WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Амироков Станислав Рауфович

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

В ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ И СТРУКТУРЫ

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СООБЩЕСТВ

Специальность: 05.13.18

«Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико–математических наук

Ставрополь - 2006

Работа выполнена в Северо-Кавказском государственном техническом университете на кафедре «Прикладная математика»

Научный руководитель:

- доктор физико-математических наук, профессор Наац Игорь Эдуардович

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Семенчин Евгений Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор Перепелица Виталий Афанасьевич

Ведущая организация: Ростовский государственный университет (г. Ростовна-Дону).

Защита состоится «16» июня 2006 года в 16.30 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.245.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Северо-Кавказском государственном техническом университете по адресу: 355029, г.

Ставрополь, пр. Кулакова, 2, ауд. 529.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Кавказского государственного технического университета по адресу: г. Ставрополь, пр.

Кулакова, 2.

Автореферат разослан «» мая 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент Мезенцева О.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Последнее время характеризуется осознанием необходимости качественно нового подхода к анализу и прогнозированию биологических, социальных и экологических процессов.

Возникла необходимость привлечения математических методов моделирования и исследования этих процессов.





Работа посвящена изучению математическими методами на основе математического моделирования процессов изменения структуры взаимодействующих сообществ в социологии, экологии, биологии, медицине, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, среди которых наиболее известны уравнения Лотки – Вольтерра. В диссертации осуществлена разработка вычислительных алгоритмов с использованием методов последовательных приближений в интегральной, дифференциальной форме и метода конечных элементов.

Известно, что все биосистемы, в том числе и человек, с физической точки зрения функционируют в колебательном режиме, и этот режим нелинейно связан с электромагнитным, в особенности гелио-магнитным полем среды обитания. Большинство реальных социальных и природных процессов и соответствующих им математических моделей нелинейны, с нелинейностью типа насыщения.

Динамика общественного развития описывается нелинейной функцией от множества взаимодействующих факторов – природных, территориальных, социально-психологических и культурных, которые, в свою очередь, существенно зависят от временного фактора. Поэтому при формализации процессов информационного взаимодействия элементов в системе можно предположить, что характеризующие их параметры представляют функции одного только времени. Это позволяет описать многие процессы с помощью систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающие логистические системы «вход – выход».

Имеются многочисленные подтверждения общесистемного характера обобщенного логистического закона [5], поэтому остаются актуальными исследования, связанные с математическим моделированием, основанным на этом законе развития. Тем самым возникает необходимость в разработке и развитии методов исследования моделей, основой которых являются системы уравнений с квадратичной нелинейностью.

В данной работе решаются задачи с помощью систем двух и более нелинейных дифференциальных уравнений с начальными условиями и с условием постоянства суммы искомых функций. Кроме того, одной из основных задач системной динамики является также оценка устойчивости систем и описание качественных перестроек их поведения под воздействием внешних факторов.

Объектом исследования диссертации являются алгоритмы решения систем уравнений вольтерровского типа и их обобщений, описывающих динамику структур взаимодействующих сообществ, а предметом исследования – системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с различными, в том числе и нестандартными дополнительными условиями, поиск методов их решения и границ изменения параметров для разных режимов функционирования систем.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование динамики и структуры биологических, экологических и социальных систем; выбор и обоснование численных методов решения соответствующих дифференциальных уравнений; создание методики проведения вычислительного эксперимента и программного обеспечения для его реализации.

Основные задачи

исследования:

1. Анализ различных математических моделей, представленных в литературе, основой которых являются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие социальные и биологические системы.





2. Сравнение поставленных математических задач и методов их моделирования.

3. Построение математических моделей, описывающих динамику и структуру систем общественного развития и биологии.

4. Оценка устойчивости систем с учетом влияния внешних факторов.

5. Выбор численных методов и построение алгоритмов численного решения поставленных задач.

6. Проведение численного исследования погрешности и устойчивости предлагаемых вычислительных схем.

7. Проведение численных экспериментов и получение сравнительных рассматриваемых динамических систем.

возникновения критических ситуаций.

Методы исследования.

Для решения поставленных научных задач были использованы методы математического моделирования, алгебры, качественной теории дифференциальных уравнений, численные методы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Обоснована необходимость постановки граничных условий при наличии переопределенности в исходных данных для исследования динамики структуры рассматриваемых систем, таким образом отличающимся от классических постановок.

2. Показаны условия разрешимости поставленных задач:

- задачи Коши для систем 3-х уравнений Лотки – Вольтерра (один «хищник» - две «жертвы», одна «жертва» – два «хищника»);

- системы двух уравнений Лотки – Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций;

- системы трех уравнений Лотки - Вольтерра с условием постоянства суммы искомых функций и, в частности задач, сводящихся к системам двух «разделенных» уравнений.

3. Предложены три численных метода решения поставленных задач – метод последовательных приближений в интегральной форме, метод последовательных приближений в дифференциальной форме, метод конечных элементов. Рассмотрены их достоинства и недостатки.

4. Разработаны алгоритмы для численного решения систем двух и трех уравнений вольтерровского типа с начальными условиями и при наличии ограничений, исследованы их сходимость и устойчивость.

Практическая значимость результатов работы состоит в следующем:

1. Разработанная методика численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с учетом ограничений может быть применена для моделей, основой которых являются системы трех и более уравнений вольтерровского типа, а также некоторых других систем в нормальной форме.

2. Выделенные в ходе исследования границы изменения параметров могут быть использованы при моделировании управляемых систем.

3. Разработанные алгоритмы и оценки устойчивости, сходимости и погрешности соответствующих вычислительных схем дают возможность выбора метода получения решения и исследования динамики изучаемого процесса.

4. Материалы теоретических и методических разработок могут использоваться в учебном процессе при подготовке математиков по специальностям 073000 «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика».

На защиту выносятся следующие положения.

1. Метод последовательных приближений в интегральной форме для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки – Вольтерра; построен вычислительный алгоритм метода и исследована его эффективность на примере систем двух и трех уравнений с приложениями к задачам биологии, социологии.

2. Вычислительный алгоритм на основе метода конечных элементов для нестационарных систем дифференциальных уравнений типа Лотки – Вольтерра; составлено программное обеспечение и исследована его эффективность на прикладных задачах социологии.

3. Результаты сопоставительного анализа метода последовательных приближений в дифференциальной форме, в интегральной форме, метода конечных элементов с традиционным методом Рунге-Кутта на типовых задачах математического моделирования динамики и структуры взаимодействующих сообществ.

4. Результаты численного эксперимента по исследованию динамики и структуры моделей трехкомпонентных сообществ на основе разработанных численных методов и алгоритмов.

5. Методика анализа динамики трехкомпонентных сообществ.

Графическое представление решений.

6. Программный комплекс для математического моделирования динамических процессов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа (регистрация № 2005610753, №2005610754).

Публикации и апробация результатов исследования.

По теме диссертации автором опубликовано 19 работ, из них 1 статья в рецензируемом журнале (Известия вузов Северо-Кавказского региона. Серия «Естественные науки»), два свидетельства о регистрации алгоритмов и программ.

Результаты исследований докладывались на ежегодных региональных научно-технических конференциях СевКавГТУ (г. Ставрополь, 1999-2004г.), на 7й и 8й научно-практических конференциях (2003-2004г.) Ставропольского финансово-экономического института. Автор также принимал участие в 7й Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике (Новочеркасск, образовании (г. Ставрополь, 2004 г.).

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка приложений. Работа изложена на 150 листах машинописного текста, содержит 70 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель работы и задачи исследования, отражены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе проделан обзор литературных источников, имеющих отношение к тематике диссертационного исследования. Динамика изменения рассматривается во многих работах, где модели сводятся к системам вольтерровским или их обобщениям. Показано, что в некоторых случаях кроме или вместо начальных условий нужны дополнительные условия, регулирующие общую численность или массу видов.

Сначала рассматриваются одновидовые модели биологии, которые показывающих, что для многих биологических видов реализуются режимы численности, соответствующие модели (1). В работе [3] показано, что функция массового поведения также меняется по логистическому закону.

учитывающую явление насыщения, и которая, по словам Арнольда В.И., концернов и государств»[1].

поведение сообществ, содержащих два вида и более. В соответствии с гипотезами Вольтерра, взаимодействия двух видов, численность которых x и x 2, могут быть описаны системой В экологии выделяют три основных типа активных межвидовых отношений: (++) – симбиоз, (--) – конкуренция и (+-) – хищник-жертва, где знаком «плюс» обозначено положительное воздействие одного вида на другой, а «минус» - неблагоприятное [2].

В ходе усовершенствования и обобщения (2) для описания эволюции многих популяций модели приводят к системам вольтерровского типа и их где u i - численность (биомасса) i – й популяции, µ i - скорость ее роста, ij - коэффициенты взаимодействия. Такими, в частности, являются в экологии модель сообществ фитопланктона, модель «цветения воды» и другие.

микроорганизмов, а также репродукция ДНК в генетике [4]. Трансляция информации происходит на основании кода, который одинаков во всей биосфере – от простейших организмов до человека. Проблема образования единого кода сводится к выбору в условиях сильного антагонистического взаимодействия разных объектов, и этот выбор описывается системой вида (3), где µ i = ij =1 при i j, ii 0, u i - концентрация объектов i – го вида, t – время, линейные слагаемые описывают репродукцию, билинейные – антагонистическое взаимодействие, квадратичные – эффект «тесноты», т.е.

конкуренцию.

дополнительным условием постоянства суммы искомых функций приводят модель эвтрофикации озера, а также модели фармакокинетики, позволяющие прослеживать концентрации лекарств и метаболитов в различных участках тела, и модели эпидемий.

Математические модели социальной активности строятся на гипотезе о синергетическом взаимодействии пассионариев и субпассионариев.

Рассматривается вольтерровская модель внутриэтнической революции в N (t ) = N и модель информационного воздействия двух этносов, этносе сводящаяся к системе четырех уравнений с условием постоянной общей численности [3].

В большинстве моделей социологии и в некоторых моделях биологии и дополнительные условия, накладываемые на сумму искомых функций где u (t ) - известная функция, либо константа.

В частности, по аналогии с моделью эпидемии в диссертации построена и графически интерпретирована трехвидовая модель социального конфликта.

В конце главы обобщается математическая постановка задач.

единственности решений поставленных задач, особенности, устойчивость и сходимость рассматриваемых моделей, проведен некоторый анализ режимов динамического поведения в системах взаимодействующих видов.

При исследовании одновидовых моделей обращается внимание на тот принципиально разные процессы в зависимости от знака квадратичного члена. В логистическом уравнении ненулевое равновесие устойчиво, поведение функции описывается логистической кривой. При любых Уравнение же с положительной квадратичной нелинейностью имеет неустойчивое равновесие N =, так, что его решение, графиком которого является обратная логистическая кривая, ведет себя по-разному в асимптотически устойчиво, при N 0 N - неустойчиво.

Одним из дискретных аналогов одновидовой модели (1) является разностное уравнение, которое сводится к логистическому отображению с одним управляющим параметром a [4]:

При 0 a 1 отображение (6) имеет единственную устойчивую точку покоя y=0, если 1 a 3 точка y=0 становится неустойчивой, но возникает бифуркация (раздвоение), т.е. качественная перестройка отображения.

Появляются двухточечный, а затем циклы длины 2 n, если 3 a a c 3,569.

При a a c отображение (6) описывает квазистохастическое поведение (хаос).

Рассматривая модели взаимодействия двух видов, в диссертационной «конкуренции» а также проводится сравнение модели «хищник-жертва» с функций.

Во-первых, следует отметить, что модель имеет стационарное аналитическое решение поэтому решение задачи существует, если начальные условия совпадают с координатами стационарной точки.

В соответствии с методом А.Н.Тихонова редукции системы с учетом иерархии времен, условие (8) позволяет одно из дифференциальных уравнений (для «быстрой» переменой) заменить алгебраическим, и модель сводится к задаче Коши либо для функции x(t), либо для y(t). Для функции x(t) получается неустойчивая модель с положительной квадратичной алгебраическим неправомерна для начальной стадии процесса, называемой периодом индукции [4], пока функции x(t), y(t) меняются от начальных до своих квазистационарных значений.

взаимодействие двух видов с учетом конкуренции при отсутствии «хищника» имеет ненулевое стационарное решение, которое неустойчиво.

При дополнительном условии (8) для обеих функций получаются уравнения с положительной квадратичной нелинейностью, которые описывают разный режим поведения процесса в зависимости от выбора начальных условий.

Проведено исследование двухвидовой модели «хищник–жертва» с Стационарная точка с ненулевыми значениями является устойчивым нелинейностями имеет неустойчивое ненулевое равновесие, которое является либо фокусом, либо, при определенном подборе параметров – предельным циклом.

сообщество «один хищник и две жертвы», система имеет точку равновесия с положительными координатами. Если в отсутствие хищника, в соответствии с теорией Гаузе, сосуществование двух видов жертв невозможно, то при наличии хищника в системе при разных значениях параметров возможны БуриеваТ.И. [2] получены полные наборы фазовых портретов, и, в частности, показано, что режим сосуществования всех трех популяций может быть либо глобально устойчивым, либо иметь в фазовом пространстве границу области притяжения (триггерность), когда сосуществование трех видов возможно лишь в автоколебательном режиме.

В диссертации приводится графическое решение задачи Коши для системы трех уравнений. Исследована также модель взаимодействия трех сообществ с постоянной общей численностью N. Считая численность «жертвы» x(t) «быстрой» переменной, первое дифференциальное уравнение тогда для функции y(t) и z(t) получим двухвидовую модель с квадратичной нелинейностью:

Показано, что при определенном подборе параметров система имеет стационарную точку, которая может быть либо устойчивым фокусом, либо центром (в случае предельного цикла). На рис.1 приводится фазовый портрет системы, которая получается из (11) при c = 6, e = 20, f 2 = 0.9, d2 = 1.9, Рисунок 1.- Фазовый портрет системы (11). Рисунок 2.- Графики решений В частном случае d 1 = 0 (жертвы между собой не конкурируют) стационарной точкой является устойчивый фокус, координаты которого На рис.2 приводится график решения системы, которая получается из Координаты стационарной точки x1 * = y* = 10, x 2 * = y* = 15.

Исследован также частный случай f 1 = 0, в котором уменьшение жертв первого вида происходит только за счет конкуренции с жертвами второго вида без участия хищников. Стационарная точка такой системы – неустойчивый фокус.

поставленных задач численными методами.

Продемонстрировано приближенное аналитическое решение задачи Коши для двухвидовой системы «хищник-жертва», недостатком которого является значительная погрешность.

Показано, что метод Рунге-Кутта 4-го порядка дает сходящиеся и устойчивые по начальным данным вычислительные схемы для систем двух и трех уравнений, в том числе и при условии постоянной общей численности.

В частности, сходящейся является схема для систем двух «разделенных»

С учетом специального вида нелинейностей вольтерровских уравнений последовательных приближений в интегральной форме. Суть метода в том, что каждое уравнение системы (3) представляется в виде уравнения На основе этих соображений для решения поставленных задач с системами двух и трех уравнений для каждой переменной предложена итерационная Сходимость итерационной схемы (15), например, для двухвидовых моделей, обеспечивается соотношениями вида:

1 и 2 - заданные значения точности. Вычисленный эксперимент, где выполненный в пакете Matlab 6.5, показывает, что схема сходится и является устойчивой. При решении задачи Коши после 9-й итерации погрешность снижается практически до нуля.

Методом последовательных приближений в интегральной форме оказалось возможным решить все поставленные задачи для систем двух и трех уравнений.

последовательных приближений в дифференциальной форме и метода конечных элементов.

Систему двух уравнений Лотки-Вольтерра для функций u1 (t ) и u 2 (t ) с где i, k=1, 2, интервал разбиения рассматриваемого периода T = m, m – число разбиений, j – номер итерации, t j = j. Схема этого метода последовательных приближений в дифференциальной форме для сходимости т.е. является условно сходящейся.

Метод конечных элементов состоит в том, что решение задачи Коши разложения по базисным функциям v k (t ), заданным на временном отрезке Далее используется метод взвешенной невязки (Галеркина) в рамках конечноэлементного подхода. Базисные и весовые функции v k (t ) = k (t ) здесь кусочно-линейны («треугольники»). Тогда система дифференциальных уравнений сводится к матричной системе линейных алгебраических уравнений для отыскания коэффициентов разложения C k1, 2) :

где матрицы A и B – трехдиагональны.

В конце главы рассматриваются также другие весовые и базисные последовательных приближений.

рассмотренных численных методов. Исследовано поведение двухвидовых и трехвидовых моделей для систем «разделенных» уравнений с постоянной общей численностью (Рис. 3).

Рисунок 3.- Графики решений и фазовые кривые системы «разделенных»

уравнений при µ1 = 5, µ2 = 4, 12 = 3, 21 = 2, 13 = 0.45, 23 = 0.45, u1 (0) = 2, u2 (0) =, N = 4.

Для трехвидовых моделей найдено графическое решение задачи Коши (рис.4), при двух различных подборах значений параметров. При одних значениях параметров одна жертва вымирает, при других все три популяции сосуществуют.

Рисунок 4.- Графики решений задачи Коши для трехвидовой модели.

Рисунок 5.- Графики функций и фазовый портрет задачи Коши для системы (9), полученные методом последовательных приближений в интегральной форме.

Сравнение решений модели (10)-(11) при различных значениях параметров показывает, что система оказывается неустойчивой к изменению параметров, кроме того, в начале своего изменения система имеет период индукции, а затем сходится.

В этой главе получено графическое представление решения задачи Коши методом последовательных приближений в интегральной форме для двух и трехвидовой модели при нескольких значениях параметров. Метод дает в двухмерном и трехмерном случае такие же результаты, что были получены в пакете Mathcad методом Рунге-Кутта (рис.4, рис. 5). Программа решения, выполненная на языке СИ++, приводится в приложении.

Этим же методом найдено графическое решение задач с постоянной общей численностью для двух- и трехвидовых моделей и показано, что схемы устойчивы и сходятся.

В четвертой главе приведены также результаты исследования моделей методом последовательных приближений в дифференциальной форме.

Графики решений и оценки погрешностей для двухвидовой системы показывают, что метод дает сходящуюся схему для задачи Коши, но с постоянным значением погрешности. Приводятся для сравнения графики решений задач с одинаковыми параметрами, полученные методом РунгеКутта и методами последовательных приближений в интегральной и дифференциальной форме.

Далее приводятся результаты применения метода конечных элементов к решению задачи Коши для двух- и трехвидовых моделей при двух различных наборах весовых и базисных функций (Рис.6). Показано, что предложенные схемы метода конечных элементов сходятся, но могут быть использованы лишь для получения краткосрочных прогнозов. Программы решения задачи Коши, написанные в пакете Maple 9 и в пакете Mathcad 2000, приведены в приложении.

Рисунок 6.- Графики решений задачи Коши для системы 3-х уравнений Лотки–Вольтерра методом конечных элементов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В результате обзора математических моделей, описывающих поведение социальных, биологических и других динамических систем, выявлена актуальность условия, ограничивающего сверху сумму частных решений систем дифференциальных уравнений.

взаимодействующих двухвидовых, трехвидовых сообществ при условии сохранения их общей численности, в основу которых положены системы уравнений с квадратичной нелинейностью.

Обоснована возможность замены одного из дифференциальных уравнений для быстрой переменной алгебраическим, в соответствии с методом А.Н. Тихонова редукции системы с учетом иерархии времен.

3. Разработан метод последовательных приближений в интегральной поставленных задач изменения структуры в сообществе двух, а также трех взаимодействующих видов.

4. Разработаны вычислительные схемы для метода последовательных приближений в интегральной форме, исследована их сходимость и устойчивость на примерах систем двух и трех уравнений с начальными условиями и условиями сохранения суммы искомых функций.

5. Предложен и исследован условно-сходящийся метод последовательных приближений в дифференциальной форме, выявлены условия его сходимости, составлены вычислительные схемы, исследована их эффективность, сходимость, устойчивость.

6. Разработан вычислительный алгоритм на основе метода конечных элементов для систем двух и трех уравнений с квадратичной нелинейностью, составлено программное обеспечение по его реализации.

7. Для машинной реализации вычислительных алгоритмов составлен параметров и дополнительных условий получать графики решений.

8. В ходе вычислительного эксперимента по решению задач как последовательных приближений в интегральной, дифференциальной форме, конечных элементов получены графические решения для систем двух и трех уравнений как с начальными условиями, так и с условием постоянства суммы искомых функций.

9. Проведен сопоставительный анализ рассмотренных в диссертации методов решения поставленных задач и показано, что наиболее продуктивным для практического применения наряду с широко применяемым методом Рунге-Кутта является метод последовательных приближений в интегральной форме.

10. Показана применимость рассмотренных в диссертации методов для исследования эволюции численности видов в ходе их взаимодействия на примере модели динамики социального конфликта.

В приложениях приведены листинги программ, обеспечивающих проведение вычислительного эксперимента.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ

ДИССЕРТАЦИИ

1. Амироков С.Р. Математическое моделирование экологических систем.

// Материалы III региональной научно-технической конференции.

«Вузовская наука – Северо-Кавказскому региону». Ставрополь:

СевКавГТУ, 1999. – С.6.

2. Амироков С.Р. Математическое моделирование экологических систем на основе модели Лотки-Вольтерра. // Математическое моделирование в научных исследованиях // Материалы Всероссийской научной конференции (27-30 сентября 2000 г., Ставрополь). – ч.II. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000. – С. 17-20.

вычислительной схемы решения нелинейной матричной системы двух уравнений. // Материалы V региональной научно-технической конференции. «Вузовская наука – Северо-Кавказскому региону». Часть первая – естественные и точные науки. – Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ, 2001. – С.4.

4. Амироков С.Р. О численном решении нелинейной матричной системы двух разделенных уравнений. // Материалы II Региональной научной конференции студентов и преподавателей «Проблемы компьютерных технических и гуманитарных науках». – Ставрополь: СевКавГТУ. 2002.

5. Адамчук А.С., Амироков С.Р. Простейшие модели рынка, сводящиеся к логистическим уравнениям. // Материалы 32 научно-технической конференции по результатам работы проф.-препод. состава, аспирантов и студентов СевКавГТУ за 2002 г. Ставрополь: СевКавГТУ, 2003. Том третий. Экономические науки. – С.3.

6. Амироков С.Р. Применение метода конечных элементов к решению Всероссийской науч.-тех. конф. 23 декабря 2003 г. «Современные Межрегиональное Верхне-Волжское отделение АТН РФ,2003.–С.32-33.

7. Амироков С.Р. Модель динамики численности общей биомассы двух информационные технологии (в технике, науке, природе и обществе)».

Георгиевск – Ставрополь: СевКавГТУ, 2004 – С. 44-45.

8. Адамчук А.С., Амироков С.Р., Щепотьева С.В. Динамическая модель химическая». – 2004. - №1 (8). – С. 116-118.

9. Амироков С.Р. Моделирование взаимодействия двух сообществ с постоянной общей численностью. // Материалы научнопрактической конференции СФЭИ (апрель 2004 г.) «Роль региональной экономики в становлении развитого экономического пространства».

Ставрополь, СФЭИ, 2004 – С. 176-177.

10. Амироков С.Р., Загрубин Е.В., Козлитин М.С. Математическое Материалы 8й научно-практической конференции СФЭИ (апрель экономического пространства» Ставрополь, СФЭИ, 2004 – С. 181-183.

этнического процесса на основе уравнений Лотки-Вольтерра. // Материалы IV Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Новочеркасск: ЮРГТУ, 2004 – 4.4, - С. 50-53.

12. Амироков С.Р. Исследование модели взаимодействия трех сообществ с постоянной общей численностью. // Известия вузов Сев.-Кав. региона.

Серия «Естественные науки». Приложение, Ростов-на-Дону, 2004 - № 13. Амироков С.Р., Адамчук А.С. Численное решение системы трех уравнений Лотки – Вольтерра с постоянной суммой искомых функций.

// Материалы VIII региональной научно-технической конференции «Вузовская наука Северо-Кавказскому региону». Т.1.-естественные и точные науки. – Ставрополь: СевКавГТУ, 2004 – С. 8-9.

14. Амироков С.Р., Адамчук А.С. Решение системы уравнений вольтеровского типа методом последовательных приближений в дифференциальной форме. // Материалы Первой международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании». –Ставрополь:

СевКавГТУ, 2004. –С.344-346.

15. Амироков С.Р., Адамчук А.С., Чеботарева Т.Е. Моделирование изменений структуры двухвидовых сообществ. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2005, N1.-С. 18-20.

16. Амироков С.Р. Решение вольтерровской системы трех уравнений методом последовательных приближений в интегральной форме. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2005, N1.-С. 21-22.

17. Амироков С.Р., Наац И.Э. Математическое моделирование в задачах прогноза социально-экономических систем. // Сборник научных трудов СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная», 2006, N2.-С. 19-23.

18. Амироков С.Р. «Priblintegrform»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2005610753 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 30 марта 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 19. Амироков С.Р. «Konelements»: Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2005610754 / Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 30 марта 2005 г., М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам,

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. –М.:

МЦНМО, 2000. -32с.

2. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций.– М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-368с.

3. Нахушев А.М., Кенетова Р.О. К проблеме математического моделирования социально-исторических и этнических процессов.Нальчик: Эльфа, 1998. – 170с.

4. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических репродукционных процессов. – М.: Издательство МГУ, 1993. -300 с.

5. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры.- М.:

Едиториал УРСС, 2004.- 240 с.



 
Похожие работы:

«Кажаров Аскер Артурович РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ РОЕВЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНО-ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Специальность: 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (вычислительная техника и информатика) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Таганрог – 2013 Работа выполнена в Южном федеральном университете в г. Таганроге. Научный руководитель : заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор...»

«КЛОПОТ Михаил Михайлович ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА УСТРОЙСТВ ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ РЕГУЛИРОВКИ ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО КАНАЛА Специальность: 05.13.05 – элементы и устройства вычислительной техники и систем управления АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Таганрог – 2012 Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем научных исследований и экспериментов Технологического института ФГАОУ ВПО Южный федеральный университет в...»

«БОТОВ ПАВЕЛ ВАЛЕНТИНОВИЧ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕОБУЧЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СЕМЕЙСТВ АЛГОРИТМОВ КЛАССИФИКАЦИИ 05.13.17 теоретические основы информатики Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 2011 Работа выполнена на кафедре интеллектуальных систем Московского физико-технического института (государственного университета) Научный руководитель : доктор физико-математических наук, Воронцов Константин Вячеславович Официальные...»

«ШЕЙШЕНОВ ЖАМИН ОРОЗОБЕКОВИЧ СЕЛЕКТИВНАЯ ДИАГНОСТИКА МНОГОФАКЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ГОРЕНИЯ ГАЗООБРАЗНЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ 05.13.18. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Новосибирск - 2009 Работа выполнена в Институте автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук Научный руководитель кандидат технических наук Борзов Сергей Михайлович Официальные...»

«ДАРИНЦЕВ Олег Владимирович МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ МИКРОРОБОТОТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ И МОДЕЛИ ВИРТУАЛЬНОЙ СРЕДЫ Специальность: 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (в промышленности) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Уфа 2008 Работа выполнена на кафедре технической кибернетики Уфимского государственного авиационного технического...»

«ЗЯЗИН СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ РАЗРАБОТКА РЕШЕНИЙ ПО ИНТЕГРАЦИИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ГИБДД И СТРАХОВЩИКОВ Специальность: 05.13.13 – Телекоммуникационные системы и компьютерные сети АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2008 Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики на кафедре Научный руководитель : доктор технических наук, профессор Черкасов Александр Сергеевич Официальные...»

«УДК 519.6 Подрыга Виктория Олеговна Моделирование теплофизических свойств веществ методами молекулярной динамики с использованием параллельных вычислений Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в...»

«Половко Иван Юрьевич РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СОА Специальность 05.13.19 – Методы и системы защиты информации, информационная безопасность АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Таганрог – 2012 Работа выполнена в Технологическом институте Южного федерального университета в г. Таганроге (ТТИ ЮФУ) на кафедре Безопасности информационных технологий (БИТ) факультета Информационной безопасности (ФИБ). Научный...»

«ЧЕХОНАДСКИХ АЛЕКСАНДР ВАСИЛЬЕВИЧ АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА 05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (промышленность) Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Новосибирск, 2013 г. 1 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новосибирский государственный технический университет...»

«Попов Андрей Николаевич Управление скринингом патологии молочных желез на основе компьютерной радиотермометрии. Специальность: 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Воронеж – 2006. Тел./Факс: (495) 229-41-83 Ассоциация E-mail: info@radiometry.ru Микроволновой Радиотермометрии Интернет: www.radiometry.ru Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего...»

«Курносов Михаил Георгиевич МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ВЛОЖЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ В РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Специальность: 05.13.15 – Вычислительные машины и системы Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Новосибирск – 2008 Работа выполнена на Кафедре вычислительных систем Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики”...»

«Сычугов Дмитрий Юрьевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УДЕРЖАНИЯ ПЛАЗМЫ В ТОРОИДАЛЬНЫХ ЛОВУШКАХ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва 2013 1 Работа выполнена на кафедре автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ...»

«ХАЙЛЕНКО ЕКАТЕРИНА АЛЕКСЕЕВНА Алгоритмы оценивания параметров регрессионных моделей и планирования эксперимента при наличии выбросов и неоднородности распределения ошибок Специальность 05.13.17 — Теоретические основы информатики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук НОВОСИБИРСК – 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новосибирский государственный...»

«Урюпин Илья Сергеевич Разработка автоматизированной подсистемы анализа надежности несущих конструкций радиоэлектронных средств с учетом внешних воздействий 05.13.12 Системы автоматизации проектирования (приборостроение) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2014 2 Работа выполнена в научно-исследовательском отделе Сборка ОАО Центральный научно-исследовательский технологический институт Техномаш Научный руководитель : Шалумов...»

«Макарова Мария Александровна ВЕРИФИКАЦИЯ МЕЗОСКОПИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ В РЕОЛОГИИ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПОЛИМЕРНЫХ СРЕД 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Барнаул 2007 Работа выполнена на кафедре высшей математики в ГОУ ВПО Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова Научный руководитель : доктор физико-математических...»

«Захаров Андрей Павлович МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Пермь – 2014 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Пермский государственный гуманитарнопедагогический университет Научный руководитель : доктор физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой теоретической физики и...»

«Гильмуллин Ринат Абрекович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МНОГОЯЗЫКОВЫХ СИСТЕМАХ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ АВТОМАТОВ КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ 05.13.11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2009 Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики государственного образовательного учреждения высшего профессионального...»

«Коробкова Светлана Викторовна РАЗРАБОТКА, ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА НЕЙРОМАТЕМАТИКА Специальность 05.13.11 - математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2008 Работа выполнена на кафедре...»

«СЫПЧЕНКО МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОРИЕНТАЦИЙ ПО КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИМ ОРИЕНТИРОВКАМ НА ГРУППЕ SO(3) Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2010 Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете МИФИ. Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор,...»

«Толпаев Владимир Александрович МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕДАХ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физикоматематических наук Ставрополь, 2004 г. Работа выполнена на кафедре прикладной математики в СевероКавказском государственном техническом университете (г. Ставрополь) Научный консультант : доктор...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.