WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Богачев Иван Викторович

МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ НЕОДНОРОДНЫХ

ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ИХ СВОЙСТВ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону – 2014

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образователь­ ном учреждении высшего профессионального образования «Южный федераль­ ный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Ватульян Александр Ованесович.

Официальные оппоненты:

Суворова Татьяна Виссарионовна, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообще­ ния», профессор кафедры «Высшая математика», Зеленцов Владимир Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет», руководитель, старший научный сотрудник Ресурсного центра коллективного пользования.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный универси­ тет».

Защита состоится «13» мая 2014 г. в 17:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 при Южном федеральном университете (ЮФУ), располо­ женном по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке имени Ю.А. Жданова ЮФУ по адресу: 344103, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 21 Ж.

Автореферат разослан «9» апреля 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Николай Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Исследование характеристик материалов со слож­ ными неоднородными свойствами, таких как полимеркомпозиты, функционально­ градиентные материалы, геологические породы, пьезокерамики, биологические ткани в настоящее время является одним из важнейших направлений механи­ ки сплошной среды.



Процедура осреднения, присущая механике композитов, не всегда дает результаты, близкие к экспериментальным данным, поэтому исполь­ зование моделей с переменными характеристиками весьма актуально. Вслед­ ствие сложности прямых экспериментальных оценок механических свойств та­ ких материалов со сложной реологией важна разработка новых методов иден­ тификации неоднородных характеристик, основанных на различных моделях материалов: упругих, вязкоупругих, электроупругих и др. Кроме того, в свя­ зи со спецификой самих материалов (например, биологических тканей) инте­ рес представляют неинвазивные методы, одним которых является акустическое зондирование, при специальной обработке результатов которого удается восста­ навливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных ха­ рактеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта.

В случаях однородных или кусочно-однородных характеристик исследуе­ мого материала вычислительные схемы их идентификации на основе анализа характера колебаний традиционны и строятся на основе минимизации функци­ оналов невязки. При исследовании идентификации свойств материалов с уче­ том неоднородных свойств на начальных этапах исследования была широко распространена постановка, в которой известны (измерены) физические поля внутри исследуемого объекта. Задача в таком случае оказывается линейной и сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка или к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Если информацию о физических полях можно получить только на границе тела, то обратная за­ дача существенно нелинейна. В таком случае решение задачи сводится к нели­ нейным операторным уравнениям, которые могут быть исследованы лишь на основе некоторых итеративных процедур, принципы построения которых опи­ раются на слабую постановку и метод линеаризации. В случае, когда требуется определение нескольких функций, задача сводится к решению нетривиальных нелинейных обратных задач, которые стали исследоваться совсем недавно.

Цель работы заключается в построении методов расчета колебаний для идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе при­ менения акустических методов и использование их при решении одномерных обратных коэффициентных задач для вязкоупругих и электроупругих тел ти­ па балки, слоя, прямоугольника.

Методика исследования прямых задач о колебанях неоднородных тел основана на сведении краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода, решаемым с помощью метода коллокаций. Исследование обратных задач идентификации свойств неоднородных тел проводится с помощью постро­ ения итерационных процессов, на каждом шаге которых решаются прямые за­ дачи и с помощью метода регуляризации Тихонова определяются поправки к восстанавливаемым функциям из интегральных уравнений и систем интеграль­ ных уравнений Фредгольма 1-го рода.

Научная новизна диссертационной работы заключается в построе­ нии подходов к решению прямых и новых обратных задач, имеющих важное значение в разработке общих принципов идентификации свойств новых мате­ риалов, в частности, функционально-градиентных, пьезокерамик, а также мно­ гослойных биологических тканей.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, основана на использовании строгого аналитического аппарата теорий упругости и вяз­ коупругости, математического анализа и принципа соответствия при постанов­ ке задач и выводе операторных соотношений, на сравнительном анализе полу­ ченных результатов с известными решениями в частных случаях, проведении большого набора численных экспериментов для различных законов изменения неоднородностей.

Практическая ценность диссертационного исследования состоит в построении и развитии эффективных методов идентификации неоднородных свойств тел сложной структуры на основе анализа акустического отклика, ис­ пользуемых во многих областях современной науки, таких как механика компо­ зитов, геомеханика, механика функционально-градиентных материалов, биоме­ ханика. Использование предложенных подходов для анализа свойств биологи­ ческих тканей, например, при обследовании кожного покрова пациента, может позволить на ранних стадиях выявлять различные патологии и заболевания.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе, были представ­ лены на Всероссийских и международных конференциях: "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование"(Волгодонск, 2011 г.), Х Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и при­ кладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), XV и XVI международные кон­ ференции "Современные проблемы механики сплошной среды"(Ростов-на-Дону, 2011 и 2012 г.), VI, VII, VIII Всероссийская школа-семинар "Математическое мо­ делирование и биомеханика в современном университете"(пос. Дивноморское, 2011, 2012 и 2013 г.), Russian-Taiwanese symposium "Physics and mechanics of new materials and their applications"(Rostov- on-Don, 2012), Всероссийская (с между­ народным участием) конференция по механике деформируемого твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013 г.) и на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 [1–8] опубликованы в рецензируемых журналах из «Перечня тах [1–18], из них ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка лите­ ратуры из 107 наименований, 46 рисунков. Общий объем диссертации составля­ ет 116 страниц машинописного текста.

Исследования, изложенные в диссертационной работе, поддержаны Мини­ стерством образования РФ (соглашения 14.132.21.1358 и 14.132.21.1360), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009- годы (госконтракт № П596), грантами РФФИ (10-01-00194-а, 13-01-00196-а, 12-01-31501 мол-а, 14-01-31393 мол-а), Южным федеральным университетом НИР 213.01-24/2013-74.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность и сформулирована цель диссер­ тационной работы, приведен обзор литературы по задачам идентификации од­ нородных и неоднородных механических свойств различных материалов, в том числе биологических тканей. Отмечены отечественные и зарубежные ученые, внесшие значительный вклад в построение методик расчета колебаний и иден­ тификации характеристик неоднородных тел, создание и разработку методов решения обратных и некорректных задач: Адамов А.А., Арутюнян Н.Х., Арсе­ нин В.Я., Бакушинский А.Б., Бленд Д.Р., Бухгейм А.П., Ворович И.И., Вату­ льян А.О., Гончарский А.В., Гетман И.П., Денисов А.М., Зубов Л.М, Кабани­ хин С.И., Кристенсен Р., Лаврентьев М.М., Лебедев Л.П, Маслов Л.Б., Матвеен­ ко В.П., Мусхелишвили Н.И., Олейник О.А., Партон В.З., Работнов Ю.Н., Ржа­ ницын А.Р., Романов В.Г., Санчес-Паленсия Э., Соловьев А.Н., Тихонов А.Н., Устинов Ю.А., Федоров А.Е., Ферри Дж., Филиппов А.П., Шардаков И.Н., Ях­ но В.Г., Al-Khourya R., Ara’ujo A.L., Elliott L., Gallego R., Gladwell G.M.L., Ingham D.B., Jager A., Khan A.A., Kreider K.L., Lesnic D., Lin, X, McLaughlin J., Martin L., Palma R., Pereira J.M., Polansky J., Yoshida F., Zhang H., Zhiming Chen и другие.

В первой главе диссертации представлены постановки прямых и обрат­ ных задач о колебаниях тел, рассмотренных в работе, которые сформулированы как для размерных, так и для безразмерных характеристик. В параграфе 1. приведено краткое описание моделей вязкоупругих тел, в частности модели стандартного вязкоупругого тела (модели Зинера), применяемой в работе, и принципа соответствия, с использованием которого сформулированы постанов­ ки задач о колебаниях вязкоупругих тел.

В параграфе 1.2 рассмотрены две постановки задачи об установившихся изгибных колебаниях неоднородного вязкоупругого стержня - при нагружении силой и моментом. После отделения временного множителя уравнение и гранич­ ные условия в случае нагружения поперечной силой (задача 1.1) имеют вид:

В случае нагружения изгибающим моментом (задача 1.2), граничные усло­ вия имеют вид:

размерного комплексного модуля материала, из которого изготовлен стержень, – безразмерная частота колебаний, – параметр, характеризующий безраз­ длительного модуля соответственно, В параграфе 1.3 приведена в рамках принципа соответствия формулировка задачи о плоских и антиплоских колебаниях неоднородного по толщине вязко­ упругого слоя, занимающего область [0, ]}. Нижняя грань слоя жестко защемлена, на верхней границе приложены Для рассматриваемой постановки предложено разделение общей задачи на две однотипные несвязанные краевые задачи относительно осредненных харак­ входит комплекснозначная функция нозначные функции (аналоги характеристик Ляме).

В силу однотипности задач (4) и (5) построены операторные соотношения для вспомогательной задачи 2.3, которая получается после введения безразмер­ ристик:

для задачи 2.2.

В параграфе 1.4 рассмотрена постановка задачи о колебаниях с частотой ной электроупругой средой, поляризованной вдоль вертикальной координаты 3. Нижняя грань жестко защемлена и электродирована, на верхней электро­ дированной границе приложены механические и электрические нагрузки. На боковых гранях задано условие свободной границы, либо скользящей заделки.

Решение двумерной краевой задачи удалось упростить, сведя ее к более про­ стой одномерной задаче относительно осредненных характеристик смещения и электрического потенциала:

Рассмотрены два типа нагружения – механическое и электрическое, что позволило сформулировать три более простых задачи.

Задача 3.1 аналогична сформулированной ранее задаче 2.3.

33 (3 ), 33 (3 )):

Задача 3.3 (связывает функции 33 – пьезоэлектрическая характеристика, 33 – диэлектрическая проницаемость.

В параграфе 1.5 для каждой из сформулированных в параграфах 1.2-1. прямых задач ставятся обратные задачи об идентификации неизвестных неод­ нородных характеристик. Для задач о колебаниях неоднородных вязкоупругих стержней обратные задачи заключаются в нахождении комплексного модуля вязкоупругого стержня по известному смещению в некотором частотном диа­ пазоне:

Для задач 1.1 и 1.2 сформулированы соответствующие обратные задачи.

(, ) из (1), (2) по дополнительной информации (10).

(, ) из (1), (3) по дополнительной информации (10).

Аналогичные обратные задачи сформулированы для задач о вязкоупру­ гом слое и электроупругом прямоугольнике. Для обратной задачи о вязкуопу­ пругом слое в качестве дополнительной информации выступает информация о полях смещений, заданных на верхней границе слоя при известном законе изменения плотности в некотором частотном диапазоне, для электроупругого прямоугольника – информация о механических и электрических характеристи­ ках, измеренных на верхней границе.

В параграфе 1.6 рассмотрена постановка задачи о восстановлении свойств неоднородного по толщине вязкоупругого слоя (моделирующего кожный по­ кров), в свою очередь состоящего из трех слоев, моделирующих подкожный жир, дерму и эпидермис, с учетом информации о смещении на верхней границе слоя. Эта задача также сведена к задаче относительно осредненных характери­ стик.

Вторая глава посвящена сведению прямых задач, сформулированных в первой главе, к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода. Прямые задачи 1.1, 1.2 (о колебаниях стержня) и 2.3 (о колебаниях слоя) сведены к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода вида (11).

где для задачи 1.1:

для задачи 1.2:

для задачи 2.3:

Для прямых задач 3.2 и 3.3 введены безразмерные переменные и харак­ теристики 33 = 33 /33 (0), 33 = 33 /33 (0), 33 = 33 /33 (0), 2 = 2 2 /33 (0), 2 = 33 (0)33 (0)/2 (0), 3 = 3 /33 (0), 0 = 0 /(0, ), для решения сформулировано интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода:

а определяется из соотношения 3 = 0. Использованные обозначения (для удобства записи тильду далее будем опускать):

В третьей главе описаны подходы, применяемые для решения обратных задач, сформулированных в параграфах 1.5 и 1.6. В параграфе 3.1 даны некото­ рые сведения о типах обратных задач и их области применения. Также ввиду того, что обратные задачи в большинстве случаев являются некорректными, приведены наиболее распространенные способы решения таких задач и преодо­ ления некорректности в них. В параграфе 3.2 представлено построение общего итерационного подхода к решению обратных задач на основе слабой постанов­ ки. В параграфе 3.3 построен процесс, позволяющий решать исходную задачу в классе дробно-линейных функций, которые используются затем в качестве начальных приближений в основной задаче.

В параграфах 3.4-3.6 представлены общие подходы для решения обратных задач на основании построения итерационных процессов с использованием ме­ тода линеаризации. Представим основные этапы их реализации:

ствующие значения функций, характеризующих физические поля, можно получить при решении прямых задач, сведенных к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода (11) - (12).

2. Поправки к неизвестным функциям находятся из интегральных уравне­ ний Фредгольма 1-го рода, построенных на основе метода линеаризации. Для за­ дач о стержне и слое соответсвующие уравнения относительно поправок (14), (15) и (16):

Для задач об электроупругом прямоугольнике получены два ИУФ 1-го функциям для механического и электрического нагружений соответственно. На -м шаге итерационного процесса они имеют вид (17) и (18):

где Уравнения (14), (15), (16), (17), (18) представляют собой интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами. Нахождение их решений представляет собой некорректные задачи, и требует регуляризации на основа­ нии, например, метода А.Н. Тихонова.

3. Следующие приближения неизвестных функций находятся по форму­ (14), (15) и (16) записываются относительно поправок мгновенного и длительного модуля.

Построенный итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие выхода, в качестве которого выбрано условие заданной ма­ лости величины функционала невязки. В итоге, для обратных задач для стерж­ венный и длительный модули. Для обратных задач об электроупругом прямо­ угольнике предлагаемый подход позволяет определить упругий модуль (на основании процесса, аналогичного построенному для слоя) и на выбор две функции из трех: упругий модуль пьезоэлектрическую характеристику жений к искомым функциям, необходимых для реализации такой схемы, осу­ ществляется методами, основанными на минимизации функционала невязки.

В четвертой главе представлены результаты экспериментов по решению прямых и обратных задач и анализ полученных результатов. В параграфе 4. приведены теоретические основы методов, используемых при численном реше­ нии интегральных уравнений: метода коллокаций и метода Тихонова. В пара­ графах 4.2 и 4.3 представлены результаты вычислительных экспериментов по решению прямых и обратных задач о колебаниях соответственно вязкоупругого стержня и слоя. Точность вычислительных алгоритмов проверена на задачах для однородных и неоднородных характеристик в упругом случае. Построены графики амплитудно-частотных характеристик при решении прямых задач для различных законов изменения безразмерных характеристик. Также приведены результаты решения обратных задач по идентификации неизвестных мгновен­ ных и длительных модулей для различного характера монотонности.

Пример 1. Восстановление немонотонных функций () = 2 + 2(( + 1.5)), = 0.1. Начальные приближения найдены в виде 30 итераций, погрешность не превосходит 10% (рисунок 1). Для обратной зада­ чи 1.2 потребовалось 25 итераций, погрешность не превосходит 8% (рисунок 2).

На рисунках графики точного решения отмечены сплошной линией, начального приближения – пунктиром, восстановленной функции – точками.

На основании полученных результатов можно отметить, что для обратной задачи 1.2 восстановление происходит с меньшей погрешностью и за меньшее число итераций, чем для обратной задачи 1.1.

Рис. 1. Восстановление немонотонных функций. Обратная задача 1. h(x) Рис. 2. Восстановление немонотонных функций. Обратная задача 1. Затем приведены результаты решения обратных задач для вязкоупругого При решении задач был использован итерационных процесс, построенный для решения вспомогательной обратной задачи для обезразмеренных параметров и хараткеристик.

Пример 2. Восстановление монотонных законов изменения неоднородных характеристик вязкоупругого слоя 22, () = 2.1+0.52. Для первого этапа начальные приближения найдены в 0 () = 0.45+0.85 и () = 1.6+3.2. Для восстановления был выбран погрешность для первого этапа не превышает 4%. На рисунке 3 представлены результаты восстановления для первого этапа.

hm(x) Рис. 3. Первый этап. Восстановление монотонных функций На втором этапе идентификация производилась на отрезке потребовалось 8 итераций, на рисунке 4 представлены результаты восстановле­ ния. Относительная погрешность восстановления не превышает 5%.

Рис. 4. Второй этап. Восстановление монотонных функций Также, для обратной задачи о слое приведены результаты эксперимен­ тов, исследующих влияние зашумления дополнительной информации на по­ грешность восстановления. Из приведенных результатов можно делать вывод о непрерывной зависимости погрешности идентификации с помощью регуляри­ зационных методов от величины зашумления входной информации.

В параграфе 4.4 представлены результаты вычислительных эксперимен­ тов по восстановлению кусочно-непрерывных функций, характеризующих без­ размерные мгновенный и длительный модули неоднородного по толщине вяз­ коупругого слоя, моделирующего кожный покров. Восстанавливаемые парамет­ но проведен анализ влияния параметров каждого из составных слоев на ампли­ тудно-частотные характеристики и качество восстановления.

Пример 3. Восстановление кусочно-линейных функций:

Начальные приближения выбирались с учетом информации о толщине каждого из слоев:

плитудно-частотной характеристики. Для идентификации потребовалось 5 ите­ раций. Результат восстановления приведен на рисунке 5. Погрешность рекон­ струкции не превосходит 6%.

В параграфе 4.5 приведены результаты численных экспериментов по вос­ становлению двух безразмерных характеристик электроупругой прямоугольной области – упругого модуля Пример 4. Восстановление немонотонных функций 1)+3, 33 () = cos(+2)+3, начальное приближение найдено в виде 33 () = Рис. 6. Восстановление немонотонных функций По рассчитанным амплитудно-частотным характеристикам выбран частот­ восходит 6.5%. Результаты восстановления приведены на рисунке 6.

Результаты восстановления характеристик в вычислительных эксперимен­ тах в четвертой главе свидетельствуют о достаточной эффективности постро­ енных в работе подходов к решению обратных задач.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны методы решения задач об изгибных колебаниях неоднород­ ной вязкоупругой консоли.

2. Развиты методы решения задач о толщинных колебаниях неоднородных слоя и электроупругого прямоугольника на основе численного анализа уравнений Фредгольма 2-го рода.

3. Разработаны новые подходы при построении итерационных процессов и их реализации в обратных задачах по реконструкции неоднородных свойств тел при анализе установившихся колебаний.

4. Разработаны алгоритмы, составлены программы, проведена серия вычис­ лительных экспериментов по определению неоднородных характеристик твердых тел для различных типов неоднородностей, изучено влияние за­ тухания на процедуру реконструкции.

5. Представлен подход к идентификации неоднородных характеристик трех­ слойной структуры, моделирующей кожный покров.

Список работ, опубликованных по теме диссертации 1. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об идентификации неоднород­ ных характеристик вязкоупругих стержней при изгибных колебаниях // Ме­ ханика композиционных материалов и конструкций. — 2011. — Т. 17, № 1. — С. 1016–1023.

2. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об определении неоднородных реологических свойств балок // Вестник ДГТУ. — 2011. — Т. 10, № 7. — С. 107–111.

3. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация упругих ха­ рактеристик неоднородного по толщине слоя // Акустический журнал. — 2011. — Т. 57, № 6. — С. 723–730.

4. Богачев И.В., Явруян О.В. Об одном подходе к идентификации свойств неоднородного слоя // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Ло­ бачевского. — 2011. — Т. 4, № 4. — С. 158–163.

5. Богачев И.В., Ватульян А.О. Обратные коэффициентные задачи для дис­ сипативных операторов и идентификация свойств вязкоупругих материа­ лов // Владикавказский математический журнал. — 2012. — Т. 14, № 3. — С. 31–44.

6. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация свойств неод­ нородной электроупругой среды // Прикладная математика и механика. — 2012. — Т. 76, № 5. — С. 860–866.

7. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Идентификация неоднородных свойств ортотропного упругого слоя // Акустический журнал. — 2013. — Т. 9, № 6. — С. 752–758.

8. Богачев И.В., Ватульян А.О., Дударев В.В. Об одном методе идентифи­ кации свойств многослойных мягких биологических тканей // Российский журнал биомеханики. — 2013. — Т. 13, № 3. — С. 37–48.

9. Аникина Т.А., Богачев И.В., Ватульян А.О. Об идентификации харак­ теристик костной ткани на основе акустических методов // БИОМЕХА­ НИКА-2010. X Всероссийская конференция по биомеханике. Тезисы докла­ дов. — 2010. — С. 24–25.

10. Богачев И.В., Ватульян А.О. Идентификация вязкоупругих свойств мягких биологических тканей // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VI Всероссийской школы-семи­ нара, пос. Дивноморское, 20 мая – 2 июня 2011 г. — 2011. — С. 19–20.

11. Богачев И.В., Ватульян А.О. Идентификация вязкоупругих характеристик неоднородного по толщине слоя // Мат. форум. Исследования по мат. ана­ лизу и диф. уравнениям. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А (Итоги науки. Юг России). — 2011. — Т. 5. — С. 185–189.

12. Богачев И.В., Явруян О.В. Об одном подходе к идентификации свойств неоднородного слоя // Современные методы механики. Х Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной меха­ ники. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков. Тезисы до­ кладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г.). — 2011. — С. 219.

13. Богачев И.В., Ватульян А.О. Модели кожи и методы идентификации ее свойств // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара, пос.

Дивноморское, 28 мая — 1 июня 2012 г. — 2012. — С. 20.

14. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Об идентификации неоднород­ ных свойств ортотропной упругой полосы // Современные проблемы ме­ ханики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ро­ стов-на-Дону, 16-19 октября 2012 г. — 2012. — С. 45–49.

Bogachev I.V., Vatulyan A.O., Yavruyan O.V. Properties identification of the 15.

inhomogeneous electroelastic medium // Abstracts Russian-Taiwanese Symposium ”Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications”.

Rostov-on-Don, Russia, June 4 – 6, 2012. –– 2012. –– P. 219.

16. Богачев И.В. Идентификация свойств кожи на основе трехслойной вяз­ коупругой модели // Современные проблемы механики сплошной среды.

Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012 г. — 2012. — С. 30–34.

17. Аникина Т.А., Богачев И.В. Обратные задачи определения переменной жесткости вязкоупругих стержней // Динамика сплошной среды. Доклады II Всероссийской конференции ”Деформирование и разрушение структурно­ неоднородных сред и конструкций”, Новосибирск 10-14 октября 2011 г. — 18. Богачев И.В. О моделировании диагностики сращивания костной ткани // Математическое моделирование и биомеханика в современном университе­ те. Тезисы докладов VIII Всероссийской школы-семинара, пос. Дивномор­ ское, 27– 31 мая 2013 г. — 2013. — С. 23.



 
Похожие работы:

«ЯРУЛЛИН РУСТАМ РАИСОВИЧ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ И ОСТАТОЧНАЯ ДОЛГОВЕЧНОСТЬ НАСАДНОГО ДИСКА ПАРОВОЙ ТУРБИНЫ С ПОВРЕЖДЕНИЕМ В ШПОНОЧНОМ ПАЗУ 01.02.06 – Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Саратов – 2009 Работа выполнена в лаборатории Вычислительная механика деформирования и разрушения Исследовательского центра проблем энергетики Учреждения Российской академии наук Казанского...»

«АЛМАЗОВА СВЕТЛАНА ВИКТОРОВНА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ УПРУГИХ ТЕЛ 01.02.01. – Теоретическая механика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург 2008 Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного...»

«ЛИСИНА Светлана Александровна КОНТИНУАЛЬНЫЕ И СТРУКТУРНОФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ СРЕД С МИКРОСТРУКТУРОЙ 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Нижний Новгород – 2009 Работа выполнена на кафедре прикладной математики Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева и в Нижегородском филиале Института машиноведения им. А.А.Благонравова...»

«ТЕРЕГУЛОВА Евгения Александровна УДК 532.529:534.2 АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ В ОДНОЙ ИЗ ФРАКЦИЙ 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук КАЗАНЬ - 2011 Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики и машиностроения Казанского научного центра РАН. Научный руководитель : доктор физико-математических наук,...»

«Лепов Валерий Валерьевич СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ НАКОПЛЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ И ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Специальность: 01.02.06. Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Якутск – 2006 Работа выполнена в Институте физико-технических проблем Севера СО РАН Научные консультанты: академик РАН, профессор, доктор технических наук Ларионов В.П. доктор технических наук, профессор...»

«Строкатов Антон Анатольевич ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОГНЕННЫХ И ТЕПЛОВЫХ СМЕРЧЕЙ 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск – 2007 Диссертация выполнена на кафедре физической и вычислительной механики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Томского государственного университета и в лаборатории распространения волн Института оптики...»

«Валиев Харис Фаритович РЕШЕНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ И НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ О СИЛЬНОМ СЖАТИИ СФЕРИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕМОВ ГАЗА 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2011 Работа выполнена в Центральном институте авиационного моторостроения имени П.И. Баранова Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Крайко Александр Николаевич Официальные оппоненты...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.