WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

На правах рукописи

Савватеев Алексей Владимирович

ЗАДАЧА МНОГОМЕРНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ И ЕЁ

ПРИЛОЖЕНИЯ: ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ ПОДХОД

Специальность 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва – 2013

Работа выполнена в Лаборатории математической экономики Федерального государственного бюджетного учреждения науки Центральный экономико-математический институт Российской академии наук Научные консультанты:

д.ф-м.н., академик РАН Валерий Леонидович Макаров Ph.D., профессор Шломо Вебер

Официальные оппоненты:

Поспелов Игорь Гермогенович д.ф-м.н., профессор, член-корреспондент РАН заведующий отделом математического моделирования экономических систем Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН Новиков Дмитрий Александрович д.т.н., профессор, член-корреспондент РАН, заместитель директора ИПУ РАН Райгородский Андрей Михайлович д.ф-м.н., профессор кафедры математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова

Ведущая организация:

Институт динамики систем и теории управления Иркутского Научного Центра Сибирского Отделения Российской академии наук

Защита состоится 14 октября 2013 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 002.013.02 в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Центральный экономико-математический институт Российской академии наук, расположенном по адресу: 117418, Москва, Нахимовский проспект, 47, ауд. 520.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЦЭМИ РАН.

Автореферат разослан 6 сентября 2013 года

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф-м.н. Борисова Светлана Валерьевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Работа посвящена теоретико-игровому анализу следующей задачи, называемой задачей о многомерном размещении (ЗМР в дальнейшем):

Задан распределённый в d -мерном координатном нормированном пространстве d (R, || · ||) спрос со стороны множества индивидов на доступ к определённому виду общественного блага. Благо поставляется в отдельных пунктах, мощностях, которые нужно поддерживать в определённом количестве, расположив их в тех или иных местах в Rd. Стоимость поддержания мощности равна g и не зависит от её адреса.





Мощности эти имеют вид чистого общественного блага, то есть любая из них способна полностью удовлетворять спрос всех людей. В то же время, существуют затраты прикрепления каждого индивида к любой из мощностей, равные измеренному в заданной норме расстоянию от адреса предъявления спроса со стороны индивида до мощности, в которой спрос индивида будет удовлетворяться.

Требуется выбрать места для открытия мощностей, а также прикрепить к ним пользователей, минимальным по суммарной стоимости образом.

Идейное наполнение математических пререквизитов задачи как самого пространства d R, так и заданной на нём нормы || · || зависит от рассматриваемого приложения ЗМР (которых имеется достаточно большое количество), и может меняться от географического конфликта и издержек перемещения в реальном пространстве до конфликта индивидуальных преференций относительно того, в какой из мощностей спрос может быть удовлетворён более качественно, с точки зрения данного потребителя.

Приведём примеры ЗМР: задача оптимального размещения сети центров обслуживания;

задача оптимальной композиции парламента (то есть выбора количества партий и их политических программ); задача о формировании юрисдикций и городских округов.

Синонимом для ЗМР является задача формирования групп, если для каждой открытой мощности выделить группу её пользователей.

В западной литературе по теории исследования операций ЗМР известна (в несколько более общей постановке, нежели приведённая выше) как UFLP Uncapacitated Facility Location Problem.

Другая интеллектуальная традиция, соприкасающаяся с задачами, решаемыми в диссертации, это классическая теория пространственного размещения, пионерами которой можно считать А.Вебера, В.Кристаллера, А.Лёша, затем позже Н.Стерн, Б.Боллобаш, Ф.Морган, Р.Болтон, М.Хаймович, Т.Л.Маньянти. В статье двух последних авторов показано, что решением задачи оптимального размещения пунктов обслуживания на равномерно населённой плоскости служит сетка шестиугольников определённого Cornuejols, G. Nemhauser, G.L. and L.A. Wolsey (1990), The uncapacitated facility location problem, in Discrete Location Theory, P. Mirchandani and R. Francis, eds., John Wiley and Sons, NYC, New York, 119-171.

Haimovich, M. and T. L. Magnanti (1988), Extremum properties of hexagonal partitions and the uniform distribution in Euclidean location, Siam Journal of Discrete Mathematics 1(1), 50-64.

(оптимального) размера. Однако специалистов по теории размещения интересует лишь нахождение оптимума, а не теоретико-игровые аспекты, которые очень важны.

Западные политэкономисты по духу подошли ближе к содержанию работы.

В основополагающей статье соответствующего направления3 в рамках простейшего варианта ЗМР (равномерное расселение на отрезке) впервые поставлен ряд требований к устойчивости оптимального и иных решений требований, носящих теоретико-игровой характер.





Конкретно, рассматривается несколько видов угроз коалиционной природы: устойчивость по отношению к расколу, к объединению и к отделению региона (регионом называется произвольное интервальное подмножество отрезка-мира). Их реализация в предположении о равномерном расселении математически тривиальна, и устойчивое разбиение на “страны” всегда существует.

В настоящей работе требования теоретико-игрового характера, такие как коалиционная и миграционная устойчивость, анализируются на основе далеко идущих обобщений модели А.Алесины и Э.Сполаоре.

Приведём здесь (нестрогие) определения двух основных для нашей работы угроз устойчивости, носящих теоретико-игровую природу.

Согласно первой из них, разбиение на группы должно быть устойчиво по отношению к угрозе образования новых групп из частей старых; это понятие устойчивости близко к ядру, и введено Робертом Ауманом и Жаком Дрезом4 под названием Core of a coalition partition form, что может быть переведено как ядро в форме разбиения на группы.

Второе, как правило менее жёсткое, требование к устойчивости заключается в том, что ни один участник ни одной группы не хочет стать членом другой группы (что происходит тогда, когда его суммарные издержки в новой группе снизятся по сравнению с исходной его группой). Данное понятие устойчивости является частным случаем равновесия по Нэшу в игре, где люди выбирают себе группы (и в равновесии каждый выберет “свою” группу).

Для придания строгости приведённым выше определениям устойчивости необходимо сделать определённые предположения о функционировании данной группы из разбиения.

Важными для настоящего исследования вопросами являются следующие два: (а) как происходит улаживание конфликта внутри сформированной группы (например, когда конфликт носит пространственный характер, то вопрос состоит в том, где именно нужно построить центр обслуживания для данной группы пользователей), и (б) какие схемы перераспределения издержек, “внутригрупповой компенсации за удалённость”, доступны участникам конфликта.

В работе принимается, что пункт (а) всегда разрешается по принципу минимизации Alesina, A. and E. Spolaore (1997), On the number and size of nations, Quarterly Journal of Economics, 113, 1027-1056.

Aumann, R.J. and J. Dr`ze (1974), Cooperative games with coalition structure, International Journal of Game Theory 3, 217-237.

суммарных транспортных издержек, то есть в точке Штейнера (в политических приложениях по принципу медианного избирателя), а в пункте (б) есть три различных договорённости о делении издержек, которые естественным образом выделены, они и изучаются: принцип равнодолевого участия, принцип выравнивания общих издержек и принцип произвольного выбора схем компенсации (в последнем случае считаются доступными любые схемы перераспределения издержек).

В работах таких российских и зарубежных учёных, как Р.Болтон, С.Вартанов, А.Васин, Ш.Вебер, Ж.Дрез, А.Касселла, Х.Кониши, М.Ле Бретон, И.Ортуно-Ортин, Э.Рапопорт, Ж.Ролан, Ю.Сосина, Д.Степанов, Г.Хэрингер и других рассмотрены различные модификации ЗМР. Настоящее исследование продолжает и обобщает данное направление, а также собирает все полученные результаты воедино, в рамках одного и того же методологического подхода.

Цель работы и основные задачи. Цель исследования, во-первых, состоит в том, чтобы классифицировать теоретико-игровые подходы к анализу процесса формирования групп в задачах, сводящихся к ЗМР; во-вторых, чтобы получить ряд новых результатов касательно возможности противостоять тем или иным угрозам устойчивости в ЗМР.

Соответственно, ставились и решались такие задачи, как:

1. Классификация постановок и формализация угроз устойчивости решений ЗМР.

Выделены 3 основные постановки ЗМР, в соответствии с предположением о множестве участников/игроков: дискретная, непрерывная с плотностью, и континуальная с конечным числом типов. Первая служит теоретической базой для выявления основных препятствий к устойчивости, вторая хорошо моделирует задачи размещения в городах, в то время как третья, наоборот, моделирует региональное взаимодействие, когда города можно приближённо считать точками;

2. Классификация коалиционных и миграционных угроз устойчивости, носящих теоретико-игровую природу; адаптация строгих определений к каждому из трёх вариантов постановок задачи. Ниже при ссылке на тот или иной вариант постановки используются следующие обозначения: F, D, T дискретный, непрерывный, конечно-типовой вариант задачи; M, C означает, что миграционные, коалиционные угрозы принимаются в расчёт; S, R, E рассматривается принцип распределения издержек с побочными платежами, принцип выравнивания, принцип равнодолевого участия. Таким образом, например, аббревиатура DEC означает задачу поиска коалиционно устойчивых разбиений для случая непрерывного расселения с плотностью при принципе равнодолевого участия; аналигично расшифровываются и все остальные 17 аббревиатур.

3. Формулировка нового принципа устойчивости, усиленного миграционного равновесия принципа, который относится к непрерывным постановкам и характеризуется устойчивостью против скоординированного перемещения малых масс жителей между группами;

4. Построение контрпримеров как к существованию коалиционно устойчивых, так и миграционно устойчивых решений; построение примеров расселений, устойчивые конфигурации в которых обладают нетривиальными свойствами (неинтервальность 5. Получение теорем существования устойчивых решений в некоторых случаях и при специальных предположениях на функции распределения;

6. Полное решение задачи поиска устойчивых разбиений в следующих трёх случаях:

(а) DEC, равномерное расселение на отрезке; (б) DEM, равномерное расселение на отрезке; T EC, случай двух типов игроков (в последнем случае полная характеризация решений получена при любых параметрах расселения).

Методы исследования. Методы, использованные в работе, включают: теорию неподвижных точек, анализ параметрических экстремальных задач, функциональноаналитические методы, структурный анализ пространства разбиений, теоретико-игровой анализ и теорию меры.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Более того, новыми являются не только сами результаты, но и многие методы их обоснования. Научная новизна состоит в следующем:

1. Сформулирована модель оптимального размещения, относящаяся к классу “нескольких городов” и заключающаяся в том, что в стандартной постановке ЗМР вместо конечного числа точек спроса имеется конечное число типов потребителей (при этом внутри каждого типа континуум потребителей).

2. В общей непрерывной модели формирования групп (которая в работе строго формализована) введено новое, усиленное требование миграционной устойчивости, которое было названо локально устойчивым миграционным равновесием.

3. В стандартной модели Алесины и Сполаоре обнаружены эндогенные неоднородные групповые структуры, в том числе и среди локально устойчивых миграционных равновесий; получены достаточные условия на коалиционную устойчивость, выделяющие целый класс (бесконечномерный!) устойчивых разбиений, а не только разбиений “на равные по размеру страны-интервалы” (как было в работе Алесины и Сполаоре).

4. Доказана теорема существования миграционно-устойчивого разбиения для произвольного расселения участников на отрезке; получены точные условия совпадения оптимума и равновесия, они имеют несколько параметров вырождения. Тем самым закрыто сразу два вопроса, до этого неизученных.

5. Для равномерного расселения на плоскости в условиях трансферабельной полезности получена полная характеризация эпсилон-ядра и показано, что единственной схемой распределения издержек, лежащей в минимальном ядре, является схема выравнивания общих издержек.

6. Получен критерий существования коалиционно устойчивых разбиений для произвольного биполярного мира, то есть расселения ровно по двум городам. Выявлены зоны отсутствия устойчивых решений, а также необходимой дробности устойчивого разбиения.

7. Построена конфигурация точек спроса, являющаяся контрпримером к гипотезе существования коалиционно устойчивой групповой структуры для дискретного размещения на прямой. Конфигурация эта (включающая 13 игроков) обладает тем свойством, что не допускает устойчивого разбиения на группы даже при наиболее жёстких требованиях по отношению к выбору медианных мест открытия мощностей в группах, представляющих угрозу устойчивости. Этот контрпример обобщает и подытоживает предыдущие контрпримеры, которые были найдены на ранних стадиях диссертационного исследования.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Однако методы, разработанные в ней, могут быть полезными при дальнейшем исследовании задач многомерного размещения и близких к ним из политической науки, в которых принимаются в расчёт теоретико-игровые угрозы. Принципы устойчивости могут быть приняты к сведению и учтены при решении практических задач обеспечения города клубными благами и размещения сетей мест общего пользования в больших городах. Наглядность результатов позволяет внедрять их в учебный процесс в рамках специальных курсов и специальных семинаров (что уже сделано в ряде прочитанных спецкурсов, как автором диссертации, так и его учениками и коллегами в ведущих ВУЗах страны, таких как МГУ, МФТИ, РЭШ, ВШЭ, ИГУ, ИрГТУ, УрФУ, НГУ и других).

Основные приложения ЗМР лежат либо в сфере политического конфликта (образование политических партий, объединений, клубов по интересам или даже стран), либо в сфере чисто географического конфликта (образование юрисдикций). В диссертации приведены примеры реализации как тех, так и других конфликтов.

Автору видится, что в случае конфликтов в сфере вкусов/взглядов более содержательной угрозой устойчивости является угроза коалиционная (образование новых групп), в то время как в случае географического конфликта важно уметь учесть и, по возможности, парировать угрозы миграционные. В работе изучаются и те, и другие угрозы в рамках общей математической модели.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях и семинарах, а также на конференциях, летних школах и семинарах в России.

Перечислим конференции за рубежом: Coalition Theory Network (Париж 2005, Лювенля-нёв 2007, Венеция 2008); Heterogeneity in Social Organizations (Лювен-Ля-Нёв 2005, Брюссель 2006); Public Goods, Public Projects and Externalities (Марсель 2007); The Equilibrium Manifold (Лунд 2006).

В России автор докладывал результаты диссертационного исследования на Международной конференции ВШЭ (Москва 2006 - 2011, 2013); Международной научнопрактической конференции УрГУ (Екатеринбург 2006 - 2013); Шаталинской ШколеСеминаре (Воронеж 2008, Вологда 2009, Звенигород 2010, Калининград 2011, Кострома 2012); Ежегодной конференции ЕУ СПб (Санкт-Петербург 2008-2011); конференции СПбЭМИ РАН (Санкт-Петербург 2008, 2010, 2012); Байкальских Чтениях (Иркутск 2008Школе-семинаре “Методы оптимизации и их приложения” (Северобайкальск 2005, 2008, Омск 2009, Листвянка 2011); конференции ГУУ (Москва 2010-2011); конференции РЭШ (Москва 1998-2011); конференции СЗАГС (Санкт-Петербург 2011, 2012); на Юбилейной конференции в честь 50-летия Академгородка (Новосибирск 2007); Game theory and Management (Санкт-Петербург 2007); ORM (Москва 2008, 2010); конференции памяти Гайдара в АНХ (Москва 2011); конференции в честь 100-летия Канторовича (Санкт-Петербург 2012), а также на ряде других конференций и летних школ.

Перечислим теперь города, где автор выступал с приглашённым докладом на семинарах: Тилбург, Мадрид, Аликанте, Маастрихт, Брюссель, Варшава, Тулуза, Киев, Осло, Москва, Санкт-Петербург, Иркутск, Новосибирск, Томск, Новочеркасск, Ростов, Воронеж, Пермь, Красноярск, Нижний Новгород, Казань, Самара и во многих других городах; из ведущих семинаров неоднократно выступал на семинаре математической экономики ЦЭМИ РАН, семинаре теоротдела ФИАН, в МГУ, СПбЭМИ, ЕУ СПб, Computer Science Club, ПОМИ, РЭШ, ВШЭ, в Финансовой Академии при Правительстве РФ, в филиалах ВШЭ в Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде и Перми, в СПбГУ, EERC-Kiev, ФИНЭК СПб, ИГУ, ИСЭМ СО РАН, ИДСТУ СО РАН и в ряде других институтов и ВУЗов России.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 40 работах общим объёмом 42, 8 печатных листов (личный вклад автора – 15, 75 печатных листов). Из них 13 работ общим объёмом 13, 5 печатных листов входят в список журналов, включённых ВАК Министерства образования и науки России в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных для публикации основных результатов диссертационных исследований на соискание учёных степеней кандидата и доктора наук (личный вклад автора – 6, печатных листа).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, списка литературы из 120 наименований, двух таблиц и 15 -ти иллюстраций.

Полный объем работы составляет 256 страниц, из которых 13 страниц занимает список использованных источников.

Содержание работы Во Введении формулируется в общем виде решаемая в диссертации задача, даётся её мотивировка, рассказывается о том, что исследование находится на стыке нескольких научных направлений, приводится характеристика этих направлений, и обсуждаются знаковые научные достижения в них. Затем на описательном уровне вводятся в рассмотрение угрозы устойчивости, носящие теоретико-игровой характер и служащие предметом исследования в работе, а также приводится обзор литературы, содержащий описание результатов, примыкающих к полученным в диссертации.

Первая глава посвящена формализации дискретного (конечного) варианта рассматриваемой задачи, и соответствующих ей модификаций, связанных с поиском миграционно устойчивых решений.

Сначала определяется стандартная конечная постановка задачи многомерного размещения, в которой множество N = {1,..., n} людей, проживающих в точках x1,..., xn Rd нормированного координатного пространства, должно быть приписано к пунктам удовлетворения спроса, которых можно открыть сколько угодно.

Каждого человека обязательно прикрепить (ровно) к одному из пунктов. Стоимость открытия любого пункта фиксирована и равна g. Дополнительная стоимость прикрепления человека с адресом xi к пункту, открытому в точке m, равна ||xi m|| расстоянию, измеренному в заданной на Rd норме.

Сперва ставится задача оптимального размещения пунктов (иногда говорят:

“мощностей”). Наиболее удобная форма постановки этой задачи, в свете изучения устойчивости получаемых решений относительно коалиционных и индивидуальных (“миграционных”) угроз это форма двуступенчатая. Сначала вводится следующая, важнейшая для всего исследования, мета-задача, которая восходит к Штейнеру, сформулировавшему её на плоскости в начале XIX века:

Эта задача состоит в следующем: предположив, что состав одной из групп будет совпадать с подмножеством S, мы минимизируем затраты на приписку путём выбора места m Rd самого выгодного (по суммарным издержкам) расположения пункта.

Любое решение этой задачи в дальнейшем будет называться медианой подмножества игроков S (иногда мы будем также использовать термин точка Штейнера).

Теперь задача о размещении мощностей ставится следующим образом: Этой задаче было посвящено много усилий учёных.6 В диссертационном исследовании акцент переносится с поиска оптимума (или разработки алгоритмов поиска оптимума) на анализ угроз устойчивости, имеющих теоретико-игровую природу и возникающих при реализации решения (как оптимального, так и любого допустимого). Угрозы устойчивости, подвергнутые анализу в диссертационном исследовании, делятся на два класса: “миграционные” (синоним: “индивидуальные”), с одной стороны, и коалиционные (синоним: “ядерные”, из-за связи соответствующего понятия устойчивости разбиения на группы с концепцией ядра кооперативной игры в характеристической форме), с другой.

Для анализа устойчивости групповых структур требуется указать, какой принцип распределения издержек внутри сформированных групп принимается за основу. В диссертации изучается три разных принципа. Согласно одному из них, издержки внутри каждой группы S могут быть поделены любым способом. Согласно другому принципу, издержки g на открытие и поддержание мощности делятся поровну между членами группы S, а издержки ||xi m|| прикрепления члена i S группы S к пункту, открытому в точке m, каждый член сформированной группы несёт самостоятельно.

Третий принцип состоит в том, что общие издержки группы (1) делятся поровну между её участниками (полная компенсация различий в издержках прикрепления за счёт внутригрупповых трансфертов).

Первый принцип будет называться принципом трансферабельной полезности или иначе принципом побочных платежей, второй принципом равнодолевого участия, принципом Ролса, по имени известного исследователя такого подхода в а третий экономических и социальных проблемах.

Коалиционные угрозы устойчивости можно сформулировать для всех трёх (на самом деле, вообще любых) принципов распределения издержек, а миграционные угрозы только для таких принципов, в которых список участников группы однозначно определяет предписанные каждому из её членов платежи (для “однозначных” принципов распределения издержек, в англоязычной литературе это называется “hedonic environment”).

Формально, в первой главе диссертации вводятся понятия схемы распределения издержек и принципа распределения издержек:

Определение P. Принципом распределения издержек мы будем называть сопоставление каждой коалиции S набора векторов:

Всюду в работе знак будет обозначать несвязное объединение коалиций.

См. уже упоминавшуюся в сноске 1 обзорную статью.

каждый из векторов w = {wi }iS P [S] предписывает каждому члену i S коалиции S нести суммарные издержки в размере wi. Вектора предполагаются неотрицательными и сбалансированными:

Векторы из P [S] также будем называть допустимыми относительно принципа распределения издержек P.

Принцип P называется однозначным, если для каждого S подмножество P [S] является одноточечным, то есть состоит из одого допустимого вектора tS RS.

В противном случае мы называем принцип многозначным. Однозначные принципы иногда назваются схемами распределения издержек; схемы часто обозначаются просто одной буквой t = {tS }S(2N )\{}, где tS = {tS }iS RS.

Принцип побочных платежей является многозначным, принцип Ролса однозначным.

Принцип равнодолевого участия будет однозначным тогда и только тогда, когда для любого подмножества S N множество медиан M [S] одноточечно, то есть когда медиана m[S] каждого подмножества определена однозначно.

В одном специальном случае многозначности множества M [S], а именно в случае ЗМР, заданной на обычной прямой, в работе предпринят более детальный анализ угроз устойчивости, как коалиционной, так и миграционной, при разных дополнительных требованиях на выбор медиан в формирующихся группах. Для этого специального, но весьма важного частного случая также введено понятие интервальности групп и разбиений, и в первых двух главах приведён целый ряд результатов, связанных с этой концепцией.

Для однозначных принципов (схем) распределения издержек формулируется понятие миграционно устойчивого разбиения:

Определение F M. Разбиение = {S1,..., Sk }, заданное непересекающимся миграционно устойчивым, Нэшевским или индивидуально устойчивым (эти термины взаимозаменяемы) при схеме распределения издержек t = {tS }SN ;iS, если для любого номера l = 1,..., k группы разбиения, любого игрока i Sl, а также любого подмножества W N либо пустого (W = ), либо совпадающего с Sh при некотором номере группы h = 1,..., k, имеет место следующее неравенство:

Иными словами, если какой-либо из участников конфликта самовольно покинет свою группу и присоединится к другой (или просто останется в одиночестве), то его издержки от такого шага могут лишь возрасти.

В оставшихся разделах главы рассмотрения проводятся для случая d = 1. В этом случае постановка F EM ещё дальше дробится на два варианта: F ECM, когда медиана, если их целый отрезок, должна быть взята в центральной точке последнего “случай (схема) центральной медианы”, и F EM M, когда при смене группы игрок влияет на местоположение медианы минимально возможным образом “требование минимального насилия при миграции”. Строго говоря, последнее требование не укладывается ни в понятие схемы, ни в понятие принципа распределения издержек.

Для обоих постановок верна теорема об интервальности любого устойчивого разбиения.

А вот само существование такого разбиения критическим образом зависит от конкретных предположений о выборе медианы. В работе приведён пример расселения (“Контрпример для случая F EF M ”), при котором не существует миграционно устойчивых разбиений при требовании выбора центральной медианы, а также доказана теорема (“Теорема существования для случая F EM M ”), утверждающая существование миграционно устойчивого разбиения для любых расселений на прямой, если исходить из принципа минимального насилия при миграции. При доказательстве теоремы используется техника потенциальных игр.

Кроме того, в главе приведён пример (“Контрпример для случая F RM ”) расселения на прямой, при котором не существует миграционно устойчивого разбиения для принципа выравнивания издержек внутри групп, а также доказывается теорема существования миграционно устойчивых разбиений для расселений с равноотстоящими друг от друга локациями.

В главе 2 исследуются коалиционно устойчивые разбиения в дискретной постановке (в принятой классификации обозначаемой за F C анализ случаев F RC, F SC и F EC ).

Сперва даётся исторический экскурс по задаче в постановке F C, ибо именно с такой постановки (даже точнее, с анализа случая F EC ) и начиналось 10 лет назад становление того раздела теории игр, который лёг в основу диссертационного исследования.

Затем проводятся параллели с кооперативной теорией игр, конкретно с концепцией ядра в форме разбиения на коалиции (из упоминавшейся выше статьи Р.Ауманна и Ж.Дреза, процитированной в ссылке 4). Для любого принципа распределения издержек P даётся следующее определение:

Определение F C. Разбиение = {S1,..., Sk }, заданное непересекающимся набором подмножеств Sl N, где N = S1... Sk, называется коалиционноустойчивым или ядерным для принципа распределения издержек P, если существует вектор u= (u1,..., un ), для которого выполнены следующие требования:

(i) Для каждой группы разбиения Sl проекция вектора u на группу Sl, то есть вектор {ui }iSl, является допустимым относительно принципа P для группы Sl, то есть принадлежит множеству P [Sl ] ;

(ii) для любой потенциальной коалиции S и любого её допустимого вектора tS P [S] существует такой участник коалиции S, скажем i S, что для него верно следующее неравенство:

Иными словами, в рамках разрешённых векторов внутригруппового деления издержек, невозможно найти группу и вектор для неё таким образом, чтобы всем её участникам при отделении этой группы стало строго лучше, чем при исходном разбиении. Это определение можно адаптировать под любой конкретный принцип распределения издержек.

Далее последовательно разбираются постановки F RC, F SC и F EC. Для принципа выравнивания платежей верна самая общая теорема существования устойчивого разбиения на группы; более того, она распространяется без труда и на случаи DRC, T RC, то есть анализ устойчивых структур для постановки RC является тривиальным.

Интересно, впрочем, отметить, что устойчивая групповая структура в этом случае может быть неинтервальной, соответствующий пример одномерного расселения приведён в работе.

Исследованию коалиционной устойчивости в случае принципа побочных платежей (или трансферабельной полезности, F SC ) были посвящены усилия многих учёныхпредшественников.

В разделе, посвящённом этому случаю, даётся небольшой обзор полученных результатов. Здесь остановлюсь на главном: при d = 1, то есть для одномерных расселений, верен общий результат существования коалиционно устойчивого разбиения на группы. Для случая F EC, то есть без побочных платежей, при d = 1 было доказано существование разбиения, устойчивого относительно интервальных коалиционных угроз. Сопоставляя оба этих достижения, авторы последней упомянутой работы высказали гипотезу о верности общей теоремы существования в постановке F EC при d = 1.

И тут следует отметить одно из знаковых достижений работы опрвержение, причём многократное, этой гипотезы (в различных модификациях случая F EC касательно способа выбора медианы). Ниже в автореферате будет сказано про случай T EC, а здесь мы остановимся на формулировке теоремы “о крушении надежд на устойчивость”, полностью закрывающей вопрос общей теоремы существования в дискретной постановке (для случая F EC ):

Теорема о крушении надежд. Существует конечное расселение на прямой, при котором для любого разбиения = {S1,..., SL } множества игроков N, взятого вместе с любым набором медиан {ml }l=1,...,L в соответствующих группах, ml Goemans, M.X. and M. Skutella (2004), Cooperative facility location games, Journal of Algorithms 50, 192-214.

Greenberg, J. and S. Weber (1986), Strong Tiebout Equilibrium under Restricted Preferences Domain, Journal of Economic Theory 38, 101-117.

M [Sl ], существует группа с однозначной медианой W, то есть M [W ] = {m}, для любого участника i W которой будет выполнено следующее строгое неравенство (где l таково, что i Sl в исходном, предлагаемом разбиении ):

Конкретно, N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, на этот раз g = 120 и Соответствующее расселение выглядит следующим образом:

Тем не менее не всё так плохо, есть и определённый позитивный задел. Существование коалиционно устойчивых решений в работе доказано для некоторых специальных классов расселений. Ниже приведён целый ряд мелких результатов диссертации, относящихся к случаю F дискретного распределения спроса. Аббревиатура F EF обозначает дополнение к принципу равнодолевого участия, при котором всегда выбирается центральная медиана отрезка всех медиан.

Теорема об устойчивых разбиениях для постановки F C. Справедливы следующие утверждения:

(i) В случае F EF всегда существует интервальное коалиционно устойчивое разбиение на группы для расселения через равноотстоящие локации xl = rl, l = 1,..., n (в дальнейшем будем называть этот случай “равноотстоящим расселением”, или просто равномерным расселением);

(ii) В случае F EF существуют неинтервальные устойчивые разбиения даже при равномерном расселении;

(iii) В случае F EF указано конкретное расселение, для которого единственным коалиционно устойчивым разбиением на группы служит неинтервальное разбиение;

(iv) В случае F EF указано конкретное расселение, для которого существует коалиционно устойчивое, но не существует миграционно устойчивого разбиения;

(v) В случае F EF указано конкретное расселение, для которого, наоборот, существует миграционно устойчивое, но не существует коалиционно устойчивого разбиения (как следствие, можно сделать вывод о том, что понятия миграционной и коалиционной устойчивости логически независимы друг от друга);

(vi) В случае F EC с выбором произвольной медианы из отрезка медиан всегда существует интервальное коалиционно устойчивое разбиение на группы для равномерного расселения;

(vii) В случае F EC с выбором произвольной медианы из отрезка медиан всегда существует интервальное коалиционно устойчивое разбиение на группы для всех Глава 3 посвящена формализации и анализу случая D непрерывной постановки с плотностью. Необходимость такой постановки диктуется теми многочисленными приложениями рассматриваемой проблемы, которые описаны во введении. Учитывая сложности, связанные с “самой общей формулировкой” непрерывной постановки, мы всюду в главе 3 под случаем D понимаем следующий:

Абсолютно непрерывная постановка. Пространство игроков N совпадает с (выпуклым) замкнутым подмножеством X Rd при некотором d (как правило, с какимто простым отрезком, шаром, самим пространством целиком). Предполагается заданной плотность расселения f : X R+, строго положительная всюду на X.

Везде, кроме раздела 4.4, N = X предполагается компактным.9 Как и раньше, g обозначает стоимость открытия мощности. Постановка ЗМР становится интегральной, формализация угроз несколько видоизменяется.

Остановимся на формализации самой ЗМР10 (видоизменение формализации угроз приведено в тексте диссертации). Мета-задача формулируется для любого измеримого подмножества S X положительной меры (именно такие подмножества объявляются в непрерывных постановках коалициями), и выглядит следующим образом:

Для основного случая евклидовой нормы, при всех d 1 решение этой задачи достигается в единственной точке, называемой медианой коалиции S, и обозначается Сложности, связанные с некомпактным (неограниченным) X например, в важном частном случае X = Rd являются чисто математическими. В необходимом нам сюжете X = R2 они преодолены многими предшественниками, занимавшимися классическими задачами пространственного размещения, см. например, Bollobas, B. and N. Stern (1972), The optimal structure of market areas, Journal of Economic Theory 4, 174-179.

С точки зрения нахождения оптимального решения рассмотренная задача является частным случаем задачи о дискретном приближении непрерывной меры, см. например, Э.О. Рапопорт (2012), О дискретном приближении непрерывных мер и некоторых приложениях, Сибирский журнал индустриальной математики, том 15, номер 3 (51), 99-110.

за m[S]. Потенциальную множественность медиан при d = 1 мы игнорируем, чтобы сосредоточиться на главном. Теперь задача о размещении мощностей формулируется для любого компактного пространства N = X Rd с положительной мерой в точности так же, как и раньше:

с поправкой на замену |Sl | (количества игроков в Sl ) массой (мерой, Sl f (x)dx ) коалиции Sl (впрочем, в диссертации мы продолжаем массу коалиции S обозначать так же за |S| ).

Миграционная угроза устойчивости в непрерывных постановках D и T дополняется трудоёмким определением усиленной миграционной устойчивости (здесь мы не будем его приводить), которая в работе подвергнута анализу в одном частном случае, а именно, для равномерного расселения на прямой ( f (x) 1 ).

Глава 3 содержит два важных результата, а также несколько мелких (последние мы здесь не приводим). Первый результат формулируется так:

Теорема DEM при d = 1. Рассмотрим расселение игроков на отрезке [0, 1], заданное распределением F (·), допускающим непрерывную и отделённую от нуля плотноть f (x) 0. Тогда при любом n 2 существует интервальное разбиение = {S1,..., Sn } ровно на n невырожденных групп, являющееся миграционно Доказательство этого результата использует лемму Никайдо-Гейла-Дебрэ.

Второй из важных результатов получен в случае DSC для равномерного расселения на всей плоскости.

Существование коалиционно устойчивого разбиения на группы для любого дискретного расселения на прямой доказано предшественниками (об этом было сказано выше).

Совершая предельный переход, можно то же самое утверждать для постановок DSC и T SC на прямой. Однако интересна и сама характеризация устойчивых решений какие векторы (функции для континуальной постановки) распределения издержек лежат в ядре?

В общем случае это сделано с привлечением методов двойственности в линейном программировании.12 Но имеются и конкретные вычисления для наиболее важных примеров расселений. В случае равномерного расселения на прямой имеется такой результат:13 единственной коалиционно устойчивой функцией распределения издержек Договорившись о том, что в случае целого отрезка медиан в качестве решения задачи всегда берётся середина последнего.

См., например, наш обзор Le Breton M., Moreno-Ternero J. D., Savvateev A., and S. Weber (2013), Stability and Fairness in Models with a Multiple Membership, International Journal of Game Theory 42 (3), 673-694.

Dreze, J., Le Breton, M. and S. Weber (2007), Rawlsian Pricing of Access to Public Facilities: a Unidimensional Illustration, Journal of Economic Theory 136, 759-766.

является правило Ролса “Всё собрать и поделить”. (Заметим, что выше, при определении принципа Ролса мы потребовали, чтобы в каждой группе общие издержки делились поровну, а здесь то же самое достигается при наложении требования коалиционной устойчивости!) Следуя общей логике последней процитированной статьи, в диссертации представлен анализ равномерного расселения на плоскости.

Решение соответствующей задачи о многомерном размещении хорошо известно: плоскость дробится на правильные одинаковые шестиугольники, размер которых определяется величиной g (для транспортных издержек, совпадающих с евклидовым расстоянием). А вот с коалиционно устойчивыми схемами распределения платежа возникает следующий эффект:

Теорема DSC на евклидовой плоскости. Множество векторов распределения издержек, коалиционно устойчивых для равномерного расселения на плоскости Иными словами, уже при расселении на плоскости парировать коалиционные угрозы не удаётся даже для простейшего случая равномерного расселения.

Так как мы живём, в первом приближении, на плоскости, и многие города с определённой долей правдоподобия можно считать заселёнными равномерно и “очень большими”, то данный результат может потенциально настораживать. Однако следующие два соображения надо иметь в виду.

Во-первых, метрика (то есть способ измерения расстояний) в любом городе далёка от евклидовой. В городе, устроенном по принципу пересечения параллельного пучка улиц типа “север – юг” и пучка улиц типа “запад – восток”, более правдоподобна “манхэттэнская” метрика, названная так из-за описанного выше расположения улиц в Манхэттэнском районе города Нью-Йорка.15 В этой метрике, как явствует из результатов, полученных недавно и поэтому не вошедших в текст диссертации, множество ядерных распределений непусто.

Во-вторых, и в евклидовой ситуации “зазор” между оптимальностью разбиения на группы и его коалиционной устойчивостью невелик. Остановимся подробнее на последнем наблюдении.

Представим себе, что часть издержек несёт в случае подчинения “шестиугольному порядку” государство, а при образовании отклоняющейся группы людей эта часть издержек не возмещается. Возникает вопрос: насколько большой процент издержек нужно компенсировать, чтобы никакая группа не представила коалиционной угрозы устойчивости оптимального шестиугольного разбиения?

Например, Morgan, F. and R. Bolton (2002), Hexagonal economic regions solve the location problem, The American Mathematical Monthly 109 (2), 165-72, а также уже процитированную статью Bollobas, B. and N.

Stern (1972).

В России такую метрику можно было бы назвать “Екатеринбургской”.

Для ответа на поставленный вопрос введём новое понятие.

Определение DSC R Регулярной функцией (правилом) распределения издержек называется произвольное отображение w : R2 R, инвариантное относительно любых сдвигов шестиугольной сетки. Правило называется -ядерным, если для любой коалиции S R2 (имеющей конечную меру |S| ) выполнено следующее неравенство:

где c[S], напомним, является решением мета-задачи (9) в абсолютно непрерывной постановке.

Для формулировки второй основной теоремы главы 3 надо ввести ешё одно обозначение. А именно, за c мы будем обозначать средние издержки функционирования плоскости, разбитой на оптимальные шестиугольники. Иными словами c = c[H ], где H обозначает типичный шестиугольник сетки. Тогда имеет место следующая теорема:

Теорема о приближённой устойчивости. Обозначим за точную нижнюю грань тех, при которых существуют -ядерные способы распределения издержек.

Справедливы следующие утверждения:

(i) = 1, где B круг на плоскости с минимальным значением c[B] среди всех кругов B (то есть круг оптимального радиуса);

(ii) 0.0018 то есть пренебрежимо мало можно считать, что на плоскости ядро приближённо непусто.

(iii) С точностью до меры ноль существует единственный способ r(·) распределения издержек, являющийся -ядерным. Этот способ является Ролсовским, то есть правилом выравнивания издержек: x R2 r(x) c.

Доказательство первого пункта теоремы базируется на теореме Фубини о перестановочности операторов интегрирования; второй пункт простое вычисление, а вот доказательство последнего утверждения весьма нетривиально. Оно зиждится на достаточно тонких построениях из теории меры и измеримых множеств.

Четвёртая глава посвящена постановке T с конечным числом типов игроков, или, как мы его называем, “случаю нескольких городов”. Положим N = I1... In, где каждый отрезок Ii имеет длину, или массу i ). Каждый “город” i обладает локацией xi Rd.

Так как описываемая постановка в литературе по ЗМР вводится впервые, то остановимся здесь на модификации классической постановки задачи многомерного размещения, связанной с этой постановкой. Требуется открыть конечное число пунктов (мощностей), в точках подмножества K Rd, и приписать к ним жителей всех городов самым экономным образом:

Минимум в (12) берётся среди всех вариантов выбора центров обслуживания, а также всех способов {µy }iN,yK } разбивки каждого из кластеров однотипных игроков между центрами (с условием, что для любого типа i = 1,..., n должно быть выполнено балансовое условие yK µy = i ).

Как и в остальных двух вариантах постановки задачи, нам потребуется переформулировать ЗМР в “коалиционном формате”. Оказывается, что в сюжете с несколькими типами игроков целые широкие классы коалиций получаются всецело эквивалентными друг другу (как и целые классы разбиений). А именно, для исчерпывающего описания шаблона коалиции достаточно указать, сколько игроков каждого типа туда вошло. Введём соответствующую терминологию.

Определение T : (i) Коалицией (синоним: группой) игроков называется любое измеримое подмножество S N положительной меры. Каждой коалиции S ставится в соответствие коалиционный шаблон (µ1,..., µn ) набор из n неотрицательных чисел µi = [S [0, i ]], представляющих собой численность (меру Лебега) представителей соответствующих типов 1,..., n в группе S. Любая группа (коалиция), приводящая к данному набору численностей, называется реализацией коалиционного шаблона (µ1,..., µn ) ;

(ii) Разбиение в сюжете T с конечным числом типов игроков отождествляется с матрицей коалиционных шаблонов k штук групп, входящих в разбиение; при этом, конечно, требуется, чтобы Теперь ЗМР, как и раньше в главах 1 и 3, может быть записана в два этапа. Сначала сформулируем задачу о поиске наиболее экономного способа поставки общественного блага для потребителей из произвольной группы S, реализованной через коалиционный шаблон (µ1,..., µn ), то есть задачу Штейнера:

В решении задачи определяется величина c[S] средние суммарные издержки членов группы S при оптимальном выборе блага. Множество M [S] решений этой задачи называется, как и в предыдущих сюжетах, множеством медиан группы S, или шаблона (µ1,..., µn ). Множество медиан может, как и в дискретных постановках, не быть одноточечным (в работе приводится полная характеризация этого множества, в зависимости от расположения локаций, {xi }i=1,...,n и набора численностей каждого из типов, {i }i=1,...,n ).

Также, по аналогии с предыдущими главами, мы будем обозначать численность (массу) После этого мы можно переформулировать ЗМР для случая конечного числа типов игроков:

где минимум берётся по всем матрицам, каждая строка которых представляет одну коалицию, а количество строк не является фиксированным: при поиске минимума перебираются все значения k = 1,..., n (легко понять, что любое k n неоптимально ни при каком выборе матрицы µ ).

В главе далее даются определения миграционной и коалиционной устойчивости, которые практически дословно переписываются из предыдущей главы, но с учётом новых реалий. Основным результатом четвёртой главы является полная классификация расселений с двумя городами с позиции коалиционной устойчивости (постановка T EC ;

любое такое расселение называется “биполярным миром”). Конкретно:

Теорема об устойчивости для случая T EC с двумя типами игроков. Справедливы следующие утверждения (где за a и b обозначены численности городов, (i) Если коалиционно устойчивое разбиение биполярного мира существует, то устойчивым будет одно из трёх конкретных разбиений: союз {(a, b)}, федерация {(a, 0); (0, b)} или дробное разбиение {(a b, 0); (b, b)}. При a = b устойчивое разбиение существует, и им обязательно является одно из двух конкретных разбиений: федерация {(b, 0); (0, b)} или союз {(b, b)} ;

(ii) При некоторых значениях параметров существует;

(iii) При некоторых значениях параметров (a, b) единственным устойчивым разбиением служит дробное разбиение {(a b, 0); (b, b)}.

С учётом симметрий в постановке задачи, биполярный мир полностью характеризуется размером каждого города, при условии, что g = 1, и что б‘ольший город находится в точке 0 на обычной прямой, а меньший в точке 1. Полная классификация изображена ниже на рисунке 2, где по осям расположены численности городов (для определённости, большой город по оси абсцисс). Зоны в фазовом пространстве (пространстве параметров) задачи помечены буквами, указывающими на то, какое из трёх конкретных разбиений является в соответствующей зоне устойчивым (или же на то, что устойчивых разбиений в данной зоне нет).

(0, 0) Рисунок 2. Зоны устойчивости трёх базовых видов разбиений.

В заключении, после краткого обзора полученных в диссертации результатов, приведён целый ряд примеров постановок, не вошедших в принятую в работе классификацию, но представляющихся автору достаточно важными. В некоторых случаях в них уже имеются определённые результаты, но в большинстве своём они представляют собой темы для будущих исследований.

Основные научные публикации по теме диссертационного исследования Публикации в журналах, включённых ВАК Министерства образования и науки России в перечень ведущих журналов и изданий, рекомендованных для публикации основных результатов диссертационных исследований на соискание учёных степеней кандидата и доктора наук:

1. Савватеев А.В. Коалиционная устойчивость “биполярного мира”. // Журнал Новой Экономической Ассоциации. 2013. № 17. С. 10-44. (2,1 п.л.) 2. Савватеев А.В. Миграционно устойчивая организация одномерного мира: теорема существования решения. // Известия Иркутского Государственного Университета, Серия “Математика”. 2013, том 6 (2). C.58-69. (0,69 п.л.) 3. Савватеев А. В., Кукушкин Н. С. Ординальная сравнительная статика: непрерывный случай. // Экономика и математические методы. 2009. №45(1). С. 83-86. (0,19 п.л., вклад автора – 0,09 п.л.) 4. Вебер Ш., Габжевич Дж., Гинзбург В., Савватеев А. В., Филатов А. Ю. Языковое разнообразие и его влияние на экономические и политические решения. // Журнал Новой экономической ассоциации. 2009. №3-4. С. 28-53. (1,58 п.л., вклад автора – 0, 5. Dreze, J., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Almost subsidy-free spatial pricing in a multidimensional setting. // Journal of Economic Theory. 2008. Vol. 143. P. 275-291.

(1 п.л., вклад автора – 0,25 п.л.) 6. Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev, A., and S. Weber. Stability of jurisdiction structures under the equal share and median rules. // Economic Theory. 2008. Vol. 3. P.

523–543. (1,25 п.л., вклад автора – 0,32 п.л.) 7. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Heterogeneity Gap in Unidimensional Spatial Models. // Journal of Public Economic Theory. 2008. Vol. 10. P.

455-473. (1,13 п.л., вклад автора – 0,28 п.л.) 8. Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev, A., and S. Weber. Stability under unanimous consent, free mobility and core. // International Journal of Game Theory. 2007. Vol. 35.

P. 185–204. (1,2 п.л., вклад автора – 0,3 п.л.) 9. Polishchuk L. I., and A. V. Savvateev. Spontaneous (non)emergence of property rights.

// Economics of Transition. 2004. Vol. 12, Issue 1. P. 103-127. (1,5 п.л., вклад автора – 10. Савватеев А. В. Оптимальные стратегии подавления коррупции. // Экономика и математические методы. 2003. №39(1). С. 62-75. (0,81 п.л.) 11. Magnus J. R., Polterovich V. M., Danilov D. L., and A. V. Savvateev. Tolerance of cheating: an analysis across countries. // Journal of Economic Education. 2002. Vol. 33, issue 2. P. 125-135. (0,62 п.л., вклад автора – 0,15 п.л.) 12. Le Breton M., Moreno-Ternero J. D., Savvateev A., and S. Weber. Stability and Fairness in Models with a Multiple Membership. // International Journal of Game Theory. 2013.

Vol. 42, issue 3. P. 673-694. (1,2 п.л., вклад автора – 0,3 п.л.) 13. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. The egalitarian sharing rule in provision of public projects. // Economics Bulletin. 2005. Vol. 8 (11). P. 1-5. (0, п.л., вклад автора – 0,06 п.л.) Публикации в иных научных изданиях:

14. Savvateev, A.V. Uni-dimensional models of coalition formation: non-existence of stable partitions / A.V. Savvateev. // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory.

2012. V. 2, Issue 4. P. 49-62. (0,75 п.л.) 15. Savvateev A. Achieving stability in heterogeneous societies: multi-jurisdictional structures and redistribution policies. // EERC Working Paper. 2003. # 04/13E, Moscow: EERC.

(1,88 п.л.) 16. Le Breton M., Moreno-Ternero J.D., Savvateev A., Weber S. Stability and fairness in models with a multiple membership. // CORE Discussion Paper. 2010/79. (3 п.л., вклад автора – 0,75 п.л.) 17. Dreze, J., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. “Almost” subsidy-free spatial pricing in a multi-dimensional setting. // CORE discussion paper. 2007/47. (1,35 п.л., вклад автора – 0,35 п.л.) 18. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Heterogeneity Gap in Unidimensional Spatial Models. // CORE Discussion Paper. 2006/36. (1,56 п.л., вклад автора – 0,39 п.л.) 19. Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev, A., S. Weber. Stability under unanimous consent, free mobility and core. // CORE Discussion Paper. 2006/7. (1,25 п.л., вклад автора – 0,32 п.л.) 20. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Stability of Jurisdiction Structures under the Equal Share and Median Rules. // CORE Discussion Paper.

2005/32. (1,5 п.л., вклад автора – 0,38 п.л.) 21. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. The Egalitarian Sharing Rule in Provision of Public Projects. // CORE Discussion Paper. 2005/24. (0,38 п.л., вклад автора – 0,09 п.л.) 22. Le Breton M., Moreno-Ternero J. D., Savvateev A., Weber S. Stability and Fairness in Models with a Multiple Membership. // IDEI Working Paper. 2012. No. 715. (3 п.л., вклад автора – 0,75 п.л.) 23. Le Breton M., Makarov V., Savvateev A., Weber S. Multiple Membership and Federal Structures. // IDEI Working Papers. 2007. No. 491. (0.6 п.л., вклад автора – 0.15 п.л.) 24. Dreze, J., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. “Almost” Subsidy-Free Spatial Pricing. // IDEI Working Papers. 2006. No. 423. (1.2 п.л., вклад автора – 0.3 п.л.) 25. Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev, A., S. Weber. Stability under unanimous consent, free mobility and core. // IDEI Working Papers. 2006. No. 413. (1,25 п.л., вклад автора – 0,32 п.л.) 26. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Heterogeneity Gap in the Stable Jurisdiction Structures. // IDEI Working Papers. 2006. No. 412. (1,56 п.л., вклад автора – 0,39 п.л.) 27. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Strong Stability in Jurisdiction Formation. // IDEI Working Papers. 2005. No. 365. (1.2 п.л., вклад автора – 0. 28. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. The Egalitarian Sharing Rule in Provision of Public Projects. // IDEI Working Papers. 2005. No. 364. (0,38 п.л., вклад автора – 0,09 п.л.) 29. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. On Heterogeneous Size of Stable Jurisdictions. // IDEI Working Papers. 2005. No. 363. (1,56 п.л., вклад автора – 0,39 п.л.) 30. Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev, A. and S. Weber. Stability of Jurisdiction Structures under the Equal Share and Median Rules. // IDEI Working Papers. 2005. No.

362. (1,5 п.л., вклад автора – 0,38 п.л.) 31 Le Breton M., Makarov V., Savvateev A., Weber S. Multiple Membership and Federal Structures. // FEEM Working Paper. 2008. No. 41. (0.6 п.л., вклад автора – 0.15 п.л.) 32. Dreze, J., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. “Almost” Subsidy-Free Spatial Pricing. // Fondazione Eni Enrico Mattei Working Papers. 2007. No. 68. (1.2 п.л., вклад автора – 0.3 п.л.) 33. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Heterogeneity gap in stable juridiction structures. // Discussion Papers (ECON – Dpartement des Sciences Economiques).2006. No. 19. (1,56 п.л., вклад автора – 0,39 п.л.) 34. Bogomolnaia A., Le Breton M., Savvateev, A., S. Weber. The Egalitarian Sharing Rule in Provision of Public Projects. // NOTA DI LAVORO 39.2005, in: Fondazione Eni Enrico Mattei Working Paper Series. # 2005.39. (0,25 п.л., вклад автора – 0,06 п.л.) 35. Remizov I.D., and A.V Savvateev (2012) “ D[M aximum] = P [Argmaximum] ”, Intellectual Archive, 18.08, ID#612, ISSN 1929 1329 (0,15 п.л., вклад автора – 0,08 п.л.) Избранные тезисы докладов на конференциях:

36. Le Breton M., Makarov V., Savvateev A., Weber S. Multiple membership and federal structures. // Contribution to game theory and management. Collected papers presented on the International Conference Game Theory and Management. SPb.: Graduate School of Management. SPbSU. 2007. P. 286–293. (0,44 п.л., вклад автора – 0,11 п.л.) 37. Le Breton M., Makarov V., Savvateev A., Weber S. Multiple membership and federal structures. // Системное моделирование социально-экономических процессов.

Труды 31-й Международной научной школы-семинара. Воронеж. 1–5 октября г. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 2008. Т. 1. С. 112–119. (0,44 п.л., вклад автора – 0,11 п.л.) 38. Bogomolnaia, A., Le Breton, M., Savvateev, A. and S. Weber. Stability of a bi-polar world. // Равновесные модели в экономике и энергетике: труды XIII Байкальской международной летней школы-семинара Методы оптимизации и их приложения.

Иркутск: Институт систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН. 2005. С.

138–142. (0,25 п.л., вклад автора – 0,06 п.л.) 39. Ле Бреттон М., Вебер Ш., Мусатов Д., Савватеев А. Теория социального взаимодействия. // Труды 33-й Международной научной школы-семинара, Звенигород. 1–4 октября 2010 г. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 2010. С. 281–282. (0,13 п.л., вклад автора – 0, 40. Ле Бретон М., Вебер Ш., Мусатов Д., Савватеев А. Коалиционно и Миграционно устойчивые разбиения на клубы. XI международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества: В 3 кн. / отв. ред. Е.Г.Ясин. М.: Изд.

дом Высшей школы экономики. 2011. Кн. 1. С. 441–447. (0,38 п.л., вклад автора п.л.) Соискатель считает своим приятным долгом поблагодарить своего научного консультанта, профессора Южного Методистского Университета (Даллас, США) Шломо Вебера за плодотворную совместную работу в течение последних десяти лет над темами, так или иначе связанными с диссертационным исследованием.

ЗАДАЧА МНОГОМЕРНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ И ЕЁ

ПРИЛОЖЕНИЯ: ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ ПОДХОД

Специальность 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики Отпечатано полиграфическим участком ИСЭМ СО РАН

 
Похожие работы:

«Золотова Елена Вячеславовна Повышение конкурентоспособности предпринимательских структур на основе мотивационного механизма Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика предпринимательства) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2014 Работа выполнена в АНО ВПО Российская академия предпринимательства доктор экономических наук, доцент Научный руководитель Репкина Ольга Брониславовна Официальные...»

«ГОРЕНБУРГОВ ЮРИЙ МИХАЙЛОВИЧ ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ СТОИМОСТНОЙ ОЦЕНКИ БРЭНДОВ В СИСТЕМЕ ИНТЕРНЕТ-МАРКЕТИНГА Специальность: 08.00.05 Экономика и управление народным хозяйством (предпринимательство) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург 2001 2 Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов Научный руководитель – доктор экономических наук, профессор Крутик А. Б. Официальные оппоненты...»

«Карманов Дмитрий Александрович ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕКЛАМНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В БИЗНЕС-СТРУКТУРАХ Специальность 08.00.05 – экономика и управление народным хозяйством (предпринимательство) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург 2001 Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов. Научный руководитель - доктор экономических наук, профессор Томилов В.В. Официальные оппоненты : доктор...»

«Алексеева Наталья Анатольевна Управление эффективностью мезоэкономических отношений промышленно развитого региона Специальность 08.00.05 – экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами – промышленность; региональная экономика) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук Ижевск 2008 года 2 Диссертационная работа выполнена в Институте экономики Уральского отделения...»

«Прахов Илья Аркадьевич Оценка распределения ресурсов абитуриентов при подготовке к поступлению в условиях Единого государственного экзамена Специальность 08.00.05 – Экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами (сфера услуг) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2013 Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования...»

«ПУТИНЦЕВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫХ ПЕНСИОННЫХ НАКОПЛЕНИЙ КАК ФАКТОР СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ В РЕГИОНЕ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством: региональная экономика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург 2011 Работа выполнена на кафедре государственного и муниципального управления ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический...»

«КАРПУНИН Сергей Александрович МОДЕЛИ ИНТЕГРИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОТОКАМИ В ЦЕПЯХ ПОСТАВОК Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством: логистика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург 2012 Диссертационная работа выполнена на кафедре логистики и организации перевозок ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет Научный руководитель : доктор технических наук,...»

«УДК 338.45:339.56 (100) БУТУЗОВ Алексей Юрьевич Современные тенденции развития мирового свинцово-цинкового рынка и участие на нем России Специальность: 08.00.14 – Мировая экономика Специализация: Мировой рынок товаров и услуг: тенденции развития. Отраслевая и фирменная структура. Организация и техника международной торговли АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2010 г. 2 Работа выполнена на Кафедре международной торговли и...»

«Коновалова Мария Петровна ОРГАНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНОГО СТРАХОВАНИЯ И ПУТИ ЕГО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ В РОССИИ В СОВРЕМЕННЫХ УСЛОВИЯХ 08.00.05 — Экономика и управление народным хозяйством: экономика труда Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Томск — 2006 3 Диссертация выполнена на кафедре системного менеджмента и предпринимательства государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Томский государственный...»

«УДК 332.3:332.142.6 МАКАШ ОВА ГАУХАР Ж А КСЫ БА ЕВН А Соверш енствование экономического механизма экологизации промыш ленного землепользования 08.00.05 - Экономика и управление народны м хозяйством (но отраслям и сферам деятельности) А втореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Республика Казахстан К ар аган д а,2008 Работа выполнена в Карагандинском государственном университете им. Е.А.Букетова, Научные руководители: доктор экономических...»

«АЛИШИХОВ РАМАЗАН ЧАМСУЛВАРАЕВИЧ Эффективность политики валютного курса в развивающихся странах Специальность 08.00.14 - Мировая экономика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2007 Работа выполнена на кафедре международных экономических отношений факультета мировой экономики и мировой политики Государственного университета - Высшая школа экономики. Научный руководитель : кандидат экономических наук, доцент Столяров Юрий...»

«ЕМЕЛЬЯНОВ Александр Николаевич ЭФФЕКТИВНОСТЬ СОЗДАНИЯ ПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА ПО ПРОИЗВОДСТВУ БИОТОПЛИВА (БИОЭТАНОЛ) Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством: экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами (промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург - 2012 Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего...»

«САМОЙЛОВ АНДРЕЙ ВАДИМОВИЧ УПРАВЛЕНИЕ МОДЕРНИЗАЦИЕЙ ПРЕДПРИЯТИЙ МАШИНОСТРОЕНИЯ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами – промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Ижевск – 2012 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Нижегородский...»

«Чиниев Джами Бадридинович ЭКОНОМИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛИЗАЦИИ Специальность 08.00.14. – Мировая экономика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2010 2 Работа выполнена на кафедре международных экономических отношений, экономического факультета Российского университета дружбы народов Научный руководитель : доктор экономических наук, профессор Шкваря Людмила Васильевна Официальные...»

«ВЕТРОВА ЕЛЕНА НИКОЛАЕВНА УПРАВЛЕНИЕ СТРАТЕГИЧЕСКОЙ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬЮ СУДОСТРОИТЕЛЬНОГО КОМПЛЕКСА В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛЬНОЙ КОНКУРЕНЦИИ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами: промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук Санкт-Петербург – 2013 2 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном...»

«Яремчук Антон Владимирович ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ НА ОСНОВЕ СЦЕНАРНОГО ПОДХОДА К ПРОГНОЗИРОВАНИЮ Специальность 08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата экономических наук Санкт-Петербург Диссертационная работа выполнена на кафедре Информационных систем в...»

«Сорокина Наталья Сергеевна ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА УСТОЙЧИВОГО СБАЛАНСИРОВАННОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА (НА ПРИМЕРЕ АЛТАЙСКОГО КРАЯ) Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (региональная экономика) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Барнаул 2012 Диссертация выполнена на кафедре государственной налоговой службы ФГБОУ ВПО Алтайский государственный технический...»

«ФРАНЦИСКО ОЛЬГА ЮРЬЕВНА ОБОСНОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ И ПРОГНОЗНЫХ СЦЕНАРИЕВ РАЗВИТИЯ ПОДСОБНЫХ ПРОИЗВОДСТВ АГРАРНЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ (ПО МАТЕРИАЛАМ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ) Специальность 08.00.05 – экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами – АПК и сельское хозяйство) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Краснодар – Диссертационная работа выполнена в ФГОУ ВПО...»

«Девяткина Тамара Владимировна ОРГАНИЗАЦИОННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ УПРАВЛЕНИЯ ПАРТНЕРСТВОМ СУБЪЕКТОВ АПК И СФЕРЫ ОБРАЗОВАНИЯ Специальность 08.00.05 – экономика и управление народным хозяйством Специализация: экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами (АПК и сельское хозяйство) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва 2009 г. Работа...»

«Щенкова Татьяна Александровна СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕХАНИЗМА УПРАВЛЕНИЯ НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ КОМПЛЕКСАМИ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами - промышленность) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2012 2 Работа выполнена в АНО ВПО Российская академия предпринимательства Научный руководитель : доктор экономических наук,...»






 
© 2013 www.diss.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.