WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Шишеня Александр Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ГИДРОФИЗИКИ

МЕЛКОВОДНЫХ ВОДОЕМОВ

Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Таганрог - 2013

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Сухинов Александр Иванович.

Официальные оппоненты:

Жуков Михаил Юрьевич, доктор физико-математических наук, доцент, ВГАОУ ВПО «ЮФУ», заведующий кафедрой вычислительной математики и математической физики.

Чикин Алексей Львович, доктор физико-математических наук, профессор, Южный научный центр РАН, г. Ростов-на-Дону, главный научный сотрудник.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, г. Москва.

Защита диссертации состоится «14» ноября 2013 г. в 16:20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 Южного федерального университета по адресу: 347928, ГСП-17А, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: ул. Пушкинская, 148, г. Ростов-на-Дону, 344049.

Автореферат разослан «_» октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Целых д.т.н., профессор Александр Николаевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В современном мире водные объекты стали важнейшими природными ресурсами. Водоемы подвергаются активному антропогенному воздействию, что оказывает влияние на гидрологические режимы, температуру, состав воды и, как следствие, подвергает изменениям экосистему водоема, поэтому охрана и мониторинг состояния водных объектов является необходимой составляющей их эксплуатации. Инструментом, позволяющим предсказывать возможные сценарии развития чрезвычайных ситуаций в водных системах является математическая модель гидрофизических процессов в водоеме. В то же время, в теории математического моделирования нелинейных задач гидрофизики остаются открытыми вопросы разработки математических моделей гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, а также построения и исследования быстросходящихся методов решения сеточных уравнений типа диффузии-конвекции-реакции, допускающих эффективную реализацию на системах с массовым параллелизмом.

Работы по моделированию Азовского моря предпринимаются уже достаточно давно. Пионерской в этой области принято считать работы И. И. Воровича, Ю. А.

Жданова, А. Б. Горстко, Ю. А. Домбровского, Ф. А. Суркова. В Институте вычислительной математики РАН исследования в области математического моделирования гидрофизики морей и океанов, а также разработка методов усвоения данных натурных экспериментов проводилась под руководством Г. И. Марчука. В настоящее время эти исследования продолжаются А. С. Саркисяном, В. Б. Залесным и др.

Также в Институте вычислительной математики РАН под руководством В. П. Дымникова разработаны математические модели климатических изменений. В ТРТУ-ЮФУ разработка моделей гидродинамики, гидробиологии, транспорта растворенных веществ и взвешенных частиц проводится под руководством А. И. Сухинова. Также в ЮНЦ РАН построен ряд моделей и выполнены численные эксперименты по моделированию гидродинамики со свободной поверхностью, а также транспорта наносов под руководством А. Л. Чикина. Работы по моделированию процессов гидро- и аэродинамики на основе квазигидродинамической системы уравнений с применением суперкомпьютерных технологий проводятся в Институте прикладной математики им. М.

В. Келдыша РАН Б. Н. Четверушкиным, а также В. Ф. Тишкиным, Е. В. Шильниковым и др.

На сегодняшний день, существующие модели мелководных водоемов, учитывающие движение свободной поверхности, требуют численного решения уравнения переноса, что приводит к серьезным трудностям, либо предполагает использование каких-либо искусственных приемов расчета формы свободной поверхности.

Цели и задачи диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является построение и исследование трехмерной математической модели гидрофизики мелководных водоёмов с уточненными граничными условиями на свободной поверхности, развитие численных методов решения сеточных уравнений задач гидрофизики мелководных водоемов, создание комплекса программ, реализующих эти модели и методы, а также проведение численных экспериментов. Модели должны учитывать переменную плотность среды, процессы переноса тепла и солей, а также более точно учитывать движение свободной поверхности.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

В области математического моделирования:

1. Построить усовершенствованную непрерывную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Необходимо обеспечить учет таких факторов, как влияние силы Кориолиса и испарение жидкости с поверхности.

2. Разработать более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности;

3. Построить расщепленную непрерывную модель гидрофизики, наследующую основные свойства усовершенствованной непрерывной модели;

4. Выполнить исследование построенных непрерывных моделей на соответствие реальному физическому процессу.

В области численных методов:

5. Построить дискретную модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающую гидродинамику жидкости с переменной плотностью, со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей;

6. Выполнено исследование построенной дискретной модели:

а. Исследовать консервативность дискретной модели;

б. Исследовать устойчивость дискретной модели, получить условия, при которой дискретная модель является устойчивой;

в. Исследовать точность, с которой дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель гидродинамики;

7. Разработать и оптимизировать численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построить и исследовать итерационный метод решения сеточных задач эллиптического типа с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника;

б. Построить итерационный метод для решения сеточных задач диффузииконвекции;

в. Выполнить оптимизацию весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии с целью уменьшения погрешности аппроксимации при том же шаге сетки по времени;

В области создания комплексов программ:

8. Построить комплекс программ для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов, включая процессы гидродинамики и переноса тепла и солей, отличающийся от известных использованием усовершенствованных модели гидродинамики с уточненными граничными условиями на свободной поверхности.

Методы и средства проведения исследования. Математическая модель гидрофизики мелководного водоема, описывающая гидродинамику со свободной поверхностью и переменной плотностью среды и процессы тепломассопереноса, построена на основе уравнений Навье-Стокса, уравнения неразрывности, уравнения состояния, уравнений диффузии-конвекции для описания распространения тепла и солей.

Уравнение состояния представляет собой зависимость плотности от температуры, солености и давления, однако, в силу того, то плотность достаточно слабо зависит от давления, в данной работе зависимость плотности от давления не учитывается.

Расщепление модели выполнено с помощью модификации метода проекций Чорина, а для пространственной аппроксимации использовался интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Для исследования непрерывной и расщепленной непрерывной моделей применены методы векторного анализа. Программная реализация построенного алгоритма расчета модели для операционных систем семейства Windows выполнена с помощью среды разработки Microsoft Visual Studio 2008 Express Edition, для операционной системы Linux Ubuntu – с помощью среды разработки Qt Creator. Для программной реализации модели был выбран язык программирования C++. Визуализация результатов расчетов выполнена с помощью современных программных средств (MathCad, OpenDX Data Explorer и др.).

В области математического моделирования:

Для непрерывной модели гидрофизики мелководных водоемов использованы уточненные граничные условия на свободной поверхности, позволяющие более точно описывать механические свойства границ области. Предложена модификация метода volume of fluid для моделирования гидродинамики жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести, не требующая решения уравнения переноса для расчета функции заполненности, что позволяет упростить численное решение. Выполнено расщепление построенной непрерывной модели с помощью модификации метода проекций Чорина, учитывающей, что величина плотности может сильно изменяться во времени. Также при выполнении расщепления особое внимание уделялось корректному переносу граничных условий от непрерывной модели к дискретной. Показано, что для расщепленной непрерывной модели также выполняется закон сохранения массы.

В области численных методов:

Для дискретизации уравнений расщепленной непрерывной модели по пространственным направлениям используется интегро-интерполяционный метод, учитывающий частичную заполненность ячеек расчетной сетки. Это позволяет использовать для расчета движения свободной поверхности Эйлерову (а не Лагранжеву) систему координат и добиться более точного учета геометрии границ водоема по сравнению с обычно применяемым на практике интегро-интерполяционным методом в Эйлеровой системе координат. Показано, что при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода, погрешности задания границы вносят константную ошибку, а в случае применения метода, учитывающего частичную заполненность ячеек сетки, погрешшность аппроксимации в граничных узлах имеет первый порядок по пространственным направлениям. Показано выполнение закона сохранения массы на дискретном уровне. Получены условия устойчивости дискретной модели. При аппроксимации уравнений модели по временной переменной использовались схемы с весами.

Получена оценка относительной погрешности решения уравнения диффузии с помощью схемы с весами. Разработан алгоритм вычисления значения веса, минимизирующего полученную оценку, что позволило увеличить шаг сетки по времени без потери точности решения.

Разработан модифицированный попеременно-треугольный метод для сеточного эллиптического уравнения с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника. Сходимость построенного итерационного метода слабо зависит от отношения коэффициентов, участвующих в операторе второй разностной производной, а при некоторых естественных ограничениях на функцию источника количество итераций, требуемых для сходимости метода снижается в корень квадратный раз. Разработанный метод используется для решения сеточного уравнения Пуассона с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника, которое возникает при аппроксимации предложенной модели гидродинамики мелководного водоема, с помощью интегроинтерполяционного метода, учитывающего заполненность ячеек расчетной сетки.

Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости метода.

Разработан вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач с несамоспоряженным оператором, а также получены оценки скорости сходимости метода.

Разработанный метод является частью алгоритма адаптивного попеременно-треугольного метода для сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, который позволяет автоматически рассчитывать итерационный параметр.

Разработанные итерационные методы допускают эффективную параллельную реализацию на многопроцессорных вычислительных системах с распределенной памятью.

В области создания комплексов программ:

Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах;

Достоверность научных положений и выводов обосновывается строгостью методов построения модели. Показано, что поставленные граничные условия модели корректно отражают реальные физические процессы на границе. Показано, что при использовании интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, погрешность аппроксимации на границе области имеет первый порядок по пространственным переменным, в то время как при использовании обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода на границе возникает константная ошибка, вызванная погрешностью задания границы.

Научная и практическая значимость работы. На практике построенный программный комплекс может применяться для мониторинга и прогнозирования состояния мелководных водоемов, в том числе для прогнозирования возникновения и развития таких чрезвычайных ситуаций, как затопление прибрежных районов и попадание в водоем вредных загрязняющих веществ. Также разработанные программные средства могут являться составной частью программного комплекса для моделирования динамики развития планктона и ихтиофауны изучаемого водоема.

Построенные математические модели обладают значительной новизной.

Непрерывная модель учитывает движение свободной поверхности и при этом не требует решения уравнения переноса, что облегчает её численное решение. Расщепление непрерывной модели выполнено таким образом, чтобы полученная модель на сколько это возможно наиболее точно учитывала колебания плотности среды. Дискретная модель получена с помощью интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, что позволяет моделировать движение свободной поверхности с применением Эйлеровой расчетной сетки.

В диссертации получен алгоритм вычисления близкого к оптимальному значению весового коэффициента для разностной схемы с весами для нестационарного уравнения диффузии, а также разработаны быстросходящиеся итерационные методы решения сеточных задач, в том числе с несамосопряженным оператором, допускающие эффективную реализацию на параллельных вычислительных системах с распределенной памятью, которые могут найти свое применение при математическом моделировании физических процессов, описываемых уравнениями типа диффузии-конвекции-реакции.

Основные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту.

В области математического моделирования:

1. Построены усовершенствованные непрерывная и дискретная модели гидрофизики мелководных водоемов, описывающие гидродинамику сжимаемой жидкости со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Показано, что граничные условия непрерывной модели соответствуют физическим свойствам границы, а для расщепленной модели выполняется закон сохранения массы (с. 27-40, с. 42Разработан более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности, являющийся развитием метода volume of fluid, не требующий численного решения уравнения переноса для заполненности в отличии от известных методов (с. 78-80);

В области численных методов:

3. Построена дискретная модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающая гидродинамику жидкости с переменной плотностью и со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Показано выполнение закона сохранения массы, получены условия устойчивости дискретной модели. Показано, что использование для аппроксимации уравнений модели интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность, позволяет достичь первого порядка погрешности аппроксимации на границе области, тогда как использование обычно применяемого на практике интегро-интерполяционного метода дает константную ошибку на границе области (с. 56-78, с. 81-99);

4. Разработаны и оптимизированы численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построен и исследован модифицированный попеременно-треугольный метод решения сеточных уравнений эллиптического типа с линейной функцией источника и сильно меняющимися коэффициентами, требующий меньшего числа итераций по сравнению с известными (с. 116-125);

б. Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости в. Построен вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач диффузии-конвекции. Получена оценка скорости сходимости и проведена оптимизация разработанного метода, что позволило сократить объем вычислительной работы по сравнению с известными вариантами метода (с.

г. Построен алгоритм выбора оптимального весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии, что позволяет увеличить шаг сетки по времени при сохранении той же точности решения (с. 100-108);

В области создания комплексов программ:

5. Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах (с.139-142);

Во введении обосновывается значимость математического моделирования для научного познания, актуальность темы исследования, дается представление о современных подходах к моделированию гидродинамики жидкости со свободной поверхностью, а также о состоянии итерационных методов решения сеточных уравнений, сформулированы цели и задачи работы, обосновывается научная новизна и значимость разработанных методов, практическая значимость работы, представлены основные результаты диссертационного исследования, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена построению и исследованию непрерывной и тепломассопереноса. В параграфе 1.1 дана словесная формулировка задачи и перечислены те физические процессы, которые должна описывать разрабатываемая модель.

В параграфе 1.2 приведены уравнения, входящие в модель. Введем декартову прямоугольную систему координат следующим образом: ось Oz направим в сторону ускорения свободного падения, Ox – на восток, а Oy – на юг. Введем следующие обозначения: v=(u v w) – вектор скорости движения среды, P – давление, – функция плотности жидкости, 0 – плотность пресной воды при нормальных условиях, cp – изобарная удельная теплоемкость, g=(0 0 g) – вектор ускорения свободного падения, а – сила Кориолиса, f=+g,, – коэффициенты динамической вязкости, T, T – коэффициенты теплопроводности, S, S – коэффициенты диффузии в горизонтальном и вертикальном направлении, – интенсивность испарений, n, n0 – вектор нормали к поверхности и его орт.

• уравнения движения (Навье–Стокса):

Для краткости запишем эти уравнения в векторном виде. В прямоугольной системе координат градиент от вектора и дивергенцию матрицы будем представлять следующим образом:

Введем также следующие матрицы:

тогда приведенную выше систему уравнений Навье-Стокса можно записать в виде:

Уравнение неразрывности:

Уравнения переноса тепла и солей:

Уравнение состояния:

(T,S)= 0 +800,96906210 +588,19402310 T +797,01864410 S 811,46541310 T 325,31044110 TS +131,71084210 S + Уравнение описывающее эволюцию функции заполненности:

Параграф 1.3 посвящен постановке граничных условий для уравнений модели.

Предположим, что уравнения модели выполнены на границе области. Также будем полагать что на начальное условие согласуется с граничными условиями. Разобьем границу расчетной области на подмножества =, где – дно водоема, – свободная поверхность, =U i – сечения русел втекающих рек, =U i – свободный выход.

• Твердая непроницаемая неподвижная граница (дно).

Граничное условия для давления:

Такое граничное условие обеспечивает отсутствие потока жидкости через границу, то есть vn =0.

Условие Навье (скольжения с трением):

где – касательные напряжения на границе жидкости, которое определяется из закона Ван–Дорна.

Граничные условия для температуры и концентрации соли:

• Свободная подвижная граница (поверхность).

Граничное условие для давления:

Для нахождения формы свободной поверхности (через функцию заполненности) будем использовать следующее условие:

при этом на характер течения накладывается ограничение вида v 'tg, где g – ускорение свободного падения.

Условие скольжения с трением:

Граничные условия для температуры и концентрации соли:

• Фиксированный вход (русла рек).

Граничное условие для давления:

Это условие обеспечивает сохранение фиксированного расхода жидкости, то есть Условие отсутствия трения:

Граничные условия для температуры и солености на границе:

где l – расстояние до точки впадающей реки, где значения температуры и солености • Свободный выход. (Керченский пролив).

Граничное условие для давления:

где Ph – гидростатическое давление.

Условие отсутствия трения:

Граничные условия для температуры и солености:

В параграфе 1.4 выведено и исследовано уравнение, описывающее поле плотности кинетической энерги. Показано, что граничные условия для давления соответствуют реально протекающему физическому процессу.

В параграфе 1.5 дано представление о турбулентности и приведена формула для модели турбулентности Смагоринского.

Параграф 1.6 посвящен расщеплению построенной непрерывной модели по физическим процессам. Поставлены граничные условия для расщепленной модели.

Показано, что граничные условия для расщепленной модели соответствуют граничным условиям непрерывной модели. В результате получена следующая расщепленная модель:

Уравнение для расчета промежуточного поля импульса:

с граничными условиями:

Такая постановка граничных условий расщепленной модели является более точной по сравнению с более ранними работами.

Уравнение для расчета поля давления с граничными условиями:

с граничными условиями:

Уравнение для расчета поля импульса на новом временном слое:

В параграфе 1.7 показано, что из расщепленной модели следует уравнение, выражающее закон сохранения массы. Из него следует, что масса жидкости, втекающая в единицу времени, а также изменение массы, вызванное изменением плотности жидкости уравновешивается вытекающей из свободного выхода жидкостью, испарением жидкости и поднятием свободной поверхности, то есть выполняется закон сохранения массы вещества.

В параграфе 1.8 выполнено построение уравнения для нахождения приближенного поля давления. Приведен алгоритм расчета расщепленной модели. Для более точного расчета поля скорости вначале выполняется расчет поля импульса на новом временном слое, на его основе полей температуры и солености, после чего находятся поле плотности на новом временном слое, которое позволяет вычислить скорости на основе поля импульса.

Вторая глава посвящена построению и исследованию полностью дискретной модели гидрофизики мелководного водоема. В параграфе 2.1 изложены общие принципы аппроксимации уравнений модели с помощью метода конечных объемов, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, что позволяет более точно учитывать геометрию границы области и движение свободной поверхности. Аппроксимация выполнена на равномерной прямоугольной сетке.

С помощью изложенного метода получены дискретные аналоги всех уравнений расщепленной модели. Основные модели относятся к классу уравнений диффузии– конвекции–реакции, поэтому приведем аппроксимационные формулы для операторов, входящих в уравнения такого типа. Контрольный объем, по которому производится интегрирование обозначим D i, j, k, а заполненную его часть – i, j, k. В центрах ячеек введем сеточную функцию заполненности по формуле:

тогда аппроксимация операторов уравнения примет вид:

аппроксимация оператора конвективного переноса в направлении оси Ox:

аппроксимация оператора диффузионного переноса в направлении оси Ox:

В параграфе 2.2 рассматривается аппроксимация уравнений модели в граничных узлах первого, второго и третьего рода. При построении дискретных аналогов уравнений (1.8.19) возникают погрешности аппроксимации. Такие ошибки приводят к нарушению таких свойств границы, как непроницаемость твердой границы и сохранение расхода жидкости в устьях рек. Для решение этой проблемы воспользуемся граничными условиями для уравнения расчета давления, которые фактически задают точное значение нормальной составляющей градиента давления на границе.

В параграфе 2.3 приведен вывод формулы для расчета функции заполненности.

Параграф 2.4 посвящен исследованию консервативности построенной дискретной модели. Показано выполнение закона сохранения массы для дискретной модели.

В параграфе 2.5 с помощью принципа максимума получены ограничения на шаги по пространству и времени, обеспечивающие устойчивость дискретной модели:

Параграф 2.6 посвящен исследованию порядка погрешности аппроксимации дискретной модели, при этом учитывается также погрешность, возникающая при аппроксимации границы. Показано, что при аппроксимации с использованием классического инегро-интерполяционного метода порядок погрешности аппроксимации с учетом граничных условий равен нулю, для метода учитывающего частичную заполненность, порядок погрешности аппроксимации по пространственным направлениям равен одному.

В параграфе 2.7 приводится оценка погрешности схемы с весами для уравнения диффузии:

а также способ нахождения оптимально веса, который позволяет достичь максимально возможной точности схемы при данном шаге по времени. Рассчитаны значения шага сетки, оптимального веса схемы и оценки погрешности решения.

Третья глава посвящена разработке и обзору итерационных методов решения сеточных уравнений, которые применяются для решения уравнений дискретной модели.

В параграфе 3.1 получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного итерационного метода:

Показано, что улучшенная оценка позволяет асимптотически вдвое сократить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности, что подтверждается численными экспериментами в параграфе 3.2.

В параграфе 3.3. построен модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения разностной задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с сильно меняющимися коэффициентами и линейной функцией источника.

Рис. 1. Графики зависимости требуемого количества итераций от от размера сетки. (1 – МПТМ для эллиптического уравнения, 2 – МПТМ для уравнения с линейной В случае, когда накладывается ограничение асимптотической устойчивости схемы с весами для уравнения теплопроводности O h, имеет место следующая оценка для количества итераций, необходимых для достижения заданной точности:

Результаты численных экспериментов продемонстрированы на рис. 1.

Параграф 3.5 посвящен изложению варианта метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором, а также построена оценка скорости сходимости разработанного метода:

На основе полученной оценки в параграфе 3.6 выполнено построение адаптивного попеременно-треугольного метода для уравнений с несамосопряженным оператором.

Четвертая глава посвящена программной реализации алгоритма расчета математической модели тепломассопереноса с учетом движения свободной поверхности, описанию входных и выходных данных, интерфейса программы, а также анализу результатов численных экспериментов В параграфе 4.1 приводится общее описание программного комплекса для расчета тепломассопереноса и движения свободной поверхности в мелководных водоемах. В параграфе 4.2 описываются принципы работы с программным комплексом, о формате входных и выходных данных, а также выполненные численные эксперименты. Входные параметры тестовых задач для удобства сведены в таблицу 1.

Тестовая задача №1. Рассмотрим заполненный жидкостью резервуар в форме параллелепипеда. Через часть одной из стенок втекает фиксированный объем жидкости, а на противоположной стенке имеется перешеек, через который жидкость может свободно вытекать в другой резервуар большего размера. Значения входных параметров приведено в таблице 1.

Рис. 2. Результаты моделирования течения жидкости в резервуаре с фиксированным источником и свободным выходом. Векторами показано поле скорости, а поле давления показано цветом. Для наглядности вектора скорости были масштабированы.

Поля скорости и давления, полученные в результате моделирования, представлены на рис. 2. На рис. 2 наблюдается образование вихрей по обе стороны от основного потока, что согласуется с физикой процесса. Также было показано, что масса втекающей жидкости равна массе вытекающей с точностью 10 -9, то есть выполняется закон сохранения массы.

Таблица 1. Значения входных параметров для тестовых задач.

Объем втекающей жидкости для задачи Объем втекающей жидкости для задачи Тестовая задача №2. Рассмотрим резервуар в форме прямоугольной призмы с основанием в виде прямоугольного треугольника. На боковых перпендикулярных стенках расположены источник и сток жидкости.

Рис. 3. Результаты моделирования течения жидкости в скошенном резервуаре a – без учета частичной заполненности ячеек расчетной сетки, b – с учетом частичной заполненности ячеек расчетной сетки. Векторное поле соответствует полю скорости, Был выполнен расчет описанной модели с использованием подхода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки, и для сравнения был выполнен расчет этой же модели без учета частичной заполненности. Результаты численных экспериментов приведены на рис. 3.

При моделировании течения в скошенном резервуаре с помощью обычно прменяемого на практике интегро-интерполяционного метода (то есть без учета частичной заполненности ячеек расчетной сетки), скошенная стенка заменяется на ступенчатую, что приводит к сеточному эффекту в виде падения скорости течения вдоль стенки (рис. 3 a). Этого эффекта удается избежать, если использовать для аппроксимации уравнений метод конечных объемов с учетом частичной заполненности ячеек расчетной сетки (рис. 3 b).

Для моделирования гидрофизики Азовского моря использовалась расчетная сетка размером 706x463x16 узлов, при этом область расчета протянулась на 355 км с Запада на Восток и на 236 км с Севера на Юг, а максимальная глубина моря составляет 14 м.

Данные водного баланса Азовского моря приведены в таблице 2.

Таблица 2. Данные водного баланса Азовского моря.

Гирла Свиное, Кривое и Богдан Гирло Песчаное Гирло Мериновое Гирло Мокрая Кутерьма Гирло Кутерьма Гирла Мертвый Донец и Средняя Кутерьма Кубань Черное море Сиваш Испарение Рис. 4. Поле скорости, полученное при моделировании гидродинамики Азовского На рис. 4 представлено поле скорости течений, полученное в результате моделирования гидродинамики Азовского моря с помощью разработанного комплекса программ. В северо-восточной части моря наблюдается образование вихря, который сязан с формированием зоны анаэробного заражения в этом районе моря в летнее время.

Результаты моделирования согласуются с более ранними исследованиями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа содержит следующие научные результаты:

В области математического моделирования:

1. Построена усовершенствованная непрерывная модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающая гидродинамику сжимаемой жидкости со свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей (с. 27-37);

2. Разработан более точный по сравнению с известными, метод моделирования свободной поверхности, являющийся развитием метода volume of fluid, не требующий численного решения уравнения переноса для заполненности в отличии от известных методов (с. 78-80);

3. Построена расщепленная непрерывная модель гидрофизики, наследующая основные свойства усовершенствованной непрерывной модели (с. 42-46);

4. Выполнено исследование построенных непрерывных моделей. Показано, что граничные условия непрерывной модели соответствуют физическим свойствам границы. Исследована консервативность модели, расщепленной по физическим процессам – показано выполнение закона сохранения массы (с. 37-40, с. 47);

В области численных методов:

5. Построена дискретная модель гидрофизики мелководных водоемов, описывающая гидродинамику жидкости с переменной плотностью и свободной поверхностью, а также перенос тепла и солей. Аппроксимация уравнений модели выполнена с использованием интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность ячеек расчетной сетки (с. 56-78);

6. Выполнено исследование построенной дискретной модели:

а. Исследована консервативность дискретной модели – показано выполнение закона сохранения массы (с. 81-86);

б. Исследована устойчивость дискретной модели, получены условия, при которой дискретная модель является устойчивой (с. 87-93);

в. Исследована точность, с которой дискретная модель аппроксимирует непрерывную модель гидродинамики. Показано, что использование для аппроксимации уравнений модели интегро-интерполяционного метода, учитывающего частичную заполненность, позволяет достичь первого порядка погрешности аппроксимации на границе области, тогда как использование обычно применяемого интегро-интерполяционного метода дает константную ошибку на границе области (с. 93-99);

7. Разработаны и оптимизированы численные методы решения сеточных задач типа диффузии и диффузии-конвекции-реакции:

а. Построен и исследован модифицированный попеременно-треугольный метод решения сеточных уравнений эллиптического типа с линейной функцией источника и сильно меняющимися коэффициентами, требующий меньшего числа итераций по сравнению с известными (с. 116-125);

б. Получена улучшенная оценка нижней границы спектра предобусловленного оператора для попеременно-треугольного метода, что позволило асимптотически вдвое сократить число итераций, требуемых для сходимости в. Построен вариант метода минимальных поправок для решения сеточных задач диффузии-конвекции. Получена оценка скорости сходимости и проведена оптимизация разработанного метода, что позволило сократить объем вычислительной работы по сравнению с известными вариантами метода (с.

г. Построен алгоритм выбора оптимального весового коэффициента двухслойной разностной схемы с весами для уравнения диффузии, что позволяет увеличить шаг сетки по времени при сохранении той же точности решения (с. 100-108);

В области создания комплексов программ:

8. Построен комплекс программ, отличающийся от известных тем, что для моделирования задач гидрофизики мелководных водоемов используются усовершенствованные модели с уточненными граничными условиями на свободной поверхности. Разработанный программный комплекс позволяет совместно моделировать гидродинамические процессы со свободной поверхностью и транспорт тепла и солей в водоемах (с.139-142);

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Публикации в журналах перечня ВАК:

1. Сухинов А. И., Шишеня А. В. «Улучшение оценки параметра 1 попеременнотреугольного итерационного метода с априорной информацией». Известия ЮФУ.

Технические науки. Тематический выпуск «Теоретические и прикладные аспекты математического моделирования». – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010, №6(107), с 2. Шишеня А. В. «Трехмерная модель гидродинамики и процессов переноса тепла и солей в акватории Азовского моря с учетом сгонно-нагонных явлений». Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные задачи математического моделирования». – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011, №8(121), с 3. А. И. Сухинов, А. В. Шишеня, «Повышение эффективности попеременнотреугольного метода на основе уточнённых спектральных оценок», Матем.

моделирование, 24:11 (2012), 20–32.

4. А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. Ф. Тимофеева, А. В. Шишеня, «Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов», Матем. моделирование, 24: (2012), 32–44.

5. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В., «Вариант метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором»

Известия ЮФУ. Технические науки. Тематический выпуск «Актуальные проблемы математического моделирования». – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2013. №4 (141), Публикации в других журналах:

6. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В. «Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами», Матем. Моделирование, 13 стр. (в 7. Сухинов А. И., Шишеня А. В., «Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе», Альманах современной науки и образования, № 1 (68), 2013, 10 стр.

8. Шишеня А. В., Колгунова О. В. «Двумерная модель процессов переноса тепла и солей в мелководных водоёмах на примере Азовского моря с использованием нерегулярных сеток». Материалы 5-й Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов, Азов, 9. Шишеня А. В., Сухинов А. И. «Моделирование процессов переноса тепла и солёности в мелководных водоёмах на примере Азовского моря», Всероссийская конференция Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления 2008г., стр. 276-277.

10. Сухинов А. И., Чистяков А. Е., Шишеня А. В. «Изучение механизма образования зон анаэробного заражения в Азовском море с помощью трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов», Всероссийская конференция Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления 2012, 1 стр.

11. Шишеня А. В. Сухинов А. И. «Применение ПТМ к численному решению эллиптических уравнений», «Неделя науки - 2010» Материалы научных работ, Таганрог, 2010.

12. Шишеня А. В. «Моделирование тепломассопереноса в мелководном водоеме с учетом движения свободной поверхности», Материалы девятнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, 13. A.I. Sukhinov, A.V. Shishenya “Increasing Efficiency of Alternating Triangular Method Based on Improved Spectral Estimates”, Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, Vol. 5, No. 3, pp. 257–265. © Pleiades Publishing, Ltd., 2013.

Личный вклад соискателя в работах, опубликованных в соавторстве: [1] – получена улучшенная оценка нижней границы спектра для ПТМ, выполнены численные эксперименты, [3] – выполнено усовершенствование модифицированного ПТМ для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами и линейной функцией источника, [4] – разработка метода моделирования свободной поверхности, визуализация результатов, [5] – разработка метода оценки скорости сходимости, [6] – решена задача оптимизации погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами, [7] – реализация параллельного алгоритма моделирования гидродинамики, [8] – построение двумерной модели транспорта тепла и солей в мелководном водоеме, [9] – построение трехмерной модели транспорта тепла и солей в мелководном водоеме, [10] – моделирование гидродинамики Азовского моря, [11] – разработка методов улучшения сходимости ПТМ для уравнений с эллиптическим оператором, [13] – английский перевод статьи [3].

Усл. П. л. -1,00 Уч. -изд. - 1,25 Заказ № Тираж 100 экз.

Типография Южного федерального университета ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса,

 


Похожие работы:

«Эдель Дмитрий Александрович СПОСОБ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ СРЕДСТВ ВЫЯВЛЕНИЯ ЗАРАЖЕННЫХ ФАЙЛОВ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СКРЫТЫХ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ 05.13.19 – Методы и системы защиты информации, информационная безопасность АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Ростов-на-Дону – 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном автономном научном учреждении Научно-исследовательский институт Специализированные вычислительные устройства...»

«Заусаев Артем Анатольевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ ВЫСОКОТОЧНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук САМАРА – 2005 Работа выполнена на кафедре Прикладная математика и информатика Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Самарский государственный...»

«Степанян Карлен Багратович Разработка и применение языка описания нотации графо-подобных диаграмм Специальность 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург – 2012 Работа выполнена на кафедре Прикладной математики Санкт-Петербургского Государственного Политехнического Университета (СПбГПУ). Научный руководитель : доктор...»

«СТАРОДУБЦЕВ Игорь Юрьевич МОДЕЛИ И МЕТОДЫ МНОГОЦЕЛЕВЫХ ЗАДАЧ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЕЙ ОПЕРАЦИЙ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Воронеж – 2012 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Воронежский государственный университет Научный руководитель : Артемов Михаил Анатольевич доктор...»

«Редин Александр Александрович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ В УСЛОВИЯХ АЭРОЗОЛЬНОГО ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРЫ Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Таганрог 2011 Работа выполнена в Технологическом институте Южного федерального университета в г. Таганроге (ТТИ ЮФУ). Научный руководитель :...»

«Кажаров Аскер Артурович РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ РОЕВЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНО-ЛОГИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Специальность: 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (вычислительная техника и информатика) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Таганрог – 2013 Работа выполнена в Южном федеральном университете в г. Таганроге. Научный руководитель : заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор...»

«Черноглазов Дмитрий Григорьевич ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Специальность 05.13.01 – системный анализ, управление и обработка информации (промышленность) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Морской Государственной Академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова, на кафедре системного анализа, управления и обработки информации, г. Новороссийск Научный руководитель : доктор...»

«Поляков Сергей Владимирович Математическое моделирование с помощью многопроцессорных вычислительных систем процессов электронного транспорта в вакуумных и твердотельных микро- и наноструктурах Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва 2010 Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН Официальные оппоненты : доктор...»

«КНЯЗЕВ Евгений Геннадьевич Автоматизированная классификация изменений исходного кода на основе кластеризации метрик в процессе разработки программного обеспечения Специальность 05.13.11. Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Санкт-Петербург 2009 2 Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий,...»

«ЖИТКОВА ЕКАТЕРИНА МИХАЙЛОВНА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОТИВОЭПИДЕМИЧЕСКОЙ ПРОФИЛАКТИКИ С УЧЕТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ СЕЗОННЫХ ПОДЪЕМОВ ЗАБОЛЕВАЕМОСТИ ОРВИ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург – 2009 Работа выполнена на кафедре управления медико-биологическими системами факультета прикладной...»

«БЕСПАЛОВА Евгения Эдуардовна АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ОПЕРАТИВНОМ ПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА СБОРНОГО ЖЕЛЕЗОБЕТОНА 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Барнаул 2007 Работа выполнена на кафедре Прикладная математика ГОУ ВПО Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова Научный руководитель кандидат...»

«ПОПКО ЕВГЕНИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ГЕНЕТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕРМОЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ В ДИЭЛЕКТРИКАХ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Екатеринбург – 2009 Работа выполнена на кафедре вычислительной техники в ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ имени первого Президента России Б.Н....»

«БАБИКОВА АННА ВАЛЕРЬЕВНА РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ ПРОГРАММНО-ИНФОРМАЦИОННОЙ ПОДДЕРЖКИ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В МНОГОУРОВНЕВЫХ КОМПАНИЯХ Специальность 05.13.10 – Управление в социальных и экономических системах (экономические наук и) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Ростов-наДону - 2007 Диссертация выполнена на кафедре экономики Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге доктор...»

«КНЯЗЬКОВ Дмитрий Юрьевич МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Москва — 2013 Работа выполнена в лаборатории механики управляемых систем Федерального государственного бюджетного учреждении науки...»

«Захарченко Алексей Александрович МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ИЗМЕРЕНИЙ РЕЛЬЕФА ПОВЕРХНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ОПТИЧЕСКОГО МИКРОСКОПА Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва, 2006 г. Работа выполнена на кафедре компьютерных методов физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Научный руководитель : доктор...»

«БОРОДАЧЁВ ЛЕОНИД ВАСИЛЬЕВИЧ ДИСКРЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕ 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва — 2012 2 Работа выполнена на кафедре математики Физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор Рухадзе Анри...»

«Черноусов Антон Владимирович Модели, методы и базовые программные компоненты для создания вычислительной инфраструктуры исследований в энергетике Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Иркутск 2008 2 Работа выполнена в Институте систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Российской академии наук (ИСЭМ СО РАН). Научный...»

«Бураков Вадим Витальевич МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЯ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ Специальность 05.13.11 – Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Санкт-Петербург 2010 Работа выполнена на кафедре компьютерной математики и программирования Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования...»

«Тимановский Алексей Леонидович СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕ В СИСТЕМАХ ПАССИВНОГО РАДИОВИДЕНИЯ Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2007 Работа выполнена в Учебно-научном центре магнитной томографии и спектроскопии МГУ им. М.В. Ломоносова и на кафедре радиофизики физического факультета МГУ. Научный руководитель : Доктор...»

«КЛОПОТ Михаил Михайлович ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА УСТРОЙСТВ ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ РЕГУЛИРОВКИ ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО КАНАЛА Специальность: 05.13.05 – элементы и устройства вычислительной техники и систем управления АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Таганрог – 2012 Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем научных исследований и экспериментов Технологического института ФГАОУ ВПО Южный федеральный университет в...»














 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.