточненной модели 2.1.2) в окрестности первого продольного резонанса. В уточненной модели всплески амплитуд незначительно (менее 1%) сдвинуты в сторону увеличения k и являются конечными. Сравнение моделей показало, что в областях, удаленных от резонансов, решения задач практически совпадают и для описания поведения потенциала в этих областях может быть использована простейшая модель, в то время как в окрестности резонансов расхождения значительны и моделировать процесс наведения электрического потенциала следует используя более сложные гипотезы о строении физических полей.

В случае 11 = 0, что соответствует отсутствию связанности, в моделях 2.1.1, 2.1.2 решение для наведенного потенциала в задаче 2 совпадает и приводится к виду где d0 определяется согласно (17).

В разделе 3.4 исследована задача для ленточной пластины из пьезокерамики, поляризованной вдоль оси x3, боковые грани которой теплоизолированы, а на лицевых поверхностях нанесен бесконечно тонкий электрод и задается тепловой поток, что соответствует задаче 1. Механические нагрузки отсутствуют, на электродах наводится разность потенциалов за счет пироэффекта. Для построения упрощенной модели деформирования пластины в рамках классических гипотез Кирхгофа приняты такие же предположения о строении физических полей, как и в задаче типа 2 в разделе 3.1, и используется вариационный подход. Полученная система уравнения естественным образом разделяется на две задачи:

Задача 1.1.1 (растяжение-сжатие, неизвестные u10 : T1 ) Задача 1.2.1 (изгиб, неизвестная u30, T2 ):

Разность значений теплового потока на лицевых поверхностях присутствует лишь в задаче 2, а сумма – в задаче 1. Потенциал 0 явно входит лишь в задачу растяжения-сжатия. Для определения наведенной разности потенциалов также необходимо использовать дополнительное условие отсутствия тока в цепи (2), которое в данном случае примет форму:

Следует отметить, что при аналогичных гипотезах о строении полей в случае задачи 2 была получена простейшая, по сути несвязанная, модель колебаний (задачи 2.1.1 и 2.2.1) с неограниченным ростом потенциала на частотах продольного и изгибного резонансов. В задаче 1 при тех же гипотезах система уравнений сохраняет связанность.

В разделе 3.5 формулируется нестационарная задача для пластиныполосы из термоэлектроупругого материала класса 6mm, находящейся в состоянии плоской деформации. Для построения упрощенной модели в пространстве изображений по Лапласу применен вариационный подход, сочетающий вариационный принцип и технику преобразования Лапласа. Полученные задачи растяжения-сжатия и изгиба тонкостенного элемента имеют вид:

Задача 2.1.1 (растяжение-сжатие, неизвестная u10 ):

Задача 2.2.1 (изгиб, неизвестная u30 ):

Дополнительное условие для определения наводящейся разности потенциалов имеет вид:

Наведенная разность потенциалов 0 выражается через заданную функцию T1 (x1, s) следующим образом:

Отметим, что в случае, когда T1 (x1, s) - нечетная по x1, разность потенциалов не наводится. Для частных случаев T1 (x1, ) = T1 (x1 )h( ), T1 (x, ) = Рис. 3. 0 ( ) (точками) и ( ) (сплошная линия) при малых при T1 (x, ) = T1 e T1 (h( )h( 1 )), T1 (x, ) = T1 e, где h( ) - функция Хевисайда, решения получены аналитически, построены асимптотики при s, что соответствует t 0, проведено сравнение полученных аналитических решений и асимптотических приближений. Графики 0 ( ) (точное решение) и ( ) (асимптотическое разложение) при малых (это соответствует временам 1, 8 · 106 9 · 106 ) приведены на рис. 3. Видно, что при малых значениях параметра эти функции практически совпадают.

В разделе 3.6 исследована задача о движении пластины-полосы из термоэлектроупругого материала класса 6mm и построена упрощенная модель в пространстве изображений по Лапласу (с параметром s); исследованы свойства решений.

Пластина находится в состоянии плоской деформации, на лицевые поверхности воздействует тепловой поток, при этом наводится разность потенциалов. Для получения упрощенной модели аналогично подходам в задачах предыдущих разделов используются гипотезы о строении полей, применяется вариационный подход. Полученная система уравнений и граничных условий естественным образом разделяется на две независимые задачи, условно называемые задачей растяжения-сжатия и задачей изгиба тонкостенного элемента. Система уравнений обезразмерена в соответствии с концепцией, предложенной в разделе 1.2, и получена следующая система уравнений:

Задача 1.1.2 (растяжение-сжатие, неизвестные u10 и T1 ): Задача 1.2.2 (изгиб, неизвестные u30 и T2 ):

где q1, 2 = (q + ± q )/2.

Дополнительное условие (2) принимает вид:

где s = t0 s, t0 = Исследовано решение задачи растяжения-сжатия, в которую потенциал входит явно, в случае q + = q = q. Задача изгиба в этом случае имеет лишь тривиальное решение. Построена передаточная функция для наведенной разности потенциалов, связывающая потенциал и тепловой поток. Построены асимптотики для больших и малых s. Так, обращение для асимптотики 0 в случае q1 = Qh(t), где h(t) - функция Хевисайда, что соответствует q1 = Рассмотрена упрощенная квазистатическая постановка, получающаяся при пренебрежении в (26) инерционными слагаемыми, т.е. при 2 = 0, построена передаточная функция в этом случае. Показано, что при s 0 для определения наведенного потенциала при больших временах можно использовать квазистатическую постановку; при s для получения достоверного решения рекомендовано использовать динамическую постановку. Сделан вывод, что на начальном этапе структура потенциала определяется величиной, зависящей только от параметра 1 g, который характеризует теплоэлектрическую связанность задачи. С ростом времени вклад в потенциал дает термоупругий и пьезоэлектрический эффект.

1. Сформулирован единый вариационный принцип в задачах термоэлектроупругости в стационарном и нестационарном случаях.

2. Построены прикладные теории, описывающие колебания тонкостенных термопьезоэлектрических элементов и подразделяющиеся на плоские задачи и задачи изгиба.

3. Решен ряд задач о колебаниях ленточных пластин при различном виде теплового нагружения на лицевых поверхностях; проанализирована структура наведенного потенциала в зависимости от температуры и частоты колебаний; показано, что основной вклад дает задача растяжения-сжатия.

4. Оcуществлен анализ влияния типа нестационарного теплового воздействия на наведенный в тонкостенном элементе электрический потенциал; на основе асимптотического анализа выявлено, что на начальных этапах основной вклад дает теплоэлектрическая связанность задачи, с ростом времени влияние этого фактора ослабевает и основной вклад вносят термоупругий и пьезоэлектрический эффекты.

(Федорова – фамилия соискателя до вступления в брак, Ковалева – фамилия соискателя в первом браке, Лавриненко – фамилия соискателя во втором браке) [1] Ватульян А. О., Кирютенко А. Ю., Федорова В. В. Задача Даниловской в термоэлектроупругости. // Межвузовский сборник научных трудов Интегро-дифференциальные операторы и их приложения, Ростов-на-Дону: Изд. центр ДГТУ. 1997. Вып. 2. С. 25-30.

[2] Ватульян А. О., Кирютенко А. Ю., Федорова В. В. О нестационарном тепловом воздействии на термоэлектроупругую среду. //Современные проблемы механики сплошной среды. Труды III Международной научной конференции, г. Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997 г., Ростов-наДону: МП Книга. Т. 1. C. 69-73.

[3] Ватульян А. О., Ковалева В. В. Вариационный принцип термоэлектроупругости и его применение в задаче о колебаниях тонкостенного элемента. // Прикладная механика и техническая физика, 2002. N 1.

Т. 43. C. 196 201.

[4] Ватульян А. О., Ковалева В. В. Применение вариационного принципа в термоэлектроупругости к задаче о колебаниях тонкостенного элемента. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 6-й международной научной конференции, г. Ростов-на-Дону, 12-14 июня 2000 г. Т.1. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ. 2001. C. 64-68.

[5] Ковалева В. В. Применение вариационного подхода к нестационарным задачам термоэлектроупругости для тонкостенных элементов. // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике. Тезисы докладов секции аспирантов, магистрантов и студентов РГУ на международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 3декабря 2001 г. Ростов-на-Дону: Изд-во ЦВВР. 2001. С. [6] Ковалева В. В. Нестационарная задача термоэлектроупругости для пластины в случае постоянной температуры на торцах. // Транспорт – 2004. Труды Всероссийской научно-практической конференции, г.

Ростов-на-Дону, май 2004 г. Часть 3. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУПС.

[7] Ковалева В. В. Нестационарная задача термоэлектроупругости для пластины. // Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика. Труды III школы-семинара, Ростов-на-Дону, 15ноября 2004, г. Ростов-на-Дону: Изд-во ЦВВР. 2004. C. 92- [8] Ковалева В. В. О корректной формулировке краевых задач для термоэлектроупругих пластин при тепловом нагружении. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 5–9 декабря 2006 г. Т. II. Ростов-на-Дону.

Изд-во ЦВВР. 2007 г. С. 185-190.

[9] Ковалева В. В. Анализ влияния малых параметров в нестационарной задаче термоэлектроупругости для тонкостенного элемента. // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов III Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское, 28 мая - 1 июня 2007 г. Ростов-на-Дону: Изд-во Терра [10] Ковалева В. В. Об определении потенциала в нестационарной задаче термоэлектроупругости для тонкостенного элемента. // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов IV Всероссийской школы-семинара, пос. Дивноморское, 2-6 июня 2008 г. Ростов-на-Дону: Изд-во Терра Принт. 2008. С. 56.



 
Похожие работы:

«КАМЕНСКИЙ Алексей Владимирович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ БИФУРКАЦИИ СОННОЙ АРТЕРИИ ЧЕЛОВЕКА НА РАЗЛИЧНЫХ СТАДИЯХ АТЕРОСКЛЕРОТИЧЕСКОГО ПОРАЖЕНИЯ И ПОСЛЕ ОПЕРАЦИОННОГО ВМЕШАТЕЛЬСТВА 01.02.08 – биомеханика Автореферат диссертации на соискание степени кандидата физико-математических наук Саратов 2007 Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики в ГОУ ВПО “Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского” Научный руководитель...»

«Козулин Игорь Анатольевич ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГАЗО-ЖИДКОСТНОГО ТЕЧЕНИЯ В МИКРОКАНАЛАХ С РАЗЛИЧНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Новосибирск – 2013 Работа выполнена в ФГБУН Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН Научный руководитель доктор физико-математических наук, зав. лаб. Кузнецов Владимир Васильевич Официальные...»

«ПОТЯНИХИН Дмитрий Андреевич ПЛОСКИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Владивосток – 2010 Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской академии наук Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Буренин Анатолий Александрович...»

«УДК 532.517.532.546 Логвинов Олег Анатольевич Особенности неустойчивого вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу при больших числах Пекле 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук 2 Москва – 2011 Работа выполнена на кафедре газовой и волновой динамики механикоматематического факультета...»

«Садретдинов Шамиль Рахибович МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ПРОЦЕССОВ РАЗДЕЛЕНИЯ ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ В ПНЕВМАТИЧЕСКИХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ АППАРАТАХ Специальность 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Томск 2011 2 Работа выполнена на кафедре прикладной аэромеханики ФГБОУ ВПО Национальный исследовательский Томский государственный университет Научный руководитель : доктор...»

«Голубцов Павел Евгеньевич ПОЛИМОРФИЗМЫ И ЗАДАЧА О РАЗРУШЕНИИ АДИАБАТИЧЕСКОГО ИНВАРИАНТА 01.02.01 – теоретическая механика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2012 Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени...»

«САФИУЛЛИНА Марина Вадимовна ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ДВУХМЕРНОЙ И ТРЕХМЕРНОЙ НАКЛОННЫХ ПОЛОСТЯХ 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Тюмень – 2008 2 Работа выполнена в лаборатории вычислительной гидродинамики ГОУ ВПО Тюменский государственный университет Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Зубков Павел Тихонович Официальные...»

«Кучугов Павел Александрович Динамика процессов турбулентного перемешивания в лазерных мишенях 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2014 Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Рос­ сийской академии наук. Научный руководитель : доктор физ.-мат. наук, профессор, Змитренко Николай Васильевич Научный консультант : доктор физ.-мат. наук, профессор,...»

«КАЮМОВ РУШАН РАШИТОВИЧ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ РАЗРЯД МЕЖДУ СТРУЙНЫМ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКИМ КАТОДОМ И ПРОТОЧНОЙ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ЯЧЕЙКОЙ-АНОДОМ Специальность: 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Казань 2010 Работа выполнена на кафедре технической физики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (КАИ). Научный руководитель : – доктор технических наук, профессор Гайсин Азат...»

«Луховицкий Борис Иосифович Воспламенение и горение газовых смесей при возбуждении молекул резонансным лазерным излучением Специальность 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Центральном институте авиационного моторостроения имени П.И. Баранова. Научный руководитель : доктор...»

«КОСТЫРКО Сергей Алексеевич НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛЕНОЧНОМ ПОКРЫТИИИ И ФОРМИРОВАНИЕ РЕЛЬЕФА ЕГО ПОВЕРХНОСТИ 01.02.04 механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург 2008 Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного...»

«Груздков Алексей Андреевич КОНЦЕПЦИЯ ИНКУБАЦИОННОГО ВРЕМЕНИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ СПЛОШНЫХ СРЕД Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Санкт-Петербург 2009 Работа выполнена на кафедре теории упругости математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета Научный консультант –...»

«Колесников Алексей Михайлович БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ростов-на-Дону 2006 Работа выполнена на кафедре теории упругости Ростовского государственного университета. Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Зубов Леонид Михайлович Официальные оппоненты доктор физико-математических...»

«БАЯНОВ ИЛЬМИР МАСУИЛОВИЧ ДИНАМИКА МНОГОФАЗНЫХ ВЫБРОСОВ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ Специальность 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Уфа - 2007 Работа выполнена в Институте механики Уфимского научного центра РАН Научный консультант : доктор физико-математических наук, профессор Шагапов Владислав Шайхулагзамович Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор...»

«Титова Наталия Сергеевна Исследование воспламенения и горения водорода и метана в газовых потоках при возбуждении электронных степеней свободы молекул кислорода Специальность 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2012 Работа выполнена в ФГУП “Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова”...»

«Гришина Ольга Александровна БИОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ВИДА РЕКОНСТРУКТИВНОГО ВМЕШАТЕЛЬСТВА НА КОРОНАРНЫХ АРТЕРИЯХ СЕРДЦА ЧЕЛОВЕКА Специальность 01.02.08 – биомеханика АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Саратов – 2013 Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Саратовский государственный...»

«Марышев Борис Сергеевич НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Пермь – 2010 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН Научный руководитель : доктор физ.-мат. наук, профессор Любимова Татьяна Петровна Официальные доктор физ.-мат. наук, профессор оппоненты:...»

«ПОЛОЗ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ БИОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА ЧЕЛОВЕКА Специальность 01.02.08 – биомеханика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Саратов, 2011 Работа выполнена в отделе патологии рефракции, бинокулярного зрения и офтальмоэргономики ФГБУ Московский научно-исследовательский институт глазных болезней им. Гельмгольца Минздравсоцразвития России Научный руководитель доктор биологических наук Иомдина Елена Наумовна...»

«Антимонов Михаил Александрович ПОСТРОЕНИЕ НИЖНИХ ОЦЕНОК ЭНЕРГИИ ДВУХФАЗНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ Специальность 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела Автореферат диссертации на соискание учной степени e кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург 2011 Работа выполнена в лаборатории математических методов механики материалов Учреждения Российской Академии наук Института проблем машиноведения РАН (ИПМаш РАН) Научный...»

«Мельников Андрей Михайлович Задачи предельного равновесия дилатирующих тел в условиях плоского напряженного состояния 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 на кафедре теории пластичности Работа выполнена механико-математического факультета Московского государственного...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.