WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

МАЗУРОВ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ

ДИССИПАТИВНОСТЬ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С

ФУНКЦИЕЙ НАКОПЛЕНИЯ, ЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ К РИСКАМ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород — 2009

Работа выполнена в Арзамасском политехническом институте (филиале) Нижегородского государственного технического университета им.

Р. Е. Алексеева.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Пакшин Павел Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баландин Дмитрий Владимирович;

кандидат физико-математических наук Бовырин Александр Владимирович.

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (Москва).

Защита диссертации состоится 24 декабря 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете им. Р. Е. Алексеева по адресу: 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, корпус 1, аудитория 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Нижегородского государственного технического университета им.

Р. Е. Алексеева.

Автореферат разослан 18 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук А. С. Суркова

Общая характеристика работы

Объект исследования — аффинные по управлению дифференциальные системы Ито с квадратичной по управлению функцией запаса.

Предмет исследования — решение задачи обеспечения диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, а также разработка основанного на данном свойстве диссипативности подхода к решению задач синтеза законов управления аффинными по управлению (детерминированными и стохастическими) системами с квадратичными по управлению критериями качества.





Актуальность темы. Теория чувствительности к рискам предложена в начале 1970-ых гг. D. H. Jacobson и на сегодня является одним из интенсивно развивающихся направлений стохастической теории оптимального управления. Использующийся в теории экспоненциальный критерий качества позволяет строить регуляторы, зависящие от величины внешних возмущений, что обеспечивает определенные преимущества над классическими регуляторами в задачах управления. Модели с экспоненциальным критерием качества были эффективно применены в прикладных задачах наведения ракет, планирования производства в стохастических производственных системах, а также в групповых задачах и экономических задачах, что и предопределило название теории. В последние годы получен ряд результатов, на основании которых можно утверждать, что чувствительность к рискам связывает стохастический и детерминированный подходы к моделированию возмущений. Это дает возможность использовать теорию для синтеза систем управления с различными показателями качества.

С другой стороны, в современной теории управления достаточно широкое распространение приобрела теория диссипативности. Понятие диссипативной системы было заимствовано из физики; на языке физиков диссипативность означает склонность системы к потерям энергии, переданной ей из внешней среды. Математическая теория диссипативности впервые разработана J. C. Willems для детерминированных неавтономных систем x(t1 ) = (t1, t0, x0, u(t)), (1) y(t1 ) = r(x(t1 ), u(t)), t [t1, t0 ], где x, u, y — векторы состояния, управления и выхода, а и r суть переходная функция и функция выхода. Теория характеризует поведение системы (1) на языке «вход»-«выход» с помощью т. н. функций запаса (обобщенная внешняя энергия) и накопления (обобщенная внутренняя энергия), которые для диссипативной системы удовлетворяют неравенству t S(x0 ) + w(u(s), y(s))ds S(x1 ) (2) t (неравенство диссипации). Здесь S(x) и w(u, y) — функции накопления и запаса, соответственно. Конкретные свойства диссипативной системы зависят от выбора функции запаса. Детерминированная теория диссипативности была использована для решения задачи стабилизации (в т. ч.

частичной), задачи устойчивости в смысле вход-выходных соотношений, задачи синтеза управления, обеспечивающего синхронизацию колебаний.

Известны многочисленные примеры применения детерминированной теории диссипативности в прикладных задачах управления, в частности, задачах управления механическими и электротехническими системами (роботы, электрические двигатели и преобразователи), задачах управления судами, дизельными двигателями, химическими процессами, энергосистемами. Позднее несколько исследователей предложили варианты обобщения этой теории на класс стохастических систем управления, благодаря чему были решены актуальные задачи современной теории управления: для стохастических систем — стабилизация, синтез L2 -, H2 - и H -управления, синтез эргодического управления, синтез робастного управления, а для детерминированных систем — робастная одновременная стабилизация множества систем с неопределенными параметрами.





Тем не менее, в известных подходах к стохастической диссипативности не рассматривались зависимости функций накопления от интенсивности внешних возмущений («рисков»), моделируемых, как правило, с помощью винеровских процессов. Представляется актуальным объединение свойств чувствительности к рискам и диссипативности, т. е. обеспечение диссипативности с неотъемлемым свойством чувствительности к рискам функций накопления, а также исследование того, что может дать указанное свойство в задачах синтеза управления детерминированными и стохастическими системами.

Цель работы заключается в расширении классического свойства диссипативности J. C. Willems на стохастические системы управления с естественной чувствительностью к рискам функций накопления, а также в разработке методов решения задач синтеза управления (детерминированными и стохастическими) системами по принципу сравнения со стохастической системой, обладающей указанным свойством диссипативности.

Задача исследования заключается в:

• обеспечении свойства диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, для аффинной по управлению дифференциальной системы Ито с квадратичной по управлению функцией запаса;

• выводе конструктивных критериев диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, для аффинной по управлению дифференциальной системы Ито с квадратичной по управлению функцией запаса;

• применении критериев диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, в задачах синтеза управления аффинными по управлению (детерминированными и стохастическими) системами с квадратичными по управлению критериями качества по принципу сравнения с аффинной по управлению дифференциальной системой Ито, обладающей указанным свойством диссипативности.

В качестве «классического» случая исследуются линейные дифференциальные системы Ито с функцией запаса в виде квадратичной формы, поскольку на сегодняшний день создано мощное программное обеспечение для решения линейных матричных уравнений и неравенств в среде MATLAB.

Методы исследования, применяемые в работе, относятся к теории стохастических дифференциальных уравнений, теории вероятностей, математической теории управления, теории матриц, теории дифференциальных игр и теории функционального анализа. Используются современные средства компьютерного моделирования.

Научная новизна.

1. Исследована и решена задача обеспечения диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам (ФНЧР), для аффинных по управлению дифференциальных систем Ито с квадратичной по управлению функцией запаса, сформулированы и доказаны достаточные условия (критерии) диссипативности в указанном смысле в терминах решения обобщенных неравенств Гамильтона–Якоби– 2. Доказаны связи свойства диссипативности с ФНЧР с инвариантной вероятностной мерой, чувствительностью к рискам, детерминированным H -управлением, а также дифференциальными (детерминированными и стохастическими) играми.

3. Предложен единый подход к решению следующих задач управления:

а) задачи стабилизации стохастической аффинной по управлению системы в смысле существования единственной инвариантной вероятностной меры (задачи обеспечения эргодичности);

б) задачи синтеза субоптимального, чувствительного к рискам управления стохастической аффинной по управлению системой с экспоненциальным квадратичным по управлению критерием качества;

в) задачи ослабления возмущений для детерминированной аффинной по управлению системы с квадратичным по управлению критерием качества.

Подход использует принцип сравнения со стохастической аффинной по управлению системой, обладающей свойством диссипативности с ФНЧР с квадратичной по управлению функцией Практическая ценность и рекомендации по использованию результатов. Полученные в диссертационной работе результаты могут использоваться для решения широкого круга практических задач синтеза динамических систем управления, как детерминированных, так и стохастических, с позиций теории диссипативности. Кроме того, представленный в данной работе подход и ее результаты расширяют традиционные сферы применения свойства диссипативности, свидетельствуя об его универсальности при решении задач теории управления, и открывают перспективы для дальнейших исследований природы диссипативности. В линейно-квадратичном случае конечные результаты исследования сформулированы на языке линейных матричных неравенств и допускают эффективную проверку с помощью прикладного программного обеспечения среды MATLAB, что предоставляет определенные преимущества при решении практических задач.

Достоверность и обоснованность положений диссертационной работы подтверждается строгим математическим выводом полученных соотношений, а также доказательством приведенных утверждений.

Личным вкладом соискателя в диссертацию и совместные публикации является формирование подхода к решению рассматриваемых задач, формулирование и доказательство теоретических результатов, разработка программного обеспечения, реализующего и иллюстрирующего данные результаты. Научному руководителю, д.ф.-м.н., проф. П. В. Пакшину, принадлежат постановки задач и общая схема исследования.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на VI Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2007);

III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (ВМКПУ-2008) (Москва, 2008); XIV Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2008)»

(Нижний Новгород, 2008); VII Международной молодежной научнотехнической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2008); IV Всероссийской школе-семинаре молодых ученых «Проблемы управления и информационные технологии (ПУИТ-2008)» (Казань, 2008);

VIII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008); XV Международной конференции по автоматическому управлению «Автоматика-2008» (Одесса, Украина, 2008); XV Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и технологии (ИСТ-2009)» (Нижний Новгород, 2009); VIII Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2009); I Традиционной Всероссийской Молодежной Летней Школе «Управление, информация и оптимизация» (Переславль-Залесский, 2009).

Доклад на конференции «Будущее технической науки-2009» удостоен диплома второй степени. Диссертация удостоена диплома на Всероссийском конкурсе научных работ молодых ученых по теории управления и ее приложениям (Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН) за 2009 год в номинации аспирантов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 2 статьи, из них 1 в журналах из перечня ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 175 наименований. Работа изложена на 123 страницах, содержит 15 иллюстраций.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08а).

Содержание работы Во введении обоснована актуальность выбранной темы и сформулированы цель и задачи исследования.

В первой главе рассмотрены основные концепции современной теории чувствительности к рискам и связанные задачи управления.

Во второй главе приведен обзор современной теории диссипативности, включая становление детерминированной теории и известные подходы к ее обобщению на стохастический случай с указанием полученных результатов.

В третьей главе представлен новый подход к обобщению детерминированной диссипативности на класс аффинных по управлению дифференциальных систем Ито с квадратичной по управлению функцией запаса, благодаря которому получены функции накопления, чувствительные к рискам. В явном виде решена задача обеспечения диссипативности с ФНЧР и сформулированы достаточные условия диссипативности с ФНЧР. Как частный случай, рассмотрены линейные системы с функциями запаса в виде квадратичных форм, для которых получены критерии на языке линейных матричных неравенств, допускающие эффективную проверку с помощью современного программного обеспечения среды MATLAB. Даны примеры применения предложенных критериев в линейно-квадратичном случае.

Рассмотрим аффинную систему управления, заданную стохастическим дифференциальным уравнением Ито:

где xt Rn — вектор состояния, ut Rp — вектор управления, Wt — стандартный m - мерный винеровский процесс на вероятностном пространстве (, F, P) с естественной фильтрацией Ft (t 0), порожденной процессом Wt до момента t включительно. Символ суть положительный параметр1, начальное состояние x детерминированное; f1, f2 и D — заданные векторфункция и матрицы-функции согласованных размерностей, соответственно.

Требуется определить, при каких условиях данная система диссипативна относительно квадратичной функции запаса а функции накопления чувствительны к вариациям параметра.

Сформулированная задача является весьма нетривиальной; в результате естественного обобщения идей J. C. Willems на стохастические системы (3)–(4), т. е. такого обобщения, когда неравенство диссипации (4) без принципиальных модификаций выполняется в математическом ожидании относительно начальных условий системы (3), требуемые свойства чувствительности функций накопления к вариациям интенсивности получены быть не могут. Покажем это, разобрав свойство диссипативности с функцией накопления без рисков.

Введем обозначение f(x, u) = f1 (x) + f2 (x)u и будем считать функцию f непрерывной по переменным x, u. Пусть ut принадлежит классу U марковских относительно Ft случайных процессов таких, что при ut U существует единственное сильное решение xt уравнения (3), которое является марковским процессом относительно Ft. В частности, переменная ut моПараметр следует рассматривать как интенсивность случайных возмущений (рисков), моделируемых с помощью винеровского процесса Wt.

J. C. Willems рассматривал функции запаса, зависящие от входных и выходных переменных — см. (2).

Поскольку, как правило, выходная переменная определяется входным сигналом и состоянием, мы можем без всякой потери общности рассматривать функции запаса, зависящие от векторов xt и ut.

жет быть марковским управлением ut = (xt ), функция непрерывна.

Предположим справедливость условий:

1). для любого k = 1, 2,... существует скаляр hk 0 такой, что выполняется неравенство |f(x, (x)) f(y, (y))| + |D(x) D(y)| hk |x y| для всех x, y Rn, |x| |y| k (условие Липшица);

|f(x, (x)) + D(x)| h(1 + |x|) справедливо для всех x Rn (условие линейного роста);

3). неравенство D(x)DT (x) 0 верно для всех x Rn (условие эллиптичности).

Условия 1)-2) достаточны для существования единственного сильного решения (3), которое представляет собой марковский процесс в пространстве состояний Rn. При указанных условиях и u = (x) класс U =. Если верно условие 3), то система в локальном смысле управляема процессом Wt. Это существенно: мы говорим о (не)чувствительности к рискам, и система должна быть зашумлена постоянно действующими возмущениями.

Обозначим через 2 ([0, t], Rp ) множество всех марковских управлеF ний ut U таких, что u 2 2 ([0,t]) = Ex 0 |us |2 ds + при произF вольном ожидания при начальном условии x0 = x. Таким образом, 2 () задаF ет множество допустимых управлений. Будем считать, что функция запаса (4) для любого допустимого управления ut удовлетворяет условию Ex 0 |L(xs, us )| ds + при любом 0 t.

Определение 1. Система (3) с функцией запаса (4) называется диссипативной на [0, +) с функцией накопления без рисков, если существуют неотрицательная непрерывная функция накопления V : Rn R+ и неотрицательная непрерывная функция увеличения запаса () : Rn R+ такие, что интегральное неравенство диссипации выполняется для любых 0 t + и всех решений системы (3) с допустимым управлением и начальным условием x0 = x Rn.

Предложенное определение — один из вариантов естественного расширения определения детерминированной диссипативности J. C. Willems на стохастический случай. Новым по сравнению с известными определениями является использование функции увеличения запаса () в подынтегральном выражении неравенства диссипации. Функция 1 служит для учета шумового воздействия при передаче внешнего запаса в систему, название данной функции отражает ее смысл.

Положим C 2 (Rn ; R+ ) — множество дважды непрерывно дифференцируемых неотрицательных функций V : Rn R+. В данной главе сформулированы и доказаны следующие достаточные условия диссипативности с функцией накопления без рисков.

Теорема 1 (критерий диссипативности с функцией накопления без рисков). Пусть существует неотрицательная непрерывная функция V (x) C 2 (Rn ; R+ ), удовлетворяющая неравенству Гамильтона–Якоби– Беллмана (НГЯБ):

Зная V, построим следующие функции:

Тогда система (3)–(4) диссипативна на [0, +) с функцией накопления V без рисков, причем функция увеличения запаса и марковское управление, обеспечивающее указанную диссипативность, определяются (7) и (8).

Параметр не включен в НГЯБ (6), и функции накопления не зависят от его величины. Для получения требуемых свойств чувствительности необходимо качественно модифицировать неравенство диссипации (5).

Рассмотрим неравенство:

Определение 2. Система (3)–(4) называется диссипативной на [0, +) с функцией накопления, чувствительной к рискам (ФНЧР), если существуют неотрицательная непрерывная функция накопления V () : Rn R+ и неотрицательная непрерывная функция увеличения запаса 2 : Rn R+ такие, что неравенство (9) выполняется для любых 0 t + и всех решений системы (3) с допустимым управлением и начальным условием x0 = x Rn.

Будем считать (9) интегральным неравенством диссипации с ФНЧР.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2 (критерий диссипативности с ФНЧР). Пусть для некоторого 0 существует неотрицательная непрерывная функция V () (x) C 2 (Rn ; R+ ) такая, что при x Rn верно обобщенное неравенство Гамильтона–Якоби–Беллмана (ОНГЯБ):

По его решению V () построим следующие функции:

Тогда при интенсивности рисков система (3)–(4) диссипативна на [0, +) с функцией накопления V (), чувствительной к рискам, причем функция увеличения запаса и марковское управление, обеспечивающее диссипативность с указанной функцией накопления, определяются формулами (11) и (12).

Принципиально важно, что ОНГЯБ (10) для стохастической диссипативности в новой трактовке (9) с использованием экспоненциальной функции отличается от НГЯБ (6) для стохастической диссипативности без рисков (5) дополнительным слагаемым 2 Vx() (x)D(x), которое включает интенсивность рисков. Получены явные зависимости функции накопления и управления, обеспечивающего диссипативность в новой трактовке, от интенсивности, выраженные соотношениями (10), (12). Данный результат позволяет говорить о чувствительности к рискам функций накопления (и соответствующего управления) при диссипативности в форме (9); подобные свойства в рамках известных обобщений стохастической диссипативности ранее не были выведены и образуют новую концепцию диссипации.

В третьей главе также рассмотрен классический для теории управления, линейно-квадратичный случай:

При конечном параметре и управлении u = (x) = Kx, где K — некоторая матрица, условия 1)-2) очевидны. Если матрица D = 0, то справедливо и условие 3). С практической точки зрения важны не обращающиеся в нуль функции L0 (x); далее будем считать Q = 0. В этом случае функция накопления есть неотрицательно-определенная квадратичная форма которая принадлежит C 2 (Rn ; R+ ). ОНГЯБ (10) сводится к обобщенному квадратичному матричному неравенству Риккати (ОКМНР) относительно Z (). Функция (11) превращается в константу:

Управление (12), которое обеспечивает диссипативность системы (3)–(4), (13) с функцией накопления (14), чувствительной к рискам, определяется ОКМНР (15) трансформируется в линейную структуру благодаря стандартной Теореме Шура. При условии BBT +22 DDT 0 (15) эквивалентно Таким образом, исследователь может с легкостью установить, является ли конкретная система (3)–(4), (13) диссипативной с функцией накопления (14), чувствительной к рискам, а также вычислить функцию увеличения запаса (16) и марковское управление (17), обеспечивающее диссипативность, с помощью современных решателей ЛМН. В диссертации для решения ЛМН применяются интерфейс YALMIP и решатель SeDuMi, созданные для среды MATLAB.

Для системы (3),(4),(13) при диссипативности с функцией накопления без рисков (5) имеют место аналоги формул (10)–(12):

В четвертой главе устанавливается связь диссипативности с ФНЧР с чувствительностью к рискам, а также с дифференциальными играми и H -управлением. Показано, что свойство диссипативность с ФНЧР имеет отношение к свойству эргодичности. Благодаря установленным связям предлагается единый подход к решению задач синтеза систем различной структуры и расширяется круг задач управления, допускающих решение с позиций свойства диссипативности. Приведены примеры для линейноквадратичного случая.

На практике часто представляет интерес задача обеспечения эргодичности (задача стабилизации стохастической системы в смысле существования и единственности инвариантной вероятностной меры). Рассмотрим задачу обеспечения эргодичности управлением u = (x) случайного процесса, определяемого (3). Пусть B является -алгеброй борелевских множеств Rn, а (t, x, C) — переходной функцией процесса (3) при u = (x).

Инвариантная мера процесса (3) при u = (x) (если таковая существует) определяется формулой и обладает тем свойством, что из равенства P{xt C} = µ (C), t следует равенство P{x C} = µ (C), t. Будем считать, что если мера (19) существует, то удовлетворяет условию E {|x|2 } = Rn |x|2 µ (dx) +.

Предположим, что решение неравенства (10) в некотором шаре {x : |x| r} удовлетворяет условию а также В данной главе доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Допустим, что при некотором 0 справедливо обобщенное неравенство Гамильтона–Якоби–Беллмана (10) для функции V () C 2 (Rn ; R+ ). Зная его решение V (), построим функции (11) и (12).

Кроме того, допустим, что функция L0 (x) для достаточно больших x удовлетворяет неравенству |Vx (x)D(x)|2 1+ tr[Vxx (x)D(x)DT (x)]L0 (x) |Vx() (x)f2 (x)|2. (20) Тогда при управлении (12) существует единственная инвариантная мера (19) случайного процесса, определяемого (3).

В линейно-квадратичном случае (13) ограничение (20) на рост функции L0 (x) выполняется при достаточно больших x, если и только если матрица Q такова, что Лемма 1 связывает диссипативность с ФНЧР и инвариантную вероятностную меру.

Перейдем к корреляции диссипативности с ФНЧР и чувствительности к рискам. Рассмотрим аффинную стохастическую систему Объект (22) — частный случай модели, изученной T. Runolfsson. Обозначения совпадают с (3). Для управления u = u(x) и заданного скаляра определим чувствительный к рискам критерий качества Приведенное условие — ограничение на рост функции L0 (x).

Пусть f(x, u) = f1 (x) + f2 (x)u удовлетворяет условию Липшица по x, u:

k1, k2 0 : |f(x, u) f(y, v)| Предположим, что функция D(x) удовлетворяет условию Липшица по x, а функция L(x, u) = L0 (x) + |u|2 непрерывна по x и u, ограничена снизу и обладает тем свойством, что множества {(x, u) : L(x, u) k} компактны для каждого k (0, ).

Рассмотрим автономную версию системы (22) при f(x, u) f(x) и будем считать, что выполнены следующие условия:

A1). Марковский процесс xt, определенный соотношением (22) при f(x, u) f(x), имеет единственную инвариантную меру µ;

A2). Для любого открытого множества C Rn переходная функция (t, x, C) указанного процесса xt удовлетворяет условию A3). Существует величина 0 и функция q(, x, y) такие, что:

iii) для любого скаляра 0 существует скаляр 0 такой, что Определим класс как функции u(x) : Rn Rp такие, что:

a). u(x) удовлетворяет условию Липшица;

b). для замкнутой системы (22) с управлением u(x) верны A1)-A3);

c). J (u) существует для любого начального состояния x.

Пусть u. Определим вспомогательную стохастическую систему где v : Rn Rk. Обозначим через Au,v производящий оператор процесса (25), через u — множество тех v при фиксированном u, для которых существует мера µu,v и счетное плотное всюду множество Gu C 2 (Rn ) такие, что соотношение справедливо для всех h Gu. Сделаем дополнительное предположение:

d). для замкнутой вспомогательной системы (25) с управлением u(x) существует неотрицательная функция w C 2 (Rn ) такая, что i) lim|x| w(x) = равномерно по |x|;

ii) равномерно по v u : lim|x| (Au,v w) (x) =.

Закон управления u(x), удовлетворяющий условиям a)–d), будем называть допустимым и обозначать u. T. Runolfsson доказана следующая Теорема 3. Для задачи (22)–(24) допустим справедливость условий a)– d). Тогда верно равенство:

Таким образом, задача синтеза оптимального управления (22)–(24) эквивалентна стохастической дифференциальной игре (26), (25).

Выражение (26) можно записать в виде а оптимальные стратегии равны где (x) — цена данной игры, принадлежащая области определения Au,v.

В четвертой главе показано, что при замене переменных (27) сводится к Закон управления (29) принимает вид Если мы ослабим (31) до нестрогого неравенства и на основе решения V (x) неравенства (34) построим функции J и u по формулам (32)–(33), то получим субоптимальное решение J (u ) J.

В четвертой главе сформулирована и доказана Теорема 4. Предположим, что выполнены условия критерия диссипативности с ФНЧР, причем функция L0 (x) удовлетворяет условию Кроме того, допустим справедливость условий Теоремы 3 в отношении задачи (22)–(24), а также положим Тогда функция увеличения запаса (11) и марковское управление (12), обеспечивающее диссипативность системы (3)–(4) с ФНЧР, определяют согласно формулам как субоптимальное решение задачи синтеза оптимального, чувствительного к рискам управления (22)–(24), так и субоптимальную стратегию и субоптимальную цену стохастической дифференциальной игры (26) для вспомогательной системы (25).

Формулы (35)–(38) устанавливают связь диссипативности с ФНЧР с чувствительностью к рискам и стохастическими дифференциальными играми. В линейно-квадратичном случае (13) указанные связи сохраняются, формулы аналогичны приведенным ранее. Условие (35) сводится к Свойство диссипативности с ФНЧР может служить для синтеза робастного H -управления. Рассмотрим детерминированную аффинную систему:

где x, u, — векторы состояния, управления и возмущения, заданные на гильбертовых пространствах x, u, с размерностями n, k, l. Состояние x0 произвольно (дополнительное возмущение). Для (40) введем критерий Необходимо для заданного скаляра 0 найти закон управления такой, что при любых, x0 Rn выполняется неравенство где q0 (x0 ) 0 — заданная функция, |||| = 0 |(s)| ds — норма на.

Эта постановка принадлежит T. Ba ar, P. Bernhard и называется задачей ослабления возмущений (задачей синтеза робастного H -управления).

T. Ba ar и P. Bernhard показали, что решение задачи (40)–(43) можно построить с помощью решения вспомогательной дифференциальной игры с мягким ограничением и нулевой суммой с функцией цены Первый игрок стремится минимизировать (44) с помощью стратегии u = () (x), в то время как второй — максимизировать (44) с помощью стратегии = () (x). Уравнение Айзекса для верхнего значения игры (40), (41), (44) — функции V (x) — имеет вид Вместо уравнения Айзекса (45) рассмотрим неравенство Айзекса Оптимальные стратегии равны:

а (46) трансформируется в Если решение неравенства (49) удовлетворяет условию то (48) — решение приведенной задачи ослабления возмущений.

В четвертой главе сформулировано и доказано следующее утверждение.

Теорема 5. Предположим, что выполнены условия критерия диссипативности с ФНЧР, причем функция L0 (x) удовлетворяет условию (35).

Кроме того, допустим, что функция-решение V () (x) ОНГЯБ (10) удовлетворяет ограничению а параметры и связаны Тогда марковское управление (12), обеспечивающее диссипативность системы (3)–(4) с ФНЧР, определяет согласно формуле как решение задачи ослабления возмущений (40)–(43), так и субоптимальную стратегию детерминированной дифференциальной игры с мягким ограничением и нулевой суммой с функцией цены (44) для системы (40)–(41).

Теорема 5 устанавливает связь свойства диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, с детерминированными H управлением и дифференциальными играми.

В линейно-квадратичном случае рассуждения о связи данных свойств по-прежнему имеют место. При этом Ограничение supxRn {V Таким образом, на основании Леммы 1 и Теорем 4, 5 в четвертой главе диссертации предложен единый подход к решению стохастической задачи стабилизации в смысле единственной инвариантной вероятностной меры, стохастической задачи синтеза субоптимального управления, чувствительного к рискам, а также детерминированной задачи ослабления возмущений. Фундаментом единого подхода служит свойство диссипативности с ФНЧР; используется принцип сравнения со стохастической системой, обладающей данным свойством диссипативности.

Четвертая глава также содержит примеры численной реализации предложенного подхода в среде MATLAB для линейно-квадратичного случая.

В заключении диссертации подведены итоги осуществленных исследований и намечены возможные направления дальнейшей работы.

На защиту выносятся 1. Решение задачи обеспечения диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, как одной из вариаций обобщения классической диссипативности по J. C.Willems на класс аффинных по управлению дифференциальных систем Ито с квадратичными по управлению функциями запаса.

2. Связи свойства диссипативности с функцией накопления, чувствительной к рискам, со свойством чувствительности к рискам, дифференциальными играми и H -управлением.

3. Использующий свойство диссипативности с ФНЧР единый подход к решению следующих задач управления:

а) стохастической задачи стабилизации аффинной по управлению системы в смысле единственной инвариантной вероятностной б) стохастической задачи синтеза субоптимального управления, чувствительного к рискам, для аффинной по управлению системы с экспоненциальным квадратичным по управлению критерием качества;

в) детерминированной задачи ослабления возмущений для аффинной по управлению системы с квадратичным по управлению критерием качества.

Список публикаций по теме диссертации Статьи, опубликованные в рекомендованных ВАК изданиях [1] Мазуров, А. Ю. Диссипативность стохастических дифференциальных систем с функцией накопления, чувствительной к рискам, и задачи синтеза управления [Текст] / А. Ю. Мазуров, П. В. Пакшин // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2009. — № 5. — С. 34–46.

Статьи, опубликованные в других изданиях [2] Mazurov, A. Stochastic dissipativity with risk-sensitive storage function and related control problems [Текст] / A. Mazurov, P. Pakshin // ICIC Express Lett. — 2009. — V. 3. — No. 1. — P. 53–60.

Материалы конференций [3] Мазуров, А. Ю. Диссипативные динамические системы [Текст] / А. Ю. Мазуров // Будущее технической науки. Тезисы докладов VI Международной молодежной научно-технической конференции. — Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2007. — С. 82.

[4] Мазуров, А. Ю. Диссипативность стохастических систем с функцией накопления, чувствительной к рискам [Текст] / А. Ю. Мазуров // Труды III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления ВМКПУ-2008. — М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. — С. 45–46.

[5] Мазуров, А. Ю. Диссипативность стохастических систем с функцией накопления, чувствительной к рискам [Текст] / А. Ю. Мазуров // Информационные системы и технологии ИСТ-2008. Тезисы докладов XIV Международной научно-технической конференции. — Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2008. —С. 231–232.

[6] Мазуров, А. Ю. Диссипативность стохастических систем с функцией накопления, чувствительной к рискам [Текст] / А. Ю. Мазуров // Будущее технической науки. Тезисы докладов VII Международной молодежной научно-технической конференции. — Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2008. — С. 48–49.

[7] Мазуров, А. Ю. Диссипативность стохастических систем с функцией накопления, чувствительной к рискам, и робастная H -стабилизация [Текст] / А. Ю. Мазуров // Проблемы управления и информационные технологии ПУИТ-2008. Материалы IV Всероссийской школысеминара молодых ученых. — Казань: Изд-во КГТУ, 2008. — С. 264– [8] Мазуров, А. Ю. Диссипативность стохастических систем с функцией накопления, чувствительной к рискам [Текст] / А. Ю. Мазуров // Нелинейные колебания механических систем. Труды VIII Всероссийской научной конференции. — Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2008. — С. 231–236.

[9] Мазуров, А. Ю. Диссипативность стохастических систем с функцией накопления, чувствительной к рискам, и робастная H -стабилизация [Текст] / А. Ю. Мазуров // Автоматика-2008. Материалы XV Международной конференции по автоматическому управлению. — Одесса:

Изд-во ОНМА, 2008. — С. 332–335.

[10] Мазуров, А. Ю. Диссипативность дифференциальных систем Ито с функцией накопления, чувствительной к рискам, и стохастическая задача синтеза субоптимального управления [Текст] / А. Ю. Мазуров // Информационные системы и технологии ИСТ-2009. Тезисы докладов XV Международной научно-технической конференции. — Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2009. — С. 305–307.

[11] Мазуров, А. Ю. Диссипативность систем Ито с функцией накопления, чувствительной к рискам, и дифференциальные игры [Текст] / А. Ю. Мазуров // Будущее технической науки. Тезисы докладов VIII Международной молодежной научно-технической конференции. — Н. Новгород: Изд-во НГТУ, 2009. — С. 81.

[12] Мазуров, А. Ю. Диссипативность управляемых диффузионных процессов с функцией накопления, чувствительной к рискам, и синтез систем различной структуры [Текст] / А. Ю. Мазуров // Управление, информация и оптимизация. Тезисы докладов I Традиционной Всероссийской Молодежной Летней Школы. — М.: Изд-во ИПУ РАН, 2009. — С. 20–24.



 
Похожие работы:

«Вавилов Вячеслав Анатольевич ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Томск – 2006 Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета Научный...»

«Филиппов Алексей Александрович ФОРМИРОВАНИЕ НАВИГАЦИОННОЙ СТРУКТУРЫ ЭЛЕКТРОННОГО АРХИВА ТЕХНИЧЕСКИХ ДОКУМЕНТОВ НА ОСНОВЕ ОНТОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Специальность 05.13.12 – Системы автоматизации проектирования (промышленность) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Ульяновск – 2013 Работа выполнена на кафедре Информационные системы в Ульяновском государственном техническом университете. Научный руководитель : кандидат технических наук,...»

«Крылов Андрей Серджевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ЖИДКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ Специальность 05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва 2009 Диссертационная работа выполнена на кафедре математической физики факультета...»

«ЗАГРЕБНЕВА Анна Дмитриевна СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЕ В ПОПУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМАХ, ОБУСЛОВЛЕННОЕ ЯВЛЕНИЕМ ТАКСИСА 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Ростов-на-Дону 2010 Работа выполнена в отделе математических методов в экономике и экологии НИИ механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону Научный...»

«КОТЕЛЬНИКОВ СЕРГЕЙ СЕРГЕЕВИЧ ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ СТАНЦИЙ Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук ИРКУТСК – 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Иркутский государственный университет путей сообщения (ФГБОУ ВПО...»

«Долганова Ольга Юрьевна МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ РОСТОМ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Пермь – 2014 Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Пермском национальном исследовательском политехническом университете Научный руководитель : Няшин Юрий Иванович, доктор технических наук, профессор Официальные оппоненты : Скульский Олег...»

«КАГРАМАНЯН ЭМИЛЬ РУДОЛЬФОВИЧ РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ХАРАКТЕРИЗАЦИИ СЛОЖНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ БЛОКОВ КМОП СБИС С УЧЕТОМ ВАРИАЦИЙ ПАРАМЕТРОВ ТРАНЗИСТОРОВ Специальность: 05.13.12 - системы автоматизации проектирования АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2009 Работа выполнена на кафедре ПКИМС Московского государственного института электронной техники (технического университета). Научный руководитель : доктор технических...»

«КОЧЕРГИН ГЛЕБ АЛЕКСАНДРОВИЧ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТЕРРИТОРИАЛЬНЫХ ЗОН НА ОСНОВЕ МНОГОМЕРНОЙ КЛАСТЕРИЗАЦИИ И ГИС-АНАЛИЗА В УСЛОВИЯХ МАЛОГО ОБЪЕМА ДАННЫХ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Ханты-Мансийск – 2011 Работа выполнена в Автономном учреждении Ханты-Мансийского автономного округа – Югры “Югорский научно-исследовательский институт...»

«УТКИН Павел Сергеевич ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНИЦИИРОВАНИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН ГАЗОВОЙ ДЕТОНАЦИИ В ПРОФИЛИРОВАННЫХ ТРУБАХ Специальность 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук МОСКВА – 2010     Работа выполнена в отделе Вычислительных методов и турбулентности Учреждения Российской академии наук Институт автоматизации проектирования РАН Научный...»

«ЗЯЗИН СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ РАЗРАБОТКА РЕШЕНИЙ ПО ИНТЕГРАЦИИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ ГИБДД И СТРАХОВЩИКОВ Специальность: 05.13.13 – Телекоммуникационные системы и компьютерные сети АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва – 2008 Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики на кафедре Научный руководитель : доктор технических наук, профессор Черкасов Александр Сергеевич Официальные...»

«Фиалко Надежда Сергеевна МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА В ДНК Специальность: 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Пущино 2007 Работа выполнена в Институте математических проблем биологии РАН (г. Пущино) Научный руководитель : доктор физико-математических наук, профессор Лахно Виктор Дмитриевич Официальные доктор физико-математических наук,...»

«Ягодка Евгений Алексеевич ПОДДЕРЖКА ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ О СООТВЕТСТВИИ ОБЪЕКТА ЗАЩИТЫ ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ ТРЕБОВАНИЯМ ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ Специальность: 05.13.10 – Управление в социальных и экономических системах (технические наук и) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Москва 2014 2 Работа выполнена в НИО организации надзорной деятельности (ОНД) учебно-научного комплекса (УНК) ОНД ФГБОУ ВПО Академия Государственной...»

«Еременко Александр Сергеевич АВТОМАТИЧЕСКИЙ МОНИТОРИНГ ТРОПИЧЕСКИХ ЦИКЛОНОВ ПО ДАННЫМ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Владивосток — 2014 Работа выполнена в лаборатории спутникового мониторинга Института автоматики и процессов управления ДВО РАН. Научный руководитель : Алексанин Анатолий Иванович, доктор технических...»

«АЛТЫНБАЕВ Равиль Биктимурович ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ АВИАЦИОННЫМИ РАБОТАМИ ПО ТЕРРИТОРИАЛЬНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ АКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ (НА ПРИМЕРЕ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА) Специальность: 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в промышленности) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Уфа – Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Оренбургский государственный...»

«Мазанова Валентина Ивановна МОДЕЛИ И АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ ЗАКАЛКИ СТЕКЛА ДЛЯ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАНСПОРТА Специальность 05.13.06 – Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Владимир - 2014 2 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования (ФГБОУ ВПО)...»

«Нгуен Ван Чи ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ИНСТРУМЕНТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ОБОГАЩЕНИЯ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ Специальность 05.13.01 – Системный анализ, управление и обработка информации (региональные народнохозяйственные комплексы) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Иркутск – 2011 Работа выполнена на кафедре автоматизированных систем ФГБОУ ВПО Иркутский государственный...»

«Козлов Дмитрий Сергеевич МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕТА С ПРОЗРАЧНЫМИ КРИСТАЛЛАМИ ДЛЯ ФОТОРЕАЛИСТИЧЕСКОГО РЕНДЕРИНГА 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук Новосибирск – 2014 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новосибирский национальный исследовательский государственный...»

«Гильмуллин Ринат Абрекович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МНОГОЯЗЫКОВЫХ СИСТЕМАХ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ АВТОМАТОВ КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ 05.13.11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Казань – 2009 Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики государственного образовательного учреждения высшего профессионального...»

«ФАТЬКОВ Эдуард Александрович МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ СОВРЕМЕННЫХ ПОГЛОЩАЮЩИХ АППАРАТОВ АВТОСЦЕПКИ И РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА ИХ ХАРАКТЕРИСТИК 05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические наук и) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Брянск – 2009 2 Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Брянский...»

«ВАСИЛЬЕВ ЕВГЕНИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ УПРАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ГАЗОДОБЫВАЮЩЕГО ПРЕДПРИЯТИЯ (НА ПРИМЕРЕ ООО НОЯБРЬСКГАЗДОБЫЧА) Специальность: 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (в наук е и промышленности) по техническим наукам Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Нижний Новгород– 2008 Работа выполнена в Федеральном государственном унитарном предприятии Федеральный научно-производственный центр...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.