WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Роганова Наталья Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Специальность 05.13.18 –

«Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ»

(технические наук

и)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва 2010 Диссертация выполнена в Московском государственном индустриальном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Шарафутдинов Г.З.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Карцов С.К.

кандидат физико-математических наук Король Е.З.

Ведущая организация – Московский государственный технический университет "МАМИ" (МГТУ МАМИ)

Защита состоится 17 июня 2010 года в 1530 часов на заседании диссертационного совета № Д212.129.03 при Московском государственном индустриальном университете по адресу г. Москва, ул. Автозаводская, 16 в зале Ученого совета МГИУ (ауд. 1605) С диссертационной работой можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного индустриального университета.

Автореферат разослан 13 мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета № Д212.129. кандидат технических наук Кузнецов А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования определяется его направленностью на решение одной из важнейших народнохозяйственных проблем — повышение надежности и уровня безопасности эксплуатации различного уровня конструкций и сооружений. В последнее время с целью предотвращения возникновения техногенных катастроф повышаются нормативные требования к эксплуатации многих промышленных объектов. Газопроводы, большое количество которых (разных диаметров и давлений) ежегодно вводится в работу в связи со строительством и развитием городов, поселков, предприятий, нефтепроводы, транспортирующие большие объемы нефти при высоких давлениях, циркуляционные трубопроводы АЭС — вот далеко неполный перечень сооружений, основу которых составляют трубчатые конструкции. Все вышеперечисленные объекты отличаются повышенной сложностью анализа безопасности и рисков, сводящегося, прежде всего, к исследованию их напряженно-деформированного состояния.




Обычно анализ напряженно-деформированного состояния производится в предположении однородности механических, в частности прочностных, свойств материала конструкции или какого-либо изделия или сооружения.

Однако некоторые конструкционные, строительные и другие виды материалов являются неоднородными уже вследствие условий их изготовления. Так, неоднородность бетонов, пластмасс и металлов или сплавов возникает в результате неравномерности их созревания, полимеризации или остывания соответственно.

Зависимость механических свойств материалов от координат может возникать и в процессе эксплуатации какого-либо изделия или конструкции в агрессивной среде или при наличии радиации, тепла, влажности и в общем случае при различных сочетаниях многофакторных механических, термических, коррозионных, эрозионных и некоторых других процессов. В частности, непрерывная неоднородность механических свойств материала возникает в сосудах и трубопроводах АЭС под действием тепла, радиации и т.п.

Неоднородность механических свойств материала наблюдается, в частности, в окрестности вертикальных и горизонтальных протяженных горных выработок и гидротехнических сооружений произвольного сечения, сооружаемых с применением буровзрывных работ, искусственным укреплением кольцевой зоны с помощью цементации, созданием ледопородного ограждения и другими способами.

В ряде случаев, например, при развитии упруго-пластических или высокоэластических деформаций механические свойства деформируемого материала при неоднородном напряженно-деформированном состоянии могут существенно зависеть от координат. В многочисленных исследованиях установлено, что в таких состояниях деформируемый материал практически несжимаем; при этом коэффициент Пуассона принимают равным 0,5.

Таким образом, актуальность темы работы определяется в первую очередь широким применением в инженерной практике конструкций и сооружений из материалов, обладающими неоднородными механическими характеристиками, и необходимостью разработки современных методов определения их напряженно-деформированного состояния, учитывающих эту неоднородность.

Другой аспект актуальности темы исследования напрямую связан с имеющей важное научное и практическое значение проблемой идентификации механических свойств неоднородных деформируемых материалов. Особую значимость, с практической точки зрения, эта проблема приобретает при изучении воздействия агрессивных сред и радиации на конструкционные материалы, что связано, в первую очередь, с обеспечением безопасности химических производств, атомных энергетических установок, трубопроводов различного назначения. В частности, после завершения срока службы натурных элементов трубопроводов АЭС проводят испытания с целью определения механических свойств до разрушения при повышенных статических давлениях. Анализ результатов испытаний, согласно федеральным нормам и правилам, необходим для обоснования продления назначенного срока эксплуатации объектов атомной энергетики. В этой связи большое значение приобретает разработка оперативных методов контроля напряженнодеформированного состояния и оценки прочностных характеристик материала конструкции.





Разработка методов идентификации механических свойств деформируемых материалов актуальна как в научных исследованиях, так и при получении исходных данных, используемых в прочностных расчетах.

Вместе с тем отметим, что математическое моделирование процессов деформирования неоднородных тел было начато лишь несколько десятилетий назад, в силу чего большое число проблем еще требует своего разрешения.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программного обеспечения для исследования напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации, в том числе:

• формулировка модельных задач определения компонент тензоров напряжения и деформации;

• разработка алгоритмов решения плоских задач при статической нагрузке; получение приближенного аналитического решения;

• разработка математического обеспечения для определения основных характеристик неоднородного упругого тела.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие основные задачи:

• построение математической модели толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, характеризующегося переменным модулем сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона;

• разработка алгоритмов и программного комплекса для численного решения задач определения напряженно-деформированного состояния в трубе из неоднородного упругого материала;

• разработка метода идентификации упругих характеристик неоднородных несжимаемых материалов;

• разработка математической модели и приближенного аналитического метода для определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел в условиях плоской деформации;

• разработка алгоритмов и пакета программ, предназначенного для реализации приближенного метода, проведение тестовых расчетов и сравнение полученных результатов с точным аналитическим решением;

• проведение серии вычислительных экспериментов для определения напряженно-деформированного состояния и исследования влияния на него параметров модели неоднородного тела.

Объектом исследования является напряженно-деформированное состояние в элементах конструкций, изделиях, сооружениях и т.п., выполненных из неоднородного упругого материала, в качестве которых выбраны толстостенные трубы, распространенные во многих отраслях промышленности и неоднородные области с цилиндрической полостью (окрестности шахт, горных выработок, ледопородные ограждения шахтных стволов).

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность полученных результатов базируется на использовании общих уравнений механики деформируемого твердого тела, общепринятых граничных условий и апробированных форм определяющих соотношений связи между напряжениями и деформациями; выполнением интегральных условий равновесия в задачах деформирования трубы. Достоверность полученных результатов обеспечивается сопоставлением их с точным решением задачи Ламе об осесимметричной плоской деформации полого цилиндра из неоднородного материала; проверкой выполнения граничных условий для каждого приближения при реализации итерационного процесса; сравнением результатов расчетов, полученными другими методами.

Методы и средства исследования. В диссертационной работе применялись методы математического и компьютерного моделирования. При разработке модели и получении решения использованы метод последовательных приближений, метод прогонки, метод комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, метод интегралов типа Коши и некоторые другие положения теории функций комплексного переменного.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Разработаны математическая модель, методики и алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе при различных соотношениях толщин слоев с неоднородными и однородными механическими характеристиками.

2. Разработана методика определения некоторых механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации на внешней поверхности трубы.

3. Разработаны математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации неоднородных тел.

4. Получены новые приближенные аналитические и численные решения задач плоской деформации в телах из неоднородного упругого материала (для случаев сжимаемого и несжимаемого материалов).

На защиту выносятся:

1. Математическая модель деформирования толстостенной трубы из неоднородного упругого материала, подвергнутой действию внутреннего давления и продольному растяжению, методики и алгоритмы определения напряженно-деформированного состояния трубы.

2. Методика определения механических характеристик неоднородного упругого материала по экспериментальным данным об окружной и продольной деформации, измеряемых на внешней поверхности трубы, и осевой силе.

3. Математическая модель и приближенный аналитический метод решения задач плоской деформации тел из неоднородных упругих материалов.

4. Результаты приближенного решения задач плоской деформации неоднородного пространства с круговой цилиндрической полостью бесконечной протяженности, полученные с помощью данного метода.

Практическая значимость. Решение задачи Ламе для неоднородного материала и разработанная методика определения его упругих характеристик позволяют использовать полученную информацию при расчетах и эксплуатации конструкций из неоднородного материала. На этой же основе может быть разработана система оперативного контроля напряженнодеформированного состояния трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала. Разработанный комплекс компьютерных программ позволяет по заданным характеристикам неоднородного упругого тела, находящегося в условиях плоской деформации, определять его напряженно-деформированное состояние.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались • на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в МГУ им. М.В.

Ломоносова (в 2009 г. и в 2010 г.);

• на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством акад. РАН И.Г. Горячевой;

• на заседании секции научного совета НИИ механики МГУ;

• на заседании кафедры высшей математики МГИУ.

Ряд положений диссертации был использован в учебном курсе «Уравнения математической физики» и нашел применение в учебном процессе МГИУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ, в том числе 2 — в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 130 наименований и 2 приложений.

Работа изложена на 122 страницах машинописного текста и содержит 35 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования.

В первой главе выполнен аналитический обзор отечественных и зарубежных литературных источников, посвященных проблемам определения напряженно-деформированного состояния неоднородных упругих тел. Исследованы существующие физико-математические модели напряженнодеформированного состояния неоднородных упругих тел и применяемые для их расчета аналитические и численные методы. Проанализированы работы Г.Б. Колчина, Э.А. Фавермана, В.А. Ломакина, Ду Цин-хуа, В.И. Андреева, А.И. Александровича, М. Мишику, К. Теодосиу и ряда других авторов. В них обосновано применение модели неоднородного изотропного упругого тела, исследованы различные численные методы, применяемые к данной модели, в том числе разностные схемы и приближенно-аналитические методы.

Показано преимущество приближенно-аналитических методов. Рассмотрено влияние различного вида неоднородностей на напряженно-деформированное состояние.

Обоснована необходимость разработки математической и численной модели напряженно-деформированного состояния неоднородных толстостенных труб. Задача о деформировании толстостенной трубы, внутри которой находится активно действующая агрессивная или радиоактивная среда, приводящая к неоднородному изменению механических характеристик материала, имеет большое практическое значение. Детальный анализ решения этой задачи важен, в частности, и в силу того, что трубчатые образцы часто используются при определении механических характеристик материалов.

Экспериментальные исследования свидетельствуют о том, что действие агрессивных сред и радиации приводит к существенным изменениям механических свойств материалов. Воздействию радиационных сред на трубчатые образцы (сосуды и трубопроводы давления АЭС, элементы корпусов реакторов) посвящено достаточно большое число работ, среди которых отметим монографию В.В. Герасимова о коррозии реакторных материалов и классическую работу Дж. Динса и Дж. Винйарда по радиационным эффектам в твердых телах. Модели деформирования конструкций в условиях радиационного облучения рассматривались, в частности, А.А. Ильюшиным и П.М. Огибаловым. Анализ экспериментальных данных показал, что по мере увеличения дозы облучения изменяется модуль упругости материала. Ю.М.

Широков и Н.П. Юдин отмечают увеличение модуля упругости. В исследовании В. Вудса, Д. Буппа и Дж. Флетчера приводится факт значительного изменения модуля Юнга в некоторых случаях, например, его трехкратный рост для графита при дозе облучения nvt = 1020 нейтр / см 2.

Одним из важных вопросов теории упругости неоднородных тел является вопрос о влиянии коэффициента Пуассона на напряженное состояние. В работе М.М. Плотникова показано, что коэффициент Пуассона слабо влияет на напряжения. Основываясь на этом факте некоторые авторы (например, В.И. Андреев в монографии «Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел») используют в расчетах предельное значение коэффициента = 0,5. Ряд исследователей также отмечают незначительное влияние радиации на значение коэффициента Пуассона.

Проведен анализ методик определения напряженно-деформированного состояния грунтовых сред в окрестностях шахтных стволов, сооружаемых буровзрывным способом или с использованием ледопородных ограждений шахт. Применение камуфлетных взрывов, так же как и построение ледопородных ограждений при проходке шахтных стволов, приводит к неоднородным механическим характеристикам грунтов в окрестности выработок. В окрестности ледопородного цилиндра формируется зона неоднородности механических характеристик мерзлого грунта. Установлено, что взаимодействие ледопородного ограждения и окружающего массива талого грунта усиливает неоднородность механических характеристик грунта в окрестности шахтного ствола.

Отмечается необходимость учета неоднородности упругих свойств грунтовых сред при проведении расчетов напряженно-деформированного состояния подземных сооружений и развития методик прогноза влияния неоднородности среды на надежность функционирования таких сооружений, в частности, шахтных стволов.

На основе проведенного анализа обоснована актуальность работы, определены и сформулированы задачи исследования.

Во второй главе приводятся результаты разработки математической модели напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы из неоднородного материала, методы решения соответствующего класса задач о действии внутреннего давления p и/или продольной силы F и примеры их применения для исследования напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе. Рассматриваемая математическая модель позволяет учесть неоднородность деформируемого материала, обусловленную различными причинами ее возникновения.

Неоднородность материала толстостенной трубы задается в виде непрерывной зависимости модуля сдвига от радиуса r в пределах от внутренней поверхности трубы (r=a) до внешней (r=b) при постоянном значении коэффициента Пуассона. Модель предполагает наличие в теле трубы диффузионного фронта r = c, (a c b), возникающего под действием агрессивной среды. Он представляет собой границу раздела неоднородного (поврежденного) материала (внутренний слой толстостенной трубы) и неповрежденного материала с исходными характеристиками (внешний слой). Материал внутреннего слоя характеризуется непрерывным модулем сдвига (r ) и постоянным значением коэффициента Пуассона ( i ), внешнего слоя — модулем сдвига 0 и коэффициентом Пуассона ( o ). При этом предполагается, что (c) = 0. Пусть в процессе деформирования трубы неоднородная зона постепенно распространяется по направлению к внешней поверхности трубы, в силу чего полагаем (r ) = 0 M (r ), 0 M (r ) 1, a r c.

Исследуемые варианты напряженно-деформированного состояния трубы характеризуются осевой симметрией, в силу чего радиальная компонента вектора перемещений представима в виде u = u (r ), окружное перемещение равно нулю, а продольная деформация z — постоянна. Ненулевые компоненты тензора деформаций определяются соотношениями r = du / dr, = u / r, z = = const. Закон Гука для компонент тензора напряжений при 0,5 используется в следующем виде Уравнение равновесия относительно радиального перемещения u = u (r ) принимает вид:

Рассмотрен процесс деформирования двухслойной толстостенной трубы, внутренний слой которой состоит из неоднородного материала, внешний — из однородного. Кроме того полагается, что материал внутреннего слоя несжимаем. Такая ситуация, допускающая аналитические исследования, возможна, например, при развитии пластических деформаций во внутреннем слое трубы. Компоненты тензора напряжения во внутреннем слое трубы задаются формулами где m1, m2 — постоянные интегрирования, определяемые путем удовлетворения граничным условиям.

Решение задачи Ламе классической теории упругости для внешнего слоя трубы при наличии продольной деформации имеет вид где n1, n2 — постоянные интегрирования, также определяемые путем удовлетворения краевым условиям. Учет условий сопряжения и краевых условий приводит к уравнениям где индексом i отмечена принадлежность соответствующей величины внутренней области; индексом o — внешней. Кроме того, осевая деформация z по всему сечению трубы полагается постоянной. Решение полученной системы из пяти уравнений относительно пяти неизвестных (постоянных интегрирования m1, m2, n1, n2 и продольной деформации z ) дает все необходимые для оценки напряженно-деформированного состояния величины.

В качестве примера определено напряженно-деформированное состояние трубы, внутренний и внешний радиусы которой соответственно равны a = 1 и b = 5 см. для а) внутреннего давления p = 2 104 кГ/см2 при отсутствии продольной растягивающей силы, б) продольного растяжения трубы, производимого при условном напряжении z( o ) = 1000 кГ/см2. Граница внутреннего поврежденного слоя c изменяется в пределах от a до b, упругие характеристики однородного слоя трубы: 0 = 106 кГ/см2, = 1 / 3, неоднородный материал несжимаем и его модуль сдвига задан в виде Рис. 1 – Зависимости z ( r ) при различном положении границы неоднородности c, цифрами 1, 2, 3, 4 и5 отмечено положение границы неоднородности равное 1, 2, 3,4 и 5 см соответственно.

Полученные результаты позволяют установить зависимость напряжений, деформаций и перемещений на внешней поверхности трубы от положения границы неоднородности, связанную с изменением свойств материала трубы. Так, например, в первом случае (рис. 1.а) при выходе границы неоднородности на внешнюю поверхность продольное напряжение на ней увеличивается почти в три раза по сравнению с номинальным напряжением.

На рис. 2 приведены зависимости радиального перемещения ub и продольной деформации z на внешней поверхности трубы от положения границы неоднородности c : цифрой 1 помечены кривые для случая внутреннего давления, цифрой 2 — для случая продольного растяжения.

Рис. 2. – Зависимости ub (c) и z (c) на внешней поверхности трубы С использованием полученного аналитического решения разработаны процедура определения прочностных характеристик неоднородного несжимаемого материала и методика оперативного контроля за напряженнодеформированным состоянием трубопроводов. Используемыми параметрами в этом случае являются внутреннее p и внешнее q давления, продольная сила F, окружная и продольная z деформации, измеряемые на внешней поверхности трубы.

В качестве примера рассмотрен случай, когда на внутренней поверхности трубы (r = a ) задано равномерное давление p, на внешней поверхности трубы (r = b) давление отсутствует. Кроме того, принимается z = 0. Для реализации последнего условия к концам трубы, считаемую достаточно длинной, должна быть приложена определяемая экспериментально сила F.

Помимо этого, учитываются условия сопряжения при r = c.

Известные значения давления и окружной деформации на внешней поверхности трубы приводят к системе двух уравнений откуда находятся n1 и n2. Граничное условие на внутренней поверхности трубы и условие сопряжения перемещений на границе раздела c дают значения коэффициентов m1 и m2, после чего напряжения в трубе определяются по приведенным выше формулам.

Учет условий сопряжения для напряжений при r = c и равновесия в продольном направлении приводит к двум соотношениям позволяющим установить, к примеру, двухпараметрическую форму представления модуля сдвига деформируемого неоднородного материала.

Для случая 0,5 разработан пакет программ расчета напряженнодеформированного состояния трубы, неоднородной по всей толщине. В частности, реализованы итерационный процесс определения напряженнодеформированного состояния и метод прогонки. Рассчитаны напряжения в толстостенной трубе из неоднородного упругого материала, подверженной а) действию равномерного внутреннего давления и б) продольному растяжению под действием заданной постоянной силы. Модуль сдвига задан соотношением ( r ) = 0 exp ( k / r i ), вид неоднородности варьируется путем изменения значений параметров k, i.

Полученные распределения напряжений в зависимости от радиуса r в случае действия внутреннего давления p = 104 кГ/см2 для указанного вида неоднородности материала свидетельствуют о том, что наибольшее влияние неоднородность оказывает на компоненты напряжений (r ) и z (r ) и практически не оказывает никакого влияния на r (r). При одноосном растяжении трубы в продольном направлении (с использованием тех же параметров трубы, но для нагрузки p = 0, q = 0, F = 24000 кГ, z(0) = 103 кГ/см2) наиболее заметно влияние неоднородности на распределение напряжений z (r ).

Влияние неоднородности на значения двух других компонент напряжений незначительно. Результаты, полученные разными способами, различаются не более, чем на 1,5%.

В третьей главе представлена математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние неоднородного тела в плоском случае. Неоднородность материала задана в виде = const, = 0 M ( x1, x2 ), 0 M ( x1, x2 ) 1, ( x1, x2 ) S, где S – область, занятая телом, 0 — размерный множитель. Все рассматриваемые функции непрерывны вместе с производными требуемого порядка. Введены безразмерные компоненты тензора напряжений ij, связанные с размерными компонентами ij этого тензора соотношениями ij = 2 0 M ij. Уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях, выраженные относительно величин ij, преобразованы к виду В рамках задачи плоской деформации теории упругости условие совместности при учете закона Гука и уравнений равновесия приводится к виду где 2 — двумерный оператор Лапласа. Полученное уравнение отличается от уравнений, используемых в аналогичных случаях С.Г. Михлиным, Ду Цин-хуа, В.А. Ломакиным, В.И. Андреевым.

Для решения системы уравнений (1)–(2) применен метод последовательных приближений. Система преобразуется к виду:

Нулевое приближение задается в виде ij0) = 0. Тогда Первые два уравнения тождественно удовлетворяются путем введения функции напряжений 1 ( x1, x2 ) :

При учете (4) последнее из уравнений (3) сводится к бигармоническому уравнению относительно функции напряжений 1 ( x1, x2 ). Найденная функция 1 ( x1, x2 ) дает возможность получить первое приближение рассматриваемой задачи. Для нахождения второго приближения в уравнения (3) подставляются выражения (4). Преобразованная система имеет вид Эта система уравнений удовлетворяется при где 2 ( x1, x2 ) — функция напряжений, соответствующая второму приближению. Последнее из уравнений системы (3) после подстановки в него ij преобразуется к виду Совершенно аналогично вычисляются третье и все последующие приближения Доказана сходимость рядов в выражениях (5). Отмечено следующее обстоятельство, влияющее на скорость сходимости: если в некоторой области ln M имеет положительный знак, то сходимость соответствующего ряда будет усиливаться в силу переменности знаков членов ряда.

Для решения последнего уравнения системы (5), которое достаточно сложно для аналитического или численного решения, предложен подход, использующий методы теории функций комплексного переменного. Данный подход позволяет получить аналитические формы первого, второго и других приближений. В его основе лежит приведение оператора Лапласа в (5) к другой канонической форме, дающей возможность произвести интегрирование этого уравнения для случая односвязной области, используя рациональные аналитические функции. В обозначениях Fk Fk ( z, z ) = k ( x1, x2 ), последнее из уравнений (5) примет вид Требуемые для учета граничных условий безразмерные комбинации компонент тензора напряжений выражаются как При этом соответствующие комбинации для размерных компонент тензора напряжений представимы в виде:

а при использовании конформного отображения z = ( ), = ei в виде:

В качестве нулевого приближения комплексной функции напряжений берется F0 ( z, z ) 0, тогда f 0 ( z, z ) = 0 и уравнение (6) принимает вид Его решение, выраженное через комплексные потенциалы 1 и 1, дается Для получения второго приближения в первую очередь находится функция f1 ( z, z ), которая выражается через 1 ( z ) и 1 ( z ), найденные в процессе первого приближения. Уравнение (6) для второго приближения уже является неоднородным; его общее решение состоит из общего решения соответствующего бигармонического уравнения и любого частного решения исходного неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения определяется формулой Гурса, а частное решение неоднородного уравнения находится при помощи непосредственного интегрирования. В связи с этим M ( z, z ) выбирается так, чтобы функция ln M ( z, z ) представляла собой некоторую рациональную функцию. Общее решение уравнения (6) относительно функции F2 ( z, z ) выражается в виде где Tk1 ( z, z ) = Ck1 ( z, z )dzdz, k = 1, 2, 3. Далее определяются безразмерные компоненты тензора напряжений:

где Затем составляется комбинация, необходимая для учета граничных условий:

При использовании конформного отображения z = ( ), = ei эта комбинация принимает вид Используя граничные условия, при помощи рядов Фурье и интегралов типа Коши, находим комплексные потенциалы 2 и 2 (выраженные относительно переменной z ). Последующие приближения определяются аналогичным образом. Для представления приближенных решений на каждом шаге необходимо иметь выражения для комплексных функций напряжений, вторые производные от которых позволяют получить необходимые комбинации тензора напряжений.

В четвертой главе разработанный приближенно-аналитический метод решения применяется к задаче определения напряженно-деформированного состояния неоднородного массива горных пород. В качестве первого примера рассмотрена задача о действии равномерного внутреннего давления P на контур круговой цилиндрической полости в бесконечном пространстве. Неоднородность материала задана двухпараметрическим семейством функций вида где 0 — размерный модуль сдвига, m и q — параметры, определяющие вид неоднородности материала. Коэффициент Пуассона предполагается постоянным, равным 0,5. В рассматриваемом случае имеется возможность получить аналитическое решение, позволяющее сравнить его результаты с результатами предложенного метода.

Принимая в качестве нулевого приближения тривиальное решение, ищется первое приближение. Для этого граничное условие на контуре отверстия преобразуется в виде Функции 1 ( z ) и 1 ( z ) являются голоморфными в области S и представимы рядами вида Поэтому граничное условие на контуре кругового отверстия принимает вид Таким же образом во втором приближении найдены 2 ( z ) = 0 и 2 ( z ), после чего определены выражения, необходимые при нахождении компонент тензора напряжений. В той же последовательности действий, как и при нахождении второго приближения, найдено третье приближение. Сравнение его с аналитическим решением данной задачи показывает хорошую сходимость итерационного процесса к аналитическому решению.

В качестве второго примера применения разработанного в главе 3 приближенно-аналитического метода рассмотрена задача об одноосном растяжении неоднородного упругого пространства с цилиндрической полостью, при этом на бесконечности задано напряжение 11 = p, а поверхность кругового выреза радиуса R свободна от внешних воздействий. Модуль сдвига ( x1, x2 ) задан в том же виде, как и в предыдущем примере, коэффициент Пуассона считается постоянным (0 0,5).

С помощью приемов, изложенных выше, определены комплексные потенциалы для первого, второго и третьего приближений, после чего найдены выражения для компонент тензора напряжений в каждом случае.

Построены графики, характеризующие изменение компонент тензора напряжений в сечении = / 2 при различных значениях параметра q, влияющего на характер неоднородности, для случая = 0,33. Отмечено увеличение коэффициента концентрации окружного напряжения на контуре отверстия более чем в два раза по сравнению с однородным материалом. Расчеты показали, что для ослабленного в окрестности цилиндрической круговой полости материала наблюдается снижение коэффициента концентрации окружных напряжений по сравнению с однородным материалом.

Проведен анализ зависимости компонент тензора напряжений от вида неоднородности, связанной с изменением параметра q. При положительных значениях q уже три первых приведенных приближения позволяют достаточно точно оценить напряженное состояние в рассматриваемом сечении.

При отрицательных значениях этого параметра сходимость процесса несколько замедляется.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Анализ литературы показал широкое распространение в технике конструкционных материалов, либо изначально неоднородных (в силу природных причин, за счет неоднородных условий синтеза материала или его обработки), либо приобретающие такие свойства в процессе эксплуатации (например, при действии радиации или агрессивных сред) или деформирования (например, в упруго-пластичной или высокоэластичной областях), и вместе с тем недостаточную проработку многих проблем, связанных с неоднородностью материалов, что естественным образом объясняется относительно небольшим сроком развития этой 2. Разработаны математическая модель, алгоритмы и комплекс программ для исследования напряженно-деформированного состояния в толстостенной трубе под действием внутреннего давления и продольного растяжения. Труба предполагается неоднородной с различным соотношением толщины внешнего однородного и внутреннего неоднородного слоев. Получены данные, характеризующие влияние неоднородности на напряженно-деформированное состояние в зависимости от положения границы слоев, разработан метод идентификации механических свойств несжимаемых неоднородных материалов, предложен способ оперативного контроля за напряженно-деформированным состоянием трубопровода и оценки индуцированной внутренней средой неоднородности материала трубы.

3. Разработана математическая модель для исследования напряженнодеформированного состояния в случае плоской деформации неоднородных тел.

4. Разработан итерационный метод, позволяющий при помощи теории функций комплексного переменного получить приближенные решения в аналитическом виде, и реализующий эти приближения программный комплекс, примененный, в частности, для расчета напряженнодеформированного состояния шахтных стволов, сооружаемых либо с помощью буровзрывного метода, либо с помощью метода ледопородных ограждений. Программный комплекс внедрен в учебный процесс Московского Государственного Индустриального Университета в рамках учебного курса «Уравнения математической физики».

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ НАУЧНЫХ ТРУДАХ

1. Роганова Н.А., Шарафутдинов Г.З. Применение функций комплексного переменного в задачах плоской деформации неоднородных тел // Известия МГИУ. 2008. №1 (10). С. 75–84.

2. Роганова Н.А., Шарафутдинов Г.З. Приближенный метод решения плоских задач теории упругости неоднородных тел // Машиностроение и инженерное образование. 2009. №3 (20). С. 63–71.

3. Роганова Н.А., Шарафутдинов Г.З. Моделирование процесса деформирования толстостенной трубы из неоднородного материала // Вестник БГТУ. 2009. №3 (23). С. 104–109.

4. Шарафутдинов Г.З., Роганова Н.А. Исследование деформационного масштабного эффекта в толстостенной трубе, подверженной действию агрессивной среды // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения – 2009». Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 155.

5. Шарафутдинов Г.З., Роганова Н.А. Об одном применении функций комплексного переменного в задачах теории упругости неоднородных тел // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения - 2009». Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 155.

6. Шарафутдинов Г.З., Роганова Н.А. Об Оперативной оценке напряженно-деформированного состояния трубопровода // Тезисы докладов научной конференции «Ломоносовские чтения -2010». Секция механики.

М.: Изд-во Моск. ун-та, (в печати).



 
Похожие работы:

«НА ПРАВАХ РУКОПИСИ УДК 681.3.058:65.11.56.362 АНУФРИЕВ Владимир Натанович СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ МНОГОПРОФИЛЬНОГО БАНКА Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (в оборонной и гражданской технике) Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2002 2 Работа выполнена в Московской академии рынка труда и информационных технологий. доктор физико-математических...»

«БУБНОВ ДМИТРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (технические системы) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва 2012 г. Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете СТАНКИН. Научный руководитель : доктор технических...»

«Смышляев Станислав Витальевич КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СОВЕРШЕННО УРАВНОВЕШЕННЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ Специальность 05.13.19. Методы и системы защиты информации, информационная безопасность АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Mосква 2012 Работа выполнена на кафедре математической кибернетики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного...»

«Егошин Алексей Валерьевич АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ВЫДЕЛЕНИЯ ГРАНИЦ РЕАЛИЗАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург – 2009 2 Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Марийский государственный...»

«ФИНОГЕЕВ Антон Алексеевич ПРОБЛЕМНО-ОРИЕНТИРОВАННАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕТЕРОГЕННОЙ БЕСПРОВОДНОЙ СРЕДЫ Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (приборостроение) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук ПЕНЗА 2011 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Пензенский государственный...»

«Лапатин Иван Леонидович ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЫХОДЯЩИХ ПОТОКОВ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск – 2012 Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Федерального государственного...»

«ЗАКАСОВСКАЯ Елена Владимировна НЕЙРОСЕТЕВОЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОТЫ ДАННЫХ Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук ВЛАДИВОСТОК – 2011 Работа выполнена в лаборатории прецизионных оптических методов измерений Института автоматики и процессов управления ДВО РАН...»

«Скворцова Мария Ивановна МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ СВЯЗИ МЕЖДУ СТРУКТУРОЙ И СВОЙСТВАМИ ОРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва – 2007 1 Работа выполнена в Московской государственной академии тонкой химической технологии (МИТХТ) им. М. В. Ломоносова ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор...»

«КОРКМАЗОВА Зарема Османовна МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА НА ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФАХ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ставрополь, 2006 Работа выполнена в Карачаево-Черкесской государственной технологической академии на кафедре математики. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Кочкаров Ахмат Магомедович...»

«Феоктистова Любовь Валерьевна АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОМПОНОВОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ Специальности: 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва, 2009 г. PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com Работа выполнена в ГОУ ВПО Московском государственном технологическом университете СТАНКИН...»

«Маличенко Ирина Петровна РАЗРАБОТКА ИНСТРУМЕНТОВ И МЕХАНИЗМОВ СТРАТЕГИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЗНАНИЯМИ В СИСТЕМЕ КОРПОРАТИВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Специальность: 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах (экономические наук и) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Ростов-на-Дону – 2009 Диссертация выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении Южный федеральный университет кандидат экономических наук,...»

«Маховенко Елена Борисовна РАЗРАБОТКА КРИПТОСИСТЕМ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧОМ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Специальность: 05.13.19 - Методы и системы защиты информации и информационной безопасности Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург 1999 2 Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном техническом университете Научный руководитель — доктор технических наук, профессор Зегжда...»

«Никоноров Андрей Николаевич СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СКВОЗНОЙ ТЕХНОЛОГИИ СОЗДАНИЯ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫХ АСУТП ТЕПЛОВЫХ ЭЛЕКТРОСТАНЦИЙ Специальность 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Иваново 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Ивановский...»

«ШАБАЛИН Александр Георгиевич РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАММАТИЧЕСКОГО ПОДХОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АВТОМАТИЧЕСКОГО ВЫРАВНИВАНИЯ И ОБЪЕДИНЕНИЯ ОНТОЛОГИЙ ПРЕДМЕТНЫХ ОБЛАСТЕЙ Специальность: 05.13.17 — Теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учной степени кандидата технических наук Таганрог - 2013 -2 Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования Южный федеральный университет....»

«КРАВЦОВА НАДЕЖДА АЛЕКСЕЕВНА АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ СБОРА И ХРАНЕНИЯ ДАННЫХ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ АДМИНИСТРАТИВНОГО МОНИТОРИНГА Специальность 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Орел-2012 2 Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Государственный университет –...»

«Шашкова Татьяна Геннадьевна КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯ КРУГОВОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ В ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ СРЕДАХ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Новосибирск – 2014 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новосибирский...»

«ДЬЯЧКОВА Илона Евгеньевна МЕТОД МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ НА ОСНОВЕ СУБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ПОДХОДА Специальность 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Дубна, 2006 г. Работа выполнена в Международном университете природы, общества и человека Дубна. Научный руководитель доктор технических наук, профессор Сахаров Юрий Серафимович Официальные оппоненты : доктор...»

«Фролов Алексей Андреевич Корректирующие свойства недвоичных кодов с малой плотностью проверок 05.13.17 – Теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2012 Работа выполнена в Лаборатории № 3 Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российскоий академии наук (ИППИ РАН). Научный руководитель : доктор технических наук,...»

«УДК 519.6 Подрыга Виктория Олеговна Моделирование теплофизических свойств веществ методами молекулярной динамики с использованием параллельных вычислений Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в...»

«Гильмуллин Ринат Абрекович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МНОГОЯЗЫКОВЫХ СИСТЕМАХ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ АВТОМАТОВ КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ 05.13.11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2009 Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики государственного образовательного учреждения высшего профессионального...»








 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.